19 - 1 Economic Analysis. 19 - 2 Economic Analysis (Analysis of Alternatives)
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Analysis 1Prof. Dr. Oliver RothLehrstuhl für Komplexe AnalysisInstitut für MathematikUniversität Würzburg
www.mathematik.uni-wuerzburg.de/∼roth/Analysis1WS1920.html
Termine: Mi & Do 10:15–11:45 Uhr
Anmeldung zu den Übungen: bis zum 22.10.2019 via WueStudy.
Übungsblätter: Jeden Mittwoch online auf WueCampus1. Übungsblatt: www.mathematik.uni-wuerzburg.de/∼roth/blatt1.pdf
Klausur: Do., 6.2.2020, 10-12 UhrHinreichend zur Teilnahme: 40 % der Punkte der Übungsblätter
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Was ist Analysis ?
Analysis is the art of taming infinity !
1 +122 +
132 +
142 + . . . =
π2
6.
Wir untersuchen zunächst die reellen und die komplexen Zahlen!I e = 2.718281828459045235360287471352662 . . . undπ = 3.141592653589793238462643383279502 . . . sind irrational.Ist e + π irrational ?
I Reelle Zahlen lassen sich besser mithilfe komplexer Zahlen verstehen:
eπi + 1 = 0 mit i2 = −1 .
I Komplexe Zahlen benötigt man auch z.B. für
ih∂
∂tΨ(r , t) = HΨ(r , t)
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Was ist Analysis ?
Analysis is the art of taming infinity !
1 +122 +
132 +
142 + . . . =
π2
6.
Wir untersuchen zunächst die reellen und die komplexen Zahlen!I e = 2.718281828459045235360287471352662 . . . undπ = 3.141592653589793238462643383279502 . . . sind irrational.Ist e + π irrational ?
I Reelle Zahlen lassen sich besser mithilfe komplexer Zahlen verstehen:
eπi + 1 = 0 mit i2 = −1 .
I Komplexe Zahlen benötigt man auch z.B. für
ih∂
∂tΨ(r , t) = HΨ(r , t)
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Was ist Analysis ?
Analysis is the art of taming infinity !
1 +122 +
132 +
142 + . . . =
π2
6.
Wir untersuchen zunächst die reellen und die komplexen Zahlen!
I e = 2.718281828459045235360287471352662 . . . undπ = 3.141592653589793238462643383279502 . . . sind irrational.Ist e + π irrational ?
I Reelle Zahlen lassen sich besser mithilfe komplexer Zahlen verstehen:
eπi + 1 = 0 mit i2 = −1 .
I Komplexe Zahlen benötigt man auch z.B. für
ih∂
∂tΨ(r , t) = HΨ(r , t)
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Was ist Analysis ?
Analysis is the art of taming infinity !
1 +122 +
132 +
142 + . . . =
π2
6.
Wir untersuchen zunächst die reellen und die komplexen Zahlen!I e = 2.718281828459045235360287471352662 . . . undπ = 3.141592653589793238462643383279502 . . . sind irrational.Ist e + π irrational ?
I Reelle Zahlen lassen sich besser mithilfe komplexer Zahlen verstehen:
eπi + 1 = 0 mit i2 = −1 .
I Komplexe Zahlen benötigt man auch z.B. für
ih∂
∂tΨ(r , t) = HΨ(r , t)
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Was ist Analysis ?
Analysis is the art of taming infinity !
1 +122 +
132 +
142 + . . . =
π2
6.
Wir untersuchen zunächst die reellen und die komplexen Zahlen!I e = 2.718281828459045235360287471352662 . . . undπ = 3.141592653589793238462643383279502 . . . sind irrational.Ist e + π irrational ?
I Reelle Zahlen lassen sich besser mithilfe komplexer Zahlen verstehen:
eπi + 1 = 0 mit i2 = −1 .
I Komplexe Zahlen benötigt man auch z.B. für
ih∂
∂tΨ(r , t) = HΨ(r , t)
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Was ist Analysis ?
Analysis is the art of taming infinity !
1 +122 +
132 +
142 + . . . =
π2
6.
Wir untersuchen zunächst die reellen und die komplexen Zahlen!I e = 2.718281828459045235360287471352662 . . . undπ = 3.141592653589793238462643383279502 . . . sind irrational.Ist e + π irrational ?
