Apuntes Ampliación de Cálculo

E. T. S. de Ingenieros Industriales

Universidad Politecnica de Madrid

Apuntes de Ampliacion de Calculo

(Grado en Ingenierıa en Tecnologıas Industriales)

Curso 2011/12

Marıa Elena Domınguez Jimenez

Departamento de Matematica Aplicadaa la Ingenierıa Industrial

Indice general

1. Calculo de integrales multiples 4

1.1. La integral multiple de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2. Teorema de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3. Cambios de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4. Aplicaciones geometricas y fısicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2. Curvas. Integrales curvilıneas. 9

2.1. Curvas en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2. Integral curvilınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.1. Integral curvilınea de un campo escalar . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.2. Integral curvilınea de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.3. Circulacion de un campo de gradientes a lo largo de una curva . . . 12

2.3. Formula de Green-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3.1. Aplicacion: Calculo de areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3.2. Aplicacion a campos conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3.3. Aplicacion: ecuaciones diferenciales exactas . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3.4. Relacion con otros teoremas: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4. Teorema de Green en dominios mas generales . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3. Teorıa de campos en R3 19

3.1. Divergencia y rotacional de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2. Campos irrotacionales y campos solenoidales . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2.1. Relacion entre campos conservativos y campos irrotacionales . . . . 21

3.2.2. Relacion entre campos solenoidales y campos de rotores . . . . . . . 22

4. Integrales de superficie 23

4.1. Superficies parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.2. Integral de superficie de un campo escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.3. Flujo de un campo vectorial a traves de una superficie . . . . . . . . . . . 26

3

5. Teoremas de Gauss y Stokes 275.1. Teorema de Ostrogradski-Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5.1.1. OBSERVACIONES IMPORTANTES . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.1.2. Demostracion del Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.1.3. Consecuencias del Teorema de Gauss: . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.2. Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.2.1. Consecuencias del Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4

Capıtulo 1

Calculo de integrales multiples

1.1 Integracion reiterada: Teorema de Fubini sobre conjuntos proyectables.

1.2 Cambios de variable.

1.3 Aplicaciones geometricas y fısicas de las integrales multiples. Teorema de Guldin

En este Capıtulo estudiamos la integral multiple de Riemann y algunas de sus nume-rosas aplicaciones en Geometrıa, Fısica, etc. No se pretende que se domine los aspectosteoricos de la integral de Riemann. Sin embargo, consideramos necesario definir al menosel concepto. Para ello, estos apuntes sirven de recordatorio de la integral simple (cuyocalculo se debe dominar al iniciar esta asignatura).

Existen dos grandes metodos de calculo de integrales multiples. Uno es el de las inte-grales iteradas, que viene justificado por el Teorema de Fubini, valido sobre rectangulos ysobre compactos proyectables. El otro es el metodo de cambio de variable. Aprenderemosa calcular integrales, tanto mediante el Teorema de Fubini o bien utilizando diversos cam-bios de variable. Asimismo, recordaremos sus aplicaciones geometricas y fısicas (areas,volumenes, centros de gravedad, momentos de inercia). Los alumnos tienen a su disposi-cion en Moodle ejercicios de la coleccion oficial, resueltos.

A la hora de plantear los problemas, no es indispensable visualizar los conjuntos en elespacio o en el plano, aunque sı es conveniente a veces.

1.1. La integral multiple de Riemann

Comenzamos introduciendo, por medio de las sumas de Riemann, la integral multiplede Riemann de una funcion acotada sobre un rectangulo compacto.

Sea Q = [a1, b1]×· · ·× [an, bn] un rectangulo compacto en Rn y f : Q→ R una funcionacotada. Si P es una particion de Q en subrectangulos Q1, . . . , Qm, sean:

mk(f) := ınff(x) : x ∈ QkMk(f) := supf(x) : x ∈ Qk .

5

6 Ampliacion de Calculo (Apuntes)

Definimos (Figura 1.1):

U(P, f) :=m∑k=1

Mk(f)v(Qk) (suma superior de f para la particion P )

L(P, f) :=m∑k=1

mk(f)v(Qk) (suma inferior de f para la particion P ) .

Es facil ver que cualquier suma inferior es cota inferior del conjunto de las sumassuperiores, y cualquier suma superior es cota superior del conjunto de las sumas inferiores.Por tanto, si P(Q) denota el conjunto de todas las particiones de Q, existen los numeros:

∫Qf dx := ınfU(P, f) : P ∈ P(Q) (integral superior de f en Q)∫

Qf dx := supL(P, f) : P ∈ P(Q) (integral inferior de f en Q) .

Se llama suma de Riemann de f para la particion P a una suma del tipo

S(P, f) =m∑k=1

f(tk)v(Qk) (tk ∈ Qk) .

Claramente,

L(P, f) ≤ S(P, f) ≤ U(P, f) .

Decimos que f es integrable de Riemann en Q, y escribimos “f ∈ R en Q”, si existeun numero real I que verifica: para cada ε > 0, existe una particion Pε ∈ P(Q) tal que

Pε ⊆ P ⇒ |S(P, f)− I| < ε

para todas las sumas de Riemann S(P, f) sobre Q.

Figura 1.1: Suma superior e inferior

M. Elena Domınguez 7

Si este numero I existe, es facil ver que es unico, y se llama integral de Riemann de fsobre Q, y se designa por

I =∫Qf dx o

∫Qf(x1, . . . , xn) dx1 · · · dxn .

Damos a continuacion un primer criterio de integrabilidad, por medio de la condicionde Riemann.

Si se cumplen estas condiciones, se tiene ademas∫Qf =

∫Qf =

∫Qf .

Pero el criterio de integrabilidad mas practico es el de Lebesgue, que vemos a conti-nuacion.

1.2. Teorema de Fubini

El teorema de Fubini permite calcular una integral multiple mediante integrales ite-radas. Para integrales dobles, este teorema afirma que, dado un rectangulo Q = [a, b] ×[c, d] ⊂ R2 y una funcion continua f : Q → R, entonces se tiene la llamada formula deFubini: ∫

Qf(x, y) dxdy =

∫ b

a

[∫ d

cf(x, y) dy

]dx =

∫ d

c

[∫ b

af(x, y) dx

]dy .

Sea D ⊂ R2 un compacto. Decimos que D es proyectable sobre el eje OX si se puedeescribir

D = (x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, φ1(x) ≤ y ≤ φ2(x) ,

donde φ1 y φ2 son funciones continuas o continuas a trozos en [a, b].Extendemos el teorema de Fubini al caso de compactos proyectables: sea D un com-

pacto en R2 proyectable sobre el eje OX; si f : D → R es continua, se tiene:

∫Df(x, y) dxdy =

∫ b

a

[∫ φ2(x)

φ1(x)f(x, y) dy

]dx .

El Teorema de Fubini se extiende a compactos en R3 proyectables sobre algun planocoordenado. Por ejemplo, el conjunto de la forma

Ω = (x, y, z) (x, y) ∈ D, φ1(x, y) ≤ z ≤ φ2(x, y)

es un solido proyectable sobre el plano XOY , y se verifica que

∫Ωf(x, y.z) dxdydz =

∫D

[∫ φ2(x,y)

φ1(x.y)f(x, y.z) dz

]dxdy


En particular, el area de un compacto proyectable en R2 es

Area (D) =∫D

1 dxdy

el volumen de un solido proyectable de R3 es

V ol (Ω) =∫

Ω1 dxdydz

Incluso estas nociones se extienden a compactos proyectables en Rn.Si f : Q→ R es una funcion continua en un compacto proyectable Q de Rn, entonces

|f | es integrable y se verifica:∣∣∣∣∫Qf(x) dx

∣∣∣∣ ≤ ∫Q|f(x)| dx ≤M Vol (Q)

donde M denota una cota de |f | en el compacto Q (cota que existe gracias al Teorema deWeierstrass para funciones continuas) y por otro lado Vol(Q) es el volumen del compacto,que existe como acabamos de observar.

