11 Analytická geometrie v rovině · 11.5 Poznámka: Obecná rovnice přímky V rovině platí,...
Transcript of 11 Analytická geometrie v rovině · 11.5 Poznámka: Obecná rovnice přímky V rovině platí,...
11 Analytická geometrie v rovině
V této části se budeme zabývat pouze rovinou 2. Využijeme některých vlastností, které
v prostoru 3 neplatí.
11.1 Poznámka: Opakování
u = (u1, u2), v = (v1, v2) vektory
||u||= (u12 + u2
2) velikost vektoru
u.v = u1v1 + u2v2 skalární součin vektorů
A = [a1, a2], B = [b1, b2] body
AB = (b1 – a1, b2 – a2) vektor
||AB|| = ((b1 – a1)2 + (b2 – a2)
2) vzdálenost dvou bodů
parametrické rovnice přímky p = {A, u}, u – směrový vektor
p: x = a1 + tu1
y = a2 + tu2 t R
11.2 Příklad:
Dokažte, že ∆ABC, A=[3,2], B=[3,7], C=[5,6] je pravoúhlý
a) pomocí skalárního součinu
b) pomocí Pythagorovy věty
Řešení:
a) AB = (0,5), AC = (2,4), BC = (2,-1)
AC.BC = 4 – 4 = 0 pravý úhel je při vrcholu C
b) c=||AB||=5 b=||AC||= (22+4
2)= 20 a=||BC||= 5
a2 + b
2 = 5 + 20 = 25 = 5
2 = c
2
11.3 Příklad:
Určete y tak, aby ∆ABC byl pravoúhlý s pravým úhlem při vrcholu B, A=[4,1], B=[-3,2],
C=[1,y]
Řešení: BA = (7,-1) BC = (4,y-2)
BA.BC = 28 – y + 2 = 0 => y = 30
11.4 Příklad:
Ukažte, že body A=[-3,4], B=[3,2], C=[6,1] jsou kolineární
Řešení: body A,B,C jsou kolineární <=> AB je násobkem AC
AB = (6,-2), AC = (9,-3) => AB = 3/2 AC
11.5 Poznámka: Obecná rovnice přímky
V rovině platí, že k přímce existuje jednoznačně (až na násobek) kolmý vektor.
přímku můžeme určit bodem a směrovým vektorem
přímku můžeme určit bodem a normálovým vektorem
X p AX u AX.u = 0
A = [a1, a2], X = [x, y], u = (a, b)
AX.u = 0 (x – a1)a + (y – a2)b = 0
ax + by + ( - aa1 – ba2) = 0
ax + by + c = 0
koeficienty u x a y jsou souřadnice normálového vektoru
Napište obecnou rovnici přímky určenou A = [3,2], u = (15, -5)
15x – 5y – 35 = 0
15.3 – 5. 2 + c = 0 => c= -35 počítat zpaměti !!!
u = (15, -5) ~ (3, -1) lepší vzít vektor s menšími čísly souřadnic, ale stejného směru
3x – y – 7 = 0 /5
15x – 5y – 35 = 0
Obecná rovnice přímky je dána jednoznačně až na násobek.
11.6a Poznámka: obecná -> parametrické
Přechod mezi rovnicí obecnou a rovnicemi parametrickými.
protože (a,b).(-b,a)=-ab+ab=0
u =(a,b) a zároveň u .u|| = 0 <=> u|| = (-b,a)
z obecné rovnice na parametrické
p: 3x – y + 1 = 0 => u =(3,-1) => u|| = (1,3) souřadnice mezi sebou prohodit a u
jedné změnit znaménko
A = [0,1] jednu souřadnici volím a druhou
dopočtu, vhodná volba něco = 0
=> p: x = t
y = 1 + 3t
11.6b Poznámka: parametrické -> obecná
z parametrických na obecnou
q: x = 2 – 3t
y = -1 – 2t
=> u|| = (-3,-2) => u =(2,-3)
souřadnice mezi sebou prohodit a u
jedné změnit znaménko
A = [2,-1]
q: 2x – 3y – 7 = 0
11.7 Poznámka: směrnice
Směrnicový a úsekový tvar přímky
ax + by + c = 0
b≠0 y=(-a/b)x + (-c/b)
přeznačení y = kx + q - směrnicový tvar
k - směrnice
q – úsek na ose y
Nejdou tak napsat rovnoběžky s osou y !!!
