ทรูปลูกปัญญา - trueplookpanya.com · บทที่1 เซต : Set ส...

ทรปลกปญญา

หนวยงานเพอการศกษา ภายใตกล มบรษท ทร

คอรปอเรชน จ�ากด (มหาชน)ทบรณาการเทคโนโลยและความ

เชยวชาญดานคอนเทนต พฒนาเปนสอไลฟสไตลเพอสงเสรม

การศกษาและคณธรรม สามารถเชอมโยงทกมตการเรยนรได

อยางครบวงจร

www.trueplookpanya.com

ทรปลกปญญาดอทคอมคลงความรคคณธรรมทใหญ

ทสดในประเทศไทยอดแนนดวยสาระความรในรปแบบมลตมเดย

สนกกบการเรยนรดวยตวเอง ทงยงเปดโอกาสใหทกคนสราง

เนอหาแบงปนความรรวมกนโดยไมมคาใชจาย

พบกบความเปนทสดทง4ดานแหงการเรยนร

• คลงความรรวบรวมเนอหาการเรยนทกระดบชนครบ8

กลมสาระการเรยน

•คลงขอสอบขอสอบออนไลนพรอมเฉลยทใหญทสดใน

ประเทศไทยพรอมการประเมนผลสอบทางสถต

•แนะแนวขอมลการศกษาตอพรอมเจาะลกประสบการณ

การเรยนและการท�างาน

•ศนยขาวสอบตรง/Admissionsขาวการสอบทกสนาม

ทกสถาบนพรอมระบบแจงเตอนเรยลไทม

ชองทรปลกปญญา

โทรทศนความรดสนกทางทรวชนส6ทกรายการสาระความร

สาระบนเทงและการปลกฝงคณธรรมจรยธรรมตลอด24ชวโมง

พบกบเรองราวสรางแรงบนดาลใจ

•รายการสอนศาสตรรายการสอนเสรมแนวใหมครบ8วชา

ม.3ม.6ตวสดทกวนโดยตวเตอรชอดง

•รายการIAMแนะน�าอาชพนาสนใจโดยรนพในวงการ

• รายการสารสงเคราะห น�าขาวสารมาสงเคราะหอพเดทกน

แบบไมตกเทรนด

นตยสารปลกplook

นตยสารสงเสรมความรคคณธรรมส�าหรบเยาวชนฉบบแรก

ในประเทศไทยวางแผงทกสปดาหแรกของเดอนหยบฟรไดทTrue

CoffeeTrueMoveShopสถานศกษาแหลงการเรยนรหองสมด

และโรงพยาบาลทวประเทศหรออานออนไลนใน

www.trueplookpanya.com

แอพพลเคชน Trueplookpanya.com

ตอบโจทยไลฟสไตลการเรยนรของคนรนใหม ดวยฟรแอพพล

เคชน “Trueplookpanya.com” ใหคณพรอมส�าหรบการเรยนรใน

ทกททกเวลารองรบการใชงานบนiOS(iPhone,iPod,iPad)และ

Android

:www.trueplookpanya.com

:TruePlookpanya

คำนำ

หนงสอชด“ตวเขมO-NETGet100”

สรางสรรคโดย

ทรปลกปญญามเดย

โครงการเพอสงคมของบรษททรคอรปอเรชนจ�ากด(มหาชน)

เลขท46/8อาคารรงโรจนธนกลตกBชน9ถนนรชดาภเษก

แขวงหวยขวางเขตหวยขวางกรงเทพฯ10310

โทร :02-647-4511,02-647-4555

โทรสาร:02-647-4501

อเมล :[email protected]

:www.trueplookpanya.com

:TruePlookpanya

หนงสอชด“ตวเขมO-NETGet100”ใชสญลกษณอนญาตของครเอทฟคอมมอนส

แบบแสดงทมา-ไมใชเพอการคา-อนญาตแบบเดยวกน3.0ประเทศไทย

คำนำ

การสอบ O-NET หรอชออยางเปนทางการวา การจดการทดสอบทางการศกษาระดบชาตขนพนฐาน

(OrdinaryNationalEducationalTest)โดยสทศ.ถอเปนอกสนามสอบทส�าคญส�าหรบนองๆในระดบป.6,ม.3,

ม.6เพอเปนการประเมนผลการเรยนรของนองๆในระดบชาตเลยทเดยวและยงเปนตวชวดคณภาพการเรยนการ

สอนของแตละโรงเรยนอกดวยคะแนนO-NETกยงเปนสวนส�าคญในการคดคะแนนในระบบAdmissions เพอ

สมครเขาคณะทใจปรารถนาไดคะแนนดกมชยไปกวาครง

และเพอเปนอกตวชวยหนงในการเตรยมความพรอมใหนองๆกอนการลงสนามสอบO-NETทางทรปลก

ปญญาจงไดจดท�าหนงสอชด“ตวเขมO-NETGet100”สดยอดคมอเตรยมตวสอบO-NETส�าหรบนองๆในระดบ

ม.3และม.6ทเจาะลกเนอหาทมกออกสอบบอยๆโดยเหลารนพเซยนสนามในวงการตวรวบรวมแนวขอสอบตงแต

อดตจนถงปจจบนพรอมเฉลยอยางละเอยดและค�าอธบายทเขาใจงายจ�าไดแมนย�าน�านองๆGet100ท�าคะแนน

สเปาหมายในอนาคต

หนงสอชด“ตวเขมO-NETGet100”โดยทรปลกปญญาประกอบดวยวชาคณตศาสตรภาษาไทย

สงคมศกษาภาษาองกฤษทรวบรวมเนอหาระดบมธยมศกษาตอนตนและมธยมศกษาตอนปลายและวชาฟสกส

เคม ชววทยา ของระดบมธยมศกษาตอนปลาย รวมทงหมด11 เลม โดยสามารถศกษาเนอหาหรอท�าขอสอบ

ออนไลนเพมเตมไดจากwww.trueplookpanya.comทมlinkใหในทายบท

สามารถดาวนโหลดหนงสอไดฟร ผานเวบไซตทรปลกปญญา ท www.trueplookpanya.com/onet

ทมงานทรปลกปญญา

สารบญ คยกอนอาน

เรอง หนา

คยกอนอาน 5

บทท1เซต:Set 6

บทท2จ�านวนจรง 25

บทท3การใหเหตผล 40

บทท4เลยยกก�าลง 44

บทท5ฟงกชน 47

บทท6อตราสวนตรโกณมต 59

บทท7ล�าดบและอนกรม 69

บทท8ความนาจะเปน 81

บทท9สถต 98

สารบญ คยกอนอาน

หนงสอเลมนจดท�าขนส�าหรบนองๆทก�าลงศกษาอยในระดบมธยมปลาย(ม.4-ม.6)ทตองการจะเตรยม

ความพรอมในการสอบO-NETวชาคณตศาสตรซงเปนวชาทนองๆหลายคนคดวายากแตในความเปนจรงแลว

วชาคณตศาสตรนนเปน1ในวชาทนองๆสามารถเกบคะแนนไดมากทสดโดยในปการศกษาหนงๆนนมคนจ�านวน

มากทสามารถท�าขอสอบวชานได100คะแนนเตมหมายความวามนไมใชวชาทยากเลยส�าหรบนองๆทมความ

ตงใจและหมนท�าแบบฝกหดทบทวนอยเสมอ

ในหนงสอเลมนไดรวบรวมเนอหาทมกจะออกขอสอบO-NETพรอมทงแบบฝกหดและเทคนคตางๆท

จะชวยใหนองๆสามารถท�าขอสอบไดเรวยงขนและมประสทธภาพมากยงขนพๆ หวงเปนอยางยงวาหนงสอเลม

นจะชวยใหนองๆมความเขาใจและสามารถท�าขอสอบO-NETวชาคณตศาสตรไดดวยความมนใจยงขน

ทมงานทรปลกปญญา

6 ตวเขม O-NET Get 100 by TruePlookpanya

บทท1

เซต : Set

ส�าหรบเนอหาในเรองเซต นองๆ หลายคนจะไดเรยนเปนเรองแรกหลงจากทนองๆ ขนม.ปลาย เนองจากเปนเรองทเปน

พนฐานส�าหรบความเขาใจในการแปลงภาษาเขยนเปนสญลกษณทางคณตศาสตรทนองๆจะตองเจอในเรองตอๆไปอกทงยงเปนการ

ฝกใหนองๆเขยนชวงของค�าตอบโดยทนองๆสามารถเขยนใหอยในรปเซตจ�ากดหรอเซตอนนตซงสามารถเขาใจไดโดยสากลมากกวา

การเขยนเปนภาษาเขยนส�าหรบการท�าขอสอบเรองเซตนนใหนองๆท�าความเขาใจในเรองของนยามของค�าวาสบเซตเซตวางและ

พาวเวอรเซตเนองจากเปนจดทสามารถสรางความสบสนใหเราไดมาก

เซตคออนยาม(กลมของสงตางๆในวงเลบปกกาและคนดวยเครองหมายจลภาค)ใชสญลกษณวา แทนค�าวาเปน

สมาชกของ

ชนดของเซต

1.เซตจ�ากดเชน{1,2,3,…,100}

2.เซตอนนตเชน[0,1]หรอ{1,2,3,...}

3.เซตวาง เปนเซตทไมมสมาชกอยเลย

4.เอกภพสมพทธ( )คอเซตทประกอบดวยสมาชกทงหมดของสงทเราตองการ

การเขยนเซต

การเขยนเซตจะแบงเปน2ชนดคอ

1.เขยนแบบแจกแจงสมาชก

2.เขยนแบบบอกเงอนไข

1)วธแจกแจงสมาชก(Tubularform)มหลกการเขยนดงน

1.เขยนสมาชกทงหมดในวงเลบปกกา

2.สมาชกแตละตวคนดวยเครองหมายจลภาค(,)

3.สมาชกทซ�ากนใหเขยนเพยงตวเดยว

4.ในกรณทจ�านวนสมาชกมากๆใหเขยนสมาชกอยางนอย3ตวแรกแลวใชจด3จด(Trippledot)

แลวจงเขยนสมาชกตวสดทาย

2)วธบอกเงอนไขของสมาชก(Setbuilderform)หลกการเขยนมดงน

1.เขยนเซตดวยวงเลบปกกา

2.ก�าหนดตวแปรแทนสมาชกทงหมดตามดวยเครองหมาย|(|อานวา“โดยท”)แลวตามดวยเงอนไขของตวแปรนน

ดงรปแบบ{x|เงอนไขของx}

เปนเซตจ�ากด

และ

7ตวเขม O-NET Get 100 by TruePlookpanya

ตวอยางเชน

เซต แบบแจกแจงสมาชก แบบบอกเงอนไข

Aเปนเซตของจ�านวนเตมบวกทมคา

นอยกวา5

A={1,2,3,4} A={x|xเปนจ�านวนเตมบวกทมคา

นอยกวา5}

Bเซตของวนในหนงสปดาห B={วนอาทตย,วนจนทร,วน

องคาร,วนพธ,วนพฤหสบด,วน

ศกร,วนเสาร}

B={x|xเปนชอวนในหนงสปดาห}

Cเปนเซตของตวอกษรในภาษา

องกฤษ

C={a,b,c,...,z} C={y|yเปนตวอกษรในภาษา

องกฤษ}

การกระท�าของเซต

1.การยเนยน( )คอการรวมกนของสมาชกเชนA Bจะไดวา

2.การอนเตอรเซคชน( )คอการซ�ากนของสมาชกเชนA Bจะไดวา

A B

A B


3.ผลตางเซต(-)คอเอาแคเซตใดเซตหนงไมเอาเซตทซ�ากนเชนA-Bจะไดวา

4.การคอมพลเมนท(A’,Ac)คอไมตองการเซตนนๆเชนA’คอไมเอาเซตA

A B

ตวอยาง. 1.ถา ={0,1,2,3,4,5,6,7,8}เซตA={0,2,4,6,8}เซตB={1,3,5,7}เซตC={3,4,5,6}

จงเขยนเซตตอไปน ในรปแบบแจกแจงสมาชก

1.AUB=

………………………………………………………………………………………………………………………….

2.A B=

………………………………………………………………………………………………………………………….

3.A-B=

………………………………………………………………………………………………………………………….

4.C’ B=

………………………………………………………………………………………………………………………….

BA


จงแรเงาแผนภาพทก�าหนดให

1.B’ 2.A’UB 3.A’ B’

ตวอยาง 3

ตวอยาง 2

A

A

B

B

ในแผนภาพขางตนก�าหนดให ,A,BและA Bเปนเซตทมจ�านวนสมาชก100,40,25และ6ตามล�าดบ

จงเตมจ�านวนสมาชกของเซตตางๆ ลงในตารางตอไปน

เซต A–B B–A AUB A’ B’ (AUB)’

จ�านวนสมาชก


สบเซต

สบเซตคอเซตยอยเชน กตอเมอสมาชกทกตวของAเปนสมาชกของBเชน

A={1,2,3}

สบเซตของAคอ{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3},

ดงนนจ�านวนสบเซตของA=

เปนสบเซตทเลกทสดของทกเซตและ

เซตทกเซตเปนสบเซตทใหญทสดของตวเอง

ตวอยาง 4 ใหA={2,{4,5},4}จงพจารณาวาขอความใดถกตอง

……………………{4,5} A

……………………{4,5} A

……………………{5} A

……………………{5} A

พาวเวอรเซตหรอเซตก�าลง

คอเซตทรวมสบเซตของเซตทงหมด

P(A)={สบเซตทงหมดของA}

เชนA={1,2,3}ดงนนP(A)={{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}, }

ขอสงเกต

1.จ�านวนสมาชกของP(A)=n(P(A))=

2.เมอAเปนเซตจ�ากดและn(A)=Kจะได

2.1n(P(A))=

2.2n(P(P(A)))=

2.3n(P(P(P(A))))=

ดงนนจ�านวนสมาชกทต�าทสดของพาวเวอรเซตคอP(A)= =1=


คณสมบตของการ Operation

1. กฎการยบ

A A=A AUA=A

2. กฎการสลบท

A B=B A AUB=BUA

3. กฎการเปลยนหม

(A B) C=A (B C) (AUB)UC=AU(BUC)

4. กฎการแจกแจง

A (BUC)=(A B)U(A C)

AU(B C)=(AUB) (AUC)

5. กฎเดอรมอแกน

(A B)’=A’UB’ (AUB)’=A’ B’

A–B=A–(A B)=A B’=B’–A’

ตวอยาง 5 ก�าหนดใหA={ }จงพจารณาวาขอใดถกตอง

……………………{{ }} P(A)

……………………{0} P(A)

……………………{{0,1}} P(A)

……………………{{0,1}} P(A)

สตรลดทอน

(A’)’=A =

= A–B=A B’

A = A =A

A =A A =

A (AUB)=A AU(A B)=A

A (A’UB)=A B AU(A’ B)=AUB

(AUB) (AUB’)=A (A B)U(A B’)=A

จ�านวนสมาชกของเซต

สตรจ�านวนสมาชก

•n(AUB)=n(A)+n(B)–n(A B)

•n(AUBUC)=n(A)+n(B)+n(C)–n(A B)-n(A C)–n(B C)+n(A B C)

•n(A’)=n( )–n(A)

•n(A-B)=n(A)–n(A B)

จะได เซตทเลกกวา

U จะได เซตทใหญกวา


ตวอยาง 5 ในการสอบของนกเรยนชนประถมศกษากลมหนงพบวามผสอบผานวชาตางๆดงน

คณตศาสตร 36 คน

สงคมศกษา 50 คน

ภาษาไทย 44 คน

คณตศาสตรและสงคมศกษา 15 คน

ภาษาไทยและสงคมศกษา 12 คน

คณตศาสตรและภาษาไทย 7 คน

ทงสามวชา 5 คน

จ�านวนผสอบผานอยางนอยหนงวชามกคน(o-net53)

วธท�า

ใหA=วชาคณตศาสตรB=วชาสงคมศกษาC=วชาภาษาไทย

A B=คณตศาสตรและสงคมศกษา B C=ภาษาไทยและสงคมศกษา

A C=คณตศาสตรและภาษาไทย A B C=ทงสามวชา

AUBUC=สอบผานอยางนอยหนงวชา

n(AUBUC)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A B)-n(B C)+n(A B C)

n(AUBUC)=36+50+44-15-12-7+5=101คน

ตวอยาง 6 ในการลงพนทของชมชนแหงหนงมประชากร200คนพบวา

120คนชอบอานหนงสอ

110คนชอบดภาพยนตร

130คนชอบเลนกฬา

60คนชอบอานหนงสอและชอบดภาพยนตร

70คนชอบอานหนงสอและชอบเลนกฬา

50คนชอบดภาพยนตรและชอบเลนกฬา

ประชากรทชอบเลนกฬาอยางเดยวมกคน(O-net54)


1.ถาA={ ,0,1,{0},{0,1}}และP(A)เปนพาวเวอรเซตของAแลวเซตP(A)–Aมสมาชกกตว(Ent’41)

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2.ถาA={1,2,3,4,…}และB={{1,2},{3,4,5},6,7,8,…}แลว(A-B)U(B-A)มสมาชกกตว(Ent’42)

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

แผนภาพเวนส – ออยเลอร

AUB A B

A–B A’

A B A B

A

BA

โจทยเรองเซต


3.ใหAและBเปนเซตซงn(A)=5,n(B)=4,n(A B)=2ถาC=(A-B)U(B-A)แลวn(P(C))เทากบเทาไหร(O-net54)

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4.ใหเซตA,B,Cเปนเซตทก�าหนดใหดงรปขอใดตอไปนถกตอง

5.ก�าหนดใหA,B,CเปนเซตใดๆซงA Bพจารณาขอความตอไปน

ก.(C-A) (C-B) ข.( C) ( B)

ขอใดตอไปนถกตอง(O-net54)

1.กถกขถก 2.กถกขผด

3.กผดขถก 4.กผดขผด

6.ก�าหนดใหเอกภพสมพทธคอเซตของจ�านวนเตม

ถา A={x||x-3| 2}

B={x|(1+x)(3–x) 0}

แลวA B’คอขอใดตอไปน

1.{2} 2.{2,3} 3.{3,4} 4.{4}

1.A-(B C)={1,2} 2.(AUB)-C={1,2,7}

3.A (BUC)={3,4,6} 4.(C-B) (A-B)={6}

A B

C


7.ถาAและBเปนเซตทมจ�านวนสมาชกเทากนโดยn(A B)=2และn(AUB)=10แลวจ�านวนสมาชกของB–A

เทากบเทาใด

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

8.พจารณาการอางเหตผลตอไปน

เหต 1.ไมมคนเกงคนใดเปนคนสอบตก

2.มคนสอบตกทเปนคนขยน

3.มคนเกงท ไมเปนคนขยน

ผล ……………………………………………………………

ในขอใดตอไปนเปนการสรปผลจากเหตขางตนทเปนไปอยางสมเหตสมผล

1.มคนเกงทเปนคนขยน 2.มคนขยนทเปนคนสอบตก

3.มคนขยนทเปนคนเกง 4.มคนสอบตกทเปนคนเกง


ก.เหต 1.ถาฝนไมตกแลวนองเอไปโรงเรยน

2.ฝนตก

ผล นองเอไมไปโรงเรยน

ข.เหต 1.แสนแสบขยนเรยนหรอแสนแสบสอบชงทนเรยนตอตางประเทศได

2.แสนแสบไมขยนเรยน

ผลแสนแสบสอบชงทนเรยนตอตางประเทศได

ขอใดตอไปนถกตอง

1.กสมเหตสมผลและขสมเหตสมผล

2.กสมเหตสมผลและขไมสมเหตสมผล

3.กไมสมเหตสมผลและขสมเหตสมผล

4.กไมสมเหตสมผลและขไมสมเหตสมผล


ตวอยางท 1

1.ถา ={0,1,2,3,4,5,6,7,8}เซตA={0,2,4,6,8},B={1,3,5,7},C={3,4,5,6}จงเขยนเซตตอไปนในรปแบบ

แจกแจงสมาชก

1.AUB=การรวมกนของเซตAและเซตB

จะไดวาAUB={0,1,2,3,4,5,6,7,8}

2.A B=เอาสวนทเหมอนกนหรอซ�ากนของเซตAและเซตB

จะไดวาA B={}หรอ

3.A-B=เอาสวนทอยในเซตAแลวไมอยในเซตB

จะไดวาA-B={0,2,4,6,8}

4.C’ B=ไมเอาสวนของสมาชกเซตCคอ{0,1,2,7,8}และมาซ�ากบเซตBคอ{1,3,5,7}

จะไดวาC’ B={1,7}


จงแรเงาแผนภาพทก�าหนดให

1.B’ 2.A’UB 3.A’ B’

เฉลยแบบฝกหด

A B


ในแผนภาพขางตนก�าหนดให ,A,BและA Bเปนเซตทมจ�านวนสมาชก100,40,25และ6ตามล�าดบ

จงเตมจ�านวนสมาชกของเซตตางๆลงในตารางตอไปน

• หาn(A-B)จากn( ) =100

n(A) =40

n(B) =25

n(A B)=6

จะได n(A-B) =n(A)–n(A B)

=40-6

=34

• หาn(B–A) =n(B)–n(A B)

