RESISTENCIA DEMATERIALESPARTE II

WINSTON ACEIJAS PAJARESIngeniero Mecnico

RESISTENCIA DE MATERIALES PARTE II

Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin autorizacin escrita del autor.

Reservados todos los derechos, Winston Aceijas Pajares. 2011

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PROLOGO

Este libro est diseado para estudiantes de tercer ao de ingeniera que llevan un primer curso de mecnica de cuerpos deformables.

Luego de haber discutido en el primer texto la transformacin del esfuerzo en un punto, aqu se resuelve problemas que involucran a flexin y torsin en vigas; y estabilidad de columnas.

El primer captulo se ha elaborado con la idea de repasar los diagramas de fuerza cortante y de momento flector por la accin de las cargas externas sobre vigas, aprendidos previamente en el curso de Esttica. Luego se realiza el anlisis de la distribucin de esfuerzos normales y sus correspondientes deformaciones, la discusin incluye a vigas de dos o ms materiales. Se estudian tambin la distribucin de los esfuerzos cortantes.

En el siguiente captulo se trata del clculo de deflexiones: pendiente y flecha, primero, el caso de vigas isostticas; y luego los problemas de vigas estticamente indeterminadas.

Tratamiento especial se hace a las vigas continuas y se presentan algunas aplicaciones de la teora en la solucin de problemas de ingeniera.

A diferencia de la primera edicin, en el captulo sobre elementos estructurales a carga de compresin, se presenta relaciones empricas establecidas por la AISC para el clculo de la carga crtica en columnas.

En cuanto a los problemas resueltos, se recomienda al lector que primero entienda el enunciado y trate de resolver por s mismo, usando sus conocimientos de teora que son imprescindibles conocerlos antes. Las soluciones presentadas son al detalle, complementando as los aspectos tericos de la asignatura, por lo que sugerimos no tratar de memorizar los procedimientos utilizados; sino considerarlos como una orientacin para la solucin de las preguntas.

Aprovecho la oportunidad para agradecer los comentarios y sugerencias de los estudiantes que utilizaron ya la primera edicin del Texto de RESISTENCIA DE MATERIALES parte 2; y debo manifestar que esto fue el incentivo principal para la elaboracin de esta segunda edicin.

Es mi deseo, amigos estudiantes, que este libro sea de su agrado y se constituya en una contribucin efectiva a su formacin como profesionales de la ingeniera.

Lima, enero del 2012.

WINSTON N. ACEIJAS PAJARES

.NDICEPg.PROLOGO Flexin en vigas 1 Relaciones entre carga, fuerza cortante y momento 2 Construccin de los diagramas de V y M 5 Problemas9 Esfuerzos y deformaciones axiales en vigas14 Vigas con seccin asimtrica 15 Elementos hechos de, varios materiales20 Problemas25 Carga axial, excntrica65 Esfuerzos cortantes 69 Problemas 71 Deflexiones de vigas111 Mtodos de Clculo113 Doble integracin115 Uso de funciones singulares118 Mtodo de rea de momentos131 Problemas de aplicacin133 Diagrama de momentos reducidos por partes142 Mtodo de Superposicin145 Vigas con dos planos de carga150 Vigas hiperestticas165 Mtodos de doble integracin166 Mtodos de Supervisin171 Problemas Columnas195 Pandero de columnas largas rectas197 Teora de Euler198 Cargas crticas199 Lmite de validez de la carga de Eluer201 Columnascon otras condiciones de soporte202 Columnascon cargas excntricas204 Problem208 Frmulas empricas 212 Problemas214 Frmulas empricas de la SSRC y AISC217 Problemas223 Apndice 227 Tablas de Flechas y pendientes228 Tablas de Propiedades de las secciones 235

FLEXION EN VIGAS

Un elemento estructural razonablemente largo respecto a sus dimensiones laterales y que soporta cargas perpendiculares a su eje longitudinal se denomina viga. Cualquier miembro estructural, ya sea un eje, un trabe en un puente o en un edificio, etc; que se flexiona bajo la aplicacin de cargas, puede considerarse como viga. Al igual que los diagramas de fuerza normal y de momento torsor, los diagramas de fuerza cortante y de momento flector proporcionan informacin importante para determinar la fuerza cortante y el momento mximos en una viga. Una vez determinado el momento flector interno en una seccin se puede calcular el esfuerzo por flexin.

