Libro apuntes ampliación de cálculo (integrales)

AMPLIACIÓN DE CÁLCULO.

INTEGRACIÓN

MÚLTIPLE.

RESUMEN DE UNIDADES DIDÁCTICAS CON EJERCICIOS

NUEVOS Y CONSEJOS (ANEXOS).

TEMAS 12 A 16 DEL

PROGRAMA DE LA E.T.S. DE INGENIEROS

INDUSTRIALES – UNED.

AUTOR: JOSÉ MANUEL GÓMEZ VEGA.

Notas importantes.

Sirva este resumen como complemento a las Unidades Didácticas de la UNED

de Ampliación de Cálculo en su plan antiguo (vigente en el año 2.001). Lamento los errores, imprecisiones, erratas que pudieran existir que no han sido intencionados, evidentemente.

He intentado resumir al máximo los conceptos pero este trabajo no es un cuadro

sinóptico, ni un resumen esquemático. Lo que se intenta es fundir la teoría con un esfuerzo pedagógico en el que se logre sintetizar los conceptos, teoremas que aparecen. Se ha intentado escribir nuevos ejercicios que permitan una mayor comprensión de los mismos para el estudio. Los ejercicios están realizados “paso a paso”. Por otra parte he ampliado algunos conceptos olvidados de primer curso como por ejemplo, la función Beta, muy aplicable en resolución de funciones subintegrales trigonométricas y también he dado una serie de aclaraciones a la integral de superficie, sobre todo a la orientación de las superficies, desde enfoques consultados en bibliografía complementaria que espero ayuden a comprender la orientación de los vectores normales. Por otra parte, he aclarado también que las variables en coordenadas cilíndricas y esféricas tienen otra escritura en otros cursos, como el de Campos y Ondas, para que el estudiante se familiarice con todas las nomenclaturas que es lógico que encuentre al consultar libros de otras asignaturas, con lo que pudiera incurrir en errores.

También debo de hacer constar mi entuasiasmo al usar el programa Scientific

Notebook el que me ha posibilitado hacer este trabajo sin mucho esfuerzo. Si alguien quiere hacer cosas parecidas ya sabe que no precisa de los conocimientos de latex ni de otros programas con comandos oscuros...por lo que se ahorra tiempo.

No existen más trabajos actualmente de este tema, por mi parte, pues es una

labor ardua pero plenamente satisfactoria. Para aprender matemáticas, se necesita constancia y pasión en el aprendizaje.

Toda la biliografía que se pueda consultar es poca, dada la abstracción de la asignatura. ¡Bienvenido al fantástico mundo de Ampliación de Cálculo, el

cimiento en que se apoyarán tus conocimientos en materias tecnológicas posteriores, ánimo!

Advertencia importantes:

1) me es imposible corregir las erratas que aparezcan, pues perdí los ficheros fuente del disco duro; lo que sí puedo hacer es incluir una Fe de Erratas. Para comunicármelas, puede escribir a [email protected] , o simplemente contándome que se podría haber mejorado (para futuros trabajos en otras materias), lo que agradeceré.

2) Páginas 60, 61, 62 no existen (error en numeración).

AMPLIACiÓN DE CÁLCULO.

CAPíTULO 12. lA INTEGRAL MÚlTIPLE DE RIEMANN.

1. INTRODUCCiÓN. lA INTEGRAL DOBLE. DEFINICIONES. Rectángulo: producto cartesiano en iR2 de dos intervalos cerrados y acotados de iR

[a,b] x [c,d] { x E [a,b] y E [c,d]

ejemplo: (1,3) x (3,4)

•. , ., {Pl={a=XO,Xl, ... ,xn-l,xn=b} Particlon P de A : colecclOn de puntos PIXP 2 , _ _ _

P2 - {e - YO,Yl, ... ,Yn-1,Yn - d}

{ {O= ~, ~ , ... , n ~ 1 , ~=1}

ejemplo: [O, 1] <=> {-.l 2- } son dos particiones del intervalo O, 2' 4,1

Una partición determina una colección de subrectángulos {Qij} = [Xi-! ,Xi] X [Yt-byil de iR"xiR m

Área del subrectángulo:IQijl == (Xi-I,X¡)(yi-!,y¡) Sumas de Riemann

superior: S(f,P) = ¿MijlQijl . {Mij = sup{f{x,y) : (x,y) E Qij} DefinlIDos

mij = inf{f{x,y) : (x,y) E Qij}

==> iJ

inferior: s(f,P) = ¿mij'IQijl iJ ------'===- ..... ,---~~-"-"""-

I Se curi~: mIAI ~ sCf..P) ~ __ S(f,P) ~ A!JAU

-A J = sup{s(f,P)}

Integral inferior = J Integral superior = JPropiedades : =~ -A J = inf{S(f,P)}

12.1. DEFINICiÓN DE LA INTEGRAL DOBLE DE RIEMANN EN UN RECTÁNGULO.

-A

f integrable <=> J f = J f (integral inferior = integral superior) -A

en todo conjunto acotado de !Ji existen ambas (hay supremo e ínfimo)

{

interpretación geométrica:

Integral defen A = Lf=: J Lj{x,y)dx-dy (doble) j{x,y) = 1 ==> área

j{x,y) "* 1 ==> volumen --- --~

----------------AMPLIACIÓN DE CÁLCULO pág. 1

-AMPLIACIÓN DE CÁLCULO. 2° ETSII-UNED. Capítulo 12. La integral múltiple de Riemann.-

2. INTEGRAL MÚLTIPLE.

12.2. DEFINICiÓN DE INTEGRAL DE RIEMANN DE UNA FUNCiÓN EN UN TRIÁNGULO.

Repetición genérica de lo estudiado en integral doble.

{

n = 2, doble IntegraldefenA=Lf=ff .. ·Lj{Xl,X2, ... xn)dx¡dx2 ... dxn _ .

n - 3, tnple, ...

12.3. EJEMPLOS.

1) Sirvan los ejemplos para contrastar entre las integrales dobles y triples y su sentido geométrico.

f2 fx2 (integral doble de área): o dx x dy, siendo j(x,y) = 1

(integral doble de volumen): f2 dyfy3 j(x,y)dx, siendoj(x,y) = x2y "* 1 -2 2y

f2 f]E. fx2y f2 f]E. 3 (integral triple de volumen): o dy j dx 2xy dz = o dy j j(x,y)dx, siendoj(x,y) = z = { - i 2 2

(integral triple): f~ dof~ dp f~O,p)dz, siendoj{O,p) = z = J pcos30

{ 1 si x Ó y E Q (racionales)

2) Sea f(x,y)= 2 si x, y E' (irracionales)

f{) . bl . T '1 l" ., {s(f,P) = ~]QI = ¡Al x,y no es mtegra e en nmgun rectángu o pues para cua qUler parhclOn S(f,P) = ¿21QI = 2jAI

-A

Y entonces f f"* f f -A

f f= ¡Al -A -A

f f= 2¡A1

=> no existe Lf

12.4. CONDICiÓN DE INTEGRABILIDAD DE RIEMANN.

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---.José Manuel Gómez Vega. E.T.S. Ingenieros Industriales UNED 2000-2001--

3. MEDIDA CERO Y CONTENIDO CERO. 12.5. DEFINICiÓN DE MEDIDA CERO. r e 9l" tiene medida O = V E > O 3 n:cubrim;en!:' numerable de rectángulos {Qm}J

(abiertos o cerrados) I L IQml < E

m=l , "'~-'---- -- ._-----' , " ' "----~

Un conjunto no acotado no puede tener contenido O.

Numerable: se puede establecer una correspondencia de los elementos con los números naturales mediante sucesiones. Si P es una partición numerable, P = [! = O, ~ , ... , n~l ,~ = 1] en el intervalo [O, 1].

12.6. EJEMPLO. La sucesión {Xm} de ~n tiene medida o. 12.7. PROPOSICiÓN.

[La,l!Tli6~'de,~~~~sión iH~'} de s,!_~~~~j~~ d~~~di,!,!,~~;~'ti~~"!.edid;;~~?J

12.8. DEFINICiÓN DE CONTENIDO CERO.

r' e ~ n tie~e conte~ido O <==> 'v E > O 3"reCUbri~iento finito de rectániulos {Qm}

(abiertos o cerrados) I L IQml < E

m=l '''~~ '--- - ~---," -

Finito: no se puede establecer una correspondencia mediante sucesiones.

Si P es una partición finita, P = [1, 190' ; , ; ,2] en el intervalo [1,2].

{

recubrimiento numerable: suma extendida a inf"mitos términos (00 ) Medida-contenido O: diferencias

recubrimiento finito: suma extendida a finitos ténninos (p )

12.9. EJEMPLOS.

{

medida o: sí (existen infInitos puntos) 1) semirrecta x ::::: O

contenido O: no (no exite recubrimiento fInito)

{

medida O: sí 2) sucesión {xm } de 1Jl'I

contenido O: no , pero si es suco convergente sí (por estar acotada).

{

medida O: sí (existen infInitos puntos) 3) [O, 1]E Q

contenido O: no

12.10. PROPOSICiÓN.

~""'--'"'' "" "'"'' "'" "" ""~~ oJ

{ H cualquiera: H contenido O ===> H medida O

H compacto y medida O <=> H contenido O H no compacto: H medida O ::t:> H contenido O

------,.,._--------"._-----"---,,-._ .. _----_ .. _ .. _._-------_ .. ,.". - ."..... -_ ... _.,-~---_.""",-~---"~-_ .. " ",._-_.-


-AMPLIACIÓN DE CÁLCULO. 20 ETSII-UNED. Capítulo 12. La integral múltiple de Riemann.-

4. CARACTERIZACiÓN DE LAS FUNCIONES INTEGRABLES.

12.11. DEFINICiÓN DE OSCILACiÓN DE UNA FUNCiÓN EN UN PUNTO.

I OScil~~ión e~ u:punto: ~(f, a) = ~~n [M( ~,j, ~ .... ~. m( a,j, ~].I -sifcontínua en a <=> O(f,a) = O

-si O(f,a) 2: O yfdecreciente ~ siempre existe el límite

12.12. EJEMPLOS.

si x ó y E Q ( racionales)

si x, y E I (irracionales) 1) Hallar la oscilación de f(X,y)~{ ~ en un punto (a,b)

En cualquier bola B«a,b), ó) existen puntos en los que f vale 1 y f vale 2. O(f, (a,b,c» = lim[M«a,b,c),j,O) - m«a,b,c),f, 0)] = 2 - 1 = 1

&-.0

2) Hallar la oscilación de f(X)={ x2+1 x+x3-2

six ~ O

si x 2: O

, , ~ O(f,O) = lim[M(O,¡; ó) - m(O,j,J)] = lim[J' + g3 - 2 - (t>2 + {

M(O f, ó) = 1(0 + ó) = g + tS3 - 2

m(OJ, ó) = 1(0 - ó) = (-O) 2 + 1 &-.0 &-.0



12.15. TEOREMA DE LEBESGUE (CARACTERIZACiÓN DE LAS FUNCIONES INTEGRABLES).

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--José Manuel Gómez Vega. E.T.S. Ingenieros Industriales UNED 2000-2001--

12.16. EJEMPLO.

¿Es integrable I{x,y)= en algún rectángulo A de!Jl3? {

1 si x Ó y E Q (racionales)

2 si x, y E I (irracionales)

N o, pues la función es discontinua en todos sus puntos y la medida de A no es O

5. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL. 12.17. PROPOSICiÓN (PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES INTEGRABLES).

1) L Aj(x)dx = A Lf{x)dx 2) L(f(x) + g(x»dx = Lf{x)dx + Lg(x)dx -~--""---"~-"-"-"---""----"--"- ---~----"-"- "--" ""-"--~------"----- ""--"~--"-"""- -"

3) si j(x) ::; g(x) => Lj(x)dx ::; L g(x)dx 4)

5) Lflx)g(x)dx = Lflx)dx Lg(x)dx 6)

I Lf{x)dx I ::; LJf(x) Idx --'-'----"-""""" -----

f JS&dx _ Lf{x )dx A g(x) - Lg(x)dx

-"-"~-------~---"""-"-""---"--"--"----


E-- - - -" -----~

Sea P partición de A. Se cumple: f Aj(x)dx = L f rJCx)dx para Q E P --_ .. ,_._---... ---"---------, .. _._,,--~~--- ',._--------,---."-"'- ---._._._~------,,- ... __ .. _---------

12.19. TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES.

Relaciones conjuntos de contenido, medida O con su frontera.

• Si M tiene contenido O => Fr(M) tiene contenido O. • Si M tiene medida O '::t:> Fr(M) tiene medida o.

{ M medida O

Contrajemplo M = [0,1] E Q Fr(M) es todo el intervalo (longitud 1)=> no tiene medida O

Un ejemplo de función no integrable Riemann: cualquier función no acotada.

f{) {

! si x '* O bl' ( . , . al' . :\ Sea. x = . => no integra e Riemann extenslOn a mtegr es ImpropIas, SI,. 1 SIX = O

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CAPíTULO 13. INTEGRACiÓN SOBRE CONJUNTOS ACOTADOS.

1. CONJUNTOS MEDIBlES-JORDAN.

13.1.

Función característica:

six E M

si x ~ M

. { Int(M) cte =::) contmua en Ext(M)

no cte =::) discontinua en Fr(M)

DEFINICiÓN DE CONJUNTO MEDIBLE-JORDAN. ,-------~-- -- --~~---~~-

{ Macotado

SeaMc ~n M e A (rectángulo)

M medible-Jordan si:3 L ZM = IMI siendo IMI = contenido o medida-Jordan de M.

EJEMPLOS ACLARATORIOS.

• Un segmento de ~ tiene contenido 2-dimensional O en ~2, pues existen recubrimientos mediante rectángulos tan pequeños como se quiera. Obsérvese que cualquier segmento de la recta y = mx posee dos variables en su expresión y sin embargo su contenido es O en ~ 2 •

• El recinto definido por M = {(x ,y) E ~ 2 : O ::; x::; 1,::; 1 ::; Y ::; x2 } está formado por gráficas

que tienen medida Jordan 2-dimensional cero en ~2 { X = O, x = 1 = Fr(M), pero no en ~; el y = 1, Y = X2

interior de la intersección de las gráficas es la medida o contenido de M que no es nulo y su valor es un número positivo que es igual al área interceptada, por lo que IMI = área. Ambos conceptos (medida y contenido) son equivalentes pues M es un conjunto compacto.

• Una circunferencia tiene contenido 2-dimensional cero, pero sí tiene contenido l-dimensional, luego no es cero en ~, mientras que el círculo no tiene contenido O en ~2 =::) tiene contenido distinto de O.

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---José Manuel Gómez Vega. E.T.S. Ingenieros Industriales UNED 2000-2001--

13.2. PROPOSICiÓN. -:---------- -------------

{

H acotado Sea H e ~n Son equivalentes:

H e A (rectángulo)

a) H medible-Jordan y IHI = L XH = O p

b) V E > O :3 colección finita subrectángulos {Q 1 , ... ,Qp} que recubre a H, tales que L- IQ i I < E

" --------- _._._---------- ".,--------... " ...... ,-,------ .. " .. ,"--------

13.3. TEOREMA DE CARACTERIZACiÓN CONJUNTOS MEDIBlES-JORDAN.

--- ._--- ,._._------ ---- - -------- ._-----

{

Hacotado SeaHc ~n

H e A (rectángulo)

;=1 -----------

DE lOS

H medible-Jordan <=> V E > O :3 partición P(A) / L-IQI - L- IQI < E

{ L = colección subrectángulos de P /

en donde L' = colección subrectángulos de P /

Relaciones conjuntos medlbles-Jordan, contenido O, medida O.

• Si L XM = O Y M medible-Jordan => Int(M) = 0

• Si M medible-Jordan => IFr(M) = 01

I QEL

• Un subconjunto acotado de 9{n con frontera formada por nO finito de funciones integrables es medible-Jordan (su frontera tiene medida cero).

• Si M es de medida O, L XM puede o no existir.

Demostración por contraejemplos:

{

cualquier segmento es de medida O en 9{ 2

:3 L X M en A = [O, 1 ]x[ l ,6Jc ~ 2 , Z m sólo discontinua en los segmentos

integrable por Th. de Lebesgue

~ L XM en A ~ [0,1lE Q{L XMdx ~ 1 , L xM<ix ~ O (no coinciden las inl. supo e inf.)

• M medida O y ZM integrable => L ZM = O

• M contenido O => ZM integrable y fAZ M = O

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-AMPLIACIÓN DE CÁLCULO. 2° ETSII-UNED. Capítulo 13. Integración sobre conjuntos acotados.-

2. INTEGRACiÓN SOBRE CONJUNTOS ACOTADOS. 13.4. DEFINICiÓN DE INTEGRAL SOBRE UN CONJUNTO ACOTADO.

Notación:

{fui = integral de la función!sobre el conjunto M

f A!XM = integral del producto de la función! por la función característica XM en el rectángulo A

r--------------------------------- -------------~

{

M acotado { !: M -+ 9{ integrable en M <::::} !XM integrable en A &an M e 9{H M e A (rectángulo) . J f

' es decrr, f = !XM !: A -+ 9{ acotada M' A

---~---------------------------- ------- ----- ------------ ----- --~-- ---------------

A

La integral sobre M independiente del rectángulo A

13.5. EJEMPLO.

Hallar f ItA f siendo

M ={(x, y) E [1,3] x [3,6J : x,y irracionales}

f(x,y) ={ 1 2x+y

si x, y irracionales

en los demás casos

{Osi (x,y) \If M

SeaA (rectángulo) = [0,4] x [0,8] y ZM(X,y) (función característica) = 1 si (x,y) E M

donde evidentemente M e A y XM(X,y) es discontinua en todos los puntos de su frontera:

(M) {

X = 1, x = 3 . I l' ( )( Fr = cuya medida es M = area = 3 - 1 6 - 3) = 6. Y = 3, Y = 6

La función! es discontinua en todo A, excepto en los puntos que verifiquen 2x + Y = 1 ===> Y = 1 - 2x , como por ejemplo ( i ,o) y (0,1).

