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2

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v v v vF F F Fn1 2 3, , ....., ‡ªìπ·√ß ÿ∑∏‘∑’˪√–¡“≥«à“§ß∑’Ë„π™à«ß∑’Ë 1, 2,...,n µ“¡≈Ì“¥—∫

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ªî¬æß…å ‘∑∏‘§ß ¿“§«‘™“øî ‘° å §≥–«‘∑¬“»“ µ√å ¡À“«‘∑¬“≈—¬¡À‘¥≈

2

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v v v vF t t F t mv mv2 2 1 2 2 2 1× − = ≈ −( ) ∆

..........................................................

v v v vF t t F t mv mvn n n n n n n× − = ≈ −− −( )1 1∆

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ii

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3

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4

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v v v vF F F m aA A B A A A

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‚¥¬ ‚¥¬·√ßÕ◊Ëπ= + = ·≈– v v v vF F F m aB B A B B B

ÿ∑∏‘

‚¥¬ ‚¥¬·√ßÕ◊Ëπ= + =

‚¥¬∑’ˇ√“‰¥â·¬°·√ß ÿ∑∏‘ÕÕ°‡ªìπ·√ß∑’Ë°√–∑Ì“‚¥¬Õπÿ¿“§Õ’°Õπÿ¿“§Àπ÷Ëß∫«°°—∫·√ß∑’Ë°√–∑Ì“‚¥¬Õπÿ¿“§Õ◊Ëπ

πÕ°®“° A ·≈– B ‡√“∫«° ¡°“√∑— Èß Õ߇¢â“¥â«¬°—π ·≈–„™â§«“¡√Ÿ ⮓°°Æπ‘«µ—π¢âÕ∑’ Ë “¡∑’ Ë«à“

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v v v vF F m a m aA B A A B B‚¥¬·√ßÕ◊Ëπ ‚¥¬·√ßÕ◊Ëπ+ = +

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( ) ( ) ( )v v v v v v v vF F t m a t m a t m v u m v uA B A A B B A A A B B B‚¥¬·√ßÕ◊Ëπ ‚¥¬·√ßÕ◊Ëπ+ = + = − + −∆ ∆ ∆

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v va

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„π°“√™π°—π‡√“ª√–¡“≥«à“·√ßÕ◊ËππÕ°®“°·√ß®“°°“√™π¡’¢π“¥πâÕ¬¡“° ·≈–‡«≈“∑’Ë„™â„π°“√™π°Á¡’

§à“πâÕ¬¡“° Ê ¥â«¬ ¥—ßπ—Èπª√‘¡“≥∑“ß â“¬¡◊Õ¢Õß ¡°“√∫π¡’§à“ª√–¡“≥‡∑à“°—∫»Ÿπ¬å ∑Ì“„Àâ‡√“‰¥â«à“

v v v v v0 = − + −m v u m v uA A A B B B( ) ( )

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v v v v− = − −

π—Ëπ§◊Õ ‚¡‡¡πµ—¡∑’ˇª≈’Ë¬π‰ª¢ÕßÕπÿ¿“§Àπ÷Ëß¡’¢π“¥‡∑à“°—∫‚¡‡¡πµ—¡∑’ˇª≈’Ë¬π‰ª¢ÕßÕ’°Õπÿ¿“§Àπ÷Ëß ·µà¡’∑‘»

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( ) ( )m v m v m u m uA A B B A A B B

v v v v+ = +

π—Ëπ§◊Õ ‚¡‡¡πµ—¡∑—ÈßÀ¡¥À≈—ß°“√™π∑—π∑’¡’§à“‡∑à“°—∫‚¡‡¡πµ—¡∑—ÈßÀ¡¥°àÕπ°“√™πæÕ¥’ π’˧◊Õ°Æ°“√§ßµ—«¢Õß

‚¡‡¡πµ—¡‡™‘߇ âπ Ì“À√—∫Õπÿ¿“§ ÕßÕπÿ¿“§‡¡◊ËÕ·√ß¿“¬πÕ°‡ªìπ»Ÿπ¬åÀ√◊Õª√–¡“≥«à“‡ªìπ»Ÿπ¬å‰¥â

Ì“À√—∫√–∫∫∑’˪√–°Õ∫¥â«¬Õπÿ¿“§À≈“¬Õπÿ¿“§ °Æπ’È°Á¬—߇ªìπ®√‘ßÕ¬ŸŸà π—Ëπ§◊Õ

( .. ) ( .. )m v m v m v m v m u m u m u m u1 1 2 2 3 3 n n 1 1 2 2 3 3 n n

v v v v v v v v+ + + + = + + + + = §à“§ßµ—«

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5

5. °“√™π·∫∫¬◊¥À¬ÿàπ·≈–‰¡à¬◊¥À¬ÿàπ

æ‘®“√≥“°“√™π√–À«à“ß«—µ∂ÿ Õß™‘Èπ ‡√“‡√’¬°°“√™ππ’È«à“‡ªìπ°“√™π·∫∫¬◊¥À¬ÿàπ ∂â“æ≈—ßß“π®≈πå

∑—ÈßÀ¡¥®“°°“√‡§≈◊ËÕπ∑’Ë¢Õß®ÿ¥»Ÿπ¬å°≈“ß¡«≈¢Õß«—µ∂ÿ¡’§à“§ßµ—« „π∑“ß°≈—∫°—π∂â“æ≈—ßß“π®≈πå∑—ÈßÀ¡¥¢Õß

®ÿ¥»Ÿπ¬å°≈“ß¡«≈¡’§à“‰¡à§ßµ—« ‡√“‡√’¬°«à“‡ªìπ°“√™π·∫∫‰¡à¬◊¥À¬ÿàπ ∂â“À≈—ß°“√™π·≈â««—µ∂ÿ‰¡à¡’°“√‡§≈◊ËÕπ∑’Ë

—¡æ—∑∏å°—π ("µ‘¥°—π‰ª") ‡√“‡√’¬°°“√™ππ—Èπ«à“‡ªìπ°“√™π·∫∫‰¡à¬◊¥À¬ÿàπ ¡∫Ÿ√≥å

6. ®ÿ¥»Ÿπ¬å°≈“ß¡«≈:®ÿ¥»Ÿπ¬å°≈“ß¡«≈¢Õß«—µ∂ÿ (¡«≈ m) ™‘ÈπÀπ÷Ëߧ◊Õ®ÿ¥µ—«·∑π´÷Ë߇§≈◊ËÕπ∑’Ë„π≈—°…≥–‡¥’¬«°—π°—∫∑’Ë¡«≈®ÿ¥

(´÷Ëß¡’¡«≈ m) ®–‡§≈◊ËÕπ∑’ˇ¡◊ËÕ∂Ÿ°·√ß¿“¬πÕ°‡¥’¬«°—π°—∫∑’Ë°√–∑Ì“µàÕ«—µ∂ÿ°√–∑Ì“ π—Ëπ§◊Õ∂â“·√ß≈—æ∏å¢Õß·√ß∑’Ë

°√–∑Ì“µàÕ«—µ∂ÿ (À√◊Õ√–∫∫¢Õß«—µ∂ÿ) ¡«≈ m §◊Õ vF §«“¡‡√àߢÕß®ÿ¥»Ÿπ¬å°≈“ß¡«≈¢Õß«—µ∂ÿ (À√◊Õ√–∫∫) ®–À“

