GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI

Fungsi Trigonometri yang sederhana dapat digambarkan langsung grafiknya dengan jalan

mensubtitusikan harga-harga x dan y kemudian buat gambar.

Fungsi trigometri yang tidak sederhana, tidak dapat digambarkan langsung grafiknya.

Untuk menggambarkan grafik fungsi ini ada beberapa syarat yang perlu dan cukup yaitu :

1. Sederhanakan fungsi itu;

2. Tentukan harga ekstrim

3. Tentukan titik potong kedua sumbu

4. Tentukan titik lainnya

Kemudian digambarkan selengkapnya

Contoh : 1. Gambarkan grafik Y = sin x dalam interval 0°

X 0° 30° 60°Y 0 0,5 2,83

GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI

Fungsi Trigonometri yang sederhana dapat digambarkan langsung grafiknya dengan jalan

harga x dan y kemudian buat gambar.

Fungsi trigometri yang tidak sederhana, tidak dapat digambarkan langsung grafiknya.

Untuk menggambarkan grafik fungsi ini ada beberapa syarat yang perlu dan cukup yaitu :

Tentukan titik potong kedua sumbu

Kemudian digambarkan selengkapnya.

Y = sin x dalam interval 0° ≤ x ≤ 360°

60° 90° 120° 150° 180° 210° 240° 270°2,83 1 0,86 0,5 0 -0,5 -0,86

Fungsi Trigonometri yang sederhana dapat digambarkan langsung grafiknya dengan jalan

Fungsi trigometri yang tidak sederhana, tidak dapat digambarkan langsung grafiknya.

Untuk menggambarkan grafik fungsi ini ada beberapa syarat yang perlu dan cukup yaitu :

270° 300° 330° 360° -1 -0,86 -0,5 0

2 Gambarkan grafik Y = 2 sin x dalam interval 0°

X 0° 30° 60°

Y 0 1 1,72

Gambarkan grafik Y = 2 sin x dalam interval 0° ≤ x ≤ 360°

90° 120° 150° 180° 210° 240° 270°

2 1,72 1 0 -1 -1,72 -2

270° 300° 330° 360°

2 -1,72 -1 0

4 Gambarkan grafik Y = cos 2 x dalam interval 0°

X 0° 30° 60°Y 0 0,5 -0,5

3 Gambarkan grafik Y = cos x dalam interval 0° ≤ x ≤ 360°

X 0° 30° 60° 90°Y 1 0,86 0,5

30° 60° 90°0

1/2

1/2√3

1

-1/2

-1

-1/2√3

Sb. Y

Gambarkan grafik Y = cos 2 x dalam interval 0° ≤ x ≤ 360°

60° 90° 120° 150° 180° 210° 240° 0,5 0 -0,5 0,5 1 0,5 -0,5

Gambarkan grafik Y = cos x dalam interval 0° ≤ x ≤ 360°

90° 120° 150° 180° 210° 240° 270° 300° 330°0 -0,5 -0,86 -1 -0,86 -0,5 0 0,5 0,86

°

120° 150° 180° 210° 240° 270°

300° 330

270° 300° 330° 360° -1 -0,5 0,5 1

330° 360°0,86 1

330° 360° Sb. X

5 Gambarkan grafik Y = 2 cos x dalam interval 0°

X 0° 30° 60° Y 2 1,72 1

Gambarkan grafik Y = 2 cos x dalam interval 0° ≤ x ≤ 360°

90° 120° 150° 180° 210° 240° 270°0 -1 -1,72 -2 -1,72 -1 0

270° 300° 330° 360° 0 1 1,72 2

Soal dan penyelesaiannya

1 Gambarkan grafik Y = 2sin² x + 5 sin x -3 dalam interval 0° ≤ x ≤ 360° Y = 2 sin2x + 5 sinx-3

• Titik potong pada sumbu x, y = 0 Y = 2 sin2x + 5 sinx-3 0 = 2 sin2x + 5 sinx-3 (2sinx - 1) (sinx+3) 2sinx – 1 = 0 sinx+3=0 2sin =1 sinx=3 Sinx = ½ X = 30,150 Koordinat (30,0)(150,0)

• Titik potong pada sumbu y, x = 0 Y = 2 sin2x + 5 sinx-3 Y = 2 sin2 0+ 5 sin 0-3 Y = 3 Koordinat (0,-3)(180,-3)(360,-3)

• Y max, sin x = 1 Y = 2 sin2x + 5 sinx-3 Y = 2 (1)2 + 5 (1)-3 Y = 4 Koordinat (90,4)

