cap31 - Optica Geometrica

5/14/2018 cap31 - Optica Geometrica

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El cnloque de rayos por re lexi6n yrt'fracci6n e dernuestra medianteestos haces de laser que inciden sob reuna Iente de vidrio,

Capitulo 31J ! I

". . .Optica Geometrica

La longitud de ond de la luz suele ser muy p qu fia en c mparaci6n can el ta-mario de los obstaculos 0 aberturas que se encuentran a u pa y pueden despre-ciar e en general I 5 efe t s de la difraccic n. EI e tudi de e to caso , en los cua-les s valida la aproximaclon de los rayos y en los que Sf propaga la luz en linearecta, se conoce como optica geometrica. En este capitulo. apiicaremos las leyesde la r ef le xi on y de la refraccion pa ra estudiar la formacion de lmagenes por es-p jo y lentes.

31-1 Espej s planosa Figura 31-1 rnuestra un haz .stre ho dray luminoso qu proceden de una

Fuente puntual P y r fl ja n un pej plano. De pu' de la retlexion, los ra-yos divergen exactam nt orno ipr cedies n de un punto P' detras del planodel espejo. EI punta I" se denornina la imagen d !objeto P. uanda estes ray asentran en el ojo, no pueden distinguirse de los rayos que procedieran de unaFuente situada en P' sin que hubiese espe]o. La imagen se denomina imagen vir-tual debido a que la luz no precede realmente de la imagen. La imagen P' estaen la linea que pasa par el objeto P y es perpendicular O I l plano del espejo, a unadis tancia detras de d icho [llano igual a 1 0 1 distancia a que el objeto esea del mis-


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Seccion 31-1 Espejosplanes 1013

Figura 31-1 Imagen lormada por un ,l>pejo plano. Los rayosprocedentes del punlo P que inciden sabre el espejo y eruranen 1 '1 ojo parecen proceder del punta imagen P: delras delespe]o , EI olo pucde ver la imagen siernpre que 51' encuentreen La regi( ," sornbreada.

mo, como rnuestra 1 < 1 fi.gura. (La Figura 31-1 fue producida por construcciongeornetrica utilizando la ley de reflexion.) La imagen puede verse siernpre queel ojo este en cualquier lugar de la region indicada. de modo que una lineatrazada desde Ia imagen del ojo pasa cortandoel espejo ..En la Figura se observaque el objeto no necesitaestar directaments delanie del espejo. Una imagenpuede verse siempre queel obiero no este detras del plano del espejo.

La imagen que se ve si se mantiene la palma de la rnano derecha frente iii tinespejo plances la indicada en la Figura 31-2. La imagen es del mismo tarnafioqueel objeto. perc no es la misma que observarla otra persona frente a uno nila que nosotros mismos verlamos S I mirasernos la palma de nuestra manaderecha, La imagen de una mano derecha que da un espe]o es una manaizquierda, Esta inversion derecha-izquierda es el resultado de una inversion enprofundldad: es decir, la mana se transforrna de una mane derecha a otraizquierda porqueel espejo ha invertido la palma y 1"1dorso de Ia mane. En Iafigura 31-3 se aclara tambien esta inversionen profundidad, mostrandonos unapersona rumbada en 1'1suelo y con sus pies en contacto con un espe]o plano. Seindica eual 'es la imagen de un sistema de coordenadas rectangular que tiene susejes x e )j paralelos al plano del espejo en la Hgu ra 31-4. Las imagenes de lasf1echas situadas a 10 largo de los ejes x e y son paralelas a las Hechas objeto remla imagen de I~ Hecha a 10 largo del eje z tiene sentido opuesto a la Hecha objerocorrespondiente. El espejo transforma un sistema eoordenado "a derschas 0dextrorsurn enel que iXj=k, en donde los vectores unitarios i, .i y k estandirigidos respectivarnente, a 1 0 largo de los ejes J., y Y Z, en un sistemacoordenado "iI Izquierdas- (J sinextrorsum H para el que iX j= 1 . . .

Flgura 312 La ima~l'n de una mariodcrccha . '11 IIn espero [llano e, unaIUd IH' "


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1014 apitulo J] Opnca Ceometrlca

Espejo

P II ~ p'~ ~

Figura J 1-5 Oiagrama de reyes parasituar la Imagen de una Ilecha dadapar un espe]o plano.

En la Figura 31-5 se muestra una flecha de altura y que se mantiene paralelaa un espejo plano y a una distancia 5 del mismo. Podemos dibujar y localizarla imagen de la punta de la Hecha (y de cualquier otro punta de la misma) dibu-jando dos rayos. Uno de elias se dibuja perpendicularmente al espejo. Incide enel espeio en e l punta A y se refleja hacia arras sobre 5 1 mismo. El otro rayo incideen el espejo formand un anguJo 0 con la normal al espejo. Se refleja formandoun angulo (J igual con el eje .r. La prolongaci6n de estos dos rayos hacia arras,detras del espe]o, itua la imagen de la punta de la flecha, como se indica conla lineas a traz s de la igura, P demos ver en ella que la imagen esta a la mismadistancia detras del esp j como el objeto esta delante de el, y que la imagenderecha y tiene I rnisrn tarnario que el objeto.En la Figura 31-6 se ilustra 1aformaci6n de imageries multiples mediante dosespejos planes que forman un angulo cualquiera entre si. Es frecuente ver estefen6meno en las riendas de ropa, que disponen de sistemas con dos 0 tres espejosadyacentes orientables. La luz reflejada en el espejo 1 Ilega al espejo 2 como siprocediese del punto imagen P~. La imagen P; se denomina objeto para el espe-jo 2, y su imagen en este es, a su vez, un pun to P ; ' . 2 ' Se formara esta imagensiempre que el punto imagen PI este delante del plano del espejo 2. La imagen

Figura 3l-6 lmagenes Forrnadas por do espejos planes, P ; esla imagen del obje to P en 1 '1espe j o I. Y P; es 1 3 imagen en 1' 1espejo 2 . E I punto p ' ; . es 13 imagen en P ; en 1 '1 espejo 2 vistacuando los rayos procedentes del espejo 51' reflejan prirnerc en1 '1 espejo ] y luego en el espeio 2. La imagen P o no daninguna imagen en 1 '1 espejo 1 porque 51' encuentradetras de cl .

Figura 31-7 Dos espejos planesrnutuarnerue perpendiculares, ((llRayos que inciden primero en 1'1espejo 1 }' luego en 1 '1 espe]o 2. Laimagen P ', en I espeio 2 1'5 r;'~./;)Rayos que inciden primero en elesp jo 2 y luego en I 1. La imagende r : en 1'1espejo 1 es P'~ . quecoincide con P" , en el case deespeios perp ndiculares.

Espejo 2

.,,I ,I ,,,,,,,,'""'i" ,1'1 2

" ,\"p' ,

( 1 1 )

que aparece en el pun to P se debe a los rayos procedentes del objeto que 51' re-Hejan directamente en elespejo 2. Como P; esra detras del plano del espejo 1,no puede servir de punta objeto para formar otra imagen en el espejo 1. El nume-ro de multiples imagenes que se forman con dos espejos depende del angulo entreellos y de la posici6n del objeto.En Ia Figura 3]-7 se muestran d 5 espejos rnutuarnente perpendiculares. En1a Figura 31-7a se v n los rayos que procedente del objeto y, despues de incidirprimero en el espejo 1y lu go en el 2, acaban lIegando al ojo. En este case, elpunto imagen P '; ~ 1mi m que el que forman los rayos que inciden primero- Espejo Z" . . .

Espejo 1

I'~I( b 1


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Seccion 31-2 Espejos esfericos 1015

Figura 318 Un rayo qu incide sobre uno de los espejosplano perpendiculares se refleia en 1'1 segundo espeio ensentidc opuesto al original. rualquiera que sea el angulo dei ncidencia.

en eJ espe] 2 y luego en ell, como puede verse en la Figura 31-7b. Si se permane-e de pi delante d dos e pej s v rt i ales perpendiculares entre SI, como en unrincon de una sala, la imagen que uno mismo ve es la misma qu la observadapar otra persona eualquiera que e til Frente a nosotros porqu la inversion enprofundidad oeurre dos v ces, una en cada e pej . La Figura 3 -8 ilu tra el hechode que un rayo horizontal re I [ado en dos espejos vertical s perpendiculares in-vierte exaetamente su sentido can independencia del


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1016 Capitulo 31 Optica Geometrica

quealli no exisre luz. A pesar de esta diferenciaentre imagen real y virtual, losrayos luminosos que divergen de una imagen real y los que parecen diverger deuna imagen virtual son identicos, de modo queel ojo no hace ninguna diferenciaentre ell os cuando observa una imagen real a una virtual.En la Figura 31-10 vernos que s6lo los rayos que inciden en el espejo en lospuntas pr6ximos al eje A V se reflejan pasando par el punta imagen. Estes rayosse denominan rayos paraxlales, Debido a que otros myos no-paraxiales conver-gen en puntos diferentes proximos al punta imagen, la imagen aparece borrosa,efecto denominado aberraci6n esfertca, La imagen puede hacerse mas nltida re-duciendo el tarnafio del espejo de modo que no ineidan en e! rayos que no seanparaxiales ..Aunque la imagen es entonces mas nitida, se reduce su brillo debidoa que se re.f1eja menos intensidad luminosa.

FIgura 31-10 Aberracion esferica, los rayos no-paraxiales queinciden sabre el espejoen puntos alejados deleie AV no sereflejan pasando por el punto imagen P. Estes rayos formanuna imagen borrosa,

Figura 31-11 Construccion geornetrrca para calcular Iii.distancia imagen 5' a.parti r de la distancia objeto 5 y delradio de curva lura r.

La distancia imagen desde el vertice V del espe]o a P' puede relacionarse canla distancia objeto desdeel vertice Val punto P y con el radio de curvatura delespejo utilizando conceptos de geometria elemental. La Hgura 31-lJ muestra unrayo que precedents de un punto obieto P se refleja en el espejo y pasa por elpunto imagen P'. EI punta C es el centro de curvature del espejo. Los rayos inci-dente y reAejado forman angulos igualescon la linea radial CA, que es perpendi-cular a la superficie del espejo. Sean s y s ' las distancias objeto e imagen, y reIradio de curvatura del espejo. E!angulo (: 1es un angulo exterior al triangulo PACy, par tanto, es igual a 0+0:

(:1=.0+0 31-1Analogamente, a partir del triangulo PAP',

-y=a+28 31-2Eliminando () entre estasecuaciones se tiene

2()=-y-a=2(:1-2aa bien

2(:1=0 + " Y 31-3Utilizando las aproximaciones de los angulos pequefios o={ Is , (3=' Ir y"1,,"1 Is', se tiene

_!_+1._=l_5 5' r 31-4

La deducci6n de esta ecuacion supone que los angulos que forman con eleje losraves incidente y reflejado son pequeiios. Esto es equrvalente a suponer que losrayos son paraxiales.


