areasgeometria

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “Robert Letourneau”Primer Año

Geometría 1

INDICE

Área de un Triángulo ………………………02

Área de un Cuadrilátero ……..……………14

Área de Superficies Circulares ………….24

Operaciones con Áreas …………………..39

Recta y Plano …………………………….... 50 Área de Sólidos ……………………………. 59 Volumen de Sólidos …...………………….. 66 Miscelánea …………………………………. 74

INDICE

Área de un Triángulo ………………………02

Área de un Cuadrilátero ……..……………14

Área de Superficies Circulares ………….24

Operaciones con Áreas …………………..39

Recta y Plano …………………………….... 50 Área de Sólidos ……………………………. 59 Volumen de Sólidos …...………………….. 66 Miscelánea …………………………………. 74


TEMA: ÁREA DE UN TRIÁNGULO

Un triángulo es una figura geométrica que posee tres lados, que pueden ser rectas, curvos o mixtos.

El área de un triángulo se obtiene dividiendo entre dos al producto de su base por su altura.

Demostración:

A

C F E

B

h

Db

A = b h 2

xABC¿ ?

Para realizar la demostración de la fórmula para hallar el área del triángulo haremos uso de una

construcción auxiliar: por el vértice C, trazaremos una paralela al segmento y por el vértice

B, trazaremos una línea paralela al segmento . El punto donde se cortan estas dos líneas

(punto de intersección) lo llamaremos E. Entonces se formará el cuadrilátero ABEC. Asimismo,

trazaremos las alturas y , perpendiculares a los segmentos y ,

respectivamente.

El área del triángulo lo podremos hallar por una diferencia de áreas:

AABC = AABEC – ABCE … (1)

Ahora, si analizamos el cuadrilátero ABEC, notamos que, como todos sus lados son paralelos dos a dos, entonces el cuadrilátero ABEC es un paralelogramo. En consecuencia, si la longitud

del segmento es “b”, por ser ABEC un paralelogramo, entonces la longitud del segmento

también es “b”.

Además, como sabemos que el área de un paralelogramo se obtiene multiplicando su base por su altura, entonces:

AABEC = b x h … (2)

Ahora, si analizamos los triángulos ABC y BCE, observamos que como los segmentos y

tienen la misma longitud “b”, y las alturas y tienen la misma longitud “h”,

entonces los triángulos ABC y BCE son figuras equivalentes; y, como son figuras equivalentes, por este motivo tendrán áreas iguales.

AABC = ABCE … (3)Si reemplazamos las ecuaciones (2) y (3) en la ecuación (1), obtendremos:

Geometría 2


Pasando AABC al lado izquierdo de la igualdad

AABC + AABC = b x h

2AABC = b x h

Dividiendo cada término de la igualdad entre 2:

A = b h 2

xABC Área del Triángulo

Por lo que queda demostrada la fórmula para hallar el área del triángulo.

Esta fórmula del área del triángulo es aplicable a cualquier tipo de triángulo, el cual puede ser:

a) Triángulo EscalenoAquel que no tiene lados iguales, es decir, la longitud de sus lados es diferente.

ac

b

b) Triángulo IsóscelesTiene dos lados iguales, y al tercero se le considera como la base del triángulo.

a a

b

c) Triángulo Equilátero:Es aquel en el cual sus tres lados son iguales.

60º

60º 60º

NOTA:El área del triángulo equilátero se puede hallar directamente si se conoce sólo la longitud de su lado ó sólo la longitud de su altura, haciendo uso de las siguientes fórmulas:

Geometría 3


A = 3

4

l x2

A h = 3 3

x2

óh

La demostración la dejaremos pendiente, pues es necesario conocer nociones básica de una rama de la Ciencia Matemática: la Trigonometría, curso que recién aprenderemos en Tercero de Secundaria. Por este motivo, consideraremos como válidas “a priori” estas dos fórmulas anteriores.

Conceptos Importantes1. Teorema de Pitágoras

Este teorema solamente se aplica a los triángulos rectángulos (aquellos que poseen un ángulo de 90º). En un triángulo rectángulo los lados que se interceptan en un ángulo de 90º se llaman CATETOS y al tercer lado se le conoce como HIPOTENUSA.

Hipotenusa h C2

C1 Catetos

El teorema de Pitágoras se enuncia así: “La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa”.

Es decir: Teorema de Pitágoras

Ejm.Si tenemos el siguiente triángulo rectángulo

h 3

4La longitud de la hipotenusa la podremos hallar haciendo uso del Teorema de Pitágoras. En efecto:

Geometría 4


2. Semejanza de Triángulos ( )Se dice que 2 triángulos son semejantes si cumplen con alguna de lo siguientes 3 criterios:

a) Si al menos dos de sus 3 ángulos internos son iguales:

a

b

c

d

a b c d

b) Si dos lados del primer triángulo son proporcionales a dos lados del segundo, y los ángulos formados por dichos lados son iguales.

a

b

cm

n

p

Si: a b m n

a p m b

c) Si los tres lados del primer triángulo son proporcionales a los tres lados del segundo.

a

b

c m

n

p

Si:

p

c

n

b

m

a

3) Congruencia de Triángulos ( ) .-

Geometría 5


Se dice que dos triángulos son CONGRUENTES (iguales), si cumplen con alguno de estos 3 criterios.

a) Si tienen congruentes un lado y los ángulos adyacentes a él.

a

bcm

a

n

b = m

c = n

b) Si tienen congruentes dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.

a

b

c ma c = m

b

c) Si los tres lados de cada triángulo son congruentes entre ellos.

a

b

c a

b

c

Geometría 6


PROBLEMAS PARA LA CLASE

01. En el paralelogramo adjunto,

y m. Calcular el

área del triángulo sombreado.

A

B

C

D

E

F

G16 m .

10 m

Rpta.:

02. Si el segmento PQ tiene una longitud de 9 metros y la diferencia de las alturas h1 – h2 = 8 m. Calcular el área de la región sombreada.

1

2

h

hP Q

R

Rpta.:

03. Si O es el centro del cuadrado ABCD, el cual tiene un lado de longitud “q”, entonces el área de la región sombreada es

A B

E F

D C

O

qRpta.:

04. El perímetro de un triángulo isósceles

es 16m, si . Calcular el

área del triángulo ABC si sabemos que

.

A

B

CM

Rpta.:

05. Halar el área de un rectángulo ABCD,

si se sabe que = 50 cm y =

40 cm

A

B C

D

Rpta.:

06. Hallar el área de un cuadrado si se sabe que su lado es equivalente al valor del área de un triángulo equilátero de 8 m. de lado.

Rpta.:

07. En la figura, ABCD es un rectángulo dividido en cuatro rectángulos de igual

área. Si mide 24 cm y trazamos

. ¿Cuánto mide ?

Geometría 7


A B

CD F

M

J

Rpta.:

08. Si el área del cuadrado ABCD vale 40 m2. ¿Cuál será el área de la figura sombreada?.

A

B

D

C

Rpta.:

09. La altura del rectángulo ABCD mide “h” y la base los 2/3 de la altura. Si

, el área de la región

sombreada.

A B

D C

E

Rpta.:

10. Se sabe que el siguiente triángulo

equilátero tiene un área de 4 m2.

Determinar en que relación se encuentra su base y su altura (en este mismo orden).

h

Rpta.:

11. La figura ABCD es un trapecio isósceles. Además, BCEF es un cuadrado. Hallar el área de la región sombreada.

A

B C

DEF

10 m

20 m

Rpta.:

12. En el siguiente triángulo rectángulo, se

pide hallar la longitud del segmento .

P

Q

30 cm.

40 cm.

X

Rpta.:

13. Dado el siguiente trapecio ABCD, se pide determinar en que relación se encuentran las áreas de los triángulos ABD y BCD. El área del trapecio ABCD es 85 cm2.

Geometría 8


A

B C

D20 cm.

14 cm.

Rpta.:

14. En el siguiente gráfico, las figuras ABCE y BCDE son paralelogramos. Si el área del triángulo BCE es 18 cm2. Calcular el área del trapecio ABCD.

A

B C

DE

Rpta.:

15. En el siguiente trapecio ABCD, M es

punto medio de y N es punto

medio de AD. Si la longitud del

segmento es 10 cm. Calcular el

área del triángulo ABM. Si además:

A

B

C

D

M

N

6

Rpta.:

16. En el siguiente gráfico, la figura ABCD es un paralelogramo. SI M es punto

medio de y N es punto medio de

. Hallar el área de la región

triangular MNC, si el área del paralelogramo es 100 m2.

A

B C

D

M

N

Rpta.:

Obs: Utilizar el teorema de los puntos medios de un triángulo.

17. En un triángulo rectángulo ABC, recto

en B, desde el pie de la altura se

traza el segmento perpendicular

a . Si y el

área del triángulo rectángulo ABH es 16 m2, entonces el valor de segmento

será:

A

B

CH

S

Rpta.:

18. En un triángulo rectángulo MNP, se conoce que su perímetro es 20 cm. y que el área de este triángulo es 5 cm2. Hallar el valor de su hipotenusa.

Rpta.:19. Dado el siguiente rombo ABCD, donde

M es punto medio del lado y N es

punto medio del lado . Si se sabe

Geometría 9


que el área total del rombo es 16 m2. Hallar el área sombreada.

D

C

A

B

M N

Rpta.:

20. Hallar el área del trapecio MNPQ si se sabe que el área del triángulo rectángulo MNH es 8 m2 y que:

Q H P

M N

Rpta.:

Geometría 10


PROBLEMAS PARA LA CASA

01. El área de la parte sombreada del rectángulo ABCD es:

A B

CD

a) Menor que la mitad del área del rectángulo.

b) La mitad del área del rectángulo.c) Mayor que la mitad del área del

rectángulo.d) Un tercio del área del rectángulo.e) Menor que un tercio del área del

rectángulo.

02. Calcular el área sombreada si: ABCD es un cuadrado cuyo lado tiene 10 cm de longitud.

A

B

D

C

a) 100 cm2 b) 50c) 40 d) 25e) 75

03. Calcular el área del la región sombreada si MNPQ es un cuadrado y MRQ es un triángulo equilátero. El lado del cuadrado MNPQ es 18 cm

M

N P

Q

R

a) 126 cm2 b) 216c) 162 d) 261e) N.A.

04. En un triángulo rectángulo la suma de las longitudes de sus catetos es 7 cm. Calcular el área de la región de dicho rectángulo.

A B

C

5 cm

.Sugerencia: Usar la siguiente identidad algebraica:

(a+b)2 = a2 + b2 + 2ab

a) 5 cm2 b) 6 cm2

c) 8 cm2 d) 10 cm2

e) N.A.

05. Dado el siguiente rombo MNPQ donde

A es punto medio del lado y B

es punto medio del lado Se

pide calcular el área de la sección sombreada, si el área del rombo MNPQ es 64 cm2.

Geometría 11


P

Q

A B

M

N

a) 40 cm2 b) 24 cm2

c) 16 cm2 d) 10 cm2

e) N.A.06. En la figura, las regiones ABCD y CEFG

son cuadrados EDFH es un rectángulo . Si se sabe que el área del rectángulo EDFH es 42 cm2 y el área del cuadrado ABCD es 169 cm2 (GH > GF). Calcular el área del cuadrilátero ABGH.

A

B C

D

G

E F

H

a) 175 cm2 b) 49 cm2

c) 600 cm2 d) 260 cm2

e) N.A.

07. En el siguiente gráfico, la figura MNPQ es un paralelogramo. Si A es punto

medio de y B es punto medio

del lado . Calcular el área de la

región sombreada, si el área del paralelogramo es 600 cm2.

A

B

P

QM

N

a) 700 cm2 b) 75 cm2

c) 80 cm2 d) 650 cm2

e) 525 cm2

08. En la siguiente figura, MNPQ es un cuadrado, cuyo lado tiene una longitud de 16 cm. Calcular el área de la región sombreada, si X es el centro cuadrado

y es paralelo a y pasa por

el punto X.

