Kužeľosečky

Mgr. Jozef Vozár 2009

Návod na používaniePrezentácia je vytvorená podobným spôsobom ako www stránka, to znamená že:1.Stránky obsahujú navigačné znaky, pomocou ktorých sa možno dostať na začiatok kapitoly, začiatok prezentácie, prípadne inam podľa zámeru autora2.Je štrukturovaná3.Je vytvorená s pomocou viacerých nástrojov a pre svoju správnu činnosť potrebuje mať nainštalovaný Cabri-plug in

Nainštalovať? Áno Nie

Návod na používanie4. Niektoré obrázky – vytvorené v Cabri 3d - sú naprogramované

ako animované, iné sa dajú animovať tak, že ľavým tlačidlom myši uchopíme vhodný bod a posúvame ho, čím sa dajú meniť parametre.

5. Obrázky vytvorené v Cabri 3d (stereoobrázky, geometrické definície kriviek) si môžeme prezerať z rôznych uhlov. Docielime to uložením kurzoru do obrázka, stlačením a držaním pravého tlačidla myši a súčasným pohybovaním. (V obrázku sa objaví zvláštny symbol – na seba kolmé kruhy).

6. Ostatné obrázky sú vytvorené v Derive 6 a nie sú animované.

Navigácia po prezentácii1. Čo treba vedieť pred kužeľosečkami2. Kružnica3. Elipsa4. Parabola5. Hyperbola

Koniec

Čo treba vedieť pred kužeľosečkami1. Poznať metódu súradníc2. Vedieť analyticky vyjadriť lineárne útvary v

rovine3. Vedieť počítať vzdialenosť bodov v rovine

pomocou ich súradníc – Pytagorova veta

Kružnica ako kužeľosečkaAk ako rovinu rezu použijemerovinu kolmú na os plochy,potom výsledkom je kružnica, alebo bod, ktorý jevrcholom kužeľovej plochy

KRUŽNICADefinícia: Množinu všetkých bodov X roviny, ktoré sú od

daného bodu roviny vzdialené o konštantnú vzdialenosť r (r je ľubovoľné kladné reálne číslo) nazývame kružnica.

KRUŽNICAGeometrická konštrukcia:1. Zvolíme ľubovoľný bod S – stred kružnice a úsečku s dĺžkou r (ľubovoľné

kladné reálne číslo)2. Kružnicu nakreslíme kružidlom

Kružnica v súradnicovej sústave

ANALÝZAS[0;0]X[x;y]|S;X| = r

Kanonická – stredová rovnica kružnice

x2 + y2 = r2

Posunutá kružnica

Rovnica posunutej kružnice

S[m;n]

(x – m)2 + (y – n)2 = r2

kapitola prezentácia

Parabola ako kužeľosečka – automatická animácia

Ak režeme kužeľovú plochu rovinou, ktorá je rovnobežná

s povrchovou priamkou

výsledkom je buď samotnápovrchová priamka, alebo parabola.

Parabola ako kužeľosečka – manuálna animáciaPomocou myši a jej ľavého tlačidlaChyť červený bodv hornej časti a posunuj ním po červenej úsečke.Pomocou stlačeného pravéhotlačidla môžeš meniť uholpohľadu.

PARABOLADefinícia: Daný je bod F a priamka d, neprechádzajúca

bodom F.Množinu všetkých bodov X roviny dF, ktoré

majú rovnakú vzdialenosť od bodu F (ohnisko) a od priamky d (riadiaca priamka), nazývame parabola.

PARABOLAGeometrická konštrukcia:1. Bodom F zostrojíme kolmicu na priamku d – os paraboly2. Ľubovoľným bodom osi paraboly zostrojíme rovnobežku s d3. Zostrojíme kružnicu so stredom v F a s polomerom, ktorým

je vzdialenosť pomocnej priamky a d.4. Priesečníky kružnice a pomocnej priamky sú body paraboly.5. Pomocnú priamku posúvame po osi paraboly. Tým sa mení

aj kružnica a tiež aj priesečníky.6. Množina všetkých priesečníkov kružníc s pomocnými

priamkami je množina bodov paraboly

Pohyblivýmbodom jepriesečníkosi parabolya kolmice na os

d

Konštrukcia parabolyObrázok je automatickyanimovaný.

