MODELOS, COMPUTADORAS Y ANALISIS DE ERROR

Los metodos numericos constituyen tecnicas, mediante las cuales el posible

formular problemas matematicos, de tal forma que pueden resolverse utilizando

operaciones aritmeticas.

Aunque existen muchos tipos de metodos numericos estos comparten una

caracteristica comun. Invariablemente requiere n de un buen numero de tediosos

calculos aritmeticos, no es raro que con el desarrollo de computadoras digitales

eficientes y rapidas, el papel de los metodos numericos en la solucion de

problemas de ingenieria, hayan aumentado de forma considerable en los ultimos

años.

MÉTODOS SIN COMPUTADORA

Además de proporcionar un aumento en la potencia de cálculo, la disponibilidad

creciente de las computadoras y su asociación con los métodos han influido de

manera significativa de la solución a cuál de los problemas en ingeniería. Antes de

la era de las computadoras los ingenieros solo contaban con 3 métodos para la

solución de problemas.

1.- Se encontraban las soluciones de algunas problemas usando métodos exactos

y analíticos dicho soluciones resultaban útiles y proporcionaban una comprensión

excelente de comportamiento de algunas sistemas. No obstante las soluciones

analíticas solo pueden encontrarse para una clase limitada de problemas. Estos

incluyen aquellos que pueden aproximarse mediante modelos lineales y también

aquellos que tiene una geometría simple y de bajas dimensiones. En

consecuencia, las soluciones analíticas, tiene un valor práctico limitado porque la

mayoría de los problemas reales son no lineales, e implican formas y procesos

complejos.

2.- Para analizar el comportamiento de los sistemas que se usaban soluciones

graficas, las cuales tomaban la forma o monograma; aunque las técnicas graficas

se utilizan a menudo para resolver problemas complejos los resultados no son

muy precisos. Además, las soluciones graficas sin la ayuda de una computadora

son un extremo tediosas y difíciles de implementar. Finalmente, las técnicas

graficas están limitadas a los problemas que pueden describirse usando 3

dimensiones o menos.

3.- Para implementar los métodos numéricos se utilizaban calculadoras y reglas de

cálculo. Aunque en teoría dichas aproximaciones deberían de ser, perfectas

adecuados para resolver problemas complicados, en la práctica se presentaban

varias dificultades debido a que los cálculos manuales son lentos y tediosos.

Además los resultados no son consistentes ya que surgen equivocaciones cuando

se efectúan los numerosos cálculos de esta manera.

La era antes de la computadora La era de las computadoras

MODELO MATEMÁTICO Y SOLUCIÓN DE PROBLEMAS

El conocimiento y la comprensión son prerrequisitos para la aplicación eficaz de

cualquier herramienta si no sabemos cómo funcionan las herramientas por

ejemplo tendremos serios problemas para reparar un automóvil aunque la caja de

herramientas sea la más completa.

Esta es la realidad particularmente cuando se utilizan computadoras para resolver

problemas de ingenieros. Aunque las computadoras tienen una gran utilidad, son

prácticamente inútiles si no se comprende el funcionamiento de los sistemas de

ingeniería. Esta comprensión es inusualmente es empírica resulta esencial, solo

estamos a la mitad del camino. Durante muchos años de observación y

experimentación los ingenieros y los científicos han advertido que ciertos aspectos

de sus estudios empíricos ocurren una y otra vez. Este comportamiento general

puede expresarse como las leyes fundamentales que engloban en esencia el

conocimiento acumulada de la experiencia pasada. Así muchos problemas de

ingeniería que resuelven con el empleo de un doble enfoque: empírico y análisis

teórico.

Formulación: leyes

fundamentales explicadas

brevemente.

Solución: métodos muy

elaborados y con

frecuencia complicados

para hacer manejable el

problema

Interpretación: análisis

profundo limitado por

una solución que

consume tiempo

Formulación: exposición

profunda de la relación

del problema con las

leyes fundamentales

Solución: método de la

computadora fácil de usar

Interpretación: la facilidad

de calcular permite

holísticamente y

desarrollar la intuición; es

factible estudiar las

sensibilidad y

comportamiento de los

sistemas.

Debe destacarse que ambos estrechamente relacionados conforme se obtienen

nuevos mediciones, las generalizaciones llegan a modificarse o a un descubrirse

otros nuevas. En lo particular generalizaciones sirven para organizar principios

que se utilizan para sintetizar los resultados de observaciones y experimentos en

un sistema coherente y comprensible, del que se pueden obtener conclusiones.

Desde la perspectiva de solución de un problema de ingeniería, el sistema es aun

más útil cuando el problema se expresa por medio de un modelo matemático.

UN MODELO MATEMÁTICO SIMPLE

Un modelo matemático se define de manera general, como una formulación o una

ecuación que expresa las características esenciales de un sistema físico o de un

proceso en términos matemáticos. En general, el modelo se representa mediante

una relación funcional de la forma:

Variable dependiente = F (Variable independiente, parámetros, funciones de

fuerza)

Donde la variable dependiente es una característica que generalmente refleja el

comportamiento o estudio de un sistema, las variables independientes son, por lo

común dimensiones tales como tiempo y espacio, a través de las cuales se

determina el comportamiento del sistema; parámetros son el reflejo de las

propiedades o la composición del sistema y las funciones de fuerza sin influencias

externas que actúan sobre el sistema.

PROGRAMACIÓN Y SOFTWARE

Hemos vistos desarrollos de modelos matemáticos a partir de la fuerza total para

predecir un dato. Para el modelo matemático hacer a mano sería muy laborioso y

tomaría mucho tiempo pero, con la ayuda de la computadora tales cálculos

pueden realizarse fácilmente.

PROGRAMAS COMPUTACIONALES

Los programas computacionales son únicamente conjunto de instrucciones que

dirigen a la computadora para realizar una cierta tarea. Hay mucha gente que

escribe programas para un amplio rango de aplicaciones en los lenguajes de alto

nivel, porque tienen una gran variedad de capacidades.

Aunque habrá algunos ingenieros que usaran toda la amplia gama de

capacidades, la mayoría necesitara realizar los cálculos numéricos orientados a

una ingeniería.

PROGRAMACIÓN ESTRUCTURADA

En los comienzos de la computación, los programadores nos daban mucha

importancia a que sus programas fueran claros y fáciles de entender. Sin embargo

ahí se reconoce que escribir programas realizados y bien estructurados.

ALGORITMO

Procedimientos matemáticos general que vamos a aplicar a los problemas que se

nos presentan; es un procedimiento matemático que nos indica la seria de pasos y

decisiones que normas a tomar para la solución del problemas

CARACTERÍSTICAS.

Finito: Siempre debe terminar en un determinado número de pasos:

Definido: Las acciones deben definirse sin ambigüedad

Entrada: Puede tener una o varias entradas

Salida: Puede tener una o varias salidas

Efectividad.- Todas las operaciones deber de ser los suficientemente básicas para

que pueden hacerse en un tiempo no mayor que el de una persona que tenga

lápiz y papel.

ERROR

En los cálculos numéricos el optimista pregunta, que tan preciso son los

resultados calculados. El pesimista pregunta, que tanto error se ha introducido;

desde luego las 2 preguntas corresponden a lo mismo. Sólo que en raras

ocasiones los datos proporcionados serán exactos, puesto que suelen originarse

en el proceso de medida.

De modo que hay un error probable en la información de entrada. Además, el

propio algoritmo introduce error, quizás redondeos innecesarios o inevitables y la

información de salida contendrá entonces el error generado por ambas fuentes.

EXACTITUD

Se refiere a la cercanía de un número o de una medida al valor verdadero que se

supone representa.

PRECISIÓN

Se refiere al número de cifras significativas que representa una cantidad, a esto se

refiere cuando se habla de doble precisión, dependiendo de la máquina que

estemos utilizando.

DÍGITOS SIGNIFICATIVOS

Son aquellos números diferentes de cero, en una cifra o guarismo, leyendo de

izquierda a derecha; empieza con el primer dígito diferente de cero y terminan con

el tamaño que permitan las celdas que guardan la matiza.

ERRORES INHERENTES O HEREDADOS

Son errores en los valores numéricos con que se va a operar, puede deberse a 2

causas, sistemáticos o accidentales:

Errores sistemáticos: Debido a la imprecisión de los aparatos de medición.

Errores accidentales: Debido a las apreciaciones del observador y cortas causas

ERROR DE TRUNCAMIENTO:

Se debe a la interrupción de un proceso matemático antes de su terminación.

Sucede cuando se toman solo algunos términos de una serie inf. ó cuando se

toma solo un numero finito de intervalos un caso adicional de error de

truncamiento ocurre cuando una calculadora poco sofisticada solo toma en cuenta

los dígitos que aparecen en la pantalla y no analizan los primeros dígitos perdidos.

ERROR DE REDONDEO

Debido a las limitaciones propias de la máquina para representar cantidades que

requieres un gran número de dígitos.

ERROR DE REDONDEO INTERIOR

Se deprecian los dígitos que no pueden conservarse de la localización de memoria

correspondiente (pensando de una manera estricta este caso puede considerarse

como un truncamiento).

ERROR DE REDONDEO SUPERIOR

Este caso tiene dos alternativas, según el signo del número en particular:

a) Para números positivos: el último digito que puede conservarse en la

localización de memoria se incrementa en una unidad si el primer digito

despreciado es mayor o igual que el 5.

b) Para los números negativos: el último digito en la localización de memoria

se reduce en una unidad si el primer digito despreciado es mayor o igual a

5.

ERROR ABSOLUTO:

Es la diferencia entre el valor de un número y su valor aproximado.

y= valor real

y*= valor aprox.

Ey = |y-y*| (valor absoluto)

ERROR RELATIVO:

Es el cociente del error absoluto entre el valor real

Ry= ey/y

Ry= y-y* Para todo y diferente a cero.

Ejemplos:

Cos x

= 0.8775825619 valor real

Aplicando la serie Taylor

n=0 1+ = 1 valor aprox.

Error absoluto:

ey= |y-y*|

ey= |0.877582 -1|

ey= 0.122418

Error Relativo:

ry= =

ry= = 0.324215

Para n=1

=

Ey=|y-y*|= |0.87758256 + 0.87500000 |= 0.00258256

Ry= = 0.00294281

Para n=2

=

ey= |y-y*|= |0.87758256-0.87760416|= 0.00002160

ry= = = 0.00002461

Para n=3

=

ey= |y-y*|= |0.87758256-0.87760416|= 0.00000010

ry= = = 0.00000011

*Calcular el Cos 0.5 (Rad) Valor real y valor aprox. Utilizando la serie Taylor para

las interacciones: n=1, n=2, n=3, n=4.

