Analytická geometrie - SGOmatematika.sgo.cz/.../Analyticka_geometrie.pdf · Analytická geometrie...

Analytická geometrie


Stránka 1096

Obsah

8. Analytická geometrie ................................................................................................... 1097

8.1. Vektory .................................................................................................................. 1097

8.2. Analytické vyjádření přímky ................................................................................. 1105

8.3. Analytické vyjádření roviny .................................................................................. 1109

8.5. Kuželosečky ........................................................................................................... 1117

8.5.1 Kružnice ......................................................................................................... 1117

8.5.2 Vzájemná poloha přímky a kružnice .............................................................. 1123

8.5.3 Elipsa .............................................................................................................. 1133

8.5.4 Vzájemná poloha přímky a elipsy .................................................................. 1142

8.5.5 Parabola .......................................................................................................... 1149

8.5.6 Hyperbola ....................................................................................................... 1163


Stránka 1097

8. Analytická geometrie

8.1. Vektory

1. Vypočítejte vzdálenost bodů:

a) 4;1 , 7;5A B

b) 1;2 , D 13;7C

c) 2; 3 , 10;3A B

d) 3; 2;6 , D 5; 1; 3C

Řešení:

a)

2 2

1 1 2 2

2 2 2 27 4 5 1 3 4 25 5

AB b a b a

AB

b)

2 2

1 1 2 2

2 2 2 213 1 7 2 12 5 169 13

CD d c d c

CD

c)

2 2

1 1 2 2

2 2 2 210 2 3 3 8 6 100 10

AB b a b a

AB

d)

2 2 2

1 1 2 2 3 3

2 2 2 22 25 3 1 2 3 6 2 1 9 85

CD d c d c d c

CD

2. Vypočítejte délku úsečky AB:

a) 2;1;1 , 4;3;1A B b) 6;1; 2 , 4;0;2A B

Řešení:

a)

2 2 2

1 1 2 2 3 3

2 2 2 24 2 3 1 0 6 2 40 2 10

AB b a b a b c

AB

b)

2 2 2

1 1 2 2 3 3

2 2 2 2 2 24 6 0 1 2 2 2 1 4 21

AB b a b a b a

AB

3. Vypočítejte souřadnice středu úsečky AB:

a) 4;3 , 6;5A B

b) 4;1 , 1;3A B

c) 2;1; 3 , 4;3;1A B

d) 2; 4; 5 , 6; 9; 11A B

Řešení:

a)

1 1 2 2;2 2

4 3 6 5;

2 2

5;4

AB

AB

AB

a b a bS

S

S


Stránka 1098

b) 1 1 2 2;

2 2

4 1 1 3;

2 2

3;2

2

AB

AB

AB

a b a bS

S

S

c)

1 1 2 2 3 3; ;2 2 2

2 4 3 1 3 1; ;

2 2 2

1;2; 1

AB

AB

AB

a b a b a bS

S

S

d) 3 31 1 2 2; ;

2 2 2

2 6 4 9 5 11; ;

2 2 2

134; ; 8

2

AB

AB

AB

a ba b a bS

S

S

4. Vypočítejte souřadnice vektoru u , který je určen počátečním bodem A a koncovým

bodem B, jestliže:

a) 3;1 , 1;4A B

b) 1; 5;3 , 2; 1;1A B

Řešení:

a)

1 1 2 2;

1 3;4 1

2;3

u B A b a b a

u

u

b)

1 1 2 2 3 3; ;

2 1; 1 5;1 3

3;4; 2

u B A b a b a b a

u

u

5. Vypočítejte souřadnice vektoru v , který je určen počátečním bodem C a koncovým

bodem D, jestliže:

a) 2;1 , 4; 2C D

b) 1;3; 4 , D 3;1; 4C

Řešení:

a)

1 1 2 2;

4 2; 2 1

6; 3

v D C d c d c

v

v


Stránka 1099

b)

1 1 2 2 3 3; ;

3 1;1 3; 4 4

2; 2;0

v D C d c d c d c

v

v

6. Vypočítejte velikost vektoru u , jestliže:

a) 5; 12u

b) 8;6u

c) 2; 1;3u

d) 12; 3;4u

Řešení:

a)

2 2

1 2

2 25 12 25 144 169 13

13

u u u

u

u

b)

2 2

1 2

2 28 6 64 36 100 10

10

u u u

u

u

c)

2 2 2

1 2 3

22 22 1 3 4 1 9 14

14

u u u u

u

u

d)

2 2 2

1 2 3

22 212 3 4 144 9 16 169 13

13

u u u u

u

u

7. Je dán vektor u a bod A , který je počátečním bodem tohoto vektoru. Vypočítejte

souřadnice koncového bodu B vektoru u , jestliže:

a) 3;1u , 4; 1A

b) 5;2u , 4; 1A

c) 2; 3;1u , 4;3; 2A

d) 3;4; 1u , 8; 1;0C

Řešení:

a)

4 3 ; 1 1

1;0

u B A B A u

B

B

b)

4 5; 1 2

1;1

u B A B A u

B

B


Stránka 1100

c)

4 2;3 3 ; 2 1

6;0; 1

u B A B A u

B

B

d)

8 3 ; 1 4;0 1

5;3; 1

u B A B A u

B

B

8. Body 1;2 , 4;1A B určují vektor u . Určete koncový bod vektoru C, jestliže počátek

vektoru umístíme do počátku soustavy souřadnic.

Řešení:

1 ! 2 2, ;

5; 1

5; 1

u B A C O u C b a b a

u

C

9. Body 3; 1;2 , 1;0;1A B určují vektor u . Určete koncový bod vektoru C, jestliže

počátek vektoru umístíme do počátku soustavy souřadnic.

Řešení:

1 ! 2 2 3 3, ; ;

4; 1;1

4; 1;1

u B A C O u C b a b a b a

u

C

10. Jsou dány body 2;1 , 0; 3 , 5; 2K L M . Určete souřadnice bodu X tak, aby

čtyřúhelník KLMX byl rovnoběžník.

Řešení:

2;4

5 2 ; 2 4

3;2

LK MX

u K L

X M u

X

X


Stránka 1101


čtyřúhelník KLXM byl rovnoběžník.

Řešení:

2; 4

5 2; 2 4

7; 6

KL MX

u L K

X M u

X

X


čtyřúhelník KXLM byl rovnoběžník.

Řešení:

5; 1

2 5 ;1 1

7;0

ML KX

u L M

X K u

X

X

13. Jsou dány vektory 3;4 , 4; 2u v . Vypočítejte vektor w u v .

Řešení: 1 1 2 2; 3 4;4 2 1;2w u v u v u v

14. Jsou dány vektory 3;4 , 4; 2u v . Vypočítejte vektor w u v .

Řešení: 1 1 2 2; 3 4;4 2 7;6w u v u v u v

15. Jsou dány vektory 3;4 , 4; 2u v . Vypočítejte vektor 3w u v .

Řešení: 1 1 2 23 3 ;3 3 3 4;3 4 2 5;10w u v u v u v

16. Jsou dány vektory 3;4 , 4; 2u v . Vypočítejte vektor 2 3w u v .

Řešení: 1 1 2 22 3 2 3 ;2 3 2 3 3 4;2 4 3 2 18;14w u v u v u v

17. Jsou dány vektory 3;4 , 4; 2u v . Vypočítejte vektor 1

22

w u v .

Řešení: 1 1 2 2

1 1 1 1 12 2 ;2 2 3 4;2 4 2 4;7

2 2 2 2 2w u v u v u v


Stránka 1102

18. Jsou dány body 2;0 , 2;1 , 6;2A B C . Zjistěte, zda body A, B, C leží v jedné přímce.

Řešení:

4;1

8;2

podmínka rovnoběžnosti vektorů:

14 8

2

11 2

2

body , , leží na jedné přímce

AB

AC

AB k AC

k k

k k

A B C

19. Jsou dány body 2;4 , 1;2 , 10; 1A B C . Zjistěte, zda body A, B, C leží v jedné

přímce.

Řešení:

3; 2

12; 5


13 12

4

22 5

5

body , , neleží na jedné přímce

AB

AC

AB k AC

k k

k k

A B C

20. Jsou dány body 3;2;1 , 6;5; 4 , 2;3;4A B C . Dokažte, že tyto body tvoří trojúhelník.

Řešení:

3;3; 5

1;1;3


3 1 3

3 3

55 3

3

body , , neleží na jedné přímce body , , tvoří trojúhelník

u B A

v C A

AB k AC

k k

k k

k k

A B C A B C


Stránka 1103

21. Jsou dány body 3;2;1 , 5;6; 4 , 7;10; 2A B C . Dokažte, že tyto body tvoří

trojúhelník.