=25–6

=19

• หาn(AUB) =n(A)+n(B)-n(A B)

=40+25–6

=59

• หาn(A’) =n( )–n(A)

=100–40

=60


A

B

เซต A–B B–A AUB A’ B’ (AUB)’

จ�านวนสมาชก 34 19 59 60 75 41



ใหA={2,{4,5},4}จงพจารณาวาขอความใดถกตอง

• หาn(B’) =n( )–n(B)

=100-25

=75

• หา(AUB)’ =n( )–n(AUB)

=100-59

=41

สบเซตของเซตAไดแก{2},{{4,5}},{4},{2,{4,5}},{2,4},{{4,5},4},{2,{4,5},4}, มทงหมด8ตว

• ขอก.{4,5} Aผดถาจะเขยน{4,5}เปนสบเซตของAจะตองเขยนวา{{4,5}} Aจงจะถกหรอใชเทคนคคอตด

ปกกา1คแลวเปลยนจากสบเซตเปนสมาชกของAจะไดวา{{4,5}} A→{4,5} Aและ4,5กไมเปนสมาชก

ของเซตAดงนนจงผด

• ขอข.{4,5} Aเปนค�าตอบทถกตอง

• ขอค.{5} AผดเพราะเซตAมสมาชก{4,5}ไมม{5}เปนสมาชก

• ของ.{5} AผดเพราะเซตAมสบเซต{{4,5}}ไมม{5}เปนสบเซต


ก�าหนดใหA={ }จงพจารณาวาขอใดถกตอง

ก.{{ }} P(A)

ข.{0} P(A)

ค.{{0,1}} P(A)

ง.{{0,1}} P(A)

ตดปกกาออก1คจะสามารถเปลยนจาก

สบเซตใหเปนสมาชกของได →

เทคนค(ตดปกเตมขา)

ตดปกกาออก1คจะสามารถตดPออกได1ตว

เทคนค(ตดปกตดP)

ก.{4,5} A

ข.{4,5} A

ค.{5} A

ง.{5} A


• ขอก.{{ }} P(A) เปนค�าตอบทถกตองเพราะถาเราใชเทคนคตดปกตดPเราจะไดวา{ } Aซงเปนค�าตอบทถกตอง

• ขอข.{0} P(A)เปนค�าตอบทถกตองเพราะถาเราใชเทคนคตดปกตดPเราจะไดวา0 Aซงเปนค�าตอบทถกตอง

• ขอค.{{0,1}} P(A)เปนค�าตอบทถกตองเพราะถาเราใชเทคนคตดปกตดPเราจะไดวา{0,1} Aซงเปนค�าตอบท

ถกตอง

• ของ.{{0,1}} P(A)เปนค�าตอบทถกตองเพราะถาใชเทคนคตดปกเตมขาจะไดวา{0,1} P(A)และเราสามารถใช

เทคนคตดปกตดPเราจะไดวา0,1 Aซงเปนค�าตอบทถกตอง


ในการลงพนทของชมชนแหงหนงมประชากร200คนพบวา

ใหn(A)=120คนชอบอานหนงสอ

ใหn(B)=110คนชอบดภาพยนตร

ใหn(C)=130คนชอบเลนกฬา

ใหn(A B)=60คนชอบอานหนงสอและชอบดภาพยนตร

ใหn(A C)=70คนชอบอานหนงสอและชอบเลนกฬา

ใหn(B C)=50คนชอบดภาพยนตรและชอบเลนกฬา

และประชากรทชอบเลนกฬาอยางเดยวมกคน(O-net54)

จากสตร

n(AUBUC)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A B)-n(A C)-n(B C)+n(A B C)

โดยใหn(A B C)=Xแทนคาจะได

200=120+110+130-60-70–50+x(เรายงไมรสวนตรงกลาง)

จะไดX=n(A B C)=20

พอเรารตรงกลางจะสามารถหกออก

จากn(A C)=70–X=50n(B C)=50–X=30

เรากจะรสมาชกทแทจรงของขอนคอ

เราจะสามารถหาประชากรอยางเดยวได

โดยใหประชากรทชอบเลนกฬาอยางเดยว=Y

คอn(C)=n(A B C)+n(A C)+n(B C)+Y

130=20+50+30+Y

จะไดY=ประชากรทชอบเลนกฬาอยางเดยวคอ30คน

ก.{4,5} A

ข.{4,5} A

ค.{5} A

ง.{5} A

A B

C


โจทยเรองเซต

1. ถาA={ 0,1,{0},{0,1}}และP(A)เปนพาวเวอรเซตของAแลวเซตP(A)–Aมสมาชกกตว(Ent’41)

จากA={ 0,1,{0},{0,1}}จะท�าใหเรารn(A)=5

จะไดP(A)มจ�านวนสมาชก= = =32สมาชกและเมอแจกแจงสมาชก32ตวในP(A)จะม3ตวทเปนสมาชก

ของAดวยคอ ,{0},{0,1}

ดงนนจ�านวนสมาชกของP(A)–A=32–3=29สมาชก

2. ถาA={1,2,3,4,…}และB={{1,2},{3,4,5},6,7,8,…}แลว(A-B)U(B-A)มสมาชกกตว(Ent’42)

จากA={1,2,3,4,…}และB={{1,2},{3,4,5},6,7,8,…}

จะไดA–B={1,2,3,4,5}และB–A={{1,2},{3,4,5}}

และไดสมาชกทงA–B=5สมาชกและB–A=2สมาชก

เมอน�ามารวมกนหรอยเนยนกนจะไดวา(A-B)U(B-A)=5+2=7สมาชก

3. ใหAและBเปนเซตซงn(A)=5,n(B)=4,n(A B)=2ถาC=(A-B)U(B-A)แลวn(P(C))เทากบเทาไหร

(O-net54)

จากn(A B)=2

จ�านวนn(A)=5–2=3

แลวn(B)=4–2=2

แลวเซตC=(A-B)U(B-A)=3+2=5

4. ใหเซตA,B,Cเปนเซตทก�าหนดใหดงรปขอใดตอไปนถกตอง

1.A-(B C)={1,2}

2.(AUB)–C={1,2,7}

3.A (BUC)={3,4,6}

4.(C–B) (A–B)={6}

พจารณาตวเลอก

1.จะไดAคอเลข1,2,3,4,6และB Cคอเลข6,5

ดงนนA-(B C)={1,2,3,4}ขอ1.จงผด

2.จะไดAUBคอเลข1,2,3,4,5,6,7และCคอเลข4,5,6,8,9

ดงนน(AUB)–C={1,2,3,7}ขอ2.จงผด

3.จะไดAคอเลข1,2,3,4,6และBUCคอเลข3,4,5,6,7,8,9

ดงนนA (BUC)={3,4,6}ขอ3.จงถกตอง

4.จะไดC–Bคอเลข4,8,9และA–Bคอเลข1,2,4

ดงนน(C–B) (A–B)={4}ขอ4.จงผด

หาจ�านวนสมาชกของพาวเวอรเซตn(P(C))= = =32สมาชก

A

A B

C

B


หาจ�านวนสมาชกของพาวเวอรเซตn(P(C))= = =32สมาชก

5. ก�าหนดใหA,B,CเปนเซตใดๆซงA Bพจารณาขอความตอไปน

ก.(C-A) (C-B)

ข.( C) ( B)

ขอใดตอไปนถกตอง(O-net54)

พจารณาก.(C-A) (C-B)

จากภาพC–A=6,7และC–B=7

ก.(C-A) (C-B)จงผด

พจารณาข.( C) ( B)

=A’คอไมเอาA

จากภาพจะได( C)=6,7และ( B)=3,6

ข.( C) ( B)จงผด

ตอบขอ4.กผดขผด

6. ก�าหนดใหเอกภพสมพทธคอเซตของจ�านวนเตม

ถา A={x||x-3| 2}

B={x|(1+x)(3–x) 0}

แลวA B’คอขอใดตอไปน

พจารณาAดงน

|x-3| 2 x∈Ι∈ Ι

-2 x–3 2 x∈Ι∈ Ι

1 x 5 x∈Ι∈ Ι

จะได A={2,3,4}

พจารณาBดงน

(1+x)(3–x) 0

(x+1)(x-3) 0

+ - +

-1 3

(x -1หรอx 3)และx I

จะได B’={0,1,2}

พบวาA B’={2}

A B’={2}ตอบขอ1.

A B

C

x -1 x 3


7.ถาAและBเปนเซตทมจ�านวนสมาชกเทากนโดยn(A B)=2และn(AUB)=10

แลวจ�านวนสมาชกของB–Aเทากบเทาใด

เราจะสามารถเขยนแผนภาพเวนส–ออยเลอรไดดงน

จากโจทย1.AและBเปนเซตทมจ�านวนสมาชกเทากน

+ = +

จะได = ….(1)

2.n(A B)=2

จะได =2 ….(2)

3.n(AUB)=10

จะได + + =10 ….(3)

จากโจทยตองการหาจ�านวนสมาชกของB–Aคอ

น�ามาแทนคาจากสมการจะไดวา + +2=10

=4ตอบขอ4.

1

8.เหต1.ไมมคนเกงคนใดเปนคนสอบตก

2.มคนสอบตกทเปนคนขยน

3.มคนเกงทไมเปนคนขยน

ผล ……………………………………………………………

ในขอใดตอไปนเปนการสรปผลจากเหตขางตนทเปนไปอยางสมเหตสมผล

1.มคนเกงทเปนคนขยน 2.มคนขยนทเปนคนสอบตก

3.มคนขยนทเปนคนเกง 4.มคนสอบตกทเปนคนเกง

จากโจทยสามารถเขยนแผนภาพใหสอดคลองกบเหตได2วธคอ

1.

B

คนเกง คนขยน คนสอบตก

A


2.

จากพนทแรเงาทงแบบท1และแบบท2เปนสวนทมขอความเปน“มคนขยนทเปนคนสอบตก”ดงนนผลทมขอความ

“มคนขยนทเปนคนสอบตก”เปนการสรปผลจากเหตทเปนไปไดอยางสมเหตสมผล

ตอบขอ2.


ก.เหต 1.ถาฝนไมตกแลวนองเอไปโรงเรยน

2.ฝนตก

ผล นองเอไมไปโรงเรยน

ข.เหต 1.แสนแสบขยนเรยนหรอแสนแสบสอบชงทนเรยนตอตางประเทศได

2.แสนแสบไมขยนเรยน

ผล แสนแสบสอบชงทนเรยนตอตางประเทศได

ขอใดตอไปนถกตอง

พจารณาก.ตดชอนองเอออกไปจะไดวาถาฝนไมตกแลวไปโรงเรยน

จะไดแผนภาพโดยวงในคอฝนไมตกวงนอกคอไปโรงเรยนคอนองเอ

เมอเราสงเกตจากแผนภาพจะเหนไดวาขอนไมสามารถสรปไดวานองเอจะไปหรอไมไปโรงเรยนจงไม

ถกตองไมสมเหตสมผล

พจารณาข.ตดชอแสนแสบออกไปจะไดวาขยนเรยนหรอสอบชงทนเรยนตอตางประเทศได

จากค�าวาหรอนนหมายถงU(ยเนยน)จะไดแผนภาพโดย

วงซายคอขยน

วงขวาคอชงทน

คนเกง

ไปโรงเรยน

ไปโรงเรยน

ฝนตก ฝนตก

คนขยน คนสอบตก


ถาไมขยนเรยนกจะสามารถตดภาพท1และ2ไดดงนนผลคอแสนแสบสอบชงทนเรยนตอตางประเทศได

จงถกตองและสมเหตสมผล

ขอทถกคอขอ3.ก.ไมสมเหตสมผลและข.สมเหตสมผล

นองๆสามารถศกษาเพมเตมไดท

Tag : สอนศาสตร,คณตศาสตร,เซต,สตรเตรยมสอบ

•สอนศาสตรคณตศาสตรม.6:เซตตรรกศาสตร

ระบบจ�านวนจรง

http://www.trueplookpanya.com/book/m6/

onet-math/ch1-1

•คณตศาสตรม.ปลาย-เซตตอนท1


onet-math/ch1-2



onet-math/ch1-3



onet-math/ch1-4

•สรปสตรคณตศาสตรส�าหรบเตรยมสอบ-เรองเซต


onet-math/ch1-5

ขยน ขยน ขยนชงทน ชงทน ชงทน


บทท2

จ�ำนวนจรง

ระบบจำ�นวนจรง

ในสวนของจำ�นวนจรง เปนเรองทกำ�หนดขอบเขตทงหมดของขอสอบทนองๆ จะเจอในก�รทำ�ขอสอบ O-NET เนองจ�ก

ขอสอบ O-NET นน จะไมมก�รนำ�เอ�จำ�นวนจนตภ�พม�ใชในก�รออกขอสอบ จำ�นวนจรงจะมคว�มสมพนธกบเรองเซต โดย

นย�มของจำ�นวนประเภทต�งๆทนกคณตศ�สตรไดทำ�ก�รจำ�แนกไว และไมว�จะเปนจำ�นวนตรรกยะจำ�นวนอตรรกยะจำ�นวนเตม

จำ�นวนนบ อกทงเรองจำ�นวนจรง จะเปนเรองทมคว�มสำ�คญอย�งยงกบเรองคว�มสมพนธและฟงกชน ซงนองๆ จะไดเจอคำ�ว�

เซตของจำ�นวนจรงหรอเซตของจำ�นวนเตมบวกซงหม�ยถงก�รกำ�หนดขอบเขตของคำ�ตอบใหกบนองๆนนเอง

ลกษณะจำ�นวนจรง

1. จำ�นวนตรรกยะ (Rational number)คอจำ�นวนทส�ม�รถเขยนอยในรป

โดยท ไดแกจำ�นวนเตมทศนยมซำ�

เศษสวนและsquareroot(√)ทห�ค�ได 2. จำ�นวนอตรรกยะ (Irrational number) คอจำ�นวนทไมส�ม�รถเขยนอยในรป

โดยท ซงจำ�นวนอตรรกยะ

ส�ม�รถเขยนอยในรปทศนยมไมซำ�(ทศนยมไมรจบ)และส�ม�รถประม�ณค�ไดค�TTและsquareroot(√)ทห�ค� ไมไดเชน√2, √3เปนตน

3. จำ�นวนเตม (Integer number) ใช แทนเซตของจำ�นวนเตมแบงออกได3ประเภท

3.1. จำ�นวนเตมลบ(I-)หรอI

-={…,-3,-2,-1}

3.2. จำ�นวนเตมศนย(I0)หรอI

0={0}

3.3. จำ�นวนเตมบวก(I+)หรอI

+={1,2,3,…}

4. จำ�นวนนบ (Natural number) คอ 1, 2, 3, 4, 5,…ซงมนกเปนพวกเดยวกบจำ�นวนเตมบวกนนเอง เพยงแตจะใช

สญลกษณทแตกต�งกนคอจำ�นวนนบสญลกษณกคอN

แผนผงแสดงคว�มสมพนธของระบบจำ�นวนจรง

จำ�นวนจรง(RealNumbers)

จำ�นวนตรรยกะ

(RationalNumbers)

จำ�นวนเตม

(IntegerNumbers)

จำ�นวนเตมลบ

(NegativeIntegersNumber)

จำ�นวนเตมบวก

(PositiveIntegerNumbers)

ศนย

(Zero)

เศษสวนหรอทศนยม

(Fraction&DecimalNumbers)

จำ�นวนอตรรยกะ

(IrrationalNumbers)


แบบฝกหดท 1

จงพจ�รณ�ว�จำ�นวนตอไปนเปนจำ�นวนชนดใด

จำ�นวน จำ�นวนนบ จำ�นวนเตม ตรรกยะ อตรรกยะ จำ�นวนจรง

0

2.999…

3+ 4

จงพจ�รณ�จำ�นวนในแตละขอถ�เปนจรงใหเขยนเครองหม�ย ถ�เปนเทจใหเขยนเครองหม�ย

1. 1 + 3 เปนจำ�นวนตรรกยะ……………………………………………………………………………………………

2. 5.9 เปนจำ�นวนค………………………………………………………………………………………………………

3. มจำ�นวนเตมทม�กทสดทนอยกว� 1…………………………………………………………………………………

4. มจำ�นวนเตมบวกทนอยทสด…………………………………………………………………………………………

5. มจำ�นวนตรรกยะม�กทสดทนอยกว� 3………………………………………………………………………………

6. มจำ�นวนอตรรกยะทนอยทสดทม�กกว� 0……………………………………………………………………………

สมบตของจำ�นวนจรง

กำ�หนดa,b,cเปนจำ�นวนจรงใดๆ(a,b,c∈ ΙR)

คณสมบต ก�รบวก ก�รคณ

ปด a+b∈ ΙR ab∈ ΙR

ก�รสลบท abba +=+ ab=ba

ก�รเปลยนกลม (a+b)+c=a+(b+c) (ab)c=a(bc)

ก�รมเอกลกษณมจำ�นวนจรง0ซง

0aaa0 +==+มจำ�นวนจรง1ซง

1(a)=a=(a)1

ก�รมอนเวอรส

สำ�หรบจำ�นวนจรงaจะม

จำ�นวนจรง-aซง

a+(-a)=0=(-a)+a

สำ�หรบจำ�นวนจรงa 0จะม

จำ�นวนจรงa-1ซง

a(a-1)=1=(a

-1)a

ก�รแจกแจงa(b+c)=ab+acและ

(a+b)c=ac+bc



จงพจ�รณ�ว�เซตตอไปน มสมบตของก�รดำ�เนนก�รต�มต�ร�งหรอไม

เซต

สมบตปดสำ�หรบ

ก�รบวก ก�รคณ

เซตของจำ�นวนค

เซตของจำ�นวนคบวก

เซตของจำ�นวนตรรกยะ

เซตของจำ�นวนอตรรกยะ

กำ�หนดA={-1,0,1}ขอคว�มใดตอไปนถกหรอผด

1. เซตA มสมบตปดของก�รบวก ………………………………………………….

2. เซตA มสมบตปดของก�รคณ ………………………………………………….

3. เซตA มสมบตก�รแจกแจง ………………………………………………….

4. มเอกลกษณก�รบวกในเซตA ………………………………………………….

5. มเอกลกษณก�รคณในเซตA ………………………………………………….

6. สม�ชกทกตวในเซตA มอนเวอรสก�รบวก ………………………………………………….

7. สม�ชกทกตวในเซตA มอนเวอรสก�รคณ ………………………………………………….

ก�รเท�กนในระบบจำ�นวนจรง

สมบตของก�รเท�กนในระบบจำ�นวนจรงมดงน

1. สมบตก�รสะทอน

2. สมบตสมม�ตร

ถ� แลว

3. สมบตก�รถ�ยทอด

ถ� และ แลว

4. สมบตก�รบวกดวยจำ�นวนทเท�กน

ถ� แลว

5. สมบตก�รคณดวยจำ�นวนทเท�กน

ถ� และ แลว


ก�รแกสมก�รพหน�มตวแปรเดยว

ก�รแกสมก�รพหน�มเร�ส�ม�รถนำ�สมบตก�รเท�กนในระบบจำ�นวนจรงม�ใชและใชก�รแกสมก�รทเร�เคยเรยนม�

1. ก�รแยกตวประกอบ(factor)

2. ห�จ�กสตร

a2ac4bbx

2 −±−=

3. ทฤษฏบทเศษเหลอ

3.1. ทฤษฏบทเศษเหลอกล�วว�“ถ�ห�รพหน�ม ( )xP ดวย ax − เมอa เปนจำ�นวนจรงแลวเศษจ�กก�รห�รจะ

เท�กบ ( )aP ”

3.2. ทฤษฏตวประกอบ(factortheorem)กำ�หนดพหน�ม ( )xP และa เปนจำ�นวนจรงใดๆแลว

3.2.1 ถ� ax − เปนตวประกอบของ ( )xP แลว

3.2.2 ถ� แลว จะเปนตวประกอบของ ( )xP

3.2.3 พอไดaจ�กขอ3.2.2กนำ�ไปห�รสงเคร�ะห


1.จงห�คำ�ตอบของสมก�รตอไปน

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2.ถ�คำ�ตอบของสมก�ร คอ และเมอnเปนจำ�นวนจรงคำ�ตอบอกคำ�ตอบหนงของสมก�รน

คอจำ�นวนใด

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3.ถ�สมก�ร มคำ�ตอบทเปนจำ�นวนจรง1คำ�ตอบค�ของdคอจำ�นวนใด

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………


ก�รไมเท�กนในระบบจำ�นวนจรง

สมบตของก�รไมเท�กนในระบบจำ�นวนจรงมดงน

1. ถ�a,bเปนจำ�นวนจรงใดๆจะไดว�

1.1. กตอเมอ



2. สมบตก�รบวกและก�รคณดวยจำ�นวนทไมเท�กนดงน

2.1. ถ� และ

แลว

หรอ

2.2. ถ� และ ;

แลว

ถ�

ถ�

3. ใหa,b,c,d R

3.1. ถ�a<bและb<cแลวa<c

3.2. ถ�0<a<bแลว

3.3. ถ�a<b<0แลว

3.4. ถ�a<bและc<dแลวa+c<b+d

3.5. ถ�a<bและc<dแลวa–d<b–c

3.6. ถ�0<a<bและ0<c<dแลว0<ac<bd

3.7. ถ�a<b<0และc<b<0แลวac>bd>0

3.8. ถ�0<a<bและ0<c<dแลว

3.9. ถ�a<b<0และc<b<0แลว


จงพจ�รณ�ว�ขอใดถกตองหรอขอใดผด

1. ถ�a<bแลวจะไดa2 <b

2 ……………………………………………………………………………………………

2. ถ�a<b<0แลวจะไดว�ab<b2 …………………………………………………………………………………

3. ถ�x+y>0แลวx>0แลวy>0…………………………………………………………………………………

4. ถ�0<a<bและ0<c<dแลว0<ac<bd………………………………………………………………………

5. ถ�x<yและa<bแลวx-a<y-b………………………………………………………………………………

6. ถ�x<yและa<bแลวx–b<y–a……………………………………………………………………………


ก�รแกอสมก�ร

1. จดรปอสมก�รใหข�งหนงเปนตวแปรอกข�งหนงเปนศนย

***ระวง!!!! ก�รคณและก�รห�รจำ�นวนจรงลบตองเปลยนเครองหม�ยเสมอ

2. แยกตวประกอบ

3. พจ�รณ�ต�มชวง

3.1 ห�จดxททำ�ให(x–a1)(x–a

2)(x–a

3)…(x–a

n)=0จะไดx=a

1,a

2,a

3,…,a

n

3.2 นำ�ค�a1,a

2,a

3,…,a

nกำ�หนดลงบนเสนจำ�นวนซงค�เหล�นจะแบงเสนจำ�นวนเปนชวงๆ

(ใหเร�เรยงจ�กนอยไปห�ม�กบนเสนจำ�นวน)

3.3. ใสเครองหม�ย+และ-สลบกนโดยเรมทบวกกอนท�งด�นชองขว�สด

3.4. ถ�เปนเครองหม�ย เร�จะเลอกชวงทลบถ�เปนเครองหม�ย

เร�จะเลอกชวงทบวก


1. จงห�ชวงคำ�ตอบคำ�ตอบของอสมก�ร

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. กำ�หนดใหS= และP= ถ�

(c,d)แลวc+dเปน

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ค�สมบรณของจำ�นวนจรง

ค�สมบรณ คอระยะท�งบนเสนจำ�นวนจ�ก0ไปถงa

เงอนไขของค�สมบรณ


สมบตของค�สมบรณ

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8. ถ� แลว

9.