M

N P

Q

SRX

a) 96 cm2 b) 69 cm2

c) 44 cm2 d) 60 cm2

e) N.A.

09. En el siguiente paralelogramo ABCD,

M es el punto medio del lado , O

es el punto medio de la altura y

N es el punto medio del lado .

Si = 6 cm. Hallar el área del

triángulo rectángulo MBO.

A

B C

DH

OM N 10 cm.

(Sugerencia: usar semejanza de triángulos)

a) 10 cm2 b) 6 cm2

c) 16 cm2 d) 12 cm2

e) N.A.

Geometría 12


10. En el siguiente gráfico, los 4 triángulos pequeños son equivalentes. Hallar el área del triángulo grande.

5 cm

4 cm

a) 40 cm2 b) 25 cm2

c) 30 cm2 d) 10 cm2

e) 20 cm2

11. Hallar el área del triángulo sombreado si el área del triángulo ABC es 90 cm2.

10

10

a) 25 cm2 b) 20 cm2

c) 15 cm2 d) 10 cm2

e) N.A.

12. Si el siguiente cuadrilátero está formado por 2 triángulos equiláteros de igual área. Hallar el área total del cuadrilátero.

8 cm

a) 64 b) 32

c) 32 cm2 d) 64 cm2

e) N.A.

13. Hallar el área del triángulo BOP si O

es el centro del cuadrado y es

paralelo a .

D

A B

C

P

O8 cm

Geometría 13


a) 8 cm2 b) 18 cm2

c) 4 cm2 d) 16 cm2 e) N.A.

14. Colocar V o F según corresponda.

a) Dos triángulos son congruentes si tienen 1 ángulo y 1 lado congruente.

b) El área de un triángulo rectángulo es el semiproducto de sus catetos.

c) El teorema de Pitágoras se aplica a cualquier tipo de triángulo.

a) VFV b) VVFc) FFF d) FFV

e) FVF

15. Calcular el área de la región sombreada, si la base media del trapecio mide 19 cm

10 cm

5 cm

a) 12 cm2 b) 8 cm2

c) 10 cm2 d) 6 cm2

e) N.A.

Geometría 14


TEMA: ÁREA DE UN CUADRILÁTERO

Una vez conocidos estos teoremas importantísimos, estamos en condiciones de definir (y también de demostrar) el área de las principales figuras geométricas. Empezaremos por los cuadriláteros.

Los cuadriláteros son figuras geométricas que poseen cuatro lados. Los cuadriláteros pueden ser:

* Rectángulo. * Cuadrado * Rombo * Paralelogramo * Trapecio

A continuación, pasaremos a detallar (y en algunos casos demostrar) el área de cada uno de estos cuadriláteros.

1. Área del rectánguloUn rectángulo es una figura geométrica que posee 4 lados paralelos dos a dos, e interceptados bajo un ángulo de 90º. Los lados paralelos tienen igual longitud. El área de cualquier rectángulo se obtiene multiplicando la longitud de su base por la longitud de su altura.

A = B hXRECTÁN G ULOH

B

Demostración: ¿AABCD = h x b?

B

A

C

DA

h

M

N P

Q

H

B

A 1

b

Para realizar la demostración de que el área del rectángulo ABCD es A = h x b, haremos una construcción auxiliar: dibujaremos un rectángulo MNPQ de altura “H” y base “B”, donde H = B = 1; es decir, tenemos un rectángulo de lado unitario. Este rectángulo será la unidad de área, es decir A1 = 1. (Nótese que como la base y altura son iguales, este rectángulo recibe el nombre de “cuadrado”).

Sabemos, por el Cuarto Teorema, que las áreas de 2 rectángulos son proporcionales al producto de su base por su altura respectiva. Entonces:

…. (1)

Pero sabemos que A1 es uno, y que H = B = 1.Entonces reemplazando estos valores en la ecuación (1).

: Área del rectángulo

Por lo que queda demostrada la fórmula para hallar el área del rectángulo.2. Área del Cuadrado

Un cuadrado es un tipo particular de rectángulo, donde la longitud del la base es igual a la longitud de la altura. El área del cuadrado se obtiene elevando al cuadrado la longitud de la base, o elevando al cuadrado la longitud de la altura. Es decir, multiplicando h x h ó b x b.

Geometría 15


LD

L

Demostración:Puesto que conocemos que el área del rectángulo es:

A = h x b

Y como hemos dicho, en un cuadrado: h = b = L

Área del CuadradoObs. El área del cuadrado también puede obtenerse así:

Donde D es la diagonal del cuadrado

3. Área del ParalelogramoUn paralelogramo es una figura de 4 lados, donde sus lados son paralelos dos a dos, pero donde el ángulo de intersección de los lados es distinto a 90º.

El área de un paralelogramo se obtiene multiplicando la longitud de su base por la longitud de su altura; es decir, igual que el área del rectángulo, puesto que el paralelogramo es un tipo de rectángulo al cual se le han inclinado dos lados.

Demostración:hxbA ABCD

A

h

C

DE Fb

B

Primero, debemos notar que tanto los segmentos tienen la misma longitud, así como los segmentos Para demostrar que el área del paralelogramo es A = b x h

haremos una construcción auxiliar: prolongaremos el segmento y trazaremos las

perpendiculares . Entonces se formarán los triángulos rectángulos ABE y CDF y el cuadrilátero EBCF.Ahora, hallaremos el área del paralelogramo ABCD mediante el uso de suma y diferencia de áreas.

Entonces: AABCD = AEBCF + AABE – ACDF …(1)

Ahora, analicemos el cuadrilátero EBCF: observamos que los segmentos son paralelos y sabíamos que los segmentos eran paralelos, y como el ángulo de intersección de los lados es 90º, entonces el cuadrilátero EBCF es un rectángulo.

Entonces: AEBCF = = b x h … (2)

Geometría 16


Ahora, analicemos los triángulos rectángulos ABE y CDF: como los segmentos son iguales y los ángulos interiores de los triángulos son iguales, entonces los dos triángulos son idénticos, (figuras equivalentes), por lo que tendrán la misma área.

Entonces: AABE = ACDF … (3)

Si reemplazamos las ecuaciones (2) y (3) en la ecuación (1), obtendremos:

Área del Paralelogramo

Por lo que queda demostrada la fórmula para hallar el área del paralelogramo.

Notas:a. Un triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo de 90º como ángulo interior.b. Se dice que dos rectas o segmentos que pertenecen a un mismo plano son PARALELOS si,

por más que extendamos dichas rectas o segmentos, estas dos nunca, se cortarán. Un ejemplo de rectas paralelas son las líneas horizontales de un cuaderno cuadriculado.

c. Se dice que dos rectas o segmentos que pertenecen a un mismo plano son PERPENDICULARES si dichas rectas o segmentos se cortan en un ángulo de 90º. Un ejemplo de rectas o segmentos se cortan en un ángulo de 90º. Un ejemplo de rectas perpendiculares sería el cruce de una línea horizontal de un cuaderno cuadriculado con una línea vertical del mismo,

d. Cada vez que hablemos de la altura se considerará que la altura es perpendicular a la base de la figura analizada.

4. Área del Rombo:Un rombo es una forma particular del paralelogramo, en donde las diagonales de éste paralelogramo se cortan perpendicularmente (en un ángulo de 90º).

El área de un rombo se obtiene multiplicando las longitudes de sus diagonales y dividiendo el resultado entre dos. Es decir:

M P

Q

A1

2

3

4

A

A A

d

Si la diagonal MP es “d” yla diagonal NQ es “D”

Entonces

A = D d 2

x

N

D

Nota:

A1 = A2 = A3 = A4 si el rombo es simétrico

5. Área del Trapecio

Geometría 17

ABEABEDABC

CDFABEEBCFABCD

AAhxbA

AAAA


Un trapecio es un cuadrilátero que posee dos lados paralelos conocidos como base mayor (el lado más grande) y base menor (el lado más pequeño) y dos lados no paralelos.

El área de un trapecio se obtiene sumando la base mayor con la base menor dividiendo el resultado entre dos y, finalmente, multiplicando este resultado por la longitud de la altura del trapecio. A = b + B HxTR A PE C IO

2

2

B

b

bm

2

Donde:b : base menorB : base m ayorbm : base m ediaH : altura

Nota:A esta semisuma (suma dividida entre 2) de la base mayor y la base menor se le conoce como BASE MEDIA. La base media viene a ser un segmento que se encuentra a la misma distancia de la base mayor y la base menor (H/2); es decir se encuentra en el “medio” de las 2 bases, además es paralela a ellas.

Por lo que el área del trapecio también se puede formular así:

ATRAPECIO = bm x H .

Geometría 18



01. Se tiene un cuadrado de lado “L” y área “A”. Si se aumentan 2 metros al lado del cuadrado, entonces el área del mismo queda aumentada en 36 m2. Hallar el valor de L.

02. Hallar el área de la región sombreada, sabiendo que la figura exterior ABCD es un cuadrado, cuyo lado tiene una longitud de 6 cm

1 cm

1 cm

1 cm

1 cm

A

B C

D

03. Si el área del cuadrado ABCD es 40 m2. ¿Cuál será el área de la figura sombreada?.

A

B C

D

04. En la siguiente figura el área del trapecio MNCD es de 16 cm2 y del triángulo NCP es de 54 cm2. Hallar la relación de áreas de los trapecios ABNM y ABCD, sabiendo que es la base media del trapecio ABCD y

es paralela a .A B

CD

M N

P

05. La siguiente figura es un trapecio isósceles, cuya base media es y su altura es

“a”. P es el punto medio de la base mayor . Hallar el área total de las regiones

sombreadas en función de “a”.

Observación:Se dice que un trapecio es isósceles si los dos lados no paralelos tienen la misma longitud. Entonces, en la figura

.

A

B C

DP

2a

4a

06. ¿Qué porcentaje del área del rectángulo es el área de la región sombreada?. Si se sabe que

A

B C

D

N

M

P

07. Si se sabe que es la base media del trapecio que aparece a continuación y que el área del mismo es 48m2.´¿Cuál es la longitud de su altura?

M N8

08. Si un cuadrado aumenta en 10% la longitud de su lado. ¿En cuánto aumento su área?.

09. Hallar el área del siguiente rectángulo.

Geometría 19


3.5 m

15.38 m

10. El perímetro de una figura geométrica se representa por “2p” y es igual a sumar las longitudes de todos y cada uno de los lados de la figura geométrica.Si el siguiente rectángulo tiene un perímetro igual a 44 m. Hallar la longitud de su base y de su altura.

11. Alejandro Fernández posee un terreno rectangular. Él desea cercarlo para evitar posibles invasiones. Él sabe que su terreno tiene un área total de 1440 m2. Además sabe que el largo del terreno es 10 veces el ancho del mismo. ¿Cuántos metros de madera de 2m. de alto debe comprar para cercarlo completamente?

A = 1440 m2

CercoPerim étrico

12. La siguiente figura es un rombo.

A

C

D

B

Si se sabe que la diagonal mayor

y la diagonal menor se

encuentran en la siguiente relación:

. Si el área total del rombo

es 845 cm2. Hallar las longitudes de

las diagonales y .

13. Dado el siguiente rombo simétrico.

A C

D

B

E

Si se sabe que el área del triángulo ABE es 25m2. ¿Cuál será la longitud del lado (L) de un cuadrado que sea equivalente a este rombo?.

14. En el siguiente cuadrado

LD

L

L

L

El valor de D = m. ¿Cuál será el valor de L?

15. En la siguiente figura:

A

B C

D E

Se sabe que el área del triángulo ABD es 144m2. ¿Cuál será el área del paralelogramo BCDE?.

16. Hallar el área de la región sombreada.

Geometría 20


A

B

C

D

E F

G

M

A

Si se sabe que el área total de la región ACGF es 105 m2 y además se sabe que = 10m., = = 5m y la base media del trapecio ABDE es 8m. CGFE es un paralelogramo.

