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APUNTES DE CLASE CÁLCULO III CÁLCULO III

MG. JESSICA PEREZ RIVERA UNIVERSIDAD PERUANA UNIÓN

FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA

2017

APUNTES DE CLASE CÁLCULO III

MG. JESSICA PEREZ RIVERA 1

Introducción

El presente material fue elaborado con el objetivo de facilitar el proceso de enseñanza aprendizaje

del curso de Cálculo III, otorgando a los estudiantes la teoría necesaria para el desarrollo del

curso. Por otro lado, el hecho de tener las clases antes del dictado, fomentará el espíritu

investigativo de los estudiantes, ya que revisarán la bibliografía complementaria que se les facilitó

a través del site de la docente.

Los temas que se desarrollarán, siguen la secuencia del silabo, por lo que iniciamos con

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES, estudiando en esta unidad los límites y continuidad

en varias variables, derivadas parciales, multiplicadores de Lagrange para máximos y mínimos.

La segunda unidad, INTEGRALES MÚLTIPLES, CURVILÍNEAS Y DE SUPERFICIE, en esta

unidad estudiaremos integrales dobles y triples, con sus cambios de coordenadas y aplicaciones,

finalizando con las integrales de línea y de superficie.

La última unidad son las ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES, iniciando el

aprendizaje con los conceptos básicos, ecuaciones diferenciales parciales lineales y método de

separación de variables. La última parte de la unidad nos abocamos a las series de Fourier.

Ecuaciones diferenciales del calor, la onda y de Laplace.

Finalmente, es importante mencionar que el material que a continuación se presenta está

distribuido por sesiones de aprendizaje, siendo su duración de cuatro horas académicas, la cual

incluye el contenido teórico y práctico.

Asimismo, resaltamos que el material presentado es una compilación de diferentes autores.

Esperamos que este material, pueda ser aprovechado por los estudiantes y asimismo pueda

cumplir con los objetivos para los cuales fue creado.

Atte.

La autora.



Unidad 1: FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES

Sesión 1:

Funciones reales de dos o más variables. Dominio de la función

Competencia de la sesión: Grafica una función de dos variables. Analiza su dominio y lo grafica

en el plano.

Contenido de la sesión: Plano tridimensional. Funciones de varias variables. Dominio, gráfica de

dominio.

Definición 1.1. Definición de una función de dos variables

Sea 𝐷 ⊆ 𝑅2. Si a cada par ordenado (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷 le corresponde un único real 𝑓(𝑥, 𝑦), se dice que

𝑓 es función de x e y. El conjunto 𝐷 es el dominio de 𝑓 y el correspondiente conjunto de valores

de 𝑓(𝑥, 𝑦) es el recorrido de 𝑓. (Larson,s.f.)

Definición 1.2. Generalización de la definición anterior

Una función real de varias variables (variable vectorial) 𝑓 es una correspondencia de un conjunto

A de 𝑅𝑛, a un conjunto B de números reales y lo denotamos por: 𝑓: 𝐴 ⊆ 𝑅𝑛 → 𝐵 ⊆ 𝑅, tal que

para cada 𝑥 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) ∈ 𝐴, existe uno y solo un elemento 𝑓(𝑥) ∈ 𝐵 (Espinoza, 2000).

Obs 1.3 Si 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), z es llamada variable dependiente y son llamadas variables

independientes a x e y.

Obs 1.4 Las definiciones que daremos en adelante están dadas en dos variables, sin embargo se

generalizan en Rn análogamente.

1.5. Dominio y Rango de una función

a) Dominio de f:

Dom(f) = {(x,y) ∈ R2/ ∃ z ∈ R y z = f(x, y)}

b) Rango de f:

Ran(f) = {f(x , y) ∈ R / (𝑥, 𝑦) ∈ Dom(f) }

1.6. Operaciones con funciones Reales de varias variables

Sean f: Df ⊆R2R y g : Dg ⊆R2

R, con dominios Df y Dg, respectivamente; definimos:

a) (f ± 𝑔)(�⃗�) = f(�⃗�) ± g(�⃗�), 𝐷𝑓±𝑔 = 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔

b) (f . 𝑔)(�⃗�) = f(�⃗�) . g(�⃗�), 𝐷𝑓.𝑔 = 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔

c) (𝑓

𝑔)(�⃗�) =

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥⃗⃗⃗⃗⃗) , 𝐷𝑓

𝑔

= 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔 − {�⃗�: g(𝑥⃗⃗ ⃗⃗ ) = 0 }

Ejemplos 1.7

Hallar el dominio y rango de la función 𝑓(𝑥, 𝑦) = √36 − 𝑥2 − 𝑦2

1.8. Criterios para hallar el dominio de una función z = f(x, y)

Los criterios para el cálculo del dominio de un función en varias variables, es el mismo que se

usa en funciones reales de variable real. Recordemos z = f( x , y).



Es decir:

(1) Si 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) la función es polinómica, el dominio es R2.

(2) Si 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑃(𝑥, 𝑦) , entonces (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ↔ 𝑃(𝑥, 𝑦) ≥ 0 . Es decir, si la

función está dentro de un radicando, entonces toda la función debe ser ≥ 0, con lo que

obtendremos la región del plano que formen parte del dominio de z.

(3) Si 𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑃(𝑥,𝑦)

𝑞(𝑥,𝑦) entonces (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ↔ 𝑄(𝑥, 𝑦) ≠ 0. Es decir, si z está definida

por la división de dos funciones polinómicas, entonces el dominio será todo R2 menos los

pares ordenados en los que el denominador sea igual a cero.

(4) Si 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐿𝑛[𝑃(𝑥, 𝑦)], entonces (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ↔ 𝑃(𝑥, 𝑦) > 0. Es decir, si z está

definida por el logaritmo natural de la función f, f debe ser mayor que cero, con lo que

obtendremos los pares ordenados que forman parte del dominio de z.

(5) Si 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐴𝑟𝑐 cos (𝑃(𝑥, 𝑦)) entonces (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ↔ |𝑃(𝑥, 𝑦)| ≤ 1, es decir en

otras funciones como Arcsen(f(x,y)), Arccos(f(x,y)), Arctan(f(x,y)), tener en cuenta el

dominio de las funciones en R.

Obs 1.9.:

- Luego de encontrar el conjunto solución del dominio, se debe graficar en 𝑅2, tener en

cuenta si la gráfica incluye la frontera o no, luego se debe seleccionar la región del

dominio, para ello se debe dar un punto que esté dentro o fuera de la región,

posteriormente verificar si satisface la ecuación del dominio, de ser verdadero la región

del dominio es donde se encuentra el punto, de lo contrario, la región exterior al punto.

- Tener en cuenta la intersección de dominios, de acuerdo a las operaciones de funciones

definidas anteriormente.

Taller 1.1

Hallar el dominio de las siguientes funciones, en el caso de ser posible, graficar la región del

dominio en el plano:

(1) 𝑓(𝑥, 𝑦) = √4 − 𝑥2 − 𝑦2

(2) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝑦)

(3) 𝑓(𝑥. 𝑦) = ln (4 − 𝑥 − 𝑦)

(4) 𝑧 =𝑥+𝑦

𝑥𝑦

(5) 𝑓(𝑥, 𝑦) =

√(4 − 𝑥2 − 𝑦2)(𝑥2 + 𝑦2 − 9)

(6) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑥

𝑦

(7) 𝑔(𝑥, 𝑦) =1

𝑥𝑦

(8) 𝑓(𝑥, 𝑦) = arccos (𝑦

𝑥)

(9) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2

(10) 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥 + 𝑦 − 3𝑥 √𝑥 − 𝑦

(11) 𝑧 =1

√𝑥+𝑦+

1

√𝑥−𝑦

(12) 𝑓(𝑥, 𝑦) = √1 − 𝑥2 + √1 − 𝑦2

(13) 𝑧 =√4𝑥−𝑦2

ln (1−𝑥2−𝑦2)

(14) 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑦2−𝑥

𝑥2+𝑦2−25

(15) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑎𝑟𝑐 cos (4𝑥2 + 9𝑦2 − 35)

Actividad 1.1

Practicar y resolver los ejercicios de Cálculo de varias variables de Zill, página 686 y 687, en sus

GPM. Ud. puede practicar con los ejercicios del 1 al 30.

¿Qué aprendiste en esta primera sesión?



Sesión 2: Curvas y superficies de nivel

Competencia de la sesión: Grafica una superficie cuádrica y las curvas de nivel.