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(x2 , y2 , z2 ) ·≈–Õ◊Ëπ Ê ·≈â« æ‘°—¥¢Õß®ÿ¥»Ÿπ¬å°≈“ß¡«≈®–À“‰¥â®“°

xcm = ∑ ximi

∑ mi

ycm = ∑ yimi

∑ mi

zcm = ∑ zimi

∑ mi

‚¥¬∑’˺≈∫«°µà“ß Ê §√Õ∫§≈ÿ¡µ≈Õ¥¡«≈∑—ÈßÀ¡¥∑’˪√–°Õ∫‡ªìπ«—µ∂ÿ „π π“¡‚πâ¡∂à«ß∑’Ë ¡ËÌ“‡ ¡Õ ®ÿ¥»Ÿπ¬å°≈“ß

¡«≈·≈–®ÿ¥»Ÿπ¬å∂à«ß‡ªìπ®ÿ¥‡¥’¬«°—π

°“√¥≈·≈–‚¡‡¡πµ—¡

ªî¬æß…å ‘∑∏‘§ß ¿“§«‘™“øî ‘° å §≥–«‘∑¬“»“ µ√å ¡À“«‘∑¬“≈—¬¡À‘¥≈

6

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1. °“√™π·∫∫¬◊¥À¬ÿàπ√–À«à“ß«—µ∂ÿ∑’Ë¡’¡«≈‡∑à“°—π

«—µ∂ÿÀπ÷Ë߇§≈◊ËÕπ∑’˥⫬§«“¡‡√Á« vu1 ‡¢â“™π«—µ∂ÿ∑’ˇÀ¡◊Õπ°—π∑ÿ°ª√–°“√´÷ËßÕ¬Ÿàπ‘Ëß ∂â“°“√™π

‡ªìπ°“√™π·∫∫¬◊¥À¬ÿàπ ®ß· ¥ß„Àâ‡ÀÁπ«à“À≈—ß°“√™π«—µ∂ÿ∑—Èß Õ߇§≈◊ËÕπ∑’ËÕÕ°®“°°—π¥â«¬§«“¡‡√Á«„π

∑‘»∑’˵—Èß©“°°—π

2. °“√™π·∫∫¬◊¥À¬ÿàπ√–À«à“ß«—µ∂ÿ„π·π«‡ âπµ√ß

«—µ∂ÿÀπ÷Ë߇§≈◊ËÕπ∑’˥⫬§«“¡‡√Á« u1 ‡¢â“™π«—µ∂ÿÕ’°«—µ∂ÿÀπ÷Ëß´÷Ëß°Ì“≈—߇§≈◊ËÕπ∑’˥⫬§«“¡‡√Á« u2

„π·π«‡ âπµ√߇¥’¬«°—π ∂â“°“√™π‡ªìπ°“√™π·∫∫¬◊¥À¬ÿàπ ®ß· ¥ß„Àâ‡ÀÁπ«à“Õ—µ√“‡√Á« —¡æ—∑∏å∑’Ë«—µ∂ÿ∑—Èß

Õ߇§≈◊ËÕπ∑’ˇ¢â“À“°—π¡’¢π“¥‡∑à“°—∫Õ—µ√“‡√Á« —¡æ—∑∏å∑’Ë«—µ∂ÿ∑—Èß Õ߇§≈◊ËÕπ∑’ËÕÕ°®“°°—π

3. ®ß· ¥ß„Àâ‡ÀÁπ«àà“„π°√Õ∫Õâ“ßՑߢÕß®ÿ¥»Ÿπ¬å°≈“ß¡«≈ «—µ∂ÿ Õß™‘Èπ∑’Ë™π°—π·∫∫¬◊¥À¬ÿàπ„π¢âÕ 2 ®–¡’

§«“¡‡√Á«À≈—ß™π¢Õß·µà≈–™‘Èπ„π∑‘» «π∑“ß°—∫§«“¡‡√Á«‡¥‘¡‚¥¬∑’Ë¡’Õ—µ√“‡√Á«¢Õß·µà≈–™‘Èπ‡∑à“‡¥‘¡

4. °âÕπ«—µ∂ÿ¡«≈ 4 kg ´÷Ëß°Ì“≈—߇§≈◊ËÕπ∑’ˉª∑“ߢ«“¥â«¬Õ—µ√“‡√Á« 6 m/s ™πÕ¬à“߬◊¥À¬ÿàπ°—∫°âÕπ«—µ∂ÿ¡«≈

2 kg ´÷Ëß°Ì“≈—߇§≈◊ËÕπ∑’ˉª∑“ߢ«“¥â«¬Õ—µ√“‡√Á« 3 m/s ®ßÀ“Õ—µ√“‡√Á«¢Õß°âÕπ«—µ∂ÿ∑—Èß ÕßÀ≈—ß°“√™π

5. „Àâ∑Ì“¢âÕ 4 ‚¥¬°“√·ª≈ߧ«“¡‡√Á«Õâ“ßÕ‘ß°—∫®ÿ¥»Ÿπ¬å°≈“ß¡«≈ ·≈â«„™âº≈„π¢âÕ 3 ‡ √Á®·≈â«®÷ß·ª≈ß

°≈—∫¡“‡∑’¬∫°—∫®ÿ¥Õâ“ßÕ‘ß∏√√¡¥“

6. «—µ∂ÿ¡«≈ m1 ‡§≈◊ËÕπ∑’˥⫬§«“¡‡√Á« u1 ‡¢â“™πÕ¬à“߬◊¥À¬ÿàπ°—∫«—µ∂ÿ¡«≈ m2 ´÷ËßÕ¬Ÿàπ‘Ëß ®ßÀ“§«“¡

‡√Á«¢Õß«—µ∂ÿ™‘Èπ∑’Ë ÕßÀ≈—ß°“√™π (·π–: .„™â§«“¡√Ÿâ¢âÕ 3 ®–∑Ì“„À⧑¥‰¥âßà“¬)

7. «—µ∂ÿÀπ÷Ëß¡«≈ m1 ‡§≈◊ËÕπ∑’˥⫬§«“¡‡√Á« vu1 ‡¢â“™π«—µ∂ÿ¡«≈ m2 ´÷Ëß°Ì“≈—߇§≈◊ËÕπ∑’˥⫬§«“¡‡√Á«

vu2

∂â“À≈—ß°“√™π«—µ∂ÿ∑—Èß Õ߇§≈◊ËÕπ∑’ˉª¥â«¬°—π ®ß· ¥ß„Àâ‡ÀÁπ«à“„π°“√™ππ’Èæ≈—ßß“π®≈πå∑—ÈßÀ¡¥°àÕπ™π¡’

¢π“¥¡“°°«à“æ≈—ßß“π®≈πå∑—ÈßÀ¡¥À≈—ß™πÕ¬Ÿà‡∑à“°—∫ 12

21 2

1 212

22

1 2

m m

m mu u u u

++ −( )cosθ ‚¥¬∑’Ë θ

‡ªìπ¡ÿ¡√–À«à“ߧ«“¡‡√Á« vu1 ·≈–

vu2

8. «“ß«—µ∂ÿ “¡™‘Èπ∫π·°π x: 200 g ∑’Ë x = 0, 500 g ∑’Ë x = 30 cm ·≈– 400 g ∑’Ë x = 70 cm

®ßÀ“®ÿ¥»Ÿπ¬å°≈“ß¡«≈¢Õß¡«≈∑—Èß “¡

xx m

mi i

icm

kg) + (0.30 m)(0.50 kg) + (0.70 m)(0.40 kg)(0.20 + 0.50 + 0.40) kg

m= ∑∑

= =( )( ..

