Aritmetica - 1 Bim - Aful

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1960

Educamos para la VIDA y también para la UNIVERSIDAD

CHICLAYO - LAMBAYEQUE - FERREÑAFE I Bim. / ARITMÉTICA / 5TO. AÑO

73


Son aquellos que se obtienen como la diferencia de dos números naturales.

5 – 2 = 3, 4 – 4 = 0 y 3 – 7 = –4

Ejemplo:

A) Los Números Naturales (N)

1. ARITMÉTICA

Cálculos Básicos I

La invención de los números data de los albores de la humanidad, de allí que el profesor Puig Adam de la Real Academia Española de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales dijera que ‘‘la Matemática es tan vieja como el instinto de propiedad, es decir, tan antigua como el hombre’’. Y agregara: ‘‘Éste se sintió matemático en cuanto el afán de retener lo suyo lo llevó a contar sus rebaños y a medir sus tierras’’. Pero, ¿cómo contaban sus ovejas, sus bueyes o sus caballos? Pues por medio de guijarros (piedras), que iban colocando en un recipiente de barro, uno por cada animal que hacían entrar en el redil . He aquí como se manifestaba su instinto de propiedad. También, y con el mismo fin, solían hacer marcas en los árboles.

2. EL NÚMERO

3. CONJUNTOS NUMÉRICOS

Es la parte de la Matemática que tiene por objeto el estudio del número. En aritmética se estudian las propiedades, las operaciones, las medidas y las comparaciones que se realizan utilizando números.

Es un ente abstracto, es decir, que no existe en el mundo real. Es la idea de cantidad que se forma en nuestra mente al observar los elementos de un conjunto.

Por ejemplo, cuando observamos los dedos de una mano se forma en nuestra mente una idea de cantidad a la cual l lamamos cinco: esta idea es un número.

Son aquellos que se obtienen de la observación de los objetos que se encuentran en la naturaleza.

N = { 0, 1, 2, 3, 4, ... }

B) Los Números Enteros (Z)

Z = {... , – 3, –2, –1, 0,1,2,3, ...}

C) Los Números Raciona-les (Q)

Son aquellos que se obtienen como el cociente de dos números enteros.

Ejemplo:

2 = , –3 = , 0 =

0,5 = , 2,5 = , 0,3 =

0,25 =

63

-62

04

12

52

13

2390

Q={ a/b / a �Z, b �Z, b≠0}

D) Los Números Irracionales (I)

Son aquellos que no pueden ser expresados como el cociente de dos enteros. Los números irracionales tienen expresión decimal infinita no periódica.

ARITMÉTICA

Número

Conjuntos Numéricos

OBJETIVO E f e c t u a r o p e r a c i o n e s

aritméticas con cálculos sencillos a fin de adquirir habilidad operativa.


I Bim. / ARITMÉTICA / 5TO. AÑO CHICLAYO - LAMBAYEQUE - FERREÑAFE

74


Fue uno de los matemáticos españoles que más trabajó en la didáctica de las Matemáticas. Fue, salvo entre los círculos profesionales españoles, un desconoc ido . Catedrát ico del Instituto San Isidro de Madrid y de Metodología de las Matemáticas en aquella universidad, compaginaba su contacto real con la enseñanza y con sus inquietudes pedagógicas, in f luyendo en los nuevos profesores. Su preocupación por los problemas de la enseñanza lo llevó a ser un destacado miembro de la C.I .E .M. (Comis ión Internacional para la Enseñanza de las Matemáticas), logrando que la XI C.I.E.M. se celebrase en Madrid en 1958. En este mismo año redactó el Decálogo del Profesor de Matemáticas, en el que recogía sus opiniones sobre la enseñanza de las matemáticas en los Institutos de Bachillerato. El Decálogo, siempre en vigor, nos muestra como los actuales pontífices didácticos no nos descubren nada nuevo.

Pedro Puig Adam (1900 – 1960)

Aquí s e ve e l f amoso Omnipoliedro y el Icosaedro construidos por él en el Instituto San Isidro.

Ejemplo:

2 = 1,4142.... e = 2,7182...

π = 3,141593...

I = { x/x tiene expresión decimal no periódica }

E) Los Números Reales (R)

Contienen a los números racionales e irracionales.

R={x/x es racional o irracional} R = Q � I

Nivel I

1) El producto de dos números naturales es 420. Calcula el mayor de éstos, sabiendo que son consecutivos.

a) 20 d) 25 b) 21 e) 26 c) 22

2) Calcula el mayor de dos números naturales consecutivos cuyo producto sea 240.

a) 12 d) 18 b) 15 e) 20 c) 16

3) Calcula el menor de dos números naturales consecutivos cuyo producto sea 182.

a) 11 d) 14 b) 12 e) 15 c) 13

4) Calcula el menor de dos números naturales consecutivos cuyo producto sea 90.

a) 15 d) 9 b) 45 e) 6 c) 20

5) El producto del mayor y el menor de tres números consecutivos es 288, calcula el número intermedio.

a) 15 d) 19 b) 17 e) 23 c) 13

6) El producto de tres números con-secutivos es 90 veces el menor. Halla el mayor de ellos.

a) 8 d) 11 b) 9 e) 12 c) 10

7) El producto de 2 números impares consecutivos es 783. Halla el mayor.

a) 21 d) 27 b) 31 e) 29 c) 33

8) El producto de 2 números pares consecutivos es 5624, halla el mayor de ellos.

a) 74 d) 78 b) 72 e) 82 c) 76

9) Dos números difieren en 3 unidades y su producto es 208, calcula el mayor de ellos.

a) 13 d) 20 b) 16 e) 21 c) 18

10) Dos números están en la relación de 3 a 5 y suman 80, calcula el mayor de ellos.

a) 50 d) 15 b) 30 e) 10 c) 20



75


26) Simplifica:

a) 1,5 d) 4,5 b) 7,5 e) 8 c) 6

Nivel II

Nivel III

AB

32

11) Dos números suman 200 y están en la relación de 13 a 7. El mayor de ellos es:

a) 70 d) 120 b) 65 e) 180 c) 130

12) Calcula el menor de 2 números cuya diferencia sea 50 y estén en la relación de 12 a 7.

a) 120 d) 40 b) 100 e) 20 c) 70

13) Calcula el menor de 2 números cuya diferencia es 52 y estén en la relación de 7 a 3.

a) 13 d) 52 b) 60 e) 39 c) 91

14) Las edades de Pedro y su hijo son como 9 a 7. ¿A qué edad tuvo Pedro a su hijo si actualmente tiene 81 años?

a) 45 d) 50 b) 36 e) 60 c) 18

15) Si = y 7A – 4B = 26,

halla A + B.

a) 9 d) 15 b) 10 e) 20 c) 12

16) ¿Cuántos novenos hay en 3 1/3?

a) 90 d) 27 b) 30 e) 18 c) 24

17) ¿Cuántos octavos hay en 4 1/4?

a) 16 d) 64 b) 32 e) 100 c) 34

18) Auméntale a 2/3 sus 2/3.

a) 4/3 d) 12/15 b) 11/9 e) 12/3 c) 10/9


a) 36/25 d) 36/5 b) 16/25 e) 32/25 c) 16/5

20) ¿Cuántos cuartos hay en 5 1/2?

a) 11 d) 44 b) 22 e) 10 c) 33

21) ¿Qué parte de 3 1/3 es lo que le falta a 1/9 para ser igual a los 2/3 de 3/5?

a) 11/45 d) 2/5 b) 9/150 e) 41/150 c) 13/150

22) Disminúyele a 5/8 sus 3/8.

a) 1/4 d) 10/16 b) 25/64 e) 31/32 c) 15/16


a) 17/40 d) 1 b) 12/56 e) 11/56 c) 1/2

24) Un lingote pesa 6 kg más la cuarta parte de su peso total. ¿Cuánto pesa el lingote?

a) 6 kg d) 16 kg b) 8 kg e) 12 kg c) 10 kg

25) Simplifica:

a) 15 d) 16,5 b) 16 e) 7 c) 16,5

( )1 + 12 ( )1 + 1

3 ( )1 + 14

( )1 + 131

320

14

1 – 1415

÷ 4+

14

2 +

1 +3+

27) Simplifica:

47 4 2

a) 10,5 d) 21,5 b) 11 e) 22 c) 21

28) Si 221 excede a un número en sus 4/13, calcula el número.

a) 156 d) 182 b) 91 e) 195 c) 169

29) ¿Cuántos décimos hay en 2 1/5?

a) 20 d) 23 b) 21 e) 24 c) 22

30) ¿Cuántos veinteavos hay en 2 1/4?

a) 25 d) 37 b) 29 e) 45 c) 31

31) Un paquete pesa 8 kg más la tercera parte de su peso. ¿Cuál es el peso del paquete?


32) Un niño pesa 24 kg más la séptima parte de su peso total. ¿Cuál es la cuarta parte del peso del niño?


...

...



76


48) Simplificar:

a) 1/n d) n

b) 2/n e)

c) n – 1

( )1 – 13 ( )1 – 1

4 ( )1 –

( )1 – 1n

...

1n–1

15

33) Auméntale 2/5 en sus 3/7.

a) 13/35 d) 29/35 b) 3/35 e) 5/14 c) 4/7


a) 18/7 d) 3/49 b) 8/49 e) 3/7 c) 21/49


a) 24/25 d) 21/25 b) 3/5 e) 9/25 c) 6/5


a) 15/64 d) 15/8 b) 5/64 e) 25/8 c) 25/64

37) Un galón de pintura rinde para 30 m2. Si con los 2/5 de los 3/4 de 8 galones se han pintado los 2/3 de los 4/5 de una pared, ¿cuál es la superficie de dicha pared?

a) 720 m2 d) 13,5 m2

b) 270 m2 e) 520 m2

c) 135 m2

38) Si una batería termina de consumirse en 4 días, ¿en cuántos días se habrán consumido los 5/7 de ésta?

a) 15/7 días d) 20/7 días b) 10/7 días e) 15/9 días c) 16/9 días

39) Si los números A, B, C y D están en la misma relación que 3, 5, 2 y 7 halla A + D, sabiendo que la suma de los cuatro es 221.

a) 120 d) 150 b) 123 e) 195 c) 130

40) ¿En cuánto aumenta el producto de 123 x 128 si a cada factor se le aumenta 1?

a) 253 d) 252 b) 251 e) 262 c) 242

41) ¿En cuánto aumenta el producto de 597 x 403 si se aumenta cada factor en 1?

a) 1 d) 1000 b) 318 e) 1001 c) 682

42) ¿Cuántos dígitos tendrá el producto de 212 x 58?

a) 9 d) 12 b) 10 e) más de 12 c) 11

43) ¿Cuántos dígitos tendrá el producto de 216 . 512?

a) 12 d) 15 b) 13 e) más de 15 c) 14

44) Si se efectúa 2137753, la cifra de las unidades del producto final es:

a) 1 d) 7 b) 3 e) 9 c) 5

45) ¿En qué cifra termina (5235+543x123321–234)x 629+1?

a) 1 d) 7 b) 3 e) 9 c) 5

46) Un ladrillo cuesta 3 soles más medio ladrillo. ¿Cuánto cuesta un ladrillo y medio?

a) S/. 3,50 d) S/. 8,00 b) S/. 6,00 e) S/. 9,00 c) S/. 7,50

4/252/5

3/55/15

12/154/5

25/155/25

+

+

47) Simplifica:

a) 33/140 d) 13/120 b) 17/120 e) 29/140 c) 11/140

49) Un granjero ha llevado a la ciudad cierta cantidad de gallinas, vende primero la mitad de las que traía, luego vende los 2/3 de lo que le quedaba y por último vende 3/5 del nuevo resto, quedándose tan solo con 10 gallinas. ¿Cuántas gallinas llevó a la ciudad?

a) 110 d) 140 b) 120 e) 150 c) 130

50) Resta 1/3 de 1/2; 1/4 de 1/3; 1/5 de 1/4. Suma las diferencias. Multiplica las mismas. Divide la suma por el producto. Calcula la tercera parte del cociente. La raíz cuadrada del resultado es:

a) 1 d) 12 b) 5 e) 15 c) 8



77


1) Calcula el menor de 3 enteros positivos consecutivos cuyo producto sea 336.

a) 5 d) 8 b) 6 e) 10 c) 7

2) Las edades de A y B están en la razón de 39 a 33. Si B, el mayor, tiene 65 años, calcula la edad de A dentro de 5 años.

a) 40 años d) 55 años b) 45 años e) 60 años c) 50 años

3) Si y m+n =100, calcula «m».

a) 28 d) 35 b) 63 e) 140 c) 49

4) Si se efectúa 31563, la cifra de las unidades será:

a) 5 d) 4 b) 6 e) 7 c) 1

713

mn

Nada es valioso de veras, si puede conseguirse sin pena ni fatiga.

Juan Addinson


a) 7/6 d) 13/12 b) 1/2 e) 11/12 c) 17/12

=



78


MOTIVACIÓN:

Cálculos Básicos II

* De un cilindro de 60 litros con agua, se extrae 12 litros. ¿Qué parte de lo que no se extrae se extrae?

Rpta: ..................................................

* De un grupo de 30 alumnos, hay 18 mujeres. ¿Qué parte del total representan los hombres?

Rpta: ..................................................

* Disminúyele a es sus 4/5.

Rpta: ..................................................

45

OBJETIVO Operar con fracciones en

forma correcta y rápida.

Plantear ejercicios con enunciados.

1) Efectúa:

a) + -

b) + -

c) - + 1

d) + +

Nivel I

25

75

45

311

711

2011

215

315

6x7

2x7

5x7

2) Efectúa:

a) + -

b) - +

c) - +

d) 4 - +

e) - +

f) + 3 -

25

34

56

712

53

113

25

43

59

16

134

58

316

724

827

49

3) S imp l i f i ca l a s s i gu iente s fracciones:

a)

b)

c)

d)

e)

45270240168343985673241212808

4) Número Mixto: Es aquel que consta de parte entera y fracción.

Obs.:

37

4

fracciónentero

37

4 <> = 4 x 7 + 37

31 7

19 6

, luego = 3 19 6 1 3

19 6

1 6

5) Efectúa:

a) 6 + 5 - 1

b) 6 - 2

c) 24 - 15

d) 1+

e) 4 -

f) 6 +

14

34

14

15

25

2 3

15

16

1713

815

6) Efectúa:

a) x x

b) x +

c) ÷ - ÷

455

12

4 3

914

215

1522

1311

1532

43

89

7) Efectúa:

a) de los de los de 200

b) de los de 45585

4 9

2716

1415

3215

14

8) Algunos asuntos importantes

I) El triple de un número o tres veces el número.

Ejemplo:

Número Triple 8 24 N 3N



79


II) Tres veces más el número.

Ejemplo:

Número Triple Tres veces más 8 24 8 + 24 = 32 N 3N N + 3N = 4N

9) Calcula el valor entero positivo que satisface las siguientes igualdades:

a) n(n+1) = 42b) n (n+1)=90 c) (n + 1) (n + 2) = 132d) (n – 1) (n + 3) = 165e) (2n + 1)(n + 1)= 276f) n2 + 4n = 357g) n3 + n = 2210

10) ¿Qué número, incrementado en 8 unidades,origina un resultado igual al que se obtiene dividiéndolo entre ?

a) b) c)

d) 15 e) 12

35

157

715

38

11) ¿Cuál es el número cuya mitad más su doble, su tercera parte y su triple origina el número 1435?

a) 426 b) 642 c) 246d) 462 e) 168

12) Se extraen 4000 litros de una piscina llena hasta sus 2/3, quedando llena hasta sus 3/5. ¿Cuántos litros faltan para llenar la piscina?

a) 30000 L d) 22000 Lb) 12000 L e) 60000 Lc) 24000 L

13) El filtro de un cigarro es 1/4 de cigarro. Un jugador consume los 7/8 de la parte fumable y cada pitada consume 1/64 de la parte fumable.¿Cuántas pitadas da el fumador?

a) 56 b) 63 c) 42d) 60 e) 28

14) Si me deben una cantidad igual a los 7/8 de 960 y me pagan los 3/4 de lo que me deben. ¿Cuánto me deben aún?

a) 330 b) 840 c) 630d) 210 e) 360

15) Sabiendo que:

A=1+ x1+ x1+ x...x1+

halla el valor de A.

a) 40 b) 45 c) 50d) 55 e) 60

14

15

16

1199

16) Efectúa:

a) 32+15x8-2x4 b) 72÷6+8x4 c) 82 x 26-32 x 26d) 15x64+30x28-30x14 e) 942x101+18x101+40x101f) 6,40÷0,16-3 x 0,8 x 90g) 24(32-18)+(11+16÷4).3 h) 248x316-124x68-31x12i ) ( 1 5 ÷ 3 + 1 2 x 4 ) - 3 6 x 1 8

(18+14x3)÷2

Nivel II

17) Una persona compró 420 artículos a S/. 2,50 c/u y lo vendió a S/. 4,20 los 300 primeros y en los restantes perdió S/.0,70 en cada uno. ¿Cuánto ganó?

a) S/.426 b) S/.515 c) S/.620d) S/.148 e) S/.248

18) Halla el m.c.m de:

a) 20 y 24b) 84 y 56 c) 200; 360 y 270d) 560; 1008 y 1400e) 360; 840 y 900

19) Resuelve:

a) = d) =

b) = e) =

c) = f ) =

xx+8

67

x+3x+7

3133

x–11x+3

5961

xx+12

5354

x+6x+15

206209

x+3x+12

3740

20) Indica los valores que toma A y B en:

a) = ; A+B =108

b) = ; A-B =48

c) = ; A+B=750

d) = ; A+B =162

e) = ;

AB

75

AB

1511

√A√B

34

A2

48B2

75A

168B98

21) Dos números son proporcionales a 3 y 8. Si la suma de ambos es 154, indica el menor.

a) 14 b) 28 c) 42d) 36 e) 48

22) Mi auto tiene una velocidad de 3km/h. ¿Cuántos metros recorreré en 18 min?

a) 180 b) 1800 c) 900d) 480 e) 4500

23) 18 docenas de cuadernos cuestan S/.540 ¿Cuánto costarán 4 quincenas de cuadernos?

a) S/. 300 b) S/. 150 c) S/. 75d) S/. 120 e) S/. 240

III) A excede a B en E.Se puede escribir de 2 formas conocidas.