1.3. Cambios de variable

Finalmente, se enuncia sin demostracion el teorema de cambio de variables en inte-grales multiples. Dado que no descendemos a la definicion de conjuntos medibles-Jordan,ni conjuntos de medida nula ni contenido nulo, damos este enunciado para compactosproyectables:

Teorema 1.1. [?, Theorem 8.62]: Sea G∗ ⊂ Rn un conjunto abierto y sean E, G conjuntosproyectables tales que G es abierto y E ⊂ G ⊂ G∗. Suponemos que la funcion φ : G∗ → Rn

es de clase C1 en G∗, inyectiva en G y que su jacobiano Jφ(x) es distinto de cero en G.Si la funcion f : φ(E)→ R es continua, entonces las integrales∫

φ(E)f y

∫E

(f φ)|Jφ|

existen y son iguales.

Se estudia la aplicacion de la integral multiple al calculo de la masa de un solido, delcentro de gravedad y momento de inercia. Se demuestra el teorema de Guldin para elcalculo del volumen de un solido de revolucion.

En este tema es importante que los alumnos hagan numerosos ejercicios para adquirirdestreza en el calculo de integrales multiples, calculos de areas planas, volumenes, centroi-des, momentos de inercia, etc. Se consideran diferentes cambios de coordenadas en dos ytres dimensiones (polares, cilındricas, elıpticas, elipsoidales, esfericas, etc.).


1.4. Aplicaciones geometricas y fısicas

Ya hemos definido previamente area de un compacto proyectable y volumen de unsolido proyectable. De forma analoga definiremos area, volumen y centro geometrico deun recinto plano o de un solido, utilizando la integral multiple:

1. Siempre que las siguientes funciones sean integrables en los dominios correspondien-tes, se define el area de un recinto de R2 como

Area (D) =∫D

1 dxdy

ası como el volumen de un solido de R3

V ol (Ω) =∫

Ω1 dxdydz

2. El centro geometrico de un recinto D de R2 es el punto cuyas coordenadas son(∫ ∫D xdxdy

Area (D),

∫ ∫D ydxdy

Area (D)

).

Para un solido Ω de R3 es el punto de coordenadas(∫ ∫ ∫Ω x dxdydz

V ol (Ω),

∫ ∫ ∫Ω y dxdydz

V ol (Ω),

∫ ∫ ∫Ω z dxdydz

V ol (Ω)

).

3. Si δ es una funcion no negativa que representa una densidad de masa definida en elsolido, entonces su masa es

Masa (C) =∫ ∫ ∫

Ωδ dxdydz.

En este momento se pueden hacer ejercicios de la coleccion, y ademas problemas, porejemplo del libro de Burgos de integrales multiples (aunque este libro tambien contieneproblemas de integrales simples y curvilıneas, que estudiamos a continuacion).

Capıtulo 2

Curvas. Integrales curvilıneas.

2.1 Curvas parametrizadas en Rn. Cambios de parametro. Tipos de curvas.

2.2 Integracion de un campo escalar a lo largo de una curva. Circulacion de un campovectorial a lo largo de una curva.

2.3 Campos conservativos y gradientes: Independencia del camino.

2.4 Teorema de Green en dominios simplemente conexos y multiplemente conexos de R2.

En este tema se considera lo esencial de la teorıa de curvas para poder introducircorrectamente en el tema siguiente las integrales curvilıneas. En el resto de asignaturas,las curvas se utilizaran como trayectorias de moviles, o cargas puntuales. Por eso la variableindependiente suele relacionarse con el tiempo, t.

La primera cuestion es la definicion de curva. Intuitivamente todos poseemos la nocionde curva (como conjunto de puntos) pero resulta difıcil plasmarla en una definicion decurva parametrizada, de la funcion trayectoria de un punto a lo largo del tiempo.

A continuacion se aprenden las nociones de integral curvilınea de campo escalar ycampo vectorial. Se hacen notar las buenas propiedades de los campos de gradientes.

Finalmente, el Teorema de Green relaciona integral curvilınea con una integral doble,y tiene numerosas consecuencias en R2.

2.1. Curvas en Rn

Definicion 1. Una curva (o arco de curva) parametrizado de clase C1 en Rn es unaaplicacion de clase C1:

r : [a, b] −→ Rn

t 7−→ r(t).

Los extremos inicial y final de la curva son los puntos r (a) y r (b) , respectivamente. Sedefine tambien la traza de la curva como la imagen de esta aplicacion, es decir, el conjunto

10


de puntos C = r(t), t ∈ I. Por ultimo, el vector r′(t) es tangente al arco parametrizadoen el punto r′(t)

Se presentan algunos ejemplos de curvas parametrizadas, y como dos curvas distintaspueden tener la misma traza. Ello lleva a la siguiente definicion:

Definicion 2. Una reparametrizacion de la curva r es la curva w = r h donde h :[c, d] → [a, b] verifica h′ (s) 6= 0 s ∈ (c, d) . A la funcion h se le denomina cambio deparametro. Si h′ > 0 las curvas tienen la misma orientacion, y si h′ < 0 tienen orientacionopuesta.

Efectivamente, si h es creciente, el cambio de parametro mantiene la orientacion de lacurva (mantiene el extremo inicial y final). En caso contrario, los invierte..

Se definen varios tipos de curvas:

Definicion 3. Sea r : [a, b] −→ Rn una curva parametrizada en Rn.

Definicion 4. Se dice que la curva es simple si r (t) 6= r (t′) para a < t < t′ < b,es decir, si es inyectiva en (a, b) (en otras palabras, la traza C de la curva no secorta a sı misma salvo quiza en los extremos).

Se dice que la curva es un camino si es simple y ademas r (t) 6= r (a), r (t) 6= r (b)para todo t ∈ (a, b) .

Se dice que la curva es cerrada si r (a) = r (b) .

Se dice que la curva es curva de Jordan (o circuito) si es una curva cerraday simple. Es decir, curva cerrada cuya traza C solo se corta a sı misma en losextremos.

Se enuncia a continuacion el Teorema de la curva de Jordan en R2, que se necesi-tara mas adelante:

Teorema 2.1. Toda curva de Jordan en R2 divide el plano en dos recintos: uno acotado(denominado interior de la curva) y otro no acotado (denominado exterior de la curva).

A continuacion se explica que toda curva de Jordan en R2 admite solo dos tipos deorientaciones: orientacion positiva (si la curva se recorre dejando “a la izquierda” el interiorde la curva) o bien orientacion negativa (que es la contraria).

2.2. Integral curvilınea

En este tema se trata de introducir correctamente la nocion de integral curvilınea deun campo vectorial y de un campo escalar a lo largo de un arco de curva parametrizado,y de que los alumnos comprendan bien su significado fısico o geometrico.


2.2.1. Integral curvilınea de un campo escalar

Sea r : [a, b] −→ Rn una curva parametrizada, cuya traza C esta contenida en unabierto A, sea f : A→ R una funcion (campo escalar) continuo. Al ser r de clase C1, seobserva que la funcion

[a, b] −→ Rt 7−→ f(r(t)) ‖r′(t)‖

es continua y por tanto integrable. Ademas, se demuestra que, para cualquier cambio deparametro h, la curva w (s) = r (h (t)) , s ∈ [c, d] proporciona la misma integral:∫ b

af(r(t)) ‖r′(t)‖ dt =

∫ d

cf(w(s)) ‖w′(s)‖ ds.

De ello se desprende la definicion siguiente:

Definicion 5. Si r : [a, b] −→ Rn es una curva parametrizada, cuya traza C esta conte-nida en un abierto A, y f : A → R es un campo escalar continuo, se define la integralcurvilınea de f a lo largo de C como:∫

Cf ds :=

∫ b

af(r(t)) ‖r′(t)‖ dt .

Observacion: Dado que la integral curvilınea de un campo escalar es independiente dela parametrizacion de la curva C, es logico definir la integral de f a lo largo de C y nosobre r. A partir de ahora, por abuso de notacion, llamaremos C a la curva y no a suparametrizacion r.

