Hüseyin Çakallı

2.3. Düzgün Yakınsaklık Kavramı.

Bir önceki kesimde fonksiyon dizilerinin noktasal yakınsaklığı kavramını incelemiş ve

fonksiyon dizisinin her bir teriminin sürekli olmasına rağmen düzgün yakınsadığı fonksiyonun

sürekli olmak zorunda olmadığını, integrallenebilir fonksiyonların noktasal limit fonksiyonunun

integrallenebilir olmak zorunda olmadığını, bir noktada limiti olan fonsiyonların noktasal limit

fonksiyonunun o noktada liömitinin olmasının zorunlu olmadığını gösteren örnekler gördük. Bu gibi

özelliklere sahip fonksiyonların limit fonksiyonunun da aynı özelliğe sahip olmasını gerektirdiği bir

yakınsaklık kavramını aşağıda veriyoruz:

2.3.1. Tanım Eğer her >0 için n n0 olduğunda

(1) her xE için fn(x)-f (x)<

olacak şekilde bir no doğal sayısı bulunabiliyorsa, (fn) fonksiyon dizisine E üzerinde f

fonksiyonuna düzgün yakınsaktır denir.

Düzgün yakınsak her dizinin aynı zamanda noktasal yakınsak olduğu açıktır.

Noktasal yakınsaklıkta no sayısı hem sayısına hem de x e bağlıdır. Düzgün

yakınsaklıkta ise no sayısı bütün xE ler için geçerlidir, yani no sayısı x e bağlı değil

yalnız sayısına bağlıdır.

Her nIN için sn(x)= olmak üzere eğer (sn) kısmi toplamlar dizisi E

üzerinde düzgün yakınsak ise fn (x) serisine E üzerinde düzgün yakınsaktır denir.

Eğer burada (sn) fonksiyon dizisi E üzerinde bir s fonksiyonuna düzgün yakınsaksa

fn (x) fonksiyon serisi E üzerinde s fonksiyonuna düzgün yakınsaktır denir ve fn

(x) fonksiyon serisinin E üzerinde düzgün toplamı( veya limiti) s dir denir.

Düzgün yakınsaklık için Cauchy kriterini aşağıdaki teoremde veriyoruz.

2.3.2.Teorem IR reel sayılar kümesinin bir E alt kümesi üzerinde tanımlı bir (fn)

fonksiyonlar dizisinin E üzerinde düzgün yakınsak olması için gerek ve yeter koşul her

için m,n n0 olduğunda

14

(2) her xE için fn(x) - fm(x)< (Düzgün Cauchy şartı)

olacak şekilde bir no doğal sayısının var olmasıdır.

İspat. Önce (fn) fonksiyon dizisinin E üzerinde düzgün yakınsak olduğunu kabul edelim

ve f de limit fonksiyonu olsun. (2) nin sağlandığını göstereceğiz. Bunun için herhangi

bir >o sayısı alalım. 2

> 0 sayısı için n,m no olduğunda

her xE için fn(x) - f(x)< 2

olacak şekilde bir n0 doğal sayısı vardır. Buna göre n,m n0 olduğunda ve xE

olduğu zaman

fn(x) - fm(x)= (fn(x) - f (x)) + ( f(x)-fm(x) )

fn(x) - f(x)+ f (x) - fm(x)

< 2

+ 2

=

olur.

Karşıt olarak, (fn) fonksiyon dizisinin (2) deki Cauchy şartını sağladığını kabul edelim.

Bu taktirde her bir sabit xE için her >0 sayısına karşılık n,m no olduğunda

fn(x)-fm(x)<

olacak şekilde bir n0 sayısı vardır. O halde her bir sabit xE için (fn(x)) sayı dizisi

Cauchy şartını sağlar. Bir sayı dizisinin yakınsak olması için gerek ve yeter koşul

Cauchy şartını sağlaması olduğundan, her bir sabit x E için (fn(x)) sayı dizisi

yakınsaktır. Her bir xE için limn fn(x)= f (x) tanımlayalım. Böylece (fn) fonksiyon

dizisinin E üzerinde f fonksiyonuna noktasal yakınsak olduğunu elde etmiş olduk. Þimdi

(fn) fonksiyon dizisinin E üzerinde f fonksiyonuna düzgün yakınsak olduğunu ispat

15

edeceğiz. Bunu yapmak için herhangi bir >0 sayısı alalım. (2) den dolayı, 2

> 0

sayısı için n,m n0 olduğunda

her xE için fn(x) -fm(x) < 2

olacak şekilde bir n0 doğal sayısı vardır. n yi sabit tutup, m iken limite geçersek,

n n0 olduğunda her xE için

limm fn(x) - fm(x) 2

<

olur. Dolayısıyla n n0 olduğunda her xE için fn(x) - f(x)< bulunur. O halde (fn)

fonksiyon dizisi E üzerinde f fonksiyonuna düzgün yakınsaktır.