10.

11. กตอเมอ


จงพจ�รณ�ว�ขอคว�มตอไปนถกหรอผด

1. ถ� x และ y เปนจำ�นวนจรงซง |x| < |y| แลว x3< y

3 ………………………………………………………………..

2. ถ� a 5แลว ………………………………………………………………………………….…

3. ถ� |a| < |b| แลว a < b……………………………………………………………………………….…………………

ก�รแกสมก�รค�สมบรณ

เร�ส�ม�รถแกสมก�รไดทงหมด3วธ

1. ก�รใชคณสมบตของค�สมบรณ

2. ก�รยกกำ�ลงสองทงสองข�ง

3. ก�รพจ�รณ�ต�มนย�มค�สมบรณ



1.จงห�คำ�ตอบของสมก�ร

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2.จงห�ผลบวกของคำ�ตอบทงหมดของสมก�ร

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ก�รแกอสมก�รค�สมบรณ

คณสมบตของอสมก�รค�สมบรณ

กำ�หนดให

1. ถ� แลว

2. ถ� แลว

3. ถ� แลว หรอ

4. ถ� แลว หรอ

5. ถ� แลว ขอนเร�ใชผลต�งกำ�ลงสอง


1.จงห�ชวงคำ�ตอบของอสมก�ร

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………



…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………


…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

สมบตคว�มบรบรณ

บทนย�ม ใหS Rกล�วว�จำ�นวนจรงaจะเปนค�ขอบเขตบนของSกตอเมอaไมนอยกว�สม�ชกใดๆของSในกรณ

นเร�กล�วว� S มขอบเขตบน (Upper Bound)

จ�กนย�มสรปไดว�Sจะมค�ขอบเขตบนกตอเมอมจำ�นวนจรงaซงa xสำ�หรบx Sเรยกaว�ขอบเขตบนของS

และสม�ชกทมค�นอยทสดในเซตของขอบเขตบนเรยกว�ขอบเขตบนทมค�นอยทสด (Least upper bound) aจะเปนค�ขอบเขตบน

นอยสดกตอเมอaเปนขอบเขตบนของSและถ�bเปนขอบเขตบนของSจะไดว�a b

บทนย�ม ใหS RและSจะมขอบเขตล�งกตอเมอมจำ�นวนจรงaซงa xและx Rเรยกaว�เปนขอบเขตล�ง

(boundedbelow)ของS

กำ�หนดใหS R,S และSมขอบเขตล�งแลวSจะมขอบเขตล�งค�ม�กสด


จงพจ�รณ�เซตตอไปนว�มขอบเขตบนหรอไมและขอบเขตบนนอยสดคอจำ�นวนใด

1. 2.A={1,2,3,…}

……………………………………… ………………………………………

……………………………………… ………………………………………

……………………………………… ………………………………………


3.C={…,-3,-2,-1,0} 4.[-6,-1]

……………………………………… ………………………………………

……………………………………… ………………………………………

……………………………………… ………………………………………

5.(3, ) 6.E=

……………………………………… ………………………………………

……………………………………… ………………………………………

……………………………………… ………………………………………


จงพจ�รณ�ว�จำ�นวนตอไปนเปนจำ�นวนชนดใด

จำ�นวน จำ�นวนนบ จำ�นวนเตม ตรรกยะ อตรรกยะ จำ�นวนจรง

0 û ü ü û ü

û û û ü ü

2.999… û û ü û ü

3+ 4 ü ü ü û ü

จงพจ�รณ�จำ�นวนในแตละขอถ�เปนจรงใหเขยนเครองหม�ยüถ�เปนเทจใหเขยนเครองหม�ยû 1.ผด 2.ถก 3.ถก

4.ถก 5.ผด 6.ผด




จงพจ�รณ�ว�เซตตอไปนมสมบตของก�รดำ�เนนก�รต�มต�ร�งหรอไม.

กำ�หนด ขอคว�มใดตอไปนถกหรอผด

1.ผด 2.ถก 3.ถก 4.ถก

5.ถก 6.ถก 7.ผด

เซต

สมบตปดสำ�หรบ

ก�รบวก ก�รคณ

เซตของจำ�นวนค ü ü

เซตของจำ�นวนคบวก û ü

เซตของจำ�นวนตรรกยะ ü ü

เซตของจำ�นวนอตรรกยะ û û


1.จงห�คำ�ตอบของสมก�รตอไปน

วธทำ�พจ�รณ�

ดงนน

2.ถ�คำ�ตอบของสมก�ร คอ และเมอnเปนจำ�นวนจรงคำ�ตอบอกคำ�ตอบหนงของสมก�รนคอจำ�นวนใด

วธทำ� แทน ในสมก�ร

แทน ในสมก�ร

พจ�รณ�

ดงนนคำ�ตอบอกคำ�ตอบหนงของสมก�รนคอ-2


3.ถ�สมก�ร มคำ�ตอบทเปนจำ�นวนจรง1คำ�ตอบค�ของdคอจำ�นวนใด

วธทำ� จ�ก

พจ�รณ�

จ�ก ไดเซตว�งเร�จงพจ�รณ�

ดงนน


1.ผด 2.ผด 3.ผด

4.ถก 5.ผด 6.ถก


1.จงห�ชวงคำ�ตอบคำ�ตอบของอสมก�ร

วธทำ�พจ�รณ�

จ�กตรงนเร�จะนำ� คณตลอดแลว มค�ตดลบเร�จงตองเปลยนเครองหม�ยดวย

ดงนน

2.กำ�หนดใหS= และP= ถ�

(c,d)แลวc+dเปนเท�ใด

วธทำ� พจ�รณ�

จะไดว�

พจ�รณ�

นำ�-1คณตลอดเครองหม�ยเปลยน


จะไดว�

ดงนน

จ�ก และ จะไดว�


1.ผด 2.ผด 3.ผด


1.จงห�คำ�ตอบของสมก�ร


เร�จะได และ

จะได

2.จงห�ผลบวกของคำ�ตอบทงหมดของสมก�ร


เร�จะได และ

จะได

จ�กทเร�ไดคำ�ตอบแลวเร�จะตองนำ�คำ�ตอบไปแทนในสมก�รว�ไดจรงต�มสมก�รหรอไมแลวจงนำ�คำ�ตอบม�บวกกน

พจ�รณ�คำ�ตอบจะไดว�คำ�ตอบของสมก�รคอ

จะไดผลบวกของคำ�ตอบของสมก�รคอ


1.จงห�ชวงคำ�ตอบของอสมก�ร และ

วธทำ� เร�จะนำ� ไปพจ�รณ� ว�ในค�สมบรณตดลบหรอไมแลวทำ�ก�รถอดค�สมบรณ

พจ�รณ�เมอ แลว เปนบวกและ

เปนบวกเชนกนเร�กจะถอดค�สมบรณไดเลย


จะได

ดงนนคำ�ตอบของอสมก�รคอ( )



(2x+7)(2X+7)-(4x-3)(4x-3)

(4x2 +28x+49)-(16x

2-24x+9)

-12x2 +52x+40

3x

2-13x-10

(3x+2)(x-5)

ดงนนคำ�ตอบของอสมก�รคอ[ ]



(2x+7)(2x+7)–(x+2)(x+2)

3x

2+24x+45

x2 +8X+15

กอนทเร�จะตอบเร�ตองพจ�รณ�ทจดปล�ยของชวงทงสองข�งกอนว�เปนจรงต�มอสมก�รหรอไมซงอสมก�รนทจดปล�ย

ของชวงไมเปนจรงต�มอสมก�ร

ดงนนคำ�ตอบของอสมก�รคอ[ ]


จงพจ�รณ�เซตตอไปนว�มขอบเขตบนหรอไมและขอบเขตบนนอยสดคอจำ�นวนใด

1. มขอบเขตบนแตไมมขอบเขตบนนอยสด

2. ไมมขอบเขตบน

3. มขอบเขตบนและขอบเขตบนนอยสดคอ0

4. มขอบเขตบนและขอบเขตบนนอยสดคอ-1

5. ไมมขอบเขตบน

6. มขอบเขตบนและขอบเขตบนนอยสดคอ2


นองๆส�ม�รถศกษ�เพมเตมไดท

Tag : สอนศ�สตร,คณตศ�สตร,จำ�นวนจรง,ระบบจำ�นวนจรง

•สอนศ�สตร:ม.ปล�ย:คณตศ�สตร>14:

จำ�นวนจรง1


onet-math/ch2-1

•สอนศ�สตร:ม.ปล�ย:คณตศ�สตร>15:

จำ�นวนจรง2


onet-math/ch2-2

•สอนศ�สตรคณตศ�สตรม.6:เซตตรรกศ�สตร

ระบบจำ�นวนจรง


onet-math/ch2-3

•สรปสตรคณตศ�สตรสำ�หรบเตรยมสอบ-

เรองจำ�นวนจรง


onet-math/ch2-4

•สรปสตรคณตศ�สตรสำ�หรบเตรยมสอบ-

เรองจำ�นวนเชงซอน


onet-math/ch2-5


บทท3

การใหเหตผล

เรองการใหเหตผลเปนอกเรองหนงนอกจากเซตทเปนพนฐานในการแปลภาษาเขยนตางๆเชนและหรอถา...แลวกตอเมอ

และนเสธใหอยในรปของสญลกษณทางคณตศาสตรทสามารถเขาใจไดทวกนขอสอบเรองการใหเหตผลนนจดเปนหนงในหวขอทงาย

และมการพลกแพลงนอยทสดในวชาคณตศาสตรขอเพยงนองๆไมประมาทและฝกฝนท�าโจทยกจะเปนอกเรองหนงทนองๆสามารถ

เกบคะแนนไปไดไมยาก

การใหเหตผล มดวยกนหลกๆ2แบบคอ

•การใหเหตผลแบบอปนย

•การใหเหตผลแบบนรนย

1. การใหเหตผลแบบอปนย

เปนการใหเหตผลจากการสงเกตในชวตประจ�าวนประสบการณการทดลองซ�าไปซ�ามาหลายๆครงเชนการเหนพระอาทตย

ขนทางทศตะวนออกและตกทางทศตะวนตกเราสงเกตไดอยางนมาเปนเวลานานเราจงสามารถสรปไดเปนขอความใหมซงผลสรป

เปนเพยงการคาดคะเนทอาจเปนไปไดเทานน

ตวอยาง

ก. มชดตวเลขดงน

37111519?ตวเลขตอไปจะเปนเลขอะไร

เราสามารถสงเกตไดจากชดตวเลขซงจะเหนวามการเพมของทกจ�านวนดวยการ+4ดงนนเลขตอไปจากชดขอมลการ

คอ23

ข. มชดตวเลขดงน

11x11=121

111x111=12321

1111x1111=1234321

11111 x 11111 = ?

เราสามารถสงเกตไดจากชดตวเลข ซงจะเหนวา ค�าตอบทไดตวเลขจะเพมขนเรอยๆ ตามจ�านวนของ เลข 1 ดงนน

ค�าตอบของขอมลชดนคอ123454321


2. การใหเหตผลแบบนรนย

เปนการใหเหตผลทเกดจากความเชอของขอมลจากทฤษฎบทความรเกากฎตางๆทไดมการยอมรบกนมาวาเปนความจรง

ตวอยาง

ก. เหต 1.คนทกคนม2ขา

2.สมชายเปนคน

ผล สมชายม2ขา

ข. เหต 1.ผลไมทกชนดเปนอาหารได

2.ผกกาดเปนอาหาร

ผล ผกกาดเปนผลไม

จากตวอยางขางตนเราสามารถพจารณาไดวาเหตและผลมความสอดคลองกนหรอไมอยางไรซงเรากมหลกการอางเหตผล

ในทางคณตศาสตรซงมดวยกน6แบบคอ

1.สมาชกทกตวของAเปนสมาชกของB

2.ไมมสมาชกตวใดของAเปนสมาชกของB

3.สมาชกบางตวของAเปนสมาชกของB

4.มสมาชกบางตวของAไมเปนสมาชกของB

5.สมาชกของA1ตวทเปนสมาชกของB

6.สมาชกของA1ตวไมเปนสมาชกของB

ซงสามารถยกตวอยางไดดงน

1.สมาชกทกตวของAเปนสมาชกของB

จากตวอยางจะเหนวาสมเหตสมผล

จากตวอยางจะเหนวาไมสมเหตสมผล

ตวอยางปลาทกตวสามารถวายน�าได

โดยทA=ปลา B=สตวทวายน�าไดA

B


2.ไมมสมาชกตวใดของAเปนสมาชกของB

ตวอยางไมมแมวตวใดบนได

โดยทA=แมว B=สตวทบนได

3.สมาชกบางตวของAเปนสมาชกของB

ตวอยางมนกเรยนทชอบเรยนคณตศาสตรบางคน

ชอบเรยนภาษาองกฤษ

โดยท A=นกเรยนทชอบเรยนคณตศาสตร

B=นกเรยนทชอบเรยนภาษาองกฤษ

ตวอยางมคนทชอบทานผกบางคนไมชอบทานเนอสตว

โดยท A=คนทชอบทานผก

B=คนชอบทานเนอสตว

ตวอยางกฤษดาเปนเดกชอบเลนฟตบอล

โดยท A=เดก

B=ชอบเลนฟตบอล

=กฤษดา

4.มสมาชกบางตวของAไมเปนสมาชกของB

5.สมาชกของA1ตวทเปนสมาชกของB

B

B

B

B

A

A

A

A


6.สมาชกของA1ตวไมเปนสมาชกของBสามารถเขยนได2แบบคอ

แบบท1

แบบท2

ตวอยางกฤษดาเปนเดกทไมกลวผ

โดยท A=เดก

B=คนกลวผ

=กฤษดา

B

B

A

A


บทท4

เลขยกก�ำลง

ส�ำหรบเรองเลขยกก�ำลงนนเปนเรองทอำศยควำมรอบคอบอยำงมำกเนองจำกเปนเรองทใชทงทกษะเกยวกบกำรค�ำนวณ

และทกษะเกยวกบควำมเขำใจเวลำท�ำขอสอบเรองน ใหนองๆท�ำอยำงใจเยนๆพจำรณำถงเลขฐำนและเลขชก�ำลงวำเปนบวกลบ

หรอเปนเศษสวนและจ�ำเงอนไขตำงๆใหไดเพยงเทำนนองๆกจะสำมำรถท�ำขอสอบในสวนของเลขชก�ำลงได

1. ความหมายของเลขยกก�าลง

an=axaxaxaxax…xa(nตว)

เรยกanวำเลขยกก�ำลง(power)ทมaเปนฐำนและมnเปนเลขชก�ำลง

2. สมบตของเลขยกก�าลง

2.1. x = “เลขยกก�ำลงฐำนเหมอนกนคณกนเอำเลขชก�ำลงมำบวกกน”

2.2. = “เลขยกก�ำลงฐำนเหมอนกนหำรกนเอำเลขชก�ำลงมำลบกน”เมอa≠ 0

2.3. = เมอ

≠

2.4. =

2.5. = เมอb≠ 0

2.6. = เมอa≠ 0

2.7. =1เมอa≠ 0 ( ไมมควำมหมำยทำงคณตศำสตร)

ขอควรระวง

2 2 2( ) ( )a b a b± ≠ ± ใหใชก�ำลงสองสมบรณหรอผลตำงก�ำลงสอง

•

=

•

=

• =

• =

•

=

• =


3. สญญากรวทยาศาสตร

คอกำรเขยนตวเลขทมจ�ำนวนมำกหรอนอยใหอยในรปเลขยกก�ำลง

; 0 ≤ < 10

เชน 299,800 =2.998x

0.0000034 = 3.4 x

4. ความหมายของรากท n

ใหnเปนจ�ำนวนเตมทมำกกวำ1เมอaและbเปนจ�ำนวนจรงbเปนรำกทnของaเมอ

5. สมบตของรากท n

ก�ำหนดใหa,bเปนจ�ำนวนจรงทมรำกทnและnเปนจ�ำนวนเตมบวกทมำกกวำ1

1. = เมอ เปนจ�ำนวนจรง

aเมอa≥ 0

2. = aเมอa<0และnเปนจ�ำนวนคบวก

เมอa<0และnเปนจ�ำนวนคบวก

3. =

4.

= เมอb≠ 0

5. =

Ex1. จงท�ำ

ใหอยในรปอยำงงำย

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………



…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ขอควรระวง!!!!