CASOS PARTICULARES:

1. Si f ≡ 1, se obtiene la longitud del arco:∫Cds =

∫ b

a‖r′(t)‖ dt = long(C) .

2. El centro geometrico de una curva C en R2 es el punto cuyas coordenadas son( ∫C xds

long(C),

∫C yds

long(C)

).

Para una curva en R2 es el punto de coordenadas( ∫C xds

long(C),

∫C yds

long(C),

∫C zds

long(C)

).

3. Si δ es una funcion no negativa que representa una densidad lineal de masa definidasobre la curva C (un alambre, por ejemplo) entonces la masa del alambre es

Masa (C) =∫Cδ ds.


2.2.2. Integral curvilınea de un campo vectorial

Sea r : [a, b] −→ Rn una curva parametrizada, cuya traza C esta contenida en unabierto A, y F : A→ Rn una aplicacion (campo vectorial) continua. La funcion

[a, b] −→ Rt 7−→ F (r(t)) · r′(t)

es continua, luego es integrable en [a, b].

Definicion 6. Sea r : [a, b] −→ Rn una parametrizacion de la curva C. Si C esta conte-nida en un abierto A, y F : A→ Rn es un campo vectorial continuo, se define la integralde F (o circulacion de F ) a lo largo de C como la integral∫

CF · dr :=

∫ b

aF (r(t)) · r′(t) dt

Observacion: La integral no se altera si sustituimos r por otra parametrizacionw = rhque mantenga la orientacion de la curva, pero cambia de signo si la reparametrizacioncambia la orientacion.

Esta observacion es una diferencia importante con la integral curvilınea de camposescalares, que nunca cambia aunque cambiemos la orientacion.

2.2.3. Circulacion de un campo de gradientes a lo largo de unacurva

Sea D ⊆ R3 un abierto, y U : D → R una funcion (campo escalar) diferenciable. Sellama gradiente de U al campo vectorial

gradU =∇U :=∂U

∂xi+

∂U

∂yj +

∂U

∂zk .

En todo lo que sigue, se llamara dominio a un conjunto abierto CONEXO.Sea F = gradU definido en un dominio D ⊆ R3; dados dos puntos Q1, Q2 ∈ D, sea

C un arco cualquiera de clase C1 contenido en D que une Q1 con Q2. Entonces,∫CF · dr = U(Q2)− U(Q1) .

En consecuencia,∫C F · dr no depende del camino y, si C es una curva cerrada, se tiene∫

C F · dr = 0.El recıproco es tambien cierto en dominios (es decir, en abiertos CONEXOS): Sea F

un campo vectorial continuo en un dominio D ⊆ R3. Si∫C F · dr no depende del camino,

existe un campo escalar U definido en D tal que F = gradU .Si F = gradU en D, decimos que U es un potencial escalar de F en D.Finalmente, se proponen problemas variados a los alumnos para que adquieran destreza

en el calculo de integrales curvilıneas.


2.3. Formula de Green-Riemann

La formula de Green-Riemann relaciona la integral curvilınea de un campo vectoriala lo largo de una curva cerrada con una integral doble extendida al dominio acotadolimitado por la curva cerrada.

Este resultado es con frecuencia muy util para calcular un integral curvilınea por mediode una integral doble y, en ocasiones, para calcular una integral doble por medio de unacurvilınea. Tiene numerosas aplicaciones en diversas areas de las Matematicas.

Teorema 2.2 (Teorema de Green). Sea γ una curva de Jordan, de clase C1 a tro-zos, orientada positivamente. Sea D el compacto interior a γ. Sea un campo F (x, y) =(P (x, y), Q(x, y)) de clase C1 en D. Entonces

∫xγF =

∫∫D

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)dxdy, (2.1)

donde el sımboloxγ significa que la curva γ se recorre en sentido positivo, es decir, de

modo que el dominio D quede a la izquierda.

La demostracion se puede encontrar en varios libros de la bibliografıa, como por ejem-plo en (Apostol, Fulks), y es un calculo bastante sencillo.

Aquı lo demostramos para conjuntos que sean compactos simples. Para ello recordemosaquı la definicion de conjunto proyectable (que se dio en el Capıtulo 1) y aprendamos elconcepto de compacto simple:

Definicion 7. Si D ⊂ R2 es un conjunto compacto (es decir cerrado y acotado),decimos que D es proyectable sobre el eje OX si D se puede describir en la forma:

D ≡ (x, y) , a ≤ x ≤ b, f(x) ≤ y ≤ g(x) con f, g ∈ C ([a, b]) .

Analogamente, D se dice proyectable sobre el eje OY si D se puede describir en laforma:

D ≡ (x, y) , c ≤ y ≤ d, h(y) ≤ x ≤ l(y) con h, l ∈ C([c, d]).

Se dice que D es un compacto simple si es proyectable sobre los dos ejes.


Un ejemplo de este tipo de conjunto viene ilustrado en el dibujo anexo.

Demostracion: Debemos probar que la integral de lınea de la formula de Green (2.1)coincide con la integral doble de la misma formula.

Como F = (P, 0) + (0, Q) lo demostraremos primero para campos de la forma (P, 0)y luego para los de la forma (0, Q) .

Queremos probar que ∫∫D

(−∂P∂y

)dxdy =

∫xγ

(P, 0) . (2.2)

La integral doble es muy sencilla, puesto que el conjunto D es proyectable sobre el ejeOX

−∫∫

D

∂P

∂ydxdy = −

∫ b

a

(∫ g(x)

f(x)

∂P

∂ydy

)dx = −

∫ b

a(P (x, g (x))− P (x, f (x))) dx.

Por otro lado, calculemos la integral curvilınea, que esta dividida en 4 arcos: la graficasuperior (x, g (x)), la grafica inferior (x, f (x)), y los 2 segmentos verticales x = a y x = b.El vector tangente asociado a la parametrizacion de la curva inferior Cf es (x, f (x)) es(1, f ′ (x)) con x ∈ [a, b] luego la integral queda∫

Cf

(P, 0) =∫ b

a(P (x, f (x)) , 0) · (1, f ′ (x)) dx =

∫ b

aP (x, f (x)) dx.

Anlalogamente, en la grafica superior (x, g (x)) la circulacion es

−∫ b

aP (x, g (x)) dx

donde se ha cambiado el signo porque la orientacion es contraria (ver el dibujo).En cuanto a las lıneas verticales basta observar que el campo (P, 0) es perpendicular

a la curva (generada por (0, 1)) luego las correspondientes integrales de lınea son nulas.


Recapitulando, la integral de lınea de la expresion (2.2) es∫ b

a(P (x, f (x))− P (x, g (x))) dx

que coincide con el resultado de la integral doble, como querıamos demostrar. Analo-gamente se tiene el resultado para el campo (0, Q) gracias a que el recinto tambien esproyectable sobre OY, con lo cual termina la demostracion.

El resultado es cierto tambien en dominios D mas generales. Daremos la definicion dedominio simplemente conexo, que sera util en este tema y en los posteriores:

Definicion 8. Un dominio D ⊂ R2 es simplemente conexo si , para cada curva deJordan C en D, se verifica que la region interior a C pertenece a D.

Otra definicion mas general, valida incluso en Rn es: simplemente conexo es aqueldominio en el que cualquier curva contenida en D puede deformarse en D hasta convertirseen un punto de D.

2.3.1. Aplicacion: Calculo de areas

Este util teorema sirve para calcular areas de regiones acotadas del plano, por mediode una integral curvilınea sobre su frontera siempre que esta sea una union de curvas declase C1. (Esto sirve como metodo alternativo de una integral doble, que se aprendio enel Tema 1).

Simplemente aplicamos la formula de Green-Riemann al campo F = (−y, x) /2 que es

de clase C1 en todo el plano, y cumple que∂Q

∂x− ∂P

∂y= 1, ası que

Area (D) =1

2

∫∂D

(−y, x) · dl

donde ∂D denota la curva frontera de D, orientada positivamente.