A = B + EA - B = E

18 excede a 15 en 3.18 = 15 + 318 - 15 = 3



80


Nivel III 24) 36 peones avanzan 1 200 metros de zanja en un cierto tiempo; en ese tiempo,¿cuánto avanzaran si se aumentan 9 peones?

a) 600 m b) 1500 m c) 1200 md) 360 m e) 1800 m

25) Una cuadrilla de "A" hombres hace un trabajo en "d" días; al aumentar 2A hombres, ¿en cuántos días se haría el mismo trabajo?

a) b) 2d c) d) 3d e) d

d2

d3

26) Calcula:

a) 20% de 480 ..........................b) 12% de 640 ..........................c) 85% de 340 ..........................d) 2% de 80 ............................e) 15% de 2,4 ............................

27) ¿Cuál es el 24% del 15 % de 1600?

a) 57,6 b) 5,76 c) 4,32d) 5,7 e) 4,2

28) Me ofrecen un producto a S/.300, pero me descuentan el 20%, entonces lo adquirí a:

a) S/.120 b) S/.60 c) S/.240d) S/.200 e) S/.280

29) ¿De qué número 81 es el 54%?

a) 140 b) 150 c) 120d) 300 e) 90

30) Un número aumentado en su 30% es 780, entonces el número aumentado en su 20% es:

a) 420 b) 720 c) 700d) 180 e) 1000

31) La suma de dos números es a su diferencia como 6 es a 1. Si el producto de los dos números es 5040, indica la diferencia de los números.

a) 20 b) 16 c) 24d) 12 e) 18

32) Dos números están en la relación de 5 a 13. Si uno excede al otro en 72, ¿cuál es el mayor?

a) 104 b) 117 c) 91d) 221 e) 195

33) El dinero que tiene Luis es al dinero que tiene Pedro como 11 es a 7. Si Luis diese $40 a Pedro ambos tendrían la misma cantidad. ¿cuánto tiene Luis?

a) $ 110 b) $ 220 c) $ 88d) $ 99 e) $ 165

34) La suma de 2 números es 814. Si su razón es 4/7, ¿ cuál es su diferencia?

a) 144 b) 189 c) 216d) 222 e) 148

35) Las edades de dos personas están en la relación de 9 a 5. Dentro de 8 años será de 11 a 7. ¿en qué relación estuvieron dichas edades hace 4 años?

a) 2 : 1 b) 3 : 2 c) 3 : 1d) 4 : 1 e) 4 : 1

36) Sean = = , además:

11A+3B+C=54 calcula "C".

a) 12 b) 15 c) 10d) 20 e) 30

A3

B11

C15

37) Dos números son proporcionales a 3 y 7; el doble del segundo y el triple del primero difieren en 45. Halla el menor.

a) 18 b) 27 c) 21d) 24 e) 33

38) ¿Cuál es el mayor de las tres partes en que se divide 216, de tal manera que la primera sea a la segunda como 3 es a 5 y la segunda sea a la tercera como 1 es a 2?

a) 75 b) 80 c) 100d) 120 e) 60

39) La edad de Eduardo es el doble de la edad que tiene Lidia; hace 15 años la edad de Eduardo era el triple de la edad que tenía Lidia.¿Qué edad tiene Eduardo?

a) 58 años d) 30 años b) 60 años e) 32 añosc) 62 años

40) Dentro de 10 años mi edad será el doble de la edad que tuve hace 10 años.¿Qué edad tenía hace 3 años?

a) 27 años d) 30 años b) 28 años e) 31 añosc) 29 años

42) Se tienen 15 botellas de 4/3 de litro cada una. Si se extrae los 3/5 del contenido de las 15 botellas, ¿cuántos litros quedan?

a) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) 11

43) Encuentra la suma de dos números impares consecutivos, cuyo producto sea 575.

a) 42 b) 46 c) 48d) 52 e) 64

44) ¿Cuál puede ser la suma de 2 números que disminuidos en 4 y 3, respectivamente, se obtiene como producto 11?

a) 23 b) 19 c) 21d) 17 e) 27

41) Si a un número se le quita 30, queda los 3/5 del número. ¿Qué cantidad se le debe quitar al número inicial para que se obtenga como resultado los 2/3 del mismo?

a) 20 b) 25 c) 30d) 35 e) 40



81


45) Halla un número cuyo exceso sobre 68 equivale al exceso de los 3/5 del número sobre 1/6 de dicho número.

a) 100 b) 120 c) 140d) 60 e) 80

46) Si la mitad del tiempo que ha pasado desde las 7 horas es igual a la tercera parte del tiempo que falta para las 22 horas, ¿qué hora es?

a) 11 h b) 12 h c) 13 hd) 14 h e) 15 h

47) La anchura de una alfombra rectangular es a su largo como 2 es a 3. Si se le corta por los 4 lados una tira de 10 cm de ancho. La superficie disminuye en 56 dm2. ¿Cuál es el largo de la alfombra?

a) 21 dm b) 15 dm c) 28 dmd) 12 dm e) 18 dm

48) De 350 espectadores en un cine, 98 son mujeres. ¿Qué porcentaje son varones?

a) 40 % b) 54 % c) 63 %d) 72 % e) 60 %

49) Si son las 3 p.m. de un día, ¿qué porcentaje del día falta transcurrir?

a) 12 % b) 36 % c) 37,5 %d) 40 % e) 30 %

50) 8 amigos tienen que pagar una deuda en partes iguales, como 2 de ellos no tienen, los otros deben poner S/. 10 más cada uno. ¿Cuál era la deuda?

a) S/. 200 b) S/. 300 c) S/. 210d) S/. 240 e) S/. 600

d) 14 h e) 15 h a) 40 % b) 54 % c) 63 %d) 72 % e) 60 %

El que aprende y no practica lo que sabe, es como el que ara y nunca siembra

Pericles

1) Indica el mayor de 2 números consecutivos cuya suma sea 43.

a) 21 d) 24 b) 22 e) 25 c) 23


a) 1/4 d) 10/16 b) 25/64 e) 31/32 c) 15/16

2) ¿Cuántos novenos hay en 2 1/3?

a) 7 d) 21 b) 15 e) 28 c) 16


a) 17/40 d) 1 b) 12/56 e) 11/56 c) 1/2

5) Si 91 excede a un número en sus 2/11. Calcula dicho número.

a) 11 d) 77 b) 33 e) 88 c) 55

Líne

a de

Tie

mpo

. Le

onar

do d

e Pi

sa

Nac

e en

Pis

a (a

hora

Ita

lia)

Fi

bona

cci. 1170

1176

1195

1225

En C

hina

el

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cheu

- K

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ribe

un

orto

stilo

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1192

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1250

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el S

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todo

el

mun

do.

1249



83


Numeración

Es la parte de la aritmética que estudia la formación, escritura y la lectura de los números.

La numeración puede ser:

1. CONCEPTO

1.1 Escrita o simbólica

Es aquella que emplea símbolos llamados cifras, guarismos o caracteres.

1.2 Oral o hablada Es aquella que emplea VOCABLOS o PALABRAS.

Es el conjunto de reglas y principios que rigen la formación, escritura y lectura de los números mediante la adecuada combinación de un grupo reducido de símbolos y palabras.

2. SISTEMA DE NUMERACIÓN

2.1 Base de un Sistema de Numeración

Es aquel número que nos indica la cantidad de unidades, de un orden cualquiera, que se requieren para formar una unidad de orden superior.

1. Sistema de Base 10: Diez unidades forman una decena

(unidad de segundo orden). Diez decenas forman una centena

(unidad de tercer orden), etc.

2. Sistema de Base 4: Cuatro unidades de primer orden

forman una unidad de segundo orden.

Cuatro unidades de segundo orden forman una unidad de tercer orden.

Cuatro unidades de tercer orden forman una unidad de cuarto orden, etc.

3. Contar en base 4:

4. Contar en base 3:

3 2(4)

Base

Base 10: 14 Base 4: 32(4); "Se lee: tres dos en base cuatro".

(3)

Base

212

Base 10: 23 Base 3: 212(3); "Se lee: dos uno dos en base tres".

2.2 Características de un Sistema de Numeración

a) En cualquier Sistema de Numeración existen tantas cifras como el valor de la base y con las combinaciones de ellas se pueden formar todos los números posibles de dicho sistema.

b) El mínimo valor que puede tomar una cifra en cualquier sistema es el cero y el máximo es una unidad menos que el valor de la base.

c) La base de un Sistema de Numeración es un número entero positivo mayor que 1.

d) La base de un Sistema de Numeración siempre es mayor que cualquiera de las cifras que se usan en dicho sistema.

4271(5); numeral mal escrito.

314(7); numeral bien escrito.

1358(6); numeral mal escrito.

64103(8); numeral bien escrito.

Ejemplo:



84


2.3 Nomenclatura de los Sistemas de Numeración

Nombre del Sistema Cifras utilizadas

BinarioTernarioCuaternarioQuinarioSenarioHeptanarioOctanario u octalNonario o nonalDecimalUndecimalDuodecimal...Enesimal

0, 10, 1, 20, 1, 2, 30, 1, 2, 3, 40, 1, 2, 3, 4, 50, 1, 2, 3, 4, 5, 60, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 70, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 80, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 90, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, α0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, α, β,...0, 1, 2, 3, 4, .............., n - 2, n - 1

Base

23456789101112...n

34A5(12); "Se lee: tres cuatro A cinco en base doce".

62B7C(15); "Se lee: seis dos B siete C en base quince".

3. VALORES DE UNA CIFRA

Es el valor que representa la cifra por la posición que ocupa dentro del número.

3.1. Valor Relativo o Posicional (V.R.)

Es el valor que representa la cifra por la forma que tiene.

3.2. Valor Absoluto o por su forma (V.A.)

5 7 3 9 [Base 10]

VA = 9VR = 9 unidadesVA = 3VR = 30 unidadesVA = 7VR = 700 unidades

{{{

3 2 1 4 (5)

VA = 4VR = 4 unidadesVA = 1VR = 1×5 unidadesVA = 2VR = 2×5 unidades

{{{

4. DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA

En todo Sistema de Numeración, cualquier número se puede escribir como la suma de los valores relativos de sus cifras.

632 = 600+30+2 [Base 10]

5479 = 5×103+4×102+7×10+9 [Base 10]

235(7) = 2×72+3×7+5 [Base 7]

4523(8) = 4×83+5×82+2×8+3 [Base 8]

5. ORDEN DE UNA CIFRA

Es el lugar que ocupará una cifra empezando de derecha a izquierda.

5 3 2 4(8)

1.er orden o unidades

2.° orden

3.° orden

E n c u a l q u i e r S i s t e m a d e Numeración:

"La cifra de primer orden, es la de unidades".

NOTA:hPara bases mayores que diez se usan los símbolos α, β, γ, etc. que representan las cifras diez, once, doce, etc. respectivamente. También se pueden emplear las letras del abecedario.

cifra diez: α = a = Acifra once: β = b = Bcifra doce: γ = c = Ccifra trece: φ = d = D

Ejemplos:

Ejemplos:

Ejemplos:

Ejemplos:



85


6. REPRESENTACIÓN LITERAL DE UN NÚMERO

Cada cifra de un número puede ser representado por una letra del abecedario y todas ellas cubiertas por una barra horizontal, para distinguirlas de las expresiones algebraicas.

ab(n) : Representa cualquier número de dos cifras de la base "n".

abc : Representa cualquier número de tres cifras de la base 10, puede ser: {100; 101; 102; 103; ... ; 998; 999}

ab37 : Representa cualquier número de cuatro cifras de la base 10 que termina en 37, puede ser:

{1037; 1137; 1237; 1337; ... ; 9837; 9937}

ab4(6) : Representa cualquier número de 3 cifras de la base seis que termina en 4. Puede ser:

{104(6); 114(6); 124(6); ... ; 544(6); 554(6)}

a(2a)b(5): Representa cualquier número de 3 cifras de la base cinco, donde la cifra de segundo orden es el doble de la cifra de tercer orden, puede ser:

{120(5); 121(5); 122(5); ........ ; 244(5)}

7. NÚMERO CAPICÚA

Es aquel número que se lee igual de derecha a izquierda, que de izquierda a derecha, también se dice que es aquel número cuyas cifras equidistantes de los extremos son iguales.

414(a) ; aba(n)

7557(9) ; abba(n)

53235(8) ; abcba(n)

En general:

8. CONVERSIÓN DE UN NÚMERO DE UNA BASE A OTRA

Se presentan tres casos:

En este caso se calcula el número de unidades simples que posee dicho número, para esto es suficiente realizar la descomposición polinómica del número y efectuar las operaciones indicadas.

8.1. Caso I: De base "n" a base 10

Convierte 324(7) a la base 10. 324(7) = 3×72 + 2×7 + 4 = 165

Entonces: 324(7) = 165

Se efectúa empleando el método de "divisiones sucesivas", para lo cual se divide el número dado entre "n" (base del sistema al cual se desea pasar). Si el cociente es igual o mayor que "n", se divide este nuevamente entre "n" y así sucesivamente hasta obtener un cociente menor que "n". El nuevo número estará formado por el último cociente y todos los residuos obtenidos de derecha a izquierda.

8.2.Caso II: De base 10 a base "n"

Convierte 328 a la base 6.

328 628 54 6

691

4 03 último

cociente

328 = 1304(6)

En este caso, primero se convierte el número de base "n" a la base 10 y el resultado se convierte a la base "m".

8.3. Caso III: De base "n" a base "m" (n,m≠10)

Convierte 413(8) a la base 5.

Primero: 413(8) a la base 10

413(8) = 4×82+1×8+3 = 267

Luego: 267 a la base 5

267 517 53 5

5102

2 30

413(8) = 2032(5)

Ejemplos:

Ejemplos

Ejemplo:

Ejemplo:



86


PROPIEDAD

Si un número es expresado en dos sistemas de numeración, se cumple que: " a mayor representación aparente le corresponde menor base y viceversa".

413(8) = 2032(5)

+ -

- +

Mayor representación

Menor base

- +

+ -512(7) = 312(9)

* Aplicación:

+ -

- +25a(m) = 3ab(n)

� n < m+ -

- +27(a) = 2m1(b)

� a > b

9. CASOS ESPECIALES DE CONVERSIÓN

Al convertir el número de base nK a base n como la base "disminuye", la representación "aumenta", de modo que por cada cifra de base nK deben obtener "k" cifras en base "n" y si no fuese así se completa con ceros a la izquierda.

9.1. De base nK a base n

Convertir 6174(8) a base 2.

Resolución

Se sabe que por cada cifra de base 8 = 23 deben obtenerse 3 cifras en base 2, veamos:

6 1 7 4(8)

Pasamos cada cifra de base 8 a base 2.

4 20 2 2

10

4 = 1002

* 7 21 3 2

11

7 = 1112

*

* Como 1 es menor que 2, colocamos el 1 con dos ceros a la izquierda. 1 = 0012

6 20 3 2

11

6 = 1102

*

6 1 7 4(8)

� 61748 = 1100011111002

Luego:

110 001 111 100(2)

Como de la base n a nk " aumenta" la base, entonces la representación "disminuye". Ello implica que el proceso es inverso al caso anterior.Por cada "k" cifras de base "n" debe salir una cifra en base nk y para ello separamos en bloques de k cifras de la derecha a la izquierda y cada bloque se pasa a base 10, obteniéndose así las cifras en la base nk.

9.2 De base n a base nK(k�Z+)

Convierte 10210112(3) a base 9.

Resolución

Por cada dos cifras de base 3 (9=32) debe salir una cifra en base 9.

10 21 01 12(3)

Pasando cada bloque a base 9.

* 103 = 1 × 3 + 0 = 3* 213 = 2 × 3 + 1 = 7* 013 = 1* 123 = 1 ×3 + 2 = 5

(9)

10 21 01 12(3)

� 10210112(3) = 3715(9)

Luego:

3 7 1 5(9)

Ejemplos:

Ejemplos:

Ejemplos:



87


1. ¿Cuántas cifras tiene el numeral en el cual su cifra de cuarto orden ocupa el quinto lugar?

