1ANALISA VARIABEL KOMPLEKSOleh:Drs. Toto Bara Setiawan, M.Si.(Email :totobara@fkip.unej.ac.id)2BAB IBILANGAN KOMPLEKSDengan memiliki sistem bilangan real saja kita tidak dapat menyelesaikan persamaan x2 +1=0. Jadi disamping bilangan real kita perlu bilangan jenis baru. Bilangan jenis baru ini dinamakan bilangan imajiner atau bilangan kompleks.3BILANGAN KOMPLEKS DAN OPERASINYADefinisi 1Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk: a + bi atau a + ib, a dan b bilangan real dan i2= 1.NotasiBilangan kompleks dinyatakan dengan huruf z, sedang huruf x dan y menyatakan bilangan real. Jika z = x + iy menyatakan sembarang bilangan kompleks, maka x dinamakan bagian real dan y bagian imajiner dari z. Bagian real dan bagian imaginer dari bilangan kompleks z biasanya dinyatakan dengan Re(z) dan Im(z).4OPERASI HITUNG PADA BILANGAN KOMPLEKSDEFINISI 2Bilangan kompleks z1=x1+iy1dan bilangan kompleks z2=x2+iy2dikatakan sama, z1=z2, jika dan hanya jika x1=x2dan y1=y2.DEFINISI 3Untuk bilangan kompleks z1=x1+iy1danz2=x2+iy2jumlah dan hasilkali mereka berturut-turut didefinisikan sbb:z1+z2= (x1+x2) + i(y1+y2)z1 z2= (x1x2 y1y2) + i(x1y2+x2y1)5Himpunan semua bilangan kompleksdiberi notasi Jadi = { z | z = x + iy, x, y }.Jika Im(z)=0 maka bilangan kompleks z menjadi bilangan real x, sehingga bilangan real adalah keadaan khusus dari bilangan kompleks, sehingga . Jika Re(z)=0 dan Im(z)0, maka z menjadi iy dan dinamakan bilangan imajiner murni. Bilangan imajiner murni dengan y=0, yakni bilanga i, dinamakan satuan imajiner.6Sifat-sifat lapangan bilangan kompleksHimpunan semua bilangan kompleks bersama operasi penjumlahan dan perkalian ( ,+,) membentuk sebuah lapangan (field). Adapun sifat-sifat lapangan yang berlaku pada bilangan kompleks z1,z2dan z3adalah sebagai berikut:1. z1+z2 dan z1z2 . (sifat tertutup)2. z1+z2= z2+z1dan z1z2= z2z1 (sifat komutatif)3. (z1+z2)+z3= z1+(z2+z3) dan (z1z2) z3= z1(z2z3)(sifat assosiatif)4. z1(z2+z3)=(z1z2)+(z1z3) (sifat distribtif)5. Ada 0=0+i0 , sehingga z+0=z(0 elemen netral penjumlahan)76. Ada 1=1+i0 , sehingga z1=z (1elemen netral perkalian7. Untuk setiap z=x+iy, ada z=xiy)sehingga z+(z)=0 8. Untuk setiap z=x+iy, ada z-1=sehinggazz-1=1.Tugas: Buktikan sifat-sifat 1 8 menggunakan definsi yang telah diberikan.8Contoh soal:1. Jika z1=x1+iy1dan z2=x2+iy2, buktikan bahwa: z1 z2= (x1 x2)+i(y1 y2)2. Diketahui: z1=2+3i dan z2=5i.tentukan z1 + z2, z1 z2, z1z2, dan 21zz9Kompleks SekawanJika z = x + iy bilangan kompleks, maka bilangan kompleks sekawan dari z ditulis , didefinisikan sebagai = (x,y) = x iy.Contoh:sekawan dari 3 + 2i adalah 3 2i , dan sekawan dari 5iadalah 5i.Operasi aljabar bilangan kompleks sekawan di dalam himpunan bilangan kompleks memenuhi sifat-sifat berikut :z10Teorema 1 :a. Jika z bilangan kompleks, maka :1.2.3.4.? A ? A2 2) z Im( ) z Re( z z) z Im( 2 z z) z Re( 2 z zz z+ = = = +=11b. Jika z1, z2bilangan kompleks , maka :1.2.3.4., dengan z20.2 1 2 1z z z z + = +2 1 2 1z z z z= 2 1 2 1z z z z= 2121zzzz='+

'

