Astrofisica Stellare: Capitolo 5

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Capitolo 5 La combustione centrale dell’Idrogeno 5.1. Modelli di presequenza. Politropi Fine ultimo delle considerazioni fisico-matematiche che siamo andati presentando nei capitoli precedenti ` e quello di porci in grado di procedere a valutazioni quantitative delle variazioni strutturali, e con esse dei parametri osservativi, che ci attendiamo debano caratterizzare l’arco di esistenza di una struttura stellare. Per entrare nel dettaglio dei risultati evolu- tivi restano da illustrare brevemente le tecniche di calcolo che consentono di valutare una sequenza evolutiva di modelli stellari al fine di predire le variazioni temporali di ogni prede- terminata struttura. Possiamo ricapitolare quanto sinora esposto, concludendo che il sistema di equazioni dell’equilibrio, integrato con le relative valutazioni fisiche, consente di determinare l’andamento delle variabili fisiche lungo tutta una struttura stellare una volta che si conosca in ogni punto la composizione chimica degli strati stellari e qualora si possa trascurare il contributo dell’energia gravitazionale. La prima condizione ` e esplicitamente inserita nelle equazioni dell’equilibrio, mentre la seconda discende dall’evidenza che il coefficiente di ener- gia gravitazionale ε g richiede la valutazione punto per punto delle derivate rispetto al tempo di pressione e temperatura, valutabili solo conoscendo l’evoluzione temporale del modello. La composizione chimica all’interno di una struttura stellare ` e peraltro figlia della storia nucleare della struttura medesima, e non ` e pertanto valutabile a priori. Le uniche strutture che saranno accessibili ad un calcolo diretto saranno quindi e solo quelle di recentissima for- mazione, nella prima fase di contrazione gravitazionale e prima che l’innesco delle reazioni nucleari inizi a modificare la composizione chimica. Ricordiamo ora che nel processo di for- mazione una struttura raggiunge una configurazione di equilibrio quando l’aumento della temperatura, stimolando la ionizzazione, aumenta l’opacit` a della materia intrappolando la radiazione. A seguito dell’ alta opacit` a ci attendiamo che tali strutture primitive siano to- talmente convettive e da tale accadimento discende la possibilit` a di calcolarne la struttura. Per ci` o che riguarda la prima condizione notiamo infatti che strutture completamente convettive sono completamente e continuamente rimescolate. Se dunque l’assenza di reazioni effetti di selettive sedimentazioni gravitazionali dei diversi elementi. Potremo sunque as- sumere strutture chimicamente omogenee con composizione chimica pari a quella assunta per la nube originaria. Un modello convettivo risulta peraltro anche indipendente da ε g . Per comprenderne le ragioni assumiamo inizialmente, come prima approssimazione, che lungo l’intera strut- 1

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Capitolo quinto del libro "Astrofisica Stellare" di Vittorio Castellani.Info e licenza d'uso qui:http://snipurl.com/astellare

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Capitolo 5

La combustione centrale dell’Idrogeno

5.1. Modelli di presequenza. Politropi

Fine ultimo delle considerazioni fisico-matematiche che siamo andati presentando nei capitoliprecedenti e quello di porci in grado di procedere a valutazioni quantitative delle variazionistrutturali, e con esse dei parametri osservativi, che ci attendiamo debano caratterizzarel’arco di esistenza di una struttura stellare. Per entrare nel dettaglio dei risultati evolu-tivi restano da illustrare brevemente le tecniche di calcolo che consentono di valutare unasequenza evolutiva di modelli stellari al fine di predire le variazioni temporali di ogni prede-terminata struttura.

Possiamo ricapitolare quanto sinora esposto, concludendo che il sistema di equazionidell’equilibrio, integrato con le relative valutazioni fisiche, consente di determinarel’andamento delle variabili fisiche lungo tutta una struttura stellare una volta che si conoscain ogni punto la composizione chimica degli strati stellari e qualora si possa trascurare ilcontributo dell’energia gravitazionale. La prima condizione e esplicitamente inserita nelleequazioni dell’equilibrio, mentre la seconda discende dall’evidenza che il coefficiente di ener-gia gravitazionale εg richiede la valutazione punto per punto delle derivate rispetto al tempodi pressione e temperatura, valutabili solo conoscendo l’evoluzione temporale del modello.

La composizione chimica all’interno di una struttura stellare e peraltro figlia della storianucleare della struttura medesima, e non e pertanto valutabile a priori. Le uniche struttureche saranno accessibili ad un calcolo diretto saranno quindi e solo quelle di recentissima for-mazione, nella prima fase di contrazione gravitazionale e prima che l’innesco delle reazioninucleari inizi a modificare la composizione chimica. Ricordiamo ora che nel processo di for-mazione una struttura raggiunge una configurazione di equilibrio quando l’aumento dellatemperatura, stimolando la ionizzazione, aumenta l’opacita della materia intrappolando laradiazione. A seguito dell’ alta opacita ci attendiamo che tali strutture primitive siano to-talmente convettive e da tale accadimento discende la possibilita di calcolarne la struttura.

Per cio che riguarda la prima condizione notiamo infatti che strutture completamenteconvettive sono completamente e continuamente rimescolate. Se dunque l’assenza di reazionieffetti di selettive sedimentazioni gravitazionali dei diversi elementi. Potremo sunque as-sumere strutture chimicamente omogenee con composizione chimica pari a quella assuntaper la nube originaria.

Un modello convettivo risulta peraltro anche indipendente da εg. Per comprendernele ragioni assumiamo inizialmente, come prima approssimazione, che lungo l’intera strut-

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tura il gradiente sia pari al gradiente adiabatico di un gas perfetto monoatomico ∇ad =(dlogT/dlogP)ad =0.4. In tal caso

da dlogT = 0.4dlogP si ricava T = C1 P 0.4

sostituendo nell’equazione di stato

P =k

µHρT → P = C1

k

µHρP 0.4 da cui P = C2ρ

γ con γ = 5/3

E’ questo un caso particolare di una regola generale: non appena si aggiunga all’equazionedi stato un’ulteriore relazione che colleghi tra loro le variabili termodinamiche (nel nostrocaso la relazione del gradiente adiabatico) il sistema termodinamico perde un grado di libertae ognuna delle variabili di stato (P, T, ρ) puo essere espressa in funzione di solo un’altravariabile. Varra sempre, in particolare, una relazione del tipo

P = K ργ

con γ dipendente dalla assunta relazione tra le variabili. Tutte le volte che l’equazione distato e esprimibile nella forma precedente prende il nome di ”equazione di stato politropica”.Si noti che se la relazione riguarda un gradiente (come nel caso adiabatico) l’equazione distato politropica contiene necessariamente una costante arbitraria (condizione al contorno).Fissando le derivate si fissa infatti l’andamento delle variabili ma non il loro punto zero.Questo resta fissato non appena si fissi il rapporto P/ρ ( e quindi la temperatura) in unqualsiasi punto.

Per cio che riguarda il modello stellare omogeneo e totalmente convettivo, se per essoriscriviamo le equazioni dell’equilibrio si trova che nel caso di strutture politropiche

dP (r)dr

= −GMr(r)ρ(r)

r2dr (1)

dMr = 4πr2ρdr (2)

P = K ργ (3)

che formano un sistema di tre equazioni nelle tre variabili incognite P, ρ, Mr, la cuirisoluzione richiedera ora la presenza di tre opportune condizioni al contorno. Quel che quici interessa, e che la struttura prescinde da ogni valutazione sulla generazione di energia, con-sentendo quindi l’integrazione del modello stellare. Per tale integrazione si usera un metododel fitting, mancando delle soluzioni di prova richieste dal metodo di Henyey. In genere, perogni prefissato valore della massa e della composizione chimica, si usa determinare le trecondizioni al contorno Pc (pressione centrale), Te (temperatura efficace) e L (luminosita)per un prefissato valore della temperatura centrale Tc, assunta a valori sufficientemente bassiper escludere il passato intervento di reazioni nucleari.

Si noti come alla costante arbitraria nell’equazione di stato politropico-adiabatica cor-rispondono infinite soluzioni del modello, descritte dal calcolo al variare delle assunzioni suTc. Questo ci dice che finche la struttura resta totalmente convettiva dovra necessariamenteseguire il tracciato decritto dai modelli politropici al progressivo innalzarsi di Tc.

La stessa procedura puo essere applicata nel caso generale, ove si lasci cadere l’assunzione∇ad = 0.4 (ionizzazione completa) in tutta la struttura e si voglia valutare il gradientesuperadiabatico nelle zone esterne. La presenza della relazione di gradiente adiabatico oconvettivo abbassa sempre di un grado di liberta il sistema, e anche se il gradiente convettivodipende da L, per esso nelle zone esterne resta lecito assumere L=cost, prescindendo dallavalutazione di εg.

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5.2. Sequenze di modelli evolutivi

Avendo prodotto un primo modello di struttura stellare, e possibile seguirne l’evoluzionetemporale attraverso l’integrazione di una serie di modelli intervallati da opportuni passitemporali ∆ti. Conoscendo la distribuzione delle variabili fisiche e della composizione chimicalungo tutta una struttura e infatti possibile predisporre le condizioni per integrare un nuovomodello che realizza le condizioni della struttura dopo un prefissato intervallo temporale ∆t.Nel caso generale cio corrisponde a valutare innanzitutto la nuova distribuzione della speciechimiche dopo il passo temporale. Questa nuova struttura potra essere integrata, assumendoin ogni punto ”i” per le derivate rispetto al tempo che appaiono nel coefficiente di energiagravitazionale

dPi

dt=

P ′′i − P ′

i

∆te

dTi

dt=

T ′′i − T ′

i

∆t(4)

dove P ′, T ′ e P ′′, T ′′ rappresentano i valori delle rispettive variabili nel modello che precedeo segue il passo temporale.

