C A T E D R A

C Á L C U L O DE

E L E M E N T O S

D E

M Á Q U I N A S

Leonardo da Vinci

(1452-1519)

Hombre polifacético; pintor, arquitecto, estudioso de la anatomía y además un destacado ingeniero, autor de

admirables obras de ingeniería.

Mecanismos previos a los engranajes de tornillo sinfín

En las figuras se muestran varios de los mecanismos de sistemas de atornillado diseñados por Leonardo en

especial los relativos a los Códices Madrid-I y Atlántico verdaderos precursores del sistema Sin-Fin

Códice

Madrid-I

Códice

Atlántico

El engranaje de tornillo sinfín

Según los libros sobre la tecnología, el autor de este tipo de engranaje fue un relojero inglés de finales del siglo XVIII llamado Henry Hindley; sin embargo, atendiendo a la imagen y a los comentarios de Leonardo, convendría revisar la fecha en cuestión y atribuirle la autoría.

Códice

Madrid-I,

Pero el más imaginativo y avanzado para su época es el del tornillo sinfín que se

muestra en la imagen.

El engranaje de tornillo sinfín

El engranaje de tornillo sinfín – rueda helicoidal

Desde el punto de vista

conceptual el sinfín es

considerado una rueda dentada

de un solo diente que ha sido

tallado helicoidalmente (en

forma de hélice).

CARACTERÍSTICAS GENERALES

Es un caso particular de transmisión del

movimiento entre ejes alabeados por

medio de ruedas de dientes helicoidales.

Los filetes se deslizan en contacto

permanente con los dientes de la

rueda, lo que da por resultado un

funcionamiento silencioso y sin sobre

cargas de impacto

Como el deslizamiento es mayor,

generalmente se originan problemas

por el calor debido al rozamiento.

Son mecanismos que permiten

transmitir movimiento en ejes

alabeados, con relaciones de

transmisión muy altas

(1:10 a 1:300) , o mas

en un volumen pequeño

El montaje debe

ser muy preciso

de lo contrario

tiende a clavarse

Su rendimiento es relativamente

bajo debido al alto rozamiento

que se verifica entre sus dientes

El tornillo, se fabrica

generalmente de acero

1010 – 1045 - Cr Ni cementado, templado y rectificado.

La rueda, de bronce fosforoso

Sae 64-66 (bronce corona)

T E R M I N O L O G Í A

• - L: longitud del tornillo sinfín.

• - pt: paso axial entre filetes del tornillo.

• - a : altura de cabeza (adendo) del filete.

• - d : altura de raíz (dedendo) del filete.

• - h: altura total del filete.

• - : ángulo de avance del tornillo.

• - di: diámetro interior o de raíz del tornillo.

• - dp: diámetro primitivo del tornillo.

• - de: diámetro exterior del tornillo.

• - pcr:paso circunferencial de la rueda

• - Dp: diámetro primitivo de la rueda.

• - De: diámetro exterior de la rueda.

• - b : ancho axial de la rueda.

• - : ángulo de la cara de la rueda.

• - Di: diámetro interior de la rueda.

• - Dt: diámetro de garganta de la rueda.

.

NUMERO DE ENTRADAS

• Se utilizan normalmente entre 1 y 5

entradas, dientes o filetes en los tornillos

Sin Fin comunes

Relación de transmisión Se puede obtener como en el caso general como

la relación entre el número de dientes de la

rueda motriz y de la rueda conducida

Si consideramos el tornillo como rueda motriz, (generalmente cumple con esa función), la relación de transmisión valdrá:

Donde: m: número de filetes del tornillo

Z: número de dientes de la rueda

Siendo los valores comunes de m= 1 a 4, se observará que las relaciones de transmisión son grandes y de magnitud tal que no se pueden conseguir normalmente con los engranajes cilíndricos o cónicos comunes.

Relacion de transmisión

Tg λ = m Pt Pt = paso tornillo

Π Dt Dt = diámetro medio de la rueda

m Tt

i = m = número de entradas del tornillo

Zr número de dientes de la rueda

π Dt

Tg λ = m Pt

π Dt

α

Se debe cumplir

con esta condición

geométrica

Relación de transmisión Puede obtenerse también por consideraciones de otra índole: En

apariencia parecería que al girar la rueda, el filete del tornillo

avanzara axialmente con una velocidad de desplazamiento Va,

igual a la velocidad tangencial de la rueda en correspondencia de

su cilindro primitivo de construcción. Lo que ocurre es que la

sección del filete que aparece en contacto con la rueda en un

instante, es reemplazada en otros instantes por otras secciones

que muestran la misma apariencia.