a≠0 , b≠0, c≠0
1
b
c
y
a
c
x
cbyax
přeznačení 1B
y
A
x směrnicový tvar
A – úsek na ose x
B – úsek na ose y
Nejdou tak napsat žádné rovnoběžky s osou x, ani s osou y ani žádná přímka procházející
počátkem - využívá se při rýsování
11.8 Příklady: na převod
S přímkami a jejími částmi se v geometrii pracuje neustále. V analytické geometrii pomocí
přímek počítáme délky, vzdálenosti, úhly, společné body, apod. Ke každé úloze je výhodnější
jiné vyjádření téže přímky: parametricky, obecnou rovnicí či pomocí směrnice a úseku. Pro je
třeba umět rychle převádět rovnici přímky z jednoho typu vyjádření na druhý.
Pod označením Cvičení na převod najdete v menu tabulku, ve které jsou příklady na napsání
rovnice přímky ve všech typech při různém výchozím zadání (informacích o přímce). Napsat
potřebný tvar rovnic přímky musí být rychlý, abyste se mohli zabývat podstatou zadaného
příkladu a netopili se na takovém základu (napsat rovnici přímky). Proto byste měli v průměru
dosáhnout vyplnění jednoho řádku tabulky zhruba za jednu minutu. Kontrolu správnosti
můžete provést v textu Výsledky převodu.
Několik vzorů je postupovat:
dány dva body přímky A = [-1,2], B = [0,6]
směrový vektor u|| ≈ B-A ≈ (1,4) => normálový vektor u = (4,-1) přehodit
parametrické x = -1 + t, y = 2 + 4t směrový vektor a bod A
obecná 4x – y + 6 = 0 normálový vektor a bod A
směrnicový y = 4x + 6 výpočet y z obecné
dán jeden bod A a jeden z vektorů (směrový či normálový)
druhý vektor získáme přehozením souřadnic a změnou znaménka u jedné z nich
a dál je to jako v předchozím případě
dán bod A = [2,-2] a směrnice k = 3
směrnicový tvar přímky y = 3x +q, dosadím bod A, -2 = 6 + q => q = -8
y = 3x – 8
obecná rovnice 3x – y – 8 = 0 jen převedeno na jednu stranu
=> normálový u = (3,-1) a směrový u|| = (1,3)
parametrické x = 2 + t, y = -2 + 3t
dány parametrické rovnice x = 3 – 2t, y = 1 + t
vyčteme bod A = [3,1] a u|| = (-2,1) a tedy u = (1,2)
obecná rovnice x + 2y –5 = 0 normálový vektor a bod A
směrnicový tvar y = -½ x + 5/2 vyjádřit y z obecné rovnice
dána obecná rovnice x – 2y + 3 = 0
normálový vektor u = (1,-2) tedy směrový u|| = (2,1)
potřebujeme ještě jeden bod: volím např. y = 0 a z rovnice vypočtu x = -3 A =[-3,0]
parametrický tvar x = -3 + 2t, y = t
směrnicový tvar y = ½ x + 3/2
dán směrnicový tvar y = 2x –1
obecná rovnice 2x – y – 1 = 0 vše převedeno na jednu stranu
normálový vektor u = (2,-1) tedy směrový u|| = (1,2)
potřebujeme ještě jeden bod: volím např. x = 0 a z rovnice vypočtu y = -1 A =[0,-1]
parametrický tvar x = t, y = -1 + 2t
11.9 Příklad:
Určete obecnou rovnici přímky určenou body A = [2,4], B = [-1,3]. Výsledek porovnejte
s rovnicí z determinantu 0
311
421
1 yx
Řešení: u|| = AB = (-3,-1) => u =(1,-3) => x – 3y + 10 = 0
311
421
1 yx
= 6 +4x – y – 2y –3x +4 = x – 3y + 10 = 0
11.10 Poznámka:
Obecnou rovnici přímky určenou dvěma různými body
A = [a1,a2], B = [b1,b2] získáme sestavením determinantu
0
1
1
1
21
21
bb
aa
yx
11.11 Příklad:
Určete obecné rovnice přímek určených dvojicí bodů pomocí determinantu.