Contenido de la sesión: Sistema tridimensional. Superficies. Gráfica de superficies.

Superficies

Definición 1: Una superficie es el conjunto de puntos P(x, y, z) que satisfacen la ecuación

F(x, y, z) = 0.

Superficie Cuádrica:

Tienen la forma: 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑧2 + 𝐷𝑥𝑦 + 𝐸𝑥𝑧 + 𝐹𝑦𝑧 + 𝐺𝑥 + 𝐻𝑦 + 𝐾𝑧 + 𝐿 = 0, donde 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹, 𝐺, 𝐻, 𝐾, 𝐿 ∈ 𝑅. Y al menos una es diferente de cero.

Gráfica de la Ecuación de una superficie:

Emplearemos los siguientes criterios:

1. Intersecciones con los ejes coordenados:

Eje x: y = z = 0

Eje y: x = z = 0

Eje z: x = y = 0

2. Trazas sobre los planos coordenados:

Plano XY: z = 0

Plano XZ: y = 0

Plano YZ: x = 0

3. Simetrías con respecto a los planos coordenados, ejes coordenados y el origen.

Plano XY: z = -z / Plano XZ: y = -y / Plano YZ: x = -x

Eje X: y = -y, z = -z/ Eje Y: x = -x, z = -z/ Eje Z: x = -x, y = -y

Origen: x = -x, y = -y, z = -z

4. Secciones por planos paralelos a los planos coordenados.

Plano XY: z = k

Plano XZ: y = k

Plano YZ: x = k



5. Extensión de la superficie.

Dominio despejar z.

6. Gráfica de la superficie

Ejemplos: Discutir y hacer la gráfica de la superficie cuya ecuación es 𝑥2 + 𝑦2 − 9𝑧2 = 9

En el siguiente análisis de superficies cuádricas consideraremos

𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ 𝑹, 𝒂 ≠ 𝟎, 𝒃 ≠ 𝟎, 𝒄 ≠ 𝟎

Superficies Cuádricas: Ax2 + By2 + Cz2 + Gx + Hy + Iz + k = 0

Tipo I: Cuádricas con centro

Forma: Mx2 + Ny2 + Pz2 = R

Tipo II: Cuádricas sin centro

Forma: Mx2 + Ny2 = Sz

1. Elipsoide:

2. Esfera:

𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑅2

3. Hiperboloide de una hoja:

4. Hiperboloide de dos hojas:

5. Cono elíptico o circular:

1. Paraboloide:

Paraboloide elíptico:

2. Paraboloide Hiperbólico/

Hiperboloide Parabólico:

Silla de Montar

𝑧 = 𝑥𝑦

Obs:

La variación de variables en las ecuaciones generan la misma gráfica pero en diferente

eje.

Ecuación del Cilindro: x2 + y2 = 𝑅2



Observación: Recta y Plano

Definición 1: Dado un vector �⃗� ≠ 0⃗⃗ en R3 y un punto 𝑃0 ∈ 𝑅3 se define la recta 𝐿 que pasa por

𝑃0 y con vector dirección �⃗� al conjunto 𝐿 = {𝑃 = 𝑃0 + 𝑡�⃗�/𝑡 ∈ 𝑅}

Definición 2: Dados dos vectores �⃗� 𝑦 �⃗⃗� no paralelos en R3 y un P0 ∈ R3, se define el plano 𝑃

que pasa por P0 y determinado por �⃗� 𝑦 �⃗⃗� al conjunto: 𝑃 = {𝑃 = 𝑃0 + 𝑠�⃗� + 𝑡�⃗⃗�/𝑠, 𝑡 ∈ 𝑅}

Si �⃗⃗� = (a, b, c) es una normal al plano Ρ, que pasa por P0 y P = (x, y, z) entonces: �⃗⃗� ⊥ Ρ ↔

(𝑃 − 𝑃0). �⃗⃗� = 0 de donde ax + by + cz + d = 0 es la llamada ECUACIÓN GENERAL DEL

PLANO P.

Taller 1.2

Esquematizar la gráfica en tres dimensiones de las siguientes ecuaciones (emplear los criterios

estudiados en clase):

1. x2 + y2 = 4

2. 9y2 + 4z2 = 36

3. x2 = z

4. y2 – x2 = 16

5. 3x – 4y = 12

6. 16x2 -36y2 + 9z2 =0

7. 16x2 + 100y2 – 25z2 = 400

8. 4x2 – 3y2 – z2 = 12

9. y2 – 9z2 – x2 – 9 = 0

10. 4x2 + 3y2 = 12

11. 3𝑥2 − 6𝑦2 + 2𝑧2 = 6

12. 9𝑥2 + 4𝑦2 − 12𝑧 = 0

13. 4𝑥2 − 9𝑦2 + 𝑧2 = 36

14. 𝑥2 − 3𝑦2 − 4𝑧 = 0

15. 𝑥2 − 16𝑦2 = 4𝑧2

16. 𝑥2 + 𝑦2 = 1 − 𝑧

Importante: La gráfica de una función de dos variables es una superficie.

Curvas de nivel: En general, si una función de dos variables está dada por = (𝑥, 𝑦) entonces

las curvas definidas por (𝑥, 𝑦) = 𝑐, para una c apropiada, reciben el nombre de curvas de nivel

de f. La palabra nivel proviene del hecho de que podemos interpretar (𝑥, 𝑦) = 𝑐, como la

proyección sobre el plano xy de la curva de intersección o traza de 𝑧 = (𝑥, 𝑦) y el plano

(horizontal o de nivel) 𝑧 = 𝑐. (Zill, 2011).



Fig. 1. Tomada de Calculus de Stewart.

Ejemplo: Construir las curvas de nivel de 𝑓(𝑥) = 8 − 𝑥2 − 2𝑦.

Taller 1.3.

I. Empleando MatLab, grafica las siguientes funciones y sus curvas de nivel, compara las

gráficas.

(a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑦 − 2𝑥)2

(b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥 + 𝑦

(c) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦𝑒𝑥

(d) 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑦2 − 𝑥2

(e) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥3 − 𝑦

(f) 𝑓(𝑥, 𝑦) = ln(𝑥2 + 4𝑦2)

(g) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦𝑠𝑒𝑐𝑥

(h) 𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑦

𝑥2+𝑦2

(i) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦2 − 𝑥3

(j) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦3 − 𝑦𝑥3

(k) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒−𝑥2+𝑦2

3 (𝑠𝑒𝑛(𝑥2) + cos(𝑦2))

(l) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦

II. Asocia las gráficas siguientes (A – F) con las curvas de nivel (I – IV), luego comprueba

graficando las funciones que corresponden a las gráficas (1- 6). (Tomado de Stewart pag.

915)

1. 𝑧 = sin (𝑥𝑦)

2. 𝑧 = sin (𝑥 − 𝑦)

3. 𝑧 = (1 − 𝑥2)(1 − 𝑦2)

4. 𝑧 =𝑥−𝑦

1+𝑥2+𝑦2

5. 𝑧 = 𝑒𝑥 cos 𝑦 6. 𝑧 = sin 𝑥 − sin 𝑦



Sesión 3: Límites y continuidad

Competencia de la sesión: Calcula e interpreta los límites de funciones de varias variables.

Contenido de la sesión: Terminología básica, Límites, Regla de las dos trayectorias,

Demostración de límites.

1. Terminología Básica:

1.1. Disco Abierto y disco cerrado:

{(𝑥, 𝑦)/(𝑥 − 𝑥0)2 + (𝑦 − 𝑦0)2 < 𝛿2} Disco Abierto – Bola abierta

{(𝑥, 𝑦)/(𝑥 − 𝑥0)2 + (𝑦 − 𝑦0)2 ≤ 𝛿2} Disco cerrado – Bola cerrada

1.2. Punto interior: Si R es cierta región del plano xy, entonces un punto (a,b) se dice que

será un punto interior de R si hay algún disco abierto centrado en (a,b) contiene solo

puntos de R.

1.3. Punto frontera: (a,b) es un punto frontera de R si el interior de cualquier disco abierto

centrado en (a,b) contiene puntos de R y fuera de R.

1.4. Región abierta: La región R es abierta si contiene punto no frontera.

1.5. Región cerrada: La región R es cerrada si contiene todos sus puntos frontera.

1.6. Región acotada: La región R es acotada si puede estar contenida en un rectángulo

suficientemente grande en el plano.