2 1 2 1z z z z + = +2 1 2 1z z z z= 2 1 2 1z z z z= 2 1 2 1z z z z + = +2 1 2 1z z z z= 12Interpretasi Geometris Bilangan KompleksKarena z = x + iy dapat dinyatakan sebagai z= (x,y), merupakan pasangan terurut bilangan real, maka z dapat digambarkan secara geometri dalam koordinat Kartesius sebagai sebuah titik (x,y). Pemberian nama untuk sumbu x diubah menjadi sumbu Real dan sumbu y diubah menjadi sumbu Imajiner. Bidang kompleks tersebut di beri nama bidang Argand atau bidang z. Jika kita hubungkan titik asal (0,0) dengan titik (x,y), maka terbentuk vektor; sehingga bilangan kompleks z = x+iy = (x,y) dapat dipandang sebagai vektor z. Arti geometris dari penjumlahan dan pengurangan bilangan kompleks dapat dilihat pada gambar berikut.13ReIm) y , x ( z yOArgan Bidangz14ImRe2z1zO2 1z z +15ReIm2z2z 1z2 1z z O16Tugas :Diketahui z1= 2 + 3i dan z2= 5 i.Gambarkan padabidang kompleks (bidang argand), z1, z2, z1+ z2, z1- z2,

2 1 2 1 2 1z z , z z , z , z+17Modulus (Nilai Mutlak) dari Bilangan KompleksDefinisi 4 :Jika z = x+iy = (x,y) bilangan kompleks, makamodulus dari z, ditulis `z` = `x+iy` =Arti geometri dari modulus z adalah merupakan jarak dari titik O(0,0) ke z = (x,y). Akibatnya, jarak antara dua bilangan kompleks z1=x1+iy1 dan z2= x2+iy2 adalah 2 2y x +22 122 1) y y ( ) x x (+ 18Selanjutnya apabila z1=x1+iy1 dan r real positif,maka `z z1` = r merupakan lingkaran yang berpusat dititik z1dengan jari-jari r.Bagaimanakah dengan `z z1` < r dan `z z1` > rGambarkanlah pada bidang z.19Teorema 2 :A. Jika z bilangan kompleks, maka berlaku :1.2.3.4.5. ) z Im( ) z Im( z) z Re( ) z Re( zz z zz z) z Im( ) z Re( z22 2 2u uu u ==+ =20B. Jika z1, z2bilangan kompleks, maka berlaku :1.2.3.4.5.Tugas :Buktikanlah teorema A di atas dengan memisalkan z = x+iy, kemudian berdasarkan hasil A, buktikan juga teorema B !2 1 2 12 1 2 12 1 2 121212 1 2 1z z z zz z z zz z z zzzzzz z z z u u + += = 211. Bukti: 2 1 2 1z z z z= ) iy x ( ) iy x ( z z2 2 1 1 2 1++ = ) y x y x ( i ) y y x x (1 2 2 1 2 1 2 1+ +=2 1 2 121222221 2 1 2 122212221y y x x 2 y x y x y y x x 2 y y x x + + ++ =21 2 2 122 1 2 1) y x y x ( ) y y x x ( + +=) y x ( ) y x (22222121++ =) y x ( ) y x (22222121++ =2 1z z=2 1 2 1z z z z=222. Bukti: 2 22 22 21 121iy xiy xiy xiy xzz

++=22222 1 1 222222 1 2 1y xy x y xiy xy y x x+

+++=222222 1 1 2222222 1 2 1y xy x y xy xy y x x'+

'

+

+'+

'

++=2 22222 1 2 122212122 2 1 2 122212221) y x (y y x x 2 y x y x y y x x 2 y y x x+ + + + +=) y x ( ) y x () y x ( ) y x (2222222222222121++++=. terbuktizzy xy x2122222121=++=233. Bukti:2 1 2 1z z z z + +21 2 2 1) y x y x ( 02 1 2 121222221y y x x 2 y x y x 0+ 21222221 2 1 2 1y x y x y y x x 2 + 2122222122212221 2 1 2 122212221y x y x y y x x y y x x 2 y y x x + + + + +) y x )( y x ( ) y y x x (2222212122 1 2 1+ + +) y x )( y x ( 2 ) y y x x ( 222222121 2 1 2 1+ + + + + + + +22 2 12122 2 121y y y 2 y x x x 2 x2222222221212121y x ) y x )( y x ( 2 y x + + + + + + 22222212122 122 1y x y x ) y y ( ) x x ( + + + + + +2222212122 122 1y x y x ) y y ( ) x x ( + + + + + +terbuktiz z z z2 1 2 1+ +244. Bukti:2 1 2 1z z z zu 2 1 2 12 1 2 12 2 12 2 1 1z z z zz z z zz z zz z z z u ++=25Bentuk Kutub (Polar) dan Eksponen dari BilanganKompleksSelain dinyatakan dalam bentuk z = x+iy = (x,y),bilangan kompleks z dapat dinyatakan pula dalambentuk koordinat kutub atau Polar, yaitu z = (r,U).ImRe) , r ( ) y , x ( z U = =Ur z=O26Adapun hubungan antara keduanya, danadalah :x = r cosU , y = r sinU,sehinggaU = arc tanU adalah sudut antara sumbu x positif dengan ozdidapat jugaJadi, bentuk kutub bilangan kompleks z adalahz = (r,U) = r(cosU + i sinU) = r cisU.dan sekawan dari z adalah = (r, -U) = r(cosU - i sinU).'+