Sin embargo, la función producto fiX,y)XM(X,y) = (1)(1) = 1 es continua en A por lo que

JM! = L!XM = JMdxdy = f~ dx J: dy = (Fubini) = J~ f: dydx = 6

Nótese que la integral es independiente del rectángulo A considerado y que la integral existe a pesar de que en la frontera de XM no existe medida nula, pero sí en la función producto!XM.

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--,José Manuel Gómez Vega. E.T.S. Ingenieros Industriales UNED 2000-2001--

13.6. TEOREMA DE LEBESGUE PARA CONJUNTOS ACOTADOS.

{

Me 9{n

Sea acotado, medible-Jordan

f: M .... 9{ acotada

f es integrable sobre M ~ conjunto de puntos de discontinuidad tiene medida O

Recinto o región de integración: es conjunto medible-Jordan.

13.7. NOTA.

Si no se cumple el anterior teorema, pueden ser integrables mediante series, no siendo medibles-Jordan y las integrales no deben estar necesariamente acotadas (impropias).

3. RECINTOS DE INTEGRACiÓN. RECINTOS PROYECTABLES.

13.8. DEFINICiÓN DE RECINTO DE INTEGRACiÓN.

[~_~ 91 n '(lcotado, es recint~ de integr~ción si e~~edible-J~~~an.1 Ejemplo de recinto de integración distinto del rectángulo es el recinto de ordenadas (siy ~ O).

13.9. PROPOSICiÓN. ,----------- ---------------------------,

{

Q e 9{n

Sea acotado, mediable-Jordan

f: Q .... 91 integrable en o. Se define gráff = {(x,y) E 9l n

: x E 0., Y = JCx)}

La gráfica de f tienen ntedida-Jordan (n + 1) - dimensional cero. _. --------- -- ------------------ - ----------- -- ------- --



13.10. COROLARIO.

sea{ ~:a:~ mediable-Jordan H = {(x,y) E 9i n+1 : x E n, O::; Y ::;j{x)}

f: n --+ in no negativa e integrable en n El recinto de ordenadas H es medible-Jordan.

13.11. RECINTOS PROYECTABLES PLANOS. r E 912 proyeetable respecto al eje-OX (ó ~e O Y) -si las rectas paralelas al eje O Y (ó eje OX)1 1 que cortan a M determinan un único segmento o un punto. -~~~ ... ~-~ ..... _-~~ .. _~-~ .. _--~.~_. .~--. .... ~ ... _.-~ .. ~ ..... _~~~ ... -

y y

x x

x Proyectable sobre eje x Proyectable sobre eje y No proyectable sobre eje y

13.12.

Regiones planas

~t_ip_~-_I-_:_=p-r_o_Y~-~=ta~bl_~~~J_·e_Q_~.Lt_ipo_··~-~.p-)i=o-y~~~~~ta~~b~le~s ~j-e -q-Y~I tip-o-... _3-:=p_~~_~y-... ~~-_t_a-b_i_;-.... ~-~e-__ O __ z

RECINTOS PROYECTABLES EN EL ESPACIO.

~ E 91 3 es recinto proyeeklhle si las rectas paralelas ~/ plan 1 que cortan a M determinan un único segmento o un punto.

-"~--~-'--'----'---'-~-~---~--------'------"'---'---,.~------,---

Regiones en in 3

tipo 1: plano xy

tipo 2: plano xz

tipo 3: plano yz

tipo 4: si son tipo 1,2,3

---------------~AMPLIACI6N DE CÁLCULO pág. 10

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4. INTEGRAL REITERADA. TEOREMA DE FUBINI.

13.13. TEOREMA (INTEGRACiÓN REITERADA).

{

l. para rectángulos Consideración del teorema

2. para recintos de integración

1. rectángulo A = [a, b ]x[ e, d]

{ '\/ x E [a,b] {r J(x,y)dx

f integrable en A si , :3 a => se cumple '\/ y E [c,dJ J:J(x,y)dy

J J(x,y)dxdy = fh dxfd j{x,y)dy = fd dyfh f(x,y)dx A a e e a

-~--~-"---~------'" "-----,--~-,.,- _.,.-

2. recinto de integración M de tipol. M = (cx,y) E 9{Z : h1 (x) s: y s: hz(x), x E [a,bJ}

{

'\/ x E [a,b] f integrable en M si

'\/ y E [h 1 (x),hz(x)]

f fb fh2W Mf(x,y)dxdy = a dx h¡(x)f(x,y)dy

{

tJ(X,y)dx ,:3 :2(X) d => se cumple

f h¡(x)J(X,y) y

Análogamente sería para M de tipo 2: f ffx,y)dxdy = fd dyJg

2(Y) J(x,y)dx ~~ e g¡(v)

------~----~-_._-~-----.--------~----_._-~---------_.------------ -------------

El teorema de integración reiterada necesita que existan las dos integrales, pues no existe una puede existir la integral reiterada, pero no la doble:

{

Lf(x,y)dx Si :3 J ¡jCx,y)dxdy => :3 f cierto siempre

Ax B.f(x,y)dy

{ f f(x,y)dx

Si :3 sólo una de las dos Af => ó B.f(x,y)dy

:ti Lx~x,y)dxdy integral doble no integrable

{

fB (Lf(x,y)dx )dy existe sólo una de las

:3 ó L (J~x,y)dy)dx integrales reiteradas



13.15. TEOREMA DE FUBINI.

{

Ay B rectángulos cerrados

Sean AxB e 91 n x91 m

f: AxB -4- 91 función integrable en AxB

Definimos gx : B -4- 9'l por

gx(y) = f(x,y) ,V X E A

F(x) = f gx(y)dy = ff{x,y)dy

Si B B

G(x) = J gx(y)dy = f .f(x,y)dy -B -B

L f(x,y)dxdy = L F(x)dx = L [!.f(x,y)dY Jdx

L f(x,y )dxdy = L G(x)dx = L [L.f(X,y )dy ] dx

Si gx integrable en B, V x E A :::::} F(x) = G(x) y se tiene:

l1xB,~~~~-=_);~~tá= f'~J~J ¿C~_ x',y)dy J~J -~~-_.~~---- ~~----~~- ----~~----------

13.16. NOTA.

Si consideramos gy : A -4- 91 por gy(x) = f(x,y) , las integrales quedarían:

LxBf(x,y)dxdy = JB[L,tCx,y)dx Jdy (en otro orden).

Aplicando repetidamente dicho teorema, reducimos el cálculo de la integral múltiple a n integrales simples. Se pueden expresar los límites de integración como regiones M de tipo 1,2,3.

Aclaraciones: • Órdenes de integración en el plano:

{dx,dy} :::::} lOse integra en y , luego en x.

La integral se escribe Jb dxJh

2(X) .f(x,y)dy = fb (Jh

2(X) .f(x,y)dY)dx a h¡(x) a "¡(x)

{dy, dx} :::::} lOse integra en x , luego en y.

La integral se escribe Jd dyJg

2(Y) j(x,y)dx = fd(Jgz(y) j(x,y)dx)dY e g¡ (y) e g¡ (y)

Esto no viene específicamente aclarado en las Unidades Didácticas, pero se puede corroborar con los Ejercicios de Autocomprobación del capítulo, como por ejemplo en el ejercicio 8. Sin embargo, he observado que otros autores se refieren a los órdenes de manera inversa; se debe tener esto en cuenta al consultar bibliografia complementaria, pues puede inducir a errores en la resolución de ejercicios. Análogamente se realizaría para los órdenes de integración en el espacio 9i 3 y únicamente se tendrían mayor número de posibilidades de combinación de los órdenes, siempre teniendo en cuenta las proyecciones en el plano de las dos primeras variables del orden.

• Obtención del recinto en otro orden: Una vez que tenemos una integral o un recinto, invertir el orden de integración supone encontrar unas relaciones a partir de las ecuaciones del recinto que permitan la resolución de la integral. A veces, puede que en un orden aparezca una sóla integral y en otro orden dos, por ejemplo. Esto es debido a que el recinto a integrar necesita descomponerse por no ser proyectable en un sólo recinto o bien los límites de integración en un subrecinto varían según las rectas y curvas a considerar.

-----~----------.AMPLIACIÓN DE CÁLCULO pág. 12


CAPíTULO 14. CAMBIO DE VARIABLE Y APLICACIONES DE LA INTEGRAL.

1. CAMBIO DE VARIABLE EN LA INTEGRAL MÚlTIPLE.

Fórmulas de transformación (cambio de variable)

integral simple: fg(b) j{x)d:x = r j{g(t»lg' (t)ldt, pues { x = g(t) g(a) a d:x = g' (t)dt

-_.""-~~._-- - _. --

integral doble: f f g(k)j{x,y)d:xdy = f Lj{x(u, v),y(u, v»IJ(u, v) Idudv,

{

IJ( u, v) I = determinante de la matriz jacobiana

donde k intervalo [a,b] , g(k) intervalo [g(a),g(b)]

det J(u, v) *- O por ser cambio de variable (debe existir inversa)

14.1. TEOREMA DEL CAMBIO DE VARIABLE EN LA INTEGRAL MÚLTIPLE.

{

abierto A e ~n , clase 1 en A Sea (hipótesis cambio variable)

g : A ~ ~n, inyectiva, det g'(u) *" O

{

K compacto medible-Jordan Si => ro g : K ~ ~ integrable en K y se cumple:

f: g(K) ~ ~ integrable en g(k) .

rt(A)j{-=)~-:-IT~~~(;~~J~ -- --------~ ,,-~------- _.,-----~-" ... _----~----,--,. __ ._--~~--,,- .. -.-

{

T= g(K) Si _ se escribe: f!<x)dx = f f nf{g(u)ldetg'(u)ldu

h = g 1 h(

--_ .. - ... _ .. _- . __ ._----

Si g es diferenciable con continuidad, el conjunto de puntos en que det g' = O tiene medida O y se podría suprimir la hipótesis det g' *- O en el teorema.

---------------AMPLIACIÓN DE CÁLCULO pág. 13

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14.2. EJEMPLO. Calcúlese la integral f M f(x, y)dxdy siendo f(x, y) =(x2+y2) 3 Y

NI la corona 1 ::::: X2+y2 ::::: 2 a) directamente. b) mediante un cambio de variable.

a) Directamente.

El recinto T situado en el primer cuadrante de M representa ! del total:

T = {(x,y) E m 2 : 1 ::::: x ::::: 2 : JI - x2 ::::: y ::::: J 2 - x2 }

Entonces: fJ(x,y)ctrdy = 4 f;Cx,y)dxdy = 4 f~ (f~(X2 + y2)3 dy )ctr =

1 = 4 f~ [ ~ J (2 - X2) + "* J (2 - X2 ) x2 + -}} J (2 - X2 ) x 4 + -}} x 6 J (2 - x2) Jctr-4f~[ ~ J(1-X2) 3~ J(1-x2)X2

385 J(1-x2)x4 j~x6J(1-X2) Jctr

Obsérvese como aunque las integrales anteriores no sean muy dificultosas, con cambios acertados, existen muchas por lo que no se resuelve así por ser muy laboriosa.

b) Mediante un cambio de variable. Cambio a coordenadas polares.

h(]) = {(P, e) E m2 : o ::::: e::::: ~, 1 ::::: p::::: J2}

JE .ti fU'/(x,y)dxdy = 4 f0x,y)ctrdy = 4 tCT)J(p,&)pdpde = 4 f02 deL p3 pdp =

= 4 f o~ (J; p 4dp )de = 2ff[ p; J I ~ = 2; [( J2) 5 - 1 ] = ~ ffJ2 - ; ff

Y donde además cada integral iterada es directa pues los límites de integración son constantes.

2. APLICACIONES GEOMÉTRICAS DE LA INTEGRAL.

14.3. ÁREA DE UN RECINTO PLANO.

[~a~:ll~-;~Cin~O~~~: ~_==TI~~!il • Si M proyectable sobre OX limitado por dos gráficas, definidas en [a, b] Y Y2 (x) ~ y¡ (x)

=>~= J:~=j;)--=!,l \~~]~J(idem para M proyectable sobre aY) .

•

-----------------.AMPLIACIÓN DE CÁLCULO pág. 14


14.4. EJEMPLO. Calcúlese el área limitada por las curvas y = X2 e y = x entre x = O Y x = 1.

El área determinada por la intersección de las gráficas{ y = x2 en O:'S x :'S 1 es: y=x

orden{tÚ,dy} : J~ dx J:2 dy = (Fubini) = J~U:2 dyJdx = J~(x -x2)tÚ = ! orden{dy,dx} : J~ dy J; dx = (Fubini) = J~[f; dx Jdy = J~ (JY - y)dy = ! Obsérvese cómo para integrar respecto a y , y = x está por encima de y = x 2 , mientras que al integrar respecto a x,x = JY está ahora más a la derecha que x = y por lo que ya no son los mismos límites de integración. De hecho para integrar, se debe de proceder sistemáticamente mediante los siguientes pasos: Dibujar las gráficas (empezando con las proyecciones sobre planos según el orden para luego componer el dibujo si es espacial), comprobar las intersecciones de las gráficas (para establecer los límites de integración), observar si son recintos proyectables, apreciar en qué orden puede resultar más fácil la integración, dividir los recintos, aplicar Fubini.

0.2 0.4 x 0.6 o.~

El área es el recinto interior que limitan las gráficas

ÁREA DE UNA SUPERFICIE.

Aparte de lo que se verá en el capítulo 16, se puede considerar lo siguiente: Sea z = z(x,y) superficie definida en M (recinto acotado) del plano xy, y

, { x = x(y,z) en plano yz análogamente

y = y(x,z) en plano xz --_._ .. _~~----._--~------- ;-----;:==-:::..:;--":;:"--=-=---;::----------_.---

Área de una superficie: S = J f M JI + Z~2 + z~2 tÚdy (plano xy)

Área de una superficie: S = J f M J 1 + x'J + z~2 dydz (plano yz) .. _- -_.. -- - --- -

Área de una superficie: S = J f M JI + y'} + y? dxdz (plano xz) -- -

siempre que existan las integrales, recordando la notación de derivadas parciales.

(por ejemplo: z~ = ~)

Nota: algunos autores consideran Zx == ~ sin necesidad del apóstrofe; quizás es la expresión más

correcta a emplear.

----------------.AMPLIACIÓN DE CÁLCULO pág. 15

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14.5. VOLUMEN DE UN CUERPO.

• Si M es recinto proyectable sobre plano xy, limitado por Z¡ (x,y) , Z2(X,y) definidas en M' (proyección de M sobre xy) cumpliendo Z2(X,y) :::: Z¡ (x,y) y si M' está limitado por y¡ (X),Y2(X) definidas en [a,b] cumpliendo Y2(X) :::: y¡ (x), entonces:

I Vol~~n: V = -fb dxfY2(X)[Z2(X,Y)-=;I(~,y)]dY-1 a YI (x)

.-"0-" ____ '0"___ __.,,""""___ " ,,-"_._-

Se pueden obtener expresiones análogas para los otros planos proyectantes.

• Si Z¡ (x,y) = O =>~o ... lumen:- V = fb dxJY2(X) Z2(x,y)dy => ~tegral dobl~ a YI (x)

.,--,-----~_.,,----_ .. -,,-"- - _ .. _.- - ",,,,,.,,,. .----, ..... _-

14.6. EJEMPLO. Hállese el volumen del cuerpo limitado por el paraboloide z = 3 - x2_y2 y el plano z=1 a) en el orden {dx, dy, dz} (cartesianas). b) en el orden {dz, dy, dx} (cartesianas). c) úsese un cambio de variable.

a) orden {dx,dy,dz} En estos casos siempre se realizan proyecciones en el plano correspondiente a las dos últimas variables de integración (o a las dos primeras escritas en el orden).

{

x2 + y2 = 3 Las proyecciones en el plano xy son

z=o Consideremos el recinto R = ¡ M ¡ del 1 er cuadrante de la circunferencia.

