复习课仅仅是“复习”吗如何实现面积公式学习的纵向数学化过程

余杭区“领雁工程”培训班小学数学组

2008 年 11 月 29 日

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复习课仅仅是“复习”吗如何实现面积公式学习的纵向数学化过程

课例研究的工作报告课例研究的内容框架

汇报人：张敏（余杭区教师进修学校）


课例研究的工作报告

小学数学课例研究工作报告


研究主题：

《如何实现学生数学学习的数学化过程》

授课内容：北师大版教材第九册第 97 页总复习《空间与图形》

1、确定主题、授课内容和执教者。2、制定课例研究工作方案。3、制定课例研究具体分工。4、全班学习方案和分工安排，明确任务。5、提供学习资料关于主题的资料

（ 1 “ ”）弗兰登塔尔关于数学化的演讲稿（ 2）杜威 “《 ”数学即生活与数学教学》

（ 3 ）《布鲁纳认知理论对数学教育的启示》

（ 4 ）《布鲁纳数学认知能力的发展》

（ 5 ）《具有现实世界数学的真实问题》

关于怎样做研究资料

（ 6 ）《教师如何做课例研究》杨玉东（ 7）课堂教学案例分析报告（ 8）初中数学课例研究报告 1份（ 9 ）《关注学生学习的课例研究》（《福建教育》安桂清）

6、各组设计课堂观察量表并听了一节课，尝试用课堂观察技术。www.themegallery.com

准

备

阶

段


收获：1、关于选主题《在面积单元复习课中如何实现纵向数学化的过程》主题具有现实意义，我们在教学中比较关注“横向数学化”，而对“纵向数学化”的研究比较少。主题具有挑战性。现阶段教师对上好复习课和如何实现纵向数学化的过程觉得有一定的难度，需要大家来合作研究。2 、关于方案和分工安排周密的方案与分工安排，使每位参与的教师明确主题、每个阶段的工作任务以及时间安排。这样确保课例研究顺利进行。3 、关于学习资料包括两方面的内容：（ 1 ）对课例研究的进一步的认识（ 2 ）和研究主题有关的理论4 、关于课堂观察技术在第一次研究课前，先尝试用课堂观察技术来观课，有助于教师掌握一些观课技术，为后面的研究做好准备。

1 、 09 ： 30-10 ： 20 课前会议 2 、 10 ： 25-11 ： 05 第一次研究课 3 、 11 ： 35-13 ： 30 分组数据整理、分析 4 、 13 ： 30-15 ： 30 （ 1 ）分组口头汇报数据情

况及简要分析。（ 2 ）讨论教学设计的修改 5 、 15 ： 30-16 ： 00 讨论前后测题目的修改 6 、 16 ： 00-22 ： 00 分散完成各项工作（分析汇

总、教学设计、前后测试题设计、教研活动记录整理）


第一天

收获：

1、关于前后测题该组的老师和导师花了很长的时间来讨论前后测试题目。前后测的题目要有明确的目的性，前测要了解学生已有的

基础，后测要了解通过教学学生掌握的程度。


问题反思：

1、关于课前会议第一次课前会议内容：主要由执教教师分发了教学设计、前后测组去做前测、各组再由小组长布置观察任务。

存在问题：没有请第一次执教教师谈谈教学设计，使其他教师对教学设计不是很了解，课堂实录组教师没有预知教学主要环节，使他们在记录中有一定困难。

2、关于课堂观察技术学生状态组发现用观察的数据不能来说明今天要研究的问题，需要改进。其他两个组也存在这样的问题。


3 、关于数据分析

各组在汇报数据和分析的时候，存在的问题是没有充分利用数据来说明问题，发现的问题比较小和散，没有抓住关键问题。

4 、关于讨论的时间控制

在两个小时的集中讨论中，一小时是各组汇报，一小时是讨论教学设计的修改，但最终对教学设计的修改没有达成共同的思想，只能由设计组再继续研究。

问题分析：在讨论中，由于人数多，对一堂课的各个方面众人会有多种多样的想法，一人提出一个问题，就会用一些时间来讨论，但这个问题并不一定与主题有关。这需要组织者引导大家关注与主题有关的核心问题。