a) A = [0,2], B = [2,0]
b) A = [1,3], B = [1,5]
c) A = [-2,5], B = [0,0]
Výsledky:
a) A = [0,2], B = [2,0] 2x + 2y – 4 = 0
b) A = [1,3], B = [1,5] x – 1 = 0
c) A = [-2,5], B = [0,0] 5x +2y = 0
11.12 Příklad:
Rozhodněte, zda jsou následující trojice bodů kolineární
a) A = [0,5], B = [2,1] , C[-1,7]
b) A = [-3,2], B = [0,3], C[4,4]
c) A = [1,3], B = [1,5] , C[1,7]
d) A = [-2,5], B = [1,1] , C[4,4]
e) A = [-3,4], B = [3,2] , C[6,1]
Řešení: Kolineární body leží na jedné přímce. Když napíšeme rovnici přímky určenou dvěma
body a souřadnice třetího bodu mu budou vyhovovat, pak jsou kolineární. S výhodou lze
použít determinant.
a)
711
121
501
= 14 – 5 –10 + 1 = 0 => body jsou kolineární
b) nejsou c) jsou d) nejsou e) jsou
11.13 Věta: obsah ∆
Jsou dány tři body v rovině A = [a1,a2], B = [b1,b2], C = [c1,c2]. Označme D determinant
21
21
21
1
1
1
cc
bb
aa
D . Body A,B,C jsou kolineární právě když D = 0. Jsou-li body A,B,C
nekolineární, pak obsah ∆ABC je roven ½ |D| (jedné polovině absolutní hodnoty determinantu
D.
11.14 Příklad:
Určete obsah ∆ABC, kde A = [2,-3], B = [4,2] , C = [-10,-4].
Řešení:
29582081230416
4101
241
321
P
11.15 Příklad:
Vypočtěte souřadnice vrcholů kosočtverce, jsou-li známy rovnice jeho stran AB: x + 2y – 4 =
0, CD: x + 2y –10 = 0 a rovnice jedné jeho úhlopříčky DB: y = x + 2
Řešení:
průsečík AB, DB je bod B
x + 2y – 4 = 0 1 2 -4
x - y + 2 = 0 1 -1 2
0 -6 -3 Dx –Dy D
B = [0,2]
průsečík CD, DB je bod D
x + 2y – 10 = 0 1 2 -10
x - y + 2 = 0 1 -1 2
-6 -12 -3
D = [2,4]
S = (B + D)/2 = [1,3] přímka AC je určena bodem S a normálovým vektorem BD
2x + 2y – 8 = 0 => x + y – 4 = 0
průsečík AC, AB je bod A x + y – 4 = 0
x + 2y – 4 = 0
4 0 1 A = [4,0]
průsečík AC, DB je bod C x + y – 4 = 0
x + 2y – 10 = 0
-2 6 1 C = [-2,6]
11.16 Příklad:
Jsou dány vrcholy ∆ABC, A = [-4,3], B = [4,1] a průsečík výšek (ortocentrum) V = [3,3].
Určete souřadnice třetího vrcholu a obsah trojúhelníka.
Řešení:
C je průsečík přímek AC a BC
přímka AC je určena bodem A a normálovým vektorem BV
přímka BC je určena bodem B a normálovým vektorem AV
AC: -x + 2y –10 = 0 -x + 2y – 10 = 0
BC: 7x - 28 = 0 x - 4 = 0
C = [4,7]
obsah ∆ABC = 48/2 = 24
11.17 Příklad:
Jsou dány body A = [-3,1], B = [3,-7]. Na ose y najděte bod N tak, aby AN BN.
Řešení: Na ose y mají všechny body souřadnice N = [0, y].
AN BN <=> AN.BN = 0 <=> (3,y-1)(-3,y+7) = 0
-9 + (y-1)(y+7) = 0
y2 + 6y –16 = 0
=> N1 = [0,2], N2 = [0,-8]
11.18 Příklad:
Určete střed a poloměr kružnice opsané ∆ABC, kde A = [4,5], B = [3,-2] , C = [1,-4].
Řešení: nutno postupně vyřešit
1) rovnici osy úsečky AB: p = {SAB, AB }
2) rovnici osy úsečky AC: q = {SAC, AC }
3) průsečík S = p q
4) poloměr r = |AS|
ad 1) SAB = [7/2,3/2] AB = (-1,-7) ~ (1,7) p: x + 7y – 14 = 0
ad 2) SAC = [5/2,1/2] AC = (-3,-9) ~ (1,3) q: x + 3y – 4 = 0
ad 3) x + 7y – 14 = 0
x + 3y – 4 = 0
14 -10 -4 S = [-7/2, 5/2]
ad 4) r2 = |AS|
2 = (4 + 7/2)
2 + (5 – 5/2)
2 = 250/4 =>
2
105r
11.19 Příklad:
Na ose x nalezněte bod, který je stejně vzdálen od počátku souřadnic jako od bodu A = [8,4]
Řešení: 1) osu úsečky AP: p = {SAP, AP }
2) hledaný průsečík X = p ox
ad 1) SAP = [4,2], PA = (8,4) ~ (2,1) p: 2x + y – 10 = 0
ad 2) ox: y = 0 => X = [5,0]
11.20 Příklad:
Je dán ∆ABC, kde A = [-1,-2], B = [1,1] , C = [0,3]. Určete velikost jeho úhlů.