Řešení:

2;4; 5

4;8; 10


12 4

2

14 8

2

15 10

2

body , , leží na jedné přímce body , , netvoří trojúhelník

u B A

v C A

AB k AC

k k

k k

k k

A B C A B C

22. Dokažte, že vektory a u v jsou navzájem kolmé, jestliže:

a) 3

4;2 , ;32

u v

b) 1

3; , 1; 62

u v

c) 1; 3;4 , 5; 1;2u v

d) 2;1; 3 , 3;0; 2u v

e) 3 1; 2 , 3 1; 2u v

Řešení:

a) 1 1 2 2

34 2 3 6 6 0

2

u v u v u v

u v

u v

b)

1 1 2 2

13 1 6 3 3 0

2

u v u v u v

u v

u v

c)

1 1 2 2 3 5

1 5 3 1 4 2 5 3 8 16

vektory a nejsou navzájem kolmé

u v u v u v u v

u v

u v

d)

1 1 2 2 3 5

2 3 1 0 3 2 6 0 6 0

u v u v u v u v

u v

u v

e)

1 1 2 2

3 1 3 1 2 2 3 1 2 0

u v u v u v

u v

u v


Stránka 1104

23. Jsou dány vektory a u v Vypočítejte vektorový součin w u v , jestliže:

a) 3;1;2 , 2;4;1u v

b) 3;1;0 , 2;0;1u v

c) 3; 1;2 , 6; 2;4u v

d) 1;0;0 , 0;1;0u v

e) 1;2 , 3;4u v

f) 2;1 , 3; 2u v

Řešení:

a)

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1; ;

1 8;4 3;12 2 7;1;10

w u v u v u v u v u v u v u v

w

b)

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1; ;

1 0;0 3;0 2 1; 3; 2


w

c)

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1; ;

4 4;12 12; 6 6 0;0;0


w

d)

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1; ;

0;0;0 1 0;0; 1


w

e)

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1; ;

1;2 1;2;0 , 3;4 3;4;0

0;0;4 6 0;0; 2


u v

w

f)

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1; ;

2;1 2;1;0 , 3; 2 3; 2;0

0;0;4 3 0;0;1


u v

w

24. Vypočítejte obsah trojúhelníku ABC, jestliže:

a) 5;1;0 , 3;5;0 , 6;4;5A B C

b) 1; 1;2 , 3;2;1 , 2;0;3A B C

c) 2;1 , 0; 3 , 5; 2A B C

Řešení:

a)

22 22;4;0 1 1

20;10; 10 20 10 102 21;3;5

1 10 6 600 5 6

2 2

u B AS u v u v S

v C A

b)

22 24;3; 1 1 1

4;3; 7 4 3 72 21;1;1

1 74 74

2 2

u B AS u v u v S

v C A

c)

2

2; 4;0 1 1 10;0;22 22 22 11

2 2 27; 3;0

u B AS u v u v S

v C A


Stránka 1105

8.2. Analytické vyjádření přímky

1. Napište parametrické vyjádření přímky, která je dána bodem A a směrovým vektorem u ,

jestliže:

a) 2;3A , 2; 1u

b) 3;1A , 3; 2u

c) 3;2; 1A , 1;2; 1u

d) 4;1; 1A , 3; 5; 3u

Řešení:

a) ,

2 2

3

X A tu t R

x t

y t

b) ,

3 3 ,

1 2

X A tu t R

x t t R

y t

c) ,

3 ,

2 2

1

X A tu t R

x t t R

y t

z t

d) ,

4 3 ,

1 5

1 3

X A tu t R

x t t R

y t

z t

2. Napište obecnou rovnici přímky, která prochází bodem A a její směrový vektor je u ,

jestliže:

a) 3;1A , 1;5u

b) 4; 3A , 2; 3u

Řešení:

a)

: 0

;

1;5 5; 1

: 5 0

: 5 3 1 0

16

: 5 16 0

p ax by c

n a b

u n

p x y c

A p c

c

p x y


Stránka 1106

b)

: 0

;

2; 3 3; 2

: 3 2 0

: 3 4 2 3 0

18

: 3 2 18 0

p ax by c

n a b

u n

p x y c

A p c

c

p x y

3. Jsou dány body 2; 1 , 4;3A B .Napište parametrické vyjádření rovnice, obecnou

rovnici, směrnicový a úsekový tvar rovnice přímky p, která prochází těmito body.

Řešení:

parametrické vyjádření rovnice přímky

1;5

: ,

: 2 ,

1 5

u B A

p X A tu t R

p x t t R

y t

obecná rovnice přímky

: 0, ;

1;5 5; 1

5 0

: 5 2 1 1 0

11

: 5 11 0

p ax by c n a b

u n

x y c

A p c

c

p x y

směrnicový tvar rovnice přímky

: , ; , ,

: 5 11 0

: 5 11

a cp y kx q n a b k q

b b

p x y

p y x

úsekový tvar rovnice přímky

: 1

: 5 11 0

5 11 /:11

5 11

11 11

111 11

5

x yp

r q

p x y

x y

x y

x y

4. Jsou dány body 3; 4 , 6;2A B . Napište parametrické vyjádření rovnice, obecnou

rovnici, směrnicový a úsekový tvar rovnice přímky p, která prochází těmito body.

Řešení:

/

/

parametrické vyjádření rovnice přímky

9;6 3;2

: ,

: 3 3 ,

4 2

u B A u

p X A tu t R

p x t t R

y t

/

obecná rovnice přímky

: 0, ;

3;2 2; 3

2 3 0

: 2 3 3 4 0

6

: 2 3 6 0

p ax by c n a b

u n

x y c

A p c

c

p x y


Stránka 1107

směrnicový tvar rovnice přímky

: , ; , ,

: 2 3 6 0

2: 2

3

a cp y kx q n a b k q

b b

p x y

p y x

úsekový tvar rovnice přímky

: 1

: 2 3 6 0

2 3 6 /:6

1 11

3 2

13 2

x yp

r q

p x y

x y

x y

x y

5. Je dán trojúhelník ABC, 1; 1 , 7;5 , 9; 3A B C . Napište obecnou rovnici výšky vc.

Řešení:

/8; 2 4; 1

: 4 0

: 4 7 5 0

23

: 4 23 0

cv

c

c

c

n B A n

v x y c

C v c

c

v x y

6. Je dán trojúhelník ABC, 1; 1 , 7;5 , 9; 3A B C . Napište obecnou rovnici výšky vb.

Řešení:

/6;6 1;1

: 0

:9 3 0

6

: 6 0

bv

b

b

b

n C A n

v x y c

B v c

c

v x y

7. Je dán trojúhelník ABC, 1; 1 , 7;5 , 9; 3A B C . Napište obecnou rovnici výšky va.

Řešení:

/2;8 1;4

: 4 0

: 1 4 0

5

: 4 5 0

av

a

b

a

n C B n

v x y c

A v c

c

v x y


Stránka 1108

8. Je dán trojúhelník ABC, 1; 1 , 7;5 , 9; 3A B C . Napište obecnou rovnici těžnice tc.

Řešení:

5; 2

2;7 7; 2

: 7 2 0

: 7 7 2 5 0

39

: 7 2 39 0

c c

AB

t AB t

c

c

c

S

u C S n

t x y c

C t c

c

t x y

9. Je dán trojúhelník ABC, 1; 1 , 7;5 , 9; 3A B C . Napište obecnou rovnici těžnice tb.

Řešení:

/

4;2

5; 5 5;5 1;1

: 0

: 9 3 0

6

: 6 0

b b b

AC

t AC t t

b

b

b

S

u B S n n

t x y c

B t c

c

t x y

10. Je dán trojúhelník ABC, 1; 1 , 7;5 , 9; 3A B C . Napište obecnou rovnici těžnice ta.

Řešení:

8;1

7; 2 2; 7

: 2 7 0

: 2 7 0

9

: 2 7 9 0

a b

BC

t BC t

a

a

a

S

u A S n

t x y c

A t c

c

t x y


Stránka 1109

8.3. Analytické vyjádření roviny

1. Napište obecnou rovnici roviny ABC, jestliže:

a) 1; 1; 1 , 5; 1;3 , 2;0; 2A B C

b) 1;2;3 , 1;1; 2 , 1;1;0A B C

c) 1;2;3 , 0; 1;2 , 2;3;8A B C

d) 2;3;1 , 0;1;0 , 1;2; 1A B C

e) 2;3;1 , 0;1;0 , 4;5;2A B C

Řešení:

a)

/

/ / / / / / /

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

: 0; ; ;

4;0;4 1;0;1

1;1; 1

; ;

1; 2; 1

: 2 0

:1 2 1 0

4

2 4 0

: 2

ax by cz d n a b c

u B A u

v C A

n u v u v u v u v u v u v u v

n

x y y d

A d

d

x y y

x y z

4 0

b)

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

/

: 0; ; ;

2; 1; 5

0; 1; 3

; ;

2; 6;2 1;3; 1

: 3 0

:1 6 3 0

4

: 3 4 0

ax by cz d n a b c

u B A

v C A


n n

x y y d

A d

d

x y z


Stránka 1110

c)

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

/

: 0; ; ;

1; 3; 1

1;1; 5

; ;

16; 4; 8 4; 1; 2

: 4 2 0

: 4 2 6 0

12

: 4 2 12 0

ax by cz d n a b c

u B A

v C A


n n

x y z d

A d

d

x y z

d)

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

: 0; ; ;

2; 2; 1

3; 1; 2

; ;

3; 1; 2

: 3 2 0

: 6 3 2 0

1

: 3 2 1 0

ax by cz d n a b c

u B A

v C A


n

x y z d

A d

d

x y z

e)

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

: 0; ; ;

2; 2; 1

2;2;1

; ;

0;0;0

Body leží na jedné přímce a neurčují tak jednoznačně rovinu.

1

ax bz cz d n a b c

u B A

v C A


n

u v u v

2. Napište obecnou rovnici roviny , jestliže:

a)

: 1 3 2 ; ,

2 2

3 3

x t s t s R

y t s

z t s

b)

: 3 3 ; ,

2 2

2

x t s t s R

y t s

z t s

Řešení:

a)

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

: ; ,

: 0; ; ;

1; 2; 3

3; 1;1; ; 5; 7;8

2; 2; 3

X A t u s v t s R

ax by cz d n a b c

A

un u v u v u v u v u v u v u v n

v


Stránka 1111

: 5 7 8 0

: 5 14 24 0

5

: 5 7 8 5 0

x y z d

A d

d

x y z

b)

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

: ; ,

: 0; ; ;

3; 2;2

1;2; 1; ; 1; 4; 7

3; 1;1

: 4 7 0

:3 8 14 0

3

: 4 7 3 0

X A t u s v t s R

ax by cz d n a b c

A


v

x y z d

A d

d

x y z

3. Určete vzájemnou polohu dvou rovin, jestliže:

a) : 2 3 6 0

: 3 2 2 0

x y z

x y z

b) : 2 3 6 0

: 3 6 9 20 0

x y z

x y z

c) : 2 3 6 0

: 4 2 6 12 0

x y z

x y z

Řešení:

a)

1;2; 3

3;2; 1

normálové vektory rovin nejsou lineárně závislé, tzn roviny jsou různoběžné,

vypočítáme parametrické vyjádření průsečnice

n

n

2 3 6 0

3 2 2 0

2 3 6 0 / 3

3 2 2 0

4 8 16 0

4 2

2 4 2 3 6 0

8 4 3 6 0

2

: 2 ;

x y z

x y z

z t

x y t

x y t

y t

y t

x t t

x t t

x t

x t t R

4 2

y t

z t


Stránka 1112

b)

1;2; 3

3;6; 9

3

normálové vektory rovin jsou lineárně závislé, tzn roviny jsou totožné

nebo rovnoběžné různé. Určíme množinu společných bodů.