El diseo de una viga incluye 2 partes: en la primera se determinan los esfuerzos internos as como las deflexiones (flecha) producidas por las cargas. La segunda parte est relacionada con la seleccin del material y la mejor seccin transversal que resista tales esfuerzos y deflexiones.

Tipos de Vigas.- La clasificacin ms generalizada consiste en agruparlas en: vigas estticamente determinadas y estticamente indeterminadas.

Vigas Isostticas. Son aquellas en las cuales puede determinarse las reacciones en los apoyos con las ecuaciones de equilibrio. Una viga simplemente apoyada, descansa sobre soportes en sus extremos que permiten la rotacin; una viga en voladizo est fija (sin rotacin) en un extremo.

Figura (6.1 a) Ejemplos de vigas isostticas

Figura 6.1 b E jemplos de vigas hiperestticas

Vigas Hiperestticas. Cuando se tiene ms reacciones incgnitas que ecuaciones de la esttica, se dice que la viga es estticamente indeterminada. Una viga en voladizo con apoyo en el extremo, una viga con doble empotramiento y una viga apoyada sobre tres o ms apoyos (viga continua), son ejemplos de vigas hiperestticas.

4.1 Relaciones entre carga, Fuerza Cortante y Momento Flector

Las cargas que actan normalmente pueden ser: peso propio de la viga, concentradas, distribuidas (uniformemente o no), y par. Para el clculo de reacciones, las cargas distribuidas pueden remplazarse por sus resultantes que actan en el centro de gravedad del rea de la carga distribuida.- Las reacciones son las fuerzas y/o pares que actan en los soportes.

El cortante vertical V (N o Kgf) en cualquier seccin es una suma algebraica de todas las fuerzas que actan paralelas a (y sobre) un lado de la seccin: V = Fv.

a) Considerando el efecto de cargas externas

b) Considerando las fuerzas internas en la seccin

Figura 6.2. Convencin de signos para fuerza cortante y momento flector en las vigas.El momento flexionante M (N-m o Kgf-m) en cualquier seccin es la suma algebraica de los momentos de las fuerzas externas que actan sobre la viga en un lado de la seccin, respecto a uno de los ejes principales centroidales de inercia de la seccin.

Convencin de signos. La Figura (6.2) ilustra la convencin de signos que se usa comnmente para la interpretacin correcta de las ecuaciones y diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores.

Los Diagramas de Fuerza Cortante y Momento Flector

Son grficos que muestran la magnitud de la fuerza cortante o del momento flector a lo largo de la viga.

La construccin del diagrama de fuerzas cortantes y del diagrama de momentos flectores se simplifica gracias a ciertas relaciones existentes entre carga, fuerza cortante y momento flector. A fin de obtener estas grficas matemticas, considrese la figura (6.3) que ilustra un ejemplo de viga simplemente apoyada que soporta una carga distribuida w N/m

Fig. 6.3

Separamos el tramo de viga de longitud y trazamos el diagrama de cuerpo libre correspondiente:

Condicin de equilibrio:

En el lmite, para:

Esta relacin indica que la pendiente dela curva, de fuerza cortante (para la viga del ejemplo) es negativa, y numricamente igual a la carga distribuida en ese punto.

Tambin, escribiendo el equilibrio de momentos:

Ordenando convenientemente se tiene:

En el lmite, para se tendr:(6.2) (pendiente de la curva de momentos)Integrando (6.2) entre las secciones C y D

Lo que nos indica que, es el rea bajo la curva de fuerza cortante entre C y D.

Construccin de los diagramas V y M

Segn lo indicado para V, se deduce que en la seccin de la viga donde se aplica una carga concentrada, en el diagrama de las fuerzas cortantes deber aparecer un salto brusco de magnitud igual a la de la fuerza exterior. - En forma similar, en la seccin donde se aplica un par de fuerzas, en el diagrama de los momentos flectores deber aparecer un salto brusco de magnitud igual a la de este par de fuerzas exterior.

