Cap2Entropia

Termodinâmica II – ME 35 L S 41 1º Semestre de 2009 Luciano F S Rossi LACIT/ UTFPR

Capítulo 2 - A Entropia Introdução • Até este ponto nosso estudo de entropia tem se restringido aos sistemas

que percorrem um ciclo. Neste capítulo serão introduzidos meios para analisar processos não necessariamente cíclicos.

• Energia e entropia são conceitos abstratos. O conceito de energia é

mais familiar e de uso diário, enquanto o conceito de entropia raramente aparece em publicações diárias e menos ainda nos aspectos quantitativos.

A Desigualdade de Clausius • A desigualdade de Clausius é aplicada a qualquer ciclo, independente

do corpo ou dos corpos com os quais o ciclo recebe ou rejeita calor. • A desigualdade de Clausius fornece as bases para a introdução de duas

idéias instrumentais para a avaliação quantitativa de sistemas fechados ou volumes de controle, de uma perspectiva da 2a Lei da Termodinâmica: a propriedade Entropia e o conceito de Geração de Entropia.

A desigualdade de Clausius estabelece que

δ QT b

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ≤∫ 0

21

• onde representa o calor transferido através de uma parte da fronteira (boundary) do sistema, durante uma porção do ciclo e T é a temperatura absoluta daquela parte da fronteira.

(δ Q)


• O subscrito “b” serve para lembrar que o integrando é avaliado na fronteira (boundary) do sistema que executa o ciclo.

• O símbolo ∫ significa que a integral precisa ser avaliada em todas as partes da fronteira do sistema e no ciclo completo.

• A igualdade se aplica quando não existem irreversibilidades internas e a

desigualdade é aplicada quando da existência desse tipo de irreversibilidades.

• Ilustração usada para mostrar a desigualdade de Clausius.

Fonte: Moran, M. J., Shapiro, H. N. Fundamentals of Engineering Thermodynamics,

4th Edition, John Wiley & Sons, 2000. O Sistema recebe δ Q em uma parte das fronteiras do sistema que se encontra à temperatura T e que realiza um trabalho δ W. Para garantir que o calor recebido do Reservatório Térmico não esteja associado a irreversibilidades, vamos supor um ciclo reversível entre o sistema e o reservatório térmico. Este Ciclo recebe δQ’ do reservatório térmico e fornece δQ ao sistema, realizando um trabalho δW’.

22


Pela definição da escala Kelvin de Temperatura temos:

bRES

Q QT Tδ δ′ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Um balanço de energia para o sistema combinado (sistema + ciclo) mostrado pela linha pontilhada fornece:

dEcTQTWc

WWQdEc

bs

Wc

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+−=

δδ

δδδδ

Re

''

Para o sistema combinado realizando um ciclo e o sistema intermediário um ou mais ciclos, tem-se

Wc = RES RESb b

Q QT dEc TT Tδ δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ ∫

Como o sistema combinado troca calor com um único reservatório térmico → Wciclo ≤ 0

0≤⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∫

bRES T

QT δ

Esta desigualdade pode ser escrita na forma de uma igualdade como

cicloσδ−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∫

bTQ

onde σ ciclo representa o tamanho da desigualdade, sendo que:

23

σ ciclo = 0 não há irreversibilidades dentro do sistema


σ ciclo > 0 irreversibilidades presentes dentro do sistema σ ciclo < 0 impossível. Assim, σ ciclo é uma medida das irreversibilidades que ocorrem dentro do sistema quando este passa por um ciclo. Representa a grandeza entropia, que veremos a seguir, produzida (gerada) pelas irreversibilidades. Definição da Variação de Entropia Uma quantidade é uma propriedade se sua variação entre dois estados for independente do processo. Dois ciclos reversíveis executados por um sistema fechado estão representados na figura abaixo. Os ciclos AC e BC

Fonte: Moran, M. J., Shapiro, H. N. Fundamentals of Engineering Thermodynamics, 4th Edition, John Wiley & Sons, 2000.

Para o ciclo AC cicloCA T

QTQ σδδ

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∫∫

1

2

2

1

Para o ciclo BC cicloCB T

QTQ σδδ

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∫∫

1

2

2

1

24

σ ciclo = 0 para ambos os ciclos, pois são reversíveis.


Assim, δ δQT

QTA B

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟∫ ∫1

2

1

2

• Como os valores de δ Q

T⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ são os mesmos para os dois ciclos, serão

iguais para quaisquer outros ciclos reversíveis operando entre os mesmos estados 1 e 2.

• Conclui-se que os valores de δ Q

T⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

dependem apenas dos estados 1 e

2 e representam uma propriedade (pela própria definição de propriedade).

• Esta propriedade é chamada Entropia e é usualmente representada pela

letra (S). • Dessa forma, a variação de Entropia entre os estados 1 e 2, para um

ciclo internamente reversível pode ser obtida por:

S SQ

T2 1 1

2− =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟∫

δ

• Se tivermos um sistema executando um ciclo irreversível entre os

estados 1 e 2, a variação da Entropia entre 1 e 2 será a mesma pois a entropia é uma propriedade e portanto apenas função do estado.

• Entretanto a variação da Entropia não poderá ser calculada pela

expressão abaixo (quando o processo for irreversível).

elirreversív

2

112 ∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=−

TQSS δ

.

25


Entropia de uma substância, pura, compressível simples. A equação

vTQSS

Reint

2

112 ∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=−δ serve como base para a construção de

tabelas e diagramas para a avaliação da Entropia.

Int.Rev.