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

Resolución

9.3 Propiedades

a) (n-1)(n-1)....(n-1)n = nk-1

k cifras

* 2223 = 33 - 1 = 26

* 777778 = 85 - 1 = 32767

b) 1m1n

1p1qx

= m+n+p+q+x

* 1213158

= 2+3+5+8= 18

* 13151712

= 3+5+7+12= 27

c) 1a1a

1a...1an

= n + k × a

k veces

* 1212

12...127

= 7+20×2 =47

20 veces

d) 2a3b

4cd

=2a3b

(4d+c)

=2a(12d+3c+b)

= 24d + 6c + 2b + a

* 2325

327

=2325

23 =23

51 = 105

Primero ubiquemos la cifra de quinto lugar (de izquierda a derecha).

__ __ __ __ __

� � � � �

1.er 2.° 3.er 4.° 5.° lugar

Como la cifra de 5.° lugar es de 4.° orden ahora a partir de dicha cifra descendemos hasta el 1.er orden.

4to 3er 2do 1er Orden � � � �__ __ __ __

� � � � �1.er 2.° 3.er 4.° 5.° lugar

__ __ __ __

Se tiene 8 cifras

� El numeral tiene 8 cifras.Clave ah

2. Un numeral decimal esta formado por tres cifras, en el cual la cifra de mayor orden es el doble de la cifra de menor orden, y la cifra central es igual a la suma de las cifras extremas. ¿Cuántos números cumplen dicha condición?

a) 5 b) 4 c) 2 d) 1 e) 3

Resolución

Si la cifra de menor orden es "a", la cifra de mayor orden será el doble, "2a", entonces según la condición la cifra central será la suma.

Del cual notamos que "a" puede ser 1, 2 ó 3.

El numeral N = 231; 462; 693.

N = (2a) (3a) a

� � � 3.er 2.° 1.er Orden

� Tres números cumplen la condición.

Clave e



88


Nivel I

3. Si el numeral siguiente es capicúa:

(a+1) (c+1) b (2b) (6-a)(7-a)

Halla el valor de (a + b + c).

a) 2 b) 7 c) 4 d) 5 e) 6

Resolución

Como el numeral es capicúa se debe cumplir que las cifras equidistantes son iguales.

* a+1 = 7 - a ........... (1)

* c+1 = 6 - a ........... (2)

* b = 2b ........... (3)

De(1) : 2a = 6 � a = 3

De(2): c+1 = 6 - 3 � c = 2

De(3): b = 2b � b = 0

a + b + c = 3+2+0 = 5

Clave d

4. El menor número de 4 cifras diferentes del sistema senario expresado en el sistema de base 13 es:

a) 1αβ(13) d) 1γ6(13) b) 1α4(13) e) 14α(13) c) 186(13)

Resolución

• Las cifras que se utilizan de base 6 son:

{0; 1; 2; 3; 4; 5}

• Para formar el menor número de cuatro cifras diferentes debo utilizar las cuatro menores cifras y estas serían: {0; 1; 2; 3}

• El menor número es: 10236

1.° Pasando a base 10. 10236=1.63+2.6+3=216+

12+3=231

2.° Ahora lo pasamos a base 13.

231 1317 13

1134

13

91

10

� El número es: 14(10)(13)=14α(13)

Clave d

5. Expresa en el sistema duodecimal el mayor número de 3 cifras diferentes del sistema heptal.

a) 461(12) d) 762(12)

b) 333(12) e) 239(12)

c) 231(12)

Resolución

En el sistema heptal se emplean las cifras {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}. Para formar el mayor número de tres cifras debo utilizar las tres mayores cifras, siendo estas {4; 5; 6}. El mayor número es: 6547 y debemos convertirlo al sistema duodecimal (base 12).1.° 6547 = 6.72 + 5.7 + 4 = 3332.° E x p r e s a n d o a b a s e 1 2

(duodecimal)

� El número es 239(12)Clave e

333 1227 12

2243

249384

9

1) Al multiplicar un número de dos cifras por 3, se obtiene el mismo resultado que al multiplicar por 8 al número que se obtiene al invertir el orden de sus dígitos. ¿Cuál es dicho resultado?

a) 27 b) 36 c) 72 d) 216 e) 144

�

2) Un número de 3 cifras terminado en 3, es igual a tres veces el número formado por sus dos primeras cifras pero en orden inverso. Halla la suma de cifras del número inicial.

a) 6 b) 8 c) 9 d) 11 e) 12

3) Si a un número de dos cifras se le coloca al inicio y al final la cifra 4, es 54 veces el número de dos cifras. Halla el número de dos cifras e indica el producto de sus cifras.

a) 15 b) 14 c) 10 d) 9 e) 12

4) Si un numeral capicúa de 4 cifras es igual a 99 veces la suma de su cantidad entera de centenas y la unidad, calcula la suma de cifras del numeral capicúa.

a) 10 b) 18 c) 12 d) 16 e) 24

5) Si a(a-1)4n = (a-1)1n6 ,

calcula (a + n).

a) 7 b) 8 c) 3 d) 11 e) 9



89


6) Si se cumple que:

222 ...22(3) = abc ,

Calcula a + b + c + k,

a) 15 b) 1838 c) 11 d) 22 e) 14

{k cifras

7) ¿En cuántos s i s temas de numeración el número 271 se escribe como un número de 2 cifras?

a) 12 b) 16 c) 8 d) 10 e) 11

10) Halla el máximo valor de (a + b + c) si:

abc =

a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15

( )( )x2( ) x

3x6 8

9) Halla a+b+x+y si se cumple:

Además 10 < xy < 20.

a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17

1717

17...1717

= aba

40 veces

xy

1515

15...1515

= (2a)a(2a)

n veces

a(2a)

8) El mínimo valor de n en:

a) 35 b) 41 c) 40 d) 42 e) 47

16) Determina un numeral capicúa de tres cifras que excede en 728 al numeral capicúa de tres cifras que resulta de permutar sus cifras diferentes. Indica como respuesta la suma de sus cifras.

a) 19 b) 21 c) 17 d) 16 e) 23

14) Si un número se expresa en dos sistemas de numeración de bases consecutivas como 50 y 42 respectivamente, ¿cuál es la suma de dichas bases?

a) 11 b) 13 c) 15 d) 17 e) 19

12) Si 3001(x) = 3yz ,

halla x + y + z.

a) 21 b) 23 c) 24 d) 19 e) 18

( )x2( ) 2x

3(x-1)

6

11) Si: abcd5 = ,

halla (a + b + c + d).

a) 3 b) 5 c) 7 d) 8 e) 10

( )( )( )(m)

m3

m3

m3

13) Halla m2 si:

= (m+2)m

a) 25 b) 36 c) 49 d) 64 e) 81

15) Si abab(n) = xxxx(2) ,

indica el valor de a + b + n.

a) 14 b) 8 c) 5 d) 4 e) 3

Nivel II

17) Sabiendo que:

ab = 4(a + b) abc = 19 (a + b + c) abcd = 118 (a + b + c + d)

indica el valor de a×b + c×d.

a) 18 b) 19 c) 20 d) 60 e) 64

19) Si se cumple:

3a(c) + c1(b) = 14(a) + b2(8) ,

calcular: a + b + c.

a) 12 b) 21 c) 18 d) 16 e) 20

20) Si: 23232323(4)

= 1xyz21(4)

halla (x + y + z).

a) 5 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

18) Si a un numeral de cuatro cifras diferentes se le añade la suma de sus cifras, se obtiene 8799. ¿Cuál es la suma de sus cifras?

a) 16 b) 22 c) 29 d) 30 e) 19

21) Halla (a + b) si:

a(a+1)(a-2)7 = 1(2b)b9

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

22) ¿Cuál es el mayor número capicúa del sistema de base 12 que se escribe con 5 cifras en el sistema de base 5? Indica como respuesta la suma de sus cifras.

a) 14 b) 18 c) 22 d) 26 e) 30



90


25) Durante una fiesta a la que asistieron ab hombres y ba mujeres, en un momento dado el número de hombres que no bailan es (2a - b) y el número de mujeres que no bailan es la suma de las cifras del total de las mismas. hallar el número de asistentes.

a) 88 b) 154 c) 77 d) 99 e) 165

23) Halla K, sabiendo que al convertir 20(K-5)(K+3) al sistema de base (K+2), el producto de cifras del numeral obtenido resulta ser 240.

a) 6 b) 8 c) 9 d) 11 e) 12

Nivel III

Palíndromos

24) Si 3a9 + 63b + bba = cd(a+b) ,

halla el valor de c × d.

a) 30 b) 56 c) 42 d) 72 e) 40

26) ¿Comó se representa 234x en base (x - 1)?

a) 269 b) 279 c) 299 d) 379 e) 369

27) Se arrojan tres dados, el resultado del primer dado se multiplica por 7, se suma el resultado del segundo dado, y se multiplica por 7, por último se suma el resultado del tercer dado obteniéndose así 136. ¿Cuál fue el resultado de cada dado? Da como respuesta el menor.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

28) Si aaaaaa = 94 ,

calcula "a".

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 7

29) Si aa0a(6) = bb0b4(5) ,

calcula E = a2 + b2.

a) 25 b) 10 c) 9 d) 16 e) 13

30) Al expresar en base "n" el número ab(8), se escribe con las mismas cifras pero en orden invertido. ¿Cuál es la mayor base del sistema de númeración en que esto se cumple?

a) 8 b) 7 c) 15 d) 50 e) 92

31) Dado abcd=19 (3×ab+2×cd)

indica el mayor valor de:

a + b + c + d

a) 25 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19

( )( )( )3a2

a2

a2

32) Si (a+1)a (a-1) × 9 = aaa3 y

(b+1)b(b-1)×8= ,

halla (a + b).

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

El número 40

40 Es un número que, asociado a la unidad, ha sido muy recurrente en la Biblia. Moisés pasó 40 días y 40 noches en el Monte Sinai. Jesucristo pasó 40 días de penitencia en el desierto. El Diluvio Universal duró 40 días. Los grandes reyes judíos Salomón y David reinaron 40 años, los mismos que el pueblo judío estuvo errante en el desierto.

Un palíndromo (del griego PALIN "de nuevo" y DROMOS "carrera, andar" es una palabra o una frase que se lee igual de izquierda a derecha, que de derecha a izquierda. Por ejemplo: Amo la pacífica paloma. Existen en todos los idiomas y han interesado a personajes famosos, como a Lewis Carrol, el autor de Alicia en el país de las maravillas.



91


37) Sabiendo que:

1247 = abc12 = xy40 ,

halla (a + b + c) - (x + y).

a) -14 b) 12 c) 10 d) -12 e) 14

36) Si:

halla m + n + p + q + x.

a) 12 b) 14 c) 21 d) 24 e) 96

33) Sabiendo que:

halla a × b .

a) 2 b) 6 c) 10 d) 4 e) 8

=abba2 ( )a

2 ( )a2

(2b)(2b)

34) Dado abcd = 2 × ab × cd ,

halla a × b - c + d.

a) 11 b) 10 c) 0 d) 16 e) 12

35) Halla la suma de cifras del número que excede en 27 a 10 veces la cifra de las unidades.

a) 10 b) 16 c) 17 d) 18 e) Hay más de una solución.

( ) =x4

1 (x-12)( )x3 mnpq(11) ,

38) Si abc9 = mnp8 = 3127 ,

halla a+b+c+m+n+p.

a) 20 b) 21 c) 12 d) 23 e) 19

39) Dado mnp(a) = (a-4)2(a+2)8 ,

calcula m + n + p.

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

40) En una balanza de dos platillos se desea pesar un paquete de 1,43 kg utilizando pesas de 1 g, 6 g, 36 g, 216 g, etc. ¿Cuál será el mínimo número de pesas a usarse?

a) 10 b) 9 c) 8 d) 6 e) 7

41) Si aba(n+1) = bban y a+b=7,

halla a × b + n.

a) 15 b) 17 c) 19 d) 20 e) 22

42) Un número se representa como 455 y 354 en dos bases consecutivas. Halla dichos números en el sistema decimal.

a) 129 b) 236 c) 248 d) 336 e) 450

44) ¿Cuántos de los elementos d e l c o n j u n t o : A = {1,2,3,4,5,...,19531} se puede expresar con el sistema quinario utilizando únicamente las cifras 0 ó 1?

a) 1025 b) 255 c) 423

( )k3

(k-1)(k2)k

n veces

43) Si se cumple: abc(n-1) = 2 × cba(n-1)

xxxxxx...xx3

=

halla a × b × c. a) 10 b) 12 c) 14 d) 20 e) 27

45) Expresa "E" en base 9 si se cumple que:

E = a37 + 2ba + 1cb + 23c

a) 121(9) b) 112(9) c) 110(9) d) 102(9) e) 101(9)

46) Calcula la suma de valores de: K = a + b + c

si: 432 + cba6 = 2a5c6 + 1b46.

a) 10 b) 12 c) 20 d) 21 e) más de 21

mn veces

47) Si mn30(x) = xxx5

151515...15xy

= aba

halla a + b + x + y + m + n.

a) 23 b) 18 c) 20 d) 14 e) 16

49) Sabiendo que: a>b>c>d>0 resuelve la ecuación:

2a + 2b + 2c + 2d = 2328

Indica el valor de a+b+c+d.

a) 10 b) 20 c) 30 d) 42 e) 26

( )30m ( )

( )24m ( )12

m=abcd

1m2

48) Determina a + b + c + d si:

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11

(1m)

,



92


"Hace falta una verdadera tormenta en la vida de la

persona común y corriente para hacer que comprenda

cuánto se ha estado preocupando por lloviznas pasajeras."

Almafuerte

5) Si se cumple 2a1(6)= 1aa(8), halla a2+a.

a) 29 d) 20 b) 2 e) 12 c) 6

3) Si aba(5) = 2ba(7), halla a.b

a) 4 d) 7 b) 5 e) 8 c) 6

4) Si se cumple 321(n) = 86, halla "n".

a) 6 d) 8 b) 7 e) 4 c) 5

1) Calcula "x" si 43(x)=23.

a) 4 d) 6 b) 3 e) 8 c) 5

2) Calcula "a" si 2a3(5) = 68.

a) 2 d) 4 b) 3 e) 0 c) 1



93


Repaso

Nivel I

1) Convierte 2α3(11) a base decimal.

a) 351 b) 352 c) 355d) 342 e) 365

2) ¿Cómo se escribe 999 en base 9?

a) 1130 d) 1430b) 1020 e) 1530 c) 1030

3) Convierte α10(12) al sistema undecimal.

a) 1010 d) 10αb) 1020 e) 1100 c) 1030

4) Convertir 1352 a base 12.

a) 948 d) 848b) α28 e) 548 c) 1 α 8

5) Convierte 13121115

al sistema decimal.

a) 208 d) 209b) 210 e) 211 c) 212

6) Expresa ααα1023 en base 12.

a) 92α d) βαb) 1α e) 80αc) 11α

7) El mayor número de 3 cifras del sistema octal, ¿cómo se escribe en el sistema de base 11?

a) 42511 d) 31511b) 38511 e) 41111c) 3α511

8) Expresa el mayor número de 4 cifras del sistema ternario en el sistema octal.

a) 101 d) 131b) 111 e) 141c) 121

9) R e s p o n d e l a s s i g u i e n t e s preguntas:

a) ¿Cuál es el menor número de

3 cifras del sistema octal?b) ¿Cuál es el menor número de

4 cifras diferentes del sistema senario?

c) ¿Cuál es el mayor número de 4 cifras del sistema heptal?

d) ¿Comó se expresa el mayor número de 4 cifras diferentes del sistema nonal?

e) ¿Comó se expresa el mayor número de 3 cifras del sistema de base "n"?

10) Expresa cada uno de los números en la base indicada.

a) 2146 � base 10b) 5128 � base 10c) 1211 � base 6 d) 3217 � base 8e) 15329 � base 7

12) ¿Cuál de los siguientes numerales es mayor?

a) 2114 d) 1215b) 1001002 e) 11033c) 538

13) ¿Cuál(es) de los siguientes números es impar al expresarlo en base decimal?

