BAB 7 GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI
Transcript of BAB 7 GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI
53
GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI SEDERHANA
Pada fungsi trigonometri variabel bebasnya adalah
sudut., sehingga daerah asal fungsi itu merupakan sebuah
himpunan sudut. Harga fungsi trigonometri suatu sudut
merupakan sebuah bilangan riil, jadi daerah hasil fungsi itu
sebuah bilangan riil.
Apabila besar sudut dinyatakan dalam radian berarti besar
sudut sama dengan perbandingan panjang busur di hadapan
sudut dan jari-jari lingkaran dimana sebagai sudut pusatnya.
Oleh karena dalam perbandingan itu komponen-komponennya
mempunyai satuan yang sama,yaitu satuan panjang, maka besar
sudut merupakan bilangan murni. Jadi daerah asal fungsi
trigonometri adalah sebuah bilangan riil.
Menggambar grafik fungsi y= f(x) dapat dilakukan dengan
meletakkan titik-titik P(x,y) pada bidang koordinat kemudian
menghubungkan titik-titik ini sehingga terjadi kurva mulus.
Contoh gambar grafik fungsi y = sin x
x dalam radian
Daerah asal
Daerah hasil
Apabila skala pada sumbu x sama dengan skala pada sumbu y dan jari-jari lingkaran r
=1 satuan maka harga x dapat kita gambarkan
KOMPETENSI DASAR
Memanipulasi aljabar untuk
merancang rumus trigonometri
dan menyusun suatu bukti.
INDIKATOR
Mampu menentukan titik
potong grafik fungsi
dengan sumbu x,y
Menentukan asimtot grafik
Menentukan harga ekstrim
grafik fungsi
Melukis grafik fungsi
trigonometri
BAB 7 GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI
54
Contoh 2 : Gambar grafik fungsi y = cos x
Daerah asal
Daerah hasil
GRAFIK FUNGSI YANG DIPEROLEH DARI FUNGSI TRIGONOMETRI SEDERHANA
1. Bentuk y = kf(x) dimana f(x) adalah salah satu fungsi trigonometri .
k adalah bilangan riil, dan . Grafik y = k f(x) dapat diperoleh dari grafik y = f(x)
dengan jalan mengalikan ordinat y = f(x) dengan k
Apabila k>0 maka arah ordinat yang baru sama dengan arah ordinat lama. Jika k<0,
maka arah ordinat yang baru berlawanan dengan arah ordinat lama.
Contoh :
Lukislah grafik y = 2 sin x………..perhatikan grafik yang merah
Lukis y = sin (1/2 x)…….perhatikan grafik warna biru
Bagaimana dengan puncak grafik jika kita bandingkan dengan y = sin x? bagaimana dengan
titik perpotongan grafik di π dan 2π. Apa yang dapat anda simpulkan? Cobalah dengan
membuat tabel untuk sudut istimewa dari sin x
55
Perhatikan gambar grafik berikut, yakni y= sin x, y = 2sin x dan y = -2 sin x
Simpulkan
2. y = f(kx) x dalam radian , k
Periode fungsi y= f(kx) sama dengan kali periode fungsi y =f(x).
Untuk k>0 bentuk grafik y = f(x) yang terdapat dalam interval serupa dengan
bentuk grafik y = f(kx) yang terdapat dalam interval
Untuk k<0 bentuk grafik y = f(x) yang terdapat dalam interval serupa dengan
bentuk grafik y = f(kx) yang terdapat dalam interval tetapi ordinatnya mungkin
searah atau berlawanan arah bergantung pada jenis fungsi y =f(x)
Contoh : lukis grafik fungsi
56
3. y = f(x-a)
Grafik y = f (x-a) dapat diperoleh dari grafik y = f(x) dengan menggeser sumbu y
sejauh a. Jika a>0 maka grafik digeser ke kiri dan digeser ke kanan , sedangkan bila
a<0, maka grafik fungsi bergeser ke kiri
Contoh : Lukis grafik y = cos (
Perhatikan perpotongan grafik fungsi y = cos ( dengan sumbu x. bandingkan
dengan perpotongan grafik y = cos x dengan sumbu x. apa yang dapat anda
simpulkan?
