Programa de Ingeniera Civil

LQL

Introduccin al Mtodo Grafico PL

Consiste en representar cada una de lasrestricciones y encontrar cuando se pueda elpolgono (poliedro) factible, comnmentellamado la Regin Factible, en la cual en unode sus vrtices se obtiene la solucin ptimadel problema, caso en el que la optimizacinse denomina: Solucin ptima nica.

Generalidades de Optimizacin La solucin de un problema es ptima nica

cuando slo existe un punto extremo del conjuntode soluciones factibles que hace posible encontrarel valor mximo o mnimo de la funcin objetivo.

La solucin es ptima mltiple cuando existenvarios puntos (un lado del poliedro de solucionesfactibles) que hacen posible encontrar el valor de lafuncin objetivo.

Es posible encontrar problemas en los cuales lasolucin ptima no toma ningn valor finito sinoinfinito.

Generalidades de Optimizacin La solucin es en un punto cuando se tienen dos pares de restricciones:

1. Paralelas en el primer cuadrante y Uno de lospares forman paralelismo con respecto al eje Xy adems, barren hacia la derecha e izquierdarespectivamente cada una de las restricciones.

2. El otro par tiene paralelas al eje Y y barrenhacia arriba y abajo simultneamente.

REGIN FACTIBLE La regin factible para un problema de PL es el conjuntode todos los puntos que satisfacen las restricciones,incluso las de signo.

Los lados de la regin factible son las rectas asociadas acada restriccin.

Puntos ExtremosLa caracterstica mas importante de la PL es que losextremos (mximos o mnimos) siempre estn enalgn vrtice de la regin factible.

Esto indica que existe un nmero finito desoluciones entre las cuales se puede encontrar elptimo.

Solucin Optima

nicaSlo una combinacin de variables proporcionael mejor valor para el objetivo.

AlternasCuando ms de una combinacin de variablesproporciona el ptimo valor del objetivo.

Solucin Optima Sin SolucinCuando no hay alguna combinacin de variables quesatisfaga todas las restricciones. Se reconocen en elgrfico porque no existe ninguna regin comn paratodas las restricciones.

Solucin infinitaHay combinaciones de variables que proporcionanvalor infinito para el objetivo y no hay algunacombinacin que limite el valor del objetivo a unvalor finito, esto se debe a la omisin de restriccionesimportantes.

Metodologa Solucin Por Mtodo Mtodo Grafico

Graficar las restricciones como igualdades y luegodeterminar el rea correspondiente a ladesigualdad, sombreando el espaciocorrespondiente.

Determinar el rea comn a todas las restricciones.

Evaluar la Funcin Objetivo en cada punto extremodel espacio de soluciones posibles. El punto o lospuntos extremos en el que se obtenga el mejorvalor, determinarn la solucin del modelo.

Ejemplo 1:Gloss S.A es una empresa dedicada a la elaboracin de artculos de vidrio de alta la calidad (puertas y ventanas) los cuales se hacen en 3 plantas diferentes.

1. Molduras y Marcos de Aluminio2. Molduras y Marcos de Madera3. Se hace y se Ensambla el Vidrio

Se tiene un programa de cambio de la produccin y sepropone incursionar con 2 nuevos productos:

Puerta de vidrio con marco en aluminio Ventana de Vidrio con Marco en Madera

Ejemplo 1Se debe determinar la tasa de produccin de los 2productos nuevos para maximizar las utilidades sujeto alas limitaciones que tiene la empresa.

NOTA: Se fabrican lotes de 20 productos por semana. La tasa deproduccin ser el nmero de lotes producidos a la semana

Ejemplo 1Definicin de Variables X1 Numero lotes del producto 1 fabricados por semana. X2 Nmero lotes del producto 2 fabricados por semana.

Funcin Objetivo Z = 3000X1 + 5000X2

Restricciones Funcionales R1: X1 4 R2 : 2X2 12 R3 : 3X1 + 2X2 18 R4: X1, X2 0

Ejemplo 11. Inicialmente dibujamos el sistema de coordenadasasociando a un eje la variable x, y otro la variable y,marcamos la escala numrica apropiada Y acontinuacin dibujamos las restricciones.

