La Tierra gira alrededor del Sol en una orbita aproximadamente

OBJETIVO: Trazar una lnea en la direccin del meridiano de un lugar y tambin para identificar la hora de la culminacin del Sol en un sitio dado.

Vamos a trazar una lnea en la direccin del meridiano de un lugar, es decir una lnea en direccin Norte-Sur. Para esto, es necesario dibujar una lnea a lo largo de la sombra y una cruz en cada uno de los extremos de la sombra, en cada una de las lneas anotamos la hora en que se midi

La hora en la que el Sol pasa por el meridiano de un lugar dado se determina con base en la extensin de la sombra que produce el mstil

INTRODUCCION:

Debido a que la luz del Sol es muy intensa, las sombras son ms definidas cuando el cielo est despejado. Durante el da la sombra de un objeto esttico cambia de tamao. Tambin la orientacin cambia, por ejemplo al amanecer el Sol est en el Este y por lo tanto la sombra de un objeto estara en su lado Oeste. Si el Sol est en el Sur del sitio entonces su sombra apuntara hacia el Norte. De la experiencia diaria sabemos que la sombra es ms larga al amanecer o al atardecer y es ms corta al medio da incluso, hay das particulares en los que al medio da en algn sitio los objetos casi no proyectan sombra. El objeto mide la sombra y el sitio donde el Sol est en culminacin.

El Sol aparece en el cenit durante su culminacin en sitios con latitudes entre 23,5 y 23,5.

A latitudes mayores a 23.5 y menores a 23,5 el Sol no llega a estar en el cenit en ninguna

MATERIAL:

1. Tubo, palo o tripee

2. Una plomada o en su lugar un hilo con una tuerca

3. Gises o crayolas (si es posible que sean lavables)

4. Flexmetro o cinta mtrica

5. Nivel de burbujaDESARROLLO:

El objeto a colocar se tiene que instalar sobre una superficie plana y debe tener una base para mantenerse fijo mientras se hacen las mediciones. Para nivelar la superficie se recomienda usar nivel de burbuja y elegir la zona mejor nivelada, al igual para utilizar la plomada para saber que est alineando. Ya montado nuestro sistema ahora a proceder a hacer las mediciones cada 30 minutos por un periodo de 6 horas.

Podemos ver que a las 10: 00 AM la sombra era grande y fue disminuyendo hasta tener un valor mnimo alrededor de las 13 horas (1: 00 PM). Despus de esa hora, la sombra fue creciendo. Dibujamos una curva suave (lnea a trazos) sobre los datos observados y encontramos que el mnimo valor ocurri a las 12: 40 horas. Ese fue el momento en el que el Sol pas ese da sobre el meridiano del lugar

Una vez que tenemos las lneas y las cruces, trazamos una lnea que pase sobre los extremos de las sombras, esta lnea est orientada en direccin Este-Oeste (EW). Sugerimos anotar Este y Oeste en cada extremo de la lnea, como se muestra en la Figura 1.9. Ahora, quitamos el mstil y en esa posicin colocamos un extremo de una cuerda. En el otro extremo de la cuerda colocamos un gis. Vamos a elegir una longitud de la cuerda de tal manera que al trazar un arco de crculo cruce la lnea EW en dos puntos, uno en el lado este y otro en el lado Oeste. . Medimos la distancia entre esos dos puntos y trazamos una cruz en la mitad. De este punto trazamos una recta hasta el punto en el que estaba el mstil. Esa lnea est orientada en la direccin del meridiano del lugar

RESULTADOS:HoraSombra

09:002.5

09:302.2

10:001.8

10:301.5

11:001.1

11:300.85

12:000.58

12:300.41

13:000.1

13:300.13

14:000.15

Imagen 1

CONLUCIONES:

La medida del punto de punto de culminacin se da las 12:30 para nuestra posicin.

Las sombras de objeto al inicio era muy grande al paso del da se iso pequea y apartidar de la culminacin del sol empez a crecer al este.Es variable la sombra a medid que pasan las horas.

La sombra va una hora retrasada por una hora por el cambio de horario entonces la hora mxima del sol es a las 12.

Cuando dibujas la lnea recta y dibujas la lnea recta con respecto al eje de la sombra tiene que dar un Angulo de 23 grados.

Para medir el punto ms alto del sol no es necesario medir todo el da solo se traz una lnea recta el punto de inicio a la terminacin y el punto medio que es el punto ms cercano al mstil es el punto mximo.