17. Hallar el área del paralelogramo ABCD.

A B

CD

M

N

Si el área del rectángulo DMBN es 1445 m2, donde:

y además

= = 1m.

18. Hallar el área del siguiente rectángulo

N

M

D

P

Q

Si se sabe que el rectángulo MNPQ está formado por 3 cuadrados idénticos, que tienen una diagonal de

longitud D =

19. Antiguamente, se conocía como “Lima Cuadrada” a un conjunto de manzanas (viviendas distribuidas en forma de cuadrado), distribuidas justamente en una forma cuadrada. Si la longitud de una manzana es 100 m. y la distancia de separación entre manzana y manzana es de 5 m. ¿Cuál era el área de “Lima Cuadrada”?. Si se sabe que en cada lado del gran cuadrado habían 10 manzanas.

20. Si la base de un rectángulo es el doble de su altura y su base es 288 m2. Si tomamos sus dimensiones y con cada una formamos dos cuadrados. ¿Cuál será el área de cada uno de ellos?.

Geometría 21



01. Hallar el área del siguiente cuadrado ABCD.

A B

CD

M N

Si el área del rectángulo MNDC es 96 cm2. Todos los cuadraditos son equivalentes.

a) 288 cm2 b) 244 c) 828d) 144 e) N.A.

02. ¿Qué porcentaje del área del rectángulo es el área de la región sombreada?.

a) 25% b) 10% c) 50%d) 75% d) N.A.

03. Hallar el área de la región sombreada, si se sabe que FGHI es trapecio.

B C D

A G F E

H I

10 cm.

Además se sabe que ABCG y CDEF son paralelogramos idénticos, donde

= 5 cm. y = 10 cm. y =

5 cm.

a) 25 cm2 b) 15 c) 18d) 20 e) N.A.

04. Si en la siguiente figura:

A B

CD

M N

Q P

Se sabe que las áreas de los dos cuadrados están en la siguiente relación.

y que el área de la región sombreada es 196 m2. Hallar la diagonal del cuadrado MNPQ.

a) 8 m b) 7 c) 2

d) 2 m e) N.A.

05. Juan Carlos decide ir en la semana de Fiestas Patrias a Ica. Para ello decide ir en su auto. Pero cuando le faltan “k” metros para llegar, descubre que están asfaltando la autopista, por lo que no puede avanzar. Si la autopista tiene 5m de ancho y faltan por asfaltar 4500 m2 de pista. Hallar “K”. Considerar a la autopista como un rectángulo.

a) 900 m b) 800 c) 700d) 600 e) 500

06. El colegio Nuestra Señora de Guadalupe ha decidido pintar la fachada y todo el contorno del colegio. Si las 4 paredes tienen una base de 60 m y una altura de 20 m. ¿Cuánto le costará pintar todo?. Si se sabe que por cada 100 m2 se utiliza un galón de pintura que cuesta S/.25?.

Geometría 22


a) S/. 1600 b) S/.1400c) S/. 1200 d) S/.1800e) S/. 2000

07. En el siguiente cuadrado:

L D

L

L

L

El valor de D = m. ¿Cuál será el

valor de L?.

a) 8 m b) 2 c) 16d) 32 e) 4

08. En la siguiente figura:A B

CD E

ABCD es un rectángulo y ABCE es un paralelogramo. SI el área del paralelogramo es 105 m2 ¿Cuánto será el área del rectángulo?

a) 210 m b) 115 m2 c) 80 m2

d) 105 m2 e) N.A.

09. Si el área del cuadrado ABCD es 1600 cm2. ¿Cuál será el área de la región sombreada?. Todos los cuadrados son idénticos.

A B

CD

a) 100 cm2 b) 200c) 300 d) 500e) 400

10. Hallar el área de la región sombreada, sabiendo que la figura exterior ABCD es un cuadrado, cuyo lado tiene una longitud de 6 cm.

A B

CD

3 cm.

3 cm.

1 cm.

2 cm.

a) 60 cm2 b) 32 c) 18d) 44 e) 16

11. Se tiene un cuadrado de diagonal “D” y área “A”. Si se aumenta 2 unidades a la diagonal, entonces el área aumenta en 30u2. ¿Cuál es el valor de “D”? ¿Cuál es el valor de “A”?. Dar como respuesta su semisuma (la mitad de su suma).

a) 36 m2 b) 56 c) 112d) 144 e) N.A.

12. El área de un rectángulo es 216 m2 y su base es 6 metros mayor que su altura. Hallar sus dimensiones y dar como respuesta el cociente de ambas (menor entre mayor).

a) 2/3 b) 4/3 c) 3/2d) 3/4 e) N.A.

13. Hallar el área de la región sombreada:

A

B C

DEF

Geometría 23


Si ABCD es un trapecio isósceles y el área del cuadrado BCEF es 40 m2 y el área del triángulo CED es 10 m2.

a) 20 m2 b) 40c) 30 d) 50e) N.A.

14. Se tiene 2 cuadrados. El primero tiene un lado de 4m. de longitud y el

segundo tiene una diagonal de

m. ¿Cuál es la relación de áreas entre el primero y el segundo (en ese orden)?

a) 1/2 b) 1/4c) 4 d) 3e) 2

15. Colocar V ó F:

a) En todo rombo, las 4 áreas que delimitan sus diagonales son iguales

b) Las áreas de un rectángulo y un paralelogramo se obtienen de la misma fórmula.

c) El área de un triángulo delimitado por los extremos de un rectángulo y su diagonal es la mitad del área del rectángulo.

a) VVF b) FVFc) FFF d) VVVe) FVV

Geometría 24


TEMA: ÁREA DE SUPERFICIES CIRCULARES

A continuación detallaremos como obtener el área de superficies circulares. La base es el área del círculo, así que apréndete bien la fórmula para su área y las demás te serán fáciles.

1. Área del CírculoUn círculo es una figura geométrica que tiene la particularidad de que la distancia que existe entre su centro (0) y sus extremos es siempre constante; a dicha distancia se le conoce con el nombre de RADIO (r).

B

AO

r

r

r

Figura I

Observacionesa) Hay que tener cuidado de no confundir círculo con circunferencia. La circunferencia es la

línea que delimita el área circular, es decir, el borde del círculo; en cambio, el círculo abarca la circunferencia y todo el espacio (área) que ésta encierra.

b) Cuando dos radios forman parte de una misma recta, es decir son colineales (como en el caso de los radios ), al segmento que va desde un extremo a otro de la

circunferencia pasando por su centro (segmento ) se le denomina DIÁMETRO (D).

D = 2r

c) La longitud de la circunferencia (L) se puede obtener así:L = 2r ó L = D

El área de un círculo es proporcional al cuadrado del radio del círculo. La constante de proporcionalidad es un número irracional que recibe la notación de la letra griega (pi).

= 3.1415927…

Es decir, el área de un círculo se puede calcular así:

Área del Círculo

La demostración de ésta fórmula la dejaremos pendiente, pues es necesario conocer conceptos de Matemática Superior, específicamente en el campo de Límites de funciones, tema que (generalmente) se aborda en cursos de Álgebra Universitaria. Por este motivo, consideraremos como válida “a priori” esta fórmula.

9. Área de una Corona CircularUna corona circular es una superficie delimitada por las circunferencias de dos círculos concéntricos (dos círculos son concéntricos si tienen el mismo centro).

Geometría 25


R

r

Corona Circu lar

El área de una corona circular se obtiene multiplicando por a la diferencia de los cuadrados de los radios de cada círculo. Es decir:

R

r

A

22 rRA x

Figura II

Demostración:

Sea la corona circular de la figura II, cuyas longitudes de sus radios son r y R para el círculo menor y círculo mayor respectivamente.

Consideraremos que el área del círculo de radio “r” es A1 y el área del círculo del radio “R” es A2.

Entonces, podemos representar el área de la corona circular (A) de la siguiente manera:

A = A2 – A1 … (1)

Pero, como sabemos que el área de un círculo es igual a por el radio elevado al cuadrado, el área del círculo de radio “r” lo podemos expresar así:

A1 = x r2 … (2)Y el área del círculo de radio “R” lo podemos expresar así:

A2 = x R2 … (2)

Ahora, reemplazando las ecuaciones (2) y (3) en la ecuación (1) obtenemos:

Geometría 26


Factorizando de cada sumando, obtenemos:

Área de una corona circular

Por lo que queda demostrada la fórmula para obtener el área de una corona circular.

10. Área de un Sector Circular:

Un sector circular es una porción del círculo, que tiene la particularidad de estar limitado por 2 radios y por la circunferencia asociada al círculo.

El área de un sector circular se obtiene multiplicando la longitud del arco asociado al sector circular por el radio del círculo y dividiendo éste resultado entre dos.

NOTA: El arco de un sector circular viene a ser la porción de la circunferencia que limita al sector circular. La longitud del arco de un sector circular se denota por “l” y es igual a:

Donde es la medida del ángulo que forman los 2 radios que delimitan al sector universal.

La medida del ángulo debe darse en grados sexagesimales, los cuales se pueden obtener empleando cualquier transportador.

Demostración:r

r

O A

P

Q

A = r

2

b xPO Q¿ ?

Lo primero que debemos saber, previo a la demostración de ésta fórmula, es que un círculo completo tiene 360º (¡Compruébalo con tu transportador”).

Ahora, sabemos que el área de un círculo se obtienen así: A = r2 y que este círculo barre un ángulo de 360º. Si usamos una Regla de Tres Simple podremos hallar el área de un sector circular de “” grados puesto que consideraremos al círculo como un sector circular de 360º

ÁNGULO ÁREA

Geometría 27


Si: 360º r2

Si: A = ? ?

A = … (I)

Si arreglamos este resultado convenientemente, obtendremos:

)1(...2º180

rrA

x

Xxx

Pero: … (2)

Entonces, reemplazando la ecuación (2) en la ecuación (1), obtendremos:

Área de un Sector Circular

OBSERVACIONES:a. A pesar de que la anterior fórmula es la presentación formal de cómo hallar el área del

sector circular, podemos hacer uso directamente de la fórmula (I), ya que es más directa.b. Al sector circular también se le llama SECCIÓN CIRCULAR, por ser una parte del círculo.

c. El área de un sector circular es equivalente a la de un triángulo que tenga por base la longitud del arco que limita al sector y que tenga por altura la longitud del radio de la circunferencia.

En efecto:

r

O

r

r

A B A B

O

r

2

rA

2

rA

xx

TR IÁ N G U LOC IR C ULA RS E CTO R

ll

Esto se debe a que el sector circular es una clase particular de triángulo, llamado TRIÁNGULO MIXTILÍNEO, el cual está formado de líneas rectas y líneas curvas.

Geometría 28


11. ÁREA DE UN TRAPECIO CIRCULAR

Un trapecio circular viene a ser una sección (porción) de una corona circular.

El área de un trapecio circular limitado por 2 arcos y por radios diferentes de dos círculos se puede calcular mediante la siguiente fórmula:

º3 6 0

rRA

22

Trapecio Circular

Demostración:

P QM N

R

A

º3 6 0

rRA

22xx

¿ ?

MN=

PQL

Consideremos que en el anterior gráfico el área del trapecio circular MNPQ es “A”. El círculo mayor tendrá un radio de longitud “R” y la longitud de su arco PQ será “L”. El círculo menor tendrá un radio de longitud “r” y la longitud de su arco MN será “l”. El ángulo entre los radios

y será “”.

El área del trapecio circular se puede expresar como la diferencia del área del sector circular OPQ menos el área del sector circular OMN.

Entonces:AMNPQ = AOPQ – AOMN … (1)

Pero sabemos que el área de un sector circular es

AOPQ =

AOMN =

Geometría 29


Pero, usando el concepto de longitud de arco, tenemos:

AOPQ =

AOPQ = … (2)

AOMN =

AOMN = …(3)

Esto se debe a que el ángulo para las dos secciones circulares es el mismo y es igual a “”.