• Y min, sinx = -1 Y = 2 sin2x + 5 sinx-3 Y = 2 (-1)2 + 5 (-1)-3 Y = -6 Koordinat (270,-6)

• Koordinat lain X = 60,120 sin x = ½�� Y = 2 sin2x + 5 sinx-3 Y = 2 (½��)2 + 5 (½��)-3 Y = 2,8 Koordinat (60,2.8)(120, 2.8) X = 210,330 sin x = - ½ Y = 2 sin2x + 5 sinx-3 Y = 2 (-½)2 + 5 (-½)-3

Y = -5 Koordinat (210,-5)(330,-5) X = 240, 300 sin x = ½Y = 2 sin2x + 5 sinx-3 Y = 2 (-½ )2 + 5 (-½Y = 2 (3/4) – 5/2 – 3 Y= -5,8 Koordinat (240, 5.8)(300,5.8)

X 0° 30° 60° 90°Y -3 0 2,83

5)

)-3

Koordinat (240, 5.8)(300,5.8)

90° 120° 150° 180° 210° 240° 270° 4 2,83 0 -3 -5 -5,83 -6

300° 330° 360° -5,83 0 -3

2 Gambarkan grafik Y = 2 sin 2x + 6 Cos

y = 2sin 2x + 6 cos2x5

= 2 sin 2x + 6(1- sin2 )-

= 2 sin 2x + 6sin2 )+1

X 0° 30° 60° 90°

Y 1 2,5 -1,8 -

Gambarkan grafik Y = 2 sin 2x + 6 Cos² x -5 dalam interval 0° ≤ x ≤360°

5

90° 120° 150° 180° 210° 240° 270° 300°

-5 -1,8 2,5 1 -2,2 -5,2 -5 -

360°

300° 330° 360°

-5,2 -2,2 1

3 Gambarkan grafik Y = 3 cos x + 7 sin x

X 0° 30° 60°Y -3 0,09 1,56

Gambarkan grafik Y = 3 cos x + 7 sin x - 6

60° 90° 120° 150° 180° 210° 240°1,56 1 -1,4 -5,09 -9 -12,09 -13,5

240° 270° 300° 330° 13,5 -13 -10,56 -6,9

5

Gambarkan grafik Y = 2 sin² y +5 sin x cos x + 10 cos² x

y = 2sin 2x + 5 sin2x cosx + 10 cos

= 2 sin2x + 5(1/2 sin 2x) + 10(1

= 5/2 sin 2x – 8 sin

X 0° 30° 60° Y 2,1 2,3 4,8

Gambarkan grafik Y = 2 sin² y +5 sin x cos x + 10 cos² x -7,9

x cosx + 10 cos2x – 7,9

x + 5(1/2 sin 2x) + 10(1- sin2x ) -7,9

8 sin2x- 2,1

90° 120° 150° 180° 210° 240° -5,9 4,8 2,3 2,1 -2,06 -6,06

240° 270° 300° 330° 6,06 -5,19 -6,06 -2,06

FUNGSI CYCLOMETRI

Fungsi Cyclometri merupakan invers/ balikan dari fungsi Trigonometri

Fungsi Trigonometri Fungsi Cyclometri

Y = sin α α = arc sin Y

Y = cos α α = arc cos Y

Y = tag α α = arc tag Y

Y = cotg α α = arc cotg Y

Y = sec α α = arc sec Y

Y = cosec α α = arc cosec Y

Misal : Y = sin α

½ = sin α

α = are sin ½

Perhatikan gambar Segitiga ABC berikut :

sin α = �� cotg = �����

�

cos α = �����

� cosec = ��

C

B α

A

P 1

= �� �

tag � = ������ �

���������� sec = �

����� �����������

= ������

���� = ���������

Fungsi Cyclometri

α = arc sin P

α = arc cos �� �

α = arc tag ������

����

α = arc cotg �����

�

α = arc sec ���������

α = arc cosec ��

Contoh :

1. � = arc cos (-1/2). Tentukan fungsi trigonometri

2. Hitunglah

a. Cotg (arc sin a )

b. Sin (arc tg b)

Jawab :

1. α = arc cos (-1/2)

-1/2 = cos α

Y = cos α

2

-1

��

Y = cos 120

sin α = -1/2

cos α = �

tag α = � �� � ���

cotg α = �� �

sec α = -2

cosec α = � ��

2. a. cotg (arc sin a)

misal : α = are sin a

sin α = a

cotg (arc sin a) = cotg a

= �����

�

b. sin (arc tg b)

misal : β = are tg b

tg β = b

sin (arc tg b) = sin β

= ������

= ������

����

1 a

�� � ��

�� � ��

1

b

Penjumlahan Pada Fungsi Cyclometri

1. arc sin p + arc sin (-p) = 0

2. arc cos p + arc cos (-p) = �

3. arc cotg p + arc cotg (-p) = �

4. arc sin p + arc cos p = ½ �

5. arc tg p + arc cotg p = ½ �

Jumlah dan Selisih Pada Fungsi Cyclometri

1. arc sin p - arc sin q = arc sin [p�� � �-q�� � �]