Le variazioni della composizione chimica sono collegate all’efficienza delle reazioni difusione e, eventualmente, al rimescolamento prodotto da fenomeni di convezione. Le vari-azioni di composizione indotte dalle reazioni nucleari sono subito ricavabili dal numero nij direazioni per grammo e per secondo necessario per valutare nel modello di partenza il valoredel coefficiente di produzione di energia nuclear εn. Facendo ad esempio il caso della catenaPPI, dalla valutazione delle reazioni primarie (→ 4.4) si trae il numero di nuclei di idrogenoscomparsi nell’unita di tempo

dNH = −3n11 + 2n33

e di conseguenza il numero di nuclei di 4He formatisi

dNHe = −dNH/4

da cui le variazioni delle abbondanze in massa dopo un imtervallo di tempo ∆t, comefornite in ogni punto da

Xi = (dNiµiH)∆t

Ove siano presenti regioni convettivamente instabili, si terra successivamente conto delprocesso di omogeneizzazione indotto dal rimescolamento convettivo ponendo in tutta lazona convettiva

〈Xi〉 =1

Mc

∫XidM =

1Mc

∑XidM

dove l’integrale (sommatoria) e esteso a tutta la zona convettiva di massa totale Mc.L’iterazione di tali procedure consente di seguire l’evoluzione di una struttura stellare

a partire dalle primissime fasi di contrazione gravitazionale attraverso tutte le fasi di com-bustione nucleare sino al suo destino finale. Attraverso queste Sequenze Evolutive si realizzail compito dell’astrofisica stellare, consentendo di predire nei dettagli le strutture fisichee le grandezze osservabili per ogni assunto valore della massa, della composizione chimicaoriginaria e dell’eta di una stella.

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Fig. 5.1. Tracce teoriche per l’evoluzione presequenza di stelle di varie masse e composizionechimica solare. Nel diagramma sono anche indicate le linee di raggio costante come ricavabili dallarelazione di corpo nero L=4πR2σ T4

e. I cerchietti aperti indicano le fasi iniziali di contrazione grav-itazionale. Il primo punto sulla traccia segnala l’ultimo modello totalmente convettivo, il penultimopunto il primo modello sorretto nuclearmente e l’ultimo il modello di Sequenza Principale di EtaZero. I tempi lungo le tracce sono in anni.

5.3. La presequenza

Alcune semplici considerazioni permettono di predire come debba presentarsi una strutturastellare nelle prime fasi che seguono la sua formazione. Essa sara ovviamente espansa, essendogiusto all’inizio della sua lunga storia di contrazione, ma anche relativamente fredda, perchela stabilizzazione della struttura segue, come abbiamo gia ricordato, l’inizio della ionizzazioneparziale dell’idrogeno. Poiche dalla relazione di corpo nero segue che grandi raggi implicanoanche grandi luminosita, si giunge alla conclusione che al momento della sua formazione unastruttura deve presentarsi relativamente fredda ma molto luminosa: in termini astronomicideve presentarsi come una Gigante Rossa.

Tale previsione e puntualmente verificata dai risultati del calcolo. La Fig. 5.1 mostrala posizione nel diagramma HR teorico (logL, logTe) di modelli stellari con composizionechimica solare nelle primissime fasi di contrazione gravitazionale. Come atteso, tutti i mod-elli sono completamente convettivi, e tali rimangono per il primo tratto di evoluzione che sisvolge con una decrescita della luminosita a temperatura pressoche costante, e quindi conuna sensibile diminuzione del raggio. All’aumentare della temperatura centrale diminuiscel’opacita e al punto indicato in figura incominciano a formarsi dei nuclei in equilibrio radia-tivo. Al crescere di tale nucleo la traccia evolutiva abbandona infine il precedente andamentoper spostarsi verso alte temperature con un contenuto aumento di luminosita. Mostreremonel seguito come sia proprio la presenza di un nucleo radiativo a spostare la stella verso alte

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Fig. 5.2. Evoluzione di presequenza per una stella di 1 M� e composizione chimica solare. A=modello iniziale; B= ultimo modello completamente convettivo; C= primo modello sorretto nucle-armente; D= Sequenza principale di Eta Zero (ZAMS). Lungo la traccia sono riportati i tempi dievoluzione ed i modelli in cui si raggiungono le temperature centrali per la combustione del deuterio.

temperature efficaci, abbandonando quella che viene indicata in letteratura come la ”Tracciadi Hayashi”.

Mentre la stella si sposta verso alte temperature cominciano a diventare efficientile reazioni nucleari sinche (penultimo punto in Fig. 5.1) l’energia nucleare arriva a co-prire l’intero fabbisogno energetico della struttura, svanisce il contributo dell’energia grav-itazionale e ha termine la fase di contrazione su tempi scala termodinamici. In linea deltutto generale e da notare come tutte le stelle si stabilizzino attorno a quella che sara la loroluminosita nella fase di combustione nucleare ben prima che le reazioni stesse comincinoa diventare efficienti, a ulteriore riprova che non sono le reazioni a determinare la lumi-nosita di un oggetto stellare. E’ vero il contrario: la luminosita, governata dalle condizionidi equilibrio, determina la richiesta di energia e quindi l’efficienza delle reazioni nucleari.

La Fig. 5.2 riporta con qualche ulteriore dettaglio la traccia di presequenza per una stelladi 1 M�. L’evidenza che l’evoluzione rallenti al diminuire della luminosita non dovrebbesorprendere: la luminosita altro non e che l’energia persa dalla struttura per unita di tempo,e in fase di contrazione gravitazionale l’evoluzione sara tanto piu veloce quanto piu velocela perdita di energia. Nella stessa figura sono indicati i modelli in cui per la prima volta siraggiungono le temperature per la combustione del deuterio. La scarsa abbondanza naturaledi questo elemento rende pressoche trascurabile il contributo di tali combustioni, causandoal piu un transitorio rallentamento dell’evoluzione.

In base a semplici considerazioni sui tempi scala nucleari noi abbiamo gia identificato laSequenza Principale osservata, ad esempio, nelle stelle nei dintorni del Sole, come formatada strutture in fase di combustione di idrogeno. Possiamo perfezionare tale identificazioneprecisando che definiremo stelle di Sequenza Principale tutte quelle stelle che evolvono coni tempi scala della combustione dell’idrogeno. Sulla base di tale definizione si deve conclud-ere che il primo modello sorretto nuclearmente al termine della fase di contrazione NONrappresenta ancora una struttura di Sequenza Principale. Nei meccanismi di combustione

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Fig. 5.3. Andamento col tempo di temperatura centrale, densita centrale e energia gravitazionalein una stella di 1 M� durante la fase di contrazione e nell’approccio alla Sequenza Principale.

dell’idrogeno, siano essi la catena pp o il ciclo CNO, vi sono infatti specie nucleari chedevono portarsi all’equilibrio prima che la combustione dell’idrogeno raggiunga una situ-azione di regime e che evolveranno - e con essi la struttura - con tempi scala intermedi traquelli gravitazionale e quelli della combustione dell’idrogeno. Conseguentemente dovremodefinire come primo modello di Sequenza Principale (o modello di ZAMS = Zero Age MainSequence) il primo modello sorretto nuclearmente in cui gli elementi secondari abbiano rag-giunto l’equilibrio.

Nel caso di una stella di 1 M�, quale quello illustrato in Fig. 5.2, la struttura arrivaad essere sorretta dalle combustioni nucleari con temperature centrali dell’ordine dei 15106 K, alle quali domina ancora la catena ppI. Per arrivare al modello di ZAMS dovremoquindi attendere che l’ 3He, pressoche ancora nullo nel primo modello sorretto nuclearmente,raggiunga la sua composizione di equilibrio. E’ istruttivo riconoscere in Fig. 5.3 il comporta-mento della struttura in questa fase di approccio alla sequenza principale. Durante tutta lafase di contrazione gravitazionale temperatura e densita centrale aumentano con continuitasino a quando intervengono le reazioni nucleari e l’energia prodotta dalla gravitazione crollarapidamente a zero, sostituita da quella nucleare.

Per mancanza di 3He le reazione 3He+3He → 4He + 2p non puo essere efficiente, e lacombustione si deve limitare alla produzione di 3He, con l’emissione di energia corrispon-dente alla sola produzione di tale elemento,. Mano a mano che aumenta l’abbondanza di3He, la 3He+3He → 4He + 2p comincia a diventare efficiente, il PPI si completa e aumental’energia prodotta per ogni fusione di coppia di protoni, aggiungendovisi l’energia guadag-nata nella produzione dell’4He. La stella, che si era portata a temperature tali da soddisfareal suo fabbisogno energetico con il solo ppI incompleto, reagisce all’eccesso di energia dimin-uendo temperatura e densita per abbassare la velocita delle reazioni e mantenere costante laproduzione di energia nucleare. Ne segue anche una espansione con il limitato assorbimentodi energia gravitazionale segnalato dai valori negativi in figura. E’ temporaneamente pre-sente un piccolo nucleo convettivo, destinato ad una rapida sparizione e privo di conseguenzeevolutive (→ A5.4)

La decrescita della temperatura prosegue sinche l’3He nelle zone di combustione si sta-bilizza alla sua composizione di equilibrio: da questo momento la stella cessa di evolvere coni tempi scala dell’equilibrio dell’3He e inizia ad evolvere con i tempi scala della combustionedell’idrogeno (modello di ZAMS). Durante la fase di riaggiustamento nucleare che intercorretra il primo modello sorretto nuclearmente e il modello di ZAMS le condizioni centrali tor-nano verso valori precedenti e, corrispondentemente, come mostrato nelle figure 5.1 e 5.2 siinverte la direzione della traccia nel diagramma HR.

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Fig. 5.4. Andamento col tempo di temperatura centrale, densita centrale e energia gravitazionalein una stella di 1.5 M� durante la fase di contrazione e nell’approccio alla Sequenza Principale. Qcc

riporta l’estensione del nucleo convettivo in frazioni di massa stellare. Estremi delle ordinate: 0.80≤ logTc ≤ 1.39; 0.75 ≤ logρc ≤ 2.00

Al diminuire della massa diminuisce la temperatura centrale dei modelli sorretti nu-clearmente causa la drastica diminuzione della luminosita intrinseca delle strutture. Lereazioni nucleari continuano dunque ad essere dominate dalla catena ppI e le fasi di prese-quenza hanno andamenti sostanzialmente analoghi, almeno sinche non si giunga (M ≤ 0.4M�) a temperature centrali cosı basse e, conseguentemente, a tempi di equilibrio dell’3Hecosı grandi da configurare per tale elemento il ruolo di elemento primario. In tal caso svaniscela fase di rilassamento nucleare e il primo modello sorretto nuclearmente deve essere consid-erato modello di ZAMS.