0 0 200 39

æ‘°—¥ y ·≈– z ¢Õß®ÿ¥»Ÿπ¬å°≈“ß¡«≈‡ªìπ»Ÿπ¬å

°“√¥≈·≈–‚¡‡¡πµ—¡

ªî¬æß…å ‘∑∏‘§ß ¿“§«‘™“øî ‘° å §≥–«‘∑¬“»“ µ√å ¡À“«‘∑¬“≈—¬¡À‘¥≈

7

9. √–∫∫ Ê Àπ÷Ëߪ√–°Õ∫¥â«¬¡«≈µàÕ‰ªπ’È„π√–π“∫ xy:

¡«≈ 4.0 kg ∑’Ëæ‘°—¥ (x = 0, y = 5.0 m), ¡«≈ 7.0 kg ∑’Ëæ‘°—¥ (3.0 m, 8.0 m) ·≈–¡«≈ 5.0

kg ∑’Ëæ‘°—¥ (−3.0 m, −6.0 m) ®ßÀ“µÌ“·Àπàß®ÿ¥»Ÿπ¬å°≈“ß¡«≈¢Õß√–∫∫

xx m

mi i

icm

kg) + (3.0 m)(7.0 kg) + (-3.0 m)(5.0 kg)(4.0 + 7.0 + 5.0) kg

m= ∑∑

= =( )( ..

0 4 00 38

yy m

mi i

icm

m kg) + (8.0 m)(7.0 kg) + (- . m)(5.0 kg)16 kg

m= ∑∑

= =( . )( ..

5 0 4 0 6 02 9

·≈– zcm = 0

10. √∂‰ø Õߢ∫«π‡À¡◊Õπ°—π∑ÿ°ª√–°“√®Õ¥π‘ËßÕ¬Ÿà∫π√“ß√–¥—∫‚¥¬∑’Ë®ÿ¥»Ÿπ¬å°≈“ߢÕß√∂∑—Èß ÕßÕ¬ŸàÀà“ß°—π

D „™â°«â“π∫π√∂¢∫«πÀπ÷Ëߥ÷ß√∂∑—Èß Õ߇¢â“À“°—π¥â«¬ “¬‡§‡∫‘≈´÷ËߺŸ°√–À«à“ß√∂∑—Èß Õß (a) ®ß

∫√√¬“¬°“√‡§≈◊ËÕπ∑’Ë —¡æ—∑∏å√–À«à“ß√∂∑—Èß Õߢ∫«π (b) ∑Ì“´ÈÌ“·µà«à“„Àâ¡«≈¢Õß√∂¢∫«πÀπ÷Ë߇ªìπ “¡

‡∑à“¢ÕßÕ’°¢∫«πÀπ÷Ëß

·√߇π◊ËÕß®“°‡§‡∫‘≈∑’ˬ÷¥√–À«à“ß√∂∑—Èß Õ߇ªìπ·√ß¿“¬„π¢Õß√–∫∫ ÷Ëߪ√–°Õ∫¥â«¬√∂∑—Èß Õߢ∫«π

·√ß ÿ∑∏‘¿“¬πÕ°µàÕ√–∫∫¡’§à“‡ªìπ»Ÿπ¬å ·≈–¥—ßπ—Èπ®ÿ¥»Ÿπ¬å°≈“ß¡«≈¢Õß√–∫∫‰¡à‡§≈◊ËÕπ∑’Ë·¡â«à“√∂·µà≈–

¢∫«π®–‡§≈◊ËÕπ∑’ˇ¢â“À“°—π ‡≈◊Õ°®ÿ¥°Ì“‡π‘¥¢Õßæ‘°—¥„ÀâÕ¬Ÿà∑’Ë®ÿ¥»Ÿπ¬å°≈“ß¡«≈ ‡√“®–‰¥â«à“

xcm = 0 = ∑ mi xi

∑ mi

= m1x1 + m2x2

m1 + m2

‚¥¬∑’Ë x1 ·≈– x2 ‡ªìπµÌ“·ÀπàߢÕß®ÿ¥»Ÿπ¬å°≈“ߢÕß√∂∑—Èß Õß

(a) ∂â“ m1 = m2 ¡°“√π’È°≈“¬‡ªìπ 0 = x1 + x2

2 À√◊Õ x1 = −x2

√∂∑—Èß Õߢ∫«π‡§≈◊ËÕπ‡¢â“À“®ÿ¥»Ÿπ¬å°≈“ß¡«≈´÷Ë߇¥‘¡Õ¬Ÿà∑’Ë°÷Ëß°≈“ß√–À«à“ß√∂∑—Èß Õß (π—Ëπ§◊ÕÀà“ß

D 2 ®“°·µà≈–¢∫«π) „π≈—°…≥–∑’Ë∑Ì“„Àâ®ÿ¥»Ÿπ¬å°≈“ߢÕß√∂∑—Èß ÕßÕ¬ŸàÀà“ß®“°®ÿ¥»Ÿπ¬å°≈“ß¡«≈

‡∑à“°—πµ≈Õ¥‡«≈“

(b) ∂â“ m1 = 3m2 ‡√“®–‰¥â«à“ 03

33

42 1 2 2

2 2

1 2= ++

= +m x m x

m m

x x

´÷Ëß„Àâ x1 = −x2 3 √∂∑—Èß Õ߇§≈◊ËÕπ‡¢â“À“°—π„π≈—°…≥–∑’Ë∑Ì“„Àâ®ÿ¥»Ÿπ¬å°≈“ß¡«≈¬—ߧßÕ¬Ÿàπ‘Ëß

·≈–√∂¢∫«π∑’ËÀπ—°°«à“Õ¬ŸàÀà“߇ªìπ “¡‡∑à“¢Õß√∂∑’ˇ∫“°«à“

‡¥‘¡‡π◊ËÕß®“° x1 + x2 = D ‡√“‰¥â«à“ x2 3 + x2 = D ¥—ßπ—Èπ‡¥‘¡ m2 Õ¬ŸàÀà“ß

x2 = 3D 4 ®“°®ÿ¥»Ÿπ¬å°≈“ß¡«≈ ·≈– m1 Õ¬ŸàÀà“ß D 4 ®“°®ÿ¥»Ÿπ¬å°≈“ß¡«≈

°“√¥≈·≈–‚¡‡¡πµ—¡

ªî¬æß…å ‘∑∏‘§ß ¿“§«‘™“øî ‘° å §≥–«‘∑¬“»“ µ√å ¡À“«‘∑¬“≈—¬¡À‘¥≈

8

11. π“Ãî°“≈Ÿ°µÿâ¡´÷Ëߪ√–°Õ∫¥â«¬≈Ÿ°∫Õ≈¡«≈ m ∂Ÿ°ª≈àÕ¬„À⇧≈◊ËÕπ∑’Ë®“°µÌ“·Àπàß∑’Ë· ¥ß„π√Ÿª¢â“ß≈à“ß

