Colección Problemas Resueltos de Ampliación de Cálculo

7/25/2019 Coleccin Problemas Resueltos de Ampliacin de Clculo

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AMPLIACIN

DE

CLCULOProblemas

resueltos

DepartamentodeMatemticas

del reaIndustrial


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Indice general

Programa III

Tema 1. Enunciados 1

Tema 1. Soluciones 5









i


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Programa de Ampliacion de Calculo. Curso 2014/15

1. Calculo de integrales multiplesIntegrales dobles en rectangulos; triples en paraleleppedos. Integracion reiterada:teorema de Fubini. Integracion de funciones continuas en dominios proyectables deR

2 y R3. Cambio de variables. Coordenadas polares en el plano; esfericas y cilndricasen el espacio. Propiedades de simetra. Areas, volumenes y masas. Centroides ycentros de gravedad. Momentos de inercia.

2. Curvas en Rn e integrales curvilneas. Teorema de Green

Ecuaciones implcitas, representacion parametrica. Arcos de curva y curvas cerradas.Vector tangente a una curva. Longitud de una curva. Integracion de un campo escalar

a lo largo una curva. Integracion de un campo vectorial sobre una curva: circulacion.Independencia del camino: campos conservativos y campos de gradientes. Teoremade Green en dominios simplemente conexos de R2. Campos conservativos en el plano:condicion suficiente. Potencial escalar de un campo conservativo. Teorema de Greenen dominios mas generales de R2.

3. Teora de campos en R3

Rotacional de un campo vectorial: campos irrotacionales y campos de gradientes.Dominios simplemente conexos. Condicion suficiente para que un campo sea con-servativo. Potencial escalar de un campo conservativo. Divergencia de un campovectorial: campos solenoidales y campos de rotores. Potencial vector. Dominios es-trellados. Condicion suficiente para que un campo sea solenoidal. Potencial vectorde un campo solenoidal.

4. Superficies e integrales de superficie

Ecuaciones implcitas, representacion parametrica. Superficies de revolucion y super-ficies regladas. Plano tangente y vector normal a una superficie. Superficies orienta-bles. Superficies cerradas y superficies con borde.Area de una superficie. Integracionde un campo escalar sobre una superficie. Flujo de un campo vectorial a traves deuna superficie.

5. Teoremas de Gauss y StokesTeorema de la divergencia de Gauss. Teorema de Stokes. Aplicaciones.


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Tema 1 1

Calculo de integrales multiples

1.1. Se considera el rectangulo D = [0, 1]

[0, 2]. Se pide calcular

D

f(x, y) dxdy

en los siguientes casos:

1. f(x, y) =ex+y.

2. f(x, y) =xy2.

3. f(x, y) =

x+y.

1.2. Calcular [0,1][0,1]

(x2 + 2y)exydxdy

1.3. En las siguientes integrales el dominio D esta proyectado sobre el eje OY; pro-yectarlo sobre el eje OX(es decir, invertir el orden de integracion) y calcular su valor:

1.

D

(x+y)2 dxdy=

11

1|y|

(x+y)2 dx

dy ;

2. D

y

x+ 3

dxdy = 2

0

3

1(y2/4)

0

y

x+ 3

dxdy .1.4. Calcular la integral

D

f(x, y) dxdy

en los siguientes casos:

1. D= {(x, y) R2, x+y , x 0, y 0} , f(x, y) = (x+y)cos xcos y.2. D= {(x, y) R2,|x| + |y| 1} , f(x, y) =x2 + 2xy 5y2.

1.5. Calcular la integral

D

xy dxdy, siendo D la region del primer cuadrante del

plano limitada por las parabolasy =x2 yx = y2. Razonar si la integral anterior se podrainterpretar como la masa de un cierto cuerpo plano.

1.6.Seanaybnumeros reales positivos cona >1. SeaDla region del primer cuadrantelimitada por las rectas y = x, y= ax y la hiperbola xy=b. Considerese la integral

I=

D

xy dxdy.


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2 Problemas AC (2014/15)

1. Plantear el calculo de Ien cartesianas expresando D como recinto proyectable res-pecto de x.

2. Encontrar un cambio que transforme la region D en un rectangulo.

3. Calcular I.

1.7. Se considera el solido plano definido por x2 +y2 x 0 sobre el cual hay unadistribucion de masa. La densidad en cada punto es (x, y) = 1+d2 dondedes la distanciadel punto al origen. Se pide calcular la masa del s olido.

1.8. Sea a >0 y sea Ael dominio definido por x2 +y2 ax 0. Se pide:

1. Calcular

A

a2

x2

y2

sen y dxdy.

2. Calcular

A

a2 x2 y2 dxdy.

1.9. Calcular el area del recinto limitado por las curvas:

y2 =x ; y2 = 2x; x2 = 3y .

1.10. Sean aybnumeros positivos y sea Ael recinto definido por

x2

a2+y

2

b2 1

Sobre A hay definida una densidad superficial de masa (unidades de kg/m2) dada por

(x, y) =eb2x2+a2y2

Se pide calcular la masa de A.

1.11. Sea A la region acotada del primer octante limitada por las superficies x = 0,

z= 2, y = 0 y z= 2x2 +y2. Calcular A

x dxdydzy encontrar alguna interpretacion

geometrica-fsica de dicha integral.

1.12. Sea Q el cubo [0, 1] [0, 1] [0, 1]. Se pide:

1. Calcular la integral

Q

|x y| dxdydz.

2. Calcular la integral

Q

(|x y| + |y z| + |z x|) dxdydz.


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Tema 1 3

1.13. Calcular la integral triple

D

z cos(x2 +y2) dx dy dz, D=

{(x,y,z)

R

3, x2 +y2 +z2

R2, z

0

}.

1.14. Calcular el volumen del solido definido por:

x2 +y2 2x , x2 +y2 2y , x2 +y2 +z2 4 .1.15. Un casquete esferico es la porcion de esfera limitada por la superficie esferica y

un plano que la corta. Calcular su volumen en funcion del radio R de la esfera y de laaltura h del casquete.

Rh

1.16. Calcular las coordenadas del centroide de los recintos que se describen a conti-nuacion.

1. Porcion del plano interior a la elipse de semiejes a y b y centro el origen, situada enel primer cuadrante.

2. Un semicrculo.

3. Una semiesfera.

4. Solido definido por x2 +y2 z 4.1.17. Un elipsoide de semiejes a, b, c tiene en cada punto una densidad de masa pro-

porcional al cuadrado de la distancia de dicho punto al centro del elipsoide, con constantede proporcionalidadk.

Determinar los valores de k para los que el elipsoide flota en el agua.

1.18.SeaSuna superficie plana acotada y seaPun punto del espacio que no pertenezcaal plano que contiene a S. Se considera el cono Cformado por los segmentos de recta quecomienzan en Py cuyo punto final esta en S, con lo que la base del cono es S. Se pide:

S h

C


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1. Calcular el volumen de C en funcion del area de su base y su altura, es decir, ladistancia de Pal plano que contiene a S.

2. Calcular el centroide de Cas como su distancia al plano que contiene a S.

3. Como aplicacion, calcular el volumen y el centroide del cono de vertice (0, 0, 6) ybase 4x2 + (y 6)2 4, z= 0.

1.19. Sea Ael recinto del semiespacio z 0 que cumple z2 3x2 + 3y2 y que esta li-mitado por las superficies de ecuaciones z= 1 y x2 +y2 +z2 = 8.

Sea f : R3 R una funcion continua. Se desea calcular la integral

A

f(x,y,z)dxdydz

mediante un cambio a coordenadas esfericas:

x= r cos sen ; y = r sen sen ; z=r cos

Se pide calcular los lmites de integracion, es decir, las cantidades denotadas conenla siguiente expresion

A

f(x,y,z)dxdydz=

=

f(r cos sen , r sen sen , r cos ) r2 sen dr

d

d


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Soluciones

1.1. 1. (e

1)(e2

1), 2. 4/3, 3. 16

2/15.

1.2. 2e 7/2.1.3. 1. 2/3, 2. 1.

1.4. 1. /2, 2. 4/3.1.5. El valor de la integral es 1/12. Puede interpretarse como una masa porque la

funcion xy, al ser no negativa en la region D, puede tomarse como funcion densidad.

1.6.

1. Nos piden plantear el calculo de la integral fijando primero la x e integrando en y.Sea (x0, y0) el punto interseccion de la recta y = ax con la hiperbola xy = b y sea(x1, y1) el punto interseccion de la recta y=x con la hiperbola xy=b.

D

y = ax

(x0, y0)

(x1, y1)

y = x

xy = b

Entonces

I=

D

xy dxdy=

x00

axx

xydy

dx+

x1x0

bx

x

xydy

dx (1.1)

2. A la hora de buscar un cambio de variable conviene atender a la geometra delrecinto. Los puntos (x, y) deD pueden contemplarse como aquellos tales que xy by tambien como aquellos que estan comprendidos entre las rectas y =x e y = ax.Podemos entonces hacer el cambio:

u=y

x, 1 u a,

v=xy, 0 v bEl cambio de variable g(u, v) = (x, y) trasforma el rectangulo R = [1, a] [0, b] enD. El jacobiano de la transformacion inversa es

(u, v)

(x, y)= det

y/x2 1/xy x

= 2 y

x.


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Podemos concluir que

(x, y)(u, v)

= 12u

.

Por otro lado, la funcion f(x, y) =xy evaluada en el cambio es f g(u, v) =v portanto:

I=

D

xy dxdy=

R

v 1

2ududv.

3. Vamos a resolver la integral por los dos procedimientos, si bien parece m as sencillocalcularla utilizando el cambio de variable.

a) Mediante el cambio de variable:

I=

R

v1

2u dudv=

1

2

a1

du

u

b0

v dv=b2

4 log a.

b) Calcularemos la integral usando (1.1). Operando tenemos x0 =

b/a y x1 =

bcon lo que

I= D xy dxdy=

ba

0

x ax

x

ydy dx+

b

ba

x

bx

x

ydy

dx=

=1

2

ba

0

x

a2x2 x2 dx+12

b

ba

x

b2

x2 x2

dx=

=1

2

a2 1

ba

0

x3dx+1

2

b

ba

b2

xdx 1

2

b

ba

x3dx=

=1

2

a2 1 1

4a2b2 +

b2

2

log

b log

b/a

1

2

1

4a2b2

a2 1 =

=1

4b2 log a

1.7. El solido A es el interior de la circunferencia de centro (1/2, 0) y radio 1/2. Ladensidad esta dada por

(x, y) = 1 +x2 +y2

Entonces la masa del solido es

M=

A

1 +x2 +y2

dxdy

Haciendo un cambio a coordenadas polares se llega a que I=11

32.


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1.8.

1. I= 0 ; 2. I=a3

3 4

3 .

1.9. Si se hace el cambio de variables u= x2/y, v =y2/x el recinto de integracion setransforma en el rectangulo [0, 3] [1, 2]. Operando se obtiene que el area vale 1.

