ELEKTROMAGTIKA II

Simon Patabang, ST. MT.

Materi Kuliah

1. Analisa Vektor

2. Bilangan Kompleks

3. Sistem Koordinat

4. Turunan Berarah (Gradien) Dan Divergensi

5. Curl (Rotasi) Dan Makna Fisisnya5. Curl (Rotasi) Dan Makna Fisisnya

6. Gaya Coulomb Dan Intensitas Medan Listrik

7. Fluks Listrik Dan Hukum Gauss

8. Energi Dan Potensial

9. Medan Magnet Tunak (Steady)

10.Persamaan Poisson Dan Laplace

Referensi

1. Boas, Mary L. Mathematical Methads in The Physical Sciences. 1983, Jhon Wiley & Sons. Inc

2. Edminister, Josep A. Theory And Problems Of Electromagnetics (Schaum Series). 1984, Mc Graw –Hill. Inc

3. Feymen, Richard. The Feymen Lecturey on Physics 3. Feymen, Richard. The Feymen Lecturey on Physics Mainly Electromagneticsm and Matter. 1966. Addis on-Wesly Publishing Company.

4. Sadiku, Mathew N. O. Elements Of Electromagnetics. 1989, Saundres College Publishing.

5. Spiegel, Murray R. Theory And Problems Of VektorAnalysis (Schaum Series). 1959, Mc Graw- Hill. Inc

Aturan Penilaian

1. Tugas I = 20%

2. Tugas II = 20%

3. Tugas III = 20%

4. Tugas VI = 20%

5. Tugas V = 20% 5. Tugas V = 20%

========

100%

Syarat :

1. Absen Kuliah

2. Tidak Terlambat kumpulkan Makalah

BAB IBILANGAN KOMPLEKS

Definisi 1Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk: z = x + iy

Notasi• Bilangan kompleks dinyatakan dengan huruf z,

5

• Bilangan kompleks dinyatakan dengan huruf z,sedang huruf x dan y menyatakan bilangan real.

• Jika z = x + iy menyatakan sembarang bilangankompleks, maka x disebut bagian real dan y disebutbagian imajiner dari z.

• Bagian real dan bagian imaginer dari bilangankompleks z biasanya dinyatakan dengan Re(z) danIm(z).

Jika z1=x1+ iy1 dan z2=x2 + iy2

• z1=z2 dikatakan sama jika dan hanya jika x1=x2 dany1=y2.

• Penjumlahan Bilangan kompleks :z1+z2 = (x1 + iy1) + (x2 + iy2)

6

1 2 1 2 2

z1+z2 = (x1+x2) + i(y1+y2)• Perkalian Bilangan kompleks :

z1 • z2 = (x1 + iy1) (x2+ iy2)z1 • z2 = (x1x2 –y1y2) + i(x1y2+x2y1)

• Himpunan semua bilangan kompleks diberinotasi ℂJadi ℂ = { z | z = x + iy, x∈ℝ, y∈ℝ }.

• Jika Im(z)=0 maka bilangan kompleks z menjadibilangan real x, sehingga bilangan real adalahkeadaan khusus dari bilangan kompleks,

7

bilangan real x, sehingga bilangan real adalahkeadaan khusus dari bilangan kompleks, sehingga ℝ⊂ℂ .

• Jika Re(z)=0 dan Im(z)≠0, maka z menjadi iy dandinamakan bilangan imajiner murni.

Sifat-sifat Bilangan Kompleks

Sifat-sifat yang berlaku pada bilangan kompleks z1,z2dan z3 adalah sebagai berikut:

1. z1+z2 ∈ ℂ dan z1•z2 ∈ ℂ . (sifat tertutup)2. z1+z2= z2+z1 dan z1•z2= z2•z1 (sifat komutatif)3. (z +z )+z = z +(z +z ) dan (z •z ) •z = z •(z •z )

8

3. (z1+z2)+z3= z1+(z2+z3) dan (z1•z2) •z3= z1•(z2•z3)(sifat assosiatif)

