1

Universidade Federal do Ceará

Centro de Tecnologia

Disciplina: Física Fundamental – Professora: Talita – Data: ____/____/2014

Nome: __________________________________________ – Matrícula: ______________

Aula 2

Movimento Retilíneo

Um pica-pau bate repetidamente o bico contra o tronco de uma árvore para procurar

insetos para comer, para criar um depósito ou para anunciar que está à procura de uma

parceira. O movimento em direção ao tronco pode ser muito rápido, mas a

desaceleração quando o bico se choca com a madeira é quase instantânea, e seria fatal

para um ser humano. Na verdade, um pica-pau deveria cair da árvore morto ou

inconsciente, toda vez que batesse o bico no tronco. Entretanto, ele não só sobrevive

como repete o movimento. Como o pica-pau pode sobreviver aos violentos impactos de seu bico em uma

árvore? Você encontrará a resposta desta e de outras perguntas intrigantes nesta aula.

1. Movimento retilíneo

Por razões óbvias, estudar o movimento dos corpos é de extrema relevância para compreendermos a

natureza. O mundo, e tudo que está nele, se move. O entendimento deste movimento pode ser a resposta

para diversas questões que sempre intrigaram a humanidade. Os engenheiros da NASCAR são fanáticos

por esses aspectos da física quando determinam o desempenho dos seus carros antes e durante uma corrida.

Os geólogos usam esta física para estudar o movimento de placas tectônicas na tentativa de prever

terremotos. Os médicos necessitam desta física para mapear o fluxo de sangue em um paciente quando

examinam uma artéria parcialmente obstruída, e motoristas a usam para tentar reduzir a velocidade e

escapar de uma multa quando percebem um radar à frente. Nesta aula, estudamos a física básica do

movimento nos casos em que o objeto (carro de corrida, placa tectônica, célula sanguínea, automóvel) está

se movendo em linha reta. Ou seja, vamos estar o movimento retilíneo ou movimento unidimensional. Isto

significa que:

1. O movimento acontece sobre uma reta (trajetória retilínea). Esta trajetória pode ser vertical

(por exemplo, uma bola de basquete lançada para cima) ou horizontal (por exemplo, um

automóvel numa estrada plana).

2

2. A causa do movimento (empurrões ou puxões) não será, por enquanto, investigada.

3. O objeto em movimento pode ser uma partícula (caso onde sua dimensão é insignificante

comparada a outros parâmetros) ou um corpo extenso.

2. Posição e deslocamento

Como sabemos, localizar um objeto significa

determinar sua posição em relação a algum ponto de

referência, chamado de origem, como mostrado na

figura ao lado. O sentido positivo do eixo está no

sentido dos números crescentes (direita). O sentido

oposto é o sentido negativo. Uma partícula

localizada, por exemplo, em x = 5 está a 5 metros da

origem do sentido positivo. Uma partícula localizada

em x = -5 também se encontra a 5 metros da origem, mas no sentido oposto.

Se a partícula, então, sai de um ponto do eixo, dizemos que ela se deslocou. Definimos, portanto, o

deslocamento como sendo:

Como vimos na aula passada, o deslocamento é uma grandeza vetorial, possuindo módulo, direção

e sentido. Neste capitulo, como estudamos o movimento retilíneo, o vetor deslocamento, dado por

kxjxixx zyxˆˆˆ ++=

possuirá apenas uma componente.

3. Velocidade média

Uma forma compacta de descrever a posição de um objeto é

desenhar um gráfico da posição x em

função do tempo t, ou seja, um

gráfico de x(t). Como um exemplo

simples, a figura a seguir mostra a

função posição x(t) para um tatu em

repouso (tratado como uma partícula)

durante um intervalo de tempo de 7 segundos. A posição do animal

tem sempre o mesmo valor, x = - 2 m.

A figura à esquerda é mais interessante, já que envolve o

12 xxx −=∆

3

movimento. O tatu é aparentemente avistado em t = 0, quando está na posição x = - 5 m. Ele se move no

sentido de x = 0, passa por este ponto em t = 3 s e continua a se deslocar para maiores valores positivos de

x. A figura (b) abaixo mostra o movimento real do tatu em linha reta, que é a trajetória que você veria. O

gráfico da figura (a) abaixo é mais abstrato e bem diferente daquilo que você realmente veria, mas é muito

mais rico em informações. Ele também revela com que rapidez o tatu se move. Um parâmetro importante a

ser definido é justamente a rapidez com que um corpo se desloca. Esta “rapidez” recebe o nome de

velocidade.