รำกล�ำดบคของจ�ำนวนจรงทเปนลบ

หำคำไมไดเชน จะหำคำไมได


Ex3.ถำa,bเปนจ�ำนวนจรงบวกจงท�ำ ใหอยในรปอยำงงำย

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Ex4. จงท�ำ ใหอยในรปอยำงงำย

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………




Ex3. ถำa,bเปนจ�ำนวนจรงบวกจงท�ำ ใหอยในรปอยำงงำย

=

=

= 3 a4/2 b

6/2

= 3a

2b


=

=



บทท5

ฟงกชน

ในเรองฟงกชนนจะเปนบททเนนเรองการวาดกราฟตางๆและการจดรปสมการเพอใชหาคาโดเมนและเรนจเปนหลกหาม

ลมเดดขาดทองไวเลยโดเมนคอXและเรนจคอYและทนองๆสวนใหญจะผดกนคอการเขยนกราฟดใหดๆวาเปนกราฟหงาย

หรอกราฟคว�า

คอนดบ

ก�าหนดให(a,b)และ(c,d)เปนคอนดบใดๆจะไดวา(a,b)=(c,d)กตอเมอa=cและb=d

โดยทaเรยกวา“สมาชกตวหนา”และbเรยกวา“สมาชกตวหลง”

ผลคณคารทเชยน

ใหAและBแทนเซตใดๆเขยนผลคณคารทเชยนของAและBวาAXBอานวา“ACrossB”จะไดวาผลคณคารทเชยน

ของAและB(AXB)คอเซตของคอนดบทมสมาชกตวหนามาจากAและสมาชกตวหลงมาจากB

สมบตทควรทราบ

1. ถาAมสมาชกmตวและBมสมาชกnตวแลวAXBมสมาชกmnตวn(AxB)=n(A)xn(B)

2. AXB≠ BXAแตจะเทากนกตอเมอ

•A=B •A=∅ •B=∅

3. AX∅ =∅ =∅ XA

4. A× (B∪C) = (A× B)∪ (A×C) , (A∪B)×C = (A×C)∪ (B×C)

5. A× (B∩C) = (A× B)∩ (A×C) , (A∩B)×C = (A×C)∩ (B×C)

6. A× (B−C) = (A× B)− (A×C) , (A− B)×C = (A×C)− (B×C)

7. rแทนความสมพนธทสอดคลองกบเงอนไขทตองการจากผลคณคารทเชยน

ขอควรระวง!!!! A∪ (B×C) ≠ (A∪B)× (A∪C)

A∩ (B×C) ≠ (A∩B)× (A∩C)

A− (B×C) ≠ (A− B)× (A−C)


แบบฝกหดท 1 ก�าหนดใหA={1,2,3},B={2,3},C={1,3,5,7}และD={{2},7}จงหา

1. A X B =………………………………………………………………………………………………………………………

2. B X C =………………………………………………………………………………………………………………………

3. C X B =………………………………………………………………………………………………………………………

4. D X D =………………………………………………………………………………………………………………………

5. C × (A∩B) =…………………………………………………………………………………………………………………

6. (A∩B)× (C∪D) =……………………………………………………………………………………………………………

7. P(D)× (A∩B) =………………………………………………………………………………………………………………

8. (C − A)× P(B) =………………………………………………………………………………………………………………

9. {(x, y)∈ A× B x + y เปนเลขค }=……………………………………………………………………………………………

10. {(x, y)∈ A× B x + y ≥ 7} =……………………………………………………………………………………………………

ฟงกชน

คอความสมพนธทสมาชกตวหนาจบคกบสมาชกตวหลงไดเพยงตวเดยวหรอจ�างายๆวา“โดเมนไมซ�า”

“ทองงายๆวาโดเมนคอxและเรนจคอY”

การตรวจสอบฟงกชน

1. ความสมพนธแบบแจกแจงสมาชก

โดยดวาสมาชกตวหนาจบคกบสมาชกตวหลงมากกวา1คหรอไมถาจบคมากกวา1คจะไมเปนฟงกชน

เชน ={(1,2),(2,4),(6,3),(7,2),(9,4)}

เปนฟงกชนเพราะไมมสมาชกตวหนาใดเลยทจบคมากกวา1ค

={(2,2),(2,4),(4,1),(5,8),(7,1)}

ไมเปนฟงกชนเพราะมสมาชกตวหนาทจบคกนมากกวา1คคอสมาชกตวหนา2จบคกบ2และ4

2. ความสมพนธทเปนสมการ

เมอแทนคาxในสมการจะตองใหคาyออกมาเพยงคาเดยวถาไดyมากกวา1คาแสดงวาไมเปนฟงกชน

เชน

เปนฟงกชนเพราะเมอแทนx=1,2,3,…จะไดyเพยง1คาเสมอ

ไมเปนฟงกชนเพราะเมอแทนคาx=1จะไดyมากกวาหนงคาคอ1และ-1

โดเมน (Domain) คอเซตของxทท�าใหyหาคาได

เรนจ (Range) คอเซตของYทท�าใหxหาคาได


3. กราฟของความสมพนธ

ท�าไดโดยการลากเสนตรงขนานกบแกนyถาตดมากกวา1จดแสดงวาไมเปนฟงกชน

กราฟA กราฟB

กราฟ Aเปนกราฟฟงกชนเพราะเมอลากเสนขนานกบแกนyแลวไดจดตดเพยง1จด

กราฟ Bไมเปนกราฟฟงกชนเพราะเมอลากเสนขนานกบแกนyแลวไดจดตด2จด

4. การหาคาของฟงกชน

หาไดจาก3วธไดแก

1)หาจากเซตทแจกแจงสมาชก

2)อานจากกราฟและ

3)แทนคาในสมการโดยคาทหาไดจากฟงกชนจะเปนคาy

ตวอยางท1ก�าหนดใหf={(1,2),(2,4),(6,3),(9,6)}จงหาคาkเมอf(k)=f(1)+f(2)

วธท�า จากฟงกชนทก�าหนดจะไดf(1)=2และf(2)=4ดงนนf(1)+f(2)=6

จะไดวาf(9)=6ฉะนนk=9

ตวอยางท2ก�าหนดใหf(x)=2x+1และg(x)=-4จงหาคาของf(3)–g(4)

วธท�า จากโจทยพจารณาf(3)แทนx=3ลงในสมการf(x)

จะไดf(3)=2(3)+1=7

พจารณาg(4)จะไดวาg(x)=-4ทกคาxดงนนg(4)=-4

ดงนนf(3)–g(4)=7–(-4)=11

5. ฟงกชนเชงเสน

คอฟงกชนทอยในรปy=f(x)=ax+bเมอa,b∈Rและa≠ 0

y

x

y

x


แบบฝกหดท 2บรษทแหงหนงจายคาจางใหพนกงานโดยคดจากการขาย ซงเปนรอยละจากยอดขายทพนกงานแตละคนขายได

ปรากฏวาเดอนทแลวนายเอไดรบเงนจากบรษท31,000บาทโดยเขามยอดขาย300,000บาทและนายบไดรบเงนจากบรษท32,500

บาทโดยเขามยอดขาย350,000บาทจงเขยนฟงกชนแทนรายไดทพนกงานไดรบในแตละเดอนในรปแบบสมการและจงหาวานายซ

จะไดรบเงนจากบรษทเทาไรเมอท�ายอดขายได400,000บาท

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

6. ฟงกชนก�าลงสอง

กราฟของฟงกชนก�าลงสอง2y ax bx c= + + เมอa≠0(ม.3)และ y − k = a(x − h)2y − k = a(x − h)22y ax bx c= + +y − k = a(x − h)2 (ม.4)เปนกราฟพาราโบลา

แบงเปน2ชนดคอ

1.a<0จะเปนกราฟพาราโบลาคว�าใหคาสงสด

2.a>0จะเปนกราฟพาราโบลาหงายใหคาต�าสด

สมบตของพาราโบลา

y

x


1.จดยอด(vertex)หรอจดวกกลบ(turningpoint)หาไดจากV = (− b2a, 4ac−b

2

4a)

2.สมการแกนสมมาตรของกราฟคอx=−b2a

และคาสงสดหรอต�าสดของฟงกชนคอy=4ac−b2

4a 3.เมอ

2y ax bx c= + + จะไดx=Kเปนแกนสมมาตรแลว f (k +Δ) = f (k −Δ) กลาวคอคาของฟงกชนทอยหาง

จากแกนสมมาตรเทากนจะมคาเทากน

4.จดตดแกนxหาไดจากใหy=0และจดตดแกนyใหx=0

7. ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล

คอฟงกชนทอยในรป

กรณท 1ถา0<a<1แลวf(x)จะเปนฟงกชนลด

กรณท 2ถาa>1แลวf(x)จะเปนฟงกชนเพม

y

x

(0,1)

y=ax;a>1

ฟงกชนเพม

0

y

x

(0,1)

y=ax;0<a<1

ฟงกชนลด

0

การหาคาของรากทสองของx 2 และ

จาก

กตอเมอ


8. ฟงกชนคาสมบรณ

คอฟงกชนทอยในรป y = x − h + k เมอa,cเปนจ�านวนจรงโดยม(h,k)เปนจดยอด

กรณท 1.a>0จะไดกราฟหงาย กรณท 2.a<0จะไดกราฟคว�า

y

x

y

x

แบบฝกหดท 3ก�าหนดให f (x) = x2 − 2x −15 ขอใดตอไปนผด

1. f (x) ≥ −17 ทกจ�านวนจรงx………………………………………………………………………………………………

2. f (−3− 2 − 3) > 0 ………………………………………………………………………………………………………

3. f (1+ 3 + 5) = f (1− 3 − 5) ………………………………………………………………………………………

4. f (−1+ 3 + 5) > f (−1− 3 − 5) …………………………………………………………………………………

แบบฝกหดท 4 ถา f (x) = −x2 + x + 2 แลวขอใดสรปถกตอง

1. f (x) ≥ 0 เมอ−1≤ x ≤ 2

2.จดวกกลบของกราฟของฟงกชนfอยในจตภาคท2

3.ฟงกชนfมคาสงสดเทากบ2

4.ฟงกชนfมคาต�าสดเทากบ2

แบบฝกหดท 5 ก�าหนดใหaและbเปนจ�านวนจรงบวก

ถากราฟของฟงกชน 1 1 xy a= + และ 2 1 xy b= + มลกษณะดงแสดงภาพตอไปนแลว

2 1 xy b= + 1 1 xy a= +


y

x

ขอใดตอไปนเปนจรง

1.1<a<b 2.a<1<b

3.b<1<a 4.b<a<1

แบบฝกหดท 6 ฟงกชนf(x)ในขอใดมกราฟดงรปตอไปน

1. f (x) =1− x

2. f (x) =1+ x

3. f (x) = 1− x

4. f (x) = 1+ x

แบบฝกหดท 1 ก�าหนดใหA={1,2,3},B={2,3},C={1,3,5,7}และD={{2},7}จงหา

1.AXB= {(1,2), (1,3), (2, 2), (2,3), (3, 2), (3,3)}

2.BXC={(2,1), (2,3), (2,5), (2,7), (3,1), (3,3), (3,5), (3,7)} 3.CXB=

{(1,2), (1,3), (3, 2), (3,3), (5, 2), (5,3), (7, 2), (7,3)}

4.DXD={({2},{2}), ({2},7), (7,{2}), (7,7)} 5. C × (A∩B)

={(1,2), (1,3), (3, 2), (3,3), (5, 2), (5,3), (7, 2), (7,3)}

(A∩B) คอเอาตวทซ�ากนจากเซตAและเซตBจะได{2,3}

6. (A∩B)× (C∩D) ={2,3}X{7}={(2,7), (3,7)}

(A∩B) คอเอาตวทซ�ากนจากเซตAและเซตBจะได{2,3} (C∩D) คอเอาตวทซ�ากนจากเซตCและเซตDจะได{7} 7. P(D)× (A∪B) ( )P D คอเซตของสบเซตคอ{{{2},7},{{2}},{7}, }

(A∪B) คอเอาเซตAรวมกบเซตBจะได{1,2,3}

จะได{{{2},7},{{2}},{7}, }X{1,2,3} ={({{2},7},1),({{2},7},2),({{2},7},3),({{2}},1),({{2}},2),({{2}},3),({7},1), ({7},2),({7},3),( ,1),( ,2),( ,3)}

8. (C − A)× P(B) (C − A)คออยในเซตCหามอยในเซตAจะได{5,7} ( )P B คอเซตของสบเซตคอ{{2},{3},{2,3}, }

=จะได{5,7}X{{2},{3},{2,3}, }

={(5,{2}),(5,{3}),(5,{2,3}),(5, ),(7,{2}),(7,{3}),(7,{2,3}),(7, )}

9. {(x, y)∈ A× B x + y เปนเลขค} Aคอ{1,2,3}และBคอ{2,3}จะไดAxB={(1,2), (1,3), (2, 2), (2,3), (3, 2), (3,3)}

X+Yเปนเลขคจะได{(1,3), (2, 2), (3,3)}



10. {(x, y)∈ A× B x + y ≥ 7}

Aคอ{1,2,3}และBคอ{2,3},AxB={(1,2), (1,3), (2, 2), (2,3), (3, 2), (3,3)} X+Y 7จะได

แบบฝกหดท 2 บรษทแหงหนงจายคาจางใหพนกงานโดยคดจากการขายซงเปนรอยละจากยอดขายทพนกงานแตละคนขายได

ปรากฏวาเดอนทแลวนายเอไดรบเงนจากบรษท31,000บาทโดยเขามยอดขาย300,000บาทและนายบไดรบเงนจากบรษท32,500

บาทโดยเขามยอดขาย350,000บาทจงเขยนฟงกชนแทนรายไดทพนกงานไดรบในแตละเดอนในรปแบบสมการและจงหาวานายซ

จะไดรบเงนจากบรษทเทาไรเมอท�ายอดขายได400,000บาท

วธท�า yแทนรายไดพนกงาน(บาท)

Xแทนยอดขาย(บาท)

จะไดสมการเชงเสนคอy=ax+b

นายเอไดรบเงนจากบรษท31,000บาทโดยเขามยอดขาย300,000บาท

จะไดสมการคอ 31,000 = 300,000a+b→ 1 สมการท1

นายบ ไดรบเงนจากบรษท32,500บาทโดยเขามยอดขาย350,000บาท

จะไดสมการคอ 32,500 = 350,000a+b→ 2 สมการท2

2 − 1 ; 32,500−31,000 = (350,000a+b)− (300,000a+b)

1,500 500,000a= 50,0001,500 500,000a=

a=

3

100a =

0.03a =

แทน3

100a = ในสมการท1

จะได 331,000 300,000( )

100b= +

31,000 9,000 b= +

22,000b =

นายซท�ายอดขายได400,000บาท

เขาจะไดรบเงนจากบรษท y3400,000( ) 22,000

100x = +

y 34,000x =

ตอบนายซจะไดรบเงนจากบรษท34,000บาทเมอเขาท�ายอดขายได400,000บาท

50,000

1,500


แบบฝกหดท 3 ก�าหนดให f (x) = x2 − 2x −15 ขอใดตอไปนผด

1. f (x) ≥ −17 ทกจ�านวนจรงx

2. f (−3− 2 − 3) > 0

3. f (1+ 3 + 5) = f (1− 3 − 5)

4. f (−1+ 3 + 5) > f (−1− 3 − 5)

วธท�าจากโจทย f (x) = x2 − 2x −15 จะไดกราฟพาราโบลาหงาย(a>0)

หาจดยอดไดโดยV = (− b2a, 4ac−b

2

4a)

จะไดจดยอดคอ (−−22(1)

, 4(1)(−15)− (−2)2

4(1)) = (1,−16)

วาดกราฟไดดงน

หาจดตดแกนxใหy=0จะไดจดตดแกนxคอ(-3,0)และ(5,0)พจารณาตวเลอก

1. f (x) ≥ −17 ทกจ�านวนจรงx→คาต�าสดของฟงกชนคอคาของf(x)และคาต�าสดของกราฟนคอ-16ดงนนจะได

วา f (x) ≥ −17 เปนจรงส�าหรบทกจ�านวนจรง

ตอบ ถก

2. f (−3− 2 − 3) > 0→ จากกราฟจะเหนวาf(-3)จะไดคาy=0และเมอx<3จะเหนวากราฟจะอยเหนอแกน

xนนคอy>0และเนองจาก−3− 2 − 3 < −3 ดงนน f (−3− 2 − 3) > 0

ตอบ ถก

3. f (1+ 3 + 5) = f (1− 3 − 5) → f (1+ 3 + 5)และ f (1− 3 − 5) อยหางจากแกนสมมาตรเปนระยะ

3 5+ เทาๆกนดงนนคาฟงกชนของทงสองจดมคาเทาๆกนดวยสมบตความสมมาตรของพาราโบลา

ตอบ ถก

4. f (−1+ 3 + 5) > f (−1− 3 − 5) → เนองจาก f (– 1) อยทางซายของแกนสมมาตร และเมอเทยบแลว

f (−1+ 3 + 5) จะอยสงกวา f (−1− 3 − 5)

ตอบ ผด

(1,-16)

y

x


แบบฝกหดท 4 ถา f (x) = −x2 + x + 2แลวขอใดสรปถกตอง

1. f (x) ≥ 0 เมอ −1≤ x ≤ 2

2.จดวกกลบของกราฟของฟงกชนfอยในจตภาคท2

3.ฟงกชนfมคาสงสดเทากบ2

4.ฟงกชนfมคาต�าสดเทากบ2

วธท�าจากโจทย f (x) = −x2 + x + 2 จะไดกราฟพาราโบลาคว�า(a<0)

หาจดยอดไดโดยV = (− b2a, 4ac−b

2

4a)

จะไดจดยอดคอ (−1

2(−1), 4(−1)(2)− (1)

2

4(−1)) = (1

2, 94)

หาจดตดแกนxใหy=0จะไดจดตดแกนxคอ(-1,0)และ(2,0)

พจารณาตวเลอก

1. f (x) ≥ 0

เมอ −1≤ x ≤ 2→ จากกราฟจะเหนวาy>0บนชวง-1<x<2แสดงวา

f (x) ≥ 0

เมอ −1≤ x ≤ 2 จรง

ตอบ ถก

2.จดวกกลบของกราฟของฟงกชนfอยในจตภาคท2→ จดวกกลบหรอจดยอดคอ(1 9,2 4

)ซงอยจตภาคท1

ตอบ ผด

3.ฟงกชนfมคาสงสดเทากบ2 → คาสงสดของfคอ94

ตอบ ผด

4.ฟงกชนfมคาต�าสดเทากบ2→ พาราโบลาคว�าหาคาต�าสดไมได

ตอบ ผด

แบบฝกหดท 5 ก�าหนดใหaและbเปนจ�านวนจรงบวก

ถากราฟของฟงกชน 1 1 xy a= + และ 2 1 xy b= + มลกษณะดงแสดงภาพตอไปนแลว

2 1 xy b= + 1 1 xy a= +


ขอใดตอไปนเปนจรง

1.1<a<b 2.a<1<b

3.b<1<a 4.b<a<1

วธท�าจากกราฟจะเหนวา 1 1 xy a= + เปนฟงกชนเพมฉะนนa>1

และจะเหนวา 2 1 xy b= + เปนฟงกชนลดฉะนน0<b<1

จะไดวาa>1และb<1นนคอb<1<a

ตอบ 3

แบบฝกหดท 6 ฟงกชนf(x)ในขอใดมกราฟดงรปตอไปน

ฟงกชนคาสมบรณคอคอฟงกชนทอยในรป y = x − h + k เมอa,cเปนจ�านวนจรงโดยม(h,k)เปนจดยอด

จะได(h,k)=(0,1)ดงนนสมการของกราฟคอ f (x) = x −0 +1= x +1

ตอบ 2

1. f (x) =1− x

2. f (x) =1+ x

3. f (x) = 1− x

4. f (x) = 1+ x

y

x

y

x


นองๆสามารถศกษาเพมเตมไดท

Tag : สอนศาสตร,คณตศาสตร,ฟงกชน,ความสมพนธ,ลอการทม,ภาคตดกรวย,สตรเตรยมสอบ

•สอนศาสตร:ม.ปลาย:คณตศาสตร>04:

ความสมพนธและฟงกชน1


onet-math/ch5-1




onet-math/ch5-2




onet-math/ch5-3




onet-math/ch5-4

•สอนศาสตรคณตศาสตรม.6:ภาคตดกรวยและ

ฟงกชน


onet-math/ch5-5

•สรปสตรคณตศาสตรส�าหรบเตรยมสอบ-

เรองฟงกชนเอกซโพเนนเชยลและลอการทม


onet-math/ch5-6

•สรปสตรคณตศาสตรส�าหรบเตรยมสอบ-

เรองความสมพนธและฟงกชน


onet-math/ch5-7


บทท6

อตราสวนตรโกณมต

ส�ำหรบเรองอตรำสวนตรโกณมตนนถอเปนเรองทไมไดยำกอะไรมำกสงทส�ำคญทสดคอนองๆตองทองมมsincostanให

ไดและมมหลกๆทเรำจะเจอคอมมและโจทยในหวขอนจะน�ำไปประยกตออกกบรปเรขำคณตตำงๆทกครงสงทส�ำคญในกำรท�ำ

โจทยคอกำรวำดรปเพอท�ำใหนองๆมองโจทยงำยขน

1.อตราสวนตรโกณมต

อตรำสวนตรโกณมตของรปภำยในเปนรปสำมเหลยมมมฉำก หมำยถง ควำมสมพนธระหวำงดำนและมมภำยในของรป

สำมเหลยมมมฉำก

พจำรณำสำมเหลยมABC

C

B

A

a

c

b

จำกรปABCเปนรปสำมเหลยมทมมมCเปนมมฉำกและดำนตรงขำมมมA,BและCยำวa,bและcตำมล�ำดบโดยยด

มมBเปนมมหลกจะได

aเปนควำมยำวของดำนตรงขำมมมAหรอเรยกวำ“ขำม”

bเปนควำมยำวดำนประชดมมAหรอเรยกวำ“ชด”

cเปนควำมยำวดำนตรงขำมมมฉำกหรอเรยกวำ“ฉำก”


ขอสงเกต!!!!!!!!!

1.tanA=sin A

cos A และcotA=

cos A

sin A

2.(sinA)(cosecA)=1,(cosA)(secA)=1,(tanA)(cotA)=1

3.

4.

5.

sin A = cos A = tan A =

cosec A = sec A = cot A =

อตราสวนของความยาวดานตางๆมดงน

Ex1. จงเตมอตรำสวนฟงกชนตรโกณตอไปน

Y

sec Y = ………………………

cot X = ………………………

cos X tan Y = ………………………

tan Y + cot X = ………………………

sin2Y + cos2Y

= ………………………

sin2X + cos2Y

= ………………………

pZ

r

Y

q

X

การยบมมทตดลบ

sin(- ) = -sin

cos(- ) = cos

tan(- ) = -tan

เพมเตม

มมกมเปนมมทเกดจำกแนวเสนระดบสำยตำ

และแนวเสนจำกตำไปยงวตถโดยวตถจะอยใตแนวเสน

ระดบสำยตำ

มมเงยเปนมมทเกดจำกแนวเสนระดบสำยตำ

และแนวเสนจำกตำไปยงวตถ โดยวตถจะอยสงกวำ

แนวเสนระดบสำยตำ


ขอสงเกต!!!!!!!!!

1.tanA=sin A

cos A และcotA=

cos A

sin A

2.(sinA)(cosecA)=1,(cosA)(secA)=1,(tanA)(cotA)=1

3.

4.

5.