La Tierra gira alrededor del Sol en una rbita aproximadamente circular. La distancia entre la Tierra y el Sol es de 1.5 x 108 Km. Si suponemos que la rbita es circular entonces podemos calcular, fcilmente, la distancia que recorre la Tierra en su rbita alrededor del Sol. Este resultado nos servir para conocer la velocidad con que se mueve la Tierra en su rbita, y conociendo dicha velocidad podremos pesar al Sol, es decir, calcular su masa. a) Calcule la velocidad de la Tierra en su rbita alrededor del Sol. b) Calcule la masa del Sol.

Solucin

Para representar los parmetros involucrados en el movimiento de la Tierra alrededor del Sol, consideraremos que M es la masa del Sol, m es la masa de la Tierra, y r es la distancia entre sus centros.

a)

A la rapidez con la cual un cuerpo gira se le llama velocidad de rotacin. En mecnica la velocidad de un cuerpo esta dada por v = d/t donde d es la distancia recorrida y t el tiempo empleado en recorrer dicha distancia. Suponiendo que la Tierra se mueve en una rbita circular alrededor del Sol, la distancia recorrida por la Tierra equivale al permetro de la circunferencia descrito por ella. El tiempo empleado ser el utilizado en completar una vuelta alrededor del Sol (un ao). Con base en lo anterior tendremos que la velocidad orbital de la Tierra esta dada por

(1)

El radio de la rbita de la Tierra es r = 1.5 x 108 km = 1.5 x 1011 m. El tiempo empleado en dar una vuelta t = 1 ao = 3.2 x 107 s.

Sustituyendo estos valores en la ecuacin anterior tenemos que

v = 29 km/s

b) La Tierra en su trayectoria circular experimenta una fuerza centrpeta que por la segunda Ley de Newton (F=ma) esta dada por:

(2)

La fuerza centrpeta Fc es precisamente la fuerza de atraccin gravitacional que esta dada por la siguiente ecuacin:

(3)

donde G = 6.67 x 10-11 m3 kg-1 s-2

Puesto que estas dos ecuaciones son expresiones diferentes de la misma fuerza F, podemos igualar ambas ecuaciones

(4)

Simplificando esta expresin obtenemos

(5)

Por lo que la masa del Sol, M, estar dada por

(6)

Sustituyendo los valores de r, v y G en la ecuacin anterior obtenemos que la masa del Sol es

M = 2 x 1030 kg.

2.- Un hoyo negro es una regin del espacio-tiempo donde el campo gravitacional es tan intenso que ni siquiera la luz puede escapar de el.

a) Utilizando la ley de la conservacin de la energa, calcule el radio que debe tener la Tierra para que sea un hoyo negro. La masa de la Tierra es 5.98 x 1024 kg y su radio es de 6.37 x 106 m.

b) Considerando la rotacin de la Tierra sobre su eje (una vuelta por da) y la conservacin del momento angular durante la contraccin de la Tierra hacia un hoyo negro, calcule el radio para el cual se equilibraran la fuerza centrifuga y la fuerza gravitacional.

c) Compare las respuestas de los incisos anteriores y explique si es posible que la Tierra se convierta en un hoyo negro.

Solucin

a) La velocidad de escape es la velocidad mnima que debemos suministrar aun cuerpo para que logre vencer el campo gravitatorio de otro. Para que un objeto escape de la Tierra y nunca mas regrese, debe lanzarse con una velocidad mayor que la que se requiere para ponerlo en rbita.

Consideremos una velocidad de escape tal que, cuando a un objeto le imprimimos justamente esta velocidad de escape, este tendr una velocidad cero en un punto en el infinito, en donde su energa total (ET = E. cintica + E. potencial) ser

(7)

Debido a que la energa se tiene que conservar, entonces se requiere que en el momento del lanzamiento

(8)

Donde G es la constante gravitacional cuyo valor es de G = 6.67 x 10-11 m3 kg-1 s-2, es una masa de prueba, M la masa de la Tierra M = 5.98 x 1024 kg, y R es el radio de la Tierra, R = 6.37 x 106 m.