Ahora, reemplazando las ecuaciones (2) y (3) en la ecuación (1), obtenemos:

Factorizando de cada sumando, obtenemos:

Área del Trapecio Circular

Por lo que queda demostrada la fórmula para hallar el área de un trapecio circular.

Observaciones:

Geometría 30


a. La demostración de ésta fórmula también podría obtenerse mediante una regla de tres simple, haciendo una comparación entre el área de una corona circular (asociada a un ángulo de 360º) y el área de un trapecio circular (asociado a un ángulo ).

b. El área de un trapecio circular es equivalente a la de un trapecio rectilíneo que tenga por bases a los arcos rectificados que limitan al trapecio circular y por altura la diferencia de los radios.

En efecto:

A

DC

O

R

L

B

r

R - r

C D

A BL

R - r

Pero: y

Geometría 31


12. Área del Segmento CircularUn segmento circular es una porción de un sector circular que se encuentra delimitada por el arco de la circunferencia asociado al sector circular y el segmento que une las intersecciones de los radios con la circunferencia.

A BSegm ento Circular

El área de un segmento circular se obtiene mediante la diferencia del área del sector AOB con el área del triángulo AOB.

ÁREA DEL SEGMENTO CIRCULAR

Esta formula no necesita mayor demostración.

Geometría 32



01. Si ABCD es un cuadrado de 4 cm. de longitud. Hallar el arco de la región sombreada.

A

B C

D

4

4

02. Hallar el área del siguiente círculo, si los puntos A, B, C y D del cuadrado pertenecen a la circunferencia y la

diagonal del cuadrado mide .

A

B C

D

03. En el siguiente gráfico, ABCD es un rectángulo. Si los 2 círculos tienen igual área y su radio “r” es 4 cm. Calcular el área de la región sombreada.

A

B C

D

r

r

04. Si la figura ABC es un triángulo equilátero cuyo lado tiene una longitud de 10 cm Además P, M y N con los

puntos medios de los lados ,

y respectivamente. Hallar

el área de la región sombreada.

A B

C

MN

P

05. En la siguiente figura, calcular el área de la región sombreada.

A B

8 m

06. Si ABCD es un cuadrado de 6 cm. de lado, el área sombreada en la figura mostrada es igual a:

A

B C

D

(sugerencia: usar traslación de áreas)

Geometría 33


07. En la siguiente figura se observa al rombo ABCD cuyos lados son dos radios y dos cuerdas de una circunferencia de 16 cm. de radio. Los ángulos de OAB y OBC son de 60º. Hallar el área del rombo.

A

B

C

O

08. Hallar el área de un sector circular cuyo ángulo central mide 90º y su radio es igual al lado de un cuadrado

de cm. de diagonal.

09. Si en una competencia automovilística que se realiza en un circuito circular se sabe que para ganar la competencia el corredor debe dar 40 vueltas. ¿Cuántos metros recorre el ganador en la competencia si el área del círculo es 16900 m.

10. Hallar el área de una corona circular cuyo radio interior y exterior tienen 13 y 12 metros, respectivamente.

11. Hallar el área de un círculo cuyo radio tiene una longitud igual al de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 cm. respectivamente.

12. En la siguiente figura MNPQ es un cuadrado. Si X es el centro del cuadrado. Hallar el área de la región sombreada.

M

N P

Q

8 cm O

13. En la figura siguiente, “B” es punto

medio de y “E” es medio de

. Calcular el área de la región

sombreada.

A B

C

D

E

F

12 cm

O

30º30º

30º

Rpta.:

14. Calcular el área de la región sombreada si el triángulo ABC es equilátero. Además, el radio de la circunferencia es 12 cm. “H” es punto medio del segmento

y mide 6 cm.

A B

C

H

O

Geometría 34


15. Calcular el área sombreada si MNPQ es un cuadrado de 10 cm. de lado y los 4 sectores circulares son equivalentes.

M

N P

Q

16. Hallar el área de la región total sombreada, si el triángulo ABC es rectángulo y su hipotenusa tiene una longitud de 8 cm.

45º 45º

A

B

C

17. Calcular el área de la región sombreada

mide 40 cm. Q es tangente a la

circunferencia interior.

M

N

QO

18. Calcular el área de la región sombreada si ABCO es un trapecio y OAC es un sector circular de radio r = 8 cm. y ángulo central de 60º. Además

.A B

CMO

19. Calcular el área de la siguiente corona circular, si el cuadrado tiene un área de 64 m2 y es tangente al círculo interior.

O

20. Hallar el área del trapecio circular sombreado si R = 25 cm. y r = 24 cm.

60º

R

O

r

Geometría 35


Geometría 36



01. Si ABCD es un cuadrado de 8 cm de lado, calcular el área de la región sombreada.

A

B C

D

a) 16 (4-) cm2 b) 32(4-) cm2

c) 32(2-) cm2 d) 4(32-) cm2

e) 16(2-) cm2

02. Halla el área de la región sombreada

si = 16 cm.

A B

a) 32(-1) cm2 b) 16(2-1) cm2

c) 64(-1) cm2 d) 32(-2) cm2

e) 64(-2) cm2

03. Si ABCD es un cuadrado de 148 cm. de lado, el área de la figura sombreada es:

O

a) 10124 cm2 b) 7894

c) 16428 d) 16248e) N.A.

04. Hallar el área de un trapecio circular si el radio mayor tiene 50 cm., el radio menor tiene 48 cm. y el ángulo central tiene 120º.

a) 196/3 cm2 b) 169/3 cm2

c) 173/3 cm2 d) Faltan datose) N.A.

05. Hallar el área del siguiente sector circular, si su ángulo central es 120º

M

N

Q

O 8 cm

8 cm 4 cm

a) b)

c) d)

e) Faltan datos.

06. Hallar el área de la región sombreada

si y ABC es un triángulo

rectángulo (recto en B).

Geometría 37


A

B

C

4 2a) 4(2-1) cm2 b) 8(-2) cm2

c) 4(-3) cm2 d) 6(-1) cm.e) 8(-1) cm2

07. Hallar el área de la región sombreada si ABCD es un trapecio y OBC es un

triángulo equilátero. OH =

A

B

O

C

D

8 cm

H

a) 16(- )cm2 b) 8(- )

c) 16(2-3 ) d) 16(2- )

e) N.A.

08. Hallar el área del siguiente trapecio circular si R = 13 cm. y r = 12 cm.

RR

72º

a) 5 cm2 b) 52

c) 15 d) 10e) Faltan datos.

09. Calcular el área de la región sombreada si ABCD es un trapecio y ACD es un sector circular, donde la medida de su ángulo central es 60º. Además de su ángulo central es 60º.

Además .

A

B C

DM

30º

10

a) b)

100

c) 100 d)

100e) Faltan datos.

10. Hallar el área de la región sombreada, si ABCD es cuadrado cuyo lado mide 10 cm.

A B

D C

a) 25(2-/2) cm2 b) 25(2-) cm2

c) 5(10-) cm2 d) 25(4-/2) cm2

e) Faltan datos.

Geometría 38


11. Hallar el área de la región sombreada, si R = 2r. Además r = 13 cm.

O

a) cm2 b)

c) d)

e) N.A.

(Sugerencia: usar traslación de áreas)

12. Hallar el área de la región sombreada, si MNPQ es un cuadrado, donde la longitud de su lado es 130 cm.

(Sugerencia: usar traslación de áreas)

a) cm2 b) cm2

c) cm2 d) 2 cm2

e) Faltan datos

13. En el siguiente grafico, ABCD es un paralelogramo. Si la longitud del lado

es 8 cm. y la longitud del

segmento es 4 cm. Calcular el

área de la región sombreada.

C B

H30º

AD

Geometría 39


a) 32 (1-/6) cm2 b) 32(1-/3) cm2

c) 64(2-/6) cm2

d) 32(1-/9) cm2

e) Faltan datos.

14. Hallar el área de la región sombreada si AOD = DOC = BOC

A

C

O

D

B

6 cm

a) 16 cm2 b) 6

c) 9 d) 18e) N.A.

15. Colocar V o F según corresponda:

i. El área de un trapecio circular ( )es análogo al área de un trapecio rectilíneo

ii. El área de un sector circular se ( )puede calcular por regla de tres simple

iii. El número es un número ( )irracional

a) VFV b) FVVc) VFF d) VVVe) N.A.

Geometría 40


CUADRO RESUMEN: ÁREAS DE POLÍGONOS

FIGURA ÁREA

Rectánguloh

b

A = b x h

Cuadradoa

a

DA = a2 ó A =

Triángulo h

b

A =

Paralelogramo

b

h A = h x b

Trapecio h

b

B

Rombod

D

Círculor

A = r2

Corona Circular R r A = (R2 – r2)

Sector Circularr

rA =

Trapecio Circularr

RA =

Segmento Circular

A B

Geometría 41


TEMA: OPERACIONES CON ÁREAS

I. IntroducciónNosotros conocemos diversas formas geométricas: conocemos el círculo, el cuadrado, el rectángulo, el rombo, el trapecio, el paralelogramo, el triángulo, … además de otras formas geométricas que no tienen denominación particular, pero que también se nos han presentado alguna vez. La forma que tiene cada una de éstas entidades geométricas se denomina SUPERFICIE. Por lo que no existen superficies cuadradas, circulares, rectangulares, etc. La medida de una superficie se denomina ÁREA. El área se refiere al tamaño. Para efectuar la medida de una superficies (es decir, calcular el área de la superficie) se toma como unidad un cuadrado que tenga por lado la unidad de longitud. Pero en la práctica, el cálculo del área de una figura geométrica se efectúa de manera indirecta es decir se efectúa la medición de la longitud de alguno de los elementos de la figura y se realiza ciertas operaciones específicas con dichas medidas.

II. Suma de Áreas, Diferencia de Áreas:Las áreas tienen como una de sus propiedades, la propiedad de la aditividad. Esto quiere decir que el área de una superficie compleja se puede obtener sumando las respectivas áreas de las diversas figuras geométricas simples que la componen. De forma análoga, si queremos hallar el área de una superficie cualquiera, podemos obtenerla como la diferencia de otras dos áreas.

Ejemplos: Si tenemos el siguiente trapecio:

A B

CD

A

A 1

2

1. Para hallar el área A del trapecio, la podremos obtener SUMANDO el área A1 y el área A2, es decir sumando las respectivas áreas de los triángulos ADC y ABC. Por lo tanto:

Área delTrapecio

A = A + A1 2

2. Igualmente, si quisiéramos obtener el área del triángulo ABC, la podríamos hallar RESTANDO el área del trapecio ABCD menos el área del triángulo ADC. Por lo tanto:

Área delTriángulo ABC

A = A - A1 2

Nota:El área de una superficie geométrica se denota con una letra “a” mayúscula. Sin embargo, en varios libros el área de una superficie geométrica se denota con una letra “S” mayúscula. Si bien estas notaciones se pueden usar indistintamente, nosotros usaremos la primera de éstas Área = A.

III. Figuras Equivalentes

Son aquellas que son iguales o pueden obtenerse como suma o diferencia de figuras iguales. Todas las figuras equivalentes tienen IGUAL ÁREA.

Geometría 42


Del mismo modo, si dos figuras geométricas tienen igual área, se dice que son figuras equivalentes.

Es decir, dadas las siguientes figuras:

AA 1 2

A

B C

D M

N P

Q

Donde: A1 es el área del cuadrado ABCD y A2 es el área del paralelogramo MNPQ, si A1 = A2

entonces las dos son figuras equivalentes.

Las figuras equivalentes tienen algunas características:

1. IdenticidadA es equivalente a A.

2. ReciprocidadSi A1 es equivalente a A2, entonces A2 es equivalente a A1.

3. TransitividadSi A1 es equivalente a A2 y A2 es equivalente a A3

Entonces A1 es equivalente a A3

* Estas características las podremos notar mejor en el desarrollo del tema.

