Apuntes de Cálculo 2204101

8/7/2019 Apuntes de Clculo 2204101

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U n i v e r s i d a d d e S a n t i a g o d e C h i l e

F a c u l t a d d e I n g e n i e r a

D e p a r t a m e n t o d e I n g e n i e r a M e c n i c a

I n g e n i e r a d e E j e c u c i n M e c n i c a

C l c u l o I

A p u n t e s d e C l c u l o I

A u t o r : D i e g o R o j a s N a v a r r e t e .

F e c h a : 2 1 d e a b r i l d e 2 0 1 0


2/33

n d i c e g e n e r a l

1 . G e o m e t r a A n a l t i c a 3

1 . 1 . I n t r o d u c c i n a l a G e o m e t r a A n a l t i c a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1 . 1 . 1 . S i s t e m a d e C o o r d e n a d a s R e c t a n g u l a r e s . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1 . 1 . 2 . D i s t a n c i a e n t r e d o s p u n t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1 . 1 . 3 . D i v i s i n d e u n T r a z o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1 . 1 . 4 . C o o r d e n a d a s d e l P u n t o M e d i o d e u n T r a z o . . . . . . . . . . . . . . 4

1 . 1 . 5 . r e a d e u n T r i n g u l o e n f u n c i n d e l a s C o o r d e n a d a s d e u n V r t i c e . 4

1 . 1 . 6 . P r o b l e m a s R e s u e l t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1 . 2 . L n e a R e c t a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1 . 2 . 1 . P e n d i e n t e e n t r e 2 P u n t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1 . 2 . 2 . E c u a c i n G e n e r a l d e l a R e c t a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1 . 2 . 3 . E c u a c i n P r i n c i p a l d e l a R e c t a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1 . 2 . 4 . E c u a c i n d e S e g m e n t o s d e l a R e c t a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1 . 2 . 5 . E c u a c i n C a r t e s i a n a d e l a R e c t a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1 . 2 . 6 . R e c t a s P a r a l e l a s y P e r p e n d i c u l a r e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1 . 2 . 7 . n g u l o s e n t r e R e c t a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1 . 2 . 8 . D i s t a n c i a d e u n P u n t o a u n a R e c t a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1 . 2 . 9 . P r o b l e m a s R e s u e l t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1 . 3 . L a C i r c u n f e r e n c i a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2

1 . 3 . 1 . E c u a c i n N o r m a l d e l a C i r c u n f e r e n c i a . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2

1 . 3 . 2 . E c u a c i n G e n e r a l d e l a C i r c u n f e r e n c i a . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2

1 . 3 . 3 . P r o b l e m a s R e s u e l t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3

1 . 4 . P r o b l e m a s P r o p u e s t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5

2 . T r i g o n o m e t r a 1 7

2 . 1 . C o n c e p t o s B s i c o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7

2 . 1 . 1 . D e n i c i n d e T r i g o n o m e t r a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7

2 . 1 . 2 . U n i d a d e s A n g u l a r e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7

2 . 1 . 3 . C o n v e r c i n d e g r a d o s s e x a g e s i m a l e s a r a d i a n e s . . . . . . . . . . . . 1 7

2 . 2 . D e n i c i o n e s y R a z o n e s T r i g o n o m t r i c a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8

2 . 2 . 1 . D e n i c i o n e s d e l a s c o m p o n e n t e s d e l ABC e n C: . . . . . . . . . 1 8 2 . 2 . 2 . T e o r e m a d e P i t g o r a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8

2 . 2 . 3 . R e l a c i o n e s t r i g o n o m t r i c a s d e l ABC e n C . . . . . . . . . . . . 1 8 2 . 2 . 4 . O t r a s r a z o n e s t r i g o n o m t r i c a s d e l ABC e n C . . . . . . . . . . 1 9

2 . 3 . I d e n t i d a d e s T r i g o n o m t r i c a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0

2 . 3 . 1 . S u m a y D i f e r e n c i a d e n g u l o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0

1


3/33

2 . 3 . 2 . I d e n t i d a d e s d e l n g u l o D o b l e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0

2 . 3 . 3 . I d e n t i d a d e s p a r a l a R e d u c c i n d e E x p o n e n t e s . . . . . . . . . . . . . 2 0

2 . 3 . 4 . P a s o d e P r o d u c t o a S u m a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0

2 . 3 . 5 . P a s o d e S u m a a P r o d u c t o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0

2 . 4 . T e o r e m a s d e l S e n o y C o s e n o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1

2 . 4 . 1 . T e o r e m a d e l S e n o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1

2 . 4 . 2 . T e o r e m a d e l C o s e n o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1

2 . 5 . P r o b l e m a s P r o p u e s t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2

3 . F u n c i o n e s R e a l e s 2 4

3 . 1 . D e n i c i o n e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4

3 . 1 . 1 . C o n c e p t o s B s i c o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4

3 . 1 . 2 . E j e m p l o d e t i p o s d e f u n c i o n e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5

3 . 2 . P r o p i e d a d e s d e l a s f u n c i o n e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6

3 . 3 . F u n c i n C r e c i e n t e y D e c r e c i e n t e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7

3 . 4 . F u n c i o n e s s e g n t i p o d e a p l i c a c i n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8

3 . 4 . 1 . F u n c i n u n o a u n o o i n y e c t i v a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8

3 . 4 . 2 . F u n c i n s o b r e y e c t i v a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8

3 . 4 . 3 . F u n c i n b i y e c t i v a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8

3 . 5 . l g e b r a d e F u n c i o n e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9

3 . 5 . 1 . C o m p o s i c i n d e f u n c i o n e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9

3 . 5 . 2 . F u n c i n i d e n t i d a d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9

3 . 5 . 3 . F u n c i n i n v e r s a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9

3 . 5 . 4 . E l g r u p o d e l a s f u n c i o n e s b i y e c t i v a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0

3 . 6 . E j e r c i c i o s P r o p u e s t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0

2


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1G e o m e t r a A n a l t i c a

1 . 1 . I n t r o d u c c i n a l a G e o m e t r a A n a l t i c a

1 . 1 . 1 . S i s t e m a d e C o o r d e n a d a s R e c t a n g u l a r e s

E l s i s t e m a d e c o o r d e n a d a s r e c t a n g u l a r e s d i v i d e e l p l a n o e n c u a t r o c u a d r a n t e s p o r

m e d i o d e d o s r e c t a s p e r p e n d i c u l a r e s q u e s e c o r t a n e n u n p u n t o O . L a h o r i z o n t a l XOXs e d e n o m i n a e j e X, l a v e r t i c a l YOY , e j e Y y e l p u n t o O , o r i g e n .

F i g u r a 1 : P l a n o C a r t e s i a n o .

1 . 1 . 2 . D i s t a n c i a e n t r e d o s p u n t o s

L a d i s t a n c i a d e n t r e d o s p u n t o s P1 = (X1, Y1) y P2 = (X2, Y2) e s :

F i g u r a 2 : R e p r e s e n t a c i n d e l a d i s t a n c i a e n R2

.

3


5/33

1 . 1 . 3 . D i v i s i n d e u n T r a z o

L a s c o o r d e n a d a s d e l p u n t o P (X, Y) q u e d i v i d e u n t r a z o , d e t e r m i n a d o p o r l o s p u n t o s e x t r e m o s

A (X1, Y1) y B (X2, Y2), e n u n a r a z n d a d a = AP/PB s o n :

F i g u r a 3 : R e p r e s e n t a c i n e n R2

d e l a d i v i s i n d e u n t r a z o AB .

1 . 1 . 4 . C o o r d e n a d a s d e l P u n t o M e d i o d e u n T r a z o

P a r a e l c a s o p a r t i c u l a r e n q u e s e a i g u a l a u n o , l a e x p r e s i n a n t e r i o r s e r e d u c e a :

X =(X1 + X2)

2

Y =(Y1 + Y2)

2

v a l o r e s q u e c o r r e s p o n d e n a l a s c o o r d e n a d a s d e l p u n t o m e d i o e n u n t r a z o d a d o .

1 . 1 . 5 . r e a d e u n T r i n g u l o e n f u n c i n d e l a s C o o r d e n a d a s d e u n

V r t i c e

S e a n P1(x1, y1) , P2(x2, y2) y P3(x3, y3) l a s c o o r d e n a d a s d e t r e s p u n t o s e n e l p l a n o q u e f o r m a n u n t r i n g u l o c u a l e s q u i e r a P1P2P3 . E l r e a d e d i c h o t r i n g u l o p u e d e o b t e n e r s e m e d i a n t e e l s i g u i e n t e c l c u l o :

F i g u r a 4 : F o r m a e n l a c u a l s e o b t i e n e e n r e a d a d o s 3 v r t i c e s d e u n t r i n g u l o .

M u l t i p l i c a n d o l a s c o o r d e n a d a s c o r r e s p o n d i e n t e s s e g n l a s e c h a s y r e s p e t a n d o l o s

s i g n o s p o s i t i v o s y n e g a t i v o s , p u e d e o b t e n e r s e e l r e a d e u n t r i n g u l o . E l m t o d o a n t e r i o r

p u e d e e m p l e a r s e p a r a e l c l c u l o d e r e a s d e p o l g o n o s d e m s d e t r e s l a d o s , g e n e r a l i z a n d o

l a e x p r e s i n a n t e r i o r p a r a e l r e s t o d e l a s d e m s c o o r d e n a d a s , t o m a n d o e n c u e n t a q u e

s i e m p r e s e r e p i t e l a p r i m e r a l a d e c o o r d e n a d a s e n l a l t i m a .

4


6/33

1 . 1 . 6 . P r o b l e m a s R e s u e l t o s

1 . R e p r e s e n t a r l o s t r e s p u n t o s A(2, 9); B(4, 6) y C(6, 3) e n u n s i s t e m a d e c o o r d e n a d a s o r t o g o n a l e s y d e m u e s t r e q u e s o n c o l i n e a l e s .