I. 2101(4) IV. 151(9)II. 143(5) V. 255(7)III. 233(6)

a) Sólo I d) I y IIb) Sólo V e) III, IV y Vc) I, III y IV

11) Expresa los posibles valores que puede tomar "a" en cada uno de los casos.

a) 13a d) a2210(3)

b) 5a31a(7) e) 314(a)

c) 846m(a)



94


Nivel II

15) ¿Cuántos números de 2 cifras del sistema septenario son iguales a 3 veces la suma de sus cifras en base 10?

a) Ninguno d) 3b) 1 e) 4c) 2

14) ¿Cuántos capicúas de 2 cifras del sistema de base 15 son capicúas de 2 cifras del sistema septenario?

a) Ninguno d) 3b) 1 e) 4c) 2

16) Calcula: 7(11)4 + 7(11)2 + 7

en base 11.

a) 777 d) 70707b) 7077 e) 70077c) 70770

17) Convierte a base 8 la siguiente expresión:

10(8)4 + 3(8)2 + 12(8) + 14

a) 1031214 d) 12456b) α3γ4 e) 120456c) α03γ14

18) Si abc7 = cba9 , cba9

halla ab en base c.

a) 1212 d) 1221b) 1111 e) 1331c) 1313

19) Calcula un número del sistema decimal que convertido a base 5 y base 8 se escriben con las mismas 3 cifras pero en orden inverso.

a) 98 d) 93b) 95 e) 91c) 94

20) Un número al ser convertido a 2 bases consecutivas se escriben 161 y 134. Halla la suma de las cifras de dicho número en base decimal.

a) 10 d) 13b) 11 e) 14c) 12

21) Un número se convierte a 2 sis-temas de bases consecutivas y se obtienen de resultado 225 y 324. Calcula la suma de ambas bases.

a) 11 d) 17b) 13 e) 19c) 15

22) Si 354(n) = 2ab(7) , halla a + b + n.

a) 12 d) 15b) 13 e) 16c) 14

23) Si aba(9) = 1107(n) ,

halla a + b + n.

a) 13 d) 16b) 14 e) 17c) 15

24) Si abcden = 212(3) ,

halla a + b + c + d + e + n.

a) 5 d) 8b) 6 e) 9c) 7

25) Calcular m + p + q si

12,24(m) = 7,pq (1m)

a) 17 d) 20b) 18 e) 21c) 19

26) Calcula a + x si:

1a,0x(8) = aa,01(x)

a) 5 d) 8b) 6 e) 9c) 7

27) Calcular "n" si:

693(11) = nn 1n 1n

.

.

. 1n

a) 6 d) 9b) 7 e) 11c) 8

n veces

28) Si mn4(mn) = 212 ,

halla m + n.

a) 2 d) 5b) 3 e) 6c) 4

29) Si ababn = 208,

halla a + b + n.

a) 7 d) 10b) 8 e) 11c) 9

30) De un grupo de 100 personas 35 son mujeres y 43 son hombres. ¿De cuántas personas constaba el grupo en el sistema decimal?

a) 49 d) 100b) 64 e) 121c) 81

Nivel III

31) Si los siguientes numerales es-tán bien representados, calcula mxnxp si:

1m1(4); nn(p); 12p(m)

a) 5 b) 6 c) 12d) 18 e) 15

32) Halla a+b+c si los numerales están correctamente escritos:

256(a); 2a4(b); 43b(c); 75c

a) 24 b) 22 c) 32d) 20 e) 36



95


33) Halla "n" en:

1330(n) = aaa(6)

a) 5 b) 7 c) 9d) 4 e) 11

34) ¿Cuántos números enteros se escriben con tres cifras, tanto en base cinco como en base ocho?

a) 36 b) 48 c) 53d) 61 e) N.A

35) Si a 412(n) le falta 102(n) para ser igual a 514(n), ¿cuánto le falta a 43(n) para ser igual a 206(n)? Ex-presa el resultado en base 10.

a) 48 b) 51 c) 53d) 55 e) 57

36) ¿En qué sistema de numeración el numeral 313(5) se escribe como el menor numeral de 3 cifras diferentes de dicho sistema?

a) nonario d) octalb) decimal e) heptalc) cuaternario

37) Si a56(8) = (a+1)60(n) ,

Halla a+n.

a) 8 b) 9 c) 12d) 4 e) 10

38) Si abc(4) + bc(3)+c(2)= pq y

además a≠b≠c, halla pxq.

a) 24 b) 36 c) 30d) 32 e) 56

39) Si el numeral 1331 de la base "n" es igual al menor número de cuatro cifras de la base 6, halla "n".

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

40) Representa en base ocho, el menor número de tres cifras diferentes de la base seis.

a) 56(8) b) 46(8) c) 72(8)d) 11 e) N.A

41) ¿Cómo se expresa N en base 17?

N =4X174+6X173+9X172+56

a) 46956(17) d) 46953(17)b) 40695(17) e) 46935(17)c) 46933(17)

42) ¿En qué sistema de numeración los números 30; 36 y 44 están en progresión aritmética?

a) senario d) nonariob) quinario e) octalc) heptal

43) Si 121(n )= 6ab y a<5 ,

halla a + b + n.

a) 31 b) 30 c) 29d) 28 e) 27

44) Si a un número de dos cifras se le agregan dos ceros a la derecha se obtiene otro número que es igual al número original aumentado en 4752. Halla el número original.

a) 36 b) 38 c) 46d) 48 e) 56

45) Expresa 252x en base (x+2).

a) 1x1(x+2) d) 1(x-1)0(x+1)

b) 1xx(x+2) e) x1x(x+2)

c) 1(x-1)0(x+2)

46) Al convertir 1333(n) al sistema de base (n+1) resulta un numeral cuya cantidad de cifras más la suma de las mismas es igual a n. Halla n-2.

a) 7 b) 36 c) 49 d) 6 e) 25

47) ¿Cuántos números de 2 cifras son iguales a “n” veces la suma de sus cifras?

a) 8 b) 10 c) 12 d) 13 e) 14

48) Calcula a+b+p,

si: abc

ab ab

ab(p)

= 9c(11)

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

49) Se desea repartir 1642 entre un cierto número de personas, de tal modo que lo que le corresponda sea:

S/. 1, S/. 7, S/. 49, S/. 343, etc. y que no más de seis personas reci-ban la misma cantidad de dinero.

Halla el número de personas beneficiadas.

a) 13 b) 14 c) 15d) 16 e) 17

50) Si se sabe que:

xyzabab=ab[2ba-7]+104.xyz , Calcula el valor de a+b.

a) 15 b) 8 c) 9d) 12 e) 13

*Resta:Del latín restare, estar demás, sobrar, quedar.

*Operación:Del latín operatio, derivado de Opus, obra, todo lo que hace.

*Diferencia: Del latín diferrentia, resto.

*Complemento:Del latín complementum, lo que completa.

Etimología



96


5) Convierte 469 a base 4.

a) 13311(4) d) 11111(4)

b) 133112(4) e) 22222(4)

c) 13113(4)

3) Convierte el menor número que se pueda escribir con todas las cifras impares del sistema heptal al sistema nonario.

a) 87 d) 78 b) 73 e) 63 c) 83

4) Convierte 7 α 4 (12) a base "7".

a) 3205(7) d) 6666(7)

b) 5766(7) e) 432(7)

c) 4432(7)

1) Si aab(5) = 136(8), halla a+b.

a) 7 d) 11 b) 8 e) 9 c) 10

2) Si se cumple =bcd ,

expresa bd (a+1) en base diez.

a) 18 b) 12 c) 15d) 20 e) 13

( )

"Cada uno de nosotros tiene dentro de sí un pozo

sin fondo que contiene más potencial para la

creatividad de lo que podemos imaginar."

Wayner W. Dyer

a6 ( )a

4 ( )a2



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Conteo de Números

En el presente capítulo abordaremos conceptos y problemas que fueron tratados por grandes matemáticos hace miles de años, tal es el caso de lo registrado en el papiro RHIND, hallado por éste a fines del siglo XIX, que fue escrito unos 2000 años antes de nuestra era. Entre los problemas aritméticos que figuraban en dicho papiro está el de "la repartición del pan", que lo plantearemos como un desafío más adelante. Por otro lado, la naturaleza nos muestra que muchos fenómenos pueden ser analizados según su recurrencia, por ejemplo: el cometa Halley es visible desde la Tierra cada 76 años; así también en nuestra vida encontramos aplicaciones sencillas

1. INTRODUCCIÓN i. El conjunto: 7, 12, 17, 22, 27 es un conjunto ordenado, donde a cada elemento llamaremos término.

ii. Cada término tiene un orden designado o número ordinal, el cual guarda una correspondencia con su respectivo término. Del ejemplo:

primer término: t1 = 7 = 1 × 5 + 2 segundo término: t2 = 12 = 2 ×5 + 2 tercer término: t3 = 17 = 3 × 5 + 2 cuarto término: t4 = 22 = 4 × 5 + 2 quinto término: t5 = 27 = 5 × 5 + 2

iii. La característica fundamental de este tipo de conjuntos es que la diferencia de dos términos consecutivos cualesquiera es siempre un valor constante que llamaremos razón aritmética (r). Del ejemplo:

t1

7 12 17 22 27

{

t2{

t3{

t4{

t5{

+5 +5 +5 +5 razón aritmética: r = +5

"A un conjunto con esta característica lo llamaremos progresión aritmética".

Una progresión aritmética es un conjunto de números ordenados, de tal manera que la diferencia de dos términos consecutivos cualesquiera (el de mayor orden menos el otro) es siempre una constante llamada valor de la razón aritmética (r).

N.º ordinal: 1.º 2.º 3.º 4.º ... n.º � � � � � Término : 5 8 11 14 ... 3n+2

2. DEFINICIÓN

+3+3+3razón aritmética: r = +3

Según el signo del valor de la razón aritmética, las progresiones aritméticas pueden ser:

2.1. Progresión aritmética creciente

Cuando la razón es positiva ( r > 0).

6 , 13 , 20 , 27 , 34 , ...

+7 +7 +7 +7 razón: r = +7

Ejemplo:

Ejemplo inductivo:

Un médico recetó a Esmeralda tomar una pastilla cada 5 días a partir del 7 de marzo y durante dicho mes. Completa el siguiente esquema:

Nº de toma:1.º 2a 3a ... � � � Día: : 7 ... ...

Además: I. La tercera toma fue el día _____

de marzo.

II. La última toma fue el día _____ de marzo y fue la _____ toma.

III. La diferencia de días entre dos tomas consecutivas es _____ días.

De este ejemplo se observa que:



98


2.2. Progresión aritmética decreciente

Cuando la razón es negativa ( r < 0).

20 , 14 , 8 , 2 , -4 , ...

- 6 - 6 - 6 - 6 razón: r = - 6

Se recomienda establecer una correspondencia entre cada término y su respectivo número ordinal.

3. CÁLCULO DE UN TÉRMINO DE LA P.A. CUYO LUGAR ES "n":

Dada la P.A. : 6, 10, 14, 18, ...

Halla:

i. El término de enésimo lugar (tn). ii. El término de vigésimo lugar (t20).

Resolución

N.º ordinal: 1.º 2.º 3.º 4.º ... n.º

� � � � �

Término : 6 , 10 , 14 , 18 , ... tn

+4+4+4 ...

Dada la siguiente progresión artimética, halla el término enésimo (tn).

N.º : 1.º 2.º 3.º 4.º ... n.ºordinal

� � � � � 7 , 4 , 1 , -2 ... tn

-3-3-3

razón: r = -3

Luego: t1 = 7 t2 = 7 - 1(3) t3 = 7 - 2(3) t4 = 7 - 3(3)

. . .

tn = 7 - 3(n - 1)

� tn = 10 - 3n

En general:Dada una progresión aritmética, el término de enésimo lugar (tn) se calcula:

Halla el término de enésimo lugar para cada una de las siguientes progresiones aritméticas:

i. 57, 64, 71, 78, ...ii. 29, 18, 7, -4, ...iii. 1, 7, 13, 19, ...

Calcula los cuatro primeros términos para cada una de las tres P.A., si sus respectivos términos de enésimo lugar se expresan así:

i. tn = 120 + 9nii. tn = 13 - 8niii. tn = -20 + 6n

Ejemplo inductivo:

ii. A partir de "tn" hallaremos "t20", para lo cual n = 20 (lugar 20).

t20 = 4(20) + 2 = 82

i. Cada término se deberá expresar en función de su número ordinal y la razón.

t1 = 6 t2 = 6 + 1(4) t3 = 6 + 2(4) t4 = 6 + 3(4) . . . . . .

t10 = 6 + 9(4) . . . . . . tn = 6 + (n - 1)(4)

tn = 4n + 2

Ejemplo:

tn = t1 + (n - 1) . r

Ejemplo:



99


PROBLEMA GENERALDada la siguiente progresión aritmética finita, calcula el número de términos (n).

4. CÁLCULO DEL NÚMERO DE TÉRMINOS DE UNA P.A.

t1 , t2 , t3 , t4 , ... , tn

rrr

"n" términos

Sabemos : tn = t1 + (n - 1) . r

Despejando "n", tenemos: n = + 1tn - t1

r

* Observa que para calcular el número de términos "n", necesitas:

r : razón aritmética

tn : último término

t1 : primer término

último - primerorazón

# términos = + 1

* Aplicación: ¿Cuántos términos tiene la siguiente P.A.?

20, 31, 42, 53, ... , 669

Resolución

Nos piden el número de términos (n) para lo cual necesitamos:

r = 31 - 20 = 11

t1 = 20

tn = 669

669 - 2011n = + 1 =

64911 + 1 = 60

� La P.A. tiene 60 términos.

Calcula la cantidad de términos de cada una de las siguientes P.A.:

i. 45, 53, 61, 69, ... , 437

ii. 58, 46, 34, ... , -350

iii. 36, 37, 38, ... , 570

iv. 11a, 12a, 13a, ... , 63a

5. CÁLCULO DE LA CANTI-DAD DE CIFRAS AL ESCRIBIR LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA FINITA

Ejemplo inductivo:

Calcula cuántas cifras se utilizarán al escribir los enteros consecutivos desde 56 hasta 499.

Resolución

Observa que del 56 hasta el 499 todos los números no tienen la misma cantidad de cifras, por lo que nos conviene formar grupos de números que tengan igual número de dígitos. En este caso:

i. Números de dos cifras: 56, 57, 58, ... , 99

* Número de términos: 99 - 55 = 44 términos * Cantidad de cifras: 44 × 2 = 88 cifras

ii. Números de tres cifras: 100, 101, 102, ... , 499

* Número de términos: 499 - 99 = 400 términos * Cantidad de cifras: 400 × 3 = 1200 cifras

cada término tiene dos cifras

cada término tiene tres cifras

Luego:

Cantidad total de cifras: 88 + 1200 = 1288 cifras

Ejercicios:



100


6.1 Principio de Multiplicación

Si un procedimiento o actividad, se puede efectuar de "m" maneras y otro de "n" maneras, y cada uno de los primeros puede ser seguido por cualquiera de los otros, entonces el número de maneras de realizar el primero seguido del segundo es "m x n".

¿Cuántos números de dos cifras se pueden formar con las cifras 0; 3; 4; 7 y 9?

Resolución

Son números de la forma ab.i. La cifra a, por ser primera cifra,

toma valores diferentes de cero: 3; 4; 7 ó 9. Los posibles valores de a son 4.

ii. La cifra b puede tomar los valores 0; 3; 4; 7 ó 9. Puede tomar 5 posibles valores.

Por lo tanto, el total de números de la forma ab es 4 × 5 = 20 números.

Nótese que no ha sido necesario escribir los 20 números, de los cuales algunos son 30; 33; 34; 37; 39; 40; 43; 44; 47; 49; etc. Estos números no forman una progresión aritmética.

Para contar la cantidad de números que poseen determinadas características en sus cifras, se procede del modo siguiente:

a) Se representa la forma general de numeral.

b) Se cuenta los valores que puede tomar cada cifra independiente del número.

c) Por el principio de multiplicación, se toma el producto de la cantidad de valores que toman las cifras independientes. Éste será el total de números condicionados.

¿Cuántos números de 3 cifras cumplen con que su cifra de centenas es el doble de su cifra de unidades?

Resolución

Representación general: (2a) ba

Contando:Valores de a: 1; 2; 3; 4 ⇒ 4 valoresValores de b: 0;1;2;...;9 ⇒ 10 valores

Total 4 × 10 = 40 números

Doble del valor de unidades

¿Cuántos números impares de 3 cifras empiezan en cifra par menor que 6?

Resolución

Representación : abc

Valores de a : 2; 4 ⇒ 2 valoresValores de b: 0;1;2;...;9 ⇒ 10 valoresValores de c: 1;3;5;7;9 ⇒ 5 valores

Total 2 × 10 × 5 = 100 números

¿Cuánto durará el mundo?

Cuenta la leyenda que en Benarés (India), el Dios creador Brahma entregó a los monjes tres vástagos diamantinos sobre una base de bronce. Ensartó entonces 64 discos de oro, todos de dimensiones distintas, en una de las varillas, dispuestas de modo que el mayor estuviera en la base y los discos fueran decreciendo en tamaño. Y ordenó a los monjes que moviesen toda la Torre de Brahma a otro de los vástagos, de modo que en cada traslado sólo fuese movido un disco dorado, y de manera tal que nunca un disco tuviera debajo otro de menor tamaño. Al final sentenció: "Cuando hayáis acabado la tarea, el mundo se vendrá abajo como montaña de polvo".

Ejercicios:

Ejercicios:

Ejercicios:

¿Cuántas cifras se utilizarán para escribir todos los términos de dos cifras de la siguiente P.A. 14, 18, 22, ... ?

Resolución

Para calcular el número de cifras totales debes averiguar cuántos términos de dos cifras tiene la P.A. de la siguiente forma:

1.º 2.º 3.º ... k.º

� � � �

10 14 18 22 ... (4k+10)

+4+4+4

es máximo de dos cifras

el mayor término de dos cifras

Observa que el esquema indica que la P.A. tiene "k" términos de dos cifras por lo que:

4k + 10 < 100

Evaluando: 22

Luego, hay 22 términos de dos cifras cada uno, entonces el número de cifras totales es 22 × 2 = 44 cifras.