- calcular el error absoluto, el error relativo

NOTA: como ya se resolvió por serie de Taylor interacción 1, 2, y 3 solo tomamos

sus resultados y resolvimos la interacción 4.

n=4

1+ = = 1+ = 1-0.125+0.00260416-0.00002170+0.00000010=0.87758256

ey= |y-y*| = |0.87758256 – 0.87758256| = 0

ry= = = 0

*Calcular para sen (0.5) con la serie de Taylor

- Para n=0 n=1 n=2 n=3 n=4

-Calcular valor real, valor aproximado, error absoluto, error relativo.

Sen (0.5) = 0.47942554

Para n=0

(-1)°

Ey= |y-y*| = |0.47942554 – 0.5|= 0.02057446

Ry= = = 0.04291482

Para n=1

=0.5 - 0.02083333 =0.47916667

Error absoluto

Ey = ly-y*l

Ey = l0.47942554-0.47916667l = 0.00025887

Error relativo

Ry=

Ry=

Para n=2

= 0.5 – 0.02083333 +0.00026042 =0.47942709

Error absoluto

Ey= |y-y*|

Ey= |0.47942554 – 0.47942709| = 0.00000155

Error relativo

Ry=

Ry=

Para n=3

=0.47942709- 0.00000155 =0.47942554

Error absoluto

Ey= |y-y*|

Ey= |0.47942554 – 0.47942554| = 0

Error relativo

Ry=

Ry=

Para n=4

=0.47952554 – 0.00000001=0.47942555

Error absoluto

Ey= |y-y*|

Ey= |0.47942554 – 0.47942555| = 0.00000001

Error relativo

Ry=

Ry=

*Calcular por donde x=0.3 interaccion n=0 a n=8

*Calcular valor real, valor aproximado, error absoluto, error relativo.

Valor real

N = 0

Valor aproximado

Error absoluto

Ey= |y-y*|

Ey= |1.3498588 –1| = 0.34985881

Error relativo

Ry=

Ry=

Para n=1

Error absoluto

Ey= |y-y*|

Ey= |1.3498588 –1.3| = 0.04985881

Error relativo

Ry=

Ry=

Para n=2

= 1.3 + 0.045 = 1.34500000

Error absoluto

Ey= |y-y*|

Ey= |1.34985881 –1.34500000| = 0.00485881

Error relativo

Ry=

Ry=

Para n=3

= 1.34500000 + 0.0045 = 1.3950000

Error absoluto

Ey= |y-y*|

Ey= |1.34985881 –1.39500000| = 0.00035881

Error relativo

Ry=

Ry=

Para n=4

Error absoluto

Ey= |y-y*|

Ey= |1.34985881 –1.34983750| = 0.00002131

Error relativo

Ry= Ry=

Para n=5

Error absoluto

Ey= |y-y*|

Ey= |1.34985881 –1.34985775| = 0.00000106

Error relativo

Ry=

Ry=

Para n=6

Error absoluto

Ey= |y-y*|

Ey= |1.34985881 –1.34985876| = 0.00000005

Error relativo

Ry=

Ry=

Para n=7

Error absoluto

Ey= |y-y*|

Ey= |1.34985881 –1.34985880| = 0.00000001

Error relativo

Ry= Ry=

Para n=8

Error absoluto

Ey= |y-y*|

Ey= |1.34985881 –1.34985880| = 0.00000001

Error relativo

Ry=

Ry=

*Calcular para x=0.7, n=1, n=2, n=3, n=4

*Valor real, valor aproximado, Error absoluto, Error relativo

ln(x+1)=

Para n=0

ln(0.7+1)=0.53062825 valor real

Valor aprox.

Error absoluto

Ey= ly-y*l = l0.53062825-1l = 0.46937175

Error relativo

Ry= = = 0.88455854

Para n=1

Valor aprox.

Error absoluto

Ey= ly-y*l = l0.53062825-0.30000000l = 0.23062825

Error relativo

Ry= = = 0.43463244

Para n=2

Valor aproximado

Error absoluto

Ey= ly-y*l = l0.53062825-0.54500000|=0.28562825

Error relativo

Ry= = = 0.53828316

Para n=3

Valor aproximado

Error absoluto

Ey= ly-y*l = l0.53062825-0.13066667l= 0.39996158

Error relativo

Ry= = = 0.75375101

Para n=4

Valor aproximado

Error absoluto

Ey= ly-y*l = l0.53062825-0.19069167l= 0.33993658

Error relativo

Ry= = = 0.64063038

SOLUCIÓN DE ECUACIONES ALGEBRAICAS NO LINEALES

Solución o raíz de una ecuación es el valor de x el cual logra satisfacer la

ecuación. Su formula general esta expresada de la sig. Manera:

+ + + +….. x+ =0

Graficar la sig. función en un plano cartesiano y tabular con:

Inicial para x= -5

Final para x= 5

Step incremento= 0.5

10 +12x-5=0

x f(x)

-5 185

-4.5 143.5

-4 107

-3.5 75.5

-3 49

-2.5 27.5

-2 11

-1.5 -0.5

-1 -7

-0.5 -8.5

0 -5

0.5 3.5

1 17

1.5 35.5

2 59

2.5 87.5

3 121

3.5 159.5

4 203

4.5 251.5

5 305

rango

F(x)=10x^2+12x-5=0

A=10

B=12

C=-5

X1= 0.32736184495

X2= -1.52736185

f(x)= +12(0.327)-5=0

f(x)= 1.0692+3.924-5= 0.05

f(x)= +12(0.327)-5=0

f(x)= 23.31729-18.324-5= 0.00671

CAMBIO DE SIGNO DE DESCARTES

El cambio de signo de descartes es el análisis que se hace para localizar las

raíces de la tabulación, es el rango.

x f

-2 11

-1.5 -0.5

-1 -7

-0.5 -8.5

0 -5

0.5 3.5

1 17

1.5 35.5

2 59

*Calcular las raíces para el sig. Sistema de ecuación.

f(x)= -7x-13=0

a) Tabular de -5 a 5 de 0.3

b) Graficar

c) Realizar por formula general el cálculo

d) Determinar el cambio de signo de descartes

Rango donde se encuentra la raíz

Nota: Los números sombreados significa en

donde se encontró el cambio de signo.

x f(x) x f(x)

-5 297 0.1 -13.59

-4.7 262.89 0.4 -14.04

-4.4 230.76 0.7 -12.51

-4.1 200.61 1 -9

-3.8 172.44 1.3 -3.51

-3.5 146.25 1.6 3.96

-3.2 122.04 1.9 13.41

-2.9 99.81 2.2 24.84

-2.6 79.56 2.5 38.25

-2.3 61.29 2.8 53.64

-2 45 3.1 71.01

-1.7 30.69 3.4 90.36

-1.4 18.36 3.7 111.69

-1.1 8.01 4 135

-0.8 -0.36 4.3 160.29

-0.5 -6.75 4.6 187.56

-0.2 -11.16 4.9 216.81

Por formula general:

f(x)= -7x-13=0

a= 11

b= -7

c=-13

=

X2=

X2= -0.8145

X1= 1.4509

f(x)= 11(1.4509)-7(1.4509)-13= 23.15621-10.1563-13= 0.00008

f(x)= 11(-0.8145)-7(-0.8145)-13= 7.29751+5.7015-13= 0.00098725

RELACIÓN DE NEWTON

Sirve para determinar donde existen raíces positivas, su fórmula es la sig:

Donde a1, a2, a3 son los primeros coeficientes del polinomio dado.

Ø

Intervalo donde existen raíces positivas

*Ejemplo:

Calcular la relación de newton para el intervalo donde existen raíces positivas.

a1 = 1

a2 = -2.0374

a3 = -15.4245

a4 = 15.6696

a1x a2x a3x a4x

El rango de las raíces positivas 0≤x≤5.9160

*Calcular el rango de raíces positivas en base a la relación de Newton

F(x) =

F(x) = =0

F(x) =

F(x)=

a1 = 1

a2 = -5

a3 = -2

a4 = 76

F(x) = =0

a=1

a2=-25

a3=164

a4=-320

El rango de las raíces positivas 0≤x≤5.38

El rango de las raíces positivas 0≤x≤ 17.233

= 17.233

F(x) =

a1 = 1

a2 = -2

a3 = 8

a4 = -4

REGLA DE LOS SIGNOS DE DESCARTES

La regla de los signos de los signos de descartes especifica que el número de

raíces positivas es igual al número de cambios de signo de los coeficientes o es

menor que este número en una cantidad igual a un entero par.

*Método de búsqueda.

Este método sirve para determinar el intervalo donde existe una raíz

Fórmula: donde n= subintervalo

*Calcular las raíces positivas de la función:

a1= 1

a2=-2.0374

a3=-15.4245

a4=15.6696

= =

=5.91607968 (0≤x≤5.91607968)

*Calcular los intervalos para los subintervalos de n=2

f(x)

Raíz

Raiz

xa 0 35.4936

Xa+h 2.95803984 -29.29068846

Xa+2h 5.91607968 -391.4689244

Este valor se sustituye en la

función f(x)

2 raíces positivas

*Calcular las raíces positivas de la sig. Función

*Calcular los intervalos para los subintervalos n = 12

a1= 1

a2= -5

a3= -12

(0≤x≤7)

X f(x)

Xa 0 -79

Xa+h 0.58333333 -39.62668808

Xa+2h 1.16666666 -12.75386825

Xa+3h 1.74999999 -0.16796885

Xa+4h 2.33333332 -0.87654307

Xa+5h 2.91666665 -11.10816899

Xa+6h 3.49999998 -24.31249960

Xa+7h 4.08333331 -31.16025271

Xa+8h 4.66666664 -19.54321105

Xa+9h 5.24999997 25.42577779

Xa+10h 5.83333330 121.4128013

Xa+11h 6.41666663 288.8628822

Xa+12 6.99999996 550.9999782

Raíz positiva

*Calcular las raíces positivas de las sig. Funciones.

a) Calcular

b) Calcular los intervalos

c) Calcular los subintervalos para n = 12

d) Realizar la tabla de tabulación y determinar los cambios de signo de

Descartes

a1= 1

a2 =-25

a3=164

(0≤x≤17.23368794)

= 1.43614066

X f(x)

Xa 0 -320

Xa+h 1.43614066 -133.0733915

Xa+2h 2.87228132 -31.49954221

Xa+3h 4.30842198 2.49378860

Xa+4h 5.74456264 -13.32115847

Xa+5h 7.18070330 -61.17214280

Xa+6h 8.61684396 -123.2869238

Xa+7h 10.05298462 -181.8932607

Xa+8h 11.48912528 -219.2189131

Xa+9h 12.92526594 -217.4916401

Xa+10h 14.36140660 -158.9392014

Xa+11h 15.79754726 -25.78935606

Xa+12h 17.23368792 199.7301364

Raíz positiva

Raíz positiva

Raíz positiva

a) Calcular Xrmax

b) Calcular los intervalos para subintervalos de n = 13

c) Determinar y marcar los cambios de signo de Descartes donde se encuentra la

posible raíz

a1= 1

a2= -3

a3= -1

x f(x)

Xa 0 -5

Xa+h .27735010 -0.27232758

Xa+2h .55470020 3.84646954

Xa+3h .83205030 7.18538590

Xa+4h 1.10940040 9.71542788

Xa+5h 1.38675050 11.54961370

Xa+6h 1.66410060 12.94297339

Xa+7h 1.94145070 14.29254886

Xa+8h 2.21880080 16.13739383

Xa+9h 2.49615090 19.15857386

Xa+10h 2.77350100 24.17916636

Xa+11h 3.05085110 32.16426057

Xa+12h 3.32820120 44.22095757

Xa+13h 3.60555130 61.59837029

Raíz positiva

(0≤x≤3.60555128)

METODO DE BISECCION , METODO DEL MEDIO

INTERVALO, BÚSQUEDA BINARIA.

