3 matemática

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Didatismo e Conhecimento

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO

MATEMÁTICA NÚMEROS INTEIROS E RACIONAIS: Operações

(adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação).

CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS – Z

Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos números naturais (N = {0,1,2,3,4, ..., n, ...}, o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto é denotado pela letra Z (Zahlen=número em alemão). Este conjunto pode ser escrito por: Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}

O conjunto dos números inteiros possui alguns subconjuntos notáveis:

O conjunto dos números inteiros não nulos:Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, ...}; Z* = Z – {0}

O conjunto dos números inteiros não negativos:Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, ...}Z+ é o próprio conjunto dos números naturais: Z+ = N

O conjunto dos números inteiros positivos:Z*+ = {1, 2, 3, 4, ...}

O conjunto dos números inteiros não positivos:Z_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0}

O conjunto dos números inteiros negativos:Z*_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1}

Módulo: chama-se módulo de um número inteiro a distância ou afastamento desse número até o zero, na reta numérica inteira. Representa-se o módulo por | |.

O módulo de 0 é 0 e indica-se |0| = 0O módulo de +7 é 7 e indica-se |+7| = 7O módulo de –9 é 9 e indica-se |–9| = 9O módulo de qualquer número inteiro, diferente de zero, é

sempre positivo.

Números Opostos: Dois números inteiros são ditos opostos um do outro quando apresentam soma zero; assim, os pontos que os representam distam igualmente da origem.

Exemplo: O oposto do número 2 é -2, e o oposto de -2 é 2, pois 2 + (-2) = (-2) + 2 = 0

No geral, dizemos que o oposto, ou simétrico, de a é – a, e vice-versa; particularmente o oposto de zero é o próprio zero.

ADIÇÃO DE NÚMEROS INTEIROSPara melhor entendimento desta operação, associaremos aos

números inteiros positivos a idéia de ganhar e aos números inteiros negativos a idéia de perder.

ganhar 5 + ganhar 3 = ganhar 8 (+5) + (+3) = (+8)perder 3 + perder 4 = perder 7 (-3) + (-4) = (-7)ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3 (+8) + (-5) = (+3)perder 8 + ganhar 5 = perder 3 (-8) + (+5) = (-3)

O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, mas o sinal (–) antes do número negativo nunca pode ser dispensado.

Propriedades da adição de números inteiros: O conjunto Z é fechado para a adição, isto é, a soma de dois números inteiros ainda é um número inteiro.

Associativa: Para todos a,b,c em Z:a + (b + c) = (a + b) + c2 + (3 + 7) = (2 + 3) + 7

Comutativa: Para todos a,b em Z:a + b = b + a3 + 7 = 7 + 3

Elemento Neutro: Existe 0 em Z, que adicionado a cada z em Z, proporciona o próprio z, isto é:

z + 0 = z7 + 0 = 7

Elemento Oposto: Para todo z em Z, existe (-z) em Z, tal quez + (–z) = 09 + (–9) = 0

EXERCÍCIOS

1- Calcule a soma:

a) (+11) + 0 = g) (–22) + (+34) = b) 0 + (–13) = h) (+49) + (–60) =c) (+28) + (+2) = i) (–130) + (–125) =d) (–34) + (–3) = j) (+49) + (+121) =e) (–8) + (–51) = k) (+820) + (–510) =f) (+21) + (+21) = l) (–162) + (–275) =

2- Determine o número inteiro que se deve colocar no lugar de x para que sejam verdadeiras as igualdades:

a) x + (+9) = +13 d) x + (–3) = +3b) x + (–6) = –10 e) x + (+7) = –8c) x + (–7) = 0 f) (–20) + x = –18

3- Sabe-se que a = –73, b = +51 e c = –17. Nessas condições, calcule o valor de:

a) a + b c) b + cb) a + c d) a + b + c

4- Numa olimpíada de matemática, uma turma ganhou 13 pontos na primeira fase e 18 na segunda. Usando a adição de números inteiros, calcule quantos pontos essa turma ganhou.

5- Caio tem R$ 3.600,00 na sua conta bancária. Se ele fizer um depósito de R$ 4.000,00, como ficará o seu saldo?

6- Em um programa de perguntas e respostas, a cada resposta correta Carlos, recebia R$ 20,00 do apresentador do programa. Porém, a cada resposta errada, pagava R$ 22,00. De 100 perguntas, Carlos acertou 52. Ele ganhou ou perdeu dinheiro? Quantos reais?

7- Sabe-se que Júlio César, famoso conquistador e cônsul romano, nasceu no ano 100 a.C. e morreu, assassinado, com a idade de 56 anos. Em que ano Júlio César morreu?

2



8- Os números a e b são inteiros. Se a e b são opostos, quanto dá a adição a + b?

9- Os números a e b são inteiros positivos. É correto afirmar que a + b é um número positivo?

10- Na atmosfera, a temperatura diminui cerca de 1 grau a cada 200m de afastamento da superfície terrestre. Se a temperatura na superfície é de +20 graus, qual será a temperatura na atmosfera a uma altura de 10 km?

RESPOSTAS

1- (a) +11) (b) –13) (c) +30) (d) –37) (e) –59) (f) +42) (g) +12) (h) –11) (i) –255 (j) +170) (k) +310) (l) –437)

2- (a) +4) (b) –4) (c) +7) (d) +6) (e) –15) (f) +2)3- (a) –22) (b) –90) (c) +34) (d) –39)4- (31)5- (R$ 7.600,00)6- (Perdeu R$ 16,00)7- (44 a.C.)8- (0)9- (SIM)10- (–30 graus)

SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS

A subtração é empregada quando:• Precisamos tirar uma quantidade de outra quantidade;• Temos duas quantidades e queremos saber quanto uma

delas tem a mais que a outra;• Temos duas quantidades e queremos saber quanto falta

a uma delas para atingir a outra.

A subtração é a operação inversa da adição.

Observe que: 9 – 5 = 4 4 + 5 = 9

diferençasubtraendominuendo

Considere as seguintes situações:1- Na segunda-feira, a temperatura de Monte Sião passou de

+3 graus para +6 graus. Qual foi a variação da temperatura?Esse fato pode ser representado pela subtração: (+6) – (+3)

= +32- Na terça-feira, a temperatura de Monte Sião, durante o dia,

era de +6 graus. À Noite, a temperatura baixou de 3 graus. Qual a temperatura registrada na noite de terça-feira?

Esse fato pode ser representado pela adição: (+6) + (–3) = +3

Se compararmos as duas igualdades, verificamos que (+6) – (+3) é o mesmo que (+5) + (–3).

Temos:(+6) – (+3) = (+6) + (–3) = +3(+3) – (+6) = (+3) + (–6) = –3(–6) – (–3) = (–6) + (+3) = –3

Daí podemos afirmar: Subtrair dois números inteiros é o mesmo que adicionar o primeiro com o oposto do segundo.

EXERCÍCIOS

1- Numa adição, uma das parcelas é 148 e a soma é 301. Qual é a outra parcela?

2- Numa subtração, o subtraendo é 75 e a diferença é 208. Qual é o minuendo?

3- Dê o valor do número natural representado pela letra x.a) x – 155 = 45 b) x – 420 = 0

4- Dona Noêmia, a bibliotecária da escola, organizou um quadro com o movimento de retirada e devolução dos 40 livros indicados para leitura da 5º série.

Movimento na bibliotecaDia Retirada Devolução

2ª feira 25 -3ª feira 12 -4ª feira - 105ª feira 7 8

Dos livros indicados para a 5ª série, quantos estavam na biblioteca no início da 6ª feira?

5- Um número inteiro é expresso por (53 – 38 + 40) – 51 + (90 – 7 + 82) = 101. Qual é esse número inteiro?

6- Calcule a diferença entre:a) o oposto de – 15 com o oposto de – 35;b) o oposto de – 24 com o módulo de – 50.

7- Calcule:a) (+12) + (–40)b) (+12) – (–40) c) (+5) + (–16) – (+9) – (–20)d) (–3) – (–6) – (+4) + (–2) + (–15)

8- Determine o valor de x de modo a tornar as sentenças verdadeiras:

a) x + (–12) = –5b) x + (+9) = 0c) x – (–2) = 6d) x + (–9) = –12e) –32 + x = –50f) 0 – x = 8

9- A tabela a seguir refere-se ao movimento bancário da conta corrente de minha amiga Cláudia, no período de 10 a 15 de fevereiro:

Dia Histórico Débito Crédito Saldo10/02 Saldo Anterior –120,0011/02 Cheque 45,00 a)12/02 Depósito 200,00 b)

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13/02 IOF* 1,00 c)14/02 Cheque 123,00 d)15/02 Depósito 150,00 e) * IOF – Imposto sobre Operações Financeiras.

Cabe a você encontrar o saldo bancário de Cláudia dia a dia.10- Qual a diferença prevista entre as temperaturas no Piauí e no Rio Grande do Sul, num determinado dia, segundo as informações?Tempo no Brasil: Instável a ensolarado no Sul.Mínima prevista -3º no Rio Grande do Sul.Máxima prevista 37° no Piauí.

RESPOSTAS1- 1532- 2833 - a) x = 200 b) x = 4204- 145- 2706- a) -20 b) –267- a) –28 b) 52 c) 08- a) 7 b) –9 c) 49- a) – 165,00 b) 35,0010- (+40 graus)

MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS

A multiplicação funciona como uma forma simplificada de uma adição quando os números são repetidos. Poderíamos analisar tal situação como o fato de estarmos ganhando repetidamente alguma quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 vezes consecutivas, significa ganhar 30 objetos e esta repetição pode ser indicada por um x, isto é: 1 + 1 + 1 ... + 1 + 1 = 30 x 1 = 30

Se trocarmos o número 1 pelo número 2, obteremos: 2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 30 x 2 = 60

Se trocarmos o número 2 pelo número -2, obteremos: (–2) + (–2) + ... + (–2) = 30 x (2) = –60

Observamos que a multiplicação é um caso particular da adição onde os valores são repetidos.

Na multiplicação o produto dos números a e b, pode ser indicado por a x b, a . b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras.

Para realizar a multiplicação de números inteiros, devemos obedecer à seguinte regra de sinais:

(+1) × (+1) = (+1)(+1) × (-1) = (-1)(-1) × (+1) = (-1)(-1) × (-1) = (+1)

Com o uso das regras acima, podemos concluir que:Sinais dos números Resultado do produto

iguais positivodiferentes negativo

Propriedades da multiplicação de números inteiros: O conjunto Z é fechado para a multiplicação, isto é, a multiplicação de dois números inteiros ainda é um número inteiro.

Associativa: Para todos a,b,c em Z:a x (b x c) = (a x b) x c2 x (3 x 7) = (2 x 3) x 7

Comutativa: Para todos a,b em Z:a x b = b x a3 x 7 = 7 x 3

Elemento neutro: Existe 1 em Z, que multiplicado por todo z em Z, proporciona o próprio z, isto é:

z x 1 = z7 x 1 = 7

Elemento inverso: Para todo inteiro z diferente de zero, existe um inverso z–1=1/z em Z, tal que

z x z–1 = z x (1/z) = 19 x 9–1 = 9 x (1/9) = 1

Distributiva: Para todos a,b,c em Z:a x (b + c) = (a x b) + (a x c)3 x (4+5) = (3 x 4) + (3 x 5)

EXERCÍCIOS

Quando numa expressão aparecem parênteses ( ), colchetes [ ] e chaves { }, resolvem-se primeiro as operações contidas nos parênteses, depois as operações contidas nos colchetes e por último as operações contidas nas chaves.

1- Calcule o valor das seguintes expressões numéricas:a) –5 + (–3) . (+8)b) (–6) . (+5) – (–4) . (+3)c) (–5 + 1) . (–8 + 2)d) 6 – (–6 + 4) . (–5 + 9)e) (–3) . (–4) + (–6) . (+5)f) 12 – (–2) . (+3) + (–4) . (–5)g) 9 – [(–2) . (+7) – (–8) . (+3)]h) (–2) . (+3) + {2 . [–3 + (–2) . (–4)]}

2- Calcule o valor numérico das expressões: a) 2x – y, sendo x = –3 e y = –5b) 4x – 2y + 5z, sendo x = –1, y = –6 e z = +5c) 4ab + 5a, sendo a = 7 e b = –8d) 6xy – 5y, sendo x = +4 e y = –1e) 5a – 3ab + 7b, para a = –3 e b = +2f) 2ab – 5abc, para a = 2, b = 3 e c = –1

3- Use a propriedade distributiva da multiplicação para calcular –5 . (–8 + 5).

4- Sem realizar a operação, determine o número inteiro que devemos colocar no lugar do número x para que se tenha:

4



a) x . (–16) = –16b) x . (–5) = (–5) . (+9)c) x . (–8) = 0d) x . (+1) = +11

5- Quais os dois números inteiros negativos cuja soma é –5 e cujo produto é +6?

6- Quais os dois números inteiros, um positivo e outro negativo, cuja soma é +3 e o produto é 10?