Límites en y: X2 + y2 = 3 => y = J (3 - X2) (en el 1 er cuadrante y:::: O). Entonces: O ::; Y ::; J (3 - x2 )

Límites en x: lo da el dominio de la anterior expresión 3 - x2 :::: O, cuya solución es - J3 ::; x ::; J3, y por estar en el 1 er cuadrante: O ::; x ::; J3 Entonces R = {(x,y,Z) E 9{3 : O :S x:s J3 ,O :S y::; J(3 - x2), 1 :S Z :S 3 - x2 - y2}

V = fMI

dV = J J fMI

dxdydz = 4 f J fRdxdydz = 4 f:- dx Ji(3-X2) dy C-X2

_y2

dz

y aplicando Fubini: V = 4 f:-(J~ (f~-X2_y2 dz )dy )dx = 4 J: J!(3-X2) (2 -x2 - y2)dydx =

V = 4 f:- ( J (3 - x2) - ; x2 J (3 - X2) ) dx

{

X = J3 cost { x = O => t = O Efectuamos el cambio con f'}

dx = - J3 sin tdt x = ,,3 => t = ~



V = 4 J13 (j(3 - x2) - ; x2 j(3 - X2) )tb: = 4 rf [J(3 - 3 cos2t) 2(cos2t) J(3 - 3 cos2t) ] J3 sin t o ..!L 0..!L

= 12 f 02 [ J(1 - cos2 t) - 2(cos2 t) J(1 - cos2 t) ] sin tdt = 12 f 02 [sin 2t - 2(cos2 t) sin 2t ] dI

Vamos a efectuar las integrales aplicando la función Beta:

2f1' sin2p~ltcos2q-ltdt = fI(p q) = r(p)r(q) o ' r(p + q)

recordando varias propiedades (ver detalle en libro Cálculo fufinitesimal I de Ingeniería Industrial Uned):

r(p) = (p -1)! -+Ej.: r( ~o ) = r(5) = 4! = 4 * 3 * 2

r ( 1- ) = ( p ; 2 ) ( p ; 4 ) ... ( ~ ) ( i ) JJi -+ Ej.: r ( g ) = (~ ) ( i ) JJi

r( i ) = JJi

V= l¡ -h = 12ft sin2tdt-24f! cos2tsin 2tdt

..!L { 2p - 1 = 2, P = 1..-Consideremos f 2 sin2tdt. Como 1

2 => o 2q - 1 = O, q = 2

r(.1)r(l) (lJJi)JJi f1' sin 2tdt = lp( .1 l ) = l 2 2 = l--=--.=2'----,---,-=-_

o 2 2'2 2 1(.1+l) 2 1! % Y /1 = 12 * % = 31í

2 2

Tengamos f2 cos2tsin 2tdt. Como ' 2 => Il { 2p - l = 2 P = 1..-

o 2q - 1 = O, q = ;

Il r(.1)r(.1) (lJii) (lJii) J2 cos2tsin 2tdt = lp(.1 .1) = l 2 2 = l 2 2 o 2 2 ' 2 2 1(.1 + .1 ) 2 2!

2 2 Y 12 = 24 * JL = 31í

16 2 Luego, finalmente: V = l¡ - h = 31í - 3z" = ; 1í

Las integrales anteriores también pueden realizarse con las relaciones{ sin

2

t = cos2 t =

b) orden {dz,dy,dx} Se debe proceder realizando cálculos con las ecuaciones del enunciado.

Las proyecciones en el plano zy son { : : ~ y2

x=o

H~~ . .. , ,

.,

Recinto M 2 Recinto T

=JL 16

1- cos2t 2

1 + cos2t 2

Límites en z: Conocemos el límite inferior de z. La cota máxima de z es para y = O, pues el vértice de la parábola está situado en dicho eje, que tiene simetría respecto al eje z.



También se puede plantear un cálculo del máximo en z considerándola como ordenada. a dicha variable.

~; = -2y = O ===> Y = O. De las dos maneras vemos que z = 3, por lo que 1 S z S 3.

Límites en y: Por encima está la parábola y por debajo la recta. Si z = 3 - y2 ===> Y = J (3 - z) donde tomamos únicamente la solución positiva pues la simetría nos permite hacer una reducción en el recinto.

y = O es el límite inferior (obsérvese la gráfica). Por lo tanto: O S y S J(3 - z)

Límites en x: si z = 3 - x2 - y2 = 1 ===> x = J (2 - y2) límite superior y x = O límite inferior donde

nuevamente hemos tomado solamente las soluciones positivas. Entonces: O S x S J (2 - y2 )

Ahora consideramos el recinto T = 1 M 2

T= {(x,y,z) E m3 : 1 SzS3,OSyS J(3-z),OSxS J(2_y2)}

V = fM2

dV = J J fM2

dxdydz = 2 f J f T dxdydz = 2 f~ dz J~(3-Z) dy Ji(2-y2

) dz

Y aplicando Fubini:

V = 2 J~ (f~(3-Z) (Jt 2-y2

) dx )dY )dz = ~ ff

c) cambio de coordenadas.

{

X = pcos8

Efectuando un cambio a coordenadas cilíndricas: y = psin 8 detV(p, 8, z) I = p

Z=Z

V = 4 Jl (J~ (J~-p2 pdz )dP )d8 = ~ ff

14.7. VOLUMEN DE UN CUERPO DE REVOLUCiÓN.

•

•

•

V( ) E M' medibl -Jordan{ [~= 2~I~.1'dxdy-,"_~j=OX, ;-~_?l x,y "e E"--"---"-----"""""-"-"-- ~-"""

V = 2ff J,yIxdxdy, eje OY, x ~ O --~_.,.,,_." .. _'"

M' recinto de ordenadas de h(x) ~ O, O S Y S h(x), x E [a,b], I V = fff:~~~)2dx I

Se obtiene considerando la expresión anterior: V = 2ff J~(X) ydxdy e integrando para y.

M' = {(x,y) E m2 : O S g(x) S y S h(x),x E [a,b]}, l~ = ffU:h_~~(~);-I~j

Si el volumen de revolución es sobre el eje OZ son adecuadas las coordenadas cilíndricas en el cambio de variable.



14.8. DEFINICiÓN DE BARICENTRO.

,---- ------------ - - .--

{

medible-Jordan Sea M Baricentro de M: es el punto b = (b ¡, b2 , ... , b,,) siendo

IMI *- O (área o volumen)

~-= ~f~Xidxldx2 .. -.~ ------ .. _._--~- .... _._----

14.9. TEOREMA DE GULDIN.

,----- ------- _ .....• _----------_. El volumen del cuerpo engendrado al girar M' alrededor del eje OX es igual al producto del área

{

MI medible-Jordan

multiplicada por la longitud recorrida por el baricentro: I V =_~Jl}'oIM'1 ] IM'I *- O (área)

yo = baricentro -- _.--_._. _._-

3. APLICACIONES FíSICAS DE LA INTEGRAL.

CASO DISCRETO.

" ¿mJJl\ Centro de gravedad. OG = .:..:.k=...:.I __ _

" ¿mk k=1

o = origen de coordenadas

G = punto centro de gravedad

mk = masa k-ésima

Pk = puntos donde están mk

Coordenadas de Pk : (XbYbZk), coordenadas de G : (a,b,c)

. 1" 1" 1" " Siendo a = m ¿mkxb b = m ¿mlJih c = m ¿mkzh m = ¿mk (masa total)

k=1 k=1 k=1 k=1


-AMP.DE CÁLCULO. 2° ETSII-UNED. Capítulo 14. Cambio de variable y aplicaciones de la integral.

CASO CONTINUO. Distribución de densidad mediante p = j{x,y,z).

Centro de gravedad. (a,b,c).

-- -""".~---,.,-_.,"-------,---- .. --"~

S ydm SMzdm b = ~ S S J yf(x,y,z)dxdydz <=> b = SM e = ~ S J SM4(x,y,z)dxdydz <=> e =

M M~ l~ ---~-------~------~-_. __ .. -----------~----=- -------------~---

--------_._--- --

Momentos de inercia.

ox~ Ix = H J ~(y-2-+-i )/{x,y,z)rlxdydz I OY : - J y ~ fJ L(x2 + z' )f(x,y,z)rIxdydz

()Z-:~ Iz = S f SM(X2 ~ y2)j(x,y,z)dxdy:k origen: lo = ff JM(x2 + y2 ~z2}f(x,y,~)dxdydz _." .. __ ~ __ "__________ ""'."_, __ ~ ___ ,._,,.,,___ ."."m'__ _. ____ ,, ________ ,_, _____ ~_

[ ..

.. p . . rodu~tos d~inerci~·~Hx~---S J S Mxyj(;~y~z)dxdyd;-- -_._. -_ .. ,-~--,.,,'-".~- _.",,--,-----,-- -, ... ,,,._-----------, .•.. _-----

XZ : S HMx4(x,y,z)dxdydz YZ: H SMy4(x,y,z)dxdydz ---~---- .. ,.,-- ------ " .. _,.- ." _ ..... ,. __ .. -

_,o ___ ._ .________ --

Momento de inercia del sólido respecto a r. --------._--~---_.- _._-- .. _-------_._----- ~~

- JSJ 2 { r= recta Ir - d(x,y,z) 'j{x,y,z)dxdydz -+

M d(x,y,z) =distancia dc(x,y,z) a r ---------,-, " .. ""---------

D "el d ed" .-.--- ... ------~--------------------------- ---------en~I!'~_'a. Centroide. Centro de gravedad de un sólido de densidad constante. r-----~

D ~ JI ~_ BariceIltro de la fi!l"'a geométrica (en Uf>a esfera seria su cen""geomét<ico~ Valor medio de Vm de f en M.

--_._------------

_ S J J Mj(X, y, z)dxdydz Vm-~----'--"-~~~--

H JMdxdydz -_ .. "-,,,-------

I:----~------- ------- ----- ~ Potencial Newtoniano. J S SM d( 1 )f(x,y,z)dxdydz

x,y,z -.----""---------,,,-----------,-,. ,.-------~---,-,.,.,-,,-,,----~---,,- -------------,,- .,,--------- ------

resp~~toa_~_=(a,~r)_~ien~o d(x,!,z)~_l(x._~ a)2 + (y - fJ)2u~ (z- y)2



14.10. EJEMPLOS. 1) Sea el sólido de densidad «x, y, z) = 3xz definido en el recinto M ={ (x, y, Z)E 1Jl3 : -1 ::; x ::; 1, -J5 - X2::; y::; J5 - X2 ,O ::; Z ::; J3x2+3y2 }

Hállese la masa, el centro de gravedad, el momento de inercia respecto al origen, la densidad media yel valor medio. masa. La proyección en el plano xy es la circunferencia x2 + y2 = 5. Por simetría podemos considerar el recinto T: T = ! M siendo T = {(x,y,z) E ~3 : O::; x::; 1,0::; y::; J5 -x2 ,O::; z::; J3x2 + 3y2 }

Realizamos el cambio a coordenadas cilíndricas siendo: h( 1) = {(p, (), z) E ~ 3 : O ::; ()::; ;, O ::; p ::; 15, O ::; z ::; J3 p}

m = J f JMf(x,y,z)dxdydz = 4 f f J~x,y,z)dxdydz = 4 f f LCT)f{p,(),z)pdzdpd() =

=4fl (f: (f:P3PCOSOzdz)dP)dO = 18Jl O: p3COS8dP)d() = 2;5 fl cos8dO= 2;5

centro gravedad (a,b,c).

a = ~ H JMxj(x,y,z)dxdydz = 2ª5 [4Jl (f: U:P3~cos20zdz )dP )d() ] =

= 1~5 [Jl U: p 4cos2()dp )d() ] = 4~ [fl cos20dOJ = 1{ Jf

b = ~ HJMy.f(x,y,z)dxdydz = 2ª5 [4Jl U: (J:P3~SinOCOSOzdz )dP )dO ] =

= 1265 [J l (f: p4 sin OcosOdp )dO J = 4~ [f l sin Ocos8dO J = 2~

Momento de inercia lo respecto al origen.

/0 = J f fM(X2 + y2 +z2)/(x,y,z)dxdydz = 4 Jl U: U:p(~ +z2)(3pcosOz)dz )dp )dO =

= 4 f o; U: U:P(3p3 cosOz+ 3pcos0z3 )dz )dP )dO = /1 +h =

= 4 f l U: U:P(3p 3 cosOz)dz )dP )d()+4 Jl U:S U:P(3PCOS0z3 )dz )dP )dO

/1 = 4fo; U: U:P(3P3COSOz)dz )dP )dO= 18Jo; U: p5cosOdp )dO=

= (límites integración constantes) =18 J; cos8dOfJ5 p 5dp = 18(1) P66

I J5 = 3 * 125 = 375 o o o

f JI.. (J J5 (J 13 P ). ) J JI.. f J5 h = 4 02 o o (3pcos0z3 )dz dp dO = 27 02 cos8dO o p 5dp = 11225

Por lo tanto: /0 = 375 + 11225 = 18]5

----------------.AMPLIACIÓN DE CÁLCULO pág.21

-AMP.DE CÁLCULO. 2° ETSII-UNED. Capítulo 14. Cambio de variable y aplicaciones de la integral.

Densidad media. D= m

I I IMdxdydz

V = 4 Jo~ O; O:p dz )dP )dB = 413 Ji dBJ~ pdp = 5J[J3 225

D = --,2=--

5J[13 Valor medio. En este caso coincide con la densidad media pues:

D = m _ J f fMj(x,y,z)dxdydz _ V _ 1513

I J IMdxdydz - f J fMdxdydz - m - 2¡¡;

2) Determínese el potencial newtoniano de la función f(x, y, z) = 3J (X2+y2+Z2_2(x + 2y)-6z + 14)

en el punto P = (1,2,3) en la intersección del cono z =J2x2+2y2 con el paraboloide z = 2 _x2_y2.

Intersección cono-paraboloide

{

z = J2x2 + 2y 2 Proyecciones plano xy (z = O)

z = 2 x2 _y2

X2 + y2 = 2 (circunferencia de radio =J2 que no se dibuja por ser un recinto muy simple)

Considerando el recinto T en coordenadas cartesianas en el orden {dx, dy, dz}:

T = 1 M = {(x,y,z) E 9{3 : O -:::: x -:::: J2, O -:::: y -:::: J2 - x2 , J2x2 + 2y 2 -:::: z -:::: 2 - x2 - y2}

Y realizando un cambio a coordenadas cilíndricas:

h(]) = {(p,B,z) E 91 3 : 0-:::: B -:::: ~,O -:::: p -:::: J2,2 - ~ -:::: z -:::: pJ2}

Potencial Newtoniano: f I IM d( 1 )j{x,y,z)dxdydz x,y,z

{

P = (1,2,3) con ~--~------=------=

d(x,y,z) = J(x - 1)2 + (y - 2)2 + (z- 3)2 = J(x2 + y2 +z2 -2(x + 2y) - 6z+ 14)

III. 3J(x2 + y2 +z2 - 2(x + 2y) - 6z+ 14) III III

PN = dxdydz = 3 dxdydz = 12 pdpd{}dz M J(x2 +y2+ z 2-2(x+2y)-6z+14) M h(T)

= 12 f! f;: f;~ pdzdpdB = 12 f! f: p[pJ2 - (2 - p2) JdpdB =

12J:dilf: (pl+J2P'-2P)dP~6ffl~4 + J2/ -p'JI~ ~6"Il+ ~ -2J ~2ff --------------------AMPLIACIÓN DE CÁLCULO pág.22

ANEXO CAPíTULO 14.

1. Resolución en coordenadas polares. 1 a) Forma de hallar los ángulos (JI y (J2 para resolver la integración en coordenadas polares.

Sea la curva p = cos21J. Se trata de hallar el área.

p = cos2& 11 trébol de 4 hojas"

El polo divide a la gráfica en cuatro mitades simétricas. Haciendo p = O obtenemos los ángulos: p = cos20 => cos20 = O => 20 = ± ~ => O = ± ~

Por lo tanto, el recinto de integración M para un pétalo es:

M = {(p fJ) E m2 : - K < 0< K 0< P < cos20} , 4 - - 4' - -

Como la integral del área es sobre 4 pétalos, introducimos dicho factor.

A = 4f f " {COS20 d¡xl& => A = 8f f cos20d& = 8 sin 2& I f = 4 -¡- o o 2 o

1b) Coordenadas polares generalizadas.

{

X = pcoso y = psinO Las coordenadas polares 1:. se pueden transformar en generalizadas si

detlJ(p, O) I = p tan O = x

desplazamos el origen de polos al lugar conveniente según el tipo de gráfica que manejemos.

{

X = Xo + apcos& . , En este caso . donde po = (XO,yo) suele ser el centro de la gráfica (desplazado del

y = Yo + bpSID fJ

origen) y (a,b) son constantes. De esta forma recintos elípticos o circulares se transforman en recintos circulares.

En un cambio de variable nos puede facilitar el cálculo de la integral. Generalmente, si cambiamos a coordenadas polares generalizadas, los límites de integración son más sencillos, aunque eso no quiere decir siempre que la integral sea más fácil pues se puede incrementar la dificultad de manejo de la función subintegral.

----------------.AMPLIACIÓN DE CÁLCULO pág.23

-AMP.DE CÁLCULO. 20 ETSII-UNED. Capítulo 14. Cambio de variable y aplicaciones de la integral.

Ejemplo de aplicaci6n: Sea la ecuación implícita (x - 1 )2+(y + 1 )2= 1 que determina una variedad. Determinar sus coordenadas polares generalizadas y hallar el área: a) mediante coordenadas polares. b) mediante coordenadas polares generalizadas.

La gráfica (x - 1)2 + (y + 1)2 = 1 es la de una circunferencia centrada en (1, -1)

N o se trata de una función pues si trazamos segmentos verticales paralelos al eje y resulta que existe interceptación con la gráfica en más de un punto, por lo que es una variedad definida por 4 cartas.

{

X = 1 + pcos O Las coordenadas polares generalizadas son donde (-1, 1) es el centro.

y=-I+psinO

El área de una circunferencia sabemos que es A = ffr2 por lo que vale K pues r = l.