Ancora analogo, ma per alcuni versi speculare, l’avvicinamento alla Sequenza Principaledi modelli invece piu massicci, nei quali la maggior richiesta di energia conduce a mag-giori temperature centrali, portando alla dominanza del ciclo CNO. L’equilibrio del cicloviene raggiunto quando il 12C viene trasformato in 14N, diminuendo la velocita del ciclo el’energia emessa nell’unita di tempo. La Fig. 5.4 mostra che in tal caso al primo modello sor-retto nuclearmente segue un nuovo episodio di limitata contrazione e un ulteriore aumentodi temperatura che infine consente al ciclo all’equilibrio di fornire la richiesta energia. Neldiagramma HR il modello prosegue ora la sua traccia, innalzando ulteriormente la temper-atura efficace. Notiamo infine che, come previsto (→ Cap. 2), a causa della alta dipendenzadalla temperatura la combustione CNO produce ora nuclei convettivi, che si manterrannoper tutta la fase di sequenza principale.

La diversa risposta delle combustioni pp e CNO nell’approccio all’equilibrio si riflettequindi nella diversa collocazione nel diagramma HR dei modelli di ZAMS rispetto ai modelliomogenei sorretti nuclearmente. Come mostrato in Fig. 5.5, modelli di ZAMS sorretti dallacatena pp si collocano a temperature efficaci leggermente inferiori dei rispettivi modelliomogenei, mentre il contrario avviene per i modelli sorretti dal CNO, che continuano lacontrazione per portarsi a temperature efficaci piu alte. Tale diversa risposta rende ancheragione del fatto che alla transizione tra le due combustioni esiste un intervallo di massein cui i modelli omogeni sono sorretti dal CNO e i modelli di ZAMS dal pp. La massadi transizione dipende naturalmente dalla assunta composizione chimica: innalzando l’eliooriginario si ottengono, ad esempio, modelli piu caldi e la massa di transizione diminuisce.

Resta infine da osservare come, sulla base delle considerazioni svolte, si possa concludereche la struttura di un modello di ZAMS possa n genere essere identificata anche senza

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Fig. 5.5. Una sequenza di modelli omogenei supermetallici (linea a tratti) confrontata con lacollocazione dei modelli di ZAMS.

procedere al calcolo dettagliato delle fasi di presequenza. Sinche, come avviene per masse nontroppo piccole, i tempi scala gravitazionale, nucleare dei secondari e nucleare del’idrogenorestano ben distinti, sara lecito integrare direttamente un primo modello omogeneo sorrettonuclearmente imponendo ε=0, e lasciando evolvere la struttura sino a raggiungere l’equilibriodei secondari (pseudoevoluzione).

5.4. La traccia di Hayashi

Si e visto come tutti i modelli stellari nella loro iniziale fase convettiva seguano ben definite etra loro analoghe sequenze confinate alle basse temperature efficaci. Tale comportamento vainquadrato in una regola generale secondo la quale per ogni prefissata massa e composizionechimica esiste nel diagramma HR un limite destro invalicabile definito appunto da strutturetotalmente convettive, che prende il nome di traccia di Hayashi. Tale regola, enunciatadall’astrifisico giapponese Kushiro Hayashi sulla base di modelli stellari semianalitici, puoessere convenientemente illustrata in base ad esperimenti numerici.

Si riprendano infatti le equazioni di equilibrio e si consideri il gradiente dT/dp come unparametro libero G costante lungo la struttura. Se ne ricava il sistema politropico

dP/dr = ....dMr/dr = ...dT/dp = G

che per ogni valore di G e per ogni assunto valore della luminosita L ammette unasoluzione. Non sorprendentemente, si trova che per ogni L, al crescere di G il modello (nonrealistico) si sposta a temperature efficaci minori. Il criterio di Schwarzschild detta peraltroun limite superiore per i valori del ”gradiente medio” G, dovendo risultare

dT

dP≤ (

dT

dP)ad

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Fig. 5.6. Linee isoconvettive HR per una struttura di 1 M� dalla indicata composizione chimica.Le singole linee indicano il luogo nel diagramma HR ove la base dell’inviluppo convettivo raggiungeun prefissato valore della frazione di massa Mce. La linea a tratti riporta la traccia di Hayashi(strutture roralmente convettive)

ove, trascurando gli effetti superficiali di superadiabaticita, l’eguaglianza implica strut-ture completamente convettive. Ne segue che la linea formata al variare di L da tali struttureconvettive rappresenta nel diagramma HR un limite destro per strutture in quasi equilibrio.

E’ utile inserire il concetto di traccia di Hayashi nel contesto piu vasto di un indaginetopologica della convezione negli strati esterni delle strutture stellari. Si e gia indicatocome al diminuire della temperatura efficace ci si attenda che nascano e progressivamentesi sviluppino in profondita strati convettivi superficiali collegati alla ionizzazione parzialedell’idrogeno. Tale previsione qualitativa puo essere perfezionata osservando che il metododel ”fitting” ci assicura che per ogni prefissata massa stellare, ogni posizione del diagrammaHR (ogni coppia di valori L e Te) identifica senza ambiguita le condizioni superficiali. E’lecito quindi integrare le equazioni di equilibrio verso l’interno, identificando le catatter-istiche che avrebbe la struttura e, in particolare, la profondita degli strati convettivi, sepresenti. Si noti che in tale modo non si esegue la valutazioe di un reale modello stellare:si opera solamente la previsione che se una stella di data massa si venisse a trovare in quelpunto del diagramma HR, allora dovrebbe avere la struttura esterna cosı calcolata.

Tali informazioni possono essere accorpate per produrre la topologia degli inviluppi con-vettivi mostrata in Fig.5.6, ove le varie linee isoconvettive rappresentano il luogo dei puntiove la convezione superficiale affonda sino ad un predeterminato valore della massa stellare.Come caso limite, si ottiene cosı anche una valutazione della traccia di Hayashi ove sonotenuti in debito conto gli effetti della superadiabaticita.

Poiche i modelli di presequenza percorrono per definizione le rispettive tracce di Hayashi,la precedente Fig, 5.1 mostra chiaramente come al diminuire della massa stellare la tracciadi Hayashi si sposti verso temperature efficaci minori. La Fig, 5.7 mostra come la traccia sisposti verso minori temperature efficaci anche all’aumentare della metallicita. La sensibilitaal contenuto originario di elio e molto minore, almeno nel campo delle variazioni atteseper questo parametro evolutivo (∆ Y ≤ 0.1), con la traccia che si sposta leggermente atemperature inferiori al diminuire di Y. La particolare sensibilita al contenuto metallicodiscende dal forte contributo dato dai metalli (a differenza dell’elio) all’opacita della materia.

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Fig. 5.7. Tracce di Hayashi per una struttura di 1 M� al variare del contenuto metallico.

E’ infine di particolare rilevanza osservare che per ogni fissata massa e composizionechimica originaria la traccia di Hayashi dipende anche, e sensibilmente, dalla lunghezzadi rimescolamento adottata nel trattamento della convezione superadiabatica. Minore lalunghezza di rimescolamento, meno efficiente e il trasporto convettivo e piu alto il valore dellasuperadibaticita. Si noti al riguardo come al limite l →0 debba risultare anche ∇con → ∇rad.Maggiore superadiabaticita significa infine maggiori gradienti all’interno della struttura edi conseguenza temperature piu basse in atmosfera. Se ne conclude che al diminuire dil la traccia di Hayashi si sposta, come avviene, verso temperature piu basse. Se ne deveconcludere che in assenza di indicazioni precise sul valore di l (→ A5. ..) la collocazionedella traccia e soggetta a pesanti incertezze, che si riflettono non solo sulla temperaturadelle tracce di presequenza, ma anche, come vedremo, sulla collocazione nel diagramma HRdelle Giganti Rosse.

5.5. La Sequenza Principale di Eta Zero (ZAMS)

In base alle considerazioni evolutive sin qui svolte e possibile produrre valutazioni teorichesulle strutture di Sequenza Principale per ogni assunta composizione chimica iniziale. LaFig. 5.8 riporta, nel riquadro a sinistra, l’andamento nel diagramma HR di tali sequenze pertre scelte di composizione chimica che coprono le composizioni delle strutture galattiche. Ilriquadro a destra nella stessa figura riporta l’andamento delle temperature centrali per glistessi modelli.

Luminosita e temperatura centrale crescono in ogni caso al crescere della massa, comerichiesto dal crescente contenuto energetico e conseguente fabbisogno delle strutture di equi-librio. Al crecere della massa stellare segue l’inevitabile passaggio delle combustioni nuclearisotto il controllo del ciclo CNO. La transizione tra catena pp e ciclo CNO avviene attorno alle1-2 M�, in dipendenza anche dalla composizione chimica. Tale transizione e segnalata dalladiversa pendenza della relazione massa - temperatura centrale: per sostenere l’aumento di lu-minosita con la crescita della massa, stelle sorrette dalla catena pp (∝ T 4) devono aumentarela temperatura centrale molto piu rapidamente di quanto richiesto dalle stelle sorretta dalciclo CNO, dalla molto maggiore dipendenza dalla temperatura (∝ T 14).

Le masse minori, sorrette dalla catena pp, come conseguenza della bassa dipendenzadi tale catena dalla temperatura hanno nuclei in equilibrio radiativo, con l’occasionale e

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Fig. 5.8. A sinistra: distribuzione nel diagramma HR di strutture di sequenza principale per leindicate composizioni chimiche. Il punto lungo le sequenze segnala la collocazione dei modelli di 1M�. E’ indicata una retta R= cost (logL ∝ 4logTe). A destra: andamento delle temperature centrali(in milioni di gradi) al variare della massa negli stessi modelli.

transitoria presenza di una limitata convezione da 3He (→ A5.3). La alta dipendenza dallatemperatura del ciclo CNO genera invece nuclei convettivi che aumentano all’aumentare dellamassa e, quindi, della temperatura centrale. Contemporaneamente, stelle a massa minore sicollocano a temperature effettive corrispondentemente minori, ove abbiamo visto debbanosvilupparsi inviluppi convettivi che devono scomparire alle alte temperature efficaci. Ne segueche -come indicato in figura- stelle della Sequenza Principale ”Inferiore” (SPI) o ”Superiore”(SPS) hanno strutture caratteristicamente speculari: nuclei radiativi ed inviluppi convettivile prime, nuclei convettivi e inviluppi radiativi le seconde. Differenze che si rifletterannonelle successive fasi evolutive. La convezione superficiale, presente a partire da logTe ∼4.0, a logTe ∼ 3.8 comincia ad interessare consistenti frazioni di massa stellare, affondandosempre di piu al diminuire della massa (e della temperatura efficace) sino a produrre permasse M≤ 0.3 M� strutture totalmente convettive.