* Antes de presentar las fórmulas para hallar el área de las principales figuras geométricas, con sus respectivas demostraciones, enunciaremos algunos teoremas imprescindibles, con el objeto de entender de una manera óptima las posteriores demostraciones.

A. Primer Teorema“Si dos rectángulos tienen igual base e igual altura, entonces los dos rectángulos son iguales”

A

B C

D

Altura (h): 3

4

Base (b)

P Q

RS

h = 3

b = 4

Como tanto la base como la altura de los rectángulos ABCD y PQRS son las mismas, entonces los rectángulos son iguales.

B. Segundo Teorema“Si dos rectángulos tienen iguales las bases, sus áreas son proporcionales a las alturas de cada uno de ellos”

Geometría 43


A 1

A

B C

D

A 2

M

N P

Q

3

4

5

4

Como los dos rectángulos tienen igual base (b= 4), entonces sus áreas son D.P. a sus alturas.

C. Tercer Teorema:“Si dos rectángulos tienen las alturas iguales, sus áreas son proporcionales a las bases”.

D. Cuarto Teorema:“Las áreas de dos rectángulos son proporcionales a los productos de sus bases por sus alturas”

A 1

A

B C

D

A 2

M

N P

Q

h

bB

H A 3H

S T

UR b

Demostración:

Haremos primero una construcción auxiliar y formaremos un rectángulo RSTU con base “b” (igual a la del rectángulo ABCD) y con altura “H” (igual que la del rectángulo MNPQ).

Sabemos, por el Segundo Teorema, que como los rectángulos ABCD y RSTU tienen la misma base (“b”), entonces sus áreas serán proporcionales a sus alturas.

Entonces:

… (1)

Además, por el Tercer Teorema, sabemos que como los rectángulos MNPQ y RSTU tienen la misma altura (“H”), entonces sus áreas son proporcionales a sus bases. Entonces:

Geometría 44


… (2)

Al observar las ecuaciones (2) y (3), notamos que estas ecuaciones son iguales, ya que indican a qué es igual el área A3.

Por lo tanto:

Por lo que queda demostrado el Cuarto Teorema

Relaciones Importantes entre Áreas:

I. Triángulos

a.

A 1 A 2

b1 b2

A b1

A 2 b 2

1

b.

A h1A 2 H

A 1

A 2H

h

II. Paralelogramosc.

Geometría 45


A 1

A 2

A 3

A 4

A = A = A = A = A1

D onde A es e l á rea del paralelogram o

42 3 4

d.

A = A 1

Donde P es cua lqu ie r punto en tre B y C

2

A 1

A

B C

D

PA BC D

e.

A + A = A 12

A 1

A

B C

D

P

A BC D

A 2

2

III. Trapecios:

f.

A = A 12

C

A BC D

A

B

D

A 1

g.

A 1

A

2A3

A 4 A = A + AABCD 3 4

2

A . A = A . A1 2 3 4

A = A1 2

h.

Geometría 46


A 1

A 2

A 3

A

B C

D

A = A = A = A 13

2 3

Nota : Las unidades de las áreas son metro cuadrado (m2), centímetro cuadrado (cm2), etc.

Geometría 47



01. Datos los siguientes gráficos.

A 1 A 2

A

B

C

M

N P

Q

A

Hallar el valor del área “A” si se sabe

que , y A2 = 396 u2;

Además, se sabe que el triángulo ABC, y el trapecio MNPQ son figuras equivalentes.

02.

R

r

Hallar el área de la región sombreada si se sabe que el área del círculo de radio “r” es 8u2 y el radio del círculo “R” es 14u2.

03. Hallar la relación entre las áreas de los rectángulos ABCD y ABMN, si se sabe que sus alturas son 18 y 3 respectivamente.

A B

D C

MN

04. Si se sabe que en el siguiente gráfico, y además que A1 = 5m2,

A2 = 4m2; A3 = 3m2; A4 = 2m2 y A5 = 6m2. Hallar A.

A

B

CD E

FA 1

A 2

A 3

A 4A 5

A

05. Si ABCD es un paralelogramo.

Hallar el área de la región sombreada.

A 1

A B

C D

A 2

Si se sabe que: y la

constante de proporcionalidad es 10.

06. Si en el siguiente gráfico.

A 1 A 2

bc

Geometría 48


Se conoce que = 5. ¿A qué es

igual “b” en términos de “c”?

07. En el siguiente gráfico:

A 1

A 2

H

h

Se sabe que H = 6 y h = 2. Calcular el área total si la constante de proporcionalidad es K.

08. En el siguiente paralelogramo

A 1 A 3

A 4

A 2

¿Cuál es el valor de A1 + A3 + A4 si el área total del paralelogramo es 248m2?

09. En el siguiente paralelogramo

A 1 A 2

A 3

A 4O

Q

P

Si se sabe que A1 = 17 m2. ¿En que relación se encuentran los segmentos

?

10. Demostrar el siguiente teorema.

A

B C

D

A 1

P

Donde P es cualquier punto entre B y C. ABCD es un paralelogramo.

11. En el siguiente trapecio:

A 1 A 2

A 3

A 4

Se sabe que A3 . A4 = 841 m2 ¿Cuál es el valor de A1?

12. Si en el siguiente trapecio:A 1 A 2

A 3

A 4

Se sabe que A1 = 18 m2. Además que

. Hallar el área total del

trapecio.

13. Si en el siguiente trapecio.A 3

A 2

A 1

b

a

Se sabe que A1 es la mitad del área total del trapecio. ¿En qué relación se encuentra A2 y A3, si se sabe que a = 4 y b = 16?.

14. De los siguientes 2 rectángulos.

Geometría 49


h

b

H

B

¿Cuál es la relación de sus áreas, si se sabe que:

?


a b

c

d

M N

P

Q

R

Si se sabe que el área del triángulo MNP es “A”. Hallar el área del

triángulo PQR si se sabe que:

y .

16. Del siguiente gráfico:

A

B C

D

A 1

Hallar el valor del área A1, si se sabe que el área total del trapecio es 354 m2?

17. Del siguiente gráfico

A 1 A 2

A 3

A 4M

N P

Q R

Si se sabe que MNPQ es un paralelogramo y PQR un triángulo. Hallar el área del triángulo PQR si se conoce que A1 = 10m2 y que las longitudes de los segmentos y

son 4 cm y 3 cm, respectivamente.

18. Hallar el área total del siguiente trapecio.

A 1 A 2

A 3

A 4

M

N P

Q

R

Si se sabe que A1 = 100 m2 y que

.

19. En el siguiente gráfico

A 1 A 2A 3 A 4

A

B

CM N P

Hallar el área del triángulo ABC si A1 = 10 m2 y = 5m, = 4m y =

3m y .


A

B

C

RQ

P

Hallar el área del triángulo BPQ, si el área del triángulo BPR es 5m2 y =

= 1m, = 2m, = 3m, = 2m

y = 3m.

Geometría 50



01. Del siguiente gráfico:

A 1

Hallar el área de la región sombreada, si se sabe que A1 = 27 m2.

a) 21 m2 b) 27c) 64 d) 18e) 9


A 1 A 2A 3 A 4 A 5

Hallar A5. Si el área total es de 100 m2

y A1 + A2 = A3 + A4 = 47 m2.

a) 9 m2 b) 7c) 6 d) 5e) 8

03. De los 2 siguientes rectángulos:

h

b

H

B

A 1A 2

¿Cuál es la relación entre “b” y “B”, si A1 = 19 m2, A2 = 361 m2 y H = 2h?

a) 1/19 b) 2/38c) 2/19 d) 1/38e) 38

04. En el siguiente trapecio:

A 1 A 2

A 3

A 4

Se sabe que el área del trapecio es 169 m2; si A4 = 81 m2 ¿Cuál es el valor de A1?

a) 63 m2 b) 38c) 35 d) 44e) 36

05. Hallar el área total del trapecio.

A 1 A 2

A 3

A 4

M

P

N

Si se sabe que A2 = 36 m2 y además

(en metros).

a) 400 m2 b) 401c) 200 d) 201e) N.A.

06. En el siguiente triángulo.

A 1

A 2

H

ha

b

M N

P

Geometría 51


Si A1 = 288 m2 y A2 = 36 m2. ¿A qué es

igual ?

a) 8 b) 64c) 32 d) 16e) N.A.

07. En el siguiente paralelogramo.

A 1 A 3

A 4

A 2

Se sabe que A2 = m2. ¿Cuál

es el área total del paralelogramo?.

a) 36 b) 62c) 128 d) 124e) N.A.

08. En el siguiente trapecio.

A 1

A 2A 3

A 4

Se sabe que A4 = 36 m2 y A3 = 12 m2 ¿Cuál es el valor del área del trapecio?

a) 32 m2 b) 16c) 8 d) 4e) 128

09. Dado el siguiente gráfico:

A

B C

D ESi ABCD es un paralelogramo y CDE es un triángulo. Hallar el área del

paralelogramo ABCD, si y

el área del triángulo CDE es numéricamente igual al área total del trapecio de la pregunta anterior.

a) 215 m2 b) 256 c) 324 d) 418e) 512

10. Dado el siguiente gráfico:

A

B C

D E

F

Si se sabe que ABCD es un paralelogramo y que

y el área del

triángulo DEF es 4m2. Calcular el área del trapecio ABCE.

a) 40 m2 b) 30 m2

c) 24 m2 d) 18 m2

e) N.A.

11. Del siguiente gráfico.

Geometría 52


A D F

CEB

Hallar el área de la región sombreada si ABCD y DECF son paralelogramos y el área del triángulo ABE es 12 m2 y el área del triángulo ECD es 24 m2.

a) 50 m2 b) 60c) 70 d) 80e) N.A.


A 1 A 2A 3

a b c

Hallar el área total del triángulo (A1 + A2 + A3) si se sabe que:

La constante de proporcionalidad de las razones es K.

a) 5K b) 4K c) 6Kd) 10K e) 9K

13. Colocar V ó F en:

i) Si 2 figuras son equivalentes entonces poseen la misma área.

ii) Si 2 rectángulos tienen sus alturas iguales, sus áreas son proporcionales a sus bases.

ii) Si el área de un paralelogramo es “A”, entonces el área limitada por los extremos del paralelogramo y una de sus diagonales es “A/2”.

a) VVF b) FVV c) FVFd) VVV e) FFF

Geometría 53


14. Hallar el área de la región sombreada.

A 1 A 2

Si se sabe que: y la

constante de proporcionalidad es 5.

a) 111 m2 b) 92c) 55 d) 108e) 110

15. Del siguiente gráfico

A

B

C

D

E

Hallar el área sombreada si el área del triángulo ABC es 400 m2.

Además:

a) 40 m2 b) 80c) 70 d) 60e) N.A.

Geometría 54


TEMA: RECTA Y PLANO

I. Introducción.-Hasta el momento todo el desarrollo del curso ha sido realizado en las dos dimensiones de nuestro cuaderno: a lo largo y ancho del mismo. Pero nuestro mundo tiene tres dimensiones; largo, ancho y alto. Todo lo que hemos desarrollado hasta el momento nos sirve para simplificar nuestro mundo tridimensional a una realidad más accesible, más fácil de manipular. Pero es momento de empezar a estudiar los fenómenos geométricos tridimensionales.En geometría bidimensional a las figuras que se nos presentaban las conocíamos como polígonos; en la geometría tridimensional (conocida como Geometría del Espacio) todos los entes que se nos presenten los conoceremos como sólidos.La Geometría del Espacio se basa en los PLANOS. Un plano es por ejemplo esta hoja, o el lado de un cubo; es decir, una superficie bidimensional que se puede mover en el espacio. Puesto que es la base en que se apoya esta sección, detallaremos algunas características de los planos.