2 3 6 0 / -3

3 6 9 20 0

n

n

n n

x y z

x y z

2 0

Roviny nemají společné body, jsou tedy rovnoběžné různé.

c)

: 2 3 6 0

: 4 2 6 12 0

2;1; 3

4;2; 6

2

normálové vektory rovin jsou lineárně závislé, tzn roviny jsou totožné

nebo rovnoběžné různé. Určíme množinu společných bodů.

2 3 6 0 /

x y z

x y z

n

n

n n

x y z

-2

4 2 6 12 0

0=0

Roviny mají nekonečně mnoho společných bodů, jsou tedy totožné.

x y z

4. Napište obecnou rovnici roviny, která prochází bodem A a je kolmá k přímce p , jestliže:

a) 12; 3;1A , : , 2 3 , 1 ; p t t t t R

b) 3;5; 1A , 2 ; 3 2 ; 3 ;p t t t t R

Řešení:

a)

12; 3;1

: ;

2 3

1

1;3; 1

: 3 0

:12 3 3 1 0

2

: 3 2 0

p

p

A

p x t t R

y t

z t

u

p u n

x y z d

A d

d

x y z


Stránka 1113

b)

3;5; 1

2 ;3 2 ; 3 ;

1; 2; 3

: 2 3 0

: 3 2 5 3 1 0

10

: 2 3 10 0

p

p

A

p t t t t R

u

p u n

x y z d

A d

d

x y z

5. Napište obecnou rovnici roviny, která prochází bodem 2;8; 3A a je kolmá k vektoru

1;2;1n .

Řešení:

2;8; 3

1;2;1

: 2 0

: 2 2 8 3 0

11

: 2 11 0

A

n

n n

x y z d

A d

d

x y z

6. Napište obecnou rovnici roviny, která je určena bodem 1;2;3A a přímkou

: , 2 3 , 1 ; p t t t t R .

Řešení:

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

1;2;3

: ;

2 3

1

; 0;2;1

1; 3;1

1;0; 2

; ;

6;1; 3

: 6 3 0

: 6 2 3 3 0

1

: 6 3

A

p x t t R

y t

z t

B p B

u

v B A


n

x y z d

A d

d

x y z

1 0


Stránka 1114

7. Napište obecnou rovnici roviny, která je určena bodem 1; 1; 3A a přímkou

2 2 ; 1 ; 2 3 ; p t t t t R .

Řešení:

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

1; 1; 3

2 2 ; 1 ; 2 3 ;

; 2;1; 2

2; 1;3; ; 7;5; 3

1;2;1

: 7 5 3 0

: 7 5 3 3 0

3

: 7

A

p t t t t R

B p B


v B A

x y z d

A d

d

5 3 3 0x y z

8. Určete vzájemnou polohu přímky p a roviny , jestliže:

a) : 2 , 3 4 , 3 ; p t t t t R , : 4 5 6 0x y z

b) : 3 2 , 1 , 1 3 ; p t t t t R , : 3 3 13 0x y z

c) : 4 , 3 2 , 8 3 ; p t t t t R , : 2 7 3 0x y z

d) : 1 6 , 4, 1 2 ; p t t t R , : 2 3 4 0x y z

e) : 2 , 3 , 3 4 ; p t t t t R , : 5 4 6 0x y z

Řešení:

a)

: 4 5 6 0

: 2 ;

3 4

3

: 2 4 3 4 5 3 6 0

2 12 16 15 6 0

16 2

x y z

p x t t R

y t

z t

p t t t

t t t

t

8

přímka je různoběžná s rovinou, mají jeden společný bod

: 2 8 10

3 4 8 29

3 8 24

10; 29; 24

t

P

P p x

y

z

p P


Stránka 1115

b)

: 3 3 13 0

: 3 2 ;

1

1 3

: 3 3 2 3 1 1 3 13 0

9 6 3 3 1 3 13 0

0 0

rovnice má nekonečně

x y z

p x t t R

y t

z t

p t t t

t t t

mnoho řešení,

přímka má s rovinou nekonečně mnoho společných bodů

přímka leží v rovině

p

c)

: 2 7 3 0

: 4 ;

3 2

8 3

: 2 4 3 2 7 8 3 3 0

8 2 3 2 56 21 3 0

21t 42

x y z

p x t t R

y t

z t

p t t t

t t t

2

rovnice má jedno řešení,

přímka je různoběžná s rovinou, mají jeden společný bod

: 4 2 2

3 2 2 7

8 3 2 2

2;7;2

t

P

P p x

y

z

p P

d)

: 2 3 4 0

: 1 6 ;

4

1 2

:1 6 2 4 3 1 2 4 0

1+6 8 3 6 4 0

0 0

rovnice má nekonečn

x y z

p x t t R

y

z t

p t t

t t

ě mnoho řešení,

přímka má s rovinou nekonečně mnoho společných bodů

přímka leží v rovině

p


Stránka 1116

e)

: 5 4 6 0

: 2 ;

3

3 4

: 2 5 3 4 3 4 6 0

2 15 12 16 6 0

8 0

rovnice nemá řešení,

přímka nemá s rovinou s

x y z

p x t t R

y t

z t

p t t t

t t t

polečné body,

jsou rovnoběžné různé

p

p


Stránka 1117

8.5. Kuželosečky

8.5.1 Kružnice

1. Napište středovou a obecnou rovnici kružnice ;k S r , jestliže:

a) 1; 3S , 3r b) 2;1S , 4r

Řešení:

a)

2 2 2

2 2

2 2

2 2

; ,

:

1; 3 , 3

: 1 3 9

2 1 6 9 9 0

: 2 6 1 0

S m n r

k x m y n r

S r

k x y

x x y y

k x y x y

b)

2 2 2

2 2

2 2

2 2

; ,

:

2;1 , 4

: 2 1 16

4 4 2 1 16 0

: 4 2 9 0

S m n r

k x m y n r

S r

k x y

x x y y

k x y x y

2. Určete střed a poloměr kružnice k , jestliže:

a) 2 2: 4 8 15 0k x y x y

b) 2 2: 6 5 0k x y x

c) 2 2: 6 12 6 0k x y x y

d) 2 2: 4 2 12 0k x y x y

Řešení:

a)

2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

:

; ,

: 4 8 15 0

4 8 15 0

4 4 4 8 16 16 15 0

2 4 5

2; 4 , 5

k x m y n r

S m n r

k x y x y

x x y y

x x y y

x y

S r


Stránka 1118

b)

2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

:

; ,

: 6 5 0

6 5 0

6 9 9 5 0

3 4

3;0 , 2

k x m y n r

S m n r

k x y x

x x y

x x y

x y

S r

c)

2 2 2

2 2

2 2

2 2

2

:

; ,

: 6 12 6 0

6 12 6 0

6 6 6 12 12 122 2 6 0

2 4 4 2 4 4

6 423

2 4

6 42; 3 ,

2 2

k x m y n r

S m n r

k x y x y

x x y y

x x y y

x y

S r

d)

2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2

:

; ,

: 4 2 12 0

4 2 12 0

4 4 4 2 1 1 12 0

2 1 7

7

nejedná se o rovnici kružnice

k x m y n r

S m n r

k x y x y

x x y y

x x y y

x y

r

3. Napište středový tvar rovnice kružnice, jejímž průměrem je úsečka AB, jestliže:

a) 0;1 , 4;3A B

b) 3;2 , 1;6A B


Stránka 1119

Řešení:

a)

1 1 2 2

22

2 2

0;1 , 4;3

2;2;

2 2

2 1 5

: 2 2 5

A B

Sa b a bS

r SA

k x y

b)

1 1 2 2

2 2

2 2

3;2 , 1;6

1;4;

2 2

2 2 8

: 1 4 8

A B

Sa b a bS

r SA

k x y

4. Napište středový tvar rovnice kružnice opsané trojúhelníku ABC, jestliže:

a) 1; 3 , 2;0 , 1;1A B C b) 5; 5 , 4;2 , 3;1A B C

Řešení:

a)

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

1; 3 , 2;0 , 1;1

:

: 1 3

: 2

: 1 1

1 2 9 6

4 4

1 2 1 2

2 6 10

4 4

A B C

k x m y n r

A k m n r

B k m n r

C k m n r

m m n n r

m m n r

m m n n r

m n m n r

m n m r

m n

2

22

2 2

2 2 2

2 6 6 2

4 8 8

32 32 1

2 6 6 0 : 1 5

1 6 10 5

m n r

m n

m n

n n

m m k x y

r r


Stránka 1120

b)

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

5; 5 , 4;2 , 3;1

:

: 5 5

: 4 2

: 3 1

25 10 25 10

16 8 4 4

9 6 1 2

10 10 50

8 4 20

6 2 10

A B C

k x m y n r

A k m n r

B k m n r

C k m n r

m m n n r

m m n n r

m m n n r

m n m n r

m n m n r

m n m n r

2 2

2 2

2 14 30 8

16 12 40

100 200 2

2 28 30 1 : 1 2 5

1 4 10 20 50 5

m n

m n

n n

m m k x y

r r

5. Napište rovnici kružnice, která se osy x dotýká v bodě 6;0A a osu y protíná v bodě

0; 8B .

Řešení:

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

22

Osa je tečnou ke kružnici, proto bude střed kružnice 6;

: 6 6 0

: 0 6 8

36 64 16

100 2516 100

16 4

625

16

25 625: 6

4 16

x S n

A k n r

B k n r

n n n

n n

r n

k x y


Stránka 1121

6. Napište rovnici kružnice, která se osy y dotýká v bodě 0;3A a osu x protíná v bodě

4;0B .