La velocidad aparente de avance del tornillo es entonces igual a la velocidad tangencial del cilindro “primitivo” de la rueda. Si el tornillo es de (m) entradas, la velocidad de avance aparente será:

Relación de transmisión

P = Paso de la hélice

t = Paso axial, distancia comprendida entre dos filetes

contiguos en dirección del eje (debe ser igual al paso

de la rueda)

La velocidad tangencial de la rueda resulta igual a:

VT = 2 . Rr . nr Igualando:

m . t . nt = 2 . Rr . nr

FORMAS CONSTRUCTIVAS

Se trata de aumentar el contacto, con el objeto de transmitir

mas potencia, se “transforma” la rueda “envolviendo” al tornillo

(a)

Tornillo y Rueda

Ambos cilíndricos

Contacto puntual

(b)

Tornillo cilíndrico

Rueda globoide

Contacto lineal

(c) y (d)

Tornillo globoide

Rueda globoide

Contacto superficial

Tornillo sin fin cilíndrico y corona globoide

En el conjunto de envolvente simple, el ancho de la rueda

helicoidal está cortado con superficie cóncava, envolviendo

parcialmente al tornillo al tiempo de estar engranando.

El contacto lineal

significa una

importante ventaja

respecto del contacto

puntual que tiene

lugar entre la rueda y

el tornillo cilíndricos.

Si se talla adecuadamente la rueda

globoide, se obtiene un contacto lineal.

Tornillo sinfín cilíndrico

rueda helicoidal globoide

La característica principal de este tipo de

engranaje es que tiene mayor superficie de

contacto entre la rueda y el tornillo, por lo

que se dice que se envuelven el uno al

otro, lo que incrementa la capacidad de

transmitir torque.

Tornillo sinfín y rueda helicoidal globoides

Trazado de los perfiles de los dientes Caso de la Rueda Cilíndrica y

el Tornillo también Cilíndrico

Plano diametral del Tornillo

y plano medio de la rueda

En el caso particular de la Rueda

Helicoidal se verifica que su

circunferencia primitiva media

coincide con la circunferencia de

garganta del helicoide desarrollable

que define la superficie primitiva del

movimiento.

El Tornillo actúa como una cremallera.

El diente del tornillo a medida que gira

empuja el diente de la Rueda

Trazado de los perfiles de los dientes

Plano diametral del Tornillo

y plano medio de la rueda

El perfil del Tornillo será entonces en correspondencia del corte diametral representado, el perfil de la cremallera conjugada del perfil adoptado para el

diente de la rueda.

Si se adopta un perfil a evolvente, de ángulo de

presión (α) resultará sencillo el trazado de los perfiles por los procedimientos ya estudiados. El flanco del diente del Tornillo no será un helicoide desarrollable del tipo estudiado al tratar las ruedas cilíndricas de dientes helicoidales. El flanco del filete del Tornillo es un caso límite del helicoide desarrollable que se presenta cuando la hélice de retroceso

degenera en una recta, el eje del helicoide.

Ángulo de presión

α = 14° 30’ λ < 12° α = 20° 12° < λ < 20° α = 22° 30’ 20° < λ < 25° α = 25° λ > 25°

El ángulo de presión para el trazado por evolventes de los perfiles de los dientes, se adopta en función del ángulo de la hélice del tornillo, pues

cuando λ aumenta debe aumentarse también α

para evitar problemas de interferencia y hacer menos dificultosa la fabricación del tornillo.

Los valores de (α) en función del ángulo de la hélice ( λ), son:

Materiales y fabricación de engranes de tornillo sinfín y rueda helicoidal

Materiales y fabricación de engranes de tornillo sinfín y rueda helicoidal

Tornillos acero aleado con endurecimiento superficial

(generalmente cementados). Para alto rendimiento tornillos templados

por inmersión o por flameado, rectificados y pulidos con una dureza de

65 a 59 Rockwell.

Por ejemplo, aceros DIN 17210 ó DIN 17200.

Ruedas bronces, especialmente de estaño y níquel-estaño (que

pueden ser o no fundidos en coquilla, un proceso que produce

endurecimiento superficial). También se emplean otros bronces, por

ejemplo al plomo (para alta velocidad) y los de aluminio y silicio (para

engranes de baja velocidad y carga pesada).

Para reducir los costos, especialmente en ruedas grandes, se utiliza una llanta o

corona de bronce fijada a un núcleo central de hierro fundido o acero moldeado.

Para transmisiones de alto rendimiento se construye preferentemente de bronce

fosforoso, por ejemplo, de GBZ14, para mayor dureza de ejecución centrifugada, o de

bronce-aluminio, o de fundición perlítica. Con la dureza aumenta la resistencia a la

rodadura y al desgaste, pero también la susceptibilidad a la corrosión y a las

exigencias de un montaje mas exacto.

Acciones recíprocas que tienen lugar en el contacto entre los filetes del tornillo y los dientes de la rueda

Ejes propuestos: Eje (X) dirección eje de la rueda

Eje (Y) dirección eje del tornillo

Eje (Z) normal a los anteriores y a los ejes del movimiento.

αn = ángulo de presión de los

perfiles en contacto en el plano A-A. (ángulo de presión real)

Se puede descomponer Fn según:

FH : componente en el plano X-Y

FH = Fn . cos αn

FZ : componente en la dirección Z FZ = Fn . sen αn

Acciones recíprocas que tienen lugar en el contacto entre los filetes del tornillo y los dientes de la rueda

Además de la fuerza normal Fn que se transmite entre los flancos en contacto de los dientes, deben tenerse en cuenta las fuerzas de rozamiento que se desarrollan por el deslizamiento y que se oponen al movimiento relativo entre ellos. La magnitud de esta fuerza es

evidentemente μ.N, y su dirección

coincide con la dirección de la velocidad relativa de deslizamiento.