2.3.2. Aplicacion a campos conservativos

En esta seccion vemos el siguiente resultado que caracteriza los campos conservativosen regiones simplemente conexas del plano:

Teorema 2.3. Sea F = (P,Q) un campo de clase C1 en un dominio D simplementeconexo. Entonces

F es conservativo en D ⇐⇒ F = ∇φ con φ ∈ C2 (D) ⇐⇒ ∂Q

∂x=∂P

∂yen D.


Demostracion: La primera doble implicacion es cierta en cualquier conexo (ver ellibro de Apostol). En cuanto a la segunda, demostramos cada implicacion por separado:

⇒ Muy sencilla pues si (P,Q) =(∂φ∂x, ∂φ∂y

)entonces por el Teorema de Schwartz como φ

es de clase 2 tiene las segundas derivadas cruzadas iguales.

⇐ Si se cumple esta igualdad de derivadas del enunciado, entonces para cada curva deJordan C de D, la region interior a C pertenece a D (pues D es simplemente conexo).Por tanto se cumplen las hipotesis para poder aplicar el Teorema de Green y se llegaa ∫

CF =

∫ ∫int(C)

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)dxdy = 0.

Por tanto la circulacion de F es nula sobre cualquier curva C cerrada de D. Es decir,F es conservativo en D.

Observacion: ¡NO TODO CAMPO QUE CUMPLA ∂Q∂x

= ∂P∂y

ES CONSERVATIVO!

El campo siguiente es un contraejemplo en R2 \ (0, 0) :

F (x, y) =

(−y

x2 + y2,

x

x2 + y2

).

En efecto, al ser D = R2 \ (0, 0) NO simplemente conexo, no se puede asegurar quesea conservativo. La prueba es que su integral sobre cualquier circunferencia centrada enel origen NO es nula.

2.3.3. Aplicacion: ecuaciones diferenciales exactas

Notacion: Recuerdese que la integral de lınea admite esta otra notacion:∫C

(P,Q) =∫CPdx+Qdy

Esta se asemeja a las llamadas .ecuaciones diferenciales exactas”: en efecto, la ecuaciondiferencial

P (x, y) dx+Q (x, y) dy = 0

se dice que es exacta si se cumple precisamente la identidad

∂Q

∂x(x, y) =

∂P

∂y(x, y) .

Hemos visto en el teorema que, si el dominio es simplemente conexo, entonces efectiva-mente existe un potencial escalar φ tal que

(P,Q) =

(∂φ

∂x,∂φ

∂y

).


Ahora que sabemos la razon de su existencia, retomamos el resultado de EcuacionesDiferenciales que dice que la ecuacion diferencial exacta tiene por soluciones implıcitasφ (x, y) = Cte.

De esta forma, el potencial escalar del campo (P,Q) se utiliza tanto en Calculo Vec-torial como en Ecuaciones Diferenciales.

2.3.4. Relacion con otros teoremas:

1. Se prueba el teorema de Gauss o de la divergencia en el plano que establece que,si D ⊂ R2 es un dominio compacto al que se puede aplicar la formula de Green-Riemann, si F es un campo vectorial de clase C1 en D, y n es un vector normalunitario en cada punto a la frontera γ de D, dirigido hacia el conjunto complemen-tario de D, se tiene ∫∫

D(divF ) dxdy =

∫γF · n d l .

donde la divergencia de F = (P,Q) de clase C1 (D) es el campo escalar

divF :=∂P

∂x+∂Q

∂y.

Cuando estudiemos el Teorema de la divergencia de Gauss en el Tema 5, veremoscomo esta igualdad se extiende de curvas de R2 a superficies de de R3.

2. Tambien en el Tema 5 observaremos que el Teorema de Green no es mas que laversion plana del Teorema de Stokes (del rotacional) aplicado a dominios planos delespacio y al campo (P,Q, 0) .

Esto da una idea de como los 3 grandes teoremas integrales (Green, Gauss y Stokes)estan ıntimamente relacionados.

2.4. Teorema de Green en dominios mas generales

El teorema de Green tambien es valido en dominios mas generales que los simplementeconexos, con un pequeno matiz en el enunciado.

Llamamos dominios multiplemente conexos a la union de simplemente conexos delplano. Estos sı pueden contener .agujeros”.

Teorema 2.4 (Teorema de Green para dominios multiplemente conexos). Sea D undominio compacto cuya frontera γ consta de un numero finito de curvas de Jordan Ci(i = 1, .., p) de clase C1. Si P,Q ∈ C1(D), entonces:

p∑i=1

∫Ci

(P,Q) =∫∫

D

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)dxdy .

El sentido de recorrido de Ci es tal que el dominio D queda a la izquierda de la curva.


Otra reescritura del mismo teorema es la siguiente, en la que todas las curvas fronteraestan orientadas positivamente, para que no haya confusion, como en el dibujo anexo:

Corolario 2.5 (Teorema de Green para dominios multiplemente conexos, version 2). SeaD un dominio compacto multiplemente conexo cuya frontera exterior es la curva de JordanΓ y cuya frontera interior consta de un numero finito de curvas de Jordan γi (i = 1, .., p)de clase C1. Si P,Q ∈ C1(D), entonces:

∫xΓ

(P,Q) =p∑i=1

∫xγi

(P,Q) +∫∫

D

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)dxdy

donde todas las curvas de Jordan estan orientadas positivamente.

Especial interes tiene este ultimo resultado cuando el campo verifica la igualdad ∂Q∂x

=∂P∂y

en D, puesto que entonces

∫xΓ

(P,Q) =p∑i=1

∫xγi

(P,Q) .

La interpretacion es la siguiente:

Observacion: En el caso de que ∂Q∂x

= ∂P∂y

, entonces se cumple que : “la circulacion del

campo (P,Q) sobre una curva es igual a la circulacion del campo sobre otra sobre la quese pueda deformar sin pasar por ningun punto singular del campo (P,Q).”

Este resultado sera muy util en los ejercicios y problemas.

Capıtulo 3

Teorıa de campos en R3

3.1 Definicion de divergencia y rotacional de un campo vectorial. Interpretacion ma-tematica.

3.2 Campos irrotacionales y solenoidales.

3.3 Campo irrotacional y campo conservativo. Recintos donde ambas propiedades sonequivalentes.

3.4 Campo solenoidal y de rotores. Recintos donde ambas propiedades son equivalentes.

3.1. Divergencia y rotacional de un campo vectorial

Sea F = (F1,F2,F3) un campo vectorial de clase C1 en un abierto Ω ⊆ R3.

La matriz jacobiana del campo es:

J =

∂F1

∂x∂F1

∂y∂F1

∂z∂F2

∂x∂F2

∂y∂F2

∂z∂F3

∂x∂F3

∂y∂F3

∂z

.

Escribamos esta matriz como suma de una simetrica y una antisimetrica:

S =1

2

(J + JT

)=

∂F1

∂x12

(∂F2

∂x+ ∂F1

∂y

)12

(∂F3

∂x+ ∂F1

∂z

)12

(∂F2

∂x+ ∂F1

∂y

)∂F2

∂y12

(∂F3

∂y+ ∂F2

∂z

)12

(∂F3

∂x+ ∂F1

∂z

)12

(∂F3

∂y+ ∂F2

∂z

)∂F3

∂z

20


A =1

2

(J − JT

)

=1

2

0

∂F1

∂y− ∂F2

∂x

∂F1

∂z− ∂F3

∂x∂F2

∂x− ∂F1

∂y0

∂F2

∂z− ∂F3

∂y∂F3

∂x− ∂F1

∂z

∂F3

∂y− ∂F2

∂z0

=

0 −c bc 0 −a−b a 0

Observacion: De los conocimientos de Algebra sabemos que:

1. La matriz real simetrica S es diagonalizable ortogonalmente, y sus autovaloresλ1, λ2, λ3 son reales y existe alrededor de cada punto una base ortogonal formadapor autovectores. Representa una deformacion en el espacio cuyas elongacionesprincipales alrededor de cada punto son λ1, λ2, λ3.