2. Límites de funciones de dos variables:

lim(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐿 ↔ 𝑓 tiene un límite en un punto (𝑎, 𝑏) si los valores de la función

𝑓(𝑥, 𝑦) se acercan a un número 𝐿 conforme (𝑥, 𝑦) se acerca a (𝑎, 𝑏).

2.1. Cálculo de límites por la regla de las dos trayectorias

Si 𝑓(𝑥, 𝑦) no se aproxima al mismo número 𝐿 por dos trayectorias diferentes a (𝑎, 𝑏), entonces


𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐿 no existe.

A continuación tres maneras de aproximar el punto (𝑎, 𝑏)



Ejemplos:

1. Demuestre que el límite lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥2−3𝑦2

𝑥2+2𝑦2 no existe.


𝑥𝑦

𝑥2+𝑦2 no existe.


𝑥3𝑦

𝑥6+𝑦2 no existe.

2.2. Definición de límite:


𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐿 ↔ ∀휀 > 0, ∃𝛿 > 0 𝑡𝑞 |𝑓(𝑥, 𝑦) − 𝐿| < 휀 𝑠𝑞 0 < ‖(𝑥, 𝑦) − (𝑎, 𝑏)‖ < 𝛿

Ejemplos:

1. Demuestre que lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

10𝑥𝑦2

𝑥2+𝑦2 = 0

2. Demuestre que el límite existe, lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥2𝑦2

𝑥2+𝑦2

3. Calcular y demuestre que lim(𝑥,𝑦)→(2,3)

3𝑥 + 2𝑦

4. Demuestre que lim(𝑥,𝑦)→(1,3)

𝑥2 + 𝑦2

5. Calcular y demostrar, si existe: lim(𝑥,𝑦)→(3,−1)

𝑥2 + 2𝑥𝑦

3. Continuidad

Una función 𝑓(𝑥, 𝑦) es contínua en (𝑎, 𝑏), si 𝑓(𝑎, 𝑏) está definida, lim(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)

𝑓(𝑥, 𝑦) existe y el

límite es el mismo que el valor de la función 𝑓(𝑎, 𝑏); esto es,


𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑎, 𝑏)

Si 𝑓 no es continua en (𝑎, 𝑏), se afirma que es discontinua.

Ejemplo:

Analizar la continuidad de 𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑥4−𝑦4

𝑥2+𝑦2 en (0,0). Determinar si la función definida por:

𝑓(𝑥, 𝑦) = {

𝑥𝑦

𝑥2+𝑦2 , (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0)

0, (𝑥, 𝑦) = (0,0) es contínua en (0,0).

𝑂𝑏𝑠: Continuidad y dominio de f.



Taller 1.3. :

I. Calcular y demostrar los límites siguientes

(1) lim(𝑥,𝑦)→(2,4)

𝑥2 + 2𝑥 − 𝑦

(2) lim(𝑥,𝑦)→(2,−2)

3𝑥2 − 4𝑦2

(3) lim(𝑥,𝑦)→(1,1)

𝑥2 + 𝑦2

(4) lim(𝑥,𝑦)→(3,1)

𝑥2 − 𝑦2 + 2𝑥 − 4𝑦

(5) lim(𝑥,𝑦)→(3,−1)

𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 + 𝑦

(6) lim(𝑥,𝑦)→(2,3)

2𝑥2 − 𝑦2

(7) lim(𝑥,𝑦)→(2,4)

𝑥2 + 2𝑥 − 𝑦

(8) lim(𝑥,𝑦)→(1,1)

𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 + 2𝑦

II. Calcular y demostrar los siguientes límites si existen

(1) lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥2−𝑦2

𝑥2+𝑦2

(2) lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥3

𝑥𝑦+𝑦

(3) lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

3𝑥2𝑦2

𝑥3+𝑦3

(4) lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥𝑦3

𝑥2+𝑦6

III. Determinar si las siguientes funciones son continuas en (0,0)

(1) 𝑓(𝑥, 𝑦) = {

𝑥+𝑦

𝑥2+𝑦2 , 𝑠𝑖 (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0)

0, 𝑠𝑖 (𝑥, 𝑦) = (0,0)

(2) 𝑓(𝑥, 𝑦) = {

𝑥𝑦

√𝑥2+𝑦2, 𝑠𝑖 (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0)

0, 𝑠𝑖 (𝑥, 𝑦) = (0,0)

Analiza los ejercicios 23 y 24 de Cálculo de Stwart empleando Matlab.



Sesión 4: Derivadas Parciales

Competencia de la sesión: Aplica las fórmulas de derivación en funciones de varias variables.

Contenido de la Sesión: Definición de derivadas parciales, empleo de fórmulas elementales.

Derivadas de orden superior. Regla de la cadena.

Definición 1: Derivadas parciales de primer orden

Sea 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), donde 𝑓: 𝑅2 → 𝑅, se define la derivada parcial de la función con respecto a 𝑥

en un punto (𝑥, 𝑦):

(i) 𝜕𝑧

𝜕𝑥= lim

ℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ,𝑦)−𝑓(𝑥,𝑦)

ℎ

Y la derivada parcial con respecto a y:

(ii) 𝜕𝑧

𝜕𝑦= lim

ℎ→0

𝑓(𝑥,𝑦+ℎ)−𝑓(𝑥,𝑦)

ℎ

Siempre que el límite exista.

Ejemplo:

Encontrar la derivada parcial de la función 𝑧 = 𝑥2𝑦 con respecto a 𝑥 e 𝑦 empleando la

definición dada.

Regla para el cálculo de derivadas parciales

- Para calcular 𝜕𝑧

𝜕𝑥: Tome a la variable 𝑦 como constante, luego derive aplicando las

formulas elementales de derivación, no olvide tratar a 𝒚 como constante.

- Para calcular 𝜕𝑧

𝜕𝑦: Tome a la variable 𝑥 como constante, luego derive aplicando las

formulas elementales de derivación, no olvide tratar a 𝒙 como constante.

Importante: Las propiedades y fórmulas de derivación en funciones de variable real se aplican

a funciones de varias variables.

Obs: Notaciones empleadas:

Si calculamos la derivada en (𝑥0, 𝑦0):

𝜕𝑧

𝜕𝑥|

(𝑥0,𝑦0) ,

𝜕𝑧

𝜕𝑥(𝑥0, 𝑦0)

Ejemplos: Hallar las derivadas parciales de las siguientes funciones

1. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥4 + 𝑦4 − 4𝑥2𝑦2

2. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 +𝑥

𝑦

3. 𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑥

𝑦2



4. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥3𝑦4cos (𝑥𝑦2)

5. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑒𝑥2𝑦, evaluar en 𝑝(1, 𝑙𝑛2)

Interpretación geométrica: 𝑃 = (𝑎, 𝑏, 𝑓(𝑎, 𝑏))

- 𝜕𝑧

𝜕𝑥 : Pendiente de la recta tangente en el punto P (para el cual el límite existe) sobre la

curva C de intersección de la superficie 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) y el plano 𝑦 = 𝑏.

- 𝜕𝑧

𝜕𝑦: Pendiente de la recta tangente en el punto P sobre la curva C de intersección entre la

superficie 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) y en el plano 𝑥 = 𝑎.

Fig. tomada del libro Cálculo de varias variables de Zill.

Taller 1.4A

(1) Hallar las primeras derivadas parciales:

a. 𝑧 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛√𝑥2−𝑦2

𝑥2+𝑦2

b. 𝑧 = ln (𝑥𝑦2 + 𝑦𝑥2 + √1 + (𝑥𝑦2 + 𝑦𝑥2)2)

(2) Si 𝑧 =𝑥𝑦

𝑥+𝑦, verifique que 𝑥

𝜕𝑧

𝜕𝑥+ 𝑦

𝜕𝑧

𝜕𝑦= 𝑧

(3) Si 𝑧 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (𝑥−𝑦

𝑥+𝑦), verifique 𝑥

𝜕𝑧

𝜕𝑥+ 𝑦

𝜕𝑧

𝜕𝑦= 0

(4) Si 𝑧 = 𝑥3 − 3𝑥2𝑦 − 2𝑦3, verifique que 𝑥𝜕𝑧

𝜕𝑥+ 𝑦

𝜕𝑧

𝜕𝑦= 3𝑧

(5) Si 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥+𝑦

𝑧), verifique que 𝑥

𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑦

𝜕𝑢

𝜕𝑦+ 𝑧

𝜕𝑢

𝜕𝑧= 0

(6) Si 𝑢 = 𝑥2𝑦 + 𝑦2𝑧 + 𝑧2𝑥, verifique que 𝜕𝑢

𝜕𝑥+

𝜕𝑢

𝜕𝑦+

𝜕𝑢

𝜕𝑧= (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)2

(7) Si 𝑧 =1

𝑥2+𝑦2−1. Demostrar que: 𝑥

𝜕𝑧

𝜕𝑥+ 𝑦

𝜕𝑧

𝜕𝑦= −2𝑧(1 + 𝑧)

Actividad: Continuar con los ejercicios anteriores del libro de análisis matemático III de Espinoza

Ramos, hasta el ejercicio 20, pág. 421. Resolver los ejercicios del libro de Zill, página 701, del 1

al 26.