'

xyz y x r2 2= + =) y , x ( ) , r ( U27Definisi 5 :Pada bilangan kompleks z = (r, U) = r(cos U + i sin U), sudut U disebut argument dari z, ditulis arg z. Sudut Udengan 0 U < 2T atau -T < U T disebut argument utama dari z, ditulis U = Arg z. Pembatasan untuk sudut U tersebut dipakai salah satu saja.Definisi 6 :Dua bilangan kompleks z1= r1(cos U1+ i sin U1) dan z2= r2(cos U2+ i sin U2) dikatakan sama, jika r1= r2, dan U1= U2.28Selain penulisan bilangan kompleks z = (x , y) = (r, U)= r(cos U + i sin U) = r cis U, maka anda dapatmenuliskan z dalam rumus Euler (eksponen), yaitu z =reiU, dan sekawannya adalah re-iU.Tugas:Buktikan bahwa eiU= cos U + i sin U, dengan menggunakan deret MacLaurin untuk cos U , sinUdan etdengan mengganti t = iU.29Contoh :Nyatakan bilangan kompleks z = 1 + i dalam bentukpolar dan eksponen !30Contoh :Nyatakan bilangan kompleks z = 1 + i dalam bentukpolar dan eksponen !Jawab :z = 1 + i,r =, tan U = 1, sehingga U = 45= TJadi z = (cos T + i sin T) =cis T = 241412412i4eT24131Pangkat dan Akar dari Bilangan Kompleks Perkalian dan PemangkatanTelah kita ketahui bahwa bilangan kompleks dalambentuk kutub adalah z = r(cosU + i sinU).Jika z1= r1(cosU1+ i sinU1) & z2= r2(cosU2+ i sinU2),maka kita peroleh hasil perkalian keduanya sebagaiberikut :z1z2= [r1(cosU1+ i sinU1)][r2(cos U2+ i sinU2)]z1z2= r1r2[(cosU1cosU2- sinU1sinU2) +i (sinU1cosU2+ cosU1sinU2)]z1z2= r1r2[cos (U1+U2) + i sin (U1+U2)]32Dari hasil perkalian tersebut diperoleh:arg(z1z2) =U1+U2= arg z1+ arg z2Pertanyaan : Bagaimanakah jika kita perkalikan z1z2 . . . zndan z z z z z = zn?33Jika diketahui:z1= r1(cos U1+ i sin U1)z2= r2(cos U2+ i sin U2)zn= rn(cos Un+ i sin Un), untuk n asli,maka secara induksi matematika, diperolehrumus perkalian z1z2 zn = r1r2rn[cos (U1+ U2++Un) + i sin (U1+ U2++Un)] . Akibatnya jika, z = r(cos U + i sin U) maka zn= rn(cos nU + i sin nU).. . . . . . . . . .1Khusus untuk r = 1, disebut Dalil De-Moivre(cos U + i sin U)n= cos nU + i sin nU, n asli./34Pembagian:Sedangkan pembagian z1dan z2adalah sebagaiberikut:Setelah pembilang dan penyebut dikalikan dengansekawan penyebut, yaitu r2(cosU2- i sinU2), makadiperoleh : [cos (U1-U2) + i sin (U1-U2)]Dari rumus di atas diperoleh:arg U1-U2= arg z1 arg z2.) sin i (cos r) sin i (cos rzz2 2 21 1 121U + UU + U=2121rrzz==21zz35Akibat lain jika z = r(cosU + i sinU),maka:Untuk: .Setelah pembilang dan penyebut dikalikan sekawanpenyebut, maka didapat :. . . . . . . 2 U + U=U+ U=n sin i n cos r1z1) sin( i ) cos(r1z1n n) n sin( i ) n cos(r1z1n nU+ U=36Dari 1 dan 2 diperoleh:, Dalil De-Moivreberlaku untuk semua n bilangan bulat.) n sin( i ) n cos( r zn nU + U =37Contoh:Hitunglah :Jawab :Misalkan makakarena z di kuadran IV, maka dipilihjadi 31tan2 1 3 z r, i 3 z