2. Ademas, la suma de esas elongaciones es

λ1 + λ2 + λ3 = traza (S) =∂F1

∂x+∂F2

∂y+∂F3

∂z

y a esta cantidad se llama DIVERGENCIA DE F (div (F )). Es por tanto la variacionradial, en magnitud, del campo en un cubo infinitesimal alrededor del punto.

3. La matriz real antisimetrica A de orden 3 representa un producto vectorial conel vector (a, b, c) . Este vector se denota rotacional de F y es el campo vectorialsiguiente:

rot (F) =

(∂F3

∂y− ∂F2

∂z

)i+

(∂F1

∂z− ∂F3

∂x

)j +

(∂F2

∂x− ∂F1

∂y

)k .

4. La matriz jacobiana o derivada de F es suma de dos transformaciones:

a) Una que realiza el producto vectorial con el campo rot (F) (es decir, indica ungiro o variacion de direccion del campo F alrededor de cada punto).

b) Otra que realiza una deformacion en magnitud radial alrededor de cadapunto.


3.2. Campos irrotacionales y campos solenoidales

Definicion 9. Sea F = (F1,F2,F3) un campo vectorial de clase C1 en un abierto Ω ⊆ R3.

1. Se dice que F es irrotacional si rot (F ) = 0. Es decir, si

∂Fi∂xj

=∂Fj∂xi

∀i, j = 1, 2, 3.

2. Se dice que F es solenoidal si div (F ) = 0.

3.2.1. Relacion entre campos conservativos y campos irrotacio-nales

1. Sea F = (F1,F2,F3) un campo vectorial de clase C1 en un abierto conexo Ω ⊆ R3.Entonces

F es campo de gradientes ⇐⇒ F es campo conservativo =⇒ F es irrotacional

2. ¿ES CIERTA LA IMPLICACION RECIPROCA? NO

3. La recıproca es cierta en dominios Ω simplemente conexos.

Definicion 10. Ω ⊆ Rn es simplemente conexo si toda curva cerrada C contenida enΩ puede deformarse en Ω de forma continua hasta convertirse en un punto de Ω.

Ademas, un potencial escalar del campo puede construirse como:

φ (x) =∫C(x0,x)

F dr

donde C(x0,x) es cualquier curva contenida en Ω con origen un punto fijo x0 ∈ Ω yextremo final x.

CONCLUSION: En un dominio simplemente conexo, todo campo irro-tacional es conservativo en ese dominio, y viceversa.


3.2.2. Relacion entre campos solenoidales y campos de rotores

Sea F = (F1, F2, F3) un campo vectorial de clase C1 en un abierto Ω ⊆ R3. Entonces

F es campo de rotores (es decir, F = rotG) =⇒ F es solenoidal

¿ES CIERTA LA IMPLICACION RECIPROCA?

NO

El campo newtoniano NO es de rotores en R3\0 (pues no admite potencial vector).

La recıproca es cierta en dominios Ω estrellados.

Definicion 11. Ω ⊆ Rn es estrellado si existe r0 ∈ Ω tal que para cualquier puntor ∈ Ω, el segmento [r0, r] esta contenido en Ω.

CONCLUSION: En un dominio estrellado, todo campo solenoidal ad-mite potencial vector en ese dominio, y viceversa.

Ademas, un potencial vector puede venir dado por

G (r) =∫ 1

0F (r0 + t (r− r0))× (r0 + t (r− r0)) dt ∀r ∈Ω.

Capıtulo 4

Integrales de superficie

4.1 Superficies parametrizadas. Plano tangente y vector normal asociado a una parame-trizacion de la superficie.

4.2 Integracion de un campo escalar sobre una superficie. Area de una superficie.

4.3 Flujo de un campo vectorial a traves de una superficie.

El objetivo de este tema es que los alumnos sepan parametrizar superficies y calcularintegrales de superficie, que son la base que tienen que dominar para poder aplicar losgrandes teoremas integrales del siguiente y ultimo tema.

4.1. Superficies parametrizadas

En este tema se introduce la nocion de superficie parametrizada con el fin de poderdefinir correctamente en el tema siguiente la integral de superficie.

Superficie parametrizada de clase C1 es todo par (D,Φ), siendo D un dominio de R2

limitado por una curva de Jordan, y Φ∈ C1(D,R3).Decimos que la superficie (D,Φ) es simple si la aplicacion Φ es inyectiva.Dado un dominioD ⊂ R2, llamamos cambio de parametros enD a todo C1-difeomorfismo

ϕ : D −→ D′ := ϕ(D) ⊂ R2 .

Como ϕ−1 es diferenciable, el jacobiano de ϕ es distinto de cero en todo punto de D.Decimos que la superficie (D,Φ) es equivalente a (D′,Φ′) si existe un cambio de parame-

tros ϕ : D → D′ tal que Φ′ ϕ = Φ.Se dice que la superficie (D,Φ) esta orientada si se ha dado un signo distintivo a su

clase de equivalencia.

24


Se dice que el punto (u, v) ∈ D es regular si en el se cumple

∂Φ

∂u× ∂Φ

∂v6= 0 .

Se dice que la superficie (D,Φ) es regular si todos los puntos de D son regulares.Por abuso de notacion, diremos que la superficie parametrizada es la imagen de Φ, es

decir, el conjunto de puntos Σ = Φ (D)Si (u, v) es un punto regular, el plano engendrado por los vectores

∂Φ

∂u,∂Φ

∂v

se llama plano tangente a la superficie en el punto Φ(u, v). Se puede probar que el planotangente es independiente de la representacion parametrica elegida, es decir, el planotangente no cambia con un cambio de parametros.

Se obtienen las formulas del plano tangente cuando la superficie esta dada en formaparametrizada, o por su ecuacion cartesiana, o por su ecuacion implıcita.

En particular, dada la superficie

Φ(u, v) ≡

x = x(u, v)y = y(u, v)z = z(u, v) ,

consideremos el punto regular (u0, v0) con imagen P0 = (x0, y0, z0). Un punto P = (x, y, z)esta en el plano tangente si y solo si los vectores

−−→P0P ,

∂Φ

∂u,∂Φ

∂v

son linealmente dependientes, equivalentemente, si y solo si∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x− x0 y − y0 z − z0

∂x

∂u

∂y

∂u

∂z

∂u∂x

∂v

∂y

∂v

∂z

∂v

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(u0,v0)

= 0 .

Si la superficie esta dada por su ecuacion cartesiana z = g(x, y), la ecuacion del planotangente es

g′x(x0, y0)(x− x0) + g′y(x0, y0)(y − y0) = z − z0 .

Si la superficie esta dada por su ecuacion implıcita F (x, y, z) = 0, su plano tangenteen el punto (x0, y0, z0) es

F ′x(x− x0) + F ′y(y − y0) + F ′z(z − z0) = 0 ,


donde las derivadas F ′x, F′y, F

′z se calculan en el punto (x0, y0, z0). En consecuencia, el

vector (F ′x, F

′y, F

′z

)es normal a la superficie en el punto (x0, y0, z0).

Se llama area de una porcion de superficie Σ parametrizada siendo Φ : D → R3 a laintegral doble sobre el dominio de los parametros del modulo del vector normal obtenidocomo producto vectorial de los dos vectores derivadas parciales de Φ.

Obtenemos la expresion de esta definicion en el caso de una superficie de revolucion yde una superficie dada por su ecuacion cartesiana z = g(x, y).

4.2. Integral de superficie de un campo escalar

En este tema se introduce la integral de superficie de un campo escalar y la integralde superficie de un campo vectorial. Utilizamos la primera con numerosos ejemplos enel calculo de areas de porciones de superficie. La segunda es muy util en aplicacionesfısicas (campos electromagneticos, etc.). Se estudian tambien los teoremas de Gauss o dela divergencia y de Stokes.

Si Σ = Φ(D) es una superficie parametrizada de clase C1, regular y simple, y f : Σ ⊂R3 −→ Res un campo escalar, se define la integral de superficie del campo f sobre lasuperficie Σ por:∫∫

Σf(x, y, z) dσ :=

∫∫Df(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ‖n‖ dudv

donde n = ∂Φ∂u× ∂Φ

∂ves el vector normal asociado a la parametrizacion.