Derivadas de Orden superior

Derivada parcial de segundo orden: 𝜕2𝑧

𝜕𝑥2 =𝜕

𝜕𝑥(

𝜕𝑧

𝜕𝑥) y

𝜕2𝑧

𝜕𝑦2 =𝜕

𝜕𝑦(

𝜕𝑧

𝜕𝑦)

Derivada parcial de tercer orden: 𝜕3𝑧

𝜕𝑥3 =𝜕

𝜕𝑥(

𝜕2𝑧

𝜕𝑥2) y 𝜕3𝑧

𝜕𝑦3 =𝜕

𝜕𝑦(

𝜕2𝑧

𝜕𝑦2)



Derivadas parciales de segundo orden mixtas: 𝜕2𝑧

𝜕𝑥𝜕𝑦=

𝜕

𝜕𝑥(

𝜕𝑧

𝜕𝑦) y

𝜕2𝑧

𝜕𝑦𝜕𝑥=

𝜕

𝜕𝑦(

𝜕𝑧

𝜕𝑥)

Notaciones: 𝑓𝑥𝑥, 𝑓𝑦𝑦

Teorema: Igualdad de parciales mixtas

Sea 𝑓 una función de dos variables. Si las derivadas parciales 𝑓𝑥, 𝑓𝑦, 𝑓𝑥𝑦, 𝑓𝑦𝑥 son continuas en

algún disco abierto, entonces

𝑓𝑥𝑦 = 𝑓𝑦𝑥

En cada punto sobre el disco.

Ejemplo:

Sea 𝑧 = 𝑥2𝑦2 − 𝑦3 + 4𝑥5 − 1, hallar las derivadas de segundo orden.

Taller 1.4B

(1) Si 𝑧 = 𝑒𝑥(𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 − 𝑦𝑠𝑒𝑛𝑦). Demostrar que 𝜕2𝑧

𝜕𝑥2 +𝜕2𝑧

𝜕𝑦2 = 0.

(2) Demostrar que la ecuación 𝜕2𝑧

𝜕𝑥2 +𝜕2𝑧

𝜕𝑦2 = 0, se satisface por

𝑧 = 𝑙𝑛√𝑥2 + 𝑦2 +1

2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (

𝑦

𝑥)

(3) Si 𝑉 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (2𝑥

𝑥2−𝑦2), demostrar que:

(a) 𝑥𝜕𝑉

𝜕𝑥+ 𝑦

𝜕𝑉

𝜕𝑦= 0 (b)

𝜕2𝑉

𝜕𝑥2 +𝜕2𝑉

𝜕𝑦2 = 0

(4) Demostrar que la ecuación 𝜕2𝑉

𝜕𝑥2 +𝜕2𝑉

𝜕𝑦2 +𝜕2𝑉

𝜕𝑧2 = 0 se satisface por 𝑉 =1

√𝑥2+𝑦2+𝑧2

(5) Si 𝑧 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑦

𝑥, mostrar que

𝜕3𝑧

𝜕𝑦2𝜕𝑥=

𝜕3𝑧

𝜕𝑥𝜕𝑦2

Actividad: Desarrollar los ejercicios 33 y 34 del libro de Espinoza Ramos, pag. 424.

Adicional

Regla de la Cadena

Suponga que 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) es diferenciable en (𝑥, 𝑦) y 𝑥 = 𝑔(𝑡) y que 𝑦 = ℎ(𝑡) son funciones

diferenciables en 𝑡. Entonces 𝑧 = 𝑓(𝑔(𝑡), ℎ(𝑡)) es una función diferenciable de 𝑡 y

𝑑𝑧

𝑑𝑡=

𝜕𝑧

𝜕𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑡+

𝜕𝑧

𝜕𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑡

Ejemplo:

Si 𝑧 = 𝑥3𝑦 − 𝑦4 y 𝑥 = 2𝑡2, 𝑦 = 5𝑡2 − 6𝑡, calcule 𝑑𝑧

𝑑𝑡 en 𝑡 = 1

Si 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) es diferenciable y 𝑥 = 𝑔(𝑢, 𝑣) y 𝑦 = ℎ(𝑢, 𝑣) tienen primeras derivadas parciales

continuas, entonces

𝜕𝑧

𝜕𝑢=

𝜕𝑧

𝜕𝑥

𝜕𝑥

𝜕𝑢+

𝜕𝑧

𝜕𝑦

𝜕𝑦

𝜕𝑢 y

𝜕𝑧

𝜕𝑣=

𝜕𝑧

𝜕𝑥

𝜕𝑥

𝜕𝑣+

𝜕𝑧

𝜕𝑦

𝜕𝑦

𝜕𝑣

Obs:



Diagrama del árbol:

a) Si 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) y 𝑥 = 𝑔(𝑢, 𝑣) y 𝑦 = ℎ(𝑢, 𝑣) b) Si 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) y 𝑥 = 𝑔(𝑡) y que 𝑦 = ℎ(𝑡)

Ejemplo:

Si 𝑟 = 𝑥2 + 𝑦5𝑧3 y 𝑥 = 𝑢𝑣𝑒2𝑠, 𝑦 = 𝑢2 − 𝑣2𝑠, 𝑧 = 𝑠𝑒𝑛(𝑢𝑣𝑠2), encuentre a) 𝜕𝑟

𝜕𝑢 y b)

𝜕𝑟

𝜕𝑠.

Derivación Implícita

i) Si 𝑤 = 𝐹(𝑥, 𝑦) es diferenciable y 𝑦 = 𝑓(𝑥) es una función diferenciable de 𝑥

definida implícitamente por 𝐹(𝑥, 𝑦) = 0, entonces

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −

𝐹𝑥(𝑥, 𝑦)

𝐹𝑦(𝑥, 𝑦)

ii) Si 𝑤 = 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) es diferenciable y 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) es una función diferenciable de 𝑥 y

𝑦 definida implícitamente por 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0, entonces: 𝜕𝑧

𝜕𝑥= −

𝐹𝑥(𝑥,𝑦,𝑧)

𝐹𝑧(𝑥,𝑦,𝑧) y

𝜕𝑧

𝜕𝑦= −

𝐹𝑦(𝑥,𝑦,𝑧)

𝐹𝑧(𝑥,𝑦,𝑧)

Donde 𝐹𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧) ≠ 0

Actividad: Resolver los ejercicios propuestos del libro de Espinoza Ramos página 420.



Sesión 5: Diferenciales y multiplicadores de Lagrange para máximos y mínimos

Competencia: Calcula los extremos relativos de las funciones de varias variables.

Contenido: Diferenciabilidad y continuidad, Extremos realativos y absolutos.

5.1. Diferenciabilidad

Teorema 1: Si las primeras derivadas parciales 𝑓𝑥 y 𝑓𝑦 son continuas en un punto en una región

abierta R, entonces 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) es diferenciable sobre R.

Teorema 2: Si 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) es diferenciable en el punto (𝑥0, 𝑦0), entonces 𝑓 es continua en

(𝑥0, 𝑦0).

5.2. Extremos de funciones multivariables

Definición: Extremos relativos

i) Un número f(a,b) es un máximo relativo de una función z = f(x,y) si f(x,y) ≤ f(a,b)

para todo (x,y) en algún disco abierto que contenga a (a,b).

ii) Un número f(a,b) es un mínimo relativo de una función z = f(x,y) si f(x,y) ≥ f(a,b)

para todo (x,y) en algún disco abierto que contenga a (a,b).