= U= + = = = 66o o 66o o2) 0 1 ( 2180 sin i 180 cos 2 i 330 sin i 30 cos 2 i 3

=+= += += o30= U 6i 3

38Akar Bilangan KompleksBilangan kompleks z adalah akar pangkat n dari bilangan kompleks w, jika zn= w, dan ditulis.Jika z = V(cosJ +i sinJ) akar pangkat n dari bilangan kompleks w = r(cosU+i sinU), maka dari zn= w diperoleh: Vn(cosnJ +i sinnJ) = r(cosU+i sinU), sehinggaVn= r dan nJ= U+2kT , k bulat.Akibatnya dan Jadi . . .n1w z =n1r = Vnk 2T + U= J39Jadi, akar pangkat n dari bilangan kompleksw = r(cosU+i sinU) adalah:z = [cos( ) + i sin ( )],k bulat dan n bilangan asli.Dari persamaan zn= w, ada n buah akar berbeda yang memenuhi persamaan itu.Untuk mempermudah dipilih k = 0,1,2,3,,(n-1);0 < 2T, sehingga diperoleh z1,z2,z3,,znsebagai akar ke-n dari z.n1rnk 2T + Unk 2T + Unk 2T + U40Contoh :Hitunglah (-81)1/4Jawab :Misalkan z = (-81)1/4, berarti harus dicari penyelesaianpersamaan z4= -81.Tulis z = V(cosJ +i sinJ) dan 81 = 81(cos1800+i sin1800),sehinggaV4(cos4J +i sin4J) = 81(cos1800+i sin1800),diperolehV4= 81, atau V = 3 dan .Jadi z = 3[cos( )+i sin( )]Keempat akar yang dicari dapat diperoleh denganmensubstitusi k = 0,1,2,3 ke persamaan terakhir.4k 2T + T= J4k 2T + T4k 2T + T41Latihan Soal Bab I1. Buktikan Teorema 1 dengan memisalkan z = (x,y) = x + iy.2. Diketahui z1= 6 + 5i dan z2= 8 i.Tentukan z1 + z2, z1 - z2 , z1z2, dan z1 / z23. Jika z = -1-i, buktikan z2+ 2z + 2 = 0.4. Cari bilangan kompleks z yang memenuhisifat: a. z-1= z danb.5. Buktikan untuk setiap z bilangan kompleksberlaku : z1. + .z2 = 2Re(z1.)6. Hitung jarak antara z1= 2 + 3i dan z2= 5 i. z z=1z2z2z427.Gambarkan pada diagram argand dansebutkan nama kurva yang terjadi :a. `z 5` =6 dan `z 5` >6b. `z + i` = `z i`c. 1 < `z i` < 38.Nyatakan bilangan kompleks z = 2 -2i dalambentuk polar dan eksponen !9.Hitunglah (-2+2i)1510.Tentukan himpunan penyelesaian dari : z3- i = 043BAB IIFUNGSI , LIMIT DAN KEKONTINUANSebelum dibahas mengenai fungsi kompleks, maka perlu dipelajari konsep-konsep topologi yang akan digunakan pada fungsi kompleks.Konsep-Konsep Topologi Pada Fungsi KompleksHimpunan pada pembahasan ini adalah koleksi atau kumpulan titik-titik pada bidang Z. Dianggap anda telah memahami operasi pada himpunan yaitu gabungan, irisan, penjumlahan dan pengurangan beserta sifat-sifatnya.441. Lingkungan/persekitarana. Persekitaran zoadalah himpunan semua titik z yangterletak di dalam lingkaran yang berpusat di zo,berjari-jari r, r > 0. Ditulis N(zo,r) atau`z zo` < r.b. Persekitaran tanpa zoadalah himpunan semua titikz{zo yang terletak di dalam lingkaran yang berpusat di zo, berjari-jari r, r > 0. Ditulis N*(zo,r) atau0< `z zo` < r.45Contoh :a. N(i,1) atau`z i ` < 1, lihat pada gambar 1b. N*(O,a) atau 0< `z O` < a, lihat pada gambar 2ImReyii 2 yO1 gambarReImO2 gambara462. KomplemenAndaikan S suatu himpunan. Komplemen dari S ditulis Sc,merupakan himpunan semua titik pada bidang Z yang tidak termasuk di S.Contoh :Gambarkan !A = { z | Im z< 1}, maka Ac= { z | Im zu 1}.B ={ z | 2 0 demikian sehingga lingkaran |z zo| = Hhanya melingkari titik singular lainnya. Jika H seperti itu tidak ada, maka z = zodisebut titik singular tidak terisolasi.1262. Titik Pole (titik kutub)Titik z = zodisebut titik pole tingkat n, jika berlaku . Jika n = 1, zodisebut sebagai titik pole sederhana.3. Titik Cabang Dari fungsi bernilai banyak dapat menjadi titik singular.4. Titik Singular dapat dihapuskan Titik singular zodisebut titik singular dapat dihapuskandari f(z) jika f(z) ada.0 A ) z ( f ) z z ( limnoz zo{ = o zlim1275. Titik Singular Essensial Titik singular z = zoyang tidak memenuhi syarat titiksingular pole titik cabang atau titik singular yang dapatdihapuskan disebut titik singular essensial.6. Titik Singular tak hingga Jika f(z) mempunyai titik singular di z = g, maka samadengan menyatakan f(1/w) mempunyai titik singular diw = 0.128Contoh 3.6.1 g(z) = berarti titik z = i adalah titik pole tingkat 2 dari g(z) h(z) = |z|2tidak merupakan titik singular k(z) = ln (z2+ z 2) maka titik cabang adalah z1= 1 dan z2= 2karena(z2+ z 2) = (z 1) (z + 2) = 0 2) 1 z (1