S o l u c i n :

P a r a d e m o s t r a r q u e s o n c o l i n e a l e s , b a s t a c o n d e t e r m i n a r e l r e a e n c e r r a d a p o r l o s

t r e s p u n t o s , v e r i c a n d o q u e e s c e r o .

G r a c a n d o , s e t i e n e :

F i g u r a 5 : G r c o d e l o s p u n t o s A, B y C.

2 . D e m o s t r a r q u e l o s p u n t o s A(4, 2) , B(1, 1) y C(2, 4) s o n l o s v r t i c e s d e u n t r i n g u l o i s s c e l e s .

S o l u c i n :

P a r a d e m o s t r a r q u e e l t r i n g u l o A B C f o r m a u n t r i n g u l o i s s c e l e s , d e b e d e t e r m i n a r s e

l a m e d i d a d e s u s t r e s l a d o s y v e r i c a r q u e d o s d e e l l o s s o n i g u a l e s .

AB =

(4 1)2 + (2 1)2 = 9 + 1 =

10

BC =

(1 2)2 + (1 4)2 = 1 + 9 =

10

AC = (4 2)2 + (2

4)2 =

4 + 4 =

8

L u e g o , l o s l a d o s AB y BC s o n i g u a l e s , p o r l o t a n t o e l t r i n g u l o e s i s s c e l e s .

5


7/33

3 . H a l l a r l o s p u n t o s B(X1, Y1) y C(X2, Y2) q u e d i v i d a n a l s e g m e n t o q u e u n e A(3, 1)c o n D(9, 8) e n t r e s p a r t e s i g u a l e s . S o l u c i n :

F i g u r a 6 : G r c o d e l o s p u n t o s

A,B,Cy

D.

E n p r i m e r a i n s t a n c i a , s e p r o c e d e a d e t e r m i n a r l a s c o o r d e n a d a s d e l p u n t o B . E n e s t e c a s o , d i c h o p u n t o d i v i d e a l s e g m e n t o AD e n l a r e l a c i n 1 e s a 2 , l u e g o e l v a l o r d e c o r r e s p o n d e a 1/2. L a s c o o r d e n a d a s d e l p u n t o B s o n :

D e l m i s m o m o d o y c o n s i d e r a n d o q u e e l p u n t o C d i v i d e a l t r a z o AD e n l a r a z n 2 e s a 1 ( = 2) , l a s c o o r d e n a d a s d e C s o n :

4 . D e t e r m i n e e l v a l o r d e k p a r a q u e l o s p u n t o s A(8, 6), B(4, 8) y C(2, k) s e a n l o s v r t i c e s d e u n t r i n g u l o r e c t n g u l o e n B . S o l u c i n :

P r i m e r o c a l c u l a m o s l a s d i s t a n c i a s e n t r e l o s p u n t o s :

AB =

(8 4)2 + (6 8)2 =

20

BC =

(4 2)2 + (8 k)2 =

4 + (8 k)2AC =

(8 2)2 + (6 k)2 =

36 + (6 k)2

S i e s r e c t n g u l o e n B , e n t o n c e s , d e a c u e r d o a P i t g o r a s :

AB2

+ BC2

= AC2

20 + 4 + (8 k)2 = 36 + (6 k)2k = 4

6


8/33

1 . 2 . L n e a R e c t a

1 . 2 . 1 . P e n d i e n t e e n t r e 2 P u n t o s

L a p e n d i e n t e m

e n t r e d o s p u n t o s c u a l e s q u i e r a A(X1, Y1) y B(X2, Y2) q u e d a

d e t e r m i n a d a d e a c u e r d o a l a s i g u i e n t e r e l a c i n :

m =Y2 Y1

X2 X1 =Y1 Y2

X1 X2 = tan

e n q u e e s e l n g u l o q u e f o r m a l a r e c t a AB c o n e l e j e p o s i t i v o X.

F i g u r a 7 : R e p r e s e n t a c i n d e l a p e n d i e n t e e n t r e l o s p u n t o s A y B .

D e e s t e m o d o , e l n g u l o q u e f o r m a l a r e c t a c o n e l e j e p o s i t i v o d e l a s X, e s s u i n c l i n a c i n y , p o r l o t a n t o , s e e x p r e s a e n g r a d o s o r a d i a n e s .

1 . 2 . 2 . E c u a c i n G e n e r a l d e l a R e c t a

C o m o s e e s t u d i a n t e r i o r m e n t e , l a p e n d i e n t e

md e u n a r e c t a q u e p a s a p o r l o s p u n t o s

P(X, Y) y P0(X0, Y0) q u e d a d e t e r m i n a d a p o r l a e x p r e s i n :

m =Y Y0X X0

R e a g r u p a n d o t r m i n o s p u e d e o b t e n e r s e l a s i g u i e n t e e x p r e s i n :

mX+ Y + (mX0 Y0) = 0.C o n s i d e r a n d o c o m o c o n s t a n t e s l o s v a l o r e s d e

my

P0(X0, Y0) , p u e d e e s c r i b i r s e d i c h a e c u a c i n c o m o :

AX+ BY + C = 0

q u e c o r r e s p o n d e a l a e c u a c i n g e n e r a l d e l a r e c t a .

1 . 2 . 3 . E c u a c i n P r i n c i p a l d e l a R e c t a

D e s p e j a n d o Y d e l a e c u a c i n a n t e r i o r :

Y = AB

X CB

, B = 0.

H a c i e n d o m = AB

, y n = CB

, y r e e m p l a z a n d o s e t i e n e q u e :

Y = mX+ n

q u e c o r r e s p o n d e a l a e c u a c i n p r i n c i p a l d e l a r e c t a , e n q u e m

e s l a p e n d i e n t e y n

e l

c o e c i e n t e d e p o s i c i n o v a l o r d e l a o r d e n a d a e n q u e l a r e c t a c o r t a a l e j e Y

.

7


9/33

1 . 2 . 4 . E c u a c i n d e S e g m e n t o s d e l a R e c t a

L a e c u a c i n d e l a r e c t a q u e c o r t a a l o s e j e s c o o r d e n a d o s X e Y e n l o s p u n t o s (a, 0), s i e n d o a l a a b s c i s a e n e l o r i g e n , y (0, b), s i e n d o b l a o r d e n a d a e n e l o r i g e n , r e s p e c t i v a m e n t e , e s :

x

a +y

b = 1

1 . 2 . 5 . E c u a c i n C a r t e s i a n a d e l a R e c t a

L a e c u a c i n d e l a r e c t a q u e p a s a p o r l o s p u n t o s P1(X1, Y1) y P2(X2, Y2) e s :

Y Y1X X1 = m

d o n d e m =Y2 Y1

X2 X1 . L a m i s m a e c u a c i n s e p u e d e o b t e n e r d e l a f o r m a :

Y

Y2X X2 = m

1 . 2 . 6 . R e c t a s P a r a l e l a s y P e r p e n d i c u l a r e s

D a d a d o s r e c t a s c o n p e n d i e n t e s m1 y m2 , s e t i e n e q u e a m b a s r e c t a s s o n :

P a r a l e l a s m1 = m2 .P e r p e n d i c u l a r e s

m1 m2 = 1 .

1 . 2 . 7 . n g u l o s e n t r e R e c t a s

E l n g u l o

, m e d i d o e n t r e d o s r e c t a s

L1y

L2, e n s e n t i d o c o n t r a r i o a l a s a g u j a s d e l

r e l o j , e s :

F i g u r a 8 : R e p r e s e n t a c i n d e l n g u l o f o r m a d o p o r l a s r e c t a s L1 y L2 .

1 . 2 . 8 . D i s t a n c i a d e u n P u n t o a u n a R e c t a

L a d i s t a n c i a d e l p u n t o P(X1, Y1) a l a r e c t a AX+ BY + C = 0 q u e d a d e t e r m i n a d a p o r :

d =|AX1 + BY1 + C|

A2 + B2

8


10/33


5 . E n c o n t r a r l a e c u a c i n p r i n c i p a l d e l a r e c t a q u e p a s a p o r e l p u n t o (3, 1) y t i e n e u n a i n c l i n a c i n d e 45 o .S o l u c i n :

m = tan45 o = 1.

L a e c u a c i n e s :

y (1) = 1(x 3) y = x 4.

6 . C a l c u l a r l a p e n d i e n t e y l a o r d e n a d a e n e l o r i g e n d e l a r e c t a 2x 3y + 5 = 0S o l u c i n :

L a p e n d i e n t e e s m =23 =

2

3(A = 2, B = 3).

L a o r d e n a d a e n e l o r i g e n e s n = 5

3 =5

3 (C = 5, B = 3).7 . H a l l a r l a e c u a c i n d e l a r e c t a q u e p a s a p o r l o s p u n t o s (3, 4) y (6, 7). I n d i c a r s i (1, 2)

y (2, 3) p e r t e n e c e n a l a r e c t a .

S e c a l c u l a e n p r i m e r l u g a r l a p e n d i e n t e :

m =y1 y0x1 x0 =

7 46 3 =

3

3= 1

L a e c u a c i n d e l a r e c t a e s :

y

7 = 1(x

6) ; r e c t a q u e p a s a p o r (6, 7) y t i e n e p e n d i e n t e 1 .

P a r a c o m p r o b a r s i (1, 2) p e r t e n e c e a l a r e c t a , s e r e e m p l a z a x p o r 1 y s e d e s p e j a y . S i e l v a l o r d e y c o i n c i d e c o n 2 , e n t o n c e s e l p u n t o s e h a l l a s o b r e l a r e c t a .

y 7 = 1(1 6) y = 0 ; l u e g o (1, 2) / R e c t a . D e l m i s m o m o d o , s e c o m p r u e b a p a r a e l p u n t o (2, 3) :

y 7 = 1(2 6) y = 3 ; l u e g o (2, 3) R e c t a . 8 . H a l l a r e l r e a l i m i t a d a p o r l a r e c t a q u e c o n t i e n e a l o s p u n t o s ( 2 , 5 ) y ( 4 , 1 ) y l o s e j e s

d e c o o r d e n a d a s .