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Figura 31-13 Reflexi6n de ondas planas en un espejo convexo.Los frentes de onda reflejados son esfericos como 51 ernanasendel punto Focal F detras del espeio. Los rayos sonperpendiculares a los frentes de onda y parece que dlvergende F .

Cuand la distancia objeto es grande en comparacit neon el radio de curva-tura del espejo, el termino 1/s de la ecuacion 31-4 es mucho menor que 2/,. ypuede despreciarse, Para 5= 00, la distanda imagen es s' = - t r y recibe el nom-bre de distanda 0 longitud focal f del espejo.f=~r 31-5

La ecuacion del espejo puede escribirse en fun ion de f como31-6

(n)

Frentes de ond a

/ " "C F

EI punta focal F (punto imagen) es el punto en donde resulran enfocados todoslos rayos paralelos aJ eje del espejo, cornose ilustra en Ia Figura 31-12a. (Unavez mas solo los rayos paraxiales se enfocan en un solo punto.)Cuando un objeto esta muy lejos del espejo, los frentes de onda son aproxi-madamente planes, como se ve en la Figura 31-Ub, y los rayos son paralelos.En Ja Figura 31-12b, observese como los bordes del frente de onda inciden en lasuperficie del espejo conca v antes que la porcion central cercana al eje, dandocomo resultado un frente de onda esferico despues de la reflexion, La Figura 31-13 muestra los frentes de onda y los rayos correspondientes a ondas planas queinciden sabre un espejo convexo. En este caso, incide en primer lugar la partecentral del frente de onda y las ondas reflejadas parece que proceden del puntofocal detras del espejo.

Frentes de and a/

5ecci6n 31-2 Espejos esfericos 1017

Distancia focal del espeio

E cu ar io n d el f !5iJejo

Figura 31-12 (a ) Rayos paralelos queinciden sobre un espejo c6ncavo y sereflejan pasando par el punto focal Fsituado a una distancia r12. (b) Losfrentes de onda incidentes sonplanos, despues de la reflexi6n secon vierten en ondas esf~ricas queconvergen en el punto focal. (c)Fotografia de los rayos paralelosenfocados por un espeio c6ncavo.


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1018 Capitulo 31 6ptica Geornetrlca

\

/Figura JI-H llustracion de lareversibilidad. Los rayos quedivergen de un loco puntual situadoen el p unto F ocal de u n e sp eicconcave 51 ? refleia nen el espejo comoraycs paralelos. Los rayos son losmismos que los de la figura Jl-12aperc en sentido opuesto.

Rayos princinatescorrespondienies a lill espejo

En la figura 31-14 se nan dibujadolos rayos que, precedences de una FuentepuntuaJ situada en el punta focal, inc iden sabre un espejo c6ncavo y se reflejanparalelamente al eje. Asi se ilustra una propiedad de las ondas denominada re-vers ibilidad. 5i invertim os el sentido de un rayo reflejado, la ley de l a r ef le xl onasegura que el rayo reflejado colncidlra can el rayo incidente original, pero ten-dra sentido opuesto. (La reversibilidad se cumple tambien con los rayos refracta-dos, que se estudlaran en secciones posteriores.) As! pues, si tenemos una imagenreal de un objeto que se ha formado mediante una superficie reflectante (0 refrac-tante), podemos colocar un objeto en el punto imagen y se formanfi una nuevaimagen en la posicion del objeto original.Ejemplo 31~1

Un objeto esta situado a 12 em de un espejo concave, cuyo radio de curvatu-fa es 6 cm. Hallar la distancia focal del espejo y la distancia a que se encuen-tra la imagen.Segun la ecuacion 31-5, la distancia focal vale

i=1 r={6 cm)=3cmLaecuaclon 31-6 nos da entonces

1 . 1 1--+-=--12 cm s 3 cm1 4 35' 12 em 12 em 12 em5'=4 em

Diagramas de rayos para los espejosUn metoda que resulta util a la nora de situar irnagenes consisteen la construe-cion de un diagrama de rayos. Este metodo se aclara en la Figura 31-15, en dondeel objeto es una Figura humana perpendicular aleje a una disrancia 5 del espejo.Mediante una seleccion juiciosa de los rayos que parten desde la cabeza, pode-mos localizar rapidamente la imagen. Existen cuatro rayos principales que sonconvenientes para su utilizaeion en el diagrarna:1. EI rayo paraJelo al eje. Este rayo se refleja pasando par el punto focal.,2. EI rayo focal, que pasa par el punta focal Este rayo se refleja paralelamentealeje.3. EI rayo radial, que pasa par e! centro de curvatura, Este rayo incide sabre

el espejo perpendicularrnente a su superficie y, par ello, se refleja colncidlen-do consigo mismo.4. EI rayo central, que pasa par 1"1vertlce del espejo. Se refleja formando con1"1eje 1'1mismo angu]o.En la Figura 31-15 se han indicado los tres primeros rayos prindpales. La inter-seccion de dos rayos cualesquiera situa 1"1punto imagen de la cabeza. Puede utili-zarse el tercer rayo como comprobaclon.En dicha Figura puede verse que 1.11magen esta invertida y que no tiene elmismo tarnafto que el objeto. 1 cocienre entre el tarnafio de la imagen y el delobjeto se define como la amplificacion lateral de la imagen, En la Figura 31-16se ha dibujado el rayo central desde la parte superior del objeto hasta el centrodel espejo. Este rayo forma un angulo 0 can el' eie, EI rayo reflejado que pasapor la parte superior de la imagen forma 1 " 1 mismo angulo cone! eje. Comparan-do el triangulo forma do por el rayo indden!e, el eje y elcbjeto, con et trianguloformado por el rayo reflejado, 1"1eie y Ja imagen, muestra que la amplificacicn


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- - - - - - _Secd6n 31-2 Espejos esferico5 1019

Figura 3]-15 Diagram~ d e rayos pari! Iii localizacion de 1 < 1imagen mediante una construccion geornerrica.

,(- - - - vFi.!!Ura 3T-16 Construccion georneuica para hallar laam p llficaclon 1 0k un cspcio esfi-rico concave .

lateral y' /y es igual al cociente de [a distancia 5'/5. Los diagrarnas de rayos sonmas sencillos de dibujar si 51 " sustituye el espejo por una linea recta que se pro-tonga todo 10 necesario para interceptar los rayos, como se indica en [a Figura31-17,

Cuando el objeto esta entre 1"1espejo y su punto focal, los ra yo s re fleja do sen el espejo no convergen sino que parecen diverger desde un punto situado de-trag del espejo, como se ilustra en Ia [igur a 3] -18, En este caso la imagen es vi r-tual y derecha. (Derecha quiere decir que no esta invertida respectoal objeto.)En este caso concreto, ses rnenor que ir, de modo que la distancia imagen 5'calculada con laecuaci6n 31-4 resul ta ser nega tiva. Podemos apl i:car Ias ecuaci o-nes 31-4, 31-5 Y31-6 a este caso y a los espejos convexos si adoptamos un conve-nio de signos convsniente. Con independencia de que el espejo sea convexo 0concave. 56[0 pueden Iorrnarse imageries reales delante del espejo, es decir. enel mismo lado del espejo que el objeto. Se forman irnagenes virtuales detras delespejo, en donde no existen rayos lurninosos reales, Nuestro convenio de signoses el siguienre:

5 + si el objeto esta delante del espejo (objeto real)- si el objeto esta detras del espejo (obieto virtual)"s' + si Ia imagen est a delante del espejo (imagen real)- si Ia imagen. esta detras del espejo (imagen virtual)r] + si el centro de curvatura esta delante delespejo (espe]o concave)- si elcentro de curvatura esta detras del espejo (espejo convexo)

Ellector puede asornbra rse de como un oblero puede esrar detras de un espe]o. EsIO ocurre cuandoexiste una lent", delante del espejo y los rayos que van a la imagen que forma 1 0 1 lentc son intercepta-dos por el espeio. Entoncesl a imagen de estalcnre nunca llega a forrnarse. pero la distancla a 13imagen sin Iormar. detras del espe]o, 51' considera como la distancla obteto para 1 '1espejo y en estecasoel objeto se dcnornina virtual. Consideraremos algunos eiernplos de esln en la s.ecci6n3]4cu a n do est ud iem 0 S la sle n tes ,

Figura 31-17 Los dtagrarnas de rayosson mas faciles de constru ir si sesustituye I"superficie curva per unasuperficie plana.

COMl) en io d e s ig no spara la rejlexio

c

Figura 31-18 Imagen virtual Formada por unespejo concave.La imagen esta sitcada en la interseccicn del rayo radial. queSf! r e f l e i a en senlido inverse sobre SI mismo, y d e l rayo focal,que se refle]a paralelo aJ eje. Estes dos rayos parece quedivergen de un punta situado detras del espe]o y Sf' localizanprolongandolos. Pod ria dibujarse un 'tercer rayo (no indica dolque, sa l ien do del objeto, fuese paralelo al eje. Se reflejariapasando por el punto focal y su prolongacion cortaria a losO'lr05 des rayos en el punlo imagen.

__________-~~.-~::~~-r::-~!~


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1020 Capitulo 31 Optica eometrica

AlI1plificacioll lateral

(a)

R"llt'xlon en lal un c . . p " , , , cunr avo Y(b l un espejo convexo.

Con este cony nio de signos pueden utilizarse las ecuaciones 31-4,31-5 Y3]-6en todos los casos y con cualquier tipo de espejo. La amplificaci6n lateral de 1 2 1imagen viene dada entonces par

31-7=JL=y 5'5Una amplificaci6n negativa, que se obtiene cuando tanto s corno 5' son positives.indica que Ia imagen e s i nv er ri da .