1.10. La masa de Aesta dada por

M(A) =

A(x, y)dxdy=

Aeb

2x2+a2y2dxdy

Se aprecia que no es posible encontrar una primitiva de la funci on subintegral que sepueda expresar en terminos de funciones elementales, por lo que sera preciso hacer uncambio de variable. El cambio natural conforme al recinto es un cambio a coordenadaselpticas,

x= a cos , y = b sen , (, ) R= [0, 1] [0, 2]

El rectangulo R se transforma en el interior geometrico de la elipse. El jacobiano de latransformacion es ab, por tanto la masa pedida es:

M(A) =

R

eb2a22 cos2 +a2b22 sen2 ab dd

=ab

R

eb2a22dd= 2ab

10

eb2a22d

= 2ab

1

2a2b2ea

2b2210

=

ab

ea

2b2 1

.

1.11. Proyectemos, por ejemplo, el recinto sobre el plano XY; obtenemos:

A= {(x,y,z), 2x2 +y2 2, x 0, y 0, 2x2 +y2 z 2}

A su vez, el conjunto

D= {(x, y), 2x2 +y2 2, x 0, y 0}

es proyectable sobre cualquiera de los dos ejes, lo proyectamos sobre OX y la integral


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queda:

A xdxdydz=

10

22x2

0 2

2x2+y2 xdz

dy

dx=

=

10

x

22x20

2 2x2 y2 dy

dx=

=

10

x

2 2x2

22x2

0

dy 22x20

y2dy

dx=

=

10

x

2 2x2 32 1

3

2 2x2 32 dx=

=23 10

x

2 2x2 32 dx= 23 14 (2 2x2

)

5

2

52

0

1

= 4152

Para finalizar,

A

x dxdydzse puede interpretar como la masa de un solido A en

el que la densidad volumetrica de masa es x (notese que la funcion x es no negativaen A, pues en caso contrario no se podra interpretar como una masa). Otra forma deinterpretar la integral anterior es la siguiente: sabemos que la coordenada x del centroidede Aesta dada por

xG= 1

V(A) A x dxdydzPor ello tenemos que la integral dada es el producto de la coordenada x del centroide Apor el volumen de A.

1.12.

1. La proyeccion del cubo Q sobre el plano XY es el rectangulo D = [0, 1] [0, 1],entonces:

Q

|x y| dxdydz=

D

|x y| 1

0

dz

dxdy=

D

|x y| dxdy

Para hacer la integral sobreD notemos que la funcionf(x, y) = |xy| es simetrica,si denotamos por T la parte de D bajo la bisectriz,

D

|x y| dxdy= 2

T

(x y) dxdy = 2 10

x0

(x y) dy

dx=1

3.

2. Debido a las simetras del cubo es facil ver queQ

|x y| dxdydz=

Q

|y z|dxdydz=

Q

|z x| dxdydz


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por tanto:

Q

(|x

y|

+|y

z|

+|z

x|) dxdydz= 1.

1.13.La funcion subintegral sugiere un cambio a cilndricas, intentemos resolver el problema

as; si surgiese alguna dificultad imprevista, sera el momento de intentar otro metodo,por ejemplo un cambio a esfericas, ligado a la geometra del recinto de integracion.

Tomemos entonces coordenadas cilndricas:

x= cos , y= sen , z=

cuyo jacobiano es J=. El recinto antitransformado de la semiesfera D es:

S= {(,,), 2 +2 R2, 0, 0, [0, 2]}

y la funcion subintegral en cilndricas es cos(2). Entonces:

I =

S

cos(2) ddd= 2

R0

R220

cos(2) d

d

=

R0

sen(2)

R220

d=

R0

sen(R2 2)d

= 2 cos(R2 2)R0 = 2 1 cos R2

1.14. El recinto de integracion S es simetrico respecto del plano XY, integremosen el primer octante (S ={(x,y,z) S, x 0, y 0, z 0}); el volumen pedidoV(S) es 2V(S). La proyeccion deS sobre el plano X Y es simetrica respecto de la rectax= y, integrese unicamente ba jo la bisectriz del primer cuadrante. Utilcense coordenadaspolares. El resultado final es V(S) = 8/3 402/9.

1.15. El volumen del casquete puede calcularse, por ejemplo, como revolucion del arco

z

R2

z2 en el intervalo [R

h, R]. Resultado:

h2

3 (3R

h).

1.16.

1. El area del recinto es ab

4 y el centroide

4

3(a, b).

2. Supongamos el semicrculo descrito por x2+y2 r2, y 0. El centroide es 4r3

(0, 1).

3. Sea x2 +y2 +z2 R2, z 0 la semiesfera, entonces el centroide es 3R8

(0, 0, 1).


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4. Expresese el paraboloide en coordenadas cilndricas. Dada la simetra respecto aleje OZ, el centroide estara situado en ese eje. c= (0, 0, 8/3).

1.17. Supongamos el centro del elipsoide en el origen de coordenadas; la funcion dedensidad es (x,y,z) =k(x2 +y2 +z2) y la masa:

M= 8k

E+

(x2 +y2 +z2) dxdydz,

siendo E+ la parte de elipsoide situada en el primer octante. Para hacer la integral de x2

se proyecta sobre XY: D= {x2/a2 +y2/b2 1}, y el recinto puede expresarse como

E+ = (x,y,z), (x, y) D, 0 z c 1 x2

a2

y2

b2

Cambiando a coordenadas elpticas se obtiene

I1=

E+

x2 dxdydz=a3bc

30 .

Teniendo en cuenta las simetras del elipsoide y cambiando los papeles de a,b,c las dosintegrales restantes son

I2

= E+

y2 dxdydz=ab3c

30 , I

3=

E+z2 dxdydz=

abc3

30 .

La masa total es entonces M= 4

15abc(a2 + b2 + c2)k y el volumen V =

4

3abc, podemos

expresar la masa en funcion del volumen M = 1

5(a2 +b2 +c2)kV. Suponiendo unidades

coherentes, que el elipsoide flote quiere decir que su densidad es inferior a la del agua,

esto es M < V, es decir k < 5

a2 +b2 +c2.

1.18. No se pierde generalidad suponiendo que Sesta en el plano XY, es decir, podemos

expresarlo como S= {(u,v, 0), (u, v) D}, con DR

2

, compacto. Sea P = (a,b,c). Elsegmento que une el punto P con uno generico de S es

x= a +(u a)y = b+(v b) [0, 1]z=c c

As pues, una descripcion del cono viene dada por:

C= {(x,y,z) R3 / x = a +(ua), y= b +(vb), z=c(1), [0, 1], (u, v) D}.


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Equivalentemente, la aplicacion (,u,v) (x,y,z) transforma [0, 1] D en el cono C.El jacobiano de esta transformacion es

(x,y,z)

(,u,v)= det

u a v b c

0 00 0

= c2.

1. El volumen del cono es:

V(C) =

C

dx dy dz=

[0,1]D

(x,y,z)(,u,v) d du dv

= |c| 1

0

2d D du dv=|c|

3A(D).

El volumen del cono es un tercio del area de la base por la altura.

2. El centroide viene definido por

cg(C) = 1

V(C)

C

x dxdydz,

C

y dxdydz,

C

z dxdydz

operando con el mismo cambio de variable anterior, se llega a

cg(C) =1

4

P+3

4

cg(S)

Ademas, como hemos supuesto queSesta en el planoXY, su centroide es (cg(D), 0).Por ultimo, la distancia del centroide cg(C) al plano que contiene a S (que es elplano XY) es el valor absoluto de la tercera componente del centroide,|(cg)3|.

|(cg)3| =14|c|.

3. La altura del cono es 6, el area de la base es 2(recordemos que el area encerrada poruna elipse es por las longitudes de los semiejes), luego el volumen esV(C) = 4. Elcentroide de la elipse y del recinto encerrado por ella coincide con su centro (0, 6, 0)

por lo que el centroide del cono es cg(C) =12

(0, 9, 3).

1.19. A

f(x,y,z)dxdydz=

=

20

6

0

221

cos

f(r cos sen , r sen sen , r cos ) r2 sen dr

d

d


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Curvas en Rn e integrales curvilneas. Teorema de Green

2.1.Se consideran las siguientes curvas en R3, dadas a traves de sus ecuaciones implci-

tas:

1. 1 = {(x,y,z) R3 / x2 +y2 +z2 = 1, x z= 0}2. 2 = {(x,y,z) R3 / x2 +y2 +z2 = 9, (x 1)2 +y2 +z2 = 6}3. 3 = {(x,y,z) R3 / x2 +y2 = 1, x+y+z= 1}4. 4 = {(x,y,z) R3 / x2 +y2 =z2, x2 +y2 +z2 = 1, z 0}5. 5 = {(x,y,z) R3 / x2 +y2 +z2 = 4, (x 1)2 +y2 = 1}

Calcular las longitudes de las que sean circunferencias y parametrizar las restantes; decidirasimismo cuales de ellas son planas.

2.2. Se pide calcular la longitud del arco de curva

x(t) =

t1

cos u

u2 du , y(t) =

t1

sen u

u2 du

desde el punto (0, 0) hasta el punto mas proximo que tenga tangente vertical.

2.3. Sea la curva definida por las ecuaciones cartesianas

2x y= 0, z x3/2 = 0 (x,y,z 0)Hallar la longitud del arco de determinado por los puntos (0 , 0, 0) y (1, 2, 1).

2.4.En este ejercicio se trata de obtener algunos resultados relacionados con laastroide,que es la curva plana definida por:

A= {(x, y) R2 / x2/3 + y2/3 = a2/3}, (a >0).Denotaremos A+ el arco de curva situado en el primer cuadrante.

1. Sea (x, y) A+. Expresar y= f(x), dibujar la grafica de fy calcular a0

f.

2. Calcular el area del dominio D limitado por el arco A+ y los ejes coordenados.Deducir el area encerrada por la astroide A.

3. Hallar el centroide (xD, yD) del dominio D. Obviamente, por simetra, se verificaxD =yD.

Indicacion:Tanto para el area como para el centroide es conveniente utilizar la funcion beta.


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Tema 2 13

4. Parametrizar el arcoA+ como(t) = (t, f(t)). Utilizar de ser posible esta parame-trizacion para calcular la longitud de A+. Surge algun inconveniente? Insuperable?

5. Si el inconveniente no ha sido insuperable, deducir la longitud A, replicando A+sobre los cuadrantes restantes. Si el inconveniente ha sido insuperable, pasar alsiguiente problema.

2.5. Sea a >0 constante, hallar la longitud del arco de ecuaciones parametricasx= a cos3 t

y = a sen3 t ; t

0,

2

.

Determinar asimismo el area delimitada por y los ejes coordenados.

2.6. Dado a >0, sea la curva llamada cardioide, de ecuacion polar = a(1 + cos ).Sea D el dominio limitado por . Se pide:

1. Hallar la longitud de .

2. Hallar el area y el centroide de D.

2.7.Determnese la masa de un alambre que es la interseccion de la esferax2+y2+z2 = 1con el plano x+y + z= 0, sabiendo que la densidad en cada punto es proporcional alcuadrado de la distancia al plano Y Z.