·≈–™π°âÕπ«—µ∂ÿ¡«≈ M °âÕπ«—µ∂ÿ‰∂≈‰ª‡ªìπ√–¬–∑“ß D °àÕπÀ¬ÿ¥π‘Ëß¿“¬„µâ°“√°√–∑Ì“¢Õß·√ß

‡ ’¬¥∑“π§ßµ—«¢π“¥ 0.20Mg ®ßÀ“ D ∂â“≈Ÿ°∫Õ≈°√–¥Õπ°≈—∫¢÷Èπ‰ª∂÷ߵ̓·Àπàß∑’Ë∑Ì“¡ÿ¡ 20°

≈Ÿ°µÿâ¡π“Ãî°“µ°≈ß¡“‡ªìπ√–¬–§«“¡ Ÿß (L − Lcos37°) = 0.201L ·≈–°√–¥Õπ°≈—∫‰ª∑’˧«“¡ Ÿß

(L − Lcos20°) = 0.0603L ‡π◊ËÕß®“° Ì“À√—∫≈Ÿ°∫Õ≈ (mgh)∫ π = ( 12 mv2 )≈à“ß Õ—µ√“‡√Á«¢Õß

≈Ÿ°∫Õ≈∑’Ë®ÿ¥≈à“ß®÷ß¡’§à“ v = 2gh

·¡â«à“æ≈—ßß“π®≈πå®–‰¡à§ßµ—«„π°“√™π°—π ·µà«à“‚¡‡¡πµ—¡§ßµ—« ¥—ßπ—Èπ Ì“À√—∫°“√™ππ’È

‚¡‡¡πµ—¡°àÕπ™πæÕ¥’ = ‚¡‡¡πµ—¡À≈—ß™πæÕ¥’

m 2g(0.201)L + 0 = −m 2g(0.0603)L + MV

‚¥¬∑’Ë V §◊Õ§«“¡‡√Á«¢Õß°âÕπ«—µ∂ÿÀ≈—ß°“√™πæÕ¥’ ( —߇°µ‡§√◊ËÕßÀ¡“¬≈∫∑’Ë‚¡‡¡πµ—¡¢Õß≈Ÿ°∫Õ≈∑’Ë

°√–¥Õπ°≈—∫) ·°â ¡°“√π’È ‡√“®–‰¥â

V = m

M0.981 gL

°âÕπ«—µ∂ÿ„™âæ≈—ßß“π®≈πå¢Õß°“√‡≈◊ËÕπµÌ“·Àπàß„π°“√∑Ì“ß“πµâ“π·√߇ ’¬¥∑“π„π¢≥–∑’Ë¡—π‡≈◊ËÕπ‰∂≈‰ª

‡ªìπ√–¬–∑“ß D ¥—ßπ—Èπ

12

2MV F Df= À√◊Õ 12

2

0 963 0 20M gLm

MMg D( . ) ( . )( )

=

´÷Ëß„Àâ D m M L= 2 4 2. ( )

12. ≈Ÿ°∫Õ≈¡«≈‡∑à“°—π Õß≈Ÿ°‡§≈◊ËÕπ∑’ˇ¢â“À“®ÿ¥°Ì“‡π‘¥¢Õß√–∫∫æ‘°—¥ ≈Ÿ°∫Õ≈≈Ÿ°Àπ÷Ë߇§≈◊ËÕπ∑’Ë≈ß¡“µ“¡·°π

+y ¥â«¬Õ—µ√“‡√Á« 2.00 m s ·≈–Õ’°≈Ÿ°Àπ÷Ëß°Ì“≈—߇§≈◊ËÕπ∑’ˉª∑“ߢ«“µ“¡·°π −x ¥â«¬Õ—µ√“‡√Á«

3.00 m s À≈—ß®“°∑’Ë≈Ÿ°∫Õ≈∑—Èß Õß™π°—π≈Ÿ°∫Õ≈≈Ÿ°Àπ÷Ë߇§≈◊ËÕπ∑’ËÕÕ°‰ª∑“ߢ«“µ“¡·°π +x ¥â«¬

Õ—µ√“‡√Á« 1.20 m s ®ßÀ“Õߧåª√–°Õ∫ ‡°≈“√嵓¡·°π x ·≈– y ¢Õߧ«“¡‡√Á«¢Õß≈Ÿ°∫Õ≈Õ’°≈Ÿ°

Àπ÷Ëß

°“√¥≈·≈–‚¡‡¡πµ—¡

ªî¬æß…å ‘∑∏‘§ß ¿“§«‘™“øî ‘° å §≥–«‘∑¬“»“ µ√å ¡À“«‘∑¬“≈—¬¡À‘¥≈

9

‡≈◊Õ°∑‘»¢÷Èπ ·≈–∑‘»¢«“¡◊Õ ‡ªìπ∫«° ‚¡‡¡πµ—¡§ßµ—«„π°“√™π ¥—ßπ—Èπ‡√“‡¢’¬π‰¥â«à“

(‚¡‡¡πµ—¡°àÕπ)x = (‚¡‡¡πµ—¡À≈—ß)x

À√◊Õ m m mvx( . ) ( . )3 00 0 1 20 m s m s+ = +

·≈– (‚¡‡¡πµ—¡°àÕπ)y = (‚¡‡¡πµ—¡À≈—ß)y

À√◊Õ 0 2 00 0+ − = +m mvy( . ) m s

(∑Ì“‰¡‡§√◊ËÕßÀ¡“¬≈∫?) ·°â ¡°“√ ‡√“‰¥â«à“ vx = 1.80 m s ·≈– vy = −2.00 m s

13. √∂∫√√∑ÿ°¡«≈ 7500 kg ‡§≈◊ËÕπ∑’˥⫬՗µ√“‡√Á« 5 0. m s ‰ª∑“ß∑‘»µ–«—πÕÕ°™π‡¢â“°—∫√∂¬πµå¡«≈

1500 kg §—πÀπ÷Ëß´÷Ëß°Ì“≈—ß·≈àπ¡“¥â«¬Õ—µ√“‡√Á« 20 m s „π∑‘»∑Ì“¡ÿ¡ 30° ‰ª∑“ß„µâ¢Õß∑‘»µ–«—πµ°

À≈—ß°“√™π√∂∑—Èß Õßµ‘¥°—π‰ª ®ßÀ“«à“´“°√∂∑’Ëæ—ß∑—Èß Õß®–‡√‘Ë¡‡§≈◊ËÕπ∑’˥⫬՗µ√“‡√Á«‡∑à“‰√·≈–‰ª

∑“ß∑‘»„¥

µÕ∫ Õ—µ√“‡√Á«≈—æ∏å§◊Õ v = + =( . ) ( . ) .1 67 1 28 2 12 2 m s m s m s θ = arctan1.671.28

= 53°

14. ≈Ÿ°∫Õ≈‡À¡◊Õπ°—π∑ÿ°ª√–°“√ Õß≈Ÿ°™π°—π·∫∫ª√– “πß“ §«“¡‡√Á«‡¥‘¡¢Õß≈Ÿ°Àπ÷Ëß¡’§à“ 0 75. m s

∑‘»µ–«—πÕÕ° ¢≥–∑’ËÕ’°≈Ÿ°Àπ÷Ëß¡’§«“¡‡√Á«‡¥‘¡ 0 43. m s ∑‘»µ–«—πµ° ∂â“°“√™π‡ªìπ·∫∫¬◊¥À¬ÿàπ