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

y

xxy TQSS δ

Sx é a Entropia de um estado de referência, arbitrariamente escolhido. A utilização dos valores de Entropia relativos a um estado de referência arbitrário para o cálculo de variações de entropia é satisfatória porque o valor de referência acaba se anulando. Tabelas de Entropia As tabelas de Entropia são similares às de h, u, v e os valores de Entropia são listados nas mesmas tabelas. Os procedimentos para a determinação dos valores da Entropia são os mesmos empregados para a determinação das outras propriedades. EXEMPLOS (conforme Moran e Shapiro 4th Edit., pg 243) 1) Considere a água em 2 estados, mostrados na figura a seguir:

s

T

1

2

.

. P2=0,3MPa

P1=3MPa T1=500 C

26

Determinar T 2


1 1 1

2

2 1 2

1) 3 500 .4 7,2338

2) 0,3

7,2338 183

oa

a

kJP MP T C Tab skgK

P MPkJs s T C

kgK

= = =

=

= = = °

• Na região de saturação os valores são determinados através do título, e

dos valores de sg entropia de vapor saturado e sf entropia de líquido saturado.

( ) ( )fgfgf ssxsxssxs −+=+−= 1

• Para líquidos comprimidos o procedimento é também análogo ao já visto

para a energia interna e para a entalpia. Se existirem dados tabelados de propriedades do líquido comprimido, os valores da entropia são obtidos diretamente da tabela.

• Quando essas tabelas não estiverem disponíveis usam-se os valores do

líquido saturado à temperatura de saturação.

( ) ( )1, fs T P s T≅

Equações TdS • A variação de Entropia para uma substancia, entre 2 estados

termodinâmicos pode ser obtida através da equação:

rev. int.∫ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

y

xxy TQSS δ

ou através das relações TdS.

27

• A importância das relações TdS é entretanto maior que a simples determinação dos valores de entropia. Elas são o ponto de partida para a derivação de importantes propriedades para substâncias puras,


compressíveis simples, incluindo meios para a obtenção das tabelas que fornecem u, h e s.

• Considere um sistema constituído por uma substância pura,

compressível simples, que passa por um processo internamente reversível. A equação da 1ª lei para esse sistema é

dE = δQ - δW

• Desconsiderando as variações de energia cinética e potencial

gravitacional, dE = dU

( ) ( )

( )

( )

δ δ

δ

δδ

Q dU W

W pdV

dSQT

Q TdS

AssimTdS dU pdVH U pV dH dU PdV VdPdU pdV dH VdP

TdS dH VdP

INTREV

INTREV

INTREV

INTREV

rev

= +

=

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ → =

= += + → = + ++ = −

∴ = −

int

• Por unidade de massa essas relações ficam

Tds = du + pdv Tds = dh - vdp

• ou em base molar

Tds du pdv

Tds dh vdp

= +

= −

28


• Uma vez que a entropia é uma propriedade, ela depende somente dos estados inicial e final. Assim, embora essas expressões tenham sido obtidas a partir da hipótese de processo internamente reversível elas podem ser utilizadas para calcular as variações de entropia entre dois estados, qualquer que tenha sido o processo ligando esses dois estados.

Variação de Entropia para um gás Ideal Partindo das equações Tds, teremos:

Tds du Pdv dsduT

PT

dv

Tds dh vdP dsdhT

vT

dP

= + ⇒ = +

= − ⇒ = −

Para gás ideal

( ) ( )

( ) ( )

v T

v v

p p

du dTdu C T dT T C TT Tdh dTdh C T dT T C TT T

P RPv RTT v

RP

= ÷ = =

= ÷ = =

= =

=

Substituindo em ds

( )

( )

v

p

dT dvds C T RT vdT dPds C T RT P

= +

= −

29


Entre dois estados 1 e 2

2 2

1 1

2

1

2 2

1 1

2

1

2

1

22 2 1 1

1

2

1

22, 2 1 1

1

( ) ( , )

( , ) ( , ) ( ) ln

( ) ( , )

( ) ( , ) ( ) ln

= + =

− = +

= − =

− = −

∫ ∫ ∫

∫

∫ ∫ ∫

∫

T v

vT v

T

vT

T P

pT P

T

pT

dT dvds C T R s s T vT v

dT vs T v s T v C T RT v

dT dPds C T R s s T PT P

dT Ps T P s T P C T RT P

• Da mesma forma utilizada para a Energia Interna e para a Entalpia, a

avaliação da variação de Entropia para os gases ideais pode ser efetuada através de tabulação dos valores (nas Tabelas Termodinâmicas).

• Escolhe-se um estado de referência e um valor de referência para a

Entropia nesse estado. • Estado de referência 0 0ref refT K S= = 1 atmrefP = • Assim, para determinar-se a entropia a uma dada temperatura T, e na

pressão de 1 atm, tem-se:

( )s T s Cp TdTT

R

s T s T Cp TdTT

T

o

o

T

( , ) , ( ) ln

( , ) ( ) ( )

1 0 111

1

0− = −

⇓

= =

∫

∫

0

30

Como a pressão está fixada em 1 atm, so depende somente da temperatura. Expressando a equação acima em termos de so


Cp TdTT

Cp TdTT

Cp TdTT

s T s T

Tv

T

T

o o

( ) ( ) ( ) )

( ) ( )

= −

= −

∫∫∫ 00

2 1

12

1

2

Assim, pode-se escrever

2

2 2 1 1 2 11

22 2 1 1 2 1

1

( , ) ( , ) ( ) ( ) ln

( , ) ( , ) ( ) ( ) ln

o o

o o

Ps T P s T P s T s T RP

ouPs T P s T P s T s T RP

− = − −

− = − −

Variação de Entropia para uma Substância Incompreensível. Quando o modelo de substância incompressível é adotado (v = constante), o calor específico a volume constante fica cv = c(T) e

2

12 1

22 1

1

( )

( )

( ) ( )

( ) constante

ln

T

T

du c T dTdu Pds dvT Tc Tds dTT

dTs s c T substância imcompressívelT

Admitindo c TTs s cT

=

= +

=

− =

=

− =

∫

Variação de Entropia nos processos internamente reversíveis

31

Nesta seção a relação entre variação de Entropia e transferência de calor será considerada.