La Tabella 2 riporta alcune grandezze caratterizzanti strutture di sequenza principalecon composizione originale solare, Z=0.02, Y=0.27. Si nota come, in generale, al cresceredella massa decresca sensibilmente la densita centrale. Si puo comprendere il significato ditale comportamento ricorrendo alla condizione di equilibrio imposta dal viriale. Supponiamoinfatti di avere una fissata struttura stellare e di aumentarne (con un gedanken experiment) lamassa. La struttura ha due vie per ritrovare l’equilibrio: aumentare l’energia cinetica totale(aumentare la temperatura) o diminuire l’energia gravitazionale (espandere e diminuire ladensita). I dati in tabella mostrano che le strutture stellari sfruttano contemporaneamenteambedue i canali. La leggera deviazione da tale comportamento generale attorno 1 M� e,forse, da porsi in connessione con la transizione tra i due tipi di combustione e la nascitadei nuclei convettivi. Se, aumentando la massa, aumenta la temperatura e diminuisce ladensita dobbiamo infine concluderne che all’aumentare della massa le strutture si allontananosempre piu dal rischio di degenerazione elettronica, accadimento che e la chiave di volta dallaquale dipenderanno le caratteristiche dell’evoluzione delle strutture nelle fasi successive allaSequenza Principale.

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Fig. 5.9. La collocazione nel diagramma HR di Sequenze Principali con Z=0.001 e varie assunzionisull’abbondanza di idrogeno X. La linea a punti mostra il luogo di modelli di 1M� al variare di X.

Tab. 1. Grandezze caratteristiche di alcune strutture di ZAMS per composizione chimica solare.Vengono riportati nell’ordine: la massa M in masse solari, luminosita e temperatura effettiva, raggioin raggi solari, temperatura Tc e densita centrale ρc, la massa del nucleo convettivo Mcc in massesolari, la frazione di massa del bordo inferiore della convezione esterna Mce e la frazione di energiaprodotta tramite la catena pp o il ciclo CNO. L’ultima colonna riporta infine il tempo, in anni, chele strutture trascorreranno nella fase di combustione centrale di H

M logL logTe R Tc ρc Mcc Mce Lpp LCNO tH

0.1 -3.06 3.450 0.12 4.69 402.5 compl. conv. 1.000 0.000 ∼1000 109

0.3 -1.98 3.534 0.29 7.69 100.7 compl. conv. 1.000 0.000 ∼500 109

0.6 -1.09 3.620 9.55 10.0 84.7 0.04 0.510 0.996 0.004 73 109

0.8 -0.59 3.694 0.70 11.7 79.2 0.06 0.741 0.980 0.020 23 109

1.0 -0.17 3.751 0.87 13.7 77.4 0.07 0.969 0.898 0.136 10 109

1.5 0.69 3.849 1.49 18.1 79.4 0.07 0.981 0.803 0.168 2.2 109

2.5 1.59 4.028 1.84 22.7 48.9 0.44 – 0.277 0.724 497 106

5.0 2.74 4.230 2.73 26.9 20.3 0.94 – 0.033 0.967 83 106

7.0 3.25 4.318 3.27 29.1 13.5 1.60 – 0.013 0.987 38 106

Per quel che riguarda le strutture di MS, la degenerazione elettronica comincia ad influiresolo nelle stelle al di sotto di 1 M�, crescendo al diminuire della massa, sinche attorno a0.1 M� giunge a bloccare la contrazione di presequenza e ad impedire cosı l’innesco dellacombustione dell’idrogeno. Strutture al di sotto di tale limite continueranno a raffreddaresotto forma di oggetti compatti sorretti dalla pressione di degenerazione, dissipando il caloreprodotto nella fase gravitativa. Se non troppo al di sotto della massa limite, a queste ”stellemancate” si da il nome di Nane Brune (Brown Dwarfs) ad indicare l’esistenza di sia purlimitate capacita radiative. Con masse ancora minori si entra nel campo dei pianeti gassosi,con analoga storia evolutiva. In tale contesto e da notare come nel nostro sistema planetarioGiove, MJ ∼ 10−3 M�, emetta una quantita di energia maggiore di quella ricevuta dal Sole,una evidenza da porsi forse in relazione con una residua lenta contrazione.

La Fig. 5.8 mostra come al diminuire del contenuto di metalli e/o all’aumentare del con-tenuto di elio le sequenze principali si spostino verso maggiori temperature effettive, mentre

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Fig. 5.10. Andamento con la frazione di massa delle variabili fisiche e chimiche in un modellodi MS di 1.25 M�, Z=0.001, Y=0.1. Le variabili sono normalizzate ai valori L=7.16 1033 erg/sec,P=2.05 1018 dyn/cm2, ρ =87.81, T=14.88 106 K, R=6.84 1011 cm, X3=6.37 10−4, X12=1.41 10−4,X14=2.41 10−4

a parita di massa le strutture risultano piu luminose. Questa ultima evidenza indica senzaambiguita un aumento delle temperature centrali, come peraltro verificabile nel riquadro de-stro della stessa figura. Notiamo subito che la dipendenza della collocazione nel diagrammaHR dal contenuto di elementi pesanti rende ragione della collocazione in tale diagrammadelle subnane di campo, le stelle povere di metalli che transitano nelle vicinanza del Sole (→Cap.1). L’aumento della luminosita lascia anche prevedere che al diminuire del contenuto dimetalli diminuisca anche la durata, a parita di massa, della fase di combustione di idrogeno.

La risposta delle strutture alle variazioni di elio puo essere compresa osservando che, aparita di densita, l’incremento della percentuale di elio diminuisce il numero di particelle: lastruttura deve contrarre e aumentare la sua temperatura per contrastare l’aumentata grav-itazione. Ogni volta che si aumenta il peso molecolare, troveremo strutture piu calde e piuluminose. La Fig. 5.10 riporta una estesa analisi della collocazione delle Sequenze Principalial variare del contenuto di elio. Spingendosi verso il limite X (abbondanza di idrogeno)→0 lesequenze coprono una vasta ma limitata fascia del diagramma H R, per balzare a temperatureefficaci notevolmente piu alte per X=0. Tale balzo e collegato alla variazione nel meccan-ismo di combustione che, all’esaurimento dell’idrogeno, deve passare dalla combustione ditale elemento alla combustione 3α, che richiede molto maggiori temperature centrali.

Si noti che se le stelle foseero oggetto di efficienti rimescolamenti interni evolverebberomantenendosi omogenee, accrescendo col tempo il loro contenuto di elio. La loro traccia evo-lutiva dovrebbe dunque seguire le linee a massa costante in Fig.5.9, spostandosi sulla sinistradella Sequenza Principale. Tale approccio topologico fornisce una semplice risposta ad undelicato problema: l’evidenza di rotazione delle strutture stellari puo lasciar sospettare chefenomeni di circolazione meridiana rimescolino la struttura, mantenendola omogene. La va-lutazione teorica dell’efficienza di tali rimescolamenti e collegata a non semplici valutazionisulla viscosita del gas stellare, e potrebbe apparire dubbia. La riposta osservativa e esplicita-mente e inconfutabilmente negativa, mostrando che l’evoluzione sposta le strutture non sullasinistra ma sulla destra della Sequenza Principale. Sara dunque l’evoluzione disomogenea a

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Fig. 5.11. Andamento schematico dell’abbondanza di idrogeno durante l’evoluzione di una strut-tura della SPI. I numeri segnalano nell’ordine la sequenza temporale.Le linee a tratti segnalano ilpassaggio alla combustione CNO.

dover rendere conto degli osservabili, cosa che fara con buon successo. Conviene peraltroancora una volta ricordare come l’incertezza sulla lunghezza di rimescolamento si traduca inuna indeterminazione sul valore della temperatura efficace in stelle con inviluppi convettivii cui effetti dovrano essere opportunamente valutati.

La fig. 5.10 riporta l’andamento delle variabili fisiche e di composizione in un modello diMS di 1.25 M�. Si noti in particolare l’evidente presenza di un piccolo nucleo convettivo el’evoluzione dei diversi elementi chimici che intervengono nelle due combustioni pp e CNO.La caratteristica distribuzione dell’ 3He corrsiponde al fatto che nelle zone piu interne questoelemento ha ormai raggiunto la sua abbondanza di equilibrio (che cresce al diminuire dellatemperatura) mente nelle zone piu esterne non e stato ancora formato.

Qui come sempre nel seguito, occorre ricordare come la indeterminazione sulla lunghezzadi rimescolamento si traduca in una indeterminazione sui valori assoluti delle temperaturecon inviluppi convettivi (→ A6.1), indeterminazione che e necessario tenere in considerazioneogniqualvolta si proceda all’interpretazione di dati osservativi.

5.6. La Sequenza Principale e l’esaurimento dell’idrogeno

La struttura di ZAMS e il punto iniziale della lunga combustione centrale dell’idrogeno.In tutte le strutture, alla progressiva diminuzione dell’abbondanza di idrogeno nelle regionicentrali corrisponde automaticamente un continuo aumento di temperatura e densita cen-trali che si riflette in una lenta crescita della luminosita e un progressivo allontanamentodalla ZAMS. Stelle della Sequenza Principale Superiore (SPS) hanno nuclei convettivi neiquali l’idrogeno viene progressivamente sostituito dall’elio prodotto nelle combustioni. Poichel’opacita dell’elio e -a parita di condizioni fisiche- minore di quella dell’idrogeno, il gradienteradiativo tende a diminuire e conseguentemente l’estensione dei nuclei convettivi regrediscelentamente nel tempo.