6. NÚMEROS CONDICIONADOS

Son aque l lo s números cuyas cifras se caracterizan por cumplir determinadas condiciones. No forman necesariamente una progresión aritmética y para contarlos utilizaremos el principio de multiplicación.

Ejercicios:



101


6.2. Método Combinatorio

Es un arreglo u ordenación de todos o parte de los elementos de un conjunto, considerando el orden en que se encuentran.

Permutación

135 153351 315513 531

Permutaciones obtenidas con las cifras 1; 3 y 5.

El número de permutaciones que se puede formar con "n" elementos, ordenados en grupos de "k" elementos y denotado como P(n, k) está dado por:

n!(n - k)!

P(n,k) =

Por ejemplo, las permutaciones de 3 objetos ordenados de 3 en 3, P (3 ; 3) están dadas por:

3!(3 - 3)!P(3) = = 3! = 1 × 2 × 3 = 6

¿Cuántos números de 2 cifras y sin repetición se pueden formar con las cifras3; 5; 7; 8 y 9?

Resolución

Se trata de las permutaciones de 5 objetos, ordenados de 2 en 2: P(5 ; 2)

Existen 20 números.

5!(5 - 2)!P(5,2) = = 4×5

5!3!

= � P(5;2) = 20

Son los ordenamientos que se puede formar con una cierta cantidad de elementos, de modo que uno o más elementos se repiten.

Permutaciones con repetición

1123 1132 2113 31121231 1321 2311 32111213 1312 2131 3121

Permutaciones obtenidas con las cifras 1; 1; 2 y 3.

El número de permutaciones que se puede formar con "n" objetos, de los cuales uno se repite "R1" veces, otro "R2" veces y así los demás, y denotado por PR (n, R1, R2, R3, ... Rk), donde n = R1 + R2 + R3 + ... + Rk, está dado por:

PR(n,R1,R2, ...,Rk)=n!

R1!R2! ... Rk!

Por ejemplo, las permutaciones de 4 objetos de los cuales uno se repite dos veces, como 1; 1; 2; 3, son :

PR(4; 2; 1; 1)=4!

2! 1! 1!= 12

Nótese que para simplificar la expresión anterior, bastará con tomar sólo las veces que se repiten los objetos más de una vez:

PR (4 ; 2) = = 124!2!

1. El tercer término de una sucesión es 12 y el décimo primer término es -12. Halla la diferencia común.

a) -3 b) 3 c) 2 d) -2 e) -4

Resolución

Según el dato, tenemos:a11 = -12a3 = 12a11 - a3 = -12 - 12

(11-3)r =-24 (r es la razón de la P.A.)

r = -3

La diferencia común es: r = -3

Clave a

Ejercicios:



102


2. El cuarto término de una sucesión es 29 y el décimo quinto término es 117. Calcula el séptimo término.

a) 15 b) 18 c) 53 d) 4 e) 32

Resolución

Se tiene:a1 ; a2 ; a3 ; a4 ; ... a7 ; ... a15

rr 29 piden 117

Sabemos que: a15 - a4 = (15 - 4)r

117 - 29 = 11r � r = 8

Luego: a7 - a4 = (7 - 4)r

a7 - 29 = 3(8) � a7 = 53 Clave c

3. ¿Cuántos términos tiene la P.A.?

12(n) ; 17(n) ; 24(n) ; 31(n) ; ... ; 620(n)

a) 75 b) 72 c) 77 d) 79 e) 81

Resolución

Al pasar a base 10 tenemos:

(n + 2) ; (n + 7) ; (2n + 4) ; (3n + 1) ; ... ; (6n2 + 2n)

5

Si del 2.º y 1.er término se obtiene razón 5, entonces del 3.er y 2.º término la razón también es 5:

La P.A. es:

Clave d

(2n + 4) - (n + 7) = 5 n = 8

10 ; 15 ; 20 ; 25 ; ... ; 400

55 5

Al reemplazar tenemos:

400-105

� N.º de términos = + 1 = 79

4. En la numeración de las 1ab primeras páginas, se emplearon 3ab cifras. ¿Cuántas páginas tiene el libro si se han empleado 6ab cifras?

a) 254 b) 260 c) 264d) 272 e) 302

Resolución

Se tiene:

1 ; 2; 3; 4; ... ; 1ab

3ab cifras

D.P. por bloques:# de cifras = (1ab+1)3-111 = 3ab

(100+ab+1)3-111=300+ab3 . ab + 300 + 3 - 111 = 300 + ab

ab = 54

Supongamos que en un libro de "n" páginas se emplea 6ab = 654 cifras.

� (n+1)3 - 111 = 654 n = 254

� El N.º de páginas es 254.

Clave a

¿Por qué la incógnita es la X?

Los árabes llamaban a la incógnita shay (cosa). En muchas traducciones se escribía latinizada como xay y de ahí, al abreviar, quedó x. En Italia, shay se tradujo como cosa y a los que resolvían ecuaciones se les llamó cosistas, quienes escribían la x como co.



103


3) Halla la cantidad de términos que tiene la siguiente P.A.:

8a, bc, aa, def, .... , fff ?

a) 46 b) 82 c) 84 d) 60 e) 72

Resolución

2n = 86 614 6

222

5. Las páginas de un libro se enumeran en base 6, se arrancan las primeras hojas, siendo éstas la cuarta parte del total, por lo cual se eliminaron 218 cifras. ¿Cuántas cifras se utilizaron en las 109 últimas páginas?

a) 225 b) 336 c) 436d) 226 e) 416

Sea "4n" el total de hojas, entonces según dato el número de hojas arrancadas es "n", eso implica que el número de páginas arrancadas será "2n", como en esas "2n" páginas se eliminaron 218 cifras, entonces se cumple. Suponiendo que "2n" tiene 3 cifras(2n + 1) 3 - 1116 = 218.

Verificando si "2n" es de 3 cifras.

Cumplen: 2n = 2226

Ahora, hallando el total de páginas "8n".

8n=8(43)=344 6

57 693

2

6) Halla cuántas cifras se emplearán al escribir todos los términos de la siguiente progresión aritmética:

a1, a9, bc, dd, .... , d(a-1)c

a) 156 b) 527 c) 120 d) 180 e) 200

5) ¿Cuántas hojas tiene un libro, sabiendo que en la enumeración de todas ellas se observó que en las 12 últimas se utilizaron 69 cifras?

a) 40 b) 80 c) 56 d) 64 e) 60

4) Para escribir todos los números impares desde 67 hasta "N" se han empleado 679 cifras. Halla "N".

a) 479 b) 529 c) 529d) 849 e) 629

10) ¿Cuántos numerales de la forma:

a(b-3)( ) (c+1)(a+4)(2b)

existen en base 13?

a) 150 b) 180 c) 160d) 192 e) 240

12) ¿En qué sistema de numeración existen 120 números de 3 cifras diferentes entre sí y diferentes de cero?

a) 7 b) 6 c) 5d) 4 e) 3

11) ¿Cuántos números de 4 cifras utilizan algún 8 y algún 9 en su escritura?

a) 2248 b) 3584 c) 920d) 5416 e) 1920

c2

9) ¿Cuántos números de 4 cifras existen, tal que posean por lo menos una cifra par?

a) 8175 b) 6875 c) 7835d) 8375 e) 8425

8) ¿Cuántos números de tres cifras diferentes se puede formar con los dígitos 1; 3; 5; 7 y 8 de manera que los complementos aritméticos de dichos números no tengan a la unidad como cifra de decenas?

a) 72 b) 60 c) 24 d) 36 e) 48

7) ¿Cuántos números de 3 cifras son tales que en el sistema ternario su última cifra es no significativa?

a) 199 b) 200 c) 201 d) 299 e) 300

2) ¿Cuántos números comprendidos entre 4000 y 6000 existen, tal que sus cifras extremas son iguales y su cifra de las decenas es impar?

a) 45 b) 60 c) 50 d) 55 e) 65

1) Halla el mayor término de tres cifras de la siguiente P.A.: 33; 38; 43; 48; ...

a) 993 b) 999 c) 990 d) 998 e) 988

Nivel I

6

13⇒ 8n = 13326

m = 235 6

39 663

16

10m = 10136

Clave c

La numeración de las páginas es: 16 ; 26 ; 36 ; m ; ... ; 13326

109 páginas

⇒ 13326 - m = 109 ⇒ m = 235

Pero:

Siendo las páginas:16; 26; 36 ; ... ;10316; ... ; 13326

109 páginas

Notamos que las páginas tienen 4 cifras� N.º de cifras = 109 . 4 = 436 cifras



104


18) Calcula el número de términos de la siguiente sucesión:

12; 14; 22; 24; 32; ab; ... bbb

a) 80 b) 82 c) 83 d) 84 e) 88

14) ¿Cuántos números de la formaa(a+b)b existen en base 6?

a) -15 b) -21 c) 10 d) -18 e) -25

Nivel II

13) ¿Cuántos números de la forma 5(6 - a)(a+6)b existen en el sistema nonal?

a) 30 b) 35 c) 40 d) 45 e) 50

15) ¿Cuántos números de 4 cifras no utilizan la cifra 3 ni 5 y están escritos en base 11?

a) 5321 b) 5425 c) 5832 d) 5425 e) 4358

16) De la siguiente sucesión: 10; 17; 16; 22; 21; 26; 25; ... ¿cuál es el primer término que

vuelve a repetirse?

a) 29 b) 30 c) 31 d) 32 e) 33

17) Conocida la siguiente sucesión: 23; 32; 47; 68; 95; ... ¿cuántos términos de 3 cifras son

múltiplos de 5 y diferentes a un múltiplo de 2?

a) 1 b) 3 c) 4 d) 5 e) 7

19) De la sucesión: 1; 8; 27; 64; ... ; aba; mnp se forma la siguiente progresión

aritmética: ba ; mn ; ... ; pna. ¿Cuántos términos posee esta

última?

a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 14

20) De la sucesión: 28; aa; 40; 49; ... ; bba, ¿cuántos son múltiplos de 8?

a) 1 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

21) De los términos coincidentes en las sucesiones:

S1 : 15; 18; 21; 24; .... S2 : 16; 20; 24; 28; ....

¿cuántos de 3 cifras son múltiplos de 5?

a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17

22) ¿Cuántos números de 4 cifras en base 9 tienen por lo menos dos cifras iguales?

a) 200 b) 4536 c) 4469 d) 2325 e) 3144

23) ¿Cuántos numerales de la forma (10-n)(n+5)(n/2)(m/3)(1/7 p)? existen en base 15?

a) 1125 b) 2250 c) 775 d) 1225 e) 625

24) Se representan los números de la forma:

a(b+2)c7 y b(a+1)(c/2)8 ¿Cuántos números de la forma

abc existen?

a) 56 b) 72 c) 96 d) 108 e) 144

25) ¿Cuántos números de 8 cifras tienen como producto de cifras 120?

a) 111 b) 100 c) 4310 d) 4312 e) Otro valor

26) ¿Cuántos numerales de 3 cifras de la base 6 tienen 4 cifras en base 4?

a) 131 b) 151 c) 152 d) 153 e) 160

27) Halla el máximo valor de S: S =(y-1)(x-1)4+(x-1)(y-1)5

+xy5 + ... + MN7

s i sus términos es tán en progresión aritmética.

a) 180 b) 192 c) 203 d) 198 e) 227

28) Se tiene una progresión aritmética cuyos términos extremos son 3 y 59. Si el número de términos de la progresión aritmética comprendidos entre 23 y 59 es el doble del comprendido entre 3 y 23.

Halla la suma de los términos de la progresión aritmética.

a) 465 b) 645 c) 380 d) 540 e) 360

29) Si la siguiente P.A. aaa ; ab4; ac1; ... ; tiene 30

términos, hal la e l últ imo término.

a) 200 b) 350 c) 377 d) 980 e) 360

30) ¿Cuántos números de 3 cifras existen que tengan por lo menos una cifra par y por lo menos una cifra impar?

a) 675 b) 666 c) 685 d) 111 e) 575

Nivel III

31) Indica cuántos términos tiene la siguiente progresión aritmética:

15 ; x5 ; y5; ... ; x(x+y)5 donde x + y = 5.

a) 24 b) 25 c) 26 d) 27 e) 28



105


32) Si la siguiente P.A. x0y ; xxz; .... ; y0x tiene 89

términos, halla x + y + z.

a) 10 b) 12 c) 17 d) 18 e) 21

33) Un libro tiene 2500 páginas. Si se arrancan todas las páginas que terminan en la cifra 3. La cantidad de hojas que quedan es:

a) 1000 b) 1250 c) 750 d) 1500 e) 2000

34) Desde el número 1000 se empieza a enumerar un libro en forma descendente. Si se dispone de 2800 tipos de imprenta, ¿cuál es el último número escrito?

a) 48 b) 49 c) 51 d) 52 e) 53

35) Determina cuántas hojas tiene un libro, sabiendo que en las últimas 18 páginas se han empleado 234 cifras menos que en las otras páginas. Además el número de páginas del libro es menor de 200.

a) 71 b) 74 c) 75d) 81 e) 83

36) En la numeración de las páginas de un libro, desde la página a0 hasta la página a0b se han utilizado tantos tipos de imprenta como cifras para enumerar los primeros 329 términos de la sucesión:

1; 5; 9; 13; 17; ...

Halla (a + b).

a) 6 b) 8 c) 9d) 12 e) 10

37) En la siguiente P.A. de 48 términos, donde se muestran los cuatro términos centrales:

..., 442, 449, 456, 463, ... halla el segundo término.

a) 295 b) 288 c) 293 d) 301 e) 302

38) Al numerar la primera mitad de las páginas de un libro se utilizó 702 cifras. ¿Cuántas cifras se empleó en total?

a) 1404 b) 1418 c) 1510 d) 1512 e) 1516

39) De un libro de 225 páginas se arranca cierto número de hojas del principio, notándose que en la numeración de las páginas que quedan se usaron 452 tipos de imprenta. ¿Cuántas hojas fueron arrancadas?

a) 62 b) 45 c) 21 d) 31 e) 15

40) Sabiendo que hay 360 números menos de la forma:

(a-2)(b-2)abcn que de la forma: (a+2)(b+2)abcn

halla n.

a) 18 b) 20 c) 24d) 15 e) 12

41) Calcula cuántos números capicúas están comprendidos entre 2000 y 20000.

a) 180 b) 179 c) 80d) 184 e) Más de 184

42) ¿Cuántos números de 4 cifras mayores que 3000 se pueden formar con las cifras 0; 1; 3; 4; 5; 7; 8 y 9?

a) 3071 b) 2058 c) 3072 d) 2688 e) 2057

43) En un libro de 500 hojas se han empleado 2770 tipos de imprenta. Determina a partir de qué página se empezó la numeración si las primeras páginas no se numeraron.

a) 60 b) 63 c) 65 d) 66 e) 67

44) Las páginas de un libro se enumeran en base 6, y se arrancan las primeras hojas, siendo éstas la cuarta parte del total, por lo cual se eliminaron 218 cifras. ¿Cuántas cifras se utilizaron en las 109 últimas páginas?

a) 225 b) 336 c) 436 d) 226 e) 416

45) Al enumerar todos los números enteros desde el 3ba7 hasta el ab37 se han empleado ab47 cifras. Halla (a + b).

a) 10 b) 11 c) 9 d) 8 e) 7

46) ¿Cuántos numerales de cuatro cifras existen, tal que al invertir el orden de sus cifras resulten ser mayores que 1994?

a) 8000 b) 7200 c) 8005 d) 7205 e) 7000

47) Determina la suma de cifras de "n" si existen 48 números de la forma:

(a+4)(a/2)(b+1/3)(5-b)(n)

a) 3 ó 4 b) 4 ó 5 c) 5 ó 6 d) 7 ó 8 e) 8 ó 9

48) ¿Cuántos numerales de la forma

a(30/a) b (b/2)14 existen?

a) 21 b) 28 c) 15 d) 36 e) 42



106


1) ¿ Cuántos números de 3 cifras del sistema octal terminan en cifra par?

a) 300 d) 280 b) 224 e) 256 c) 450

2) En el sitema quinario, ¿cuántos números de 4 cifras empiezan y terminan en la misma cifra?

a) 100 d) 75 b) 150 e) 125 c) 160

3) ¿ Cuántos números de 4 cifras del sistema nonario nunca emplean la cifra 4?

a) 2 538 d) 4 536 b) 3 672 e) 3 576 c) 3 576

4) ¿Cuántos números capicúas de 5 cifras existen en el sistema decimal?

a) 90 d) 720 b) 810 e) 400 c) 900

5) ¿ En qué sistema de numeración existen 180 números de 3 cifras ?

a) quinario d) nonario b) senario e) decimal c) heptanario

Líne

a de

Tie

mpo

500 a

.C

800

850 d

.C1592

830 d

.C1610

Gal

ileo

Gal

ilei c

onst

ruye

un

term

ómet

ro

rudi

men

tari

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iliza

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El m

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Car

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Mag

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Empe

rado

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ccid

ente

.



