Aplikasi Integral Volume Benda Putar

MEDIA PRESENTASI PEMBELAJARANKompetensi Pendahuluan Luas daerah Volume benda putar9

Penggunaan Integral Penggunaan Integraly = x2

Latihan Referensi Readme Author Exit

Matematika SMA/MA Kelas XII IPA Semester 1 Berdasarkan Kurikulum Berbasis Kompetensi (KBK)

AuthorKompetensi Pendahuluan Luas daerah Volume benda putar Latihan Referensi Readme Author Exit Home

Penggunaan IntegralNamaKASTOLAN, S.Pd. Tempat LahirLamongan, 20 April 1970 Nama SekolahMAN INSAN CENDEKIA SERPONG Alamat RumahJl. Cendekia BSD sektor XI Serpong Tangerang Banten 15310 HP : 08128404280 E-mail : [email protected] Alamat SekolahJl. Cendekia BSD sektor XI Serpong Tangerang Banten 15310 Telp. (021) 7563578 Fax. (021) 7563582 JabatanGuru Matematika

KompetensiKompetensi Pendahuluan Luas daerah Volume benda putar Latihan Referensi Readme Author Exit Home

Penggunaan Integral Penggunaan IntegralKompetensi Dasar

Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah dan volume benda putar.Indikator Hasil Belajar

Setelah pembelajaran siswa diharapkan dapat : 1. menggambarkan suatu daerah yang dibatasi oleh beberapa kurva. 2. menentukan luas daerah dengan menggunakan limit jumlah. 3. merumuskan integral tentu untuk luas daerah dan menghitungnya. 4. merumuskan integral tentu untuk volume benda putar dari daerah yang diputar terhadap sumbu koordinat dan menghitungnya.

ReferensiKompetensi Pendahuluan Luas daerah Volume benda putar Latihan Referensi Readme Author Exit Home

Penggunaan Integral Penggunaan IntegralAbdul Karim, dkk, Geometri : Lingkaran, Semarang, 2005 Edwin J. Purcell, Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1, Erlangga, Jakarta 1996 Kastolan dkk, Kompetensi Matematika SMA Kelas XII Program IPA Jilid 3A, Yudhistira, Jakarta 2005 _______, Kurikulum Berbasis Kompetensi (KBK) Tahun 2004, Depdiknas, Jakarta 2004 ________, Tutorial Maple 9.5 ________, Encarta Encyclopedia www. mathdemos.gcsu.edu www. curvebank.calstatela.edu www. clem.mscd.edu www.mathlearning.net

ReadmeKompetensi Pendahuluan

Penggunaan Integral Penggunaan Integral

Media Presentasi Pembelajaran ini disusun untuk membantu

guru dalam pembelajaran penggunaan integral untuk menghitung luas daerah dan volume benda putar. Pembahasan luas daerah Luas daerah diawali dari luas sebagai limit jumlah, dilanjutkan dengan integral Volume benda putar tentu, dan diakhiri penggunaan integral tentu untuk menghitung Latihan luas daerah. Pembahasan volume benda putar dikaji dari bentuk partisi setelah diputar yang meliputi bentuk : cakram, cincin, dan Referensi kulit tabung.Readme Author Exit Home

Agar dapat memahami keseluruhan materi, maka pembahasanharus dilakukan secara berurutan dimulai dari kompetensi, pendahuluan, luas daerah, dan volume benda putar. Di akhir kegiatan diberikan soal latihan. Sebaiknya dalam penggunaan media ini guru juga menyiapkan soal latihan untuk menambah pemahaman konsep dan melatih keterampilan siswa.

Untuk beberapa slide guru perlu menekan tombol klik kiri agarprosedur yang diinginkan dalam slide tersebut berjalan secara berurutan.

PendahuluanKompetensi Pendahuluan Luas daerah Volume benda putar Latihan Referensi Readme Author Exit Home

Penggunaan Integral Penggunaan Integral Runtuhnya Jembatan Tacoma, Washington Jembatan Tacoma yang panjangnya 1,8 km di buka pada 1Juli 1940. Empat bulan kemudian jembatan tersebut runtuh karena badai yang berkekuatan 68 km/jam.

Back

Next



Pilar-pilar jembatan pada gambar di atas membentuk partisi-partisi yang akan kita temukan dalam pokok bahasan menghitung luas daerah dengan menggunakan integral.Back Next



Bola lampu di samping dapat dipandang sebagai benda putar jika kurva di atasnya diputar menurut garis horisontal. Pada pokok bahasan ini akan dipelajari juga penggunaan integral untuk menghitung volume benda putar.