Řešení:

2 2 2

2 2 2

2 2

22

2 2

Osa je tečnou ke kružnici, proto bude střed kružnice ;3

: 0 3 3

: 4 0 3

16 8 9

2525 8

25 6258: 3

625 8 64

64

y S m

A k m r

B k m r

m m m

m m

k x y

r n

7. Napište rovnici kružnice, která prochází body 2; 3 , 4; 1M N a dotýká se osy y.

Řešení:

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2 2

2

2; 3 , 4; 1 , L 0;n

: 2 3

: 4 1

: 0

4 4 9 6

16 8 1 2

m

4 6 13 0

8 2 17 0

m

M N

M k m n r

N k m n r

L k m n n r

m m n n r

m m n n r

r

m n r m n

m n r m n

2

2

2

2

2

1,2

2 22

1 1 1 1

2 2

0

4 4 4 0 1

4 6 13 0

1 4 6 1 13 0

1 2 4 6 6 13 0

12 20 0

12 144 806 4

2

10, 1 10 9, r 100 : 10 9 100

2,

r

m n n m

n m n

m m m

m m m m

m m

m

m n k x y

m n

2 22

2 21 2 1, 4 : 2 1 4r k x y


Stránka 1122

8. Napište rovnici kružnice, která prochází body 3; 2 , 1; 4M N a dotýká se osy x.

Řešení:

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2 2

2

3; 2 , 1; 4 , L m;0

: 3 2

: 1 4

: 0

9 6 4 4

1 2 16 8

n

6 4 13 0

2 8 17 0

M N

M k m n r

N k m n r

L k m m n r

m m n n r

m m n n r

r

m n r m n

m n r m n

n

2

2

2

2

2

1,2

2

1 1 1

2 2 2

0

4 4 4 0 1

6 4 13 0

1 6 1 4 13 0

1 2 6 6 4 13 0

12 20 0

12 144 806 4

2

2, m 1 2 1, r 4

10, m 1 10 9,

r

m n m n

m m n

n n n

n n n n

n n

n

n

n r

2

2 2

1

2 2

2

100

: 1 2 4

: 9 10 100

k x y

k x y

9. Napište rovnici kružnice, která je obrazem kružnice 2 2

: 3 2 16l x y ve středové

souměrnosti podle bodu 3; 5S .

Řešení:

1 1 2 2

1 1 2 2

2 2

je střed úsečky , kde 3; 5 a 3;2

;2 2

2 ;2 6 3 ; 10 2 9; 12

: 9 12 16

k l l

l k l k

k l l k k

S S S S S

s s s sS

S s s s s S S

k x y


Stránka 1123

8.5.2 Vzájemná poloha přímky a kružnice

1. Určete vzájemnou polohu kružnice 2 2: 25k x y a přímky : 1 0p x y .

Řešení:

2 222

2 2

2

2

2

1,2

1 1

2 2

1 2

: 25: 1 25

: 1 0 1

2 1 25 0

2 2 24 0

12 0

4

1 4 1 12 49 0

přímka je sečnou kružnice

1 47

2 2

3 3 1 4

4 4 1 3

3; 4 , 4;3

k x yk p x x

p x y y x

x x x

x x

x x

D b ac

D

p k

b Dx

a

x y

x y

P P

2. Určete vzájemnou polohu kružnice 2 2: 25k x y a přímky : 7 25 0p x y .

Řešení:

2 2

22

2 2

2

2

2

1,2

1 1

2 2

1

: 25: 25 7 25

: 7 25 0 25 7

625 350 49 25 0

50 350 600 0

7 12 0

4

49 4 1 12 1 0


7 1

2 2

4 25 28 3

3 25 21 4

4;

k x yk p x x

p x y y x

x x x

x x

x x

D b ac

D

p k

b Dx

a

x y

x y

P

23 , 3;4P


Stránka 1124


Řešení:

2 22 2

2 2

2

2

2

1,2

1 1

2 2

1

: 25: 25 7 25

: 7 25 0 25 7

625 350 49 25 0

50 350 600 0

7 12 0

4

49 4 1 12 1 0


7 1

2 2

3 25 7 3 4

4 25 28 3

k x yk p y y

p x y x y

y y y

y y

y y

D b ac

D

p k

b Dy

a

y x

y x

P

24; 3 , 3; 4P

4. Určete vzájemnou polohu kružnice 2 2

: 3 2 25k x y a přímky : 7 14 0p x y .

Řešení:

2 22 2

2 2

2 2

2

2

2

1,2

1

: 3 2 25: 7 14 3 2 25

: 7 14 0 7 14

7 11 2 25 0

49 154 121 4 4 25 0

50 150 100 0

3 2 0

4

9 4 1 2 1 0


3 1

2 2

1

k x yk p y y

p x y x y

y y

y y y y

y y

y y

D b ac

D

p k

b Dy

a

y x

1

2 2

1 2

7 1 14 7

2 7 2 14 0

7; 1 , 0; 2

y x

P P


Stránka 1125


: 3 2 25k x y a přímky : 2 0q x y .

Řešení:

2 22 2

2 2

2 2

2

2

2

1,2

1 1

2 2

: 3 2 25: 2 3 2 25

: 2 0 2

1 2 25 0

2 1 4 4 25 0

2 6 20 0

3 10 0

4

9 4 1 10 49 0


3 7

2 2

5 5 2 7

2

k x yk q y y

q x y x y

y y

y y y y

y y

y y

D b ac

D

q k

b Dy

a

y x

y x

1 2

2 2 0

7;5 , 0; 2P P


: 3 2 25k x y a přímky :3 4 1 0r x y .

Řešení:

2 22

2

22

2 2

2

2

2

: 3 2 254 1

: 3 2 254 1 3: 3 4 1 03

16 8 18 2 9 4 4 25 0

9

16 8 1 72 18 81 9 36 36 225 0

25 100 125 0

4 5 0

4

16 4 1 5 36 0

přímka je sečnou kr

k x yy

k r yyr x y x

y yy y y

y y y y y

y y

y y

D b ac

D

r

1,2

1 1

2 2

1 2

užnice

4 6

2 2

4 5 15 7

3

4 1 11 1

3

7;5 , 1; 1

k

b Dy

a

y x

y x

P P


Stránka 1126

7. Určete vzájemnou polohu kružnice 2 2: 25k x y a přímky : 4 3 25 0p x y .

Řešení: 2 2

2

2

22

2 2

2

2

2

: 2525 3

: 2525 34: 4 3 25 0

4

625 150 925 0

16

625 150 9 16 400 0

25 150 225 0

6 9 0

4

36 4 1 9 0

přímka je tečnou ke kružnici

6

2 2

25 93

k x yy

k p yyp x y x

y yy

y y y

y y

y y

D b ac

D

p k

by

a

y x

44

4;3T

8. Určete vzájemnou polohu kružnice 2 2: 25k x y a přímky :3 4 25 0p x y .

Řešení: 2 2

2

2

22

2 2

2

2

2

: 254 25

: 254 253: 3 4 25 0

3

16 200 62525 0

9

16 200 625 9 225 0

25 200 400 0

8 16 0

4

64 4 1 16 0


8

2 2

164

k x yy

k p yyp x y x

y yy

y y y

y y

y y

D b ac

D

p k

by

a

y x

253

3

3;4T

9. Určete vzájemnou polohu kružnice 2 2: 25k x y a přímky : 4 3 25 0p x y .


Stránka 1127

Řešení:

2 22

2

22

2 2

2

2

2

: 253 25

: 253 254: 4 3 25 0

4

9 150 62525 0

16

9 150 625 16 400 0

25 150 225 0

6 9 0

4

36 4 1 9 0


6

2 2

3

k x yy

k p yyp x y x

y yy

y y y

y y

y y

D b ac

D

p k

by

a

y x

3 3 254

4

4; 3T


: 3 2 25k x y a přímky : 4 3 7 0s x y .

Řešení:

2 22

2

22

2 2

2

2

2

: 3 2 253 7

: 3 2 253 7 4: 4 3 7 04

9 42 49 18 429 4 4 25 0

16 4

9 42 49 72 168 144 16 64 64 400 0

25 50 25 0

2 1 0

4

4 4 1 1 0

přímka je tečno

k x yy

k s yys x y x

y y yy y

y y y y y

y y

y y

D b ac

D

s

u ke kružnici

2

2 2

3 1 71 1

4

1; 1

k

by

a

y x

T


Stránka 1128


: 3 2 25k x y a přímky

: 4 3 19 0a x y .

Řešení:

2 22

2

22

2 2

2

2

2

: 3 2 253 19

: 3 2 253 19 4: 4 3 19 04

9 114 361 18 1149 4 4 25 0

16 4

9 114 361 72 456 144 16 64 64 400 0

25 250 625 0

10 25 0

4

100 4 1 25 0

přím

k x yy

k a yya x y x

y y yy y

y y y y y

y y

y y

D b ac

D

ka je tečnou ke kružnici

10

2 2

3 5 195 1

4

1;5

a k

by

a

y x

T


Řešení:

2 2

2 2

2 2

2

2

2

: 25: 3 18 25

: 3 18 0 3 18

9 108 324 25 0

10 108 299 0

4

108 4 10 299 296 0

přímka je vnější přímkou ke kružnici

k x yk p y y

p x y x y

y y y

y y

D b ac

D

p k


Stránka 1129

13. Určete vzájemnou polohu kružnice 2 2: 25k x y a přímky : 10 0p x y .

Řešení:

2 2

2 2

2 2

2

2

2

: 25: 10 25

: 10 0 10

20 100 25 0

2 20 75 0

4

20 4 2 75 200 0


k x yk p y y

p x y x y

y y y

y y

D b ac

D

p k

14. Určete vzájemnou polohu kružnice 2 2: 25k x y a přímky :5 4 40 0p x y .

Řešení: 2 2

2

2

22

2 2

2

2

2

: 255 40

: 255 404:5 4 40 0

4

25 400 160025 0

16

16 25 400 1600 400 0

41 400 1200 0

4

400 4 41 1200 36800 0


k x yx

k p xxp x y y

x xx

x x x

x x

D b ac

D

p k


: 3 2 25k x y a přímky : 5 0b x y .