Vamos a realizar el cálculo formal.

a) coordenadas polares y = psin O {

X = pcosO

(x - 1)2 + (y + 1)2 = 1

(x - 1)2 + (y + 1)2 = 1 => x2 + 1 - 2x + y2 + 1 + 2y = 1 =>

=> ~ + 2(sinO- cos9)p+ 1 = O, ecuación de 2° grado para p cuya solución es:

p = cosO- sin O± J(-2cosOsin O)

L · al darí JO JCOS{}-sinO+Je-2cos(JSinD) ""'/V//1 d'fi il d 1 a mtegr que a: K JA<JA<U, lIC e reso ver. -2 cos {}-sin {}-J e -2 cos (}sin D)

{

X = 1 + pcosO

b) coordenadas polares generalizadas y = -1 + psin O

(x-l)2 +(y+ 1)2 = 1

(1 + pcosO- 1)2 + (-1 + psinO+ 1)2 = 1 => P = 1

El recinto ahora es: M' = {(p, O) E 91 2 : O ~ O ~ 2K, O ~ P ~ 1}

Por lo tanto: HMdxdy = J L,IJ(p,9)ldpdO = J~ff J~pdpdO = tí

Vemos finalmente cual es la misión del cambio de variable: transformar recintos de integrabibilidad dificultosa en recintos geométricamente más fáciles de integrar.


---,José Manuel Gómez Vega. E.T.S. Ingenieros Industriales UNED 2000-2001--

1 c) Una integral con coordenadas polares más compleja.

, { p = a(l + cosO) (cardioide) Hallar el area que queda entre las curvas

p = acosO (circunferencia)

Aunque la línea verde intercepta a D 2 en más de un segmento, se toma la circunferencia centrada en ( 1, O) como límite inferior por lo que la integral está bien definida, como se verá.

De las ecuaciones de las coordenadas polares, tenemos:

{

p = Jx2 +y2

cosO = X

Jx2 +y2

p = acosO~Jx2 + y2 - a( x JX2 + y2

Se toman 2 dominios (DI y D2) :

{

DI = {(P,O) E 9i 2 : ~ ~ O ~ Jl ,

D2 = {(p, O) E 9i 2 : O ~ O ~ ~ ,

) = x' + y' ~ ax <=> (x - ~ a)' + y' ~ a;

o ~ p ~ a(l + cosO)} sólo una curva

acosO ~ p ~ a(l + cosO) } dos curvas

En este ejemplo se observa porqué en una el límite inferior para p es O (sólo una curva) y en la otra no. Observamos nuevamente cómo los ángulos para O son los que corresponden a hacer p = O.

A = 2fJ dxd = 2Jf, rvlpdO = 2[Jf dOfa(l+COSO) nA + fff dOJaO+COSO) ~ ] = D Y D2+D¡ 1-'". o acosO I-'"P f O P

= 2[Jf Ja(I+COSO) pdpdO+ fff fa(l+coSO) pdpdO] = í a 2 Jl O acosO JL O 4

2

----------------,AMPLIACIÓN DE CÁLCULO pág.25


2) Forma de saber analíticamente qué gráfica está por encima de la otra según el orden de integración.

Sean y¡ (x) , Y2(X) dos gráficas de funciones medibles-Jordan (su frontera tiene medida O). Para saber analíticamente cuál de las dos está por encima en el eje de ordenadas (eje y), se realiza la siguiente operación para cualquier x perteneciente al intervalo de integración:

( {

si se cumple V (x,y) E M==> y¡ (x) < Y2(X) Y2(X) - Y¡ x) > O ==>

si no se cumple V (x,y) E M==> Y2(X) < Y¡ (x)

Probando con un sólo valor de x que esté en el interior del intervalo, se demuestra analíticamente cuál está por encima. Gráficamente, esto se ve muy fácilmente siendo la que está por encima de la otra la que se sitúa como límite de integración superior. Esto mismo se realizaría para las gráficas X¡ (y) , X2(Y) sobre el eje x, aunque sería muy fácil ver cual está más desplazada hacia la derecha en el sentido positivo de las x.

3) Establecimiento de los ángulos O coordenadas esféricas.

Si tenemos una ecuación en un cambio de esféricas, como por ejemplo, p3 = 3a3 sin2 &cos2&sin ~cos~

para calcular la variación angular de O y ~ : a) igualamos p = o. b) mantenemos una variable constante y calculamos la otra.

y tp en

{P=O . {Sin~=O==>~=O (2ffk ,k=O,±1,±2, ... )

~? 0= SIDqJCOSqJ O=ete cos~=O==>~=±~ (±~+2ffk ,k=O,±I,±2, ... )

{ p= O O? ~ = efe

. 2 { sin 20 = O ==> O = O (~= 2ffk ,k = 0,±1,±2, ... ) 0= SID &cos20

cos20= O ==> 0= ±: (±: +ffk ,k= O,±l,±2, ... )

----------------,AMPLIACIÓN DE CÁLCULO pág.26


4) Órdenes de integración.

Ejemplo con el orden {dx,dy,dz}. Tenemos el recinto M:

M = {(x,y,z) E 9{3 : a S x S b,J1 (x) S y sh(x), gl(X,y) S Z S g2(X,y)}

Las dos primeras variables empezando por la izquierda son las que se proyectan en el plano para integrar. En el orden escrito, se dibujaría la proyección en el plano xy.

La integral sería:

fb dxfh(X) dyf g2(x,y) dz = fb [fh(X) [f g2 (X,Y) dzJdyJdx a .f¡ (x) g\ (x,y) a JI (x) gl (x,y)

donde observamos claramente como el anidamiento al aplicar el Th. de Fubini, permite llegar a un resultado numérico al resolver las integrales simples pues la integral que se realiza va transformando las variables en valores que posteriormente forman números o variables que se integran en la integral del anidamiento exterior. Para recordar el planteamiento del orden, al empezar a escribir el orden, la primera variable por la izquierda toma valores constantes (a y b), la segunda sólo puede tomar valores constantes o variables de la que está por la izquierda (o pertenece al anidamiento exterior a ella si aplicamos Fubini) y así sucesivamente ...

En cuanto tenemos integrales con límites de valores constantes, se pueden resolver directamente sin aplicar Fubini.

Como observación final, en el orden de escritura se comienza a integrar por la que está escrita más a la derecha (obsérvese en el anidamiento como el orden dz está en el anidamiento más interior que corresponde a la variable más a la derecha en {dx, dy, dz} ).



5) Uso de la función Gamma en la resolución de integrales en que aparezcan senos y cosenos. Ejemplo:

Calcular la integral f:/2 cos4 (Jd(J

eifl + e-ilJ 1) con la relación cos (J = 2

Formas de integrar: 2) con relaciones trigonométricas: cos2 (J = l + c20s2(J

3) función Beta: 2 JO

nf2 sin 2p-l (JCOS2q- 1 (}d(J = jJ(p,q) = i(p )l(q) r(p + q)

Realizando el cálculo mediante las tres formas se concluye que la más corta es la 3R•

En este caso: 2 {

2q - 1 = 4 4 q = 2

2p - 1 = O 4 P = 1 (al no aparecer el seno, el exponente es O)

l(~)r(~) /ii[ l * ll(l) ] Por 10 tanto: Jnf2 cos4 (}df) = fJ( ~ ~) = 2 2 2 2 2

o 2'2 r(i+~) 1(3)

l(i)=/ii Recordando que: r (P) = (p - I)!

r(~) = (P;2)(p;4).··(~)(i)/ii

6) El valor de una integral indefinida no es el mismo, por ejemplo, que el valor del área. Ejemplo aclaratorio: Calcular J:

llsin 3 (}dO

a) como integral definida. b) como área encerrada entre la curva y el eje X.

La respuesta para a) es O, mientras que para b) es ~ La función y = sin 3 O dibujada entre -J[ y J[ es:

Q5

y = sin 3 f)

-----------------"AMPLIACIÓN DE CÁLCULO pág.28

-AMP.DE CÁLCULO. 2° ETSll-UNED. Capitulo 14. Cambio de variable y aplicaciones de la integral.Se puede observar que es impar, respecto al eje y (es antisimétrica), por 10 que el valor de la integral definida entre esos límites será O. El área contenida entre la curva y los ejes tiene parte en el semieje positivo x y el negativo. Si aplicáramos la función Beta en esta integral definida, haciendo:

4 f;12 sin 3 {}dO resultaría ~ y esto es un error, pues su valor es O (no podemos realizar lo que hemos hecho).

7) Realización de integración múltiple paso a paso. Para realizar una integral múltiple lo primero es dibujar las proyecciones en los planos coordenados. Es muy fácil: consideramos los planos xy,xz,yz. Con las ecuaciones dadas no tenemos en cuenta la variable que no esté en el plano, percatándonos que, por ejemplo, el plano xy es equivalente al plano z = O, donde z no está. Es fundamental tener esto presente por dos razones: 1 a) a priori no sabemos si el recinto de integración es proyectable sobre los ejes, y por consiguiente, no sabemos en cuántos recintos debemos dividir la integral. 2a) es más fácil construir el dibujo en el espacio, empezando a componer el puzzle en dos dimensiones. Lo segundo es trabajar los puntos de corte entre las diferentes gráficas para hallar los límites de las diferentes integrales. Se igualan ecuaciones y se determinan. Lo tercero es fijarse en qué orden de integración resulta más fácil. Lo cuarto si es necesario algún cambio de variable que facilite la integración. No todos los cambios la facilitan. A veces cambios de variables oportunos pueden realizar transformaciones de recintos muy difíciles en algunos geométricamente más fáciles e incluso se pueden hacer traslaciones del eje polar para hacer más fácil la integración en los extremos, por ejemplo en la circunferencia X2 + y2 = 2x, centrada en (l, O) podemos aplicar el cambio x = 1 + cos O, y = sin & consiguiendo una traslación de ejes (coordenadas polares generalizadas). Es cuestión de práctica ver si el cambio es efectivo, pues puede que la función subintegral haya incrementado su dificultad como contrapartida.

Ejemplo. Ejercicio nO 7 de .. Ejercicios de Autocomprobación de unidades de Ampliación de Cálculo-Uned' (pág. 252). Se plantea calcular el área intersección entre

{

X2+y2= 1

(x _1)2+y2= 1

Se resuelve mediante dos formas alternativas a las del libro. El recinto R de integración entre las dos circunferencias está dibujado abajo junto con la reducción del mismo M.

RecintoR Podemos defrnir el recinto M para el orden {dx, dy} como

M = {(x,y) E m 2 : i ::; x ::; 1, O ::; Y ::; JI - X2 }

0.2

Recinto M

yentonces A = 4J~l2dxf~l-x2 dy = (Fubini) = 4f~I2[J~I-x2 dy Jdx = 4J~12 Ji -x2 dx

que con un cambio trigonométrico fácil, (x = cost), llegamos fácilmente a la solución del libro.


---.José Manuel Gómez Vega. E.T.S. Ingenieros Industriales UNED 2000-2001--Existe una fonna más fácil, además que permite un análisis de la integración para p y O más clara. Consideramos el recinto M y el polo en el origen (O, O). Trazando radios vectores con el orden {dO, dp} , vemos como la recta x = i es la que permite contar a partir de ella la porción de integración a

barrer hacia adelante, por 10 que hacemos:

-.l = pcosO -+ p = 1 2 2cosO

El punto de ordenada máxima es ( i, IJ ) (ver desarrollo en el libro para los puntos de corte). Pero

en este punto p = 1 , puesto que es el radio de la circunferencia centrada en el origen. Para hallar el valor de Oen ese punto hacemos:

J3 = 1 cos O -+ O = arccos J3 = ff 223

Ya tenemos los valores de p, O, por lo que la integral planteada será: 4 [6/3 f 1 ¡xl¡xlO = 2 [6/3 dO _ l [6/3 dO

o l/(2 cos 8) o 2 o cos2 O La la integral es inmediata y la 2a mediante un oportuno cambio tan O = t (par en coseno), nos conducen a una integral muy fácil de resolver, pues se simplifica:

A = 21(- -.l[6/3 dO = 21(- ...1[13 1 (f1+i2)2dt = 21(- 13 3 2 o cos20 3 2 o (1 + t2) 3 2

8) Una integral mediante cambio de variable difícil.

{

f(x,y) = 3x2_y2 Calcular f f f(x, y)dxdy donde { 2 2 2 }

T T = (x, y) E iR : 1 ~ x +2y ~ 3

a) directamente. b) mediante un cambio de variable.

