CHAPTER 4INTEGRAL TENTU

4.1 Pengenalan Luas

Luas Poligon

Luas Daerah dengan Batas Kurva

Berapakah luas dari lingkaran dengan jari-jari 1? (Archimedes 287 BC)

Pandang regular poligon di dalam lingkaran.

Dan pandang regular poligon di luar lingkaran.

Notasi Sigma

𝑖=1

𝑛

𝑎𝑖 = 𝑎1 + 𝑎2 +⋯+ 𝑎𝑛

Contoh

1. Jika σ𝑖=110 𝑎𝑖 = 9 dan σ𝑖=1

10 𝑏𝑖 = 7, berapakah σ𝑖=110 (3𝑎𝑖 − 2𝑏𝑖) dan

σ𝑖=110 (𝑎𝑖 + 4) ?

2. Tentukan σ𝑖=1𝑛 (𝑎𝑖+1 − 𝑎𝑖).

3. Tentukan jumlahan geometris σ𝑘=0𝑛 𝑎𝑟𝑘.

Jumlahan Khusus

Berapa Jeruk dalam Tumpukan

Luas Daerah yang Dibatasi Kurva Fungsi

Hitunglah luas daerah di bawah kurva 𝑦 =𝑥 di antara 0 dan 4.

Pandang daerah 𝑅 yang dibatasi oleh parabola 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑥2, sumbu-𝑥, dan garistegak 𝑥 = 2.

Hitunglah luas daerah tersebut, 𝐴 𝑅 .

Luas Lingkaran Berjari-jari 1

Berapakah luas dari lingkaran dengan jari-jari 1? (Archimedes 287 BC)

Pandang regular poligon di dalam lingkaran.

Dan pandang regular poligon di luar lingkaran.

4.2 Integral Tentu

Jumlah Riemann

Misalkan 𝑓 fungsi yang terdefinisi pada selang tutup [𝑎, 𝑏].

Pandang partisi 𝑃 yang membagi selang [𝑎, 𝑏] ke dalam 𝑛 subselangdengan titik-titik 𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛−1 < 𝑥𝑛 = 𝑏 dan ∆𝑥𝑖 =𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1. Pada setiap subselang [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖], pilih titik sampel ഥ𝑥𝑖 .

𝑅𝑃 = σ𝑖=1𝑛 𝑓 ഥ𝑥𝑖 ∆𝑥𝑖 disebut jumlah Riemann untuk 𝑓 yang

berkorespondensi dengan partisi 𝑃.

Interpretasi Geometri dari Jumlah Riemann

Integral Tentu

Misalkan 𝑓 fungsi yang terdefinisi pada selang tutup [𝑎, 𝑏].

Jika

lim𝑃 →0

𝑖=1

𝑛

𝑓 ഥ𝑥𝑖 ∆𝑥𝑖

ada, maka 𝑓 dikatakan dapat diintegralkan pada [𝑎, 𝑏].

𝑎𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥 disebut integral tentu (atau Riemann integral) untuk 𝑓 dari 𝑎 ke 𝑏,

dengan

න𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim𝑃 →0

𝑖=1

𝑛

𝑓 ഥ𝑥𝑖 ∆𝑥𝑖

Arti Geometri dari Integral Tentu

Fungsi yang Dapat Diintegralkan

Teorema Terintegralkan

Jika 𝑓 terbatas pada [𝑎, 𝑏] dan kontinu kecualipada sejumlah berhingga titik, maka 𝑓 dapatdiintegralkan pada [𝑎, 𝑏].

Contoh

1. 02𝑥 + 1 𝑑𝑥 .

2. 2−1(2x + π)𝑑𝑥 .

Sifat Penjumlahan

Sifat Perbandingan

Sifat Keterbatasan

Sifat Linear

4.3 Teorema Dasar Kalkulus I

Newton, Leibniz, dan Kalkulus

©www.calculusbook.net

Dua Limit Penting

Apakah kedua limit ini berhubungan?

Jarak dan Kecepata

Misalkan suatu objek bergerak sepanjang sumbu-𝑥 sedemikian sehingga kecepatannyapada saat 𝑡 adalah 𝑣 = 𝑓 𝑡 meter per detik. Seberapa jauh objek tersebut akanberpindah dalam selang waktu di antara 𝑡 = 0 dan 𝑡 = 3?

Jarak yang ditempuh adalah

lim𝑛→∞

σ𝑖=1𝑛 𝑓 𝑡𝑖 ∆𝑡 0=

3𝑓 𝑡 𝑑𝑡.

Bagaimana dengan jarak 𝑠 yang ditempuh di antara 𝑡 = 0 dan 𝑡 = 𝑥?

𝑠 𝑥 = න0

𝑥

𝑓 𝑡 𝑑𝑡

Apakah turunan dari 𝑠?𝑠′(𝑥) = 𝑣 = 𝑓(𝑥)

.