Para vigas que no soportan momentos distribuidos (que originan flexin), al dibujar los DFC y DMF, as como al comprobarlos, debe usarse las relaciones diferenciales (6.1) y (6.2) entre M, V y w y las que de estas se deducen.Deducciones esenciales de las relaciones (6.1) y (6.2):1.La fuerza cortante es la pendiente de la recta tangente al diagrama de momentos flectores en la seccin dada; y la intensidad de la carga distribuida (w) lo es de la tangente al diagrama de fuerzas cortantes.2.En la seccin de la viga donde la fuerza cortante es cero el momento flector tiene un valor extremo y en la seccin donde la fuerza es cortante pasa bruscamente por su valor nulo, el grfico de M pierde su monotona.4.En cada tramo de la viga la variacin de la magnitud del momento flector entre dos secciones cualquiera es igual al rea del diagrama de las fuerzas cortantes entre estas dos secciones; siempre y cuando no acte sobre este tramo pares concentrados exteriores.5.Si el eje x va dirigido hacia la izquierda desde el extremo derecho de la viga, entonces:

6. La concavidad de la curva del diagrama de momentos tiene la misma direccin que la carga distribuida.

En general, es conveniente trazar los diagramas de fuerza cortante y de momento flector por debajo del diagrama de cuerpo libre de la viga.En la figura (6.4) se muestran diagramas para algunos tipos de carga.

Figura (6.4). Diagramas de fuerza cortante y momento flector

Ejemplo 6.1. Para la viga cargada segn se muestra, trazar los diagramas de fuerza cortante y momento flector.

Calculo de reacciones:Mc = 0:

FY = 0

Conocidas las reacciones en los apoyos, procedemos al trazado de los diagramas de fuerza contante y momento flector siguiendo las instrucciones dadas anteriormente; o bien obteniendo previamente las ecuaciones de V y M como funciones de x.

PROBLEMA 6.2. Trazar diagramas de fuerza cortante y momento flector de la viga con voladizo que se muestra en la Figura.

SOLUCIN Diagrama de cuerpo libre:

Equilibrio en la viga : xxxxx

FY = 0:RA = 3 + 6 + (32) 12 RA = 3Determinadas las reacciones, se completa los valores de las cargas externas actuantes en la viga.

PROBLEMA 6.3. Para la viga de seccin circular que se muestra, hacer los grficos de fuerza cortante y momento flector.

Unidades de longitud en mm

SOLUCIN:Como son cargas inclinadas consideramos los planos de carga xz y xy para dibujar los grficos de fuerza cortante y momento flector de la viga

Tenemos, para las componentes de en la direccin del eje x:

Clculo de reacciones en los apoyos:RAx y RBxRAx + RBx = - 0,485Resolviendo, tenemos: RAx= - 4,363 KNRBx = 3,878 KN

En la siguiente figura se muestra el diagrama de fuerza cortante y momento flector

Considerando ahora como cargas a las componentes de en la direccin del eje Y.

Plano y zClculo de reacciones RAy + TBy = 22,34

Resolviendo tenemos: RAy = 9,83 KNRBy = 12,51 KN

Ejemplo 6.4. Construir los diagramas de fuerzas cortantes y momento flector de la viga con articulacin flotante.

SOLUCIONPara condicin de articulacin flotante, el momento flector en la seccin B, es nulo. Para resolver descomponemos la viga en dos:AB: Simplemente apoyadoBC: En forma de voladizoPara ambos tipos de vigas, la figura (6.4) nos proporciones sus respectivos diagramas de fuerza cortante y momento flector.

6.2 ESFUERZOS Y DE FORMACIONES AXIALES EN VIGASEl objetivo principal del estudio de vigas es determinar los esfuerzos normales en primera instancia, y luego las deformaciones que genera el sistema de cargas actuante.

Hiptesis:1. El material de la viga observa la Ley de Hooke.

2. El mdulo de elasticidad a la traccin y a la comprensin es el mismo.

3. La configuracin geomtrica de la viga es tal que la flexin y no el pandeo es el modo primario de falla.

4. Las secciones planas originalmente perpendiculares al eje longitudinal de la viga (permanecen planas) y perpendiculares al eje longitudinal despus de la flexin: esto es cualquier seccin transversal no se encorva ni se alabea.5. En la viga deformada, los planes de dichas secciones tiene una interseccin comn; es decir una recta originalmente paralela al eje longitudinal de la viga se convierte en arco de circunferencia.