S o l u c i n :

L a r e g i n l i m i t a d a p o r l a r e c t a y l o s e j e s e s u n t r i n g u l o r e c t n g u l o .

S e c a l c u l a l a e c u a c i n d e l a r e c t a :

x 22 =

y 54

S e c a l c u l a n l a a b s c i s a e n e l o r i g e n y l a o r d e n a d a e n e l o r i g e n :

y = 0 4(x 2) = 10 x = 92

9


11/33

x = 0 2(y 5) = 8 y = 9

L u e g o s e o b t i e n e u n t r i n g u l o r e c t n g u l o d e b a s e 9/2 y a l t u r a 9 . P a r a u n t r i n g u l o r e c t n g u l o , e l r e a (A) v i e n e d a d a p o r :

A =base

altura

2

P o r l o t a n t o : r e a = (9/2)92

= 20.25

9 . H a l l a r e l v a l o r d e k p a r a q u e l a r e c t a kx + (k 1)y 18 = 0 s e a p a r a l e l a a l a r e c t a 4x + 3y + 7 = 0 .S o l u c i n :

R e a g r u p a n d o l a e x p r e s i n kx + (k 1)y 18 = 0 :

y =kx + 18

k 1 y = k

k 1 +18

k 1I g u a l a n d o l a s p e n d i e n t e s d e a m b a s r e c t a s :

43

= kk 1 k = 4

1 0 . E n c u e n t r e l a d i s t a n c i a e n t r e l a s r e c t a s p a r a l e l a s c u y a s e c u a c i o n e s s o n :

L1 : 3x 2y 4 = 0

L2 : 6x 4y + 10 = 0

L a r e c t a L1 p u e d e e s c r i b i r s e e n s u f o r m a p r i n c i p a l :

3x 2y 4 = 0 y =3

2 x 2S i x = 0 y = 2 . P o r l o t a n t o P(0, 2) L1L u e g o , p a r a c a l c u l a r l a d i s t a n c i a e n t r e a m b a s r e c t a s , s e e m p l e a l a f r m u l a d e l a

d i s t a n c i a e n t r e u n p u n t o y u n a r e c t a . E n e s t e c a s o , e l p u n t o e s (0, 2) L1 y l ar e c t a e s L2 :

d =6 0 + (4) (2) + 10

36 + 16=

8 + 1052

=18

7.21= 2.49.

1 1 . H a l l a r e l c e n t r o d e m a s a d e l t r i n g u l o c u y o s v r t i c e s s o n l o s p u n t o s A(1, 5), B(3, 4)y C(2, 2).

E l c e n t r o d e m a s a d e u n t r i n g u l o e s e l p u n t o d o n d e s e c o r t a n d o s d e s u s m e d i a n a s .

P o r l o t a n t o , s e h a l l a r n s u s e c u a c i o n e s y s e c a l c u l a r s u p u n t o d e i n t e r s e c c i n .

P u n t o m e d i o d e AB :

C =

1 + 32

,5 + 4

2

=

1,

9

2

E c u a c i n d e l a m e d i a n a CC :

mCC =(9/2) 1

1 2 = 5

2 L a e c u a c i n d e C C ' e s : y 2 = 5

2(x 2)

1 0


12/33

P u n t o m e d i o AC: B =

1 + 22

,5 + 2

2

=

1

2,

7

2

.

E c u a c i n d e BB :

mBB

=

(7/2)

4

(1/2) 3 =1

5 L a e c u a c i n d e B B ' e s : y 4 = 1

5 (x 3)

S e r e s u e l v e e l s i s t e m a e n t r e y 2 = 52

(x 2), y y 4 = 15

(x 3), y s e o b t i e n e x = 4/3 , y = 11/3 .

P o r l o t a n t o , e l c e n t r o d e g r a v e d a d e s e l p u n t o

4

3,

11

3

.

1 2 . H a l l a r l a s c o o r d e n a d a s d e l v r t i c e D , e n e l s e g u n d o c u a d r a n t e , d e u n p a r a l e l g r a m o e n e l q u e l o s o t r o s t r e s v r t i c e s s o n A(3, 2) , B(2, 5) y C(1, 1).S o l u c i n :

S e h a l l a l a e c u a c i n d e l a r e c t a CD .

P o r s e r p a r a l e l a a AB t e n d r s u m i s m a p e n d i e n t e , m =5 22 3 = 3.

L a e c u a c i n d e CD e s : L1 : y + 1 = 3(x + 1).

P o r e l m i s m o m t o d o s e h a l l a l a e c u a c i n d e BD . S u p e n d i e n t e e s l a m i s m a q u e l a d e AC.

m =1 2

1

3

=3

4

l a e c u a c i n d e BD e s L2 : y 5 = 34

(x 2).

L u e g o , s e r e s u e l v e e l s i s t e m a e n t r e l a s r e c t a s L1 y L2 , y s e o b t i e n e :

D = (2, 2)

1 1


13/33

1 . 3 . L a C i r c u n f e r e n c i a

L a c i r c u n f e r e n c i a e s e l l u g a r g e o m t r i c o d e l o s p u n t o s P(x, y) q u e e q u i d i s t a n d e u n p u n t o j o l l a m a d o c e n t r o , d e c o o r d e n a d a s C(h, k). L a d i s t a n c i a d e s d e P a l c e n t r o Cs e l l a m a r a d i o y s e d e n o t a r .

1 . 3 . 1 . E c u a c i n N o r m a l d e l a C i r c u n f e r e n c i a

C a l c u l a n d o l a d i s t a n c i a e n t r e l o s p u n t o s C(h, k) y P(x, y) s e p u e d e o b t e n e r l a e c u a c i n n o r m a l d e l a c i r c u n f e r e n c i a :

F i g u r a 9 : L a C i r c u n f e r e n c i a e n e l p l a n o c a r t e s i a n o .

1 . 3 . 2 . E c u a c i n G e n e r a l d e l a C i r c u n f e r e n c i a

D e s a r r o l l a n d o l o s c u a d r a d o s d e l a e c u a c i n a n t e r i o r s e p u e d e l l e g a r a l a e c u a c i n

g e n e r a l d e l a c i r c u n f e r e n c i a :

x2 2hx + h2 + y2 2ky + k2 = r2

x2 + y2 2hx 2ky + h2 + k2 r2 = 0x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

C e n t r o : C =

D

2, E

2

R a d i o : r =

D2 + E2 4F

2, c o n D = 2h, E = 2k y F = h2 + k2 r2.

O b s e r v a c i n :

S i D2 + E2 4F > 0 , l a c i r c u n f e r e n c i a e s r e a l . S i D2 + E2 4F < 0 , l a c i r c u n f e r e n c i a e s i m a g i n a r i a . S i D2 + E2 4F = 0 , e l r a d i o e s c e r o y l a e c u a c i n s e t r a n s f o r m a e n u n p u n t o .

1 2


14/33


1 3 . D a d a l a c i r c u n f e r e n c i a C : 4x2 + 4y2 16x + 24y + 27 = 0

, r e p r e s e n t a r l a e n l a f o r m a

n o r m a l .

S o l u c i n :

4x2 + 4y2 16x + 24y + 27 = 04x2 + 4y2 16x + 24y = 27

4(x2 +4 x) + 4(y2 + 6y) = 274(x2 +4 x + 4) + 4(y2 + 6y + 9) = 27 + 16 36

(x 2)2 + (y + 3)2 =

5

2

2

C o m p a r a n d o l a e c u a c i n d e l a f o r m a n o r m a l d e l a c i r c u n f e r e n c i a , o b t e n e m o s :

C = (h, k) = (2, 3) r = 52

1 4 . H a l l a r l a e c u a c i n d e l a c i r c u n f e r e n c i a q u e p a s a p o r l o s p u n t o s A(2, 3), B(4, 5) yc u y o c e n t r o e s t s o b r e e l e j e X.S o l u c i n :

P M

2 + 42

,3 + 5

2

P M(1, 4).

mAB =2

6=

1

3 mAB = 3.

d o n d e mAB e s l a p e n d i e n t e y mAB e s l a m e d i a t r i z . L u e g o ,

y 4 = 3(x 1) 3x + y 7 = 0.S i y = 0 ( p o r q u e e l c e n t r o e s t s o b r e X) , e n t o n c e s x = 7/3.

F o r m a e s t n d a r x 7

3

2+ (y 0)2 = r2

S u s t i t u y e n d o A(2, 3) e n l a e c u a c i n , e l v a l o r d e r e s :2 7

3

2+ (3)2 = r2 r2 =

13

3

2+ 9 r = 27.77.

1 5 . H a l l a r l a e c u a c i n d e l a c i r c u n f e r e n c i a q u e t i e n e c e n t r o e n (2, 3) y e s t a n g e n t e a l a r e c t a d e e c u a c i n L : 4x + 3y + 3 = 0.S o l u c i n :

S e a C : (x h)2 + (y k)2 = r2 l a e c u a c i n p e d i d a . C o m o (h, k) = (2, 3) , e n t o n c e s : C : (x 2)2 + (y 3)2 = r2

C o m o C

e s t a n g e n t e a L, e n t o n c e s r = d((2, 3), L) , e s d e c i r ,

r =|4 2 + 3 3 + 3|

42 + 32= 4

L u e g o l a e c u a c i n b u s c a d a e s : C : (x 2)2 + (y 3)2 = 16.