7- A letra a representa um número inteiro e (+65) . (-12) . a = 0. Qual é o valor de a?

8- Qual é o produto de três números inteiros consecutivos em que o maior deles é –10?

9- Três números inteiros são consecutivos e o menor deles é +99. Determine o produto desses três números.

10- Paulo pensou em dois números pares consecutivos. Multiplicou-os e obteve +168. Sabendo que um deles é igual a –14, faça uma estimativa e, por tentativas, determine o outro.

RESPOSTAS

1) a) – 29 b) – 18 c) 24 d) 14 e) – 18 f) 38 g) – 1 h) 42) a) – 1 b) 33 c) – 189 d) 19 e) 17 f) 423) 154) a) +1 b) +9 c) 0 d) +115) –2 e –36) +5 e –27) 08) -13209) 999 90010) -12

DIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROS

Dividendo divisor dividendo : divisor = quociente0 quociente quociente . divisor = dividendo

Sabemos que na divisão exata dos números naturais:

40 : 5 = 8, pois 5 . 8 = 4036 : 9 = 4, pois 9 . 4 = 36

Vamos aplicar esses conhecimentos para estudar a divisão exata de números inteiros. Veja o cálculo:

(–20) : (+5) = q (+5) . q = (–20) q = (–4)

Logo: (–20) : (+5) = +4

Considerando os exemplos dados, concluímos que, para efetuar a divisão exata de um número inteiro por outro número inteiro, diferente de zero, dividimos o módulo do dividendo pelo módulo do divisor. Daí:

quando o dividendo e o divisor têm o mesmo sinal, o quociente é um número inteiro positivo.

quando o dividendo e o divisor têm sinais diferentes, o quociente é um número inteiro negativo.

a divisão nem sempre pode ser realizada no conjunto Z. Por exemplo, (+7) : (–2) ou (–19) : (–5) são divisões que não podem ser realizadas em Z, pois o resultado não é um número inteiro.

No conjunto Z, a divisão não é comutativa, não é associativa e não tem a propriedade da existência do elemento neutro.

1- Não existe divisão por zero.Exemplo: (–15) : 0 não tem significado, pois não existe um

número inteiro cujo produto por zero seja igual a –15.2- Zero dividido por qualquer número inteiro, diferente de

zero, é zero, pois o produto de qualquer número inteiro por zero é igual a zero.

Exemplos: a) 0 : (–10) = 0 b) 0 : (+6) = 0 c) 0 : (–1) = 0

EXERCÍCIOS

1- Calcule os quocientes:a) 0 : (–91) b) (+182) : (–14) c) (–216) : (–24) d) (+486) : (–18) e) (–490) : (–14) f) (+900) : (–15) g) (–828) : (+23) h) (+1 120) : (–28) i) (–1 488) : (+124)

2- Identifique as sentenças verdadeiras:a) O sinal do quociente de dois números inteiros é positivo

se o dividendo for positivo e o divisor zero.b) O sinal do quociente de dois números inteiros é

negativo se o dividendo e o divisor tiverem o mesmo sinal.c) O quociente de dois números inteiros é sempre um

número inteiro.d) O quociente de dois números inteiros é zero se o

dividendo for zero e o divisor for inteiro positivo.e) O sinal do quociente de dois números inteiros é positivo

se o dividendo e o divisor tiverem o mesmo sinal.

3- Copie as igualdades substituindo o x por números inteiros de modo que elas se mantenham:

a) (–140) : x = –20 b) 144 : x = –4 c) (–147) : x = +21 d) x : (+13) = +12 e) x : (–93) = +45 f) x : (–12) = –36

5



4- Sabendo que A = (–46 – 18) : (59 – 43), determine o valor de A.

5- Sendo x = (–82 + 34 – 6) e y = (–9) . (51 – 53), qual é o valor de x : y?

6- Qual é o valor de B, se B = (–6 + 2 + 4 – 8 + 8) : (+138)?

7- Sabendo que a = (–25 + 18 – 72 + 49) : (–15) e b = (+24): (81 – 93 + 17 – 42 + 25), responda:

a) Qual o valor de a? b) Qual o valor de b c) Qual o valor do produto a . b? 8- Qual é o número inteiro que dividido por –8 resulta +12?

9- Nicolau pensou em um número que multiplicado por (-25) tem como resultado (+150). Qual foi o número em que Nicolau pensou?

10- Adicionando –846 a um número inteiro e multiplicando a

soma por –3, obtém-se +324. Que número é esse?

RESPOSTAS1) a) 0 b) – 13 c) 9 d) – 27 e) 35 f) – 60 g) – 36 h) – 40

i) – 122) d, e3) a) + 7 b) – 36 c) – 7 d) + 156 e) – 4 185 f) + 4324) -45) -36) 07) a) 2 b) – 2 c) – 48) -969) -610) +738

POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS

A potência an do número inteiro a, é definida como um produto de n fatores iguais. O número a é denominado a base e o número n é o expoente.

an = a × a × a × a × ... × aa é multiplicado por a n vezes

Exemplos:33 = (3) x (3) x (3) = 27(-5)5 = (-5) x (-5) x (-5) x (-5) x (-5) = -3125(-7)² = (-7) x (-7) = 49(+9)² = (+9) x (+9) = 81

Toda potência de base positiva é um número inteiro positivo.

Exemplo: (+3)2 = (+3) . (+3) = +9

Toda potência de base negativa e expoente par é um número inteiro positivo.

Exemplo: (– 8)2 = (–8) . (–8) = +64

Toda potência de base negativa e expoente ímpar é um número inteiro negativo.

Exemplo: (–5)3 = (–5) . (–5) . (–5) = –125

Propriedades da Potenciação:Produtos de Potências com bases iguais: Conserva-se a base

e somam-se os expoentes. (–7)3 . (–7)6 = (–7)3+6 = (–7)9

Quocientes de Potências com bases iguais: Conserva-se a base e subtraem-se os expoentes. (+13)8 : (+13)6 = (+13)8 – 6 = (+13)2

Potência de Potência: Conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes. [(+4)5]2 = (+4)5 . 2 = (+4)10

Potência de expoente 1: É sempre igual à base. (+9)1 = +9 (–13)1 = –13

Potência de expoente zero e base diferente de zero: É igual a 1. Exemplo: (+14)0 = 1 (–35)0 = 1

EXERCÍCIOS

1- Determine a quinta potência de –2.

2- Calcule o valor das seguintes expressões:a) (–7 + 8 – 4)4 b) (–13 + 92 – 58)0 c) (–15 + 8 + 3 + 4)10 d) (–25 + 39 – 24)3 e) (–65 + 82 – 23)1 f) (–108 + 212 – 103)7

3- Identifique as igualdades verdadeiras:a) –40 = –1b) [(+3) + (–2)]5 = (+3)5 + (–2)5 c) [a2]5 = a7

d) [(+35) : (–7)]5 = (+35)5 : (–7)5

e) a4 . a3 . b2 = a7 . b2

f) (–1)100 = –1 4- Aplique propriedades de potências de bases iguais e

calcule os valores de:a) (–1)8 . (–1)3 b) (+10)2 . (+10)3 c) (+12)5 : (+12)4 d) (–20)6 : (–20)6 e) [(+1)3]6 f) [(–2)3]0

5- Se A = (–9)2 e B = – (–9)2, qual é o valor de A . B?

6- Considerando A = (–10)3 e B = – (–10)3, qual é o valor de A . B?

7- A letra x representa um número inteiro. A expressão x2 é o quadrado do valor de x. Qual é o valor da expressão x2 – 2 . x + 1 para x = –1?

8- As letras x e y representam números inteiros, Calcule o valor da expressão 2 . x – y2 para x = –2 e y = 5.

6



9- A letra a representa um número inteiro. Se a = (–6)2, qual é o valor do quadrado de a?

10- Se y = –4 . (+8) – (–56) : (+3 – 1)3 + (–3)0 . (–4 –1), calcule o valor de y.

RESPOSTAS1) -322) a) 81 b) 1 c) 0 d) – 1000 e) –6 f) 13) a, d, e4) a) –1 b) 100 000 c) 12 d) 1 e) 1 f) 15) (-9)2 . – (-9)2 = 81 . - 81 = – 6 5616) (-10)3 . – (-10)3 = 1000 . -1000 = -1 000 000 ou -16

7) 48) -299) 129610) -30

CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS – Q

CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS – Q

Um número racional é o que pode ser escrito na forma nm

,

onde m e n são números inteiros, sendo que n deve ser diferente de zero. Freqüentemente usamos m/n para significar a divisão de m por n.

Como podemos observar, números racionais podem ser obtidos através da razão entre dois números inteiros, razão pela qual, o conjunto de todos os números racionais é denotado por Q. Assim, é comum encontrarmos na literatura a notação:

Q = { nm

: m e n em Z, n diferente de zero}

No conjunto Q destacamos os seguintes subconjuntos:

Q* = conjunto dos racionais não nulos; Q+ = conjunto dos racionais não negativos; Q*+ = conjunto dos racionais positivos; Q _ = conjunto dos racionais não positivos; Q*_ = conjunto dos racionais negativos.

REPRESENTAÇÃO DECIMAL DAS FRAÇÕES

Tomemos um número racional qp

, tal que p não seja

múltiplo de q. Para escrevê-lo na forma decimal, basta efetuar a divisão do numerador pelo denominador.

Nessa divisão podem ocorrer dois casos:1º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, um

número finito de algarismos. Decimais Exatos:

52

= 0,4

41

= 0,25

435

= 8,75

50153

= 3,06

2º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, infinitos algarismos (nem todos nulos), repetindo-se periodicamente. Decimais Periódicos ou Dízimas Periódicas:

31

= 0,333...

221

= 0,04545...

66167

= 2,53030...

REPRESENTAÇÃO FRACIONÁRIA DOS NÚMEROS DECIMAIS

Trata-se do problema inverso: estando o número racional escrito na forma decimal, procuremos escrevê-lo na forma de fração. Temos dois casos:

1º) Transformamos o número em uma fração cujo numerador é o número decimal sem a vírgula e o denominador é composto pelo numeral 1, seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do número decimal dado:

0,9 = 109

5,7 = 1057

0,76 = 10076

3,48 = 100348

0,005 = 1000

5=

2001

2º) Devemos achar a fração geratriz da dízima dada; para tanto, vamos apresentar o procedimento através de alguns exemplos:

Exemplo 1 – Seja a dízima 0,333... .Façamos x = 0,333... e multipliquemos ambos os membros

por 10: 10x = 0,333

7



Subtraindo, membro a membro, a primeira igualdade da segunda:

10x – x = 3,333... – 0,333... 9x = 3 x = 3/9

Assim, a geratriz de 0,333... é a fração93

.

Exemplo 2: Seja a dízima 5,1717... .Façamos x = 5,1717... e 100x = 517,1717... .Subtraindo membro a membro, temos:

99x = 512 x = 512/99

Assim, a geratriz de 5,1717... é a fração 99512

.

Exemplo 3: Seja a dízima 1,23434...Façamos x = 1,23434... 10x = 12,3434... 1000x =

1234,34... .Subtraindo membro a membro, temos:

990x = 1234,34... – 12,34... 990x = 1222 x = 1222/990

Simplificando, obtemos x = 495611

, a fração geratriz da dízima 1,23434...

Módulo ou valor absoluto: é a distância do ponto que representa esse número ao ponto de abscissa zero.

Exemplo: módulo de – 23

é 23

. Indica-se 23

- = 23

módulo de + 23

é 23

. Indica-se 23

+ = 23

Números Opostos: dizemos que –23

e 23

são números

racionais opostos ou simétricos e cada um deles é o oposto do

outro. As distâncias dos pontos – 23

e 23

ao ponto zero da reta são iguais.

SOMA (ADIÇÃO) DE NÚMEROS RACIONAIS

Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos a adição entre os números racionais

ba

e dc

, da mesma forma que a soma de frações, através de:

ba

+ dc

= bd

bcad +

PROPRIEDADES DA ADIÇÃO DE NÚMEROS RACIONAIS

O conjunto Q é fechado para a operação de adição, isto é, a soma de dois números racionais ainda é um número racional.

Associativa: Para todos a, b, c em Q: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c

Comutativa: Para todos a, b em Q: a + b = b + aElemento neutro: Existe 0 em Q, que adicionado a todo q em

Q, proporciona o próprio q, isto é: q + 0 = qElemento oposto: Para todo q em Q, existe -q em Q, tal que

q + (–q) = 0

SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS RACIONAIS A subtração de dois números racionais p e q é a própria

operação de adição do número p com o oposto de q, isto é: p – q = p + (–q)

EXERCÍCIOS

1- Qual é o valor da soma algébrica – 38

+ 65

?

2- Determine o valor de –2 +152

+ 1,2 – 43

.

3- Calcule o valor das seguintes somas algébricas:

a) –157

+ 61

f) – 5

12 + 0,6

b) – 53

– 31

g) – 1,25 – 81

c) –154

– 121

h) 3 – 23

– 1,6 + 47

d) 101

– 154

i) 1514

– 1,4 – 38

+ 1,8

e) – 127

+ 81

4- Qual é o valor da soma (–625

) + (+9

11)?