2.8. Se considera una curva en coordenadas polares = h(), [1, 2]. Entonces:

1. Una parametrizacion de la curva es

a) x() =h()cos , y() =h()sen , [1, 2]b) () = (, h()), [1, 2]c) x() =h()sen , y() =h()cos , [1, 2]

2. La longitud L de la curva es

a) L=

ds

b) L=

d

c) L=

21

h()2 +h()2 d

d) L=

21

|h()| d


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e) L=

h()2 +h()2 d

3. Sea L la longitud de la curva y (x0, y0) las coordenadas cartesianas de su centroide.Decidir cuales de las formulas siguientes son validas:

a) x0 = 1

L

x ds , y0 = 1

L

y ds

b) x0 = 1

L

21

x dx , y0 = 1

L

21

y dy

c) x0 = 1

L

21

x d , y0= 1

L

21

y d

d) x0 = 1

L

2

1

h()cos d , y0= 1

L

2

1

h()sen d

4. Sea fun campo escalar definido sobre . Decidir cuales de las formulas siguientes

son validas para calcular la integral curvilnea I=

f ds

a) I=

f(x(), y())

h()2 +h()2 d

b) I=

21

f(, h())

h()2 +h()2 d

c) I= 2

1f(x(), y())

h()2 +h()2 d

d) I=

21

f(x(), y())h() d

Nota:algunas de la expresiones pueden no tener sentido.

2.9.Determnese una funcion continuah con h(0) = 0 que haga conservativo el campovectorial

F(x, y) = (2x2 + 4xh(y), 2x2 y2)En ese caso, hallese la circulacion deFsobre una curva arbitraria que una el punto (0, 0)

con el (1, 2).2.10. Sea F(x,y,z) = (f1(x), f2(y), f3(z)) un campo vectorial continuo; probar que es

conservativo.

2.11. Calcular

y3dx+x3dy z3dzdonde es la interseccion del cilindro x2 +y2 = 1 con el plano x+y + z= 1 recorridade forma que la proyeccion de sobre el plano XY se recorre en sentido contrario a lasagujas del reloj.


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Tema 2 15

2.12. Dados tres vectores a, b y c de R3, se consideran el campo vectorial definidomediante

F(r) =a

r , r

R

3

y la curva cerrada : [0, 2] R3 dada por() =b cos + c sen

Calculese la circulacion del campoF sobrey deduzcase la condicion que han de cumplirlos vectoresa,b,c para que esa circulacion se anule. Es el campo Fconservativo en R3?

2.13. Decidir sobre la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones, intentandojustificar las consideradas ciertas y dando un contraejemplo de las falsas. En lo sucesivo,D es un conjunto abierto conexo de R2, es una curva de clase 1 a trozos contenida en

D, F = (P, Q) :D R2

es de clase 1.1. Si Fes ortogonal a en todos sus puntos entonces

F ds= 0.

2. Si

F ds= 0, entonces Fes identicamente nulo sobre .

3. Si es una curva cerrada y

F ds= 0, entonces Fes conservativo en D.4. Si Fadmite un potencial escalar en D entonces Fes conservativo en D.

5. Si F es conservativo enD entonces Fadmite un potencial escalar en D.

6. Si Ges un campo continuo en D que coincide con F sobre entonces

F ds=

G ds.

7. Si Ges un campo continuo en D y

F ds=

G ds, entonces Gcoincide conF sobre .

2.14. Calculese la integral curvilnea

(xy+x+y) dx+ (xy+x

y) dy

siendo la circunferencia x2 +y2 =ax con orientacion positiva.

2.15. SeaD el recinto del plano acotado por las curvas de ecuaciones x = y2 y 2x1 =|y|. Sea su curva frontera recorrida positivamente.

1. Calcular el area de D .

2. Calcular

(x+y2) dx+x2y dy.


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2.16. Calcular el trabajo del campo

F(x, y) = 2xy2 +yey, 2yx2 +x(y+ 1)ey + 1cuando una partcula se mueve recorriendo la curva de ecuacion

x2 +y2

2+ 2(x+y)2 =

5

4, x 0, y 0

desde el punto ( 12

, 0) hasta el punto (0, 12

).

2.17. Sea

F(x, y) =

y3

(x2 +y2)2,

xy2(x2 +y2)2

.

Estudiar si F es conservativo en su dominio de definicion y calcular

F ds, con recorrida una vez en sentido positivo en los casos:

1. x2

4 +

y2

3 = 1

2. (x 3)2

2 +

(y 4)24

= 1.

3. es una curva de Jordan de clase C1 a trozos que no pasa por el origen. Que sucedeen el caso de que la curva pase por el origen?

2.18. Sea F = (P, Q) un campo de clase 1 en R2 \ {(0, 0), (3, 0)} y que verificaQ

x =

P

y

en su dominio de definicion. Se consideran las siguientes curvas, orientadas de formapositiva

1:x2 +y2 = 1 ; 2 : (x 3)2 +y2 = 1 ;

3: (x+ 3)2 +y2 = 1 ; 4:

4x2

9

+y2 = 1 ;

5:(x 2)2

16 +

y2

4 = 1 .

Se sabe, ademas, que 1

F ds= 4,5

F ds= 1.

1. Estudiar si existen abiertos de R2 en los cuales el campoFes conservativo. En casoafirmativo mostrar algun ejemplo.


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Tema 2 17

2. Calcular

2

F ds,3

F ds e4

F ds.

2.19. El campo F = (P, Q) es de clase 1 en el conjunto = R2 \ . Estudiar si severifican las hipotesis para poder afirmar que

P dx+Qdy =

int()

Q

x P

y

dxdy

en las siguientes situaciones:

1. y estan dados en la figura 1.

2. y estan dados en la figura 2.

Figura 1

Figura 2

2.20. Estudiar si se verifican las hipotesis para afirmar que

P dx+Qdy =

Q

x P

y

dxdy

donde es la frontera de orientada de manera adecuada, en las siguientes situaciones:

1. P(x, y) = 1

x, Q(x, y) =x+y, 4x2 +y2 = 8x.

2. P(x, y) =x2 + 2y

x2 +y2, Q(x, y) =

x+y

x2 +y2, = {(x, y) R2, x2 + 2y2 10}.

3. El campo (P(x, y), Q(x, y)) = 14 x2 2y2 (x, y),y los recintos:

a) = {(x, y) R2, x2 +y2 1}.b) = {(x, y) R2, 10 x2 +y2 1}.c) = {(x, y) R2, (x 3)2 + (y 4)2 1}.


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Soluciones

2.1.

1. La curva es una circunferencia maxima, por tanto su longitud es 2.

2. La curva es la interseccion de dos superficies esfericas; puede reescribirse como

2= {(x,y,z) R3 / y2 +z2 = 5, x= 2},representa una circunferencia en el plano de ecuacion x = 2 y su longitud es 2

5.

3. 3 es una elipse; sabemos que su longitud no puede calcularse explcitamente. Unaparametrizacion es () = (cos , sen , 1 cos sen ), 0 2.

4. La curva es la interseccion de una superficie esferica con un cono cuyo vertice esta en

el centro de la esfera; puede reescribirse como

4= {(x,y,z) R3 / x2 +y2 = 1/2, z= 1/

2}y su longitud es 2/

2.

5. La curva esta formada por dos arcos cerrados, uno (+5) en el semiespacio z 0 yel otro (5) en z 0 que tienen un punto de contacto en (2, 0, 0). Estudiemos +5.La curva puede expresarse como

+5 = {(x,y,z) R3 / x2 +y2 = 2x, z=

4 x2 y2}

Una parametrizacion posible consiste en tomar x 1 = cos t, y = sen t, z =2(1 cos t), t [0, 2], o bien, haciendo t= 2,

() = 2(cos2 , sen cos , sen ), [0, ]El vector tangente viene dado por () = 2( sen2, cos2, cos ). Los vectores(0), (), (/4) son linealmente independientes, luego la curva no es plana. Nopodemos calcular la longitud ya que() = 1 + cos2 que da lugar a unaintegral elptica.

Por ultimo, la misma funcion variando en [, 2] parametriza 5.

2.2. El vector tangente a la curva en cada punto es

(x(t), y(t)) =

cos t

t2 ,

sen t

t2

que sera vertical si y solo si x(t) = 0, y(t) = 0, lo que equivale a cos t= 0, es decir, t esmultiplo impar de /2. Por tanto, el arco que se considera se describe cuandot [1, /2],y su longitud es

L=

/21

x(t)2 +y(t)2 dt=

/21

1

t2dt =

1

t

/21

= 1 2

= 2

.


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2.3. Las variables y y z pueden despejarse explcitamente en funcion de x as quetomamos esta como parametro y la curva se expresa: (t) = (t, 2t, t3/2) cont [0, 1]. Losvalores (0) = (0, 0, 0) y (1) = (1, 2, 1) corresponden, efectivamente, con los extremos

del arco. La longitud pedida es:

L=

10

(t) dt= 10

5 +

9

4t dt=

4

9

2

3

5 +

9

4t

3/2t=1

t=0

=29

29 405

27 .

2.4.

1. En el primer cuadrante puede despejarse y en funcion de x, la funcion f es f(x) =(a2/3 x2/3)3/2. Comofes no negativa, la integral nos proporciona el area encerradapor la curva en el primer cuadrante:

x

y

(a,0)

(0, a)

Figura 2.1: Grafica de f

a0

(a2/3 x2/3)3/2dx ()= 3a2 /20

cos4 t sen2 t dt=3a2

2

5

2,3

2

=

3a2

32 .

La igualdad () se consigue mediante el cambio de variable (x/a)1/3 = sen t.

2. El area deD se ha calculado en el primer apartado, A(D) =

a0

f; el area encerrada

por la astroide es 4A(D) = 3a2/8.

3. Si expresamos el dominio D como proyectable sobre el eje OX, tenemos:

D= {(x, y) R2 / 0 x a, 0 y f(x)}y la primera componente del centroide pedido sera:

xD = 1

A(D)

a0

f(x)0

xdy

dx=

1

A(D)

a0

xf(x)dx ()

= 256a

315.

Para llegar al resultado () se hace el mismo cambio de variable que en el apartadoanterior.


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4. Mediante la parametrizacion propuesta se obtiene(t) = (a/t)1/3. La longitudentonces es:

L(A+) =a1/3 a0

dt3t .

Pero resulta que el integrando no esta definido parat = 0 y ademas no esta acotadoen un entorno de 0, por lo que la integral esimpropia. El inconveniente es superableporque la integral es convergente,

L(A+) =a1/3 a0

dt3

t= a1/3

3

2 t2/3

t=a

t0+=

3

2a.

5. L(A) = 4L(A+) = 6a.

2.5. Observese que si eliminamos t de las ecuaciones parametricas se obtiene x2/3 +y2/3 = a2/3 en el primer cuadrante (ya que 0 t /2), por tanto =A+ del ejercicio2.4. Puede calcularse la longitud utilizando esta parametrizacion, logicamente se llega almismo resultado que en el ejercicio anterior, L() = 3a/2.

El area se ha calculado tambien en el ejercicio anterior; alternativamente, puede uti-lizarse la formula de Green:

A(D) =1

2

D

ydx+xdy

con D = Sh Sv, siendo Sh, Sv los segmentos horizontal y vertical que estan sobrelos ejes coordenados y la curva orientada positivamente. La integral sobre los segmentoses nula, por tanto

A(D) =1

2

ydx+xdy = =3a2

2

/20

cos2 t sen2 t dt=3a2

4

3

2,3

2

=

3a2

32.