Ejemplo 1 R1: X1 4 R2 : 2X2 12 R3 : 3X1 + 2X2 18 R4: X1, X2 0

REGIN FACTIBLE

Ejemplo 12. Ya que la regin factible es no vaca (problema

factible), procedemos a determinar sus puntosextremos, candidatos a soluciones ptimas, queson:

R: X1, X2 = 0R: X1 = 4R : 3X1 + 2X2 = 18R : 2X2 = 12

Ejemplo 13. Finalmente, evaluamos la funcin objetivo = + , en esos puntos.

Ejemplo 14. Como el punto 4 proporciona el mayorvalor al objetivo , tal punto constituye lasolucin ptima, que indicaremos1 = 2 y 2 = 6, con valor ptimo = 36.

Ejemplo 2Para el problema de Gepetto, combinando lasrestricciones de signo x 0 e y 0 con la funcinobjetivo y las restricciones, tenemos lo siguientemodelo de optimizacin:

Max z = 3x + 2y (funcin objetivo)Sujeto a (s.a:)

2 x + y 100 (restriccin de acabado)x + y 80 (restriccin de carpintera)x 40 (R. de demanda de muecos)

x 0 (restriccin de signo)y 0 (restriccin de signo)

YX

20

20 40 60 80

40

60

80

100 2x + y = 100Restricciones

2 x + y 100

x + y 80

x 40

x 0

y 0

Teniendo en cuenta las restricciones de signo (x 0, y 0), nos queda:

Ejemplo 2

YX

20

20 40 60 80

40

60

80

100

x + y = 80

Restricciones

2 x + y 100

x + y 80

x 40

x 0

y 0

Ejemplo 2

YX

20

20 40 60 80

40

60

80

100

x = 40Restricciones

2 x + y 100

x + y 80

x 40

x 0

y 0

Ejemplo 2

YX

20

20 40 60 80

40

60

80

100 2x + y = 100

x + y = 80

x = 40La interseccin de todos estos semiplanos (restricciones) nos da la regin factible

ReginFactible

Ejemplo 2

YX

20

20 40 60 80

40

60

80

1002x + y = 100

x + y = 80

x = 40

ReginFactible

La regin factible (al estar limitada por rectas) es un polgono.En esta caso, el polgono ABCDE.

AB

C

D

E

Como la solucin ptima est en alguno de los vrtices (A, B, C, D o E) de la regin factible, calculamos esos vrtices.

Restricciones

2 x + y 100

x + y 80

x 40

x 0

y 0

Ejemplo 2

ReginFactible

E(0, 80)

(20, 60)

C(40, 20)

B(40, 0)A(0, 0)

Los vrtices de la regin factible son intersecciones de dos rectas. El punto D es la interseccin de las rectas

2x + y = 100x + y = 80

La solucin del sistema x = 20, y = 60 nos da el punto D.

20

20 40 60 80

40

60

80

100

Y

X

D

B es solucin dex = 40y = 0

2x + y = 100

x = 40

x + y = 80

C es solucin dex = 402x + y = 100

E es solucin dex + y = 80x = 0

Ejemplo 2

YX

20

20 40 60 80

40

60

80

100

ReginFactible

(0, 80)

(20, 60)

(40, 20)

(40, 0)

(0, 0)

Max z = 3x + 2y

z = 0 z = 160z = 180

Para hallar la solucin ptima, dibujamos las rectas en las cuales los puntos tienen el mismo valor de z.La figura muestra estas lineas paraz = 0, z = 160, y z = 180

Ejemplo 2

ReginFactible

(0, 80)

(20, 60)

(40, 20)

(40, 0)

(0, 0)

Max z = 3x + 2y

z = 0 z = 160z = 180

La ltima recta de z queinterseca (toca) laregin factible indica lasolucin ptima para elPPL. Para el problemade Gepetto, esto ocurreen el punto D (x = 20, y= 60, z = 180).

20

20 40 60 80

40

60

80

100

Y

X

Ejemplo 2

ReginFactible

(0, 80)

(20, 60)

(40, 20)

(40, 0)

(0, 0)

Max z = 3x + 2yTambin podemos encontrar la solucin ptima calculando el valor de z en los vrtices de la reginfactible.