Inicialmente será tratado o caso de um Sistema Fechado, e posteriormente o caso de um Volume e Controle.

Quando um sistema passa por um processo internamente reversível, sua Entropia pode diminuir, aumentar ou permanecer constante.

dSQ

T INTREV

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

δ

( )δ Q TINT

REV= dS

Onde σciclo representa a “magnitude” da desigualdade (o afastamento da

Se o sistema recebe calor sua Entropia aumenta, se perde calor, sua Entropia diminui. Se o processo é adiabático (e internamente reversível), não ocorrerá variação na Entropia do sistema.

Transferência de calor → Transferência de Entropia (possuem a mesma direção e o mesmo sentido)

Processo adiabático → Calor transferido = 0 (variação de entropia é nula, se o processo for internamente reversível)

Se o processo for também internamente reversível ele é dito isentrópico.

Balanço de Entropia para Sistemas Fechados Como decorrência da desigualdade de Clausius, vimos que

condição reversível). Lembrando, ainda, que:

32

∫ −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ciclobT

Q σδ


σciclo = 0 → Processo reversível

irreversibilidades presentes

O balanço de entropia é uma expressão da 2ª Lei que é particularmente

esenvolvimento do Balanço de Entropia

A figura a seguir, mostra um ciclo executado por um sistema fechado. O

σciclo < 0 → Processo impossível σciclo > 0 → Processo onde existem

•

conveniente para a análise termodinâmica.

D •

ciclo é constituído por dois processos. O processo I no qual podem ocorrer irreversibilidades presentes e o processo R que é um processo internamente reversível.


Para esse ciclo

4th Edition, John Wiley & Sons, 2000.

∫∫ −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ 1

2Re

2

1σδδ

vInt

b TQ

TQ

O subscrito “b” da primeira integral serve para indicar que o integrando é

O subscrito não é requerido para a segunda integral porque como o

•avaliado ao longo da fronteira do sistema.

•processo é internamente reversível a temperatura deve ser uniforme através do sistema, a cada estado intermediário.

33

2


• O termo σ refere-se somente ao processo I, pois o processo R é

sso R

Para o Ciclo (composto

• Se os estados inicial e final estão fixados, a variação de entropia pode

Os dois termos do lado direito da equação dependem explicitamente da

•

internamente reversível

Para o proce

pelos processos R + I)

ser avaliada independentemente dos detalhes do processo.

•natureza do processo e não podem ser determinados somente a partir dos estados inicial e final. O termo δ Q⎛

⎜⎞⎟∫

2 represent

• O termo enta a entropia gerada internamente. T b⎝ ⎠1

a a transferência de calor em direção e sinal.

σ

34

repres

∫ −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛1

2 21

Re

ssTQ

vInt

δ

∫ −=−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛2

1 21 σδ ssTQ

b

1 2 1produção devariação de entropia entropiaentre os estados 1 e 2 Entropia

transferida

b

s sT

σ− = +∫ ⎜ ⎟⎝ ⎠

2 Qδ⎛ ⎞



4th Edition, John Wiley & Sons, 2000. Para o sistema constituído pelo gás ou líquido

bPara o reservatório:

tanto, sua entropia diminui.

• A entropia do Reserv. diminui na mesma quantidade que a entropia do s

tra versibilidades internas.

Como T é constante,

Como os reservatórios térmicos são internamente reversíveis, por definição → σ = 0, teremos:

Q Q

∫ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=−

2

112s σδ

bTQs

1 22 1s

b

QsT

σ− = +

RESbT

RESS σ∆ = + / RESbT

S∆ = −

O reservatório perde calor e por

istema aumenta por causa do calor transferido.

No entanto, o aumento da entropia do sistema é maior que a entropia nsferida pela transferência de calor, devido às irre

35


σσ> 0 irreversibilidades presentes dentro do sistema= 0 sem irreversibilidades internas

A variação global da entropia do sistema pode ser

0

>

<

⎧⎪

⎩

dependendo das magnitudes da entropia gerada internamente e das entropias associadas ao fluxo de calor (+ ou -).

O balanço de entropia pode ser expresso de várias formas que podem

posição, a equação fica

0s s2 1 0− =⎨

⎪:

Formas do balanço de entropia para Sistemas Fechados. •

ser convenientes para casos particulares. • Por exemplo, se a transferência de calor ocorre em várias regiões da

fronteira e não varia com o tempo ou com a

s sQT

j2 1− = +∑ σ

jj

• Para expressar a variação da entropia em função do tempo podemos

fazer dS

σ

dt Tj

= +∑ Q

jjσ

Na forma diferencial

dSQ

T b

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

δδ

36


• Independentemente da forma da expressão para o balanço de entropia, o objetivo em muitas aplicações é determinar o valor do termo de produção de entropia σ

• No caso dos sistemas, a produção de entropia de um componente isolado não possui muita significância.

.

gnificativos na contribuição para

Ba • priedade extensiva e portanto depende da massa e

rtindo de um sistema fechado.

•

• É necessário efetuar os cálculos para todos os componentes e ordená-los segundo a produção de entropia, para determinar para aquele sistema quais componentes são mais sia ineficiência global.

lanço de Entropia para Sistemas Abertos (Volumes de Controle)

A entropia é uma proassim pode ser transferida para dentro ou para fora do volume de controle.

