ARITMETICA LEXUS

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ARITMETICA LEXUS

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  • 1. ,ARITMETICA

2. ARITMETICA MANUAL DE PREPARACIC)N PRE-lJNIVERSITARIAIDEA, DISENCl YlUAUZACI()NDepartamento de Creaci6n Editorial de Lexus Editores1:) LEXUs EDITORES SAAv. Del F'j "lmplica que", "Entonces si",el canjunto A "Es suficiente para", etc.BttA El conjunto B"no esta incluido" mel ~ "Sf Y5610 si" (Doble imphcaci6n)conjunto AA:JB El conjunto A "incluye" al conjunto B 'lP(A) Conjunto de las partes del conjunto AAUB A "union" B(Reunion de dos conjuntos) peA) Potencia del conjunto AAnB A "intersecci6n" B(Intersecci6n de dos canjuntos) AIIB El conjunto A"es coordinable con" el conjunto B/ "Tal que" 1 "y" (Canectiva 16gica de canjunci6n)- "Es coormnable" V "0" (Canectiva 16gica de disyunci6n inclusiva)+ "No es coordinable" fI. "0... a ... " (Canectiva 16gica de disyunci6nexclusiva)IJ "Canjunta Universal" Ii, CA "Camplemmta del canjunto Acan respecta alcanjunto universal UAfl.B "Diferencia simetrica" de los canjuntos Ay B < "Es menar que"AxB "Producta cartesiana" de los canjuntos Ay B "Es mucha menar que"Vx "Para tada x" (Cuantificadar Universal) > "Es mayor que"3x "Existe x" (Cuantificador existencial) "Es mucha mayor que":5 "Es menar aigual que"'" "Es mayor a igual que"- 13 - 14. CONJUNTOSA 10 largo del tiempo, el hombre ha inventado conjuntosde numeros que Ie han permitido realizar diferentesoperaciones (suma, resta, multiplicacion,division, potenciacion, etc.) y resolver diferentesproblemas. Estos conjuntos son:N = conjunto de los numeros naturales.Ij ={ 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... jiZ = conjunto de los numeros enteros.Z ={ ... , -4, -3, -2, -1, 0,1,2,3,4, ... jiZ*= conjunto de los numeros enterosno nulos.NUMERICOS Si a = 0 y b ~ 0, el mimero escomplejo real. Si a = 0 y b ~ 0, el numero esimaginario puro.Ejemplo:5 + 2i . 1..- .1..-. 8; -{7; -2-Y39 2Z*={... , -3, -2, -1,1,2,3, ... jQ = conjunto de los mimerosracionales.iQ ={x/x=-"-;a E Z 1 b EZ 1 b .. OJbEjemplos:.2..._JL -437 3~ = conjunto de los numerosirracionales~ = { x / x es un numero no racional}~ = {numeros decimles ilimitadosno peri6dicos}Ejemplos:-{2; -Y3; 17; n ; e[R. = conjunto de los mimeros reales.G; = {xix E iQ v x E nEjemplos:5 .2. _C-.r.:7'3' -7;~3 ;-5~1lC = conjunto de los mimeroscomplejos.c = {x / x = a + bi donde a E R, b ER A i = .y::l}DIAGRAMA DE CONjUNTOS NUMERlCOS- 14 - 15. ARITMETICACONJUNTOSLa noci6n simple de una colecci6n 0 conjunto de objetoses fundamental en la estructura basica de la matematica.Fue Georg Cantor, por los afios de 1870,quien primero llam6 la atenci6n de los matematicosa este respecto.Se entiende por "conjunto" la reunion, agrupaci6n 0colecci6n de objetos 0 entidades de cualquier naturaleza,pero claramente diferenciados entre sf, a los quese denomina "elementos".Son ejemplos de conjuntos:1) Los alumnos de un aula2) Las 5 vacales3) Los numeros impares4) Tu lapicero, este libra, un cuadernoLos conjuntos se denota con letras mayusculas: A, B,C, ... ; mientras que los elementos del conjunto, conletras minusculas: a, b, c, ... , encerrados dentro dellaves: { }Ejemplo:A = {a, b, c, d, e}Que se lee: "A es un conjunto cuyos elementosson a, b, c, d, e".FORMAS DE EXPRESAR UN CON/UNTOI. Por extension 0 forma constmctiva.Se declara individualmente todos los