Quando você vem por uma rua em um veículo, ao olhar o velocímetro você perceberá diferentes

valores da velocidade ao longo do trajeto. Quando o valor indicado no velocímetro é baixo você demora

mais para percorrer um trecho da rua. À medida que se aumenta o valor você percorre o trecho mais

rapidamente. Ora, podemos dizer, então, que a velocidade é uma medida da rapidez com que um objeto se

desloca.

Agora, vamos supor que você esteja parado em

um determinado ponto de uma pista de corrida e que

de repente dois carros entrem simultaneamente no

trecho em que você se encontra. Ao carro que passar

primeiro por você podemos atribuir-lhe maior

velocidade? Bem, durante o trajeto, nada impede que o

veículo que passou por último tenha, em alguns

instantes, alcançado uma velocidade maior que o outro. Isso poderia ser constatado claramente se

tivéssemos visto os velocímetros de ambos. Então, se a velocidade é uma medida da rapidez com que um

objeto se desloca, podemos afirmar que, na média, o veículo que chegou primeiro até você teve maior

velocidade que o outro. Conceituamos, assim, velocidade média como sendo a razão entre a distância que

o objeto percorre e o tempo que ele gastou para percorrer, que podemos expressar pela seguinte fórmula:

Assim, para determinarmos o quão rápido um corpo sai do ponto x1 e chega a x2 escrevemos:

Matematicamente:

onde t1 é o tempo quando o corpo se encontra na posição x1 e t2 é

o tempo quando o corpo se encontra em x2. Desta forma, para um

dado valor fixo de ∆x, quanto menor for o valor de ∆t maior será

a velocidade média, ou seja, quanto menos tempo você gastar

12

12

ttxx

txvméd −

−=

∆∆

=

tempotodeslocamenvelocidade =

4

hkmvméd /5,732

147==

para percorrer a distância ∆x, maior será a sua velocidade média.

A unidade da velocidade no Sistema Internacional (SI) é o metro por segundo (m/s).

Se quisermos expressar graficamente x versus t, teremos o gráfico a seguir.

A velocidade média, portanto, é a inclinação da curva de x versus

t. O módulo da velocidade, então, corresponde à inclinação (ou

coeficiente angular) da reta em vermelho no gráfico ao lado. Um valor

positivo de vméd indica que a inclinação da reta é para cima à direita. Por

outro lado, se vméd < 0, a reta está inclinada para baixo.

A figura a seguir mostra como determinar a velocidade média

para o intervalo de tempo de t = 1s a t = 4 s; Traçamos a linha reta que

une os pontos correspondentes ao início e ao final do intervalo de tempo considerado. Em seguida,

calculamos a inclinação ∆x/∆t da linha reta.

Agora, vamos ver um exemplo: suponha que

você tenha ido passar o carnaval em Aracati, distante

147 km de Fortaleza. Nessa viagem você gastou 2

horas para chegar até lá. É claro que durante o

percurso o carro ou ônibus que você estava

desenvolveu diversas velocidades diferentes, mas a

sua velocidade média foi de:

Isso é equivalente a se dizer que o veículo deslocou-

se durante todo o trajeto a uma velocidade média de

73,5 km/h. Isto não quer dizer que sua velocidade se manteve 73,5 km/h durante todo o trajeto. Em alguns

trechos, talvez você tenha diminuído a velocidade e, em outros, aumentado. Assim, é preciso definir a

velocidade instantânea, que é aquela que o velocímetro indica. Como o próprio nome diz, velocidade

instantânea é aquela medida num determinado instante. Em outras palavras a velocidade média esta ligada

a um intervalo de tempo ∆t enquanto a velocidade instantânea a um instante de tempo t.

Matematicamente, a velocidade instantânea v de um corpo é o valor onde vméd se aproxima no limite

em que contraímos o intervalo de tempo ∆t a zero. Ou seja:

txv

t ∆∆

=→∆ 0

lim ⇒ dtdxv =

5

A equação anterior nos diz que a velocidade instantânea de um corpo é a derivada temporal da sua posição.