1 3


15/33

1 6 . D e t e r m i n e l a e c u a c i n d e l a c i r c u n f e r e n c i a q u e c o n t i e n e l o s p u n t o s (3, 2), (2, 4) y(1, 1).S o l u c i n :

L a e c u a c i n d e u n a c i r c u n f e r e n c i a c u a l q u i e r a e s d e l a f o r m a

x2 + y2 + Ax + By + C = 0

P a r a q u e d i c h a c i r c u n f e r e n c i a c o n t e n g a a t o d o s l o s p u n t o s d a d o s , s t o s h a n d e

v e r i c a r l a e c u a c i n :

(3, 2) : 32 + 22 + 3A + 2B + C = 0 3A + 2B + C = 13 ( 1 . 1 )

(2, 4) : 22 + 42 + 2A + 4B + C = 0 2A + 4B + C = 20 ( 1 . 2 )

(1, 1) : (1)2 + 12 A + B + C = 0 A + B + C = 2 ( 1 . 3 )

R e s o l v i e n d o e s t e s i s t e m a d e t r e s e c u a c i o n e s c o n t r e s i n c g n i t a s , e s d e c i r , (1.1), (1.2)y (1.3), s e o b t i e n e :

A = 53

; B = 133

; C =2

3

A s , l a e c u a c i n p e d i d a e s :

x2 + y2 53

x 133

+2

3= 0.

1 4


16/33

1 . 4 . P r o b l e m a s P r o p u e s t o s

1 . H a l l a r l o s p u n t o s B = (x1, y1) y C = (x2, y2) q u e d i v i d a n a l s e g m e n t o q u e u n e A = (3, 1) c o n D = (9, 8) e n t r e s p a r t e s i g u a l e s . R e s p u e s t a : B = (5, 2) y D = (7, 5).

2 . D e t e r m i n e e l v a l o r d e k , p a r a q u e l o s p u n t o s A = (8, 7), B = (2, k + 1) y C = (4, 9)s e a n l o s v r t i c e s d e u n t r i n g u l o r e c t n g u l o e n C.R e s p u e s t a :

k = 4 .

3 . E n c o n t r a r l a e c u a c i n p r i n c i p a l d e l a r e c t a q u e p a s a p o r l o s p u n t o s A = (1, 2) yB = (2, 5).R e s p u e s t a : y = x + 3.

4 . C o m p r u e b e q u e l a s r e c t a s r : x + y 2 = 0 y s : x 2y + 4 = 0 s o n s e c a n t e s y h a l l e e l p u n t o d e i n t e r s e c c i n d e l a s m i s m a s .

R e s p u e s t a : i ) P a r a d e t e r m i n a r s i s o n s e c a n t e s , b a s t a c o n v e r q u e l a s p e n d i e n t e s d e

l a s r e c t a s r y s n o s o n p r o p o r c i o n a l e s e n t r e s . i i ) L a s r e c t a s s e c o r t a n e n e l p u n t o P = (0, 2).

5 . H a l l e l a e c u a c i n d e l a r e c t a q u e , p a s a n d o p o r e l p u n t o A = (1, 5), e s p a r a l e l a a l a r e c t a x + 2y + 2 = 0.R e s p u e s t a : x + 2y 11 = 0

6 . H a l l a r l a p e n d i e n t e y l a o r d e n a d a e n e l o r i g e n d e l a r e c t a 3x + 2y 7 = 0.R e s p u e s t a : m = 3

2, n =

7

2

7 . H a l l a r e l r e a l i m i t a d a p o r l a r e c t a q u e c o n t i e n e a l o s p u n t o s (2, 5) y (4, 1) y l o s e j e s d e c o o r d e n a d a s .

R e s p u e s t a : 20. 25 u n i d a d e s d e r e a .

8 . D e t e r m i n a r e l v a l o r d e k p a r a q u e l a r e c t a 4x + 5y + k = 0 f o r m e c o n l o s e j e s c o o r d e n a d o s u n t r i n g u l o r e c t n g u l o d e A = 2.5m2R e s p u e s t a : k = 10.

9 . D e u n p a r a l e l o g r a m o A B C D c o n o c e m o s A = (1, 3), B = (5, 1), C = (2, 0). H a l l a r l a s c o o r d e n a d a s d e l v r t i c e D e n e l c u a r t o c u a d r a n t e . R e s p u e s t a :

E l v r t i c e e s D = (6, 2).1 0 . H a l l a r l a e c u a c i n d e l a r e c t a q u e p a s a p o r e l p u n t o (2, 3) y e s p e r p e n d i c u l a r a l a

r e c t a q u e u n e l o s p u n t o s (4, 1) y (2, 2).R e s p u e s t a : L a r e c t a b u s c a d a e s y 6x + 15 = 0 .

1 1 . S i l a r e c t a L1 : 3x + ny 7 = 0 p a s a p o r e l p u n t o A = (3, 2) y e s p a r a l e l a a l a r e c t a L2 : mx + 2y 13 = 0 , d e t e r m i n e e l v a l o r d e m y n.R e s p u e s t a :

n = 1, m = 6 .1 2 . D a d o e l t r i n g u l o ABC, d e c o o r d e n a d a s A = (0, 0), B = (4, 0) y C = (4, 4); c a l c u l a

l a e c u a c i n d e l a m e d i a n a q u e p a s a p o r e l v r t i c e B .R e s p u e s t a : 2x y 4 = 0 .

1 3 . H a l l a r e l n g u l o q u e f o r m a n l a s r e c t a s q u e t i e n e n p o r e c u a c i o n e s : L1 : 3x+ 4y12 =0 y L2 : 6x + 8y + 1 = 0. N o t a : U s e l a f r m u l a tan =

m2 m11 + m1m2

.

R e s p u e s t a : tan = 0 = 0 o .1 4 . D e t e r m i n e l a e c u a c i n d e l a c i r c u n f e r e n c i a c o n c e n t r o e n e l o r i g e n y q u e p a s a p o r e l

p u n t o P = (1,

3).R e s p u e s t a : x2 + y2 = 22 .

1 5


17/33

1 5 . D e t e r m i n e l a e c u a c i n d e l a c i r c u n f e r e n c i a q u e p a s a p o r l o s p u n t o s P = (3, 2),Q = (2, 4) y R = (1, 1).R e s p u e s t a : x2 + y2 5

3x 13

3y +

2

3= 0.

1 6 . H a l l a r l o s p u n t o s d e i n t e r s e c c i n d e d o s c i r c u n f e r e n c i a s c u y a s e c u a c i o n e s s o n :

x2 + y2 2x + 4y 11 = 0 y x2 + y2 + x + y 8 = 0R e s p u e s t a : P1 = (1, 2), P2 = (3, 2).

1 7 . D e t e r m i n e l a e c u a c i n d e l a r e c t a L, q u e e s t a n g e n t e a l a c i r c u n f e r e n c i a d e e c u a c i n c : x2 + y2 = 25 , e n e l p u n t o p = (3, 4) g r a q u e .

R e s p u e s t a : y 4 = 34

(x 3).

1 8 . H a l l a r l a e c u a c i n d e l a c i r c u n f e r e n c i a q u e e s t a n g e n t e a l e j e X, t i e n e s u c e n t r o e n l a r e c t a d e e c u a c i n L : x 2y = 0 y p a s a p o r e l p u n t o (6, 2).R e s p u e s t a : P a r a k1 = 2 , C1 : (x 4)2 + (y 2)2 = 4 .P a r a k2 = 5 , C2 : (x 10)2 + (y 5)2 = 25.

1 9 . D e t e r m i n e l a e c u a c i n d e l a c i r c u n f e r e n c i a q u e p a s a p o r e l p u n t o P = (1,

1) y s uc e n t r o e s e l p u n t o d e i n t e r s e c c i n d e l a s r e c t a s , x + y 1 = 0 y 2x + 3y + 2 = 0 .G r a q u e e l c r c u l o y l a s r e c t a s .

R e s p u e s t a : (x 5)2 + (y + 4)2 = 52.2 0 . S e a n A = (1, 4) y B = (3, 2) p u n t o s d e l p l a n o :

a ) D e t e r m i n e l a e c u a c i n g e n e r a l d e l a r e c t a q u e p a s a p o r A y B .

R e s p u e s t a : y =

1

2x +

7

2.

b ) D e t e r m i n e l a s c o o r d e n a d a s d e l p u n t o m e d i o d e l t r a z o AB .R e s p u e s t a : P M(AB) = (1, 3).

c ) D e t e r m i n e l a e c u a c i n d e l a s i m e t r a l d e l t r a z o AB ( N o t a : L a s i m e t r a l d e ABe s l a r e c t a q u e e s p e r p e n d i c u l a r a

ABy p a s a p o r e l p u n t o m e d i o d e

AB) .

R e s p u e s t a : y = 2x + 1 .d ) D e t e r m i n e l a e c u a c i n d e l a c i r c u n f e r e n c i a q u e t i e n e p o r d i m e t r o e l t r a z o AB .

R e s p u e s t a : C : (x + 1)2 + (y 3)2 = 5.e ) D e t e r m i n e u n p u n t o P e n l a r e c t a OY ( e j e OY ) d e m o d o q u e e l t r i a n g u l o ABP

s e a r e c t a n g u l o e n P.R e s p u e s t a : P1 = (0, 1) y P2 = (0, 5).

2 1 . C o n s i d e r e l a c i r c u n f e r e n c i a C

q u e v i e n e d a d a p o r l a e c u a c i n

C : x2 + y2 10x + 8y + 16 = 0

D e t e r m i n e :

a ) C e n t r o y r a d i o d e C .R e s p u e s t a : C e n t r o : (5, 4). R a d i o : 5.

b ) E c u a c i n d e l a r e c t a L q u e p a s a p o r e l c e n t r o d e C y p o r e l p u n t o (9, 7).R e s p u e s t a : y = 3

4x 1

4.

c ) E c u a c i n d e l a r e c t a L q u e e s t a n g e n t e a C e n e l p u n t o (9, 7) .R e s p u e s t a : y =

4

3x 19.

d ) G r a q u e C , L y L .