II. Planos: Determinación, posiciones relativas de dos planos. Posiciones relativas de un plano con una recta. Teoremas. Distancias

1. Determinación de PlanosUn plano viene determinado:a) Por dos rectas que se cortan. b) Por 3 puntos no situadas en línea recta (no colineales).c) Por una recta y un punto exterior a ella.d) Por 2 rectas paralelas.

2. Posiciones Relativas de dos planosDos planos pueden ocupar las siguientes posiciones:a) Cortándose:

En este caso tienen una recta común que se llama “intersección de los dos planos”.b) Ser Paralelos:

Cuando no tienen ningún punto en común. 1

2

1

2

Cortándose Paralelos

3. Posiciones Relativas de un Plano con una rectaUna recta y un plano pueden ocupar las siguientes posiciones:a) Estar la recta en el plano.b) Cortándose. En este caso tienen un punto A en común.c) Ser paralelas. En este caso no tienen algún punto en común.

4. Posiciones Relativas de dos rectas en el espacioDos rectas en el espacio pueden ocupar las siguientes posiciones:a) Cortándose. En este caso tienen un punto en común.b) Ser paralelas. En este caso están en un mismo plano y no tienen algún punto en común.c) Cruzándose. En este caso no están en un mismo plano y no tienen ningún punto en común.

También se les llama RECTAS ALABEADAS.5. Teoremas Importantes

Geometría 55


a) “Las intersecciones a y b de dos planos paralelos y con un tercer plano son rectas paralelas”.

a

b

b) “Si dos rectas a y b son paralelas, todo plano que pase por una de las dos rectas es paralelo a la otra recta”.

b

a

c) “Si un plano corta a una de 2 rectas a y b paralelas corta también a la otra”.a b

d) “Si una recta corta a uno de dos planos paralelos, corta también al otro”.

e) “Si se cortan dos rectas por un sistema de planos paralelos entonces, los segmentos correspondientes son proporcionales”.

Imagen I

=

A B

C

M

N D E ntonces:

f) “Si una recta es perpendicular a un plano , cualquier plano (y todos los planos paralelos a ) que pase por la recta es perpendicular a ”

Distancia entre 2 puntos

Viene a ser la longitud del segmento que une dichos puntos.

6. Recta Perpendicular a un Plano

Geometría 56


Se dice que una recta es perpendicular a un plano si es perpendicular a todas las rectas del plano que pasan por la intersección. Al punto de intersección se le llama Pie de la perpendicular (punto P).

P

7. Distancia de un punto P a un plano :Es el segmento de perpendicular trazada del punto al plano; se llama así por ser MENOR que cualquier otro segmento que une el punto con cualquier otro punto del plano.

P

MN

8. Paralelismo y Perpendicularidad* Si de dos rectas paralelas a y b, una de ellas (a) es perpendicular a un plano, la otra (b)

también es perpendicular al plano.* Recíprocamente, dos rectas perpendiculares a un mismo plano son paralelas.* Dados dos planos paralelos, si una recta es perpendicular a uno de ellos, entonces también

es perpendicular al otro.

9. Distancia entre dos plano y paralelos

Es el segmento perpendicular comprendido entre los 2 planos. O también, es la distancia de un punto cualquiera M de uno de ellos al otro.

10. Proyección de un punto A sobre un plano La proyección de un punto A sobre un plano es el pie A ’ de la perpendicular trazada desde el punto al plano.

A

A’

La proyección de una línea sobre un plano es el conjunto formado por las proyecciones de todos los puntos de la línea.

Geometría 57


A’

A

B

B’

11. Distancia entre dos rectas que se cruzanEs el segmento perpendicular común comprendido entre ambas rectas. Para trazar esta distancia, sean a y b las dos rectas alabeadas. Por un punto M de una de ellas (b) se traza la recta c paralela a la otra (a), la cual determina con b el plano . Se traza ahora al plano , perpendicular al plano , el cual corta a la recta a en el punto P. Trazando desde P la perpendicular al plano , tenemos que es la distancia buscada entre las rectas a y b.P

Q

a

Mbc

* Para desarrollar este capítulo de una manera óptima es necesario recordar el Teorema de Pitágoras:

cb

a

c = a + b2 2 2

Esto nos ayudará mucho en el momento de hallar distancias.

Geometría 58



01. Hallar la distancia del punto P a la recta L, si la distancia del punto P al punto M es 13 cm. (M pertenece a la recta L).

M

N

P

5 cm

02. Hallar la distancia del punto P al plano si =13 cm. y tiene una longitud

igual al lado de un triángulo equilátero de cm2 de área. .

P

BA

03. En el siguiente gráfico, los triángulos ABC y MBC son congruentes. Hallar la distancia del punto B al plano si

y .B

MAC4

5

04. En el problema anterior, hallar la distancia entre los puntos A y M si se sabe que el ángulo ACM es de 90º.

05. L1 es una recta que corta al plano en el punto P. Si tomamos un punto Q de la recta, notamos que la proyección del segmento mide 12 cm. Hallar la

distancia del punto P al plano , si = 13 cm.

06. En el siguiente gráfico, determinar el valor de , si ,, son planos (paralelos entre sí) que cortan a las rectas L1 y L2

.

A B C

M N P L1

2L

07. Hallar el área del cuadrilátero sombreado si y son planos paralelos y es un plano que intercepta a y . H = 4 cm.

b

H

08. Un hombre se encuentra parado a 3 m. de un poste de luz de 5.8 m de alto. Si el hombre mide 1.8m de altura. ¿Cuál es la distancia entre la cabeza del hombre y la punta del poste?

09. Un barco divisa el faro del puerto. Si el faro mide 100 metros de alto y está a 20 m.s.n.m. y la distancia entre el barco y la punta del faro es 200 m. ¿Cuántos metros separan al barco del puerto?

10. Si otro barco que llega de noche se encuentra a 288 m. del puerto. ¿Cuál será la longitud del haz de luz con el cual el faro ilumina al barco?

11. L1 y L2 son 2 rectas paralelas que son cortadas por un plano en los puntos M y N, respectivamente. Si L3 es una recta perpendicular a L1 y L2 y pasa por N y por

Geometría 59


Q (Q L1 y Q M ) y = 7 cm. Hallar la distancia entre las rectas. = 25 cm.

12. Juan quiere saber cuánto mide una palmera. Si sabe que otra palmera que está a 6 m. de la primera tiene 20 m. de alto y la distancia entre las copas de ambas palmeras es 10m. ¿Cuánto mide la palmera más alta?

13. Hallar la altura que se encuentra del suelo una cometa, si se ha extendido 30 metros de pabilo y la proyección del pabilo sobre el suelo mide 18 metros.

14. Suponiendo que una montaña tiene forma triangular y el camino que va a ella empieza en la ciudad. Hallar la altura de la montaña, si la distancia de la montaña a la ciudad es de 12 Km. y se tienen que recorrer 13 Km. para llegar a su cumbre.

15. Un futbolista dispara un penal, con tan mal suerte que la pelota pega en un vértice superior del arco. Si el punto del penal está a 4 metros del arco y el arco mide 6 metros de largo y 2m. de alto. ¿Qué distancia recorrió el balón?

16. Se desea colocar una rampa que una los puntos A y B para facilitar un trabajo. Hallar la longitud de la rampa si la distancia entre C y B es 8 metros.

A

B

C

6 m

17. Hallar la máxima distancia entre dos planos paralelos si se sabe que el área del triángulo ABC es 6 cm2.

A

B C

Plano P lano

18. Hallar la longitud de la proyección de si el área del trapecio que se forma

es 60 cm2.

A’

A

B

B’

C

75 cm

19. De la pregunta anterior:i) ¿Cuál es la distancia de C al plano ?

Rpta.:

ii) ¿Cuál es la distancia de C al punto A’?.

Rpta.:

20. Marca con V o F según corresponda.

i. Si 2 rectas no se cortan entonces son paralelas ( )

ii. Si una recta es perpendicular a 2 rectas, estas rectas son paralelas entre sí ( )

iii. La intersección de 3 planos es un punto ( )

iv. Si una recta es perpendicular a 3 rectas dadas, éstas 3 deben ser paralelas. ( )

Geometría 60



01. Hallar la distancia del punto P al plano si

= 130 cm. y tiene una longitud

igual al lado de un cuadrado de 50

cm. de diagonal.

P

BA

a) 120 cm. b) 12c) 130 d) 13e) N.A.

02. Hallar la distancia del punto “P” a la recta L, si la distancia de P a A es 30 cm y

= 16 cm

A BL

P

a) 21 cm b) 14 cm c) 15 cmd) 12 cm e) N.A.

03. Un avión que va a aterrizar en una pista de un aeropuerto, inicialmente se encuentra a 1200 m de altura, si recorre 1500 m y finalmente aterriza, recorriendo sobre la pista 100 metros más. ¿Cuál es la longitud total de la pista?

a) 1100 m b) 1400c) 1500 d) 1200e) 1000

04. Una tubería de 10 m de largo une 2 paredes paralelas. Si la diferencia de alturas entre ambos puntos de contacto con la pared es de 6 m. Hallar la separación entre las paredes.

a) 6 m b) 8c) 7 d) 5 e) N.A.

05. Hallar la distancia del punto C al segmento AB, si el triángulo ABC tiene un área de 10 m2.

A B

C

10 m

a) 1 m b) 2c) 3 d) 4e) 5

06. En el siguiente gráfico, determinar el

valor de si , y son planos

paralelos entre sí, que cortan a las rectas L1 y L2.

A B C

M N P L1

2L

a) 10 cm. b) 8

Geometría 61


c) 12 d) 14e) N.A.

07. En el siguiente gráfico, hallar la distancia

de B a D, si = 10 y = 3 cm y

AACM = 20 cm2.

D

B

A

C

M

a) 5 cm b) 6c) 4 d) 7e) N.A.

08. ¿Cuál es la distancia que separa a 2 edificios, si un cable que va de la azotea de un edificio al otro mide 52 m. y uno tiene 12 pisos más que el otro (Considerar que cada piso tiene 4 m. de alto).

a) 10 m b) 12c) 20 d) 18e) 5

09. Hallar la altura de la cara ABC de la

siguiente pirámide, si H = 24 cm. y

= 5 cm.

A

B

CMO

H

a) 26 cm b) 24c) 25 d) 23

e) N.A.

10. Hallar la longitud de la proyección de

, si el área del trapecio que se

forma es de 49 cm2.

A’

A

B

B’

9 cm5 cm

a) 7 cm b) 8c) 14 d) 16e) N.A.

11. De la pregunta anterior, hallar la distancia de B a A’.

a) 74 cm b)

c) 75 d)

e) Faltan Datos.

12. Hallar la menor distancia del punto A al plano .

10 cm

15 cm

A

25 cm24

P lano

a) 8 cm b) 9c) 10 d) 7e) 6

13. Un cañón dispara balas a un muro; si el cañonero quisiera que la bala pase por encima del muro (con la justa),

Geometría 62


recorriendo sólo 50 m. ¿A qué distancia deberá colocar el cañón?. El muro tiene 30 m. de alto.

a) 40 m b) 35c) 45 d) 50e) N.A.

14. Hallar la distancia de C a L1.

10

C

L1

a) 10 cm. b) 8c) 6 d) 12e) N.A.

15. Hallar la distancia entre L1 y L2 si ambas son paralelas.

5 cm

L1 L2

13

a) 12 cm. b) 13 c) 10 d) 8e) N.A.

Geometría 63


TEMA: ÁREA DE SÓLIDOS

Los sólidos (figuras de 3 dimensiones) poseen 2 magnitudes: área y volumen. El volumen lo veremos en el siguiente capítulo. El área se refiere a la superficie exterior del cuerpo, el área que abarca.

A continuación, presentaremos algunos sólidos y pondremos a qué es equivalente su área:

a) Tetraedro

Llamado así porque posee 4 caras. Se obtiene uniendo en el espacio 4 triángulos equiláteros iguales.