elementosdel conjunto.Ejemplos:A = {a, b, c, d}M = {2; 4; 6; 8}II. Por comprensi6n 0 forma simb6lica.Se declara una propiedad que caracteriza a todoslos elementos del conjunto.Ejemplo:v = {las vocales}En esta expresi6n se comprende que es un conjuntocuyos elementos son todas las vacales. Estemismo ejemplo se puede escribir asi:v = {xix es una vocal}Se lee: "V es el conjunto de los elementos x, talque x es una vocal".CON/UNTOS FINITOS E INFINITOSConjunto Finito: Aquel conjunto que calista de ciertonumero de elementos distintos cuyo proceso deconteo tiene termino.Ejemplo:M = {xix = es un rio del Peru}Que se lee como: "M es el conjunto de los x, talque x es un rio del Peru". M es un conjunto finitoporque sf es posible contar todos los rios delPeru.Conjunto Infinito: Un conjunto es infinito cuando elnumero de sus elementos es infinito. Su proceso deconteo nunca acaba.B = {y/y = una estrella en el cielo}Que se lee como: "B es el conjunto de las y, tal quey es una estrella en el cielo". B es un conjuntoinfinito porque el mimero de estrellas en el cielono se termina nunca de contar, es infinito.NOCION DE PERTENENCIACada uno de los elementos de un conjunto pertenecea dicho conjunto. Para indicar la pertenencia del elementoal conjunto se usa el sfmbolo "E" que se lee"pertenece". Para indicar que un elemento no perteneceal conjunto se usa el sfmbolo "ft." que se lee "nopertenece" .Ejemplos:Sean los conjuntos siguientes:x = {x, y, u, w}x E X; se lee: "x pertenece al conjunto X"m ft. X; se lee: "m no pertenece al conjunto X"A = {conjunto de mimeros pares}2 E A; se lee: "2 pertenece al conjunto A"5 ft. A; se lee: "5 no pertenece al conjunto A"- 15 - 16. IGUALDAD DE CON/UNTOSDos conjuntos son iguales cuando tienen los mismoselementos, aunque no esten dispuestos en el mismoorden.Ejemplos:A = {a, m, r, q}; B = {m, a, q, r}entonces: A = BSe lee: "El conjunto A es igual al conjunto B".CONIUNTOS DISIUNTOSConjuntos disjuntos son conjuntos que no tienenNINGUN elemento comun entre ellos.Ejemplos:i) A = { a, b, c} Y B = { 3, 8, 10 }A YB son disjuntos, porque no tienen ningun elementoen comun.ii) M = { 0, p, q, r } y T = { s, t, u, r}My T no son disjuntos, porque tienen el elementocomun "r".CON/UNTO VAdoEs un conjunto que carece de elementos. Tambien, sellama conjunto uuIo. Se Ie denota por el simbolo 0.A=06A={}Se lee: "A es un conjunto vacio "0" A es un conjuntonuIo".Ejemplos:i) A = {mujeres mayores de 4DO afios} =0ii) B = {xix = presidentes vivos del siglo XIX} = 0iii) C = { y/y = 8 A Y = impar } = 0CONIUNTO UNITARIO 0 SINGLETONEs el conjunto que tiene un solo elemento.Ejemplos:i) A = {Los dfas de la semana cuyo nombreempieza con L} = { Lunes }ii) B = { x / 3x = 12 } = { 4 }iii) C = { x / 5x + 4 = 9 } = { 1 }iv) D = { mimeros impares entre 1 y 5 } = {3 }CONIUNTO UNIVERSALEs el conjunto que contiene a todos los elementos deotros conjuntos. Se llama tambien conjunto referencial.Se denota usualmente con la letra "IU".Ejemplos:i) C = {todos los numeros}Este es un conjunto universal porque contiene todoslos numeros de los conjuntos lR., Q, iZ, N, ~,-2, 1m, -GlI y C.ii) Sean los conjuntos universales:A = {Los Incas del Peru}B = {Los ingenieros que trabajan en Lima}C = {Los presidentes de los paises del mundo}A su vez, el conjunto universal de estos conjuntoses: IU = { personas}iii) Sean los conjuntos:A = {a, e}B = {a, i, u}C = {a, e, o}=0> lJ = {vocales} 0 lJ = {a, e, i, 0, u}iv) Si el universo es el colegio San Jose, lcualessedan los conjuntos que lo forman?A = {alumnos}B = {profesores}C = {carpetas}=0> lJ = {colegio San Jose}SUBCON/UNTOEs aquel conjunto incluido en otro. De esta manera,si todos los elementos del conjunto A estan incluidosen el conjunto B, entonces A es un subconjuntode B. Se denota con el simbolo "e", que se lee:"esta incluido en".