1 、 8 ： 30 分前各组印制资料。（昨天课堂资料：提问分析资料、课堂实录、前后测情

况分析、教研活动记录、学生学习状态分析。今天课堂资料：第二次教学设计）

2 、 8 ： 30-10 ： 20 1、分发资料 2、分组汇报分析材料 3、讨论课堂观察量表修改 4、讨论第二次教学设计

3 、 10 ： 25-11 ： 20 第二次研究课

4 、 12 ： 00-13 ： 30 讨论第三次课的教学设计

5 、 13 ： 30-16 ： 30 各组整理数据讨论前后测题

6 、 16 ： 30-22 ： 00 各组分析数据、教学设计修改、整理教研活动记录


第　二　天

收获

1、如何面对研究过程中的困难

在第二次研究课中虽然已在努力突破研究重点，还是没

有真正突破研究的难点，这让教师们有些困惑和痛苦。

“ ”研究的过程总是这样的，在相互鼓励下，大家继续认真

工作。要正确对待研究过程中出现的各种困难。

2、关于修改教学设计

在第二次课后先来讨论第三次课的教学设计，这样安排是

希望有充分的时间让大家来讨论课，如何把理念用有效的

设计体现出来是重要的问题。www.themegallery.com


问题反思：

1、关于教研活动记录

教研活动记录组把大家的发言一字一句的整理出来，还

用上了录音设备来帮助整理，做的非常辛苦。我们在看

教研活动记录时还是需要不断地去概括发言人的中心思

想。做教研活动记录方法还有待改进。

1 、 8 ： 30 分前各组印制资料。（昨天课堂资料：提问分析资料、课堂实录、前后测情况分析、教研活动记录、学生学习状态分析。今天课堂资料：第三次教学设计）

2 、 8 ： 30-11 ： 05 1、分发资料 2、分组汇报分析材料 3、讨论课堂观察量表修

改 4、讨论第三次教学设计

3 、 12 ： 40-13 ： 20 第三次研究课

4 、 13 ： 30-16 ： 30 各组整理数据、分析


第三天

收获：

1、关于课前会议用了半天时间来开课前会议，除了昨天课堂观察资料的分析，主要请执教老师谈谈今天上课的教学设计，大家再来讨论。希望执教老师能充分了解教学思想，做好授课的准备。在课前会议中让大家能充分讨论教学设计，有助于提高课堂教学、课堂观察的效益。

2、关于课堂观察数据的分析各组的分析材料能充分利用数据来说明问题，能抓住关键问题来分析，并提出一些改进教学策略，同时对课堂观察技术也能及时反思，改进后面的观察活动。


1 、 8 ： 30 前各组印制资料。（昨天课堂资料：提问分析资料、课堂实录、前后测情况分析、教研活动记录、学生学习状态分析。

2 、 8 ： 30-9 ： 30 集中汇报各组分析材料

3 、 9 ： 30-10 ： 30 集中讨论三次授课的比较、讨论课例研究报告提纲

4 、 10 ： 30-13 ： 00 分小组对三次观察数据的纵向比较5 、 13 ： 00-14 ： 00 集中汇报讨论结果

6 、 14 ： 00-22 ： 00 分散撰写对课例研究的思考


第　四　天

收获1.关于对主题的研究

在讨论中，大家都谈了对这堂课还有待改进的地方。三次研究课，可能并不能像以前那样磨出一节优质课，关键是我们怎样围绕主题来发现问题，在实践中寻找解决问题的策略。

2、关于课例研究报告的撰写先小组讨论课例研究报告的框架，再分人分块来写，然后再集中讨论。

问题反思1.关于对三次观察结果纵向比较老师在进行对三次观察结果做纵向比较时，发现不知如何来比较。比较的目的是为课例研究报告提供实证，包括数据的和现实情境的实证材料。可以用图表式或文字形式的，把某个观察点观察到的三次结果进行比较，以此来说明关键问题。


第一次实录第二次实录第三次实录

优点

提供了完整的师生语言对话记录

提供了完整的师生语言对话记录图文并茂，实录中若讨论到“图形”、一定辅助于图形不同教学段用时多少已经标记清楚用简略符号 T表示老师、 S表示学生；不同片段中出现的 S41按座位的行列关系指代同一个人

提供了完整的师生语言对话记录图文并茂，实录中若讨论到“图形”、一定辅助于图形采用时间刻度标记，不同教学事件读者根据需要可算出用时一开始用座位表对 S 、S42 、 T等符号给予解释他人可二次研究实录

不足

关于“图形”的讨论看不明白，没有相应图形不同教学段用时多少不清楚不同片段中出现的生1、生 2混用，不指代同一个人

不同教学段用虽然给出了，但如果重新划分教学段，用时就无法推算S41 和 S14按照行列关系，究竟是哪一个学生没说明

一些关键地方没有作师生行为、表情、姿势、说话语气等的描写没有整理者和整理时间等信息（真是鸡蛋里挑骨头了，呵呵）


课堂实录如何做？

第一次观察第二次观察第三次观察

优点

提供了教师提问技巧检核表。 (见附表一 )提供了各种提问行为类别频次表 (见附表二 )