2.6. En general, la ecuacion polar de una curva nos da el valor del radio en funci ondel angulo polar (suele expresarse = ()); para obtener una parametrizacion bastacon tomar como parametro, estudiar su rango de variacion ( [1, 2]) a partir de laecuacion polar y expresar() = (()cos , ()sen ). De esta forma, un sencillo calculo

prueba que

() =

()2 +()2

y, por consiguiente, la longitud de una curva expresada en coordenadas polares es1

L=

21

()2 +()2d.

1La obtencion de esta formula puede verse en el minivdeo Longitud de una curva en polares, enhttp://minivideos.etsii.upm.es


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1. Derivando en () =a(1 + cos ), se obtiene () = a sen ,por tanto:

()2 +()2 =a2(1 + cos )2 +a2 sen2 = 2a2(1 + cos ) = 4a2 cos2

2 ,

Sea cual sea el valor de es a(1+cos ) 0 luego vara en un intervalo de longitud2 y la longitud pedida es

L() =

20

2a

cos2 d= 4a

0

cos

2d = 8a

sen

2

0

= 8a .

2. Para calcular el area de D hacemos un cambio a coordenadas polares, el recintoantitransformado de D es

D = {(, ) / 0 2, 0 a(1 + cos )},por tanto:

A(D) =

D

dxdy=

D

dd=

20

d

a(1+cos )0

d

=a2

2

20

(1 + cos )2 d=a2

2

20

(1 + 2 cos + cos2 ) d=3a2

2 .

Calculemos la primera coordenada xD del centroide de D utilizando coordenadas

polares:

A(D)xD =

D

x dxdy=

D

2 cos dd=

20

cos

a(1+cos )0

2 d

d

=a3

3

20

cos (1 + cos )3 d =a3

3

20

cos (1 + 3 cos + 3 cos2 + cos3 ) d

=a3

3

20

(cos + 3 cos2 + 3 cos3 + cos4 ) d=a3

3

20

(3cos2 + cos4 ) d

=4a3

3

/2

0

(3cos2 + cos4 ) d=2a3

331

2

, 3

2 +1

2

, 5

2 =5a

3

4

.

Dividiendo por el area de D se obtiene

xD=5a

6 .

La paridad de la funcion coseno y la imparidad del seno se traducen en simetra deD respecto del eje OXpor lo que yD = 0.

2.7. M() = 2k/3.


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2.8.

1. La unica respuesta correcta es a).

2. Las respuestas correctas son a) yc).

3. La unica respuesta correcta es a).

4. La unica respuesta correcta es c).

2.9. Puede calcularse h sin necesidad de exigir a F que sea C1, basta para ello cal-cular un candidato a potencial integrando la segunda componente de F respecto de y yobligando a que la parcial respecto de x coincida con la primera componente, se obtieneh(y) =y. Un potencial es:

f(x, y) =2x3

3 + 2x2y y

3

3

y la circulacion esf(1, 2) f(0, 0) = 2.2.10. Un potencial escalar de Fes el campo escalar g(x,y,z) =g1(x) +g2(y) + g3(z)

con g1, g2, g3 primitivas respectivamente de f1, f2, f3.

2.11. Descomponer el campo F(x,y,z) = (y3, x3, 0) + (0, 0, z3) := G(x,y,z) +H(x,y,z). Es facil ver que H = grad h, h(x,y,z) =z4/4 (vease problema anterior),por lo que F ds= G ds= y

3dx + x3dy donde x2 + y2 = 1 en el plano X Yrecorrida en sentido positivo. Esta circulacion, ya en el plano, podemos hacerla aplicandoel teorema de Green primero y luego haciendo un cambio a coordenadas polares:

y3dx+x3dy=

x2+y213(x2 +y2) dxdy= 6

10

3 d=3

2 .

2.12. La circulacion es 2 (a b c), que se anula si, y solo si, los tres vectores soncoplanarios. El campo no es conservativo, ya que la circulacion en algunas curvas cerradasno es nula.

2.13. Las afirmaciones 1, 4, 5 y 6 son ciertas; 2, 3 y 7 son falsas.

2.14. Hagase aplicando el teorema de Green; el resultado es (c2 c1)Adonde (c1, c2) =(a/2, 0) es el centroide del disco y A = a2/4 su area, as pues la integral pedida valeI= a3/8.2.15. El recinto D esta situado en el semiplano x 0 y es simetrico respecto de

del eje OX. llamemos D+ a la parte situada en el primer cuadrante. Su frontera esD+ = S1 S2 donde es el arco de la parabola y2 =x comprendido entre (1, 1) y(0, 0), S1 = [(0, 0), (1/2, 0)] y S2 es el segmento de la recta y = 2x 1 que une (1/2, 0)con (1, 1). (Hagase un dibujo).


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1. Debido a la simetra, el area deD es A(D) = 2A(D+), que puede obtenerse restandoal area encerrada por la grafica de y=

x, 0 x 1 el area del triangulo de vertices

(1/2, 0), (1, 0) y (1, 1), cuya altura es 1 y su base 1/2; por tanto:

A(D) = 2A(D+) = 2

10

x dx 21

4=

4

31

2=

5

6.

2. La frontera de D debe parametrizarse en tres tramos; el procedimiento no es com-plicado pero s tedioso. Veamos si la aplicacion del teorema de Green simplifica loscalculos; se trata de calcular la circulacion del campo F(x, y) = (x+y2, x2y) a lolargo de la curva , conforme al teorema de Green:

F

ds=

D

(x2y)

x

(x+y2)

y dxdy= 2 D

y(x

1)dxdy= 0.

La integral doble es nula ya que D es simetrico respecto del eje OX y la funcionintegrando es impar en y.

2.16. El campo es conservativo, es facil obtener un potencial escalar, por ejemplof(x, y) =x2y2 + xyey + y. El resultado esT =f(0, 1/

2) f(1/2, 0) = 1/2. Tambien

puede resolverse uniendo los extremos de la curva por un segmento o una lnea poligonalcon dos tramos sobre los ejes.

2.17. El campo Fes conservativo en conjuntos simplemente conexos de su dominio dedefinicion R2

\ {(0, 0)

}, pero no es conservativo en todo su dominio.

1. La elipse contiene en su interior geometrico el origen y la integral vale lo mismoque si integramos sobre cualquier curva de Jordan que contenga al origen en suinterior geometrico y se recorra en sentido positivo; escogemos para simplificar eldenominador la circunferencia x2 +y2 = 1, parametrizada por (cos t, sen t), t[0, 2]. Entonces

y3x xy2y = sen3 t( sen t) cos t sen2 t cos t= sen2 t,

x2+y2=1 F ds= 2

0

sen2 t dt= .

2. La elipse del segundo apartado no contiene el origen por lo que la integral es nula.

3. En general, si es de Jordan, no pasa por el origen y su interior geometrico nocontiene el origen, la integral es nula. Si lo contiene valdra segun este orientadapositiva o negativamente. Por ultimo, si la curva pasa por el origen no tiene sentidoplantearse la integral ya que no se cumple el requisito de que el campo este definidosobre todos y cada uno de los puntos de la curva.

2.18.


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1. La relacionQ/x= P/ynos indica que el campo Fes conservativo en dominiossimplemente conexos de su dominio de definicion. El hecho de que las circulacionesa lo largo de 1y 5sean no nulas, siendo dichas curvas cerradas, nos muestra que el

campo no es conservativo en todo su dominio de definici on. Se pueden mostrar unainfinidad de abiertos de R2 en los cuales el campo Fsea conservativo, por ejemplo,el semiplano y >1; o el semiplano x


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Tema 3 25

Teora de campos en R3

3.1.Calcular el campo escalarude claseC1(R3) para que el campo vectorial F definido

por:

F(x,y,z) = (xy2z2 2xy, u(x,y,z), x2y2z+ 1), F(0, y , z ) = (0, y, 1),sea conservativo en R3.

3.2.Sea a = (a1, a2, a3) un vector no nulo, y seak >0. Considerese el campo vectorial

F(x,y,z) = (a1x, a2y, a3z)

(24x2 + 4y2 + 2z2)k.

Determnense razonadamente todos los valores posibles del vectora

y de la constante kpara los que el campo Fes irrotacional, indicando el mayor dominio posible en el queposee esta propiedad.

3.3.Se considera un campo vectorial F =Pi + Qj + Rkde claseC1(R3). Se construyea partir de el un campo escalar Vde la manera siguiente:

V(x,y,z) =

P dx+Qdy+Rdz

donde es la poligonal determinada por los puntos (0, 0, 0), (x, 0, 0), (x,y, 0) y (x,y,z).

1. Expresese Vcomo una suma de integrales definidas simples.

2. Enunciese y demuestrese una condicion necesaria y suficiente que debe cumplir Fpara que grad V = F.

3. Determnense los valores de p, qyr para que el campo Fde componentes:

P(x,y,z) = 2xy x2 +z2 + 1pQ(x,y,z) =

x2 +z2 + 1

qR(x,y,z) = 2yzx

2 +z2 + 1r

cumpla la condicion anterior y construyaseV en este caso.

3.4. Compruebese cada una de las siguientes igualdades:

1. div(fV) = (grad f) V+fdiv V,2. rot(fV) = grad f V +f rot V,3. div(V W) = W rot V V rot W,4. div (grad f) = f,


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5. rot(grad f) = 0,

6. div (rot V) = 0.

3.5.Calculese el valor del parametro para que el campo F(r)= r rsea solenoidalen = {r R3,1 r 2}.3.6. Fijado un vector a R3, calculense los valores de p R para los cuales el

campo vectorial F(r) = (a r)p r es solenoidal en un cierto subconjunto de R3 que seespecificara.

3.7. Sean f : R R una funcion de clase C1 y V el campo vectorial definido porV(x,y,z) = yz i + xz j + y f(x) k.

Determinar las funciones fpara las cuales el campo V es solenoidal. En tal caso, hallartodos los potenciales vectores de Vque sean de la forma L(x,y,z) i + M(y, z) j.

3.8. Se consideran los siguientes campos vectoriales, definidos en R3 \ {0}:

F(x,y,z) = 1

x2 +y2 +z2(0, z, y) G (r) =(a r)r2 r

siendo a un vector fijo del espacio. Determinar el vector a para el cual G es potencialvector de Fen un dominio de R3 que se especificara.

3.9. Campos centrales.Sea dice que un campo definido en un subconjunto deR

n

\{0}es central cuando en cada punto el campo lleva la direcci on del radio vector en ese puntoy cuando el modulo del campo en cada punto solo depende de la distancia a un puntodenominado centro y que nosotros supondremos que es el origen. Por tanto, un campocentral tiene la expresion

F(r) =g(r)rdonde g : (0, ) R y supondremos que g es una funcion de clase 1 en (0, ). En talcaso el campo esta Fdefinido en Rn \ {0}, y es de clase 1 en dicho dominio.