108


S = 1.2+2.3+3.4+ ... +n(n+1)

S =

P=1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+n(n+1)(n+2)

P =

Calcula: E=2+6+12+20+ ... +600

E=1.2+2.3+3.4+4.5+ ... + 24.25

E = = 5200

Calcula: A = 5+52+53+ ... +5100

A= =

Adición y Sustracción

1. ASOCIATIVA:

Es la operación aritmética (+) que permite reunir 2 o más cantidades homogéneas (sumandos) en una sola (suma).

Ejemplo 1:

a+a2+a3+...+an =

ADICIÓN

Axiomas

Series

OBJETIVOReconocer y efectuar series numéricas utilizando artificios y su ley de formación. Asimismo encontrar números ocultos con símbolos.

Criptoaritmética

Notación:

Definición

au + bu + cu = Su

sumandos suma

Axiomas de la AdiciónSi a, b, c ∈ R

(a + b) + c = a + (b + c)

2. CLAUSURA

Si a, b ∈ R; entonces: a + b ∈ R

3. CONMUTATIVA:

a + b = b + a

4. INVERSO ADITIVO:

Si a ∈ R, entonces (–a) ∈ R y se llama inverso aditivo.

5. MODULATIVA:

Existe un elemento 0 (cero), tal que si a ∈ R, luego 0 + a = a + 0 = a y 0 se llama elemento neutro aditivo o módulo de la adición.

6. CANCELATIVA:

Si a + c = b + c, entonces a = b.

Corolario (uniformidad) Si a = b y c = d, entonces: a + c = b + d

Series Básicas

1. SUMA DE PRODUCTOS CONSECUTIVOS

n(n+1)(n+2)3

n(n+1)(n+2)(n+3)4

24.25.263

2. SUMA DE POTENCIAS SUCESIVAS:

a(an – 1)a – 1

Ejemplo 2:

5(5100 – 1)5 – 1

5101 – 54

3. SUMA DE NÚMEROS TRIANGULARES:

M = 1+3+6+10 + ... +

M=1+(1+2)+(1+2+3)+...+(1+2+...+n)

n(n + 1)2

n(n+1)(n+2)6

M =

Resolución

Resolución



109


Calcula:

S = 4+7+10+...+91

S =

pero: n = + 1

n = 30

∴ S = S = 1425

Ejemplo 3:

20.21.226

4. SUMA DE LOS CUADRA-DOS DE LOS "n" PRIMEROS NÚMEROS ENTEROS

POSITIVOS

12+22+32 +...+n2= n(n+1)(2n+1)6

Q = 12+22+32+...+202

Q= = 2870

Ejemplo 4:

(20)(21)(41)

5. SUMA DE LOS CUBOS DE LOS "n" PRIMEROS NÚMEROS ENTEROS

POSITIVOS

13+23+33+...+n3 =

Ejemplo 5:

n(n+1)2[ ]

Calcula: P = 13+23+33+...+93

P= = 452

2025

[ ]29(10)2

6. SUMA DE LOS "n" TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA

a1 ; a2 ; a3 ; ... ; an

+r +r

(a1 + an) . n

2

[2a1 +(n-1)r] . n

2

Nota

«n» es la cantidad de sumandos en cada suma.

Ejemplo 6:

(4+91)n2

91 - 43

(4+91)302

Ejemplo 7:

Calcula:

A = 5 + 7 + 9 + 11 + ...

20 sumandos

A =

A = 480

[2(5) + (20–1)(2)] . (20)2

SUSTRACCIÓN

Propiedades

Complemento Aritmético

OBJETIVOReconocer los términos de una sustracción y sus propiedades.E f e c t u a r c á l c u l o s d e l complemento de un número.

Definición

Es la operación inversa a la Adición, que consiste en que dados dos números enteros llamados Minuendo y Sustraendo se debe encontrar un tercer número llamado Diferencia.

Se representa mediante el operador : «–».

Términos :

M – S = D

M : Minuendo S : SustraendoD : Diferencia

2

Resolución

Resolución

Resolución

Resolución

Resolución

Calcula : M = 1+3+6+10+...+210

M=1+(1+2)+(1+2+3)+...+ (1+2+3+...+20)

M= = 1540

S = a1 + a2 + a3 + ... + an

S =

También: S =



110


x + z = 9 � y = 9

Si abc – cba = 3xy,

calcula x – y.

Por propiedad x = 9

3 + y = 9 → y = 6

∴ x – y = 3

Propiedades

1. M = S+D

«En una sustracción la suma del Sustraendo y la Diferencia es igual al Minuendo».

Ejemplo:

8 –(–3) = 11 M = 8, S = 3, D = 11

S +D = M – 3 + 11 = 8

8 = 8

2. M +S+D = 2M

«La suma de los 3 términos de una sustracción es igual al doble del minuendo».

Ejemplo:

12 – 5 = 7 M = 12, S = 5, D = 7

M + S + D = 2M 12 + 5 + 7 = 2(12)

24 = 24

3. Si abc – cba = xyz

Ejemplo:

4. EN OTROS SISTEMAS DE NUMERACIÓN

abc(n) – cba(n) = xyz(n)

donde : y = n – 1 x + z = n – 1

Ejemplo:

Si abc(9) – cba(9) + mn4(9),calcula m . n.

Escribimos:

abc(9) – cba(9) = mn4(9)

Por propiedad:

n = 8 m + 4 = 8 → m = 4

∴ m . n = 32

Complemento Aritmético (CA)

Se de f ine a l complemento aritmético de un número como la cantidad de unidades que le falta para ser igual a una unidad del orden inmediato superior.

Ejemplos:

CA(8) = 10 – 8 = 2CA(23) = 100 – 23 = 77CA(381) = 1000 – 381 = 619CA(abc) = 1000 – abcCA(mnpq) = 10000 – mnpq

En general, si N tiene k cifras entonces:

CA(N) = 1 00...0 – N

k

Método práctico para calcular el complemento aritmético

A. SI EL NÚMERO NO TERMINA EN CERO

CA( 9 2 3 5 7 )

0 7 6 4 3

∴ CA(92357)= 7643

(9) (10)

B. SI EL NÚMERO TERMINA EN CERO

CA( 3 5 0 2 7 0 0 )

6 4 9 7 3 0 0

∴ CA(3502700)= 6497300

(9) (10)

Ejemplo 1:

Calcula CA(60027) + CA(19900).

CA( 6 0 0 2 7 ) = 39973

3 9 9 7 3

(9) (10)

CA( 1 9 9 0 0 ) = 80100

8 0 1 0 0

(9) (10)

∴ 39973 + 80100 = 120073

Si CA(a8b) = 1x4calcula a + b +x.

Ejemplo 2:

Resolución

Resolución

Resolución



111


Halla a+b+c+d si a; b; c y d son dígitos en:

1 5 a b c d + 4 8 7 2 7 8 a b c d 1 5

a) 12 b) 18 c) 20 d) 21 e) 25

* En las unidades:

d+8 = 1 5 � d=7 llevamos* En las decenas:

1 + c+7 = 1 1 � c =3 se lleva * En las centenas:

1 +b+2 = ...d 1 +b+2 = ...7 b= 4* En los millares:

a+7= ...c a+7 = 13 � a=6 ∴ a+b+c+d=6+4+3+7=20

¿Cuánto se obtiene si se suman todos los números de dos cifras cuya suma de sus digitos es 9?

a) 468 b) 496 c) 396 d) 486 e) 864

* Sean los números de la forma: ab* Donde: a+b = 9

9 0 8 1 7 2 1 8

CA( a 8 b )

1 x 4

(9) (10)

⇒ 9 – a = 1 → a = 8 ⇒ 9 – 8 = x → x = 1 ⇒ 10 – b = 4 → b = 6

∴ a + b +x = 15

Ejemplo 3:

Si CA(a(2b)3) = bc ,calcula a + b +c.

CA( a (2b) 3 )

0 b c

(9) (10)

⇒ 9 – a = 0 → a = 9⇒ 9 – 2b = b → 3b = 9 → b =3⇒ 10 – 3 = c → c = 7

∴ a + b +c = 19

* La suma es: 9 0 + 8 1 7 2 1 8 3 6 ← 0+1+2+...+8= 8x9 =36 2 4 5 ← 9+8+7+...+1= 9x10 =45 4 8 6 2

∴ Se obtiene: 486

Ejemplo 1:

Halla la suma de los valores que pueden tomar las letras en la siguiente suma: 2 r 5 + s 3 8 5 4 3 9 0 t

a) 12 b) 11 c) 10 d) 9 e) 8

* En el 1.er orden:

5+8+3 = 1 t se lleva t = 6* En el 2.º orden:

1 + r+3 +4 = 1 0 llevo r = 2 * En el 3.er orden:

1 +2+s+5 = 9 s= 1

∴ r+s+t = 2+1+6 = 9

Ejemplo 2:

Clave D

Clave D

Ejemplo 3:

Clave C

La suma de los tres términos de una resta es 9876. Si el sustraendo excede a la diferencia en la tercera parte del minuendo, halla el sustraendo. a) 1646 b) 3292 c) 1664 d) 2392 e) 2496

* Tenemos: M − S = D

* Dato: M+ S + D = 9876 ...........(1)

S − D = ................(2)

Ejemplo 4:

M3

Resolución

Resolución

Resolución

Resolución

Resolución

Resolución



112


Si: abc − cba= pq6 ,

halla el valor de a − c +p+q.

a) 17 b) 15 c) 13 d) 14 e) 16

* Ordenando en columna: abc − cba pq6* Se cumple: q = 9 ............ (1) p+6 = 9 p = 3 .............(2) a − c = p+1 a − c = 4 .............(3)

∴ a − c +p+q=4+3+9=16

Clave B

* De (1) por propiedad se tiene:

M+S+D = 9876 M 2M = 9876 M = 4938

* Reemplazando en (2) S − D = S − D =1646 ...........(3) * Pero: S+D = M=4938 ..........(4)

* De (3) y(4): S=

∴ El sustraendo es: S=3292

49383

1646+49382

Ejemplo 5:

Clave E

Nivel I

1) Calcula A + B si:

A = 1 + 2 + 3 + ... + 15 B = 1 + 2 + 3 + ... + 18

a) 120 d) 291b) 171 e) 300c) 290

2) Calcula el valor de:

S = 1+(1+2)+(1+2+3)+ (1+2+3+4) + ... + (1 + 2 + ... + 80)

a) 88 560 d) 88 360b) 88 660 e) 88 460c) 88 760

3) Calcula "P + Q" si:

P = 2 + 4 + 6 + ... + 30 Q = 1 + 3 + 5 + ... + 29

a) 465 d) 245b) 450 e) 240c) 225

4) Calcula el valor de:

R = 1.2+2.4+3.6 + ... + 15.30

a) 3 475 d) 2 480b) 2 680 e) 2 370 c) 3 125

5) Calcula "J + U" si:

J = 40 + 41 + 42 + ... + 80 U = 31 + 33 + 35 + ... + 79

a) 2 460 d) 3 835b) 2 800 e) 4 000c) 1 375

6) Calcula «x + y» si:

x = 12 + 22 + 32 + ... + 192

y = 13 + 23 + 33 + ... + 193

a) 2 470 d) 38 100b) 2 800 e) 38 570c) 36 100

7) Calcula: 1 + 3 + 5 + ... (30 términos)

a) 625 d) 900b) 729 e) 961c) 841

8) Si al minuendo y sustraendo de una sustracción se les disminuye 25 y 10 unidades respectivamente, calcula en cuánto varía la diferencia inicial.

a) +15 d) +8b) − 15 e) 0c) − 8

9) Si al minuendo y sustraendo de una sustracción se les disminuye 18 y 6 unidades respectivamente, calcula en cuánto varía la diferencia inicial.

a) +3 d) − 12b) − 3 e) 0c) +12

10) Si al minuendo de una sustracción le aumentamos 8 unidades y al sustraendo le restamos 3 unidades, ¿en cuánto varía la diferencia primitiva?

a) − 11 d) +11b) − 5 e) 0c) +5

Resolución



113


11) Si al minuendo de una sustracción le aumentamos 80 unidades y al sustraendo le restamos 25 unidades, ¿en cuánto varía la diferencia primitiva?

a) +55 d) +105b) − 55 e) 0c) − 105

12) En una sustracción la suma del minuendo, sustraendo y diferencia es igual a 90. Calcula el sustraendo si es la tercera parte del minuendo.

a) 45 d) 25b) 60 e) 55c) 15

13) En una sustracción la suma del minuendo, sustraendo y diferencia es igual a 150. Calcula el sustraendo si es igual a 2/5 del minuendo.

a) 25 d) 30b) 26 e) 32c) 28

14) En una sustracción la suma de sus términos es 750. Calcula el complemento aritmético del sustraendo si es igual a la suma de las cifras del minuendo.

a) 40 d) 85b) 65 e) 100c) 75

15) En una sustracción la suma de sus términos es 800. Calcula el complemento aritmético del sustraendo si éste es igual a la cuarta parte del minuendo.

a) 0 d) 400b) 100 e) 900c) 200

Nivel II

16) Calcula n si:

5 + 10 + 15 + ... (30 términos)

a) 2 115 d) 2 205b) 2 415 e) 2 325c) 2 225

17) Calcula "n" si:

1 + 2 + 3 + ... + n = 120

a) 14 d) 12b) 15 e) 10c) 16

18) Calcula "m" si: 1 + 2 + 3 + ... + m = 171

a) 18 d) 17b) 16 e) 21c) 19

19) Calcula "t" si:

2 + 4 + 6 + 8 + ... + t=110

a) 20 d) 15b) 21 e) 16c) 12

20) Calcula:

(1+2+3+...+n)2 –(13+23+33+...+n3)

a) 0 d) n2

b) 1 e) n3–n2

c) n

21) Calcula las 3 últimas cifras de:

2 + 22 + 222 + ... + 22...22

a) 024 d) 224b) 144 e) 464c) 444

22 cifras

80 sumandos

22) Calcula la suma de las 3 últimas cifras del resultado de:

5 + 55 + 555 + ... + 555...5

a) 0 d) 5b) 2 e) 8c) 3

23) Calcula la suma de las 4 últimas cifras del resultado de:

7 + 77 + 777 + ... + 777...77

a) 5 d) 13b) 6 e) 15c) 7

100 sumandos

24) En una sustracción la suma del minuendo, sustraendo y diferencia es igual a 144. Si el sustraendo es igual al complemento aritmético del minuendo, calcula la diferencia.

a) 42 d) 40b) 44 e) 47c) 46

25) La suma de los términos de una sustracción es 164. Si el sustraendo e s i g u a l a l c o m p l e m e n t o aritmético del minuendo, calcula la diferencia.

a) 60 d) 66b) 62 e) 68c) 64

26) Calcula abc, si: abc – cba = 2xy abc + cba = 1535 Da como respuesta‘‘a + b + c’’.

a) 14 d) 17b) 15 e) 20c) 16

27) Calcula mpq, si: mpq – qpm = 1xy, además mpq + qpm = 1150 Da como respuesta ‘‘m+p – q’’.

a) 9 d) 7b) 13 e) 12c) 6

28) Si abc + cba = 1392 y abc – cba = mn(2m), determina el valor de a+b2+ c3.

a) 84 d) 144b) 96 e) 157c) 153

29) Calcula x + y – z si xyz + zyx = 1291; xyz – zyx = mn(m+1)

a) 8 d) 13b) 9 e) 14c) 12

30) Si el CA de a8b es 5c4, halla a + b + c.

a) 10 d) 13b) 11 e) 14c) 12



114


Nivel III

31) Si (x + y + z)2 = 144, calcula: 1zyx + x6zy + yx5z + zyx3

a) 14 785 d) 12 212b) 14 985 e) 14 445c) 12 122

32) Si (m + n + p)3 = 343, calcular mnp + npm + pmn

a) 243 d) 423b) 1 243 e) 666c) 777

33) Si 3mn + npm = 1000, calcula "p".

a) 3 d) 6b) 4 e) 7c) 5

34) Halla am + ba, siendo a, b y m dígitos y ab + ma = 141.

a) 121 d) 111b) 211 e) 132c) 123

35) Si:

a1x+a2x+a3x+ ... +a7x=38y1, calcula "a".

a) 3 d) 6b) 4 e) 7c) 5

36) Halla x – y + z si se cumple que xyz = xy + yz + zx.

a) 4 d) 1b) 3 e) 0c) 2

37) Calcula el valor de x + y si:

x = 10 + 11 + 12 + ... + 40 y = 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 44

a) 820 d) 1 200b) 775 e) 1 281c) 506

38) Calcula a + b + c si se cumple que:

m1m+m2m+ m3m+ ... +m9m = abc4

a) 5 d) 14b) 9 e) 18c) 12

39) Si (m+n+p)2 = 196, halla: mmpn + pnmp + npnm

a) 15 554 d) 15 544b) 15 555 e) 14 455c) 14 444

40) Si (a+b+c)2 = 225, halla: abab + caba + bccc

a) 16 665 d) 16 555b) 16 666 e) 13 555c) 15 555

41) Si el CA de m9n es 6p6 , halla: m + n – p.

a) 3 d) 6b) 7 e) 8c) 4

42) Halla ‘‘a + b’’ si: CA(ab)+CA(abab)= 3674

a) 8 d) 11b) 9 e) 12c) 10

43) Halla ‘‘m + n’’, si: CA(mn) + CA(mnmn)= 4694

a) 3 d) 10b) 5 e) 12c) 8

44) Si abc – cba = xy2 , calcula x2 + y2.

a) 110 d) 140b) 120 e) 150c) 130

45) Si mpq – qpm = 3xy , calcula x2 – y2.

a) 15 d) 40b) 30 e) 45c) 35

47) El complemento aritmético del numeral abcd es nnn. ¿Cuál es el valor de c si a, b, c y n suman 24?

a) 2 d) 5b) 3 e) 6c) 4

46) Si CA (abc) = ddd y además a + c = 13, halla el valor de a + b + c + d.

a) 18 d) 16b) 22 e) 19c) 24

48) Calcular "c" si: CA(abcd)= a + b + c + d

a) 9 d) 6b) 8 e) 5c) 7

49) Calcular "c" si:

CA (abcd) = a + b + c + 4d

a) 7 d) 13b) 5 e) 15c) 9

50) La suma de los 6 numerales que se pueden formar con las cifras a, b y c (a > b > c) es 2886. Si la mayor diferencia entre dos de estos numerales es xy5, halla el menor.

a) 743 d) 471b) 247 e) 472c) 274



115


"El que aprende y aprende y no practica lo que sabe,

es como el que ara y ara y nunca siembra".