2. arc sin p + arc sin q = arc sin [pq-�� � ��� � �+�]

3. arc cos p – arc cos q = arc cos [p�� � �-q�� � �-�]

4. arc cos p + arc cos q = arc cos [pq-�� � ��� � �

5. arc tg p – arc tg q = arc tg �������

6. arc tg p + arc tg q = arc tg ������� � �

7. arc cotg p + arc cotg q = arc tg �������

8. arc cotg p – arc cotg q = arc tg ������� � �

Sudut Rangkap Pada Cyclometri

1. 2 arc sin p = arc sin (2p2 - 1) +��

2. 2 arc cos p = arc cos (2p2 - 1)

3. 2 arc tg p = arc tg (����� ) + �

4. 2 arc cotg p = are cotg ������ )

Soal dan Penyelesaiannya

1. Buktikan

a. Tan (arc sin p) = ������

Bukti :

Misal : arc sin p = α

Sin α = p

Tan (arc sin p) = tan α

= ������ (terbukti)

b. Tan (arc cos p) = �����

�

Bukti :

Misal : arc cos p = α

Cos α = p

Tan (arc cos p) = tan α

= �����

� (terbukti)

2. arc tan � = ……?

Jawab : are tan �

sin α = �

cos α = ��

tag α = ��

cotg α = �

5

α 4

3

1

�� � �

p

sec α = ��

cosec α =�� 3. Sin (arc tan ½ )…..?

Jawab :

Misal : arc tg ½ = �

Tg � = ½

Sin (arc tg ½ ) = sin �

= �����

4. Cos (arc sin ¼ ) = …..?

Jawab :

Misal : arc sin ¼ = �

Sin � = ¼

Cos (are sin ¼ ) = cos �

Cos � = ����

5. Tan (arc cotan 2)=…..?

Jawab :

Misal : arc cotan 2 = �

Cotan � = 2

Tan (arc tan 2) = tan �

= ½

�

� 1

2

��

4 1

2

1 �

α

α

6. Buktikanlah :

2 arc tan 4/3 = �!" + arc tan 7/24

Bukti :

2 arc tan � = arc tan #$%&

����$%

� �

= are tan '() �)

)*%

� �

= arc tan +� + �

= � �arc tan +�

2 arc tan � = � �arc tan +� (terbukti)

7. 3 arc tan � = � - arc tan ����+

Bukti :

3 arc tan � = 2 are tan � + arc tan �

= � + ( arc tan +� + arc tan � )

= � + arc tan (,�$�$%��,�$�$

%) + �

= � + arc tan �� ����+)

= � - arc tan ����+

3 arc tan � = � - arc tan ����+ (terbukti)

8. Hitunglah x dari persamaan

a. arc cos � + arc cos ���+ = arc cos x

jawab :

are cos (�� � ���+ �-.� � #�� &/ �� � #���+&

0 = arc cos x

arc cos (�12� �-#� � ����34& �� � �

140 = arc cos x

arc cos �12� �-# ��34& � 3�140 = arc cos x

arc cos �12� - �2� = arc cos x

arc cos ��2� = arc cos x

jadi, x = ��2�

b. arc sin 4�� + arc sin � = arc sin x

jawab :

are sin (� � ��-.� � #4�&/ .� � # �&

/ + � )= arc cos x

arc sin ( +2��-#� � 1��31�& �� � 4

�0 + � ) = arc cos x

arc sin +2� - �322� + � = arc cos x

arc cos - � 2� + � = arc cos x

jadi, x = � � � 2�

c. arc tan ���+ + arc tan �4 = arc tan x

jawab :

arc tan ('5',��'�)��'5',��'

�)) + � = arc tan x

arc tan %'5$)%$�56%�5,$)%

+ � = arc tan x

arc tan - �+1�4 . �4 +4 + � = arc tan x

arc tan - �+1�4 + � = are tan x

jadi, x = - �+1�4 + �

9. Hitunglah :

a. Tan (arc tan � + arc tan � )

Jawab :

Misal : α = arc tan � + arc tan �

= arc tan ('��'%��'��'

%) + �

= arc tan �5(5(

+ �

= arc tan -1 + �

α = 1350 + 900

α = 2250

= tan (arc tan � + arc tan � )