Para xa ≤ x ≤ xb

Xm =

+xb=xm

f (xm) * f (xb)

-xa=xm

| ≤ Ep

Una vez que el intervalo contiene la raíz, ha sido localizado por el técnico de

búsqueda este puede todavía subdividirse reiteradamente para encerrar aun mas

a la raíz localizada.

Este proceso se continúa hasta que el sub intervalo sea tan pequeño que la raíz

será determinada. El procedimiento es el sig.:

1) Se determina el punto medio del intervalo

Xm =

2) Se determina el producto f (xm) * f (xb), si este producto es negativo o nos

indica que las funciones son de signo contrario, quedando localizada la raíz

entre xm y xb, si el producto es f(x) no la atravesado el eje x entre xm y xb y

la raíz debe encontrarse entre xa y xm.

3) Se selecciona el intervalo el cual tiene la raíz, se bisecta y se vuelve a

repetir el procedimiento, esto se realiza hasta que la raíz es localizada con

la precisión deseada aplicando la formula .

f(x) = x3 - 25x2 + 164x - 320 = 0 Intervalo= 2.8722812 ≤ x ≤4.30842189

xa xm =

(xa+xb)/2 xb f ( xa) f (xm) funcion f (xb) |(xa+xb)/2|

≤ Ep ≤ 0.0001

2.8722812 3.5403525 4.3084218 -31.4995422 -7.174221 2.4937886 0.718

3.5403525 3.94938715 4.3084218 -7.174221 -0.64194669 2.4937886 0.179

3.94938715 4.12890448 4.3084218 -0.64194669 1.3329829 2.4937886 0.085

3.94938715 4.03914582 4.12890448 -0.64194669 0.4498886 1.3329829 0.044

3.94938715 3.99042268 4.03914582 -0.64194669 -0.11612114 0.4498886 0.024

3.99042268 4.01478425 4.03914582 -0.11612114 0.17457277 0.4498886 0.012

3.99042268 4.00260347 4.01478425 -0.11612114 0.3115348 0.17457277 0.006

3.99042268 3.99651308 4.00260347 -0.11612114 -0.0420012 0.03115348 0.003

3.99651308 3.99955828 4.00260347 -0.0420012 -0.005303 0.03115348 0.001

Intervalo= 4.30842189 ≤ x ≤ 5.74456264

xa xm =

(xa+xb)/2 xb f ( xa) f (xm)

funcion f (xb) |(xa+xb)/2|

≤ Ep ≤ 0.0001

4.30842189 5.02649227 5.74456264 2.49378821 -0.29841478 -13.32115847 0.35903519

4.30842189 4.66745708 5.02649227 2.49378821 2.51534999 -0.29841478 0.1795176

4.66745708 4.84697468 5.02649227 2.51534999 1.44552772 -0.29841478 0.0897588

4.84697468 4.93673348 5.02649227 1.44552772 0.65565201 -0.29841478 0.0448794

4.93673348 4.98161288 5.02649227 0.65565201 0.19887129 -0.29841478 0.0224397

4.98161288 5.00405258 5.02649227 0.19887129 -0.04474249 -0.29841478 0.01121985

4.98161288 4.99283273 5.00405258 0.19887129 0.0783259 -0.04474249 0.00560993

4.99283273 4.99844266 5.00405258 0.0783259 0.01710654 0.04474249 0.00280496

4.99844266 5.00124762 5.00405258 0.01710654 -0.01373938 -0.04474249 0.00140248

Intervalo= 15.79754726 ≤ x ≤ 17.23368796

xa xm =

(xa+xb)/2 xb f ( xa) f (xm)

funcion f (xb) |(xa+xb)/2|

≤ Ep ≤ 0.0001

15.79754726 16.51561761 17.23368796 -25.7893561 74.31342236 199.7301441 0.35903518

15.79754726 16.15658244 16.51561761 -25.7893561 21.23663587 74.31342236 0.17951759

15.79754726 15.97706485 16.15658244 -25.7893561 -3.01535338 21.23663587 0.0897588

15.97706485 16.06682365 16.15658244 -3.01535338 8.92372372 21.23663587 0.0448794

15.97706485 16.02194426 16.06682365 -3.01535338 2.90772722 8.92372372 0.0224397

15.97706485 15.99950456 16.02194426 -3.01535338 -0.06539309 2.90772722 0.01121985

15.99950456 16.01072441 16.02194426 -0.06539309 1.41826865 2.90772722 0.00560993

15.99950456 16.00511449 16.01072441 -0.06539309 0.67571379 1.41826865 0.00280496

15.99950456 16.00230953 16.00511449 -0.06539309 0.30497999 0.67571379 0.00140248

F(x)= x4-5x3-12x2+76x-79 = 0

Intervalo= 4.66666664 ≤ x ≤ 5.24999997

xa xm = (xa+xb)/2 xb f ( xa)

f (xm) funcion f (xb)

|(xa+xb)/2| ≤ Ep ≤ 0.0001

4.66666664 4.95833331 5.24999997 -19.54321105 -2.26670882 25.42577779 0.14583333

4.95833331 5.10416664 5.24999997 -2.26670882 10.13816317 25.42577779 0.07291667

4.95833331 5.03124998 5.10416664 -2.26670882 3.59323003 10.13816317 0.03645833

4.95833331 4.99479165 5.03124998 -2.26670882 0.57983013 3.59323003 0.01822917

4.95833331 4.97656248 4.99479165 -2.26670882 -0.86402495 0.57983013 0.00911459

4.97656248 4.98567707 4.99479165 -0.86402495 -0.14727754 0.57983013 0.00455729

4.98567707 4.99023436 4.99479165 -0.14727754 0.21497737 0.57983013 0.00227865

4.98567707 4.98795572 4.99023436 -0.14727754 0.03352581 0.21497737 0.00113932

F(x)= x4-3x3-2x2+17.81x-5 = 0

Intervalo= 0.27735010 ≤ x ≤ 0.55470020

xa xm = (xa+xb)/2 xb f ( xa)

f (xm) funcion f (xb)

|(xa+xb)/2| ≤ Ep ≤ 0.0001

0.2773501 0.41602515 0.5547002 -0.27232759 1.87719663 3.84646954 0.06933753

0.2773501 0.34668763 0.41602515 -0.27232759 0.82356062 1.87719663 0.03466876

0.2773501 0.31201887 0.34668763 -0.27232759 0.28069208 0.82356062 0.01733438

0.2773501 0.29468449 0.31201887 -0.27232759 0.00542352 0.28069208 0.00866719

0.2773501 0.2860173 0.29468449 -0.27232759 -0.13314526 0.00542352 0.0043336

0.2860173 0.2903509 0.29468449 -0.13314526 -0.06378365 0.00542352 0.0021668

0.2903509 0.2925177 0.29468449 -0.06378365 -0.02916065 0.00542352 0.0010834

MÉTODO DE LA FALSA POSICIÓN

Criterio

F(xn)*f(xb)=

XB

E

A

B C

XN XA

Xn=xa+δ

Xb-xa

δ

D F(xa)

F(xb)

Xa ≤ x ≤ xb

Razón T.T

=

+ (positiva) xa ≤ x ≤ xn

-(negativo) xn ≤ x ≤ xb

F(x)= x4-5x3-12x2+76x-79 = 0

Intervalo= 4.6666 ≤ x ≤ 5.24999 xn=xa+ɗ

xa xb f (xa) f(xb) d xn f (xn) Ep.

4.6666 5.24999 -19.5461331 25.42462751 0.25356517 4.92016517 -5.07267633 0.05153591

4.6666 4.92016517 -19.5461331 -5.07267633 0.20131837 4.86791837 -8.63380116 0.01073288

4.86791837 4.92016517 -8.63380116 -5.07267633 0.03291061 4.90082898 -6.42778779 0.00394549

4.90082898 4.92016517 -6.42778779 -5.07267633 0.0108073 4.91163628 -5.67583669 0.00173647

F(x)= x3-25x2+164x-320 = 0 Ep=0.00001 ≤ x

Intervalo= 2.87228000 ≤ x ≤ 4.30842000

Criterio:

F(xa)*f(xn) < 0 xb=xn

F(xa)*f(xn) > 0 xa=xn

xn xa xb f(xa) f(xb) d xn = xb - d f (xn)

≤ Ep≤ 0.0001

1 2.87228 4.30842 -31.49954221 2.49378015 0.10555254 4.20286746 190,774,089 2 2.87228 4.20286746 -31.49954221 1.90774089 0.07598391 4.12688355 131,535,270 0.01841193

3 2.87228 4.12688355 -31.49954221 1.31535227 0.05028955 4.076594 0.84331102 0.01233617

4 2.87228 4.076594 -31.49954221 0.84331102 0.03140141 4.04519259 0.51585257 0.00776265

5 2.87228 4.04519259 -31.49954221 0.51585257 0.01889872 4.02629387 0.30655684 0.00469383

6 2.87228 4.02629387 -31.49954221 0.30655684 0.01112274 4.01517113 0.17906493 0.00277018

7 2.87228 4.01517113 -31.49954221 0.17906493 0.00646025 4.00871088 0.10354479 0.00161155