I Reelle Zahlen lassen sich besser mithilfe komplexer Zahlen verstehen:
eπi + 1 = 0 mit i2 = −1 .
I Komplexe Zahlen benötigt man auch z.B. für
ih∂
∂tΨ(r , t) = HΨ(r , t)
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Das Universum der Zahlen:
N := Menge der natürlichen Zahlen 1,2,3, . . .;N0 := Menge der natürlichen Zahlen einschließlich der Zahl 0;Z := Menge der ganzen Zahlen;Q := Menge der rationalen Zahlen n/m mit n,m ∈ Z, m 6= 0;R := Menge der reellen Zahlen.
N ( N0 ( Z ( Q ( R
( ?→ Wir suchen eine Menge C, die die reellen Zahlen umfasst, so dass man
dort „genauso“ rechnen kann wie in R.→ Ferner soll C ein “neues” Element i ∈ C enthalten, welches i2 = −1
erfüllt.→ Dann gehört für alle x , y ∈ R auch x + yi zu C.→ Es gilt für alle x , y , x ′, y ′ ∈ R
(x + yi) + (x ′ + y ′i) = (x + x ′) + (y + y ′)i ,
(x + yi) · (x ′ + y ′i) = (xx ′ − yy ′) + (xy ′ + x ′y)i
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Das Universum der Zahlen:
N := Menge der natürlichen Zahlen 1,2,3, . . .;N0 := Menge der natürlichen Zahlen einschließlich der Zahl 0;Z := Menge der ganzen Zahlen;Q := Menge der rationalen Zahlen n/m mit n,m ∈ Z, m 6= 0;R := Menge der reellen Zahlen.
N ( N0 ( Z ( Q ( R ( ?
→ Wir suchen eine Menge C, die die reellen Zahlen umfasst, so dass mandort „genauso“ rechnen kann wie in R.
→ Ferner soll C ein “neues” Element i ∈ C enthalten, welches i2 = −1erfüllt.
→ Dann gehört für alle x , y ∈ R auch x + yi zu C.→ Es gilt für alle x , y , x ′, y ′ ∈ R
(x + yi) + (x ′ + y ′i) = (x + x ′) + (y + y ′)i ,
(x + yi) · (x ′ + y ′i) = (xx ′ − yy ′) + (xy ′ + x ′y)i
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Das Universum der Zahlen:
N := Menge der natürlichen Zahlen 1,2,3, . . .;N0 := Menge der natürlichen Zahlen einschließlich der Zahl 0;Z := Menge der ganzen Zahlen;Q := Menge der rationalen Zahlen n/m mit n,m ∈ Z, m 6= 0;R := Menge der reellen Zahlen.
N ( N0 ( Z ( Q ( R ( ?→ Wir suchen eine Menge C, die die reellen Zahlen umfasst, so dass man
dort „genauso“ rechnen kann wie in R.
→ Ferner soll C ein “neues” Element i ∈ C enthalten, welches i2 = −1erfüllt.
→ Dann gehört für alle x , y ∈ R auch x + yi zu C.→ Es gilt für alle x , y , x ′, y ′ ∈ R
(x + yi) + (x ′ + y ′i) = (x + x ′) + (y + y ′)i ,
(x + yi) · (x ′ + y ′i) = (xx ′ − yy ′) + (xy ′ + x ′y)i
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Das Universum der Zahlen:
N := Menge der natürlichen Zahlen 1,2,3, . . .;N0 := Menge der natürlichen Zahlen einschließlich der Zahl 0;Z := Menge der ganzen Zahlen;Q := Menge der rationalen Zahlen n/m mit n,m ∈ Z, m 6= 0;R := Menge der reellen Zahlen.
N ( N0 ( Z ( Q ( R ( ?→ Wir suchen eine Menge C, die die reellen Zahlen umfasst, so dass man
dort „genauso“ rechnen kann wie in R.→ Ferner soll C ein “neues” Element i ∈ C enthalten, welches i2 = −1
erfüllt.