Teorema: Extremos relativos

Si una función 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) tiene un extremo relativo en el punto (𝑎, 𝑏) y si las primeras derivas

parciales existen en ese punto, entonces

𝑓𝑥(𝑎, 𝑏) = 0 y 𝑓𝑦(𝑎, 𝑏) = 0

Definición: Puntos críticos

Un punto crítico de una función 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) es un punto (𝑎, 𝑏) en el dominio de 𝑓 para el cual

𝑓𝑥(𝑎, 𝑏) = 0 y 𝑓𝑦(𝑎, 𝑏) = 0, o si una de sus derivadas parciales no existe en el punto.

Importante: Los puntos críticos corresponden a puntos donde 𝑓 podría posiblemente tener un

extremo relativo. Algunos autores llaman a los puntos críticos como Puntos estacionarios. En el

caso que las primeras derivadas parciales existan, encontramos un punto crítico (𝑎, 𝑏) al resolver

las ecuaciones 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = 0 y 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = 0 .

Ejemplo: Encontrar todos los puntos críticos para 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥3 + 𝑦3 − 27𝑥 − 12𝑦



Teorema: Prueba de las segundas derivadas

Sea (𝑎, 𝑏) un punto crítico de 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) y suponga que 𝑓𝑥𝑥, 𝑓𝑦𝑦 y 𝑓𝑥𝑦 son continuas en un disco

centrado en (𝑎, 𝑏). Considere que

𝐷(𝑥, 𝑦) = |𝑓𝑥𝑥(𝑥, 𝑦) 𝑓𝑥𝑦(𝑥, 𝑦)

𝑓𝑥𝑦(𝑥, 𝑦) 𝑓𝑦𝑦(𝑥, 𝑦)|

i) Si 𝐷(𝑎, 𝑏) > 0 y 𝑓𝑥𝑥(𝑎, 𝑏) > 0, entonces 𝑓(𝑎, 𝑏) es un mínimo relativo.

ii) Si 𝐷(𝑎, 𝑏) > 0 y 𝑓𝑥𝑥(𝑎, 𝑏) < 0, entonces 𝑓(𝑎, 𝑏) es un máximo relativo.

iii) Si 𝐷(𝑎, 𝑏) < 0, entonces (𝑎, 𝑏, 𝑓(𝑎, 𝑏)) no es un extremo relativo, es un punto silla.

iv) Si 𝐷(𝑎, 𝑏) = 0, entonces la prueba no es concluyente, es decir este criterio no da

información.

Obs: Recordar el proceso:

- Encontrar los puntos críticos.

- Reemplazar en la prueba de las segundas derivadas y concluir.

Ejemplo:

a) Determine los extremos de 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4𝑥2 + 2𝑦2 − 2𝑥𝑦 − 10𝑦 − 2𝑥

b) Determine los extremos de 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥3 + 𝑦3 − 3𝑥2 − 3𝑦2 − 9𝑥

c) Determine los extremos de 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2 − 6𝑥 + 2

5.3. Criterio de la matriz Hessiana para máximos y mínimos (emplearemos cuando f

tenga más de dos variables)

Sea 𝑓: 𝐷 ⊂ 𝑅𝑛 → 𝑅, en donde sus derivadas parciales de segundo orden son continuas en D, y si

𝑥0 ∈ 𝐷 un punto para el cual 𝐷1𝑓(𝑥0) = 0, 𝐷2𝑓(𝑥0) = 0, … . , 𝐷𝑛𝑓(𝑥0) = 0, se define el

determinante de la matriz Hessiana 𝐻(𝑓(𝑥0)), denotada por:

∆𝑛= |

𝐷11𝑓(𝑥0)

𝐷21𝑓(𝑥0)⋮

𝐷𝑛1𝑓(𝑥0)

𝐷12𝑓(𝑥0)

𝐷22𝑓(𝑥0)⋮

𝐷𝑛2𝑓(𝑥0)

⋯⋯⋮

⋯

𝐷1𝑛𝑓(𝑥0)

𝐷21𝑓(𝑥0)⋮

𝐷𝑛𝑛𝑓(𝑥0)

|

Entonces:

a) 𝑥0 corresponde a un mínimo relativo si ∆1> 0, ∆2> 0, … ∆𝑛> 0, cuyo valor mínimo es

𝑓(𝑥0)

b) 𝑥0 corresponde a un máximo relativo si ∆1< 0, ∆2> 0, ∆3< 0, …. cuyo valor máximo

es 𝑓(𝑥0).

Ejemplos:

1. Determinar los extremos relativos de 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 4𝑥 + 𝑥𝑦 − 𝑥2 − 𝑦2 − 𝑧2 − 𝑦𝑧

2. Hallar los extremos relativos 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 4𝑥 + 𝑥𝑦 − 𝑦𝑧 − 𝑥2 − 𝑦2 − 𝑧2

Taller 1.5

(1) Si 𝑧 = 𝑥2 + 5𝑦2 − 6𝑥 + 10𝑦 + 15, encuentre y clasifique los puntos críticos de z.

(2) Si 𝑧 = 𝑥3 + 𝑦3, encuentre y clasifique los puntos críticos de z.

(3) Si 𝑧 = 𝑥3 + 𝑦3 − 3𝑥𝑦, encuentre y clasifique los puntos críticos de z.

(4) Para las siguientes funciones, calcule los puntos críticos y clasifíquelos:



a. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥4 + 𝑦4 − 4𝑥𝑦 + 1

b. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥3 + 𝑦3 + 3𝑦2 − 3𝑥 − 9𝑦 + 2

c. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2 − 3𝑥 − 6𝑦

(5) Hallar los extremos relativos de las funciones siguientes:

a. 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 4𝑥 + 𝑥𝑦 − 𝑦𝑧 − 𝑥2 − 𝑦2 − 𝑧2

b. 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) =𝑥3

3− 3𝑥𝑦 − 3𝑥𝑧 − 3𝑦2 +

3

2𝑧2 − 5𝑥 − 2

c. 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 𝑥𝑦 + 𝑥 − 2𝑧

Actividad: Practica desarrollando los problemas propuestos de Zill, página 734, Espinoza Ramos

página 518 al 520.

5.4. Teorema de Lagrange

Suponga que la función 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) tiene un extremo en el punto (𝑥0, 𝑦0) sobre la gráfica de la

ecuación restricción 𝑔(𝑥, 𝑦) = 0. Si 𝑓 y 𝑔 tienen primeras derivadas parciales continuas en un

conjunto abierto que contiene la gráfica de la ecuación de restricción y ∇𝑔(𝑥0, 𝑦0) ≠ 0, entonces

existe un número real ∇𝑓(𝑥0, 𝑦0) = 𝜆∇𝑔(𝑥0, 𝑦0).

Observación:

- 𝜆 es llamado Multiplicador de Lagrange.

- ∇𝑓(𝑥0, 𝑦0) es el vector gradiente de 𝑓 en el punto (𝑥0, 𝑦0), el cual se define como:

∇𝑓(𝑥0, 𝑦0) = (𝑓𝑥(𝑥0, 𝑦0), 𝑓𝑦(𝑥0, 𝑦0)), análogamente aplicar a ∇𝑔(𝑥0, 𝑦0).

- Reemplazando lo anterior en la condición del teorema ∇𝑓(𝑥0, 𝑦0) = 𝜆∇𝑔(𝑥0, 𝑦0),

obtenemos el sistema de ecuaciones:

Guía para el método de los multiplicadores de Lagrange

i) Para encontrar los extremos de 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) sujetos a la restricción 𝑔(𝑥, 𝑦) = 0,

resuelva el sistema de ecuaciones detallado en la observación anterior.



ii) Entre la soluciones (𝑥, 𝑦, 𝜆) del sistema anterior, allí formará los puntos (𝑥𝑖, 𝑦𝑖),

donde 𝑓 tiene un extremo. Cuando 𝑓 tiene un máximo (mínimo), éste será el número

más grande (o más pequeño) en la lista de los valores de la función 𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖).

Ejemplos:

1. Emplee el método de los multiplicadores de Lagrange para determinar el máximo de

𝑓(𝑥, 𝑦) = 9 − 𝑥2 − 𝑦2 sujeto a 𝑥 + 𝑦 = 3.

2. Determine los extremos 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦2 − 4𝑥 sujetos a 𝑥2 + 𝑦2 = 9

Taller 1.6

Encontrar los extremos relativos de la función dada en cada uno de los casos, sujeta a las

restricciones dadas.