Pendahuluan

Volume Benda Putar

Suatu daerah jika di putar mengelilingi garis tertentu sejauh 360, maka akan terbentuk suatu benda putar. Kegiatan pokok dalam menghitung volume benda putar dengan integral adalah: partisi, aproksimasi, penjumlahan, pengambilan limit, dan menyatakan dalam integral tentu.Gb. 4

Home

Back

Next

Pendahuluan

Volume Benda Putar

Dalam menentukan volume benda putar yang harus diperhatikan adalah bagaimana bentuk sebuah partisi jika diputar. Berdasarkan bentuk partisi tersebut, maka metode yang digunakan untuk menentukan volume benda putar dibagi menjadi : 1. Metode cakram 2. Metode cincin 3. Metode kulit tabungy y y 4 3 0 x x 2 1 x 2 Home 1 0 1 Back 2 Next

Metode Cakram

Volume Benda Putar

Metode cakram yang digunakan dalam menentukan volume benda putar dapat dianalogikan seperti menentukan volume mentimun dengan memotong-motongnya sehingga tiap potongan berbentuk cakram.

Home

Back

Next

Metode Cakramy

Volume Benda Putarx

Bentuk cakram di samping dapat dianggap sebagai tabung dengan jari-jari r = f(x), tinggi h = x. Sehingga volumenya dapat diaproksimasi sebagai V r2h atau V f(x)2x. Dengan cara jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam integral diperoleh: V f(x)2 x V = lim f(x) x a v = [ f ( x)] 2 d x 02

f (x)

x y h=x

a

x

r = f (x)

0

x

x Back Next

Home

Metode CakramContoh 7.

Volume Benda Putar

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2 + 1, sumbu x, sumbu y, garis x = 2 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360.Jawaby y x

Langkah penyelesaian: 1. Gambarlah daerahnya 2. Buat sebuah partisi 3. Tentukan ukuran dan bentuk partisi 4. Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral.Home

y = x2 + 1h=x

1x

x2 + 1

r = x2 + 1

2

x

x

x

Back

Next

Metode Cakram

Volume Benda Putar

V r2h V (x + 1) x2 2

y

V (x2 + 1)2 x V = lim (x2 + 1)2 xV = x 2 +1 2 d ( ) x0 2

h=x

r = x2 + 1

x

V = (x 4 + 2 x 2 + 1 dx )0

2

x

V =

[

1 x 5 + 2 x 3 +x 2 5 3 03 15

]

V = ( 32 + 16 + 2 0) = 13 11 5

Home

Back

Next

Metode CakramContoh 8.

Volume Benda Putar

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2, sumbu y, garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360. Jawaby

Langkah penyelesaian: 1. Gambarlah daerahnya 2. Buatlah sebuah partisi 3. Tentukan ukuran dan bentuk partisi 4. Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral.Home yr= y

y = x2

2y

y y x y

h=y

x Back Next

Metode Cakram

Volume Benda Putar

V r2h V (y)2 y V y y V = lim y yV = d y y0 2

y

2r= yh=y y x

V =yd y0

2

V =

[

1 2

y2

]

2 0

1 V = ( 2 4 0)

V = 2Home Back Next

Metode Cincin

Volume Benda Putar

Metode cincin yang digunakan dalam menentukan volume benda putar dapat dianalogikan seperti menentukan volume bawang bombay dengan memotong-motongnya yang potongannya berbentuk cincin.

Home

Back

Next

Metode Cincin

Volume Benda Putar

Menghitung volume benda putar dengan menggunakan metode cincin dilakukan dengan memanfaatkan rumus volume cincin seperti gambar di samping, yaitu V= (R2 r2)hGb. 5

R h r

Home

Back

Next

Metode CincinContoh 9.

Volume Benda Putar

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2 dan garis y = 2x diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360.Jawaby

Langkah penyelesaian: 1. Gambarlah daerahnya 2. Buat sebuah partisi 3. Tentukan ukuran dan bentuk partisi 4. Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral.Home

y

y = x2

y = 2x4 x

2x x2 x 2 x

x

Back

Next

Metode Cincin

Volume Benda Putar2 2

V (R r ) h V [ (2x)2 (x2)2 ] x V (4x2 x4) x V (4x2 x4) x V = lim (4x2 x4) xV = (4 x 2 x 4 ) dx4 x3 1 x5 2 V = 3 5 00 2

y

y = x2

y = 2x4 x

R=2x r=x2 x y 2 x

[

]

3 5 V = ( 160 96 ) 15 V = 64 15 Home

V = ( 32 32 )

x

Back

Next

Metode Kulit Tabung

Volume Benda Putar

Metode kulit tabung yang digunakan untuk menentukan volume benda putar dapat dianalogikan seperti menentukan volume roti pada gambar disamping.

Home

Back

Next

Metode Kulit Tabungr

Volume Benda Putarr

h

V = 2 rhr2 rHome Back

h

r Next

Metode Kulit TabungContoh 10.