ทบทวนทฤษฏบทพธาโกรส

ใหABCเปนสำมเหลยมมมฉำกและA,B,C

เปนควำมยำวดำนแตละดำนดงรป

(0,1)90°

(0,-1)270°

(1,0)0°(-1,0)180°

2 2 2c a b= +

“ดำนตรงขำมมมฉำก=ผลบวกก�ำลงสองของดำนประกอบมมฉำก”

C

B

A

a

c

b

Co-Function

จำกรปสำมเหลยมมมฉำกดำนบนจะไดวำ A! + B! = 90° จะได 1.sinA=cosBจะไดวำsinA=cos(90°-A)

กลำวคอsinเปนco-functionกบcos(cosine)

2.tanA=cotBจะไดวำtanA=cot(90°-A)

กลำวคอtanเปนco-functionกบcot(cotangent)

3.secA=cosecBจะไดวำsecA=cosec(90°-A)

กลำวคอsecเปนco-functionกบcosec(cosecant)

เชน sin43° = cos47° เพรำะ43°+47° = 90°

cot63° = tan27° เพรำะ63°+27° =90°

cosec19° = sec71° เพรำะ19°+71° =90°

อตราสวนตรโกณมตทควรทราบ

cos=X

sin=Y


45°30°

60° 45°

หมำยเหต

ขอสอบO-netมกจะน�ำตรโกณไปออกในรปสำมเหลยมสเหลยมและวงกลม

อตรำสวนตรโกณ 0 30 45 60 90

sin 0

12

12

32 1

cos 13

212

12 0

tan 0

13 1 3 -

Ex2. สำมเหลยมหนำจวมมฉำกABCมพนทเทำกบ27ตำรำงนวดำนทยำวทสดของสำมเหลยมABCยำวเทำกบเทำไร

1. 3 2. 6 3. 3 6 4. 6 3

Ex3. สำมเหลยมABCเปนสำมเหลยมทมมมCเปนมมฉำกมมBท�ำมม30°และมพนท 24 3 ตำรำงนว

อยำกทรำบวำBCยำวเทำกบขอใด

1.12นว 2.14นว 3.16นว 4.18นว

Ex 4.นำยเออยบนเรอล�ำหนงมองเหนยอดตกทสง25เมตรเปนมมเงย40๐แสดงวำเรอล�ำนอยหำงจำกตกเปนระยะทำงประมำณ

เทำใด

1.14.43เมตร

2.20.98เมตร

3.29.79เมตร

4.32.64เมตร

5.38.89เมตร

θ sinθ cosθ tanθ

40 0.6428 0.7660 0.8391

500.7660 0.6428 1.1918

600.8660 0.5000 1.7321


Ex 5. รปสเหลยมผนผำสองรป มขนำดเทำกน โดยมเสนทแยงมมยำวเปนสองเทำของดำนกวำง ถำน�ำรปสเหลยมผนผำมำวำง

ตอกนดงรปจดAและจดBอยหำงกนเปนกเทำของดำนกวำง

Ex 6. ก�ำหนดใหABCDเปนรปสเหลยมผนผำซงมพนทเทำกบ12ตำรำงนวและ tan AB!D = 13 ถ ำ AE ตงฉำกกบ BD ทจด

EแลวAEยำวเทำกบขอใด

1. 103นว 2. 2 10

5นว 3. 10

2นว 4. 3 10

5นว

Ex7. นำยกและนำยขยนอยบนพนรำบซงหำงจำกก�ำแพงเปนระยะ10เมตรและ40เมตรตำมล�ำดบถำนำยกมองหลอดไฟ

บนก�ำแพงดวยมมเงย องศำในขณะทนำยขมองหลอดไฟดวงเดยวกนดวยมมเงย90�– องศำถำไมคดควำมสงของ

นำยกและนำยขแลวหลอดไฟอยหำงจำกพนกเมตร

1.10เมตร 2.10 2 เมตร 3.10 3 เมตร 4.20เมตร

Ex8. วงกลมหนงมรศม 6 หนวย และ A,B,C เปนจดบนเสนรอบวง ถำ AC เปนเสนผำนศนยกลำงของวงกลมและ AB!C = 60!

แลวพนทรปสำมเหลยมABCเทำกบขอใดตอไปน

1. 15 3 ตำรำงหนวย 2.15 3 ตำรำงหนวย


A

B

1. 1.5 2. 3 3. 2 4. 2 2

6



EX1. จงเตมอตรำสวนฟงกชนตรโกณตอไปน

sec Y =

cot X =

cos X tan Y =

tan Y + cot X =

sin2Y + cos2Y

= 1

sin2X + cos2Y =

pZ

r

Y

q

X

โจทยปญหา

Ex2. สำมเหลยมหนำจวมมฉำกABCมพนทเทำกบ27ตำรำงนวดำนทยำวทสดของสำมเหลยมABCยำวเทำกบเทำไร

1. 3 2. 6 3. 3 6 4. 6 3

ใหดำนประกอบมมฉำกยำวX

จำกพนท 12ixix = 27

x2 = 27×2

x2 = 54

จำกทฤษฎบทปทำโกรสผลรวมก�ำลงสองของดำนทสนทสดบวกกนจะไดดำนทยำวทสดก�ำลงสอง

2 2 2x x c+ =

254 54 c+ =

6 3c =

ตอบ 4

X

X

Ex3. สำมเหลยมABCเปนสำมเหลยมทมมมCเปนมมฉำกมมBท�ำมม30°และมพนท 24 3 ตำรำงนว

อยำกทรำบวำBCยำวเทำกบขอใด

1.12นว 2.14นว 3.16นว 4.18นว

2pr


วธท�าใหระยะหำงระหวำงเรอกบตกเปนx

25tan 40x

=

250.8391x

=

29.79x =

ตอบ 3

วธท�า 1tan 303

=

3

AC xBC x

=

พนท=12×ฐำน×สง

24 3 = 12i 3xi1x

2 48x =

4 3x =

จะไดBCยำว 3 3(4 3) 12x = =

ตอบ 1

A

C B

30�

Ex 4.นำยเออยบนเรอล�ำหนงมองเหนยอดตกทสง25เมตรเปนมมเงย40๐แสดงวำเรอล�ำนอยหำงจำกตกเปนระยะทำงประมำณ

เทำใด

1.14.43เมตร

2.20.98เมตร

3.29.79เมตร

4.32.64เมตร

5.38.89เมตร

θ sinθ cosθ tan

40 0.6428 0.7660 0.8391

500.7660 0.6428 1.1918

600.8660 0.5000 1.7321

xเรอตก

25

Ex 5. รปสเหลยมผนผำสองรป มขนำดเทำกน โดยมเสนทแยงมมยำวเปนสองเทำของดำนกวำง ถำน�ำรปสเหลยมผนผำมำวำง

ตอกนดงรปจดAและจดBอยหำงกนเปนกเทำของดำนกวำง

A

B

1. 1.5 2. 3 3. 2 4. 2 2

3AC xBC x

=3

AC xBC x

=

3AC xBC x

=3

AC xBC x

=24 3 = 1

2i 3xi1x

3AC xBC x

=3

AC xBC x

=

40�


วธท�า

จำก tan AB!D = 13

สมมตใหADและABยำวXและ3Xตำมล�ำดบ

พนท=กวำงxยำว

12=X(3X)

X=2

วธท�า

ใหดำนกวำงของสเหลยมผนผำยำวxเมตร

จะเหนวำสำมเหลยมทไดมดำนสองดำนยำวเทำกนแสดงวำสำมเหลยมรปนม ˆ ˆ 45A B= =

จำกทฤษฎบทปทำโกรสผลรวมก�ำลงสองของดำนทสนทสดบวกกนจะไดดำนทยำวทสดก�ำลงสอง

2 2 2(2 ) (2 )x x C+ =

2 28C x=

8C x= ( 8C x= )2 2C x=

2 2C x= (2 2C x= )2 2C x=

เนองจำกดำนกวำงยำวxดงนนจดAและจดBอยหำงเปนระยะ 2 2 เทำของดำนกวำง

ตอบ 4

A

B

C

8C x=

Ex 6. ก�ำหนดใหABCDเปนรปสเหลยมผนผำซงมพนทเทำกบ12ตำรำงนวและ tan AB!D = 13 ถ ำ AE ตงฉำกกบ BD ทจด

EแลวAEยำวเทำกบขอใด

1. 103นว 2. 2 10

5นว 3. 10

2นว 4. 3 10

5นว

B

CD

A

x

3x

E


90 � -

วธท�า

h

y

จำกทฤษฎบทปทำโกรสจะท�ำใหไดดำนBD= 2 26 2+ = 2 10

เนองจำกสำมเหลยมABDมพนทเปนครงหนงของสเหลยมABCD

จะไดวำ พนทสำมเหลยมABD= 12× BD× AE

6 = 12×2 10 × AE

610

AE =

=(610

AE = )(610

AE = )=610

AE =

3 105

AE =

ตอบ 4

Ex7. นำยกและนำยขยนอยบนพนรำบซงหำงจำกก�ำแพงเปนระยะ10เมตรและ40เมตรตำมล�ำดบถำนำยกมองหลอดไฟ

บนก�ำแพงดวยมมเงย องศำในขณะทนำยขมองหลอดไฟดวงเดยวกนดวยมมเงย90�– องศำถำไมคดควำมสงของ

นำยกและนำยขแลวหลอดไฟอยหำงจำกพนกเมตร

1.10เมตร 2.10 2 เมตร 3.10 3 เมตร 4.20เมตร

y

40

h

กข

10

สมกำรท1

สมกำรท2

น�ำสมกำรท2÷1จะได;

คอ

ตอบ 4

Ex8. วงกลมหนงมรศม 6 หนวย และ A,B,C เปนจดบนเสนรอบวง ถำ AC เปนเสนผำนศนยกลำงของวงกลมและ AB!C = 60!

แลวพนทรปสำมเหลยมABCเทำกบขอใดตอไปน



610

AE = 610

AE =610

AE =610

AE =


วธท�า

B

CA

จำกทฤษฎวงกลมมมในครงวงกลมเปนมมฉำกจะไดมม ˆ 90B =

จำกรปจะไดวำ cos 6012BC

= และ sin 6012AB

=

จะไดพนทสำมเหลยมABC=1 (12cos 60 )(12sin 60 )2

=18 3 ตำรำงหนวย

ตอบ 4

•สอนศำสตรคณตศำสตรม.6:ฟงกชนตรโกณมต


onet-math/ch6-1

•อตรำสวนตรโกณมตตอนท1


onet-math/ch6-2



onet-math/ch6-3



onet-math/ch6-4



onet-math/ch6-5

•สรปสตรคณตศำสตรส�ำหรบเตรยมสอบ-

เรองฟงกชนตรโกณมต


onet-math/ch6-6

นองๆสำมำรถศกษำเพมเตมไดท

Tag : สอนศำสตร,คณตศำสตร,อตรำสวนตรโกณมต

90 �

60 �


บทท7

ล�ำดบและอนกรม

เรองของล�ำดบและอนกรมควำมยำกอยในระดบปำนกลำงเรองนจดเปนหนงในเรองทใชทกษะในกำรค�ำนวณและสตรตำงๆ

ในหวขอนถอเปนสงส�ำคญในกำรสรำงสมกำรจำกโจทยตำงๆ อยำงไรกตำมนองๆ ตองอำนโจทยและท�ำควำมเขำใจวำโจทยใหอะไร

มำและตองกำรหำอะไรทส�ำคญทสดคอควำมรอบคอบในกำรแกระบบสมกำร

ล�ำดบ (Sequence)

บทนยำม:ฟงกชนทมโดเมนเปนสบเซตของจ�ำนวนเตมบวกและมเรนจเปนสบเซตของจ�ำนวนจรง

ถำfเปนฟงกชนล�ำดบจ�ำกดทมโดเมนเทำกบ{1,2,3,…,n}แลวสมำชกของfจะไดf(1),f(2),f(3),…,f(n)หรอa1,a

2,

a3,…,a

nเรยกวำล�ำดบจ�ำกด

ถำfเปนฟงกชนล�ำดบอนนตทมโดเมนเทำกบ{1,2,3,…,n,…}แลวสมำชกของfจะไดf(1),f(2),f(3),…,f(n),…หรอ

a1,a

2,a

3,…,a

n,…เรยกวำล�ำดบอนนต

ล�ำดบเลขคณต (Arithmetic Sequence)

บทนยำม:ล�ำดบเลขคณตคอล�ำดบทมผลตำงของพจนสองพจนทอยตดกนมผลตำงทเทำกนเสมอเรยกวำผลตำงรวม(common

different)

เมอa1,a

2,a

3,…,a

n,a

n+1,…เปนล�ำดบเลขคณตแลวผลตำงรวม(d)โดยd=a

n+1–a

nทกจ�ำนวนเตมบวกทn=1,2,3,

…พจนทnของล�ำดบเลขคณตคอan=a

1+(n-1)d

แบบฝกหดท1

1.ถำพจนแรกมคำเทำกบ8และพจนท3เทำกบ16จงหำพจนท15ของล�ำดบเลขคณต

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………


2.ผลตำงรวมของล�ำดบเลขคณตจะมคำเทำไรเมอa25–a

15=20

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3.ถำk,3k,6k+2เปนสำมพจนทเรยงกนในล�ำดบเลขคณตมพจนแรกเปน-7kจงหำพจนท50มคำเทำไร

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ล�ำดบเรขำคณต (Geometric Sequence)

บทนยำม:ล�ำดบเรขำคณตคอล�ำดบทมอตรำสวนของพจนสองพจนทอยตดกนมคำเทำกนเสมออตรำสวนทเทำกนเสมอนเรยกวำ

อตรำสวนรวม(commonratio)

เมอa1,a

1r,a

1r2,...เปนล�ำดบเรขำคณตแลวอตรำสวนรวม(r)โดยr=

ทกจ�ำนวนเตมบวกทn=1,2,3,…พจน

ทnของล�ำดบเลขคณตคอan=a

1rn-1

4.จงหำพจนท8ของล�ำดบ

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………


5.จงหำพจนทวไปของล�ำดบ-27,9,-3,1,…

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

6.ถำa-3,aและa+2เปนสำมพจนแรกของล�ำดบเรขำคณตใหหำอตรำสวนรวมของล�ำดบน

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

กำรแกโจทยล�ำดบบำงครงตองใชสมมตล�ำดบเพอจะท�ำใหสำมำรถแกโจทยปญหำไดงำยและรวดเรวยงขน

1. ล�ำดบเลขคณต

ถำจ�ำนวนพจนทเรยงกนเปนจ�ำนวนครปล�ำดบเลขคณตทสมมำตรจะไดดงน

เมอม3พจน:a–d,a,a+d

เมอม5พจน:a–2d,a–d,a,a+d,a+2d

เมอม7พจน:a–3d,a–2d,a–d,a,a+d,a+2d,a+3d

ถำจ�ำนวนพจนทเรยงกนเปนจ�ำนวนครปล�ำดบเลขคณตทสมมำตรจะไดดงน

เมอม4พจน:a–3d,a–d,a+d,a+3d

เมอม6พจน:a–5d,a–3d,a–d,a+d,a+3d,a+5d

2. ล�ำดบเรขำคณต

ถำจ�ำนวนพจนทเรยงกนเปนจ�ำนวนครปล�ำดบเรขำคณตทสมมำตรจะไดดงน

เมอม3พจน: ,a,ar

เมอม5พจน: , ,a,ar,ar2

ถำจ�ำนวนพจนทเรยงกนเปนจ�ำนวนครปล�ำดบเรขำคณตทสมมำตรจะไดดงน

เมอม4พจน: , ,ar,ar3

เมอม6พจน: , , ,ar,ar3,ar

5


7.ล�ำดบเลขคณตชดหนงม5พจนและผลบวกของทกพจนเทำกบ30หำพจนท3

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

อนกรม (Series)

อนกรมคอผลรวมของล�ำดบโดยจ�ำนวนในอนกรมเรยกวำพจน(เหมอนกบของล�ำดบ)

บทนยำม : เมอ a1, a

2, a

3 ,… , a

nเปนล�ำดบจ�ำกด ทม n พจน จะสำมำรถเขยนแสดงผลบวกของพจนทกพจนของล�ำดบในรป

a1+a

2+a

3+…+a

nเรยกวำ“อนกรมจ�ำกด”

เมอa1,a

2,a3,…,a

n,…เปนล�ำดบอนนตจะสำมำรถเขยนแสดงผลบวกในรปa

1+a

2+a

3+…+a

n+…เรยก

วำ“อนกรมอนนต”

สญลกษณแทนกำรบวก

ซกมำ(sigma: )คอสญลกษณแทนกำรบวกโดยมรปแบบกำรบวกดวยซกมำจะเปนดงน

สมบตของซกมำ

1. เมอcเปนคำคงตว

2.

3.

4.

สตรผลบวกทส�ำคญ

1.

2.

3.

เชน =3(n2)(n+1)− 2n

== 3(52)(5+1)− 2(5)

= 35=


8.หำคำkซงเปนจ�ำนวนจรงใดๆทท�ำให

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ผลบวกของ n พจนแรกของอนกรม

เขยนแทนดวยสญลกษณSn=a

1+a

2+a

3+…+a

n=

บทนยำม :ถำอนกรมนนเปนล�ำดบเลขคณตเรยกวำ“อนกรมเลขคณต” และผลตำงรวมของล�ำดบเลขคณตเปนผลตำงรวมของ

อนกรมเลขคณตดวย

ถำอนกรมนนเปนล�ำดบเรขำคณตเรยกวำ“อนกรมเรขำคณต”และอตรำสวนรวมของล�ำดบเรขำคณตจะเปนอตรำสวนรวม

ของอนกรมเรขำคณตดวย

อนกรมเลขคณต

ผลบวกของnพจนแรกของอนกรมเลขคณตสำมำรถหำไดจำกสมกำร

หรอ

** หมำยเหตในกรณทเรำรSnตองกำรจะหำa

nไดจำกสมกำรนa

n=S

n–S

n-1เมอn≠1และS

n=

9.จงหำผลบวกของอนกรมเลขคณต1+5+9+…+117

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

n

i = 1a

i

n

i = 1a

i


10.ผลบวกยอย18พจนแรกของอนกรม2+6+10+…

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

11.ถำผลบวกและผลคณของ3พจนแรกของล�ำดบเลขคณตทมผลตำงรวมdมคำเปน15และ80ตำมล�ำดบแลวd2

มคำเทำกบเทำไร

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

12.หำคำของ1+3+5+…+101

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

อนกรมเรขำคณต

ผลบวกของnพจนแรกของอนกรมเรขำคณตสำมำรถหำไดจำกสมกำร

หรอ เมอr≠ 1

หรอจะใชสมกำร หรอ เมอr≠1ใชในกรณทr<1


13.อนกรมเรขำคณต3+6+12+…จะตองบวกกนกพจนจงจะไดผลบวกเปน765

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

14.อนกรมเรขำคณตอนกรมหนงมพจนแรกเทำกบ3และพจนทnเทำกบ96และผลบวกnพจนแรกเทำกบ189จงหำ

ผลบวกของ10พจนแรกของอนกรมน

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

15.ถำผลบวกของnพจนแรกของอนกรมหนงคอSn=3n

2+2แลวพจนท10ของอนกรมนมคำเทำกบเทำไร

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

16.ปำแจมขำยน�ำเตำหในวนท 3มกรำคมในวนแรกขำยไดก�ำไร100บำทและในวนตอๆ ไปขำยไดก�ำไรเพมขนจำกวน

กอนหนำวนละ10บำททกวนวนทเทำไรของเดอนมกรำคมทปำแจมขำยไดก�ำไรเฉพำะวนนน340บำท

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………



1.ถำพจนแรกมคำเทำกบ8และพจนท3เทำกบ16จงหำพจนท15ของล�ำเลขคณต

วธท�ำ เนองจำก a1=8,a

3=16หำd=?หำa

15=?

จำก an=a

1+(n-1)d

a3=a

1+2d

16=8+2d

2d=8

จะได d=4

จำก an=a

1+(n-1)d

a15=8+14(4)

a15=64

2.ผลตำงรวมของล�ำดบเลขคณตจะมคำเทำไรเมอa25–a

15=20

วธท�ำ เนองจำก a25–a

15=20หำd=?

จะไดวำ (a1+24d)–(a

1+14d)=20

24d–14d=20

d=2

3.ถำk,3k,6k+2เปนสำมพจนทเรยงกนในล�ำดบเลขคณตมพจนแรกเปน-7kจงหำพจนท50มคำเทำไร

วธท�ำ จำกโจทยจะไดวำ 3k-k=(6k+2)-3k

2k=3k+2

k=-2

d=3k–k

=2k

=-4

โจทยบอกพจนแรกเปน -7ka1=14

จำกสมกำร an=a

1+(n-1)d

a50=a

1+49d

=14+49(-4)=-182

4.จงหำพจนท8ของล�ำดบ

วธท�ำ เนองจำก a1= ,r= =

จำก an=a

1rn-1

a8=


=

a8=

5.จงหำพจนทวไปของล�ำดบ-27,9,-3,1,...