Parabola v súradnicovej sústave

Analýzad – riadiaca priamka (direktrix), F – ohnisko (fokus), V – vrcholX[x;y]- ľubovoľný bod paraboly|F,d|= p – parameter paraboly|F,V| = |V,d| = p/2 – polparameterF[p/2;0], V[0;0], Rovnica riadiacej priamky d: x = - p/2 2x + p = 0

Kanonická - vrcholová rovnica paraboly

Podľa definície|F,X| = |X,d|

y2 = 2px

pxypx 5,0)0()5,0( 22

Posunutá parabola

Rovnica posunutej paraboly Vrchol pôvodnej paraboly je posunutý

do

V[4;3]

(y - 3)2 = 4·(x - 4)

Rovnica paraboly otočenej o celý násobok Π/2

Rovnica paraboly otočenej o celý násobok Π/2

Vrchol pôvodnej paraboly je posunutý do

V[4;3]

a parabola je otočená o Π

(y - 3)2 = - 4·(x - 4)

Elipsa ako kužeľosečkaAk režeme kužeľovú plochu rovinou,ktorá nie je kolmá a ani rovnobežnáS osou plochy a nie je ani rovnobežná s povrchovou priamkou,potom výsledkom rezu je elipsa.

ELIPSADefinícia:Elipsou nazývame množinu všetkých bodov X

roviny, ktoré majú od dvoch daných pevných bodov tejto roviny F1, F2 (ohnísk) konštantný súčet vzdialeností, t.j. platí pre ne, že

|F 1,X| + |X,F2| = 2a > |F1F2|,

kde 2a je konštanta, väčšia ako je vzdialenosť ohnísk.

ELIPSAGeometrická konštrukcia:

1.Zostrojíme úsečku F1 F2 a jej stred S

2.Zostrojíme úsečku AB na tej istej priamke a s tým istým stredom

3.Zostrojíme ľubovoľný pomocný, pohyblivý bod Q úsečky AB

4.Zostrojujeme kružnice so stredom F1 s polomerom |A,Q| a so stredom F2 a s polomerom |B,Q |

5.Priesečníky týchto kružníc sú body elipsy

Konštrukcia elipsy

Obrázok je automaticky animovaný.

Analýza elipsy

Analýza elipsyPodľa obrázka :

|A,S| = a - dĺžka hlavnej poloosi| F,S | = e - excentricita

| C,S | = b – dĺžka vedľajšej poloosi Teda platí (Pythagorova veta):

a2 = b2 + e2

Výpočet kanonickej rovnice elipsy

|X,F| + |X,G| = 2aX[x;y], F[-e;0], G[e;0]

teda

ayexyex 2)0()()0()( 2222

Kanonická – stredová rovnica elipsyPo úprave a využití vzťahu medzi poloosami a

excentricitou

x2 b2+ y2 a2 = a2 b2

x2 y2

––– + ––– = 1

a2 b2

Posunutá elipsa(hlavná os je rovnobežná s ox)

Rovnica posunutej elipsy(hlavná os je rovnobežná s ox)Stred elipsy je posunutý do bodu

[3;2]

Rovnica elipsy je potom

14

)2(

9

)3( 22

yx

Otočená elipsa(hlavná os je rovnobežná s oy)

Otočená elipsa(hlavná os je rovnobežná s oy)

Rovnica elipsy sa zmení tak, že v rovnici si dľžky hlavnej poloosi a a vedľajšej poloosi b

vymenia miesto

x2 y2

––– + ––– = 1

b2 a2

Hyperbola ako kužeľosečkaAk ako rovinu rezu použijeme rovinurovnobežnú s osou kužeľovejplochy, potom výsledkom rezuje hyperbola, alebo dvojica rôznobežných priamok prechádzajúcich vrcholom kužeľovej plochy.Obrázok je automaticky animovaný.