Volume Benda Putar

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2 , garis x = 2, dan sumbu x diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360.Jawab

Langkah penyelesaian: 1. Gambarlah daerahnya 2. Buatlah sebuah partisi 3. Tentukan ukuran dan bentuk partisi. 4. Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral.Home

y

y = x24 3 2 1 0 x2 x x 1 2 x

Back

Next

Metode Kulit Tabungy

Volume Benda Putary=x2

y

4 3 2 1 0 x2 x x 1 2 1 2 x

4 3 r=x 2 1 0 h = x2 x 1 2 x

V 2 rhx V 2 (x)(x2)x V 2 x x3

V = 2 x 3 dx0

2

1 V = 2 4 x

[

4

]

2 0

V = lim 2 x3xHome

V = 8Back Next

Metode Kulit Tabung

Volume Benda Putar

Jika daerah pada contoh ke-10 tersebut dipartisi secara horisontal dan sebuah partisi diputar mengelilingi sumbu y, maka partisi tersebut membentuk cincin. Volume benda putar tersebut dihitung dengan metode cincin adalah sebagai berikut.y

V (R2 r2)yy=x4 3 R=2 2 1 0 r=x 2 y 1 x x 1 2 -2 -1 0 1 2 x2

y

V (4 - x2)y4 3

V (4 y)y V = lim (4 y)yV = ( 4 y ) dx0 4

V = 4y

[

1 2

y

2

]

4 0

V = (16 8)

V = 8Home Back Next

Latihan

Penggunaan Integral

Latihan (6 soal)

Petunjuk : Kesempatan menjawab hanya 1 kaliHome Back Next

LatihanSoal 1.

Penggunaan Integral

Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat dinyatakan dalam bentuk integral sebagai .... A B C2 2 2

Y

y = x2

x2 2

dx

D E

2 2

(2 (2

x 2 dx ) x 2 dx )

4

y dy x

2 2

2 2 2

dx

0

2

X

Home

Back

Next

LatihanSoal 1.

Penggunaan Integral

Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat dinyatakan dalam bentuk integral sebagai .... A B C2 0 4 0 4 0

Y

y = x2

x

2

dx

D E

2 0

(4 (4

x 2 ) dx x 2 ) dx

4

y dy x2

4 0

dxJawaban Anda Benar

0

2

X

L (4 x2) x L (4 x2) x L = lim (4 x2) x2

L = (4 x 2 ) dx0

( Jawaban D )Back Next

Home

LatihanSoal 1.

Penggunaan Integral

Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat dinyatakan dalam bentuk integral sebagai .... A B C2 0 4 0 4 0

Y

y = x2

x

2

dx

D E

2 0

(4 (4

x ) dx2

x 4 4 - x2

y dy x2

4 0

x ) dx2

dxJawaban Anda Salah

0

x

2

X

L (4 x2) x L (4 x2) x L = lim (4 x2) x2

L = (4 x 2 ) dx0

( Jawaban D )Back Next

Home

LatihanSoal 2.

Penggunaan Integral

Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan . A B C 4,5 satuan luas D E 9 1/3 satuan luasy = 4 x2Y

6 satuan luas 7,5 satuan luas

10 2/3 satuan luas

0

X

Home

Back

Next

LatihanSoal 2.

Penggunaan Integral

Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan . A B C 4,5 satuan luas D E 9 1/3 satuan luasy = 2 x 2Y


10 2/3 satuan luas

0

X

Jawaban Anda Benar L (4 x2) x L (4 x2) x L = lim (4 x2) x2

L = 2 2x 2 2 x 2

[

]

2

L = (2 2 (2 2 2 ) +2 )L =3 3 2

L = (2 x 2 dx )2

=2 2 ( Jawaban E ) 22Back Next

Home

LatihanSoal 2.

Penggunaan Integral

Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan . A B C 4,5 satuan luas D E 9 1/3 satuan luasy = 2 x 2Y x


10 2/3 satuan luas

-2

0

x

2

X

Jawaban Anda Salah L (4 x2) x L (4 x2) x L = lim (4 x2) x2

L = 2 2x 2 2 x 2

[

]

2

L = (2 2 (2 2 2 ) +2 )L =3 3 2

L = (2 x 2 dx )2

=2 2 ( Jawaban E ) 22Back Next

Home

LatihanSoal 3.

Penggunaan Integral

Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan .Y

A 5 satuan luas B 7 2/3 satuan luas

D E

9 1/3 satuan luas 10 1/3 satuan luas

y=2 x

C 8 satuan luas0

X

y = 2 x2

Home

Back

Next

LatihanSoal 3.

Penggunaan Integral



D E


y=2 x

C 8 satuan luas0 2

X

y = 2 x2

Jawaban Anda Benar L (8 x2 -2x) x = 2 2 x 2 2 ) dx L ( x2

L = 2 2 2 2 2L =2 2 22 =2 2

( Jawaban D )

L = 2 2x 2 x 2 2 x 2Home Back Next

[

]

2

LatihanSoal 3.