Řešení: úhel α svírají vektory AB, AC CZ
AB = (2,3) ||AB|| = 13 'cos 232226
217
2613
17
BC = (-1,2) ||BC|| = 5 'cos 4511965
654
513
4
AC = (1,5) ||AC|| = 26 'cos 5237130
1309
265
9
11.21 Poznámka: Odchylka dvou přímek
11.22 poznámka: Kritéria kolmosti a rovnoběžnosti přímek
p||q <=> p|| . q = 0
p . q|| = 0
k1 = k2
p q <=> p|| . q|| = 0
p . q = 0
k1.k2 = -1
D: α1 = α2 + 90o
k1 = tg α1 =
= tg (α2 + 90o) = - cotg α2 = - 1/tg α2 = - 1/k2
11.23 Příklad:
Napište rovnici přímky, která prochází bodem A = [-1,-1] a svírá s přímkou
a: 4x – 3y + 2 = 0 úhel 45o.
Řešení: Takovouhle úlohu je nejlepší řešit přes směrnice
a: y = (4/3)x + (2/3)
b: y = kx + q hledaná přímka
k
k
k
k
tg
3
41
3
4
3
41
3
4
145
77
1
07487
1624916249
9
16
3
8
9
16
3
41
3
4
3
41
21
2
22
22
k,k
kk
kkkk
kkkk
kk
=> dvě řešení = dvě přímky b1: y = x/7 – 6/7 b2: y = -7 + -8
11.24 Příklad:
Ukažte, že body K=[3,8], L=[-11,3], M=[-8,-2] jsou vrcholy rovnoramenného trojúhelníka
1. pomocí úhlů
2. pomocí délek stran
Řešení:
KL = (14,5), LM = (-3,5), KM = (11,10)
||KL|| = 221, ||LM|| = 34, ||KM|| = 221
ad 2 dokázáno, norma vektoru je rovna velikosti úsečky |KL|=|KM|
221221
204cos
34.221
17
34221
5)5()14)(3(cos
34.221
17
34221
5033cos
11.25 Poznámka: Svazky přímek
Vyskytuje-li se v rovnici přímky nějaký parametr, jde o systém nekonečně mnoha přímek,
který nazýváme svazkem přímek.
11.26 Příklad:
Pro kterou hodnotu parametru a R dostaneme rovnici přímky ze svazku
(3a + 4)x + (2 – a)y + a – 9 = 0
která je (řešte sami, jen v krajním případě se inspirujte návodem):
a
rovnoběžná s osou x -4/3
rovnoběžná s osou y 2
svírá s osou x orientovaný úhel +45o -3
prochází bodem A = [0,1] neexistuje
prochází počátkem 9
prochází bodem B = [7/10, 31/10] a R
rovnoběžná s přímkou p: x – 3y + 2 = 0 -7/4
rovnoběžná s přímkou q: x = 2 + 2t, y = -1 – t -6/7
kolmá na přímku p 1/3
kolmá na přímku q -8
návod
rovnoběžná s osou x normálový vektor osy x je (0,1)
rovnoběžná s osou y normálový vektor osy y je (1,0)
svírá s osou x orientovaný úhel +45o směrnice musí být tg45
o = 1 => souřadnice
normálového vektoru přímky jsou stejné
prochází bodem A = [0,1] dosadíme do rovnice => rovnice pro a nemá
řešení
prochází počátkem dosadíme počátek P = [0,0]
prochází bodem B = [7/10, 31/10] dosadíme a zjistíme, že na a nezáleží
rovnoběžná s přímkou p: x – 3y + 2 = 0 směrový vektor přímky p a normálový
svazku musí dát skalárně 0 (kritérium ||)
rovnoběžná s přímkou q: x = 2 + 2t, y = -1 – t dtto
kolmá na přímku p normálový vektor přímky p a normálový
svazku musí dát skalárně 0 (kritérium )
kolmá na přímku q dtto
11.27 Poznámka: Vzdálenost bodu od přímky
AX.p = 0 <=> p: ax +by +c = 0 p =(a,b), X = [X0,Y0]
22
00
ba
cbyaxd
11.28 Příklad:
Určete délku kolmice spuštěné z bodu S = [4,-1] na přímku
p: 12x – 5y – 27 = 0
Řešení:
213
26
)5(12
27)1.(54.12
22Sp
11.29 Příklad:
Napište rovnice přímek rovnoběžných s přímkou p: 4x-3y-12=0, jejichž vzdálenost od bodu
[2,3] je rovna 5.