HYPERBOLADefinícia: Hyperbolou nazývame množinu všetkých bodov

X roviny, ktoré majú od dvoch daných rôznych bodov F1, F2 (ohnísk) konštantný rozdiel

| |F 1,X| - |X,F2| | = 2a

pričom 0<2a < |F1F2| = 2e.

HYPERBOLAGeometrická konštrukcia:1. Zostrojíme priamku F1F2 a stred S úsečky F1F2

2. Zostrojíme na priamke F1F2 body A,B tak, aby úsečka AB mala dĺžku 2a a stred S

3. Zostrojujem kružnice so stredmi v ohniskách a s polomermi r, r+2a, kde r je ľubovoľné kladné reálne číslo

4. Priesečníky kružníc sú body hyperboly

Konštrukcia hyperbolySleduj priesečníky kružníc rovnakej farby (zelených, červených)

SA BF

1

F2

C

AnalýzaF1[-e;0], F2[e;0], A[-a;0], B[a;0], S[0;0], C[-a;b]

|A,S| = a - dĺžka hlavnej poloosi|A,C| = b – dĺžka vedľajšej poloosi|A,S|2 + |A,C|2 = |S,C |2 ........ a2 + b2 = e2 C je priesečník dotyčnice k hyperbole v bode A

a kružnice so stredom S a polomerom e.

Kanonická – stredová rovnica hyperboly

ayexyex 2)0()()0()( 2222

| |F 1,X| - |X,F2| | = 2a

Kanonická - stredová rovnica hyperbolyPo úprave a využití vzťahu medzi poloosami a excentricitou:

x2 b2 - y2 a2 = a2 b2

x2 y2

––– - ––– = 1

a2 b2

Posunutá hyperbola

Rovnica posunutej hyperbolyStred hyperboly je posunutý do

S[4;3]

(x - 4)2 (y - 3)2

⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - = 1⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 16 9

Text pre používateľaTáto prezentácia je určená na použitie pri viacerých možných situáciách.1. Ako vyučovacia pomôcka na výkladovej vyučovacej hodine, realizovaná pomocou PC a

dataprojektora, sprevádzaná komentárom učiteľa, pričom učiteľ použije tú časť, ktorú na hodine potrebuje.

2. Ako vyučovacia pomôcka pri zhrňujúcej vyučovacej hodine, kde podobne je prezentovaná pre celú triedu a slúži na rýchly prehľad v tématickom celku, pričom učiteľ ju môže ešte raz komentovať, resp. odpovedať na otázky žiakov.

3. Ako prostriedok na individuálne štúdium pre žiakov v príprave na skúšku, resp. ako pomôcka pri príprave na maturitnú skúšku z matematiky.

Prezentácia bola vytvorená pomocou softvéru:1. Powerpoint 20072. Derive 63. Cabri 24. Cabri 3D

Pre úspešné používanie je potrebné bežný PC schopný pracovať s uvedeným softvérom a dobrý dataprojektor. Prezentácie sa odporúča prezentovať v polozatemnenej miestnosti.

Tento text nie potrebný pre úspešné používanie a preto ho prípadný používateľ môže vyhodiť.