EjerdcioUn espejo concave tiene una distancia focal de 4 em. (a ) LCuid es el radiode curvatura? (b) Hallar 1 2 1 distancia de 1 2 1 imagen si e l objeto se encuentraa 2 em del espeio. Dibujar un diagrama de rayos en este caso. La imagen,L d recha 0 invertida? IRe puestas: (a ) 8 cm; (b ) s'= -4 em, derecha]En el caso de espejos plan s, que estudiamos en 1 2 1 seccion anterior, el radio

de curvature es infinito. La distancia focal dada par 1 2 1 ecuacion 31-5 es entoncesrarnbien infinita. La cuacion 31-6 da, pues, 5'=5, J que indica que 1 2 1 imagene sta d etra s del esp io y a una distancia igual a 1 2 1 del objeto. La a r n p l l f l c a c i o n31-7 da ahora +1. 10 que indica que 1 2 1 imagen es derecha y tiene el misrno rarna-no que el objeto.

Aunque las ecuaciones precedentes combinadas con nuestro convenio de sig-nos son reiativamente sencillas de utilizer. es frecuente que 5610 se necesite sabersi una imagen es real 0 virtual, si es derecha 0 invertida, y su posicion y amplifi-cacion aproximada. st conocirniento es n rmalmente mas senclllo de obtenerc n 1 2 1 simple can truccion dray s. Sin embargo, es siempre una buena ideautilizar ambos metodos, gdi ico y algebraico, para situar una imagen de formaque uno de los metodos sirva de comprobaci6n del otro.

Espejos convexosEn la Hgura 31-19 se muestra un diagrarna de rayos para un objeto situado delan-te de un espejo convexo. E I rayo central que se dirige hacia el centro de curvaturaC es perpendicular aJ espej y se refleja sabre si mismo. El rayo paralelo al ejese refleja como si procediese del punto focal F detras del espejo. E) rayo focal(n indicad ) se dibujaria hacia 1 " 1 punto focal y se reflejaria paralelo al eje. P -d m s v r en la igura que la imagen esta detras del espejo y, por tanto, es vir-tual. Adernas es derecha y m nor que 1 objeto.

Figura 31-19 Diagrarna de rayos correspondiente a un espeioconvexo. EI rayo paralelo se refle]a como si viniese del punto{pea I situado del ras del espejo y p i ra yo rad ial se refleia ensentidc inverse sobre 5 i mismo. ESLos rayos parecen divergerde un punto situado detras del espe]o Podria haber un tercerrayo (no indicado) dirigido hacia el punto local. Se refleiariaparalelarnente al I'll' y su prclongacion cortaria a los otrosd s rayo en el punto imagen.

~ : : : : - - - - - - - -

Ejemplo 31-2Un obje a de 2 cm de alto esta a 10 cm de un espejo convexo cuyo radio decurvatura es 10 em. Situar 1 0 3 imagen y hallar su altura.


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Como el centro de curvature de un espejo convexo esta derras del misrno,el radio y la distancia focal son negatives:i=~r= ~(-LO cm)=-S cm

Utilizando la ecuacion 31-6 para hallar la distancia imagen, se obtiene111 1--+-=-=---10 cm s' f Scm

1 2 l 3s' 10 cm to cm 10 em5=-333m

La distancia imagen es negativa, 10 que indica que es virtual y se encuentradetras del espejo. La amplificaci6n es5' -3,33 em111=- -= =+0,333s 10 cm

Asl pues, la imagen es derecha y su tarnafio es un tercio de las dimensionesdel objero Como la altura de este es de 2 em, 1 0 1 altura de la imagen vale21 3 em. E I dlagrama de rayos para este ejemplo es semejante al de la Figura31-19.

EjercicioHallar la distancia imagen y l a a rnp l lf ic a ci on correspondiente a un objeto a5 em del espejo del ejemplo 31-2. Dibujar un diagrama de rayos. (Respuestas:5'=-2,5 em, 111= +0,5)

Cuestiones3. [En ql.!i>condiciones producira un espejo concave unaimagen derecha7 ,Unaimagen virtual"? LUna imagen menor que el objeto7 LMayor que el objero l4. Contester a lacuesti6n 3 en el caso en que el espejo sea convexo.5. Es corriente que se utilicen espejos convexos como espeios retrovisores en co-ches y carniones con objeto de proporcionar un mayor angulo de vision. Bajolos espejos se indica: Atericion. los objetos estan mas cerca de 10 que pare-

cen. Sin embargo, de acuerdo con un diagrarna de rayos, comoel de la figu-fa 31-1.9, la distancia imagen para objetos alejados es mucho menor que ladistancia objeto. tror que, entonces, parecen mas alejados7

Secci6 n 31-2 Espe] os esfericos 1021

(n) Espejo convexo apcyado sobre unpapal que posee unas tiras espaciadasde forma regular y paralelas.Observesc el gran nurnero de lineasque 5~ veri en la imagen en unpequeno espacio y la reducclon deltarnafio y Ii i distorslon de 5U forma.(h) Se utilizan los espejos convexospara controlar la segurldad de unalmacen.


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1022 Capitulo 31 Optica Ceomerrica

31-3 Imagenes formadas par refracci6nLa forrnaci6n de una imagen por refraccion en una superficie esferica que separados medics con indices de refraccion II[ y I1Z se ilustra enla Figura 31-20. Enesta Figura Hz es mayor que 111 , de modo que las ondas se mueven mas lenta-mente en 1 " 1 segundo medio. De nuevo, solo los rayos paraxiales convergen enun punto. Aplicando la le y de Snell de la refraccion puede deducirse una ecua-cion que relaciona la distancia imagen a la distancia objeto, al radio de curvaturaya los indices de refracci6n, si 51" utilizan las aproxirnaciones de los angulos pe-quefios, Se indican las relaciones geornetricas en Ja Figura 31-21. Los arigulos 81y 81 estan relacionados entre si por la ley de Snell:

--~

c

Figura 31-20 Imagen formada por relraccion en una superficieesferica que separa dos medics difcrentes, En esta ligura lasondas se mueven mas lentarnente enel segundo medio,

p'

Figura 31-21 Coostruccicn geornetrica para relacionar laposicion de la imagen con 13posicion del objetoen larefracd6n producida por una superficie eslerica simple. 51'aplica la Ic y de Snell al rayo incident!' en el punto A y seuriliza la aproxirnacicn de fmgulos pequefios.

Uril izando la aproxirnacion para angulos pequefios sen 8~ e , se tiene31-8

A partir del triangulo ACP', se tiene31-9

Podemos obtener otra relacion para (J I a partir del triangulo PAC:31-10

Eliminando 8 , entre las ecuaciones 31-9 y 31-10, tendremos

o bienn]OI + I1lY = (l1l-111)i 3

Utilizando las aproximaciones OI=~ Is, (3 = ;llr y "(=1/5', 51" obtierie31-11

~+~=112 n]5 5' r 31-] 2

En la refraccion, las irnagenes reales 5 1 " obtienen detras de la superflcie, querecibs el nombre de lado de transmisicn, rnientras que las imageries virtuales sepresentan en ellado de incidencia delante de la superficie ..El convenio de signosque utilizarnos para la refraccion es sernejante al empleado en la reflexion:


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Seccion 31-3 Imagenes Iorrnadas por refracciori 1023

5 + (objeto real) para los objetos delante de \a superficie(lado de incidencia)- (objeto virtual) para losobjeros detras de la superficie(lado de transmisi6n)5' + (lmagen real) para las imagenes detras de la superficie(Iado de transmisi6n)- (imagen virtual) para las imagenss delante de la superficie(lado de Incidenda)r.{ + sl el centro de curvatura esta en el lado de transmisi6n

- S 1 el centro de curvature esta en el lado de incidenciaSi comparamos este convenio de sign os con el de la reflexi6n, vemos que s' espositive y la imagen es real cuando la imagen esta en ellado de la superficie reco-rrida por el rayo reflejaclo 0 refractaclo. Enel caso de la reflexioneste lado estadelante del espejo, mientras que para la refraccion. esta detras de la superficierefraetante. Analogarnente. r y f son positives euando el centro de curvatura estaen el lado recorrido por la Iuz refJejada 0 refractada.Podemos obtener una expresi6n que nos d e [a amplificari6n de una imagenformacla par una superficie refraetante considerando la Figura 31-22, que rnues-tra la trayeetoria de un rayo que sale de la parte superior del objeto y terminaen la parte superior de la imagen. EI rayo se desvia hacia la normal wando eruzala superficie, de modo que 01 es rnenor que 81 , Estos angulos estan relacionadospar la ley de Snell:

nj sen OJ=2 se n O 2Los tamafios de! objeto y de la imagen se relacionan con los angulos segun

tg ej=JL5

tg 0,=- v :~ s'en donde aparece 1."1igna rnenos debido 0 1 que y' es negativo. Como soloestamosconsiderando rayos paraxiales que forman angulos pequenos. el seno de los a n -gules es aproximadamente igual a su tangente. Con esta aproximacion la ley deSnell setransformaen

La amplificacton es, por tanto,11/=Y'=-~

Y illSEjemplo 31-3

Dentro de una pecera esferica de radio 15 em llena de agua can indice de re-Fraccion 1,.33, se encuentra un pez. El pez mira a traves de la pecera y VI." ungato sentado sabre fa mesa can su nariz a 10 em de Ia pecera. 1.End6nde estala imagen de la nariz del gato y cuales su amplification? Despreciar la in-fluencia de la delgada pared de vidrio de la pecera.La distancia objeto entre el gato y la pecera es de "]0 em. Los indices derefracci6n son 1 1 1 =1 y 111=,33. E! radio de curvature 1 . " 5 15 em. La ecuaci6n31-12 se escribe entonces

___1 _QQ_+~ 1,33-1,0010 em 5' 15 em

Despejando 5' se tiene5'=-17,1 cm

Esta distancia negativa significa que la imagen es virtual y esta delante de la

COI17JE'IJio de signospara .Ia re{raccion

!/

Figura 31-22 Construccicngeometric-a para hallar laarnplificacion lateral de una imagenformada por relracclen en unasuperficie esferka simple.


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1024 Capitulo 31 Optica Ceornetrica

Figura 31-23 Pez mirando a un gate (ejemplo 31-3). Oebido ala refraccion en la superficie esf,hiea. el gale parece estar maslejos y ser ligerarnente mayor.