∂Φ

∂u× ∂Φ

∂v.

Se da un metodo alternativo de calculo de estas integrales proyectando la superficiesobre uno de los planos coordenados. Concretamente, si la superficie se proyecta de manerainyectiva sobre el dominio ΣXY del plano XY , se tiene

∫∫Σf(x, y, z) dσ =

∫∫ΣXY

f(x, y, z(x, y))

√√√√1 +

(∂z

∂x

)2

+

(∂z

∂y

)2

dxdy ,

dado que el vector normal asociado a la parametrizacion z = z (x, y) es(−∂z∂x,−∂z

∂y, 1

).

.Es claro que el area S(A) de la porcion de la superficie (D,Σ) determinada por el

subdominio A ⊂ D es

S(A) =∫∫

Σdσ .


En este punto, los alumnos pueden intentar hacer numerosos problemas de calculode integrales de superficie de campos escalares, principalmente de calculo de areas. Enparticular el calculo del area de una porcion de superficie cilındrica de generatriz paralelaa uno de los ejes coordenados.

4.3. Flujo de un campo vectorial a traves de una su-

perficie

Si Σ = Φ(D) es una superficie parametrizada de clase C1, regular y simple, y F esun campo vectorial continuo en Σ, se llama integral del campo F sobre la superficie Σorientada por el vector normal n, o flujo de F a traves de la superficie Σ orientada porel vector normal n a la siguiente integral doble:∫∫

Σ+F · dσ :=

∫∫DF · n dudv .

Tambien es posible calcular esta integral por proyeccion sobre un plano coordenado,si la proyeccion es inyectiva. Esto sera util en algunos ejercicios propuestos en la coleccionoficial de la asignatura.

Capıtulo 5

Teoremas de Gauss y Stokes

5.1 Teorema de Gauss-Ostrogradski o de la divergencia

5.2 Teorema de Stokes o del rotacional.

5.3 Consecuencias de estos grandes teoremas integrales.

Este tema es el culmen de la asignatura: basandonos en los conceptos de los temas an-teriores, profundizaremos en estos dos grandes teoremas integrales, no solo sus resultados,sino las hipotesis bajo las cuales dichos teoremas pueden aplicarse (o no). El mayor error espensar que estos teoremas son validos siempre, en cualquier dominio, y aquı aprenderemosque no es ası.

Finalizamos la asignatura observando las implicaciones que tienen dichos teoremasentre sı, y ademas la aplicacion a que el campo newtoniano no puede admitir potencialvector, resultado que servira en otras asignaturas, como por ejemplo, Electromagnetismo.

5.1. Teorema de Ostrogradski-Gauss

Este teorema relaciona el flujo saliente de un campo vectorial, a traves de una superficiecerrada de R3, con la integral de la divergencia de dicho campo en el solido encerrado pordicha superficie (siempre que el campo sea de clase C1 en el interior de dicho solido). Fueenunciado por Gauss en 1813, pero demostrado en 1831 por Ostrogradski, quien ademasen 1834 demostro una generalizacion para Rn. Por eso se le conoce con varios nombres:Teorema de Gauss, Teorema de la divergencia de Gauss, Teorema de Gauss-Ostrogradski,Teorema de Ostrogradski-Gauss.

Un enunciado riguroso de dicho teorema es:

Teorema 5.1 (Teorema de Gauss). Sea Ω un solido acotado de R3 que puede dividirse enun numero finito de compactos simples. Sea Σ+ su superficie frontera, orientada segun elvector normal saliente. Si F es un campo vectorial de clase C1

(Ω), entonces se verifica:∫∫∫

ΩdivF dxdydz =

∫∫Σ+F · dσ . (5.1)

28


Un solido es un compacto simple si es un solido acotado proyectable sobre los planosXY, XZ e YZ. Y un solido proyectable sobre XY es un solido delimitado entre dos graficasde funciones de (x, y) . Es decir, un solido de la forma

Ω = (x, y, z) , (x, y) ∈ D f (x, y) ≤ z ≤ g (x, y)

donde D es el dominio plano acotado sobre el que se proyecta el solido Ω.Por ejemplo, una esfera es un compacto simple, pues es un solido proyectable sobre

los 3 planos coordenados.

5.1.1. OBSERVACIONES IMPORTANTES

Un error muy frecuente es aplicar el Teorema de Gauss sin que se verifiquen sushipotesis. Observese que simplemente deben verificarse 3 requisitos:

1. La superficie Σ+ debe ser cerrada.

2. Σ+ debe estar orientada segun su normal saliente (si esta orientada en sentidocontrario, el flujo simplemente cambia de signo).

3. El campo debe ser de clase C1 en el solido interior a la superficie cerrada.(Esta es la hipotesis que algunos alumnos suelen aplicar mal)


Observacion: Hay que saber cuando se puede aplicar el Teorema de Gauss, ycuando no se puede aplicar.

En efecto, aplicar Gauss cuando no se puede, da lugar a resultados obviamente falsos.Por ejemplo, es facil calcular el flujo del campo F (r) = r

‖r‖3 a traves de la cara exterior

de la superficie esferica ‖r‖ = R; dicho flujo vale 4π independientemente del radio R. Sinembargo, esta integral de superficie no puede calcularse aplicando el Teorema de Gauss:en efecto, F no es de clase C1 en el interior de dicha superficie cerrada (no lo es en elorigen r = 0 donde F ni siquiera esta definido). Aun mas, si se aplicara la identidaddel Teorema, nos llevarıa a un absurdo pues divF (r) = 0 para todo r 6= 0, con lo cualdirıamos que el flujo es nulo, y eso es falso, pues resulta ser igual a 4π :∫∫

‖r‖=R

r · dσ‖r‖3 = 4π.

De hecho esta igualdad aparece en la asignatura de Electromagnetismo, del segundo cursodel Grado.

5.1.2. Demostracion del Teorema de Gauss

Denotando F = (F1, F2, F3) , debemos probar que

∫∫∫Ω

(∂F1

∂x+∂F2

∂y+∂F3

∂z

)dxdydz =

∫∫Σ+

(F1, F2, F3) · dσ . (5.2)

Demostraremos que de hecho se cumplen las tres igualdades siguientes:∫∫∫Ω

∂F1

∂xdxdydz =

∫∫Σ+

(F1, 0, 0) · dσ (5.3)∫∫∫Ω

∂F2

∂ydxdydz =

∫∫Σ+

(0, F2, 0) · dσ (5.4)∫∫∫Ω

∂F3

∂zdxdydz =

∫∫Σ+

(0, 0, F3) · dσ (5.5)

cuya suma es la identidad (5.2).Demostraremos primero la identidad (5.5). Dado que el solido es proyectable sobre

XY, el primer miembro puede reescribirse facilmente como∫∫∫Ω

∂F3

∂zdxdydz =

∫∫D

(∫ g(x,y)

f(x,y)

∂F3

∂zdz

)dxdy =

=∫∫

D(F3 (x, y, g (x, y))− F3 (x, y, f (x, y))) dxdy.

Por otro lado, calculamos la integral de superficie de la expresion (5.5). Es facil verque la superficie frontera del solido proyectable se divide en 3 partes: la grafica superiorz = g (x, y) , la grafica inferior z = f (x, y) y la superficie lateral. Por tanto, hay que


calcular las tres integrales de superficie. En la grafica superior Ss el vector normal asociadoa la parametrizacion y exterior al solido es(

−∂g∂x,−∂g

∂y, 1

)luego la integral queda

∫∫Ss

(0, 0, F3) ·d σ =∫∫

D(0, 0, F3) ·

(−∂g∂x,−∂g

∂y, 1

)dxdy =

∫∫DF3 ((x, y, g (x, y))) dxdy.