¡∫Ÿ√≥å ®ßÀ“§«“¡‡√Á« ÿ¥∑⓬¢Õß≈Ÿ°∫Õ≈·µà≈–≈Ÿ°

‡π◊ËÕß®“°°“√™π‡ªìπ·∫∫ª√– “πß“ °“√‡§≈◊ËÕπ∑’Ë∑ÿ°Õ¬à“߇°‘¥¢÷Èπ„π·π«‡ âπµ√ß ‡≈◊Õ°„Àâ∑‘»

µ–«—πÕÕ°‡ªìπ∑‘»∫«° ·≈–„Àâ¡«≈¢Õß≈Ÿ°∫Õ≈·µà≈–≈Ÿ°‡ªìπ m ‚¡‡¡πµ—¡¡’§à“§ßµ—«„π°“√™π ¥—ßπ—Èπ

‡√“‡¢’¬π‰¥â«à“

‚¡‡¡πµ—¡°àÕπ = ‚¡‡¡πµ—¡À≈—ß

m(0.75 m s) + m(−0.43 m s) = mv1 + mv2

‚¥¬∑’Ë v1 ·≈– v2 ‡ªì𧫓¡‡√Á«À≈—ß™π ¡°“√π’ȇ¢’¬π„ÀâÕ¬Ÿà„π√Ÿªßà“¬ Ê ‰¥â«à“

0.32 m s = v1 + v2 (1)

‡π◊ËÕß®“°‡√“ ¡¡ÿµ‘«à“°“√™π‡ªìπ·∫∫¬◊¥À¬ÿàπ ¡∫Ÿ√≥å æ≈—ßß“π®≈πåµâÕߧߵ—«¥â«¬ ¥—ßπ—Èπ

æ≈—ßß“π®≈πå°àÕπ = æ≈—ßß“π®≈πåÀ≈—ß

12 m(0.75 m s)2 + 1

2 m(0.43 m s)2 = 12 mv1

2 + 12 mv2

2

¡°“√π’È “¡“√∂‡¢’¬π‡ªìπ√Ÿªßà“¬ Ê ‰¥â«à“

°“√¥≈·≈–‚¡‡¡πµ—¡

ªî¬æß…å ‘∑∏‘§ß ¿“§«‘™“øî ‘° å §≥–«‘∑¬“»“ µ√å ¡À“«‘∑¬“≈—¬¡À‘¥≈

10

0 7472

12

22. m s( ) = +v v (2)

‡√“ “¡“√∂À“ v2 ‚¥¬°“√·°â ¡°“√ (1) ‰¥â v v2 10 32= −. m s ·≈–·∑π§à“π’È„π (2) ®–„Àâ

0 747 0 322

12

12. ( . ) m s m s( ) = − +v v

´÷Ëß„Àâ 2 0 64 0 645 012

1

2v v− − ( ) =. . m s m s

„™â Ÿµ√§«Õ¥√“µ‘°À“√“°¢Õß ¡°“√π’È ‡√“‰¥â«à“

v1

20 64 0 64 5 164

0 16 0 59= ± +

= ±[ ]. ( . ) .. . m s m s

´÷Ëß„Àâ v1 = 0.75 m s À√◊Õ −0.43 m s ·∑π§à“π’È°≈—∫≈ß„π (1) „Àâ

v2 = −0.43 m s À√◊Õ 0.75 m s

¡’§Ì“µÕ∫„Àâ‡≈◊Õ° Õߧ̓µÕ∫:

(v1 = 0.75 m s, v2 = −0.43 m s) ·≈– (v1 = −0.43 m s, v2 = 0.75 m s)

‡√“µâÕß∑‘Èߧ̓µÕ∫·√°‰ª‡æ√“–¡—π‡ªìπ°√≥’∑’Ë≈Ÿ°∫Õ≈‡§≈◊ËÕπ∑’˵àÕ‰ª‚¥¬‰¡à¡’°“√‡ª≈’ˬπ·ª≈ß π—Ëπ§◊Õ ‰¡à¡’

°“√™π‡°‘¥¢÷Èπ ¥—ßπ—Èπ§Ì“µÕ∫∑’Ë∂Ÿ°µâÕߧ◊Õ v1 = −0.43 m s ·≈– v2 = 0.75 m s ´÷Ëß∫Õ°„Àâ‡√“√Ÿâ«à“

„π°“√™π·∫∫¬◊¥À¬ÿàπ ¡∫Ÿ√≥å·≈–·∫∫ª√– “πß“√–À«à“ß¡«≈¢π“¥‡∑à“°—π «—µ∂ÿ∑—Èß Õß®– ≈—∫§«“¡‡√Á«°—π

¥—ßπ—Èπ rv1 0 43= . m s ∑‘»µ–«—πµ° ·≈–

rv2 0 75= . m s ∑‘»µ–«—πÕÕ°

15. ≈Ÿ°∫Õ≈¡«≈ 1.0 kg ‡§≈◊ËÕπ∑’˥⫬՗µ√“‡√Á« 12 m s ‡¢â“™π·∫∫ª√– “πß“°—∫≈Ÿ°∫Õ≈¡«≈ 2.0 kg

´÷Ëß°Ì“≈—߇§≈◊ËÕπ∑’ˇ¢â“¡“„π∑‘»µ√ß°—π¢â“¡¥â«¬Õ—µ√“‡√Á« 24 m s ®ßÀ“§«“¡‡√Á«¢Õß≈Ÿ°∫Õ≈·µà≈–≈Ÿ°

À≈—ß°“√™π ∂â“ (a) ≈Ÿ°∫Õ≈µ‘¥°—π‰ª ·≈– (b) °“√™π‡ªìπ·∫∫¬◊¥À¬ÿàπ ¡∫Ÿ√≥å

„π∑—Èß Õß°√≥’‚¡‡¡πµ—¡§ßµ—« ·≈–¥—ßπ—Èπ‡√“ “¡“√∂‡¢’¬π‰¥â«à“

‚¡‡¡πµ—¡°àÕπ = ‚¡‡¡πµ—¡À≈—ß

( . )( ) ( . )( ) ( . ) ( . )1 0 12 2 0 24 1 0 2 01 2 kg m s kg m s kg kg+ − = +v v

÷Ëß°≈“¬‡ªìπ−36 m s = v1 + 2v2

(a) „π°√≥’π’È v1 = v2 = v ·≈–¥—ßπ—Èπ ¡°“√‚¡‡¡πµ—¡°≈“¬‡ªìπ

3v = −36 m s À√◊Õ v = −12 m s

°“√¥≈·≈–‚¡‡¡πµ—¡

ªî¬æß…å ‘∑∏‘§ß ¿“§«‘™“øî ‘° å §≥–«‘∑¬“»“ µ√å ¡À“«‘∑¬“≈—¬¡À‘¥≈

11

(b) „π°√≥’π’È

v v2 1 12 24− = ( ) − − m s m s( )

´÷Ëß„Àâ v2 − v1 = 36 m s ∫«° ¡°“√π’ȇ¢â“°—∫ ¡°“√‚¡‡¡πµ—¡„Àâ v2 = 0 „™â§à“π’È Ì“À√—∫ v2

