ALI_U3_EU_JOML

Álgebra linealUnidad 3. DeterminantesEvidencia de aprendizaje. Sustancias que funcionan como súper proteínas e impermeabilizante natural, a partir de determinantes.

Alumno: Jorge Heriberto Muñiz Lara

Facilitador:Gerardo Reyna Hernández

Asignatura:Algebra Lineal

Actividad:

Evidencia de aprendizaje. Sustancias que funcionan como súper

Proteínas e impermeabilizante natural, a partir de

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Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias de la Salud, Biológicas y Ambientales

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Sustancias que funcionan como superproteínas e

impermeabilizante natural, a partir de determinantes.

Instrucciones:

Lee los problemas que se te presentan y al final efectúa lo que se te pide.

Problema 1

Un grupo de ingenieros en biotecnología realizaron una investigación para crear una sustancia que

funcionara como una superproteína en un tipo especial de microorganismos que habita cerca de una

zona petrolera.

El objetivo es hacer dichos microorganismos más resistentes y, en el caso de que existiera algún

derrame petrolero cerca de la zona, utilizarlos para la limpieza de dicho derrame. Durante la

investigación, se presentaron muchas dificultades, se tenían previstos tres proyectos diferentes, los

cuales resultaron en un rotundo fracaso.

En cada uno de los proyectos se desarrolló una sustancia diferente, al realizar las pruebas con dichas

sustancias, estas no mejoraron a los microorganismos como se esperaba, de esta manera, los frascos

que contenían las sustancias respectivas de cada proyecto fueron vaciados a un mismo contenedor

con capacidad de m litros, el cual se encontraba completamente limpio.

Los ingenieros tomaron una muestra de la sustancia que resultó de la combinación de las tres que se

vaciaron al contenedor y observaron los resultados, luego de ponerla en el microscopio. Esta muestra

era producto de un accidente científico.

Después de esto, cada grupo hizo una marca al recipiente que contenía su respectiva sustancia, esto,

con el objeto de tener en cuenta la medida que utilizaron y relacionarlo con el resultado que se obtuvo.

De esta manera, volvieron a utilizar la misma medida que vaciaron al contenedor para formar una

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nueva sustancia, la probaron y el resultado fue exactamente el mismo que el que había en el

contenedor.

Después de esto, todos se dieron cuenta de que nadie sabía exactamente cuánto fue lo que depositó

de su respectiva sustancia, pero tenían el recipiente en el que señalaron la medida. Para saber las

cantidades exactas, sugirieron formar un sistema de tres ecuaciones y de esta manera encontrarían

los valores exactos de los recipientes de cada uno de los grupos, de esta manera, realizaron las

siguientes pruebas.

1. Utilizaron 2 vasos de la primera sustancia, 2 vasos de la segunda y un vaso más de la tercera

obteniendo 4.5 litros de la sustancia final.

2. Utilizaron 4 vasos de la primera sustancia, 6 vasos de la segunda y 3 vasos más de la tercera,

obteniendo 12 litros.

Para resolver este problema, realiza lo siguiente:

Integra, en este archivo la solución que diste al problema por el método de Gauss-Jordan.

Incluye los determinantes que obtuvieron en la actividad Regla de Cramer.

Utiliza el método de Cramer para encontrar la cantidad en litros que se colocó en cada vaso de la

primera, segunda y tercera sustancia.

Comprueba tus resultados por alguno de los métodos de comprobación.

Nota: Para encontrar lo que se te pide supón que en las primeras dos pruebas (la del accidente y la

repetición del mismo) se colocaron 6 vasos de la primer sustancia, 9 vasos de la segunda y 7 vasos de

la tercera.

2x + 2y + z = 4.5

4x + 6y +3z = 12

6x + 9y +7z = 23

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Álgebra linealUnidad 3. DeterminantesEvidencia de aprendizaje. Sustancias que funcionan como súper proteínas e impermeabilizante natural, a partir de determinantes.(2x + 2y + z = 4.5)/2 x + y + 0.5z = 2.25

(x + y + 0.5z = 2.25) -4

-4x - 4y - 2z = -9

4x + 6 y +3z = 12

2y + z = 3

(x + y + 0.5z = 2.25)-6

2y + z = 3

6x + 9y +7z = 23

-6x -6y -3z = -13.5

3y +4z = 9.5

x + y + 0.5z = 2.25

(2y + z = 3)/2

3y +4z = 9.5

x + y + 0.5z = 2.25

(y + 0.5z = 1.5)-1

3y +4z = 9.5

x + y + 0.5z = 2.25

-y – 0.5z = -1.5

X = 0.75

(-y – 0.5z = -1.5)-3

-3y – 1.5z = -4.5

3y + 4z = 9.5

2


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(2.5 z = 5)/2.5

Z = 2

Y = 0.5

• método de Gauss Jordan para encontrar la cantidad en litros que se colocó en cada vaso de la

primera, segunda y tercera sustancia.