Mientras, en la superficie de la grafica inferior Ss el vector normal asociado a la parame-trizacion y exterior al solido es (

∂f

∂x,∂f

∂y,−1

);

(notese que hay que cambiarle de signo para que apunte al exterior de la superficie). Portanto la integral de superficie se calcula como∫∫

Si

(0, 0, F3)·d σ =∫∫

D(0, 0, F3)·

(∂f

∂x,∂f

∂y,−1

)dxdy = −

∫∫DF3 ((x, y, f (x, y))) dxdy.

Por ultimo, en la superficie lateral basta observar que el campo (0, 0, F3) es proporcio-nal al (0, 0, 1) que es tangente a la superficie, luego el flujo que atraviesa la superficie laterales nulo (otra forma de verlo es que el vector normal a la superficie lateral es horizontal,es decir, de la forma (n1, n2, 0).y por tanto el producto escalar (0, 0, F3) · (n1, n2, 0) = 0ası que el integrando es nulo).

Recapitulando,∫∫Σ+

(0, 0, F3) · dσ =∫∫

Ss

(0, 0, F3) · d σ+∫∫

Si

(0, 0, F3) · d σ =

=∫∫

DF3 ((x, y, g (x, y))) dxdy −

∫∫DF3 ((x, y, f (x, y))) dxdy

y esta cantidad coincide exactamente con∫∫∫

Ω∂F3

∂zdxdydz, como querıamos demostrar.

De esta forma se ha probado la identidad (5.5).

De forma analoga, se demuestra la identidad (5.3) al ser Ω proyectable sobre YZ. Ytambien la (5.4) al ser proyectable sobre XZ. Esto concluye la demostracion para solidoscompactos simples.

Finalmente, cuando el solido Ω es union de compactos simples, la integral triple es sumade las integrales en cada uno de los compactos simples; en cada sumando se aplica Gaussy se convierte en el flujo saliente de F de cada compacto simple. Pero en las superficies deborde comunes entre un compacto y otro, dicho flujo aparece saliente y entrante a la vez(signos opuestos), con lo cual los flujos en superficies interiores se anulan, y solo queda elflujo de F a traves de la superficie exterior de Ω que es Σ+. Ası pues, tambien se deduceel Teorema de Gauss para Ω acotado union de compactos simples.


5.1.3. Consecuencias del Teorema de Gauss:

Los siguientes corolarios son utiles para calcular flujo de un campo a traves de unasuperficie no cerrada pero que comparte borde con otra, como en el dibujo. O incluso sino comparten borde, pero entre ambas delimitan un solido (cuya frontera es la union deesas dos superficies). De nuevo, para poderlo aplicar, el campo debe ser de clase C1 enel solido delimitado entre ambas, y ademas las superficies deben estar convenientementeorientadas.

Corolario 5.2. Sean S,Σ son dos superficies regulares que delimitan un solido Ω. Si Fes un campo vectorial de clase C1

(Ω)

entonces

∫∫ΣF+

∫∫SF =

∫∫∫Ω

divF dxdydz

siempre que S,Σ esten orientadas con normal exterior a Ω.

Otra version del mismo corolario es la siguiente, en la que una superficie tiene orien-tacion hacia el exterior y otra hacia el interior:

Corolario 5.3. Sean Si,Σe son dos superficies regulares cuya union es la frontera de uncompacto Ω. Si F es un campo vectorial de clase C1

(Ω)

entonces

∫∫Σe

F =∫∫∫

ΩdivF dxdydz +

∫∫Si

F

siempre que Σe este orientada con normal exterior a Ω, y Si este orientada con normalinterior a Ω.

La interpretacion es la siguiente: “el flujo que sale por una parte de la frontera de Ωes igual al flujo que entra por el resto de la frontera, mas la divergencia del campo en elinterior de Ω. IMPORTANTE: esto solo es valido si el campo es de clase C1 en Ω”.

El siguiente corolario es lo mismo pero para campos solenoidales:

Corolario 5.4. Sean Si,Σe son dos superficies regulares que delimitan un solido acotadoΩ. Si F es un campo vectorial de clase C1

(Ω)

y solenoidal en Ω, entonces

∫∫Σe

F =∫∫

Si

F

siempre que Σe este orientada con normal exterior a Ω, y Si este orientada con normalinterior a Ω.


Es decir, “Si una superficie se puede deformar en otra, sin pasar por ningun puntosingular de F y F es adivergente en el recinto delimitado entre ellas, entonces el flujoa traves de ambas superficies coincide”. (Notese que esto solo es cierto si una hereda laorientacion de la otra)

O equivalentemente “El flujo de un campo solenoidal a traves de una superficie esigual al flujo a traves de cualquier otra que la cierra, siempre que una se pueda deformaren la otra, conservando la orientacion, y sin pasar por ningun punto singular del campo“(Notese que al “deformar” una en la otra, hay que ver tambien si una hereda la orientacionde la otra, ası que de esta forma se obtienen orientaciones coherentes, como debe ser).


5.2. Teorema de Stokes

Stokes (1819-1903) demostro este teorema, que relaciona la integral de lınea de uncampo a lo largo de una curva, con el flujo de su rotacional a traves de cualquier superficieque tenga a dicha curva como borde. Una vez mas, el campo debe ser de clase C1, peroen toda la superficie, no solo de clase C1 en la curva.

Existen varios enunciados del Teorema de Stokes. Veamos en primer lugar un enunciadoque sera mas practico a la hora de aplicarlo a los ejercicios y problemas:

Teorema 5.5. Sea Σ una superficie regular orientada de R3 y sea Γ su curva borde, conorientacion coherente con la orientacion de la superficie Σ. Si F es un campo de claseC1 en un abierto que contiene a la superficie Σ, entonces∫ ∫

ΣrotF =

∫ΓF.

Observacion: Notese que el campo F debe ser de clase C1 en toda la superficie, aunqueen la identidad solo aparezca integrado en su curva borde. Si no es ası, no se puedegarantizar que el Teorema sea cierto, o incluso puede llegarse a un absurdo. En otraspalabras, deben verificarse todas las hipotesis para poder aplicarlo (igual que ocurrıa conel Teorema de Gauss y con cualquier otro teorema)

Observacion: El inconveniente de este enunciado es que no define “orientacion cohe-rente”. Esta es la orientacion inducida por la “regla del sacacorchos” o bien la tambienllamada “regla de la mano derecha”. Otra forma de expresarlo es: “si nos colocamos enla misma posicion que el vector normal asociado a la parametrizacion de la superficie,


entonces debemos recorrer su curva borde de modo que la superficie quede a nuestraizquierda”.

Esta “orientacion coherente” es facil de entender en un dominio plano: consideremos enel plano XOY un dominio plano D limitado por una curva de Jordan C. Es obvio los dosparametros de esta superficie son (x, y) , y su vector normal asociado serıa (0, 0, 1) . Puesbien, al apuntar hacia (0, 0, 1) la curva borde hay que recorrerla dejando el dominio D anuestra izquierda, y esa es precisamente la orientacion positiva de la curva de Jordan C.Dicho de otro modo: la orientacion positiva de la curva es coherente con con la orientacionde la superficie plana D.

De la misma forma, se extiende esta nocion a cualquier superficie, que no es mas queuna deformacion de D Pero la forma como se sigue recorriendo su curva borde es lamisma.

Esta idea nos lleva al enunciado general del Teorema de Stokes (y tambien a su demos-tracion general): partiendo simplemente de que Σ = Φ (D) y su curva borde es Γ = Φ (C)

Teorema 5.6 (Teorema de Stokes).

Sea C una curva de Jordan en el plano R2, orientada positivamente por la parame-trizacion ϕ(t), t ∈ [a, b] (ϕ ∈ C1 a trozos).

Sea D ⊂ R2 el conjunto compacto cuya frontera es C.

Sea Φ : D → R3 (Φ ∈ C2) una superficie Σ regular, esto es, el vector normalesta definido y es no nulo en todo par (u, v) del interior de D

Sea Γ = Φ (C) el borde (o contorno) de la superficie Σ que es una curva en R3 queviene parametrizada por Φ (ϕ(t)) = (Φ ϕ) (t) , t ∈ [a, b].