∑Ì“„À≥â v1 = −36 m s

16. ≈Ÿ°∫Õ≈ Õß≈Ÿ°„π√Ÿª¢â“ß≈à“ß™π·≈–°√–‡¥âßÕÕ°®“°°—π¥—ß∑’Ë· ¥ß„π√Ÿª (a) ≈Ÿ°∫Õ≈¡«≈ 500 g ¡’

§«“¡‡√Á« ÿ¥∑⓬‡∑à“‰√∂â“≈Ÿ°∫Õ≈¡«≈ 800 g ¡’Õ—µ√“‡√Á« 15 cm s À≈—ß°“√™π (b) °“√™π‡ªìπ·∫∫

¬◊¥À¬ÿàπ ¡∫Ÿ√≥åÀ√◊Õ‰¡à

(a) ‡≈◊Õ°∑‘»°“√‡§≈◊ËÕπ∑’Ë∑“ߢ«“‡ªìπ∑‘»∫«° ®“°°Æ°“√§ßµ—«¢Õß‚¡‡¡πµ—¡

(‚¡‡¡πµ—¡°àÕπ)x = (‚¡‡¡πµ—¡À≈—ß)x

( . )( . ) ( . )( . ) ( . )[( . )cos ] ( . )0 80 0 30 0 50 0 50 0 80 0 15 30 0 50 kg m s kg m s kg m s kg+ − = ° + vx

´÷Ëß„Àâ vx = −0.228 m s ‡≈◊Õ°„Àâ∑‘»¢÷Èπ‡ªìπ∑‘»∫«°

(‚¡‡¡πµ—¡°àÕπ)y = (‚¡‡¡πµ—¡À≈—ß)y

0 0 80 0 15 30 0 50= − ° +( . )[ ( . ) sin ] ( . ) kg m s kg vy

´÷Ëß„Àâ vy = 0.120 m s ¥—ßπ—Èπ

v v vx y= + = − + =2 2 2 20 228 0 120 0 26( . ) ( . ) . m s m s m s

·≈– rv = 0 26. m s ∑‘»‰ª∑“ߢ«“

πÕ°®“°π—Èπ Ì“À√—∫¡ÿ¡ θ „π√Ÿª 8-4

θ = arctan0.1200.228

= 28°

(b) æ≈—ßß“π®≈πå∑—ÈßÀ¡¥°àÕπ= 1

22 1

220 80 0 30 0 50 0 50 0 099( . )( . ) ( . )( . ) . kg m s kg m s J+ =

°“√¥≈·≈–‚¡‡¡πµ—¡

ªî¬æß…å ‘∑∏‘§ß ¿“§«‘™“øî ‘° å §≥–«‘∑¬“»“ µ√å ¡À“«‘∑¬“≈—¬¡À‘¥≈

12

æ≈—ßß“π®≈πå∑—ÈßÀ¡¥À≈—ß = 1

22 1

220 80 0 15 0 50 0 26 0 026( . )( . ) ( . )( . ) . kg m s kg m s J+ =

‡π◊ËÕß®“°¡’°“√ Ÿ≠‡ ’¬æ≈—ßß“π®≈πå„π°“√™π °“√™ππ’È®÷߉¡à„™à‡ªìπ°“√™π·∫∫¬◊¥À¬ÿàπ ¡∫Ÿ√≥å

17. ®ßÀ“·√ß∑’Ë°√–∑Ì“µàÕ·ºàπ®“π·∫π∑’Ë∂Ÿ°®—∫„ÀâÕ¬Ÿàπ‘Ëßµ—Èß©“°°—∫≈Ì“πÈÌ“¥—ß„π√Ÿª¢â“ß≈à“ß Õ—µ√“‡√Á«¢ÕßπÈÌ“„π

·π«√–¥—∫¡’§à“ 80 cm s ·≈–πÈÌ“ª√‘¡“≥ 30 mL ™π·ºàπ®“π∑ÿ°«‘π“∑’ „Àâ ¡¡ÿµ‘«à“πÈÌ“‡§≈◊ËÕπ∑’Ë

¢π“π°—∫·ºàπ®“πÀ≈—ß®“°∑’Ë™π πÈÌ“Àπ÷Ëß¡‘≈≈‘≈‘µ√ (mL) ¡’¡«≈ 1.00 g

®“πÕÕ°·√ߥ≈°√–∑Ì“µàÕπÈÌ“·≈–∑Ì“„Àâ‚¡‡¡πµ—¡µ“¡·π«√–¥—∫¢ÕßπÈÌ“‡ª≈’Ë¬π‰ª ‡≈◊Õ°„Àâ∑‘»¢«“¡◊Õ

‡ªìπ∫«°

(°“√¥≈)x = ‚¡‡¡πµ—¡„π∑‘» x ∑’ˇª≈’ˬπ‰ª

F t mvx x∆ = ( ) ÿ¥∑⓬ - (mvx )µâπ

„Àâ‡√“‡≈◊Õ° ∆t ‡ªìπ 1.00 s ∑Ì“„Àâ m ‡ªìπ¡«≈∑’Ë°√–∑∫„π 1.00 s ¡’¢π“¥‡∑à“°—∫ 30 g ¡°“√

¢â“ß∫π®–°≈“¬‡ªìπ

Fx ( . ) ( . )( ) ( . )( . )1 00 0 030 0 0 030 0 80 s kg m s kg m s= −

´÷Ëß„Àâ Fx = −0 024. N π’˧◊Õ·√ß∑’Ë®“π°√–∑Ì“µàÕπÈÌ“ °Æ¢Õß·√ß°‘√‘¬“·≈–·√ߪؑ°‘√‘¬“∫Õ°‡√“«à“

≈Ì“πÈÌ“ÕÕ°·√ß¢π“¥‡∑à“°—π·µà∑‘»µ√ß°—π¢â“¡°√–∑Ì“µàÕ®“π

18. ®√«¥≈Ì“Àπ÷Ë߬◊πÕ¬Ÿà∫π∞“π¬‘ß‚¥¬∑’ËÀ—«™’È¢÷Èπµ√ß ‡§√◊ËÕ߬πµå‰Õæàπ¢Õß®√«¥µ‘¥‡§√◊ËÕß·≈–æàπ°ä“´ÕÕ°¡“

¥â«¬Õ—µ√“ 1500 k g s ‚¡‡≈°ÿ≈∑’Ë∂Ÿ°æàπÕÕ°¡’Õ—µ√“‡√Á« 50 k m s ‡¥‘¡®√«¥µâÕß¡’¡«≈‡∑à“‰√®÷ß®–

∑Ì“„Àâ®√«¥§àÕ¬ Ê ≈Õ¬¢÷Èπ™â“ Ê ‡π◊ËÕß®“°·√ߢ—∫¢Õ߇§√◊ËÕ߬πµå

‡π◊ËÕß®“°°“√‡§≈◊ËÕπ∑’Ë¢Õßµ—«®√«¥‡Õß¡’πâÕ¬¡“°‡¡◊ËÕ‡∑’¬∫°—∫Õ—µ√“‡√Á«¢Õß°ä“´∑’ËæàπÕÕ°¡“ ‡√“

“¡“√∂ ¡¡ÿµ‘‰¥â«à“°ä“´∂Ÿ°‡√àß®“°À¬ÿ¥π‘Ëß®π¡’Õ—µ√“‡√Á« 50 k m s °“√¥≈∑’ˮ̓‡ªìπ„π°“√‡√àß¡«≈ m