Pericles

1) Si (a+b+c)2 = 169, calcula el valor de: abc + bca + cab

a) 1344 d) 3441 b) 1443 e) 1533 c) 1434

3) En una sustracción, ¿en cuánto varía la diferencia si al minuendo se le quita 2 unidades y al sustraendo se le aumenta 2 unidades?

a) No varía d) Aumenta en 2 b) Aumenta en 4 e) Disminuye en 2 c) Disminuye en 4

2) Calcula el valor de "x" en:

1+2+3+...+x = 300

a) 24 d) 21 b) 25 e) 20 c) 22

4) Si 2xy − 1(x−1)(y+2)= abc ,

calcular a+b+c.

a) 7 d) 10 b) 8 e) 11 c) 9

5) Si: abc − cba = 4mn

calcula m− n.

a) 2 d) 5 b) 3 e) 6 c) 4



116


Sean los números A y B con a y b cifras, respectivamente, y cuyo producto es «P».

Multiplicación y División

2. ASOCIATIVA:

Es la operación ar i tmética, que dados dos enteros «M» y «m» llamados multiplicando y multiplicador respectivamente o factores, hace corresponder un tercer número «P» llamado producto, el cual se compone de tantas veces el multiplicando como nos indique el multiplicador. Se representa mediante el operador matemático «x».

M: multiplicando m: multiplicador p: producto

MULTIPLICACIÓN

Factores, producto

Criptoaritmética

OBJETIVO

Identi f icar y calcular los términos de una multiplicación en criptogramas y problemas de alteración de factores. Así mismo calcular la cantidad de cifras de un producto.

Cantidad de cifras de un producto

Definición

Notación:

M x m =P

1. CLAUSURA:

3. CONMUTATIVA:

Si a, b ∈ R → a x b ∈ R

Existe un elemento 1 (uno), tal que 1 x a = a x 1 = a y se le llama «módulo» o elemento neutro multiplicativo.

6. MONOTONÍA:

Cantidad de cifras de un producto

4. MODULATIVA:

Ejemplo:

Propiedades en R

a x b (b x c)=(a x b) x c

a x b = b x a

5. INVERSO:

Para todo a ∈ R – {0} existe , tal que:

a x = 1

1a

1a

Si a, b, c, d son enteros positivos ya < b y c < d.luego a x c < b x d

1. PRODUCTO DE 2 FACTORES

Donde «x» es el número de cifras de «P», se tiene:

xmáx = (a + b) cifrasxmín = (a + b – 1) cifras

¿Cuántas cifras tendrá como máximo y mínimo el producto de A x B si «A» tiene 3 cifras y «B» posee 4 cifras?

A x B = P

xmáx = (3 + 4) = 7 cifras

xmín = (3 + 4 – 1) = 6 cifras

xmáx = 7 cifras ; xmín = 6 cifras

«a» cifras «b» cifras «x» cifras

Interpretación:

El producto de un número de 3 cifras por otro de 4 cifras poseerá como máximo 7 cifras y como mínimo 6 cifras.

Entonces: A x B = P«a» cifras «b» cifras «x» cifras

Resolución



117


Operación aritmética inversa a la multiplicación representada por ÷ o /, que consiste en que dados dos enteros positivos llamados dividendo el primero y divisor el segundo, encontrar otro llamado cociente, tal que multiplicado por el divisor nos dé el dividendo.

Sean: D : dividendo d : divisor q : cociente, y D > d

Luego:

D = d x q

DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

POSITIVOS

Clasificación

Propiedades fundamentales

OBJETIVOIdentificar los términos de una división y calcularlos cuando se alteren algunos de ellos utilizando las propiedades en forma rigurosa.

Definición

Entonces:

A1 x A2 x A3 x ... x An = P

xmáx=(a1 + a2 + a3 + ... + an) cifras

xmín=(a1+a2+a3+...+an– n+1) cifras

Ejemplo:

¿Cuántas cifras podrá tener como máximo y mínimo el producto de AxBxC si tienen 3; 4 y 5 cifras respectivamente?

Sea A x B x C = P

Donde la cantidad de cifras de «P» sea «x», luego:

xmáx =3 + 4 + 5 = 12 cifras

xmín =3 + 4 + 5 – 3 + 1= 10 cifras

xmáx = 12 cifras ; xmín = 10 cifras

Interpretación:

El producto de 3 factores con 3, 4 y 5 cifras respectivamente, podrá tener como máximo 12 cifras y como mínimo 10.

2. PRODUCTO DE "n" FACTORES

Sean los números A1,A2,A3, ...,An con a1, a2, a3, ... ,an cifras, respectivamente, y su producto P.

Clases de divisiones

1. DIVISIÓN EXACTA (r = 0)

Es aquella donde el residuo es igual a 0, es decir, el dividendo contiene un número exacto de veces al divisor.

Ejemplo:

76 436 19 0

D = 76d = 4

q = 19r = 0

Se cumple : D = d x q

Observación

En una división inexacta se considerará:

1. D = dxq + r

2. r < d

3. Resto mínimo = 1

4. Resto máximo = d – 1

2. DIVISIÓN INEXACTA (r ≠ 0)

Son aquellas donde habrá un residuo o resto al efectuar la división.

Ejemplo:

76 770 10 6

D = 76d = 7

q = 10r = 6

Se cumple : D = d x q+r r < d

Propiedades de una división

1. En una división exacta si al d iv idendo se le aumenta o disminuye el divisor, entonces el cociente aumenta o disminuye en

24 6 24 + 6 6 0 4 0 4 + 1�

2. En una división inexacta, para que el cociente aumente en 1, al dividendo se quita el residuo y se aumenta un divisor; mientras que para el cociente disminuya en 1, al dividendo se quita el residuo y se quita un divisor.

34 6 34 – 4 + 6 6 4 5 0 5 + 1�

Ejemplo:

Ejemplo:

Resolución



118


El número de tres cifras que multiplicado por 8 da un producto que termina en 007, esta comprendido entre:

a) 400 y 500 d) 400 y 450b) 650 y 700 e) 200 y 250c) 100 y 150

* Si el número de 3 cifras es abc Por tanto: abc x 9 = ...007

* Es recomendable multipl icar en co lumna y d i sponer como multiplicando el número conocido es decir 9 y multiplicador al número desconocido es decir abc. 9 x a b c 2 7 � c x 9 ......(1) 1 8 � b x 9 .......(2) 8 � a x 9 0 0 7

Explicación:* De(1): c x 9 = ...7�c=3 3 x 9 = 27

* Al sumar las decenas debe darme 10, entonces de (2): b x 9 = ...8 �b=2 2 x 9 = 18

* Al sumar las decenas llevamos"1" a las centenas y para ello de (3): a x 9 = ...8 � a=2

*Luego: abc =223

∴ abc = 223 está entre 200 y 250

Ejemplo:

Ejemplo 1:

Ejemplo 1:

3. En una división inexacta, si al divisor y resto se multiplican por n, entonces el dividendo queda también multiplicado por n.

25 8 25 x 2 8 x 2 1 3 1 x 2 3�

4. En una división inexacta, si al dividendo y divisor se multiplican por n, entonces el resto también se multiplica por n.

25 8 25 x 3 8 x 3 1 3 1 x 3 3�

Ejemplo:

5. En una división inexacta, si al dividendo y resto se les multiplica por n, entonces No siempre el divisor queda multiplicado por n, pueda que sea el cociente.

25 8 25 x 2 8 x 2 1 3 1 x 2 3�

En una división inexacta siempre se debe cumplir que:

� residuo mínimo = 1 � residuo < divisor � residuo máximo = divisor – 1

� residuo <( )Dividendo2

En una división inexacta el resto es 20 y es máximo. Calcula el dividendo si el cociente es 18.

D 21 20 18máx

⇒ D = 21(18) + 20

D = 348

Ejemplo:

Ejemplo 2:

Si: abc x c = 2736 abc x b = 2280 abc x a = 1824

Halla abc x cba y dar como respuesta la suma de las cifras.

a) 17 b) 19 c) 21 d) 23 e) 27

* Multiplicando en columna lo que nos piden: a b c x c b a 1 8 2 4 � a x abc 2 2 8 0 � b x abc 2 7 3 6 � c x abc 2 9 8 2 2 4

∴ ∑cifras es:2+9+8+2+2+4=27

Ejemplo 3:

El producto de un entero positivo "x" de 3 dígitos por 3 es un número que termina en 721, la suma de los dígitos de x es:

a) 13 b) 16 c) 15 d) 17 e) 14

* Si x = abc, entonces:

abc . 3= .....721

* Ya sabemos que es conveniente multiplicarlos del modo siguiente: 3 x a b c 2 1 � c x 3 � c=7 0 � b x 3 � b=0 7 � a x 3 � a=9 ...7 2 1

Resolución

Resolución

Clave E

Resolución

Clave E

Resolución



119


Explicación:

1.º Hallamos el valor de "c" el cual debe ser una cifra que multiplicado por 3 termine en 1 y la única cifra que cumple ello es 7, entonces al multiplicar c = 7 por 3 me da 21.

2.º Al sumar las decenas debe darme 2, eso significa que al multiplicar b x7 debe terminar en 0 y el único valor para "b" es el 0.

3.º Las centenas al multiplicar "a" por 3 debe terminar en 7 y el valor que cumple para "a" es el 9.

x = abc = 907

∴∑ cifras es: a+b+c=9+0+7=16

Ejemplo 4:

El dividendo de una división entera es 1365. Si el divisor es el triple del residuo y éste es la mitad del cociente, calcula el valor del cociente.

a) 25 b) 30 c) 35 d) 45 e) 50

* Tenemos: 1 3 6 5 3 n 2 n n � (3n)(2n) +n = 1365 n(6n+1)= 1365 n(6n+1)= 15 x 91 n = 15 ∴ El cociente es 2n =30.

a) 31 b) 17 c) 54 d) 57 e) 71

* Siendo los números A: B y C. Datos:

A + B +C = 145........(1) A B ...........................(2) 4 3 C B ..........................(3) 5 4 De ( 2 ): A = 3B +4De ( 3 ): C = 4B +5

Reemplazando (4) en (1): � (3B+4)+B+(4B+5) = 145 8B + 9 = 145 B = 17Luego: A = 3(17)+4 = 55 C = 4(17)+5 = 73

∴ Uno de los números es B =17.

................(4)

Nivel I

1) El producto de dos números pares consecutivos es 1224, calcula la suma de ambos factores.

a) 66 d) 64b) 68 e) 62c) 70

2) El producto de dos números pares consecutivos es 1056, calcula la suma de cifras del mayor de ellos.

a) 4 d) 7b) 5 e) 8c) 6

3) Calcula 1327 x 999 e indica la suma de las cifras del producto.

a) 21 d) 27b) 23 e) 30c) 25

4) Si abc a = 1155 abc b = 5080 abc c = 1925,

calcular abc 2 y da como respuesta la suma de sus cifras.

a) 18 d) 22b) 19 e) 24c) 20

5) Si mpq m = 303 mpq p = 606 mpq q = 909,

calcular mpq2 y dar como respuesta la suma de sus cifras.

a) 21 d) 30b) 24 e) 33c) 27

6) Si abcd x 5 = 6170, calcula a – b – c + d.

a) 0 d) 5b) 1 e) 7c) 3

7) Si abc x mn = 3003, calcula la suma de cifras de abccabc x mn.

a) 12 d) 15b) 13 e) 16c) 14

8) Cuando dividimos cierto número por 50, obtenemos como residuo 20. Si dividimos el mismo número por 52, obtenemos el mismo cociente, pero 4 de residuo. Calcula el cociente en ambos casos.

a) 6 d) 16b) 10 e) 8c) 12

Ejemplo 5:

Se tiene tres números cuya suma es igual a 145. Si el primero se divide entre el segundo se obtiene 3 de cociente y 4 de residuo, y si el tercero se divide entre el segundo se obtiene 4 de cociente y 5 de residuo. Uno de los números es:

Clave B

Resolución

Clave B

Clave B

Resolución



120


13) En una división el resto es la cuarta parte del cociente y además es máximo. Si el divisor es el mayor número ab, calcula el dividendo.

a) 38906 d) 38906b) 38906 e) 38907c) 38904

Nivel II 9) Cuando dividimos cierto número por 60, obtenemos como residuo 17, si dividimos el mismo número por 63, obtenemos el mismo cociente pero 5 de residuo. Calcula el cociente en ambos casos.

a) 3 d) 8b) 4 e) 10c) 5

10) En una división inexacta, el dividendo es 926, el cociente 32 y el residuo es 30, halla el divisor.

a) 28 d) 33b) 29 e) absurdoc) 31

11) En una división inexacta, el dividendo es 615, el cociente 35 y el residuo es 25, halla el divisor.

a) 17 d) 20b) 18 e) absurdoc) 19

12) En una división el resto es máximo. Calcula el dividendo si el cociente es el triple del resto y el divisor es 23.

a) 1540 d) 1543b) 1541 e) 1544c) 1542

14) Calcula el dividendo de una división si el divisor es el menor capicúa de 3 cifras y el cociente es igual al resto que es máximo.

a) 10000 d) 10200b) 10001 e) 10300c) 10100

15) En una división, el divisor es igual al cociente y el resto es mínimo. Calcula el cociente si el dividendo es 197.

a) 12 d) 15b) 13 e) 16c) 14

16) Calcula (a + b) si: 1ab x CA(ab) = 9744

a) 7 d) 6b) 8 e) 5c) 9

17) [CA(ab)] x 1ab = 9831, halla «a + b».

a) 5 d) 3b) 6 e) 7c) 4

18) Si edcba7 x 5 = 7edcba, calcula «e + d».

a) 4 d) 7b) 5 e) 8c) 6

19) Si 2abcde x 3 = abcde2, calcula «a + b + c + d + e».

a) 20 d) 26b) 29 e) 25c) 23

20) Calcula p+q+r+s si se cumple que pqrs 9999 = ...3759

a) 9 d) 12b) 10 e) 13c) 11

21) Calcula a+ b +c+d, si se cumple que abcd x 999 = ... 4264

a) 15 d) 18b) 16 e) 20c) 17

22) Si mnpq x 7 = ...2531, halla m + n+ p + q.

a) 17 d) 24b) 20 e) 25c) 23

23) Calcula m+n+p+q si mnpq x 9999 = ... 8766.

a) 9 d) 12b) 10 e) 13c) 11

24) En una división el dividendo es 646. Si el resto, cociente y divisor forman una progresión aritmética de razón 2, calcula el cociente.

a) 22 d) 28b) 24 e) 30c) 26

25) En una división el dividendo es 596. Si el resto, divisor y cociente forman una progresión aritmética de razón 3, calcula el cociente.

a) 21 d) 24b) 22 e) 25c) 23

26) Dados 2 números, al dividir el mayor entre el menor el cociente es 3 y el resto es 18. El mayor excede al menor en 64. El mayor es:

a) 87 d) 49b) 32 e) 85c) 79

27) La diferencia de 2 números es 178, al dividir el mayor entre el menor, el cociente es 3 y el resto es 40. Calcula el mayor.

a) 235 d) 249b) 243 e) 251c) 247

28) En una división de enteros positivos, el divisor es 40 y el resto es 17. Si el dividendo se triplica, el nuevo resto es:

a) 3 d) 11b) 5 e) 17c) 7

29) En una división de enteros positivos el divisor es 42 y el resto 8. Si el dividendo se multiplica por 6 el nuevo resto es:

a) 48 d) 14b) 40 e) 6c) 32

30) En una división el divisor y resto son 5 y 24. Si el dividendo se triplica el nuevo es:

a) 2 d) 15b) 5 e) 72c) 14



121


Nivel III

31) El producto de un capicúa de 4 cifras por 23 termina en 44. La suma de las cifras del capicúa es:

a) 18 d) 16b) 20 e) 30c) 24

32) Calcula a . b . c . d . e si: 4 x abcde = edcba

a) 1008 d) 996b) 1112 e) 1004c) 992

33) Si se coloca 2 ceros a la derecha de un número, éste aumenta en 7227. La suma de sus cifras de este número es:

a) 10 d) 13b) 11 e) 14c) 12

34) Si se coloca 2 ceros a la derecha de un número, éste aumenta en 5643. Calcula la suma de las cifras de dicho número.