Vrtice z = 3x + 2y(0, 0) z = 30+20 = 0(40, 0) z = 340+20 = 120(40, 20) z = 340+220 = 160(20, 60) z = 320+260 = 180(0, 80) z = 30+280 = 160 20

20 40 60 80

40

60

80

100

Y

XLa solucin ptima es:x = 20 muecosy = 60 trenesz = 180 de beneficio

Ejemplo 2

Ejemplo 3Dorian Auto fabrica y vende coches y furgonetas. Laempresa quiere emprender una campaapublicitaria en TV y tiene que decidir comprar lostiempos de anuncios en dos tipos de programas: delNovelas y ftbol.

Cada anuncio del programa de novelas es visto por6 millones de mujeres y 2 millones de hombres. Cada partido de ftbol es visto por 3 millones demujeres y 8 millones de hombres. Un anuncio en el programa de Novelas cuesta50.000 y un anuncio del ftbol cuesta 100.000 .

Ejemplo 3 Dorian Auto quisiera que los anuncios sean vistospor lo menos 30 millones de mujeres y 24 millonesde hombres.

Dorian Auto quiere saber cuntos anuncios debecontratar en cada tipo de programa para que el costede la campaa publicitaria sea mnimo.

Ejemplo 3

Novelas(x)

Ftbol(y)

S.a.

Mujeres 6 3 6x + 3y 30

Hombres 2 8 2x + 8y 24

(Z) Coste1.000

50 100 50x +100y

Ejemplo 3V. D.: x = n de anuncios en programa de corazn

y = n de anuncios en ftbol

Min z = 50x + 100y (F.O. en 1.000 )

s.a: 6x + 3y 30 (Mujeres)

2x + 8y 24 (Hombres)

x, y 0 (no negatividad)

XY

2 4 6 8 10 12 14

14

12

10

8

6

4

2

Min z = 50 x + 100y

s.a. 6x + 3y 30

2x + 8y 24

x, y 0

6x + 3y = 30

2x + 8y = 24

Ejemplo 3

XY

2 4 6 8 10 12 14

14

12

10

8

6

4

2

La regin factibleno est acotada

ReginFactible

A

B

C

El vrtice A es solucin del sistema

6x + 3y = 30x = 0

Por tanto, A(0, 10)

El vrtice B es solucin de6x + 3y = 302x + 8y = 24

Por tanto, B(4, 2)

El vrtice C es solucin de2x + 8y = 24y = 0

Por tanto, C(12, 0)

Ejemplo 3

ReginFactible

A(0, 10)

B(4, 2)

C(12, 0)

X

Y

2 4 6 8 10 12 14

14

12

10

8

6

4

2

Vrtice z = 50x + 100y

A(0, 10)z = 500 + 10010 =

= 0+10000 = 10 000

B(4, 2)z = 504 + 1002 =

= 200+200 = 400

C(12, 0)z = 5012 + 1000 =

= 6000+0 = 6 000

El coste mnimo se obtiene en B.

Solucin:x = 4 anuncios en Novelasy = 2 anuncios en futbolCoste z = 400 (mil )

Evaluamos la funcin objetivo z en los vrtices.

Ejemplo 3

ReginFactible

A(0, 10)

B(4, 2)

C(12, 0)X

Y

2 4 6 8 10 12 14

14

12

10

8

6

4

2

El coste mnimo se obtiene en el punto B.

Solucin:x = 4 anuncios en pr. corazny = 2 anuncios en futbolCoste z = 400 (mil )

Min z = 50 x + 100y

s.a. 6x + 3y 30

2x + 8y 24

x, y 0

Z = 600

Z = 400

Ejemplo 3

Bibliografa Universidad Nacional De Ingeniera Uni-norte Sede-esteli.

Administracin De Operaciones I.

Jose Consuegra. Investigacin de operaciones FUAA.

Prof.: Felipe Lillo V. Ing. Civil Industrial. Investigacin de operaciones.

www.ucema.edu.ar/~alebus/optim/PROLIN.PPT

www.ucreanop.org/descargas/Presentaciones/Programacion%20Lineal.ppt