วธท�ำ เนองจำก a1=-27,r=-

จำก an=a

1rn-1

a

n=(-27)

an=(81)

6.ถำa+3,aและa-2เปนสำมพจนแรกของล�ำดบเรขำคณตใหหำอตรำสวนรวมของล�ำดบน

วธท�ำ จำกโจทยหำอตรำสวนรวม

a2=(a–2)(a+3)

a2=a

2+a–6

a–6=0

a=6

ล�ำดบเรขำคณตคอ9,6,4

7.ล�ำดบเลขคณตชดหนงม5พจนและผลบวกของทกพจนเทำกบ30จงหำพจนท3

วธท�ำ เนองจำก5พจนนคอa–2d,a–d,a,a+d,a+2d

จำกโจทยจะไดวำa–2d+a–d+a+a+d+a+2d=30

5a=30

a=6

8.หำคำkซงเปนจ�ำนวนจรงใดๆทท�ำให

10

n = 1วธท�ำจำก

10

n = 1

3,025k+1155k+55=4,235

4,180k=4180

k=1


9.จงหำผลบวกของอนกรมเลขคณต1+5+9+…+117

วธท�ำ เนองจำก1+5+9+…+117เปนอนกรมเลขคณต

จะไดa1=1d=5–1=4และa

n=117

ใชสมกำรan=a

1+(n-1)d

117=1+(n-1)4

117–1=4n–4

4n=116+4

4n=120

n=30

จะไดวำ

S30=15(2+116)

S30=15(118)=1770

10.ผลบวกยอย18พจนแรกของอนกรม2+6+10+…

วธท�ำ หำa18กอนจำกสมกำรa

n=a

1+(n-1)d

a18=2+(17)4=70

จำกสมกำร )

S18=

S18=648

11.ถำผลบวกและผลคณของ3พจนแรกของล�ำดบเลขคณตทมผลตำงรวมdมคำเปน15และ80ตำมล�ำดบแลวd2มคำเทำกบ

เทำไร

วธท�ำ เนองจำกล�ำดบ3พจนแรกคอa,a+d,a+2d…………(1)

และ a+a+d+a+2d=15

3a+3d=15

จะได a+d=5แทนใน(1);ล�ำดบคอ5–d,5,5+d

ผลคณของ3พจนแรก=(5-d)(5)(5+d)=80

25–d2=16

d2=9

12.หำคำของ1+3+5+…+101

วธท�ำ จำกสมกำร an=a

1+(n-1)d

จะได 101=1+(n-1)2

101=1+2n-2


2n=102

n=51

จำกสมกำร

=

Sn=2601

13.อนกรมเรขำคณต3+6+12+…จะตองบวกกนกพจนจงจะไดผลบวกเปน765

วธท�ำจำกโจทยจะไดวำa1=3,r=2,S

n=765

ใชสมกำร

3(2n)–3=765

3(2n)=768

2n=256

n=8

ดงนนตองบวก8พจนจงจะไดผลบวกเปน765

14.อนกรมเรขำคณตอนกรมหนงมพจนแรกเทำกบ3และพจนทnเทำกบ96และผลบวกnพจนแรกเทำกบ189จงหำผลบวก

ของ10พจนแรกของอนกรมน

วธท�ำ ใชสมกำร เพออตรำสวนรวมกอน

189r–189=96r–3

93r=186

r=2

จำกสมกำร

S10=3(1024–1)

S10=3(1023)=3069

15.ถำผลบวกของnพจนแรกของอนกรมหนงคอSn=3n

2+2แลวพจนท10ของอนกรมนมคำเทำกบเทำไร

วธท�ำตองกำรหำพจนท10จำกสมกำรan=S

n–s

n-1

a10=S

10–S

9

=(3(102)+2)–(3(9

2)+2)

=3(102)-3(9

2)

=3(102-9

2)

=57


16.ปำแจมขำยน�ำเตำหในวนท 3มกรำคม ในวนแรกขำยไดก�ำไร100บำทและในวนตอๆ ไปขำยไดก�ำไรเพมขนจำกวนกอนหนำ

วนละ10บำททกวนวนทเทำไรของเดอนมกรำคมทปำแจมขำยไดก�ำไรเฉพำะวนนน340บำท

วธท�ำ จำกโจทยเรยงเปนล�ำดบเลขคณต100,110,120,130,…

หำพจนทวไปจำกสมกำร an=a

1+(n-1)d

=100+(n-1)10

an=10n+90

ตองกำรรวนทไดก�ำไร340บำท:10n+90=340

n+9=34

n=25

ปำแจมเรมขำยวนท3มกรำคมวนทไดก�ำไร340วนท27มกรำคม

•สอนศำสตรคณตศำสตรม.6:ล�ำดบและอนกรม


onet-math/ch7-1

•ล�ำดบและอนกรมตอนท1


onet-math/ch7-2



onet-math/ch7-3



onet-math/ch7-4


เรองล�ำดบและอนกรม


onet-math/ch7-5


Tag : สอนศำสตร,คณตศำสตร,ล�ำดบ,อนกรม,สตรเตรยมสอบ


บทท8

ความนาจะเปน

ส�ำหรบในเรองควำมนำจะเปนเรองนจดเปนหนงในเรองทใชทกษะในกำรค�ำนวณและจ�ำสตรนอยมำกๆเมอเทยบกบเรองอนๆ

แตกำรทนองๆจะสำมำรถท�ำขอสอบในเรองนไดนองๆจะตองมควำมเขำใจในขอแตกตำงระหวำงกฎกำรคณและกฎกำรบวกซงจะ

เปนตวก�ำหนดวำนองๆจะตองแกโจทยปญหำภำยใตเงอนไขทแตกตำงกนตำมล�ำดบขนตอนใดกอนหรอหลงและสงทส�ำคญทสดคอ

กำรแยกแยะวำสงทโจทยก�ำหนดใหอยภำยใตเหตกำรณหลกหรอเหตกำรณยอยและน�ำมำประยกตใชกบกฎกำรคณและกฎกำรบวก

นนเอง

1. กฎการนบเบองตน (Fundamental Counting Principle)

1.1)กฎกำรคณ

ถำมเหตกำรณยอยเกดขนkเหตกำรณ(n1,n

2,…,n

k)และแตละเหตกำรณเกดขนภำยใตเงอนไขหลกและเงอนไขยอย

เดยวกน

จ�ำนวนเหตกำรณทงหมด=n1×n

2×n

3×…×n

k

1.2)กฎกำรบวก

ถำมเหตกำรณยอยเกดขนkเหตกำรณ(n1,n

2,…,n

k)และแตละเหตกำรณเกดขนภำยใตเงอนไขหลกเดยวกนแตม

เงอนไขยอยทตำงกน

จ�ำนวนเหตกำรณทงหมด=n1+n

2+n

3+…+n

k

ตวอยาง 1ก�ำหนดใหn∈ Ι {1,2,3,4,5,6,7,8,9}จงสรำงจ�ำนวนสำมหลกจำกสมำชกของnตำมเงอนไขดงตอไปน

1)จ�ำนวนมคำนอยกวำ300

เงอนไขหลกและเงอนไขยอย คอ“จ�ำนวนมคำนอยกวำ300”

ตวเลขหลกรอยทสำมำรถเปนได ไดแก1และ2=2เหตกำรณ

ตวเลขหลกสบทสำมำรถเปนได ไดแก1,2,3,4,5,6,7,8และ9=9เหตกำรณ

ตวเลขหลกหนวยทสำมำรถเปนได ไดแก1,2,3,4,5,6,7,8และ9=9เหตกำรณ

ดงนน จ�ำนวนทสำมำรถสรำงได =2×9×9 =162จ�ำนวน

2)จ�ำนวนขนตนดวยเลข5หรอเลข6และลงทำยดวยเลข2

เงอนไขหลก คอ“จ�ำนวนขนตนดวยเลข5หรอเลข6และลงทำยดวยเลข2”

เงอนไขยอย คอ “จ�ำนวนขนตนดวยเลข5และลงทำยดวยเลข2”

หรอ“จ�ำนวนขนตนดวยเลข6และลงทำยดวยเลข2”

พจารณาเงอนไขยอยท 1“จ�ำนวนขนตนดวยเลข5และลงทำยดวยเลข2”

ตวเลขหลกรอยทสำมำรถเปนได ไดแก5 =1เหตกำรณ


ตวเลขหลกหนวยทสำมำรถเปนไดไดแก2=1เหตกำรณ

ดงนน จ�ำนวนทสำมำรถสรำงได =1×9×1=9จ�ำนวน


พจารณาเงอนไขยอยท 2“จ�ำนวนขนตนดวยเลข6และลงทำยดวยเลข2”

ตวเลขหลกรอยทสำมำรถเปนได ไดแก6 =1เหตกำรณ


ตวเลขหลกหนวยทสำมำรถเปนไดไดแก2=1เหตกำรณ

ดงนน จ�ำนวนทสำมำรถสรำงได =1×9×1=9จ�ำนวน

จงสามารถสรปไดวา จ�านวนทสามารถสรางไดภายใตเงอนไขหลก = 9 + 9 = 18 จ�านวน

2. แฟคทอเรยล (Factorial)

นยาม ใหnเปนสมำชกของจ�ำนวนเตมบวก

แฟคทอเรยลnหมำยถงผลคณของจ�ำนวนเตมบวกตงแต1ถงn

เขยนแทนดวยสญลกษณn!อำนวำ“แฟคทอเรยลn”หรอ“nแฟคทอเรยล”

n! = n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1

คา n!

0! = 1

1! = 1

2! = 2×1=2

3! = 3×2×1=6

4! = 4×3×2×1=24

5! = 5×4×3×2×1=120

6! = 6×5×4×3×2×1=720

7! = 7×6×5×4×3×2×1=5,040

8! = 8×7×6×5×4×3×2×1=40,320

9! = 9×8×7×6×5×4×3×2×1=362,880

*** n! + m! ≠ (n + m)! n! – m! ≠ (n - m)!

n! × m! ≠ (n × m)! n! ÷ m! ≠ (n ÷ m)! ***

ท�ำไม0แฟคทอเรยล=1

เนองจำกนยำมของn!คอผลคณของจ�ำนวนเตมบวกตงแต1ถงnแตบำงครงจ�ำเปนตองใช0!จงก�ำหนดคำ0!=1เพอ

ใหสอดคลองกบนยำมทบอกวำเปนผลคณจ�ำนวนเตมบวก(จ�ำนวนนบ)

n!=n(n-1)(n-2)....3.2.1

ดงนนถำ2!=2.(2-1)=2.1=2

แต1!=1.(1-1)!=1.0!=ซงค�ำตอบตองเปน1เทำนนจงจะสอดคลองกบสมกำร

เนองจำก1!=1ดงนนมนจงบงคบให0!=1จำ

เกรดความร


3. การสบเปลยน (Permutation)

3.1)กำรสบเปลยนเชงเสน(LinearPermutation)

เมอมสงของทมลกษณะแตกตำงกนnชนจ�ำนวนวธในกำรสบเปลยนเชงเสนจะเทำกบn!วธ

ตวอยาง 2สวนสตวแหงหนงประกอบดวยลงสงโตมำและนกเพนกวน2ตว(ด�ำและน�ำเงน)ยนเรยงแถวถำยรปเปนเสนตรง

จงหำจ�ำนวนวธในกำรยนถำยรปภำยใตเงอนไขดงน

จ�ำนวนสมำชกในสวนสตว (n = 5)

1) ไมมเงอนไข

จ�ำนวนวธในกำรยนถำยรป=5!

=5×4×3×2×1

=120วธ

2) นกเพนกวน 2 ตวยนตดกน

ในกรณนใหเรำจบเพนกวนทง2ตวมดรวมกนแลวมองกอนทเรำมดเปน1กอน

เพนกวนน�ำเงนเพนกวนด�ำลงสงโตมำ

1 2 3 4

จำกนนใหเรำท�ำกำรสบเปลยนเชงเสนตำมปกตแตอยำลมท�ำกำรสบเปลยนเชงเสนระหวำงนกเพนกวนทง2ตวดวย เนองจำก

ไมวำเพนกวนน�ำเงนจะอยทำงซำยหรอทำงขวำของเพนกวนด�ำทงสองตวยงคงยนตดกนอย

จ�ำนวนวธในกำรยนถำยรป =4!(เพนกวนนบรวมกน)×2!(สบเปลยนระหวำงเพนกวน)

=4×3×2×1×2×1

=48วธ

3) ลง สงโต และมายนตดกน

เพนกวนน�ำเงนเพนกวนด�ำลงสงโตมำ

เหมอนดงขอท2ในกรณนใหเรำจบลงสงโตและมำมดรวมกนแลวมองเปน1กอน

จ�ำนวนวธในกำรยนถำยรป =3!×3!(สบเปลยนภำยในระหวำงลงสงโตและมำ)

=3×2×1×3×2×1

=36วธ

4) เพนกวน 2 ตว ยนแยกกน

ในกรณนใหเรำจบเพนกวนตวใดตวหนงแยกออกไปกอน(ยกตวอยำงใหเปนเพนกวนน�ำเงน)

เพนกวนด�ำลงสงโตมำ

จำกนนใหท�ำกำรสบเปลยนเชงเสนระหวำงสตวทง4ตว

จ�ำนวนวธในกำรยนถำยรป =4!

จำกนนใหพจำรณำตำมเงอนไข(เพนกวนน�ำเงนไมสำมำรถยนตดเพนกวนด�ำได)


ดงนนต�ำแหนงทเพนกวนด�ำสำมำรถเขำมำยนถำยรปไดจะเปนดงน

เพนกวนด�ำลงสงโตมำ

X X

จะเหนวำเพนกวนน�ำเงนไมสำมำรถเขำมำยนในต�ำแหนงท1และ2ได

ดงนนตวเลอกของเพนกวนน�ำเงน =3ตวเลอก

ดงนน จ�ำนวนวธในกำรยนถำยรป =4!×3

=4×3×2×1×3

=72วธ

5) สงโตยนตรงกลาง

เพนกวนน�ำเงนเพนกวนด�ำสงโตลงมำ

จำกรปจะเหนวำเรำไมสำมำรถขยบต�ำแหนงชองสงโตได

กำรสบเปลยนเชงเสนจงเหลอแคสตวเพยง4ตว

จ�ำนวนวธในกำรยนถำยรป =4!

=4×3×2×1

=24วธ

6) มาอยระหวางเพนกวนทง 2 ตว

กรณนใหมดมำและเพนกวนเปนกอนเดยวกน

เพนกวนน�ำเงนมำเพนกวนด�ำสงโตลง

เหลอกำรสบเปลยนเชงเสนเพยง3กลม =3!

จำกนนสงเกตวำเพนกวนทงสองตวสำมำรถสลบทกนได(ยงคงอยภำยใตเงอนไข“มำอยระหวำงเพนกวนทง2ตว”)

สบเปลยนเชงเสนระหวำงเพนกวน2ตว =2!

ดงนน จ�ำนวนวธในกำรยนถำยรป =3!×2!

=3×2×1×2×1

=12วธ

· กำรสบเปลยนเชงเสนของสงของทมบำงสงซ�ำกน

ในกรณทมสงของทมลกษณะเหมอนกน


ถำมสงของทงหมดnชนและมบำงชนซ�ำกนสมมตใหมกำรซ�ำกนkกลมดงน

กลมท 1 มสงของซ�ำกน n1

สง

กลมท 2 มสงของซ�ำกน n2 สง

• •

• •

• •

กลมท k มสงของซ�ำกน nk สง

จ�ำนวนวธในกำรสบเปลยน = วธ

ตวอยาง 3ก�ำหนดค�ำADMISSIONจงหำจ�ำนวนวธในกำรสบเปลยนตวอกษร(โดยไมสนใจควำมหมำยของค�ำ)ภำยใตเงอนไข

ตำงๆดงน


กลมตวอกษรทซ�ำกนไดแกI(2ตว)และS(2ตว)

ดงนน จ�ำนวนวธในกำรสบเปลยน =

=

=90,720วธ

2) ตวอกษรทไมซ�ากนอยตดกน

ADMONIISS

อนดบแรกจบอกษรทไมซ�ำกนมดตดกนแลวมองเปน1กอนหลงจำกนนกเรยงสบเปลยนไดเทำกบ5!=120วธ

อนดบสองอกษรทไมซ�ำกนสำมำรถสลบทกนไดอก5!=120วธ

อนดบสำมใหน�ำตวอกษรทซ�ำกนมำเรยงสบเปลยนแบบกำรเรยงสบเปลยนสงของทซ�ำกนได4!= =6วธ

ดงนนวธเรยงสบเปลยนทงหมด=120+120+6=246วธ

แบบฝกหด

1.ครอบครวหนงประกอบดวยพอแมลกชำย2คนและลกสำว3คนนงเรยงแถวถำยรปโดยใหพอและแมนงตดกนลกชำยนงตด

กนลกสำวนงตดกนแตลกสำวคนแรกไมนงตดกบลกสำวคนทสองและใหพอแมนงอยระหวำงกลมของลกชำยและลกสำวจะม

วธกำรนงทงหมดกวธ

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2! 2!9!

9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1

2 x 1 x 2 x 1

2! 2!4 x 3 x 2 x 1

2 x 1 x 2 x 1


2.มทงหมดกวธในกำรจดเรยงตวอกษรค�ำวำCASABLANCAโดยใหตวBอยระหวำงตวC

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3.2)กำรสบเปลยนแบบวงกลม(CircularPermutation)

เมอสงของมลกษณะแตกตำงกนnชนจ�ำนวนวธในกำรสบเปลยนแบบวงกลมจะมคำเทำกบ(n-1)!วธ

ตวอยาง 4ลกบอล6ลกประกอบไปดวยสแดงสด�ำสขำวสน�ำเงนสเขยวและสเหลองจงหำจ�ำนวนวธทงหมดเมอน�ำลกบอล

มำวำงเรยงเปนวงกลมตำมเงอนไขตำงๆดงน

จ�ำนวนลกบอลทแตกตำงกน(n)=6


จ�ำนวนวธในกำรสบเปลยน =(6-1)!

=120วธ

2) สแดงและสเหลองวางตดกน

ขนแรกใหมดลกบอลสแดงและสเหลองไวดวยกน(เหมอนกบกรณสบเปลยนเชงเสน)

แดง ขำว

เหลอง น�ำเงน

ด�ำ เขยว

จำกนนใหท�ำกำรสบเปลยนแบบวงกลมเชนเดม

***(แตอยาลมการสบเปลยนเชงเสนระหวางลกบอลสแดงและสเหลอง)***

จ�ำนวนวธในกำรสบเปลยน =(5-1)!×2!

=4!×2!

=48วธ

3) สแดงตดสเหลอง สน�าเงนตดสขาว และสด�าตดสเขยว

แดง ขำว



จ�ำนวนวธในกำรสบเปลยน =(3-1)!×2!×2!×2!(สบเปลยนเชงเสนของบอล3กลม)

=2!×2!×2!×2!

=16วธ


4) สขาวไมตดกบสด�า

เชนเดยวกบกรณสบเปลยนเชงเสนใหเรำแยกลกบอลสขำวออกมำกอน

แดง

น�ำเงนเหลอง


กำรสบเปลยนแบบวงกลมสำมำรถท�ำได(5-1)!=4!วธ

แดง

น�ำเงนเหลอง


จะเหนวำต�ำแหนงทไมสำมำรถวำงลกบอลสขำว=2ต�ำแหนง(สำมำรถวำงไดเพยง3ต�ำแหนง)

ดงนน จ�ำนวนวธในกำรสบเปลยน =4!×3

=72วธ

เรำสำมำรถหำจ�ำนวนวธในกำรสบเปลยนไดอกวธหนงดงน

เหตกำรณทลกบอลสขำวไมตดกบสด�ำ=จ�ำนวนวธทงหมด–เหตกำรณทลกบอลสขำวตดกบสด�ำ

กรณท 1จ�ำนวนวธในกำรสบเปลยนทงหมด

แดง ขำว



จ�ำนวนวธในกำรสบเปลยนทงหมด =(6-1)!

=5!

=120วธ

กรณท 2 จ�ำนวนวธในกำรสบเปลยนทลกบอลสขำวอยตดกบลกบอลสด�ำ

แดง เขยว


ด�ำ ขำว

จ�ำนวนวธในกำรสบเปลยน =(5-1)!×2!

=4!×2!

=48วธ


ดงนน จ�ำนวนวธในกำรสบเปลยนโดยลกบอลสขำวไมตดกบลกบอลสด�ำ

=120–48

=72วธ


3.ถำจดลกแกวทงหมด6ลกซงมสแดงและสขำวรวมอยใหเรยงแถวเปน2แบบแบบทหนงใหเรยงลกแกวทงหมดเปนเสนตรง

โดยใหลกแกวสแดงและสขำวอยตดกนแบบทสองใหเรยงลกแกวเปนวงกลมโดยทลกแกวสแดงและสขำวอยตรงขำมกน

จ�ำนวนวธของกำรจดเรยงแตละแบบแตกตำงกนกวธ

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4. การจดหมและการเปลยนล�าดบ (Combination and Permutation)

4.1)กำรจดหม(Combination)

nCr =

n!(n− r)!r!

=

nr⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

โดยทnCrหมำยถงจ�ำนวนวธในกำรจดกลมของสงของจ�ำนวนrชนจำกnชนโดยไมสนใจล�ำดบ

4.2)กำรเปลยนล�ำดบ(Permutation)

nPr =

nCrxr! =

n!(n− r)!