A figura ao lado mostra o gráfico x(t) de um

elevador que, depois de passar algum tempo parado,

começa a se mover para cima (que tomamos como

sendo o sentido positivo de x) e depois pára novamente.

Plote v(t).

4. Movimento Retilíneo Uniforme

Imagine agora que você se encontra dentro de um veículo. Ao longo do trajeto, você observa que o

ponteiro do velocímetro sempre permanece na mesma posição, 60 km/h, por exemplo. Como o movimento

acontece numa linha reta, é chamado de movimento retilíneo (trajetória em linha reta) uniforme (a

velocidade não varia ao longo do percurso).

No movimento retilíneo uniforme (MRU)

12

12

ttxxv

txv médméd −

−=⇒

∆∆

=

, a velocidade é constante no decorrer do tempo. Portanto:

6

Mas, se a velocidade não varia, vméd = v. Além disso, vamos chamar x2 de uma posição x qualquer, x1 = x0 e

o tempo inicial é t1 = 0. Logo:

vtxxttvxx +=⇒−=− 01212 )(

Temos, então, a equação horária do movimento para o MRU, dada por:

Usando a função horária, você encontrará qualquer posição no movimento retilíneo uniforme.

No MRU a posição é uma função (de primeiro grau) do tempo e o gráfico dessa função é mostrado

na figura abaixo.

No gráfico ao lado você tem:

Aqui não consideramos t0=0.

Vamos usar um pouco de trigonometria:

A definição da velocidade é exatamente igual

à inclinação da reta que representa a posição

como função do tempo.

Movimento retrógrado e movimento progressivo

Como sabemos, o deslocamento é um vetor. Então podemos associar a cada trajetória sentido

positivo ou negativo de percurso. Veja a figura abaixo

Um dos rapazes se desloca para a direita, o sentido considerado como positivo no eixo-x.

0

0

tttsssx

−=∆−=∆=∆

tx

adjacentecatetoopostocatetotg

∆∆

==θ

vtxx += 0

7

O movimento que se efetua neste sentido é chamado progressivo e se caracteriza por ter sua velocidade

positiva. O outro se desloca em sentido contrário, o sentido negativo.

O movimento neste sentido é chamado retrógrado e se caracteriza por ter sua velocidade negativa.

Movimento progressivo Movimento retrógrado

4. Aceleração

Como vimos agora a pouco, a velocidade é uma grandeza que mostra a rapidez com que um corpo

se desloca. Existe também uma grandeza que mostra a rapidez com que a velocidade varia. Essa grandeza é

a aceleração. Podemos observar a variação de velocidade de carros, ônibus, caminhões e aviões no

velocímetro desses veículos. Não existe aceleração quando o ponteiro do velocímetro não se move, isto é,

quando o velocímetro marca sempre a mesma velocidade. Se o ponteiro do velocímetro está se movendo

lentamente, é porque a velocidade está variando lentamente. Nesse caso, a aceleração é “pequena”. Quando

o ponteiro se move rapidamente, a velocidade está variando rapidamente. Nesta situação, a aceleração é

“grande”.

Resumidamente, quando a velocidade de uma partícula varia, dizemos que a partícula sofre

aceleração (ou desaceleração). Logo, a aceleração é a taxa de variação da velocidade. Assim:

onde a partícula tem velocidade v1 no tempo t1 e velocidade v2 no tempo t2.

tv

ttvvaméd ∆

∆=

−−

=12

12

8

A aceleração instantânea é o valor da aceleração de um corpo num determinado instante. Ou seja, a

aceleração instantânea a de um corpo é o valor onde améd se aproxima no limite em que contraímos o

intervalo de tempo ∆t a zero. Ou seja:

dtdva

tva

t=⇒

∆∆

=→∆ 0

lim

A equação acima nos diz que a aceleração instantânea de um corpo é a derivada temporal da sua velocidade.

Isto quer dizer que a aceleração de uma partícula em qualquer instante é a taxa na qual sua velocidade está

mudando, naquele instante. Graficamente, a aceleração é a inclinação da curva v(t) no ponto.

Se lembrarmos que

temos:

2

2

dtxda

dtdx

dtd

dtdva =⇒

==

Portanto, podemos interpretar a aceleração de uma partícula num instante qualquer como sendo a

derivada segunda da sua posição x(t) em relação ao tempo. No SI, a aceleração é medida em metro por

segundo ao quadrado (m/s2).