*Calcular las raíces positivas del siguiente polinomio utilizado el método de falsa

posición, calcule las interacciones cuando n = 12

F(x) = -0.1x4-0.15x3-0.5x2-0.25x+1.2

a1=-0.1

a2=-0.15

a3=-0.5

X F(x)

-5 -53.80000000

-4.5 -35.13750000

-4 -21.80000000

-3.5 -12.62500000

-3 -6.60000000

-2.5 -2.86250000

-2 -0.70000000

-1.5 0.45000000

-1 1.00000000

-0.5 1.21250000

0 1.20000000

0.5 0.92500000

1 0.20000000

1.5 -1.31250000

2 -4.10000000

2.5 -8.80000000

3 -16.20000000

3.5 -27.23750000

4 -43

4.5 -64.72500000

5 -93.80000000

Cambio

de signo

Cambio

de signo

F (x) = -0.1x4-0.15x3-0.5x2-0.25x+1.2

intervalo = -2 < x < -1.5

n xa xb F(xa) F(xb) d xn=xb-d F(xn) ep

1 -2 -1.5 -0.70000000 0.45000000 0.19565217 -1.69565217 0.09090663 -------------

2 -2 -1.69565217 -0.70000000 0.09090663 0.03498167 -1.73063384 -0.66709372 0.02021321

3 -1.73063384 -1.69565217 -0.66709372 0.09090663 0.00419534 -1.69984751 0.08206244 0.01811123

4 -1.73063384 -1.69984751 -0.66709372 0.08206244 0.00337233 -1.70321984 0.07491576 0.00197997

MÉTODO NEWTON – RAPHSON

f(xb)

f(x) xa ≤ x ≤ xb

xa xb

xn+1

m

f(xa)

Considera la grafica de la función xn es una primera aproximación a una raíz , si

dibujamos una recta tangente a la curva x=a xn interceptarán el eje x en un valor

xn + 1 que constituye una aproximación mejorada ala raíz la pendiente de la

tangente es f(xn) – f (xn+1) la cual presenta la derivada de la función en punto

n xn - xn + 1

Xn lo que simbolizamos con f´(xn) resolviendo la ecuación para xn+1 tenemos la

siguiente ecuación xn+1= xn – f (xn) de donde se repite el procedimiento con

d f´(xn)

Esta nueva aproximación obteniendo un valor mejorado ala raíz y continuamos

hasta que 2 valores consecutivos de la raíz difieran en una cantidad menor

que cierto valor de error permitido que controla el valor predecible de la raíz.

F (x) = x3 – 25x2 + 164x -320 = 0

F (x) =3x2 - 50x + 164 = 0

n xn F(xn) F´(xn) F(xn)/ F´(xn) Xn+1 ep

1 4.308421986 2.49378862 4.26640073 0.58451814 3.72390385 0.15696381

2 3.72390385 -4.32517815 19.40718715 -0.22286478 3.94676863 0.05646766

3 3.94676863 -0.67576380 13.39251636 -0.05045831 3.99722694 0.01262333

4 3.99722694 -0.03337671 12.07212263 -0.00276478 3.99999172 0.00069120

5 3.99999172 -0.00009936 12.00021528 -0.00000828 4.00000000 0.00000207

6 4.00000000 0 12 0 4 0

F(x)= -0.1x4-0.15x3-0.5x2-0.25x+1.2

F´(x)= -0.40x3 - 0.45x2 -1x - 0.25=0

Intervalo = -2 < x < 1.5

n xn F(xn) F´(xn) F(xn)/ F´(xn) Xn+1 ep

1 -2 -0.700000000 3.15000000 -0.22222222 -1.77777778 0.12500000

2 -1.77777778 -0.09187624 2.35301784 -0.03904613 -1.73873165 0.02245667

3 -1.73873165 -0.00240055 2.23090205 -0.00107604 -1.73765561 0.00061925

4 -1.73765561 -0.00000170 2.22760807 -0.00000080 -1.73765481 0.00000046

5 -1.73765481 0 2.22760562 0 -1.73765481 0

F(x) = -0.1x4-0.15x3-0.5x2-0.25x+1.2

F´(x)= -0.40x3 - 0.45x2 -1x - 0.25=0

Intervalo = 1< x < 1.5

n xn F(xn) F´(xn) F(xn)/ F´(xn) Xn+1 ep

1 1 0.20000000 -2.10000000 -0.09523810 1.09523810 0.08695653

2 1.09523810 -0.01454231 -2.41054963 0.00603278 1.08920532 0.00553870

3 1.08920532 -0.00006219 -2.38995046 0.00002602 1.08917930 0.00002389

4 1.08917930 0 -2.38986189 0 1.08917930 0

*Determinar las raíces positivas por medio del método newton raphson

F(x) = x5- 3x4+3x3-17x-3=0

F´(xn)= 5x4-12x3+9x2-17=0

x F(x)

-5 -5293

-4.5 -3275.34375000

-4 -1919

-3.5 -1047.53125000

-3 -519

-2.5 -222.21875000

-2 -73

-1.5 -10.40625000

-1 7

-0.5 4.90625000

0 -3

0.5 -11.28125000

1 -19

1.5 -25.96875000

2 -29

2.5 -18.15625000

3 27

3.5 141.15625000

4 377

4.5 808.96875000

5 1537

Intervalo = -1.5≤x≤-1

n xn F(xn) F´(xn) F(xn)/ F´(xn) Xn+1 ep

1 -1.5 -10.40625000 69.06225000 -0.15067873 -1.34932127 0.11167002

2 -1.34932127 -1.84880357 45.44015974 -0.04068656 -1.30863471 0.03109085

3 -1.30863471 -0.11252868 39.96926207 -0.00281538 -1.30581933 0.0215603

4 -1.30581933 -0.00051455 39.60403579 -0.00001299 -1.30580634 0.00000995

5 -1.30580634 -0.00000010 39.60235460 0 -1.30580634 0

Raíz positiva (-1.5≤x≤-1)

Raíz positiva (-0.5≤x≤0)

Raíz positiva (2.5≤x≤3)

Intervalo= -0.5 ≤ x ≤ 0

n xn f(xn) f'(xn) f(xn)/f'(xn) xn+1=xn-

(f(xn)/f'(xn)) |(xn+1 - xn)/xn+1|

≤ Ep≤0.00001

1 -0.5 4.90625 -12.9375 -0.37922705 -0.12077295 3.14

2 -0.12077295 -0.95280868 -16.846522 0.05655818 -0.17733113 0.31894109

3 -0.17733113 -0.005242 -16.6451217 0.00031493 -0.17764606 0.00177278

4 -0.17764606 -0.00000022 -16.6437232 0.0000001 -0.17764607 0.00000007

5 -0.17764607 0 -16.6437232 0 -0.17764607 0

Intervalo= 2.5 ≤ x ≤ 3

n xn f(xn) f'(xn) f(xn)/f'(xn) xn+1=xn-

(f(xn)/f'(xn)) |(xn+1 - xn)/xn+1|

≤ Ep≤0.00001

1 2.5 -18.15625 47.0625 -0.38579017 2.88579017 0.13368615

2 2.88579017 12.11760658 116.323194 0.10417189 2.78161829 0.0374501

3 2.78161829 1.20603414 93.7034892 0.01287075 2.76874754 0.00464858

4 2.76874754 0.01662911 91.1272124 0.00018248 2.76856505 0.00006591

5 2.76856505 0.0000033 91.0910189 0.00000004 2.76856502 0.00000001

6 2.76856502 0 91.0910117 0 2.76856502 0

MÉTODO DE LA SECANTE

xa ≤ x ≤xb

m= =

Utilizando el método de Newton Raphson

F(xn+1) F(xn-1)

F(xa)

xn

M=f’(x)

Xn+1

Xn-1 xa

F(x)= x4-5x3-12x2+76x-79=0

Intervalo = 2.1 ≤ x ≤ 2.5

n xn-1 xn f(xn-1) f(xn)

xn+1 Ep≤0.001

1 2.5 2.1 -3.0625 0.8231 -0.084473337 2.184473337 0.03866

2 2.1 2.184473337 0.8231 0.40744376 -0.08280432 2.267277657 0.03652147

3 2.18447334 2.26727766 0.40744376 -0.22348814 0.02933087 2.23794679 0.01310615

4 2.26727766 2.23794679 -0.22348814 0.02448622 -0.00289628 2.24084307 0.0013625

F(x)=x4-2.0374x3-15.424x2+15.6696x+35.4936=0

Intervalo = 3.944053118 ≤ x ≤ 4.4370599758

n xn-1 xn f(xn-1) f(xn)

xn+1 Ep≤0.001

1 4.43705998 3.944053118 10.9819303 -25.656687 -0.34523472 4.28928784 0.08048766

2 3.94405312 4.28928784 -25.656687 -3.35947823 -0.05201586 4.3413037 0.01198162

3 4.28928784 4.3413037 -3.35947823 1.33107987 0.01476099 4.32654271 0.00341173

4 4.3413037 4.32654271 1.33107987 -0.03855114 -0.00041548 4.32695819 0.00009602

Intervalo = 1.972026559 ≤ x ≤ 2.465033199

n xn-1 xn f(xn-1) f(xn)

xn+1 Ep≤0.001

1 2.4650332 1.972026559 -13.1972309 5.91089891 -0.15250642 2.12453298 0.0717835

2 1.97202656 2.12453298 5.91089891 0.00134378 -0.00003465 2.12456763 0.0000163

F(x)=25x3-6x2+7x-88=0

Intervalo = 1.5 ≤ x ≤ 2

n xn-1 xn f(xn-1) f(xn)

xn+1 Ep≤0.001

1 2 1.5 102 -6.625 -0.03049982 1.53049482 0.01992481

2 1.5 1.53049452 -6.625 -1.71469495 -0.01064889 1.54114372 0.0069097

3 1.53049482 1.54114372 -1.71469495 0.047446 0.00028672 1.54085699 0.00018608

*Calcular las raíces del sig. Polinomio.