- 16 - 17. ARITMETICAEjemplo:A = { x, y, z }; B = { x, y, z, u, w }entonces: A C BSe lee: "A esta incluido en B" 6"A es un subconjunto de B".Alternativamente, en lugar de escribir A C B, que indicaque A esta incluido en B, se puede escribir:B ::J A, que se lee: "B incluye a A"Tambien puede escribirse: B = { A, u, w}. Como seve, el conjunto A esta incluido en el conjunto B.Pera, si A no esti incluido totalmente en B, A no esun subconjunto de B, 10 eual se denota asi: A et B, Yse lee: "A no esti incluido en B" 6 "A no es un 5ubconjuntode B".Ejemplo:A = {I, 2, 3, 4}; B = {3, 4,5, 6}entonces A et BNOTA:1) Si A = B ~ B C A A A C B.Es decir, los conjuntos A y B son iguales siy solamente si B esta incluido en A y A estaincluido en B.2) El conjunto vacio "0" se considera subconjuntode todo conjunto.3) SiA no es subconjunto de B (A rt. B) entonceshay por 10 menos un elemento de Aque no pertenece a B.SUBCON/UNTO PROPIODado A C B, entonces el subconjunto A es subconjuntopropio del conjunto B, si por 10 menos un elementodel conjunto B no es elemento del conjunto A.Pero si todos los elementos de A son iguales a los elementosde B, ya no es un subconjunto, en este casolos conjuntos son iguales.Ejemplo:A = { p, q, r }B = { m, n, 0, p, q, r, s }~ A es subconjunto propio de B.CON/UNTO DE CON/UNTOS 0 CON/UNTODE PARTESEs aquel conjunto integrado por la totalidad de subconjuntosque se puede formar a partir de un conjuntodado. Se denota qp (A) Y se lee: "conjunto departes de A".Ejemplo:Sea el conjunto:A = { a, b, c }Los subconjuntos de A que se puede formar son:0; {a}; {b}; {e}; {a, b}; {a, e}; {b, e} y {a, b, e}Por consiguiente el conjunto de partes del conjuntoA se denota:'!P CA)= {0,{a},{b},{e},{a, c},{b, e}, {a,b},{a,b,e}}CON/UNTO POTENCIA "P(A)"El conjunto patencia de un conjunto A esta formadopar la familia de todos los subconjuntos del conjuntoA. Tienen la misma connotaci6n del conjunto deconjuntos. Por 10 tanto, el conjunto potencia es elnumero de subconjuntos que se puede formar conelementos del conjunto, incluyendo el vacio. Se calculay se denota asi:peA) = 2"Donde: n = numero de elementos del conjunto A,o "cardinal el conjunto A".Ejemplo:Calcular el numero de subconjuntos 0 conjuntopotencia del conjunto A, del ejemplo anterior.A = { a, b, c }Aqui: n = 3; por consiguiente:peA) = 23 = 8Efectivamente, el numero de conjuntos que se puedeformar con los elementos que tiene el conjunto deconjuntos de A es 8. 0, el numero de subconjuntosde A es 8. 0, el conjunto potencia de A es 8. 0, elcardinal de '!P(A) es 8.- 17 - 18. D1AGRAMACION DE CONJUNTOSDIAGRAMA DE VENN"A YB son conjuntos disjuntos. C no esti incluidoen D".Para un mejor entendimiento de la teo ria de conjuntos,especialmente para relacionar los conjuntos ysus elementos de una manera fiUy sencilla se usadiagramas pIanos para representar conjuntos. Losdiagramas son una poderosa herramienta para resolverproblemas. Se les llama Diagramas de Venn enhonor a su creador.DIAGRAMAS LIN