• Dessa forma o balanço de entropia para um v.c. pode ser derivado de

modo muito similar ao feito para a obtenção do balanço de energia e de massa, pa

• O Balanço de entropia para um sistema fechado, em função do tempo é:

σ+=∑j jTdt

Para um volume de controle a expressão fica:

jQdS

entropia deprodução de Taxa

..

entropia de ncia transferêde Taxaentropia de

dcveeii

jvc vsmsm

QS σ∑ ∑ ∑ +−+=

37

variaçãode Taxa

dt j i ejT


Esta equação representa a forma geral para o balanço de entropia. No entanto, seus termos podem ser escritos de modo a contemplar não uniformidades locais.

Análise de volumes de controle operando em Regime Permanente Balanço de massa:

∑ ∑=i e

ei mm

Balanço de energia:

02 2

2 2

= − + + +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ − + +

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟∑ ∑Q W m h

VgZ me h

VgZVC VC i i

ii

ie e

e

e

Balanço de entropia:

∑ ∑ ∑ +−+=j i e

VCeeiij

j smsmTQ

0 σ

Essas equações precisam, muitas vezes, ser resolvidas simultaneamente, nto com equações que expressem relações entre as propriedades.

Massa e energia são quantidades que se conservam. A Entropia, em geral, não se conserva. A taxa de entropia transferida para

ju

fora do v.c. precisa exceder a taxa de entropia transferida para o v.c. A diferença é a taxa de produção de entropia dentro do volume de controle devido às irreversibilidades. Em muitos casos existe somente uma entrada e uma saída de massa no v.c. e a expressão para o balanço de entropia assume a forma:

38

( )∑ ÷+−+=j

VCeij

j mssmTQ

σ0


mTQ

ss ieσ

−1m

VCj += ∑

Observar que s2 só poderá ser menor que s1 se o fluxo de entropia

associado ao calor que entra mais o fluxo de entropia gerado internamente (que é sempre maior). Ilustrações

Os exemplos seguintes ilustram a utilização dos balanços de massa, nergia e entropia para volumes de controle em regime permanente.

j j

Q VCj σ1m

ssTm ei

j j

+−+= ∑0

associado ao fluxo de calor que sai for maior que o fluxo de entropia

e

Fonte: Moran, M. J., Shapiro, H. N. Fundamentals of Engineering Thermodynamics, 4th Edition, John Wiley & Sons, 2000. Exemplo 1- Vapor entra em uma turbina com a pressão de 30 bar e temperatura de 400ºC, com uma velocidade de 160 m/s. Vapor saturado a 100ºC sai com uma velocidade de 100 m/s. Em regime permanente a turbina desenvolve 540 kJ/kg de vapor. Transferência de calor entre a turbina e suas vizinhança ocorre à temperatura média de superfície de 500K. Determine a taxa de produção de entropia dentro da turbina, por kg

e vapor que escoa, em kJ/kg K. Despreze a variação de energia potencial dentre a entrada e a saída.

39


Hipóteses: 1) V.C. especificado na figura 2) Temperatura de transferência de calor conhecida 3) ∆EP = 0

(hWQ

VhVhm

Wm

Q

mm

VC

VCVC

220 :Energia de Balanço

:massa de Balanço2

22

21

1

21

++=

−−++−=

=

)

( )kgm

VC

29,32301,2676540 ⎟⎟

⎠⎜⎜⎝

+−+=

( )

( )

( )

kgKkJ

m

kgKkJ

kgkJ

m

ssTb

mQm

ssmTb

smsmTQ

kgm

smkg

kgNm

kgJ

sm

kgkJ

mQ

s

VVhm

VC

VC

VCVC

VC

jVC

j

j

VC

VC

479,0

9212,63549,76,22500

1

/

Q=0

0:Entropia de Balanço

..6,22

m7.800- 554,8-

160100

2

12

21VC

2211

22

2

2

2

22

21

22

12

+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

−+−=

+−+

+−+=

====

⎞⎛ −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−

kJQ

540,0+

∑

σ

σ

σ

σ

σ

Obs.: Se a fronteira do v.c. fosse escolhida de modo a conter as vizinhanças imediatas até o ponto onde a temperatura é igual a do ambiente, digamos 293 K, a produção de entropia do v.c. aumentado seria de

40

, / .σVC

mkJ kgK= 0 511 Explicar porque.

Eficiência Isentrópica de Turbinas, Bocais, Compressores e Bombas


e

Expansão em uma turbina. Efeito de irreversibilidades. Fonte: Moran, M. J., Shapiro, H. N. Fundamentals of Engineering Thermodynamics, 4th Edition, John Wiley & Sons, 2000. • Os engenheiros usam freqüentemente o conceito de eficiência e

diferentes definições são empregadas para expressar o conceito de eficiência.

• Eficiência isen sempenho real

condições idealizadas para o mesmo estado na entrada e

• efinido por

trópica envolve a comparação entre o dde um dispositivo e o desempenho que esse mesmo dispositivo teria se operasse emmesma pressão na saída.

Considerando: uma turbina que opera entre as pressões P P , com o estado (1) d

1 2 e P T1 1e .

Volume de Controle na Turbina para o balanço de 1a. Lei

: transferência de calor para o ambiente 1 2 0

0:Q

KE PE=

= =∆ ∆

41


Balanço de Energia:

02 21 2 1 112

1 2 222

2= − + + +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ − + +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟Q W m h

vgz m h

vgzVC

sa

Regime Permanente Conservação da mas

m m mWm

h hVC

1 2

1 2

= =

= −

Como o estado (1) está fixado e portanto o valor de está definido, o

abalho específico depende apenas do valor de . O trabalho específico imo.