F(x)= -0.5x2+2.5x+4.5=0 f’(xn)= -1x+2.5=0

Por el método de Newton Raphson

Intervalo= -1.5 ≤ x ≤ -1

n xn f(xn) f'(xn) f(xn)/f'(xn) xn+1= xn-

(f(xn)/f'(xn)) |xn+1-xn/xn+1|

≤Ep≤0.00001

1 -1.5 -0.375 4 -0.09375 -1.40625 0.06666667

2 -1.40625 -0.00439453 3.906525 -0.001125 -1.405125 0.00080064

3 -1.405125 -0.0000063 3.905125 -0.00000016 -1.40512484 0.00000012

Intervalo= 6 ≤ x ≤ 6.5

n xn f(xn) f'(xn) f(xn)/f'(xn) xn+1= xn-

(f(xn)/f'(xn)) |xn+1-xn/xn+1|

≤Ep≤0.00001

1 6 1.5 -3.5 -0.42857143 6.42857123 0.66666667

2 6.42857123 -0.09183673 -3.92857143 0.02337662 6.40519481 0.00364964

3 6.40519481 -0.00027323 -3.90519481 0.00006997 6.40512484 0.00001092

*Determinar las raíces de la función:

F(x)= -82x-90x2+44x3-8x4+0.7x5=0

Por el método de secante

Intervalo= -1 ≤ x ≤ -0.5

n xn-1 xn f(xn-1) f(xn)

xn+1 Ep≤0.001

1 -0.5 -1 12.47812500 -60.70000000 -0.41474143 -0.58525857 0.70864649

2 -1.0 -0.58525857 -60.70000000 7.35649476 0.04483104 -0.63008961 0.07115026

3 -0.58525857 -0.63008961 7.35649476 3.59894824 0.04293881 -0.67302842 0.06379940

4 -0.63008961 -0.67302842 3.59894824 -0.73065376 -0.00724626 -0.66578216 0.01088383

5 -0.67302842 -0.66578216 -0.73065376 0.05154407 0.0004775 -0.66625967 0.00071670

6 -0.66578216 -0.66625967 0.05154407 0.00065209 0.00000612 -0.666265780 0.00000917

Intervalo= 0 ≤ x ≤ 0.5

n xn-1 xn f(xn-1) f(xn)

xn+1 Ep≤0.001

1 0.5 0 -58.47812500 0 0 0 0

Intervalo= 4.5 ≤ x ≤ 5

n xn-1 xn f(xn-1) f(xn)

xn+1 Ep≤0.001

1 5.0 4.5 27.50000000 -170.80312500 -0.43066171 4.93066171 0.08734359

2 4.5 4.93066171 -170.80312500 -6.39204599 -0.01674345 4.94740516 0.00338429

3 4.93066171 4.94740516 -6.39204589 1.58252140 0.00332267 4.94408249 0.00067205

4 4.94740516 4.94408249 1.58252140 0.01046623 -0.00002183 4.94410432 0.00000442

5 4.94408249 4.94410432 -0.01046623 -0.00001697 -0.00000004 4.94410436 0.00000001

*Calcular las raíces de la función f(x)= 5x3-5x2+6x-2=0 por el método de falsa

posición

Intervalo= 0<x<0.5

n xa xb f(xa) f(xb) ∂ xn f(xn) Ep

1 0 0.5 -2 0.375 0.0789474 0.4210526 0.01312145

2 0 0.4210526 -2 0.01312145 0.0027444 0.4183082 0.01312145 0.0065607

3 0 0.4183082 -2 0.00092207 0.0001928 0.4181155 0.00092207 0.000461

4 0 0.4181155 -2 0.00006592 1.368E-05 0.4181017 0.00006592 3.296E-05

5 0 0.4181017 -2 0.00000472 9.9E-07 0.4181007 0.00000472 2.57E-06

6 0 0.4181007 -2 0.00000034 7E-08 0.4181006 0.00000034 1.7E-07

7 0 0.4181006 -2 0.00000002 1E-08 0.4181006 0.00000002 0

MÉTODO DE BIRGE-VIETA

El método de Birge-Vieta aplica Newton raphson para encontrar una raíz del

polinomio p(x). Dado un punto x(k) evalua p(xk) y p’(xk) mediante división sintética

cuando encuentra una raíz p; elimina el factor x-p mediante división sintética y

continua trabajando sobre el polinomio restante. El proceso se repite hasta

encontrar la raíz del polinomio.

Ejemplo:

P(x)= x3-2x2-5x+6 valor inicial 0.8333

División sintética

≠0

X1=0.8333-(1.0234/-6.2500)=0.997044

X1=0.997044=xk

≠0

X1=0.99704-(0.017746/-6.00589352)=0.999999

X1=0.999998

≈ ᴓ si es la raíz

1 -2 -5 6

0.8333 0.8333 0.9722 -4.9766

1 -1.1667 -5.9722 1.0234

0.8333 -0.2778

1 -0.3333 -6.25

1 -2 -5 -6

0.997044 0.997044 -0.99999 -5.982254

1 -1.002956 -5.99999 0.017746

0.997044 -0.005894

1 -0.005912 -6.005884

1 -2 -5 6

0.999998 0.999998 -1 -5.999988

1 -1.000002 -6 0.000012

X=1 es la raíz

P(x)= x3-25x2+164x-320=0

2.8722812

Para xk: 4.3084218

15.79754

≠0

X1=2.8722812-(-31.49954763/44.69296858)=3.577079933

X1=3.577079933=xk

≠0

X1=3.577079933-(-7.475882852/23.53250588)=3.894763179

X1=3.894763179=xk

≠0

X1=3.894763179-(-1.40797958/14.76938172)=3.990094155

X1=3.990094155=xk

≠0

1 -25 164 -320

2.8722812 2.8722812 -63.55703071 288.500452

1 -22.1277188 100.4429693 -31.4995476

2.8722812 -55.30703142

1 -19.2554376 44.69296858

1 -25 164 -320

3.57707993 3.577079933 -76.63149748 312.5241171

-21.42292007 87.36850252 -7.47588285

3.577079933 -63.83599664

-17.84584014 23.53250588

1 -25 164 -320

3.894763179 3.894763179 -82.19989925 318.5920204

1 -21.10523682 81.80010075 -1.40797958

3.894763179 -67.03071903

1 -17.21047364 14.76938172

1 -25 164 -320

3.990094155 3.990094155 -83.83150251 319.8798533

1 -21.00990584 80.168.49749 -0.120146741

3.990094155 -67.91065112

1 -17.01981169 12.25784637

X1=3.990094155-(-.01201467408/12.25784637)=3.999895774

X1=3.999895774

≈ᴓ Si es

la raíz

X=4 es la raíz

1 -25 164 -320

3.999895774 3.999895774 -83.99822815 319.9987491

1 -21.00010423 80.00177185 -0.001250853

Xk=4.3084218

≠0

X1=4.3084218-(2.49378783)/4.266405223=3.7239004461

X1=3.7239004461=xk

≠0

X1=3.7239004461-(-4.325166598/19.40717025)=3.946768822

X1=3.946768822=xk

X1=3.946768822-(-0.6757612266/13.38251129)=3.997226963

X1= 3.997226963=xk

1 -25 164 -320

3.997226963 3.997226963 -83.95285068 319.9666236

1 -21.00277304 80.04714932 -0.033376428≠0

3.997226963 -67.9750273

1 -17.00554608 12.07212202

X1=3.997226963-(-0.03337642759/12.07212202)=3.999991715

X1=3.999991715=xk

1 -25 164 -320

4.3084218 4.3084218 -89.59195341 322.4937878

1 -20.6915782 74.85195341 2.4937783

4.3084218 -70.58554819

1 -16.3831564 4.266405223

1 -25 164 -320

3.723900446 3.723900446 -79.23014709 315.6748334

1 -21.27609554 84.7698529 -4.32516659

3.723904461 -65.36268266

1 -17.55219108 19.40717025

1 -25 164 -320

3.946768822 3.946768822 -83.09223642 319.3242388

1 -2105323118 80.90776358 -0.675761227≠0

3.946768822 -67.51525229

1 -17.10646236 13.39251129

≈ᴓSi

es la

raíz

X=4 es la raíz

1 -25 164 -320

3.999991715 3.999991715 -83.99985915 319.9999006

1 -21.00000829 80.0014085 -0.000994209

Xk= 15.79754

≠0

Xi= 15.79754-(-25.79024766/122.8098102)=16.00754153

Xi=16.00754153=xk

≠0

Xi=16.00754153-(0.9967897115/132.3470809=16.0000099

≈ᴓ

si es la raíz

X=16 es la raíz

1 -25 164 -320

15.79754 15.79754 -145.3762299 294.2097523

1 -9.20246 18.62377005 -25.79024766

15.79754 104.1860401

1 6.59508 122.8098102

1 -25 164 -320

16.0075415 16.00754153 -143.9471525 320.9967897

1 -8.992458473 20.05284754 0.996789712

16.00754153 112.2942334

1 7.015083057 132.3270809

1 -25 164 -320

16.0000099 16.000001 -143.99999 320.001305

1 -8.99999 20.000008 0.001305

*Calcular las raíces reales o iguales a 0 del siguiente polinomio

P(x)=x4-5x3-5x2+23x+10

a) Encuentre posibles raíces con el cambio de signo de Descartes a partir del -4 a