L’esaurimento dell’idrogeno al centro segna la fine di questa lunga fase di SequenzaPrincipale, manifestandosi con caratteristiche singolarmente diverse per stelle della SPI oSPS, in dipendenza della presenza o meno di nuclei convettivi. In stelle della SPI, in as-senza di moti convettivi centrali l’idrogeno viene consumato in una zona relativamente largaattorno al centro della struttura e, in ogni punto di tale zona, in proporzione all’efficienzalocale delle combustioni pp. Ne segue un andamento temporale dell’abbondanza di idrogenodel tipo riportato nella figura 5.11. E’ facile comprendere come in tal caso l’esaurimento

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Fig. 5.12. Andamento schematico dell’abbondanza di idrogeno durante l’evoluzione di una strut-tura della SPS. I numeri segnalano nell’ordine la sequenza temporale.

dell’idrogeno non rappresenti un evento traumatico: il progressivo aumento di temperaturarendera piu efficienti le combustioni nelle zone ricche di idrogeno contornanti il centro e lacombustione si spostera con continuita dal centro ad una ampia shell contornante un nucleoessenzialmente composto solo da elio e dagli originari elementi pesanti.

E’ importante rilevare che la crescita delle temperature centrali favorisce l’efficienza delciclo CNO che poco dopo l’esaurimento dell’idrogeno centrale finisce col prendere defini-tivamente il sopravvento. A causa della forte dipendenza del CNO dalla temperatura, sirestringe fortemente la zona interessata dalle combustioni che finisce col presentarsi comeuna shell sottile che progredisce all’interno della stella erodendo il fondo della zona ancoraricca di idrogeno e separando bruscamente il nucleo di elio dalle zone piu esterne.

Nelle stelle di SPS la presenza del nucleo convettivo conduce invece a conseguenze pe-culiari. Anche se la zona di combustione e fortemente accentrata, il rimescolamento operatodalla convezione fa sı che l’idrogeno diminuisca omogeneamente in tutta la zona convettiva(Fig. 5.12). Ne consegue che all’esaurimento dell’idrogeno restano prive di combustibile nonsolo le zone ove era efficiente la combustione, ma anche una estesa regione circostante. Allospengersi delle combustioni la stuttura deve quindi reagire con una contrazione che avratermine solo quando la temperatura interna si sara innalzata sino a produrre una efficientecombustione di idrogeno negli strati circostanti il vecchio nucleo convettivo. Si noti ”in pass-ing” che al diminuire delle combustioni centrali diminuisce il relativo flusso, il gradienteradiativo crolla e sparisce l’instabilita convettiva.

La Fig. 5.13 riporta esempi del cammino evolutivo delle strutture durante la fase di MS,sino all’innesco della combustione di idrogeno in una shell. Il modello di 1 M� mostra latipica evoluzione delle strutture di SPI: si allontana regolarmente dalla posizione di ZAMSraggiungendo un massimo della temperatura efficace (turn off della traccia) poco primadell’esaurimento dell’idrogeno centrale. Dopo l’esaurimento la traccia prosegue dirigendosisempre piu decisamente verso basse temperature efficaci nel mentre si instaura la combus-tione di idrogeno in una shell. I modelli di 1.25 e 1.5 M� mostrano invece il tipico andamentodelle strutture di SPS. Poco prima dell’esaurimento parte la contrazione (tratto A-B in Fig5.13) solo al termine della quale l’idrogeno al centro viene definitivamente esaurito. Ci siattende dunque che stelle sufficientemente massicce presentino al termine della fase di com-bustione centrale di idrogeno (MS) una fase di contrazione gravitazionale, percorsa dunquecon tempi scala molto minori di quelli nucleari. In questa fase ci si attende quindi scarsa onulla presenza di oggetti stellari. Le osservazioni confermano puntualmente tale previsione:ammassi stellari sufficientemente giovani mostrano al termine della sequenza principale una

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Fig. 5.13. Tracce evolutive nel diagramma HR di stelle per la composizione iniziale Y=0.30,Z=0.10. L’evoluzione e seguita a partire dal modello di ZAMS sino al massimo relativo di luminosita(C). I punti lungo le tracce indicano decrementi di idrogeno centrale pari a ∆X=0.1.

Fig. 5.14. Il diagramma CM (Colore-Magnitudine) per l’ammasso di vecchio disco M67 =NGC2682.

”gap” per mezzo della quale l’esistenza di un nucleo convettivo nelle strutture di SPS diventa-indirettamente- un osservabile (Fig. 5.14).

Ulteriori dettagli sulla fase di esaurimento dell’idrogeno sono riportati in A5.6. Prima diconcludere questo punto dobbiamo pero aggiungere che per masse al di sopra delle 10 M�,la fase di esaurimento dell’idrogeno si complica per la presenza di un ulteriore fenomeno:l’energia emessa dai nuclei in contrazione si traduce in un flusso cosı grande che nelle regioniche circondano il nucleo il gradiente radiativo viene spinto a superare quello adiabatico e lezone diventano, almeno formalmente, convettive.

Abbiamo detto ”almeno formalmente” perche e adesso necessario osservare che nelladerivazione del criterio di Schwarzschild si era a suo tempo fatta l’implicita assunzione dimateria chimicamente omogenea. La zona che contorna il nucleo in contrazione presentainvece un gradiente di elio, la cui abbondanza va progressivamente crescendo verso l’internocome risultato della progressiva diminuzione delle dimensioni del nucleo convettivo original-mente presente nel modello di ZAMS.

L’esistenza di un tale gradiente di peso molecolare tende a stabilizzare la zona piu diquanto previsto dal criterio di Schwarzschild: al termine di uno spostamento adiabatico glielementi possono trovarsi piu caldi dell’ambiente circostante ed essere peraltro richiamati

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alla posizione originale perche intrinsecamente piu pesanti. Conseguentemente il criterio diSchwarzschild si trasforma nel Criterio di Ledoux secondo il quale per l’instabilita convettivasi richiede

∇rad ≥ ∇L = ∇ad +dlogµ

dlogP

E’ stato pero fatto notare che in una zona superadiabatica resa stabile del termine diLedoux un elemento richiamato alla sua posizione iniziale, a causa delle inevitabili perdite ra-diative vi tornerebbe piu freddo e quindi piu pesante dell’ambiente circostante, proseguendoquindi nel suo moto e dando origine ad una sia pur diversa forma di instabilita che porterebbein ogni caso al rimescolamento degli strati coinvolti. L’efficienza del rimescolamento in questezone e peraltro questione ancora dibattuta, talora affrontata nel quadro di teorie diffusive.Qui notiamo solo che nel caso dell’esaurimento dell’idrogeno in stelle massicce l’applicazione”sic et simpliciter” del criterio di Ledoux inibisce di fatto la formazione delle shell di con-vezione, con predizioni osservative che sembrano in molto migliore accordo con le osservazioni(→ A5,,,).

Resta infine da notare come la durata della fase di combustione centrale dell’idrogeno(MS) decresca rapidamente all’aumentare della massa (e della luminosita) della struttura:la precedente tabella 5.1 riporta alcuni valori di tale durata per stelle di metallicita solare.Stelle povere di metalli avranno durate leggermente piu lunghe, ma si puo in ogni modoconcludere che in ogni caso stelle con masse minori di ∼ 0.8 M� hanno vite di MS mag-giori dell’eta stimata per l’Universo (∼ 1010 anni). Tali strutture devono quindi in ogni casoessere ancora presenti in cielo, portando testimonianza di tutte le generazioni stellari chesi sono succedute nella nostra come nelle altre galassie. Si ricava anche che il nostro Sole,con circa 4 miliardi di anni di vita, si trova nel pieno della sua fase di MS, ancora essen-zialmente sorretto dalla combustione pp. Il confronto delle strutture solari teoriche con idati sperimentali dell’eliosismologia ha posto in luce la probabile efficienza di meccanismidi diffusione microscopica che, con scale temporali dell’ordine di miliardi di anni, induconoleggere modificazioni alla distribuzione degli elementi chimici all’interno delle strutture stel-lari, interessando quindi solo l’evoluzione di stelle con massa suffientemente piccola e tempievolutivi corrispondentemente lunghi (→ ..).

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Approfondimenti

A5.1. Modelli politropici. Equazione di Lane Emden.

Ogniqualvolta sia possibile stabilire una relazione ”politropica” del tipo

P = Kργ = Kρ(n+1)/n

le equazioni di equilibrio si riducano conducano a modelli ”politropici”, dalle gia discusse carat-teristiche. Gli indici che corrispondono alle due diverse formulazioni della relazione tra pressione edensita prendono rispettivamente il nome di esponente della politropica (γ) o di indice della politrop-ica (n). Tra le molte possibili origini di un comportamento politropico ricordiamo:

1. Gradiente adiabatico di gas perfetto monoatomico γ = 5/3, n= 1.5

2. Gas isotermo γ = 1, n= ∞3. Pgas /Ptot=β=cost, γ = 4/3, n= 3

4. Degenerazione non relativistica γ = 5/3, n= 1.5

5. Degenerazione relativistica γ= 4/3, n= 1.5

In tutti i casi, derivando rispetto a r l’eguaglianza dell’equilibrio idrostatico, e sostituendodMr/dr tramite la relazione di conservazione della massa si ottiene

d

dr(r2

ρ

dP

dr) = −G

dMr

dr= −G4πr2ρ

da cui

1

r2

d

dr(r2

ρ

dP

dr) = −4πGρ

esprimendo P attraverso la relazione politropica e operando le sostituzioni

ρ = ρcθn

r = ξ/A dove A =4πG

(n + 1)Kρ

n−1n

c

si giunge all’equazione di Lane Emden

1

ξ2

d

dξ(ξ2 dθ

dξ) = −θn

da integrarsi con le condizioni θ = 1 e dθ /dξ = 0 per ξ =0. L’equazione di Lane Emden ammetteper alcuni valori di n anche soluzioni analitiche.