Řešení:

2 22 2

2 2

2 2

2

2

: 3 2 25: 5 3 2 25

: 5 0 5

8 2 25

16 64 4 4 25 0

2 12 43 0

4

144 4 2 43 200 0

přímka je vnější přímka ke kružnici

k x yk b y y

b x y x y

y y

y y y y

y y

D b ac

D

b k


Stránka 1130


: 3 2 25k x y a přímky

: 4 3 20 0c x y .

Řešení:

2 22

2

22

2 2

2

2

: 3 2 253 20

: 3 2 253 20 4: 4 3 20 04

9 120 400 18 1209 4 4 25 0

16 4

9 120 400 72 480 144 16 64 64 400 0

25 256 688 0

4

65536 4 25 688 3264 0

přímk

k x yy

k c yyc x y x

y y yy y

y y y y y

y y

D b ac

D

a je vnější přímkou ke kružnici c k


: 3 2 25k x y a přímky : 3 15 0d x y .

Řešení:

2 22 2

2 2

2 2

2

2

: 3 2 25: 3 15 3 2 25

: 3 15 0 3 15

3 12 2 25

9 72 144 4 4 25 0

10 68 123 0

4

4624 4 10 123 296 0


k x yk d y y

d x y x y

y y

y y y y

y y

D b ac

D

d k

18. Je dána kružnice 2 2

: 2 4 8k x y . Napište rovnici tečny v bodě 0;6A .

Řešení:

0 0

2 2 2

2

0 0

2 2

1

1

; , ; , ; , ,

:

: 0

: 2 4 8, 0;6

: 2 0 2 4 6 4 8 0 2 4 2 8 8 0

: 6 0

k S r S m n T x y T k t k T

k x m y n r

t x m x m y n y n r

k x y A

t x y x y

t x y


Stránka 1131


: 2 4 8k x y . Napište rovnici tečny v bodě 4;6B .

Řešení:

0 0

2 2 2

2

0 0

2 2

2

2

; , ; , ; , ,

:

: 0

: 2 4 8, 4;6

: 2 4 2 4 6 4 8 0 2 4 2 8 8 0

: 10 0


k x m y n r

t x m x m y n y n r

k x y B

t x y x y

t x y


: 2 4 8k x y . Napište rovnici tečny v bodě 4;2C .

Řešení:

0 0

2 2 2

2

0 0

2 2

3

3

; , ; , ; , ,

:

: 0

: 2 4 8, 4;2

: 2 4 2 4 2 4 8 0 2 4 2 8 8 0

: 2 0


k x m y n r

t x m x m y n y n r

k x y C

t x y x y

t x y

21. Je dána kružnice 2 2: 29k x y . Napište rovnici tečny v bodě 5;2A .

Řešení:

0 0

2 2 2

2

0 0

2 2

1

1

; , 0;0 , ; , ,

:

: 0

: 29, 5;2

: 5 2 29 0

: 5 2 29 0

k S r S T x y T k t k T

k x y r

t xx yy r

k x y A

t x y

t x y

22. Je dána kružnice 2 2: 29k x y . Napište rovnici tečny v bodě 2; 5B .

Řešení:

0 0

2 2 2

2

0 0

2 2

2

2

; , 0;0 , ; , ,

:

: 0

: 29, 2; 5

: 2 5 29 0

: 2 5 29 0


k x y r

t xx yy r

k x y B

t x y

t x y


Stránka 1132

23. Je dána kružnice 2 2: 29k x y . Napište rovnici tečny v bodě 2; 5C .

Řešení:

0 0

2 2 2

2

0 0

2 2

3

3

; , 0;0 , ; , ,

:

: 0

: 29, 2; 5

: 2 5 29 0

: 2 5 29 0


k x y r

t xx yy r

k x y C

t x y

t x y


Stránka 1133

8.5.3 Elipsa

1. Napište středový tvar rovnice elipsy, která má ohniska v bodech 1 23;1 , 5;3F F a

hlavní vrchol 4;3A .

Řešení:

1 2 1 2

1 2 2

2 2

;2 2

1;3 , hlavní polosa je rovnoběžná s osou

41 3

5 : 125 9

3

F F F Fx x y yS

S x

e SFx y

a SA

b a e

E

2. Napište středový tvar rovnice elipsy, která má ohniska v bodech 1 23;3 , 7;3F F a hlavní

vrchol 9;3B .

Řešení:

1 2 1 2

1 2 2

2 2

;2 2


25 3

4 : 116 10

10

F F F Fx x y yS

S x

e SFx y

a SA

b a e

E

3. Napište středový tvar rovnice elipsy, která má ohnisko v bodě 1 2;3F a vedlejší vrcholy

1;5 , 1;1C D .

Řešení:

1 2 2

2 2

;2 2


31 3

2 : 113 4

13

C D C Dx x y yS

S x

e SFx y

b SC

a b e

E


Stránka 1134

4. Napište středový tvar rovnice elipsy, která má ohniska v bodech 1 23; 2 , 3;6F F a

hlavní vrchol 3;7A .

Řešení:

1 2 1 2

1 2 2

2 2

;2 2


43 2

5 : 19 25

3

F F F Fx x y yS

S y

e SFx y

b SA

a b e

E

5. Napište středový tvar rovnice elipsy, která má ohnisko v bodě 1 4;3F a hlavní vrcholy

4;6 , 4; 2A B .

Řešení:

1 2 2

2 2

;2 2


14 2

4 : 115 16

15

A B A Bx x y yS

S y

e SFx y

b SA

a b e

E

6. Napište středový tvar rovnice elipsy, která má hlavní vrcholy 1;5 , 1;1A B a vedlejší

vrchol 2;2C . Napište souřadnice bodů S, F1, F2 a D.

Řešení:

2 2

2 2

1 1

2 2

;2 2


51 2

3 : 19 25

13

; 1;6

; 1; 2

a; 4;2

A B A B

S S

S S

S S

x x y yS

S y

b SAx y

a SC

e b a

F x y e F

F x y e F

D x y D

E


Stránka 1135

7. Napište středový tvar rovnice elipsy, která má vedlejší vrcholy 2;2 , 4;2C D a hlavní

vrchol 3;8A . Napište souřadnice bodů S, F1, F2 a B.

Řešení:

2

2

2 2

1 1

2 2

;2 2


63

1 : 2 136

35

; 3;2 35

; 3;2 35

; 3; 4

C D C D

S S

S S

S S

x x y yS

S y

b SAx

a SC y

e b a

F x y e F

F x y e F

B x b y B

E

8. Napište středový tvar rovnice elipsy, která má vedlejší vrchol 1;0C , hlavní vrchol

3;8A a její hlavní poloosa je rovnoběžná s osou x. Napište souřadnice bodů S, F1, F2, D

a B.

Řešení:

2 2

2 2

1 1

2 2

hlavní polosa je rovnoběžná s osou ;

1; 3 , 1 3

6 : 136 9

3

27 3 3

; 1 3 3; 3

; 1 3 3; 3

; 7; 3

; 1; 6

C A

S S

S S

S S

S S

x S x y

Sx y

a SA

b SC

e a b

F x e y F

F x e y F

B x a y B

D x y b D

E


Stránka 1136

9. Napište středový tvar rovnice elipsy, která má vedlejší vrchol 2;4C , ohnisko 1 5;6F

a její hlavní poloosa je rovnoběžná s osou y. Napište souřadnice bodů S, F2, D, A a B.

Řešení:

1

1 2 2

2 2

2 2

hlavní polosa je rovnoběžná s osou ;

5;4 ,

25 4

3 : 14 9

13

; 5;2

; 5;4 13

; 5;4 13

; 8;4

F C

S S

S S

S S

S S

y S x y

S

e SFx y

a SC

b a e

F x y e F

A x y b A

B x y b B

D x y a D

E

10. Je dána obecná rovnice elipsy 2 2: 5 9 45 0x y E . Určete souřadnice středu elipsy,

velikost hlavní a vedlejší poloosy, excentricitu a souřadnice hlavních a vedlejších vrcholů

a ohnisek.

Řešení:

2 2

2 2

2 2

2 2

: 5 9 45 0

5 9 45 / : 45

19 5

0;0

3,

5

9 5 4 2

3;0 , 0;3 , 0; 5 , 0; 5 ,

2;0 , 2;0

x y

x y

x y

S

a o x

b

e a b

A B C D

E F

E


Stránka 1137

11. Je dána obecná rovnice elipsy 2 2: 3 2 6 0x y E . Určete souřadnice středu elipsy,


a ohnisek.

Řešení:

2 2

2 2

2 2

2 2

: 3 2 6 0

3 2 6 / : 6

12 3

0;0

3,

2

3 2 1

hlavní vrcholy 0; 3 , 0; 3 ,

vedlejší vrcholy 2;0 , 2;0 ,

ohniska 0; 1 , 0;1

x y

x y

x y

S

a o y

b

e b a

A B

C D

E F

E

12. Je dána obecná rovnice elipsy 2 2: 9 4 5 0x y x E . Určete souřadnice středu elipsy,


a ohnisek.

Řešení:

2 2

2 2

2 2

2

2

2 2

: 9 4 5 0

4 4 4 9 5 0

2 9 9 / : 9

21

9

2;0

3,

1

9 1 8

hlavní vrcholy 3;0 , 3;0 ,

vedlejší vrcholy 0;1 , 0; 1 ,

ohniska 8;0 , 8;0

x y x

x x y

x y

xy

S

a o x

b

e a b

A B

C D

E F

E


Stránka 1138

13. Je dána obecná rovnice elipsy 2 2: 9 16 36 96 396 0x y x y E . Určete souřadnice

středu elipsy, velikost hlavní a vedlejší poloosy a excentricitu.

Řešení:

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

: 9 16 36 96 396 0

9 36 16 96 396 0

9 4 16 6 396 0

9 4 4 36 16 6 9 144 396 0

9 2 16 3 576 / : 576

2 31

64 36

2; 3

8,

6

64 36 28 2 7

x y x y

x x y y

x x y y

x x y y

x y

x y

S

a o x

b

e a b

E

14. Je dána obecná rovnice elipsy 2 2: 2 4 2 0x y x y E . Určete souřadnice středu elipsy,

velikost hlavní a vedlejší poloosy a excentricitu.