Simplificando la expresin (8) obtenemos

(9)

(10)

Como, hasta donde se sabe actualmente, ningn objeto puede viajar mas rpido que la velocidad de la luz (c = 3 x 108 m/s), esto implica que la mxima velocidad de escape es c. Entonces la ecuacin para calcular el radio que debera de tener la Tierra para que fuera un agujero negro es

(11)

Sustituyendo los valores de G, M y, c obtenemos

RT = 8.8 x 10-3 m = 8.8 mm

Es decir, el dimetro que debera tener la Tierra para ser hoyo negro tendra que ser aproximadamente la mitad del dimetro de una pelota de ping-pong.

b)

Vamos a considerar a las condiciones normales de la Tierra como la etapa inicial y la contraccin en un hoyo negro como la situacin final. El momento angular L lo expresamos como L = rmv, siendo r el radio de giro, m la masa del objeto y v la velocidad de rotacin.

Tomando en cuenta la conservacin del momento angular

(12)

y sustituyendo la expresin para L obtenemos

(13)

(la masa m se cancela). Despejando encontramos que

(14)

Esta expresin nos va a permitir determinar el radio en cualquier etapa de la contraccin siempre y cuando conozcamos vf. Nosotros queremos determinar el radio en el que se equilibran las fuerzas centrfuga y gravitacional, con esta condicin hacemos lo siguiente

(15)

(16)

Simplificando obtenemos

(17)

Nuevamente obtenemos una ecuacin que nos va a permitir determinar el radio en cualquier etapa de la contraccin siempre y cuando conozcamos v. Para la etapa final, que estamos considerando en este problema, la expresin anterior la escribimos como

(18)

Combinando las ecuaciones (14) y (18) y despejando obtenemos

(19)

Sustituyendo los valores de G, M (masa de la tierra), ri (radio de la Tierra) y vi (la velocidad de rotacin de la Tierra = 463.24 m/s) obtenemos

c)

Comparando los resultados del inciso a) y b) podemos concluir que la Tierra no se puede convertir en un hoyo negro, ya que para un radio menor que el del inciso b) la fuerza centrfuga se encargara de despedazarla. Es decir, la Tierra no podra reducirse hasta tener un radio de 8.8 mm.

3.- La temperatura de la Fotosfera (la capa del Sol que vemos a simple vista) es de aproximadamente 6000 K. Suponiendo que el Sol emite como un cuerpo negro, a) calcule la longitud de onda en la que la emisin del Sol es mxima, b) calcule la energa emitida por el Sol en el rango del visible (4000 -- 7000 ).

1. The problem statement, all variables and given/known data A particle of mass m is repelled from the origin by a force inversely proportional to the cube of its distance from the origin. Set up and solve the equations of motion if the particle is initially at rest at a distance x0 from the origin. (This is one dimensional motion) 2. Relevant equations Newtons Second Law to set up the equation of motion 3. The attempt at a solution The first part is simple. I just had.. mx=kx3

Reference https://www.physicsforums.com/threads/having-issues-with-a-seemingly-simple-problem.550027/

https://www.physicsforums.com/threads/having-issues-with-a-seemingly-simple-problem.550027/Cmo medir la distancia de la Tierra al Sol(Principiante) abril 12, 2006

Posted by jorge johnson in astronomia. trackback

La Tierra se mueve en el espacio acompaando al Sol en su permanente deambular por el espacio intragalctico, en forma tal que casi siempre se mantiene a la misma distancia de l. Para efectos prcticos, se dice entonces que la tierra se mueve en una trayectoria circular alrededor del sol.Esta distancia se llama Unidad Astronmica (UA).Aunque hay varias maneras de determinar la distancia tierra sol (UA), algunas de ellas requieren datos adicionales. Pero en pocas modernas la tecnologa nos permite hacer mediciones directas de apoyo que ayudan a despejar otros datos de las ecuaciones. Una de las tcnicas ms bonitas para determinar la distancia al sol, es usar la trigonometra plana de la siguiente manera:Se sabe que la Tierra y Venus tienen trayectorias casi circulares y que venus est ms cerca al Sol. Por lo tanto el crculo de la trayectoria de venus es interno al crculo de la trayectoria de la Tierra.

El punto ms alejado al Sol en la trayectoria de Venus con respecto a la Tierra, se llama elongacin mxima de Venus, y forma un ngulo recto Sol-Venus-Tierra (Venus en el vrtice).

La grfica muestra la idea de lo que se dice.