Abbiamo gia ondicato come nel caso adiabatico K rappresenti un parametro libero cui cor-rispondono ∞1 strurrure convettive. Diverso e il caso di strutture degeneri, ove K e una costantefissata dalla teoria della gas degenere. In tal caso si ha quindi una soluzione unica, e ogni ρc fissamassa e raggio della struttura, accadimento che mostra come il raggio di una struttura degenerenon dipenda dal suo contenuto termico e dal quale vedremo discendere l’esistenza di una massalimite per nane bianche e stelle di neutroni.

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Fig. 5.15. Reazioni di cattura protonica per gli elementi leggeri.

A5.2. La combustione degli elementi leggeri

Le combustioni di elementi leggeri nel corpo delle varie catene pp e il ruolo di elementi secondarigiocato da tali elementi mostra senza ambiguita che le catture protoniche su D, Li, Be e B precedonola combustione dell’idrogeno in deuterio. La Fig. 5.15 riporta i principali canali di combustione, coni due canali del 9Be in concorrenza 1:1. Stante la scarsa abbondanza di tali elementi nella mate-ria interstellare e lecito trascurare il contributo energetico alla storia evolutiva di una strutturastellare; al piu ci si attende che il deuterio, di gran lunga il piu abbondante, produca un rallenta-mento nell’evoluzione di presequenza. peraltro trascurabile a fronte dei successivi tempi evolutivi.Marginale anche il contributo dei prodotti di reazione, 3He e 4He, alla originaria composizionechimica di una struttura.

L’interesse di queste combustioni risiede principalmente nel fatto che esse consentono di sondarela storia degli eventuali inviluppi convettivi di una struttura stellare. Maggiori infatti le profonditaraggiunte da un inviluppo convettivo, maggiori sono le temperature alla base della zona convettivacui vengono esposti gli elementi nel continuo rimescolamento. Poiche le sezioni d’urto scalano conla repulsione coulombiana, ci si attende quindi che al crescere di tali temperature scompaianonell’ordine dalla atmosfera D, Li, Be, B. Per quel che riguarda le strutture di MS, ci si attende dunqueche tali elementi scompaiano, nell’ordine, al diminuire della massa stellare e al conseguente cresceredegli inviluppi convettivi. Tale previsione e in linea generale confermata dalle osservazioni, anche see bene precisare che i calcoli dettagliati mostrano che le combustioni avvengono principalmente nelcorpo delle strutture di presequenza. Il problema di una corretta previsione delle abbondanze deglielementi leggeri nelle atmosfere stellari e peraltro ancora aperto e oggetto di indagini.

A5.3. La convezione centrale da 3He.

E’ istruttivo seguire nei dettagli l’evoluzione dell’ 3He nelle fasi di approccio alla MS di una stella dipiccola massa al fine di comprendere come tale evoluzione governi la nascita di un nucleo convettivoe la sua successiva sparizione. Assumendo un’abbondanza iniziale di 3He tracurabile, la produzionedi tale elemento sara proporzionale alla temperatura e, quindi, in una fase iniziale la distribuzione di3He avra un massimo al centro della struttura. Poiche la presenza di 3He favorisce il completamentodella catena pp, la produzione di energia si concentra anch’essa verso il centro, aumenta il flusso dienergia e -stanti l’espressione del gradiente radiativo ed il criterio di Schwarzschild- la zona centralediventa convettiva,

Al procedere della combustione l’3He raggiunge pero il suo valore di equilibrio, prima al cen-tro e progressivamente nella zone circostanti (Fig.5.16). Poiche l’abbondanza di equilibrio e tantomaggiore quanto minore la temperatura, la distribuzione dell’3He tendera ad assumere una carat-teristica distribuzione a shell, con l’effetto incrementare l’efficienza della catena nelle zone esterne al

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Fig. 5.16. La variazione col tempo e con la frazione di massa dell’abbondanza di 3He (lineecontinue)in una stella di 0.6 M�, Y=0.10, Z=10−3. Lungo le varie curve sono riportate le eta deimodelli in anni. La curva a tratto e punto riporta la distribuzione di 3He al manifestarsi dell’episodioconvettivo (t= 2.7 107 anni). Le curve a tratti riportano l’andamento della luminosita alla massimaestensione del nucleo convettivo (a) e per t= 2.5 109 anni.

nucleo convettivo, ridistribuendo la generazione di energia e finendo cosı con l’inibire la convezionefino a farla scomparire.

A causa di tale meccanismo le stelle di piccola massa sperimentano nelle fasi di approccio enelle fasi iniziali di MS un episodio di convezione centrale, la cui limitata estensione, nella strutturacome nel tempo, ha effetti trascurabili sulla successiva storia evolutiva della struttura.

A5.4. Eliosismologia, diffusione e Modello Solare Standard.

Negli anni ’60 del XX secolo si era scoperto, con una qualche sorpresa, che la superficie del Solerisultava soggetta a moti oscillatori. Dopo quasi un decennio si comprese, almeno in linea di princi-pio, l’origine di tale fenomeno: il Sole una massa gassosa , e quindi fluida, mantenuta in equilibriodalla sua stessa forza di gravita (struttura autogravitante). Tale struttura, se sollecitata, puo per-altro oscillare attorno alla sua configurazione di equilibrio, ed appunto questo quello che avviene.L’origine della sollecitazione va ricercata nei moti convettivi alla superficie del Sole, in grado ditrasferire energia meccanica all’intera struttura. Ricorrendo ad un’immagine molto usata, si puoriguardare al Sole come ad una campana o un gong che risuona sotto le sollecitazioni dei moticonvettivi. Sarebbe peraltro pi corretto ricorrere ad immagini quali quelle di una massa gelatinosaposta in vibrazione.

La struttura solare risponde alle sollecitazioni con una enorme quantita di possibili oscillazionicollegate alla propagazione di onde acustiche che attraversano tutta la struttura. In particolare siinstaurano onde stazionarie, con milioni di modi di oscillazione contraddistinti dai numeri quanticin, l, m delle relative armoniche sferiche. A fianco di tali onde acustiche (modi ”p”) esistono ancheonde di gravita (modi ”g” e ”f”). In analogia con quanto ottenuto dalle indagini sismiche sullastruttura dell’interno della terra, la rivelazione e lo studio di tali onde ha consentito di ottenereimportantissime informazioni sulla struttura interna del Sole, aprendo cos un inatteso ed insperatocampo di studio: l’eliosismologia. Campo che richiede peraltro misure di estrema delicatezza, ovesi consideri che l’ampiezza tipica delle oscillazioni dell’ordine di solo 0.1 m/sec e la rivelazione ditali velocita tramite l’effetto Doppler sulle righe di assorbimento della radiazione solare richiededi riuscire a valutare spostamenti Doppler dell’ordine di un milionesimo della larghezza intrinsecadelle righe stesse.

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Fig. 5.17. Confronto dell’andamento di P/ρ del SSM con i risultati eliosismologici .

L’eliosismologia si andata sviluppando solo in tempi relativamente recenti. Nei primi anni’90 diventava ad esempio operativo il programma GONG (Global Oscillation Network Group)destinato a tenere sotto continua osservazione il Sole grazie a sei stazioni di osservazione dis-tribuite regolarmente in longitudine. Nel 1995 veniva inoltre lanciato il satellite SOHO (SOlarand Heliospheric Observatory), una collaborazione ESA/NASA dedicata all’osservazione continuadel Sole dallo spazio. La disponibilita di informazioni sperimentali sull’interno della struttura solareha stimolato un rilevante progresso nella nostra capacita di produrre accurate previsioni teorichesulla struttura ed evoluzione non solo del Sole ma anche delle altre stelle. L’affidabilita dei ”mod-elli stellari”, come sviluppatisi negli ultimi decenni del XX secolo anche grazie alla disponibilita dimoderni e veloci calcolatori elettronici, dipende infatti criticamente dalla accuratezza con cui vienedescritto il comportamento della materia e della radiazione in condizioni stellari.

Nel caso del Sole, la possibilita di confrontare le predizioni dei modelli con i dati eliosismologiciha stimolato un grande progresso in tali valutazioni, ponendo inoltre in luce l’efficienza nel Sole dimeccanismi di diffusione che erano in prededenza generalmente trascurati nei calcoli evolutivi. Alivello microscopico per ogni specie ionica ”i” si puo definire una velocita di migrazione

vi =T 5/2

ρξi

con

ξi = ATdlogT

dr+ AP

dlogP

dr+ AC

dlogCi

dr

Siamo in presenza dunque di un effetto di sedimentazione gravitazionale (dlogP) cui si aggiun-gono effetti di temperatura e di concentrazione, quest’ultimo in genere di minore efficienza.

La considerazione di processi di diffusione si e rivelata un ingrediente fondamentale per giun-gere a produrre modelli solari che siano in buon accordo non solo con le caratteristiche radia-tive del Sole (Luminosita e Temperature efficace) ma anche con le caratteristiche strutturali rive-late dall’eliosismologia. Tali modelli (Standard Solar Model=SSM) venivano originalmente prodottirichiedendo che una struttura di 1 M� con la composizione chimica originale della attuale atmosferasolare raggiunga dopo 4.5 miliardi di anni le caratteristiche del Sole. La condizione sull’eta provienedalle stime sull’eta del sistema solare ricavate dagli elementi radioattivi contenuti nei meteoriti.

In tali procedure i modelli contengono due parametri liberi, la lunghezza di rimescolamento cheregola l’efficienza della convezione superadiabatica e il contenuto originale di elio, non direttamentericavabile dallo spetro del Sole perche le righe dellelio nel suo stato fondamentale cadono nell’estremoultravioletto. La lunghezza di rimesolamento governa il raggio della struttura, mentre il contenutodi elio ne regola la luminosita, cosı che la richiesta di riprodurre il Sole attuale corrispondeva aduna calibrazione di tali due quantita.