Řešení:

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

: 2 4 2 1 0

2 4 2 1 0

2 2 2 1 0

2 2 1 2 2 1 1 1 0

2 1 1 4 / : 4

1 11

2 4

1; 1

2

2,

4 2 2

x y x y

x x y y

x x y y

x x y y

x y

x y

S

a

b o y

e b a

E


Stránka 1139

15. Je dána obecná rovnice elipsy 2 2: 16 25 96 100 156 0x y x y E . Určete souřadnice

středu elipsy, velikost hlavní a vedlejší poloosy a excentricitu.

Řešení:

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

:16 25 96 100 156 0

16 96 25 100 156 0

16 6 25 4 156 0

16 6 9 144 25 4 4 100 156 0

16 3 25 2 400 / : 400

3 21

25 16

3;2

5,

4

25 16 9 3

x y x y

x x y y

x x y y

x x y y

x y

x y

S

a o x

b

e a b

E

16. Je dána obecná rovnice elipsy 2 2: 2 10 4 23 0x y x y E . Určete souřadnice středu

elipsy, velikost hlavní a vedlejší poloosy a excentricitu.

Řešení:

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

: 2 10 4 23 0

10 2 4 23 0

10 2 2 23 0

10 25 25 2 2 1 2 23 0

5 2 1 4 / : 4

5 11

4 2

5; 1

2,

2

4 2 2

x y x y

x x y y

x x y y

x x y y

x y

x y

S

a o x

b

e a b

E


Stránka 1140

17. Je dána obecná rovnice elipsy 2 2: 2 4 4 0x y x y E . Určete souřadnice středu elipsy,

velikost hlavní a vedlejší poloosy a excentricitu.

Řešení:

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

: 2 4 4 0

2 4 4 0

2 2 4 0

2 2 1 2 4 4 4 0

2 1 2 6 / : 6

1 21

3 6

1;2

3

6,

6 3 3

x y x y

x x y y

x x y y

x x y y

x y

x y

S

a

b o y

e b a

E

18. Je dána obecná rovnice elipsy 2 2: 4 4 24 24 0x y x y E . Určete souřadnice středu

elipsy, velikost hlavní a vedlejší poloosy a excentricitu.

Řešení:

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

: 4 4 24 24 0

4 4 24 24 0

4 4 6 24 0

4 4 4 4 6 9 36 24 0

2 4 3 16 / :16

2 31

16 4

2;3

4,

2

16 4 12 3 2

x y x y

x x y y

x x y y

x x y y

x y

x y

S

a o x

b

e a b

E


Stránka 1141

19. Je dána obecná rovnice elipsy 2 2: 144 169 864 1690 18815 0x y x y E . Určete

souřadnice středu elipsy, velikost hlavní a vedlejší poloosy a excentricitu.

Řešení:

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

:144 169 864 1690 18815 0

144 864 169 1690 18815 0

144 6 169 10 18815 0

144 6 9 1296 169 10 25 4225 18815 0

144 3 169 5 24336 / : 24336

3 51

169 144

3;5

13,

12

x y x y

x x y y

x x y y

x x y y

x y

x y

S

a o x

b

e a

E

2 2 169 144 25 5b


Stránka 1142

8.5.4 Vzájemná poloha přímky a elipsy

1. Je dána elipsa 2 2

: 140 24

x y E . Určete rovnici tečny k elipse v jejím bodě 1 5;3T .

Řešení:

2 2

0 02 2

0 0

2 2

2 2

1

1

1

: 1, 0;0 , ; ,

: 1 0

: 1, 5;340 24

5 3: 1 0 1 0

40 24 8 8

: 8 0

x yS T x y T t

a b

xx yyt

a b

x yT

x y x yt

t x y

E E

E

2. Je dána elipsa 2 2

: 140 24

x y E . Určete rovnici tečny k elipse v jejím bodě 2 5;3T .

Řešení:

2 2

0 02 2

0 0

2 2

2 2

2

2

2

: 1, 0;0 , ; ,

: 1 0

: 1, 5;340 24

5 3: 1 0 1 0

40 24 8 8

: 8 0

x yS T x y T E t

a b

xx yyt

a b

x yT

x y x yt

t x y

E

E


Stránka 1143

3. Je dána elipsa

2 22 4

: 140 10

x y E . Určete rovnici tečny k elipse v jejím bodě

1 4;7T .

Řešení:

2 2

0 02 2

0 0

2 2

2 2

1

1

1

: 1, ; , ; ,

: 1 0

2 4: 1, 2;4 , 4;7

40 10

4 2 2 7 4 4 2 4 3 12: 1 0 1 0

40 10 40 10

2 3 121 0 2 6 24 20 0

20 10

: 6 46 0

x m y nS m n T x y T t

a b

x m x m y n y nt

a b

x yS T

x y x yt

x yx y

t x y

E E

E

4. Je dána elipsa

2 22 4

: 140 10


2 8;5T .

Řešení:

2 2

0 02 2

0 0

2 2

2 2

2

2

2

: 1, ; , ; ,

: 1 0

2 4: 1, 2;4 , 8;5

40 10

8 2 2 5 4 4 6 12 4: 1 0 1 0

40 10 40 10

3 6 41 0 3 6 2 8 20 0

20 10

:3 2 34 0

x m y nS m n T x y T E t

a b

x m x m y n y nt

a b

x yS T

x y x yt

x yx y

t x y

E

E


Stránka 1144

5. Je dána elipsa

2 22 4

: 140 10


3 4;5T .

Řešení:

2 2

0 02 2

0 0

2 2

2 2

3

2

2

: 1, ; , ; ,

: 1 0

2 4: 1, 2;4 , 4;5

40 10

4 2 2 5 4 4 6 12 4: 1 0 1 0

40 10 40 10

3 6 41 0 3 6 2 8 20 0

20 10

: 3 2 22 0

x m y nS m n T x y T E t

a b

x m x m y n y nt

a b

x yS T

x y x yt

x yx y

t x y

E

E

6. Určete vzájemnou polohu elipsy 2 2:3 5 120 0x y E a přímky :3 5 0p x y .

Řešení:

2 22

2

2 2

2

2

1 2

1

2

1 2

: 3 5 120 05

: 3 5 120 053: 3 5 0

3

25 15 360 0

40 360 0

9 0

3; 3

přímka je sečna

53 5

3

53 5

3

5;3 , 5; 3

x y

p y yp x y x y

y y

y

y

y y

p

x

x

P P

E

E


Stránka 1145

7. Určete vzájemnou polohu elipsy 2 2:3 5 120 0x y E a přímky : 9 0q x y .

Řešení:

2 2

2 2

2 2

2

2

: 3 5 120 0:3 9 5 120 0

: 9 0 9

3 54 243 5 120 0

8y 54 123 0

54 4 8 123 1020 0

přímka je vnější přímka

x yq y y

q x y x y

y y y

y

D

q

EE

8. Určete vzájemnou polohu elipsy 2 2:3 5 120 0x y E a přímky : 8 0r x y .

Řešení:

2 22 2

2 2

2

2

2

: 3 5 120 0: 3 8 5 120 0

: 8 0 8

3 48 192 5 120 0

8 48 72 0

6 9 0

6 4 1 9 0

přímka je tečna

3; 3 8 5

3; 5

x yq y y

r x y x y

y y y

y y

y y

D

q

y x

T

EE

9. Určete vzájemnou polohu elipsy

2 28 4

: 164 48

x y E a přímky 1 : 2 16 0p x y .

Řešení:

2 22 2

1

1

2 2

2 2

2 2

2

2

2

1

8 42 16 8 4: 1

: 1 64 4864 48

: 2 16 0 2 16

2 8 41

64 48

3 4 32 64 4 8 16 192 0

12 96 192 4 32 64 192 0

16 64 64 0

4 4 0

4 4 1 4 0

přímka je tečna

42;

2

x yy y

p

p x y x y

y y

y y y y

y y y y

y y

y y

D

p

y x

EE

1

2 2 16 12

12; 2T


Stránka 1146


2 28 4

: 164 48


Řešení:

2 22 2

2

2

2 2

2 2

2 2

2

2

2

2

8 42 32 8 4: 1

: 1 64 4864 48

: 2 32 0 2 32

2 24 41

64 48

3 4 96 576 4 8 16 192 0

12 288 1728 4 32 64 192 0

16 320 1600 0

20 100 0

20 4 1 100 0

přímka

x yy y

p

p x y x y

y y

y y y y

y y y y

y y

y y

D

p

EE

2

je tečna

2010; 2 10 32 12

2

12; 10

y x

T


2 28 4

: 164 48


Řešení:

2 22 2

3

3

2 2

2 2

2 2

2

2

2

3

1,2

1 1

8 42 8 8 4: 1

: 1 64 4864 48

: 2 8 0 2 8

2 41

64 48

3 4 4 8 16 192 0

12 4 32 64 192 0

16 32 128 0

2 8 0

2 4 1 8 36 0

přímka je sečna

2 6

2

2;

x yy y

p

p x y x y

y y

y y y

y y y

y y

y y

D

p

y

y x

EE

2 2

1 1

2 2 8 12

4; 2 4 8 0

12;2 ; 0; 4

y x

P Q


Stránka 1147


2 28 4

: 164 48

x y E a přímky 4 :3 2 32 0p x y .

Řešení:

22 2

2

4

4

2

2

22

2 2

2

2

2

2 328 48: 1 4364 48 : 1

64 482 32: 3 2 32 0

3

2 8

431

64 48

4 32 643 4 8 16 192 0

9

4 32 64 12 96 192 576 0

16 128 320 0

8 20 0

8 4 1 20

yx yy

py

p x y x

y

y

y yy y

y y y y

y y

y y

D

E

E

4

1,2

1 1

2 2

2 2

144 0

přímka je sečna

8 12

2

2 2 322; 12

3

2 10 3210; 4

3

12;2 ; 4; 10

p

y

y x

y x

P Q


2 28 4

: 164 48


Řešení:

2 22 2

4

5

2 2

2 2

2 2

2

2

5

8 42 17 8 4: 1

: 1 64 4864 48

p : 2 17 0 2 17

2 9 41

64 48

3 4 36 81 4 8 16 192 0

12 108 243 4 32 64 192 0

16 76 115 0

76 4 16 115 5776 7360 1584 0

přímka je

x yy y

p

x y x y

y y

y y y y

y y y y

y y

D

p

EE

vnější přímka


Stránka 1148


2 28 4

: 164 48

x y E a přímky 6p : 6 12 0x y .