4. z1•(z2+z3)=(z1•z2)+(z1•z3) (sifat distribtif)5. Ada 0=0+i0 ∈ ℂ , sehingga z+0=z (0 elemen netral

penjumlahan)

6. Ada 1=1+i0 ∈ ℂ , sehingga z•1=z (1elemen netralperkalian

7. Untuk setiap z = x + iy ∈ ℂ, ada –z = –x –iysehingga z+(–z)=0

8. Untuk setiap z=x+iy ∈ ℂ, ada z-1=sehinggaz•z-1=1.

9

Latihan :

1. Jika z1=x1+iy1 dan z2=x2+iy2, buktikan bahwa: z1 – z2= (x1 – x2)+i(y1 – y2)

2. Diketahui: z1=2+3i dan z2=5–i.

10

2. Diketahui: z1=2+3i dan z2=5–i.tentukan z1 + z2, z1 – z2 , z1z2, dan

21

zz

Kompleks Sekawan

Jika z = x + iy bilangan kompleks, maka bilangankompleks sekawan dari z ditulis , didefinisikansebagai : (x,–y) = x – iy.

Contoh:

z

11

Contoh:sekawan dari 3 + 2i adalah 3 – 2i , dan sekawandari 5i adalah –5i.

Operasi aljabar bilangan kompleks sekawan di dalamhimpunan bilangan kompleks memenuhi sifat-sifatberikut :

Teorema 1 :

a. Jika z bilangan kompleks, maka :1.2.3. )zIm(2zz

)zRe(2zzzz

=−

=+

=

12

4. [ ] [ ]22 )zIm()zRe(zz)zIm(2zz

+=⋅

=−

b. Jika z1, z2 bilangan kompleks , maka :

1.2.3.

4. , dengan z2≠0.

2121 zzzz +=+

2121 zzzz −=−

2121 zzzz ⋅=⋅

2

121

zz

zz

=

2121 zzzz +=+

2121 zzzz −=−

2121 zzzz ⋅=⋅

2121 zzzz +=+

2121 zzzz −=−

13

Koordinat Bilangan Kompleks

• Bilangan kompleks z = x + iy dapat digambarkansecara geometri dalam koordinat Kartesius sebagaisebuah titik (x,y).

• Sumbu x disebut sumbu Real dan sumbu y disebutsumbu Imajiner. Bidang kompleks tersebut disebut

14

sumbu Imajiner. Bidang kompleks tersebut disebutbidang Argand atau bidang z.

• Jika kita hubungkan titik asal (0,0) dengan titik (x,y), maka terbentuk vektor; sehingga bilangan kompleksz = x + iy = (x,y) dapat dipandang sebagai vektor z..

Im

)y,x(z•

ArganBidangz

15

ReO

Bidang Kompleks Dalam Koordinat Kartesian

Im

1z

21 zz +

16

Re2z

O

Penjumlahan Vektor Bilangan Kompleks

Im

2z

1z

17

Re

2z−21 zz −

O

Pengurangan Vektor Bilangan Kompleks

Latihan :

Diketahui z1 = 2 + 3i dan z2 = 5 – i.Gambarkan pada bidang kompleks (bidang argand), z1,

z2, z1+ z2, z1- z2,

⋅

212121 zz,zz,z,z −+

18

Modulus (Nilai Mutlak) dari Bilangan Kompleks

Definisi 4 :

Jika z = x + iy = (x,y) bilangan kompleks, makamodulus dari z, ditulis |z| = |x+iy| = 22 yx +

19

Arti geometri dari modulus z adalah merupakan jarakdari titik O(0,0) ke z = (x,y). Akibatnya, jarak antara duabilangan kompleks z1 = x1+ iy1 dan z2 = x2 + iy2 adalah

221

221 )yy()xx( −+−

Selanjutnya apabila z1 = x1+ iy1 dan r real positif,

maka |z – z1| = r merupakan lingkaran yang berpusat di

titik z1 dengan jari-jari r.

Bagaimanakah dengan |z – z1| < r dan |z – z1| > r

Gambarkanlah pada bidang z.

20

Teorema 2 :A. Jika z bilangan kompleks, maka berlaku :

1.2.