¢Õß°ä“´§◊ÕF t mv mv mf i∆ = − = −( )50000 0 m s

÷Ëß„Àâ Fm

t= ( )50000 m s

∆

°“√¥≈·≈–‚¡‡¡πµ—¡

ªî¬æß…å ‘∑∏‘§ß ¿“§«‘™“øî ‘° å §≥–«‘∑¬“»“ µ√å ¡À“«‘∑¬“≈—¬¡À‘¥≈

13

·µà‡√“√Ÿâ«à“¡«≈∑’Ë∂Ÿ°æàπÕÕ°¡“µàÕ«‘π“∑’ m t∆( ) §◊Õ 1500 k g s ·≈–¥—ßπ—Èπ·√ß∑’Ë°√–∑Ì“µàÕ°ä“´∑’Ë∂Ÿ°

æàπÕÕ°¡“§◊ÕF = (50000 m s)(1500 k g s) = 75 MN

·√ß∑’Ë¢π“¥‡∑à“°—π·µà∑‘»µ√ß°—π¢â“¡°√–∑Ì“µàÕ®√«¥ ·≈–π’˧◊Õ·√ߢ—∫¢÷Èπ∑’Ë°√–∑Ì“µàÕ®√«¥ ¥—ßπ—Èπ

‡§√◊ËÕ߬πµå “¡“√∂√—∫πÈÌ“Àπ—°‰¥â 75 MN ·≈–®√«¥ “¡“√∂¡’¡«≈ Ÿß ÿ¥‰¥â‡∑à“°—∫

M®√«¥ = πÈÌ“Àπ—°g

= × = ×75 107 7 10

66 N

9.81 m s kg2 .

19. ∑√“¬µ°≈ß¡“¥â«¬Õ—µ√“ 2000 kg/π“∑’ ®“°°âπ¢Õߪ≈àÕß≈ß∫𠓬æ“π´÷Ëß°Ì“≈—߇§≈◊ËÕπ∑’ˉªµ“¡·π«

√–¥—∫¥â«¬Õ—µ√“‡√Á« 250 m/π“∑’ ®ßÀ“·√ß∑’ˮ̓‡ªìπµâÕß„™â„π°“√¢—∫‡§≈◊ËÕ𠓬æ“π ‰¡àµâÕߧ̓π÷ß∂÷ß

·√߇ ’¬¥∑“π µÕ∫ 139 N

20. «—µ∂ÿ Õß™‘Èπ¡«≈ 8 kg ·≈– 4 kg ‡§≈◊ËÕπ∑’˵“¡·°π x „π∑‘»µ√ß°—π¢â“¡¥â«¬§«“¡‡√Á« 11 m s „π

∑‘»∫«° x ·≈– 7 m s „π∑‘»≈∫ x µ“¡≈Ì“¥—∫ «—µ∂ÿ∑—Èß Õß™π·≈–µ‘¥°—π ®ßÀ“§«“¡‡√Á«¢Õß«—µ∂ÿ

∑—Èß ÕßÀ≈—ß°“√™π∑—π∑’ µÕ∫ 5 m s ∑‘»∫«° x

21. ªóπ°√–∫Õ°Àπ÷Ëß¡«≈ 1200 kg ´÷Ëßµ—ÈßÕ¬Ÿà∫π≈âÕ¬‘ß‚æ√‡®°‰∑≈å¡«≈ 8.00 kg ÕÕ°‰ª¥â«¬§«“¡‡√Á«ª“°

°√–∫Õ° 600 m s ∑Ì“¡ÿ¡ 30 0. ° ‡Àπ◊Õ·π«√–¥—∫ ®ßÀ“Õ—µ√“‡√Á«∑’˪óπ°√–¥Õπ°≈—∫„π·π«√–¥—∫

µÕ∫ 3.46 m s

22. ¡«≈ “¡°âÕπ∂Ÿ°«“߉«â∫π·°π y ≥ µÌ“·ÀπàßµàÕ‰ªπ’È: 2 kg ∑’Ë y = 300 cm, 6 kg ∑’Ë y = 150 cm

·≈– 4 kg ∑’Ë y = −75 cm ®ßÀ“®ÿ¥»Ÿπ¬å°≈“ß¡«≈¢Õß√–∫∫ µÕ∫ y = 1 m

23. ¡«≈ ’Ë°âÕπ∂Ÿ°«“߉«â„π√–π“∫ xy ≥ µÌ“·ÀπàßµàÕ‰ªπ’È: 300 g ∑’Ë (x = 0, y = 2.0 m), 500 g ∑’Ë (−

2.0 m, −3.0 m), 700 g ∑’Ë (50 cm, 30 cm) ·≈– 900 g ∑’Ë (−80 cm, 150 cm)

®ßÀ“®ÿ¥»Ÿπ¬å°≈“ß¡«≈¢Õß√–∫∫ µÕ∫ x = -0.57 m, y = 0.28 m

24. ≈Ÿ°∫Õ≈¡«≈ m ≈Ÿ°Àπ÷Ëß«“ßÕ¬Ÿà∑’Ë®ÿ¥°Ì“‡π‘¥„π¢≥–∑’Ë¡—π√–‡∫‘¥ÕÕ°‡ªìπ Õß™‘Èπ´÷ËßæÿàßÕÕ°‰ªµ“¡·°π x

„π∑‘»µ√ß°—π¢â“¡ ¢≥–∑’Ë™‘ÈπÀπ÷Ëß (´÷Ëß¡’¡«≈ 0.270m) Õ¬Ÿà∑’Ë x = 70 cm Õ’°™‘ÈπÀπ÷ËßÕ¬Ÿà∑’ˉÀπ (·π–:

®ÿ¥»Ÿπ¬å°≈“ß¡«≈‡§≈◊ËÕπ∑’ËÕ¬à“߉√) µÕ∫ ∑’Ë x = −26 cm

25. ≈Ÿ°∫Õ≈¡«≈ m ≈Ÿ°Àπ÷Ëß´÷ËßÕ¬Ÿàπ‘Ëß∑’Ë®ÿ¥°Ì“‡π‘¥√–‡∫‘¥ÕÕ°‡ªìπ “¡™‘Èπ‡∑à“°—π ∑’ˇ«≈“¢≥–Àπ÷Ëß™‘ÈπÀπ÷ËßÕ¬Ÿà

∫π·°π x ∑’Ë x = 40 cm ·≈–Õ’°™‘ÈπÀπ÷ËßÕ¬Ÿà∑’Ë x = 20 cm, y = −60 cm „π¢≥–π—Èπ™‘Èπ∑’Ë

“¡Õ¬Ÿà∑’ˉÀπ µÕ∫ ∑’Ë x = −60 cm, y = 60 cm

26. °âÕπ‰¡â¡«≈ 2.0 kg Õ¬Ÿàπ‘Ëß∫πº‘«‚µä–¬“« ¬‘ß≈Ÿ°ªóπ¡«≈ 5.0 g „π·π«√–¥—∫¥â«¬Õ—µ√“‡√Á« 150 m s

‡¢â“‰ªΩíß„π°âÕπ‰¡â °âÕπ‰¡â‰∂≈‰ª∫π‚µä–‡ªìπ√–¬–∑“ß 270 cm ·≈â«®÷ßÀ¬ÿ¥ (a) ®ßÀ“Õ—µ√“‡√Á«¢Õß