5- Qual é o valor da diferença (–67

) (+0,4)?

6- Determine o valor de:

a) (– 43

) + (– 65

) d) (+ 53

) – (+ 87

)

8



b) (– 125

) – (– 43

) e) (–1,25) – (+ 83

)

c) (–0,4) + (61

) f) (–67

) + (+0,15)

7- e destas expressões? Qual é o valor?

a) (–0,3) – (– 41

) + (+53

)

b) (–1,2) + (– 65

) – (+0,6)

8- Se A representa um número e A = (– 37

) + (– 65

) – (–2,5), então responda:

a) Qual é o valor de A? b) Qual é o valor de –27. A?

c) Qual é o valor de A1

?

9- Copie as sentenças substituindo o ñ pelos símbolos <, > ou = de modo que sejam verdadeiras:

a) – 43

+ 61 � –

67

b) – 0,7 � – 3,2 – 35

c) – 1,01 + 58

� 1,59

d) 1 – 1,064 � – 2 + 1,98

10- Sabe-se que a = –127

e b = 95

. Responda:

a) Qual é o valor de a + b? b) Qual é o valor de –a – b? c) Qual é o valor de – (a + b)?

d) Qual é o valor de ba +

1?

11- As letras x e y representam números racionais.

Se x = (–3,5) – (–1233

) e y = – 1217

, responda:

a) Qual é o valor de x?

b) Qual é o valor de x – y? c) Qual é o valor de –x + y? d) Qual é o valor de – (–x + y)?

12- Qual é o valor da expressão – 41

+

+-

43

21

?

13- Determine o valor da expressão

--

37

2135

1336+ .

14- Calcule o valor das expressões:

a)

--

98

185

+ 94

b)

+-

35

1517

+ 1,35 15- As letras A e B representam números racionais. Sendo A

= – 43

+ 74 e B = –

730 +

1411, responda:

a) Qual é o valor de A? -5/28b) Qual é o valor de B? -7/2c) Qual é o valor de A – B? 93/28d) Qual é o valor de B – A? -93/28

16- A soma de dois números racionais é –1,8. Um deles é 9,7. Calcule o outro número.

–11,5

17- Subtraindo-se um número de 52, obtém-se –85,6. Que número é esse? 137,6

18- A soma algébrica de dois números racionais é – 35

. Um

dos números é –125 . Qual é o outro número? -5/4

19- Renato escreveu um número racional na forma decimal e

adicionou2567 a esse número. Para sua surpresa

o resultado foi zero. Qual foi o número que ele escreveu? -2,68

20- No início de julho, o saldo bancário de Dino era R$ 2,36. Durante o mês ele usou cheques no valor de R$ 8,32 e R$ 9,85 e fez um depósito de R$ 15,00. Qual era o saldo de Dino no final de julho? -0,81 ou R$ 0,81 D

RESPOSTAS

1- (11/6)2- (-17/12)3- (a) – 3/10) (b) – 14/15) (c) – 7/20) (d) – 1/6) (e) – 11/24) (f)

– 9/5 ou – 1,8) (g) – 11/8 ou – 1,375) (h) 33/20 ou 1,65) (i) – 4/3)

21

9



4- (- 53/18)5- (-47/30)6- (a) -19/12) (b) 1/3) (c) – 7/10) (d) – 11/40) (e) – 13/8) (f)

– 61/60)7- (a) 11/20) (b) – 79/30)8- (a) – 2/3) (b) 18) (c) – 3/2)9- (a) >) (b) >) (c) <) (d) <)10- (a) – 1/36) (b) 1/36) (c) 1/36) (d) – 36)11- (a) – 3/4) (b) 2/3) (c) – 2/3) (d) 2/3)12- (0)13- (-16/13)14 - (a) – 13/18) (b) 113/60)15 - (a) – 5/28) (b) – 7/2) (c) 93/28) (d) – 93/28)16 - (-11,5)17 - (137,6)18- (-5/4)19 - (- 2,68)20 - (-0,81 ou R$0,81)

MULTIPLICAÇÃO (PRODUTO) DE NÚMEROS RACIONAIS

Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos o produto de dois números

racionais ba

e dc

, da mesma forma que o produto

de frações, através de:

ba

x dc

= bdac

O produto dos números racionais a e b também pode ser indicado por a × b, axb, a.b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras.

Para realizar a multiplicação de números racionais, devemos obedecer à mesma regra de sinais que vale em toda a Matemática:

(+1) × (+1) = (+1)(+1) × (-1) = (-1)(-1) × (+1) = (-1)(-1) × (-1) = (+1)Podemos assim concluir que o produto de dois números com o

mesmo sinal é positivo, mas o produto de dois números com sinais diferentes é negativo.

PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS RACIONAIS

O conjunto Q é fechado para a multiplicação, isto é, o produto de dois números racionais ainda é um número racional.

Associativa: Para todos a, b, c em Q: a × ( b × c ) = ( a × b ) × c

Comutativa: Para todos a, b em Q: a × b = b × aElemento neutro: Existe 1 em Q, que multiplicado por todo

q em Q, proporciona o próprio q, isto é: q × 1 = q

Elemento inverso: Para todo q = ba

em Q, q diferente de

zero, existe q-1 = ab

em Q: q × q-1 = 1 ba

x ab

= 1

Distributiva: Para todos a, b, c em Q: a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c )

EXERCÍCIOS

1- Calcule os produtos seguintes:

a)

-

1148

.

161

b)

+

607

.

-

2110

c) (–0,3) .

-

2425

d) (+1,2) .

-

310

e)

+

4849

.

-

730

.

+

51

f)

+

821

.

-

716

.

-

201

.

-

3675

2- Determine o triplo dos seguintes números racionais:

a) –2714

b) – 9,07 c) 9017

3- A letra y representa um número racional. Qual é o valor de y nas sentenças seguintes?

a) y .

-

2720

= 1

b)

-

501

. y = 1

c) y . (–0,8) = 1

4- Se dois números racionais opostos são diferentes de zero, qual será o sinal do produto desses números?

5- O produto de dois números racionais inversos tem sinal positivo ou sinal negativo?

10



6- Pense em dois números racionais inversos e multiplique-os. Agora responda:

a) Qual foi o resultado? b) Se você pensar em outros dois números, o que acontecerá?

7- As anotações que estão na tabela são as dívidas de Roberto no mês de julho. No mês de agosto, a sua situação piorou. Resposta, usando decimais:

JulhoDia R$05 - 2,4613 - 10,8031 -3,07

Responda, usando decimais:a) De quanto foi a dívida de Roberto no mês de julho?

b) Se a dívida dobrou no mês de agosto, de quanto foi essa dívida?

8- Escreva um número racional que multiplicado por 157

- resulta 1.

9- A metade de um número racional somada com o,8 é – 0,45. Que número é esse?

10- Qual é o número racional cuja terça parte é igual a 3,25?

RESPOSTAS1) a) – 3/11 b) – 1/18 c) 5/16 d) – 4 e) – 7/8 f) – 15/242) a) – 14/9 b) – 27,21 c) 17/303) a) – 27/20 b) – 50 c) – 5/44) negativo5) positivo6) a) 1 b) o produto será 1.7) a) – 16,33 b) – 32,66.8) – 15/79) – 2,510) 9,75

DIVISÃO DE NÚMEROS RACIONAIS A divisão de dois números racionais p e q é a própria operação

de multiplicação do número p pelo inverso de q, isto é: p ÷ q = p × q-1

EXERCÍCIOS1) Você se lembra?

Então,

32094

-

-é igual a

-

94

:

-

320

.

Qual é o valor de

32094

-

- ?

2) A letra y representa um número racional.

Se

-

2615

: y = 1320

- , qual é o valor de y?

3) A letra x representa um número racional.Qual é o valor de x

nas igualdades seguintes?

a) (–35) . x = 201

b) x : (–0,25) = – 0,35

4)Qual é o valor da expressão

31

-

--

--

67

125

61

43

–

5)Calcule o valor das expressões numéricas:

a) 247

+--

-

43

67

81

125–

b)

+

-

+

25

121:

163

-

27

49

–

6)Qual é o valor de

-

+

79:

3520

+

316

: ?

7)Calcule o valor da expressão numérica (– 0,2) :

+

654

-

53

+

625

– .

8)Calcule o valor das expressões numéricas:

a)

-

-

323:

85

-

245

:

b)

-

-

2514:

4021

+

1675

:

c) ( )

-

+ 30:

760

-

285

514

+

81– . :

d) ( )

-

- 16,0:

58

: (+0,25) +

+

1750

:

-

34025

11



9)Considere x = –

+-+-

49

23

52 –

---

5124

107

e responda: a) Qual é o valor de x ?

b) Qual é o valor de x1

- ?

c)A letra y representa um número racional e x + y = 0.

Qual é o valor de y?

10)Sabe-se que a =

-

75 .

+

+-

821:

85

23 .

-

57

95

- . Responda:

a) Qual é o valor de a? b) Qual é o valor de – 3 . a ?

RESPOSTAS1) 1/152) 3/83) a) – 1/700 b) 0,08754) – 1/65) a) – 5/12 b) – 3/26) – 1/127) – ¾8) a) – 32 b) 1/5 c) 5/4 d) 09) a) 39/20 b) – 20/3910) a) – 8/9 b) 8/3

POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS RACIONAIS

A potência qn do número racional q é um produto de n fatores iguais. O número q é denominado a base e o número n é o expoente.

qn = q × q × q × q × ... × q, (q aparece n vezes)

Exemplos:

a) 3

52

=

52

.

52

.

52

= 125

8

b) 3

21

- =

-

21

.

-

21

.

-

21

= 81

-

c) (–5)² = (–5) . ( –5) = 25

d) (+5)² = (+5) . (+5) = 25

Propriedades da Potenciação:• Toda potência com expoente 0 é igual a 1.

0

52

+ = 1

• Toda potência com expoente 1 é igual à própria base.

1

49

- =

49

-

• Toda potência com expoente negativo de um número racional diferente de zero é igual a uma outra potência que tem a base igual ao inverso da base anterior e o expoente igual ao oposto do expoente anterior.

2

53 -

- =

2

35

- =

925

• Toda potência com expoente ímpar tem o mesmo sinal da base.

3

32

=

32

.

32

.

32

= 278

• Toda potência com expoente par é um número positivo.

2

51

- =

-

51

.

-

51

= 251

• Produto de potências de mesma base. Para reduzir um produto de potências de mesma base a uma só potência, conservamos a base e somamos os expoentes.

2

52

.

3

52

=

532

52

52

52.

52.

52.

52.

52

=

=

+

• Quociente de potências de mesma base. Para reduzir um quociente de potências de mesma base a uma só potência, conservamos a base e subtraímos os expoentes.

32525

23

23

23.

23

23.

23.

23.

23.

23

23:

23

=

==

-

• Potência de Potência. Para reduzir uma potência de potência a uma potência de um só expoente, conservamos a base e multiplicamos os expoentes.

62322222232

21

21

21

21.

21.

21

21

=

=

=

=

+++

EXERCÍCIOS

1) Escreva o produto 73

32.

32

+

+ como uma só

potência.

12



2) Escreva o quociente 412

2516:

2516

-

- como uma só

potência.

3) Se x = 8

2310

- ,como se escreve x5 usando um só

expoente?

4) Utilize as propriedades das potências de bases iguais e escreva como uma só potência:

a)36

2017.

2017

-

-

b) 46

43:

43

-

-

c)

52

2513

+

d) [ (– 0,18)3]5

e) 59

1543.

1543

+

+

f) 59

1543.

1543

+

+

5)Qual é o valor da expressão

+

---

43:

21

2413 3

?

6) Calcule o valor das expressões numéricas:

a) 232:

32 25

-

-

-

b)

-

-

-

-

3625

1528:

57:

61 3

c) ( )

+-+--

613:52.

32 2

d)

-

-+

23:

52.5

103 2

e) 25 – [( 3,3 – 0,2 . 1,5 ) – 6,4 : 0,8]2

f)

-+-+

+

-

--- 212

2113

51

31.

213

7) Qual é o valor de 3

21

333

-

-- +?

8) Determine o valor da expressão

2

2

311

3

-

-

-

-.

9)Como 27 = 33, usando expoentes inteiros negativos podemos

escrever 3-3 para representar 271

. Procedendo da mesma forma,

como poderíamos escrever 271

?

10) Use potências de base 10 e expoentes inteiros negativos para escrever os seguintes números:

a) 0,0003b) 0,005c) 0,00018d) 0,081e) – 0,00016f) –0,000418

RESPOSTAS

1) 10

32

+

2) 8

2516

-

3)

40

2310

-

4) a) (-17/20)9 b) (-3/4)2 c) (13/25)10 d) (-0,18)15 e) (-719)8 f) (-4315)14

5) – 3/86) a) -62/27 b) -1/12 c) 23/27 d) -11/15 e) 0 f) 13/107) 128) 1/729) 2-4

10) a) 3.10-4 b) 5.10-3 c) 18.10-5 d) 81.10-3 e) -16.10-5 f) -418.10-6

13



EXPRESSÕES NUMÉRICAS

Expressões Algébricas são aquelas que contêm números e letras.