a) 12 d) 15b) 13 e) 16c) 14

35) En la multiplicación indicada N x ab, el primer producto parcial es 292 y el segundo es 511. La suma de factores es:

a) 147 d) 150b) 148 e) 151c) 149

36) Halla el producto de abc por 248, sabiendo que el producto de sus productos parciales es 9003.

a) 50800 d) 57500b) 52600 e) 56800c) 55800

37) Halla el producto de mnp por 53, sabiendo que el producto de sus productos parciales es 150 000.

a) 5500 d) 5800b) 5300 e) 600c) 5100

38) En una multiplicación de 2 factores, el primero se aumenta en su triple y el segundo en su doble. ¿A cuántas veces aumenta el producto original?

a) 6 d) 11b) 9 e) 12c) 10

39) En una multiplicación de 3 factores, al primero se le aumenta su doble, al segundo se le duplica, y al tercero se le disminuye su tercera parte. ¿En cuántas veces aumenta el producto inicial?

a) 2 d) 5b) 3 e) 6c) 4

40) Sea «N» el producto de 4 factores. Si cada uno de dichos factores aumenta a su doble, ¿en cuántas veces aumentará «N»?

a) 8 d) 16b) 12 e) 18c) 15

41) En una división el divisor y resto son 13 y 35 respectivamente. Si el dividendo se cuadruplica, el nuevo resto es:

a) 13 d) 16b) 14 e) 17c) 15

42) Dos números suman 930, el cociente es 17 y el resto es máximo. La diferencia de los números es:

a) 822 d) 852b) 832 e) 862c) 842

43) Dos números suman 896, el cociente es 37 y el resto el máximo posible. Los números difieren en:

a) 850 d) 790b) 822 e) 782c) 880

44) Calcula el mayor número de 4 cifras tal que al dividirlo entre 47 el resto es máximo.

a) 9963 d) 9960b) 9962 e) 9959c) 9961

45) Calcula el menor número de 4 cifras, tal que al dividirlo entre 80 el resto es máximo.

a) 1039 d) 1051b) 1047 e) 1073c) 1049

46) Calcula el mayor número de 4 cifras, tal que al dividirlo entre 97 el resto es máximo.

a) 9980 d) 9990b) 9982 e) 9992c) 9983

47) ¿Cuántos números de 3 cifras pueden ser dividendos en una división de cociente 15 y resto 12?

a) 51 d) 54b) 52 e) 55c) 53

48) ¿Cuántos números de 3 cifras pueden ser dividendos de una división de cociente 18 y resto 8?

a) 45 d) 50b) 46 e) 51c) 47

49) ¿Cuántos números de 3 cifras pueden ser dividendos de una división de cociente 20 y resto 12?

a) 37 d) 43b) 39 e) 45c) 41

50) ¿Cuántos números comprendidos entre 100 y 500 pueden ser dividendos de una división cuyo cociente es 22 y resto 30?

a) 16 d) Ningunob) 17 e) 20c) 18



122


"En la vida se ve uno a veces ante la disyuntiva de complacer a Dios o complacer al prójimo. A la larga conviene más lo primero, porque Dios tiene mejor memoria".

Harry Kemelman

1) Si edcba7 x 5 = 7edcba , calcula "e + d". a) 4 d) 7 b) 5 e) 8 c) 6

3) Halla el producto de abc por 248, sabiendo que el producto de sus productos parciales es 9003.

a) 50 800 d) 57 500 b) 52 600 e) 56 800 c) 55 800

2) Calcula (a+b+c+d) si se cumple que:

abcd x 999 = ...4264

a) 15 d) 18 b) 16 e) 20 c) 17

4) ¿Cuántos números enteros positivos existen, tal que al dividirlos por 28 dan un residuo que es el triple del cociente?

a) 19 d) 12 b) 10 e) 13 c) 11

5) ¿Cuántos números menores que 500 pueden ser divididos en una división de cociente 15 y residuo 20 ?

a) 9 d) 12 b) 10 e) 13 c) 11



123


Repaso

Nivel I

1) Si «n» es un número entero positivo, el valor de la suma:

3+33+333+...+ 33...333 es:

a) (10n – 9n – 10) / 27 b) (10n+1 + 9n + 10) / 27 c) (10n+1 – 9n – 10) / 27 d) (10n–1 + 9n – 10) / 27 e) (10n+1 + 9n – 10) / 27

2) Calcula la suma de los términos de la siguiente serie:

2+6+13+23+36+...(25 términos)

a) 8 150 d) 9 170b) 8 260 e) 9 150c) 9 180

n cifras

3) Si "N" = cdu, tal que: c+d+u = 13 y cd + du = 97,

halla "N".

a) 346 d) 364b) 634 e) 463c) 643

4) Halla "n" si se cumple: 1x2+2x3+3x4+...+n(n+1)=728

a) 11 d) 14b) 12 e) 15c) 13

5) Si se cumple: 1+2+3+...+n = aaa, halla: 12 + 22 + 32 + ... + n2

a) 17 408 d) 15 408b) 16 206 e) 18 302c) 15 408

6) Halla x+y+a si:

a1x+a2x+a3x+...a7x=38y1

a) 3 d) 11b) 5 e) 13c) 8

7) Halla a+b+c si:

a1a+a2a+a3a+... +aaa=8bc1

a) 10 d) 18b) 13 e) 21c) 15

8) Si a83+5b9+64c = 1659, halla el valor de a+b+c.

a) 2 d) 12b) 4 e) 13c) 7

9) Si 5mn + npm =1 000 halla el valor de m+p - n.

a) 5 d) 4b) 3 e) 8c) 6

10) La suma de los 6 numerales que se pueden formar con las cifras a, b y c (a > b > c) es 2886. Si la mayor diferencia entre dos de estos numerales es xy5, halla el menor.

a) 743 d) 471b) 247 e) 472c) 274

11) Si al minuendo y al sustraendo de una sustracción se les disminuye "n" unidades, ¿en cuánto variará la diferencia?

a) n d) –2nb) –n e) 2nc) 0

12) En una sustracción, la suma de sus términos es 1122. Calcula el complemento aritmético del sustraendo si es la tercera parte del minuendo.

a) 813 d) 817b) 187 e) 823c) 197

13) La suma de los 3 términos de una sustracción es 1512. Calcula el sustraendo más la diferencia y da como respuesta la suma de sus cifras.

a) 12 d) 15b) 6 e) 18c) 9



124


Nivel II

Nivel III

14) La suma de los términos de una sustracción es (x+3)(x+8)(x+1) y el sustraendo es 1/3 del C.A. del minuendo. Halla la diferencia.

a) 164 d) 140b) 148 e) 145

15) La suma de los tres términos de una sustracción es 1118. Calcula la diferencia si el sustraendo es el C.A. del minuendo.

a) 114 d) 144b) 124 e) 154c) 134

16) Si la diferencia entre la diferencia y el sustraendo es 134, calcula el sus-traendo sabiendo que los 3 términos de la sustracción suman 18 centenas.

a) 246 d) 328b) 293 e) 383c) 304

17) Si al minuendo de una sustrac-ción se le aumenta 6 unidades y al sustraendo se le disminuye 2, ¿en cuánto varía la diferencia?

a) – 6 d) – 8b) +6 e) 0c) 8

19) Si abc – cba = n(3m)(n+3), calcular el C.A.(n+m).

a) 6 d) 3b) 5 e) 2c) 4

18) Si abc – cba = xyz, calcular C.A. de (x+z)y

a) 19 d) 18b) 81 e) 11c) 9

20) Si mnp = x(3y)(2x)+pnm, cal-cula el C.A.(x.y).

a) 1 d) 11b) 0 e) 91c) 9

21) Sea "N" el producto de 2 factores. Si el primero aumentara a su do-ble y el segundo en su triple, ¿en cuántas veces más aumentaría el producto?

a) 6 b) 7 c) 8 d) 12 e) 16

22) Un número multiplicado por 2 y por 3 da 2 nuevos números cuyo producto es 1944. ¿Cuál es ese número?

a) 6 b) 12 c) 18 d) 14 e) 8

23) Un número multiplicado por 2, por 3 y por 5 origina 3 números cuyo producto es 6480. Calcula dicho número.

a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12

24) ¿Cuál es el número tal que mul-tiplicado por 2, 3 y 4 da 3 nuevos números cuyo producto es 12288?

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

25) Si a . b . c . d = 336, calcula el C.A. del mayor número abcd.

a) 8761 d) 7536b) 1239 e) 5436c) 3462

26) a x b x c = 12000. Si "a" se tri-plica, "b" aumenta a su cuádruple y "c" aumenta en su cuádruple, calcula la suma de las cifras del nuevo producto.

a) 27 b) 18 c) 9 d) 12 e) 15

27) Sea «N» el producto de 3 factores. Si cada uno de dichos factores aumentara a su triple, ¿en cuántas veces aumentará «N»?

a) 26 b) 27 c) 18 d) 9 e) 21

28) En una multiplicación el multi-plicador disminuye 3 decenas y el producto disminuye en 600, entonces la suma de cifras del multiplicando es:

a) 1 b) 2 c) 10 d) 12 e) 15

29) Si se aumenta 7 unidades a cada factor, el producto aumenta 364. Calcula el producto si la diferen-cia de factores es 5.

a) 450 b) 485 c) 490 d) 500 e) 520

30) El producto de 2 números es 8178. Si uno de ellos aumenta una docena, el producto aumenta a 9222. La suma de cifras del otro número es:

a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17

31) El producto de 2 números es 5475. Si el multiplicador aumenta en 8, entonces el producto au-menta en 600. El multiplicador es:

a) 75 b) 74 c) 73

32) En una multiplicación, si el multiplicando aumenta en 15 unidades, el producto aumenta en 555. El multiplicador tiene por suma de cifras:

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

33) Sea "N" el producto de 3 factores. Si cada uno de dichos factores aumenta en su doble, ¿en cuántas veces aumentará "N"?

a) 23 b) 24 c) 25 d) 26 e) 27



125


34) En cierta multiplicación, si uno de los factores disminuye en 6 entonces el producto disminuye en 648; pero, si el otro factor disminuye en 6, entonces el producto disminuye en 120. El producto es:

a) 2160 b) 2100 c) 2166 d) 2400 e) 2700

35) En una multiplicación, si al multiplicando se le aumenta 5 unidades y al multiplicador se le disminuye 5 unidades, el pro-ducto no varía. La diferencia de dichos números es:

a) 5 b) 10 c) 12 d) 15 e) 25

36) La diferencia de 2 números es 900, su cociente 17 y el resto es el más grande posible. La suma de los números es:

a) 956 b) 836 c) 1006 d) 917 e) 857

37) En una división, para que el resto sea 47 hay que sumarle 63 o reti-rarle 8 al dividendo. Si el cociente dista tanto del divisor como del resto, calcule el dividendo.

a) 4528 b) 4000 c) 3850 d) 4150 e) 3500

38) Si "A" es un entero positivo cuyo número de cifras varía de 2 a 6; mientras que otro "B" de 3 a 5, diga ¿cuántas cifras tendrá como máximo B2/A?

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 7

39) ¿Cuántos números pueden ser di-visores de una división de enteros si el dividendo es 353 y el residuo 9?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

40) A, B y C son enteros positivos de 2;3 y 5 cifras respectivamente. ¿Cuántas cifras tiene la parte entera de ? si α y β son la mínima y

la máxima cantidad de cifras, calcula α + β.

a) 30 b) 31 c) 32 d) 33 e) 34

B2C3

A2

41) En una división inexacta la suma de términos es 46. Si al dividendo y divisor se les multiplica por 4 y se repite la operación, resultan 4 nuevos términos que suman 160. Halla el cociente inicial.

a) 6 b) 8 c) 7 d) 5 e) 9

42) En una división, el cociente es 8 y el residuo 20. Sumando el dividendo, divisor, el cociente y el residuo se obtiene un total 336. El dividendo es:

a) 308 b) 276 c) 124 d) 288 e) 296

43) En una división, el cociente es 12 y el residuo 5. Sumando el dividendo, divisor, el cociente y el residuo se obtiene 110. El dividendo es:

a) 89 b) 88 c) 189 d) 188 e) 200

44) Se divide un número 927 entre 22, ¿cuál es el producto de la cantidad máxima en que puede aumentarse el dividendo, de ma-nera que el cociente no varíe,por el nuevo residuo que se genera?

a) 54 b) 63 c) 336 d) 368 e) 378

45) Se divide un número 328 entre 21. ¿Cuál es el producto de la cantidad máxima en que puede aumentarse el dividendo, de ma-nera que el cociente no varíe por el nuevo residuo que se genera?

a) 20 b) 60 c) 80 d) 120 e) 140

46) ¿Cuántos números Z+ existen, tal que al dividirlos por 49 dan como resto el triple del cociente respectivo?

a) 16 d) 13b) 15 e) 12c) 14

47) ¿Cuántos enteros positivos hay, tal que al dividirlos entre 81, el resto es el cuadrado del cociente respectivo?

a) 6 d) 9b) 7 e) 10c) 8

48) ¿Cuántos enteros positivos de 3 cifras existen, tal que al dividirlos entre 92 el resto es el cuadrado del cociente respectivo?

a) 8 d) 11b) 9 e) 12c) 10

49) Al dividir 581ab entre otro nú-mero, se obtuvo 150 y 215 como residuos parciales y 1 como resi-duo final. Calcula "a . b"

a) 18 d) 48b) 15 e) 35c) 36

50) Se tiene 101 enteros positivos consecutivos. Se divide el mayor entre el menor, obteniéndose 17 de resto y 2 de cociente. Calcula el mayor de ellos.

a) 180 d) 183b) 181 e) 184c) 182



126


5) Calcula el número que al dividirlo por otro arroja un cociente igual al residuo máximo y éste a su vez es el menor número de dos cifras.

a) 100 b) 110 c) 120d) 115 e) 125

3) Si abc - cba = xyz, calcula el C.A. de (x+z).y

a) 19 d) 11 b) 18 e) 9 c) 81

4) Calcula (p+q+r+s) si se cumple que:

pqrs x 999 = ...3759

a) 9 d) 12 b) 10 e) 13 c) 11

1) Halla a+b+c si:

a1a+a2a+a3a+...+aaa = 8bc1

a) 10 d) 18 b) 13 e) 21 c) 15

2) Calcula la suma de:

A = 12(3)+12(4)+12(5)+...+12(100)

a) 10 b) 20 c) 100d) 5253 e) 5243



127


FRACCIONES EXTRAÑAS ¿Qué tienen de extraño las siguientes fracciones: 19/95, 26/65, 16/64?

Resolución:

Quitando en cada caso el número repetido, el resultado es el mismo: 19/95=1/5; 26/65=2/5; 16/64=1/4.

CURIOSA PERSISTENCIA DEL 5

8 - 3 = 5 78 - 23 = 55 778 - 223 = 555 7778 - 2223 = 5555 ................... 82 - 32 = 55 782 - 232 = 55 555 7782 - 2232 = 555 555 77782 - 22232 = 55 555 555 ...................

NOTABLE SUCESIÓN DE CUADRADOS

12 = 1 112 = 121 1112 = 12321 11112 = 1234321 111112 = 123454321 1111112 = 12345654321 11111112 = 1234567654321 111111112 = 123456787654321 1111111112 = 12345678987654321

92 = 81 992 = 9801 9992 = 998001 99992 = 99980001 999992 = 9999800001 9999992 = 999998000001 99999992 = 99999980000001 999999992 = 9999999800000001 9999999992 = 999999998000000001

CURIOSIDADES MATEMÁTICAS

CON 4 TRESES

1 = 33/33 = 3 - 3+3/3 2 = 3/3+3/3 3 = (3+3+3)/3 4 = (3x3+3)/3 5 = 3+(3+3)/3 6 = 3+3+3 - 3=(3+3) x 3/3 7 = 3+3+3/3 8 = 33/3 - 3 9 = 3 x 3 x 3/3 10 = 3 x 3+3/3

CON 4 CINCOS

1 = 55/55 = 5 - 5 + 5/5 2 = 5/5 + 5/5 3 = (5 +5 + 5)/5 4 = (5 x 5 - 5)/5 5 = 5+(5 - 5)/5 6 = (5 x 5+5)/5 7 = 5+(5+5)/5 8 = 5!/(5+5+5) 9 = 5+5 - 5/5 10 = (55 - 5)/5

ESCRITURA DEL CIEN

100 = 111-11+1-1+1-1 100 = 22 x 2 x 2+2+(2 x 2 x 2)+2 100 = 333 : 3 - (3 x 3)-3+(3 : 3) 100 = 444 :4 -4 - 4 - 4 +(4 : 4) 100 = 5 x 5 x 5 - (5 x 5)+5 - 5 +5 - 5 100 = 66+(6 x 6)-[(6+6): 6 x (6 : 6)] 100 = 7x7x (7+7):7+(7:7)+(7:7) 100 = 88+8+[8 x 8 x 8 : 8 : (8+8)] 100 = (99+99):(9+9)x 9+(9 : 9)

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