6 de .6 en .6

b) Encontrar las raíces xi utilizando ando el método de Birge-Vieta

x f(x) -4 414

-3.4 204.1536

-2.8 77.6256 -2.2 11.8656 -1.6 -12.5664

-1 -12 -0.4 0.3456 0.2 14.3616 0.8 23.0496 1.4 22.5216

2 12 2.6 -6.1824 3.2 -26.5824 3.8 -40.6464 4.4 -36.7104

5 0 5.6 87.3696

Xk=-2.2

Xk=-1

Xk=2

Xk=5

Xk=-2.2

1 -5 -5 23 10 -2.2 2.2 15.84 -23.834 1.8656

1 -7.2 10.84 -0.848 11.8656≠0 -2.2 20.68 -69.344

1 -9.4 31.52 -70.192

Xi=-2.2-(11.8656/-10.192)=-2.030955095

Xi=-2.030955095=xk

1 -5 -5 23 10

-2.03096 -2.03096 14.27955 -8.4358 -8.43588

1 -7.03095 9.272534 4.153642 1.564138≠0

-2.03096 18.40443 -56.2249

1 -9.05191 27.68389 -52.071

Xi=-2.030955095-(1.564138841/-52.07108844)=-2.000916567 Xi= -2.0009

1 -5 -5 23 10

-2.0009 -2.0009 14.0082 -18.0247 -9.955

1 -7.0009 9.00082 4.9753 0.0449≠0

-2.0009 14.0082 -54.0641

1 -9.0018 27.0199 -49.0888

Xi= -2.0009-(0.0449/-49.0888)=-1.9999

1 -5 -5 23 10

-1.9999 -1.9999 13.9999 -17.9476 -10.0042

1 -6.9999 8.9992 5.0023 -0.0042 ≈ᴓ si es la raíz

Xi= -0.1428-(6.6286/24.1104)=-0.4177

Xi=-0.4177=xk

1 -5 -5 23 10

-0.4177 -0.4177 2.2669 1.1432 -10.0846

1 -5.4177 -2.737 24.1432 -0.0846 ≠0

X=-2 es la raíz Xk=-1

1 -5 -5 23 10

-1 -1 6 -1 -22

1 -6 1 22 -12≠0

-1 7 -8

1 -7 8 14

Xi=-1-(-12/14)=-0.1428 Xi=-0.1428=xk

1 -5 -5 23 10

-0.1428 -0.1428 0.7323 0.6091 -3.3713

1 -5.1428 -4.2656 23.6091 6.6286 ≠0

-0.1428 0.7547 0.5013

1 -5.2856 -3.5108 24.1104

-0.4177 2.4372 0.1251

1 -5.8354 -0.2995 24.2683

Xi=-0.4177-(-0.0846/24.2683)=-0.4142

Xi= -0.4142=xk

1 -5 -5 23 10

-0.4142 -0.4142 2.2426 1.1421 -9.9997

1 5.4142 -2.7424 24.1421 0.00093 ≠0 X=-0.4142 es la raíz

Xk=2

1 -5 -5 23 10

2 2 -6 -22 2

1 -3 -11 1 12≠0

2 -2 -26

1 -1 -13 -25 Xi=2-(12/-25)=2.48=xk

1 -5 -5 23 10

2.48 2.48 -6.2496 -27.899 -12.1495

1 -2.52 -11.2496 -4.899 -2.1495≠0

2.48 -0.0992 -28.145

1 -0.04 -11.3488 -33.044

Xi=2.48-(-2.1495/-33.0440)=2.4149= xk

1 -5 -5 23 10

2.4149 2.4149 -6.2429 -27.1428 -10.0214

1 -2.585 -11.2426 -4.1498 -0.0214≠0

2.4149 -0.4107 -28.1417

1 -0.1701 -11.6533 -32.2915

Xi= 2.4149-(-0.0214/-32.2915)= 2.4142 =xk

1 -5 -5 23 10

2.4142 2.4142 -6.2425 -27.1417 -9.999

1 -2.5857 -11.2425 -4.1417 0.0009 ≈ᴓ si es la raíz

X=2.4142 es la raíz.

Función p(x)=

2 5 -8 -14 6 9

-3.4 -6.8 6.12 6.392 25.8672 -108.348

2 -1.8 -1.88 -7.608 31.8672 -99.3484≠0

-6.8 29.24 -93.024 342.1488

x f(x)

-4 -495

-3.4 -99.3485

-2.8 21.1766

-2.2 27.2794

-1.6 8.1245

-1 0

-0.4 4.9795

0.2 9.5846

0.8 3.4474

1.4 -2.0275

2 45

Xk=-3.4

Xk=1.4

Xk=0.8

2 -8.6 27.36 -100.632 374.016

Xi=-3.4-(-99.3484/374.016)=-3.1343=xk

2 5 -8 -14 6 9

-3.1343 -6.2687 3.9766 12.6104 4.3553 -32.4567

2 -1.2687 -4.0233 -1.3895 10.3553 -23.4567≠0

-6.2687 23.6244 -61.4359 196.9138

2 -7.5374 19.6011 -62.8254 207.2691

Xi= -3.1343-(-23.4567/207.2691)=-3.0211=xk

2 5 -8 -14 6 9

-3.0211 -6.0422 3.1487 14.656 -1.9819 -12.1387

2 -1.0422 -4.8512 0.656 4.018 -3.1387≠0

-6.0422 21.4026 -50.0036 149.0842

2 -7.0844 16.5514 -49.3476 153.1022

Xi= -3.0211-(-3.1387/153.1022)=-3.0416=xk

2 5 -8 -14 6 9

-3.0416 -6.0832 3.2946 114.3117 -0.9482 -15.3655

2 -1.0832 -4.7053 0.3117 5.0517 -6.3655≠0

-6.0832 21.7973 -51.987 157.1758

2 -7.1664 17.092 -51.6753 162.2275

Xi= -3.0416-(-6.3655/162.2275)=-3.0023=xk

2 5 -8 -14 6 9

-3.0023 -6.0046 3.0161 14.9631 -2.8916 -9.3323

2 -1.0046 -4.9839 0.9631 3.1083 -0.3323≠0

-6.0046 21.0437 -48.2166 141.8692

2 -7.0092 16.0599 -47.2535 144.9775

Xi= -3.0023-(0.3323/144.9775)=-3=xk

2 5 -8 -14 6 9

-3 -6 3 15 -3 -9

2 -1 -5 1 3 0 X= -3 es la raíz

Xk= 0.8

2 5 -8 -14 6 9

0.8 1.6 5.28 -2.176 -12.9408 -5.5526

2 6.6 -2.72 -16.176 -6.9408 3.4473≠0

1.6 6.56 3.072 -10.4832

2 8.2 3.84 -13.104 -17.424

Xi= 0.8-(3.4473/-17.424)=0.9978=xk

2 5 -8 -14 6 9

0.9978 1.9956 6.9803 -1.0174 -14.9844 -8.9646

2 6.9956 -1.0196 -15.0174 -8.9844 0.0354≠0

1.9956 8.9714 7.9343 -7.0674

2 8.9912 7.9518 -7.083 -16.0518

Xi= 0.9978-(0.0354/-16.0515)=1=xk

2 5 -8 -14 6 9

1 2 7 -1 -15 -9

2 7 -1 -15 -9 0

X=1 es la raíz

Xk= 1.4

2 5 -8 -14 6 9

1.4 2.8 10.92 4.088 -13.8768 -11.0275

2 7.8 2.92 -9.912 -7.8768 -2.0275≠0

2.8 14.84 24.864 20.9328

2 10.6 17.76 14.952 13.056

Xi= 1.4-(-2.0275/13.056)=1.2447=xk

2 5 -8 -14 6 9

1.2447 2.4894 9.322 1.6455 -15.3775 -11.6722

2 7.4894 1.322 -12.3544 -9.3775 2.6722≠0

2.4894 12.4206 17.1054 5.9136

2 9.9788 13.7426 4.751 -3.4638

Xi= 1.2447-(2.6722/-3.4638)=2.0161=xk

2 5 -8 -14 6 9

2.0161 4.0323 18.21 20.5844 13.2748 38.86

2 9.0323 10.21 6.5844 19.2748 47.86

*Calcular las raíces del sig. Polinomio por el método de Birge-Vieta

P(x)= 5x3-x2-5x+1

a)Calcular las posibles raíces por el cambio de signo de Descartes a partir de -3 a

2 de 0.4 en 0.4

b)Calcular las raíces por método de Div. Sintética por el método de Birge-Vieta.

x f(x)

-3 -128.00

-2.6 -80.64

-2.2 -46.08

-1.8 -22.40

-1.4 -7.68

-1 0.00

-0.6 2.56

-0.2 1.92

0.2 0.00

*Calcular las raíces del siguiente polinomio:

P(x)= 2x6-3x5-13x4+29x3-27x2+32x-12

a) Realizar las tabulaciones y encontrar los cambios de signo según descartes

para encontrar las posible raíz real de .3 en .3 de -5 a 5

b) Calcular las raíces por el método de Birge-Vieta

c) Realizar la grafica del polinomios

0.6 -1.28

1 0.00

1.4 5.76

1.8 17.92

X F(x)

-5 28028

-4.7 18325.49857

-4.4 11441.73363

-4.1 6706.626212

-3.8 3573.483008

-3.5 1603.25

-3.2 449.815808

-2.9 -153.635188

Raíz=-1

Raíz= 0.2

Raíz=1

2 -3 -13 29 -27 32 -12

-3.2 -6.4 30.08 -54.656 82.0992 -176.3174 461.8158

2 -9.4 17.08 -681 55.0992 -144.3174 449.8185≠0

-6.4 50.56 -216.448 774.7328 -2655.462

2 -15.8 67.64 -242.104 829.832 -2799.78

Xi= -3.2 – (449.8158/-2799.7798) = -3.0393 = xk

2 -3 -13 29 -27 32 -12

-3.0393 -6.0786 27.5928 -44.3519 46.6592 -59.7503 84.3416

2 -9.0786 14.5928 -15.3519 19.6592 -27.7503 72.3416≠0

-6.0786 46.0672 -184.3641 606.997 -1904.596

-2.6 -407.219968

-2.3 -455.904232

-2 -400

-1.7 -304.613452

-1.4 -218.043008

-1.1 -129.127648

-0.8 -73.545472

-0.5 -39.0625

-0.2 -19.731712

0.1 -9.042328

0.4 -2.019328

0.7 3.726788

1 8

1.3 9.068528

1.6 5.764352

1.9 0.632492

2.2 4.130048

2.5 39.875

2.8 150.944768

3.1 407.224532

3.4 913.805312

3.7 1820.431808

4 3332

4.3 5720.104508

4.6 9335.635712

4.9 14622.42663

-3.2

0.4

2 -15.1572 60.66 -199.716 626.6562 -1932.347

Xi= -3.0393 – (72.3416/-1932.3466) = -3.0018 =xk

2 -3 -13 29 -27 32 -12

-3.0018 -6.0037 27.0273 -42.1074 39.3457 -633 15.1879

2 -9.0037 14.0273 -13.1074 12.3457 -5.0596 3.1879≠0

-6.0037 45.0492 -177.3358 571.6726 -1753.106

2 -15.0074 59.0765 -190.4432 584.0183 -1758.166

Xi= -3-0393 – (3.1879/-1758.1658) = - 2.9999 = xk

2 -3 -13 29 -27 32 -12

-2.9999 -5.9999 26.999 -41.9956 38.9856 -35.9558 11.8672

2 -8.9999 13.999 -12.9956 11.9856 -3.9558 -0.1327≠0

-5.9999 44.9979 -176.9898 569.9222 -1745.665

2 -14.9998 58.9996 -189.9804 581-9078 -1749.621

Xi= -3-0393 – (3.1879/-1758.1658) = - 2.9999 = xk

X= -3 es la raíz

Xk= 0.4

2 -3 -13 29 -27 32 -12

0.4 -0.8 -0.88 -5.552 9.3792 -7.04832 9.9806

2 -2.2 -13.88 23.448 -17.6208 24.95168 -2.0193≠0

-0.8 -1.2 -6.032 6.9664 -4.2617

2 -3 -15.08 17.416 -10.5644 20.6898

Xi= 0.4 – (-2.0193/20.6898) = 0.4975 = xk

2 -3 -13 29 -27 32 -12

0.4975 -0.995 -0.9974 -6.9637 10.963 -7.9783 11.9507

2 -2.005 -13.9974 22.0362 -16.0369 24.0216 -0.0492≠0

-0.995 -0.5024 -7.2136 7.3741 -4.3096

2 -1.01 -14.4998 14.8225 -8.6627 19.7119

Xi= 0.4975 – (-0.0492/19.7119) = 0.4999 = xk

2 -3 -13 29 -27 32 -12

0.4999 -0.9999 -0.9998 -6.9985 10.9985 -7.9991 11.998

2 -2 -13.9998 22.0014 -16.0014 24.0008 -0.0019≠0

X= 0.5 es la raíz

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES (ALGEBRAICAS)

a11 x1 + a12 x2+ a13 x3 + ... a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2+ a23 x3 + ... a2n xn = b2

a31 x1 + a32 x2+ a33 x3 + ... a3n xn = b3

am1 x1 + am2 x2+ am3 x3 + ... amn xn = bm

Ax= B

Donde:

A = es la matriz de coeficiente

b = es el vector del coeficiente

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

X = es el vector de solución

Solución de

Sistemas de

Ecuaciones

Lineales

x y y

-10 20 -13

0 10 -3

10 0 7

Consistentes

Inconsistentes (no tiene solución)

Determinados (solución única)

Indeterminados (familia de soluciones)

x + y = 10

x – y = 3

y= 10 – x

x = 3 + y

12

14

16

18

20

(-10, -20)

MÉTODO DE GAUSS

El método de Gauss consiste en resolver un sistema de ecuaciones lineales

transformándola en una matriz. Haciendo la diagonal principal “unos” y el triángulo

inferior “ceros”.