Þimdi çoğu zaman faydalı ve kullanışlı olan bir teoremi aşağıda veriyoruz:

2.3.3. Teorem Her xE için limn fn(x) = f(x) olsun ve her nIN için Mn=sup fn(x)-

f(x) yazalım. Bu takdirde (fn) fonksiyonlar dizisinin E üzerinde düzgün olarak f

fonksiyonuna yakınsak olması için gerek ve yeter koşul limn Mn=0 olmasıdır.

İspat: Her xE için limn fn(x) = f(x) olsun ve her nIN için Mn= sup fn(x)-f(x)

olarak verilsin.

Önce (fn) fonksiyon dizisinin f fonksiyonuna düzgün yakınsak olduğunu kabul

edelim. limn Mn=0 olduğunu göstereceğiz. Herhangi bir >0 verilsin. n n0

olduğunda

her xE için fn(x)-f(x) < 2

olacak bir n0 sayısı vardır. n n0 olduğunda

supxE fn(x)-f (x) 2

<

16

olur. Mn = supxE fn(x)-f (x) olduğundan n n0 olduğunda Mn= Mn < olur.

Bu da limn Mn=0 olmasını verir.

Þimdi de karşıt olarak, limn Mn = 0 olduğunu kabul edelim. Herhangi bir 0 alalım.

limn Mn = 0 olduğundan n n0 olduğunda Mn< olacak şekilde bir n0 sayısı vardır. n

n0 olduğunda supxE fn(x) - f(x)< olur.

n n0 olduğunda her xE için fn(x)-f(x)< olur. O halde (fn) fonksiyon dizisi E

üzerinde f fonksiyonuna düzgün yakınsaktır. Bu da ispatı tamamlar.

Şimdi bu teoremin kullanıldığı örnekleri veriyoruz.

2.3.4. Örnek Her nIN ve her xIR için fn(x)=x

1 nx2 şeklinde tanımlanan (fn)

fonksiyonlar dizisini gözönüne alalım. Her bir xIR sabit sayısı için

limn fn(x) = limn x

nx1 2= 0

dır. Her nIN için

Mn = supxIR fn(x) - f(x)= supxIR x

nx1 2- 0

= supxIR x

nx1 2= max

x

nx1 2

= 1

2 n

bulunur. limn Mn= limn 1

2 n= 0

olduğundan, Teorem 2.3.3 den dolayı, (fn) fonksiyon dizisi her xIR için 0(x)=0

şeklinde tanımlanan 0 fonksiyonuna IR üzerinde düzgün yakınsaktır.

17

Şimdi de bu örneğe benzer aşağıdaki örneği görelim.

Her nIN ve her xIR için fn(x)= şeklinde tanımlanan (fn)

fonksiyonlar dizisini gözönüne alalım. Her bir xIR sabit sayısı için

limn fn(x) = limn

dır. Her nIN için

Mn = supxIR fn(x) - f(x)= supxIR

= supxIR x

nx1 2= max

x

nx1 2

= 1

2 n

bulunur. limn Mn= limn 1

2 n= 0

olduğundan, Teorem 2.3.3 den dolayı, (fn) fonksiyon dizisi IR üzerinde her xIR için

şeklinde tanımlanan fonksiyonuna düzgün yakınsaktır.

2.3.5 .Örnek. Her ve her n doğal sayısı için ile tanımlanan

fonksiyon dizisi [0,1[ üzerinde düzgün yakınsak değildir. Çünkü her n için

dir.

2.3.6 .Örnek. için ise fonksiyon dizisi [0,1] üzerinde

f(x)=x fonksiyonuna noktasal yakınsak fakat düzgün yakınsak değildir.