..L...-.__ _.,p

Figura 31-24 Diagrama de rayoscorrespondiente a la imagen de unobjeto que seencuentra dentro delagua. visto directarnente desdearriba. La prcfundidad de la imagenes rnenor que la del obieto. Laprofundidad aparente es igual a laprofundidad real dividida por elindice de reFracd6n del agua,

JI,,I,

superficie refractora, en el misrno lado que el objeto,eomo se ve en la Figura31-23. La amplificaci6n de la imagen esIl s'm =- ___::l:::_.._=-illS

1,2917,1 em],33(10 ern)As! pues, el gate parece estar mas alejado y ser ligeramente mayor.

Podernos utilizer 1 3 ecuacion 31-12 para hallar 1aprofundidad aparente de unobjeto bajo el agua cuando se mira directamente desde encima de el . En estecase, la superficie es plana, de modo que el radio de curvature es infinlro. Lasdistancias del obiero y de la imagen se relacionan medianteE . 1 . + 11 2 =0S s'

en donde 1 1 1es el indice de refracci6n del primer media (agua) y III es el del se-gundo medic (airel. Por tanto, la profundidad aparente es31-14

E I signo negative indica que la imagen es virtual yen el mismo lade de la superfi-cie refractors que 1 " 1 obieto. como se muestra con el diagrama de rayos de la figu-ra 31-24. La ampljficacicnesns'm=~~=+1Ml;5

Como 11 2=1en e l caso del aire, vemos que segun la ecuaci6n 31-14 la profundidadaparente es igual a la profundidad real dividida por el indio" de refraccion del agua.Ejemplo 31-4

Hallar la profundidad aparante de un pez que se encuentra quieroa 1 m pordebajo de la superficie del agua que tiene un indice de refracci6n de 11=4 /3 .Utilizando III =4/3 Y 112=1 en la ecuacion 31-14, se obtienes=-_l__(] m)=-l..(l m)=-0,75 m(4/3) 4

La profundidad aparente es tres cuartos de la profundidad real. de modo que1 " 1 pez parece estar a s610 75 em de la superficie. Observese que este resultadoes valido unicamente cuando el objeto se observa directamente por encimade e L de modo que los rayos sean paraxiales.

Cuestiones6 .. Si se observe un pez ba]o eJ agua desde un punta que no esta directamenteencima de el, su profundidad aparente Lsera mayor 0 rnenor que eres cuartos

de su profundidad real? (Dibujar rayos desde el pez hasta el oio can angulosgrandes para ayudar a encontrar la respuesta de esta scuacion.]


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7. Un buceador sumergido observa a un pajaro en una ramita sabre eJagua, E lpajaro, segun el buceador, Lparece estar mas lejos 0mas cerca de la superficiedel agua de 1 0 que realmente esta 7

31-4 Lentes delgadasLa aplicacion mas importanje de Iaecuacion 31-12 consiste en hallar la posicionde la imagen farmada. par una lente. Para ello hay que considerar la refraccionde cada superficie por separado con objeto de deducir una ecuacion que relacio-ne la dis tan cia imagen con Ia distancia objeto, eJ radio de curvatura decada su-perficie de Ja Iente y el indice de refraccion de la rnisma.. Consideraremos una lente muy delgada, de Indies de refraccion n rodeada deaire .. Sean r1 Y r . los radios de curvatura de cada una de las superficies de lalente. Si un objeto esta a una. distancia 5 de la prirnera superficie (y , por tanto,de la lente), puede encontrarse la distancia 5 ; de la imagen debida a la refrac-cion en la primera superficie utilizando la ecuacion 31-12:

1-+_.!!_= n-15 5; rt

31-15Esta imagen no llega a formarse porque la luz se refracta de nuevo en la segundasuperficie. En la Figura 31-25 se rnuestra el caso en que la distancia imagen 5~para la primera superficte es negativa, indicando que seria una imagen virtualala izquierda de la superficie, Los rayos dentro del vidrio , refractados por la pri-mera superficie, divergen como si procediesen del punto imagen p " ; . Estes inci-den sobre la segunda superficie formando los mismos angulos que si se encontra-se un objeto en este punta imagen. Par consiguiente, la imagen dada por laprimera superficie se convierte en objeto para la segunda superficie. Como la len-te es de grosor despreciable, Ia distancia objeto es de valor igual a 5~, perocomo las distancias objeto delante de la superficie son positives, mientras quelas distancias imagen son negativas alli, la distancia objeto para la segunda su-perficie es 52=5;. (Sis; fuese posi livo, los rayos con vergerian al incidir sabrela segunda superficie. E J objeto para la segunda superficie esrariaentonces a laderecha de la superficie y seria, pues, un objeto virtual. De nuevo, 5~-5]")Escribarnos a continuacion la ecuacion 31-12 para la segunda superficie conn1 = n. 112= 1 Y 5 = -s~. La distanda imagen pa ra Ja segunda superfrcie es la d is-tan cia imagen final 5' para la lente.

_n_+1-= 1-rI-s; 5' r2Podernos ehminar la distancia imagen correspondiente a la primera superficie 5 ;sumando las ecuaciones 3115 y 31-16. Se obtieneasi

31-16

1 1 ( 1 1 )+----;=(n-1) - --s S r 1 r 2

_ - -_ - Figucra31-25 L a refraction se produce en las dos superficiesde la lente . E n la figura , la refracci6n en la p rir ne ra s up erf ic ieorlgina una imagen virtual en P ,. Los ray os chocan cent ra Iasegunda superficie como 5i procedieran de 1';. Como lasdistanclas imagen son negarivas cuando Ia imagen esta en ellado de incidericia de la sup erflcie , m ientras que la s distanciasobjeto son positivas cuando 105 objetos estan en dicho lade,5,=-5, es la distancia que ha y que considerar para el objetocorrespondiente a la segunda superficie de lalente,

p'I

Section 31-4 lentes delgadas 1025

Debido a la refraccicn, laprofundidad aparente de la porc.i6nsumerg ida de la p aia es menor que laprofundidad real. En consecuencia. lapaja parece estar doblada. Tarnbiense ve una Imagen reflejada de la p aja ,


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1026 Capitulo 31 Optica Geometrica

Formula del constructor de lentes

Ecuacion de la lenie delgad

Figura 31-26 ( < 1 ) Frentes de ondacorrespondierues a ondas planas quelnciden sobre una lente convergentc.L a parte central del frente de onda seretrasa mas dentro de la lente que laparte exter ior , dando como resul tadouna onda esfi:ricaque converge en 1'1punta focal F'. (b) Frentes de ondaque pasan a traves de una !lmte.Para conseguir verlos se ha utilizadouna tecnica. fotograflca denominadaregistro de /< 1 h 4 Z erl 'lUe/a que u t ilizaun l!iser de pulses para hacer unholograms de los Irentes de onda delaluz .. (r) Rayos correspondientes aortdas planas que inciden sabre unalente Convergente, Los rayos 51'desvlan en cada superficie yconvergen en el punto focill (d )Fotografia de los rayos enfocadospar una lente convergente,

La ecuacion 31-]7 da la distancia imagen 5' en fund6n de la distancia objeto sy de las propiedades de la lente delgada (r1, r2 Y su indiee de refracci6n II).Como en el caso de los espejos, la distancia focal de una Iente delgada se definecomo la distancia imagen que corresponds a una distancia objeto lnflnlta. Ha-ciendo s igual a infinito yescribiendo fenlugar de la dlstancia imagen 5'., se tiene] ( 1 1 )=(11-1) ---f rl rz 31-18La ecuaci6n 31-18 se denomina ecuad6n del constructor de Ientes: nos da la dis-tancia focal de una lente delgada en funci6n de sus propiedades. Sustituyendoel segundo miembro de la ecuacion 31-17por lit se tiene

3]-19

que 51 ' denomina ecuacion de la [ente delgada. ObservesI' quees la misma que!a ecuad6n del espejo (ecuacion 31-6). Recuerdese, sin embargo, que eJ conveniode signos para la relraccion es un poco diferente del definido para la reflexi6n.E n el caso de las lentes, la distancia imagen s es posit iva cuando la imagen esraen 1 '1 lado de transmisicn de [a lente, es decir, cuandoesta en el lado opuestode aquel por donde incide la luz, EI convenio de sign os para r en la ecuaci6n 31-18 es 1' 1 mismo que 1 '1 de la refracci6n en una sola superficie. El radio es positivosi 1' 1 centro de curvature eshi en el lado de transmision de la lente. y negativesi se encuentra en la parte par donde incide Ia luz.En la Figura 31-26a se rnuestran Frentes de onda planes incidiendo sobre unalente biconvexa. Primero incide sobre la lente la parte centra! del [rente de on-das. Como la velocidad de la onda en 1 0 1 lenee es rnenor qUE' en aire (suponiendon >1), la parte centra I del frente de onda 5 1 0 ' retrasa respecto a las pa rtes mas ex-

F'

(n) (e )

([I) ( d )


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ternas, dando como resultado una onda esferica que converge en el punta focalF ..Los rayos correspondlentes a esre case se rnuestran en la figura 31-26c. Dichalente se denomlna lente convergente. Como su disrancia focal calculada can laecuacion 31-18 es positiva, tambien se Ie llama Iente posifiva. Toda lente que seamas gruesaen el media que en los bordes es una rente convergente (can tal deque el indies de refraccion de la lente sea mayor que el del media que la rodea).Las figuras 31-27a y 31-27h rnuestranlos frentes de onda y los rayos en el casodeondas planas incidentes sabre una lente bic6ncava. En este case, las partesexteriores de los frentes de onda Sf retrasan respecto a las partes centrales, dandocomo resuleadc a la salida, ondas esfericas que divergen de un punta Focal quese ancuenrra en el lado par e l que inciden las ondas. La distancia focal de estarente es negariva. Tocla Iente (con lndice de refracci6n mayor que el del mediaque [a rodea) quees mas delgadaen la parte centra! que en los bordes es unalente divergente, a lente nega tiva.