→ Dann gehört für alle x , y ∈ R auch x + yi zu C.→ Es gilt für alle x , y , x ′, y ′ ∈ R
(x + yi) + (x ′ + y ′i) = (x + x ′) + (y + y ′)i ,
(x + yi) · (x ′ + y ′i) = (xx ′ − yy ′) + (xy ′ + x ′y)i
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Das Universum der Zahlen:
N := Menge der natürlichen Zahlen 1,2,3, . . .;N0 := Menge der natürlichen Zahlen einschließlich der Zahl 0;Z := Menge der ganzen Zahlen;Q := Menge der rationalen Zahlen n/m mit n,m ∈ Z, m 6= 0;R := Menge der reellen Zahlen.
N ( N0 ( Z ( Q ( R ( ?→ Wir suchen eine Menge C, die die reellen Zahlen umfasst, so dass man
dort „genauso“ rechnen kann wie in R.→ Ferner soll C ein “neues” Element i ∈ C enthalten, welches i2 = −1
erfüllt.→ Dann gehört für alle x , y ∈ R auch x + yi zu C.
→ Es gilt für alle x , y , x ′, y ′ ∈ R
(x + yi) + (x ′ + y ′i) = (x + x ′) + (y + y ′)i ,
(x + yi) · (x ′ + y ′i) = (xx ′ − yy ′) + (xy ′ + x ′y)i
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Das Universum der Zahlen:
N := Menge der natürlichen Zahlen 1,2,3, . . .;N0 := Menge der natürlichen Zahlen einschließlich der Zahl 0;Z := Menge der ganzen Zahlen;Q := Menge der rationalen Zahlen n/m mit n,m ∈ Z, m 6= 0;R := Menge der reellen Zahlen.
N ( N0 ( Z ( Q ( R ( ?→ Wir suchen eine Menge C, die die reellen Zahlen umfasst, so dass man
dort „genauso“ rechnen kann wie in R.→ Ferner soll C ein “neues” Element i ∈ C enthalten, welches i2 = −1
erfüllt.→ Dann gehört für alle x , y ∈ R auch x + yi zu C.→ Es gilt für alle x , y , x ′, y ′ ∈ R
(x + yi) + (x ′ + y ′i) = (x + x ′) + (y + y ′)i ,
(x + yi) · (x ′ + y ′i) = (xx ′ − yy ′) + (xy ′ + x ′y)i
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Das Universum der Zahlen:
N := Menge der natürlichen Zahlen 1,2,3, . . .;N0 := Menge der natürlichen Zahlen einschließlich der Zahl 0;Z := Menge der ganzen Zahlen;Q := Menge der rationalen Zahlen n/m mit n,m ∈ Z, m 6= 0;R := Menge der reellen Zahlen.
N ( N0 ( Z ( Q ( R ( ?→ Wir suchen eine Menge C, die die reellen Zahlen umfasst, so dass man
dort „genauso“ rechnen kann wie in R.→ Ferner soll C ein “neues” Element i ∈ C enthalten, welches i2 = −1
erfüllt.→ Dann gehört für alle x , y ∈ R auch x + yi zu C.→ Es gilt für alle x , y , x ′, y ′ ∈ R
(x + yi) + (x ′ + y ′i) = (x + x ′) + (y + y ′)i ,
(x + yi) · (x ′ + y ′i) = (xx ′ − yy ′) + (xy ′ + x ′y)i
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Das Universum der Zahlen:
N := Menge der natürlichen Zahlen 1,2,3, . . .;N0 := Menge der natürlichen Zahlen einschließlich der Zahl 0;Z := Menge der ganzen Zahlen;Q := Menge der rationalen Zahlen n/m mit n,m ∈ Z, m 6= 0;R := Menge der reellen Zahlen.
N ( N0 ( Z ( Q ( R ( ?→ Wir suchen eine Menge C, die die reellen Zahlen umfasst, so dass man
dort „genauso“ rechnen kann wie in R.→ Ferner soll C ein “neues” Element i ∈ C enthalten, welches i2 = −1
erfüllt.→ Dann gehört für alle x , y ∈ R auch x + yi zu C.→ Es gilt für alle x , y , x ′, y ′ ∈ R
(x + yi) + (x ′ + y ′i) = (x + x ′) + (y + y ′)i ,
(x + yi) · (x ′ + y ′i) = (xx ′ − yy ′) + (xy ′ + x ′y)i
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