3.

( ) ( )

zzz

zz)zIm()zRe(z

2

222

=

+=

21

3.4.5. )zIm()zIm(z

)zRe()zRe(zzzz 2

≥≥

≥≥

⋅=

B. Jika z1, z2 bilangan kompleks, maka berlaku :1.

2.

3.4.5.

2121

2121

2121

2

121

2121

zzzzzzzzzzzz

zz

zz

zzzz

−≥−

−≥−

+≤+

=

⋅=⋅

22

Latihan :

Buktikanlah teorema A di atas dengan memisalkan z =x + iy, kemudian berdasarkan hasil A, buktikan jugateorema B !

2121 zzzz −≥−

1. Bukti: 2121 zzzz ⋅=⋅

)iyx()iyx(zz 221121 +⋅+=⋅

)yxyx(i)yyxx( 12212121 ++−=

212121

22

22

212121

22

21

22

21 yyxx2yxyxyyxx2yyxx +++−+=

21221

22121 )yxyx()yyxx( ++−=

23

2121122121212121 yyxx2yxyxyyxx2yyxx +++−+=

)yx()yx( 22

22

21

21 +⋅+=

)yx()yx( 22

22

21

21 +⋅+=

21 zz ⋅=

2121 zzzz ⋅=⋅∴

2. Bukti:

2222

2211

21

iyxiyx

iyxiyx

zz

−

−⋅

+

+=

22

22

211222

22

2121yx

yxyxiyx

yyxx+

−+

+

+=

2

22

22

21122

22

22

2121yx

yxyxyx

yyxx

+

−+

+

+=

24

2222 yxyx + +

222

22

212122

21

21

222121

22

21

22

21

)yx(yyxx2yxyxyyxx2yyxx

+

−++++=

)yx()yx()yx()yx(

22

22

22

22

22

22

21

21

+⋅+

+⋅+=

.terbuktizz

yxyx

2

122

22

21

21 =

+

+=

3. Bukti: 2121 zzzz +≤+

21221 )yxyx(0 −≤

212121

22

22

21 yyxx2yxyx0 −+≤

21

22

22

212121 yxyxyyxx2 +≤

21

22

22

21

22

21

22

212121

22

21

22

21 yxyxyyxxyyxx2yyxx +++≤++

)yx)(yx()yyxx( 22

22

21

21

22121 ++≤+

)yx)(yx(2)yyxx(2 22

22

21

212121 ++≤+

25

)yx)(yx(2)yyxx(2 22112121 ++≤+

≤+++++ 2221

21

2221

21 yyy2yxxx2x

22

22

22

22

21

21

21

21 yx)yx)(yx(2yx ++++++

( )222

22

21

21

221

221 yxyx)yy()xx( +++≤+++

22

22

21

21

221

221 yxyx)yy()xx( +++≤+++

terbuktizzzz 2121 +≤+

4. Bukti: 2121 zzzz −≥−

2121

221

2211

zzzzzzzz

zzzzzzz

−≤−

+−≤

+−=

26

2121 zzzz −≥−∴

Bentuk Kutub (Polar) dan Eksponen dari BilanganKompleks

Selain dinyatakan dalam bentuk z = x+iy = (x,y),bilangan kompleks z dapat dinyatakan pula dalambentuk koordinat kutub atau Polar, yaitu z = (r,θ).

Im ),r()y,x(z

27

Im

Re

),r()y,x(z θ==

θ

rz =

O

Adapun hubungan antara keduanya, danadalah :

x = r cosθ , y = r sinθ,sehingga θ = arc tan

θ adalah sudut antara sumbu x positif dengan oz

xy

)y,x( ),r( θ

28

didapat juga

Jadi, bentuk kutub bilangan kompleks z adalahz = (r, θ) = r(cos θ + i sin θ) = r cis θ.dan sekawan dari z adalah = (r, -θ) = r(cos θ - i sin θ).

zyxr 22 =+=

Definisi 5 :

Pada bilangan kompleks z = (r, θ) = r(cos θ + i sin θ),sudut θ disebut argument dari z, ditulis arg z. Sudut θdengan 0 ≤θ < 2π atau -π < θ ≤ π disebut argumentutama dari z, ditulis θ = Arg z. Pembatasan untuksudut θ tersebut dipakai salah satu saja.