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Tab. 2. Distribuzione di alcune grandezze fisiche lungo il Modello Standard con diffudione micro-scopica

Mr/M R/Rtot logP logT logρ L/Lsup εN ∇rad ∇ad

1.06E-07 6.91E-04 17.366 7.195 2.181 9.49E-07 1.71E+01 3.32E-01 0.3974.12E-03 3.43E-02 17.332 7.184 2.141 3.45E-02 1.54E+01 3.31E-01 0.3974.20E-02 7.92E-02 17.208 7.143 2.014 2.83E-01 1.06E+01 3.26E-01 0.3978.88E-02 1.07E-01 17.100 7.109 1.914 5.01E-01 7.40E+00 3.19E-01 0.3971.86E-01 1.48E-01 16.912 7.050 1.756 7.68E-01 3.63E+00 3.00E-01 0.3972.71E-01 1.78E-01 16.758 7.006 1.637 8.87E-01 1.93E+00 2.80E-01 0.3973.46E-01 2.04E-01 16.619 6.968 1.530 9.43E-01 1.05E+00 2.62E-01 0.3974.46E-01 2.37E-01 16.423 6.919 1.380 9.80E-01 4.52E-01 2.41E-01 0.3975.23E-01 2.65E-01 16.255 6.880 1.250 9.94E-01 2.21E-01 2.27E-01 0.3975.79E-01 2.87E-01 16.122 6.850 1.146 9.98E-01 8.72E-02 2.18E-01 0.3976.45E-01 3.16E-01 15.944 6.812 1.005 1.00E+00 2.84E-02 2.09E-01 0.3977.06E-01 3.46E-01 15.758 6.774 0.857 1.00E+00 1.21E-02 2.02E-01 0.3977.39E-01 3.65E-01 15.642 6.751 0.764 1.00E+00 7.21E-03 1.98E-01 0.3977.79E-01 3.91E-01 15.484 6.720 0.637 1.00E+00 3.57E-03 1.95E-01 0.3978.12E-01 4.17E-01 15.334 6.691 0.516 1.00E+00 1.82E-03 1.93E-01 0.3978.45E-01 4.47E-01 15.159 6.657 0.374 1.00E+00 8.19E-04 1.91E-01 0.3978.73E-01 4.77E-01 14.984 6.624 0.232 1.00E+00 3.66E-04 1.91E-01 0.3978.90E-01 4.99E-01 14.865 6.601 0.135 1.00E+00 2.09E-04 1.92E-01 0.3979.07E-01 5.24E-01 14.729 6.575 0.026 1.00E+00 1.10E-04 1.93E-01 0.3979.23E-01 5.53E-01 14.572 6.544 -0.101 1.00E+00 5.11E-05 1.97E-01 0.3979.40E-01 5.89E-01 14.383 6.506 -0.252 1.00E+00 1.98E-05 2.06E-01 0.3979.50E-01 6.15E-01 14.250 6.478 -0.358 1.00E+00 9.84E-06 2.16E-01 0.3979.58E-01 6.40E-01 14.120 6.449 -0.459 1.00E+00 4.80E-06 2.33E-01 0.3969.66E-01 6.70E-01 13.968 6.411 -0.574 1.00E+00 1.93E-06 2.70E-01 0.3969.74E-01 7.05E-01 13.785 6.356 -0.705 1.00E+00 5.54E-07 3.50E-01 0.3969.79E-01 7.30E-01 13.655 6.306 -0.787 1.00E+00 1.83E-07 5.10E-01 0.3969.83E-01 7.53E-01 13.520 6.252 -0.868 1.00E+00 5.38E-08 7.71E-01 0.3969.88E-01 7.81E-01 13.352 6.186 -0.969 1.00E+00 1.10E-08 1.25E+00 0.3969.91E-01 8.09E-01 13.158 6.109 -1.085 1.00E+00 1.61E-09 2.14E+00 0.3969.93E-01 8.28E-01 13.023 6.055 -1.167 1.00E+00 3.94E-10 3.05E+00 0.3969.95E-01 8.46E-01 12.873 5.996 -1.257 1.00E+00 0.00E+00 4.54E+00 0.3969.96E-01 8.66E-01 12.696 5.926 -1.363 1.00E+00 0.00E+00 7.33E+00 0.3969.97E-01 8.79E-01 12.563 5.873 -1.443 1.00E+00 0.00E+00 1.06E+01 0.3959.98E-01 8.95E-01 12.382 5.802 -1.551 1.00E+00 0.00E+00 1.77E+01 0.3959.99E-01 9.06E-01 12.248 5.749 -1.632 1.00E+00 0.00E+00 2.58E+01 0.3949.99E-01 9.26E-01 11.936 5.626 -1.819 1.00E+00 0.00E+00 6.59E+01 0.3929.99E-01 9.35E-01 11.778 5.564 -1.913 1.00E+00 0.00E+00 1.12E+02 0.3911.00E+00 9.43E-01 11.613 5.500 -2.013 1.00E+00 0.00E+00 2.03E+02 0.3891.00E+00 9.50E-01 11.458 5.440 -2.105 1.00E+00 0.00E+00 3.70E+02 0.3871.00E+00 9.55E-01 11.312 5.383 -2.194 1.00E+00 0.00E+00 6.73E+02 0.384

Le strutture cosı calcolate risultano peraltro in grave disaccordo con i dati eliosismologici cheforniscono, ad esempio, il velore di P/ρ lungo tutta la struttura. L’introduzione di meccanismidi diffusione complica ovviamente le procedure, perche si deve anche ricavare una composizionechimica originale che, tenendo conto della diffusione atmosferica, produca infine il valore di Z/Xricavato dagli spettri del Sole attuale. Come risultato di tale introduzione le valutazioni teorichehanno raggiunto un insperato grado di affidabilita, come mostrato nella Figura 5.17, che mostral’eccellente accordo del rapporto tra pressione e densit (P/ρ) all’interno del Sole, come ricavato

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Fig. 5.18. Traccia evolutiva di un Modello Solare Standard.

dall’eliosismologia, con le previsioni del modello teorico solare. Grazie anche a tali verifiche speri-mentali, siamo oggi in grado di valutare con ragionevole precisione le storia evolutiva delle stelle,in generale, ed in particolare quella del nostro Sole. La Figura 5 riassume schematicamente quantooggi sappiamo non solo sulla storia passata del nostro astro, ma anche sulla sua prevista evoluzionenei prossimi 5 miliardi di anni.

A5.5. Neutrini Solari

I neutrini solari hanno rappresentato un rilevante problema giunto a soluzione giusto nei primi anni2000. I termini di tale problematica erano stati posti a partire dai precedenti anni ’60, quandoR. Davis installo in una miniera di Homestake, nel Dakota, ad una profondita di 1500 metri, uncontenitore con 400 000 litri di tetracloroetilene al fine di rivelare i neutrini prodotti dalle reazioni difusione nucleare che, trasformando idrogeno in elio, riforniscono il Sole di energia. Una valutazionedel numero di neutrini emessi dal Sole e di grande semplicita. In ogni reazione di fusione 4 protonivanno a formare un nucleo di elio con due protoni e due neutroni, e ad ogni formazione di un neutronecorrisponde l’emissione di un neutrino. Quindi ad ogni reazione di fusione corrisponde l’emissionedi due neutrini. Il numero di reazioni che avvengono in un secondo e subito ricavabile dall’energialuminosa emessa dal Sole in quell’intervallo di tempo (3.9 1033 erg) divisa per l’energia prodottanella formazione di un nucleo di elio (circa 25 MeV = 4 10−5 erg). Ne risulta una produzione dicirca 1038 neutrini al secondo e un flusso, alla distanza della terra, dell’ordine di 1011 neutrini percm2 e per secondo.

I neutrini solari rivestono una grande importanza perche, prodotti nelle regioni centrali dellastella, sfuggono direttamente nello spazio senza in pratica interagire con la materia solare. Essiportano quindi informazioni direttamente dalle regioni di produzione, nel centro della nostra stella.Con i fotoni dunque vediamo la superficie del Sole, con i neutrini ”vediamo” le sue parti centrali.Per comprendere l’evoluzione della problematica sui neutrini solari, dobbiamo peraltro ricordarecome alla fusione dell’idrogeno concorrano numerose reazioni che producono neutrini elettronici divaria energia (Fig. 5.19 ) . Le pi importanti risultano:

p + p→ D + νe Eν = 0.42Mev

7Be + e− →7 Li + νe Eν = 0.86Mev

8B →8 Be + e+ + νe Eν = 14.06Mev

ove per ogni reazione riportata l’energia massima posseduta dai neutrini prodotti.

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Fig. 5.19. Lo spettro dei neutrini solari predetto dal Modello Solare Standard. Le frecce riportanola soglia dei vari esperimenti di rivelazione.

L’esperienza di Davis rivelava i neutrini tramite la reazione νe+37Cl →37 Ar+e− e la successivarivelazione del decadimento del nucleo di 37Ar cosı prodotto. La reazione ha peraltro una sogliapari a 0.81 Mev, talche l’esperimento poteva in linea di principio rivelare solo i neutrini provenientidalle reazioni del boro (B) e del berillio (Be). Sorprendentemente i neutrini rivelati risultarono solotra 1/2 e 1/3 di quelli previsti dalla teoria.

Tale evidenza sperimentale si apriva a due interpretazioni alternative. Poteva infatti indicareche i modelli teorici non valutavano correttamente il contributo delle diverse reazioni all’emissionedei neutrini, fermo restando il numero totale di neutrini emessi. Ne seguirono vari ma vani tentatividi abbassare le temperature centrali del Sole, spostando cosı le reazioni verso la catena ppI i cuineutrini non erano rivelabili. Ma, alternativamente, sin dal 1962 Bruno Pontecorvo (1913-1993)aveva avanzato l’ipotesi secondo la quale i neutrini emessi dal Sole, di tipo elettronico, si sarebberotrasformati in volo in uno degli altri due tipi di neutrino (muonico e tauonico), perdendo cosı lacapacita di interagire col Cloro. Ipotesi affascinante perche implicherebbe che il neutrino abbia unamassa, contrariamente alle previsioni dei piu semplici e accettati modelli di tali particelle, aprendola strada ad una nuova fisica.