(1) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 9 − 𝑥2 − 𝑦2 sujeta a 𝑥 + 𝑦 = 3

(2) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 sujeta a 𝑥2 + 𝑦2 = 4

(3) 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦 sujeta a 𝑥2 + 𝑦2 = 9

(4) 𝑧 = 25 − 𝑥2 − 𝑦2 sujeta a 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑦 = 0

(5) 𝑧 = 4𝑥2 + 2𝑦2 + 5 sujeta a 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑦 = 0

(6) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥3 + 𝑦3 + 𝑧3 para 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1

(7) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦2𝑧3 para 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 12 (𝑥 > 0, 𝑦 > 0, 𝑧 > 0)

(8) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 para 3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 − 4 = 0

Actividad: Práctica resolviendo los ejercicios de la página 743 del libro de Zill, ejercicios del 1

al 12, libro de Espinoza Ramos, páginas 524 y 525.



Unidad II: INTEGRALES MÚLTIPLES, CURVILÍNEAS Y DE SUPERFICIE

Sesión 6: Integrales dobles, Coordenadas polares

Contenido de la sesión: Integral doble. Propiedades. Volumen y Área. Integrales Tipo I, Tipo II.

Cambio de Coordenadas. Coordenadas polares.

Competencia de la sesión: Calcula las integrales identificando el tipo de región y cambiando de

coordenadas si es necesario.

Definición 1: Integral doble

Sea 𝑓 una función de dos variables definida sobre una región cerrada 𝑅 del plano 𝑥𝑦. Entonces la

integral doble de 𝑓 sobre 𝑅, denotada por ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴𝑅

= lim‖𝑃‖→0

∑ 𝑓(𝑥𝑘∗ , 𝑦𝑘

∗)∆𝐴𝑘𝑛𝑘=1

Importante:

1. Cuando 𝑓 es continua sobre 𝑅, el límite anterior existe, esto es 𝑓 es necesariamente

integrable sobre 𝑅.

2. Volumen: Si 𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ 0, sobre 𝑅, entonces 𝑉 = ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴𝑅

.

3. Área: Cuando 𝑓(𝑥, 𝑦) = 1, sobre 𝑅, entonces 𝐴 = ∬ 𝑑𝐴𝑅



Propiedades

Sean 𝑓 y 𝑔 funciones de dos variables que son integrables sobre una región 𝑅 del plano 𝑥𝑦.

Entonces

1. ∬ 𝑘𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴𝑅

= 𝑘 ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴𝑅

, donde 𝑘 es cualquier constante

2. ∬ [𝑓(𝑥, 𝑦) ± 𝑔(𝑥, 𝑦)]𝑑𝐴𝑅

= ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴𝑅

± ∬ 𝑔(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴𝑅

3. ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴𝑅

= ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴𝑅1

+ ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴𝑅2

, donde 𝑅1 y 𝑅2 son subregiones que

no se traslapan y 𝑅 = 𝑅1 ∪ 𝑅2

4. ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴𝑅

≥ ∬ 𝑔(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴𝑅

si 𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ 𝑔(𝑥, 𝑦) sobre 𝑅.

CASOS:

I. FUNCIONES INTEGRABLES SOBRE RECTÁNGULOS

Teorema: Sea 𝑓: 𝑄 ⊂ 𝑅2 → 𝑅 una función acotada e integrable en el rectángulo

𝑄 = [𝑎, 𝑏]𝑥 [𝑐, 𝑑]. Entonces:

∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ (∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑏

𝑎

) 𝑑𝑦 =𝑑

𝑐

∫ (∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑

𝑐

) 𝑑𝑥𝑏

𝑎𝑅

Ejemplos:

a. Calcular la integral doble ∬ (𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑄

sobre el rectángulo 𝑄 = [0,2] × [1,2].

b. Calcular la integral de la función 𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑥𝑦

1+𝑥2+𝑦2 en el rectángulo 𝑄 = [0,1] × [0,1].

Taller 2.1. En cada uno de los siguientes ejercicios calcule la integral doble de la función sobre

el rectángulo Q.

(1) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥𝑦, 𝑄 = [−1,0] × [0,1]

(2) 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 2𝑦)3, 𝑄 = [−1,5] × [3,7]

(3) 𝑓(𝑥, 𝑦) = sin(𝑥 + 4𝑦) , 𝑄 = [2,5] × [3,6]

(4) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 cos(2𝑥 − 𝑦) , 𝑄 = [1,2] × [3,4]

(5) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑥+𝑦, 𝑄 = [1,2] × [0,3]

(6) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑥 sin 𝑦 , 𝑄 = [0,1] × [0,1]

(7) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2𝑦𝑒𝑥𝑦 , 𝑄 = [0,1] × [0,1]

(8) 𝑓(𝑥, 𝑦) =1

(2𝑥+𝑦−3)3 , 𝑄 = [2,3] × [2,3]

(9) Calcular la integral sobre ∬ 𝑒𝑥+sin 𝑦 cos 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦𝐷

, si la región D es el rectángulo 0 ≤

𝑥 ≤ 𝜋, 0 ≤ 𝑦 ≤𝜋

2

(10) Calcular la integral sobre ∬ 𝑒𝑥+𝑦𝐷

𝑑𝑥𝑑𝑦, si la región D es el rectángulo

0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1

(11) Calcular la integral sobre ∬𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦

(1+𝑥2+𝑦2)3/2𝐷, si la región D es el rectángulo

0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1

(12) Calcular la integral sobre ∬ 𝑥2𝑦𝑒𝑥𝑦𝐷

𝑑𝑥𝑑𝑦, si la región D es el rectángulo

0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 2

(13) ∫ ∫ 𝑒𝑥 cos(𝑦 + 𝑒𝑥)𝑑𝑦𝑑𝑥1

0

2

0



II. INTEGRALES DOBLES DE FUNCIONES SOBRE REGIONES MÁS

GENERALES

Regiones del Tipo I: Sean 𝜙1, 𝜙2: [𝑎, 𝑏] → 𝑅

dos funciones reales de variable real 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], continuas, de modo que 𝜙1(𝑥) ≤ 𝜙2(𝑥), ∀𝑥 ∈

[𝑎, 𝑏]. Consideremos la región 𝐷1 del plano dada

por

𝐷1 = {(𝑥, 𝑦)/ 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝜙1(𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝜙2(𝑥)}

∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 =𝜙2(𝑥)

𝜙1(𝑥)

𝑏

𝑎

∫ [∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝜙2(𝑥)

𝜙1(𝑥)

] 𝑑𝑥𝑏

𝑎

Regiones del Tipo II: Sean 𝜓1, 𝜓2: [𝑐, 𝑑] → 𝑅 dos

funciones reales de variable real 𝑦 ∈ [𝑐, 𝑑], continuas,

de modo que 𝜓1(𝑦) ≤ 𝜓2(𝑦), ∀𝑦 ∈ [𝑐, 𝑑]. Consideremos la región 𝐷2 del plano dada por

𝐷2 = {(𝑥, 𝑦)/ 𝜓1(𝑦) ≤ 𝑥 ≤ 𝜓2(𝑦), 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑}

∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 =𝜓2(𝑦)

𝜓1(𝑦)

𝑑

𝑐

∫ [∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝜓2(𝑦)

𝜓1(𝑦)

] 𝑑𝑦𝑑

𝑐

Ejemplos:

a. Calcular la integral de la función 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝑦) en la región acotada por las

rectas 𝑥 = 0, 𝑦 = 3𝜋, 𝑦 = 𝑥.

b. Calcular la integral de 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 donde la región 𝑅 es la cuarta parte situada en el

primer cuadrante, del anillo circular limitado por los círculos 𝑥2 + 𝑦2 = 1, 𝑥2 + 𝑦2 = 4

c. Calcular la integral de la función 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 + 1 sobre la región 𝑅 limitada por las

rectas 𝑦 − 𝑥 = 1, 𝑦 − 𝑥 = −1, 𝑦 + 𝑥 = 1, 𝑦 + 𝑥 = 2.

Taller 2.2

(1) Calcular la integral doble ∬ (𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑥𝑑𝑦𝐷

, si la región D está limitada por las líneas

y = x, x = 0, y = 1, y = 2.

(2) Calcular ∬ (3𝑥2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦𝐷

, si la región D está limitada por las líneas x= 0, x =

y2, y = 2.