1. En el caso n= 3.

1.1. Demostrar que todo campo central es conservativo, y determinar la expresionde un potencial escalar del mismo (Sugerencia: ensayar como potencial uncampo que solo dependa de la distancia al origen).

1.2. Como ejemplo, calcular un potencial escalar del campo F(r) = exp(r2)r.1.3. Determinar todos los campos centrales que son solenoidales y, para cada uno

de ellos, calcular un potencial escalar.

2. Idem de (1) pero para el caso n= 2.


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Soluciones

3.1.Como Fes de clase C1 en R3, y R3 es simplemente conexo, entoncesFes conser-

vativo si y solo si el rotacional de Fes nulo en R3. Por tanto, imponemos que rotF =0.Dado que

rot F(x,y,z) =

2x2yzu

z, 0,

u

x 2xyz2 + 2x

entonces udebe satisfacer las condiciones

u

z = 2x2yz,

u

x= 2xyz2 2x, u (0, y , z ) =y.

Si se integra la primera ecuacion en derivadas parciales en la variable zse obtiene facil-mente que

u (x,y,z) =x2yz2 +h (x, y)

al imponer que se cumpla la segunda ecuacion:

h

x(x, y) = 2x h (x, y) = x2 +g (y)

y sustituyendo,

u (x,y,z) =x2yz2 x2 +g (y) .Falta imponer la condicion inicial u (0, y , z ) = y que procede de F(0, y , z ) = (0, y, 1) :as puesu (0, y , z ) =y = g (y) luego

u (x,y,z) =x2yz2 x2 +y.3.2. Para determinar los valores de a y k que se piden, calculamos el rotacional del

campo:

rot F(x,y,z) = 4k

(24x2 + 4y2 + 2z2)k+1((a2 2a3)yz , (a1 12a3)xz ,(2a1 12a2)xy)

expresion que es valida en todo R3 salvo el origen puesto que k >0.

Para que el campo tenga rotacional nulo (sea irrotacional) sus tres componentes de-ben anularse. Teniendo en cuenta que k no puede ser cero, esto da lugar al sistema deecuaciones:

a2 = 2a3, a1 = 12a3 , a1 = 6a2

de donde (a1, a2, a3) =(12, 2, 1), con arbitrario.As pues, el campo Fdado es irrotacional para todo valor de k >0 y para

a= (12, 2, 1) con R ,y posee esta propiedad en R3\{(0, 0, 0)}.


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3.3.

1. Parametrizamos el primer segmento de la poligonal como (t, 0, 0) , t

[0, x]; el

segundo como (x,t, 0) , t [0, y]; y el tercero como (x,y,t) , t [0, z].La circulaciondel campo F = (P,Q,R) sobre la poligonal determinada por estos 3 segmentos esla suma de las 3 circulaciones, y resulta facilmente la expresion

V(x,y,z) =

x0

P(t, 0, 0) dt+

y0

Q (x,t, 0) dt+

z0

R (x,y,t) dt.

2. Dado que el campo esta definido en R3, simplemente conexo, se tiene que F =V rot F =0.

3. Este campo esta definido en R3,simplemente conexo; por tanto, basta imponer querotF =0. Calculando el rotacional de F, se obtiene que necesariamente

p= r = 2, q= 1

para que el campo sea irrotacional en R3 (por tanto, conservativo). Ahora bien,siguiendo el procedimiento descrito en el apartado 1), un potencial escalar suyo Vpuede obtenerse como

V(x,y,z) =

x0

P(t, 0, 0) dt+

y0

Q (x,t, 0) dt+

z0

R (x,y,t) dt=

= y0

x2 + 1

1 dt+ z0

2yt x2 +t2 + 12 dt=

y

x2 + 1+

y

x2 +t2 + 1

t=z

t=0

= y

x2 +z2 + 1

De esta forma hemos obtenido un potencial escalar de F,

V(x,y,z) = y

x2 +z2 + 1.

Observese que, al ser F conservativo, tambien podamos haber obtenido V calcu-lando la circulacion de Fpor otra poligonal con los mismos extremos inicial y final.Por ejemplo, la determinada por los puntos (0, 0, 0), (x, 0, 0), (x, 0, z) y (x,y,z),demodo que las cuentas son aun mas rapidas puesto quePyR se anulan en los puntoscon y = 0:

V(x,y,z) =

y0

1

x2 +z2 + 1dt=

y

x2 +z2 + 1

que es el mismo potencial escalar V.


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3.4. Demostramos algunos apartados: Sean V = (V1, V2, V3), W = (W1, W2, W3) doscampos vectoriales,fun campo escalar, entonces:

1.

div(fV) = div(f V1, f V2, f V3) =(f V1)

x +

(f V2)

y +

(f V3)

z

= f

V1x

+ V2

y +

V3z

+

f

xV1+

f

yV2+

f

zV3=fdiv V + f V

2.

rot(fV) =

i j k

x

y

zf V1 f V2 f V3

=

(f V3)

y (f V2)

z ,

(f V1)

z (f V3)

x ,

(f V2)

x (f V2)

y

= f

V3y

V2z

, V1

zV3

x,

V2x

V1y

+

+

f

yV3 f

zV2,

f

zV1 f

xV3,

f

xV2 f

yV1

= f rot V + (f) V

3.

div(V W) = (V2 W3 V3 W2)x

+(V3 W1 V1 W3)

y +

(V1 W2 V2 W1)z

=

V3y

V2z

W1+

V1z

V3x

W2+

V2x

V1y

W3+

+

W2

z W3

y

V1+

W3x

W1z

V2+

W1

y W2

x

V3

= W

rot V

V

rot W.

3.5. Calculemos su divergencia e impongamos que sea 0 (usando la propiedad enume-rada en el ejercicio anterior)):

divF(r) = div(rr) = grad(r) r+ rdiv r= r1 rr r+ 3r =

= (+ 3) r = 0 para todor = 3.

3.6. Si a es nulo, para p > 0 el campo es identicamente nulo en R3, y por tantosolenoidal en dicho conjunto; por otro lado, no estara definido en ningun punto si p


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Sea entonces a R3 no nulo. Si p 0, el campo F esta definido y es de claseinfinito en R3 y si p < 0, F solo esta definido, y es de clase infinito, en el conjunto = R3

\ {r R3 :a

r= 0

}, es decir, en todo R3 salvo en el plano perpendicular a a y

que pasa por el origen. Entonces, en los puntos en los que F es de clase C1, se tiene que:

divF(r) = div((a r)pr) = grad((a r)p) r+ (a r)pdiv r == p(a r)p1(a r) + 3(a r)p = (p+ 3) (a r)p

donde se ha utilizado la propiedad 1. del ejercicio 3.4,y el hecho de que grad(a r) = a.Por tanto, se deduce que para p= 3, Fes solenoidal en el abierto .

3.7. Como el campo es regular en todo el dominio estrellado R3, sera solenoidal si ysolo si su divergencia es nula. Pero

div(V) =(yz)

x +

(xz)

y +

(yf(x))

z = 0,

luego el campo es solenoidal para toda funcionf C1 (R).Ello implica que Vadmite un potencial vector F, es decir, V = rotFsi este es de la

forma F(x,y,z) =L(x,y,z)i +M(y, z)j debe cumplirse que

(yz,xz,yf(x)) =

i j k

x

y

zL(x,y,z) M(y, z) 0

=

M(y, z)

z ,

L(x,y,z)

z , L(x,y,z)

y

.

Igualando las primeras componentes e integrando respecto a z se tiene que M(y, z) =yz2/2+m(y). Idem para las segundas componentes, de donde se obtiene que L(x,y,z) =xz2/2 +l(x, y); introduciendo esta funcion en la tercera componente del rotacional, sededuce que

yf(x) =

l(x, y)

y l(x, y) =

y2

2f(x) +h(x).

Finalmente, todos los potenciales vectores pedidos son de la forma:

F(x,y,z) =

xz2

2 y

2f(x)

2 +h(x)

i +

yz

2

2 +m(y)

j

donde h, mson funciones cualesquiera de C1 (R) .


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3.8. Imponemos que F = rot G. Usando la propiedad 2. de 3.4, escribimos G (r) =(a r) V (r) con V (r) = r/r2. As pues,

rot G (r) =a V (r) + (a r)rotV (r) = 1r2(a r)

donde se ha utilizado que rot V =0(esto se puede comprobar calculando dicho rotacional,o bien utilizando un resultado del siguiente ejercicio: el campo V (r) = r/r2 es uncampo central, y todo campo central es irrotacional).

Finalmente, si a = (a1, a2, a3) ,

rot G (x,y,z) = 1

x2 +y2 +z2(a2z a3y, a3x a1z, a1y a2x)

y se observa que, para a= (1, 0, 0) ,rot Gcoincide con F en el dominioR

3

\ {0}.3.9.

1. 1.1 Comprobamos que Fes irrotacional en un conjunto simplemente conexo:

rot F(r) = rot (g(r)r) = grad (g(r)) r+g(r) rot(r)= g(r) 1r (r r) + 0= 0 r =0

as que Fes de clase C1 e irrotacional en R3 \ {0} que es un conjunto simple-mente conexo, luego Fes conservativo. De esta forma, todo campo central esconservativo en R3 \ {0}.Busquemos un potencial escalar de la forma h(r). Imponiendo que su gra-diente sea F,se tiene que

grad(h(r)) =h(r) 1r r =g(r)r

de donde simplemente hse obtiene de

h (t) =tg (t)

es decir, h es una primitiva cualquiera de tg (t) .

1.2 Siguiendo el procedimiento anterior, en este casog (t) =et2

as que

h (t) =

tet

2

dt= 12

et2

luego un potencial escalar de F(r) = exp(r2)r es el campo escalar

12

exp(r2).


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1.3 Imponiendo que el campo sea adivergente, se obtiene facilmente que

divF = div (g(

r

)r) = grad (g(

r

))

r+g(

r

)div (r)

= g(r) 1r (r r) + 3g(r) =g(r)r + 3g(r) = 0

de donde g debe satisfacer la ecuacion diferencial

g (t) t= 3g (t)

cuyas soluciones son

g(t) = c

t3 t = 0

siendo c una constante arbitraria. Por tanto, los campos centrales solenoidales

aquellos y solo aquellos de la forma

F(r) = c

r3 r.

Ademas, su potencial escalar segun el metodo del apartado anterior se calculamediante

h (t) =

c

t2dt= c

t

de donde un potencial escalar es

c

r para r = 0

que es un multiplo del potencial gravitatorio.

2. Para n = 2 hay que razonar de forma ligeramente distinta ya que si el campoF = (P, Q) es central, satisface la condicion

Q

x =

P

y

pero no es suficiente para asegurar que el campo es conservativo, ya que R2

\{0

}NO

es un conjunto simplemente conexo. Sin embargo, el potencial escalar del apartado1.1 sigue teniendo como gradiente a F,por lo que los campos centrales tambien sonconservativos en R2 \ {0}.El apartado 1.2 tambien es valido en R2.

Por otro lado, los campos centrales solenoidales en R2 son de la forma F(r) =cr/r2 que admite como potencial escalar c log r +b, b R.