Ex: 2ax²+bx

Variáveis são as letras das expressões algébricas que representam um número real e que de princípio não possuem um valor definido.

Valor numérico de uma expressão algébrica é o número que obtemos substituindo as variáveis por números e efetuamos suas operações.

Ex: Sendo x =1 e y = 2, calcule o valor numérico (VN) da expressão:

x² + y » 1² + 2 =3 Portando o valor numérico da expressão é 3.

Monômio: os números e letras estão ligados apenas por produtos.

Ex : 4x

Polinômio: é a soma ou subtração de monômios. Ex: 4x+2y

Termos semelhantes: são aqueles que possuem partes literais iguais ( variáveis )

Ex: 2 x³ y² z e 3 x³ y² z » são termos semelhantes pois possuem a mesma parte literal.

Adição e Subtração de expressões algébricas Para determinarmos a soma ou subtração de expressões

algébricas, basta somar ou subtrair os termos semelhantes. Assim: 2 x³ y² z + 3x³ y² z = 5x³ y² z ou 2 x³ y² z - 3x³ y² z

= -x³ y² z

Convém lembrar dos jogos de sinais. Na expressão ( x³ + 2 y² + 1 ) – ( y ² - 2 ) = x³ +2 y² + 1 – y²

+ 2 = x³ + y² +3

Multiplicação e Divisão de expressões algébricasNa multiplicação e divisão de expressões algébricas, devemos

usar a propriedade distributiva.Exemplos:1) a ( x+y ) = ax + ay 2) (a+b)(x+y) = ax + ay + bx + by 3) x ( x ² + y ) = x³ + xy

» Para multiplicarmos potências de mesma base, conservamos a base e somamos os expoentes.

» Na divisão de potências devemos conservar a base e subtrair os expoentes

Exemplos:1) 4x² : 2 x = 2 x

2) ( 6 x³ - 8 x ) : 2 x = 3 x² - 4

3)

=[Resolução]

Para iniciarmos as operações devemos saber o que são termos semelhantes.

Dizemos que um termo é semelhante do outro quando suas partes literais são idênticas.

Veja: ► 5x2 e 42x são dois termos, as suas partes literais são x2 e x,

as letras são iguais, mas o expoente não, então esses termos não são semelhantes.

► 7ab2 e 20ab2 são dois termos, suas partes literais são ab2 e ab2, observamos que elas são idênticas, então podemos dizer que são semelhantes.

Adição e subtração de monômios Só podemos efetuar a adição e subtração de

monômios entre termos semelhantes. E quando os termos envolvidos na operação de adição ou subtração não forem semelhantes, deixamos apenas a operação indicada. Veja:

Dado os termos 5xy2, 20xy2, como os dois termos são semelhantes eu posso efetuar a adição e a subtração deles.

• 5xy2 + 20xy2 devemos somar apenas os coeficientes e conservar a parte literal.

25 xy2

• 5xy2 - 20xy2 devemos subtrair apenas os coeficientes e conservar a parte literal.

- 15 xy2

Veja alguns exemplos: • x2 - 2x2 + x2 como os coeficientes são frações devemos tirar

o mmc de 6 e 9.

3x2 - 4 x2 + 18 x2

1817x2 18

• 4x2 + 12y3 – 7y3 – 5x2 devemos primeiro unir os termos semelhantes. 12y3 – 7y3 + 4x2 – 5x2 agora efetuamos a soma e a subtração. 5y3 – x2 como os dois termos restantes não são semelhantes, devemos deixar apenas indicado à operação dos monômios.

• Reduza os termos semelhantes na expressão 4x2 – 5x -3x + 2x2. Depois calcule o seu valor numérico da expressão. 4x2 – 5x - 3x + 2x2 reduzindo os termos semelhantes. 4x2 + 2x2 – 5x - 3x

14



6x2 - 8x os termos estão reduzidos, agora vamos achar o valor numérico dessa expressão.

Para calcularmos o valor numérico de uma expressão devemos ter o valor de sua incógnita, que no caso do exercício é a letra x.

Vamos supor que x = - 2, então substituindo no lugar do x o -2 termos:

6x2 - 8x 6 . (-2)2 – 8 . (-2) = 6 . 4 + 16 = 24 + 16 40

Multiplicação de monômios Para multiplicarmos monômios não é necessário que eles sejam

semelhantes, basta multiplicarmos coeficiente com coeficiente e parte literal com parte literal. Sendo que quando multiplicamos as partes literais devemos usar a propriedade da potência que diz: am . an = am + n (bases iguais na multiplicação repetimos a base e somamos os expoentes).

(3a2b) . (- 5ab3) na multiplicação dos dois monômios, devemos multiplicar os coeficientes 3 . (-5) e na parte literal multiplicamos as que têm mesma base para que possamos usar a propriedade am . an = am + n.

3 . ( - 5) . a2 . a . b . b3

-15 a2 +1 b1 + 3 -15 a3b4

DIVISÃO DE MONÔMIOSPara dividirmos os monômios não é necessário que eles sejam

semelhantes, basta dividirmos coeficiente com coeficiente e parte literal com parte literal. Sendo que quando dividirmos as partes literais devemos usar a propriedade da potência que diz: am : an = am - n (bases iguais na divisão repetimos a base e diminuímos os expoentes), sendo que a ≠ 0.

(-20x2y3) : (- 4xy3) na divisão dos dois monômios, devemos dividir os coeficientes -20 e - 4 e na parte literal dividirmos as que têm mesma base para que possamos usar a propriedade am : an = am – n.

-20 : (– 4) . x2 : x . y3 : y3 5 x2 – 1 y3 – 3 5x1y0

5x

Potenciação de monômios Na potenciação de monômios devemos novamente utilizar

uma propriedade da potenciação:(I) (a . b)m = am . bm (II) (am)n = am . n Veja alguns exemplos:(-5x2b6)2 aplicando a propriedade

(I). (-5)2 . (x2)2 . (b6)2 aplicando a propriedade(II) 25 . x4 . b12 25x4b12

BINÔMIODenomina-se Binômio de Newton , a todo binômio da forma

(a + b)n , sendo n um número natural .

Exemplo: B = (3x - 2y)4 ( onde a = 3x, b = -2y e n = 4 [grau do binômio]

).

Exemplos de desenvolvimento de binômios de Newton :

a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

b) (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3

c) (a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4 d) (a + b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5ab4 + b5

Nota:

Não é necessário memorizar as fórmulas acima, já que elas possuem uma lei de formação bem definida, senão vejamos:

Vamos tomar, por exemplo, o item (d) acima:Observe que o expoente do primeiro e últimos termos são

iguais ao expoente do binômio, ou seja, igual a 5. A partir do segundo termo, os coeficientes podem ser obtidos

a partir da seguinte regra prática de fácil memorização: Multiplicamos o coeficiente de a pelo seu expoente e dividimos

o resultado pela ordem do termo. O resultado será o coeficiente do próximo termo. Assim por exemplo, para obter o coeficiente do terceiro termo do item (d) acima teríamos:

5.4 = 20; agora dividimos 20 pela ordem do termo anterior (2 por se tratar do segundo termo) 20:2 = 10 que é o coeficiente do terceiro termo procurado.

Observe que os expoentes da variável a decrescem de n até 0 e os expoentes de b crescem de 0 até n. Assim o terceiro termo é 10 a3b2 (observe que o expoente de a decresceu de 4 para 3 e o de b cresceu de 1 para 2).

Usando a regra prática acima, o desenvolvimento do binômio de Newton (a + b)7 será:

(a + b)7 = a7 + 7 a6b + 21 a5b2 + 35 a4b3 + 35 a3b4 + 21 a2b5 + 7 ab6 + b7

Como obtivemos, por exemplo, o coeficiente do 6º termo (21 a2b5) ?

Pela regra: coeficiente do termo anterior = 35. Multiplicamos 35 pelo expoente de a que é igual a 3 e dividimos o resultado pela ordem do termo que é 5.

Então, 35 . 3 = 105 e dividindo por 5 (ordem do termo anterior) vem 105:5 = 21, que é o coeficiente do sexto termo, conforme se vê acima.

Observações:1) o desenvolvimento do binômio (a + b)n é um polinômio.2) o desenvolvimento de (a + b)n possui n + 1 termos .3) os coeficientes dos termos eqüidistantes dos extremos , no

desenvolvimento De (a + b)n são iguais .

15



4) a soma dos coeficientes de (a + b)n é igual a 2n .

Fórmula do termo geral de um Binômio de Newton Um termo genérico Tp+1 do desenvolvimento de (a+b)n , sendo

p um número natural, é dado por

onde

é denominado Número Binomial e Cn.p é o número de combinações simples de n elementos, agrupados p a p, ou seja, o número de combinações simples de n elementos de taxa p.

Este número é também conhecido como Número Combinatório.

EXERCÍCIOS 1 - Determine o 7º termo do binômio (2x + 1)9 , desenvolvido

segundo as potências decrescentes de x. Solução:Vamos aplicar a fórmula do termo geral de (a + b)n , onde a

= 2x , b = 1 e n = 9. Como queremos o sétimo termo, fazemos p = 6 na fórmula do termo geral e efetuamos os cálculos indicados. Temos então:

T6+1 = T7 = C9,6 . (2x)9-6 . (1)6 = 9! /[(9-6)! . 6!] . (2x)3 . 1 = 9.8.7.6! / 3.2.1.6! . 8x3 = 84.8x3 = 672x3. Portanto o sétimo termo procurado é 672x3.

2 - Qual o termo médio do desenvolvimento de (2x + 3y)8 ?

Solução:Temos a = 2x , b = 3y e n = 8. Sabemos que o desenvolvimento

do binômio terá 9 Termos, porque n = 8. Ora sendo T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 os termos do desenvolvimento do binômio, o termo do meio (termo médio) será o T5 (quinto termo).

Logo, o nosso problema resume-se ao cálculo do T5 . Para isto, basta fazer p = 4 na fórmula do termo geral e efetuar os cálculos decorrentes. Teremos:T4+1 = T5 = C8,4 . (2x)8-4 . (3y)4 = 8! / [(8-4)! . 4!] . (2x)4 . (3y)4 = 8.7.6.5.4! / (4! . 4.3.2.1) . 16x4.81y4

Fazendo as contas vem:T5 = 70.16.81.x4 . y4 = 90720x4y4 , que é o termo médio

procurado.

3 - Desenvolvendo o binômio (2x - 3y)3n , obtemos um polinômio de 16 termos. Qual o valor de n?

Solução:Ora, se o desenvolvimento do binômio possui 16 termos,

então o expoente do binômio é igual a 15. Logo, 3n = 15 de onde conclui-se que n = 5.

4 - Determine o termo independente de x no desenvolvimento de (x + 1/x )6 .

Solução: Sabemos que o termo independente de x é aquele que não

depende de x, ou seja, aquele que não possui x.Temos no problema dado: a = x , b = 1/x e n = 6. Pela fórmula do termo geral, podemos escrever: Tp+1 = C6,p . x

6-p . (1/x)p = C6,p . x6-p . x-p = C6,p . x

6-2p .

Ora, para que o termo seja independente de x, o expoente desta variável deve ser zero, pois x0 = 1. Logo, fazendo 6 - 2p = 0, obtemos p=3. Substituindo então p por 6, teremos o termo procurado. Temos então:

T3+1 = T4 = C6,3 . x0 = C6,3 = 6! /[(6-3)! . 3! ] = 6.5.4.3! / 3!.3.2.1

= 20.Logo, o termo independente de x é o T4 (quarto termo) que é

igual a 20.

EXERCÍCIOS

1) Qual é o termo em x5 no desenvolvimento de (x + 3)8 ?

2) Determine a soma dos coeficientes do desenvolvimento de (x - 3y)7 .

3) Qual é o valor do produto dos coeficientes do 2o. e do penúltimo termo do desenvolvimento de (x - 1)80 ?

4) FGV-SP - Desenvolvendo-se a expressão [(x + 1/x) . (x - 1/x)]6 , obtém-se como termo independente de x o valor:

a) 10 b) -10 c) 20 d) -20e) 36

5) UF. VIÇOSA - A soma dos coeficientes do desenvolvimento de (2x + 3y)m é 625. O valor de m é:

a) 5b) 6 c)10 d) 3 e) 4

6) MACK-SP - Os 3 primeiros coeficientes no desenvolvimento de (x2 + 1/(2x))n estão em progressão aritmética.O valor de n é:

a) 4 b) 6 c) 8 d) 10e) 12

7) No desenvolvimento de (3x + 13)n há 13 termos. A soma dos coeficientes destes termos é igual a:

8) UFBA-92 - Sabendo-se que a soma dos coeficientes no desenvolvimento do binômio (a + b)m é igual a 256, calcule (m/2)!