Il problema dei neutrini solari ha stimolato nel tempo una serie di importanti imprese sperimen-tali. Nel 1987 l’esperimento giapponese Kamiokande misurava i neutrini del B utilizzando processidi scattering elettronico, parzialmente sensibili anche alla presenza di neutrini non elettronici, con-fermando il deficit di neutrini. Assumendo come validi i dati sperimentali, era peraltro gia possibilericavare che i risultati dei due esperimenti erano incompatibili con neutrini canonici. La Fig 5.20mostra l’interpretazione dei dati sperimentali nel piano dei flussi neutrinici rispettivamente di B eBe. Kamiokande, sensibile solo ai neutrini del B, fissa il flusso di tali neutrini indipendentementeda ulteriori assunzioni. Il segnale di Homestake fornisce invece una relazione tra i due flussi a sec-onda che sia interpretato come prodotto solo da neutrini del B, solo da neutrini del Be o da unamescolanza dei due. La figura mostra che, in ipotesi di neutrini canonici, il flusso del B misuratoda Kamiokande dovrebbe, da solo, produrre in Homestake un segnale piu alto di quanto osservato.Una contraddizione sanabile solo ammettendo o un errore nei dati sperimentali.

Un ulteriore chiarimento. e un supporto ai dati dei precedenti esperimenti, veniva dai risul-tati dell’esperimento Gallex (Gallium Experiment) condotto a partire dal 1996 nei LaboratoriSotterranei dell’Istituto Nazionale di Fisica Nucleare (INFN) al Gran Sasso, e dal contempora-neo esperimento SAGE (Soviet-American Gallium Experiment) in un laboratorio sotterraneo nellemontagne del Caucaso. La soglia della reazione utilizzata da ambedue questi esperimenti per rivelarei neutrini

νe +71 Ga→71 Ge + νe

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Fig. 5.20. Le condizioni imposte dagli esperimenti di Homestake e Kamiokande ai flussi di neutrinidel Be e B.

era sufficientemente bassa per rivelare neutrini provenienti da tutte le reazioni supposte esistentinel Sole. Il deficit di neutrini riscontrato anche in questi esperimenti, interpretabile ancora sullafalsariga dello scenario di Fig.5.20, puntava decisamente in direzione delle oscillazioni del neutrino.La soluzione definitiva del problema venuta solo nel 2001, con l’esperimento di Sudbury che utilizzal’interazione tra neutrino e deuterio per studiare contemporaneamente la presenza sia di neutrinielettronici che di altro tipo. Le due reazioni utilizzate sono:

νe + D → p + p + e−

ν + D → p + n + ν

Anche dal confronto con i risultati degli esperimenti precedenti, se ne tratta la chiara e definitivaevidenza per un flusso dei neutrini in pieno accordo con le previsioni teoriche e la contemporaneaevidenza per l’oscillazione dei neutrini elettronici in neutrini di altro tipo, aprendo cosı la stradaad un nuovo capitolo della fisica fondamentale.

A5.6. La fase di esaurimento dell’idrogeno.

Le strutture della SPI, caratterizzate lungo la fase di MS da nuclei in equilibrio radiativo, attraver-sano la fase di esaurimento dell’idrogeno al centro mantenendo una regolare continuita evolutiva. LaFig. 5.21 mostra la distribuzione degli elementi chimici in una struttura di 1 M� in due momenti,l’uno precedente e l’altro successivo all’esaurimento dell’idrogeno. La distribuzione dell’idrogenonella struttura che precede l’esaurimento e conseguenza di una combustione pp che e giunta adinteressare circa meta della massa stellare. La scarsa efficienza del ciclo CNO e dimostrata dalladistribuzione dell’16O, che ha iniziato a muoversi verso la sua composizione di equilibrio solo nelleregioni piu centrali. Si nota peraltro che il 12C si e ormai portato all’equilibrio con l’14N in granparte della zona di combustione.

Nella struttura successiva all’esaurimento si e ormai formato un piccolo nucleo di elio. La com-bustione e ancora largamente sorretta dalla catena pp, come mostrato dalle dimensioni della zonain cui l’idrogeno e diminuito. La combustione CNO sta pero guadagnando efficienza, come mostratodall’16O la cui abboondanza nelle regioni centrali e crollata ai valori di equilibrio. Si puo infinenotare come la shell dell’ 3He si sposti verso l’esterno, come conseguenza del combinato effetto delladiminuzione dei valori di equilibrio dovuta all’aumento di temperatura nella porzione piu internadella shell, e della proseguita produzione di tale elemento nella porzione piu esterna.

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Fig. 5.21. Distribuzione delle concentrazioni in massa degli elementi primari o pseudoprimariall’interno di una struttura di 1 M� prima (linee continue) e dopo (linee a punti) l’esaurimentodell’idrogeno centrale. Tutte le grandezze sono normalizzate al loro valore massimo.

Fig. 5.22. Andamento temporale di variabili fisiche di struttura e dell’abbondanza centrale di Hdurante la fase di contrazione all’esaurimeno di H centrale.Il tempo t e in miliardi di anni.

I dettagli dell’evoluzione di una struttura di SPS attraverso la fase di esaurimento dell’idrogenosono piu complessi. Il passaggio dalla combustione centrale a quella a shell, sovente indicato inletteratura come fase di overall contraction, avviene in realta con una certa continuita, grazie an-che all’intervento nella fase cruciale dell’energia gravitazionale. La Fig. 5.22 mostra l’andamentotemporale di alcune variabili di struttura nella stella di 1.25 M� di Fig 5.13. La contrazione hainizio quando al centro Xc ∼ 0.05 (punto A in figura) con un aumento di temperatura e densitacentrali che tendono a mantenere efficiente la combustione CNO dello scarso H ancora presente,mentre la generazione di energia gravitazionale resta ben al di sotto di quella nucleare. Nel con-tempo aumentano anche le temperatura ai margini del nucleo convettivo ove iniziano a divenire siapur debolmente efficienti reazioni di combustione.

L’esaurimento dell’idrogeno e segnalato dalla contemporanea scomparsa del nucleo convettivo:in questo momento la contrazione gioca il suo ruolo di stabilizzazione, fornendo un’energia paria quella generata nuclearmente. La temperatura centrale crolla perche il nucleo ormai privo disorgenti di energia deve tendere all’isotermia, portandosi alla temperatura delle combustioni chelo circondano, mentre cresce corrispondentemente la densita centrale. Al termine di questa ultimae rapida fase, la struttura si e stabilizzata nella combustione a shell. E’ importante notare che,contrariamente a quanto talora ritenuto, la fase di rapida evoluzione (e quindi la ”gap” osservativa)

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Fig. 5.23. Andamento temporale della temperatura efficace in modelli di 20 M�, composizionechimica solare, all’esaurimento dell’idrogeno centrale, calcolati adottando alternativamente il criteriodi Ledoux (L) o quello di Schwarzschild (S).

Fig. 5.24. Diagramma CM dell’ammasso giovane globulare della Grande Nube di MagellanoNGC2004. La linea mostra la traccia evolutiva di una stella di 16 M� calcolata adottando il criteriodi Ledoux.

non necessariamente coincide con la fase di temperature efficaci crescenti (tratto A-B in Fig. 5.13),potendosi estendere anche alle fasi successive, come facilmente deducibile dai dati di Fig. 5.22.

Passando al caso delle shell di convezione in stelle massicce, l’alternativa applicazione dei cri-teri di Schwarzschild o di Ledoux porta, come abbiamo indicato, all’esistenza o meno dell’ insta-bilita, con macroscopiche conseguenze sulle caratteristiche evolutive. La Fig. 5.23 riporta ad esempiol’andamento temporale della temperatura efficace in una stella di 20 M� valutato sotto le due al-ternative ipotesi. Assumendo il criterio de Ledoux all’esaurimento dell’idrogeno la stella si spostabruscamente nella zona delle giganti rosse, ove proseguira la sua vita innescando la combustionedell’elio. Dal criterio di Schwarschild si ricaverebbe invece che la stella si sposta lentamente dalla suaposizione di MS, innescando l’elio avendo ancora un temperatura efficace di ∼ 10000 K. a Fig. 5.24mostra che ammassi globulari giovani nella Grande Nube di Magellano (LMC= Large MagellanicCloud) presentano un gruppo ben separato di giganti rosse, mostrando cosı che il criterio di Ledouxproduce, perlomeno, modelli stellari molto piu vicini alla realta delle cose.

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Origine delle Figure

Fig.5.1 Cameron A.G.W. 1971, in ”Structure and Evolution of the Galaxy”, ReidelFig.5.2 Ezer D., Cameron A.G.W. 1965, Canad. J. Phys. 49, 1497.Fig.5.3 Iben I.Jr. 1965, ApJ 141, 993Fig.5.4 Iben I.Jr. 1965, ApJ 141, 993Fig.5.5 Caloi V., Castellani V., Firmani C., Renzini A. 1968, Mem. SAIt 39, 409Fig.5.6 Caputo F., Castellani V., D’Antona F. 1974, Astrophys. Space Sci. 28, 303Fig.5.7 Caputo F., Castellani V., D’Antona F. 1974, Astrophys. Space Sci. 28, 303Fig.5.8 Castellani V. 1985, ”Astrofisica Stellare”, ZanichelliFig.5.9 Caloi V., Castellani V. 1975, Astrophys. Space Sci. 39, 335Fig.5.10 Castellani V., Renzini A. 1968, Astrophys. Space Sci. 2, 83Fig.5.11 Castellani V. 1985, ”Astrofisica Stellare”, ZanichelliFig.5.12 Castellani V. 1985, ”Astrofisica Stellare”, ZanichelliFig.5.13 Caloi V., Castellani V., Di Paolo N. 1974, A&A 30, 349Fig.5.14 Montgomery K.A., Marschall L.A., Janes K.A. 1993, AJ 106, 181Fig.5.16 Caloi V., Castellani V., Firmani C., Renzini A. 1968, Mem. SAIt 39, 409Fig.5.17 Degl’Innocenti S., Dziembowski W.A., Fiorentini G., Ricci B. 1997, Astroparticle Phys. 7, 77Fig.5.18 Castellani V., 2002, Lezioni Galileiane X, 423, Museo della Scienza, FirenzeFig.5.20 Castellani V., Degl’Innocenti S., Fiorentini G., Lissia M., Ricci B. 1997, Phys. Reports 281, 566Fig.5.21 Castellani V., Giannone P., Renzini A. 1971, Mem. SAIt 42, 73Fig.5.21 Tornambe A. 1980, Tesi di Laure, Universita ”La Sapienza”.Fig.5.21 Bencivenni D., Brocato E., Buonanno R., Castellani V. 1991, AJ 102, 137Fig.5.21 Brocato E., Castellani V. 1993, ApJ 410,99