Lo que sigue es resolver el tringulo recto. El problema es que no conocemos la distancia Tierra-Venus(T-V) al momento de la elongacin. Pero podemos aprovechar la tecnologa actual y usar tecnologa de radar para determinar su distancia (Desde el ao 1950 es posible hacer mediciones de radar hacia el espacio). El dato obtenido en esta medicin de radar es el valor del cateto adyacente del tringulo recto(T-V), que es la distancia Tierra-Venus al momento de la mxima elongacin y es mas o menos de 104 millones de kilmetros.

El ngulo Venus-Tierra-Sol (mxima elongacin siempre est en el rango 45 a 47 grados -unas veces ms, otras veces menos, debido a la combinacin de las rbitas y sus excentricidades-.

Para efectos prcticos, usemos la media de 46 grados de elongacin.

Entonces segn la trigonometra plana:

Coseno(V-T-S) = (Cateto adyacente / Hipotenisa)

La Hipotenusa es el valor de la U.A., entonces:

Coseno(46 grados) = (104 millones de kilometros) / UA

lo que nos lleva a :

UA = (104 millones de kilometros) / Coseno(46 grados)

UA = (104 millones de kilometros) / 0.695

UA = 149.6 millones de kilometrosEl valor actual para UA es de 149,597,870 kmEn el siglo III a.C. Aristarco de Samos realiz el primer intento de medir las distancias y los tamaos de la Tierra, el Sol y la Luna del que tenemos noticia en la actualidad[]. Para ello se utiliz las pocas herramientas que tenan a la mano: una observacin constante de los cielos y una mente inquisitiva e inconforme.

l propuso un esquema para estimar la medida de las distancias de lo que l llamo luminarias, con la ayuda de la geometra. Para ello se apoy en el fenmeno de los eclipses de Luna y Sol dado que en ellos se alinean estos astros, permitiendo trazar una serie de rectas que en teora permitiran estimar las respectivas distancias que los separan.La construccin geomtricaPara la poca de Aristarco no se tena aun el concepto de funciones trigonomtricas por lo que las grficas resultaban bastante complejas dado que se hacia uso intensivo de las definiciones de proporciones entre longitudes. Afortunadamente buscando en Internet [enlace] encontramos una reconstruccin bastante convincente en la cual se muestra de manera sencilla una construccin geomtrica similar a la del propio Aristarco:

Diagrama 1: Construccin geomtrica basada en la posicin de los astros en un eclipse de Luna.

A la izquierda el Sol cuyo radio es s ilumina a la Tierra cuyo radio es t. La tierra detiene la luz solar que debera iluminar a la Luna cuyo radio esta marcado como . Las distancias de la Tierra al Sol esta marcada como U , L es la distancia de la Tierra a la Luna. D es la distancia entre la Tierra y el punto donde termina la umbra, que es el cono de sombra creado por la Tierra, la Luna sale de la umbra cuando haya recorrido la distancia d correspondiente al radio de la umbra a la distancia L.

Diagrama 2: Grfica donde se resalta los tringulos semejantes.

Segn esta construccin geomtrica se forman tres tringulos semejantes que sern de utilidad para estimar las distancias U y L en trminos del radio t de la Tierra. Estos tringulos poseen proporciones entre sus lados que son iguales y sus ngulos internos tambin son iguales, as que se puede establecer las igualdades entre los respectivos lados de esos angulos:

Ecuacin 1

Hallando distancias y tamaosAristarco sabia que los eclipses de Sol son de dos tipos, totales y anulares con lo que se puede suponer que el tamao angular del Sol y de la Luna cumple con la siguiente igualdad que puede ser verificada con una grfica idealizada de un eclipse de Sol donde se supone que el vrtice del cono de sombra de la Luna esta justo encima de la superficie de la Tierra:

Ecuacin 2

Diagrama 3: Eclipse de Sol en el que se muestra que el Sol y la Luna tienen un tamao angular igual.

De la ecuacin 1 podemos despejar el valor de U/L e igualarlo a s/

Ecuacin 3De la ecuacin 3 podemos resolver hallar el tamao del Sol (s) y el tamao de la Luna () en trminos del tamao de la Tierra (t) haciendo las siguientes operaciones:

Se halla la cantidad de veces cabe el tamao de la Tierra en la Luna /t (que es de esperarse sea menor a 1):

Ecuacin 4

Se halla la cantidad de veces cabe la Tierra en el tamao del Sol s/t (que es de esperarse sea mayor a 1):

Ecuacin 5Estas ecuaciones determinan esos valores en cantidades que en teora pueden ser medidas como son la razn s/ (las veces que cabe el tamao del Sol en el tamao de la Luna) y d/ (las veces que cabe el diametro de la umbra a la distancia L entre el tamao de la Luna).