Balanço de 2a. Lei: R.P.

h1

h2

0 1 1 2 2

2 1

= + − +

− ≥

Tm s m s

ms s

aVC

VC

σ

σ

trserá máximo para h2 mín

c

0

1 2

=

Q

processos resultarão em . O menor valor será obtido para um processo internamente reversível com

Nos asos reais todos os s s2 1>

s2

σVC = 0 e nesse caso s s2 1= , que corresponde ao ponto (2s) na figura. Para essa condição

Wm

h hVC

ss

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −1 2

42


A eficiência isentrópica é definida como a razão entre o processo real e o processo isentrópico.

ηt

VC

VC

sm⎝

⎜⎠⎟ s

Wm

Wh hh h

=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛ ⎞=

−−

1 2

1 2

s valores de O η t

situam-se na faixa 0,7 - 0,9 (70% a 90%). Para bocais, usando uma abordagem similar a esta para turbinas obtêm-se

ηbocais

s

V

V=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

22

22

2

2

Lembrar que as condições (estado) de entrada estão fixadas e a pressão na saída é a mesma. Bocal operando em regime permanente: (1) entrada e (2) saída Balanço de massa: R.P. mm m1 2= =

(

Balanço de energia:

2 21 2 1 2 1 1 1 2 2⎝ ⎠ ⎝0

(

12

22

2= − + + +⎛⎜

⎞⎟ − + +

⎛⎜

⎞

⎠⎟Q W m h

Vgz m h

Vgz

)h hV V

1 222

12

2 2− = −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

Como o objetivo dos bocais é proporcionar a maior velocidade de saída

) , a maior velocidade será obtida para o valor mínimo de , que de um

43

v2 h2


modo similar á análise das turbinas será obtido em um processo isoentrópico.

( )h hV V

V

Vss

boc

s

1 2222 2

2

− + = =⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

η

Eficiências is

12

22

22

2⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

entrópicas de 95% ou maiores são comuns para bocais, indicando que para os bons projetos as irreversibilidades internas são pequenas.

Compressão em uma bomba (compressor). Efeito de irreversibilidades.

Fonte: Moran, M. J., Shapiro, H. N. Fundamentals of Engineering Thermodynamics, 4th Edition, John Wiley & Sons, 2000. Processos Isoentrópicos Isoentrópic

s propriedades termodinâmicas entre 2 estados de um rocesso isoentrópico ?

o → Entropia Constante

omo avaliar aCp

44


a-) Uso de tabelas e de informações de propriedades através de gráficos. iagramas úteis → Diagramas T x s e h x s

a2 (ou T2) sendo s2 = s1, permitem obter T2 (ou P2).

abelas: Entropia específica no ponto 1 (vapor superaquecido) então, com 2 = s e outra propriedade como P (ou T ), o estado 2 poderia ser obtido a tab odem, ntão, er lidos. O ponto 3 cai numa região onde há líquido e vapor. Logo, o

D T T1, P11 1

P1

h

2 T2, P2

2

D dos P1, T1 e s1 para um dado processo isoentrópico, se especificarmos P Ts 1 2 2

ela de vapor superaquecido. Os valores de v, h, e u pn escálculo do título pode ser feito por

( )ssxss −+= fgf

desde que s1 = s3 e todas as propriedades podem ser especificadas. b-) Uso do modelo de gás ideal. Para um gás ideal podemos escrever:

( )1

212 ln)(0

PP

MRTsTs oo −−=

4 propriedades estão envolvidas T1, P1, T2 e P2. Se conhecermos T

xemplo e a relação P /P , T poderá ser obtida por: 1, por

2 1e

45

2

s

3 T3, P3

3T3

T2

T1

s

P2

P3

Diagrama T x s Diagrama h x s


( )1

212 ln)(

PP

MRTsTs oo +=

Se conhecermos T1, P1 e T2 , P2 poderá ser obtida por:

( ) ( ) ( )[ ]( )[ ]MRTs

MRTsPP

MRTsTsPP o

ooo

//exp//expou

/exp

1

2

1

21212 =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

mas,

( )[ ] ( )TfMRTso =//exp

e f(T) é comumente denominada de pressão relativa = Pr(T) A Tabela A-22 do livro do Moran & Shapiro apresenta valores de Pr, para o

o gás ideal.

Em termos de Pr pode-se escrever (para um gás ideal):

ar, com

22 rPP

temperatura para

11 rPP 1 2= (sendo s = s )

bservação, Pr não é verdadeiramente uma pressão. Não confundir com Pr

ssibilidade, Z).

Relação entre volume específico e um gás ideal, entre 2 estados para os quais a entropia específica permanece constante.

O(pressão reduzida usada nos cálculos do fator de compre

122 . logo,

TRMP

MPTR

vv

MPTRv ==

121

46


e como os dois estados têm a mesma entropia específica, podemos escrever:

( )( ) ( ) )(TPr e, Pr

Pr 1

11

22

2

1

2 vTRT

TRT

TTR

vv

r==

2 do livro do Moran & Shapiro apresenta valores de vr(T) para o r, como um gás ideal. Em termos de vr, podemos escrever:

onde vr(T) é função só de T. Dá-se o nome de volume relativo a vr(T). A Tabela A-2a

11 r

Observação: v

22 r

vv

vv

= (sendo s1 = s2)

pressibilidade, )

