MODUL 1BILANGAN KOMPLEKS

Bilangan kompleks z adalah suatu pasangan bilangan berurut (x,y) dari bilangan riil yang dinyatakan dengan, z=(x,y), ditulis :

z=x+yj = x+yi

dimana, x=Re(z) dan y=Im(z)

Contoh-contoh :(A) z = 3 + 2j(B) z= - 2+4j(C) z=-3 – 4j (D) z= 1 – 3j

DEFINISI BILANGAN KOMPLEKS

z=x+yj = x+yi

BIDANG KOMPLEK

Im(z)

Re(z)

BIDANG KOMPLEKSBidang kompleks adalah representasi bilangan kompleks dalam suatu bidang. Dalam sistem koordinat kartesius, sumbu x menyatakan bagian real, dan sumbu y menyatakan bagian immajiner

CONTOHBilangan kompleks, z=4 – 3j dalam bidang kompleks dapat digambarkan sebagai berikut.

OPERASI ARITMATIK BILANGAN KOMPLEKS

(1) Bilangan Kompleks Konjugate

(2) Penjumlahan

(3) Pengurangan

konjugate kompleks

yjxz

yjxz

jyyxx

jyxjyxzz

)()(

)()(

2121

221121

jyyxx

jyxjyxzz

)()(

)()(

2121

221121

22

22212212121

221121

))((

2)( ))((

)()(

))((

Perkalian )4(

yxyjxyjxzz

xyjyxyjxyjxz

jyxyxyyxx

jyxjyxzz

22

22

12212121

22

22

22

11

2

1

22

)()(

11

Pembagian (5)

yx

jyxyxyyxx

jyx

jyx

jyx

jyx

z

z

yx

yjxyjxyjx

yjxz

CONTOHPenjumlahan dua bilangan kompleks dalam bidang kompleks, z=z1+z2

CONTOHPengurangan dua bilangan kompleks dalam bidang kompleks, z=z1 – z2

CONTOH

8543

8519

)5()34()32()21(

2511

252

3421

)(

2035z

213z )(

1313z

510z (b)

47z (a)

:Maka

5;32

34; 21

Diketahui,

42

31

2

1

321

431

43

21

321

43

21

jijjj

zz

zz

jjj

z

zd

jzz

jzzc

jz

jz

jzz

jzjz

jzjz

j

jjj

jzz

zz

j

jjjj

zz

zze

269

2645

)32(5

21)34(

2641

263

)32()21()32)(21(

)(

34

12

31

31

Diketahui bilangan kompleks z=x+yj (lihat gambar), dengan subtitusi :

x=r cos ; y = r sin

Maka bilangan kompleks ditulis dalam bentuk polar adalah,

z = r cos + j r sin = r(cos + j sin ) = r dimana,

xy

z

yxr

1

22

tanarg

Z =2+j3=3.606 56.31∠ o

Re(z)

Im(z)

BENTUK POLAR BILANGAN KOMPLEKS

CONTOHNyatakan bilangan berikut ini dalam bentuk polar:(a) 3+j4 (b) −3+j4(c) −3−j4 (d) 3−j4Jawab :

o

o1

22

o

o1

22

13,535

13,5334

tan

543

43 )3(

13,535

13,5334

tan

543

43 )1(

z

r

jz

z

r

jz

PERKALIAN DAN PEMBAGIAN

)]2sin()2[cos(2 )4(

)]sin()[cos()(

)sin(cos

)sin(cos )3(

)2sin2(cos2 (2)

)]sin()[cos()(

))((

)sin(cos)sin(coszz (1)

: maka

)sin(cos

)sin(cos

)sin(cosz

Misalkan,

222

21212

121

2

1

22

11

222

111

2

1

2222121212121

2211

22211121

222222

111111

jrrz

jr

r

r

r

r

r

jr

jr

z

z

jrrz

jrrrr

rr

jrjr

rjrz

rjrz

rjr

CONTOH

.39.54-9.425000.6268.71204455302

Jadi,

464.3000.2)120sin120(cos41204

536.3536.3)45sin45(cos5455

0.1732.1)30sin30(cos2302

Mengingat,

1204455302 )4(

3827

))12(26(4

14

124

2614)3(

5230)804016()253(802445163 )2(

5832)6025(4)8(604258 )1(

oooo

ooo

ooo

ooo

ooo

oooo

o

ooooooo

ooooo

j

jj

jj

jj

TEOREMA De Moivre Jika z=r(cos +j sin ) dan n bilangan bulat positif, maka pangkat n dari z adalah :

nrr

njnrz

nn

nn

)(z

)sin(cos

n

Jika z=r(cos +j sin ) dan n bilangan bulat positif, maka akar pangkat n dari z diberikan oleh:

,......3,2,1,0

2sin

2cos /1

/1

k

nk

jn

kr

zz

n

nn

Kasus khusus, adalah zw

)22(

221

221

2

4sin

4cos2

2sin

2cos24i

Misal,

2sin

2cos

2sin

2cos

2

1

j

j

j

j

jrw

jrw

CONTOHHitunglah, ( –7+ j5)4

Jawab

33594325

)84.217sin84.217(cos5476

84.2175476

144,464)74(

]144,4674[j5)(-7

: maka

144,4674

75

tan5(-7)j5)(-7

Karena,

oo

o

o4

4o4

o

122

j

j

CONTOHHitunglah akar-akar dari , ( 5+ j3)1/2

Jawab

6646.0327.2

)18048.15(415.2j3)(5

6646.0327.2

48.15415.2

30.9621

)34(j3)(5

: maka

96,3034

53

tan35j3)(5

Karena,

oo1/2

o

o2/11/2

o

122

j

j

CONTOHHitunglah, akar dari, z3=1Jawab

CONTOHHitunglah, akar dari, z4=1Jawab

PENERAPAN BILANGAN KOMPLEKS

Perhatikan Gambar berikut ini : Dari gambar rangkaian R-L, dan diagram Phasor diperoleh ,

V = VR + jVL

Mengingat, VR = IR VL= IXL,dan XL=2fL reaktansi induktasiMaka : V = I(R+jXL), atau,

impedansi disebut jXRZ

2

L

ZV

fLRV

jXRV

IL

PENERAPAN BILANGAN KOMPLEKSPerhatikan Gambar berikut ini : Dari gambar rangkaian R-C, dan

diagram Phasor diperoleh ,

V = VR – jVC

Mengingat, VR = IR

XC-kapasitas reakktansi Maka : V = I(R – jXC), atau,

ohmc2

1 dan,

fCXIXV CCC

impedansi disebut 2

1

)2/1(

πfCRZ

ZV

fCRV

jXRV

IC

CONTOHHitung tahanan, dan kapasitas or induktansi dari impedansi berikut, f=50 Hz(a). Z=(4+j7) ohm(b). Z=15−60O

Jawab (a). Dari impedansi, Z=(4+j7) ohm maka diperoleh , R= 4.0 ohm XL= 7.0ohmKarena, XL=2fL, dan f=50Hz, maka induktansi

mH 22.3

H 0223.0 50 2

ohm 72

Hzf

XL L

(b). Dari impedansi, Z=15−60O

= 15(cos −60O + j sin −60O) = (7.50 − j12.99) ohmdiperoleh hasil R = 7.5 ohm XC= 12.00 ohmKarena,

μF 245

μF)99.12)(50(2

102

1C

kapasitas, maka2

1

6

C

C

fX

fCX

CONTOHHitung besarnya arus pada rangkaian RLC yang dipasang secara paralel seperti pada gambar

Jawab

A28.1532.82

)28.15343.0)(0240(I

Maka,

28.15343.00904.0331.0

1

0296.00171.0512

11

10.01011

120.0160.034

11

111Z1

: dimana ,

o

oo

o

321

33

22

11

321

j

YYYZ

Y

jjZ

Y

ZY

jjZ

Y

ZZZZV

I

SOAL-SOAL LATIHAN

Diketahui, z1 = 1+2j, z2=2 – j,z3= –2–3j dan z4= –3+2jHitunglah :(1) z1 z2 + z3z4(2) z1(z2 + z3 – z4)(3) z2(z1 + z3 – z4)(4) (z1 + z3)(z2 + z4)(5) (z2 – z3)(z1 – z4)

4321

42

432

1

43

21

43

21

4

3

2

1

)10(

)9( )8(

)7( )6(

zzzz

zz

zzz

z

zz

zz

zz

zz

z

z

z

z

4/3

4/1

3/2

3/1

1/2

6

5

4

3

2

)128)(20(

)84)(19(

)34)(18(

)48( )17(

3j)-(2 )16(

j3)(2 )15(

j2)(-1 )14(

)3j-(1 )13(

j4)(2 )12(

)3j-(3 (11)

hitunglah, polar

koordinat pendekatan Dengan

j

j

j

j

SOAL-SOAL LATIHAN1. Determine the resistance R and

series inductance L (or capacitance C) for each of the following impedances assuming the frequency to be 50 Hz. (a) (3+j8) (b) (2−j3) (c) j14 (d) 8 −60◦ ∠

2. Two impedances, Z1 =(3+j6) and Z2 =(4−j3) are connected in series to a supply voltage of 120V. Determine the magnitude of the current and its phase angle relative to the voltage.

3. If the two impedances in Problem 2 are connected in parallel determine the current flowing and its phase relative to the 120V supply voltage.

4. A series circuit consists of a 12 resistor, a coil of inductance 0.10H and a capacitance of 160 μF. Calculate the current flowing and its phase relative to the supply voltage of 240V, 50 Hz.

5. Applying mesh-current analysis to an a.c. circuit results in the following equations:

(5 − j4)I1 − (−j4)I2 = 100 0◦∠ (4 + j3 − j4)I2 − (−j4)I1 = 0 Solve the equations for I1 and I2.

6. Mesh-current analysis produces the following three equations:

20 0◦ = (5 + 3 − ∠ j4)I1 − (3 − j4)I2 10 90◦ = (3 − ∠ j4 + 2)I2 − (3 − j4)I1 −

2I3 −15 0◦ − 10 90◦ = (12 + 2)∠ ∠ I3 − 2I2 Solve the equations for the loop

currents I1, I2 and I3.7. Untuk rangkaian seperti pada

gambar hitunglah besarnya arus dan sudut phasanya.