9) UFBA-88 - Calcule o termo independente de x no desenvolvimento de (x2 + 1/x)9.

16



10) Calcule a soma dos coeficientes do desenvolvimento do binômio (3x - 1)10.

RESPOSTAS

(1) T4 = 1512.x5 (2) – 128 (3) 6400 (4-D) (5-E)(6-8)(7) 248 (8) 24 (9) 84 (10) 1024

MÚLTIPLOS E DIVISORES DE NÚMEROS NATURAIS

Sabemos que 30:6 = 5,porque 5 x 6 = 30.Podemos dizer então que:

“30 é divisível por 6 porque existe um numero natural (5) que multiplicado por 6 dá como resultado 30.”

Um numero natural a é divisível por um numero natural b, não-nulo, se existir um número natural c,tal que c . b = a.

Ainda com relação ao exemplo 30 : 6 = 5, temos que:30 é múltiplo de 6,e 6 é divisor de 30.

Conjunto dos múltiplos de um número natural: é obtido multiplicando-se esse número pela sucessão dos números naturais: 0,1,2,3,4,5,6,...

Para acharmos o conjunto dos múltiplos de 7, por exemplo, multiplicamos por 7 cada um dos números da sucessão dos naturais:

7 x 0 = 07 x 1 = 77 x 2 = 147 x 3 = 217 x 4 = 287 x 5 = 35

O conjunto formado pelos resultados encontrados forma o conjunto dos múltiplos de 7: M(7) = {0,7,14,21,28,...}.

Observações:

è Todo número natural é múltiplo de si mesmo.è Todo número natural é múltiplo de 1.è Todo número natural, diferente de zero, tem infinitos

múltiplos.è O zero é múltiplo de qualquer número natural.è Os múltiplos do número 2 são chamados de números pares,

e a fórmula geral desses números é 2 k (k∈N ). Os demais são chamados de números ímpares, e a fórmula geral desses números é 2 k + 1 ( k∈ N ).

Critérios de divisibilidade: são regras práticas que nos possibilitam dizer se um número é ou não divisível por outro, sem efetuarmos a divisão.

Divisibilidade por 2: Um número é divisível por 2 quando termina em 0, 2, 4, 6 ou 8, ou seja, quando ele é par. Exemplos:

a) 9656 é divisível por 2, pois termina em 6.b) 4321 não é divisível por 2, pois termina em 1.

Divisibilidade por 3: Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos é divisível por 3. Exemplos:

a) 65385 é divisível por 3, pois 6 + 5 + 3 + 8 + 5 = 27, e 27 é divisível por 3.

b) 15443 não é divisível por 3, pois 1+ 5 + 4 + 4 + 3 = 17, e 17 não é divisível por 3.

Divisibilidade por 4: Um número é divisível por 4 quando seus dois algarismos são 00 ou formam um número divisível por 4. Exemplos:

a) 536400 é divisível por 4, pois termina em 00.b) 653524 é divisível por 4, pois termina em 24, e 24 é

divisível por 4.c) 76315 não é divisível por 4, pois termina em 15, e 15 não

é divisível por 4.

Divisibilidade por 5: Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5. Exemplos:

a) 35040 é divisível por 5, pois termina em 00.b) 7235 é divisível por 5, pois termina em 5.c) 6324 não é divisível por 5, pois termina em 4.

Divisibilidade por 6: Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3. Exemplos:

a) 430254 é divisível por 6, pois é divisível por 2 e por 3 (4 + 3 + 0 + 2 + 5 + 4 = 18).

b) 80530 não é divisível por 6, pois não é divisível por 3 ( 8 + 0 + 5 + 3 + 0 = 16 ).

c) 531561 não é divisível por 6, pois não é divisível por 2.

Divisibilidade por 8: Um número é divisível por 8 quando seus três últimos algarismos forem 000 ou formarem um número divisível por 8. Exemplos:

a) 57000 é divisível por 8, pois seus três últimos algarismos são 000.

b) 67024 é divisível por 8, pois seus três últimos algarismos formam o número 24, que é divisível por 8.

c) 34125 não é divisível por 8, pois seus três últimos algarismos formam o número 125, que não é divisível por 8.

Divisibilidade por 9: Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos formam um número divisível por 9. Exemplos:

17



a) 6253461 é divisível por 9, pois 6 + 2 + 5 + 3 + 4 + 6 + 1 = 27 é divisível por 9.

b) 325103 não é divisível por 9, pois 3 + 2 + 5 + 1 + 0 + 3 = 14 não é divisível por 9.

Divisibilidade por 10: Um número é divisível por 10 quando termina em zero. Exemplos:

a) 563040 é divisível por 10, pois termina em zero.b) 246321 não é divisível por 10, pois não termina em zero.

Divisibilidade por 11: Um número é divisível por 11 quando a diferença entre a soma dos algarismos de posição ímpar e a soma dos algarismos de posição par resulta em um número divisível por 11. Exemplos:

a) 1º 3º 5º ð Algarismos de posição ímpar.(Soma dos algarismos de posição impar: 4 + 8 + 3 = 15.)

4 3 8 1 3 2º 4º ð Algarismos de posição par.(Soma dos

algarismos de posição par:3 + 1 = 4)

15 – 4 = 11 ð diferença divisível por 11. Logo 43813 é divisível por 11.

b) 1º 3º 5º 7º ð (Soma dos algarismos de posição ímpar:8 + 4 + 5 + 2 = 19)

8 3 4 1 5 7 2 1 2º 4º 6º 8º ð (Soma dos algarismos de posição

par:3 + 1 + 7 + 1 = 12)

19 – 12 = 7 ð diferença que não é divisível por 11. Logo 83415721 não é divisível por 11.


a) 78324 é divisível por 12, pois é divisível por 3 ( 7 + 8 + 3 + 2 + 4 = 24) e por 4 (termina em 24).

b) 652011 não é divisível por 12, pois não é divisível por 4 (termina em 11).

c) 863104 não é divisível por 12, pois não é divisível por 3 ( 8 + 6 + 3 +1 + 0 + 4 = 22).


a) 650430 é divisível por 15, pois é divisível por 3 ( 6 + 5 + 0 + 4 + 3 + 0 =18) e por 5 (termina em 0).

b) 723042 não é divisível por 15, pois não é divisível por 5 (termina em 2).

c) 673225 não é divisível por 15, pois não é divisível por 3 ( 6 + 7 + 3 + 2 + 2 + 5 = 25).

EXERCÍCIOS

1- Escreva os elementos dos conjuntos dos múltiplos de 5 menores que 30.

2- Escreva os elementos dos conjuntos dos múltiplos de 8 compreendidos entre 30 e 50.

3- Qual é o menor múltiplo de 12 maior que 50?4- Qual é o menor número que devemos somar a 36 para

obter um múltiplo de 7?5- Como são chamados os múltiplos de 2?

6- Verifique se os números abaixo são divisíveis por 4.a) 23418 b) 65000 c) 38036 d) 24004

e) 58617


e) 2013045

8- Qual é o maior múltiplo de 15 menor que 150?9- Escreva os elementos dos conjuntos dos múltiplos de 7

maiores que 10 e menores que 20.


e) 43123

RESPOSTAS

1- {0, 5, 10, 15, 20, 25}2- {32, 40, 48}3- 604- 65- pares6- a) N b) S c) S d) S e) N7- a) N b) S c) S d) S e) N8- 1359- {14}10- a) S b) S c) S d) S e) N

PROBLEMAS

Os problemas matemáticos são resolvidos utilizando inúmeros recursos matemáticos, destacando, entre todos, os princípios algébricos, os quais são divididos de acordo com o nível de dificuldade e abordagem dos conteúdos. Primeiramente os cálculos envolvem adições e subtrações, posteriormente as multiplicações e divisões. Depois os problemas são resolvidos com a utilização dos fundamentos algébricos, isto é, criamos equações matemáticas com valores desconhecidos (letras). Observe algumas situações que podem ser descritas com utilização da álgebra.

- O dobro de um número adicionado com 4: 2x + 4;- A soma de dois números consecutivos: x + (x + 1);- O quadrado de um número mais 10: x2 + 10;- O triplo de um número adicionado ao dobro do número: 3x

+ 2x;- A metade da soma de um número mais 15: x/2 + 15;- A quarta parte de um número: x/4.

18



Exemplo 1A soma de três números pares consecutivos é igual a 96.

Determine-os.1º número: x2º número: x + 23º número: x + 4

(x) + (x+2) + (x+4) = 96

Resolução:x + x + 2 + x + 4 = 963x = 96 – 4 – 23x = 96 – 63x = 90x = 90/3x = 30

1º número: x = 302º número: x + 2 = 30 + 2 = 323º número: x + 4 = 30 + 4 = 34

Os números são 30, 32 e 34.

Exemplo 2O triplo de um número natural somado a 4 é igual ao quadrado

de 5. Calcule-o:

Resolução:

3x + 4 = 52

3x = 25 – 43x = 21x = 21/3x = 7

O número procurado é igual a 7.

Exemplo 3A idade de um pai é o quádruplo da idade de seu filho. Daqui

há cinco anos, a idade do pai será o triplo da idade do filho. Qual é a idade atual de cada um?

Resolução:AtualmenteFilho: xPai: 4x

FuturamenteFilho: x + 5Pai: 4x + 5

4x + 5 = 3 . (x + 5)4x + 5 = 3x + 154x – 3x = 15 – 5X = 10

Pai: 4x = 4 . 10 = 40

O filho tem 10 anos e o pai tem 40.

Exemplo 4O dobro de um número adicionado ao seu triplo corresponde

a 20. Qual é o número?

Resolução2x + 3x = 205x = 20x = 20/5x = 4

O número corresponde a 4.

Exemplo 5Em uma chácara existem galinhas e coelhos totalizando 35

animais, os quais somam juntos 100 pés. Determine o número de galinhas e coelhos existentes nessa chácara.

Galinhas: GCoelhos: CG + C = 35Cada galinha possui 2 pés e cada coelho 4, então:2G + 4C = 100

Sistema de equaçõesIsolando C na 1ª equação:G + C = 35C = 35 – G

Substituindo C na 2ª equação:2G + 4C = 1002G + 4 . (35 – G) = 1002G + 140 – 4G = 1002G – 4G = 100 – 140- 2G = - 40G = 40/2G = 20

Calculando CC = 35 – GC = 35 – 20C = 15

EXERCÍCIOS

1- A soma das idades de Arthur e Baltazar é de 42 anos. Qual a idade de cada um, se a idade de Arthur é

52

da idade de Baltazar?A + B = 42 anosA = 2/5 . B(substituindo a letra “A” pelo valor 2/5.B)2/5.B + B = 42 (mmc: 5)2B + 5B = 2107B = 210B = 210/7B = 30 A = 12

2- A diferença entre as idades de José e Maria é de 20 anos.

Qual a idade de cada um, sabendo-se que a idade de José é 59

da idade de Maria?

19



J – M = 20 (substituindo a letra “J” por 9/5M)J = 9/5M 9/5M – M = 20 (mmc:1;5) 9M – 5M = 100 4M = 100 M = 100/4 M = 25 e J = 45

3- Verificou-se que numa feira 95

dos feirantes são de origem

japonesa e 52

do resto são de origem portuguesa. O total de

feirantes japoneses e portugueses é de 99. Qual o total de feirantes dessa feira?

F = feirantes (substituindo a letra “J” por 5/9.F)J = 5/9.F P = J + P = 99 (mmc:9;45) 33F = 4455 F = 4455/33 F = 135

4- Certa quantidade de cards é repartida entre três meninos. O

primeiro menino recebe 73

da quantidade e o segundo, metade do

resto. Dessa maneira, os dois receberam 250 cards. Quantos cards havia para serem repartidos e quantos cards recebeu o terceiro menino?

X = cards (substituindo o “1°” e “2º” pelos valores respectivos)

1º = 3/7.X (mmc: 1;7)2º = 3x + 2x = 1750 1º + 2º = 250 5x = 1750 X = 1750/5 X = 350

------------------------------------------------------------------------------1º = 3/7 . 350 = 1502º = 2/7 . 350 = 1003º = 350 – 250 = 100

5- Num dia, uma pessoa lê os 53

de um livro. No dia seguinte,

lê os 43

do resto e no terceiro dia, lê as 20 páginas finais.

Quantas páginas tem o livro?

X = livro1 dia = 3/5 x 1 dia + 2 dia + 3 dia = x2 dia = ¾ (x – 3/5x) 3/5 x + ¾ (x – 3/5x)

+ 20 = x3 dia = 20 páginas 3/5 x + ¾ + 20 = x 3/5 x + ¾ . 2x/5 + 20 = x 3/5 x + 6x/20 + 20 = x

(mmc:5;20)

12x + 6x + 400 = 20x 20x – 18x = 400 2x = 400 X = 400/2 = 200 páginas

6- Uma caixa contém medalhas de ouro, de prata e de bronze.

As medalhas de ouro totalizam 53

das medalhas da caixa. O

número de medalhas de prata é 30. O total de medalhas de bronze é

41

do total de medalhas. Quantas são as medalhas de ouro e de bronze contidas na caixa?