Matriz Identidad:

Triangulo Inferior Diagonal Principal Triangulo Superior

Para hacer la diagonal principal “unos” y el triángulo inferior “ceros” se debe de

proceder a hacer las operaciones básicas de las matrices.

1) Intercambiar filas.

1 0 0

0 1 0

0 0 1

-2 -4 -6

-12

-8

-14

-10 -2

-4 -6

-8

-10

2 4

4

6

6

8

8

10

10

12

2

x = 3 + y

y = 10 – (3 + y )

y= 10 – 3 – y

2y = 7

Y = 7/2 = 3.5

x = 3 + 3.5

x = 6.5

(-10, -13)

(0, 10)

(10, 7)

(10, 0)

(0, -3)

2) Dividir entre un escalar.

3) Multiplicar entre un escalar y sumar una fila.

Ejemplo:

*Determinar la solución de un sistema de ecuaciones lineales 2 x 2

3x + 4y = 3

x + 5y = 7

= = =

F2 F1 F1(-3)+F2 F2(-1/11)

y = 18/11 verificación:

x + 5(18/11) = 7 x + 5y = 7

x = 7 – 90/11 -13/11 + 5(18/11) = 7

x = -13/11 77/11 = 7

7 = 7

3x1 + 6x2 – 2x3 = 11

x1 + 0x2 + 4x3 = 9

4x1 + 3x2 – 5x3 = -5

= = =

F1 F2 F1(-3)+F2 F2(1/6)

F1(-4)+F3

= =

F2(-3)+F3 F3(-1/14)

x3 = 33/14

x2 = -8/3 + 77/14 = 119/42

x1 = 9 – 4(33/14) = 126/14 – 132/14 = -6/14 = -3/7

Verificación:

x1 + 0x2 + 4x3 = 9

-3/7 + 132/14 = 9

-3/7 + 66/7 = 9

63/7 = 9

9 = 9

Sistema de Ecuaciones 4 x 4:

20x1 - x2 – 4x3 + x4 = 30

-x1 - 30x2 + 3x3 - x4 = 40

x1 + x2 – 32x3 – x4 = 40

-x1 - x2 – 2x3 -25x4 = 50

20 1 -4 1 30

1 1 -32 -1 40

-1 -30 3 -1 40 = -1 -30 3 -1 40

1 1 -32 -1 40

20 1 -4 1 30

-1 -1 -2 -25 50

-1 -1 -2 -25 50

F1 <-> F3

F1 (1) + F2

F1 (-20) + F3

F1 (1) + F4

1 1 -32 -1 40

1 1 -32 -1 40

0 -29 -31 -2 80 = 0 1 31/29 2/29 -80/29

0 -21 636 21 -770

0 -21 636 21 -770

0 0 -34 -26 90

0 0 -34 -26 90

F2 (-1/29)

F2 (21) + F3

1 1 -32 -1 40

1 1 -32 -1 40

0 1 31/29 2/29 -80/29 = 0 1 31/29 2/29 -80/29

0 0 19095/29 651/29 -24010/29

0 0 1 217/6365 -4802/3819

0 0 -34 -26 90

0 0 -34 -26 90

F3(29/19095)

F3(34)+F4

1 1 -32 -1 40

1 1 -32 -1 40

0 1 31/29 2/29 -80/29

0 1 31/29 2/29 -80/29

0 0 1 217/6365 -4802/3819 = 0 0 1 217/6365 -4802/3819

0 0

0

-26

90

0 0 0 1

-90/26

F4(-6365/158112)

-158112/6365 506978/3819

x4 = 1267445/237168

x3 = -770

x2 = -80/29 +31 – 725/58 = 913/58

x1 = 1604 – 98560/4 + 725/4 = 97675/4

Verificación:

x1 + x2 – 32x3 – x4 = 40

-97675/4 + 913/58 – 32(-770) – 725/4 = 40

-5665150/232 + 3652/232 + 5716480/232 –

42050/232 = 40

9280/232 = 40

40 = 40

*Otro ejemplo:

X1 + 10X2 - X3 = 10

X1 - 2X2 + 10X3 = 12

10X1 + 3X2 + X3 = 14

= = =

F1(-1)+F2 F2(-1/12) F2(97)+F3

F1(-10)+F3

=

F3(-12/935)

X3 = 1226/935

X2 – 11/12 X3 = -1/6

X1 + 10X2 – 1X3 = 10

X2 – 11/12(1226/935) = -2/12 X1 + 10(88/85) – 1226/935 = 10

X2 – 613/510 = -2/12 X1 + 176/17 – 1226/935 = 10

X2 = -1/6 + 613/510 X1 = 10 – 176/17 + 1226/935

X2 = 88/85 X1 = 896/935

896/935 + 10(88/85) – 1226/935 = 10

PROBLEMA CORRECTO

2X1 + 3X2 – 5X3 = -3

4X1 – X2 – 2X3 = -12

-3X1 + 10X2 - 5X3 = 11

= = =

F1(1/2) F1(-4)+F2 F2(-1/7)

F1(3)+F3

F2(-29/2)+F3 F3(14/57)

X3= -83/57

X2 - 8/7X3 = 6/7

X1 + 3/2X2 – 5/2X3 = 3/2

X2 – 8/7(-83/57) = 6/7 X1 + 3/2(-46/57) – 5/2(-83/57) = -3/2

X2 + 664/399 = 6/7 X1 – 23/19 + 415/114 = -3/2

X2 = 6/7 – 664/399 X1 = -3/2 + 23/19 -415/114 = -224/57

X2 = -46/57

-224/57 + 3/2(-46/57) – 5/2(-83/57) = -3/2

-224/57 – 23/19 + 415/114 = -3/2

PROBLEMA CORRECTO

MÉTODO DE GAUSS – JORDAN (MATRIZ AUMENTADA)

X1 + 2X2 – X3 = 10

X1 – X2 + 3X3 = 5

3X1 + X2 – 4X3 = 3

1 2 -1 10 1 0 0 1 2 -1 10 1 0 0 1 2 -1 10 1 0 0

1 -1 3 5 0 1 0 = 0 -3 4 -5 -1 1 0 = 0 1 -4/3 5/3 1/3 -1/3 0 =

3 1 -4 3 0 0 1 0 -5 -1 -27 -3 0 1 0 -5 -1 -27 -3 0 1

F1(-1) + F2 F2(-1/3) F2(-2) + F1

F1(-3) + F3 F2(5) + F3

1 0 5/3 20/3 1/3 2/3 0 1 0 5/3 20/3 1/3 2/3 0

= 0 1 -4/3 5/3 1/3 -1/3 0 = 0 1 -4/3 5/3 1/3 -1/3 0 =

0 0 -23/3 -56/3 -4/3 -5/3 1 0 0 1 56/23 4/23 5/23 -3/23

F3(-3/23) F3(-2/3) + F1

F3(4/3) + F2

1 0 0 60/23 1/23 7/23 5/23

= 0 1 0 113/23 13/23 -1/23 -4/23

0 0 1 56/23 4/23 5/23 -3/23

X1 = 60/23

X2 = 113/23

X3 = 56/23

PROBLEMA CORRECTO

PROBLEMAS DE LAS HOJAS:

4x1 – 8x2 = -24

X1 + 6x2 = 34

4 -8 -24 1 0 1 6 34 0 1

1 6 34 0 1 = 4 -8 -24 1 0 =

F1 F2 F1 (-4)+ F2

1 6 34 0 1 1 6 34 0 1

0 -32 -160 1 -4 = 0 1 160/32 -1/32 4/32 =

F2 (-1/32) F2 (-6) + F1

1 0 4 -6/32 -24/32

0 1 5 -1/32 4/32

X1 = 4

X2 = 5

-1.1X1 + 10X2 = 120

-2X1 + 17.4X2 = 174

-1.1 10 120 1 0 = 1 -9.0909 -109.0909 -0.9090 0 =

-2 17.4 174 0 1 -2 17.4 174 0 1

F1 (-1/1.1) F1 (2) + F2

1 -9.0909 -109.0909 -0.9090 0 =

0 -0.7818 -44.1818 -1.8181 1

F2 (-1/.7818)