= tan α

= 1

b. cos (arc tan � + arc tan � )

Jawab :

Misal : α = arc tan � + arc tan �

= arc tan ('��'%��'��'

%) + �

= arc tan �5(5(

+ �

= arc tan -1 + �

α = 1350 + 900

α = 2250

= cos (arc tan � + arc tan � )

= cos α

= -��"

c. Sin (arc tan �3 – are cos �� )

Jawab :

Misal : α = are cos ��

Cos α = ��

Tan α = ��

α = arc tan ��

= sin (arc tan �3 � 789�:7;� ��)

= sin (arc tan 5(%%� 5

'�5(%%� 5'���

0

= sin (arc tan (,�<'(5

%)((,(%)(

)

= sin (arc tg �2+3+3)

= sin (arc tg �)

= sin α

= �

d. Tg (arc tg � + arc cos � )

Jawab :

Misal : α = arc tg �

Tg ��= α

Cos α = ��

α = arc cos ��

= tg (arc cos ��+ arc cos �)

= tg (are cos ( �� �

��-.� � #

��&/ �� � # �&

0

= tg (arc cos (� 3����-#��& � +�30)

= tg (arc cos ( 3����-� +120 )

= tg arc cos 3��� -

=3����

= tg (arc cos = ���� )

= tg (α)

= 1=4 = �

= 2,47

e. cotan (arc tan � + arc tan � )

Jawab :

= Cotan (2 arc tan � )

= cotan (arc tan #'%&

����'%

� �)

= cotan (arc tan 14 � -�)

= cotan (arc tan � � + �)

= cotan (-530 +900)

= cotan 370

=1,33

10. Sin (arc cos � + arc cos �� �0)

Jawab :

= Sin (arc cos � + arc cos �� �0)

= sin (α)

= 0

jawab :

= are tan �+ + 2 (arc tg � + arc tan ')���%

� �� )

= are tan �+ + 2 (arc tg � + arc tan � 14 � � �

� ) = are tan �+ + 2 (arc tan

'���$

%��'��$%

� � � �

��� ) = are tan �+ + 2 (arc tan � �

� ��0 = are tan �+ + arc tan � �2

� �"�

= are tan �+ + arc tan ')���%

� �� )

11. are tan �+ + (arc tg � + 2 arc tan � )

jawab :

= are tan �+ + 2 (arc tg � + arc tan ')���%

� �� )

= are tan �+ + 2 (arc tg � + arc tan � 14 � � �

� ) = are tan �+ + 2 (arc tan

'���$

%��'��$%

� � � �

��� ) = are tan �+ + 2 (arc tan � �

� ��0 = are tan �+ + arc tan � �2

� �"�

= are tan �+ + arc tan ')���%

� �� )

12. 2 arc cos �� + arc cotan �3� + arc cos +�

= arc cos 2 # �� &2 – 1 + arc cotan �3� + arc cos +�

= (arc cos �� + arc cos +� ) + arc cotan �3�

= arc cos �� .+� –->� � � �� 0?>�� � � +�0? + arc cotan �3�

= arc cos � � - -����34 � �+33� + arc cos �3

���+

= arc cos �� � + arc cos �3���+

= arc cos [�� � � � �3���+ – -@� � #�� � &

A >� � � �3���+0?

= arc cos ��2�1�3���+ - -

�2�1+1�2�3� � �24��

= arc cos ��2�1�3���+ – 3�12=�1

�����+0

= arc cos ��231=�1�3���+

13. cos arc sin p = �� � �

misal : arc sin p = α

sin α = p

cos α = �� � �

jadi cos α =�� � �

cos arc sin p = �� � � (terbukti)

14. Sin arc cos p = �� � �

Misal : arc cos p = α

Cos α = p

Sin α = �� � �

Jadi

sin α = �� � �

sin arc cos p = �� � � (terbukti)

�

1 p

�� � �

15. Tg arc cos p = ���� � �

Jawab:

Misal arc cos p = α

Cos α = p

Tg α = ���� � �

Jadi

Tg α = ���� � �

Tg arc cos p = ���� � � (terbukti)

16. Cos arc sin �

Jawab :

Misal arc sin � = α

Sin α = �

Cos arc sin � = cos α

= �

17. Tg arc sin ���

Jawab :

Misal arc sin ��� = α

Sin α = ���

Tg α = �� �3

α

p

1

�� � �

α

1 3

2√2

)/3

α

3

-��

�B

Tg arc sin ��� = tg α

= �� �3

18. Cos arc sin �

Jawab :

Misal arc sin � = α

Sin α = �

Cos α = �

Jadi arc sin � = cos α

= �

α

1 2

��