(3) Calcular ∬2𝑦−1

𝑥2+1𝑑𝑥𝑑𝑦

𝐷, donde D está limitada por 𝑦 = 4 − 𝑥2, 𝑦 = 0

(4) Calcular ∬ 𝑦 ln 𝑥𝐷

𝑑𝑥𝑑𝑦, si la región D está limitado por las líneas 𝑥𝑦 = 1, 𝑦 = √𝑥,

𝑥 = 2.

(5) Calcular ∬ (𝑥 + 𝑦)𝑑𝐴𝐷

, donde D es la región limitada por 𝑥𝑦 = 𝑎2, 2(𝑥 + 𝑦) = 5𝑎.

Actividad 2.2. al finalizar los ejercicios de este taller, resolver los ejercicios propuestos del 21 –

30, de la página 588 de “Cálculo Vectorial” de Claudio Pita Ruiz. Revisa desde la página 600

del libro de Espinoza Ramos, hay muchos ejercicios para practicar.



CAMBIO DE VARIABLE PARA LAS INTEGRALES DOBLES

Teorema: Sea 𝑇: 𝐷 ⊂ 𝑅2 → 𝐸 = 𝑇(𝐷) ⊂ 𝑅2 una función continuamente diferenciable y uno a

uno sobre 𝐷, donde 𝐷 y 𝐸 son regiones cerradas. Además suponemos 𝐸 = 𝑇(𝐷) y 𝑓: 𝐸 ⊂ 𝑅2 →

𝑅 una función continua sobre E.

Entonces:

∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦

𝐸

= ∬ 𝑓(𝑇(𝑢, 𝑣))|𝐽(𝑢, 𝑣)|𝑑𝑢𝑑𝑣

𝐷

= ∬ 𝑓(𝑥(𝑢, 𝑣), 𝑦(𝑢, 𝑣))|𝐽(𝑢, 𝑣)|𝑑𝑢𝑑𝑣

𝐷

Donde:

𝐽(𝑢, 𝑣) = |

𝜕𝑥

𝜕𝑢

𝜕𝑥

𝜕𝑣𝜕𝑦

𝜕𝑢

𝜕𝑦

𝜕𝑣

|

En coordenadas polares:

La relación entre coordenadas cartesianas y coordenadas polares:

𝑥 = 𝑟cosθ𝑦 = 𝑟senθ

𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2, 𝜃𝜖[0,2𝜋], 𝑟 ≥ 0

Luego


𝐸

= ∬ 𝑓(𝑟cosθ, 𝑟senθ)|𝐽(𝑟, 𝜃)|𝑑𝑟𝑑𝜃

𝐷

Donde:

𝐽(𝑟, 𝜃) = |

𝜕𝑥

𝜕𝑟

𝜕𝑥

𝜕𝜃𝜕𝑦

𝜕𝑟

𝜕𝑦

𝜕𝜃

| = 𝑟

Finalmente:


𝐸

= ∬ 𝑓(𝑟cosθ, 𝑟senθ)𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃

𝐷

Ejemplos:

a. Calcular la integral de 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 donde la región 𝑅 es la cuarta parte situada en el

primer cuadrante, del anillo circular limitado por los círculos 𝑥2 + 𝑦2 = 1, 𝑥2 + 𝑦2 = 4

b. Calcular la integral de la función 𝑓(𝑥, 𝑦) = ln(1 + 𝑥2 + 𝑦2) sobre la región 𝑅 limitada

por el círculo unitario 𝑥2 + 𝑦2 = 1.

Taller 2.3:

1. ∬ 𝑒𝑥2+𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑅 donde 𝑅 = {(𝑥, 𝑦)/𝑥2 + 𝑦2 ≤ 9 }



2. ∬1

4−𝑥2−𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑅

donde 𝑅 = {(𝑥, 𝑦)/𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1 }

3. ∬ (𝑥 + 𝑦)2𝑑𝑥𝑑𝑦𝑅

, donde R es la región limitada por el círculo de centro en (2,0),

tangente al eje y.

4. ∬ (𝑥 − 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑅

, donde R es la región limitada por la elipse 2𝑥2-3𝑦2=1.

5. ∬ (𝑥2 + 𝑦2)2𝑑𝑥𝑑𝑦𝑅

, donde R es la región limitada por el círculo con centro en (0,4) y

radio 4.

6. ∬ 𝑥𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦𝑅

, donde 𝑅 = {(𝑥, 𝑦)/ 𝑥2 + 𝑦

16

2≤ 1}

Actividad 2.3. Si terminaste los ejercicios del taller, resuelve los ejercicios propuestos

de Calculo Vectorial de Pita Ruiz, del 20 al 25, página 607. Revisa los ejercicios de

Espinoza Ramos desde la página 667.



Sesión 7: Aplicaciones de las Integrales dobles

Contenido de la sesión: Volúmenes de cuerpos en el espacio. Área de figuras planas.

Competencia de la sesión: Aplica coherentemente las integrales dobles en la solución de

problemas aplicativos.

I. Volúmenes de cuerpos en el espacio

Si 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) es continua y no negativa, se ha visto que la integral doble representa el volumen

bajo la superficie de la gráfica de la función 𝑓(𝑥, 𝑦).

i.e. V(R) = ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑅

Ejemplo:

(a) Calcular el volumen del cuerpo limitado por el cilindro 𝑧 = 5 − 2𝑥2, los planos

coordenados y el plano 2𝑥 + 𝑦 = 1.

(b) Calcular el volumen del cuerpo limitado por el paraboloide hiperbólico 𝑧 = 𝑥𝑦, el

cilindro 𝑦 = √2𝑥 y los planos 𝑥 + 𝑦 = 4, 𝑦 = 0, 𝑧 = 0.

II. Áreas de figuras planas

Si 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 1, entonces:

∬ 𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑅

= á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑅

Ejemplo: La curva cuya ecuación es (𝑥2 + 𝑦2)2 = 2𝑎2(𝑥2 − 𝑦2), se conoce como “lemniscata

de Bernoulli”. Calcular el área que esta curva encierra.

III. Centro de Masa y Momentos de figuras planas

- Masa Total: 𝑀 = ∬ 𝜌(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑅

Donde:

𝜌(𝑥, 𝑦) : Es la función densidad

𝑑𝑥𝑑𝑦: Diferencial de área

- Momentos estáticos:

Del cuerpo R respecto de los ejes coordenados

𝑀𝑥 = ∬ 𝑦𝜌(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑅

, 𝑀𝑦 = ∬ 𝑥𝜌(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑅

- Coordenadas del centro de masa:

�̅� =𝑀𝑦

𝑀, �̅� =

𝑀𝑥

𝑀

- Momento de Inercia:

𝐼𝑥 = ∬ 𝑦2𝜌(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑅

, y 𝐼𝑦 = ∬ 𝑥2𝜌(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑅

La suma de estos dos momentos se llama momento polar de inercia: 𝐼0 = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦



Ejemplos:

1. Hallar las coordenadas del centro de masa de la figura homogénea limitada por 𝑦 =

𝑥2 , 𝑦 = 5𝑥 − 6.

2. Calcular el momento de inercia de la región 𝑅 = {(𝑥, 𝑦)/𝑦 ≤ 𝑠𝑒𝑛𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋}

respecto al eje x.

Taller 2.4

1. Calcular el área de la región del plano XY, acotado por las gráficas de las curvas

𝑥 = 𝑦3, 𝑥 + 𝑦 = 2, 𝑦 = 0.

2. Por medio de integrales dobles, hallar el área de la región D comprendida entre las

curvas 𝑦2 = 4 − 𝑥 y 𝑦2 = 4 − 4𝑥.

3. Hallar el área de la región plana limitada por la parte de arriba por 𝑥2 + 𝑦2 = 2, y en la

parte de abajo por 𝑦 = 𝑥2.

4. Calcular el volumen del cuerpo limitado por las superficies 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2, 𝑦 = 𝑥2,

𝑦 = 1, 𝑧 = 0.

5. Calcular el volumen del cuerpo limitado por el paraboloide 𝑧 = 𝑥2 − 𝑦2 y los planos

𝑧 = 0, 𝑥 = 3.

6. Hallar el volumen del sólido en el primer octante limitado por las superficies 𝑥 + 𝑧2 =

1, 𝑥 = 𝑦, 𝑥 = 𝑦2.