1 -9.0909 -109.0909 -0.9090 0 = 1 0 404.6623 20.2309 -11.627

0 1 56.5129 2.3254 -1.279 0 1 56.5129 2.3254 -1.279

F2 (9.0909) + F1

X1 = 404.6623

X2 = 56.5129

0.5X1 – X2 = -9.5

1.02X1 – 2X2 = -18.8

0.5 -1 -9.5 0 1 1 -2 -19 2 0

1.02 0.04 -18.8 0 1 = 1.02 -2 -18.8 0 2 =

F1 (2) F1 (-1.02) + F2

1 -2 - 19 2 0 1 -2 -19 2 0

0 0.04 0.58 2.04 2 = 0 1 14.5 51 50 =

F2 (1/0.04) F2 (2) + F1

1 0 10 104 100

0 1 14.5 51 50

X1 = 10

X2 = 14.5

10X1 + 2X2 – X3 =27

-3X1 – 6X2 + 2X3 = -61.5

X1 + X2 + 5X3 = -21.5

10 2 -1 27 1 0 0 1 1 5 -21.5 0 0 1

-3 -6 2 -61.5 0 1 0 = -3 -6 2 -61.5 0 1 0 =

1 1 5 -21.5 0 0 1 10 2 -1 27 1 0 0

F1 F3 F1 (3) + F2 F1 (-10) + F3

1 1 5 - 21.5 0 0 1 1 1 5 -21.5 0 0 1

0 -3 17 -126 0 1 3 = 0 1 -17/3 42 0 -1/3 1 =

0 -8 -51 242 1 0 0 0 -8 -51 242 1 0 0

F2 (-1/3) F2 (-1) + F1 F2 (8) + F3

1 0 32/3 -63.5 0 1/3 2 1 0 32/3 -63.5 0 1/3 2

0 1 -17/3 42 0 -1/3 -1 = 0 1 - 17/3 42 0 -1/3 -1

0 0 -289/3 578 1 -8/3 -8 0 0 1 -6 -3/289 8/289 24/289

F3 (-3/289) F3 (17/3) + f2 F3 (-32/3) + F1

1 0 0 0.5 32/289 11/289 322/289 X1 = 0.5

0 1 0 8 -1/17 -3/17 - 9/17 X2 = 8

0 0 1 -6 - 3/289 8/289 24/289 X3 = -6

8x1+2x2-2x3=-2

10x1+2x2+4x3=4

12x1+2x2+2x3=6

8 2 -2 -2 1 0 0 1 1/4 -1/4 -1/4 1/8 0 0

10 2 4 4 0 1 0 = 10 2 4 4 0 1 0 =

12 2 2 6 0 0 1 12 2 2 6 0 0 1

F1(1/8) F1(-10)+F2

F1(-12)+F3

1 1/4 -1/4 -1/4 1/8 0 0 1 1/4 -1/4 -1/4 1/8 0 0

0 1/2 13/2 13/2 -5/4 1 0 = 0 1 -13 -13 5/2 -2 0 =

0 -1 5 9 -3/2 0 1 0 -1 5 9 -3/2 0 1

F2(2/1) F2(1/4)+F1

F2(1)+F3

1 0 3 3 - 1/2 1/2 0 1 0 3 3 - 1/2 1/2 0

0 1 -13 -13 5/2 -2 0 = 0 1 -13 -13 5/2 -2 0 =

0 0 -8 -4 1 -2 1 0 0 1 1/2 1/8 1/4 -1/8

F3(-1/8) F3(-3)+F1

F3(13)+F2

1 0 0 3 - 1/2 1/2 0 x1 = 3/2 x2=-13/2 x3 = 1/2

0 1 0 -13/2 7/8 5/4 -13/8

0 0 1 1/2 -1/8 1/4 -1/8

2x1-6x2-x3=-38

-3x1+x2+7x3=-34

-8x1+x2-2x3=-20

2 -6 -1 -38 1 0 0 1 -3 -1/2 -19 1/2 0 0

-3 -1 7 -34 0 1 0 = -3 -1 7 34 0 1 0 =

-8 1 - 2 20 0 0 1 8 1 - 2 -20 0 0 1

F1(1/2) F1(3)+F2

F1(8)+F3

1 1/4 -1/4 -1/4 1/8 0 0 1 1/4 -1/4 -1/4 1/8 0 0

0 1/2 13/2 13/2 -5/4 1 0 = 0 1 -13 -13 5/2 -2 0

0 -1 5 9 -3/2 0 1 0 -1 5 9 -3/2 0 1

F2(2/1) F2(1/4)+F1

F3(1)+F3

1 0 3 3 - 1/2 1/2 0 1 0 3 3 - 1/2 1/2 0

0 1 -13 -13 5/2 -2 0 = 0 1 -13 -13 5/2 -2 0 =

0 0 -8 -4 1 -2 1 0 0 1 ½ 1/8 1/4 -1/8

F3(-1/8) F3(-3)+F1

F3(13)+f2

1 0 0 3 - 1/2 1/2 0 x1 = 4 x2=8 x3 = -2

0 1 0 -13/2 7/8 5/4 -13/8

0 0 1 1/2 -1/8 1/4 -1/8

METODO DE GAUSS SEIDEL

2x1 – 6x2 + x3 = 12 x1 = (12 + 6x2 - x3)/2

-x1 + 7x2- x3 = -8 x2 = (-8 + x1 + x3)/7

x1- 3x2 + 2x3 = 16 x3 = (16 - x1 + 3x2)/2

{0, 0, 0}

x1 = (12 + (6*0) -0)/2

x1 = 6

x2 = (-8+6+0)/7 x3 = (16-6+(3*-0.28))/2

x2 = -0.28 x3 = 4.58

{6, -0.28, 4.58}

x1 = (12 + (6*-0.28) -4.58)/2

x1 = 2.87

x2 = (-8+2.87+4.58)/7 x3 = (16-2.87+(3*-0.07))/2

x2 = -0.07 x3 = 6.46

Ep = | (6-2.87)/6 | Ep = 0.521

{2.87, -0.07, 6.46}

x1 = (12 + (6*-0.07) -6.46)/2

x1 = 2.56

x2 = (-8+2.56+6.46)/7 x3 = (16-2.56+(3*0.14))/2

x2 = 0.14 x3 = 6.93

Ep = | (2.56 -2.87)/2.56 | Ep = 0.121

{2.56, 0.14, 6.93}

x1 = (12 + (6*0.14) -6.93)/2

x1 = 2.95

x2 = (-8+2.95+6.93)/7 x3 = (16-2.95+(3*0.26))/2

x2 = 0.26 x3 = 6.91

Ep = | (2.95-2.56)/2.95 | Ep = 0.13

{2.95, 0.26, 6.91}

x1 = (12 + (6*0.26) -6.91)/2

x1 = 3.32

x2 = (-8+3.32+6.9)/7 x3 = (16-2.95+(3*0.31))/2

x2 = 0.31 x3 = 6.97

Ep = | (3.32-2.95)/3.32 | Ep = 0.111

{3.32, 0.31, 6.97}

x1 = (12 + (6*0.31) -6.97)/2

x1 = 3.44

x2 = (-8+3.44+6.97)/7 x3 = (16-3.44+(3*0.34))/2

x2 = 0.34 x3 = 6.7

Ep = | (3.44-3.32)/3.44 | Ep = 0.03

{3.44, 0.34, 6.7}

x1 = (12 + (6*0.34) -6.7)/2

x1 = 3.67

x2 = (-8+3.67+6.7)/7 x3 = (16-3.67+(3*0.33))/2

x2 = 0.33 x3 = 6.66

Ep = | (3.67-3.44)/3.67 | Ep = 0.05

{3.67, 0.33, 6.66}

x1 = (12 + (6*0.33) -6.66)/2

x1 = 3.66

x2 = (-8+3.66+6.66)/7 x3 = (16-3.66+(3*0.33))/2

x2 = 0.33 x3 = 6.66

Ep = | (3.66-3.67)/3.66 | Ep = 0.001

X1 = 3.66

x2 = 0.33

x3 = 6.66

PROBLEMA CORRECTO

POR MEDIO DE GAUSS

2x1-6x2+x3=12

-x1+7x2-x3=-8

X1-3x2+2x3=16

2 -6 1 12 1 -3 2 16

-1 7 -1 -8 -1 7 -1 -8

1 -3 2 16 2 -6 1 12

F1-- F3 F1(1)+F2

F1(-2)+F3

1 -3 2 16 1 -3 2 16

0 4 1 8 0 1 ¼ 2

0 0 -3 -20 0 0 -3 -20

F2(1/4) F3(-1/3)

1 -3 2 16

0 1 ¼ 2

0 0 1 20/3

X3=20/3 x2=2-1/4(20/3) X1=11/3

X2+1/4+3=2 x2= 2 -20/12->5/3 X2=1/3

X1-3x2+2x3=16 x2= 6/3 - 5/3 = 1/3 X3=20/3

Por Metodo De Gauss – Seidel

X1=12x+6x2-x3 0 , 0 , 0

2

X2= -8+x1+x3

7

X3=16-x1+3x2

2

X1=(12+6(0)-0)/2= 12/2=6 X2=(-8+6+0)/7=2/7 =-0.2857

X3=(16-6+3(-0.2857))/2=9/2=4 X1=(12+6(0.2857)-(4))/2= 6/2=3

X2=-(8+3+4)/7=1/7 =-0.1428 X3=(16-3+3(-0.1428))/2=13/2=7

3-6 =1

3

X1=(12+6(-0.1428)-(7))/2= 4/2=2 X2=(-8+2+4)/7=1/7 =0.1428

X3=(16-2+3(0.1428))/2=14/2=7

X1=(12+6(0.1428)-(7))/2= 5/2=2.5 X2=(-8+2.5+7)/7=1.5/7 =0.2142

X3=(16-2.5+3(0.2142))/2=15/2=7.5

2.5-2 =0.25

2.5

X1=(12+6(0.2142)-(7))/2= 6/2=3 X2=(-8+3+7)/7=2/7 =0.2857

X3=(16-3+3(0.2857))/2=14/2=7

X1=(12+6(0.2142)-(7))/2= 6/2=3 X2=(-8+3+7)/7=2/7 =0.2857

X3=(16-3+3(0.2857))/2=14/2=7

3-3 =0

3

X1+X2+6X3=8

X1+5X2-X3=5

4X1+2X2-2X3=4

1 1 6 8 1 1 6 8

1 5 -1 5 0 4 -7 -3

4 2 -2 4 0 -2 -26 -28

F1(-1)+F2 F2(1/4)

F1(-4)+F3

1 1 6 8 1 0 31/4 35/4

0 1 -7/4 -3/4 0 1 -7/4 -3/4

0 -2 -26 -28 0 0 -59/2 -59/2

F2(-1)+F1 F3(-2/59)

F2(2)+F3

1 0 31/4 35/4 1 0 0 1

0 1 -7/4 -3/4 0 1 0 1

0 0 1 1 0 0 1 1

F3 (-31/4)+F1 x1=1

F3 (7/4)+F2 x2=1

X3=1

ESCUELA PREPARATORIA

“JOSÉ DE ESCANDÓN”

NOMBRE: HANNELORE GOVELA CONTRERAS

MATERIA: CÁLCULO NUMÉRICO

MAESTRO: ING. JOSÉ ALEJANDRO SALINAS ORTA

APUNTES DEL CUADERNO

6°SEMESTRE “B”

29 DE MAYO DEL 2012