Analytická geometrie - cvut.cz · PDF file geometrie řeší úlohy...

Click here to load reader

  • date post

    27-Feb-2020
  • Category

    Documents

  • view

    3
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of Analytická geometrie - cvut.cz · PDF file geometrie řeší úlohy...

  • 7.11.2016

    1

    Analytická geometrie

    Vektory

    Parametrické vyjádření přímky, roviny

    Obecná rovnice nadroviny

    Vektorový prostor

    Nechť jsou dány následující matematické objekty:

    1)

    2)

    VVV  :3)

    Číselné těleso T.

    Neprázdná množina V.

    VVT :4) Zobrazení

    Zobrazení

    Řekneme, že V je vektorový prostor nad tělesem T s vektorovými operacemi

    , právě když platí axiomy vektorového prostoru : a

    S1) Komutativní zákon pro vektorové sčítání :

       abbaba  VV S2) Asociativní zákon pro vektorové sčítání :

        cbacbacba  )()(VVV

    součet vektorů

    součin čísla a vektoru

  • 7.11.2016

    2

    Vektorový prostor

    S3) Existence nulového vektoru :

       aaa  θθ VV

    S3) Existence opačného vektoru :

       θ baab VV Opačný vektor k vektoru a značíme obvykle unárním mínus, tj. a = -b.

    N1) Asociativní zákon pro násobení vektoru číslem:

    N2) Násobení jedničkou :

        aaa  )()(   VTT

      aaa  1V

    Vektorový prostor Tn

    Buď T číselné těleso, n přirozené číslo, množina V pak množina n-tic

    ve tvaru:

     na  ,,, 321 kde α1 až αn jsou čísla z tělesa T. Definujme operace jako

     

     n

    nn

    a

    ba

    

    

    

    

    

    ,,,

    ,,

    321

    2211

    Jelikož všechny operace se provádějí jako standardní po složkách a

    složky jsou čísla, axiomy vektorového prostoru jsou splněny (čísla je

    evidentně splňují). Speciálně pro tělesa R nebo C značíme prostory Rn

    nebo Cn. Na střední škole se studenti setkávají s vektorovými prostory

    R2 nebo R3.

  • 7.11.2016

    3

    Vektorový prostor šipek

    Buď T = R reálné číselné těleso, množina V množina všech

    geometrických orientovaných úseček. Její prvky jsou tedy jakési „šipky“.

    Definujme operace takto:

    a

    ba

    součet definujeme pomocí rovnoběžníkového pravidla

    násobení definujeme jako γ-násobné prodloužení

    Platí v takto definovaném prostoru axiomy? Bezesporu ano. Stejně se dá defino-

    vat prostor šipek i v 3D. Prostor šipek je vhodný zejména při vizualizaci.

    Lineární kombinace

    Buď V vektorový prostor nad tělesem T. Souborem vektorů délky n

    rozumíme uspořádanou n-tici (tj. závisí na pořadí):

     nxxxx ,,, 321

    nn

    n

    i

    ii xxxxxx    

    332211 1

    Říkáme, že vektor x je lineární kombinací souboru ( x1, … , xn ), právě

    když existuje taková n-tice ( α1, … , αn ) čísel z tělesa T tak, že

    Čísla αi nazýváme koeficienty lineární kombinace. Jsou-li všechna

    nulová, říkáme takové kombinaci triviální a výsledek je nulový vektor.

  • 7.11.2016

    4

    Lineární obal

    Nechť  nxxxx ,,, 321 je soubor vektorů z V. Množinu všech lineárních kombinací tohoto souboru nazýváme jeho line-

    árním obalem a značíme

      n

    xxxx ,,, 321

    Lineární obal

    1)

    2)

    3) Proházíme-li vektory v souboru, jeho lineární obal se nezmění.

    4)

    Nechť  nxxxx ,,, 321 je soubor vektorů z V. Platí:

      n

    xxxx ,,,θ 321

     

        

    yxxxxxxxx

    xxxx

    nn

    n

    ,,,,,,,

    ,,,y

    321321

    321

    

    

     

     

      

    n

    n

    n

    xxxx

    xxxxy

    xxxxy

    ,,,x

    ,,,x

    ,,,,x

    321

    321

    321

    

    

     T

    Pozn. Lineární obal souboru vektorů je rovněž vektorovým prostorem.

    Předchozí věta ukazuje, že operace na něm jsou uzavřené a platí-li axiomy na

    celém prostoru, tím spíše platí na jeho podmnožině (což lineární obal je).