Aristarco propuso un mtodo para hallar la relacin entre las distancias U/L correspondientes a las distancias Luna-Tierra y Sol-Tierra respectivamente. Conocer ese valor es lo mismo que conocer la relacin de tamaos entre el Sol y la Luna s/ como se ve en la ecuacin 3, entonces mediante esa construccin geomtrica puede hallarse una de las dos incgnitas que nos permitira finalmente saber el tamao y las distancias al Sol y la Luna:

Diagrama 4: medicin de la proporcin U/L La idea de Aristarco era la de esperar hasta que la Luna estuviese iluminada a la mitad por el Sol que en ese momento se encontrara formando el vrtice de un angulo recto. Midiendo el ngulo se podrida hallar la relacin U/L que corresponde a:

Ecuacin 6Aristarco no propuso un mtodo para la medicin de la relacin d/ ,en principio puede suponerse que el movimiento de la Luna puede ayudarnos a encontrar ese valor:

Diagrama 5: medicin de la proporcin d/ Los valores de distancia L y U pueden ser relacionados con el tamao de la Tierra por medio de las razones L/t y U/t respectivamente, para ello realizaremos la siguiente construccin geomtrica:

Diagrama 6: grfica para relacionar el la distancia Tierra-Luna (L) con el radio de la Tierra (t)En esta construccin se supone a un observador sobre la tierra que esta mirando hacia la Luna y logra determinar que corresponde al tamao angular de la Luna que se encuentra a una distancia L. Si existiera un objeto del tamao de la Tierra, tendra que estar a una distancia x para que se vea del mismo tamao angular Ecuacin 7Usando una construccin similar, puede hallarse una distancia x a la cual debe colocarse un objeto del tamao de la Tierra para que se vea del mismo tamao angular del Sol. De acuerdo a las suposiciones que condujeron a la ecuacin 2, se puede decir que el tamao angular de la Luna es el mismo tamao angular del Sol, resultando en la ecuacin:

Ecuacin 8La medicin en la prcticaEl resultado de todo el planteamiento geomtrico nos deja cuatro ecuaciones con las cuales podramos hallar los valores buscados en trminos del tamao de la Tierra, entonces retomemos estas ecuaciones:

Ecuaciones 4 y 5 que relacionan los tamaos del Sol y de la Luna en trminos del tamao de la Tierra t.

Ecuaciones 7 y 8 que relacionan las distancias del Sol y de la Luna en trminos del tamao de la Tierra t.Los valores desconocidos en estas ecuaciones son s/, d/ y el angulo . Hallando

El valor del angulo corresponde al tamao angular de la Luna o el Sol bajo el supuesto que se ven del mismo desde la Tierra. En la realidad eso no sucede siempre, dado que los eclipses de Sol pueden ser totales o anulares, lo que quiere decir que los dos astros tienen tamaos aparentes que varan, entonces la suposicin de que el tamao angular es el mismo, solo se cumple de manera aproximada.

Fotografa 1 Eclipse Anular de Sol del 10 de mayo de 2013, tomada en Australia [enlace]Una forma de medir el tamao aparente del Sol, es con el uso de un artefacto como la cmara obscura que es un espacio sin luz, que en una de sus paredes posee un agujero pequeo por donde puede pasar de manera controlada la luz. La medicion puede hacerse en cualquier momento que el Sol sea visible:

Diagrama 7:camara oscura para medir el tamao angular del Sol Por medio de este diagrama podemos observar que la luz se proyecta al fondo del espacio formando una imagen del Sol. Esto sucede porque a cada punto de la imagen real del Sol corresponder uno y solo uno en la pantalla al fondo del espacio: dado que la luz solo puede pasar por un orificio pequeo, solo hay una linea que une a ambos.

Con esta construccin geomtrica podemos hacer dos mediciones de longitud, la medida h correspondiente a la distancia entre el agujero y la pantalla y la medida b correspondiente al radio de la imagen proyectada del Sol. La razon b/h es la tangente del angulo , de manera que con una calculadora podemos hallar fcilmente ese valor.