Řešení: hledané přímky musí mít stejný normálový vektor
tedy q: 4x – 3y + c = 0 a vzorec pro vzdálenost představuje rovnici pro c
242612534
33245 21
22ccc
c..
q1: 4x – 3y + 26 = 0
q2: 4x – 3y – 24 = 0
11.30 Poznámka: Osa úhlu.
Osa úhlu ABC je určena bodem B a
směrovým vektorem u
Musíme dostat jednotkové vektory ve směrech
BA, BC. To jsou vektory
BC
BC,
BA
BA
je jednotkový protože (norma je číslo, tak lze
vytknout)
11
BABABA
BA
Tedy BC
BC
BA
BAu .
11.31 Příklad:
Napište rovnici osy BAC, kde A=[1,-2], B=[4,1], C=[0,5].
Řešení:
1) vektory AB, AC a jejich velikost
2) vektor u – směrový osy úhlu
3) rovnici osy úhlu BAC
AB = (3,3) ||AB|| = 18 = 3 2 AC = (-1,7) ||AC||= 50=5 2
10
27,
10
2)7,1(
25
1
2
2,
2
2)3,3(
23
1
AC
ACc
AB
ABb
)3,1()3,1(10
24
10
212,
10
24cbu
u = (3,-1) a bod B o: 3x - y - 5 = 0
11.32 Příklad:
Určete souřadnice středů kružnic, které se dotýkají přímek t1: x + y + 4 = 0,
t2: 7x – y + 4 = 0, víte-li že leží na přímce p: 4x + 3y – 2 = 0. Určete poloměr těchto kružnic.
Řešení:
1. průsečík T
2. osa o1
3. S1 = p o1, r1 = |S1,t1|
4. osa o2 o1
5. S2 = p o2, r1 = |S2,t2|
ad 1 x + y + 4 = 0
7x – y + 4 = 0
8 24 -8 T = [-1,-3]
ad 2 a = (1,-1), b = (1,7), ||a||= 2 , ||b||=5 2
)1,3(~25
2,
25
6
25
7,
25
1
2
1,
2
1u
u = (1,-3)
o1: x – 3y – 8 = 0
ad 3
x – 3y + 8 = 0 S1 = [2,-2]
4x + 3y – 2 = 0 r1 = |2 – 2 + 4|/ 2 = 2 2
ad 4
o2: 3x + y + 6 = 0
ad 5
3x + y + 6 = 0 S2 = [-4,6]
4x + 3y – 2 = 0 r2 = |-4 +6 +4|/ 2 = 3 2
11.33 Poznámka: Střed kružnice vepsané ∆
a) Střed najdeme jako průsečík os dvou vnitřních úhlů ∆ - postup viz 11.30
b) Využitím výsledků úlohy 4.17
cba
PCcPBbPAaPO
P je libovolný bod, A,B,C jsou vrcholy ∆, a,b,c jsou délky stran
Označme tedy P = [0,0], A = [a1,a2], B = [b1,b2], C = [c1,c2], S = [s1,s2]
Pak platí 21,i,cba
c.cb.ba.as iiii
11.34 Příklad:
Je dán ∆ABC, A=[5,2], B=[1,5], C=[-2,1]. Určete:
1. jeho obsah
2. velikost stran
3. velikost vnitřních úhlů
4. velikost výšek
5. střed kružnice vepsané a její poloměr
Řešení:
ad 1) 2252552101425
121
511
251
/P
ad 2)
2517
543
534
ACb,AC
BCa,BC
ABc,AB
ad 3) 452
2
255
328
..coscos
90025
0cos
ad 4) Vzhledem k tomu, že je to pravoúhlý trojúhelník rovnoramenný =>
va = vc = a = c = 5, vb = b = 5 2/2
ad 5) střed kružnice vepsané
2
274
22
253
2510
522510
2
24
22
23
2510
2515
2555
102525
2
1
s
s
Poloměr je vzdálenost středu od přímky AB: 3x + 4y – 23 = 0
53810
2255046228162312
10
1
5
232
2744
2
243
,r
11.35 Příklad:
Je dán ∆ABC, A=[12,0], B=[0,5], C=[0,0]. Určete střed O kružnice opsané a V střed kružnice
vepsané a jejich poloměry.