Entonces ∫ ∫Σ

rotF =∫

ΓF

siendo F cualquier campo vectorial de clase 1 en un abierto del espacio que contenga ala superficie Σ.

Demostracion: Aparece en el libro de Apostol, por ejemplo. Haremos la demostracionsuponiendo que el campo es de la forma F = (P, 0, 0) = P i. Calculemos, en primer lugar,la integral de superficie:∫ ∫

ΣrotF =

∫ ∫D

rotF (Φ(u, v)) ·(∂Φ

∂u× ∂Φ

∂v(u, v)

)dudv.

El rotacional del campo es

rot (P i) =∂P

∂zj − ∂P

∂yk,


si se desarrolla el producto mixto del integrando y se simplifica, se llega a:∫ ∫Σ

rotF =∫ ∫

D

(∂P (Φ(u, v))

∂u

∂Φ1(u, v)

∂v− ∂P (Φ(u, v))

∂v

∂Φ1(u, v)

∂u

)dudv. (5.6)

Calculemos ahora la integral curvilınea:∫ΓF =

∫ b

aP (Φ (ϕ(t)))i · (Φ ϕ)′(t) dt.

Observamos que de la derivada de la parametrizacion solo se precisa la primera compo-nente:

d

dt(Φ ϕ)1(t) =

∂Φ1(ϕ(t))

∂uϕ′1(t) +

∂Φ1(ϕ(t))

∂vϕ′2(t);

se tiene entonces:∫ΓF =

∫ b

aP (Φ ϕ(t))

(∂Φ1(ϕ(t))

∂uϕ′1(t) +

∂Φ1(ϕ(t))

∂vϕ′2(t)

)dt.

Dado que ϕ parametriza la curva plana C, esta ultima expresion puede interpretarse comola circulacion a lo largo de C del campo vectorial

G(u, v) = P Φ(u, v)

(∂Φ1(u, v)

∂u,∂Φ1(u, v)

∂v

).

Es decir: ∫ΓF =

∫CG.

Apliquemos el teorema de Green a la integral de lınea a lo largo de C:∫CG =

∫ ∫D

(∂

∂u

(P Φ(u, v)

∂Φ1(u, v)

∂v

)− ∂

∂v

(P Φ(u, v)

∂Φ1(u, v)

∂u

))dudv

Hagamos las derivadas parciales:

∂

∂u

(P Φ(u, v)

∂Φ1(u, v)

∂v

)=

∂(P Φ(u, v))

∂u

∂Φ1(u, v)

∂v+ P Φ(u, v)

∂2Φ1(u, v)

∂u∂v,

∂

∂v

(P Φ(u, v)

∂Φ1(u, v)

∂u

)=

∂(P Φ(u, v))

∂v

∂Φ1(u, v)

∂u+ P Φ(u, v)

∂2Φ1(u, v)

∂v∂u

Al restar, los dos sumandos correspondientes a las derivadas parciales de segundo ordense cancelan (recordemos que Φ es de clase 2), quedando:∫

ΓF =

∫ ∫D

(∂(P Φ(u, v))

∂u

∂Φ1(u, v)

∂v− ∂(P Φ(u, v))

∂v

∂Φ1(u, v)

∂u

)dudv.

Si, finalmente, se compara esta expresion con la igualdad (5.6) se concluye∫ ∫Σ

rotF =∫

ΓF .


Se ha probado para campos de la forma F = (P, 0, 0) = P i. De forma analoga (porcambio de letras) se prueba que es cierto para campos de la forma Q j y de la forma R k,con lo cual tambien para la suma F = P i+Q j+R k = (P,Q,R) ya que el rotacionalde F es la suma de los 3 rotacionales.

Observacion: El Teorema de Stokes tambien es cierto para superficies cuya fronteraeste compuesta por mas de una curva borde (por ejemplo, una superficie cilındricarecta delimitada entre dos planos horizontales, que tiene como borde 2 circunferencias).En ese caso, la integral de lınea del Teorema se transforma en 2 o mas integrales de lınea(una por cada curva borde) recorridas cada una de ellas con orientacion coherente a lasuperficie. (Vease ejercicio 6.7 como ejemplo).

La razon que justifica esta ultima observacion es simple: la demostracion serıa estamisma, pero en vez de utilizar el Teorema de Green, habrıa que utilizar el Teorema deGreen para dominios multiplemente conexos (pues en ese caso D no solo tiene una curvade Jordan frontera C sino varias).

5.2.1. Consecuencias del Teorema de Stokes

1. Este teorema permite calcular el flujo de un campo de rotores a traves de unasuperficie, simplemente como integral curvilınea de un potencial vector suyo a lolargo de la curva frontera (si el potencial vector F es de clase C1 en toda la superficie,y ademas la orientacion es la adecuada).

2. Como consecuencia, el flujo del rotacional NO DEPENDE de la superficie en sı, sinode su curva borde: el flujo del rotacional de F es el mismo a traves de 2 superficiesque compartan el mismo borde, SIEMPRE QUE F sea de clase C1 en un entornode cada superficie. Observese que en este caso SI PUEDE EXISTIR algun puntosingular de F en el solido delimitado por ambas superficies (pero no SOBRE algunasuperficie).

3. Cuando se aplica a superficies cerradas S se tiene que, si F es de clase C1 en unentorno de la superficie cerrada S, entonces∫ ∫

SrotF = 0.

4. Esta ultima propiedad sirve para demostrar la inexistencia de potencial vectordel campo newtoniano en R3 \ (0, 0, 0) : en efecto, si el campo newtonianoF (r) = r

‖r‖3 admitiera un potencial vector G (r) en dicho dominio, entonces se

tendrıa que su flujo a traves de la superficie esferica cerrada ‖r‖ = R serıa 0. Peropor otro lado sabemos que ∫ ∫

‖r‖=R

r

‖r‖3dr = 4π 6= 0


que contradice lo anterior. El absurdo viene por suponer la existencia de G, luegodicho G no existe, como querıamos probar. (En cambio, sı existe potencial vectoren dominios estrellados, como vimos en el tema 3).

5. ANALOGIAS ENTRE TEOREMA DE STOKES Y TEOREMA DE GREEN: Enrealidad el Teorema de Green puede considerarse como un corolario del Teoremade Stokes, al aplicarlo a superficies D planas limitadas por una curva de JordanC: el vector normal asociado a la parametrizacion es k = (0, 0, 1) y la orientacioncoherente de C es la orientacion positiva. Segun Stokes, si lo aplicamos a un campo“plano” F = (P,Q, 0) de clase C1 (D) entonces∫ ∫

Drot F =

∫ ∫D

rot F k =∫CF

pero

rot (F )k = rot (P,Q, 0)k =∂Q

∂x− ∂P

∂y

de donde se tiene como resultado∫ ∫D

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)dxdy =

∫CF

que es lo mismo que afirma el Teorema de Green (salvo el abuso de notacion deestar considerando la curva C como curva contenida en el plano XOY).

6. ANALOGIAS ENTRE TEOREMA DE STOKES Y TEOREMA DE GAUSS: Siun campo de rotores rotF es de clase C1 en un dominio Ω delimitado por dossuperficies S,Σ que poseen el mismo borde (y orientadas una con normal entrantey una saliente a Ω) entonces por el teorema de Gauss se tiene que∫ ∫

Σrot F =

∫ ∫S

rotF

ya que por el Corolario 3, el campo rotF es de clase C1 (Ω) y adivergente pues ladivergencia de un rotacional es nula. Pero a esta misma conclusion podrıamos haberllegado por el Teorema de Stokes, por la Consecuencia 2 de esta misma Seccion (yaque se cumplen todas las hipotesis para poder afirmar que el flujo de rotF es elmismo a traves de esas 2 superficies). Este es un ejemplo de como Gauss y StokesPUEDEN LLEVAR A LA MISMA CONCLUSION a veces.

7. No obstante, en este caso Stokes garantiza el resultado incluso con hipotesis masgenerales: basta que el campo sea de clase C1 en las superficies, y no necesariamenteen el espacio delimitado entre ambas.

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