A B

C

D

D´D´´

A B

C

D

Desarrollo del Tetraedro Tetraedro

Como los 4 triángulos equiláteros son iguales, entonces:

Atetraedro = 4 Atriáng.equiláteros

= 4 = 4

ó

b) Hexaedro (Cubo)Llamado así porque posee 6 caras. Se obtiene uniendo en el espacio 6 cuadrados iguales.

A B

CD

E F

GH

F´ E´

G´ H´H´´

E´´

A

B

C

D

E

H

G

F

Desarrollo del Cubo Hexaedro o Cubo

L

L L

Como los 6 cuadrados son iguales:

Acubo = 6 Acuadrado

Geometría 64


Acubo = 6L2 .

c) Octaedro

Llamado así porque posee 8 caras. Está formado por 8 triángulos equiláteros iguales, que se unen de 4 en 4 formando una pirámide de base cuadrada y finalmente uniendo las bases de ambas pirámides.

A

B

C

D

E

B

P

Q

P

R

N

Desarrollo del Octaedro

A

BC

D

RN

PQ

C

D

Q

NPB

A

Acoplam iento de Pirám ides Octaedro

E

Como los 8 triángulos equiláteros son iguales, entonces:

ó

d) ParalelepípedoEstá formado por 6 paralelogramos: 4iguales entre sí y 2 iguales entre sí:

Desarrollo del ParalelepípedoParalelepípedo

Su área se obtiene sumando las áreas de cada paralelogramo.

Una forma especial de paralelepípedo es el ortoedro, el cual tiene la particularidad de que está formando por rectángulos.

Geometría 65


Desarrollo del OrtoedroOrtoedro

Análogamente, su área se obtiene sumando las áreas de cada rectángulo.

e) Cilindro Recto

Está formando por 2 círculos idénticos que se encuentran en planos paralelos, revestidos por una superficie convexa de forma rectangular.

r

r

H

rr

H

2 r

Desarrollo del Cilindro Recto Cilindro Recto

Su área se obtiene sumando las áreas de los círculos y el rectángulo.

Acilindro = 2r2 + 2r(H)

f) Cono

Formando por un círculo y una sección circular:

Geometría 66


Desarrollo del Cono

A

g gr

B

AB = 2 r

Arco AB

g

r

H

Cono

Por Pitágoras: g 2 = H2 + r2 .

g = generatrizh = altura del conor = radio

Su área se obtiene sumando las áreas del círculo y del sector circular.

Geometría 67



01. Hallar el área de un tetraedro regular cuya arista mide 2 cm.

02. Si sabemos que el área total de un tetraedro regular es cm2. Calcular la longitud de su arista.

03. Hallar el área total de un cubo si su arista tiene una longitud de 7 cm.

04. Hallar la diagonal de un cubo si su arista mide “a” metros.

05. Una hormiguita se encuentra en un vértice de un cubo de arista igual a 6 m. Si ella quiere llegar al vértice opuesto. Calcular el recorrido mínimo que debe hacer por las caras del hexaedro.

06. Si la diagonal de un cubo es 4 cm. ¿Cuál es el área del cubo?

07. Hallar el área de una cara de un octaedro regular cuya arista mide 12 cm.

08. Hallar el área total de un octaedro regular cuya arista mide 6 cm.

09. Hallar el área total de un octaedro regular si la altura de una de sus caras mide 3 cm.

10. Hallar el área total del siguiente paralelepípedo de 10 cm. de altura (la cara ABCD).

A

B

8 D 10

C12

11. Hallar el área total del siguiente octaedro.

5

43

12. Hallar el área total de una caja de zapatos que tiene las siguientes dimensiones: 12 cm. de alto, 30 cm. de largo y 20 cm. de ancho.

13. Hallar el área de un cilindro de radio igual a 4 cm. y 10 cm. de altura.

14. Si el área total de un cilindro es 48 cm2

y su altura es 10 veces la longitud del radio del círculo de su base. Hallar el radio.

15. Si el perímetro del círculo de la base de un cilindro es 4 cm. y su altura es 12 cm. Calcular el área del cilindro.Rpta.:

16. Hallar el área total de un cono cuya base tiene 5 cm. de radio , su generatriz mide 20 cm. y su ángulo central mide 90º.

17. Hallar el área total de un cono que tiene 5 cm. de radio y 12 cm. de altura.

18. Si la base de un cono tiene un área de 49 cm2 y su generatriz tiene una longitud de 25 cm. ¿Cuánto mide la altura del cono?

19. Hallar el desarrollo del siguiente poliedro (longitudes en centímetros). Todos los ángulos son rectos. Dar como respuesta el número de caras.

20. Hallar el área total del poliedro de la figura anterior.

Geometría 68



01. Hallar el área de un tetraedro si el área de una de sus caras es 8 cm2.

a) 32 cm2 b) 16c) 64 d) 8e) N.A.

02. Hallar el área total de un tetraedro regular cuya arista mide 2 cm

a) 4 cm2 b) 4

c) 3 d) 2

e) N.A.

03. Hallar el área total de un tetraedro cuyo perímetro es 36 cm.

a) 33 cm2 b) 9

c) 36 d) 34

e) N.A.

04. Hallar el área total de un cubo cuyo perímetro es 120 cm.

a) 2400 cm2 b) 1200 cm2

c) 1400 cm2 d) 600 cm2 e) N.A.

05. Hallar el perímetro de un cubo de área igual a 96 cm2.

a) 80 cm b) 60c) 70 d) 90e) 40

06. Hallar la arista de un hexaedro si se sabe que su área total es 384 cm2

a) 8 cm b) 7 cmc) 6 cm d) 4 cme) 5 cm

07. Hallar el área de una cara de un octaedro regular cuya arista mide 4 cm

a) 4 cm2 b) 4

c) 3 d) 5

e) N.A.

08. Si sabemos que el área total de un

octaedro regular es 18 cm2.

Calcular la arista.

a) 6 cm b) 4 cmc) 5 cm d) 3 cme) N.A.

09. Hallar el área total del siguiente ortoedro.

6

72

a) 163 cm2 b) 316c) 136 d) 400e) N.A.

Geometría 69


10) Hallar el área total de un cilindro de 6 cm. de radio y 10 cm. de altura.

a) 192 cm2 b) 192 c) 129 d) 129e) N.A.

11. Hallar la altura de un cilindro si se sabe que su área total es 90 cm2 y su altura es 4 veces su radio.

a) 10 cm. b) 11c) 9 d) 12e) N.A.

12. Hallar el área total de un cono de r = 5 y g = 10 cm.

a) 75cm2 b) 75c) 50 d) 50e) N.A.

13. Hallar el área total de un cono si h = 6 cm. y r = 8 cm.

a) 144 cm2 b) 124c) 124 d) 144e) N.A.

14. Hallar el área total del siguiente poliedro (todos los ángulos son rectos).

4

2

42

2 2

a) 72 cm2 b) 27 cm2

c) 44 cm2 d) 61 cm2

e) N.A.

15. ¿Cuántas caras tiene el poliedro de la pregunta anterior?

a) 16 b) 10c) 12 d) 24e) 5

Geometría 70


TEMA: VOLÚMEN DE SÓLIDOS

El volumen de un sólido se refiere al espacio que ocupa el sólido.

Teorema Fundamental

“El volumen de un poliedro se obtiene multiplicando el área de su base por la altura del poliedro”.

La unidad del volumen de un poliedro es el metro cúbico (m3).

Así:

H

r

ALTURAAV XB A SES Ó LID O

Base

Volumen de los Principales Sólidos

a) Volumen de un Tetraedro Regular:

a

a a

aHAV xAB CTetraedro H

V

B

C

b) Volumen del Cubo (Hexaedro)

3C U B O aV

Geometría 71


c) Volumen de un Octaedro Regular:

a

3

hxA2V ABCDOctaedro h

a

a

A B

CD

d) Volumen de un Paralelepípedo

HAV XAMOPARALELOGR

H a

cbaV xx

b

c

Ortoedro

h

e) Volumen de un Cilindro Recto:

G GH

R

RO´

O

HRV xx2

C ilind ro

G: Generatriz; en este caso G = H

HAV xCírculoCilindro

f) Volumen de una Pirámide

Una pirámide es un sólido muy especial. Su base puede ser cualquier polígono y todas sus caras (excepto la base) se unen en un solo vértice, llamado CÚSPIDE.

Su volumen se obtiene multiplicando el área de la base por la tercera parte de su altura.

Geometría 72


3

HAV xBASE

Ha

a

a

VCúspide

Base

Si observas cuidadosamente al octaedro, te darás cuenta que está formado por 2 pirámides de base cuadrada, motivo por el cual, en el cálculo de su volumen, su altura se encuentra dividida entre 3. Esta división de la altura es una particularidad de los sólidos de forma triangular.

g) Volumen del Cono

Como un cono también tiene forma triangular, para calcular su volumen dividiremos su altura entre 3.

h

r

g g3

hrV xx

2Cono

g: G eneratriz del Cono

V

Como se observa, el volumen del cono resulta siendo la tercera parte del volumen del cilindro.

Geometría 73



01. Hallar el volumen de un cubo cuya arista tiene una longitud de 2 m.

Rpta.:

02. Hallar el volumen de una caja de zapatos que tiene las siguientes dimensiones: 10 cm de alto, 40 cm de largo y 20 cm de ancho.

Rpta.:

03. Hallar el volumen de un paralelepípedo de 5 metros de altura, si su base es un paralelogramo que tiene las siguientes características.

5

5

2Rpta.:

04. Hallar el área total de un cubo que tiene 16 cm3 de volumen.Rpta.:

05. Hallar el volumen de una pared que tiene 10 m. de largo, 10 m de alto y 1m. de ancho.

Rpta.:

06. Hallar el volumen de un octaedro regular cuyo cuadrado asociado tiene 5 cm. de lado y su altura mide 9 cm.

Rpta.:07. Hallar el volumen de un tetraedro regular

si se sabe que la arista mide 12 cm. y su

altura, 4 cm.

Rpta.:

08. Si el volumen de un tetraedro regular es

18 cm3 y su arista mide 6 cm.

¿Cuánto mide su altura?

Rpta.:

09. Hallar el volumen del siguiente cilindro si se sabe que = 26 cm y R = 10 cm

R

O

A

Rpta.:

10. De la pregunta anterior, si la altura del cilindro fuera igual a la distancia entre los puntos O y A. ¿Cuál sería el volumen del cilindro?

Rpta.:

11. Hallar el volumen de un cilindro si el área de su base es 4 veces el área de la base del cilindro de la pregunta 9 y su altura es el triple del radio.

Rpta.:12. La pirámide de Keops es una pirámide

regular de base cuadrada de 100 metros de arista. ¿Cuál es el volumen de la pirámide?

Si su altura mide 50 m.

Geometría 74


Rpta.:

13. Hallar el volumen de la siguiente pirámide; si su base es un triángulo equilátero.

9 cm

4

Rpta.:

14. Hallar el volumen de un cono si el radio del círculo de la base es 12 cm. y la generatriz del cono mide 13 cm.

Rpta.:

15. Hallar el volumen de un cono si su generatriz es el doble de su radio y su área total es 27 cm2.

Rpta.:

16. Hallar el volumen de un cono si su radio es a su altura como 5 es a 12 y su generatriz mide 50 cm.

Rpta.:

17. Hallar el volumen del siguiente sólido. Todos los ángulos son rectos y las longitudes están en centímetros.

2

4

42

44

Rpta.:

18. Hallar el volumen aproximado de una lata de leche si su altura es 11 cm. y su radio es 4 cm.( 3.14)

Rpta.:

19. Hallar el volumen aproximado de un cono de helado, si su altura es 10 cm. y su radio es 3 cm. ( 3.14)

Rpta.:

20. Hallar el volumen de un estante de 1 m. de ancho, 2 metros de largo y 2 m. de altura.Rpta.:

Geometría 75



01. Hallar el volumen de un cubo de 7

metros de arista.

a) 1029 m3 b) 1092

c) 1032 d) 1029

e) N.A.