29

Definisi 6 :

Dua bilangan kompleks z1 = r1(cos θ1 + i sin θ1) danz2 = r2(cos θ2 + i sin θ2) dikatakan sama, jika r1 = r2,dan θ1 = θ2.

Bentuk Euler :

Penulisan Bilangan kompleks z = (x , y) = (r, θ) = r(cos θ + isin θ) = r cis θ,

Penulisan Bilangan kompleks z bentuk Euler (eksponen),yaitu :

z = reiθ, dan sekawannya adalah re-iθ.

30

z = reiθ, dan sekawannya adalah re-iθ.

Latihan :

Buktikan bahwa eiθ = cos θ + i sin θ, dengan menggunakanderet MacLaurin untuk cos θ , sin θ dan et denganmengganti t = iθ.

Contoh :Nyatakan bilangan kompleks z = 1 + i dalam bentukpolar dan eksponen !

31

Jawab :z = 1 + i, r = , tan θ = 1, sehingga θ = 45⁰= πJadi z = (cos π + i sin π) = cis π = 2 4

141 2 4

1 2 i4eπ

2 41

Perkalian dan Pemangkatan

Bilangan kompleks dalam bentuk kutub adalahz = r(cos θ + i sin θ).Jika z1 = r1(cos θ1 + i sin θ1) & z2 = r2(cos θ2 + i sin θ2),maka hasil perkaliannya sebagai berikut :

32

maka hasil perkaliannya sebagai berikut :

z1 z2 = [r1(cos θ1 + i sin θ1)][r2(cos θ2 + i sin θ2)]z1 z2 = r1 r2 [(cos θ1 cos θ2 - sinθ1sin θ2) +

i (sin θ1 cos θ2 + cos θ1sin θ2)]z1 z2 = r1 r2 [cos (θ1 + θ2 ) + i sin (θ1 + θ2)]

Dari hasil perkalian tersebut diperoleh:arg(z1 z2) = θ1 + θ2 = arg z1+ arg z2

Pertanyaan :

Bagaimanakah jika kita perkalikan z1 z2 . . . zn danz z z z … z = zn ?

33

z z z z … z = zn ?

Jika diketahui:z1 = r1(cos θ1 + i sin θ1)z2 = r2(cos θ2 + i sin θ2)

zn = rn(cos θn + i sin θn), untuk n asli,

maka secara induksi matematika, diperoleh rumusperkalian z1 z2 … zn = r1 r2 …rn[cos (θ1 + θ2+…+θn) + isin (θ1 + θ2+…+θn)] .

M

34

sin (θ1 + θ2+…+θn)] .

Akibatnya jika, z = r(cos θ + i sin θ) maka

zn = rn (cos nθ + i sin nθ). . . . . . . . . . .1

Khusus untuk r = 1, disebut Dalil De-Moivre(cos θ + i sin θ)n = cos nθ + i sin nθ, n asli.

Pembagian:Sedangkan pembagian z1 dan z2 adalah sebagai

berikut:

Setelah pembilang dan penyebut dikalikan dengan

sekawan penyebut, yaitu r2(cos θ2 - i sin θ2), maka

)sini(cosr)sini(cosr

zz

222111

21

θ+θ

θ+θ=

35

sekawan penyebut, yaitu r2(cos θ2 - i sin θ2), maka

diperoleh : [cos (θ1 - θ2 ) + i sin (θ1 - θ2)]

Dari rumus di atas diperoleh:

arg θ1-θ2 = arg z1 – arg z2.

21

21

rr

zz

=

=21

zz

Akibat lain jika z = r(cos θ + i sin θ),

maka:

Untuk: .