(II) (b)

Ejemplo 31-5Una lente biconvexa de vidrio can un indice de refraccion n= 1,5tiene susradios de curvarura de 10 cm y 15 em, como se ve en la fjgura 31~28. HaJlarsu distancia focal

Supongamos que la luz esta incidiendo sobre la superficie can menor ra-dio de curvatura (superficie izquierda en Ja Figura 31-28). El centro de curva-tura de la primera superficie, C ], esta en el lado de transmision de la lente,de modo que 1 "1 es positive e igual a +10em. EI centro de curvatura de lasegunda superficie, C!. esta en el lado de incidencia, de forma que '2 es ne-gativo e igual a -IS em. La ecuaci6n 31-28 se convierte entonces enl_=(15-1)( 1 ._ )/ ' +10 em -15 em

=O,5(_3_+~. 2 _ ) = 0 . 5 ( _ 1 _ )30 em 30 em 6 ern/=12 em

EjercidoUna lente delgada biconvexa t iene un indice de refraccion n= 1,6 Y ra-dios de curvatura del mismo valor. Si su distancia focal es 15 em,LcuaJ es el valor del radio de curvatura decada superficie7 (Respuesta:18 em)

Observese que si invertirnos el sentido de la Iuz incidente sobre la lente en elejemplo 31-5 de modo que incida sabre la superficie con mayor radio de curvaru-

Seccion 31-4 Lentes delgadas 1027

Figura .31-27 (a ) Frentes de ond acorrespondientes a ondas planas queinciden sobre una lente divergente.En este case las partes exteriores delos frentes de ond a se retardan masque la parte central. dando comoresultado una onda esfer;c" quediverge cuando progresa como siprocediese del punto focal F " delantade la lente, (b) Rayoscorrespcndientes a ondas planas '1u~inciden sobre la misrna Ienredivergente, Los rayos 51 ! desvlanhacia el exterior y divergen como siprocediesen del punto foCil! F , (e )Fotografla de los rayos que pasan atra viis de una lenre divergente,

(cl

luz intiden t e

r;.=-15cm

Figura 31-28 Lente biconvexa conradios de curvature de valor is em y1 0 em correspondienre al ejemp]o3l-S. El centro de curvacura de laprirnera superficie esta en 1 " 1 Iado detransmisi6n de la Iente, de forma quer es pcsi tivo paraesta superficie, E Icentro de el l rvarura de la segundasuperficle esta en el Iado incidente dela Isnte, de modo que ahora r esnegative. Ambas superficies tienden aconverger los rayos lurninosos ycontribuyen a dar una dlstancia focalpositiva para la lente,


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]028 Capitulo 31 Opttca Ceornetrica

L uz in cl de ru e

Cz --

Figura 31-29 L a misrna 1 1 ' 1 ' 1 1 1 ' que lade Ia ligu ra J1-28 con la lUIincidiendo desde 1'1 otro lado. EJorden de las superficies 'I los signosde los radios de ClJrvatu ra estancarnblados entre 5 1 , pero la distanciafocal, es la misma.

ra (procediendo de Ia derecha, como en la Figura 31-29), se intercambia el ordende las superficies. El radio de la primera s:uperflcie Hene un valor de 1 5 ern y espositive porque el centro de curvatura de dicha superficie esta en ellado de trans-mision. mientras que e) centro de curvature de la superficie con 10 em de radioesta en ellado de incidencia, de modo que '2=-10 cm. Llnllzando estes val oresen la ecuacion 31-J8 51' obtiene 1 '1 mismo resultado para la distancia focal, f= 1 2cm. ASl pues, la distancia focal de una lente es la misma para la luz incidentepar cualquier cara. Si rayos paralelos de luz indden sobre la lente del ejempJo31-5 procedentes de la izquierda, estes se veran enfocados en un punto situadoa 12 em de la lente, mientras que encaso de que incidieran procediendo de laderecha, 51' enfocarian a 12 em de la izquierda de la lente. Ambos puntos sonlos puntas focales 0Focos de la lente. UtiHzando la propiedad de la reversibilidadde los rayos luminosos. podemos ver que la luz divergiendo desde un foco e inci-diendo sobre la lente, saldTa de ella como un haz de rayos paralelos, como seve en la Figura 31-10. En un problema sobre lentes en particular, en que se especi-hque el sentido de la lu z incidente, el punta objeto para 1 "1cual la luz emerge comoun ha z de rayos parale los 51' denomina primer punto focal F y 1 '1 punto dondese enfocan los rayos incidentes paralelos 51 " llama segundo punta focal F. Ene!case de una lente positiva, eJ primer punto focalestii enellado de incidencia yel segundo, en 1 "1 lado de transmisi6n. 5i un ha z de rayos paralelos incide sabrela lente F ormando un p eq uefio angulo con 1'1eje, como se indica en la figura 31-31,S I" enfocara en un punto situado en 1 " 1 plano focal a una distancia f de la lente.

~ . . .~ -F

IIj~II---',-,-F,JIII Plano focalIII

- fFigura .31-30 Los rayos de luz que divergen desde 1 '1 puntofocal de un a lente positlva ernergen p aralela rnen te al eie. E stepunto SI' denornma primer punto focal F . El punto en que lal en te h ae c con verger 105 rayos de I uz paralelcs se denorn inasegundo punto focal F '.

LUl incident!'

Hgura J!-32 l.enle biconca va conradios de valor 15 em y 10 em. EIcentro de curvature de la primerasuperficle esta en el lado deincidencia de Iii lente y 1"1de Iiisegunda superficie esta en el lado detransmisten, de modo que r esnegative y r, es positive. Arnbascaras rienden a hacer diverger 105rayos de J U 2 . y conrribuyen 1 1 que ladistancia focal sea negat iva.

Figura 31-31 Los rayos paraleios que ;ncidensobre una lenre,perc formando un iingulocon sue}e. se enfoean en un puntodel plano focal dela lente,

Ejemplo 31-6Una lente bic6ncava tiene un indice de refracci6n de 1,5 y los radios de curva-tura miden 10 cm y 15 em. Hallar su distancia Focal.

En el caso de la orientaci6n de [a lente respecto a Ia luz incidente indicadaen la Figura 31-32, 1 "1 radio de curvatura de la primera superficie es r,=-15 em, yel de la segu nda superficle r1=+ 10 em. La ecuacion del cons-tructor de lentes (ecuaci6n 31-18) nos da entonces

J..=(1,S- ,O){ 1 1 _ )f -15 cm +10emDespejando 1 '1 valor de f, se tiene t= -12 cm. 5e obtiene de nuevo el mismoresultado aunque Ia luz incida en sentido contra rio ..En los experimentos de laboratorio en que intervienen [entes, es norrnalmenre

mucho mas facit rnsdir la distancia focal que calcularla a partir de los radios decurvatura de sus superficies,


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Diagrarnas de rayos para las lentesComo sucede can las irnagenes formadas par los espejos,es conveniente situarlas irnagenes dadas par las lentes mediante metodos graflcos. La Figura 31-33ilustra este metoda en 1"1caso de lentes convergentes. U!ilizarnos Ires rayos prin-cipaies. Para mayor sencillez, considerernos los rayos contenidos en el plano quepasa par 1 " 1 centro de la lente .. 5 i la lente es positiva. los rayos principales son1. E I rayo parale lo , que se dibuja p ara le lo a l e ie . E ste rayo se desvia de modoque pasa por el segundo punta focal de la lente.2. E I rayo central. que pasa por el centro ( 1 "1vertice) de Ia Iente. Este rayo no

sufre desviacien, (Las caras de la Jente son paralelas en este punta, de modoque eJ rayo emerge en la misma direcci6n peroligeramente desplazado.Como la lente es delgada, dicho desplazamienro es despreciable.)3 . E I rayo focal, que pasa par 1 " 1 primer punto focal. Este rayo emerge paraleloal eje.

Objeto.I I

Imageno If

Estes tres rayos convergen en 1"1 punta imagen, como se ve en la Hgura , En eslecaso, la imagenes real e invertida. En la Figura 31-33 se tiene que tg B > y/s=-y' Is'. La ampl ificaci6n la teral va le, pues.

y' s'm=-=- -y sEsta expresion es la misma que ia obtenida para los espejos. Una vez mas, unaamplificacion negativa indica que la imagen esta invertida,

Los rayos principales para una lente negativa 0divergente son1. EI rayo paralelo. que se dibuja paralelo al eje. Este fayo diverge de la lentecomo si procediese del segundo punta focal.2. EI rayo central, que pasa porel centro (el vertice) de la lente .. Este rayo nose desvla,J. EJ rayo focal, que se dirige haciaeJ primer punta focal. Este rayo emerge pa-

ralelo al eje.En la Hgura 31-34 51" muestrael diagrama de rayos para una lente divergente.

II

Secci6n 31-4 Lentes delgadas 1029

Rayos principales en el casode una lente POSit.iUCl

Figura 31-33 Diagrarna de rayos parauna lente delgada convergente. Parama.yor sencillez, se ha supcesto quetoda la desviacion de los rayes tieneJugaren el plano central. Los rayosque pasan per el centre no sedesvlan porque las caras de la lenreson paralelas y est


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1030 Capitulo 31 6ptica Geometrica

Ejemplo 31-7Un objeto de 1,2 cm de alto se coloca a 4cm de la Jente biconvexa del ejempJo31-5. Situar la imagen, establecer S I es real 0 virtual y hallar su altura.

En e l ejemplo 31-5, se encontro que la distancia focal de esta lenteeraI=12 em. La Figura 31-35 rnuesrra el diagrama de rayos para un objeto situa-do 4 em delante de la lente positiva de distancia focal 12 em. EI rayo paralelopasa luego porel segundo -punto focal yel rayo central no se desvia, Estosrayos aparecen dlvergiendo en ellado de transmisi6n de la lente. Se localizela imagen extendiando los rayos hacia arras hasta que se cortan. Estes dosrayos son suficientes para situar la imagen .. (Como comprobacion, podemosdibujar el tercer rayo, el rayo focal, a 1 0 largo de la recta que, procedentedel primer punta focal F , incide sobre la lente. Este rayo saldra paralelo aleie.) En la Figura puede verse inmediatamente que 1 3 imagen es virtual, dere-cha y aumentada. Esta en el mismo lado que e l objeto y se encuentra un pocomas iejos de !a lente que el . Como es muy faei] cometer un error cuando secalcula la distancia imagen utilizando la ecuacion 31-19, es siempre una bue-na idea comprobar el resultado con un diagrama de rayos,

Figura 31-35 Diagrama de rayos correspondiente 3 1 ejernplo3] -7 . Cuando el objeto estit entre el primer punro focal y 1 0 1lenteconvergente, la imagen es virtual y derecha, F

La distancia imagen seencuentra algebraicamente can la ecuacion 31~19:_1_+.l_=_1_4 em s' 12 em

s' 12 cm 4 ern 12 em 6 em2 ems'=-6 em

La distancia imagen es negative, 1 0 que indica. que es virtual y en el Iado deincidencia de la lente. La amplificaci6n ess' ~6 emtn=~ ~=- +1,5s 4 em

La imagen es, pues, 1,5 veces mayor que el objeto y es derecha. Como la altu-ra del objetoes 1,2 em, la altura de la imagen sera, 1,8 em,

EjercicioSe eoloca un objeto a 15 cm de una lente biconvexa de distancia focal 10 em.HaUar la distancia imagen y la arnplificacion. Dibujar un diagrams de rayos,tLa imagen es real a v irtua 1 1 tDerecha 0 invertida 7 (Respuestas: s'=0 em,m=-2, real, invertida)


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Secclen 31-4 Lentes delgadas 1031

Eierc ic ioRepetir el ejercicio anterior para un objeto situado a 5 em de una lente con unadisrancia focal de 10em. (Respuestas- s' = -10 em, m=1,.virt ual, derecha)

Lentes m.ultiples5i tenemos dos 0mas lentes delgadas, podemos hallar la imagen final producidapor 1 "1sistema hall and a la distancia imagen correspondiente a la primera lentey utilizandola junto con 1a distancia entre lentes para hallar la distancia objetocorrespondiente a la segunda lente. Es decir. se considera cada imagen, sea realo virtual y se forme 0no , como 1"1objeto para la siguiente lente.Ejemplo Jl~8

A la derecha de la lente del. ejemplo 31-7 y a 12 em de ella se coloca una se~gunda. lente de distancia .focal +6 em. Situar la imagen final.