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Tema 4 33

Superficies e integrales de superficie

4.1. Hallar los planos tangentes al elipsoide x2 + 4y2 +z2 = 9 que sean paralelos al

plano 2x+ 4y z= 0.4.2. Hallar unas ecuaciones parametricas y una ecuacion implcita de la superficie

conica engendrada por las rectas que pasan por el punto (1, 0, 1) y cortan a la elipse4x2 +y2 = 1, z= 0.

4.3. Se considera el solido de R3 limitado por las superficies

x2 +y2 = 1, 2z+y = 4, z= 0 .

1. Calcular su volumen.

2. Calcular el area total (lateral y bases) de su superficie. Calcular la longitud de lossemiejes de la elipse determinada por la interseccion de las superficies

x2 +y2 = 1, 2z+y = 4 .

4.4. Calcular el area de la superficie esferica delimitada por un casquete esferico deradio Ry altura h (definido en el problema1.15).

4.5. Calcular la integral

I=

x2y2z2d

en los casos que se indican:

1. es la superficie esferica de ecuacion x2 +y2 +z2 =R2.

2. es la porcion del plano z= 1 con 0 x 1, 0 y 1.

4.6. Calculese

T

xyz d, siendo T:

1. El triangulo de vertices (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1);

2. El triangulo esferico, con los mismos vertices, situado en una esfera con centro elorigen.

4.7. Una superficie metalica tiene forma de semiesfera z =

R2 x2 y2 y sudensidad superficial de masa en cada punto (x,y,z) es (x,y,z) = x2 +y2. Calculese lamasa de la superficie .

4.8. Sea Cuna curva simple y acotada del plano R2. Sea fun campo escalar positivoy de clase 1 a trozos en un dominio que contiene a C. Sea Sla superficie regular definidapor S= {(x,y,z) R3, (x, y) C, 0 z f(x, y)}. Se pide:


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1. Demostrar la igualdad A(S) =

C

f dsdondeA(S) denota el area de la superficie S.

2. Calcular explcitamente el area A(S) cuando la curva C viene parametrizada por(t) = (t, sen t), t [0, 2] y la funcion f(x, y) = |y cos x|.

4.9. Calcular el area de la porcion de una superficie cilndrica recta situada en elinterior de una esfera cuyo centro esta en la superficie cilndrica, siendo ademas el radiode la esfera el doble del de la superficie cilndrica.

4.10. Una masa fluida tiene un campo de velocidades V (x,y,z) =|y| j (m/s).

Calcular el caudal de fluido que atraviesa la superficie y= x2 +z2 ; 0 y 1.

4.11. Calcular el flujo del campo vectorial F(x,y,z) = 3xi

yj

zk a traves de la

porcion del paraboloide z= 9 x2 y2 que se encuentra en el primer octante, orientadade forma que el vector normal tenga tercera componente positiva.

4.12. Calculese el flujo del campo vectorial

F(r) = r kr k

a traves del triangulo esferico situado sobre la esfera de centro 0 y radio 1, de vertices(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), orientado segun la normal saliente de la esfera.

4.13. Se considera un elipsoide en el que las longitudes de los semiejes sona,by c. Acada punto de la superficie del elipsoide se le asocia la distancia del centro del elipsoideal plano tangente al elipsoide en ese punto. Calculese la integral de la funcion as definidasobre la superficie del elipsoide.


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Soluciones

4.1. Sea (x0, y0, z0) un punto arbitrario de la superficie del elipsoide; de esta forma,

x20 + 4y20 + z20 = 9. Un vector normal a la superficie en ese punto es (2x0, 8y0, 2z0) o bien:

n= (x0, 4y0, z0) .

Por tanto, el plano tangente al elipsoide en el punto elegido tiene por ecuacion

x0(x x0) + 4y0(y y0) +z0(z z0) = 0 x0x+ 4y0y+z0z=x20+ 4y20+z20 = 9 .

Como ha de ser paralelo al plano 2x+ 4y z= 0, se tienex02 =

4y04 =

z01

x02

=y0= z0 x0 = 2y0= 2z0 .

Como (x0, y0, z0) , se verifica9 =x20+ 4y

20+ z

20 = 4z

20+ 4z

20+ z

20 = 9z

20,

luego z0= 1 y tenemos dos puntos de tangencia:

(x0, y0, z0) = (2, 1, 1) y tambien (x0, y0, z0) = (2, 1, 1) .En consecuencia, hay tambien dos planos tangentes al elipsoide en sendos puntos:

2x+ 4y z= 9 .4.2. La curva 4x2 + y2 = 1, z= 0 es una elipse que puede parametrizarse f acilmente

r(t) =

cos t

2 , sen t, 0

, t [0, 2].

Sea Q := (1, 0, 1) el vertice de la superficie conica que queremos construir. Un punto

genericoPde esta superficie esta alineado conQ y con un punto r(t) de , luego verifica:

P =Q+ (r(t) Q) == (1 )Q+r(t) para R .

Por tanto, unas ecuaciones parametricas de la superficie conica son

x= 1 +2

cos t

y= sen tz= 1


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De la ultima ecuacion despejaremos = 1 z, y obtenemos

x= z+(1 z)2

cos t

y = (1 z)sen tLa primera ecuacion puede reescribirse como:

2(x z) = (1 z)cos t,

por lo que si elevamos ambas ecuaciones al cuadrado y las sumamos, llegamos a la ecuaci onde la superficie conica buscada:

4 (x z)2 +y2 = (1 z)2 .

4.3.

1. Si D= {(x, y) R2 :x2 +y2 1} es la base del solido, su volumen es

V =

D

2 y

2

dxdy= 2A(D)

D

y

2dxdy = 2 ,

ya que la ultima integral es nula porque el integrando es impar en y y el dominioDes simetrico respecto del eje OX.

2. El area de la superficie es la suma de las areas de la base inferior, de la base superior

y de la superficie lateral.

La base inferior es un crculo de radio 1 y su area es. La base superior es el interiorde una elipse dada por las ecuaciones

x2 +y2 = 1,

y+ 2z= 4 .

Como estas ecuaciones son pares en x, la elipse tiene un eje de simetra en el planox = 0. Sus puntos de interseccion con ese plano son (0, 1, 3/2) y (0, 1, 5/2), queconstituyen los extremos de un eje de la elipse; este eje tendra longitud

5 y el

semieje 5/2. El centro de la elipse es el punto (0, 0, 2); el otro eje de la elipsesera la interseccion del plano de la elipse con el plano y = 0. La elipse corta a esteplano en los puntos (1, 0, 2), y la longitud del segundo semieje es 1. Por tanto, elarea de la base superior Bs es

A(Bs) =

5

2 .

El area de la superficie lateral SL se puede calcular por la integral curvilnea de lafuncion alturaz= 2 y/2 sobre la circunferencia unidad Cen el plano XY (vease


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el problema4.8). Esta circunferencia se parametriza en la formax = cos t,y = sen t,luego

A(SL) =

C

2 y

2

ds=

2

0

2 sen t

2

x(t)2 +y(t)2 dt

=

20

2 sen t

2

dt= 4 .

El area total sera la suma de las areas calculadas:

A= +

5

2 + 4 =

5 +

5

2

.

4.4. Es facil observar que la superficie de un casquete esferico es una superficie derevolucion. En general, si una superficie de revolucion se obtiene al girar alrededor deleje OX la curva generatriz dada por la funci on z = z(x), x [a, b], entonces podemosparametrizarla como

(x, ) = (x, z(x)cos , z(x)sen ) a x b , 0 2.

Aplicando la formula general del area de la superficie se obtiene

A= b

a

2

0

x

dxd= 2

b

a |z(x)

|1 + z (x)2 dx

que es una formula valida para cualquier superficie de revolucion, siempre que se gire lagrafica de una funcion.

En nuestro caso, la superficie del casquete esferico de radio R y altura h (0 h 2R)se obtiene al girar alrededor del eje OX el arco de circunferencia dado por la graficaz(x) =

R2 x2, x [R h, R]. Aplicamos dicha formula del area, y vemos que se

simplifican mucho los calculos, llegando a

A= 2

R

R

h

R dx= 2Rh.

Vemos, por tanto, que el area del casquete esferico es igual al area lateral de un cilindrocircular de radio R y altura h igual a la altura del casquete. En particular, la superficieesferica completa (h= 2R) tiene un area igual a 4R2.

4.5.

1. Consideremos la parametrizacion natural de la superficie esferica, dada por:

(, ) = (R sen cos , R sen sen , R cos ), (, ) [0, ] [0, 2]


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y cuyo vector normal n(, ) asociado tiene por norma R2 sen . Evaluemos la fun-cion integrandof(x,y,z) =x2y2z2 en la parametrizacion:

f((, )) =R8 cos2 sen4 cos2

La integral pedida es

I=

[0,][0,2]

f((, ))n(, ) d d

Al sustituir se llega a:

I=R8

2

0

cos2 sen2 d

0

cos2 sen5 d= R8 2

3

2,3

2

3,

3

2=

4 R8

105 .

2. En este caso, como z= 1 sobre la superficie, la integral de superficie que se pidecalcular coincide con la siguiente:

I :=

x2 y2 d .

Una parametrizacion natural de este plano es:

(u, v) = (u , v , 1 ), (u, v) D= [0, 1] [0, 1] .

El vector normal asociado a esta parametrizacion es:

n(u, v) =

u

v = (0, 0, 1) ,

cuya norma es 1. Por tanto, la integral de superficie pedida viene dada por:

I=

x2 y2 d=

D

u2 v2 dudv = 1

9.


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4.6.

1. El triangulo de este apartado esta situado sobre el plano de ecuacion x + y + z= 1.

Para parametrizarlo, puesto que su proyeccion sobre cualquier plano coordenado esinyectiva, podemos utilizar dos coordenadas cartesianas cualesquiera. En particular,utilizando xe y, se obtiene la parametrizacion := (u, v) dada por:

x(u, v) =u , y(u, v) =v z(u, v) = 1 u v , (u, v) D ,donde el vector normal asociado es n(u, v) = (1, 1, 1) con norma

3 y el dominio

D viene definido por el triangulo de R2:

D=

(u, v) R2 : u [0, 1] , 0 v 1 u

.

Por tanto:

I=

T

xyz d=

3

D

uv(1 u v) dudv

=

3

10

1u0

uv(1 u v) dv

du =

3

6

10

(1 u)3u du =

3

120.

2. El triangulo esferico, de centro el origen y radio 1, puede parametrizarse mediantela parametrizacion natural:

(, ) = (sen cos , sen sen , cos ),

con (, )[0, /2]2. Ya sabemos que la norma del vector normal asociado a estaparametrizacion esn(, ) = sen ; por tanto, la integral pedida es

I=

T

xyzd=

[0,/2]2

sen3 cos cos sen dd

=

/20

sen3 cos d

/20

cos sen d= sen4

4

/2

0

sen2

2

/2

0

=1

4

1

2=

1

8.

4.7. La masaMque se pretende calcular es la integral de la densidad sobre la superficie.

Es decir:M :=

d =

(x2 +y2) d

Resolvamos el ejercicio teniendo presentes las simetras de la esfera y el comportamientode la funcion que deseamos integrar: la funcion densidad (x,y,z) = x2 +y2 toma losmismos valores en el hemisferio superior (z 0) que en el inferior (z 0), as pues lamasa buscada es la mitad de la masa de la superficie esferica completaS:

M=

(x2 +y2) d =1

2

S

(x2 +y2) d.