Hallando s/

Bajo la suposicin que los tamaos angulares de la Luna y el Son son los mismos entonces se cumple que la proporcin entre los tamaos s/ es la misma que la proporcin entre las distancias U/L . Aristarco propuso una observacin para encontrar el valor de U/L que supone determinar el momento en el que la Luna esta iluminada por la luz del Sol de manera que esos rayos llegan perpendiculares a la linea de observacin desde la Tierra.

(Van Helden, 1985) aclara que la medicin cuando la luna esta iluminada al 50% es erronea dado que el Sol al ser de un tamao mayor a la Luna ilumina un poco mas de la mitad del area visibble, entonces el criterio puede ser la linea de delimita la luz y la sombra, es decir el terminador (linea que separa la parte iluminada de la oscura en un planeta).

Fotografa 2 La Luna en cuarto creciente [enlace]Para el momento en el que la Luna esta siendo iluminada perpendicularmente a la linea L, el terminador en la Luna en teoria deberia parecer una linea recta... el problema entonces es determinar cuando esa linea difusa se vuelve una linea recta.

Diagrama 8:La medicin de Aristarco de la razon U/L teniendo en cuenta la geometria de la sombra.Hallando d/

Para que suceda un eclipse de Luna, el satelite debe cruzar por la sombra de la Tierra. La Tierra puede obstruir la luz del Sol de manera total o parcial, el lmite entre ambas zonas es difuso. La sombra parcial se llama penumbra y la sombra total se llama umbra. En el diagrama 9 solo se ha dibujado la umbra cuyo radio es d a la distancia a la que esta la Luna L, entonces el radio dela umbra se debe medir en terminos del radio de la Luna. Los limites de la umbra son invisibles a menos que la Luna este iluminada parcialmente como se ve en la fotografa de la derecha.

Fotografa 3 Eclipse de Luna cerca del horizonte El siguiente diagrama muestra el momento en el que la Luna esta saliendo de la umbra (izquerda), a la derecha se muestra una trayectoria posible de la Luna en medio de la umbra.

Diagrama 9:La umbra y la Luna vistas de lado (izquierda) y desde la Tierra durante un eclipse de Luna (derecha)La medicin de la umbra no es tan sencilla dado que rara vez el centro de figura de la Luna cruza por el centro de la umbra que seria la situacin ideal para hacer una medicin. Aristarco probablemente se demor bastante en hallar el valor porque primero deba esperar a que ocurriera un eclipse de Luna y segundo solo podra estimar a ojmetro la medida. Con el advenimiento de la fotografa podemos evitar todos esos inconvenientes y desde nuestro computador podemos hacer una medicin que posiblemente ser ms exacta que la de Aristarco:

Diagrama 10: pasos para medir la umbra de la Tierra con ayuda de una imagen y paint1) Busque en internet varias imgenes de la luna durante un eclipse en el momento que est parcialmente oculta, entre ms grandes sean mejor. En estas imgenes se muestra claramente el lmite de la umbra que es el volumen donde la Tierra oculta completamente al Sol. Abra cada imagen en paint o en un editor de imgenes como Inkscape. 2)- La idea es la de ajustar el permetro de un circulo sobre el borde de la umbra. Con ayuda de la herramienta crculo dibuje uno que se ajustarse al borde de la Umbra para ello cambie el tamao y posicione el circulo hasta que cubra el borde de la sombra, este proceso debe repetirse ms de una vez dependiendo de la habilidad del dibujante. En paint tenga en cuenta que si deselecciona el crculo, tendr que empezar de nuevo porque los objetos se fijan y no puede ser seleccionados de nuevo.3)- Cuando tenga ajustado el crculo sobre la umbra tome el valor en pixeles del tamao del mismo, en paint aparece abajo (recuerde no deseleccionar el circulo), el valor debe ser el mismo para el ancho y alto. Ajuste otro crculo que tenga el tamao de la Luna y tome el valor en pixeles de ese crculo. 4)- Compare las medidas de los dos crculos para hallar la relacin de medidas entre la umbra y el tamao de la Luna.Parece un trabajo trivial con las herramientas de las que disfrutamos actualmente, para los astrnomos de la antigedad conseguir este valor requera de mucho tiempo y esfuerzo porque no posean ms que su intelecto y unas pocas herramientas sencillas y a pesar de ello muchos lograron encontrar ese valor.http://www.analizandoelexamen.com.co/eratosteneshttp://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/orbv.html

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