Řešení:

2 22 2

4

6

2 2

2 2

2 2

2

2

8 48 6 12 4: 1

: 1 64 4864 48

: 6 12 0 6 12

8 6 81

64 48

3 16 64 4 36 96 64 192 0

3 48 192 144 384 256 192 0

147 336 256 0

336 4 147 256 112896 150528 37632 0

x yx x

p

p x y y x

x x

x x x x

x x x x

x x

D

EE

6přímka je vnější přímkap


Stránka 1149

8.5.5 Parabola

1. Napište vrcholový tvar rovnice paraboly a rovnici řídící přímky, jsou-li dány body

4;2 , 4; 1F V .

Řešení:

2

4;2

4; 1

3 62

: 4

: 4 12 1

F

V

o y

pFV p

p Fd d y

x y

P

2. Napište vrcholový tvar rovnice paraboly a rovnici řídící přímky, jsou-li dány body

4;0 , 4;1F V .

Řešení:

2

4;0

4;1

1 22

: 2

: 4 4 1

F

V

o y

pFV p

p Fd d y

x y

P

3. Napište vrcholový tvar rovnice paraboly, je-li dán bod 3;4F a rovnice řídící přímky

: 0d y .

Řešení:

1 2

2

3;4

: 0

4

;2

3;2

: 3 8 2

F

d y

o y

p Fd

pV f f

V

x y

P


Stránka 1150

4. Napište vrcholový tvar rovnice paraboly, je-li dán bod 3; 2F a rovnice řídící přímky

: 1d y .

Řešení:

1 2

2

3; 2

: 1

3

;2

3; 0,5

: 3 6 0,5

F

d y

o y

p Fd

pV f f

V

x y

P


: 1d x .

Řešení:

1 2

2

3; 2

: 1

2

;2

2; 2

: 2 4 2

F

d x

o x

p Fd

pV f f

V

y x

P

6. Napište vrcholový tvar rovnice paraboly, je-li dán bod 1;5F a rovnice řídící přímky

: 5d x .

Řešení:

1 2

2

1;5

: 5

4

;2

3;5

: 5 8 3

F

d x

o x

p Fd

pV f f

V

y x

P


Stránka 1151


: 1d x .

Řešení:

1 2

2

1; 2

: 1

2

;2

0; 2

: 2 4

F

d x

o x

p Fd

pV f f

V

y x

P


: 2d x .

Řešení:

1 2

2

4; 3

: 2

2

;2

3; 3

: 3 4 3

F

d x

o x

p Fd

pV f f

V

y x

P

9. Určete souřadnice F, V a rovnici řídící přímky paraboly 2: 8y xP .

Řešení:

2 8

0;0

4

;2

2;0

: 22

y x

o x

V

p

pF m n

F

pd x m


Stránka 1152

10. Určete souřadnice F, V a rovnici řídící přímky paraboly 2: 0,125 8y x P .

Řešení:

2

2

0,125 8 / : 0,125

64

0;0

32

; 16;02

: 162

y x

y x

o x

V

p

pF m n F

pd x m

11. Určete souřadnice F, V a rovnici řídící přímky paraboly 2

:8 2 4y x P .

Řešení:

28 2 4

0;2

1

4

1; ;2

2 8

1:

2 8

y x

o x

V

p

pF m n F

pd x m


:5 1 4 1x y P .

Řešení:

2

2

5 1 4 1

1 0,8 1

1; 1

0,4

; 1; 1, 22

: 0,82

x y

x y

o y

V

p

pF m n F

pd y n


Stránka 1153


: 0,25 3x y P .

Řešení:

2

2

0,25 3

3 4 ; 3;0 ; 2

; 3;12

: 12

x y

x y o y V p

pF m n F

pd y n

14. Určete souřadnice F, V a rovnici řídící přímky paraboly 2: 4 6 10 0x x y P .

Řešení:

2

2

2

2

4 6 10 0

4 4 4 6 10

2 6 6

2 6 1 ; 2; 1 ; 3

; 2; 2,52

: 0,52

x x y

x x y

x y

x y o y V p

pF m n F

pd y n


Řešení:

2

2

2

2

6 8 41 0

6 9 9 8 41

3 8 32

3 8 4 ; 3;4 ; 4

; 3;62

: 22

x x y

x x y

x y

x y o y V p

pF m n F

pd y n


Stránka 1154

16. Určete souřadnice F, V a rovnici řídící přímky paraboly 2:10 40 8 48 0y y x P .

Řešení:

2

2

2

2

10 40 8 48 0

10 4 4 40 8 48

10 2 8 1

2 0,8 1 ; 1; 2 ; 0,4

; 1,2; 22

: 0,82

y y x

y x x

x x

x x o x V p

pF m n F

pd x m

17. Určete souřadnice F, V a rovnici řídící přímky paraboly 2: 10 9 52 0y y x P .

Řešení:

2

2

2

10 9 52 0

10 25 25 9 52

5 9 3 ; 3;5 ; 4,5

; 5,25;52

: 0,752

y y x

y x x

y x o x V p

pF m n F

pd x m


Řešení:

2

2

2

2

6 8 41 0

6 9 9 8 41

3 8 32

3 8 4 ; 3;4 ; 4

; 3;62

: 22

x x y

x x y

x y

x y o y V p

pF m n F

pd y n


Stránka 1155

19. Určete souřadnice F, V a rovnici řídící přímky paraboly 2: 8 4 4 0y y x P .

Řešení:

2

2

2

2

8 4 4 0

8 16 16 4 4

4 4 20

4 4 5 ; 4; 5 ; 2

; 4; 42

: 62

y y x

y y x

y x

y x o y V p

pF m n F

pd y n

20. Napište středový tvar rovnice paraboly, která prochází body 4;2 , 7; 1 , 3,1A B C

a její osa je rovnoběžná s osou x.

Řešení:

2

2

2

2

2

2

2

4;2 , 7; 1 , 3,1

: 2

: 2 2 4

: 1 2 7

: 1 2 3

4 4 8 2

1 2 14 2

1 2 6 2

3 6 6

9 6 6

16 12

2

3 2 1 2 2 1

10 2 3 3

2

13,1 ,

A B C

o x y n p x m

A P n p m

B P n p m

C P n p m

n n p pm

n n p pm

n n p pm

n p

n p

p p

n n n

m m

V p

2

2

: 1 3y x P


Stránka 1156

21. Napište středový tvar rovnice paraboly, která prochází body 3;3 , 12;0 , 6,4A B C

a její osa je rovnoběžná s osou y.

Řešení:

2

2

2

2

2

2

2

3;3 , 12;0 , 6,4

: 2

: 3 2 3

: 12 2 0

: 6 2 4

9 2 6 2

144 24 2

36 12 8 2

135 18 6

27 6 2 / 3

54 12 4,5

27 6 9 6 3

A B C

o y x m p y n

A P m p n

B P m p n

C P m p n

m m p pn

m m pn

m m p pm

m p

m p

p p

m m

2

6 6

9 36 36 27 9 36 9 4

6,4 , 4,5

: 6 9 4

m

n n n

V p

x y

P


Stránka 1157

8.5.6 Vzájemná poloha přímky a paraboly

1. Určete vzájemnou polohu paraboly 2: 8x yP a přímky 1 : 2 8 0p x y .

Řešení:

2

2

1

1

2

2

1

1

1

: 8: 8 2 8

: 2 8 0 2 8

16 64 0

16 4 1 64 256 256 0

není rovnoběžná s osou

přímka je tečna

8; 2 8 8 8

8;8

x yp x x

p x y y x

x x

D

p y

p

x y

T

PP

2. Určete vzájemnou polohu paraboly 2: 2 4 9 0x x y P a přímky 5 : 2 4 0p x y .

Řešení:

2

2

5

5

2

2

2

5

5

: 2 4 9 0: 2 4 2 4 9 0

: 2 4 0 2 4

2 8 16 9 0

10 25 0

10 4 1 25 0


přímka je tečna

105

2

2 5 4 6

5;6

x x yp x x x

p x y y x

x x x

x x

D

p y

p

x

y

T

PP


Stránka 1158

3. Určete vzájemnou polohu paraboly 2: 2 4 9 0x x y P a přímky 6 : 2 0p x y .

Řešení:

2

2

6

6

2

2

2

6

6

: 2 4 9 0: 2 4 2 9 0

: 2 0 2

2 4 8 9 0

2 1 0

2 4 1 1 0


přímka je tečna

21

2

1 2 3

1;3

x x yp x x x

p x y y x

x x x

x x

D

p y

p

x

y

T

PP

4. Je dána obecná rovnice paraboly 2: 10 4 5 0x x y P . Určete obecnou rovnici tečny

v bodě 1 9; 1T .

Řešení:

2

0 0

0 0

2

2

1

1

1

: 2

; , ;

:

: 10 4 5 0

5 4 5

9; 1

: 9 5 5 2 1 5 2 5 4 20 8 2 10 4 2 38 0

: 2 19 0

x m p y n

V m n T x y

t x m x m p y n p y n

x x y

x y

T

t x y x y x y

t x y

P

P


Stránka 1159


v bodě 2 1; 1T .

Řešení:

2

0 0

0 0

2

2

2

2

2

: 2

; , ;

:

: 10 4 5 0

5 4 5

1; 1

: 1 5 5 2 1 5 2 5 4 20 8 2 10 4 2 2 0

: 2 1 0

x m p y n

V m n T x y


x x y

x y

T

t x y x y x y

t x y

P

P


v bodě 3 3; 4T .