Relação entre propriedades para processos isoentrópicos de um gás ideal, quando as capacidades caloríficas (CP e CV) são constantes. Podemos

r não é necessariamente um volume. Não confundir com vr (volume pseudo reduzido usado nos cálculos do fator de comZ

escrever: 22 lnln0

PRTCP −=

11 PMTe

22 lnln0vv

MR

TTCV +=

11

e ainda,

47

V

PP C

Ck com 1

C e 1

=−

=−

=kkR

kRCV


Podemos resolver as equações de entropia específica constante, para escrever:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎟

1 = s2, e)

⎠⎝ PT 111 2,

⎞⎜⎜⎛

=k

k

PT1

22 (s = s k = cte)

( )1

2

1

1

2

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

k

vv

TT

(s1 = s2, k = cte)

(s k = ct

e ainda:

k

vv

PP

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

1

1

2

ima equação, conclui-se que um processo politrópico (pvk=cte) de um gás ideal com k = cte, é um processo isoentrópico.

rocessos politrópicos:

é constante)

:

Desta últ

P A relação entre pressão e volume é dada por pvn = cte para um gás ideal.

uando n=1 → pv = cte → O processo é isotérmico (TQ

uando n → ± ∞ temosQ

pvn = cte → 1n− → Cte1 → quando n → ± , v tende a uma1CtevP =nP

v 1= ∞

onstante, e o proceso é isométrico (ou isocórico, isovolumétrico).

uando n = 0 → P = cte e o processo é isobárico.

c Q

48


ic dition, Jo Wi y & Sons, 2004. Referências: Moran, M. J., Shapiro, H. N. Fundamentals of Engineering Thermodynam s, 5th E

∞

hn le

49

TP

n = k , s = cte

n = 1 , T = cte

n → ± , v = cte v

n = 0 , P = cte

n = e k , s = ct

∞

n = 1 , T = cte

n → ± , v = cte

s

n = 0 , P = cte

Diagrama P x v Diagrama T xpara processos politrópicos

s


Lista de Exercícios 3 - Segunda Lei da Termodinâmica

Lista de Exercícios do capítulo 6 do livro “Fundamentals of Engineering Thermodynamics, 4th edition, Moran & Shapiro

- Um sistema executa um ciclo de potência enquanto recebe 2000 kJ a uma Temperatura de 1000 de um reservatório a 1000 K e descarta energia a temperatura de 500 K, para um reservatório a

500 K. Não existem o é reversível; (b) a eficiência térmica é de 25%. 2- Determi vapor: (a)

gua a p = 2,5 MPa e T = 400oC ; (b) água a p = 2,5 MPa e T = 200oC ; (c) água a p = 2,5 MPa e u =

o, há uma mudança na entropia específica s2 – s1 = - 0,05 kJ/kg.K. etermine a temperatura no estado final, em oC.

propriada tabela e gás ideal e na Segunda, usando um valor constante para a capacidade calorífica do gás. (a) ar,

C, P2 = 300kPa , T2 = 300oC. (e) Nitrogênio, P1 = 2 Pa , T1 = 800 K, P2 = 1 MPa , T2 = 300 K.

1 MPa sofrem uma expansão isotérmica, internamente versível, durante a qual 2700 kJ são recebidos por transferência de calor. Determine: (a) a pressão

ua até que o volume rna-se 0,3 m3. A temperatura no final da expansão adiabática é de 500C. (a) esquematize o ciclo

- Um sistema fechado sofre um processo no qual o trabalho feito pelo sistema é de 5 kJ, e a

1K

outras transferências de calor. Determine σciclo se (a) o cicl

ne a entropia específica, em kJ/kg.K, nos seguintes estados, das tabelas de á1500 kJ/kg ; Respostas (a) 7,024 kJ/kg.K . (b) 2,3294 kJ/kg.K . (c) 0,97515 kJ/kg.K. 3- Um kg de refrigerante R 12 sofre um processo de 4 bars, 100oC para um estado onde a pressão é de 1 bar. Durante o processD 4- Aplicando o modelo de gás ideal, determine a variação na entropia específica entre os estados indicados, em kJ/kmol.K . Resolva duas vezes: Na primeira usando os dados da adP1 = 100kPa , T1 = 20oC, P2 = 100kPa , T2 = 100oC. (b) ar, P1 = 1 bar , T1 = 27oC, P2 = 3 bar , T2 = 377oC. (c) Dióxido de Carbono (CO2), v1 = 1,1 m3/kg , T1 = 300 K, v2 = 0,75 m3/kg , T2 = 500 K. (d) Dióxido de Carbono (CO2), P1 = 150kPa , T1 = 30o

M 5- Meio kg de CO2 gasoso sofre um processo desde p1 = 1,5 bar e T1 = 300 K até um estado em que p2 = 5 bar e T2 = 370 K. Para o processo, W = -33,07 kJ. Aplicando o modelo de gás ideal, determine (a) a transferência de calor, em kJ. (b) a variaçào de entropia, em kJ/kg.K (c) Mostre os estados inicial e final num diagrama Txs. Respostas (a) –8,88 kJ. (b) –0,02137 kJ/kg.K 6- Dois kg de água inicialmente a 160oC e refinal, em MPa . (b) o trabalho, em kJ. Respostas (a) 6,178 MPa (b) 242,2 kJ. 7- Um kg de água executa um ciclo de potência de Carnot. No início da expansào isotérmica, a temperatura é de 160oC e o volume é de 0,1 m3. A expansào isotérmica contintonum diagrama T – s e num diagrama p – v. (b) determine o calor adicionado ao ciclo e o trabalho líquido, em kJ. (c) avalie a eficiência térmica. Respostas (b) 1359,2 kJ e 345,3 kJ (c) 25,4% 8