O + P + B = TT = total 3/5T + 30 + 1/4T = T (mmc:5;4)O = 3/5T 12T/20 + 5T/20 + 600/20 = 20T/20P = 30 17T + 600 = 20TB = 1/4T 20T – 17T = 600 3T = 600 T = 600/3 = 200 medalhas

---------------------------------------------------------------------- O = 3/5T = 3/5 . 200 = 120 B = 1/4T = ¼ . 200 = 50

7-Uma viagem é feita em quatro etapas. Na primeira etapa,

percorrem-se os 72

da distância total. Na segunda, os 53

do

resto. Na terceira, a metade do novo resto. Dessa maneira foram percorridos 60 quilômetros. Qual a distância total a ser percorrida e quanto se percorreu na quarta etapa?

T = total1ª = 2/7T2ª = 3ª = 1ª + 2ª + 3ª = 602T/7 + 3T/7 + 2T/14 = 60 (mmc:7;14)4T + 6T + 2T = 84012T = 840T = 840/12T = 70

4ª = 70 – 60 = 10

8- A soma das idades de Lúcia e Gabriela é de 49 anos. Qual a idade de cada uma, sabendo-se que a idade de Lúcia é

43

da idade de Gabriela?

L + G = 49 anos (substitui a letra “L” por 3/4G)L = 3/4G ¾ G + G = 49 (mmc:1;4) 3G + 4G = 196 7G = 196 G = 196/7 = 28 L = 49 – 28 = 21

9- Num dia, um pintor pinta 52

de um muro. No dia seguinte,

pinta mais 51 metros do muro. Desse modo, pintou 97

do muro

todo. Quantos metros tem o muro?

20



M = muro1 dia = 2/5M2 dia = 51 metros2/5M + 51 = 7/9M (mmc:5;9)18M/45 + 2295/45 = 35M/4518M + 2295 = 35M35M – 18M = 229517M = 2295M = 2295/17M = 135 metros

10- Um aluno escreve 83

do total de páginas de seu caderno

com tinta azul e 58 páginas com tinta vermelha. Escreveu, dessa

maneira, 97

do total de páginas do caderno. Quantas páginas

possui o caderno?

P = total 3/8P + 58 = 7/9P (mmc:8;9)Azul = 3/8P 27P + 4176 = 56PVermelha = 58 56P – 27P = 4176 29P = 4176 P = 4176/29 = 144 páginas

RESPOSTAS

1- Baltazar 30 anos e Artur 12 anos2- José 45 anos e Maria 25 anos3- 135 feirantes4- 350 cards e 3º 100 cards5- 200 páginas6- 120 de ouro e 50 de bronze7- Gabriela 28 anos e Lúcia 21 anos8- Total 70 km e 4º 10 km9- 135 metros10- 144 páginas

FRAÇÕES E OPERAÇÕES COM FRAÇÕES

NÚMEROS FRACIONÁRIOS

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃOFrações com denominadores iguais:

Exemplo: Jorge comeu 83

de um tablete de chocolate e Miguel

82 desse mesmo tablete. Qual a fração do tablete de

chocolate que Jorge e Miguel comeram juntos?A figura abaixo representa o tablete de chocolate. Nela

também estão representadas as frações do tablete que Jorge e Miguel comeram:

3/8 2/85/8

Observe que 83 +

82 =

85

Portanto, Jorge e Miguel comeram juntos 85 do tablete de

chocolate.

Na adição e subtração de duas ou mais frações que têm denominadores iguais, conservamos o denominador comum e somamos ou subtraímos os numeradores.

Outro Exemplo:

21

2753

27

25

23

=-+

=-+

Frações com denominadores diferentes:

Calcular o valor de 65

83+

. Inicialmente, devemos reduzir as frações ao mesmo denominador comum:

mmc (8,6) = 24 65

83+ =

2420

249+

24 : 8 . 3 = 924 : 6 . 5 = 20

Devemos proceder, agora, como no primeiro caso, simplificando o resultado, quando possível:

2420

249+ =

2429

24209

=+

Portanto: 65

83+ =

2420

249+ =

2429

24209

=+

Na adição e subtração de duas ou mais frações que têm os denominadores diferentes, reduzimos inicialmente as frações ao menor denominador comum, após o que procedemos como no primeiro caso.

21



MULTIPLICAÇÃO

Exemplo: De uma caixa de frutas, 54 são bananas. Do total

de bananas, 32

estão estragadas. Qual é a fração de frutas da caixa que estão estragadas?

Representa 4/5 do conteúdo da caixa

Representa 2/3 de 4/5 do conteúdo da caixa.

Repare que o problema proposto consiste em calcular o valor

de 32 de

54 que, de acordo com a figura, equivale a

158 do total

de frutas. De acordo com a tabela acima, 32 de

54 equivale a

32

. 54 . Assim sendo:

32 .

54 =

158

Ou seja:

32 de

54 =

32 .

54 =

5.34.2 =

158

O produto de duas ou mais frações é uma fração cujo numerador é o produto dos numeradores e cujo denominador é o produto dos denominadores das frações dadas.

Outro exemplo: 32 .

54 .

13556

9.5.37.4.2

97

==

Observação: Sempre que possível, antes de efetuar a multiplicação, podemos simplificar as frações entre si, dividindo os numeradores e os denominadores por um fator comum. Esse processo de simplificação recebe o nome de cancelamento.

1

1

32

. 54 .

2512

109

5

3

=

DIVISÃO

Duas frações são inversas ou recíprocas quando o numerador de uma é o denominador da outra e vice-versa. Exemplo:

32 é a fração inversa de

23

5 ou 15 é a fração inversa de

51

Considere a seguinte situação: Lúcia recebeu de seu pai os

54

dos chocolates contidos em uma caixa. Do total de chocolates recebidos, Lúcia deu a terça parte para o seu namorado. Que fração dos chocolates contidos na caixa recebeu o namorado de Lúcia?

A solução do problema consiste em dividir o total de chocolates

que Lúcia recebeu de seu pai por 3, ou seja, 54 : 3.

Por outro lado, dividir algo por 3 significa calcular 31 desse

algo.

Portanto: 54 : 3 =

31 de

54

Como 31 de

54 =

31 .

54 =

54 .

31 , resulta que

54 : 3 =

54 :

13 =

54 .

31

São frações inversas

Observando que as frações 13

e 31 são frações inversas,

podemos afirmar que:Para dividir uma fração por outra, multiplicamos a primeira

pelo inverso da segunda.

Portanto 54 : 3 =

54 :

13 =

54 .

31 =

154

Ou seja, o namorado de Lúcia recebeu 154 do total de

chocolates contidos na caixa.

22



Outro exemplo: 65

85.

34

58:

34

2

1

==

Note a expressão:

5123

. Ela é equivalente à expressão 51:

23 .

Portanto

5123

= 51:

23 =

15.

23 =

215

NÚMEROS E GRANDEZAS PROPORCIONAIS: Razões e Proporções

Sejam dois números reais a e b, com b ≠ 0. Chama-se razão entre a e b (nessa ordem) o quociente a : b, ou a/b.

A razão é representada por um número racional, mas é lida de modo diferente.

Exemplos:

a) A fração 53

lê-se: “três quintos”.

b) A razão 53 lê-se: “3 para 5”.

Os termos da razão recebem nomes especiais.

Exemplo 1: A razão entre 20 e 50 é52

5020

= já a razão entre

50 e 20 é25

2050

= .

Exemplo 2: Numa classe de 42 alunos há 18 rapazes e 24 moças. A razão entre o número de rapazes e o número de moças é

43

2418

=, o que significa que para “cada 3 rapazes há 4 moças”.

Por outro lado, a razão entre o número de rapazes e o total de

alunos é dada por 73

4218

=, o que equivale a dizer que “de cada

7 alunos na classe, 3 são rapazes”.

Razão entre grandezas de mesma espécie: A razão entre duas grandezas de mesma espécie é o quociente dos números que expressam as medidas dessas grandezas numa mesma unidade.

Exemplo: Uma sala tem 18 m2. Um tapete que ocupar o centro dessa sala mede 384 dm2. Vamos calcular a razão entre a área do tapete e a área da sala.

Primeiro, devemos transformar as duas grandezas em uma mesma unidade:

Área da sala: 18 m2 = 1 800 dm2

Área do tapete: 384 dm2

Estando as duas áreas na mesma unidade, podemos escrever a razão:

7516

1800384

1800384

2

2

==dmdm

Razão entre grandezas de espécies diferentes: Exemplo 1: Considere um carro que às 9 horas passa pelo

quilômetro 30 de uma estrada e, às 11 horas, pelo quilômetro 170:Distância percorrida: 170 km – 30 km = 140 kmTempo gasto: 11h – 9h = 2hCalculamos a razão entre a distância percorrida e o tempo

gasto para isso:

hkmhkm /70

2140

=

A esse tipo de razão dá-se o nome de velocidade média.Observe que:• as grandezas quilômetro e hora são de naturezas

diferentes;• a notação km/h (lê-se: “quilômetros por hora”) deve

acompanhar a razão.

Exemplo 2: A Região Sudeste (Espírito Santo, Minas Gerais, Rio de Janeiro e São Paulo) tem uma área aproximada de 927 286 km2 e uma população de 66 288 000 habitantes, aproximadamente, segundo estimativas projetadas pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) para o ano de 1995.

Dividindo-se o número de habitantes pela área, obteremos o número de habitantes por km2 (hab./km2):

2/.5,71927286

66288000 kmhab≅

A esse tipo de razão dá-se o nome de densidade demográfica.A notação hab./km2 (lê-se:”habitantes por quilômetro

quadrado”) deve acompanhar a razão.Exemplo 3: Um carro percorreu, na cidade, 83,76 km com 8

l de gasolina. Dividindo-se o número de quilômetros percorridos pelo número de litros de combustível consumidos, teremos o número de quilômetros que esse carro percorre com um litro de gasolina:

lkmlkm /47,10

876,83

≅

23



A esse tipo de razão dá-se o nome de consumo médio.

A notação km/l (lê-se: “quilômetro por litro”) deve acompanhar a razão.

Exemplo 4: Uma sala tem 8 m de comprimento. Esse comprimento é representado num desenho por 20 cm. Qual é a escala do desenho?

Escala =

40:1401

80020

820 ou

cmcm

mcm

orealcomprimentonodesenhocompriment

===

A razão entre um comprimento no desenho e o correspondente comprimento real, chama-se Escala.

EXERCÍCIOS

1- Se a razão de x para y é 310

, quem é maior: x ou y?2- Numa escola estão matriculados 800 alunos, dos quais 450

são meninas. A razão entre o número de meninos e o número de meninas é:

a) 97

b) 79

c) 169

d)167

3- No campeonato colegial mirim, Reginaldo percorreu 60 m em 8 s. Sua velocidade média foi:

a) 6 m/s b) 7 m/s c) 7,5 m/s d) 8 m/s

4- (Unifor-CE) Se a razão entre dois números é 53

, a razão entre o quíntuplo do primeiro e a terça parte do segundo é igual a:

a) 91

b) 31

c) 1 d) 3 e) 9

5- (Vest. Rio) Um bar vende suco e refresco de tangerina. Ambos são fabricados diluindo em água um concentrado desta fruta. As proporções são de uma parte de concentrado para três de água, no caso do suco, e de uma parte de concentrado para seis de água no caso do refresco. O refresco também poderia ser fabricado

diluindo x partes de suco em y partes de água, se a razão yx

fosse igual a:

a) 21

b) 43

c) 1

d)34

e) 2

6- (U.F. Santa Maria -RS) A velocidade média é definida como o quociente do espaço percorrido, em quilômetros, pelo tempo gasto para percorrê-lo, em horas. Um automóvel percorreu a distância entre duas cidades, com velocidade média de 60 km/h e fez a viagem de regresso com velocidade média de 40 km/h. Então, pode-se afirmar que a velocidade média do percurso total, ida e volta, foi de:

a) 48 km/h b) 50 km/h c) 52 km/h d) 60 km/h e) 100 km/h

7- (UFRS) Se a escala de um mapa é 5 por 2 500 000 e dois pontos no mapa à distância de 25 cm, ao longo de uma rodovia, a distância real em km é:

a) 100 b) 125 c) 150 d) 200 e) 250

8- (ESPM-SP) Em um mapa verifica-se que a escala é 1 : 22 000 000. Duas cidades estão distantes de São Paulo, respectivamente, 4 e 6 cm. Se fosse feita uma estrada ligando as três cidades, qual seria o mínimo de extensão que ela teria?

9- (UFRJ) Um automóvel de 4,5 m de comprimento é representado, em escala, por um modelo de 3 cm de comprimento. Determine a altura do modelo que representa, na mesma escala, uma casa de 3,75 m de altura.

10- (UFCE) Em um mapa cartográfico, 4 cm representam 12 km. Nesse mesmo mapa, 10 cm representarão quantos quilômetros?