1 6


18/33

2T r i g o n o m e t r a

2 . 1 . C o n c e p t o s B s i c o s

2 . 1 . 1 . D e n i c i n d e T r i g o n o m e t r a

L a t r i g o n o m e t r a e s u n a r a m a d e l a s m a t e m t i c a s q u e e s t u d i a l a s r e l a c i o n e s e n t r e l o s

n g u l o s y l o s l a d o s d e l o s t r i n g u l o s . P a r a e s t o l a t r i g o n o m e t r a s e v a l e d e l e s t u d i o d e l a s

f u n c i o n e s o r a z o n e s t r i g o n o m t r i c a s , l a s c u a l e s s o n u t i l i z a d a s f r e c u e n t e m e n t e e n c l c u l o s

t c n i c o s .

2 . 1 . 2 . U n i d a d e s A n g u l a r e s

E n l a m e d i d a d e n g u l o s , y p o r t a n t o e n t r i g o n o m e t r a , s e e m p l e a n t r e s u n i d a d e s , s i

b i e n l a m s u t i l i z a d a e n l a v i d a c o t i d i a n a e s e l G r a d o s e x a g e s i m a l , e n m a t e m t i c a s e s

e l R a d i n l a m s u t i l i z a d a , y s e d e n e c o m o l a u n i d a d n a t u r a l p a r a m e d i r n g u l o s , e l

G r a d o c e n t e s i m a l s e d e s a r r o l l c o m o l a u n i d a d m s p r x i m o a l s i s t e m a d e c i m a l , p e r o s u

u s o p r c t i c a m e n t e e s i n e x i s t e n t e .

R a d i n : u n i d a d a n g u l a r n a t u r a l e n t r i g o n o m e t r a , s e r l a q u e a q u u t i l i c e m o s , e n

u n a c i r c u n f e r e n c i a c o m p l e t a h a y 2 r a d i a n e s .

G r a d o s e x a g e s i m a l : u n i d a d a n g u l a r q u e d i v i d e u n a c i r c u n f e r e n c i a e n 3 6 0

o

.

G r a d o c e n t e s i m a l : u n i d a d a n g u l a r q u e d i v i d e l a c i r c u n f e r e n c i a e n 4 0 0 g r a d o s

c e n t e s i m a l e s .

2 . 1 . 3 . C o n v e r c i n d e g r a d o s s e x a g e s i m a l e s a r a d i a n e s

P a r a p a s a r d e g r a d o s a r a d i a n e s , u t i l i z a m o s l a s i g u i e n t e f r m u l a :

Radian = ( ) 180

A s p o r e j e m p l o , 3 6 0

, s e g n n u e s t r a f r m u l a , e q u i v a l e n a :

(360) 180

= 2 radianes

1 7


19/33

2 . 2 . D e n i c i o n e s y R a z o n e s T r i g o n o m t r i c a s

P a r a d e n i r n u e s t r a s r e l a c i o n e s t r i g o n o m t r i c a s , c o n s i d e r e m o s e l s i g u i e n t e t r i n g u l o

ABC r e c t n g u l o e n C:

F i g u r a 1 0 : T r i n g u l o r e c t n g u l o e n C.

E s t e t r i n g u l o r e c i b e e l n o m b r e d e t r i n g u l o r e c t n g u l o e n C ( ABC e n C ) d a d o q u e e l n g u l o q u e s e f o r m a e n C m i d e 90 .

2 . 2 . 1 . D e n i c i o n e s d e l a s c o m p o n e n t e s d e l ABC e n C:A, B , C s o n l o s v r t i c e s d e l ABC e n C.a, b s o n l o s c a t e t o s d e l ABC e n C.c r e c i b e e l n o m b r e d e h i p o t e n u s a d e l ABC e n C.h e s l a a l t u r a d e l ABC.

, s o n l o s n g u l o s d e l ABC. E n e s t e c a s o , c o m o e l ABC e s r e c t n g u l o e n Ce l n g u l o q u e s e f o r m a e n C, ( = ACB ) , m i d e 90 .

2 . 2 . 2 . T e o r e m a d e P i t g o r a s

E l T e o r e m a d e P i t a g o r a s d i c e : E n u n t r i n g u l o r e c t n g u l o , l a s u m a d e l o s c u a d r a d o s

d e l o s c a t e t o s e s i g u a l a l c u a d r a d o d e l a H i p o t e n u s a .

F o r m a l m e n t e , s i u n t r i n g u l o t i e n e c a t e t o s d e t a m a o a y b, e l v a l o r c d e l a H i p o t e n u s a e s t d e t e r m i n a d o p o r :

c2 = a2 + b2

2 . 2 . 3 . R e l a c i o n e s t r i g o n o m t r i c a s d e l ABC e n C

E l ABC e n C; l o u s a r e m o s p a r a d e n i r l a s f u n c i o n e s s e n o , c o s e n o y t a n g e n t e , d e l n g u l o , c o r r e s p o n d i e n t e a l v r t i c e A.

E l s e n o ( a b r e v i a d o c o m o s e n , o s i n p o r l l a m a r s e s i n e e n i n g l s ) e s l a r a z n e n t r e

e lc a t e t o o p u e s t o

y l ah i p o t e n u s a

,

sen() =a

c

E l c o s e n o ( a b r e v i a d o c o m o c o s ) e s l a r a z n e n t r e e l c a t e t o a d y a c e n t e y l a

h i p o t e n u s a ,

cos() =b

c

1 8


20/33

L a t a n g e n t e ( a b r e v i a d o c o m o t a n o t g ) e s l a r a z n e n t r e e l c a t e t o o p u e s t o y e l

a d y a c e n t e ,

tan() =a

b

L a t a n g e n t e e s e l c o c i e n t e e n t r e e l s e n o y e l c o s e n o .

tan() =sen()

cos()=

a/c

b/c=

a

c c

b=

a

b

S e g n l a d e n i c i n a n t e r i o r , e n u n ABC e n C s e t i e n e : sen() = ac

y cos() =b

c,

e n t o n c e s : sen2() =a2

c2y cos2() =

b2

c2. S i h a c e m o s l a s u m a , t e n e m o s :

sen2() + cos2() =a2

c2+

b2

c2=

a2 + b2

c2

p e r o p o r t e o r e m a d e P i t g o r a s , s a b e m o s q u e : c2 = a2 + b2 , p o r l o t a n t o s i r e e m p l a z a m o s e n l o a n t e r i o r o b t e n e m o s l a s i g u i e n t e p r o p i e d a d :

sen2() + cos2() = 1

2 . 2 . 4 . O t r a s r a z o n e s t r i g o n o m t r i c a s d e l ABC e n CS e d e n e n l a c o s e c a n t e , l a s e c a n t e y l a c o t a n g e n t e , c o m o l a s r a z o n e s i n v e r s a s a l s e n o ,

c o s e n o y t a n g e n t e , d e l s i g u i e n t e m o d o :

c o s e c a n t e : ( a b r e v i a d o c o m o c s c o c o s e c ) e s l a r a z n i n v e r s a d e s e n o , o t a m b i n

e l i n v e r s o m u l t i p l i c a t i v o d e s e n o :

csc() =1

sen()=

c

a

s e c a n t e : ( a b r e v i a d o c o m o s e c ) e s l a r a z n i n v e r s a d e c o s e n o , o t a m b i n e l i n v e r s o

m u l t i p l i c a t i v o d e c o s e n o :

sec() =1

cos()=

c

b

c o t a n g e n t e : ( a b r e v i a d o c o m o c o t , c t g o c o t a n ) e s l a r a z n i n v e r s a d e l a t a n g e n t e ,

o t a m b i n e l i n v e r s o m u l t i p l i c a t i v o d e l a t a n g e n t e :

cot() =1

tan()=

b

a

N o r m a l m e n t e s e e m p l e a n l a s r e l a c i o n e s t r i g o n o m t r i c a s : s e n o , c o s e n o y t a n g e n t e , y

s a l v o q u e h a y a u n i n t e r s e s p e c c o e n h a b l a r d e e l l o s o l a s e x p r e s i o n e s m a t e m t i c a s s e

s i m p l i q u e n m u c h s i m o , l o s t r m i n o s c o s e c a n t e , s e c a n t e y c o t a n g e n t e n o s u e l e n u t i l i z a r s e .

E s d e g r a n u t i l i d a d n o t a r q u e s i d i v i d i m o s l a r e l a c i n a n t e r i o r m e n t e o b t e n i d a sen2()+cos2() = 1 , p o r cos2() , o b t e n e m o s :

tan2() + 1 = sec2()

A n l o g a m e n t e , s i d i v i d i m o s l a r e l a c i n sen2() + cos2() = 1

, p o r sen2()

, o b t e n e m o s :

1 + cot2() = csc2()

1 9


21/33

2 . 3 . I d e n t i d a d e s T r i g o n o m t r i c a s

2 . 3 . 1 . S u m a y D i f e r e n c i a d e n g u l o s

sen(x

y) = sen(x) cos(y)

cos(x) sen(y)

cos(x y) = cos(x) cos(y) sen(x)sen(y)

tan(x y) = tan(x) tan(y)1 tan(x)tan(y)

2 . 3 . 2 . I d e n t i d a d e s d e l n g u l o D o b l e

P u e d e n o b t e n e r s e r e m p l a z n d o l o y p o r x ( o s e a sen(x+x) = sen(2x)) e n l a s i d e n t i d a d e s a n t e r i o r e s , y u s a n d o P i t g o r a s p a r a l o s d o s l t i m o s .

sen(2x) = 2sen(x) cos(x)

cos(2x) = cos2(x) sen2(x) = 2cos2(x) 1 = 1 2sin2(x)

tan(2x) =2tan(x)

1 tan2(x)

2 . 3 . 3 . I d e n t i d a d e s p a r a l a R e d u c c i n d e E x p o n e n t e s

cos2(x) =1 + cos(2x)

2

sin2(x) = 1 cos(2x)2

2 . 3 . 4 . P a s o d e P r o d u c t o a S u m a

P u e d e p r o b a r s e u s a n d o e l t e o r e m a d e l a s u m a p a r a e x p a n d i r l o s s e g u n d o s m i e m b r o s .

cos(x) cos(y) =cos(x + y) + cos(x y)

2

sen(x)sen(y) =cos(x y) cos(x + y)

2

cos(x) sen(y) = sen(y + x) + sen(y x)2

2 . 3 . 5 . P a s o d e S u m a a P r o d u c t o

R e e m p l a z a n d o x p o r (a + b)/2 e y p o r (ab)/2 e n l a s i d e n t i d a d e s d e P r o d u c t o a s u m a , s e t i e n e :

sen(a) + sen(b) = 2 sen

a + b

2

cos

a b

2

cos(a) + cos(b) = 2 cos

a + b

2

cos

a b

2

2 0


22/33

C o n s i d e r e m o s e l s i g u i e n t e t r i n g u l o :

F i g u r a 1 1 : T r i n g u l o r e c t n g u l o e n C.