18

2.3.7 .Örnek. Her nIN ve her x-1,1 için fn(x) = x (1-x

2)n olsun. Bu takdirde her

x -1,1 için limn fn(x) = limn x (1-x

2)n = 0 dır. O halde (fn) fonksiyon dizisi -1,1

üzerinde 0 fonkisyonuna noktasal yakınsaktır. Þimdi Teorem 2 yi kullanabiliriz. Her

sabit n 2 için

Mn = supx-1,1 fn(x) - 0 (x)= supx-1,1 (x (12

x

)n

= fn

= n <

bulunur. nIN için

Mn =

dir. nIN için,

0 < Mn <

olduğundan limn Mn = 0 bulunur. Dolayısıyla (fn) fonksiyon dizisi -1,1 üzerinde

0,sıfır, fonksiyonuna düzgün yakınsak olur.

2.3.8 Örnek. Her nIN ve her x 0,1 için

fn(x) = 1-xn şeklinde tanımlanan (fn) fonksiyon dizisini gözönüne alalım.

Her x 0,1 için limn fn(x) = limn (1-xn)=1

19

dir. O halde (fn) fonksiyon dizisi 0,1 üzerinde f (x) = 1 fonksiyonuna noktasal

yakınsaktır.

Her bir sabit nIN için

Mn = sup x 0,1fn (x) - f (x) = sup x 0,1 xn =1

dir. limn Mn=1 olduğundan (fn) fonksiyon dizisi 0,1 üzerinde f(x)=1 olarak

tanımlanan fonksiyona düzgün yakınsak değildir. Ancak aynı fonksiyon dizisi 0,1

2

üzerinde f(x) =1 fonksiyonuna düzgün yakınsaktır. Çünkü, her bir sabit nIN için,

Mn = supx0,1 fn(x) - f(x)= 1

2 n

olup limn Mn = limn 1

2 n = 0 dır.

Hatta o < < 1 olmak üzere (fn) fonksiyon dizisi f(x)=1 fonksiyonuna 0,

üzerinde düzgün yakınsaktır.

2.3.9 Örnek. Her nIN ve her x 0,1 için

fn(x) = (1-x)n şeklinde tanımlanan (fn) fonksiyon dizisini gözönüne alalım.

Her x 0,1 için limn fn(x) = limn (1-x)n=0

dir. O halde (fn) fonksiyon dizisi 0,1 üzerinde f (x) = 0 fonksiyonuna noktasal

yakınsaktır.

Her bir sabit nIN için

Mn = sup x 0,1fn (x) - f (x) = sup x 0,1 1-xn =1

20

dir. limn Mn=1 olduğundan (fn) fonksiyon dizisi 0,1 üzerinde f(x)=0 olarak

tanımlanan fonksiyona düzgün yakınsak değildir.

2.3.10.Teorem. IR reel sayılar kümesinin bir E alt kümesi üzerinde tanımlı

fonksiyonların bir (fn) dizisi verilsin. Eğer n p olduğunda

(3) her xE için fn(x)-f(x) an

özelliği sağlanacak şekilde sabit bir p doğal sayısı ve sıfıra yakınsayan bir (an) sayı

dizisi bulunabiliyorsa (fn) fonksiyon dizisi f fonksiyonuna E üzerinde düzgün

yakınsaktır.

İspat. (fn) fonksiyon dizisinin f fonksiyonuna E üzerinde düzgün yakınsak olduğunu

göstermek için herhangi bir >0 alalım. limn an = 0 olduğundan n n1 olduğunda an=

an< olacak şekilde bir n1 sayısı vardır. n0= max n1,p yazalım. (3) ü kullandığımızda n

n0 olduğunda her xE için fn(x)-f(x) an < bulunur ki buradan da n n0

olduğunda

her xE için fn(x)-f(x)<

olur. Bu ise (fn) fonksiyon dizisinin f fonksiyonuna E üzerinde düzgün yakınsak

olduğunu verir.

IR nin bir E altkümesi üzerinde bir f fonksiyonuna noktasal yakınsak bir (fn) fonksiyon

dizisi verildiğinde her nIN için an=Mn= supxEfn(x)-f(x) yazarsak Teorem 2 nin ispatı bu

teoremden hemen elde edilir.

