复习向量的加法 三角形法则

平行四边形法则

bba

a

a

b

ba

ba

ba O

O

A B

A

B

C

向量的减法

ab

a

b

ba

ba

O

A

B

共起点 ,连终点 ,箭头指向被减向量

引入已知非零向量 , 试作出 和a aaa )()()( aaa

aO A B C

BCABOA

QPRS

RSPRQP

OC

QS

aaa

aa a

= aaa

= )()()( aaa

=

=

a3

a3

的方向相反的方向与时，当 aa 0

00 a 时，当

方向：

长度：

)2(

)1( a

aa 的积，记作：与一般地， ) () (实数 向量

仍是一个向量a

a

的方向相同的方向与时，当 aa 0

00 aa 时，当的什么条件？是问题： 00 a

充分不必要条件

已知非零向量 , 试作出 和 , 并进行比较 .( 比较两个向量即比较它们的长度和方向 )a )3(2 a a)32(

aa3 a3

a6

)3(2 a a)32( =

一般地 aa )()(

问题

已知非零向量 , 试作出 和 , 并进行比较 .a)32( a aa 32

a

a5

a2 a3

a)32( aa 32 =

一般地 aaa )(

已知非零向量 , , 试作出 和 , 并进行比较 .a b )(2 ba ba 22

a

b a

b

a2

b2ba

ba )(2 ba ba 22 =

一般地 baba )(

ba 22

实数与向量的积的运算律：（ 1）( ) ( )a a

（结合律）；

( )a a a （第一分配律）

a b a+b =（ ） （第二分配律）（ 3）

（ 2）

例 1．计算：（ 1）( 3) 4a

（ 2） 3( ) 2( )a b a b a

（ 3） (2 3 ) (3 2 )a b c a b c

-12a

5b

-a+5b-2c

|a|||D. a||||.C

00.

00.A

) ( ,,.24a45a3a.D

2.

0)a3()a3( .

a2)a2(A.

) ( .1

aa

aaB

a

Rbbb

ABBAABC

bbB

cbcb

，则若

，则若

下列关系式中正确的是

下列各式计算正确的是

一

习

练

D

B

什么是平行向量 ? 对零向量的平行情况作何规定 ?问题

对于向量 ( ), 如果有 一个实数 使 , 那么 与 共线 .

反过来 , 若 ( ) 与 共线 , 且 的长度是 的长度的 倍 , 那么当 与 同方向时 , 有 当 与 反方向时 , 有即若 ( ) 与 共线 , 则有且只有一个实数 , 使得

a 0a ab a ba 0a b b a

a

a b ab b ab

a 0a b ab

定理向量 与非零向量 共线的充要条件是有且只有一个实数 , 使得

b a ab

作用 判断两个向量是否平行 , 实际上就是找出一个实数 , 使这个实数能够和其中的一个向量把另一个向量表示出来

思考 (1) 为什么规定 ?

(2) 若 , 则情况会怎样 ?

0a0b

例 2. 如图：已知 ， ，试判断 与 是否共线．

ABAD 3 BCDE 3 AC AE

AB

D

EC

BCAB 33

BCAB 3

AC3

∴ 与 共线． AEAC

DEADAE 解：

B

1. 若 O 为平行四边形 ABCD 的对角线的交点，且 则 等于（ ）A. B. C. D.

,6,4 21 eBCeAB 12 23 ee AO BO CO DO分析：

1212 4216

2123 eeee

练习二

A B

CDO)(

21 ABBC

)(21 BABC

BOBDCDBC 21)(

21

2. 在三角形 ABC 中 , 若 , 则点 O 在该三角形的 ( ) 上 .

A. 高 B. 中线 C. 角平分线 D. 底边 02 OCOBOA

C

A B

O

D

E

分析:

以 和 为邻边作平行四边形 OADB,OD 交 AB 于点 E,OA OB

ODOBOA

根据向量加法的平行四边形法则 ,

共线。和OCOD

OCOD

OCOBOA

2

02

而 AE=EB, 所以 CE 是三角形的中线 .

B

小结通过本节课的学习 , 我们应达到如下目标 :

(1) 掌握实数与向量的积的定义 , 理解实数与向量的积的几何意义 .

(2) 掌握实数与向量的积的运算律 .

(3) 理解两个向量共线的充要条件 , 能够运用两个向量共线的充要条件判定两个向量是否平行 ( 共线 ).

作业课本 P 109 ~110 习题 5.3 1~5