D o n d e l a d o s y n g u l o s p u e d e n t e n e r c u a l q u i e r v a l o r . E n t o n c e s , p a r a o b t e n e r c u n t o

v a l e u n l a d o o u n n g u l o t e n e m o s l o s s i g u i e n t e s t e o r e m a s :

2 . 4 . T e o r e m a s d e l S e n o y C o s e n o

2 . 4 . 1 . T e o r e m a d e l S e n o

E n t o d o t r i n g u l o c o m o e l a n t e r i o r s e d a l a s i g u i e n t e r e l a c i n e n t r e l a l o n g i t u d d e s u s

l a d o s a, b y c y e l s e n o d e s u s r e s p e c t i v o s n g u l o s o p u e s t o s , y :

a

sen()=

b

sen()=

c

sen()

2 . 4 . 2 . T e o r e m a d e l C o s e n o

E n t o d o t r i n g u l o E l c u a d r a d o d e u n l a d o e s i g u a l a l a s u m a d e l o s c u a d r a d o s

d e l o s o t r o s l a d o s m e n o s e l d o b l e d e l p r o d u c t o d e e s t o s l a d o s p o r e l c o s e n o d e l n g u l o

c o m p r e n d i d o . . .

a2

= b2

+ c2

2bc cos()b2 = a2 + c2 2ac cos()c2 = a2 + b2 2ab cos()

2 1


23/33

2 . 5 . P r o b l e m a s P r o p u e s t o s

1 . D a d o sen() =3

5, h a l l e :

a ) cos()

b) tan()

c ) sec()

d ) cos(2).

R e s p . : a ) 4 / 5 , b ) 3 / 4 , c ) 5 / 3 , d ) 7 / 2 5

2 . D a d o tan() =20

21, h a l l e :

a) sen()

b ) cos()

c ) cot()

R e s p . : a ) 2 0 / 2 9 , b ) 2 1 / 2 9 , c ) 2 1 / 2 0 .

3 . D a d o cos() =2

3, h a l l e :

a ) cot()

b) sen(2)

c ) csc().

R e s p . : a ) 2/

5, b ) 1 0 / 3 , c ) 3/

5 .

4 . P r u e b e l a s s i g u i e n t e s i d e n t i d a d e s :

a )

sen + cos

sen = 1 +

1

tan

b )

cos

cot = sen

c )

sen

csc +

cos

sec = 1

d )

1 sen cos

=cos

1 + sen

e ) sen4 z =1 cos2z

csc2 z

f ) tan w sen wsen3 w

= sec w1 + cos w

g )

sen2

tan = 2 cos2

h )

tan( + x)

tan( x) = 1

i )

sen2(t)(1 + cos(t))

1 cos(t) = (1 + cos(t))2

5 . C a l c u l a r l a a l t u r a d e u n a t o r r e , s i a l s i t u a r n o s 25 m d e s u p i e , e l n g u l o d e e l v a c i n a l a p a r t e m s a l t a d e l a t o r r e e s d e 45 .R e s p . : 2 5 m.

2 2


24/33

6 . C a l c u l a r l a a l t u r a d e u n r b o l , s a b i e n d o q u e d e s d e u n p u n t o d e l t e r r e n o e l n g u l o

d e e l e v a c i n a s u c o p a e s d e 60 y s i r e t r o c e d e m o s 10 m, e s d e 30 .R e s p . : 5

3 m.

7 . D e s d e l a o r i l l a d e u n r o , o b s e r v a m o s l a c o p a d e u n r b o l s i t u a d o e n l a o t r a o r i l l a

c o n u n n g u l o d e e l e v a c i n d e

60

. s i n o s r e t i r a m o s 1 0

md e l a o r i l l a , e l n g u l o d e

o b s e r v a c i n e s d e 45 . C a l c u l a r l a a l t u r a d e l r b o l y l a a n c h u r a d e l r o . R e s p . : A l t u r a d e l r b o l : 2 3 . 6 m. , A n c h u r a d e l r o : 1 3 . 6 m.

8 . D e s d e u n p u n t o a l n i v e l d e l s u e l o y a 1 3 5 m e t r o s d e l a b a s e d e u n a t o r r e , e l n g u l o

d e e l e v a c i n a l a p a r t e m s a l t a d e l a t o r r e e s 5 7

2 0 ' . C a l c u l e l a a l t u r a d e l a t o r r e .

R e s p . : 2 1 0 . 5 5 m e t r o s .

9 . R e s u e l v a l o s s i g u i e n t e s t r i n g u l o s :

a ) = 60 ; b = 20; c = 30.

b ) = 45 ; b = 10 ; a = 15.

c ) a = 2; b = 3; c = 4 .

d) a = 10; b = 15 ; c = 12 .

R e s p . : a ) a =

700, =4 0 . 8 9 , = 7 9 . 1 1 . b ) c = 10.6 , =4 1 . 7 , =9 3 . 2 7

c ) =2 8 . 9 6 , =4 6 . 5 7 , = 1 0 4 . 4 7 . , d ) =4 1 . 6 4 , =8 5 . 4 6 , = 5 2 . 9 .

1 0 . D e s d e l o a l t o d e u n e d i c i o q u e m i r a a l m a r , u n o b s e r v a d o r a v i s t a u n a l a n c h a q u e

n a v e g a d i r e c t a m e n t e h a c i a e l e d i c i o . S i e l o b s e r v a d o r e s t a a 1 0 0 p i e s s o b r e e l n i v e l

d e l m a r y e l n g u l o d e e l e v a c i n d e l a l a n c h a c a m b i a d e 2 5

a 4 0

d u r a n t e e l p e r i o d o

d e o b s e r v a c i n . C a l c u l e l a d i s t a n c i a q u e r e c o r r e l a l a n c h a .

R e s p . :9 5 . 3 p i e s .

1 1 . E l n g u l o d e u n a e s q u i n a d e u n t e r r e n o t r i a n g u l a r m i d e 7 3

4 0 ' y l o s l a d o s q u e s e

u n e n e n e s t a e s q u i n a m i d e n 1 7 5 p i e s y 1 5 0 p i e s d e l a r g o . C a l c u l e l a l o n g i t u d d e l

t e r c e r l a d o .

R e s p . : 1 9 5 . 8 6 p i e s .

1 2 . P a r a h a l l a r l a d i s t a n c i a e n t r e l o s p u n t o s A y B , u n a g r i m e n s o r e s c o g e u n p u n t o Cq u e e s t u b i c a d o a 4 2 0 y a r d a s d e A y a 5 4 0 y a r d a s d e B . S i e l n g u l o m i d e 6 3 1 0 ' . C a l c u l e l a d i s t a n c i a e n t r e A y B .R e s p . : 5 1 3 y a r d a s .

2 3


25/33

3F u n c i o n e s R e a l e s

3 . 1 . D e n i c i o n e s

D a d o s d o s c o n j u n t o s X e Y , u n a f u n c i n o a p l i c a c i n d e X e n Y e s u n a c o r r e s p o n d e n c i a m a t e m t i c a d e n o t a d a

f: X Yq u e c u m p l e c o n l a s s i g u i e n t e s d o s c o n d i c i o n e s :

1 . C o n d i c i n d e e x i s t e n c i a : T o d o s l o s e l e m e n t o s d e X e s t n r e l a c i o n a d o s c o n e l e m e n t o s d e Y , e s d e c i r , x X, y Y | (x, y) f.

2 . C o n d i c i n d e u n i c i d a d : C a d a e l e m e n t o d e X e s t a r e l a c i o n a d o c o n u n n i c o e l e m e n t o d e Y , e s d e c i r , s i (x, y1) f (x, y2) f y1 = y2 .

U n a f u n c i n e s u n c a s o p a r t i c u l a r d e r e l a c i n y d e c o r r e s p o n d e n c i a m a t e m t i c a . C a d a

r e l a c i n o c o r r e s p o n d e n c i a d e u n e l e m e n t o

x Xc o n u n ( y s l o u n )

y Ys e d e n o t a

f(x) = y , e n l u g a r d e (x, y) f.

F i g u r a 1 2 : F u n c i n d e X e n Y : l a c o n d i c i n d e e x i s t e n c i a a s e g u r a q u e d e c a d a e l e m e n t o s a l e a l g u n a e c h a y l a d e u n i c i d a d q u e s l o s a l e u n a .

3 . 1 . 1 . C o n c e p t o s B s i c o s

P a r a t o d a f u n c i n f: X Y , p o d e m o s d e n i r : D o m i n i o

d e f a l c o n j u n t o :

Dom(f) = {x X | (y; y Y) : f(x) = y}

E n p a r t i c u l a r s i X = Y = R, e n t o n c e s :

Dom(f) = {y Y | f(x) R}

2 4


26/33

I m a g e n o R e c o r r i d o d e f a l c o n j u n t o :

Rec(f) = {y Y | (x; x Dom(f)) : f(x) = y}

E n p a r t i c u l a r s i X = Y = R, e n t o n c e s :

Rec(f) = {y Y | x Dom(f)}

G r c o d e f a l c o n j u n t o :

Graf(f) = {(x, y) | y = f(x)}

E j e m p l o : C o n s i d e r e l a f u n c i n r e a l : f(x) =1

x.