Figura 31-36 Diagrarna de rayos correspondiente alejemplo 3] -8. La imagen de la prirnera lente actua comoobjeto de la segunda S e situ" , la im agen final dibujandodos rayos desde la prirnera imagen que pasen por lasegunda lente, En este case uno de los rayos utlllzadospara localizar la primera imagen resulta que es el rayocentral de la segunda lente, Un segundo rayo paralelo aleje desde la primera imagen silua la Imagen final.--Hem

La Figura 31-36 muestra el dlagrarna de rayos para este ejernplo. Los rayosutilizados para localizar la imagen de la primera lente no tienen porque sernecesariamente los rayos principales correspondienres a la segunda lente, Sino 1 0 fuesen, bastaria sirnplernente dibujar rayos adicionales desde la primeraimagen que fuesen los rayos principales para la segunda iente. como parejemplo un rayo desde la imagen paralelo al eje, y otro que pase porel primerpunta focal de Ia segunda lente, 0 uno que pase par 1 "1vertice de esta ulttm a.En este caso, dos de los rayos principales para la primera lente, 1 0 serian tam-bien para la segunda. EI rayo paralelo para la primera lente resultaria se r elrayo central para la segunda. Ademas el rayo focal para Ia prirnera lenteemerge paralelo al eje y, par tanto, se refraeta pasando par el punto focalde la segunda lente. (En la Figura. hemos prolongado el rayo central para Iaprimera lente de modo que pase par el punta de la imagen que se ha encontra-do mediante los otros dos rayos.) Podemos ver que la imagen final es real,invertida y un poeoa la derecha del segundo punto focal de la segunda lente.Podemos localizar su posicion algebraicamente observando que la imagenvirtual de la primera lente esta a 6 em a la izquierda de la rnisma y, par con-siguiente, esta a 18 em a la izquierda de la segunda Iente . Utilizando Sl=18 em y 12=6 em, se tiene

_1_+2.=_1_18 em 5'2 6 em

1 0 que nos da


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1032 Capi! ulu J I Optica Ceornetrica

Rayos de Iuz que pasan a rraves deuna lente di vergente st:gu ida de unalente convergerueque esta colocadaen el primer punto focal de la le ntedivergente.

Figura 31-37 Diagrarna de raycscorrespondiente al ejemplo 31"9. Laimagen de la primera lente estli a laderecha de Ia segunda lenre. Esraimagen no I I . e g a a formarse porquelos rayos son refractados por 1


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Sea 5 la distancia objeto para la primera lente (y, por tanto, para la com-binacion de lentes) y 5 ; la distancia imagen. Aplicandola ecuaci6n de la len-te delgada para la primera de elias, se obtiene

2..+2..=2..5 5; f lComo las lentesestan juntas, la distancia objeto para la segunda lente es iguaJala distancia imagen de la primera lente, perc con signocontrario, de modoque sz=-s']. Llarnando 5' a la distancia imagen final, tenemos para la se~gunda lente

1 1 1--, + --;=-'--Sl S f2

Sumando estas dos ecuaciones para elrninar s;, se obtiene

Elejemplo 31~10 nos da e l importante resultado de que ruanda se ponen doslentes en contacto (0 muy proxirnas) se suman los val ores inverses de sus distan-cias focales. E1valor inverse 0 redproco de la distancia focal se denornina poten-cia de la Iente, Cuando se express en metros una distancia focal. la potencia vie-ne dada en reciprocos de metros denominados dioptrias (0):1p=f dloptrias 31~21

La potencia de una lente rnide su capacidad para enfocar los rayos paralelos auna distancia corta de la misma. Cuanto mas corta es Ia distancia focal, mayores la potencia. PorejempIo, una Iente con una distancia focal de 25 cm=0,25 m tiene una potencia de 4,0 dioptrras Una lente de 10 cm=0,10 m de dis-tancia focal tiene 10 dioptdas de potencia. Como la distancia focal de una lentedivergente es negativa, su potencia es tarnbien negativa.

Ejernplo 3111Una lente tiene una potencia de -2,5 dioptrias, LCual es su distancia Focal?

Oespejando la distancia focal en la ecuacion 31~21, se obtiene1. 1i= p=-2,50 -0,40 m=-40 cm

en donde hemos utilizado eJhecho de que una dioptrla es 10 rnismo que elinverse de un metro,es decir, 1 D= m-l.

Los resultados del ejemplo 3110 pueden darse simplernenteen funci6n de Ja po~tencia de una lente. Cuando dos lentes estan en contacto, la porencia de la corn-binacion es igual a la suma de las potencias de las lentes:dos lentes en contacto 3 -22

Cuestiones8. LEn que condiciones sera positiva fa distancia focal de una lente delgada?,Negativa?9. La.distancia focal de una Iente simple es diferen te para los dis] intos coloresde la JUl. LPor que?

Secd6n 31-4 Lenres delgadas 1033

Puede reducirse el peso y volurnende una lente de gran dlamerroconstruyendc la lente mediantesegmentos anulares a diferentesangulos. de modo que la luzprocedente de un punto se vererractada por los segrnentos en unhaz paralelo. Dicho sistema sedenornina lente de Fresnel. En esteproyector se han u t ilizado diversasIentes de Fresnel con objeto deproducir haces luminosos inrensos apartir de una Fuente siruada en elpunto focal de las lentes.


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1 0 3


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Resumen 1035

juntas para producir un sistema de lentes convergente que tenga una aberracioncromatica mucho menor que una lente simple de la misma disrancia focal. La len-te de una buena camara fotograFica contiene normalmente seis elementos paracorregir las diversas aberraciones que se encuentran presentes,

Resumen1. La imagen Iormada por un espejo esferico a par una lente, esta a una distan-

cia 5', que esta relacionada can la distancia objeto 5 por2_+2 . .=_ l_S 5' f

en donde fes !a dista ncia foca I, que es [a dista ncia imagen cuando 5 =00 .. En1 "1caso de un espejo, la distancia focal es la mitad de su radio de curvatura,En una lente deJgada en el aire, la distancia focal esta relacionada conel indi-ce de refracci6n 11y 105 radios de curvatura de ambas caras fl Y r~ por

2_ =.(n-ll(2_ - _ l_ )f fl flEn estas ecuaclones 5, 5', r. rl Y rz se consideran positives cuando el objeto,la imagen 0 el centro de eurvatura eaen en e! Iado Teal del elemento. En 105espejos ellado real es el de incidencia. Cuando se trata de Jentes, el lado reales el lado incidente para los objetos y 1 "1de transmision para las irnagenes ylos centres de curvatura. Cuando 5' es positivo,la imagen es real, 10 que sig-nilica que los rayos lurninosos realmente divergen del punta imagen .. Lasimagenes reales pueden observarse sobre las pantallas de vidrio deslustradoa im presionar p eliculas fotograficas situadas e n 1 " 1p u nt o imagen. Cuando 5'es negative. la imagen es virtual. 10 que signifies que la luz no diverge real-mente del. punta imagen.

2. L a ampltficacion lateral de la imagen viene dada porJL' -s'm= =-y 5

en donde If e y' son 105 tamaiios del objeto y de la imagen, respectivamente.Unaampllfrcaclon negativa significa que la imagenesta invertida.

J. En el caso de un espejo plano, r y f son infinitos, s'=-5 Y la imagen es vir-tua], derecha y deJ mismo taman a que el obieto.

4. Las lmagenes pueden situarse de modo conveniente mediante un diagrama derayos utilizando dos cualesquiera de los rayos principales. El punto desde elque divergen estes rayos, 0 pareee que divergen, es 1"1 punto imagen. En elcaso de espejos esfericos, existen cuarro rayos principales: el rayo paralelo,que es paraleloal eje; el rayo focal que pasa por el punto focal; el rayo radial,que pasa par el centro de curvatura del espejo; y el rayo central. dirigido ha-cia el vertiee del espejo. En el case de una lente, existen tres rayes principales.el rayo paralelo, parale!o a! eje; eJ rayo focal. que pasa por el segundo puntofocal; y e l rayo central, que p asa p or eJ centro de [a lente.

5. Una iente positiva o convergente es aquelia que es mas gruesa en su parte me-dia que en los bordes. La luz paraJela incidente sabre una lente positiva seenfoca en el segundo punto focal, que esta en 1 "1 Jado de transmisi6n de lalente, Una lente negativa 0 divergente 1"5 aque!la quees mas gruesaen los bor-des que enel media. La luz paralela incidente sobre una lente negativa emergecomo 5 1 fuese originada desde el segundo punto focal, que esta en el lado inci-dente de la lente ..