RESPOSTAS(1-X) (2-A) (3-C) (4-E) (5-A) (6-B) (7-B) (8)1.320km)

(9)2,5cm) (10)30km)

PROPORÇÃO

A igualdade entre duas razões recebe o nome de proporção.

Na proporção 106

53= (lê-se: “3 está para 5 assim como 6

está para 10”), os números 3 e 10 são chamados extremos, e os números 5 e 6 são chamados meios.

Observemos que o produto 3 x 10 = 30 é igual ao produto 5 x 6 = 30, o que caracteriza a propriedade fundamental das proporções:

“Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos”.

24



Exemplo 1:

Na proporção 96

32= , temos 2 x 9 = 3 x 6 = 18;

e em 164

41=

,temos 4 x 4 = 1 x 16 = 16.

Exemplo 2:Na bula de um remédio pediátrico recomenda-se a seguinte

dosagem: 5 gotas para cada 2 kg do “peso” da criança.Se uma criança tem 12 kg, a dosagem correta x é dada por:

kgx

kggotas

1225

= x = 30 gotas

Por outro lado, se soubermos que foram corretamente ministradas 20 gotas a uma criança, podemos concluir que seu “peso” é 8 kg, pois:

pgotaskg

gotas /202

5= p = 8kg

(nota: o procedimento utilizado nesse exemplo é comumente chamado de regra de três simples.)

Propriedades da Proporção:• O produto dos extremos é igual ao produto dos meios:

essa propriedade possibilita reconhecer quando duas razões formam ou não uma proporção.

• A soma dos dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo termo) assim como a soma dos dois últimos está para o terceiro (ou para o quarto termo).

1014

57

10410

525

410

25

=⇒+

= +

⇒=

ou

414

27

4410

225

410

25

=⇒+

= +

⇒=

• A diferença entre os dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo termo) assim como a diferença entre os dois últimos está para o terceiro (ou para o quarto termo).

• 82

41

868

434

68

34

=⇒-

= -

⇒=

ou

62

31

668

334

68

34

=⇒-

= -

⇒=

• A soma dos antecedentes está para a soma dos conseqüentes assim como cada antecedente está para o seu conseqüente.

82

41

868

434

68

34

=⇒-

= -

⇒=

ou

62

31

668

334

68

34

=⇒-

= -

⇒=

• A diferença dos antecedentes está para a diferença dos conseqüentes assim como cada antecedente está para o seu conseqüente.

812

1015

812

28312

23

812

=⇒=

++

⇒=

ou

23

1015

23

28312

23

812

=⇒=

++

⇒=

EXERCÍCIOS

1- Na proporção 28yx

= , sabe-se que x – y = 90. Quanto vale x?

2- As áreas de dois terrenos estão uma para a outra assim como 2 está para 3. Determine a área de cada um, sabendo-se que elas somam 360 m2.

3- A diferença entre a idade de Ângela e a idade de Vera é 12 anos. Sabendo-se que suas idades estão uma para a outra assim

como 25

, determine a idade de cada uma.

4- Divida R$ 72,00 entre duas pessoas de modo que a primeira e a segunda recebam quantias proporcionais a 3 e a 5.

5- Um segmento de 78 cm de comprimento é dividido em

duas partes na razão de 94

. Determine o comprimento de cada uma das partes.

6- (UFGO) Sabe-se que as casas do braço de um violão diminuem de largura seguindo uma mesma proporção. Se a primeira casa do braço de um violão tem 4 cm de largura e a segunda casa, 3 cm, calcule a largura da quarta casa.

25



7- (Ulbra–RS) Água e tinta estão misturadas na razão de 9 para 5. Sabendo-se que há 81 litros de água na mistura, o volume total em litros é de:

a) 45 b) 81 c) 85 d) 181 e) 126

8- Os números x e y são tais que x + y = – 105 e .25

=yx

Os valores de x e y são:

a) –35 e –70 b) –175 e 70 c) 35 e –140 d) –30 e –75

9- Calcule x e y na proporção 25yx

= , sabendo que x + y = 84.

10- A diferença entre dois números é 65. Sabe-se que o primeiro está para 9 assim como o segundo está para 4. Calcule esses números.

RESPOSTAS1) x = 120 y = 302) 144 m2 216 m2

3) Ângela 20 Vera 84) R$27,00 R$45,005) 24 cm 54 cm6) 27/16 cm7) E8) D9) x = 60 y = 2410) 117 e 52

DIVISÃO EM PARTES PROPORCIONAIS

NÚMEROS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

Considere a seguinte situação:Joana gosta de queijadinha e por isso resolveu aprender

a fazê-las. Adquiriu a receita de uma amiga. Nessa receita, os ingredientes necessários são:

3 ovos1 lata de leite condensado1 xícara de leite2 colheres das de sopa de farinha de trigo1 colher das de sobremesa de fermento em pó1 pacote de coco ralado1 xícara de queijo ralado1 colher das de sopa de manteiga

Veja que:• Para se fazerem 2 receitas seriam usados 6 ovos para

4 colheres de farinha;• Para se fazerem 3 receitas seriam usados 9 ovos para

6 colheres de farinha;• Para se fazerem 4 receitas seriam usados 12 ovos para

8 colheres de farinha;• Observe agora as duas sucessões de números:

Sucessão do número de ovos: 6 9 12Sucessão do número de colheres de farinha: 4 6 8

Nessas sucessões as razões entre os termos correspondentes são iguais:

23

46=

23

69= 2

38

12=

Assim: 23

812

69

46

===

Dizemos, então, que:• os números da sucessão 6, 9, 12 são diretamente

proporcionais aos da sucessão 4, 6, 8;

• o número 23

, que é a razão entre dois termos correspondentes, é chamado fator de proporcionalidade.

Duas sucessões de números não-nulos são diretamente proporcionais quando as razões entre cada termo da primeira sucessão e o termo correspondente da segunda sucessão são iguais.

Exemplo1: Vamos determinar x e y, de modo que as sucessões sejam diretamente proporcionais:

2 8 y3 x 21

Como as sucessões são diretamente proporcionais, as razões são iguais, isto é:

218

32 y

x==

32 =

x8

32 =

21y

2x = 3 . 8 3y = 2 . 212x = 24 3y = 42

x = 224

y = 342

x = 12 y = 14

Logo, x = 12 e y = 14

26



Exemplo 2: Para montar uma pequena empresa, Júlio, César e Toni formaram uma sociedade. Júlio entrou com R$ 24.000,00, César com R$ 27.000,00 e Toni com R$ 30.000,00. Depois de 6 meses houve um lucro de R$ 32.400,00 que foi repartido entre eles em partes diretamente proporcionais à quantia investida. Calcular a parte que coube a cada um.

Solução:Representando a parte de Júlio por x, a de César por y, e a

de Toni por z, podemos escrever:

==

=++

300002700024000

32400zyx

zyx

81000

32400

300002700024000300002700024000 ++++

===zyxzyx

Resolvendo as proporções:

10

4

8100032400

24000=

x

104

27000=

y

104

3000=

z

10x = 96 000 10y = 108 000 10z = 120 000 x = 9 600 y = 10 800 z = 12 000

Logo, Júlio recebeu R$ 9.600,00, César recebeu R$ 10.800,00 e Toni, R$ 12.000,00.

NÚMEROS INVERSAMENTE PROPORCIONAISConsidere os seguintes dados, referentes à produção de

sorvete por uma máquina da marca x-5:

1 máquina x-5 produz 32 litros de sorvete em 120 min.2 máquinas x-5 produzem 32 litros de sorvete em 60 min.4 máquinas x-5 produzem 32 litros de sorvete em 30 min.6 máquinas x-5 produzem 32 litros de sorvete em 20 min.

Observe agora as duas sucessões de números:

Sucessão do número de máquinas: 1 2 4 6Sucessão do número de minutos: 120 60 30 20

Nessas sucessões as razões entre cada termo da primeira sucessão e o inverso do termo correspondente da segunda são iguais:

120

2016

3014

6012

12011

====

Dizemos, então, que:• os números da sucessão 1, 2, 4, 6 são inversamente

proporcionais aos da sucessão 120, 60, 30, 20;

• o número 120, que é a razão entre cada termo da primeira sucessão e o inverso do seu correspondente na segunda, é chamado fator de proporcionalidade.

Observando que

2011

é o mesmo que 1 . 120 = 120

3014

é o mesmo que 4 . 30 = 120

6012

é o mesmo que 2 . 60 = 120

2016

é o mesmo que 6 . 20 = 120

podemos dizer que: Duas sucessões de números não-nulos são inversamente proporcionais quando os produtos de cada termo da primeira sucessão pelo termo correspondente da segunda sucessão são iguais.

Exemplo 1: Vamos determinar x e y, de modo que as sucessões sejam inversamente proporcionais:

4 x 820 16 y

Para que as sucessões sejam inversamente proporcionais, os produtos dos termos correspondentes deverão ser iguais. Então devemos ter:

4 . 20 = 16 . x = 8 . y16 . x = 4 . 20 8 . y = 4 . 20 16x = 80 8y = 80 x = 80/16 y = 80/8 x = 5 y = 10

Logo, x = 5 e y = 10.

Exemplo 2: Vamos dividir o número 104 em partes inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 4.

Representamos os números procurados por x, y e z. E como as sucessões (x, y, z) e (2, 3, 4) devem ser inversamente proporcionais, escrevemos:

27



41

31

21

zyx==

41

31

21

zyx==

= 41

31

21

104

++

++

zyx

Como , vem:

196

1312.104

1213:104

1213

104

12346

104

41

31

21

1041

8 ====++

=++

Logo, os números procurados são 48, 32 e 24.

GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

Considere uma usina de açúcar cuja produção, nos cinco primeiros dias da safra de 2005, foi a seguinte:

Dias Sacos de açúcar 1 5 000 2 10 000 3 15 000 4 20 000 5 25 000

Com base na tabela apresentada observamos que:

• duplicando o número de dias, duplicou a produção de açúcar;• triplicando o número de dias, triplicou a produção de

açúcar, e assim por diante.

Nesse caso dizemos que as grandezas tempo e produção são diretamente proporcionais.

Observe também que, duas a duas, as razões entre o número de dias e o número de sacos de açúcar são iguais:

100005000

21=

200005000

41=

1500010000

32=

2500010000

52=

2500015000

53=

150005000

31= 25000

500051= 20000

1000042= 20000

1500043=

2500020000

54=

Isso nos leva a estabelecer que: Duas grandezas são diretamente proporcionais quando a razão entre os valores da primeira é igual à razão entre os valores da segunda.

Tomemos agora outro exemplo.Com 1 tonelada de cana-de-açúcar, uma usina produz 70l

de álcool.De acordo com esses dados podemos supor que:• com o dobro do número de toneladas de cana, a usina

produza o dobro do número de litros de álcool, isto é, 140l;• com o triplo do número de toneladas de cana, a usina

produza o triplo do número de litros de álcool, isto é, 210l.

Então concluímos que as grandezas quantidade de cana-de-açúcar e número de litros de álcool são diretamente proporcionais.

GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

Considere uma moto cuja velocidade média e o tempo gasto para percorrer determinada distância encontram-se na tabela:

Velocidade Tempo30 km/h 12 h60 km/h 6 h90 km/h 4 h

120 km/h 3 h

Com base na tabela apresentada observamos que:• duplicando a velocidade da moto, o número de horas

fica reduzido à metade;• triplicando a velocidade, o número de horas fica

reduzido à terça parte, e assim por diante.

Nesse caso dizemos que as grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais.

Observe que, duas a duas, as razões entre os números que indicam a velocidade são iguais ao inverso das razões que indicam o tempo:

126

6030

= inverso da razão 6

12

64

9060


124

9030

= inverso da razão

412

63

12060


123

12030


12

43

12090


28



Podemos, então, estabelecer que: Duas grandezas são inversamente proporcionais quando a razão entre os valores da primeira é igual ao inverso da razão entre os valores da segunda.

Acompanhe o exemplo a seguir:Cinco máquinas iguais realizam um trabalho em 36 dias.

De acordo com esses dados, podemos supor que:• o dobro do número de máquinas realiza o mesmo

trabalho na metade do tempo, isto é, 18 dias;• o triplo do número de máquinas realiza o mesmo

trabalho na terça parte do tempo, isto é, 12 dias.

Então concluímos que as grandezas quantidade de máquinas e tempo são inversamente proporcionais.

EXERCÍCIOS

1- Calcule x e y nas sucessões diretamente proporcionais:

a) 1 x 7 c) x y 21 5 15 y 14 35 49

b) 5 10 y d) 8 12 20 x 8 24 x y 35

2- Calcule x e y nas sucessões inversamente proporcionais:

a) 4 x y c) 2 10 y 25 20 10 x 9 15

b) 30 15 10 d) x y 2 x 8 y 12 4 6

3- Divida 132 em partes inversamente proporcionais a 2, 5 e 8.

4- Reparta 91 em partes inversamente proporcionais a

61

41,

31 e .

5- Divida 215 em partes diretamente proporcionais a

31

25,

43 e .