As sensações que você teria se estivesse no

elevador da figura ao lado estão indicadas pelos

bonequinhos que aparecem na parte inferior da

figura. Quando o elevador acelera, você se sente

como se estivesse sendo empurrado para baixo;

mais tarde, quando o elevador freia até parar, tem a

impressão de que está sendo puxado para cima.

Entre estes dois intervalos não se sente nada de especial. Em outras palavras, nosso corpo reage a

acelerações (é um acelerômetro), mas não a velocidades (não é um velocímetro). Quando estamos viajando

em um carro a 90 km/h ou viajando a 900 km/h não temos nenhuma sensação de movimento. Entretanto, se

o carro ou o avião muda bruscamente de velocidade, percebemos imediatamente a mudança e podemos até

ficar assustados. Boa parte da emoção que sentimos quando andamos de montanha-russa se deve às

mudanças súbitas de velocidades às quais somos submetidos.

5. Aceleração constante

dtdxv =

9

Em muitos tipos de movimento, a aceleração se mantém constante ou aproximadamente constante.

Por exemplo, você pode acelerar um carro a uma taxa aproximadamente constante quando a luz de um

semáforo muda de vermelho para verde. Neste caso, os gráficos de sua posição, velocidade e aceleração se

assemelhariam às figuras abaixo.

Para casos especiais onde a aceleração se mantém constante, vamos deduzir algumas equações.

Quando a aceleração é constante, tanto a aceleração média quanto a aceleração instantânea são

iguais. Logo:

12

12

ttvvaa méd −

−==

Chamaremos v2 = v e v1 = v0. Consideraremos que t1 = t0 = 0. Assim:

⇒−

=⇒−−

=tvv

at

vva 00

0

Observe, na equação acima, que se a = 0 ⇒ v = v0, ou seja, se a aceleração é nula, a velocidade não

varia.

Vamos, agora, escrever a velocidade média como sendo a média entre duas velocidades. Logo:

( )vvvméd += 021

Mas, sabemos que atvv += 0 . Assim:

( ) atvvatvvvvvv médmédméd 21)(

21

21

0000 +=⇒++=⇒+=

Se lembrarmos os conceitos iniciais desta aula, temos que:

tatvxxtvxx méd

++=⇒+=

21

000

Esta, portanto, é a equação horária do espaço quando a ≠ 0. Se a = 0, temos vtxx += 0 .

Notemos que x depende quadraticamente do tempo. Assim, a curva de x(t) em função do tempo é

atvv += 0

200 2

1 attvxx ++=

10

uma parábola, onde a concavidade é definida pelo sinal da aceleração (positiva ou negativa).

Podemos, ainda, combinar as duas equações horárias anteriores, de modo a obter uma terceira

equação, independente de alguma variável desejada. Por exemplo, podemos obter uma equação

independente do tempo. Assim:

avv

tatvv 00

−=⇒+=

Logo:

⇒

−

+

−

+=⇒++=2

0000

200 2

121

avv

aa

vvvxxattvxx

( ) { }⇒×

+−+

−+=⇒ avvvv

aavvv

xx 2221 2

002

200

0

⇒−=−⇒+−+−+=⇒ 20

20

200

22000 )(222222 vvxxavvvvvvvaxax

A equação acima é conhecida como equação de Torricelli.

No movimento uniformemente acelerado, a velocidade sempre aumenta, como em um carro de

corrida que partindo do “grid” de largada, vai acelerando mais e mais para aumentar a velocidade e ficar na

frente dos competidores.

No movimento uniformemente desacelerado ou retardado, os vetores velocidade e aceleração estão

em sentidos opostos: A velocidade sempre diminui, como no carro de corrida que precisa parar no

“pitstop” para trocar os pneus: ele aplica os freios e vai desacelerando até parar.

A equação atvv += 0 representa a velocidade como função do tempo, pode ser representada em

um gráfico como mostrado abaixo. Como se pode ver a velocidade é uma função de primeiro grau, o

gráfico é uma reta.

)(2 02

02 xxavv −+=

11

Voltemos à equação que nos dá a velocidade como função do tempo, atvv += 0 . Na figura da esquerda,

vemos um exemplo de movimento em que a velocidade do móvel é sempre crescente. Dizemos que o

móvel está acelerado. Na figura da direita, temos o caso em que a velocidade vai diminuindo, o móvel está

desacelerando, está freando.