FLEXIN PURASi en los extremos de la viga actan momentos flectores iguales y opuestos (en el mismo pleno longitudinal), se dice que est sometida a flexin pura.La figura (6.5) ilustra ejemplos de vigas a flexin pura.

Figura 6.5. Ejemplos de vigas a flexin pura.

Obsrvese que en los tramos de flexin pura la fuerza cortante es nula.

VIGAS CON SECCION SIMETRICA 6.2.1. Flexin Simtrica: Primero estudiaremos los esfuerzos y deformaciones de un elemento prismtico que posee un plano de simetra y es sometido en sus extremos a momentos flectores iguales y opuestos Mz que actan en el plano de simetra.Consideramos el sistema coordenado de manera que el eje Y es eje de simetra y el origen est en el centroide de la seccin.

Figura 6.6 Esquema de viga sometida a momento flector Mz

En la figura (6.6), el plano de corte Q divide la viga en dos. Separamos la porcin izquierda y trazamos su diagrama de cuerpo libre (Figura 6.7), mostrando las fuerzas internas en el material.La parte superior de la seccin, soporta comprensin y la parte inferior traccin; y por lo tanto, el eje Z viene a ser el neutro (sobre cuyos puntos es esfuerzo es nulo).

Figura 6.7 Fuerzas dF actuantes en dA

Condicin de Equilibrio

La ecuacin (6.4) verifica la caracterstica de par del momento MZ, pues la fuerza de traccin y la comprensin se anulan mutuamente.

La ecuacin (6.5) resulta trivial si por hiptesis el eje Y es eje de simetra de la seccin (ntese que cualquier con Z positivo tiene su simtrico con Z negativo).Concluimos que la (distribucin real de esfuerzos es estticamente indeterminada) pues la ecuacin (6.6) resulta insuficiente. Para obtener la ecuacin complementaria analizaremos las deformaciones producidas en el elemento.En la Figura (6.8) se muestra una porcin de viga deformada.- La deformacin del elemento causada por el momento flector M es medida con la (curvatura) de la superficie neutra.- La curvatura es definida como el inverso del radio de curvatura.

Consideramos la fibra paralela a la superficie neutra a una distancia y.

Podemos escribir para la deformacin longitudinal en el tramo CD.

Figura 6.8 Esquema de viga deformada

Relaciones geomtrica: . (6.8)En (6.7): .. (6.9)La relacin (6.9) nos indica que la deformacin unitaria longitudinal de una fibra cualquiera es directamente proporcional a su distancia y de la fibra neutra.Si utilizamos (6.9) en la Ley de Hooke: (6.10)Que nos muestra que el esfuerzo normal vara linealmente con la distancia desde la superficie neutra.Ahora, reemplazamos de (6.10) en la ecuacin de equilibrio (6.6)

(6.11)

De esttica, la expresin: es el momento de inercia de la seccin respecto al eje z.- Reemplazando en (6.11) y ordenando tenemos: (6.12)Que viene a ser la expresin de la curvatura de la lnea neutra.Despejando de (6.10) y reemplazando en (6.11) (6.13)Finalmente, el esfuerzo normal:(6.14)Cuya presentacin grfica se muestra en la Figura (6.9). El esfuerzo mximo se producir en Y = Ymx= C (6.15)(C se toma como C1 C2)De (6.14) y (6.15): (6.16)

Figura 6.9. Esquema de la distribucin del esfuerzo normal

Para verificar que el eje centroidal Z y el eje neutro coinciden, sustituimos (6.16) en la ecuacin de equilibrio (6.5)

Y de Esttica sabemos que: el producto de inercia con respecto a los ejes y z ser cero, si estos ejes son los ejes centroidales principales de la seccin transversal, con lo que se comprueba que el eje neutro es el eje z.

En la ecuacin (6.15) a la relacin: S = Iz/c, se le denomina mdulo elstico de la seccin o momento resistente, y como puede verse depende nicamente de la geometra de la seccin.- Valores de s para secciones de uso comn se encuentra en tablas y manuales.(6.15 a)De esta ultima relacin, se concluye que es recomendable seleccionar una seccin transversal con el mayor valor de S posible.