.

Teorema Dasar Kalkulus I

Misalkan 𝑓 fungsi kontinu pada selang tutup [𝑎, 𝑏] dan 𝑥 adalah titik di (𝑎, 𝑏). Maka

𝑑

𝑑𝑥න𝑎

𝑥

𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑓(𝑥)

Contoh

Tentukan 𝐺′ 𝑥 .

(a) 𝐺 𝑥 = 1𝑥sin 𝑡 𝑑𝑡 (b) 𝐺 𝑥 = 1

𝑥2sin 𝑡 𝑑𝑡

(c) 𝐺 𝑥 = sin 𝑥

co𝑠 𝑥sin 𝑡 𝑑𝑡 (d) 𝐺 𝑥 = 1

𝑥𝑥 sin 𝑡 𝑑𝑡

Menghitung Integral Tentu

Misalkan 𝐺 𝑥 = 0𝑥sin 𝑡 𝑑𝑡.

1. Tentukan 𝐺 0 .

2. Misalkan 𝑦 = 𝐺 𝑥 , tentukan 𝑑𝑦

𝑑𝑥.

3. Carilah solusi particular dari𝑑𝑦

𝑑𝑥= sin 𝑥.

4. Gunakan hasil 3. untuk menentukan 0𝜋sin 𝑡 𝑑𝑡.

4.4 Teorema Dasar Kalkulus II

Teorema Dasar Kalkulus II

Misalkan 𝑓 fungsi kontinu pada [𝑎, 𝑏] dan 𝐹 adalah suatu anti turunandari 𝑓 pada[𝑎, 𝑏]. Maka

න𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)

Contoh

1. 4−−2

𝑦2 +1

𝑦3𝑑𝑦 .

2. 𝜋/6𝜋/2

2 sin 𝑡 𝑑𝑡 .

Metoda Substitusi

1. 𝑥 𝑥2 + 3 −12/7𝑑𝑥 .

2. 𝑥2 cos 𝑥3 + 5 𝑑𝑥.

3. 14 𝑥−1

3

𝑥𝑑𝑥 .

4. 0𝜋/6

(sin 𝜃)3 cos 𝜃 𝑑𝜃.

5. 01𝑥2 sin 𝑥3 2 cos 𝑥3 𝑑𝑥 .

Contoh LainMisalkan 𝑓 suatu fungsi yang memiliki turunan ketiga yang kontinu. Garis putus-putus pada gambar adalah garis singgung pada grafik𝑦 = 𝑓(𝑥) di titik (1,1) dan (5,1).

Tentukan apakah integral berikut positif, negatif, atau nol.

1. 15𝑓 𝑥 𝑑𝑥.

2. 15𝑓′ 𝑥 𝑑𝑥.

3. 15𝑓′′ 𝑥 𝑑𝑥.

4. 15𝑓′′′ 𝑥 𝑑𝑥.

Air bocor dari tanki dengan kapasitas 55 meter kubik dengan laju 𝑉′ 𝑡 = 11 − 1.1𝑡di mana 𝑡 diunkur dalam jam dan 𝑉 dalam meter kubik. Pada awalnya tanki terisipenuh dengan air.1. Berapa banyak air yang keluar dalam selang waktu di antara 𝑡 = 3 dan 𝑡 = 5

jam?2. Berapa lama waktu yang diperlukan agar bersisa 5 meter kubik air di dalam

tanki?

4.5 Teorema Nilai Rata-Rata untukIntegral dan Penggunaan Simetri

Nilai Rata-Rata Fungsi

Masih ingatkah dengan Teorema Nilai Rata-Rata untuk Turunan?

Jika 𝑓 dapat diintegralkan dalam selang [𝑎, 𝑏], maka nilai rata-rata dari𝑓 pada [𝑎, 𝑏] adalah:

Pandang integral tentu di atas sebagai luas daerah di antara 𝑓(𝑥) and the 𝑥-axis pada [𝑎, 𝑏]. Maka 𝑓𝑎𝑣𝑒 adalah tinggi persegi panjang pada [𝑎, 𝑏] dengan luas yang tepat sama.

−=

b

a

ave dxxfab

f )(1

Teorema Nilai Rata-Rata untuk Integral

Jika 𝑓 kontinu pada [𝑎, 𝑏], maka terdapat bilangan 𝑐 di antara 𝑎 dan 𝑏sehingga

Contoh.

1. Misalkan suhu dalam derajat Celsius pada suatu batang logam denganpanjang 2 meter bergantung pada posisi 𝑥 dengan fungsi 𝑇(𝑥) = 40 +20𝑥(2 − 𝑥). Carilah rata-rata suhu dalam batang tersebut. Apakahterdapat titik di mana suhunya sama dengan suhu rata-rata?