提供了教师提问技巧检核表。提供了各种提问行为类别频次表分类提供了预设问题、实际问题、中心问题和子问题。（见附表三）

提供了教师提问技巧检核表。提供了各种提问行为类别频次表分类提供了预设问题、实际问题、中心问题和子问题。提供了问题结构示意图（见附表四）

不足

对课堂中哪些是课前预设问题、哪些是教师在课堂上随机生成的问题不能比较出来。对问题之间的关系不能清楚表示出来。

对问题之间的关系没有整理

在整理问题的结构关系后可以进行一些分析。


课堂提问观察如何做

小学数学课例研究工作报告

第一次观察第二次观察第三次观察

优点

全组 8位教师，每人观察 6位学生。全班学生都观察。观察的内容是学生的精神状态、合作情况、举手问答情况、学困生在课堂上做练习的情况。（附表五、表六）课后对几位学生进行访谈。8位教师分 4组对观察数据进行整理分析，在分析时用%来分析。

不再用量表，每位教师准备记录用白纸一张。全组 8位教师，每位教师观察 2位孩子，一共观察学生 16位学生。在学生独立解决问题时，教师观察学生做题的过程，并把学生书写的过程依次记录，包括被学生用橡皮擦掉的内容。在学生合作学习时，每位教师观察 1个组（每组 2人或 4人）合作情况，记录他们是如何讨论、如何解决问题的。在分析时，用没有化简的分数来表示：如 4/16，即 16个学生中有 4个学生。

不再用量表，每位教师准备记录用白纸一张。全组 8位教师，每位教师观察 2位孩子，一共观察学生 16位学生。在学生独立解决问题时，教师观察学生做题的过程，并把学生书写的过程依次记录，包括被学生用橡皮擦掉的内容。在学生合作学习时，每位教师观察 1个组（每组 2人或 4人）合作情况，记录他们是如何讨论、如何解决问题的。在分析时，用没有化简的分数来表示：如 4/16，即 16个学生中有 4个学生预设中要记录在每分钟学生的具体活动过程，但是没有成功。最后把学生的作业纸收集起来，进行分析。

不足

观察得到的数据对本次研究不能说明什么问题。（见分析片断）用 %分析，不能让大家很快了解情况。

对学生在课堂上具体的表现过程没有具体记录。

如何用一些比较好的方法来有效地记录小组合作过程有待探究。


学生状态观察如何做？

第一次记录第二次记录

优点

逐字详细记录详细记录，对一般的发言进行概括，对重要的发言详细记录。

不足

记录非常繁琐，没有把主要思想提炼。


如何做教研活动记录？


汇报人：杨玉东（上海市教育科学研究院）

课例研究的内容框架

复习课仅仅是“复习”吗如何实现面积公式学习的纵向数学化过程


一、背景与困惑（ 1 ）学生容易忘记的知识重新温习一遍（ 2 ）学生没有掌握的难点再次讲解一遍；（ 3 ）已经掌握的知识再次进行巩固和加强；（ 4 ）设计变式有层次地加强解题能力和拔高思维；（ 5 ）学过的内容有脉络地疏理一遍……


我们的困惑：一堂复习课究竟有多少目标可以实现、确定的复习目标如何与特定的数学内容板块关联？温习、练习、巩固、拔高或疏理的必要性究竟如何、有何依据？

内容载体——北师大版教材五年级（上）中平面图形面积内容的复习

研究主题——如何实现数学学习的纵向数学化过程。


初步认识：小学数学教学中，绝大多数老师非常注重学生的数学学习与生活经验相联系、非常注重创设情境问题引入数学——这是横向的数学化，即数学来源于孩子的生活经验、从生活经验中抽象而来。但数学的本质却是用逻辑链建立起来的一个牢固的思想体系，而这个体系正是横向数学化获得的知识不断进行系统化的结果——这正是纵向的数学化。

二、教材内容及其分析

三年级下册：认识面积与面积单位知道长方形、正方形面积计算的方法四年级下册：认识三角形、平行四边形与梯形的特征五年级上册分为两个单元：（一）会用不同的方法比较图形面积的大小认识平行四边形、三角形与梯形的底和高理解平行四边形、三角形和梯形面积的计算方法解决有关面积计算的实际问题（二）组合图形面积的计算方法不规则图形面积的估算六年级上册：圆面积的计算方法


三、教学诊断与改进过程1 、第一次授课：尝试建立面积公式间的联系


教学目标：1.进一步掌握平行四边形、三角形、梯形面积公式的推导过程，能运用公式正确、熟练地计算它们的面积，并能解决一些简单的实际问题。2 、能正确分析平面组合图形的数量关系，并能正确解答平面组合图形的面积。3 ．初步培养学生的空间想像能力和抽象概括能力。4 ．渗透转化思想、事物间有着普遍联系的观点。教学重点：复习公式推导过程，熟练应用公式解决问题。教学难点：1 、理解平面图形面积计算公式之间的内在联系。2 、把一个组合图形分解成几个基本图形及找出隐蔽条件。


