1ANALISA VARIABEL KOMPLEKSOIeh:Drs. Toto Bara Setiawan, M.Si.(Email :totobara@fkip.unej.ac.id)2 IIL KOMPLEKSDengan memiliki sistem bilangan real saja kita tidak dapat menyelesaikan persamaan x2 +1=0. Jadi disamping bilangan real kita perlu bilangan jenis baru. ilangan jenis baru ini dinamakan bilangan imajiner atau bilangan kompleks.3BILANGAN KOMPLEKS DAN OPERASINYADefinisi 1ilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk: a + bi atau a + ib, a dan b bilangan real dan i2= -1.Notasiilangan kompleks dinyatakan dengan huruf z, sedang huruf x dan y menyatakan bilangan real. Jika z = x + iy menyatakan sembarang bilangan kompleks, maka x dinamakan bagian real dan y bagian imajiner dari z. agian real dan bagian imaginer dari bilangan kompleks z biasanya dinyatakan dengan Re(z) dan Im(z).4OPERASI HITUNG PADA BILANGAN KOMPLEKSDEFINISI 2ilangan kompleks z1=x1+iy1 dan bilangan kompleks z2=x2+iy2 dikatakan sama, z1=z2, jika dan hanya jika x1=x2 dan y1=y2.DEFINISI 3Untuk bilangan kompleks z1=x1+iy1 danz2=x2+iy2jumlah dan hasilkali mereka berturut-turut didefinisikan sbb:z1+z2 = (x1+x2) + i(y1+y2)z1 z2 = (x1x2 -y1y2) + i(x1y2+x2y1)5impunan semua bilangan kompleksdiberi notasi Jadi = { z | z = x + iy, x, y }.Jika Im(z)=0 maka bilangan kompleks z menjadi bilangan real x, sehingga bilangan real adalah keadaan khusus dari bilangan kompleks, sehingga ? . Jika Re(z)=0 dan Im(z)=0, maka z menjadi iy dan dinamakan bilangan imajiner murni. ilangan imajiner murni dengan y=0, yakni bilanga i, dinamakan satuan imajiner.6Sifat-sifat Iapangan biIangan kompIeksimpunan semua bilangan kompleks bersama operasi penjumlahan dan perkalian ( ,+,) membentuk sebuah lapangan (1ield). dapun sifat-sifat lapangan yang berlaku pada bilangan kompleks z1,z2 dan z3 adalah sebagai berikut:1. z1+z2dan z1z2 . (sifat tertutup)2. z1+z2= z2+z1 dan z1z2= z2z1 (sifat komutatif)3. (z1+z2)+z3= z1+(z2+z3) dan (z1z2) z3= z1(z2z3)(sifat assosiatif)4. z1(z2+z3)=(z1z2)+(z1z3) (sifat distribtif)5. da 0=0+i0 , sehingga z+0=z(0 elemen netral penjumlahan)7. da 1=1+i0 , sehingga z1=z (1elemen netral perkalian7. Untuk setiap z=x+iyZ, ada -z=-x-iy)sehingga z+(-z)=0 8. Untuk setiap z=x+iyZ, ada z-1=sehinggazz-1=1.Tugas: uktikan sifat-sifat 1 - 8 menggunakan definsi yang telah diberikan.8ontoh soaI:1. Jika z1=x1+iy1 dan z2=x2+iy2, buktikan bahwa: z1 - z2= (x1 - x2)+i(y1 - y2)2. Diketahui: z1=2+3i dan z2=5-i.tentukan z1 + z2, z1 - z2, z1z2, dan 21zz9KompIeks SekawanJika z = x + iy bilangan kompleks, maka bilangan kompleks sekawan dari z ditulis , didefinisikan sebagai = (x,-y) = x - iy.Contoh:sekawan dari 3 + 2i adalah 3 - 2i , dan sekawan dari 5iadalah -5i.Operasi aljabar bilangan kompleks sekawan di dalam himpunan bilangan kompleks memenuhi sifat-sifat berikut :z10Teorema 1 :a. Jika z bilangan kompleks, maka :1.2.3.4. ))2 2) z m( ) z Re( z z) z m( 2 z z) z Re( 2 z zz z+ = = = +=11b. Jika z1, z2 bilangan kompleks , maka :1.2.3.4., dengan z2=0.2 1 2 1z z z z + = +2 1 2 1z z z z= 2 1 2 1z z z z= 2121zzzz='+

'

2 1 2 1z z z z + = +2 1 2 1z z z z= 2 1 2 1z z z z= 2 1 2 1z z z z + = +2 1 2 1z z z z= 12Interpretasi Geometris BiIangan KompIeksKarena z = x + iy dapat dinyatakan sebagai z= (x,y), merupakan pasangan terurut bilangan real, maka z dapat digambarkan secara geometri dalam koordinat Kartesius sebagai sebuah titik (x,y). Pemberian nama untuk sumbu x diubah menjadi sumbu Real dan sumbu y diubah menjadi sumbu Imajiner. idang kompleks tersebut di beri nama bidang rgand atau bidang z. Jika kita hubungkan titik asal (0,0) dengan titik (x,y), maka terbentuk vektor; sehingga bilangan kompleks z = x+iy = (x,y) dapat dipandang sebagai vektor z. rti geometris dari penjumlahan dan pengurangan bilangan kompleks dapat dilihat pada gambar berikut.13Rem) y , x ( z OOArgan Bidangz14mRe2z1zO2 1z z +15Rem2z2z 1z2 1z z O16Tugas :Diketahui z1 = 2 + 3i dan z2 = 5 - i.ambarkan padabidang kompleks (bidang argand), z1, z2, z1+ z2, z1- z2,

2 1 2 1 2 1z z , z z , z , z+17ModuIus (NiIai MutIak) dari BiIangan KompIeksDefinisi 4 :Jika z = x+iy = (x,y) bilangan kompleks, makamodulus dari z, ditulis