Observe as inclinações das retas que representam as acelerações em cada caso.

Vamos interpretar as duas figuras geometricamente. Observe a Figura 1

Veja, vf > vi portanto v > 0, isto é, v é POSITIVO

Como definimos a aceleração:

então teremos

Agora, olhe novamente para a figura da esquerda. Veja o ângulo . A tangente desse ângulo define a

inclinação da reta. Vamos calcular a tangente desse ângulo?

Agora observe a figura abaixo.

Agora vf < vi portanto v < 0, isto é, v é NEGATIVO

12

Lembrando novamente que :

Teremos agora

Da mesma forma como visto na figura anterior, a tangente do ângulo define a inclinação da reta. Vamos

calcular a tangente desse ângulo?

Portanto, pode concluir que

A inclinação da reta que representa a velocidade como função do tempo é igual à aceleração.

Exemplo: A cabeça de um pica-pau está se movendo para frente com uma velocidade de 7,49 m/s

quando o bico faz contato com o tronco de uma árvore. O bico pára depois de penetrar 1,87 mm do tronco.

Determine o módulo da aceleração, em unidades de g, supondo que ela é constante. Lembre-se que 1g =

9,8 m/s2 (unidade de g).

Idéia-chave para resolver a questão: Podemos usar as equações de aceleração constante; em

particular, podemos usar ( )020

2 2 xxavv −+= , que relaciona a velocidade ao deslocamento.

Cálculos: Como a cabeça do pica-pau pára, sua velocidade final é v = 0. A velocidade inicial é v0 =

7,49 m/s e o deslocamento durante a aceleração constante é x – x0 = 1,87 × 10-3 m. Substituindo estes

valores na equação mencionada acima:

( )24

3220

20

2

/105,1

)1087,1(2)49,7(02

smaaxxavv

⋅=

⋅+=⇒−+= −

Dividindo o resultado anterior por g = 9,8 m/s2 e tomando o valor absoluto descobrimos que o

módulo da aceleração da cabeça é

( )ga 31053,1 ⋅=

13

Comentário: Esta aceleração típica da cabeça de um pica-pau é aproximadamente 70 vezes maior

que a aceleração experimentada por uma pessoa em um trenó a jato e certamente seria mortal para um ser

humano. A capacidade de um pica-pau em suportar acelerações tão elevadas ainda não foi bem explicada,

mas existem duas teorias: (1) O movimento da cabeça do pica-pau é quase retilíneo. Alguns pesquisadores

acreditam que uma concussão pode acontecer nos seres humanos e nos animais quando a cabeça gira muito

depressa em torno do pescoço (e do tronco cerebral), mas esta concussão é bem menos provável em um

movimento retilíneo. (2) O cérebro do pica-pau está tão firmemente preso ao crânio que as duas estruturas

se movem em uníssono, o que minimiza os efeitos da aceleração.

Algumas equações que vimos nesta aula são equações básicas a partir das quais outras equações

podem ser deduzidas. Estas equações podem ser obtidas a partir da integração da aceleração com a

condição de que a seja uma constante, ou seja:

adtdv =

Em seguida, escrevemos a integral indefinida em ambos os lados da equação:

.Catvadtdv +=⇒= ∫∫

Para determinar a constante de integração C, fazemos t = 0, instante no qual v = v0. Substituindo estes

valores na equação anterior (que é válida para qualquer valor de t, incluindo t = 0), obtemos

CCav =+= )0)((0

Substituindo este valor na equação Catv += , obtemos

atvv += 0

Para demonstrar 200 2

1 attvxx +=− , escrevemos a definição de velocidade dtdx

txv

t=

∆∆

=→∆ 0

lim na forma

vdtdx =

e integramos ambos os membros da equação para obter

∫∫ = .vdtdx

Substituindo v pelo seu valor, dado por atvv += 0 , temos:

∫∫ += .)( 0 dtatvdx

Como v0 e a são constantes, podemos escrever

∫ ∫∫ += .0 tdtadtvdx

Integrando, obtemos

'20 2

1 Cattvx ++=

onde C’ é outra constante de integração. No instante t = 0, temos x = x0. Substituindo estes valores na

equação anterior, obtemos x0 = C’. Substituindo este dado na equação anterior, obtemos

14

.21 2

00 attvxx +=−