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47/67


En este caso se tiene que

t

z = (x (t) , y (t) , 0) (0, 0, 1) = (x (t) , y (t) , 0) = (x (t) , y (t)) ,

donde se ha utilizado que el producto vectorial de dos vectores ortogonales tienepor norma el producto de las normas. Con todo ello, queda comprobado que el areacoincide con aquella integral de lnea:

A (S) =

ba

f(x(t),y(t))0

(x (t) , y (t)) dt

dz

=

b

a

f(x (t) , y (t))(x (t) , y (t)) dt=

f.

2. Apliquemos el resultado anterior al caso particular en que la curva es

C= { (t) = (t, sen t), t [0, 2]}

yf(x, y) = |y cos x| .Entonces f(x (t) , y (t)) = |sen t cos t| ,y por otro lado

(x (t) , y (t)) = (1, cos t) =

1 + cos2 t,

as que el area puede calcularse como

A (S) = 20

f(x (t) , y (t))(x (t) , y (t)) dt= 20

|sen t cos t|1 + cos2 t dt

= 4

/20

sent cos t

1 + cos2 t dt=4

3

1 + cos2 t3/2

0

=4

3

2

2 1

.

4.9. Podemos considerar que la superficie esferica tiene por ecuacionx2 + y2 + z2 =R2

y que la superficie cilndrica esta dada por

x R

2 2

+y2 =R2

4 .

Sea la parte de la superficie situada en z 0:

=

(x,y,z) R3,

x R

2

2+y2 =

R2

4 ,0 z

R2 x2 y2

.

El area pedida es 2A(). Observamos que la superficie es de la forma descrita en elproblema4.8, por lo que el area de la superficie puede calcularse como la integral de lneade la funcion f(x, y) =

R2 x2 y2 a lo largo de la curva C(ya en el plano XY) de

ecuacion (x R/2)2 +y2 =R2/4.


48/67


Parametrizamos la curva Cen la forma

r: [0, 2]

R

2; r(t) = R2

+R

2cos t,

R

2sen t

El vector tangente es

r(t) =

R2

sen t,R

2cos t

y su normar(t) =R/2. Ahora evaluemos la funcion fen la parametrizacion,

f(r(t)) =

R2 R

2

4[(1 + cos t)2 + sen2 t] =R

1 cos t

2 =R sen

t

2

Para terminar,

A= 2A() = 2

20

f(r(t))r(t) dt= R2 20

sent

2 dt= R2

2cost

2

20

= 4R2.

4.10. El caudal, C, que se pide calcular es el flujo del campo de velocidades a travesde la superficiey = x2 + y2. Supondremos la superficie orientada de forma que la segundacomponente del vector normal sea positiva y la representaremos por +. En estas condi-ciones, como el campo de velocidades de la masa fluida tiene la direcci on y sentido delvector (0, 1, 0), el caudal que hay que calcular debe ser positivo.

Para calcular el flujo a traves de esta superficie +, la parametrizamos mediante lafuncion (, t) definida por la ecuaciones parametricas:

x(, t) =

t cos , y(, t) = t , z(, t) =

t sen , (, t) D ,

donde D := [0, 2] [0, 1]. El vector normal con segunda componente positiva asociado aesta parametrizacion es:

n(, t) =

t =

t cos , 1

2,t sen

.

Simplemente aplicamos la definicion de flujo, y obtenemos:

C :=

+

V d=

D

V(x(, t) , y(, t) , z(, t)) n(, t) ddt

= 1

2

D

tddt =

2

3 m3/s .

4.11. Para parametrizar la porcion orientada del paraboloide tenemos en cuenta que zpertenece al intervalo [0, 9] (se trata de la porcion contenida en el primer octante) y que,para cada valor de z, los cortes por planos perpendiculares al eje z= 0 son los arcos de


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las circunferenciasx2 + y2 = 9 zcontenidos en el primer octante. Por tanto, una posibleparametrizacion := (, t) es la que tiene por ecuaciones parametricas:

x(, t) = 9 t cos , y(, t) = 9 t sen , z(, t) = t (, t) D ,donde D R2 es el rectangulo [0, /2] [0, 9]. En vector normal correspondiente a estarepresentacion de la superficie es

n(, t) :=

t =

9 t cos , 9 t sen , 1

2

,

acorde con la orientacion establecida en el enunciado. Por tanto, considerando el valor delcampo vectorial evaluado en la parametrizacion, F(x(, t), y(, t), z(, t)), el flujo que sepide calcular viene dado por la integral doble:

D

F(x(, t), y(, t), z(, t)) n(, t) ddt

=

90

/20

(9 t) 3cos2 sen2 t

2

d

dt

=

2

90

9 3t

2

dt =

81

8 ,

donde se ha tenido en cuenta que /2

0

sen2 d= /2

0

cos2 d =

4.

Alternativamente, observemos que el paraboloide es la grafica de la funcion de dosvariablesf(x, y) = 9 x2 y2 con fdefinida en

D= {(x, y) R2, x2 +y2 9, x 0, y 0}Una parametrizacion natural es (x, y) = (x,y,f(x, y)), (x, y) D y el vector normalasociado es

n(x, y) =

x

y =

f

x, f

y, 1

que, en el caso que nos ocupa es n(x, y) = (2x, 2y, 1) que, obviamente, orienta la superficiecomo se indica al tener tercera componente positiva. Termine el lector los calculos poreste procedimiento; dado que el dominio de los parametros es un sector circular, se sugiereun cambio a coordenadas polares.

4.12. Una parametrizacion(, ) del triangulo esferico, que denotaremos por T+, enterminos de los angulos de las coordenadas esfericas (, ) tiene por ecuaciones parametri-cas:

x(, ) = cos sen , y(, ) = sen sen , z(, ) = cos , (, ) D ,


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siendo D el cuadrado [0, /2] [0, /2].El vector normal asociado a esta parametrizacion es, segun la ecuacion (??),

n(, ) :=

=

cos sen2 , sen2 sen ,cos sen

y coincide con la orientacion pedida en el enunciado -segun la normal saliente de la esfera-lo que se comprueba sin mas que observar que(0, /2) = (1, 0, 0) yn(0, /2) = (1, 0, 0).

Utilizando la definicion de flujo se tiene entonces:T+

F d =

D

F((, )) n(, ) dd,

donde, tras simplificar adecuadamente, se obtiene

F((, )) n(, ) = (1 cos ) sen 2 2cos =

1 cos

2 sen

= sen

2 sen =

1

2

cos

2 cos3

2

.

Finalmente:T+

Fd =

D

1

2

cos

2 cos3

2

dd =

/20

cos

2 cos3

2

d =

2

6 .

Alternativamente, se puede proceder de forma analoga a como se ha hecho en el problemaanterior. Es decir, obtener el campo escalar cuya integral de superficie es el flujo pedidopara despues parametrizar y calcular la correspondiente integral doble. Para ello se sabeque la normal unitaria al triangulo esferico dado es r/r. Utilizando este procedimientoy teniendo en cuenta el valor del campo escalar sobre el triangulo (en particular, r = 1)se llega a la expresion:

T+F d =

T+

r kr k

r

r d =

T+

1 z

2d .

Las operaciones intermedias necesarias para llegar a esta ultima integral de superficie ysu calculo se deja como ejercicio para los alumnos.

4.13. Puesto que la solucion del problema no depende del sistema de referencia elegido,tomaremos aquel en el que el centro del elipsoide esta en el origen y sus ejes coincidencon los ejes cartesianos. As, la ecuacion cartesiana del elipsoide es

x2

a2+

y2

b2+

z2

c2 = 1 .

En otras palabras, la ecuacion del elipsoide es U(x,y,z) = 0 con

U(x,y,z) =x2

a2+

y2

b2 +

z2

c2 1.


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Sabemos que en un punto generico (x0, y0, z0) del elipsoide, el plano tangente tiene unvector normal proporcional al gradiente de U; es decir, un vector normal es:

12

U(x0, y0, z0) =

x0a2

,y0b2

,z0c2

.

De esta forma la ecuacion de los puntos (x,y,z) de este plano tangente es

x0a2

(x x0) + yb2

(y y0) + zc2

(z z0) = 0

es decir,x0a2

x+y0b2

y+z0c2

z=x20a2

+y20b2

+z20c2

y teniendo en cuenta que (x0, y0, z0) pertenece al elipsoide, se tiene finalmente la ecuaciondel plano tangente al elipsoide en (x0, y0, z0) es

x0a2

x+y0b2

y+z0c2

z 1 = 0 . (4.2)

Por otro lado, es sabido que la distancia del (0, 0, 0) a un plano de ecuacion cartesianaAx+By +Cz+D = 0 es

|D|A2 +B2 +C2

.

En nuestro caso, obtenemos la siguiente expresion para la distancia del origen al plano de

ecuacion (4.2):d(x0, y0, z0) =

1x20a4

+y20b4

+z20c4

.

Esta es la funcion que nos piden integrar sobre los puntos (x0, y0, z0) de la superficie Sdel elipsoide. Por tanto, la integral de superficie que se pide calcular es:

I=

S

d(x,y,z) d=

S

x2

a4+

y2

b4 +

z2

c4

1/2d .

Utilizando la paridad del campo escalar respecto de x, y y z y la simetra del recintorespecto de los tres planos coordenados se tiene

I= 8

S

x2

a4+

y2

b4 +

z2

c4

1/2d ,

donde S es la porcion de la superficie del elipsoide contenida en el primer octante.Si S := S(, ) es una parametrizacion de S definida por:

(x,y,z) := (x(, ), y(, ), z(, )) , (, ) D


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entonces la integral de superficie se puede calcular como la siguiente integral doble:

I= 8D

d (x(, ), y(, ), z(, )) S

S

dd.

En este caso, la parametrizacion mas comoda para S es

x = acos sen , y = b sen sen , z = c cos ,

0,

2

,

0,

2

.

Al utilizarla se obtiene

S

S

=

b2c2 cos2 sen4+a2c2sen2sen4+a2b2 cos2 sen2=

=abc |sen|cos2 sen2a2 +sen2

sen

2

b2 +cos

2

c2

Ademas,

d (x(, ), y(, ), z(, )) =

x(, )2

a4 +

y(, )2

b4 +

z(, )2

c4

1/2

=

cos2 sen2

a2 +

sen2sen2

b2 +

cos2

c2

1/2

y por ello,

I= 8

S

x2

a4+

y2

b4 +

z2

c4

1/2d = 8 abc

2

0

2

0

sen d

d= 4a b c,

donde se ha usado que el seno es no negativo en [0, /2].


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Tema 5 47

Teoremas de Gauss y de Stokes

5.1. Calcular el flujo del campo F(x,y,z) = sen2(y2 +z2) +zy, 2ex2z, x2 +y2 atraves de la semiesfera x2 +y2 +z2 = R2, z 0, orientada segun la normal que tienetercera componente positiva.