4. y-b = c f[ k (x-a)]
contoh soal berikut ini : lukislah grafik fungsi y-3 =3 sin 2(x-
sin 2(x- , makna ( artinya grafik fungsi bergeser 450 ke kanan dari grafik
fungsi y=sin x
y =sin 1/2x
y =sin 2x
57
y-3 =3 sin 2(x- , pada sin 2 (x- menunjukkan bahwa dalam interval [0,2π]
terdapat 2 gelombang atau periodisasi dari fungsi tersebut adalah π
bentuk y-3 =3 sin 2(x- , menunjukkan bahwa amplitudo dari fungsi tersebut
adalah 3, puncak gelombang ada di 3 dan -3
sedangkan y-3 =3 sin 2(x- , berarti gelombang diangkat ke atas 3 titik, sehingga
puncak gelombang fungsi y-3 =3 sin 2(x- berada pada 6 dan 0
Menggambar grafik fungsi trigonometri y =f(x)
1. Tentukan titik potong grafik dengan sumbu x dan sumbu y
2. Tentukan asimtot grafik ( jika ada)
Asimtot tegak adalah harga kutub fungsi
Asimtot mendatar, karenan fungsi trigonometri bersifat periodic, maka grafik fungsi
trigonometri tidak mempunyai asimtot mendatar
3. Tentukan harga ekstrim fungsi
Harga maksimum(minimum) mutlak
Harga maksimum(minimum) realatif
Harga ekstrim batas : harga fungsi pada batas interval
4. Tentukan beberapa titik bantu
5. Hubungkan ttitik-titik tersebut dalam bentuk kurva yang “smooth”
58
Contoh : lukislah grafik fungsi dalam interval
1. Titik potong grafik dengan sumbu y, yang berarti x = 0. Sehingga y =
2. Titik potong dengan sumbu x, yang berarti y =0. Kita harus mencari penyelesaian
seperti menyelesaikan suatu persamaan trigonometri
…………sehingga tg x = x = 140+ k. 1800
3. Asimtot : tidak ada
4. Ekstrim
………..gunakan bentuk a cos x+b sin x= k cos (x-Ѳ)
….. tgѲ= -4 sehingga Ѳ= 760
Dari bentuk di atas, maka harga akan maksimum jika
dengan cos (x+760)= -1. Maka penyelesaiannya adalah saat x=1040
Dan dari bentuk di atas, maka harga akan minimum jika
dengan cos (x+760)= 1. Maka penyelesaiannya adalah saat x=2840
Ekstrim pada batas interval :
Untuk x= 00 ……………………
Untuk x = 3600 ……………
59
Sketsa grafik berikut
Titik potong sumbu y, dimana x =0 0 sehingga kita akan mempunyai harga y = 4
Latihan :
1. Grafik fungsi y = 3 + sin x
A. memotong sumbu x di banyak titik B. memotong sumbu x di tiga titik C. tidak memotong sumbu x D. memotong sumbu y dibanyak titik E. tidak memotong sumbu y
2. Dalam selang 0 < x < 2, grafik fungsi y = 1 - sin
4 + sin
x
x terletak di bawah sumbu x hanya
untuk …
A. 2
1 < x <
60
B. 2
1 < x < 2
3
C. 0 < x < D. semua x
E. semua x 2
1 dan x 2
3
3. Diketahui f (x)= 3 cos x + 4 sin x + c, c suatu konstanta. Jika nilai maksimum f (x) adalah 1,
maka nilai minimumnya …
A. 0 B. –1 C. –5 D. –9 E. –25
4. Nilai minimum dan maksimum dari fungsi y = sin x + cos x + 1 berturut-turut adalah …
A. –3 dan 3 B. –2 dan 2
C. 1 – 2 dan 1 + 2
D. –1 – 2 dan 1 + 2
E. –1 + 2 dan 1 + 2
5. Diketahui fungsi f (x) = x
x
sin
cos + 2. Garis singgung grafiknya x =
2
memotong sumbu y di
titik (0,b), b adalah …
A. 2
B. 2
C. –2 + 2
D. 2 – 2
E. 2 + 2
II Selesaikan Lukis grafik y = 3 cos x0 + sin x0 dalam interval 0 x 360 , dengan langkah-langkah sebagai berikut : a. Mengubah menjadi bentuk k cos (x – a)0 b. Menentukan koordinat titik balik maksimum dan minimum c. Menentukan pembuat nol d. Melukis grafiknya.
61
DAFTAR PUSTAKA
Bernadeta Etty W, Suparno & Hutomo. (1996). Bahan Ajar STM. Yogyakarta: PPPG Matematika
. Hyatt, H.R. & Small,L. (1982). Trigonometry a Calculator Approach. Canada: John Wiley
and Sons, Inc. Kenneth S. Miller & John B. Walsh. (1962). Elementary and Advanced Trigonometry. New
York: Harper & Brothers Publisher. Edwin J Purcell , Dale Varberg, Steven Ridgon, Calculus, Ninth edition (2007). USA :
Pearson Prentice Hall Richard G. Brown. (1994). Advanced Mathematics . California: Houghton Mifflin
Company. Tumisah P. Jono & Mukimin.(2002). Trigonometri Bahan Ajar Matematika SMK.
Yogyakarta: PPPG Matematika. Winarno& Al. Krismanto. (2001). Bahan Standarisasi SMU Trigonometri. Yogyakarta:
PPPG Matematika. Trigonometry, matxtc.com Tedy Setiawan, Trigonometri 123+ 45. (2009). Bandung : Yaama Widya Wijdenes, Goniometrie Trigonometri (1950). Amsterdam