2.3.11.Örnek Her nIN ve her xIR için fn(x) = 1

2n x şeklinde tanımlanan (fn)

fonksiyon dizisini gözönüne alalım. Her nIN ve her xIR için fn(x)= 1

2n x 1

n

olduğundan an= 1

n yazarsak her nIN için ve her xIR için

21

fn(x) - 0(x) an

eşitsizliği sağlanır ve limn an=0 dır. Teorem 2.3.10 dan dolayı (fn) fonksiyon dizisi her x

IR için f(x)=0 olarak tanımlanan f fonksiyonuna IR üzerinde düzgün yakınsaktır.

2.3.12. Teorem (Dini Teoremi) Kapalı ve sınırlı bir a,b aralığında monoton olarak bir

f fonksiyonuna noktasal yakınsak bir fonksiyon dizisi (fn) olsun. Eğer nIN için fn

a,b de sürekli ve f de a,b de sürekliyse (fn) fonksiyon dizisi f fonksiyonuna a,b

üzerinde düzgün yakınsaktır.

İspat. Önce ispatı (fn) nin monoton artan olması durumu için yapalım. Kapalı ve sınırlı

bir a,b aralığında monoton artan olarak bir f fonksiyonuna noktasal yakınsak bir (f n)

fonksiyon dizisi verilsin ve her bir nIN için fn sürekli ve f de sürekli olsun. Önce (fn)

nin monoton artanlığını ifade edelim, her nIN için ve her xa,b için fn(x) fn+1(x)

oluyorsa (fn) monoton artandır.

(fn) fonksiyon dizisinin f fonksiyonuna a,b üzerinde düzgün yakınsak

olmadığını varsayalım. Bu takdirde en az bir 0 > 0 sayısı için

(4) her nIN için f(xn)- f kn (xn) 0

olacak şekilde kn >n özelliğine sahip bir knIN ve bir xna,b vardır. Bu şekilde

hareket ederek,

k1 < k2 <... < kn <...

özelliğine sahip (kn) doğal sayı dizisini ve (xn) dizisini oluşturabiliriz. Her nIN için

xn a,b olduğundan (xn) dizisi sınırlıdır. Sınırlı her dizinin yakınsak en az bir alt

dizisi var olacağından, limn x jn = xo olacak şekilde bir x jn altdizisi vardır. a,b

kapalı olduğundan x0 a,b dir. Şimdi herhangi bir n doğal sayısı alalım. Bu taktirde

her n>m için x a,b için fm(x) fn(x) fk jn (x)

dir. (4) den dolayı her nIN için

22

f(x ) f (x )j k jn jn n 0

dir ve dolayısıyla f (x )k jjn n f(x )jn 0 bulunur.

Buna göre her nIN için

fm (x )jn fk jn (x )jn f (x )jn - 0

fm (x )jn f (x )jn - 0

dır. fn sürekli ve f de sürekli olduğundan

fm(x0) f(x0) - 0

buluruz. Her mIN için bunu yapabiliriz. Oysa bu (fm(x0)) sayı dizisinin f(x0)

sayısına yakınsaması ile çelişir. Bu çelişkiye (fn) nin a,b üzerinde düzgün

yakınsak olmadığını kabul ederek düştük. O halde (fn) a,b üzerinde f

fonksiyonuna düzgün yakınsaktır.

Şimdi de kapalı ve sınırlı bir a,b aralığında monoton azalarak bir f

fonksiyonuna noktasal yakınsak olan bir (fn) fonksiyon dizisinin her bir elemanının

a,b de sürekli ve f in de sürekli olduğunu kabul edelim. Her nIN için her xa,b

için

gn(x) = -fn(x)

yazalım. (fn) monoton azalan olduğundan (gn) monoton artandır. fn ler sürekli

olduðundan gn ler de süreklidir. (fn) dizisi a,b de f e noktasal yakınsak

olduğundan (gn) dizisi de g= -f ye noktasal yakınsaktır. Dolayısıyla (gn) fonksiyon

dizisi monoton artan olarak g ye yakınsak olur ve gn ler ile g sürekli olur.

Dolayısıyla yukarıdaki ispatlanan kısımdan dolayı (gn) dizisi a,b üzerinde g ye

düzgün yakınsak olur. fn = -gn olduğundan (fn) dizisi de a,b de -g = -(-f)=f e

düzgün yakınsak olur. Hüseyin Çakallı

23