R E V E R S I B I L I D A D

E

I R R E V E R S I B I L I D A D

Proyecciones sobre los ejes

• Eje X

Fx = Fn sen λ cos λn + μ Fn cos λ

Fx = Fn (sen λ cos λn + μ cos λ)

• Eje Y

Fy = Fn cos λ cos λn - μ Fn sen λ

Fy = Fn (cos λ cos λn - μ sen λ)

Reenplazando

Fy = Fx (cos λ cos λn - μ Fn sen λ)

sen λ cos λn + μ cos λ

• Eje Z

Fz = Fn sen λn = Fx sen λn .

sen λ cos λn + μ cos λ

Fn = Fuerza que transmite el esfuerzo

(normal a ambos flancos)

ALGUNAS ACLARACIONES

• Desde el tornillo la FUERZA ÚTIL que transmite el movimiento es Fx, en la rueda produce un esfuerzo axial

• Fy es una fuerza de empuje en la dirección del eje de giro del tornillo, pero mirando desde la rueda es la fuerza que me produce el giro o sea la FUERZA ÚTIL

• Fz me tiende a hacer separar el mecanismo, tiende a flexionar los ejes tanto del tornillo como de la rueda

• Fx en el eje del tornillo produce torción y una flexión en el plano xy cuando es trasladada.

En la rueda tiene un esfuerzo axial al eje

• Fy en el tornillo tiene un esfuerzo casi puramente axial

En la rueda tiene un momento torsor y una flexón pura en el centro del eje

Si suponemos para simplificar que el cos λn ~ 1

Fy = Fx en donde Tg Ф = μ Ф = arc Tg μ

Tg (λ - Ф) ángulo de deslizamiento en un plano inclinado

Expresión de la Fy (fuerza en la salida del sistema)

En Función de :

• Fx fuerza de entrada

• λ el ángulo de inclinación de la hélice

• μ las condiciones de roce (materiales, lubricación, etc)

Cuando se cumple que el áng de inclinación de la

hélice λ es menor que el áng de deslizamiento Ф

la fuerza necesaria Fy para mover el sistema

desde la rueda se hace infinito

Fy = Fx .

Tg (λ-Ф)

ENTONCES UN SISTEMA ES IRREVERSIBLE CUANDO

λ < Ф

RENDIMIENTO

Lo podemos definir como:

η = Potencia útil = Fy x Vel tangencial Rueda

Potencia consumida Fx x Vel tangencial Tornillo

Vn = Vr cos λ = Vt sen λ

El rendimiento siempre se encuentra afectado por

el coeficiente de roce

Es el mismo rendimiento que en un tornillo de

movimiento

η = Fy Tg λ

Fx

η = Tg λ .

Tg (λ+Ф)

Como toda función matemática tiene un máximo y se da cuando λ = 45° - Ф / 2

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 10 20 30 40 50 60 70

Valores

En el gráfico se presentan los valores de rendimiento en función del ángulo de avance para distintos valores de μ ⟶ μ = 0,02 μ = 0,04 μ = 0,06 (decreciente)

Correspondiente a un = 20°

Se verifica que el rendimiento máximo se obtiene para valores de

=45°-

/2 , aumentando los rendimientos para los mismos valores de

con la disminución del coeficiente de rozamiento μ.

Funcionamiento y estructura de un engranaje

de tornillo sin fin

• El modelo de la figura permite estudiar el rendimiento y los momentos en un sistema sinfín corona.

• También, permite calcular la relación de transmisión y el alumno aprende de forma sencilla los conceptos básicos del engrane:

número de dientes y pasos de rosca, módulo, radio primitivo y distancia entre ejes.

• La rueda helicoidal y el tornillo sin fin son montados sobre rodamientos de bolas. Las fuerzas se generan por medio de juegos de pesas y se pueden variar de manera rápida y sencilla.

• El material didáctico, bien estructurado, describe los fundamentos técnicos y guía paso a paso por los distintos ensayos.

Nuestros tamaños modelos básicos

ofrecen rangos de rendimiento de 6kNm a

220kNm de la celebración de par, 200 Nm

a 63kNm de par de salida, 500 Nm a

271kNm de vuelco capacidad de carga de

momento, y las relaciones de la caja de

cambios de reducción de 30:1 hasta

156,600:1. El montaje puede realizarse

horizontalmente, verticalmente, o a través

de una combinación de múltiples ejes. la

protección casi completa de las partículas

ambientales como el polvo, la suciedad, la

arena, e incluso agua. A diferencia de los

gusanos normales que tocan un solo

diente, el gusano de reloj de arena

involucra 5 a 11 dientes en la línea de

paso de la corona de la rosca de reloj de

arena. Este aumento de la participación de

dientes da la caja de cambios de enorme

fuerza y poder