2. Tentukan semua nilai 𝑐 yang memenuhi Teorema Nilai Rata-Rata untuk𝑓(𝑥) = |𝑥| pada [−2,2].

−=

b

a

dttfab

cf )(1

)(

Teorema Kesimetrian

Jika f adalah fungsi genap maka

Jika f adalah fungsi ganjil maka

Periodik

Jika 𝑓 fungsi periodik dengan perioda 𝑝, maka

Contoh. Hitunglah

1. .

2. .

3. .

4.6 Integral Numerik

Aproksimasi Integral Tentu

Jika 𝑓 fungsi kontinu pada selang tutup [𝑎, 𝑏], maka integral tentunya ada. Namun demikian, integral tentu tersebut tidak selalu mudah dihitung.

Contoh.

නsin 𝑥2 𝑑𝑥

නsin 𝑥

𝑥𝑑𝑥

Dalam kasus yang demikian, digunakan beberapa metoda numerik untukmenghitung integral tentu.

Metoda

1. Jumlah Riemann Kiri (atau Kanan atau Titik Tengah)

Mengestimasi luas dengan persegi panjang

2. Aturan Trapesium

Mengestimasi luas dengan trapesium

3. Aturan Simpson

Mengestimasi luas dengan daerah yang dibatasi parabola

Jumlah Riemann Kiri

න𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≈ 𝑓 𝑥0 + 𝑓 𝑥1 +⋯+ 𝑓(𝑥𝑛−1) ∆𝑥, ∆𝑥 =𝑏 − 𝑎

𝑛

𝐸𝑛 =𝑏 − 𝑎 2

2𝑛𝑓′ 𝑐 , for 𝑎 ≤ 𝑐 ≤ 𝑏

Jumlah Riemann Kanan

න𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≈ 𝑓 𝑥1 + 𝑓 𝑥2 +⋯+ 𝑓(𝑥𝑛) ∆𝑥, ∆𝑥 =𝑏 − 𝑎

𝑛

𝐸𝑛 = −𝑏 − 𝑎 2

2𝑛𝑓′ 𝑐 , for 𝑎 ≤ 𝑐 ≤ 𝑏

Jumlah Riemann Titik Tengah

න𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≈ 𝑓𝑥0 + 𝑥1

2+ 𝑓

𝑥1 + 𝑥22

+⋯+ 𝑓𝑥𝑛−1 + 𝑥𝑛

2∆𝑥, ∆𝑥 =

𝑏 − 𝑎

𝑛

𝐸𝑛 =𝑏 − 𝑎 3

24𝑛2𝑓" 𝑐 , for 𝑎 ≤ 𝑐 ≤ 𝑏

Aturan Trapesium

න𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≈∆𝑥

2𝑓 𝑥0 + 2𝑓 𝑥1 + 2𝑓 𝑥2 +⋯+ 2𝑓(𝑥𝑛−1) + 𝑓(𝑥𝑛) , ∆𝑥 =

𝑏 − 𝑎

𝑛

𝐸𝑛 = −𝑏 − 𝑎 3

12𝑛2𝑓" 𝑐 , for 𝑎 ≤ 𝑐 ≤ 𝑏

Aturan Simpson (untuk 𝑛 genap)

න𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≈∆𝑥

3𝑓 𝑥0 + 4𝑓 𝑥1 + 2𝑓 𝑥2 + 4𝑓 𝑥3 +⋯+ 2𝑓(𝑥𝑛−2) + 4𝑓(𝑥𝑛−1) + 𝑓(𝑥𝑛) , ∆𝑥 =

𝑏 − 𝑎

𝑛

𝐸𝑛 = −𝑏 − 𝑎 5

180𝑛4𝑓(4) 𝑐 , for 𝑎 ≤ 𝑐 ≤ 𝑏

Contoh

1. Aproksimasi 13 1

1+𝑥2𝑑𝑥 dengan menggunakan jumlah Riemann kiri, aturan

trapesium, dan Simpson dengan 𝑛 = 4. Kemudian tentukan galat mutlakmaksimum.

2. Tentukan 𝑛 sehingga aturan trapesium akan mengaproksimasi 13 1

𝑥𝑑𝑥 dengan

galat 𝐸𝑛 yang memenuhi |𝐸𝑛| ≤ 0.01.

3. Tentukan 𝑛 sehingga aturan Simpson akan mengaproksimasi 13 1

𝑥𝑑𝑥 dengan

galat 𝐸𝑛 yang memenuhi |𝐸𝑛| ≤ 0.01.

4. Dalam perjalanan ke kantor, Ani mencatat laju kendaraannya setiap 3 menit. Hasilnya ditunjukkan dalam tabel berikut. Seberapa jauh Ani berkendara?