a) Cálculo directo.

~~~~

~ ~

" --~\.\ o (U o..t 0.6 QlI 1 l2 lA u:; J.J!;

Recinto Recinto reducido

Orden {dx,dy}

{

1 { x2 + 2y 2 = 3 ~ Y = ±...LJ(6 - 2x2)

L ' . O x = L'· 2 umtes en x: y = ~ umtes en y : x = J3 X2 + 2y 2 = 1 ~ Y = ± ~ J (2 - 2x2 )

M = {(x,y) E iR 2 : 1 ~ x ~ J3, ~ J(2 - 2x2) ~ y ~ ~ J(6 - 2x2) }

13 ~J(6-2x2) f [ ;Cx,y)dxdy = 4 [ f Mf(x,y)dxdy = 4 [ 1 dx J t J (2-2x2) (3x2 - y2 )dy = (Fubini) =

= 4[13 (f+ J(6-2X2) (3x2 _ 2)d)dx = 4[13 r+J(6-2x

2) (3x2 - 2)d dx =

1 +J(2-2x2 ) y ~ 1 tJ(2-2x2) y y


-AMP.DE CÁLCULO. 2° ETSll-UNED. Capítulo 14. Cambio de variable y aplicaciones de la integral.-

J3 3 I -}J(6-2x2) = 4 J 3x2y - L dx =

1 3 -}J(2-2x2)

= 4J:[ ~~x2J(6-2x2) - ~ J(6-2x2) - ~~x2J(2-2x2) + -&:J(2-2x2) Jdx

= 6J~ x2J(6-2x2)dx-6f~ J(2-2x2)dx

- 2 f~ [ (6 - 2x2) J(6 - 2x2) Jdx + 2 J~ [ (2 - 2x2) J(2 - 2x2 ) Jdx =

= 11 + lz + h + 14

Calculemos cada integral.

cambio: x == J3 cost ,dx = - J3 sin tdt

x == 1 => cost = _1_ => t == arccos ;; /3

x = /3 => cost = 1 => t = O

arcC{)S J3 arccos 13 = 6Jo 3 3(cos2t)J(6-6cos2t)/3sintdt= 54/2fo 3 cos2tsin2tdt=

3 27J'i .13 = 2 + -4- arccos-3- = 10.619

{

cambio: x = -cost ,dx = sin tdt

h = -6J~ J(2-2x2)dx x = 1 => cost = -1 => t = 1Z" =

X = /3 => cost = -/3 => t = 1Z"- arccos/3

J J3 J 2 J"-arceos .13 J 2· h = -6 1 (2 - 2x ) dx = - 6 " (2 - 2cos t) smtdt =

= -6/2J,,-arceosJ3 sin2tdt = 612f" sin 2tdt = 6/2f" ( l-cos2t )dt = " ,,-arceosJ3 ,,-arecos J3 2

= 312 f" ",(1 - cos2t)dt = 312f" ",(1 - cos2t)dt = K-ameos ,¡ 3 ,,-arccos ,¡ 3

= 312 f" '" dt - 3/2 J" '" eos2tdt = 3/2 arccos J3 - 3/222 sin 2tl" "'3 = ,,-arcC{)S,¡ 3 ,,-arecos,¡ 3 ,,-arccos,¡.l

= 312 arccos /3 - 3 f! [sin 21Z" - sin [ 21Z" - 2 arccos /3 ] ] ==

= 3/2 arecos /3 - 3 f! [sin 21Z" - sin [ 21Z" - 2 arccos /3 ] ] =

= 3/2 arccos J3 - 3;; [ sin (2 arccosJ3) ] = 4. 863i + -10. 392i = - 5. 529i

cambio: x = /3 cost ,dx = -.[3 sin tdt

x = 1 => cost = _1_ => t = arccos 1 J3

x = .[3 => cost = 1 => t = O

Jarccos lJ3 (J ) 3 2 = -2 O 3 (6-6cos2t) /3sintdt==-Z¿ /21Z"+13+-f/2arcsint/3 = -5.2388

{

cambio: x = eost ,dx = - sin tdt

14 = 2 J; [ (2 - 2x2) J(2 - 2x2

) Jdx x = 1 => cost = 1 => t = O

x = J3 => cost = /3 => t == arceos /3



2 f~ (2 - 2x2 rt dx = 2 f~oosJ3 (-( J(2 - 2cos2t) r sin I ) di =

= i/3 - ~ i./2ln(i/3 - i./2) - ! ./2 K = 4.1635i

Finalmente calculamos 1 :

1 = (; + 27 ji arccos ~ ) + (3./2 arccos /3 - 3 i} [sin (2 arccos J3) J) +

+ (- 2; ./2 K+ 13 + 227 J2 arcsin +/3) + (i/3 - ~ i./2ln(i/3 - i./2) - ! J2 K) =

= 5.3806 - l. 365 5i

b) mediante un cambio de variable.

{

f(x y) = 3x2-y2 Calcular J Jr f(x, y)dxdy donde ' { 2 2 2 }

T = (x, y) E ~ : 1 S; x +2y S; 3

{

X = pcosO

coordenadas polares: y = psin 8 =>

detIJ(p, fJ) I = p

=>

Análogamente: p = _--;==/3:::3==;::=- M3 {

O=O=>P=J3

J(1 + sin 2&) 0= ~ => p = -~-

Entonces el recinto es: M' = {(P, 8) E ~ 2 : O S; 8 S; 2K, 1 S; P S; -13 } J (1 +sin 28) J (l +sin 28)

13

J2fff J(l+s~28) p(3cos20- sin20)dpdO = 4f2ff 1--4oos 2{} dO = J2ff 1--4oos28 dO o o oos20-2 o oos20-2

j(I+Sin28)

y llegamos a una integral que se resuelve mediante el Th. de los Residuos (capítulo 2l. El Teorema de Cauchy y sus aplicaciones). Aquí hemos considerado todo el recinto. Dicha integral se resolverá en dicho capítulo.



CAPíTULO 15. INTEGRAL CURVilíNEA.

1. INTEGRAL CURVILíNEA.

15.1. DEFINICiÓN DE INTEGRAL CURVILíNEA DE UN CAMPO VECTORIAL.

--+

Sea f = (ji ,/2'/3) campo vectorial en e arco de curva en [a, b] E 1 Y Y una curva regular a trozos de

{

X = a¡(t) { dx = a'l(t)dt

9i 3 , de parametrización (l,a) y de ecuaciones paramétricas: y = a2(t) Y dy = a;(t)dt

z = a3(t) dz = a~(t)dt

donde t E l. ~~ .. _-- ---- -----

Integral curvilínea del campo vectorial a lo largo del arco de curva e : f J. da

1) J J. aa = Jjl (act»a~ (t)dt + f2(a(t»a;(t)dt + f3 (a(t» a; (t)dt donde to = a,tl = b

2) Jj. aa = Jc (rl(x,y,z),/2(x,y,Z),f3(X,y,Z») • (dx,dy,dz)

2') J}. da = fefl(x,y,z)dx + h(x,y,z)dy + h(x,y,z)dz ~-----". . .. - ----_.,~ _. __ ....

siendo ambas expresiones equivalentes.

15.2. EJEMPLO.

Hallar la integral curvilínea de la función f(x, y, z) = (X2 yz, xy, x In y2) a lo largo de la 2 v 2

elipse ~ +9= 1

a) desde (x, y)=(2, O) a (x, y)=(O, 3)

b) desde (x, y)=(-2, O) a (x,y)=(0,3)

-1

2 2 L+L=l 4 9


-AMP.DE CÁLCULO. 2° ETSll-UNED. Capítulo 15. La integral curvilínea.-

{

X = 2cost,dx = -2sintdt

Unas ecuaciones paramétricas de la elipse son: y = 3 sin t,dy = 3 costdt

z = O,dz = O

P 1 {

a"(t) = (2 cost, 3 sin t, O) = (x,y,z) or otanto:

a/(t) = (-2sint,3cost,O)

{

f¡(a(t» = f¡ (2cost,3 sin t,O) = 4cos2t * 3sint * O = O

flx,y,z) = (x2yz,xy,xlny 2) h(a(t» = f2(2cost,3sint,O) = 6sintcost = 3sin(2t)

f3(a(t» = h(2cost,3sint,O) = 2cost * ln(9sin 2t)

Entonces:

(1) JJ. tIa = I di (Ii(t»a~ (t)dt + /2(a(t»a~(t)dt + f3(a(t»a~(t)dt =

= I di (a(t) )a'¡ (t)dt + Jc!2(t.i(t»a;(t)dt+ I d3(act»a~(t)dt =

= Id¡(act»a~(t)dt+ Jj2 (Ii(t»a; (t)dt + Id3(act»a~(t)dt =

= 0+ J c(3 sin 2t) * 3 costdt + O = 9 I c(sin(2t» costdt

(2) JJ. tIa = Ic[(f¡(x,y,z),h(x,y,z),h(x,y,z». (dx,dy,dz)]dt =

= Idl (x,y,z)dx + f2 (x,y, z)dy + f3 (x,y, z)dz =

= IC

(x2yz)dx + (xy)dy + O = ... se sigue igual que en (1)

a) desde (x, y)=(2, O) a (x, y)=(O, 3)

{

X = 2 cost ~ cos t = 1 ~ t = O (x,y)=(2, O) . .

y = 3smt ~ smt = O ~ t = O t inicial

{

X = 2cost ~ cost = O ~ t = ~ (x, y)=(O, 3) . .

y = 3smt ~ smt = 1 ~ t = ~ t final

Resulta: 9 J! (sin(2t»costdt = 6

b) desde (x,y)=(-2, O) a (x,y)=(O,3)

_ O { x = 2cost ~ cost = -1 ~ t = Jr (x, y)-( -2, ) . .

y = 3smt ~ smt = O ~ t = Jr t inicial

{

X = 2cost ~ cost = O ~ t = ~ (x, y)=(O, 3) . .

y = 3smt ~ smt = 1 ~ t = ~ t final

Resulta: 9 J! (sin(2t»costdt = - 6


--.José Manuel Gómez Vega. E.T.S. Ingenieros Industriales UNED 2000-2001--

15.3. TEOREMA.

Sean (1, a) y (J,/J) dos representaciones de e i) si tienen la misma orientación: J;;. da = I cf· d/J ii) si tienen la orientación contraria: f J · da = - J J · d/J

INTEGRAL CURVILíNEA DEL CAMPO ESCALAR. ,------------_. Integral curvilínea del campo escalar a lo largo del arco de curva e: J eFds

f Fds = r F(ti(tnllaJ(t)lIdfPues{ s(t) = (1Ia'(t)lldt e a s'(t) = lIa'(t)lldt

--'-'-' . __ . -_..... -~.

Si consideramos el vector tangente unitario 1(t) = II~ g; 11 ' tenemos:

F(7J (t» = JCa' (t» * 1(t) = Jea' (1» * II~ f:~ 11

.... y llegamos a que la integral del campo vectorial f a lo largo de e es igual a la integral del campo .... escalar F componente tangencial de f.

2. TEOREMAS FUNDAMENTALES DE LA INTEGRACiÓN DE LíNEA.

15.4. SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL PARA INTEGRALES DE LíNEA.

P, Q puntos de A

e e A, e curva regular a trozos, que une P con Q

Si Cd~finidapor(1,a), 1= [a,b] => IeVF.dÜ=F(Q)-F(P)

P = ll(a), Q = ll(b)

F campo escalar clase uno en A

~--------------~.AMPLIACIÓN DE CÁLCULO pág.35

-AMP.DE CÁLCULO. 2° ETSII-UNED. Capítulo 15. La integral curvilínea.-

15.5. PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL PARA INTEGRALES DE LíNEA.

-- ---- ~~~--~~~-

Si{ J campo vectorial continuo en A => 3 F campo escalar I su integral de línea es independiente del camino en A

VF(X) =M ,\;;jx E A

15.6. TEOREMA DE CARACTERIZACiÓN DE UN CAMPO GRADIENTE.

-+

Sea f =(fi ,/2,/3) campo vectorial continuo en A. Son equivalentes: -+

a)f es un gradiente. -+

b) la integral de línea de f es independiente del camino. -+

c) la integral de línea de f a lo largo de cualquier camino cerrado es O. ~" - -- - ""-_."_.-

15.7. EJEMPLO.

Calcular la integral de línea fe'. da sobre la parábola y = X2 siendo ~x,y,z) =

(6xylnz,3x2/nz,3x2 f) desde x = O a x = 2 . ....

¿Es f un gradiente para z = 2? ¿ Y para z = 1? Si es así, calcúlese la función potencial F y resuélvase la integral de esta forma.

ConsideremosAx,y) = (6xylnz,3x2 lnz,3x2 ~ ) • Por el Th. de Schwarz comprobamos la igualdad de -+ .

las derivadas parciales segundas. Al ser f polinómica, es indefinidamente derivable, luego en particular es

DJ2 = DJi { D12F = D21F

D;iJ = DJ2 ,entonces también es cierto D23F = D32F Y J (campo

DJ3 = DJl D13 F = D 31F

clase uno y si cumple

vectorial) es gradiente de F (campo escalar), que se escribe VF(X) = .M, si cumple la condición necesaria anterior y la suficiente (conjunto estrellado o, en particular, conjunto simplemente conexo o conjunto convexo).

En efecto,

-+ -+

D¡f2 = Dzfi = 6xlnz { D12F = D21 F -> -> 3 2 --->

Dif3 = Dif2 = ~ <=> D23F = D32F <= 3 F I VF(X) = j{x)

DJ3 = DJl = <¡' D13 F = D31F

Y como el conjunto en el que está definido J es A = ~3 - {z < 1} es abierto estrellado para el arco de parábola entre los puntos x = O Y x = 2 Y para z = 2 pues verifica la condición suficiente también,

-+ ->

(flecha <=» resulta que f es un gradiente en A. Obsérvese como f es continua para z::: 1,z =1= O Y para cualquier valor x,y.


---José Manuel Gómez Vega. E.T.S. Ingenieros Industriales UNED 2000-2001-Para calcular la función potencial podemos proceder de dos formas:

1} mediante F(x,y,z) = J~/I(x,y,z)dx+ J~/2(O,y,z)dy+ J~/3(O,0,z)dz si se verifican en los ejes y en el

punto (0,0,0) las condiciones de existencia de función potencial, y si no ocurre esto se puede sustituir el punto (0,0,0) por el (a,b,c), es decir los extremos inferiores de los límites de integración para las variables x,y,z serían respectivamente a,b,c.

Obsérvese que:

Jx ( )dx JYf ( ) JZ ( J(x,y,z) ( J(o,y,z) ) J(O,o,z) ( ) I1 x,y,z + 2 O,y,z dy + 13 O,O,z)dz = I1 x,y,z)dx + 12(x,y,z dy + /3 x,y,z dz o o o (0,0,0) (0,0,0) (0,0,0)

En nuestro ejemplo:

F(x,y,z) = J~6xylnzdx+ f~3(0)2lnzdy+ f~3(0)2 (~) dz = 3x2ylnz+0+0+e

o bien rX,Y,z) (6.xy 10 z)dx + f°,y,z) (3x2 lnz )dy + ro,o,z) (3x2 f ) dz = 3x2y lnz + O + O + e (0,0,0) (0,0,0) (0,0,0)

Por 10 tanto: F(x,y,z) = 3x2y1oz es una de las infinitas funciones potenciales que existen (en este caso para e = O, donde e = cte), pues nótese que difiriendo en un valor constante distinto ya es otra función.

2) mediante integración sucesiva.

-+

Consideremos la ecuación diferencial exacta (por existir función potencial) asociada aJ

6xy lnzdx + 3x2lnzdy + 3x2 ~ dz = O <=> JI (x,y,z)dx + h (x,y,z)dy + h (x,y,z)dz = O

Y realizamos sucesivas integraciones. Integramos la 1 a componente respecto a x :

Jft (x,y,z)dx = J 6xy lnzdx = 3x2y 10z + g(y,z) = F(x,y,z)

Derivamos F(x,y,z) respecto ay :

D 2F¡(x,y,z) = %y[3x2y1oz+g(y,z)] = 3x21oZ+ ~g(y,z)

Igualamos conh(x,y,z) :

D 2F(x,y,z) = J2(X,y,Z) <=> 3x21oz + ~ g(y,z) = 3x2 lnz:::::> t g(y,z) = O

:::::> g(y,z) = ele

Llevamos el resultado de g(y,z) a F(x,y,z) : F(x,y,z) = 3x2y1oz+ ele Derivamos F(x,y,z) respecto a z:

-ª-(3x2ylnz + ete) = 3X2 y 8z z

Igualamos conh(x,y,z) :

3x2 ~ = 3x2 ~. en donde observamos que no existe ninguna función indefinida a integrar en este caso, aunque generalmente esto no ocurre y se deberá proceder sistemáticamente.

Por 10 tanto, finalmente; F(x,y,z) = 3x2y 10z + efe es la función potencial.

Observación: el proceso seguido de cálculo ha partido de JI. Se puede partir de cualquiera de las 3 pero el procedimiento tiene que ser de esta forma.


-AMP.DE CÁLCULO. 2° ETSII-UNED. Capítulo 15. La integral curvilínea.-

--->

Una vez que sabemos que f es un gradiente y se ha calculado F, podemos resolver la integral aplicando los resultados teóricos anteriores:

fe VF • era = f;;· era = f di (x,y,z)dx + h (x,y,z)dy + h (x,y,z)dz = F(Q) - F(P)

{x=O=>y=O

y = x2 => x=2=>y=4

z=2

=> { P : (0,0,2) Q - (2,4,2)

F(Q) -F(P) = (3 * (2)2 * 4 * 102) - (3 * (0)2 * (O) * 102) = 48102 - 0= 48102

Y el valor es independiente del camino empleado en recorrer los puntos final e inicial.

Veamos qué ocurre si z = 1.

Lo primero observar que f;i. da *' F(Q) - F(P) en este caso por lo que no es correcto escribir 10

siguiente:

F(Q) - F(P) = (3 * (2)2 * 4 * lo 1) - (3 * (O) 2 * (O) * In 1) = O - O = O , pues In 1 = O

Nótese que en este caso la integral a 10 largo de dicho camino es O y el camino no es cerrado, pues se trata de un arco de parábola, entonces ¿falla la caracterización del gradiente? Sí, pues la curva no está contenida en A ( abierto estrellado) pues z = 1 que es un punto frontera de A que estamos incluyendo

--> hace que A no sea abierto, por 10 que sí falla la caracterización y f no es un gradiente, porque A no es abierto en ese punto que incluimos. Obsérvese la importancia de la correcta defInición de las hipótesis de los teoremas y 10 riguroso que debe de ser su estudio para evitar ambigüedades y obtener razonamientos correctos, pues no siempre un mismo resultado numérico está bien argumentado, como es el caso presente. Vamos a demostrar que el resultado de la integral es O, a pesar de todo:

flx,y,z) = (6xy lnz, 3x2 lnz, 3x2 -f ) Una parametrización de la párabola y = x2 , Z = 1 sería: U(t) = (x(t),y(t),z(t» = (t,t2, 1) y da(t) = (dx,dy,dz) = (1,2t,0)dt de t = O a t = 2 Entonces:

f)· da= Ice 6xylnz,3x2Inz,3x2 ~) • (dx,dy,dz) = f~(6t3In 1,3t2ln 1,3t4 ). (1,2t,0)dt = o independientemente del valor que diera anteriormente, mediante el otro cálculo que sería incorrecto.

15.8. TEOREMA DE CARACTERIZACiÓN DE UN GRADIENTE EN UN ABIERTO.

------~-~-~~-~-~~_._---------_._~~-~ _._.~-

Sea ft.x,y,z) = (f¡ ,h,f3) de clase uno en un abierto estrellado A E 91 3 . -->

La condición necesaria y suficiente para que f sea un gradiente en A es que:

DJj(X) = DJi(X) V i,j E {1,2,3}, i *j ----~~ -~~- -~-~_ .. ~~---~---- ------"

Los conjuntos abiertos que son convexos y simplemente conexos son ejemplos particulares de conjuntos estrellados.


---.José Manuel Gómez Vega. E.T.S. Ingenieros Industriales UNED 2000-2001--Obsérvese que la condición anterior es la análoga para DijF(X) = DjiF(X) si conocemos la función potencial F.

Para demostrar que no es un gradiente se puede : i. observar la no igualdad de las derivadas parciales anteriores. ii. ver que la integral de línea depende del camino. iii. ver que la integral de línea en un camino cerrado no es O.

mediante contraejemplos, es decir, demostrar que no se cumple la caracterización.

EJEMPLO. ¿ Qué tipo de conjunto es el dibujado a continuación: conexo, estrellado, convexo ... ?

Considerando solo el recinto elíptico A y suponiendo que no existieran los otros subconjuntos interiores sería un conjunto convexo pues el segmento que uniera cualquier par de puntos estaría contenido en el recinto elíptico; también es un conjunto estrellado pues existe un punto tal que el segmento que une ese punto con cualquier otro estaría contenido en A (obsérvese que existe más de un punto donde ocurre esto, en este caso); todos los conjuntos estrellados y convexos son conexos por arcos y , por tanto, conexos (ver apartado 4 del capítulo 2 del tomo 1 y la proposición 2.27 de UU.DD).

conjunto convexo conjunto estrellado El recinto interior poligonal del primer dibujo no es convexo, pues existen puntos unidos por segmentos no contenidos en dicho conjunto, pero sin embargo, es estrellado. En definitiva, el conjunto es triplemente conexo, pues existen 2 subconjuntos interiores al conjunto.

CONSTRUCCiÓN DE FUNCiÓN POTENCIAL F A PARTIR DE .... SU GRADIENTE f

En el ejemplo anterior hemos empleado ya el método para constuir una función potencial en m 3 .A continuación observamos la construcción para J genérica en m 2 .

-+

Seaj(x,y) = ([1 (x,y),f2(x,y».

Entonces, VF(x,y) = fcx,y) ~ ( ~~ (x,y), ~~ (x,y») = ([1 (X,y),j2(X,y»

a¡: (x,y) = 11 (x,y) ==> F(x,y) = f/1 (x,y)dx + G(y) (al integrar aprece una constante dependiente de la

otra variable en que no se ha integrado). Si fuese en m3 sería en función de las dos variables en que no se integra.

aF - JEfL I Derivamos la anterior expresión en y: ay (x,y) - By (x,y)dx + G (y)

e igualando con f2(x,y),queda: f %> (x,y)dx + d (y) = h(x,y)

Integrando G(y) resulta: G(y) = fh(x,y)dy - f[f 1; (x,y)dx Jdy + k (k = ele)


~AMP.DE CÁLCULO. 2° ETSII-UNED. Capítulo 15. La integral curvilínea.~

3. EL TEOREMA DE GREEN.

{positivo: recorrido antihorario

ORIENTACIÓN DE LA CURVA. Sentido negativo: recorrido horario

Una parametrización tiene orientación positiva si el determinante de {Y, a' (t)} es positivo pues tiene la

misma orientación que el de la base canónica {el,el} = {el, O), (0,1)} ~

15.9. EJEMPLO.

Ví .&. ., { x = sin O erlllcar que la onentacion de es negativa. y = cosO

1 O

O 1 = 1 (+)

La base formada por el vector y su vector tangente es {v, ti' (t)} = {(sin O,cosB), (cosO, ~sinO)}

y su determinante sin O cosO

cosO ~sin B

15.10. TEOREMA DE GREEN EN UN CUADRADO. ,---- ----- ----

{

D* el cuadrado [O, 1 ]x[0, 1]

Sean A abierto A e D*

J = (ji ,fz) campo vectorial de clase uno en A

Si Des lafrontera de D* orientada positivamente, se cumple:

JDfl (x,y)dx +fz(x,y)dy = fD[Dif2(X,y) ~D4fi(x,y)]dxdy

15.11. TEOREMA DE GREEN. --- ------ --------

{

M región limitada por e ,una_ curva simple cerrada regular a trozos de orientación positiva

Sean A abierto A e D* -+

f = ({1,f2) campo vectorial de clase uno en A

Se cumple: JJI (x,y)dx + fz(x,y)dy = JM

[Dif2(X,y) ~ Dzf] (x,y)]dxdy ---- -- -- ----

DEFINICIONES.

SeaA e m2 abierto y conexo por arcos regulares a trozos. Geométricamente, un recinto simplemente conexo es una región "sin agujeros".

simplemente conexo doblemente conexo múltiplemente conexo


--,José Manuel Gómez Vega. E.T.S. Ingenieros Industriales UNED 2000-2001--

15.12. EL TEOREMA DE GREEN PARA REGIONES MÚL TIPLEMENTE CONEXAS.

{

M región limitada por curvas e, el, e 2, ... , e m , siendo e la curva contorno que recubre a todas

Sean A abierto A e D* -+

f = ([]'/2) campo vectorial de clase uno en A

{

intersección de dos curvas vacía Si

curva ej no está contenida en el interior de e¡ Vi*- j

m

Se cumple: Jc!'tex,y)dt + hex,y)dy-E Jc/l (x,y)dx + h(x,y)dy = JM

[D l!2(x,y) - DJ.!i (x,y)]dxdy

{ *Si es simplemente conexo, el 20 término del primer miembro no aparece.

*Si es doblemente conexo, en el 20 ténnino del primer miembro aparece sólo la integral para el. -------

4. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DE LíNEA. 15.13. EL TRABAJO COMO INTEGRAL DE LíNEA.

15.14.

Trabajo:

T= JJ. da , Si{ J grddiente ~ T = F(lÍ(b» -F(lÍ(a» F función potencial

{

lÍ(t) = posición

a' (/) = v(t) = velocidad

al! (1) = ti(t) = aceleración

T = l.mv(b)2 - l.mv(a)2 2 2

y

fuerza = ]ca(t» = ma" (1)

energía cinética = Ec = J.. mv(t)2 2

energía potencial = Ep = -F(a(t»

Igualando ambas: -F(lÍ(a» + 1 mv(a)2 = -F(lÍ(b» + 1 mv(b)2 (E = cte)

Campo conservativo: poseen función potencial como E p --- -" -, .. ,- ---

EL POTENCIAL DE NEWTON. ---- ---

Fuerza de atracción: ]cx,y,z) = -k mM2

-;

11-; 11

Función potencial: F(x,y, z) = k A Trabajo: F(x2,Y2,z2) -F(X],Yl,Zt} = kmM( 11'/211 Ir/] 11 )

---


-AMP.DE CÁLCULO. 2° ETSll-UNED. Capítulo 15. La integral curvilínea.-

15.15. DISTRIBUCiÓN DE MASAS. -~-_.," _.

~nsidad = unidad :70ngitud -= ~_ =-F(X'y:j [~sa = fc~(;-:;,z)dS I

a = ~ J e xF(x,y, z)ds

centro de gravedad = (a,b,c) b = ~ JcyF(x,y,z)ds

e = ~ f czF(x,y,z)ds

l m~mento de orden n del sólido respecto a la ~ta ~ 1, ~ J e d(x,y, z)" F(x,y, z ),¡;si n = 2 = momento de inercia con d(x,y,z) = distancia de (x,y,z) a la recta-; __ ,, ____ ... o.. m.. .._.. _"__ _ __

15.16. ÁREA DE UNA REGiÓN PLANA.

Sea S = J M dxdy el área. Si consideramos J = (Jl ,ji) tal que D J/2 - D-1.Ii = 1, aplicando el Th. de

Green y eligiendo 2 ,resulta: {

j1 (x,y) = _L

fz(x,y) = ~

S = JMdxdy = JM[DJ/2(X,y) - Dzfl (x,y) Jdxdy = Jdl (x,y)dx + fz(x,y)dy =>

E --- ~-

S = ~ f -ydx+xdy ___c ___________ _

Observación: existen o~s formas gosibles con tal que respeten la condición Dlfz - Dzf¡ = 1, como por ejemplo los camposj = (O,x) ,j = (-y, O).

15.17. CARACTERIZACiÓN DE UN GRADIENTE EN UN ABIERTO SIMPLEMENTE CONEXO DEL PLANO.

[ Sea A-un abier;;'sjmpleme~~~ conexo, un-campo vec-;'rialf ~ (f¡-j,J de clase uno en A 1 es un gradiente ~ DJ/2(X,y) = Dzf1(X,y) V x,y EA.

-------- ,------------,--- .",._._--- ,-._", ... _--------- .. "._-"- ------"'-"."--------------~---,.,'"-----------. -, -,,-.,,--_._----



15.18. EJEMPLO.

e I 1 "

dI· , ,. . d 1 { x = cos2 t a cu ar e area e a reglan ImIta a por a curva . 2

y= Sin t o < t < 6 Y los eies x - -2 ..,

e y no utilizando S = ~ J e -ydx + xdy

Se va a dibujar la gráfica, estudiando los puntos: ----

t O JI... ¡¡ ¡¡ 1í

3¡¡ 2 6 4 2 2 - ~"--,--,-

x 1 l l O 1 O 1 4 2 ---,.,.,.

Y O l 1 1 O 1 O 4 2

donde a través de la recta en cartesianas y = 1 - x daría tres recorridos que se invertirían como se ha visto al estudiar los puntos en el intervalo para t. Además, es obvio que sin 2 t = 1 - cos2 t. Gráficamente, es muy fácil deducir el área, pues se trata de un triángulo rectángulo, que es mitad de un cuadrado de lado 1, por 10 que S = ~ * 1 = ~, o bien, si consideramos el triángulo rectángulo de base

J2 (diagonal del cuadrado) y de altura la mitad de la diagonal i .J2, tenemos:

S = b * h = J2 * t.J2 l 2 2 2

D 112 - Dzfi = 1 es la condición.

. {f¡(X,Y) =-y Tomando, por ejemplo, h(x,y) = O

cumple la condición, por lo que aplicando el Th. de Green,

tenemos:

S = J M[ D 1/2 (x,y) - D1/1 (x,y) ]tú-dy = J di (x,y)tú- +12 (x, Y )dy = J e -y tú-

{

X = cos2 t {tú- = -2costsin tdt Entonces: y

y = sin 2 t dy = 2 sin t cos tdt

J! -sin2t(-2costsint)dt = 2 J! sin 3 tcostdt,

pero la curva es abierta en O:S: t:s: ~ luego no sería de aplicación el Th. de Green. Sin embargo

observamos que al retomar a O, sí se cierra, por lo tanto:

2S = 2 f! sin 3 tcostdt - 2 J: sin 3 fcostdt = 1 , Y así es de aplicación el Th. de Green pues en la primera 2

integral se desplaza del punto (1,0) al (0,1) (curva abierta) yen la segunda integral sería del punto (0,1) al (1,0), con lo que cerramos la curva, e invertimos el sentido de giro de la misma, por lo que tenemos que poner signo menos antes de la integral.

Por 10 tanto, como 2S = 1 => S = i que es la mitad del recorrido, siendo el valor del área.

Nota: obsérvese que aunque 2f! sin 3tcostdt = 1 esto es por casualidad y siempre que se aplique se

debe hacer sobre curvas cerradas.


ANEXO CAPíTULO 15. Aspectos clarificadores sobre la integración curvilínea.

i) Si existen puntos singulares donde la expresión subintegral II (x,y)dx + h(x,y)dy no es continua en algún punto interior al recinto curvilineo, pero se verifica D ¡f2 (x,y) = Dzfi (x, y ) (igualdad derivadas cruzadas), en la integral de línea sobre cualquier camino cerrado:

a) no podemos asegurar que es nula (aunque puede serlo); falla la continuidad y no es de aplicación la caracterización del gradiente.

b) su valor es el mismo para cualquier curva cerrada que encierra el punto singular.

Ejemplo:

Determinar la integral curvilínea 1 = J (x + y)~ - (~ - y)dy , siendo e la circunferencia e x +y

X2 + y2 = a2 , recorrida en el sentido positivo (antihorario). En el punto (O, O), la función no es continua, se verifica la igualdad de las derivadas cruzadas. Calculando la integral sobre el recinto, mediante las ecuaciones paramétricas habituales, llegaríamos a la solución: 1 = -2ff

Si no observamos bien la función, podríamos erróneamente pensar que es de aplicación la caracterización de gradiente pero sólo es condición necesaria (igualdad de las derivadas cruzadas), pues no es conjunto simplemente conexo, por 10 que no vale aplicar la independencia del camino y el valor de la integral nulo en un camino cerrado; esto es debido a la discontinuidad, que hace que exista un "pequeño agujero" en el punto (O, O). Por otra parte, cualquier curva cerrada que rodee al punto singular da el mismo valor que para la circunferencia C. Pruébese con una elipse, una lemniscata, etc ... dará siempre -2ff en este caso.

ü) Para aplicar la función potencial que calcula la integral de línea entre los valores finales menos los iniciales en una función subintegral que tiene asociada una ecuación diferencial exacta es condición suficiente que el dominio que recubre a A y a B y al arco sea convexo o estrellado. En la figuras (d) Y (e) siguientes se pueden apreciar las diferencias. Obsérvense los puntos A y B. En el caso (d) se puede establecer la integral como una función potencial; sin embargo en el (e) no.

Es decir, realizando el cálculo de la función potencial:

1 = J ell (x,y)dx + h (x,y)dy ->

Suponiendo que VF = f{x,y) , entonces 1 = F(B) - F(A) que será válido sólo en (d), pues el resultado en (e) es erróneo mediante este cálculo. La razón es que el recinto que recubre a la curva en (e) no es estrellado (ni tampoco convexo), por lo que no es conexo por arcos, y en definitiva, conexo. Además no existe ni ese ni ningún otro que recubra la curva y sea conexo.

dJ

,!/ -+----,;~

figura (d). Recinto conexo figura (e). Recinto no conexo.


---.José Manuel Gómez Vega. E.T.S. Ingenieros Industriales UNED 2000-2001--üi) si existe una función, la cual no verifica la igualdad de las derivadas cruzadas (la ecuación diferencial asociada no es exacta, por no existir función potencial), no es predecible que el valor de la integral curvilínea sea O en un camino cerrado; sin embargo, es posible que lo sea.

Ejemplo: Determínese la integral curvilínea de la función {(x, y, z) = (x2+x, zy2, xz2 )

{

2 2 2 3 2_ 6 a lo largo de la curva intersección de las superficies: x + y + z -

3z = x2+2y2 ->

Resulta 1 = O sobre una elipse (resuélvase), pero las derivadas cruzadas de f son distintas (DJ.!3 = z2 *- D3.li = O) Y no existe función potencial. En definitiva, el hecho de que una integral sea nula en un camino cerrado, no implica que en la integral

->

curvilínea f sea un gradiente en todos los casos, siendo éste un contraejemplo.



CAPíTULO 16. SUPERFICIE.

INTEGRAL DE

1. INTEGRAL DE SUPERFICIE.

La integral de superficie se define mediante integral de Riemann doble y representa la cantidad de flujo del campo de fuerzas que atraviesa la superficie.

16.1. ÁREA DE UNA SUPERFICIE.

Área de una superficie: A(S) = fnIIN(u,v)lldudv

A (S) = f f D [1 + ( ~~ ) 2 + ( ~; ) 2 J dxdy para dominio D, plano xy, superficie z = j{x,y) explícita

{

X = x(u,v)

Ecuaciones paramétricas de S Y = y(u, v) , (u, v) E Q

z = z(u,v)

-+ .... .... Producto vectorial fundamental: N(u, v) = ru(u, v) /\ rv(u, v) (vector normal a S en el punto).

16.2. EJEMPLO.

Determínese el área de la porción de superficie de ecuación: Z2 = 1 - x2_y2, Z 2: O que determina el cilindro X2 +y2-x = O

Resolución mediante 3 formas:

1) Sea r(x,y) = (r¡(x,y),r2(x,y),r3(x,y» una parametrización de la superficie en función de dos variables. Las derivadas parciales primeras forman una base del espacio tangente T(a), por 10 que su producto vectorial forma una base del espacio normal N(a). La norma de este vector del espacio normal integrándola sobre el plano xy mediante elementos diferenciales resulta el área de la superficie una vez se ha aplicado al recinto M proyección que determina.

.... .... -+

i j k

A(S) = fMdS = fMIIN(x,y) Ildxdy, donde N(x,y) = rx(x,y) /\ ry(x,y) = r¡x r2x r3x



Del cono z2 = 1-x2 -y2,resulta z = +Jl-x2 _y2

{

x=x

Ecuaciones paramétricas y = y ===> r(x,y) = (x,y, JI - x2 - y2 )

Z = +JI-x2 _y2

rx(x,y) = (1,0, -x ) JI -x2 _y2 Entonces:

ry(x,y) = (0,1, -y ) JI -x2 _y2

---+ ---+ ---+

i j k

1 O -x

N(x,y) = rx(x,y) A ry(x,y) = JI -x2 _ y2

O 1 -y

JI -x2 _y2

11 N(x, y) 11 = (y x 1) JI - X2 - y2 ' JI - x2 _ y2 '

x - ( y JI -x2 _ y2 ' JI -x2 - y2

y2 + X2 + (1 _ X2 _ y2) 1 X2 _ y2

,1)

El cilindro x2 + y2 - X = O {:::} (x - 1 ) 2 + y2 = ( ~ ) 2 da como proyección en el plano xy una

circunferencia centrada en ( ~ ,O ) Y de radio 1

{

p = O,p = coso Con un cambio a polares: O Ir Y haciendo una reducción del recinto al

p = O ===> O = cos ===> () = ±T

primer cuadrante de la circunferencia (recinto D),

D = {(x y) E i){2 : 0< () < .1L .0 < P < cos(}} = M por 10 cual: , - - 2' - - 4

A(S) = J (. 1 )dxdY = 4 J 1 pd(}dp = 4 Jf dOJcoSO 1 pdp = M JI _ x2 _ y2 D JI _ ~ o o Jt _ p2

= 4Jf (JCOSO 1 pdP)dO = -4 Jf Jt - p2 I p=cosf) dO = -4 Jf (JI - cos2() - ¡r=-o )d(j =

o o jI_~ o p=o o

= 4 J! (1 - sin (j)d(j = 4[ ~ + cose ;) - cosO] = 21r- 4 = 2(1r- 2)

2) Sabemos que A (S) = J M JI + z; + z.~ dxdy sobre la proyección del plano xy pues M se puede

proyectar sobre este plano y que z = + J 1 - x2 - y2 ,luego ,por lo que

llegamos a:

A (S) - J ( 1 ) dxdy y a partir de aquí se continúa como en la 1 a forma. - M J :2 2 1-x -y


-AMP.DE CÁLCULO. 20 ETSII-UNED. Capítulo 16. La integral de superficie-

3) Para el caso en que la superficie esté en implícitas, es decir, S == z = j{x,y) se puede calcular la integral mediante los cosenos directores de la recta normal a una superficie en un punto de ella (recta perpendicular al plano tangente en dicho punto), es decir, los cosenos de los ángulos que la recta normal forma con los ejes coordenados. Entonces, se cumple la siguiente igualdad entre cosenos directores: cosa _ cosfJ _ cosr _ 1 z;- - zy - ---=1 -

Existen expresiones análogas para los demás planos y los demás cosenos directores, aunque esta manera de resolver estas integrales no está contemplada en las UUDn por 10 que no se aconseja su resolución por este último camino, pero obsérvese la importancia de tener claro el concepto de normal y el ángulo que forma con el semieje positivo. Nota: Véase que el procedimiento mediante 2) figura en el libro UUDD Cálculo Infinitesimal JI de la Uned (libro de teoría de 10 del 2° parcial), mientras que no viene como tal en la teoría correspondiente de 2° curso.

16.3. DEFINICiÓN DE INTEGRAL DE SUPERFICIE DE UN CAMPO ESCALAR.

Superficie S determinada por (0,1\ necesitamos orientar la superficie.

16.4. ORIENTACiÓN DE UNA SUPERFICIE.

. {de una sola cara: no orientables (por ejemplo, Banda de Mobius) SuperfiCIes

de dos caras: orientables.

{

cara positiva: vector normal unitario (+) 2 semi espacios

cara negativa: vector normal unitario (-)


---,José Manuel Gómez Vega. E.T.S. Ingenieros Industriales UNED 2000-2001-Sistema de orientaciones:aplicación en S. A cada punto le corresponde un elemento de {+, -}.

Sistema de orientaciones continuo: todos los puntos de V (entorno de P, punto) tienen el mismo signo.

Superficie orientable:si admite sistema contínuo de orientaciones por vectores normales.

Superficie orientada: si tenemos determinado un sistema de orientaciones contínuo.

eje z+

r

cara fpositiva

r agudo, cos r > O => n > O

eje z+

cara negativa

robtuso, cos y < O => n < e

16.6. ORIENTACiÓN DEL BORDE DE UNA SUPERFICIE.

Superficie S clase q 2': 1 determinada por (n,r). r curva de Jordan, cerrada y regular a trozos. ve .Q

So porción de S imagen por r de región interior limitada por r. Borde de So : es la curva C imagen de r por r. Vectores base del plano de orientación de y : {m(t), a' (t)}

Vectores base del espacio tangente a superficie en P = r(7X(t)):{Dr(7X(t))m(t), Dr(a(t»a' (t)} (*)

Vectores base del espacio tangente a S en P = r(u, v) : {r,-Cu, v),rv(u, v)} (**)

Se asigna la cara positiva al campo vectorial n : n = :u(u, v) ;\ :v(u, v) (superficie orientada)

11 ru(u, v) ;\ rv(u, v) 11

La orientación es compatible si las expresiones (*) y (**) tienen el mismo sentido.

REGLAS PARA LA ORIENTACIÓN.

l. Del sacacorchos. Avance del sacacorchos, cara (+) y sentido de giro, el del borde. 2. Del camino. Observador en cara (+), sentido el del móvil que pasa de derecha a izquierda. 3. Del ángulo. El vector normal hace un ángulo y con respecto al semieje positivo normal al plano

{y agudo, cos y > O => n > O

proyectante y como se ha señalado anteriormente: Y obtuso, cos r < O => ñ < O

16.7. EJEMPLO.

Si tenemos una superficie S == z = j(x,y) y la cara pOSItIva corresponde a N(x,y) = (-!x(x,y),-h(x,y), 1 ),el sentido positivo de la curva proyección en el plano xy es inducida

porS.


-AMP.DE CÁLCULO. 20 ETSII-UNED. Capítulo 16. La integral de superficie--

Observénse las diferencias en los cilindros: en el de la izquierda, el vector unitario normal es saliente, la cara positiva es exterior, y la curva proyección en el plano xy tiene sentido positivo (antihorario); la cara en el cilindro de la derecha es exterior, el vector normal forma un ángulo de J( radianes con respecto al semieje z+ y por ser el ángulo obtuso, n < O Y la curva proyección tiene sentido negativo (horario), por lo que al realizar la parametrización de la curva borde se debe tener en cuenta la orientación según la superficie (que la induce), por lo que se puede optar para expresar una curva borde con recorrido horario por:

1) expresar una parametrización negativa.

2) expresar una parametrización positiva y poner un signo - delante.

16.8. DEFINICiÓN DE"INTEGRAL DE SUPERFICIE DE UN CAMPO VECTORIAL.

->

Sea f = (fi,f2,h) el campo.

fser- n)dS = fQ

[7cr(u, v» - n(u, v) 11 N(u, v) 11 dudvJ y como n(u, v) = N(u, v)

11 N(u, v) 11 -_ .. _-----_. ---

Integral de superficie de un campo vectorial

fser- n)dS = fn[ftr(u, v» -N(u, v)dudv ]

f ser- n) dS = f n [ftr( u, v» - (r u (u, v) 1\ r v( u, v»dudv ] ---------" -----------_ .. "".- ---- ---

Representa la cantidad de flujo que la componente normal J -n del campo J atraviesa a S. El signo depende de la cara considerada.

16.9. EJEMPLO. Sea T(x, y, z) la temperatura en el punto (x, y, z) del espacio. El campo vectorial .... f = - VT representa la transmisión de calor. Si la temperatura viene dada por T(x, y, z) = 2(~+y2), calcúlese el flujo de calor que atraviesa la superficie:

S "" X2+Z2= 3 , -2 < Y < O

El flujo se define como tjJ = fser- n)dS = fS<-VT-n)dS (en este problema). La superficie S es un

cilindro, y el vector n tiene el sentido de la cara exterior, y como el flujo de calor es entrante, el valor del flujo será negativo.


---,José Manuel Gómez Vega. E.T.S. Ingenieros Industriales UNED 2000-2001--Si consideramos X2 + z2 = 3 , - 2 < Y < ° con z> O (semicilindro), el flujo será el doble por

{

x=x

consideraciones de simetría y unas ecuaciones paramétricas son y = y ,

z = +J3 -x2

para (x,y) E (- J3 , J3 ) x( - 2, O) pues de lo contrario necesitaríamos escoger la parametrización con los valores para x,y iguales y z con signo negativo para z < O Y sumar las dos integrales (una por cada parametrización ).

Cálculos previos: Gradiente negativo de T: - VT(x,y,z) = -V[2(x2 + y2)] = -[4x,4y,0]

Superficie parametrizada: r(x,y) = (x,y, J3 - x2 )

-+ { rxCx,y) = (1,0, -x ) Derivadas parciales de r(x,y) -+ _ J3 - X2

ry(x,y) - (0,1,0) ---> ..... --->

l j k

Producto vectorial fundamental: Ñ(x,y) = rx(x,y) 1\ ry(x,y) = 1 ° -x x ,0,1

J3 -x2 J3 -x2

° 1 ° Norma de Ñ(x,y): II1V(x,y) 11 = J (h:x2 ) 2 + 1 = J ( 3~:2 + 1) = J 3!x2

---> (x ,0,1) Vector normal unitario Ji: Ji = N(x,y) = J 3 - x2 = (---L ° ~)

11 Ñ(x,y) 11 J 3~x2 J3' , h-x2

ñdS ~ II ~(x,y) II IIÑ(x,y) II túdy ~ Ñ(x,y)túdy ~ ( x ,0,1 )dxdY N(x,y) h -x2

Entonces:

tjJ = f (VTeJi)dS = f VTeN(x,y)dxdy = f [-4x,---4y,0] e ( X ,0,1 )d.:\:dY = S M M J3 -X2

= f ---4x2 dxdy M J3 -X2

Como (x,y) E (- J3 , J3 ) x( -2, 0), finalmente la integral para el semicilindro es:

fo fJ3 -4x2 { . X = J3 cost { x = - J3 ~ cost = -1 ~ t = ff = J3 dxdy cambIo para -2 - 3 )3 - X2 dx = _ J3 sin t x = J3 ~ cost = 1 ~ t = O

= -4(-J3)r [r 3cos2tsint dtJdY = 12fo [r cos

2tsint dtJdY =

-2 Ir J3 _ 3cos2t -2 Ir JI - 1 cos2t

= 12 f~2 [f: cos2tdt Jdy = 6 f:2 U:(l + cos2t)dt Jdy = -6ff f~2 dy = - 12ff

y como el flujo es el doble, pues el hallado es para el semicilindro, resulta tjJ = -24ff


-AMP.DE CÁLCULO. 2° ETSII-UNED. Capítulo 16. La integral de superficie--_.- ~-""---, --~- ... _--

INTEGRALES DE SUPERFICIE

f SF'dS ~ f :;:,·~:;-~-,i~~5: v) Rd¡ufvlrs (J~ñ2:-~f:[7;:~)~\(U' v )dudv ~ 2. LOS CAMPOS ROTACIONAL Y DIVERGENCIA. 16.10. DEFINICiÓN DE ROTACIONAL Y DIVERGENCIA.

Sea] = (fi.J2,h). Se define el operador nabla V: V = (D I,D2,D3) = ( ! ' ~, Zz )

Rotacional de] en A e 9'i 3 : es un campo vectorial definido en A --+ --+ ---+

i j k --+ ---+ --+

rotf= (D2f3 -Dif2,Dif1 -D¡J3,D¡J2 -D2f¡) <==> rolf= V /\f= D 1 D2 D3

f1 fz h