7. Calcular el volumen del cuerpo limitado por las superficies 𝑥2 + 4𝑦2 + 𝑧 = 1, 𝑧 = 0.

8. Encontrar el centro de masa de una lámina que tiene la forma de una región limitada por

la curva: 𝑥2 + 𝑦2 = 64, de densidad 𝜌(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2 en cada punto (𝑥, 𝑦).

9. Calcular el centro de masa de la lámina delgada representada por la región R que se

encuentra por encima del eje X y entre las gráficas de las ecuaciones y=x, y=-x, 𝑥2 +

𝑦2 = 4𝑦, 𝑥2 + 𝑦2 = 6𝑦; 𝑦 > 0 siendo la densidad en cada punto P(x,y) de la lámina

𝜌(𝑥, 𝑦) = √𝑥2 + 𝑦2.

10. Una lámina delgada tiene la forma de la región R y con densidad 𝜌(𝑥, 𝑦) =

(𝑥2 + 𝑦2)−1

2. Hallar la masa de la lámina, si R es la región que es interior a la

circunferencia 𝑥2 + (𝑦 − 2)2 = 4 y exterior a la circunferencia 𝑥2 + 𝑦2 = 4.

Ejercicios: Resolver ejercicios aplicativos de la página 621 y 622 del libro de Cálculo

Vectorial de Claudio Pita.



Sesión 8: Integrales Triples

Competencia de la sesión: Resuelve integrales triples aplicando el cambio de coordenadas

pertinente.

Contenido de la sesión: Definición de integral triple, integrales iteradas, cambio de

coordenadas.

Definición 1: Integral Triple

Sea 𝑓 una función de tres variables definida sobre una región cerrada 𝐷 del espacio

tridimensional. Entonces la integral triple sobre 𝐷, denotada por medio de ∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝐷

𝑑𝑉, se

define como:

∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝐷

𝑑𝑉 = lim‖𝑃‖→0

∑ 𝑓(𝑥𝑘∗ , 𝑦𝑘

∗ , 𝑧𝑘∗)∆𝑉𝑘

𝑛

𝑘=1

Calculo de las integrales triples (integrales Iteradas)

Ejemplos:

1. ∫ ∫ ∫ 𝑥𝑦2𝑧3𝑦

0𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

𝑧

0

1

0

2. Calcular la integral triple de una función continua 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧)2 en la

región R, limitada por los planos coordenados y el plano 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1.

3. Calcular ∭ 𝑥𝑦2𝑧3𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑇

, si la región T está limitada por las superficies 𝑧 = 𝑥𝑦,

𝑦 = 𝑥, 𝑥 = 1, 𝑧 = 0.

4. Evaluar la integral triple ∭ 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑆

, si S es la región limitada por el tetraedro

formado por el plano 12𝑥 + 20𝑦 + 15𝑧 = 60 y los planos coordenados.

5. Calcular ∭ 𝑦𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝐷

, donde D es un dominio limitado por el cilindro 𝑦 =

√𝑥, y los planos 𝑦 = 0, 𝑧 = 0, 𝑥 + 𝑧 =𝜋

2.



Actividad: Página 782 del libro de Zill, cálculo de varias variables.

Importante: Volumen = ∭ 𝑑𝑉𝑈

= ∭ 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑈

CAMBIO DE COORDENADAS

I. COORDENADAS CILÍNDRICAS

Un punto 𝑃 en coordenadas cartesianas se definen mediante (𝑟, 𝜃, 𝑧), tomando como base un

cilindro de ecuación 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2.

Relación entre coordenadas cilíndricas y esféricas:

𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃, 𝑧 = 𝑧, además: 𝜃 ∈ [0,2𝜋], 𝑟 ≥ 0, 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2

De esa forma:

∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 = ∭ 𝑓(𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃, 𝑧)|𝐽(𝑟, 𝜃, 𝑧)|𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝑧

𝑈𝑈

Donde:

𝐽(𝑟, 𝜃, 𝑧) = ||

𝜕𝑥

𝜕𝑟

𝜕𝑥

𝜕𝜃

𝜕𝑥

𝜕𝑧𝜕𝑦

𝜕𝑟

𝜕𝑦

𝜕𝜃

𝜕𝑦

𝜕𝑧𝜕𝑧

𝜕𝑟

𝜕𝑧

𝜕𝜃

𝜕𝑧

𝜕𝑧

|| =…. = 𝑟

Reemplazando en la integral anterior obtenemos:

∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 = ∭ 𝑓(𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃, 𝑧)𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝑧

𝑈𝑈



Ejemplo: Hallar el volumen del sólido limitado por: 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4𝑎2 y el cilindro 𝑥2 +

(𝑦 − 𝑎)2 = 𝑎2. Empleando integración triple.

II. COORDENADAS ESFÉRICAS

Relación entre coordenadas esféricas y cartesianas:

𝑥 = 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜑𝑐𝑜𝑠𝜃, y= 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜑𝑠𝑒𝑛𝜃, z= 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜑,

Además 𝜃 ∈ [0,2𝜋], 𝜑 ∈ [0, 𝜋], 𝜌 ≥ 0, 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝜌2

De esa forma:

∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 = ∭ 𝑓(𝜌𝑠𝑒𝑛𝜑𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜑𝑠𝑒𝑛𝜃, 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜑)|𝐽(𝜌, 𝜃, 𝜑)|𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝑧

𝑈𝑈

Donde:

𝐽(𝜌, 𝜃, 𝜑) =||

𝜕𝑥

𝜕𝜌

𝜕𝑥

𝜕𝜃

𝜕𝑥

𝜕𝜑

𝜕𝑦

𝜕𝜌

𝜕𝑦

𝜕𝜃

𝜕𝑦

𝜕𝜑

𝜕𝑧

𝜕𝜌

𝜕𝑧

𝜕𝜃

𝜕𝑧

𝜕𝜑

||

=…. = 𝜌2𝑠𝑒𝑛𝜑

Reemplazando:

∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 = ∭ 𝑓(𝜌𝑠𝑒𝑛𝜑𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜑𝑠𝑒𝑛𝜃, 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜑)𝜌2𝑠𝑒𝑛𝜑 𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝑧

𝑈𝑈

Observación:

- 𝑑𝑉 = 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥 Diferencial de volumen en coordenadas cartesianas.

- 𝑑𝑉 = 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝑧 Diferencial de volumen en coordenadas cilíndricas.

- 𝑑𝑉 = 𝜌2𝑠𝑒𝑛𝜑 𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝑧 Diferencial de volumen en coordenadas esféricas



Ejemplo:

Calcular la integral ∭ √𝑅2 − 𝑥2 − 𝑦2 − 𝑧2𝑈

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, donde 𝑈 es la región limitada por la

esfera: 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑅2.

Taller 2.5.

1. Calcular las siguientes integrales triples:

a. ∫ ∫ ∫ (𝑧2 − 𝑦)𝑑𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝑥

1

𝑦

0

0

−1

b. ∫ ∫ ∫ 𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛 𝑦𝑧𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥𝜋

0

𝜋

0

𝜋

0

2. Calcular la integral triple ∭ √𝑥2 + 𝑦2𝐷

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, donde D es el sólido limitado por

𝑧 = √𝑥2 + 𝑦2, 𝑧 = 1.

3. Calcular la integral triple de 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 1 + (𝑥2 + 𝑦2)2 sobre la región limitada por el

cono 𝑧 = √𝑥2 + 𝑦2 y el plano 𝑧 = 2.

4. Calcular la integral de la función 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 1 sobre la región comprendida por la

parte de la esfera 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 2 que queda dentro del cono 𝑧 = √𝑥2 + 𝑦2.

5. Calcular ∭ √1 + (𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)3/2𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑇

, T es la esfera 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≤ 1.

6. Calcular ∭ (𝑇

𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 si el dominio T está limitado por el

cilindro 𝑥2 + 𝑦2 = 1 y los planos 𝑦 = 0, 𝑦 = 1.

7. Calcular ∭ 𝑒𝑥2+𝑦2

𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝐷

donde D es el sólido interior a la superficie

√𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧, limitado por los planos 𝑥 + 𝑦 = 0, 𝑧 = 𝑎, 𝑎 > 0.

8. Calcular la integral ∫ (∫ (∫ (𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)𝑑𝑧)𝑑𝑦)𝑑𝑥√8−𝑥2−𝑦2

√𝑥2+𝑦2

√4−𝑥2

−√4−𝑥2

2

−2

Actividad: Resolver los ejercicios propuestos del libro Análisis III de Eduardo Espinoza

Ramos, página 736 en adelante.

Aplicaciones de Integrales Triples

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