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1036 Capitulo 31 Optic:a Geometrica

6. La potencia de una lente es igual al reciproco de la distancia focal. Cuandoesta se da en metros, la potericia viene en dioptrias (D):p= . ! .f

10=1 m 1dicprrias

7. La distancia s'en e1caso de refraccion en una sola superficie esferica de radior esta relacionada can la distancia objeto 5 yean el radio de curvatura de lasuperficie r par!!l+!!1= 1 '1 2 1 ' 1 )5 5' r

en donde 11)es el indice de refraccion del media en el lado de incidencia dela superficie y 11 2 es el indice de refracci6n del medio en el lade de transrni-sion. La amplificaci6n de la imagen debida a la refraccion en una sola superfi-cie es

n s'm=- _:..::l;!_n25

8. El Fenomeno en virtud del cual se ve borrosa La imagen de un simple puntose conoce como aberracion. Se produce la aberration esferica debido a quelas superficies esfericas enfocan solo los rayos paraxiales (los que se propagancercanos al eie) en un solo punta. los rayos no-paraxiales seenfocan en pun-tas cercanos dependienda de! angula que Iorrnen can e J eje. Puede reducirsela aberracion esJhica, reduciendo el tamai'lo de la superficie esferlca, 10 cualreduce tarnbien la cantidad de luz que alcanza la imagen. La aberration cro-matica, que se produce en las lentes, pero no en los espejos, esel resultadode la variacion del indice de refraccion can la longitud de onda La forma mascomlin de reducir las aberraciones de las lentes consiste en utilizar una seriede elementos adecuados y no una sola lente.

RevisionA. Objetivos: Una vezestudiadoeste capitulo deben poseer-

se los siguientes conocimientos:1. Ser capaz de dibujar diagrarnas de rayos simples paralocalizar imageries en espejos y lentes para determinar sise trata de imageries reales 0 virtuales, derechas 0 inverti-das, y aumentadas a reducidas.2. Saber localizar la imagen Formada por un espejo a paruna lente delgada y calcular la amplilicaclen de la imagen.3. Poder ueillzar la ecuaclen del constructor de lentespara determiner la distancia focal de una lente a partir delos radios de curvature de sus superficies.4 . Poder cornentar la aberracion esferica y 1 01 aberracioncromatica,

B.. Deflnir, explicar 0simplernente identificar-Opnca geometricaImagenImagen virtualinversion de prefundidadImagen realRaya paraxialAberraci6n esfericaObjeto virtual

Ecuacion del constructorde lenresLente convergente

Lente positivaLente divergenteLente negarivaDistancia focalPunta focal

Reversib ilidadDiagrama de rayosRayo principalArnplfficacion lateralProfundidad aparente

Plano focalObjeto virtualPorencia de una lenteDioprrlaAberracion crornarica

C. Verdadero 0 false: 5i la afirmacien es verdadera, explicarpor que 10es. Si es falsa, dar un contreeiemplo, 1'5 decir,un ejemplcque conrradiga la afirmacion.1. Una imagen virtual no puede proyectarse sabre unapantalla.2. Las aberraciones se producers s610 en el case de image-nes reales,3 .. Una distancia imagen negativa implica que la imagen1 " 5 virtual.4. Todos los rayos paralelos aleje de un espejo eslericose reflejan pasando por un solo pun to.S. Una lente divergente no puede Formar una imagen realde un objeto real.6. La disrancia imagen en e[ caso de una lente positiva essiernpre positive.7. La aberracicncrornatica no aparsce en los espejos.


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oblemas ]037

Sugerencias bibliograficasWalker, jearl. The Amateur Scientist: The KaleidoscopeNow Comes Equipped with Flashing Diodes and FocusingLenses, Scientific American, diciembre 1985, pag. 134.S I! inuestigan l as r ef le x io n es t J "J u /t ip l es qu e se c re an m e d ia nt edisposiciones de numeros diuersos de esueios.Walker, [earl: The Amateur Scientist; What ls a Fish's Viewof a Flscherman and the Fly He Has Cast on the Water?.Sc ie n ti fi c Ame r ic an, rnarzo 1984, pag, 138.

L a rejraccion hace qt.e el m Utldo encim a del agua Ie p arezcaa un p ez de m odo ang/ogo a com o p arecen ser las cosas (uan-do 51 ! examinan a traues de una lente de ojo de pez,Walker, [earl: The Amateur Scientist, Shadows Cast on theBottom of a Pool Are or Like Other Shadows. Why? Scien-tific American, julio 1988. pag. l16.Esre articulo describe algunos experimenios s f/ ne il /o s d e re-fracci6n ell superficies cu rv ada s p ara intentar r ea li za rl os l aproxima vez que se tom e un bano.

ProblemasIltitizar n=.33 com o Indice de refracci6 n del aglla a no serque se especifique /0 contrario.Nivell31-1 Espejos pianos1. La imagen del pun to ob j eto P de la figura 31-40 esta siendoobservada como se indica en ella. Dibujar un haz de rayosprocedentes del objeto que se refleja en el espejo y entra enel ojo. Para estas posiciones del' obieto y del espeio, indicarla region del espacio en que el ojo puede ver la imagen.

Figura 31-40 Problema 1.Oio-, Espejo

2. Cuando dos espejos planes son paralelos, como los queponen en las paredes opuestas de una peluqueria, se producenimageries multiples porque cada imagen de un espejo sirvecomo objeto para el otro espe]o. Se coloca un punto objeroentre espeios paralelos distantes entre sl 30 cm. El objeto estaa 10 em de un espejo y a 20 em del otro, (a) Hallar la distanciadel primer espejo a las cuatro prirneras imagenes formadas enel. (b) Hallar Ia distancia del segundo espejo a las cuatro pri-meras irnagenes Iorrnadas en el .J. Una persona de 1,62 m de altura desea poder ver 5U ima-gen cornpleta en un espejo plano. (a ) LCua.1debe ser la alturaminima de dicho espejo l (b) LA que altura sobre el suelo de-bera colocarse, suponiendo que la parte superior de la cabezade dicha persona esta a 15 em por encima del nivel de susojos? Dibujar un diagrarna d rayos.4. Des espejos planes Forman un angulo de 90. Demostrar,considerando diferentes posicion de un objeto, que existentres imagenes sea cualquiera la posicion del mismo. Dibujarun haz de rayos apropiados del objeto al ojo para vi ualizarcada imagen.5. Dos espejos pianos Forman un angulo de 60 entre si. De-mostrar esquernaticamente la situaci6n de todas las ima-genes Formadas a partir de un punto objeto situado en elbisector del. angulo entre espejos. (b ) Repetir para un angulode 120.

31-2 Espeios esfericos6. Un espejo esferico c6ncavo tiene un radio de eurvatura de40 em. Dibujar diagramas de rayos para localizar la imagen(si 51' Forma una) para un obieto situado a una distancia de(al ]00 em , (b) 40 em, (c) 20 em y (d) 10 em del espe]o. Encada caso decir si la imagen es real 0 virtual; derecha 0 inver-tida; y aumentada, reducida 0 del mismo tarnafio que 1 '1 ob-jeto.7. Utilizar la ecuaci6n del espejc para situar y describir lasirnagenes correspondientes al espeio y a las distancias del pro-blema 6.B. Repetir el problema 6 para un espejo convexo con 1 '1 mis-mo radio de curvatura.9. Repetir el problema 7 para el espejo convexo del pro-blema 8.10. Demostrar que un espejo convexo no puede formar unaimagen real de un objeto real, sea cualqulera la distancia aque este. demostrando que s' es siempre negativa para s posi-[iva.11. En los almacenes se utiliaan espejos convexos para cerise-guir un arnplio margen de observaci6n y vigilancia con un es-pejo de tamano razonable. E I espeio indicado en la F i g u r a31-41 perrnite a una dependienta situada a 5 m del mismo,inspeccionar el local entero. Tiene un radio de curvatura de1,2 m. (a) S i un cliente est a a]O m del espejo, Laque distanciade Ia superficie del espe]o esta su imagen1 (b) [La imagen estadetras 0delante del espejo] (c) Si el c1iente mide 2 m, Lquealtura tendra su imagen?Figura .31-41 Problema 11.

- - - - - _ . - - - - - - . - - - - - -

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~'P,"di'""


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1038 Capitulo 31 6ptic.a Geometrlca

12, Un cierto telescopic utiliza un espejo concave esferico de8 m de radio, Hallar la posicion y el diarnetro de la imagende la luna que forrnara este espejo, La luna nene un diarne-tr o de 3,5 X 10" m y dista 3,8 X 10' m de la Tierra.13, Un dentista desea un espejo que Ie produzca una. imagenderecha can una amplificaci6n de 5,5 cuando este situado a2,1 em de un diente. (a) LCUa! debera ser el radio delespejo?(b ) LDebera ser concave 0 convexo]31-3 Imagenes formadas par refraccidn14, Una hoja de papel escrita se protege mediante una. laminagruesa de vidrio que tiene un indice de refraecicn de '1,5, 5ila lamina Hene 2 em . de grosor. La que distancia par debaiodela parte superior de la lamina se vera el escrito cuando semire directamente por encima 15. Una varilla de vidrio muy larga tiene uno de sus extre-rnos conformado como una superficie hemisierica convexa de5 cm de radio, Su indiee de refraccion es 1,5. (a ) Un puntoobjeto en el aire esta sobre el eje de la varilla y a 20 em dela superficie, Hallar Ja imagen y decir sl es real 0 virtual. Re-petir para ( b ) un obieto a 5 em de la superficie y (c) un objetornuy lejos de la rnisrna. Dibuiar un diagrama de rayos encadaGISO,

16. LA que distancia de la varilla del problema 15 debera co-locarse el objeto para. que los rayos de luz dentro de la varillasean paralelosl Dibujar un diagrarna de rayos para esta situa-cion,17. Repetir 1'1.problema 15 para una varilla de vidrio con unasuperficie hemisferica concava de -5 em de radio,18. Repetire] problema 15 cuando la varilla y 1 '1 objeto estansurnergidos enagua.19. Repetir el problema 15 para una va rill a de vidrio can unasuperficie hernisferica concave de -5 em de radio cuandoella y el objeto estan sumergidos en agua,20. Un pez esta a 10 em de la superficie delantera de una PI'-cera. de 20 em de radio. (a) LD6nde parece estar 1'1pez paraalguien del exterior que 10VI' mirandolo de Frente ala pecera l(b)LD6nde parecera esrar 1 '1 pez cuando se eneuentre a Jacmde la superficie delantera de la pecera 12L Un subrnarinista lleva una mascara. de buceo cuya partedelantera esta curvada hacia 1'1exterior can un radio de cur-vatura de 0,5 rn. Exisre asi una superficie esferica convexa en-tre 1'1agua y eJaire que llena la mascara, Un pez seencuentraa 2.5 m delante de la mascara. ( ( I ) LD6nde pareceestar] (b )LCual es la ampllflcaclcn de su Imagen?31-4 Lentes delgadas22. las lentes delgadas siguientes estan hechas de vidrio conun indice de refraedon de 1,5. Hacer un esquema de cada len-Ie y haHar su distancia focal en aire: {a) biconvexa. '1=10 cm Y rl=21 cm; (b ) pla.no-con vexa, 1',="" Y 1'1=-10 ern; (c) bkoncava, 1",=-10 cm, rl= +10 em; (d )plano-c6neava. " =""Y rl = + 20 cm,23, Paraconstruir una lente delgada con radiosigual.es se uti-liza un vidrio con un indke de refraed6n de 1,6, HallaI' losradios de curvalura y hacer un esquema de la mismasi la dis-t