Text pre používateľa Pri príprave prezentácie som využil moje vzdelanie a dlhoročné skúsenosti učiteľa matematiky na gymnáziu a tiež to, že informatiku, moderné vyučovacie trendy a IKT sa snažím zaraďovať do vyučovania predmetu, ktorý je pre veľkú časť žiakov nepríjemný. Často iba preto, že je mnohokrát ohúrený a zavalený množstvom „suchých „ poznatkov. Snažím sa do mojej práce vnášať duch priateľstva a porozumenia a čo najviac ju spestrovať názornosťou a využitím dostupnej didaktickej techniky. Pri realizácii prezentácie som využil matematický softvér – Derive 6, pomocou ktorého som umiestňoval grafy kužeľosečiek do súradnicovej sústavy. Tento softvér využívam spolu žiakmi jednak ako prostriedok na moju prácu pri výklade, ale aj na modelovanie žiakmi a keďže sa pod mojim vedením vytvorila na škole učebňa vybavená PC pre každú dvojicu žiakov, môžu ho žiaci bežne využívať. Ako ďalší matematický softvér som využil dvojicu programov Cabri a to vo verzii pre dvojrozmernú geometriu a tiež aj vo verzii pre 3D geometriu. V prvom z nich je možné v prezentácii využiť statické obrázky . Dôležitá časť prezentácie stojí na využití trojrozmerných obrázkov, ktoré je možné animovať a tiež je možné meniť uhol pohľadu na obrázok v trojrozmernom priestore. Tieto vlastnosti zásadným spôsobom ovplyvňujú vnímanie obrázkov žiakmi, pretože im umožňujú meniť parametre obrázku a teda meniť rôzne vzťahy – modelovať situáciu. Žiak je takto vťahovaný do tvorby úlohy, je aktívny, prebudí sa záujem aj u menej vnímavých. Druhá vlastnosť 3D obrázkov je v tom, že obrázok je možné v priestore otáčať a tak sledovať vzájomné vzťahy priestorovo, čo opäť zásadným spôsobom – prirodzeným pohľadom, mení prístup žiakov k riešeniam. Ďalším softvérom je samozrejme ten, ktorý práve používate teda PowerPoint 2007. O jeho schopnostiach a možnostiach nie je potrebné sa podrobne rozpisovať, snáď len toľko, že je to mimoriadne vhodný didaktický prostriedok v rukách skúseného učiteľa, najmä vtedy ak si dokáže vytvoriť prezentáciu na mieru pre konkrétnu situáciu resp. triedu. Pri tom mi nedá nespomenúť situácie s pred niekoľkých rokov, keď v snahe kvalitnejšie a modernejšie učiť som zháňal transparentné fólie a vhodné fixy, aby som ručne namaľoval obrázok-statický, ktorý som potom pomocou Meotaru premietal. Na vyučovanie s pomocou tejto prezentácie využívam dve odborné učebne podľa toho ako ju mienim používať.

Text pre používateľa Jedna z učební je odborná učebňa matematiky a fyziky, upravená ako prednášková miestnosť so

stupňovitou podlahou, ktorá je okrem iného vybavená PC pracoviskom učiteľa a trvalo umiestneným dataprojektorom a stabilnou premietacou plochou. Tieto zariadenia spolu tvoria komplet interaktívnej tabule. Premietanie prezentácie ovládam diaľkovo wi-fi ovládačom s laserovým ukazovátkom, ktorým v prípade potreby niektoré detaily snímok zvýrazním. Pri prezentácii používam svoj hovorený komentár, ktorý je síce možné zabudovať priamo do prezentácie, moja predstava je však taká, že živý ľudský hlas, ktorý naviac vie reagovať na podnety žiakov je vhodnejší. Pri tvorbe prezentácie som sa vyhýbal použiť všetky možnosti, ktoré PowerPoint ponúka – animácie, prechody, zvukové efekty a pod., pretože zo skúsenosti viem, že oni zo začiatku zaujmú, ale po krátkom čase pôsobia rušivo.

Druhá učebňa je určená pre interaktívnu prácu žiakov. Obsahuje dostatočný počet pracovných stolov vybavených tak, aby dvaja žiaci pracovali s jedným PC. Je tu tiež pracovný PC stôl učiteľa, zabudovaný dataprojektor a stabilná premietacia plocha. V tejto učebni môžu žiaci používať prezentáciu individuálne. Tu sa prezentácia používa na záver tématického celku, keď žiaci majú možnosť ešte raz samostatne prejsť cez tému, experimentovať, overovať a tým sa učiť.

ZáverPrezentáciu vytvoril Mgr. Jozef VozárGymnázium, SNP 607, Dobšiná

Prezentácia bola vytvorená na spoločenskú objednávku budúcich maturantov a odskúšaná pri vyučovaní matematiky v maturitných triedach a pri príprave na maturitnú skúšku z matematiky.