~~~ -~~ -~~---------

Divergencia deJen A e ~ 3 : es un campo escalar definido en A ---+ ---+ ---+

divf = D¡JI + D2f2 + Dif3 <==> div f = V • f = (DI ,D2,D3) • ([1 ,J2,h)

1 G"';diente de un campo escala') I grad F = VF = (DIF,D2F,D3F)

-,-- - ,--,- ----------------,._--~~

PROPIEDADES.

1. rol (7+ g) = rot] + rot g 2. div (7+ g) = div f + div g 3. rot(Ff) = Frotf+ VF /\1 4. div(Ff) = Fdiv f + VF.]

5. rot(VF) = O 6. div(rotf) = O

Si A es un conjunto abierto y estrellado, se da la propiedad 5 anterior: ---+

Dlh = D2fl, D2f3 = Dif2, Dif3 = Difl ~ rotf= O

Campo vectorial I solenoidal : su divergencia es nula ( div J = O )

Si un campo g es solenoidal en abierto de ~ 3 <==> es el rotacional de otro campo ( div g = O <==> g = rot J)



16.11. EJEMPLOS. ---+ --t ----Jo -+ ,-+

Sea un campo vectorial g. Para hallar un campo vectorial f tal que g = rot f podremos definir f de la siguiente forma:

f¡ (x,y,z) = ° h(x,y,z) = r g3(t,y,z)dt - r g¡ (xo,y,t)dt

Xo Zo

f3(X,y,Z) = - r g2(t,y,z)dt Xo

3. EL TEOREMA DE STOKES.

16.12. EL TEOREMA DE STOKES.

regular

clase q 2': 2

parametrización (O., r)

Sea S supeificie que cumple o. región plana limitada por y regular a trozos {

curva simple cerrada

->

parametrización (J, ti)

{

parametrización (J, f;) e borde de S

-> ---> ---> fJ=roa

Si f = (ji ,f2,f3) es un campo vectorial de clase q 2': 1 en abierto A e S se tiene:

Js(rot!. Ji)dS = S;J· df;

Si Ji es la orientación de S , en el borde e se considera el sentido inducido por dicha orientación.

16.13. EJEMPLO. .... 2

Comprobar el Th. de Stokes donde f = (zy ,zx2, xy2) en la superficie z = 3x2+y2_2, para z < 4

{

x=x

Parametrización de S: y = y

z = 3x2 + y2 - 2 {

:(x,y) = (x,y,3x2 + y2 - 2)

~ rx(x,y) = (1,0,6x)

ry(x,y) = (0,1,2y)

Superficie = paraboloide


-AMP.DE CÁLCULO. 20 ETSII-UNED. Capítulo 16. La integral de superficie--> --+ ->

i j k -> --+ -> ---+ ---+ ---+

N(x,y) = rAx,y) 1\ ry(x,y) = 1 O 6x = - 6xi - 2yj + k = (-6x,-2y, 1)

O l 2y ---+

-> N(u, v) (---6x,-2y,1) n=

11 N(u, v) 11 J(36x2 + 4y2 + l ---> -> --->

-> -> ---> i j k i j k ---> --+

--ª-- --ª-- --ª--rotf= V I\f= DI D 2 D3 ax ay az fI .fz h zy2 zx2 xy2

-> --+ --+

= (2xy - x 2)i + 0'2 - y2)j + (2xz - 2yz)k = (2xy ~ x2 ,0,2xz - 2yz)

dS = 11 Ñ(u, v) 11 dxdy

Entonces: 1) mediante el Th. de Stokes:

Is(rot 1. ñ)dS = fM

(2xy -x2,0,2xz ~ 2yz) • (---6x,-2y,l) (J(36x2 + 4y2 + l )dxdy =

( J (36x2 + 4y2 + 1 )

= IM

(2xy ~x2,0,2xz ~ 2yz) • (-6x,-2y, I)dxdy = fs[~6(2xy ~ x 2)x + 2xz ~ 2yz]dxdy =

= IM

[6x 3 ~ 12x2y + 2xz - 2yz]dxdy = JS

[6x3 ~ 12x2y + (2x ~ 2y)(3x2 + y2 ~ 2)]dxdy =

= IM

(I2x3 ~ 18x2y + 2xy2 ~ 4x ~ 2y 3 + 4y)dxdy

El recinto M es ~ 3x2 + y2 = 2 ~ ~ X2 + L = l {

z = 3X2 + y2 ~ 2 2

z=O 2 2

<=> (ff) \2 + ( ~ ) \2 = 1 (elipse)

x = ff pcos{)

Cambio de coordenadas: polares generalizadas y = J2 psin ()

det IJ(p,{))1 = 2~ p

El cambio realiza una transformación del recinto: pasa de ser una elipse a una circunferencia centrada en (0,0). M' = {(p, () E m 2 : O ::::: () ::::: 2ff, O ::::: p::::: I}

y tomando una reducción por simetría considerando el cuarto de circunferencia del1er cuadrante:

R = l S' = {(p a\ E m 2 . O < () < JL O < P < 1} 4 ,V} • - - 2' .~ -

Entonces: fsfl.x,y)dxdy = fM'j(p, ())det V(p, fJ) Idpd{) = 4 fRj(p, f)))det IJ(p, ())Idpd{)



_ I 16[2 p4cos3&-8J3J2p4cOS2&sin&+ ~ /2p4COS&sin2&-

- ti L - 8I.! # cos&- 8~J2 p4 sin 3 &+ 8~ JI # sin &

SJL Sil 16; p4cos3&- 8./3/2 p4cOS2&sin&+

= 4 2

o o +~ J2p4COS&sin2&- 8I.! #cos&- 8~J2 p4sin3&+

Las integrales son fáciles de calcular y resultan:

1 = 64J2 sts l p4cos3&dNl& = 128J2 1 3 o o /-'"' 45

/z = 32/3 J2 Ji JI p4 cos2&sin Odpd& = 32Jf Ji o o 15 h = 32Ji st SI p4COS&sin 20dNl& = 32J2

3 o o /-'"' 45 1 = 32Ji StSlp2cosOdNl&= 32Ji 4300 /-'" 9

1 = 32Jf Ji Si SI 4· 3&d Nlf} = 64,/3 Ji 5 3 o o p sm f/"' 45

h = 32~ Ji S! S ~ p2 sin &dpdfJ = 32~ Ji

Por 10 tanto:

ldpd& = 8~J2 #sinO J

1 = l¡ - h + h - 14 - 15 + 16 = 128J2 _ 32,/3 J2 + 32Ji _ 32./2 _ 64./3./2 + 32./3 J2 = O 45 15 45 9 45 9

En estos casos, es muy fácil ver que la integral es O, mediante la observación de la función subintegral cuando estaba en coordenadas cartesianas. Como todas las expresiones son impares: 12x3 - 18x2y + 2xy2 - 4x - 2y 3 + 4y , observamos que al existir simetria respecto al eje de ordenadas y al de accisas, el valor de todas las integrales es nulo.

2) directamente.

Calculemos J cf · ip El producto escalar del campo fcx,y, z) = (zy2 ,zx2 ,xy2) en la superficie z = 3X2 + y2 - 2, para el plano z = 4 da la curva: 3x2 + y2 = 6 =:}

x; + y; = 1 <=> (ff) 2 + (ff) 2 = 1 elipse centrada en (O, O) Y de semiejes a = /2 y

b = /6

{

X = J2 cost /Jet) = (/2 cost, 16 sin t, 4) Parametrización de la curva Pt) y = 16 sin t =:} d/Jet) = (- J2 sin t, 16 cost, O) dt

z = 4 para O :::; t :::; 21<

Jex,y,z) = (zy2,zx2,xy2) <=> Jet) = (24 sin2t, 8 cos2t, 6J2 costsin2t)


-AMP.DE CÁLCULO. 2° ETSll-UNED. Capítulo 16. La integral de superficiePor 10 tanto:

f;;· ip = fc(fl.h,h)· (dx.dy.dz) = fc!i dx + hdy + hdz =

= fC(zy2,ZX2.xy2) .(-./2 sint,16 cost,O)dt =

= f~"(24sin2t.8cos2t,6./2 costsin2). (-./2 sint,j6 cost,O)dt =

= f~" (-24./2 sin 3 t + 816 cos3 t )dt = °

4. EL TEOREMA DE LA DIVERGENCIA.

16.14. EL TEOREMA DE LA DIVERGENCIA O DE GAUSS.

- -

Sea M sólido cuya frontera es una supeificie regular orientable S. Si n es el vector --+

normal saliente y f = (f¡ J2J3) es un campo vectorial definido y de clase q 2: 1 en M,

entonces:

f f f M div fdxdydz = f;· ndS siendo M proyectable sobre los 3 planos coordenados.

vectores salientes, cuya cara es positiva

--+ --+ 1-+ div f = lim div j(Q) = lim -( ) f f. ndS.

Q-+P r->{) Vi r s'

La divergencia del campo en un punto P viene a ser el cociente de variación (tasa) de la cantidad de flujo por unidad de volumen de P hacia el exterior, en la dirección y sentido de n. M es una esfera de centro P y radio -; de volumen Ver).



16.15. EJEMPLOS.

1) Calcúlese la integral S 1. dJ¡ donde el campo vectorial es ..... e f(x,y,z) =(3x2+2y,Xyz2,2zy2) sobre la superficie cónica SU T == Z2= X2+y2 , z::; 2,

mediante:

a) cálculo directo de Sel. dJ¡, siendo C = C1UC2 •

b) el teorema de 5tokes f .,. dJ¡ = f rot 1. ;; dS, S 1. dJ¡ =f rot".;; dS el s e2 T

c) aplíquese el teorema de la Divergencia fe"· dJ¡ = JI S M [ div( rot f) ] dxdydz y

explíquese porqué S S fM

[ div(rot 7) ]dxdydz = O demostrando que siempre es o.

a) cálculo directo.