  • 7.11.2016

    5

    Báze a dimenze

    Nechť  nxxxx ,,, 321 je soubor vektorů z V. Pokud platí

    říkáme, že prostor V má konečnou bázi a soubor

    1)

    2)

    Soubor je lineárně nezávislý

      n

    xxxx ,,, 321V

     nxxxx ,,, 321 nazýváme bází prostoru V.

    Nechť V je vektorový prostor. Pokud existuje takové přirozené číslo n, že existuje n-

    členný LN soubor vektorů z V a libovolný n+1 prvkový soubor vektorů z V je lineárně

    závislý, říkáme, že prostor V má konečnou dimenzi a definujeme dim V = n .

    Pokud takové číslo neexistuje, tj. lze najít LN soubor vektorů o zcela libovolném

    počtu prvků, říkáme, že prostor V má nekonečnou dimenzi a definujeme dim V = ∞.

    Buď V vektorový prostor. Platí

    Ve V existuje n-členná báze.  dim NV n

    Báze a dimenze prostoru Tn

    Tvrdíme, že dim Tn = n. K tomu je třeba nalézt nějakou bázi o n členech.

    Soubor vektorů  nn eeee ,,, 321 ve tvaru

     

     

     

     1,0,0,0

    0,1,0,0

    0,0,1,0

    0,0,0,1

    3

    2

    1

    

    ne

    e

    e

    e

    je tzv. standardní bází Tn . Soubor je LN zcela zjevně, n-členný je také a každý

    vektor lze pomocí něj vyjádřit jako

       

     n

    i

    iin ex 1

    321 ,,,  

  • 7.11.2016

    6

    Zvolíme-li bázi, pak se nám operace s jakýmkoliv vektorovým prostorem redukují

    na operace s n-ticemi číslic – souřadnicemi. To znamená, že všechny vektorové

    prostory o shodné konečné dimenzi a s tělesem T jsou v algebře ekvivalentní s

    prostorem Tn.

    Souřadnice

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 151412 13

    1 2

    3 4 5 6

    7 8

    1 2

    3

    2

    (2,4)

    (4,2)

    (6,6)

    Věta zajišťuje, že můžeme

    používat podobné nákresy jako

    tento. Předpokládáme při nich

    automaticky, že souřadnice v obou

    prostorech jsou ve standardních

    bázích.

    Skalární součin vektorů

    výsledkem je reálné číslo (skalár)

    v rovině:

    2211 ... bababa 

    v prostoru dim n:

    );(

    );(

    21

    21

    bbb

    aaa

     1 2

    1 2

    ( ; ;...; )

    ( ; ;...; )

    n

    n

    a a a a

    b b b b

    ba.

    ba

    ba

    .

    . cos 

    odchylka vektorů

    1 1 2 2. . . ... .n na b a b a b a b   

  • 7.11.2016

    7

    Vektorový součin

    - je definován jen v prostoru dim 3 (ne v rovině)

    - výsledkem je vektor

    ba

    baw 

    )..;.;..( 122131132332 babababababaw 

    - pro výsledný vektor w platí

    w a w b  

    a b S 

    Obsah S rovnoběžníku určeného vektory a, b

    je velikost vektorového součinu

    GeoGebra – Vectory v R2

    Velikost (norma )vektoru je určena skalárním součinem.

    A = (1,3)

    B = (3,1)

    u = A

    v = B

    w2 = B – A

    w = u + v

    dotprod = u*v

    mu = Length[u]

    Velikost vektorového součinu ( sgn) crossprod = u ⊗ w

  • 7.11.2016

    8

    R. Descartes: Geometrie, 1637 (český překlad 1947, 2010)

    Geometrie představuje první revoluci v geometrii od antiky, spočívající v řešení geometrických problémů algebraickými prostředky.

    Poprvé se zde objeví naše neznámá x, rovnice křivek v dnešní podobě.

    Na rozdíl od antické názorné geometrie, která pracuje s

    obrazy bodů, přímek a rovinných útvarů, analytická

    geometrie řeší úlohy početně. Tak lze zkoumat i složitější

    křivky, řešení jsou libovolně přesná a lze je hledat v

    prostorech o více dimenzích.

    a 0 b

    y

    x

    y

    x

    z

    1D

    2D

    3D

    Jednoznačné určením bodu v prostoru

    pomocí souřadnic – uspořádané n-tice

    reálných čísel..

    „Všechny úlohy geometrie lze snadno převést

    na takové, k