1 . D e t e r m i n e m o s e l D o m i n i o d e l a f u n c i n :

x Dom(f) x R f(x) R

x R f(x) =1

x R x R x = 0 x R {0}

Por lo tantoDom(f) = R {0}.

2 . D e t e r m i n e m o s e l R e c o r r i d o d e l a f u n c i n :

y Rec(f) y = f(x) para algun x R

y = 1x

tal que x = 0

x = 1y

R {0}Analogamente al caso anterior :

y = 0 y R {0}

Por lo tantoRec(f) = R {0}.

3 . D e t e r m i n e m o s e l G r c o d e l a f u n c i n :

P Graf(f)P = (x, f(x)) f(x) = 1x

; x = 0

3 . 1 . 2 . E j e m p l o d e t i p o s d e f u n c i o n e s

1 . L a f u n c i n c o n s t a n t e : E s a q u e l l a q u e a c a d a x R l e h a c e c o r r e s p o n d e r u n m i s m o n m e r o c, c o n c c o n s t a n t e , e n s m b o l o s , s e e s c r i b e f(x) = c.

2 . L a f u n c i n l i n e a l n o c o n s t a n t e : E s a q u e l l a q u e a c a d a x R l e h a c e c o r r e s p o n d e r e l n m e r o ax + b , c o n a, b c o n s t a n t e s , a = 0 , e s d e c i r , f(x) = ax + b.

3 . L a f u n c i n c u a d r t i c a : E s a q u e l l a q u e a c a d a x R l e h a c e c o r r e s p o n d e r e l n m e r o f(x) = ax2 + bx + c ; c o n a,b,c c o n s t a n t e s y a = 0.

2 5


27/33

F i g u r a 1 3 : G r c o d e f = 1/x.

4 . L a f u n c i n p o l i n o m i a l : E s a q u e l l a q u e h a c e c o r r e s p o n d e r a c a d a x R e l n m e r o f(x) = anx

n + . . . + a1x + a0 , d o n d e l o s ai s o n c o n s t a n t e s .

5 . L a f u n c i n r a c i o n a l : E s a q u e l l a q u e s e o b t i e n e m e d i a n t e c u o c i e n t e s d e p o l i n o m i o s , e s

d e c i r :

f(x) =p(x)

q(x)

E n e s t e c a s o d e b e m o s o b s e r v a r q u e p a r a a q u e l l o s x t a l q u e q(x) = 0, f(x) n o e s t d e n i d a . P o r t a n t o e l d o m i n i o d e u n a f u n c i n r a c i o n a l l o c o n s t i t u y e R {x : q(x) =0} = {x : q(x) = 0}.

3 . 2 . P r o p i e d a d e s d e l a s f u n c i o n e s

O b s e r v a c i n : P o d e m o s e x t e n d e r a l g u n a s d e l a s p r o p i e d a d e s d e l o s n m e r o s a

l a s f u n c i o n e s , p o r e j e m p l o , p o d e m o s e s t a b l e c e r u n a a r i t m t i c a d e f u n c i o n e s , c o m p a r a r

f u n c i o n e s , e s t u d i a r s i e s a c o t a d a , s i t i e n e m a x i m o s y m n i m o s , e t c .

D e n i c i n : D a d a s d o s f u n c i o n e s n u m r i c a s f y g , s e d e n e n l a s s i g u i e n t e s f u n c i o n e s

c u y o d o m i n i o e s Dom(f)

Dom(g):

(f g)(x) = f(x) g(x) .(fg)(x) = f(x)g(x) .

f

g

(x) =

f(x)

g(x).

D e n i c i n : D a d a s d o s f u n c i o n e s n u m r i c a s f y g , d i r e m o s q u e :

f = g s i Dom(f) = Dom(g) , y f(x) = g(x) , p a r a t o d o x e n e l d o m i n i o c o m n .

f < g s i f(x) < g(x), p a r a t o d o x Dom(f) Dom(g)

2 6


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E j e m p l o :

1 . D a d a s l a s f u n c i o n e s f(x) = x y g(x) = x2 d e n i d a s s o b r e I = [0, 1]; u s a n d o l a s p r o p i e d a d e s d e l o s n m e r o s r e a l e s t e n e m o s q u e p a r a t o d o x [0, 1], 0 < x2 < x. P o r l o t a n t o g(x) < f(x) , p a r a t o d o x I. E s d e c i r , f < g s o b r e [0, 1].

2 . D a d a s l a s f u n c i o n e s

f(x) = xy

g(x) = x2

d e n i d a s s o b r e

J = [1, 2]; u s a n d o l a s

p r o p i e d a d e s d e l o s n m e r o s r e a l e s t e n e m o s q u e p a r a t o d o x [1, 2], x2 > x. P o r t a n t o g(x) > f(x) , p a r a t o d o x J. E s d e c i r , g > f s o b r e [1, 2].

D e n i c i n : D i r e m o s q u e l a f u n c i n f e s a c o t a d a , s i s u r e c o r r i d o e s u n c o n j u n t o

a c o t a d o , e s d e c i r , s i e x i s t e M > 0 t a l q u e |f(x)| M, p a r a t o d o x Dom(f) .E j e m p l o :

1 . L a f u n c i n f(x) = x y g(x) = x2 d e n i d a s s o b r e I = [0, 1] s o n a c o t a d a s , p u e s t o q u e p a r a t o d o x [0, 1], 0 < x2 < x 1 . C u a l q u i e r n m e r o M 1 s a t i s f a c e l a d e n i c i n .

2 . E n c a m b i o , s i f(x) = x y g(x) = x2 s o n d e n i d a s e n t o d o R, n o s o n a c o t a d a s .

3 . 3 . F u n c i n C r e c i e n t e y D e c r e c i e n t e

D e n i c i n : S e a f: X Y u n a f u n c i n .

S e d i c e q u e f e s u n a f u n c i n c r e c i e n t e s i :

x1, x2 A : x1 < x2 f(x1) < f(x2)S e d i c e q u e f e s u n a f u n c i n d e c r e c i e n t e s i :

x1, x2 A : x1 < x2 f(x1) > f(x2)

F i g u r a 1 4 : C r e c i m i e n t o d e f u n c i o n e s .

E j e m p l o :

1 . S e a f: R R f u n c i n , t a l q u e : f(x) = 3x 5 . f e s u n a f u n c i n c r e c i e n t e e n R.E n e f e c t o :

Si x1 < x2 3x1 < 3x2 3x1 5 < 3x2 5 f(x1) < f(x2), x1, x2 R.

2 . S e a f: R R f u n c i n , t a l q u e : f(x) = 2 7x. f e s u n a f u n c i n d e c r e c i e n t e e n R.E n e f e c t o :

Si x1 < x2 7x1 > 7x2 2 7x1 > 2 7x2 f(x1) > f(x2), x1, x2 R.

2 7


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3 . 4 . F u n c i o n e s s e g n t i p o d e a p l i c a c i n

D a d o s d o s c o n j u n t o s X e Y , p o d e m o s c l a s i c a r a t o d a s l a s f u n c i o n e s f: X Y ,d e n i d a s e n t r e e l l o s , e n :

3 . 4 . 1 . F u n c i n u n o a u n o o i n y e c t i v a

S o n a q u e l l a s e n q u e a c a d a i m a g e n l e c o r r e s p o n d e u n n i c o o r i g e n . F o r m a l m e n t e ,

x1, x2 X : f(x1) = f(x2) x1 = x2,o q u e e s l o m i s m o q u e ,

x1, x2 X : x1 = x2 f(x1) = f(x2)

3 . 4 . 2 . F u n c i n s o b r e y e c t i v a

S o n a q u e l l a s e n q u e l a a p l i c a c i n e s s o b r e t o d o e l c o n j u n t o d e l l e g a d a ( c o d o m i n i o ) , e s

d e c i r , c u a n d o e l c o n j u n t o i m a g e n ( Imag(f) ) o r e c o r r i d o e s Rec(f) = Y . E s t o s i g n i c a q u e t o d o e l e m e n t o d e l c o d o m i n i o t i e n e u n o r i g e n . F o r m a l m e n t e ,

y Y : x Xf(x) = yE s t a s f u n c i o n e s t a m b i n s e c o n o c e n c o m o e x h a u s t i v a s o e p i y e c t i v a s .

3 . 4 . 3 . F u n c i n b i y e c t i v a

S o n a q u e l l a s q u e s o n a l m i s m o t i e m p o i n y e c t i v a s y s o b r e y e c t i v a s . F o r m a l m e n t e ,

y Y : ! x X, f(x) = yE j e m p l o :

F i g u r a 1 5 : T i p o s d e f u n c i o n e s .

E j e m p l o s :

1 . L a f u n c i n f: R R , t a l q u e x x2 n o e s s o b r e y e c t i v a , p u e s Rec(f) = R+ {0}.

2 . L a f u n c i n f: R R , t a l q u e x x3 e s s o b r e y e c t i v a , p u e s d a d o c u a l q u i e r r e a l y ,s i e m p r e e x i s t e

3

y , d e m o d o q u e f( 3

y) = y .N o t a : T o d a f u n c i n e s s o b r e y e c t i v a s o b r e s u r e c o r r i d o .

3 . L a f u n c i n c o n s t a n t e n o e s i n y e c t i v a e n n i n g n i n t e r v a l o d e R, p u e s f(x1) = f(x2),a n c u a n d o x1 = x2

2 8


30/33

4 . L a f u n c i n l i n e a l n o c o n s t a n t e f(x) = ax + b e s i n y e c t i v a s o b r e t o d o R, p u e s s i x1 = x2 , e n t o n c e s f(x1) = f(x2) .