1 1 0.5 2.5

4 6 3 12

6 9 7 23

2 2 1 4.5

4 6 3 12

6 9 7 23

R1 R1/2

1 1 0.5 2.5

0 1 0.5 1.5

2


5


0 3 4 9.5

1 1 0.5 2.5

0 2 1 3

6 9 7 23

R2 R2 – 4 R1

R3 R3 – 6 R1

R2 R2 /2

1 1 0.5 2.5

0 1 0.5 1.5

0 0 1 2

1 1 0.5 2.5

0 1 0.5 1.5

0 0 2.5 5

R3 R3 – 3 R2

R3 R3 /2.5

Z = 2 y + 0.5z = 1.5 x + y +0.5z=2.25

Y + 0.5(2) = 1.5 x + 0.5 + 0.5(2) = 2.25

Y + 1 = 1.5 x + 1.5 = 2.25

Y = 0.5 X = 0.75

En un nuevo documento de Word, realiza

2


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los determinantes D1, D2, D3 y D, asociados a las incógnitas x1, x2, x3 y a la matriz del

sistema.

2x + 2y + z = 4.5

4x + 6y + 3z =12

6x + 9y + 7z = 23

Regla de Cramer

A=

2 2 1

4 6 3

6 9 7

x=

X1

X2

X3

b=

4.5

12

23

Submatrices

A1

4.5 2 1

12 6 3

23 9 7

A2

2 4.5 1

2


7


4 12 3

6 23 7

A3

2 2 4.5

4 6 12

6 9 23

Determinante de la matriz principal

D = 2 (6)(7) – (3)(9) – 2 (4)(7) – (3)(6) + 1(4)(9) – (6)(6)

D = 10

Determinantes de las submatrices

A1

4.5 2 1

12 6 3

23 9 7

A1 = 4.5 (42-27) – 2(84-69) + 1(108-138)

A1 = 7.5

A2

2 4.5 1

4 12 3

6 23 7

A2 = 2 (84-69) – 4.5(28-18) + 1(92-72)

A2 = 5

A3

2 2 4.5

4 6 12

2


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6 9 23

A3 = 2(138-108) – 2(92-72) + 4.5(36-36)

A3 = 20

X1 = A1/A = 7.5/10 = 0.75

X2 = A2/A = 5/10 = 0.5

X3 = A3/A = 20/10 = 2

Problema 2

Un grupo de ingenieros realiza el proyecto de mostrar en las escuelas la manera en que se debe

elaborar impermeabilizante natural con baba de nopal. Para cubrir una superficie de 1 m² se requieren

los siguientes materiales:

- 1/2 kilo de calidra,

- 1/2 kilo de cemento blanco,

- 1/3 de kilo de pega azulejo,

- 1/2 kilo de arena gris (cernida),

- 2/3 de barra de jabón de pasta,

- 1/6 de kilo de alumbre en piedra, y

- 1/2 nopal de penca.

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En la escuela secundaria Adolfo López Mateos, los alumnos tienen que impermeabilizar el techo de la

biblioteca que mide 40 m², el auditorio de 50 m², 15 salones de 20 m² cada uno, 20 cubículos y la

dirección de la escuela que mide 35 m².

Los gastos en material fueron los siguientes: de la dirección 1,067 pesos con 50 centavos, de los

salones 9,150 pesos, de la biblioteca 1,220 pesos, de los cubículos 5,490 pesos, y del auditorio 1,525

pesos.

Cada nopal vale 1 peso y la barra de jabón está a 9 pesos.

¿Cuál es el costo por kilo de cada uno de los otros materiales?

¿Cuántos metros cuadrados mide cada uno de los cubículos que impermeabilizaron?

Para solucionar este problema, realiza lo siguiente:

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Construye el vector que represente los materiales utilizados para fabricar impermeabilizante

natural.

Incluye el sistema de ecuaciones lineales que obtuviste para este problema en la evidencia de la

unidad 2.

Integra además la solución que diste al problema por el método que hayas elegido en la

evidencia de la unidad 2.

Obtén los determinantes asociados a cada una de las variables del sistema de ecuaciones.

Resuelve el problema por el método de Cramer.

Comprueba tus resultados por alguno de los métodos que aprendiste.

Responde la siguiente pregunta: ¿Tus respuestas a las preguntas a partir del método de Cramer

son iguales a las que obtuviste en la evidencia de la unidad 2? Explica por qué.

(1/2) s1+ (1/2) s2 + (1/3) s3 + (1/2) s4 + (2/3) 9 + (1/6) s6 + (1/2)1 = 1

6.49999

(1/2) s1+ (1/2) s2 + (1/3) s3 + (1/2) s4 + (1/6) s6 + 6.5 = 1

Apoyándonos en la ecuación del planteamiento general empezamos elaborar nuestro sistema de ecuaciones

ya con una constante de 6.5 equivalente a los 2 datos conocidos s5 y s7.

Y para poder relacionar metros con costo en las ecuaciones solo van cambiando los coeficientes según los

metros cuadrados que se impermeabilizara por cada sección.