โดยทnPrหมำยถงจ�ำนวนวธในกำรจดกลมของสงของจ�ำนวนrชนจำกnชนโดยสนใจล�ำดบ

r=3ตว

r=5ตว

***TIPS กำรคดnCrอยำงงำย***

nr⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟=

n!(n− r)!r!

=n(n−1)(n− 2)...(n− r)!

(n− r)!r!

ตวอยางเชน

83⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟=8x7x63!

=8x7x63x2x1

= 56

r=3

และ 85⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟=8x7x6x5x4

5!=8x7x6x5x45x4x3x2x1

= 56

r=5

ดงนนถำr1+r

2=nแลว

nCr1=

nCr2

เทำกน


สมบตของการจดหม

1.

2.

3.

4.

n1⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= n

nn−1⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟= n

nn⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟=1

n0⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟=1

ตวอยาง 5ในกลมตวอยำงประกอบดวยผใหญ3คนเดกผชำย2คนและเดกผหญง2คน

1)เลอกตวแทน4คน

7C

4 =

12344567

xxxxxx

= 35วธ

2)เลอกตวแทน4คนโดยตองเปนเดกผชำยอยำงนอย1คนจ�ำนวนวธในกำรเลอกตวแทน4คนโดยมเดกผชำยอยำงนอย

1คน=จ�ำนวนวธทงหมด–จ�ำนวนวธโดยไมมเดกผชำยเลย

จำก1)จ�ำนวนวธในกำรเลอกตวแทน4คนแบบไมมเงอนไข=35วธ

ตองกำรหำจ�ำนวนวธในกำรเลอกตวแทน4คนโดยไมมเดกผชำยอยเลย

เทำกบวำคนทสำมำรถเปนตวแทนไดมเพยงผใหญและเดกผหญงเทำนน

จ�ำนวนผใหญรวมกบเดกผหญง=5คน

ดงนน 35–5C

4 =35-

123412345

xxxxxxx

=35-5=30วธ

3)เลอกตวแทน4คนโดยตองมผใหญเดกผชำยและเดกผหญงอยำงนอย1คน

จ�ำนวนวธ =3C

1 x

2C

1 x

2C

1 x

4C

1

โดย3C

1 มำจำกกำรเลอกผใหญ1คน จำกจ�ำนวน3คน

2C

1 มำจำกกำรเลอกเดกผชำย1คน จำกจ�ำนวน2คน

2C

1 มำจำกกำรเลอกเดกผหญง1คน จำกจ�ำนวน2คน

4C

1 มำจำกกำรเลอกตวแทน1คน จำกจ�ำนวน4คน(คนทเหลออย)

ดงนน จ�ำนวนวธ =3×2×2×4

=48วธ

4)เลอกตวแทน3คนโดยถำมเดกผชำยตองไมมเดกผหญงอยดวยกน

กรณท1มเดกผชำย1คน


2 x

2C

1 =6วธ

n1⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= n

nn−1⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟= n

nn⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟=1

n0⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟=1


กรณท2มเดกผชำย2คน


1 x

2C

2 =3วธ

กรณท3มเดกผหญง1คน


2 x

2C

1 =6วธ

กรณท4มเดกผหญง2คน


1 x

2C

2 =3วธ

กรณท5เปนผใหญหมดทง3คน


3 =1วธ

ดงนน จ�ำนวนวธทงหมด=6+3+6+3+1 =19วธ


4.ในกำรทศนศกษำของนกเรยนกลมหนงซงมจ�ำนวน14คนซงรวมAและBอยดวยในกำรพกแรมมหองพกอย2หองโดยหอง

101จคนได8คนและหอง102จคนได6คนจ�ำนวนวธทจดใหAและBอยหองเดยวกนตำงจำกจ�ำนวนวธทจดใหAและBอย

คนละหองกนกวธ

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5.ตองกำรแตงตงคณะผบรหำรบรษทประกอบไปดวยประธำนบรษทรองประธำนเลขำนกำรเหรญญกอยำงละ1คนจำกกลมผ

ถอหนทมผชำย6คนและผหญง4คน จงหำ

1)จ�ำนวนรปแบบของกำรแตงตงแบบไมมเงอนไขและ

2)จ�ำนวนรปแบบของกำรแตงตงโดยทประธำนเปนผชำยและเลขำนกำรเปนผหญง

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………


5. ความนาจะเปน (Probability)

5.1)กำรทดลองสม(RandomExperiment)

หมำยถง กำรกระท�ำทเรำไมรถงผลลพธแนนอนทจะเกดขนในอนำคตแตเรำสำมำรถบอกไดถงผลลพธทมโอกาสจะ

เกดขน เชนกำรโยนเหรยญทเรำสำมำรถบอกไดวำผลลพธสำมำรถเปน“หว”หรอ“กอย”กไดแตเรำไมสำมำรถระบได

อยำงแนนอนวำผลลพธทออกมำจะเปน“หว”หรอ“กอย”

อกตวอยำงหนงคอกำรทอยลกเตำเรำสำมำรถบอกไดวำผลลพธสำมำรถเปนตวเลข1-6แตเรำไมสำมำรถระบไดอยำง

แนนอนวำตวเลขทหงำยจะเปนตวเลขอะไร

5.2)แซมเปลสเปซ(SampleSpace)

หมำยถงเซตของผลลพธทงหมดทสำมำรถเกดขนไดโดยทวไปใชSเปนตวอกษร

ตวอยาง 6โยนเหรยญบำท1เหรยญสองครงโดยสนใจหนำของเหรยญทจะออกจงหำแซมเปลสเปซของกำรโยนเหรยญ

สองครง

ก�ำหนดให Hเปนผลลพธทเหรยญออก“หว”

Tเปนผลลพธทเหรยญออก“กอย”

โยนเหรยญครงท 1 โยนเหรยญครงท 2

H

H

T

H

T

T

ดงนนแซมเปลสเปซหรอS={(HH),(HT),(TH),(TT)}

ตวอยาง 7ทอยลกเตำสแดงและลกเตำสน�ำเงนพรอมกน1ครงจงหำแซมเปลสเปซของกำรทอยลกเตำทงสองลก

S={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),

(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}

หรอกลำวคอจ�ำนวนแซมเปลสเปซหรอn(S)=36

5.3)เหตกำรณ(Event)

หมำยถงผลลพธทเรำสนใจจำกำรทดลองสมโดยทวไปใชEเปนอกษรยอ

โดยทEจะเปนสบเซตของSเสมอ

ตวอยาง 8ทอยลกเตำสแดงและลกเตำสน�ำเงนพรอมกน1ครงจงหำเหตกำรณทผลรวมของแตมบนลกเตำเทำกบ6

E={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}

หรอกลำวคอจ�ำนวนเหตกำรณหรอn(E)=5


5.4)ควำมนำจะเปน(Probability)

ใหP(E)แทนควำมนำจะเปนของเหตกำรณ

P(E) =

)()(

SnEn

5.5)สมบตของควำมนำจะเปนของเหตกำรณ

1.0 P(E) 1โดยP(E)=0หมำยถงไมมเหตกำรณนนเกดขน

2.P(S)=1หมำยถงควำมนำจะเปนของแซมเปลสเปซเทำกบ1เสมอ

3.ถำP(E’)แทนควำมนำจะเปนทเหตกำรณEจะไมเกดขนแลว

P(E)=1–P(E’)

ตวอยาง 9ในกำรจบสลำกชงโชคมสลำกทงหมด10ใบซงแตละใบมมลคำตำงกนดงน

สลำกหมำยเลข1 มมลคำ500 บำท



สลำกหมำยเลข4-10 มมลคำ0 บำท

จงหำควำมนำจะเปนในกำรหยบสลำก2ใบพรอมกนแลวมมลคำรวม500บำท

ก�ำหนดใหSเปนแซมเปลสเปซและEเปนเหตกำรณทสลำกสองใบมมลคำรวม500บำท

n(S) =จ�ำนวนแซมเปลสเปซ(จ�ำนวนเหตกำรณทเปนไปไดทงหมด)

=จ�ำนวนวธในกำรหยบสลำก2ใบจำก10ใบ

=10C

2=10x92x1

=45วธ

n(E) =จ�ำนวนเหตกำรณทสนใจ(สลำกสองใบมมลคำรวม500บำท)

=สลำกหมำยเลข1+หมำยเลข4-10หรอสลำกหมำยเลข2+หมำยเลข3

=(1,4)(1,5)(1,6)(1,7)(1,8)(1,9)(1,10)(2,3)

=8เหตกำรณ/8วธ

จำก P(E) =n(E)n(S)

ดงนน P(E) =845

=0.1777...

=17.7777…%

****เรำสำมำรถเขยนP(E)ใหอยในรปของรอยละไดโดย

P(E)×100=P(E)%***



6. จำกกำรส�ำรวจบทควำมทเปนทนยมจำกสมำชกนตยสำรเลมหนงซงแตละคนจะตองมบทควำมทชอบอยำงนอยคนละ1

บทควำมซงผลกำรส�ำรวจเปนดงน

บทควำมเกยวกบสขภำพ24คน

บทควำมเกยวกบรถยนต21คน

บทควำมเกยวกบกฬำ23คน

ชอบทงบทควำมเกยวกบสขภำพและรถยนต10คน

ชอบทงบทควำมเกยวกบสขภำพและกฬำ9คน

ชอบทงบทควำมเกยวกบกฬำและรถยนต8คน

ชอบทง3บทควำม3คน

สมเลอกสมำชก1คนจำกสมำชกทงหมดจงหำควำมนำจะเปนทจะไดสมำชกทชอบบทควำมเกยวกบกฬำหรอบทควำมเกยว

กบรถยนต

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.ครอบครวหนงประกอบดวยพอแมลกชำย2คนและลกสำว3คนนงเรยงแถวถำยรปโดยใหพอและแมนงตดกนลกชำยนงตด

กนลกสำวนงตดกนแตลกสำวคนแรกไมนงตดกบลกสำวคนทสองและใหพอแมนงอยระหวำงกลมของลกชำยและลกสำวจะม

วธกำรนงทงหมดกวธ

วธท�า

พอแมลกชำย1ลกชำย2 ลกสำว1ลกสำว3ลกสำว2

สบเปลยนระหวำงคน 3 กลม =3!

สบเปลยนระหวำงพอและแม =2!

สบเปลยนระหวำงลกชาย 2 คน =2!

สบเปลยนระหวำงลกสาวคนท 1 และ 2 =2!

ดงนน จ�านวนวธในการนง=3!×2!×2!×2!

=3×2×1×2×1×2×1×2×1

= 48 วธ



2.มทงหมดกวธในกำรจดเรยงตวอกษรค�ำวำCASABLANCAโดยใหตวBอยระหวำงตวC

วธท�า CBCAAAASLN

สบเปลยนตวอกษร8กลม(7ตว+1กลม) =8!

สบเปลยนระหวำงตวCทงสองตว =2!

ตวอกษรAซ�ำ4ตว =4!

ตวอกษรCซ�ำ2ตว =2!

ดงนนจ�ำนวนวธในกำรจดเรยงตวอกษร =

!2!4!2!8

xx =8×7×6×5=1,680วธ

3. ถำจดลกแกวทงหมด6ลกซงมสแดงและสขำวรวมอย ใหเรยงแถวเปน2แบบแบบทหนงใหเรยงลกแกวทงหมดเปนเสนตรง

โดยใหลกแกวสแดงและสขำวอยตดกนแบบทสองใหเรยงลกแกวเปนวงกลมโดยทลกแกวสแดงและสขำวไมอยตดกนจ�ำนวนวธ

ของกำรจดเรยงแตละแบบแตกตำงกนกวธ

วธท�า 1 2 3 4 แดง ขำว

สบเปลยนเชงเสน5กลม =5!

สบเปลยนลกแกวสแดงและสขำว =2!

ดงนนจ�ำนวนวธในกำรสบเปลยนเปนเสนตรง=5!×2!

=5×4×3×2×1×2×1

=240วธ

แดง

1 2

3 4

สบเปลยนเชงวงกลม5กลม =(5-1)! =4!

ต�ำแหนงทลกแกวสขำวสำมำรถเขำไปได =3

ดงนนจ�ำนวนวธในกำรสบเปลยนเชงวงกลม =4!×3

=4×3×2×1×3

=72วธ

ดงนนจ�ำนวนวธในกำรสบเปลยนลกแกวของทง2แบบแตกตำงกน240–72=168วธ

4. ในกำรทศนศกษำของนกเรยนกลมหนงซงมจ�ำนวน14คนซงรวมAและBอยดวยในกำรพกแรมมหองพกอย2หองโดยหอง

101จคนได8คนและหอง102จคนได6คนจ�ำนวนวธทจดใหAและBอยหองเดยวกนตำงจำกจ�ำนวนวธทจดใหAและB

อยคนละหองกนกวธ

วธท�า หอง101 หอง102

จดใหAและBอยหองเดยวกน

กรณท 1 (AและBอยหอง101)ซงจได8คนเมอAและBไปอยจงเหลออก6คน

เลอกคน6คนจำก12คน=12C

6 =924


กรณท 2 (AและBอยหอง102)ซงจได6คนเมอAและBไปอยจงเหลออก4คน

เลอกคน4คนจำก12คน=12C

4 =495

ดงนนจ�ำนวนวธในกำรจดใหAและBอยหองเดยวกน=924+495=1,419วธ

จดใหAและBอยคนละหองกน

กรณท 1 (Aอยหอง101และBอยหอง102)เหลอคนอยอก12คนทยงไมมหอง

หอง101จคนได8คนเมอAเขำไปอยจงเหลอทวำง7ท

เลอกคน7คนจำก12คนทเหลออยใหเขำพกในหอง101=12C

7=792

เหลอคนอยอก5คนใหเขำพกในหอง102กบB

กรณท 2(Aอยหอง102และBอยหอง102)เหลอคนอยอก12คนทยงไมมหอง

หอง102จคนได6คนเมอAเขำไปอยจงเหลอทวำง5ท

เลอกคน5คนจำก12คนทเหลออยใหเขำพกในหอง102=12C

5 =792

เหลอคนอยอก7คนใหเขำพกในหอง101กบB

ดงนนจ�ำนวนวธในกำรจดใหAและBอยคนละหองกน=792+792=1,584วธ

ดงนนจ�ำนวนวธทจดใหAและBอยหองเดยวกนตำงจำกจ�ำนวนวธทจดใหAและBอยคนละหอง

=1,584–1,419=165วธ

5.ตองกำรแตงตงคณะผบรหำรบรษทประกอบไปดวยประธำนบรษทรองประธำนเลขำนกำรเหรญญกอยำงละ1คนจำกกลมผ

ถอหนทมผชำย6คนและผหญง4คน จงหำ

1)จ�ำนวนรปแบบของกำรแตงตงแบบไมมเงอนไขและ

2)จ�ำนวนรปแบบของกำรแตงตงโดยทประธำนเปนผชำยและเลขำนกำรเปนผหญง

วธท�า

1)แตงตงแบบไมมเงอนไข

จำกคน10คนเลอกคณะผบรหำรบรษท4คนโดยทต�ำแหนงมควำมส�ำคญ

จ�ำนวนวธ=10P

4 =

10x9x8x74x3x2x1

x4!

=5,040วธ

ดงนนจ�ำนวนรปแบบของกำรแตงตงคณะผบรหำรบรษทแบบไมมเงอนไข=5,040วธ

2)ประธำนเปนผชำยและเลขำนกำรเปนผหญง


1 ×

4C

1 ×

8C

1 ×

7C

1

โดย6C

1 มำจำกกำรเลอกผชำย1คนจำก6คนเปนประธำน

4C

1 มำจำกกำรเลอกผหญง1คนจำก4คนเปนเลขำนกำร

8C

1 มำจำกกำรเลอกคน1คนจำกทเหลอ8คนเปนรองประธำน(ไมสนเพศ)

7C

1 มำจำกกำรเลอกคน1คนจำกทเหลอ7คนเปนเหรญญก(ไมสนเพศ)

ดงนนจ�ำนวนวธ =6×4×8×7

=1,344วธ

ดงนนจ�ำนวนรปแบบของกำรแตงตงคณะผบรหำรบรษทโดยทประธำนเปนผชำยและเลขำนกำรเปนผหญง=1,344วธ


6. จำกกำรส�ำรวจบทควำมทเปนทนยมจำกสมำชกนตยสำรเลมหนงซงแตละคนจะตองมบทควำมทชอบอยำงนอยคนละ1บทควำม

ซงผลกำรส�ำรวจเปนดงน

บทควำมเกยวกบสขภำพ24คน

บทควำมเกยวกบรถยนต21คน

บทควำมเกยวกบกฬำ23คน

ชอบทงบทควำมเกยวกบสขภำพและรถยนต10คน

ชอบทงบทควำมเกยวกบสขภำพและกฬำ9คน

ชอบทงบทควำมเกยวกบกฬำและรถยนต8คน

ชอบทง3บทควำม3คน

สมเลอกสมำชก 1 คน จำกสมำชกทงหมด จงหำควำมนำจะเปนทจะไดสมำชกทชอบบทควำมเกยวกบกฬำหรอ

บทควำมเกยวกบรถยนต

วธท�า ขอนใหเรำใชควำมรเรองเซตและแผนภำพของเวนน-ออยเลอรในกำรแกปญหำ

จำกn(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C)–n(A∩B)–n(A∩C)–n(B∩C)+n(A∩B∩C)

ก�ำหนดให n(A)เปนจ�ำนวนสมำชกทชอบบทควำมเกยวกบสขภำพ

n(B)เปนจ�ำนวนสมำชกทชอบบทควำมเกยวกบรถยนต

n(C)เปนจ�ำนวนสมำชกทชอบบทควำมเกยวกบกฬำ

จะไดn(A)=24,n(B)=21,n(C)=23,n(A∩B)=10,n(A∩C)=9,n(B∩C)=8และn(A∩B∩C)=3

จำกแผนภำพเวนน-ออยเลอรn(A∪B∪C)=44และn(B∪C)=36

ดงนนเมอสมเลอกสมำชก1คนจำกสมำชกทงหมดควำมนำจะเปนทจะไดสมำชกทชอบบทควำมเกยวกบกฬำ

หรอบทควำมเกยวกบรถยนตเทำกบ3644

หรอเทำกบ0.82

A

8 6

9

6 5

3

7

B

C



Tag : คณตศำสตร,ควำมนำจะเปน,สตรเตรยมสอบ

•แบบฝกหด3.1ขอ1ควำมนำจะเปน


onet-math/ch8-1



onet-math/ch8-2



onet-math/ch8-3



onet-math/ch8-4



onet-math/ch8-5


เรองควำมนำจะเปน


onet-math/ch8-6


บทท9

สถต

ส�ำหรบในหวขอสถตเปนหวขอทตองใชทกษะในกำรค�ำนวณและจ�ำสตรคอนขำงมำกแตในสวนของขอสอบนนคอนขำงจะ

ออกแบบตรงตวไมมกำรพลกแพลงอะไรมำกนกในกำรทนองๆจะท�ำขอสอบเรองสถตไดใหนองๆหมนท�ำโจทยปญหำอยำงสม�ำเสมอ

และหำจดเชอมโยงของกำรหำคำกลำงขอมลกำรวดต�ำแหนงขอมลและกำรวดกำรกระจำยขอมลใหได

สถต หมำยถงวชำทเกยวกบกำรเกบรวบรวมน�ำเสนอและวเครำะหขอมล

ขอมลหมำยถงขอเทจจรงของเรองใดเรองหนงทเรำสนใจจะศกษำซงอำจจะเปนตวเลขหรอขอควำมกได

ระเบยบวธเชงสถต (Statistic Method)

1.กำรเกบรวบรวมขอมล(CollectionofData)

2.กำรน�ำเสนอขอมล(PresentationofData)

3.กำรวเครำะหขอมล(AnalysisofData)

4.กำรแปลควำมหมำยขอมล(InterpretationofData)

ประเภทของสถต

1. สถตเชงพรรณนา (Descriptive Statistics) คอ กำรใชขอมลทตควำมออกมำ ในกำรสรปลกษณะเฉพำะของกลม

ตวอยำงนนๆไมน�ำไปใชอำงองถงลกษณะเฉพำะของประชำกร

2. สถตเชงอนมาน (Inferences Statistical) คอกำรใชขอมลทตควำมออกมำในกำรสรปถงลกษณะเฉพำะของประชำกร

การจ�าแนกขอมล

1.จ�ำแนกตำมลกษณะของขอมล

1.1) ขอมลเชงปรมำณ(QuantitativeData)หมำยถงขอมลทใชแทนขนำดหรอปรมำณวดออกมำเปนคำตวเลขทสำมำรถ

น�ำมำใชเปรยบเทยบขนำดไดโดยตรง

1.2) ขอมลเชงคณภำพ(QualitativeData)หมำยถงขอมลทไมสำมำรถวดออกมำเปนคำตวเลขโดยตรงไดแตวดออกมำ