50

transferência de calor, Q, ocorre apenas à temperatura Tb. Para cada caso, determine se a variação de entropia do sistema é positiva, negativa, zero ou indeterminada. (a) Processo internamente reversível, Q = + 10 kJ. (b) Processo internamente reversível, Q = 0 kJ. (c) Processo internamente reversível, Q = - 10 kJ. (d) irreversibilidades internas presentes, Q = + 10 kJ. (e) irreversibilidades


internas presentes, Q = - 10 kJ. (f) irreversibilidades internas presentes, Q = 0 kJ. Respostas: (a)

ratura é de 27oC para um stado onde a pressão é de 5 bars e a temperatura é 177oC. Este processo pode ocorrer

1- Em regime permanente, um motor desenvolve potência através de seu eixo de saída a uma taxa

2- Em regime permanente, trabalho, a uma taxa de 0,3 kW é feito sobre um líquido contido em um

ciente porção de suas vizinhanças para que a ansferência de calor ocorra a 20oC. Respostas: (a) 0,9 x 10-3 kW/K, (b) 1,02 x 10-3 kW/K.

4- Um vaso isolado é dividido em dois compartimentos conectados por uma válvula. Inicialmente

postas (a) 95,6 oC , (b) 9,9% , (c) 1,0597 kJ/kg.K .

e entropia produzida, em kJ/K. Resposta 7,774 kJ/K.

positiva, (b) zero, (c) negativa, (d) positiva, (e) positiva , (f) indeterminada. 9- Um dispositivo cilindro-pistão contém, inicialmente, 0,04 m3 de água a 1,0 MPa e 320oC . A água expande-se adiabaticamente até uma pressão final de 0,15 MPa. Determine o trabalho teórico máximo que pode ser desenvolvido pela água em tal expansào, em kJ. Resposta: 47,22 kJ. 10- Ar é comprimido desde um estado onde a pressão é de 1 bar e a tempeeadiabaticamente ? Se sim, determine o trabalho por unidade de massa do ar, em kJ/kg. Se não, determine a direção da transferência de calor. Resposta: Não. energia removida 1de 2 kW enquanto revebe 20 ampères e 120 Volts. A superfície externa do motor está a 50oC. Para o motor, determine a taxa de transferência de calor, em kW, e a taxa de produção de entropia, em kJ/kg.K . Respostas: - 0,4 kW. 1,24 x 10-3 kJ/kg.K. 1tanque rígido e fechado. Transferência de calor ocorre a uma temperatura de 60oC para o meio externo que, longe das vizinhanças mais próximas do tanque, está a 20oC. Determine a taxa de produção de entropia, em kW/K. (a) para o tanque e seu conteúdo como o sistema. (b) para um sistema extendido incluido o tanque e uma sufitr 13- Uma caixa de marchas operando em regime permanente recebe 0,1 kW através de seu eixo de entrada e entrega 0,095 kW através do eixo de saída. A temperatura externa da caixa de marchas é de 50oC. Para a caixa de marchas determine: (a) a taxa de transferência de calor, em kW. (b) a taxa na qual entropia é produzida, em kW/K. Respostas: (a) –0,005 kW , (b) 1,54 x 10-5 kW/K. 1um compartimento contém vapor de água a 1,0 MPa e 500oC, e o outro está evacuado. A válvula é aberta e deixa-se o vapor ocupar todo o volume do vaso, alcançando uma pressão final de 0,1 MPa. Determine: (a) a temperatura final em oC, (b) a porcentagem do volume do vaso inicialmente ocupado pelo vapor de água, (c) a quantidade de entropia produzida, em kJ/kg.K Res4 15- Um tanque rígido, isolado, é dividido em dois compartimentos por um pistão condutor de calor e sem fricção. Um compartimento contém inicialmente 1 m3 de vapor de água saturado a 4 MPa e o outro compartimento contém 1 m3 de vapor de água a 20 MPa e 800oC. O pistão é liberado e o equilíbrio é alcançado com o pistão não experimentando qualquer mudança de estado. Para a água como o sistema, determine a quantidade d

51

16- A temperatura de uma lata de 0,354 litros de uma bebida é reduzida de 20oC para 5oC por um dispositivo sofrendo um ciclo de refrigeração. O dispositivo recebe energia por transferência de calor da bebida e descarrega energia por transferência de calor para as vizinhanças, que estão a 20oC. Não existem outras transferências de calor. Determine o trabalho teórico mínimo requerido, em kJ,


assumindo que a bebida é um líquido incompressível com as propriedades da água líquida. Ignore a

8- Gás metano (CH4) entra em um compressor operando em regime permanente a 280 K, 0,7 bar e

te, determine o máximo trabalho teórico ue pode ser desenvolvido, em kJ/kg. Em cada caso, ignore a transferência de calor com as

riação de pressão. O trocador de calor opera em regime permanente, e não existem ansferências de calor significativas com suas vizinhanças. Ignorando variações de energia cinética

ie do compressor, onde a temperatura é de 40oC. Variações de nergia cinética e potencial gravitacional podem ser desprezadas. Determine: (a) a temperatura do

média da superfície da turbina é de 400 K. etermine o trabalho desenvolvido, em kJ, e a taxa na qual a entropia é produzida dentro da turbina,