Řešení:

2

0 0

0 0

2

2

3

3

3

: 2

; , ;

:

: 10 4 5 0

5 4 5

3; 4

: 3 5 5 2 4 5 2 5 2 10 2 2 10 2 2 2 0

: 1 0

x m p y n

V m n T x y


x x y

x y

T

t x y x y x y

t x y

P

P


Stránka 1160

7. Určete vzájemnou polohu paraboly 2: 8x yP a přímky 2 :3 2 8 0p x y .

Řešení:

2

2

1

2

2

2

2

1,2

1 1

2 2

1 2

: 83 8

: 8 3 82: 3 2 8 0

2

12 32 0

12 4 1 32 144 128 16 0

přímka je sečna

12 4

2

3 8 8168; 8

2 2

3 4 884; 2

2 2

8;8 , 4;2

x yx

p xxp x y y

x x

D

p

x

x y

x y

P P

P

P

8. Určete vzájemnou polohu paraboly 2: 8x yP a přímky 3 : 2 8 0p x y .

Řešení:

22

1

3

2

2

2

3

1,2

1 1

2 2

1 2

: 8: 8 2 8

: 2 8 0 8 2

64 32 4 8 0

10 16 0

10 4 1 16 100 64 36 0

přímka je sečna

10 6

2

168; 8 2 8 8

2

42; 8 2 2 4

2

8;8 , 4;2

x yp y y

p x y x y

y y y

y y

D

p

y

y x

y x

P P

PP


Stránka 1161


Řešení:

22

1

1

2

2

2

2

3

1,2

1 1

2 2

1 2

: 2 4 9 0: 7 2 2 7 2 4 9 0

: 2 7 0 7 2

49 28 4 14 4 4 9 0

4 36 72 0

9 18 0

9 4 1 18 81 72 9 0

přímka je sečna

9 3

2

126; 7 2 6 5

2

63; 7 2 3 1

2

5;6 ,

x x yp y y y

p x y x y

y y y y

y y

y y

D

p

y

y x

y x

P P

PP

1;3


Řešení:

22

2

2

2

2

2

2

1 1

2 2

1 2

: 2 4 9 0: 1 2 1 4 9 0

: 1 0 1

1 2 2 2 4 9 0

8 12 0

8 4 1 12 64 48 16 0

přímka je sečna

8 46, 1 6 5

2

42, 1 2 1

2

5;6 , 1;2

x x yp y y y

p x y x y

y y y y

y y

D

p

y x

y x

P P

PP


Stránka 1162

11. Určete vzájemnou polohu paraboly 2: 8x yP a přímky 4 : 2 5 4 0p x y .

Řešení: 2

2

4

4

2

2

2

2

4

: 85 4

: 8 5 42: 2 5 4 0

2

25 40 168 0

4

25 40 16 32 0

25 8 16 0

8 4 25 16 64 1600 1536 0


x yy

p yyp x y x

y yy

y y y

y y

D

p

P

P


Řešení:

22

3

3

2

2

2

3

: 2 4 9 0: 2 4 2 2 4 4 9 0

: 2 4 0 2 4

4 16 16 4 8 4 9 0

4 8 17 0

8 4 4 17 64 272 208 0


x x yp y y y

p x y x y

y y y y

y y

D

p

PP


Řešení:

22

4

4

2

2

2

4

: 2 4 9 0: 1 2 1 4 9 0

: 1 0 1

2 1 2 2 4 9 0

4 8 0

4 4 1 8 16 32 16 0


x x yp y y y

p x y x y

y y y y

y y

D

p

PP


Stránka 1163

8.5.7 Hyperbola

1. Je dána obecná rovnice hyperboly 2 2:5 9 18 54 0x y y H . Určete souřadnice středu

hyperboly, velikost hlavní a vedlejší poloosy a excentricitu.

Řešení:

2 2

2 2

22

22

22

2 2

: 5 9 18 54 0

5 9 2 54 0

5 9 1 9 54 0

5 9 1 45 / : 45

11

9 5

0;1

3

5,

9 5 14

x y y

x y y

x y

x y

yx

S

a

b o y

e a b

H

2. Je dána obecná rovnice hyperboly 2 2:9 16 36 96 684 0x y x y H . Určete souřadnice

středu hyperboly, velikost hlavní a vedlejší poloosy a excentricitu.

Řešení:

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

: 9 16 36 96 684 0

9 36 16 96 684 0

9 4 16 6 684 0

9 4 4 36 16 6 9 144 684 0

9 2 16 3 576 / : 576

2 31

64 36

2; 3

8,

6

64 36 10

x y x y

x x y y

x x y y

x x y y

x y

x y

S

a o x

b

e a b

H


Stránka 1164

3. Je dána obecná rovnice hyperboly 2 2: 2 4 2 7 0x y x y H . Určete souřadnice středu

hyperboly, velikost hlavní a vedlejší poloosy a excentricitu.

Řešení:

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

: 2 4 2 7 0

2 4 2 7 0

2 2 2 7 0

2 2 1 2 2 1 1 7 0

2 1 1 8 / :8

1 11

4 8

1; 1

2

8,

4 8 12 2 3

x y x y

x x y y

x x y y

x x y y

x y

x y

S

a

b o y

e a b

H

4. Je dána obecná rovnice hyperboly 2 2:16 25 96 250 881 0x y x y H . Určete

souřadnice středu hyperboly, velikost hlavní a vedlejší poloosy a excentricitu.

Řešení:

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

:16 25 96 250 881 0

16 96 25 250 881 0

16 6 25 10 881 0

16 6 9 144 25 10 25 625 881 0

16 3 25 5 400 / : 400

3 51

25 16

3;5

5,

4

25 16 41

x y x y

x x y y

x x y y

x x y y

x y

x y

S

a o x

b

e a b

H


Stránka 1165

5. Je dána obecná rovnice hyperboly 2 2:9 4 18 16 43 0x y x y H . Určete souřadnice

středu hyperboly, velikost hlavní a vedlejší poloosy a excentricitu.

Řešení:

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

: 9 4 18 16 43 0

9 18 4 16 43 0

9 2 4 4 43 0

9 2 1 9 4 4 4 16 43 0

9 1 4 2 36 / : 36

1 21

4 9

1;2

2

3,

4 9 13

x y x y

x x y y

x x y y

x x y y

x y

x y

S

a

b o y

e a b

H


Stránka 1166

8.5.8 Vzájemná poloha přímky a hyperboly

1. Určete vzájemnou polohu hyperboly 2 2: 7 3 63 27 56 0x y x y H a přímky

1 : 3 19 0p x y .

Řešení:

2 22 2

1

1

2 2

2

2

2

1

1 1

: 7 3 63 27 56 0: 7 3 19 3 63 3 19 27 56 0

: 3 19 0 3 19

63 798 2527 3 189 1197 27 56 0

60 960 3780 0

16 63 0

16 4 1 63 256 252 4 0

přímka je sečna

16 29;

2

x y x yp y y y y

p x y x y

y y y y y

y y

y y

D

p

y x

HH

2 2

3 9 19 8

16 27; 3 7 19 2

2

8;9 , 2;7

y x

P Q

2. Určete vzájemnou polohu hyperboly 2 2: 7 3 63 27 56 0x y x y H a přímky

2 : 7 6 2 0p x y .

Řešení:

2 22

2

2

2

22

2 2

2

2

2

: 7 3 63 27 56 06 2 6 2

: 7 3 63 27 56 06 27 7: 7 6 2 0

7

36 24 43 9 6 2 27 56 0 / 7

7

36 24 4 21 378 126 189 392 0

15 165 270 0

11 18 0

11 4 1

x y x yy y

p y yyp x y x

y yy y y

y y y y y

y y

y y

D

H

H

1

1 1

2 2

18 121 72 49 0

přímka je sečna

11 7 6 9 29; 8

2 7

11 7 6 2 22; 2

2 7

8;9 , 2;2

p

y x

y x

P Q


Stránka 1167

3. Napište obecnou rovnici tečny k hyperbole 2 2: 4 5 20x y H v bodě dotyku

05; 0 .T y

Řešení:

2 2

0 02 2

0 0

2 2

2 2

0

2 2 2 2

0 0 0 0 0

: 1; ;

: 1

: 4 5 20, 5; 0

: 4 5 5 20 0 80 5 16 , 0 4 5;4

: 4 5 5 4 20 0 20 20 20 0

: 1 0

x yT x y

a b

xx yyt

a b

x y T y

T y y y y y T

t x y x y

t x y

H

H

H

4. Napište obecnou rovnici tečny k hyperbole 2 2:9 5 45x y H v bodě dotyku 05; 0T y .

Řešení:

2 2

0 02 2

0 0

2 2

2 2

0

2 2 2 2

0 0 0 0 0

: 1; ;

: 1

:9 5 45, 5; 0

:9 5 5 45 0 180 5 36 , 0 6 5;6

:9 5 5 6 45 0 45 30 45 0

:3 2 3 0

x yT x y

a b

xx yyt

a b

x y T y

T y y y y y T

t x y x y

t x y

H

H

H

.

5. Napište obecnou rovnici tečny k hyperbole

2 22 3

: 15 9

x y H v bodě dotyku

07; 0T y


Stránka 1168

1,2

2 2

0 02 2

0 0

2 2

2 2

0

2 2

0

2

0 0

2

0 0

2

0 0

2

0 0

0

0 0

: 1; ; ; ;

: 1

2 3: 1, 7; 0

5 9

7 2 3: 1 / 45

5 9

9 25 5 6 9 45 0

225 5 30 45 45 0

5 30 135 0

6 27 0

6 12

2

0, 9, 7;9

7 2 2:

x m y nV m n T x y

a b

x m x m y n y nt

a b

x yT y

yT

y y

y y

y y

y y

y

y y T

xt

H

H

H

9 3 31 / 45

5 9

9 5 2 5 6 3 45 0

45 90 30 90 45 0

45 30 45 0

: 3x 2 y 3 0

y

x y

x y

x y

t

.

Analytická geometrie - SGOmatematika.sgo.cz/.../Analyticka_geometrie.pdf · Analytická geometrie...

Documents

Transcript of Analytická geometrie - SGOmatematika.sgo.cz/.../Analyticka_geometrie.pdf · Analytická geometrie...