5 . L a f u n c i n c u a d r t i c a f(x) = x2 , n o e s i n y e c t i v a s o b r e R, p e r o s l o e s s e p a r a d a m e n t e s o b r e R

+o R

.

L a i m p o r t a n c i a d e l a s f u n c i o n e s i n y e c t i v a s s o b r e u n i n t e r v a l o I e s q u e e l l a s t i e n e n f u n c i n i n v e r s a s o b r e s u r e c o r r i d o .

3 . 5 . l g e b r a d e F u n c i o n e s

3 . 5 . 1 . C o m p o s i c i n d e f u n c i o n e s

D a d a s d o s f u n c i o n e s f: X Y y g : Y Z, d o n d e l a i m a g e n d e f e s t c o n t e n i d a e n e l d o m i n i o d e g , s e d e n e l a f u n c i n c o m p o s i c i n (gf) : X Z c o m o (gf)(x) = g(f(x)) ,p a r a t o d o s l o s e l e m e n t o s x d e X.

X

Y

Z

x f(x) g(f(x))

F i g u r a 1 6 : R e p r e s e n t a c i n d e l a c o m p o s i c i n d e 2 f u n c i o n e s .

E j e m p l o :

S i f: x x2 + 1 y g : x |x| , e n t o n c e s : (g f)(x) = g(f(x)) = g(x2 + 1) = |x2 + 1|

3 . 5 . 2 . F u n c i n i d e n t i d a d

D a d o u n c o n j u n t o A, l a f u n c i n eA : A A, q u e a s i g n a a c a d a x d e X, e l m i s m o x d eX, s e d e n o m i n a f u n c i n i d e n t i d a d o f u n c i n u n i t a r i a .

eX = {(x, x) | x X}D a d a c u a l q u i e r f u n c i n g : X Y , e s c l a r o q u e eY f: X Y , e s i g u a l a f, y q u e

f eX : X Y e s t a m b i n i g u a l a f, p u e s t o q u e p a r a t o d o x f(eX(x)) = f(x) y t a m b i n eY(f(x)) = f(x)

eY f = f eX = f

3 . 5 . 3 . F u n c i n i n v e r s a

D a d a u n a f u n c i n f: X Y , s e d e n o m i n a f u n c i n i n v e r s a d e f , f1 : Y X, a l a f u n c i n q u e c u m p l e l a s i g u i e n t e c o n d i c i n :

f1 f = eXf f1 = eY

S i e x i s t e u n a f u n c i n q u e c u m p l a e s a s d o s c o n d i c i o n e s , s e r i n v e r s a p o r l a i z q u i e r d a y

s e r i n v e r s a p o r l a d e r e c h a , s e d e m u e s t r a q u e e s a f u n c i n e s n i c a . E s o j u s t i c a l a n o t a c i n

2 9


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f1 , q u e s e r a a m b i g u a s i p u d i e r a h a b e r d o s i n v e r s a s d e l a m i s m a f u n c i n .

S l o a l g u n a s f u n c i o n e s t i e n e n i n v e r s a . D e h e c h o , l a c o n d i c i n n e c e s a r i a y s u c i e n t e p a r a

l a e x i s t e n c i a d e f1 e s q u e f s e a b i y e c t i v a . P o r l o t a n t o , l a s a r m a c i o n e s :

E x i s t e f u n c i n i n v e r s a d e f y

f e s b i y e c t i v a

s o n l g i c a m e n t e e q u i v a l e n t e s .

E j e m p l o s :

1 . H e m o s v i s t o q u e l a f u n c i n l i n e a l n o c o n s t a n t e e s i n y e c t i v a s o b r e R:

f: x ax + bp a r a e n c o n t r a r f1 s e d e s p e j a r l a v a r i a b l e i n d e p e n d i e n t e e n l a e c u a c i n y = ax + b ,l o c u a l n o s d a p a r a x e l v a l o r e n f u n c i n d e y , a s t e n e m o s ,

x =y b

ap e r o , p a r a p r e s e n t a r l a f u n c i n f1 , d e b e m o s r e t o m a r l a c o n v e n c i n q u e x e s l a v a r i a b l e i n d e p e n d i e n t e . E n e s t e c a s o ,

f1(x) =x b

a

v e r i q u e m o s q u e f f1(x) = eR :

f f1(x) = f(f1(x)) = f

x ba

= a

x b

a

+ b = x

D e l m i s m o m o d o :

f1f (x) = f1(f(x)) = f1(ax + b) = (ax + b) ba

= x

2 . L a f u n c i n c u a d r t i c a f(x) = x2 , l a p o d e m o s i n v e r t i r s o b r e R+ {0} .S e a y 0 , y c o n s i d e r e m o s y = x2y x2 = 0(y x)(y + x) = 0 d e d o n d e s e t i e n e x = y , p e r o c o m o n o s h e m o s r e s t r i n g i d o a x R+ {0}, x s l o p u e d e t o m a r e l v a l o r

y .

P o r l o t a n t o :

f1 : R+ {0} R+ {0}x x

3 . 5 . 4 . E l g r u p o d e l a s f u n c i o n e s b i y e c t i v a s

C o n s i d e r a n d o t o d a s l a s f u n c i o n e s b i y e c t i v a s f: X Y , l a s c o n c l u s i o n e s d e l a p a r t a d o a n t e r i o r p u e d e n r e s u m i r s e e n :

1 . D a d a s t r e s f u n c i o n e s l a o p e r a c i n d e c o m p o s i c i n e s a s o c i a t i v a : (fi fj) fk =fi (fj fk).

2 .eX : X X t a l q u e f: X X t e n e m o s f eX = eX f = f.

3 . f: X X , f1 : X X | f1 f = f f1 = eX .

E s t a s t r e s c o n d i c i o n e s d e t e r m i n a n u n g r u p o . E l c o n j u n t o d e l a s f u n c i o n e s b i y e c t i v a s

X X e s u n g r u p o c o n r e s p e c t o a l a o p e r a c i n d e c o m p o s i c i n d e f u n c i o n e s y r e c i b e e l n o m b r e d e g r u p o s i m t r i c o d e X.

3 0


32/33

3 . 6 . E j e r c i c i o s P r o p u e s t o s

1 . B o s q u e j e l a s s i g u i e n t e s f u n c i o n e s r a c i o n a l e s

a ) y =1

x = 5b ) y =

4

x+ 2

c ) y =1

x + 2 1

d ) y =3

x2 9

2 . H a l l e e l v r t i c e , l o s c e r o s y l a e c u a c i n d e l e j e d e s i m e t r a d e l a s s i g u i e n t e s p a r b o l a s .

a ) f(x) = (x 1)2 + 1b ) y = 3(x 2)2 5

c ) y = x2 7x 18d ) y = 3x2 + 12x 5

3 . C o n s i d e r e l a e c u a c i n c u a d r t i c a ax2 + bx + c = 0, a = 0. P r u e b e q u e u s a n d o c o m p l e t a c i n d e c u a d r a d o d e b i n o m i o , l a s o l u c i n v i e n e d a d a p o r

x = b

b2

4ac

2a

4 . U n a f u n c i n c u a d r t i c a t i e n e l a f o r m a y = ax2 + ax + a , y p a s a p o r e l p u n t o (1, 9).C a l c u l a r e l v a l o r d e a.

5 . S e s a b e q u e l a e c u a c i n c u a d r t i c a y = ax2 + bx + c , y p a s a p o r l o s p u n t o s (1, 1), (0, 0) y (1, 1). D e t e r m i n e l o s v a l o r e s d e l a s c o n s t a n t e s a, b y c .

6 . U n a p a r b o l a t i e n e s u v r t i c e e n e l p u n t o (1, 1) y p a s a p o r e l p u n t o (0, 2). H a l l e l a e c u a c i n .

7 . E l l a r g o d e u n a s a l a r e c t a n g u l a r e s 3 m e t r o s m a y o r q u e e l a n c h o . S i e l a n c h o a u m e n t a

3 m e t r o s y e l l a r g o a u m e n t a 2 m e t r o s , e l r e a s e d u p l i c a . H a l l e e l r e a o r i g i n a l d e l a

s a l a .

8 . S e a f l a f u n c i n c u a d r t i c a f(x) = x2. S i a, b = 0 p r u e b e q u e : f(a + b) f(a) f(b)

f(2)f(ab) 1 = 0

9 . G r a c a r l a s s i g u i e n t e s f u n c i o n e s d e n i d a s p o r p a r t e s :

a ) f(x) =

x2 , s i 1 x 24 , s i 2 x < 4

x , s i 4 < x < 6.b ) f(x) =

x , s i 0 x 3x 1 , s i 3 x 5

4 , s i 5 < x 7.

1 0 . E s b o c e e l g r c o d e l a f u n c i n

f(x) = | x2 + 3x 2|.

1 1 . G r a q u e l a s s i g u i e n t e s f u n c i o n e s :

a ) y = 42x

b ) y = log2 x

c ) y = |x + 1| ed ) y = log4(x 4)

e ) y = 2 ln x.f ) y = ex2 + 3.

3 1


33/33

1 2 . E n l o s s i g u i e n t e s p r o b l e m a s , e n c u e n t r e e l v a l o r d e x:

a ) 2x+1 = 8.

b ) 3x + 3x1 + 3x+1 = 117.

c)

5

2x

65x

+ 5.d ) 2x+3 + 4x+1 320.

e ) log x + log 20 = 3.

f ) log x3 = log6 + 2 log x.

g) log 4 + 2log(x 3) = log x.

h)

ln(logx 2) = 1.i ) (

3

2)2x = 2x2

.

j ) xlog x = 108.

1 3 . C u l e s e l v a l o r q u e h a c e c i e r t a l a e c u a c i n ? :

log x 3 = log x 3

1 4 . P r u e b e q u e s i x =ey ey

2, e n t o n c e s

y = ln(x +x2 + 1)

Apuntes de Cálculo 2204101

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