Ecuación 1: .Biblioteca

40(1/2) s1+ 40(1/2) s2 + 40(1/3) s3 + 40(1/2) s4 + 40(1/6) s6 + 40(6.5) = 1220

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Se coloca el valor del precio de la sustancias 5 y 6, proporcionados como datos en el problema


Ecuación 2: Auditorio

50(1/2) s1+ 50(1/2) s2 + 50(1/3) s3 + 50(1/2) s4 + 50(1/6) s6 + 50(6.5) s7 = 1525

Ecuación 3: 15 salones de 20 mts cada uno =300 mts

300(1/2) s1+ 300(1/2) s2 + 300(1/3) s3 + 300(1/2) s4 + 300(1/6) s6 + 300(6.5) = 9150

Ecuación 4: 20 cubiculos

35----------------1067.5

X------------------5490

X=180

180 (1/2) s1+ 180 (1/2) s2 + 180 (1/3) s3 + 180 (1/2) s4 + 180 (1/6) s6 + 180 (6.5) = 5490

Ecuación 5: la dirección de la escuela

35(1/2) s1+ 35(1/2) s2 + 35(1/3) s3 + 35(1/2) s4 + 35(1/6) s6 + 35(6.5) = 1067.5

Entonces ya nos quedaría un sistema con 5 ecuaciones y 5 incógnitas

40(1/2) s1+ 40(1/2) s2 + 40(1/3) s3 + 40(1/2) s4 + 40(1/6) s6 + 40(6.5) = 1220

50(1/2) s1+ 50(1/2) s2 + 50(1/3) s3 + 50(1/2) s4 + 50(1/6) s6 + 50(6.5) = 1525

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Álgebra linealUnidad 3. DeterminantesEvidencia de aprendizaje. Sustancias que funcionan como súper proteínas e impermeabilizante natural, a partir de determinantes.300(1/2) s1+ 300(1/2) s2 + 300(1/3) s3 + 300(1/2) s4 + 300(1/6) s6 + 300(6.5) = 9150

180 (1/2) s1+ 180 (1/2) s2 + 180 (1/3) s3 + 180 (1/2) s4 + 180 (1/6) s6 + 180 (6.5) = 5490

35(1/2) s1+ 35(1/2) s2 + 35(1/3) s3 + 35(1/2) s4 + 35(1/6) s6 + 35(6.5) = 1067.5

Simplificando las ecuaciones:

20 s1+ 20 s2 + 13.33 s3 + 20 s4 + 6.66 s6 + 260 = 1220

25 s1+ 25 s2 + 16.66 s3 + 25 s4 +8.33 s6 + 325 = 1525

150 s1+ 150 s2 + 99.99 s3 + 150 s4 + 49.99 s6 + 1950 = 9150

90 s1+ 90 s2 + 59.99 s3 + 90 s4 + 29.99 s6 + 1170 = 5490

17.5 s1+ 17.5 s2 + 11.66 s3 + 17.5 s4 + 5.83 s6 + 227.5 = 1067.5

Continuamos simplificando más las ecuaciones:

20 s1+ 20 s2 + 13.33 s3 + 20 s4 + 6.66 s6 = 960

25 s1+ 25 s2 + 16.66 s3 + 25 s4 +8.33 s6 = 1200

150 s1+ 150 s2 + 99.99 s3 + 150 s4 + 49.99 s6 = 7200

90 s1+ 90 s2 + 59.99 s3 + 90 s4 + 29.99 s6 = 4320

17.5 s1+ 17.5 s2 + 11.66 s3 + 17.5 s4 + 5.83 s6 = 840

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Representación matricial de este sistema quedaría de la sig. Manera:

Matriz ampliada:

Hasta aquí llegamos por tratarse de un matriz sin solución

ESTO ES LO QUE PUDE RESOLVER Y MI MANERA DE VER EL PROBLEMA

Existen 5 incógnitas que son los precios de la calidra, cemento, pegazulejo, arena y alumbre.

El vector de incógnitas (donde la incógnita es el PRECIO POR M2 de cada material) es (p, q, r ,s t).

La ecuación de COSTO UNITARIO en términos de las INCÓGITAS es como sigue:

1/2 p + 1/2 q + 1/3 r + 1/2 s + 1/6 t = 24

(es decir, 30.5 - 6.5=24, ya que el precio del jabón y nopal NO son incógnitas y todo se está haciendo por M2).

El COSTO TOTAL para cada edificio no es otra cosa que:CT = Superficie del edificio X precio por M2

De aquí se sacan 5 ECUACIONES, una para cada edificio.

Pero, las 5 ecuaciones nos son otra cosa que MULTIPLOS de UNA SOLA ECUACION; lo que nos deja con UNA SOLA ECUACION y 5 incógnitas.

De tal manera que utilizare el siguiente sistema:

Xa + Xb + Xc = 20

2Xa + 2Xb + 2Xc = 40

La matriz

20 20 40/3 20 20

25 25 50/3 25 25/3

35/2 35/2 35/3 35/2 35/6

150 150 100 150 50

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90 90 60 90 30

Tiene como DETERMINANTE el 0, es decir D = 0

¿Tus respuestas a las preguntas a partir del método de Cramer son iguales a las que obtuviste

en la evidencia de la unidad 2? Explica por qué.

si son iguales por que---

Como la regla de Cramer establece que xi = Di/D y como D=0, vemos que no tiene solución.

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