°âÕπ‰¡â∑—π∑’À≈—ß°“√™π (b) ®ßÀ“·√߇ ’¬¥∑“π√–À«à“ß°âÕπ‰¡â°—∫æ◊Èπ‚µä–

°“√¥≈·≈–‚¡‡¡πµ—¡

ªî¬æß…å ‘∑∏‘§ß ¿“§«‘™“øî ‘° å §≥–«‘∑¬“»“ µ√å ¡À“«‘∑¬“≈—¬¡À‘¥≈

14

µÕ∫ (a ) 0 37. m s , (b) 0.052 N

27. °âÕπ‰¡â¡«≈ 2.0 kg Õ¬Ÿàπ‘Ëß∫πº‘«‚µä– ¬‘ß≈Ÿ°ªóπ¡«≈ 7.0 g ¢÷Èπ¡“µ√ß Ê ∑–≈ÿºà“π√Ÿ„π‚µä–µ√ß

µÌ“·Àπàß„µâ°âÕπ‰¡âæÕ¥’ ≈Ÿ°ªóπΩíßÕ¬Ÿà„π°âÕπ‰¡â·≈–∑Ì“„Àâ°âÕπ‰¡â≈Õ¬¢÷Èπ¡“ Ÿß 25 cm ‡Àπ◊Õº‘«‚µä–

®ßÀ“«à“‡¥‘¡≈Ÿ°ªóπ¡’Õ—µ√“‡√Á«‡∑à“‰√ µÕ∫ 0 64. km s

28. √∂∫√√∑ÿ°¡«≈ 6000 kg °Ì“≈—߇§≈◊ËÕπ∑’ˉª∑“߇Àπ◊ե⫬՗µ√“‡√Á« 5 0. m s ‡¡◊ËÕ¡—π™π‡¢â“°—∫√∂

∫√√∑ÿ°¡«≈ 4000 kg ´÷Ëß°Ì“≈—߇§≈◊ËÕπ∑’ˉª∑“ß∑‘»µ–«—πµ°¥â«¬Õ—µ√“‡√Á« 15 m s ∂â“√∂∫√√∑ÿ°∑—Èß

Õßµ‘¥°—πÀ≈—ß™π ®ßÀ“Õ—µ√“‡√Á«·≈–∑‘»∑“ß∑’Ë’√∂∑—Èß Õ߇§≈◊ËÕπ∑’ËÀ≈—ß®“°°“√™π∑—π∑’

µÕ∫ 6 7. m s ∑Ì“¡ÿ¡ 27° ‰ª∑“߇Àπ◊Õ¢Õß∑‘»µ–«—πµ°

29. ®ßÀ“·√ßµâ“π‡©≈’ˬ∑’Ë®–µâÕß°√–∑Ì“µàÕ¡«≈ 3.0 kg ‡æ◊ËÕ≈¥Õ—µ√“‡√Á«¢Õß¡«≈®“° 65 cm s ‡ªìπ

15 cm s „π‡«≈“ 0.20 s µÕ∫ 7.5 N

30. ≈Ÿ°°√– ÿπªóπ¡«≈ 7.00 g ‡§≈◊ËÕπ∑’Ë„π·π«√–¥—∫¥â«¬Õ—µ√“‡√Á« 200 m s ‡¢â“™π·≈–∑–≈ÿºà“π°√–ªÜÕß

¡«≈ 150 g ´÷Ëß«“ßÕ¬Ÿà∫π‡ “ ∑—π∑’À≈—ß°“√™π°√–ªÜÕß¡’Õ—µ√“‡√Á«„π·π«√–¥—∫ 180 cm s ®ßÀ“

Õ—µ√“‡√Á«¢Õß≈Ÿ°ªóπÀ≈—ß®“°∑’ËÕÕ°®“°°√–ªÜÕß µÕ∫ 161 cm s

31. ≈Ÿ°∫Õ≈‡À¡◊Õπ°—π Õß≈Ÿ°™π°—π∑’Ë®ÿ¥°Ì“‡π‘¥ °àÕπ°“√™πÕߧåª√–°Õ∫ ‡°≈“√å¢Õߧ«“¡‡√Á«¢Õß≈Ÿ°∫Õ≈

∑—Èß Õߧ◊Õ (ux = 40 cm s , uy = 0) ·≈– (ux = −30 cm s , cm suy = 20 ) À≈—ß°“√™π

≈Ÿ°∫Õ≈≈Ÿ°∑’ËÀπ÷ËßÀ¬ÿ¥π‘Ëß ®ßÀ“Õߧåª√–°Õ∫ ‡°≈“√å¢Õߧ«“¡‡√Á«¢Õß≈Ÿ°∫Õ≈≈Ÿ°∑’Ë Õß µÕ∫vx = 10 cm s , vy = 20 cm s

32. ≈Ÿ°∫Õ≈‡À¡◊Õπ°—π∑ÿ°ª√–°“√ Õß≈Ÿ°‡§≈◊ËÕπ∑’Ë¢π“π‰ª°—∫·°π x ¥â«¬Õ—µ√“‡√Á« 30 cm s „π∑‘»

µ√ß°—π¢â“¡ ≈Ÿ°∫Õ≈∑—Èß Õß™π°—π·∫∫¬◊¥À¬ÿàπ ¡∫Ÿ√≥å À≈—ß°“√™π≈Ÿ°∫Õ≈≈Ÿ°Àπ÷Ë߇§≈◊ËÕπ∑’ËÕÕ°‰ª∑Ì“¡ÿ¡

30° ‡Àπ◊Õ·°π +x ®ßÀ“Õ—µ√“‡√Á«·≈–§«“¡‡√Á«¢Õß≈Ÿ°∫Õ≈Õ’°≈Ÿ°Àπ÷Ëß

µÕ∫ 30 cm s, 30 cm s ∑Ì“¡ÿ¡ 30° „µâ·°π −x (µ√ß°—π¢â“¡°—∫≈Ÿ°·√°)

33. (a) ‡§√◊ËÕ߬πµå‰Õæàπ¢Õß®√«¥¡«≈ 2 0 105. × kg ®–µâÕß¡’·√ߢ—∫Õ¬à“ßπâÕ¬∑’Ë ÿ¥‡∑à“‰√®÷ß®–∑Ì“„Àâ

®√«¥ “¡“√∂≈Õ¬¢÷Èπ®“°æ◊Èπ¥‘π‰¥â‡¡◊ËÕµ—ÈßÀ—«¢÷Èπµ√ß Ê (b) ∂Ⓡ§√◊ËÕ߬πµå¢—∫‡™◊ÈÕ‡æ≈‘ßÕÕ°¡“„πÕ—µ√“

20 k g s ‡™◊ÈÕ‡æ≈‘ßπ’È®–µâÕß¡’Õ—µ√“‡√Á«‡∑à“‰√„π¢≥–∑’Ë¡—πÕÕ°®“°‡§√◊ËÕß „Àâ∂◊Õ«à“¡«≈¢Õß®√«¥∑’Ë

‡ª≈’Ë¬π‰ª‡π◊ËÕß®“°‡™◊ÈÕ‡æ≈‘ß∑’ËæàπÕÕ°¡“¡’§à“πâÕ¬¡“°®π‰¡àµâÕßπÌ“¡“§‘¥

µÕ∫ (a) 20 105× N ; (b) 98 k m s