ในเชงคณภำพไดเชนกำรหำคำกลำงขอมล

2.จ�ำแนกตำมวธกำรเกบรวบรวมขอมล

2.1) ขอมลปฐมภม(PrimaryData)หมำยถงขอมลทไดจำกกำรรวบรวมจำกผทใหขอมลหรอแหลงทมำโดยตรง

2.2) ขอมลทตยภม(SecondaryData)หมำยถงกำรน�ำขอมลทผอนไดเกบรวบรวมไวแลวมำใชเปนขอมล

ขอมลแจกแจงความถ

หมำยถงจดขอมลทมอยใหเปนกลมๆคอใหขอมลทมคำใกลเคยงกนอยดวยกนเพอควำมสะดวกในกำรวเครำะห


ตวอยาง

ตำรำงแสดงคะแนนสอบวชำคณตศำสตรของนกเรยนระดบชนม.6

คะแนน ควำมถ(f) ควำมถสะสม(fc) ควำมถสะสมสมพทธfc

N

1-10 5 5

11-20 9 14

21-30 15 29

31-40 11 40

1.อนตรภำคชนหมำยถงแตละชวงของขอมลเชน1-10เรยกอนตรภำคชนท1

2.ขอบบน=คำกงกลำงระหวำงMaxของอนตรภำคชนนนๆและMinของอนตรภำคชนถดไป

3.ขอบลำง=คำกงกลำงระหวำงMinของอนตรภำคชนนนๆและMaxของอนตรภำคชนกอนหนำ

4.ควำมกวำงของอนตรภำคชน(I)=ขอบบน–ขอบลำง

5.ควำมถ(f)หมำยถงจ�ำนวนขอมลทอยในอนตรภำคชนนนๆ

6.ควำมถสะสม(fc)หมำยถงผลรวมของควำมถของอนตรภำคชนนนๆกบควำมถสะสมของอนตรภำคชนกอนหนำ

***ควำมถสะสมชนสดทำย=จ�ำนวนขอมลทงหมด(N)***

7.ควำมถสมพทธ=fN

8.ควำมถสะสมสมพทธ=fcN

การวเคราะหขอมล

1.กำรหำคำกลำงขอมล

1.1) ขอมลไมแจกแจงความถ

1.1.1)คำเฉลยเลขคณต( )

ขอมล1ชด =Σxn

ขอมลkชดn1x1 + n2x2 +...+ nkxkn1 + n2 +...+ nk

=Σxn

fcNΣxn

fcN

n1x1 + n2x2 +...+ nkxkn1 + n2 +...+ nk

=n1x1 + n2x2 +...+ nkxkn1 + n2 +...+ nk

1.1.2)มธยฐำน(Median)

5

40

5

40

15

40

29

40

9

40

14

40

11

40

40

40

fcN

fcN

fcN

fcNfcN

fcN

fcN

f

N() ()ควำมถสมพทธ


ขนตอนกำรหำมธยฐำน

1. เรยงล�ำดบขอมลจำกนอยไปหำมำก

2.หำต�ำแหนงขอมลโดยใชสตร2

1+n

3.ขอมลทต�ำแหนงตรงกบสตรคอคำมธยฐำน

1.1.3)ฐำนนยม(Mode)ใหเลอกขอมลทมคำซ�ำกนบอยครงทสดโดยฐำนนยมสำมำรถม1หรอ2ตวกได

ตวอยาง จงหำคำเฉลยเลขคณตมธยฐำนและฐำนนยมจำกชดขอมลทก�ำหนดให

16 14 11 11 20 19 8 5 14 13

1.คำเฉลยเลขคณต =16+14+11+11+ 20+19+8+ 5+14+13

10 ดงนน =

13110

=13.1

2.มธยฐำน 1.เรยงล�ำดบขอมลจะได581111131414161920

2.ต�ำแหนงของขอมล=10+12

=5.5(อยระหวำงต�ำแหนงท5และ6)

3.ขอมลต�ำแหนงท5=13ขอมลต�ำแหนงท6=14

ดงนนมธยฐำน=13.5

3.ฐำนนยม ขอมลทมควำมถมำกทสด=11(2ตว)และ14(2ตว)

ดงนนฐำนนยม=11และ14


1.คะแนนสอบวชำภำษำองกฤษของนกเรยนหองหนงมดงน(มนกเรยนขำดสอบ1คน)

2 9 3 11 17 20 19

18 6 13 13 14 16 12

1)คนทขำดสอบตองสอบใหไดกคะแนนจงจะท�ำใหคะแนนเฉลยของกำรสอบเทำกบ12คะแนน

2)ถำนกเรยนทขำดสอบสอบได13คะแนนจงหำผลตำงของมธยฐำนและฐำนนยม

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………


1.2) ขอมลแจกแจงความถ

1.2.1)คำเฉลยเลขคณต( ) =Σfxcn

โดย f=ควำมถของอนตรภำคชนนนๆ

xc=จดกงกลำงชน

2MaxMin +

n=จ�ำนวนขอมลหรอควำมถสะสมชนสดทำย

1.2.2)มธยฐำน(Med)

ขนตอนกำรหำมธยฐำน

1.หำต�ำแหนงขอมลโดยใชสตร 2n

2.น�ำต�ำแหนงของขอมลทไดไปเทยบกบควำมถสะสมวำอยในอนตรภำคชนใด

3.หำคำมธยฐำนโดยใชสตรMed = L + I

n2−ΣfLfMed

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

โดย L=ขอบลำงของชนทมมธยฐำนอย

I=ควำมกวำงของอนตรภำคชน

ΣfL =ควำมถสะสมจนถงกอนหนำชนทมมธยฐำนอย

Medf =ควำมถของชนทมมธยฐำนอย

1.2.3)ฐำนนยม(Mode)

สตร Mode = L + I d1d1 + d2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

โดย L=ขอบลำงของชนทมฐำนนยมอย(ชนทมควำมถสงสด)

I=ควำมกวำงของอนตรภำคชน

d1=ผลตำงของควำมถของชนทมควำมถสงสดกบชนกอนหนำ

d2=ผลตำงของควำมถของชนทมควำมถสงสดกบชนถดไป

ตวอยางในกำรตรวจสขภำพประจ�ำปผลน�ำหนกของนกเรยนหองหนงเปนดงน

น�ำหนก(กโลกรม) ควำมถ ควำมถสะสม

41-50 5 5

51-60 11 16

61-70 15 31

71-80 12 43

81-90 5 48

91-100 2 50

fcN

fcN


จงหำคำเฉลยเลขคณตมธยฐำนและฐำนนยมจำกขอมลดงกลำว

1)คำเฉลยเลขคณต =Σfxn

จดกงกลำงชน =2

MaxMin +

ชนท1 =41+ 502

=45.5

ดงนนจดกงกลำงแตละชน=45.5,55.5,65.5,75.5,85.5และ95.5ตำมล�ำดบ(แตละชนมควำมกวำงอนตรภำคชนเทำกน)

Σfxn =

(45.5)(5)+ (55.5)(11)+ (65.5)(15)+ (75.5)(12)+ (85.5)(5)+ (95.5)(2)50

=334550

=66.9กโลกรม

2)มธยฐำน 1.หำต�ำแหนง=

2n=

502=25


41-50 5 5

51-60 11 16

61-70 15 31

71-80 12 43

81-90 5 48

91-100 2 50

จำกควำมถสะสมจะเหนวำต�ำแหนงของมธยฐำนอยในอนตรภำคชนท3

จำก

ดงนนจะได

Med = L + I

n2−ΣfLfMed

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

Med = 60.5+10

502−16

15

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

Med = 66.5

fcN

fcN



41-50 5 5

51-60 11 16

61-70 15 31

71-80 12 43

81-90 5 48

91-100 2 50

3)ฐำนนยมอนตรภำคชนทมควำมถสงสด

จำก ;d1=15-11=4และd

2=15-12=3

ดงนน

Mode = L + I d1d1 + d2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

Mode = 60.5+10 44+3⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

Mode = 66.21

สรปคำเฉลยเทำกบ66.9มธยฐำนเทำกบ66.5และฐำนนยมเทำกบ66.2


2.จงหำคำมธยฐำนและฐำนนยมจำกตำรำงทก�ำหนดให

คะแนน ควำมถสะสม

11-13 3

14-16 8

17-19 15

20-22 21

23-25 25

26-28 30

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………


ตวอยาง

6 10 18 8 13 15 4 7 13 3

จำกชดขอมลทก�ำหนดใหจงหำQ3,D

8และP

40

2.กำรวดต�ำแหนงขอมล

2.1) ขอมลไมแจกแจงความถ

2.1.1)ควอไทล(Quartile)

ขนตอนกำรหำควอไทล

1.เรยงล�ำดบขอมลจำกนอยไปมำก

2.หำต�ำแหนงของควอไทลจำกสตรQrth =

r(n+1)4

3.ขอมลทต�ำแหนงตรงกบสตรคอคำควอไทล

2.1.2)เดไซล(Decile)

ขนตอนกำรหำเดไซล


2.หำต�ำแหนงของเดไซลจำกสตรDrth =

r(n+1)10

3.ขอมลทต�ำแหนงตรงกบสตรคอคำเดไซล

2.1.3)เปอรเซนไทล

ขนตอนกำรหำเปอรเซนไทล


2.หำต�ำแหนงของเปอเซนไทลจำกสตรPrth =

r(n+1)100

3.ขอมลทต�ำแหนงตรงกบสตรคอคำเปอรเซนไทล

***กำรหำควอไทลเดไซลและเปอรเซนไทลจะคลำยกบกำรหำมธยฐำนซงจรงๆแลวมธยฐำนกจดเปนกำรต�ำแหนงของ

ขอมลเชนกนเพยงแตมธยฐำนเรำจะแบงขอมลออกเปน2สวนในขณะทควอไทลจะแบงขอมลออกเปน4สวนเดไซล10สวนและ

เปอรเซนไทล100สวน***

***Q2=D

5=P

50=Median***

fcN

fcN

fcN


1)เรยงล�ำดบขอมลจำกนอยไปมำกจะได

3 4 6 7 8 10 13 13 15 18

2)หำต�ำแหนงของQ3,D

8และP

40

ต�ำแหนงของQ3 ==

r(n+1)4

==3(10+1)4

== 8.25

ต�ำแหนงของD6 ==

r(n+1)10

==8(10+1)10

== 6.6

ต�ำแหนงของP40 ==

r(n+1)100

==40(10+1)100

== 4.4

3)เทยบต�ำแหนงกบQ,DและPดวยบญญตไตรยำงศ

ต�ำแหนงของQ3 =8.25(อยระหวำงต�ำแหนงท8และ9)

ขอมลต�ำแหนงท8=13 ขอมลต�ำแหนงท9=15

ผลตำงขอมล=2(มำจำก15-13) ผลตำงต�ำแหนงของขอมล =1(มำจำก9-8)

ดงนนต�ำแหนงท8.25=คำในต�ำแหนงท8+(0.25)2=13+0.5 =13.5

ต�ำแหนงของD6 =6.6(อยระหวำงต�ำแหนงท6และ7)



ต�ำแหนงของP40 =4.4(อยระหวำงต�ำแหนงท4และ5)



ดงนนQ3 =13.5,D

8=11.8และP

40=7.4

fcN

fcN

fcN

= 6.6

2.2) ขอมลแจกแจงความถ

2.1.1)ควอไทล(Quartile)

ขนตอนกำรหำควอไทล1.หำต�ำแหนงของควอไทลจำกสตรQrth =

rn4

2. Dr = L + I

rn10

−ΣfLfD

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

2.1.2)เดไซล(Decile)

ขนตอนกำรหำเดไซล 1.หำต�ำแหนงของเดไซลจำกสตรDrth =

rn10

2. Dr = L + I

rn10

−ΣfLfD

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

fcN

fcN

fcN

fcN

Q


2.1.3)เปอรเซนไทล

ขนตอนกำรหำเปอรเซนไทล1.หำต�ำแหนงของเปอรเซนไทลจำกสตรPrth =

rn100

2. Pr = L + I

rn100

−ΣfLfP

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

โดย L =ขอบลำงของชนทมควอไทลเดไซลเปอเซนไทลอย

I =ควำมกวำงของอนตรภำคชน

ΣfL =ควำมถสะสมจนถงกอนหนำชนทมมควอไทลเดไซลเปอเซนไทล PDQf ,, =ควำมถของชนทมมควอไทลเดไซลเปอรเซนไทลอย

ตวอยางในกำรตรวจสขภำพประจ�ำปผลน�ำหนกของนกเรยนหองหนงเปนดงน


41-50 5 5

51-60 11 16

61-70 15 31

71-80 12 43

81-90 5 48

91-100 2 50


41-50 5 5

51-60 11 16

61-70 15 31

71-80 12 43

81-90 5 48

91-100 2 50

จงหำQ1,D

3และP

70จำกขอมลดงกลำว

1)หำต�ำแหนงQ1, D

3และP

70

ต�ำแหนงของQ

1 =

rn4

=1(50)4

=12.5

ต�ำแหนงของD3 =

rn10

=3(50)10

=15

ต�ำแหนงของP70 =

rn100

=70(50)100

= 35

fcN

fcN

fcN

fcN

fcN


จำกต�ำแหนงของQ1, D

3และP

70 จะเหนวำQ

1และD

3 อยในอนตรภำคชนท2ในขณะทP

70อยในอนตรภำคชนท4

Q1

: จำก Qr = L + I

rn4−ΣfLfQ

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

จะได Q1 = 50.5+1012.5− 511

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

ดงนน Q1 = 57.32

D3

: จำก Dr = L + I

rn10

−ΣfLfD

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

จะได D3 = 50.5+1015− 511

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

ดงนน D3 = 59.59

P70

: จำก Pr = L + I

rn100

−ΣfLfP

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

จะได P70 = L + I35−3112

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ 70.5 + 10 P70 = L + I35−3112

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

ดงนน P70 = 73.83

ดงนนQ1=57.32,D

3 =59.59,และP

70=73.83

ขอควรจ�า

TIPSถำหำกต�ำแหนงของมธยฐำนควอไทลเดไซลหรอเปอรเซนไทลมคำตรงกบควำมถสะสมของชนใดมธยฐำนควอไทล

เดไซลหรอเปอเซนไทลจะมคำเทำกบขอบบนของชนนนๆ

fcN

fcN

fcN

3.กำรวดกำรกระจำยขอมล

3.1)พสย=Max–Min

3.2)สวนเบยงเบนควอไทล =Q3 −Q12

3.3)สวนเบยงเบนเฉลย(M.D)=Σ | x − x |

n

3.4)สวนเบยงเบนมำตรฐำน(S.D.)=Σ(x − x )2

n

3.5)ควำมแปรปรวน(S.D.)2=

Σ(x − x )2

n

fcN

fcN

fcN

fcN


ตวอยางจงหำพสยและสวนเบยงเบนมำตรฐำนจำกขอมลตอไปน

16 14 11 11 20 19 8 5 14 13

จำกพสย =Max–Min =20–5

ดงนน พสย = 15

จำก x = Σxn

x =16+14+11+ 20+19+8+ 5+14+1310

16+14+11+ 20+19+8+ 5+14+1310

ดงนน = 13.1

จำก S.D.=Σ(x − x )2

n

S.D.=(16−12)2 + (14−12)2 + (11−12)2 + (11−12)2 + (20−12)2 + (19−12)2 + (8−12)2 + (5−12)2 + (14−12)2 + (13−12)2

10

ดงนน S.D. = 4.53


3.พจำรณำขอมลตอไปน

1)หำกก�ำหนดใหขอมลทงสองชดไดแกกและขมจ�ำนวนขอมลและผลรวมของก�ำลงสองขอมลแตละขอมลเทำกนหำก

ชดขอมลกมคำเฉลยเลขคณตมำกกวำชดขอมลขชดขอมลกจะมคำกำรกระจำยของขอมลสงกวำชดขอมลข

2)หำกก�ำหนดใหขอมลทงสองชดไดแกคและงมคำเฉลยเลขคณตเทำกนและผลรวมของก�ำลงสองขอมลแตละขอมล

เทำกนหำกชดขอมลคมจ�ำนวนประชำกรมำกกวำชดขอมลงชดขอมลคจะมคำกำรกระจำยของขอมลต�ำกวำชดขอมลง

ขอใดเปนจรงเมอพจำรณำสวนเบยงเบนมำตรฐำนของขอมล

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………



1.คะแนนสอบวชำภำษำองกฤษของนกเรยนหองหนงมดงน(มนกเรยนขำดสอบ1คน)

2 9 3 11 17 20 19

18 6 13 13 14 16 12

1)คนทขำดสอบตองสอบใหไดกคะแนนจงจะท�ำใหคะแนนเฉลยของกำรสอบเทำกบ12คะแนน

2)ถำนกเรยนทขำดสอบสอบได13คะแนนจงหำผลตำงของมธยฐำนและฐำนนยม

วธท�า 1)ก�ำหนดให x =12

คะแนนของคนทขำดสอบ =x

12 =2+ 9+3+11+17+ 20+19+18+ 6+13+13+14+16+12+ x

15 180 =173+x

x=180-173

x =7

ดงนนนกเรยนทขำดสอบตองไดคะแนน7คะแนน

2)เรยงล�ำดบขอมลจำกนอยไปมำก

236911121313141617181920

ต�ำแหนงมธยฐำน=ต�ำแหนงท8

มธยฐำน =13

ฐำนนยม =ขอมลทมควำมถสงสด

=13

ดงนนผลตำงของมธยฐำนและฐำนนยม=0

2.จงหำคำมธยฐำนและฐำนนยมจำกตำรำงทก�ำหนดให

คะแนน ควำมถสะสม

11-13 3

14-16 8

17-19 15

20-22 21

23-25 25

26-28 30


วธท�าจำกตำรำงใหน�ำคำควำมถสะสมไปหำควำมถในแตละอนตรภำคชน

คะแนน ควำมถ ควำมถสะสม

11-13 3 3

14-16 5 8

17-19 7 15

20-22 6 21

23-25 4 25

26-28 5 30

1)ต�ำแหนงของมธยฐำน =15

จำก ***TIPSถำหำกต�ำแหนงของมธยฐำนควอไทล เดไซลหรอเปอเซนไทลมคำตรงกบควำมถสะสมของชนใดมธยฐำน

ควอไทลเดไซลหรอเปอเซนไทลจะมคำเทำกบขอบบนของชนนนๆ

ดงนน มธยฐาน = 20+192

= 19.5

2)ฐำนนยมมำจำกชนทมควำมถมำกสด=อนตรภำคชนท3(ควำมถ=7)

จำก Mode = L + I d1d1 + d2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

Mode =16.5+3 12+1⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

ดงนนฐำนนยม=17.5

3.พจำรณำขอมลตอไปน

1)หำกก�ำหนดใหขอมลทงสองชดไดแกกและขมจ�ำนวนขอมลและผลรวมของก�ำลงสองขอมลแตละขอมลเทำกนหำก

ชดขอมลกมคำเฉลยเลขคณตมำกกวำชดขอมลขชดขอมลกจะมคำกำรกระจำยของขอมลสงกวำชดขอมลข

2)หำกก�ำหนดใหขอมลทงสองชดไดแกคและงมคำเฉลยเลขคณตเทำกนและผลรวมของก�ำลงสองขอมลแตละขอมล

เทำกน หำกชดขอมล ค มจ�ำนวนประชำกรมำกกวำชดขอมล ง ชดขอมล ค จะมคำกำรกระจำยของขอมลต�ำกวำชด

ขอมลง

ขอใดเปนจรงเมอพจำรณำสวนเบยงเบนมำตรฐำนของขอมล

วธท�า 1)จำก

ก�ำหนดให มคำเทำกนแตชดขอมลกมคำของ มำกกวำจงท�ำใหสวนเบยงเบนมำตรฐำนของชดขอมล

กมคำนอยกวำสวนเบยงเบนมำตรฐำนของชดขอมลขดงนนชดขอมลกมคำกำรกระจำยของขอมลนอยกวำขอควำม

(1) จงผด

2)ก�ำหนดให มคำเทำกนแตชดขอมลคมคำของ มำกกวำจงท�ำใหสวนเบยงเบนมำตรฐำนของชดขอมล

คมคำนอยกวำสวนเบยงเบนมำตรฐำนของชดขอมลงดงนนชดขอมลคมคำกำรกระจำยของขอมลนอยกวำขอควำม

(2). จงถกตอง

fcN fc

N



Tag : สอนศำสตร,คณตศำสตร,สถต

•20:สถต1


onet-math/ch9-1

•21:สถต2


onet-math/ch9-2

•22:สถต3


onet-math/ch9-3

•23:สถต4


onet-math/ch9-4

•24:สถต5


onet-math/ch9-5


เรองสถต


onet-math/ch9-6

บรรณานกรม

สมย เหลาวานชย และ พวพรรณ เหลาวานชย. (ม.ป.ป.). คณตศาสตร 1 พนฐาน + เพมเตม. กรงเทพมหานคร :

ส�านกพมพไฮเอดพบลชชง.

สมย เหลาวานชย และ พวพรรณ เหลาวานชย. (ม.ป.ป.). คณตศาสตร 2 พนฐาน + เพมเตม. กรงเทพมหานคร :

ส�านกพมพไฮเอดพบลชชง.

สเทพ ทองอย. (ม.ป.ป.). คมอคณตศาสตร ม.5 เลม 3 ค.011. กรงเทพมหานคร : ส�านกพมพภมบณฑต.

ทรูปลูกปัญญา - trueplookpanya.com · บทที่1 เซต : Set ส...

Documents

Transcript of ทรูปลูกปัญญา - trueplookpanya.com · บทที่1 เซต : Set ส...