9. Volume Benda Putar Dibatasi Sebuah Kurva

*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2013 *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2013

E-mail : [email protected] Blog : http://wd-smansakobum.blogspot.com

next

VOLUME BENDA PUTAR YANG DIBATASI SEBUAH KURVA

Perhatikan tayangan berikut !

Y

Y = f(x)next

Sebuah bidang diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 3600

X

ba



next

VOLUME BENDA PUTAR YANG DIBATASI SEBUAH KURVA

Amatilah illustrasi berikut !

next

Sebuah bidang diputar mengelilingi sumbu y sejauh 3600

y

X



next

Volume benda putar dari daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X , garis x = a, dan x = b.

1. Sumbu X sebagai sumbu putar

Perhatikan gambar berikut !

X

YY = f(x)

next

b

Jika luasan yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X , garis x = a, dan x = b diputar sejauh 3600 mengelilingi sumbu X maka akan terjadi bangun benda putar seperti gambar di atas. next

a

next



next

X

Yy = f(x)

next

a bA B

C

D E

F

yk

y’k

Interval [a,b] dibagi menjadi n bagian sehingga diperoleh : ∆x =

b – a n

Untuk menghitung volume benda putar seperti pada tayangan tadi, perhatikan tayangan yang berikut ini :

next

Pada lajur ke-k dibuat persegi panjang pada gambar di atas . Jika bangun tersebut diputar akan terjadi 3 benda putar yaitu : silinder besar, kerataan , dan silinder kecil.

next

next



next

Volume kerataan (Vk) besarnya antara volume silinder kecil (tinggi ∆x dan jari-jari alas y’k ) dengan silinder besar (tinggi ∆x dan jari-jari alas yk ), sehingga :

Info :Jari-jari silinder besar : AF = BC = yk

Jari-jari silinder kecil : AD = BE = y’k

Volume silinder = πr2tVolume silinder besar = πyk

2.∆xVolume silinder kecil = πy’k

2.∆x

next

π( y’k )2.∆x < Vk < π( yk )2.∆x

Oleh karena ada n kerataan pada [a,b], maka :

∑ π( y’k )2.∆x n

k = 1< Vk < ∑ π( yk )2.∆x

n

k = 1

next

Jika n diperbanyak ( n → ∞ ) maka ∆ x → 0 dan volume kerataan mencapai nilai limit sehingga : next

π ∑ ( y’k )2.∆x n

k = 1= lim π ∑ ( yk )2.∆x

n

k = 1

V = lim ∆x → 0

∆x → 0

next



nextDalam notasi integral ditulis :

V = π y 2 dx = a

b

a

bπ (f(x))2 dx

Beberapa contoh menghitung volume benda putar .

next

1. Hitunglah volume benda putar yang dibatasi oleh y = x + 1, sumbu X, pada interval [ 2,5] !

Penyelesaian :

Dibuat gambarnya terlebih dahulu !next

X

Yy = x + 1

nextnext

V = π (x + 1)2 dx2

5

V = π (x2 + 2x +1) dx2

5

V = π (1/3 x3 + x2 +x ] 2

5

V = π {(1/3 53 + 52 +5 ) – (1/3 23 + 22 +2 )}

V = π {(125/3 + 30 ) – (8/3 + 6 )}

V = π {125/3 + 30 – 8/3 – 6 }

V = π {117/3 + 24 } = π ( 39 + 24 ) = 63 π SV

52

next



next2. Hitunglah volume benda putar pada gambar di bawah ini , jika diputar mengelilingi sumbu X sejauh 3600 .

X

Yy2 = 8x

42

next Penyelesaian :

X

Yy2 = 8x

42

V = π y 2 dx2

4

next

V = π 8x dx2

4

V = π(4x 2 ]24

V = π(4.42 – 4. 22 )

V = π(64 – 16 )

V = 48 π satuan volume

2. Hitunglah volume benda putar pada gambar di bawah ini , jika diputar mengelilingi sumbu X sejauh 3600 .

next



next

Silahkan anda berlatih menyelesaikan soal-soal yang tersedia pada buku literatur

anda !



next2. Sumbu Y sebagai sumbu putar Perhatikan tayangan berikut ini !

X

Y

d

c

next

x = g(y)

Jika luasan yang dibatasi oleh x = g(y), sumbu y, garis y = c, dan garis y = d diputar sejauh 3600 mengelilingi sumbu Y maka akan terjadi bagun benda putar seperti gambar di atas !

next

Untuk mengghitung Volumenya dapat digunakan rumus berikut :

next

V = π x2 dy = c

d

c

dπ (g(y))2 dy

next



nextBeberapa contoh menghitung volume benda putar .1. Hitunglah volume benda putar pada gambar di bawah ini , jika diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 3600 .

X

Y

6

2

2x – y = 2

X

Y

6

2

x = 1/2 y +1

nextPenyelesaian :

V = π (1/2 x + 1 )2 dy 2

6

V = π (1/4 x2 + x +1 ) dy 2

6

V = π(1/12 x3 + 1/2 x2 +x ] 6

2

V = π{(1/12 63 + 1/2 62 +6 ] – (1/12 23 + 1/2 22 +2 )}

V = π{(18 + 6 +6 ]– (2/3 + 2 +2 )}

V = π{30 – 2/3 – 4 }

V = 25 1/3 satuan volume

next

next



next1. Hitunglah volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = √x, sumbu Y, pada interval [ 1,3] ! jika diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 3600 . next

Penyelesaian :Dibuat gambarnya terlebih dahulu !

X

Y

3

1

y = √x

next

Kemudian diputar mengelilingi sumbu Y !

next

V = π ( y2 )2 dy 1

3

V = π x 4 dy 1

3

V = π (1/5x 3 ] 13

= π {(1/5 33 – 1/5 13)}

= π (27/5 – 1/5 )

V = 26/5 π satuan vulume

next

next



next

Silahkan anda berlatih menyelesaikan soal-soal yang tersedia pada buku literatur

anda !

9. Volume Benda Putar Dibatasi Sebuah Kurva

Documents

Transcript of 9. Volume Benda Putar Dibatasi Sebuah Kurva