Výsledky: O = [6; 2,5] R = ||AB||/2 = 13/2
V = [2, 2] r = 2
11.36 Příklad:
Je dán ∆ABC, A=[8,6], B=[4,8], C=[2,4].
1. Určete obsah ∆ABC.
2. Napište rovnici přímky PT, kde P je počátek souřadnic a T je těžiště ∆ABC.
3. Napište rovnice přímek AB, BC, AC po řadě ve tvaru parametrickém, obecném a
směrnicovém.
4. Dokažte, že AB BC.
5. Rovnici přímky AC v obecném tvaru vynásobte číslem p a přičtěte k tomu obecnou
rovnici přímky AB. Vzniklý svazek přímek označte t.
6. Dokažte, že všechny přímky svazku t procházejí bodem A.
7. Pro kterou hodnotu parametru dostanete přímku procházející počátkem souřadnic?
8. Pro kterou hodnotu parametru dostanete přímku rovnoběžnou s přímkou BC?
9. Pro kterou hodnotu parametru dostanete přímku kolmou k přímce BC?
Výsledky:
ad 1) obsah = 10
ad 2) T = [14/3,6] p: 18x - 14y = 0
ad 3) AB = (-4,2) x=8-4t, y=6+2t x+2y-20=0 y=(-1/2)x+10
BC = (-2,-4) x=4-2t, y=8-4t 2x-y =0 y=2x
CA = (6,2) x=2+3t, y=4+t x-3y+10=0 y=(1/3)x+10/3
ad 4) AB.BC=0
ad 5) t: (1+p)x + (2-3p)y + (10p-20) = 0
ad 6) (1+p)8 + (2-3p)6 + (10p-20) = 0
ad 7) 10p – 20 = 0 p = 2
ad 8) t||BC BC.t =0 -2(1+p)-4(2-3p)=0 p=5/2
ad 9) t BC BC.t||=0 -2(2-3p)+4(1+p)=0 p=0
11.37 Příklad:
V pravoúhlém ∆ABC ve standardním značení platí: vc = ab/c
Řešení:
Zavedeme si soustavu souřadnic podle obrázku. Pak přímka,
v níž leží strana c má rovnici
ax + by – ab = 0
AB = (b, -a) je směrový vektor
vc=|C, c| = c
b.a
ba
abb.a.
22
00
11.38 Příklad:
V ∆ABC ve standardním značení označme R poloměr kružnice opsané a r poloměr kružnice
vepsané. Dokažte, že platí: je-li ∆ABC pravoúhlý, pak R+r = (a+b)/2.
Řešení:
Zavedeme souřadný systém podle obrázku.
Mějme na paměti, že v pravoúhlém ∆ platí Pythagorova věta,
tedy a2+b
2=c
2
R = c/2
střed kružnice vepsané
cba
ab,cba
ab
cba
.ca.b.a,
cba
.c.bb.aS
0000
r = vzdálenost středu S např. od strany b, tj. y-ová souřadnice
A tedy
2)(2
))((
)(2
)()(
)(2
2)(
)(2
2
)(2
2)(
2
222
2
ba
cba
bacba
cba
babac
cba
abbabac
cba
abccbca
cba
abcbac
cba
abcrR
q.e.d.
11.39 Poznámka: Poloroviny
přímka p dělí rovinu na dvě poloroviny
p: ax + by + c = 0 - p(X) = ax + by + c
p(A).p(B) > 0 body A,B jsou ve stejné polorovině
p(A).p(B) < 0 body A,B jsou v různých polorovinách
11.40 Příklad:
Je dána přímka q: x – 2y + 3 = 0. Zjistěte, které z následujících bodů jsou ve stejné polorovině
jako bod M = [2,0].
A = [1,1], B = [-2,3], C = [2,-3], D = [1,5], E = [-1,-3], P = [0,0]
Řešení: q(M) > 0
q(A) > 0 ano, q(B) < ne, q(C) > 0 ano, q(D) < 0 ne, q(E) > 0 ano, q(P) > 0 ano
KONEC