Ejemplo: Para el caso de una seccin rectangular de dimensiones b y h.Su mdulo resistente ser:

Por tanto, a igualdad de reas A de la seccin transversal de forma rectangular, la viga con mayor altura h tendr el mayor mdulo de seccin y ser ms efectiva para resistir a la flexin, salvo limitacin por inestabilidad.

ELEMENTOS HECHOS DE VARIOS MATERIALESPara un elemento hecho de dos o ms materiales con mdulos de Young diferentes, nuestra aproximacin para la determinacin del esfuerzo normal en el elemento debe ser modificado.La deformacin normal mantiene su variacin lineal con la distancia y desde el eje neutro de la seccin porque no depende del material. Sin embargo no podemos asumir que el eje neutro pase por el centroide de la seccin transversal.

Figura (6.10) Distribucin de esfuerzos y deformaciones en una barra de dos materiales (EA < EB ).

El esfuerzo normal en cada material puede determinarse por la conocida relacin. (6.10 repetida)

Analicemos las condiciones de equilibrio para un tramo de viga como la que se muestra en la figura 6.11.

(6.16) (6.17)

Figura 6.11

En la seccin transversal debe actuar nicamente el par M.

Se sabe que para los momentos de primer orden se cumple: (6.18) Dividiendo entre EA y haciendo n = EB / EA, tenemos:

Donde e son las distancias de la L. N, a los C. G. de la porcin de material A y B respectivamente.Localizacin del eje neutro.

Fig. 6.12

Considrese el sistema de ejes Y- Z para la seccin transversal, en el que la distancia y fija la posicin del eje neutro e , son las distancias del eje Z a los centros de gravedad de los materiales A y B.

De la ecuacin (6.18):

De acuerdo a la Figura (6.12) podemos escribir:

de donde: (6.19)Ecuacin que determina la posicin del eje neutro Con (6.20)En general para un elemento de varios materiales: (6.21)

ESFUERZO NORMAL

Figura (6.11) repetida

Segunda condicin de equilibrio:

(6.22)Como la curvatura es nica y est en relacin directa con los esfuerzos.

Reemplazando valores estas expresiones en (6.23) (6.23)Si n = Eb / Ea: (6.24)Si la viga de dos materiales tiene una seccin transversal como la que se muestra la Figura (6.12)

Figura (6.12) seccin de dos materialesEl momento flexionante M es soportado por los dos materiales:MA + MB = M(6.25)Una relacin ya obtenida anteriormente, entre la curvatura y el momento flexionante es:

(6.26)

De (6.26) despejando y reemplazando en (6.25)

Luego

(6.28)Los esfuerzos normales que generan los momentos y segn la ecuacin (6.14), son:

Reemplazando (6.27) y (6.28)

(6.24 Repetida)

PROBLEMA 1: Determinar el mximo valor de P que se le puede aplicar a la viga de dos materiales cuya seccin se indica, sabiendo que los esfuerzos admisibles a traccin y comprensin son: Acero: T=1200 kg/cm2 c=800 kg/cm2E=2,1 x 106 kg/cm2Aluminio: T=1000 kg/cm2 c= 600 kg/cm2E= 0,7 x 106 kg/cm2

SOLUCIONPor conveniencia, consideramos al aluminio como material A y al acero como material B.Localizacin del eje neutro:Frmula (6.20)

Clculo de los esfuerzos normales: Acero y AlPrimero evaluamos los momentos de inercia:

Segn el DMF de la viga tenemos dos opciones para considerar los valores mximos de los esfuerzos de compresin y traccin: Seccin en x = 2 m. y la seccin en x = 4 m.Seccin en x=2 m. Utilizando la ecuacin (6.24) para el esfuerzo normal. (T) (C)Seccin en x = 4 m.Corresponde a la ubicacin del apoyo B. (C) (T)Para determinar el valor mximo de P comprendemos los esfuerzos mximos obtenidos con los esfuerzos admisibles. Material A (aluminio)

Material B (acero)

Por lo tanto,

METDO DE LA SECCIN TRANSFORMADA Consiste en asumir que la seccin transversal es de un solo material (normalmente el de menor E), pero obviamente, de geometra diferente. Veamos seguidamente el anlisis respectivo.De las relaciones (6.17) tenemos: (6.29)