lata de alumínio. Resposta: 0,59 kJ. 17- Vapor de água a 3,0 MPa, 500oC, 70 m/s entra numa turbina isolada operando em regime permanente e sai a 0,3 MPa, 140 m/s. O trabalho desenvolvido, por kg de vapor escoando é alegado ser de 667 kJ/kg. Pode esta alegação ser correta ? Discuta. Resposta: Não, 1sai a 380 K e 3,4 Bars. Aplicando o modelo de gás ideal, determine a variação de entropia específica de cada unidade de massa passando através do compressor, em kJ/kg.K. Esse compressor pode operar adiabaticamente ? Resposta: Não, 19- Refrigerante R 12 entra numa válvula como líquido saturado a 7 bars e, em regime permanente, passa por um processo de estrangulamento até alcançar a pressão de 1 bar. Determine a taxa de produção de entropia por unidade de massa do refrigerante escoando, em kJ/kg.K. Se a válvula for substituída por uma turbina, operando em regime permanenqvizinhanças e as variações de energia cinética e potencial gravitacional. Respostas: 0,0245 kJ/kg.K, e 5,97 kJ/kg. 20- Refrigerante R 12 entra em um trocador de calor, operando em contra-corrente, a –20oC, com um título de 35%, e sai como vapor saturado a 20oC. Ar a 1 atm entra no trocador de calor, em uma corrente separada, com uma vazão mássica de 4 kg/s e é resfriado de 300 K para 285 K, com desprezável vatre potencial gravitacional, calcule a taxa de produção de entropia dentro do trocador de calor, em kW/K. Resposta: 0,0318 kJ/kg.K, 21- Ar é comprimido em um compressor de escoamento axial, operando em regime permanente de 27oC, 1,3 bars até uma pressão de 2,7 bars. O trabalho requerido é de 94,6 kJ por kg de ar escoando através do compressor. Transferência de calor, do compressor, ocorre a uma taxa de 14 kJ/kg de ar num local, na superfícear na saída, em oC. (b) a taxa na qual a entropia é produzida dentro do compressor, em kJ/K por kg de ar escoando. Respostas: (a) 380 K, (b) 0,0729 kJ/K . 22- Vapor de água entra em uma turbina, operando em regime permanente, a uma pressão de 3 MPa, temperatura de 400oC e uma velocidade de 160 m/s. Vapor saturado deixa a turbina a 100oC, com uma velocidade de 100 m/s. Transferência de calor da turbina para suas vizinhanças ocorre a uma taxa de 30 kJ/kg de vapor sendo que a temperaturaD

52

em kJ/K, cada um por kg de vapor escoando. Respostas: 532,6 kJ e 0,5087 kJ/K . 23- Água líquida entra num tubo a 2 bars, 15oC, 2 m/s e é bombeado para um local onde líquido é descarregado a 6 bars, 8 m/s. a saída é localizada 50 m acima, verticalmente, da entrada. O diâmetro do tubo de saída é de 2 cm. Estime a mínima potência de acionamento de uma bomba,


operando em regime permanente, que realize esse serviço. A aceleração local da gravidade é 9,8

2. Desenvolva uma expressão para a velocidade na saída, V2 m termos de k, R, V1, T1, p1 e p2, apenas.

m/s2. Resposta: 2,31 kJ/kg. 24- Um gás ideal com a relação de capacidades caloríficas constantes, k, entra em um bocal operando em regime permanente a uma pressão p1, temperatura T1, e velocidade V1. O ar expande-se isentrópicamente até uma pressão pe

Resposta: ( ) 2

1/1

1

21212 1

12

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−+=

− kk

pp

kkRT

VV

manente, ar entra no compressor a 0,95 bar e és de um trocador de calor antes de entrar na turbina

25- Em uma turbina a gás operando em regime per22oC e sai a 5,7 bars. O ar, então, passa atrava 1100 K, 5,7 bars. Ar sai da turbina a 0,95 bars. O compressor e a turbina operam adiabaticamente e os efeitos de variação de energia cinética e potencial gravitacional podem ser desprezados.

de ariações de energia cinética e potencial também podem ser ignoradas. Determine: (a) a

) a taxa de produção de entropia, em kJ/K por kg de argônio escoando.

itos e variações de energia cinética e potencial, avalie esta afirmação.

29- A figura abaixo fornecolado que utiliza ar entrando em uma localidade e saindo em outra, com uma vazão mg/s. Assumindo comportamento de gás ideal e desprezando variações de energotencial, determine a direção do escoamento, e a potência em kW.

Determine o trabalho líquido desenvolvido pela planta, em kJ de ar escoando, se: (a) o compressor e a turbina operam sem irreversibilidades internas. (b) o compressor e a turbina operam com eficiências isoentrópicas de 82 e 85%, respectivamente. Respostas: (a) 256,7 kJ, (b) 145,09 kJ. 26- Refrigerante R 134a entra em um compressor, operando em regime permanente, como vapor saturado á –4oC e sai a uma pressão de 14 bar. A eficiência isoentrópica do compressor é de 75 %. A transferência de calor entre o compressor e as vizinhanças pode ser ignorada. Efeitos vtemperatura de saída em oC, (b) o trabalho de acionamento do compressor, em kJ por kg do refrigerante escoando. 27- Argônio entra num bocal isolado a 2.77 bar, 1300 K, 10 m/s e sai a 1 bar, 645 m/s. Para operação em regime permanente, determine: (a) a temperatura de saída, em K, (b) a eficiência isoentrópica do bocal, (c 28- Um inventor alega ter desenvolvido um dispositivo que não requer trabalho para acionamento ou transferências de calor, e ainda capaz de produzir em regime permanente correntes de ar quente e fria como mostrado na figura abaixo. Aplicando o modelo de gás ideal para o ar e ignorando efed

QVC = 0 , WVC = 0

e dados para a operação em regime permanente de um disiskp

53

Ar a 0oC,2,7 bar

2,7 bar

Ar a 20oC,2,74 bar

Ar a 60oC,

m ássica 0 ia cinética e

ositivo be de 1

p


54

Potência de Eixo P = 1 bar

T = 600 K ω

?

?

= 1000 m/s

P = 5 bar T = 900 K ω = 5 m/s

Cap2Entropia

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