La supemcie cónica S U T está comprendida entre O ::; z ::; 2 Y es una superficie cerrada.

Si hacemos z = 2, el disco T == x2 + y2 ::; 22 centrado en el origen y de radio 2 es una de las partes de la superficie cónica y la curva X2 + y2 = 22 es común a ambas superficies. Sin embargo, obsérvese que para la supemcie del cono S sin el disco superior, el vector n 1 normal tiene un ángulo obtuso sobre el semieje z+ por lo que n 1 < O Y la curva inducida tiene sentido horario (tiene una parametrización negativa), o bien si se realiza una parametrización positiva no debemos olvidar poner un signo menos a n 1 tras su cálculo que invertirá el signo de todos los componentes. El disco superior T tiene un ángulo agudo, por lo que n2 > O e induce una curva recorrida en sentido antihorario, por lo que la parametrización será positiva.

z

--~r---------------~ y

proyección sobre plan.o xy

vectores normales a S (n 1) Y a T (n2) Una parametrización positiva de dicha curva para el disco Tserá:

{

X = 2cost , dx = -2sintdt

e 2 == Y = 2 sin t , dy = 2 cos tdt

z=2 , dz=O

{

---+ fJ(t) = (2cost,2sint,2)

Por lo tanto: ---+

dfJ(t) = (-2sint,2cost,O)dt

De esta forma:

S J. ip = rff

(3(2 cost)2 + 2(2 sin t), (2 cost)(2 sin 1)(2)2,2(2 )(2 sin t)2) • (-2 sin t,2cost, O)dt = e2 o = f~ff (12cos2t + 4sint, 16costsint, 16sin 2t) • (-2 sin t,2cost,O)dt =

= 8f~ff(cos2tsint-l +cos2t)dt = -87l

-----------------.AMPLIACIÓN DE CÁLCULO pág.57

-AMP.DE CÁLCULO. 2° ETSII-UNED. Capítulo 16. La integral de superficieSi en vez de tomar el disco, consideramos la superficie S,

{

X = 2sint , dx = 2costdt

la curva el == y = 2 cost , dy = -2 sin tdt

z=2 ,dz=O

tiene la parametrización negativa (hemos invertido el seno por el coseno en las dos primeras coordenadas).

{

/Jet) = (2 sin t,2cost,2) Por 10 tanto: --->

djJ(t) = (2cost, -2 sin t,O)dt

fezJ- ip = J~K[ 3(2 sint)2 + 2(2cost), (2sint)(2cost )(2)2,2(2)(2cost ) 2] - [(2cost,-2sint,0)]dt =

f~Jr(8Cos2t - 8cost + 8cos3t)dt = 8Jl

Entonces, evidentemente J r_ dP=J J. ip+-J J. dp=f J. d/i-J J. dP=O cJ el ez el el

Obsérvese que f;;· dp en física es la circulación del campo 7 y será nula para una superficie cerrada

(que es la que incluye S U 1) y generalmente se denota por una integral f con un círculo en medio;

además, nótese que una superficie cerrada no tiene borde por lo que, simplemente, f ;;. dp = ° b) Teorema de Stokes fsrotJ. ndS ,según viene en las UUDD.

--->

Rotacional de / : ---> --> -->

-+ ---+ -+ i j k i j k --> -ª- -ª- -ª-V 1\/= Dl D2 D3 fu ay az

= (4yz - 2xyz,0,yz2 - 2)

/1 /2 h 3x2 +2y -'}'z2 2zy2

Parametrización de S == z2 = x2 + y2 ,z < 2 Y = Y {

x=x

z = +JX2 +y2

donde observamos que la superficie tiene orientación negativa, por 10 que, esta vez, cambiaremos el signo a n 2 una vez calculemos el resultado mediante la parametrización positiva.

--> ---+ -+ Producto vectorial fundamental: N2 = rX2 (x,y) 1\ ry2 (x,y) = (1,0,2x) x (O, 1,2y) = (-2x,-2y, 1)

f rotflx,y,z). (-n2)dS = J rotflx,y,z). (-N2 )dxdy = s SI

= f [(4yz-2xyz,0,}72 -2) .-«-2x,-2y,1»]dxdy = SI

= f (2 + 8-'}'z - 4x2yz - yz2 )dxdy = 2 f dxdy + 8 J xyzdxdy - 4f x2yzdxdy - J yz2dxdy SI S1 SI S1 SI

siendo S1 == x2 + y2 = 22 el recinto de integración (circunferencia en (0,0) y radio 2) y donde tes + jx2 + y2 que hemos mantenido por resultar más fácil su visualización.

Por existir simetría respecto a los dos ejes x,y, y considerando z función par, las dos últimas integrales son O.


---,José Manuel Gómez Vega. E.T.S. Ingenieros Industriales UNED 2000-2001-Entonces:

h = 2fDdxdy = 2S(D) = 21l"(2)2 = 8Jl

/4 = 8 f D xyJx2 + y2 dxdy ==>cambio a polares ==> 8 f R p4 sin IJcoslJdpdlJ = 4 f R p4 sin 2fJdpdlJ,

{O < p < 2 f2E f2 donde R = - - ==> 4 p4 sin 21JdpdIJ = O O :S IJ :S 2Jl o o

y nos habríamos dado cuenta sin resolver la integral que sin 2B es impar, por lo que la integral es O.

f -+-+ f-+-+ Por lo tanto, rot f· ndS = 8Jr = f • dfJ

S e2

Ahora vamos a calcular 10 mismo pero para el disco.

{

x=x

Una parametrización positiva del disco z = 2, es T == Y = Y

z=2 {

r(x,y) = (x,y,2)

==> :x(x,y) : (1,0,0)

ry(x,y) - (0,1,0)

N1 =rX¡(x,y)J\ry¡(x,y) = (I,O,O)x(O,I,O) = (0,0,1)

I rotftx,y,2). n¡dT = I rotftx,y,2). Nldxdy = J [(8y - 4xy, 0,4y - 2) • (O, 0,1 )]dxdy = T ~ ~,

f (4y - 2 )dxdy, donde se observa claramente que y es impar y que el recinto proyección T1 = S2 (es el TI

mismo que el considerado anteriormente),luego: -2 f dxdy = -8Jl TI

Por lo tanto, f roijx,y,2) • Ndxdy = SUT

Is[rotftx,y,+Jx2 +y2). (-N2(X,y,+Jx2 +y2)) Jdxdy+ IT[ rotftx ,y,2). N¡(x,y,2) Jdxdy = 8Jr- 8Jl

Hemos llegado a otro importante resultado: fArol J • is = O si A es una superficie cerrada.

e) Aplicando el Teorema de la Divergencia I e 7. dP = f I I M [ div ( rot f) ] dxdydz

Una vez calculado rot] = (4yz - 2xyz,0,yz2 - 2) = V x J podemos obtener:

div(rotJ) = V • (V xi) = Dl(4yz - 2xyz) + D 2(0) + D3(yz2 - 2) = -2yz+ 2yz = O

que indica que div(rot JJ = O {:::} 3 g solenoidal, g = rot] '\ div g = O

Efectivamente, los resultados son coherentes y hemos llegado a que

si f;· dI = O ==> ffI V. (V xi) dxdydz = O, que desde un punto de vista fisico implica que la v -+

circulación de un campo vectorial en un camino cerrado es nula si el campo vectorial g relacionado con f mediante g = rot] es solenoidal (su divergencia es nula). '


ANEXO CAPíTULO 16. 1) Resolución del Ejemplo 16.15 10 de otra forma.

Calcúlese la integral J 7. dPdonde el campo vectorial es -lo e f(x,y,z) =(3x2+2y,Xyz2,2zy2) sobre la superficie cónica Su T:= Z2= X2+y2 , z:S 2,

mediante:

b) el teorema de Stokes J 7. dp=J rot 7. dS, J 7. dp=J rot 7. dS el s e2 T

Como esta manera de resolver este tipo de problemas no está contemplada en las UUDD, simplemente se resuelve aquí para que se sepa hacer de otra forma, tal y como se realizan los problemas en asignaturas como Campos y Ondas. Es por ello que he separado a propósito para que no confunda al lector y que 10 vea si considera necesario.

Obsérvese cómo la integral mediante el teorema de Stokes es ahora

J -lo -lo J -10-10 S rot f • dS y no S rot f • ndS, aunque evidentemente son expresiones equivalentes.

Siempre es factible resolver la integral de superficie mediante el Th. de Stokes considerando ndS = dS y en vez de tomar un vector normal, aplicar elementos diferenciales de superficie. Estos planteamientos son puramente geométricos, aunque como se observa en la demostración del Teorema de cambio de variable en la integral múltiple, la introducción del jacobiano significa un factor multiplicativo que hace que los recintos transformados sean consistentes en las traslaciones y rotaciones de los recintos de integración. Esto puede comprobarse con más rigor en los libros básicos de Mecánica y Campos y Ondas, donde se dan suficientes explicaciones de los coeficientes geométricos y de las matrices de cambio. A continuación expongo un resumen de 10 fundamental.

Para coordenadas generalizadas ortogonales los elementos diferenciales de longitud, superficie y volumen son:

--+ ---t --+ -+

di = h¡du¡a[ + h2du2a2 + h3du3a3 --+ --+ --+, --+

dS = h2h3du2du3a¡ + h[h3duldu3a2 + h[h2du¡du2a3

dV = h[h2h3du¡du2du3

{

(a [ , a 2, a 3) los vectores nonnales unitarios en las direcciones coordenadas

siendo: (h [ , h 2, h 3) los coeficientes métricos (términos que transforman longitudes y ángulos entre coordenadas)

(du ¡ , du 2, du 3) las diferenciales según los ejes

A continuación se exponen los principales operadores del análisis vectorial para coordenadas generalizadas, una vez hemos introducido los conceptos de coeficientes métricos, elementos diferenciales, anteriormente. Espero que esto no suponga un engorro para el estudiante y que sirva de complemento a 10 estudiado para tener una visión más general.

--------------AMPLIACIÓN DE CÁLCULO pág.63

-AMP.DE CÁLCULO. 2° ETSII-UNED. Capítulo 16. La integral de superficie--

~ ~

Sea el campo vectorialflx,y,z) genérico en coordenadas cartesianas, expresado como vector A: ~ ~ ~ ~ ~

flx,y,z) = A = (Ax,Ay,A z) = Axax + Ayay + Azaz donde hemos escrito el campo con los vectores unitarios íix,ay,az en lugar de los habituales 7,],1: de este curso de Ampliación, pues nos ayudará a extender al caso de coordenadas generalizadas.

(Recuérdese que en Física de 1 0, los vectores unitarios típicos eran Ur , ux , etc. y siempre es bueno que el estudiante se maneje en todas las notaciones para comprender cualquier texto técnico, al igual que, por poner otro ejemplo,conocer todas las posibles notaciones de los operadores diferenciales D ti, f, Ix, usadas según las circunstancias más apropiadas).

Evidentemente, en las coordenadas habituales cartesianas no hay problemas, pero ¿cuáles son las equivalentes a coordenadas cilíndricas y esféricas? Prescindiendo de todos los argumentos geométricos que son de muy fácil deducción, las coordenadas espaciales de los tres sistemas de coordenadas ortogonales conque solemos operar serian:

Coordenadas de longitud en los tres sistemas coordenados

cartesianas ~ ~ ~ ~

Acar(x,y,z) = Axax + Ayay + Azaz

cilíndricas ---t ---+...---+---t

Acu(r, ~,z) = Arar + A~a~ + Azaz

esféricas ---+ ~ ~ ---t

Aes.r<R, (J, t) = ARaR + Aoao + A ~a~

Sabemos también por la asignatura Mecánica de 2° , Tema 4° Coordenadas Curvilíneas que para hallar la relación entre los coeficientes de un sistema de coordenadas a otro, es preciso operar vectorialmente

---+ 4 ---+ _ -+-+

mediante una matriz de giro de las siguiente forma: Ac = G· A ó A = G • A c, donde A,A c son campos vectoriales en dos cualesquiera sistemas curvilíneos y G,G son las matrices de giro y la transpuesta, cuyo resultado geométrico es transformar los puntos de un sistema al otro.

Un cuadro más completo detalla las relaciones entre los elementos diferenciales de todas las coordenadas básicas ortogonales estudiadas estando reflejado en la página siguiente.


---José Manuel Gómez Vega. E.T.S. Ingenieros Industriales UNED 2000-2001--

Vectores base

I

Coeficient 'tr' ICOS

Los tres sistemas básicos de coordenadas ortogonales

cartesianas (x,y,z) cilíndricas(r, fjJ,z) ---> .... aul ax ---> ---> au2 ay .... 1 ....

i au3 az

h 1 1

h? 1

I h: 1

---> a r

---> al! .... az

1

r

1

esféricas(R, &, fjJ) --->

i aR i ----.

ao .... al!

1

R

: Diferencial de longitud 1 .... ---+ -+ -+ -+ ---+ -+ ,¡a -+

di = dRaR + Rd&ao + R sin &d,¡al! di di = dxax + dyay + dzaz di = drar + rd I! + dzaz

Diferencial de superficie ---+ i ---+ ---+ ---+ ---+ I --+ ---+ ---+ ---+

dS dS = dydzax + dxdzay + dxdyaz i dS = rdrfxizar + drdzal! + rdrd(xíz dS = R2 sin&d&d{iiR + Rsin &dRd{iio + RdRd&al!

Diferencial de volumen : dV dV = dxdydz I dV = rdrdrfxiz I dV = R2 sin &dRd&dfjJ I

Operadores vectoriales en coordenadas curvilíneas

! Gradiente VA (OA---> oA"" OA ..... )

VA h¡eU¡ au¡ + h2

oU2 aU2 + h¡ci73

aU3

---> i Divergencia V • A 1

I VeA = -h h1h [-00 (h2h3A¡) + -0

0 (h¡h 3A2) + ~(hlh2A3)J ¡ 2 3 u ¡ u2 003

I ....

h 1 aU ¡ .... h ....

h2a U2 3a 3u3

.-L _0_ _0_ , ---> 1

I VxA = h¡h2h3 Du¡ Du2 oU3

..... i Rotacional V x A

hlA¡ h2A2 h3A 3

Laplaciana V • (VA) = M I M = _1_ [_0_ ( hZh3 ...QL) + _a_ ( h¡h3 ...QL) + _0_ ( h¡h2 ...QL) ] ! h¡h2h3 OU, h¡ du¡ oU2 h2 dU2 003 h3 dU3 i

-------------.AMPLIACIÓN DE CÁLCULO pág.65

-AMP.DE CÁLCULO. 2° ETSII-UNED. Capítulo 16. La integral de superficie-

Observación: empiécese ya a acostumbrarse a estas coordenadas que aparecen en muchos libros técnicos en el que varía sustancialmente la notación pues en lo que en Ampliación de Cálculo se conoce como fJJ aquí es (} y () de Ampliación es t/> (véanse las diferencias en el cuadro adjunto anterior) y existen diferencias entre r en cilíndricas y R en esféricas.

Según los planteamientos anteriores el elemento diferencial vectorizado de superficie para S es: -+ -+ -+ ---+

dS = (dydz, dxdz, dxdy) = dydzax + dxdzay + dxdyaz

donde hemos cambiado la notación de los vectores normales unitarios habituales (i,-;' k) por (ax , ay, az )

que son más corrientes en este tipo de problemas para evitar confusiones. Ahora bien , hemos visto como al ser S una superficie de parametrización negativa, deberemos de cambiar el signo a dicho elemento diferenciaL Por lo tanto,

fsrotflx,y,z) • (-aS) =

f (4yz - 4vz,0, yz2 - 2) • [-(dydz,dxdz,dxdy)] = f (-4yz + ~z)dydz+ f (2 - yz2 )dxdy S D2 D1

donde DI ,D2 son los recintos proyección en los planos xy e yz, respectivamente.

De acuerdo a los resultados anteriores, 1 = 2 f dxdy = 81Z" por 10 que las otras integrales serán O. D1

Vamos a demostrarlo: El recinto D 2 es el triángulo invertido simétrico respecto al eje z (-2 ::; y::; 2) x (-y::; z ::; y).

f (-4yz + ~z )dydz = -4 f yzdydz + 2 f xyzdydz D 2 D 2 D2

Z es una función par y existe simetría respecto al eje z, y por ser y impar, x par, las dos integrales son O.

Téngase en cuenta que {

z2 = X2 +y2 ==> X = +J(4-y2)

z<2

par x impar = impar

par x par = par

Respecto a f (2 - yz2 )dxdy, vimos ya que f -yz2dxdy = ° por las mismas consideraciones D 1 D]

geométricas. Por 10 tanto: f s rol J. (-dS) = 81Z"

La ventaja de este sistema es que podremos operar con expresiones de funciones aparte de en cartesianas, en esféricas y cilíndricas tanto para resolver integrales de línea , integrales de superficie como integrales dobles, triples y de volumen, considerando los elementos diferenciales apropiados. Vamos a realizar el mismo planteamiento para el disco.

Por ser z = 2 ==> dz = 0, luego dT = (O,O,dxdy) = dxdyaz y además dT > ° (superficie de orientación positiva)

frrot fcx,y,2). dT = f r[(8y - 4xy,0,4y - 2). (O,O,dxdy)] = f r(4y - 2)dxdy Y por las mismas

consideraciones de simetría anteriores llegamos a f r(4y - 2)dxdy = -81Z"


Libro apuntes ampliación de cálculo (integrales)

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