Setelah pembilang dan penyebut dikalikan sekawan

( )

( )θ+θ=

θ−+θ−=

nsinincosr1

z1

)sin(i)cos(r1

z1

nn

36

Setelah pembilang dan penyebut dikalikan sekawan

penyebut, maka didapat :

. . . . . . . 2( ))nsin(i)ncos(

r1

z1

nn θ−+θ−=

Dari 1 dan 2 diperoleh:

, Dalil De-Moivre

berlaku untuk semua n bilangan bulat.

)nsin(i)ncos(rz nn θ+θ=

37

berlaku untuk semua n bilangan bulat.

Contoh:Hitunglah :

Jawab :Misalkan maka

1tan

213zr,i3z

−

=+==

−=

( ) 6i3 −−

38

karena z di kuadran IV, maka dipilihjadi

31tan −

=θ

( )( ) ( )

6

6

oo66

oo

2)01(2

180sini180cos2i3

30sini30cos2i3

−

−

−−

−=

+−=

−+−=−

−+−=−

o30−=θ

Akar Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks z adalah akar pangkat n dari

bilangan kompleks w, jika zn = w, dan ditulis .

Jika z = ρ(cosφ +i sinφ) akar pangkat n dari bilangan

kompleks w = r(cosθ+i sinθ), maka dari zn = w

n1

wz =

39

diperoleh: ρn(cosnφ +i sinnφ) = r(cosθ+i sinθ),

sehingga ρn = r dan nφ= θ+2kπ , k bulat.

Akibatnya dan

Jadi . . .

n1

r=ρ nk2 π+θ

=φ

Jadi, akar pangkat n dari bilangan kompleks

w = r(cosθ+i sinθ) adalah:

z = [cos( ) + i sin ( )],

k bulat dan n bilangan asli.Dari persamaan zn = w, ada n buah akar berbeda

n1

r nk2 π+θ

nk2 π+θ

40

Dari persamaan zn = w, ada n buah akar berbedayang memenuhi persamaan itu.Untuk mempermudah dipilih k = 0,1,2,3,…,(n-1);0 ≤ < 2π, sehingga diperoleh z1,z2,z3,…,znsebagai akar ke-n dari z.

nk2 π+θ

Contoh :Hitunglah (-81)1/4

Jawab :Misalkan z = (-81)1/4, berarti harus dicari penyelesaianpersamaan z4 = -81.Tulis z = ρ(cosφ +i sinφ) dan –81 = 81(cos1800+i sin1800),

41

Tulis z = (cos +i sin ) dan –81 = 81(cos180 +i sin180 ),sehingga ρ4(cos4φ +i sin4φ) = 81(cos1800+i sin1800),diperoleh ρ4 = 81, atau ρ = 3 dan .Jadi z = 3[cos( )+i sin( )]Keempat akar yang dicari dapat diperoleh denganmensubstitusi k = 0,1,2,3 ke persamaan terakhir.

4k2 π+π

=φ

4k2 π+π

4k2 π+π

TUGAS 1 :

• No. Ganjil Untuk Absen No Ganjil

• No. Genap Untuk Absen No. Genap

1. Buktikan Teorema 1 dengan memisalkanz = (x,y) = x + iy.

2. Diketahui z1 = 6 + 5i dan z2 = 8 – i.Tentukan z + z , z - z , z z , dan z / z

42

Tentukan z1 + z2, z1 - z2 , z1z2, dan z1 / z23. Jika z = -1-i, buktikan z2 + 2z + 2 = 0.4. Cari bilangan kompleks z yang memenuhi

sifat: a. z-1 = z dan b. 5. Buktikan untuk setiap z bilangan kompleks

berlaku : z1. + .z2 = 2Re(z1. )6. Hitung jarak antara z1 = 2 + 3i dan z2 = 5 – i.

zz −=

1z2z 2z

7.Gambarkan pada diagram argand dansebutkan nama kurva yang terjadi :a. |z – 5| = 6 dan |z – 5| > 6b. |z + i| = |z – i|c. 1 < |z – i| < 3

43

8.Nyatakan bilangan kompleks z = 2 -2i dalambentuk polar dan eksponen !

9. Hitunglah (-2+2i)15

10.Tentukan himpunan penyelesaian dari : z3- i = 0

Sekian