2 、第二次授课：如何建立面积公式间的联系


内容安排活动形式所用时间

画一画19 分 58秒

师生交流 2 分 27秒学生独立画图 8 分 31秒反馈交流 9分

说一说28 分 06秒

师生交流 5 分 08秒学生小组讨论 10 分 24秒反馈交流 12 分 34秒

解决问题12 分 23秒

学生独立练习 4 分 47秒

反馈讲评 7 分 36秒

总结 50秒 50秒

3 、第三次授课：怎样建立面积公式间的实质联系


内容安排活动形式所用时间

根据指定面积画不同的图形15 分 25秒

师生交流 2 分 43秒学生独立画图 4 分 16秒小组交流 1 分 41秒反馈交流 6 分 43秒

探索平面图形面积间的关系27 分 40秒

师生交流画图发现 55秒平行四边形与长方形的转化 6 分 45秒教师讲解：提出三角形梯形转化要求

1 分 50秒

学生探究 6 分 23秒师生交流反馈 11 分 49秒

总结2 分 55秒

建构平面图形面积计算公式之间的联系

1 分 26秒

质疑要不要 ÷2 1 分 29秒

T ：刚才同学们都非常动脑筋，通过刚才画一画的活动，你发现了什么？刚才我们画的面积是相同的，但是它们的形状……

S ：不同。T ：你有什么发现？S22：我发现了一个图形能转化成与它等底等高的平行四边形和其它图形，而且面积相等。

T ：面积一样，形状可以转化，其实在我们数学学习当中，经常会用到转化的数学思想。


一个片段是在画完各种面积为 6 平方厘米的平面图形后的观察、比较，学生得出了面积相等的平面图形的形状可以不同，且可以相互转化

T ：现在请大家观察黑板上这些图，你看看有什么发现？S22：我发现这些图形都是由长方形推导来的S53：是由平行是边形变来的T ：由平行四边形变来的，其实平行四边形的计算公式是从长方形推导过来的。然后平行四的边形又可以推导出三角形和梯形的计算公式，对不对 ? 所以这些计算公式都是从长方形开始的 . 先学的是哪种图形？

S ：长方形T ：然后学的是什么S ：平行四边形T ：接着是三角形和梯形。……T ：再看看有什么发现？S51：我发现它们之间都很连贯．T ：其实数学中知识都是有联系的，所以我们学完之后要去找找它们之间的联系，对这个理解就更深了。


另一个片段是在完成平面图形面积公式间的相互转化后，教师引导学生发现了什么的一段师生对话：

T ：我有个问题，三角形的面积和梯形的面积都要除以２，为什么要除以２，平行四边形确不用除以２．

S24：因为三角形子和梯形是由两个相同的图形拼在一起，才能成为一个平行四边形，所以如果不除以２就变成了平行四边形的面积

T ：重复：没有除以２就变成了平行四边形的面积，所以要除以 2 才能算出三角形和梯形的面积。

T ：那么平行四边形变成长方形不用除以２，为什么？S53：因为长方形是特殊的平行四边形．S51：是因为长方形的长就是平行四边形的底，长方形的宽就是平行四边形的高。


处理了面积公式中“ ÷2” 的易错之处、加深了学生对面积公式的理解

四、纵向比较：面积公式间的联系建立起来了吗

1 、“同一面积可以转化为不同平面图形”的关键片段


第二次授课的老师在这一环节的问题是：记忆 ---开放 --- 记忆 --- 记忆；

第三次授课的老师在这一环节的问题是：开放 ---- 记忆 ---推理

第二次课（用时 52秒）第三次课（用时 51秒）教师语言学生语言教师语言学生语言所有画的不同

形状，什么东西是相等的？

面积通过刚才的活

动，你体会到了什么？有什么发现？（稍作停顿）

（没有反应）

面积都相等，由此我们可以得到一个什么结论？（停顿几秒）

（学生无语）刚才我们画的

面积是相同的，但它们的形状……

不同的。

面积可以一样，形状呢？

①可以不同② 形状可以改

变，面积不变。

你发现了什么？一个图形能转化成与它面积相等的其它图形

也就是说同一个面积可以画怎么样

很多图形www.themegallery.com

2 、“建立平行四边形与成长方形公式联系”的语义单元分析对比


类型第二次授课第三次授课

图形转化语义单元 7个 9个

图形和公式转化语义单元 0个 10个

公式转化语义单元 0个 5个

（注：表达一个完整意思的一句话叫一个语义单元）

3 、从教师的板书比较来看学生获得的概念图


五、反思与讨论

1 、如何认识儿童学习数学、学怎样的数学

2 、如何寻找复习课中实现纵向数学化的契

机

3 、如何通过纵向数学化建构学生的概念图


谢谢！


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