Penggunaan Integral



D E


y=2 x

C 8 satuan luas0 2

X

y = 2 x2

Jawaban Anda Salah L (8 x2 -2x) x = 2 2 x 2 2 ) dx L ( x2

L = 2 2 2 2 2L =2 2 22 =2 2

( Jawaban D )

L = 2 2x 2 x 2 2 x 2Home Back Next

[

]

2

LatihanSoal 4.

Penggunaan Integral

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2 dan garis x + y = 2 adalah . A B C 2,5 satuan luas D E 10 2/3 satuan luas 20 5/6 satuan luas

4,5 satuan luas 6 satuan luas

Home

Back

Next

LatihanSoal 4.

Penggunaan Integral

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2 dan garis x + y = 2 adalah . A B C 2,5 satuan luas D E 10 2/3 satuan luas 20 5/6 satuan luas1 0 X Y


-2

x = y2 x=2 y

Jawaban Anda Benar L [(2 y ) y2 ] y

L = (2 2 2 (2 2 2 2 2 ) +2 )L = 2 =2 ,2 2( Jawaban B )

L = (2 y x 2 dy )2

2

2 L = 2 2y 2 2y 2 2 y 2

[

]

2

Home

Back

Next

LatihanSoal 4.

Penggunaan Integral

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2 dan garis x + y = 2 adalah .Y

A B C

2,5 satuan luas

D E

10 2/3 satuan luas1


20 5/6 satuan luas

0 -2

X

x = y2 x=2 y

Jawaban Anda Salah L [(2 y ) y2 ] y1 1 L = (2 2 3 ) (4 2 + 8 ) 3

L = (2 y x 2 ) dy2

1

L =

1 1 L = 2y 2 y 2 3 y 3

[

]

1 2

9 = 4,5 2

( Jawaban B )

Home

Back

Next

LatihanSoal 5.

Penggunaan Integral

Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu Y sebesar 360. Jika digunakan metode kulit tabung, maka bentuk integral yang menyatakan volume benda putar tersebut adalah .... A B CY 24 0

v = x dx0

4

D E

v = 2 x x dx v = 2 (16 y ) dy0 2

y= XX

v = x 2 dx0

4

0

4

v = y dy0

2

Home

Back

Next

LatihanSoal 5.

Penggunaan Integral

Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu Y sebesar 360. Jika digunakan metode kulit tabung, maka bentuk integral yang menyatakan volume benda putar tersebut adalah .... A B CY 22 2

v = x dx2

2

D E

v = 2 x x dx v = 2 (2 y ) dy 22 2

y= XX

v = x 2dx2

2

0

4

v = y dy2

2

Jawaban Anda Benar V 2xx x

V = 2 x x dx 2

2

( Jawaban D )

Home

Back

Next

LatihanSoal 5.

Penggunaan Integral

Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu Y sebesar 360. Jika digunakan metode kulit tabung, maka bentuk integral yang menyatakan volume benda putar tersebut adalah .... A B C2 2

v = x dx2

2

D E

v = 2 x x dx v = 2 (2 y ) dy 22 2

Y 2 x 0 x 4 X

v = x dx2

2 2

y= X

v = y dy2

2

Jawaban Anda Salah V 2xx x

V = 2 x x dx0

4

( Jawaban D )

Home

Back

Next

LatihanSoal 6.

Penggunaan Integral

Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah . A 4 satuan volum B C 6 satuan volum 8 satuan volum D E 12 satuan volum 15 satuan volum2 Y

y= XX

0

4

Home

Back

Next

LatihanSoal 6.

Penggunaan Integral

Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah . A 4 satuan volum B C 6 satuan volum 8 satuan volum D E 12 satuan volum 15 satuan volum2 Y

y= XX

0

4

Jawaban Anda Benar V (x)2 xV = x dx V = [2 2 2 2

x

2

]

2 2

V=2 Home

( Jawaban C )Back Next

LatihanSoal 6.

Penggunaan Integral

Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah . A 4 satuan volum B C 6 satuan volum 8 satuan volum D E 12 satuan volum2 Y

y= Xx X

15 satuan volum0 x 4

Jawaban Anda Salah V (x)2 xV = x dx V = [0 1 2 4

x

2

]

4 0

V = 8Home

( Jawaban C )Back Next

Media Presentasi Pembelajaran

Penggunaan IntegralMatematika SMA/MA kelas XII IPA Semester 1 Berdasarkan Kurikulum Berbasis Kompetensi Powered by :

Kastolan, S.Pd.

Terima Kasih

Aplikasi Integral Volume Benda Putar

Documents

Transcript of Aplikasi Integral Volume Benda Putar