5.2. Calcular el flujo del campo

F(x,y,z) = 1

(x2 +y2 +z2)3/2(x,y,z)

a traves de la cara exterior del tetraedro de vertices

(0, 0, 1) , (1, 0, 1) , (1, 1, 1) , (1, 1, 1) .

Se puede calcular el flujo sin necesidad de parametrizar la superficie del tetraedro?5.3. En R3 se considera la superficie parametrizada:

(u, v) = (u cos v, u sen v, v), (u, v) [0, 1] [2, 4]y el campo vectorial definido por

V(x,y,z) = y i x jx2 +y2 +z2

.

Estudiar si puede aplicarse el teorema de Stokes. En caso afirmativo parametrizar deforma coherente el borde

Bde la superficie y calcular la circulacion de Va lo largo de

B.

5.4. SeaFun campo vectorial de clase 1 en el conjunto R3\. Estudiar si se verificanlas hipotesis para poder afirmar que

div F(x,y,z) dxdydz=

F d

en las tres situaciones siguientes.

1. y son los conjuntosrepresentados en la siguien-te figura

z

xy

n

2. y son los conjuntosrepresentados en la siguien-te figura

z

xy

n

3. es el conjunto limitadopor las superficies 1 y 2de la figura y el conjunto

tambien representado en lafigura

z

x

y

1

2


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5.5. Estudiar si se verifican las hipotesis para poder afirmar que

div F(x,y,z) dxdydz=

F

d

en las siguientes situaciones:

1. F(x,y,z) =

1

x, y+z,

ez

x

y es el conjunto definido por

4x2 +y2 +z2 8x.

2. F(x,y,z) =

cos(x2 +y2)

x2 +y2 +z2, y,

x+z

x2 +y2 +z2

y es el conjunto definido por

x2 +y2 +z2 1, 2x2 + 2y2 +z2 10 .

3. F(x,y,z) = 1

4 x2 2y2 z2 (x,y,z) y es el conjunto definido por

x2 +y2 +z2 1 .

4. F(x,y,z) = 1


10 x2 +y2 +z2 1 .

5. Fes de clase 1 en R3 y es la superficie cuyo borde es la curva que muestra lasiguiente figura

z

xy

n

6. F(x,y,z) = 1


(x 3)2 + (y 4)2 + (z 3)2 1 .

5.6. Sea c= (c 1, c2, c3) R3 y sea Sla superficie esferica de centro cy radio R >0,orientada segun su normal saliente.

1. Calculese el flujo a traves de Sdel campo F(r) =r c.


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Tema 5 49

2. Calculese el flujo a traves de Sdel campo

G(r) = r cr c3

.

3. Calculese el flujo de Ga traves del elipsoide de ecuaciones

(x c1)2a2

+(y c2)2

b2 +

(z c3)2c2

= 1 .

orientado segun la normal saliente (a, b, c >0).

4. Sea una superficie cerrada de clase 1 que no pasa por el punto c. Calcular razo-nadamente los posibles valores que puede tomar el flujo de G sobre . Que sucede

si pasa por el punto c?

5.7. Sea la curva definida por

2x2 + 3y2 = 1 , z= 1 ,

orientada de forma que su proyeccion sobre el planoX Yse recorre en sentido contrario alas agujas del reloj y sea

F(x,y,z) = 1

x2 +y2(x,y,z) .

Estudiar si se puede elegir alguna superficie cuyo borde sea tal que se verifiquen lashipotesis del teorema de Stokes aplicado a Fy a y que por tanto se cumpla

F ds=

rot F d .

5.8. Sea

F(x,y,z) = 1

2x2 + 3y2 +z2(x+ 1, y 2, z) .

Estudiar si se puede asegurar que se cumple

F ds=

rot F d,

donde es el borde orientado de (con lo que y estan orientadas de forma coherenteentre s) en los siguientes casos:

1. es la curva x2 +y2 +z2 = 1, z= 0 y la superficie definida por

x2 +y2 +z2 = 1 ,

z 0 .


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2. es la curva

x2 +y2 = 1 ,

z= 0

y la superficie definida por

x2 +y2 1 ,z= 0 .

3. la curva

x2 +y2 =x ,

z= 0

y la superficie definida por

x2 +y2 +z2 =x ,

z 0 .

5.9. Calcular todos los valores posibles que puede tomar el flujo del campo vectorial

F(x,y,z) = 2 z2 x i + z2 yj

z3 k

a traves de una superficie regular cuyo borde orientado es la curva que resulta de lainterseccion de la esfera x2 +y2 +z2 = 1 y el cilindro x2 +z2 = 1/4, situado en elsemiespacio y 0.

5.10. Sea f : (0, ) R una funcion de clase uno, sea a R3 un vector fijo no nuloy sea el campo F : R3\ {0} R3 definido por

F(r) =f(r) a r.

Se pide:

1. Calcular la divergencia del campo F.

2. Sea la curva definida por las ecuaciones: x2 +y2 +z2 = 1, x z= 0. Calcular

I=

a r

r2 ds ,

donde la orientacion de es tal que su proyeccion sobre el planoX Y esta orientadaen sentido contrario a las agujas del reloj.


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Tema 5 51

5.11. Sean a = (a1, a2, a3) un vector constante y no nulo y k una constante realestrictamente positiva. Considerese el campo vectorial F definido por:

F(x,y,z) = (a1x, a2y, a3z)(24x2 + 4y2 + 2z2)k

.

1. Determnense razonadamente todos los valores posibles del vector a y de la constantek para los que el campo Fes irrotacional, indicando el mayor dominio posible en elque posee esta propiedad.

2. Sea una superficie regular con borde orientado que no contiene el origen. Paralos valores de a y k obtenidos en 1., calculese la circulacion del campo F sobre elborde .

3. Determnense razonadamente todos los valores posibles del vector a y de la constantek para los que el campo Fes solenoidal, indicando el dominio en el que posee estapropiedad.

4. Sean 1y 2 las superficies esfericas de ecuaciones cartesianas (x1)2 + y2 + z2 = 9y (x 1)2 +y2 +z2 = 1/4, respectivamente. Para a= (2, 2, 2) yk= 3/2, calculeseel flujo del campo F a traves de las caras exteriores de 1 y de 2.

5.12. Considerese la curva definida por las ecuaciones

x2 +y2 +z2 = 9 , (x

1)2 +y2 +z2 = 6 ,

con una orientacion tal que su proyeccion sobre el plano Y Z se recorre con orientacionpositiva. Se pide:

1. Hallar unas ecuaciones parametricas de .

2. Sea Gel campo en R3 definido por

G(x,y,z) = (sen2(x+y) ,z3, y3) .

Calculese la circulacion de Ga lo largo de .

3. Seaa R3 un vector fijo. Calculense los valores reales dep para los cuales el campovectorial F(r) = (a r)p r es solenoidal en un cierto subconjunto de R3 que seespecificara.

4. Se considera la superficie formada por los segmentos que unen el punto (1, 0, 0)y los puntos de , orientada de forma que los vectores normales a la misma tie-nen la primera componente negativa. Calculese el flujo del campo H(x,y,z) =(1/x2,y/x3,z/x3) a traves de .


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Soluciones

A la hora de calcular el flujo de un campo vectorial a traves de una superficie siempre esconveniente calcular su divergencia y prestar atencion a su dominio de definicion; en mu-chos casos una aplicacion cuidadosa del teorema de Gauss puede ayudarnos a simplificarlos calculos.

5.1.El campo esC en su dominio de definicion que es todo el espacio R3 y ademases solenoidal. Entonces, como consecuencia del teorema de Gauss, su flujo a traves de lasuperficie propuesta (llamemosla ) coincide con el que se obtiene a traves de cualquierotra superficie regular y de clase 1 a trozos, con el mismo borde que la anterior ( x2 + y2 =R2, z = 0) y orientada de forma que la tercera componente de su vector normal sea

positiva. Escogemos el disco D x2

+y2

R2

, z= 0, orientado por el vector normalunitario k, entonces:

F d=

D

F d=

D

F k d=

D

(x2 +y2)d

Esta ultima integral puede hacerse con la parametrizacion natural del disco,

{(x, y) R2, x2 +y2 R2} R3(x, y) (x,y, 0)

cuyo vector normal asociado es unitario, y la integral doble se resuelve mediante un cambioa coordenadas polares:

D

(x2 +y2)d=

x2+y2R2

(x2 +y2) dxdy =

R0

20

3dd=R4

2

5.2. Observese que el campo es de clase infinito y solenoidal en su dominio, R3 \ {0},pero no se puede aplicar directamente el teorema de Gauss ya que el origen est a contenidoen el conjunto acotado limitado por el tetraedro T. En estas condiciones, el teorema deGauss nos permite afirmar que el flujo pedido coincide con el que se obtiene al calcularlo

a traves de la cara exterior de cualquier otra superficie regular a trozos y que encierre ensu interior geometrico el origen; por ejemplo, la esferaEde centro el origen y radioR >0de ecuacion implcitar =R, cuyo vector normal exterior unitario es n= r/R. Inclusopodramos tomar R= 1 o cualquier otro valor, dado que el resultado no puede dependerde la superficie concreta que se escoja.

Representemos por E+ la cara exterior de la esfera y por T+ la cara exterior deltetraedro. Entonces:

T+F d=

E+

F d=

E+

r

R3 r

Rd =

1

R2

E+

d= 1

R2A(int (E)) = 4.


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5.3. El teorema puede aplicarse ya que el campo es C en R3 \ {0}, y el origen noesta sobre la superficie, que denotaremosH.

El borde de

H es regular a trozos, por lo que se debe parametrizar por separado

cada parte. Utilizamos la frontera de R = [0, 1] [2, 4] recorrida en sentido antihorariopara garantizar la coherencia del recorrido de la curva respecto del vector normal a lasuperficie.

El primer tramo de la curva es el segmento de origen (0, 0, 2) y extremo (1, 0, 2) quese obtiene transformando la base inferior del rectangulo R; su parametrizacion se obtienehaciendo v= 2 en la parametrizacion de la superficie:

1(u) = (u, 0, 2) , u [0, 1]; 1(u) = (1, 0, 0).El segundo tramo de la curva es una helice que se obtiene transformando el lado [(1, 2), (1, 4)]de R, que corresponde a u = 1:

2(v) = (cos v, sen v, v) , v [2, 4]; 2(v) = ( sen v, cos v, 1).El tercer tramo de curva es el segmento de extremos (1 , 0, 4) y (0, 0, 4),

3(t) = (1 t, 0, 4) , t [0, 1]; 3(t) = (1, 0, 0).El ultimo trozo de curva nos lleva sobre el eje OZhasta el punto de partida:

4(t) = (0, 0, 4 t) , t [0, 2]; 4(t) = (0, 0, 1).

Ahora se calcula la circulacion del campo; observese que sobre los tres segmentos delborde se anula, por lo que la unica integral que hay que calcular es la correspondiente alsegundo tramo, sobre la helice:

V ds= 42

V(2(v)) 2(v) dv= 42

dv

1 +v2= arctg 2 arctg4

Tambien se puede calcular la circulacion

Colección Problemas Resueltos de Ampliación de Cálculo

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