02. Hallar el volumen de una habitación cúbica,

cuya diagonal mayor mide 10 metros.

a) 100 m3 b) 1000c) 10000 d) 10e) N.A.

03. Hallar el volumen de una refrigeradora que tiene 1.5 m. de alto, 0.5 m. de largo y 0.8 m. de ancho.

a) 0.3 m3 b) 0.2c) 0.6 d) 0.4e) 0.06

04. Hallar el volumen de un cilindro recto cuya generatriz es un número primo de 1 cifra mayor que 5 y su radio es 10 cm

a) 70 cm3 b) 700 cm3

c) 70 cm3 d) 700 cm3

e) N.A.

05. Hallar el volumen de un cono cuya generatriz mide 50 cm y su altura mide 40 cm

a) 12000 cm3 b) 36000 cm3

c) 36 cm3 d) 36000 cm3

e) 12000 cm3

06. Hallar el volumen de un ladrillo que tiene las siguientes dimensiones: 12 cm. de largo, 8 cm. de ancho y 4 cm. de alto.

a) 224 cm3 b) 384c) 412 d) 124e) N.A.

07. Hallar el volumen de un cubo cuya diagonal mayor es el doble del lado de un cuadrado de 3 cm2 de área.

a) 6 cm3 b) 7c) 8 d) 9e) 10

08. Hallar el volumen de una pirámide regular de base cuadrangular si el lado del cuadrado es 2 m. y su altura mide 3 cm.

a) 4 cm3 b)

c) 2 d)

e)

09. Hallar el volumen de un paralelepípedo de 10 cm de altura, si su base es el siguiente paralelogramo.

4

10

8

a) 200 cm3 b) 200

c) 100 d) 100e) N.A.

10. Hallar el volumen del siguiente cilindro si

mide 5 cms. y r = 4 cms.

Geometría 76


rA

a) 48 cm3 b) 48c) 24 d) 24e) N.A.

11. Hallar el volumen del siguiente sólido si su base es un triángulo equilátero.

3 cm

4 cm

a) 10 cm3 b) 11c) 12 d) 13e) N.A.

12. Hallar el volumen del siguiente sólido (todos los ángulos son rectos).

4

2

42

2 2

a) 32 cm3 b) 16c) 44 d) 28e) N.A.

13. Hallar el volumen de un cubo de 8

metros de arista.

a) 215 m3 b) 216c) 511 d) 500e) 512

14. Hallar el volumen de un ortoedro si sus dimensiones son 5, 10 y 15 m.

a) 750 m3 b) 570c) 500 d) 600e) N.A.

15. Hallar el volumen del siguiente cilindro, si r = 8 cm.

2

a) 128 cm3 b) 128c) 124 d) 124e) N.A.

Geometría 77


Prisma y Tronco de Prisma:Llamaremos PRISMA, al sólido limitado por la superficie prismática cerrada y 2 planos paralelos y secantes a dicha superficie. En este curso sólo nos interesaremos de los prismas RECTOS, es decir, aquellos cuyas caras laterales son rectángulos.

DE

F

AB

C

MN

hhxAV ABC

ABC - DEFes un prisma

Se llama TRONCO DE PRISMA al sólido determinado al cortar un prisma mediante un plano NO paralelo a sus bases. Del gráfico anterior, ABC-DMN es un tronco de prisma.

Casos de Troncos de Prismas:

3

cbaxAV BASE

a

bc a c

3

baxAV BASE

i) ii)

a

3

axAV BASE

iii)

Geometría 78


MISCELÁNEA

01) Adolf tenia en su taberna barricas de forma cilindra circular recta, de modo tal que una de ellas contenía agua hasta unos ¾ del total de su volumen. Hallar la relación que se presenta entre las alturas del cilindro y la del contenido de agua en este, respectivamente, si la generatriz de la barrica tiene una longitud igual al doble del diámetro de la base.

Rpta.:

02) En la siguiente figura:

K P

L M

16m

Si KLMP es un cuadrado, hallar el área de la región sombreada. (KP = semicircunferencia)

Rpta.:

03) Si la altura del rectángulo KMNL mide “a” metros y con la base esta en la relación de 21 a 13 y si

, hallar e, área correspondiente a la región sombreada.

K

P

L

M

N

Rpta.:

04) En la figura:

O

D Z

F

G

E

Y

Los puntos o ; y ; z son los centros de la semicircunferencias. Si el perímetro del rectángulo DEFG es de 24m, calcular el área de la región sombreada.

Rpta.:

05) Se solicita la construcción de una torre de agua de forma cilíndrica que pueda albergar un volumen equivalente a 320 cm3, se tiene un radio de base equivalente a R, hallar el área total de la torre.

Rpta.:

Geometría 79


06) Si “o” viene a ser el centro del cuadrado de lado “L”, hallar el área de la región sombreada mostrada:

M

P

L

T

R

Q U

ON

Rpta.:


L

Todos los triángulos son equiláteros, si la longitud de todos los triángulos pequeños es “k” metros, hallar el volumen del sólido que resulta de la rotación del triangulo sombreado alrededor del eje ”L”

Rpta.:

08) Al unir los puntos medios , , , , , de las aristas del cubo de la figura, la cual tiene 729m3, se ha de obtener una región sombreada cuyo valor de su área será:

Rpta.:

09) Indicar el valor del verdad de cada una de las proposiciones siguientes:

i) Si una recta es paralela a un plano, entonces dicha recta es paralela a todas las rectas que están contenidas en dicho punto.

ii) Tres rectas que son paralelas entre si son, además, coplanares.

iii) Si una recta es tangente a una circunferencia, la recta y la circunferencia son coplanares.

Rpta.:

10) Las aristas de un ángulo triedro tri rectángulo “o“son interceptadas, en los puntos A; B; C por un plano. Se traza de modo que sea perpendicular al plano A , B ; C de manera que las medidas angulares del AOF ; COF ; sean iguales si

, hallar el área del triangulo ABC.

Rpta.:

11) Tenemos un rombo ABCD, el cual forma un ángulo rectángulo ABE, el cual es recto en “B” sabemos, además, que las medidas de los

Geometría 80


ángulo y los segmentos

son

respectivamente. 60° ;

y u.

Hallar la distancia entre y

; donde “H” es la proyección

de “c” sobre .

Rpta.:

12) Hallar el área absoluta de un tetraedro regular; si la distancia del punto medio de una arista al centro de su cara opuestas respectiva es “d”

Rpta.:

13) Hallar el área de la región correspondiente al paralelogramo ABCD si la bisectriz del ángulo BAD interfecta a la mediatriz de

en F, de tal modo que la medida del ABF = 90° y se cumple, además que, y

Rpta.:

14) Un cono circular recto es dividido en dos partes por medio de un plano que es paralelo a la base. Si las áreas del cono que resulta de la división del cono original (su área) están en la misma relación que los números 2 y 5; hallar la relación que existe entre las áreas laterales del cono que resulta de la división y el tronco de cono que se determina de esta.

Rpta.:

15) En la presente figura:P

Q

R

S

T

W

están en relación de 3 a 1 y son proporcionales a 2 y 1; respectivamente; si el área de la región WQR es igual a 5u2 ¿Cuál será el área de la región triangular PWS?

Rpta.:

16) Si el cubo tiene 12cm de arista, hallar el radio de la esfera que esta inscrita en el tetraedro K – LMN. R: Radio de la esfera

K

E

N

D

C

B

L

12

M

Rpta.:

17) Si un tetraedro regular UNCH posee un volumen de Vm3, calcular el volumen de la pirámide cuyo vértice es “U” y los vértices de las bases son puntos medios

de las aristas ; ; y

respectivamente.

Rpta.:

Geometría 81


18) Un prisma recto JUV – MAD se determina de modo tal que en la arista se toma un punto “o” de

modo tal que el segmento es de doble longitud con respecto al segmento . Hallar la relación en la cual se encuentran los volúmenes del prisma antes mencionado del tetraedro O – DPQ si las prolongaciones de los segmentos intersectan al plano de la base MAD en P y Q, respectivamente.

Rpta.:

19) Si las aristas de un tetraedro regular A – MNP están determinados de forma tal que los puntos WCD se ubican al centro, en orden, de las aristas mencionadas en ese orden. Calcular la razón que se establece entre el área de la superficie triangular WCD y la superficie del trapecio PDCN.

a) 1/2 b) 1/4c) 4/7 d) 1/3e) 2/5

20) Se describe una circunferencia tomando para ellos la altura de un triangulo equilátero cuya medida lateral es de 4h. hallar la medida del área de la región común que encierran ambas figuras geométricas.

a)

b)

c)

d)

e)

21) En la figura:

B

D C

N

M

A

ABCD es un cuadrado de lado “L”, si A y C son centros de los arco BD y BD; hallar el área de la región no sombreada.

a)

b)

c)

d)

e)

22) Del grafico: ABCD y ADEF son respectivamente que pertenecen a planos perpendiculares: si

; y

. Hallar la distancia del

punto medio M de a .

Geometría 82


B

A

C

D

E

M

F

a) b) 4

c) d) 7

e)

23) Si A1 y A2 son rectas alabeadas y es la misma distancia que

hay entre ellos, luego se cumple:

D

CA 1

A 2

a)

b)

c) ; A1 y A2 so coplanares

(respectivamente)

d)

e) Ninguna alternativa es correcta

24) Los puntos P; Q ; R pertenecen al plano L. hallar la medida del ángulo que forman los segmentos

; si ,

; ; y

.

P

Q

S

T

W

R

a) 37° b) 45°c) 53° d) 75°e) 90°

25) Una pirámide es cortada por un plano paralelo a la base, de manera que el área que resulta tiene un área igual a los 3/7 del área de la base. Hallar la relación que existe entre los volúmenes de dichos sólidos.

a)

b)

c)

d)

e) N.A.

26) Hallar el área de un círculo inscrito en un trapecio rectángulo cuyas base miden 2u y 3u.

a) b)

c) d)

e)

Geometría 83



C

D

E

A

B

F

G

; ;

. Si el área de la

región triangular EFG es 5 metros, hallar el área de la región triangular AEG.

a) 10m2 b) 15c) 20 d) 25e) 30

28) En un triangulo escaleno y acutángulo ABC se traza la altura

, de modo que P es el punto

medio de ; si O; G; K son el

ortocentro, el baricentro y el circuncentro de dicho triangulo, respectivamente. Hallar la razón que se da ente las áreas de las regiones triangulares OMG y NPK.

a) 5/4 b) 6/5c) 4/3 d) 7/5

e) 3/2

29) Un triangulo rectángulo esta determinado de modo tal que las longitudes de sus catetos han de sumar 7u (la hipotenusa mide 5u). hallar el área de la región de dicho triangulo.

a) 10u2 b) 9c) 8 d) 6e) 5

30) En un triedro O – MNP; la medida del ángulo MON = 90°; la medida del ángulo NOP = 60°. Si en

la arista se ubica un punto “k”

de modo tal que se trazan las

perpendiculares a

las aristas y ,

respectivamente. Si ;

calcular .

a) b)

d) d) 3

e)

31) Hallar si el área del

cuadrado sombreado es de 8u2 y AR2 + SW2 = 20

Geometría 84


P

A R S W

a) b)

c) d)

e)

32) En todo tetraedro, los puntos medios de las aristas viene a ser los vértices de un octaedro cuyo volumen es de dicho tetraedro.

a) Un tercio b) Un octavoc) Un medio d) Dos terciose) Un cuarto

33) Una esfera esta circunscrita en un cubo. Si la arista de dicho cubo es 2a; hallar el área de la esfera.

a) 4a2 b) 6a2

c) 8a2 d) 10a2

e) 12a2

Geometría 85

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