1293.7 Fungsi Harmonikf(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik pada D maka u dan v mempunyai derivatif parsial di semua orde yang kontinue pada D. Jadi dalam D berlaku C-R , ux= vydan uy= vxKarena derifatif-derivatif parsial dari u dan v kontinue dalam D, maka berlaku vxy= vyx. Jika dalam ux= vydan uy= vxdiderivatifkanparsial terhadapx dan ymaka (x,y) D berlakuuxx+ uyy= 0vxx= vyy= 0 130Jika f analitik pada D maka u dan v pada D memenuhi persamaan differensial Laplace dalam 2 dimensi.u dan v dimana f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik pada suatu domain maka f(z) harmonik pada domain tersebut.Dua fungsi u dan v sedemikian sehingga f(z) = u(x,y) + iv(x,y)analitik dalam suatu domain dinamakan dua fungsi yang harmonik konjugat dalam domain itu.0y x2222=xN x+xN x131Contoh 3.7.1Diberikan u(x,y) harmonik pada D dan tentukan fungsi v yang harmonik konjugat dengan u = 4xy3 12x3y,(x,y) Jawab : Misal diklaim konjugatnya adalah v(x,y) jadi f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik pada sedemikian sehingga berlaku C-R ux= vydan uy= -vxux= 4y3 12x2y vy= 4y3 12x2yuy= 12xy2 4x3v= y46x2y2+ g(x)karena vx = uymaka 12xy2+ g(x) = 12xy2+ 4x3sehingga g(x) = 4x3diperoleh g(x) = x4 + CJadi v = y46x2y2+ x4+ C132Cara Milne ThomsonCara yang lebih praktis menentukan fungsi harmonik konjugat atau dari fungsi harmonik u diberikan u(x,y) harmonik pada D andaikan v(x,y) sehingga f(z) = u(x,y)+ iv(x,y) analitik pada D f(z) = ux(x,y) + ivx(x,y)sesuai persamaan C-R : f(z) = ux(x,y) iuy(x,y)z = x + iydan = x iy sehingga diperolehzi 2z zy dan2z zx

=+='+

'+i 2z z,2z z'+

'+i 2z z,2z zf(z) = ux iuy133Suatu identitas dalam z dan, jika diambil = z maka f(z) = ux(z,0) iuy(z,0)Jadi f(z) adalah fungsi yang derivatifnyaux(z,0) iuy(z,0) kemudian didapat v(x,y)z z134Contoh 3.7.2Dari Contoh 3.7.1 dengan u= 4xy3 4x3y, (x,y) , jika diselesaikan dengan menggunakan cara Milne Thomson.Jawab :ux= 4y3 12x2yuy= 12xy2 4x3f(z) = ux(z,0) iuy(z,0)= i( 4z3)= 4iz3sehingga f(z) = iz4+ Af(z) = i(x + iy)4+ A= 4xy3 4x3y + i(x46x2y2+ y4) + A