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Nivel II38 . Un espeio esferico concave Hemeun radio de curvatura de6,Ocm. Un punto objero esta sobre el eje y a 9 em del espejo.Construir un diagrarna de rayos precise rnostrando los rayosque a partir del objeto fonnan angulos de 5,10", 30" y 60"con el eje, que inciden sobre el espejo y se reflejan en sentidocontrario basta cortar e I eje. (Utilizer un compas para dibujarel espejo y un transportador para medir los angulos. que seannecesarios para dibujar los rayos refleiados.l L Cual es e I espacioque ocupana 1 0 largo del eie las imagenes aSI consrruidas?39. Un objeto situado a 8 em de un espejo esferico concaveproduce una imagen virtual Ill em detras del espe]o, (a) Si elobieto Sf aleja hasta 25 em del espejo, Len donde se situarala imagen1 (b ) LEs real 0 virtual]40.. Un espejo cencavo tiene un radio de curvatura de 6.0 ern,Dibujar rayos paralelos al eje a 0,5; 1,0;- 2,0 y 4,0 em del ejey hallar los puntosen que los rayos reflejados cortan eleje.(Utilizar un com pas para dibujar el espejo y un transportadorpara hallar e 1 angulo de reflexi6n de cada rayo.) (a ) Leual eseJespaciado ax de los puntos en. donde estes rayos cortan aleie x7 (b ) LEn que porcentaje podrla reducirse este espaciadosi se bloquease eJborde del espejo de modo que los rayos quedisten mas de 2,0 em no puedan incidir sobre e nn. Un objeto situado a 100 ern de unespejo concave Formauna imagen real a75 em del, rnisrno , Se da entcncesla vueltaal espejo de .fonnaque su cara convexa mire a,1obieto. EI es-pejo semueve de forma que la imagen queda ahora a7S empor detras del espejo. tCuimto se habra. trasladado 1 "1espejo?LSe habra acercado 0 alejado del obieto?42, (a ) Dernosrrar que sl f es la distancia focal de una lentedel gada en aire, su distancia focal en agua es f, obtenida apartir de

f n,(11-1)en donde 11,es el lndice de refraction del agua y Il 1 "1de lalente. (b) Cakular [a distancia focal en aire y en agua de unalente biccncava de indice de refraccion 11 = 1 ,5 que tiene ra-dios de valores 30 cm y 35 ern.43 . Supongase que querernos ver nuesrra cara durante elafeitado 01"1 maquillaje. Si se desea que [a imagen sea dere-cha, virtual y amplifkada 1.5 veces cuando la cara esta a30 em delante del espejo, Lque clase deespe]o debera urilizar-Sf', convexo 0 c6ncavo, y cual debera ser su distancia focal?44. U na v aril la de vidrio de 96 em de longitud con un indlcede refraccicn de 1,6 tiene sus extrernos tallados en Forma desuperficies esfericas convexas de radios 8 em y 16 em. Unpunto objeto esta fuera de la varilla sobre SIl eje y a 20 cmdel extreme de radio 8 ern. (a ) Haller la distancia imagen de-blda a la refraccion en la prirnera superficie, (b) Hallar la ima-gen final debidaa la refraccion en ambas superficies. (c ) LLaimagen. final es real 0 virtual?45. Repetlr el problema 44 para un punto obieto en e[ aire 50-breel eje de Ja variUa a 20 cm del extreme con el r


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1040 Capitulo 31 Optica Geornetrica

53. Un objero esta situado 12 cm a Ia izquierda de una lentede 10 cm de distancia focal. A la derecha de esta y a 20 emse coloca una segunda lente de 12,5 ern de distancia focal. (a)Halla r la posici6n de la imagen final. (b) LCual es la amplifi-caci6n de la imagen7 (e ) Dibujar un diagrams de rayos rnos-trando la imagen final.54. A 15ern delante de una lente posiriva de 15 em de distan-cia focal e encuentra un objeto, A 20 em de la primers lentee encuenlra otra tarnbien positiva de 15 em de disrancia fo-al. HaJJar la imagen Final y dibujar un diagrama de rayos.

55. Resolver el problema 54 si la segunda lente tiene una dis-tancia focal de -15 em.56. En el siglo XVII. Anlonie van Leeuwenhoek, el primergr.an rnicroscopista, utilizo lentes esfericas simples hechas pri-mero con gotas de agua y despues de vidrio en sus prirnerosinstrumenlos. con los que realize sorprendenres descubri-mientos. Consideremos una esfera de vidrio de 2,0 mm de ra-dio con un lndice de refraccion de 1,50. HaJJar la distancia fo-cal de esta lente. lndicacion: Utilizar la ecuacion para larefraccion en una superficie esferica imple para hallar la dis-tancia imagen correspondiente a una di tancia objeto infinitede la primera superficie. Luego utilizar est punta Imagencomo punto objeto para la segunda superficie.NiveJ J 1 157.. Un objeto esta 15 em a la izquierda de una lente delgadaconvexa de 10 em de distancia focal. 25 em a la derecha dela misma se haJJa un espejo concave de 10 cm de radio. (a )Hallar 1 3 posicion de la imagen Final formada por 1 " 1 espejo yla Jente. (b) LLa imagen es virtual 0 real? i_Derecha 0 inverti-da? (c) Mostrar sobre un esquema deride debe estar el ojopara ver esta imagen.58. Hallar la imagen final correspondiente al caso del probl -rna 52 cuando 1 '1 espejo no este inclinado. 5uponer que laimagen se ve con eI ojo situado a la izquierda de la lente mi-rando hacia 1".1spejo a traves de la misma.59. Una rnujer utiliza un espejo concave de 1,5 m de radiopara maquillarse. LA que distancia del espejo debera estar sucara para que la imagen se encuentre a 80 em de la cara]60. Cuando se coloca 30 cm delante de una lente un faco Iu-rninoso brillante, aparece una imagen derecha a 7,5 cm de lalente, Aparece tarnbien una imagen invertida debil a 6 cm de-I an te de la lente deb ida a la reflexi6n en la cara deJantera dela rnisma. Cuando se da la vuelta a la lente. e ta imagen masdebil e invertida, resulta estar a 10 em delante de la lenre. Ha-liar el indice de refracti6n de la [entc.61. Un espejo concave horizontal de S O cm de radio de cur-varura, contiene una capa de agua can un Indice de refraccionde 1,33 y una profundidad maxima de 1 ern. LA que alturasobre el espejo debera colorarse un objeto de modo que SUimagen este en la mlsrna posicion que el objeto762. Una lente con una cara concava de 17 em de radio v laotra convexa de 8 em de radio tiene una distancia oCili enaire de 27,5 cm. Cuando se coloca en un liquid de indice UPrefracci6n desconocido. la distancia focal aumenta a 109 cm.LCual es el indice de refraccion del liquido163. Una bola de vidrio de 10 em de radio liene un indice derefracdon de 1,5. La mitad trasera de la bo la esta .. :~' !...eforma que aclua como un espejo concavo (figura 31-44). Ha-

Figura 31-44 Problema 63.

t (])llar la posicion de la imagen final vista por un ojo ala izquler-da del objcto y de la bola para un objeto situado a (a) 30 emy (b) 20 em a la izqulerda de la superficie delantera de la bola.6.4. En una expreslon de Ia ecuaclon de la lente utilizada parNewton, y que es util en algunos casos, se miden las distan-cias objeto e imagen a partir de los puntas focales. Demostrarque si x=s-f y .r'=5'-{, puede escribirse la ecuacion de laslentes delgadas como ='=f', y que la amplificacion lateralviene dada por m=-x'/f=-flx. Hacer un esquema de unalente y sobre el indicar x y x.65. Se coloca un objeto a 2.4 m de una pantalla y se situa unalente de dis ancia focal f entre eJ objeto y Ja pantalla de modoqu S orma sabre la pantalla una imagen real del objeto.Cuando la lente se acerca 1,2 mala pantalla, se forma sobreesta, otra imagen del objeto. LEnd6nde estaba situada la len-te antes de moverla7 LCual es su distancia focal766. Un objeto SI! encuen tra a 17.5 cm a la izqu ierda de unalenre de 8,5 em de distancia Focal. AS ern de esta SI!encuentraotra lente de -30 em de distancia focal. ( 1 1 ) Hallar la distan-cia entre el abjeto y la imagen final formada por la segundalente. (b) LCual es la amplificacion tolal7 (e ) La imagen Final.Le s real 0 virtual? LDerecha 0 invertida767. (a ) Dernostrar que una pequefia variaci6n a n en el indiced refracci6n del material de una lente produce un pequefiocarnbio en la distaricia focal d f dado apro imadamente por

c i f _ -a n-f---;;=}(h ) Utilizar este resultado para hallar la distancia fOCalde unalenle delgada para la luz azul. can 1' 1 =1,53, si la distancia fo-cal para la luz raja can 17=1,47, es 20 em.68. La amplification lateral de un espejo esferico 0 de una1 nte d lgada viene dada pOT m =-5' /5, Demosrrar que en elcaso de objetos de extension horizontal pequefia. la amplifi-caclon longitudinal es aproximadamente _1711. Indieacion:Dernostrar que ds'/ds=5'1/s".69. Una lente del gada biconvexa tiene radios 1 ", y r . y un in-dice de refraccion n~. La superficie de radio r, esta en con-taclo con un liquido de refraccien 111' y la superflcle de ra-dio r, esta en cantacto con un liquido de indice de refraccicn1 1 , . Demostrar que la ecuacion de la lente deIgada en est ascondiciones puede expresarse como

en donde la distancia focal viene dada por1f

cap31 - Optica Geometrica

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