6- Marcelo repartiu entre seus filhos Rafael (15 anos) e Matheus (12 anos) 162 cabeças de gado em partes diretamente proporcionais à idade de cada um. Qual a parte que coube a Rafael?

7- Evandro, Sandro e José Antônio resolveram montar um pequeno negócio, e para isso formaram uma sociedade. Evandro entrou com R$ 24.000,00, Sandro com R$ 30.000,00, José Antônio com R$ 36.000,00. Depois de 4 meses tiveram um lucro de R$ 60.000,00, que foi repartido entre eles. Quanto recebeu cada um? (Nota: A divisão do lucro é diretamente proporcional à quantia que cada um empregou.)

8- Leopoldo e Wilson jogam juntos na Sena e acertam os seis números, recebendo um prêmio de R$ 750.000,00. Como Leopoldo participou com R$ 80,00 e Wilson com R$ 70,00, o prêmio foi dividido entre eles em partes diretamente proporcionais à participação de cada um. Qual a parte que coube a Wilson?

9- O proprietário de uma chácara distribuiu 300 laranjas a três famílias em partes diretamente proporcionais ao número de filhos. Sabendo-se que as famílias A, B e C têm respectivamente 2, 3 e 5 filhos, quantas laranjas recebeu cada família?

10- (UFAC) João, Paulo e Roberto formam uma sociedade comercial e combinam que o lucro advindo da sociedade será dividido em partes diretamente proporcionais às quantias que cada um dispôs para formarem a sociedade. Se as quantias empregadas por João, Paulo e Roberto foram, nesta ordem, R$ 1.500.000,00, R$ 1.000.000,00 e R$ 800.000,00, e o lucro foi de R$ 1.650.000,00, que parte do lucro caberá a cada um?

RESPOSTAS

1- a) x = 3 y = 35 b) x = 4 y = 30 c) x = 6 y = 15 d) x = 14 y = 21

2- a) x = 5 y = 10 b) x = 4 y = 12 c) x = 45 y = 6 d) x = 1 y = 3

3- 80, 32, 20 4- 21, 28, 435- 45, 150, 206- 907- Evandro R$16.000,00 Sandro R$20.000,00 José Antônio

R$24.000,008- R$350.000,009- 60, 90, 15010- João R$750.000,00 Paulo R$500.000,00 Roberto

R$400.000,00

REGRA DE TRÊS

REGRA DE TRÊS SIMPLES

Os problemas que envolvem duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais podem ser resolvidos através de um processo prático, chamado regra de três simples.

Exemplo 1: Um carro faz 180 km com 15l de álcool. Quantos litros de álcool esse carro gastaria para percorrer 210 km?

Solução:O problema envolve duas grandezas: distância e litros de

álcool.Indiquemos por x o número de litros de álcool a ser consumido.Coloquemos as grandezas de mesma espécie em uma mesma

coluna e as grandezas de espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha:

Distância (km) Litros de álcool 180 15 210 x

29



Na coluna em que aparece a variável x (“litros de álcool”), vamos colocar uma flecha:


Observe que, se duplicarmos a distância, o consumo de álcool também duplica. Então, as grandezas distância e litros de álcool são diretamente proporcionais. No esquema que estamos montando, indicamos esse fato colocando uma flecha na coluna “distância” no mesmo sentido da flecha da coluna “litros de álcool”:


mesmo sentido

Armando a proporção pela orientação das flechas, temos:

x15

210180

7

6

= 6x = 7 . 15

6x = 105 x = 6

105 x = 17,5

Resposta: O carro gastaria 17,5 l de álcool.

Exemplo 2: Viajando de automóvel, à velocidade de 60 km/h, eu gastaria 4 h para fazer certo percurso. Aumentando a velocidade para 80 km/h, em quanto tempo farei esse percurso?

Solução:Indicando por x o número de horas e colocando as grandezas

de mesma espécie em uma mesma coluna e as grandezas de espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha, temos:

Velocidade (km/h) Tempo (h) 60 4 80 x

Na coluna em que aparece a variável x (“tempo”), vamos colocar uma flecha:

Velocidade (km/h) Tempo (h) 60 4 80 x

Observe que, se duplicarmos a velocidade, o tempo fica reduzido à metade. Isso significa que as grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais. No nosso esquema, esse fato é indicado colocando-se na coluna “velocidade” uma flecha em sentido contrário ao da flecha da coluna “tempo”:

Velocidade (km/h) Tempo (h)

60 4 80 x

sentidos contrários

Na montagem da proporção devemos seguir o sentido das flechas. Assim, temos:

3

4

60804

=x

4x = 4 . 3

4x = 12 x = 4

12 x = 3 Resposta: Farei esse percurso em 3 h.Exemplo 3: Ao participar de um treino de Fórmula 1, um

competidor, imprimindo velocidade média de 200 km/h, faz o percurso em 18 segundos. Se sua velocidade fosse de 240 km/h, qual o tempo que ele teria gasto no percurso?

Vamos representar pela letra x o tempo procurado.Estamos relacionando dois valores da grandeza velocidade

(200 km/h e 240 km/h) com dois valores da grandeza tempo (18 s e x s).

Queremos determinar um desses valores, conhecidos os outros três.

Velocidade Tempo gasto para fazer o percurso

200 km/h 18 s240 km/h x

Se duplicarmos a velocidade inicial do carro, o tempo gasto para fazer o percurso cairá para a metade; logo, as grandezas são inversamente proporcionais. Assim, os números 200 e 240 são inversamente proporcionais aos números 18 e x.

Daí temos:200 . 18 = 240 . x

3 600 = 240x 240x = 3 600

x = 240

3600

x = 15

O corredor teria gasto 15 segundos no percurso.

EXERCÍCIOS

1- Para transportar material bruto para uma construção, foram usados 16 caminhões com capacidade de 5m3 cada um. Se a capacidade de cada caminhão fosse de 4 m3, quantos caminhões seriam necessários para fazer o mesmo serviço?

30



2- Um piloto manteve, em um treino, a velocidade média de 153 km/h. Sabendo-se que 1h = 3 600 s, qual foi a velocidade desse piloto, em m/s?

3- Para construir a cobertura de uma quadra de basquete, 25 operários levaram 48 dias. Se fosse construída uma cobertura idêntica em outra quadra e fossem contratados 30 operários de mesma capacidade que os primeiros, em quantos dias a cobertura estaria pronta?

4- A velocidade de um automóvel é de 25 m/s. Qual será sua velocidade em quilômetros por hora?

5- Um pequeno avião, voando a 450 km/h, leva 4 horas para ir da cidade A até a cidade B. Quanto tempo gastaria outro avião para percorrer o mesmo trajeto, sabendo que a sua velocidade média é de 800 km/h?

6- Numa determinada faixa salarial, de cada R$ 100,00 o INSS (Instituto Nacional de Seguridade Social) desconta R$ 11,00. Quanto o INSS desconta de um salário de R$ 1.350,00?

7-Completamente abertas, 2 torneiras enchem um tanque em 75 min. Em quantos minutos 5 torneiras completamente abertas encheriam esse mesmo tanque?

8- Um trem percorre certa distância em 6 h 30 min, à velocidade média de 42 km/h. Que velocidade deverá ser desenvolvida para o trem fazer o mesmo percurso em 5 h 15 min?

9- Com 1,6 kg de frango compram-se 10 kg de milho. Quantos quilos de frango são necessários para se comprar 1 tonelada de milho?

10- Uma torneira que despeja 15 l/min enche um tanque em 80 min. Uma outra torneira, despejando 25 l/min, em quanto tempo encheria esse tanque?

RESPOSTAS

1- 20 caminhões2- 42,5 m/s3- 40 dias4- 90 km/h5- 2h15min6- R$ 148,507- 30min8- 52 km/h9- 160 kg10- 48 min

REGRA DE TRÊS COMPOSTA

O processo usado para resolver problemas que envolvem mais de duas grandezas, diretamente ou inversamente proporcionais, é chamado regra de três composta.

Exemplo 1: Em 4 dias 8 máquinas produziram 160 peças. Em quanto tempo 6 máquinas iguais às primeiras produziriam 300 dessas peças?

Solução:Indiquemos o número de dias por x. Coloquemos as grandezas

de mesma espécie em uma só coluna e as grandezas de espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha. Na coluna em que aparece a variável x (“dias”), coloquemos uma flecha:

Máquinas Peças Dias 8 160 4 6 300 x

Comparemos cada grandeza com aquela em que está o x.

As grandezas peças e dias são diretamente proporcionais. No nosso esquema isso será indicado colocando-se na coluna “peças” uma flecha no mesmo sentido da flecha da coluna “dias”:

Máquinas Peças Dias

8 160 4 6 300 x

Mesmo sentido

As grandezas máquinas e dias são inversamente proporcionais (duplicando o número de máquinas, o número de dias fica reduzido à metade). No nosso esquema isso será indicado colocando-se na coluna (máquinas) uma flecha no sentido contrário ao da flecha da coluna “dias”:

Máquinas Peças Dias 8 160 4 6 300 x Sentidos contráriosAgora vamos montar a proporção, igualando a razão que

contém o x, que é x4

, com o produto das outras razões, obtidas

segundo a orientação das flechas

300160.

86

:

5

1

15

8

1

2

300160.

864

=x

524

=x

a 2x = 4 . 5 a x = 1

2

25.4

a x = 10

Resposta: Em 10 dias.

Exemplo 2: Na merenda escolar, 320 crianças consumiram 1 440 l de leite em 15 dias. Quantos litros de leite deverão ser consumidos por 400 crianças em 30 dias?

31



Crianças Dias Litros de leite 320 15 1 440 400 30 x

• As grandezas crianças e litros são diretamente proporcionais.

• As grandezas dias e litros são diretamente proporcionais.

15

2

2

1

10

48

3015.

4003201440

=x

521440

=x

2x = 5 . 1 440

1

720

21440.5

=x

X = 3 600

Resposta: Em 30 dias deverão ser consumidos 3 600 l de leite.

EXERCÍCIOS

1- Trabalhando 8h por dia, 6 pedreiros constroem uma casa em 5 meses. Quantos pedreiros seriam necessários para construir a mesma casa em 4 meses, trabalhando 6h por dia?

2- Doze caminhões levam 4 dias para transportar 240 toneladas de mantimentos. Quantos caminhões seriam necessários para transportar 300 toneladas em 3 dias?

3- Em uma tecelagem, 10 teares fabricam 500m de tecido em 3 dias. Em quantos dias 6 teares produzirão 400m do mesmo tecido?

4- Um grupo de 9 estudantes foi acampar e levou alimentos suficientes para 6 dias, calculando fazer 4 refeições diárias. Tendo chegado ao local mais 3 estudantes, por quanto tempo teriam alimentos se fizessem 3 refeições diárias?

5- Em uma granja, em 60 dias, 3 000 frangos consumiram 12 900 kg de ração. Quantos quilos de ração seriam consumidos em 55 dias por 2 400 frangos?

6- Se R$ 4.500,00 rendem R$ 270,00 de juros em 3 meses, quanto renderão de juros R$ 6.000,00 em 2 meses?

7- (F.F.C.L. Belo Horizonte-MG) Uma empreiteira contratou 210 pessoas para pavimentar uma estrada de 300 km em 1 ano. Após 4 meses de serviço, apenas 75 km estavam pavimentados. Quantos empregados ainda devem ser contratados para que a obra seja concluída no tempo previsto?

a) 315 b) 2 2520 c) 840 d) 105 e) 1 260

8- (UFSE) Numa gráfica, 7 máquinas de mesmo rendimento imprimem 50 000 cartazes iguais em 2 horas de funcionamento. Se duas dessas máquinas não estiverem funcionando, as 5 máquinas restantes farão o mesmo serviço em:

a) 3 horas e 10 minutosb) 3 horasc) 2 horas e 55 minutosd) 2 horas e 50 minutose) 2 horas e 48 minutos

9- (UFMG) Uma empresa tem 750 empregados e comprou marmitas individuais congeladas suficientes para o almoço deles durante 25 dias. Se essa empresa tivesse mais 500 empregados, a quantidade de marmitas já adquiridas seria suficiente para um número de dias igual a:

a) 10 b) 12 c) 15 d) 18 e) 20

10- (UFRS) Se foram empregados 4 kg de fios para tecer 14 m de fazenda com 80 cm de largura, quantos quilogramas serão necessários para produzir 350 m de fazenda com 120 cm de largura?

a) 130 b) 150 c) 160 d) 180 e) 250

RESPOSTAS

1- 10 pedreiros2- 20 caminhões3- 4 dias4- 6 dias5- 9.460 Kg6- R$ 240,00(7-D) (8-E) (9-C) (10-B)

PORCENTAGEM E PROBLEMAS

PORCENTAGEM

É uma fração de denominador centesimal, ou seja, é uma fração de denominador 100. Representamos porcentagem pelo símbolo % e lê-se: “por cento”.

Deste modo, a fração 10050

é uma porcentagem que podemos representar por 50%.

Forma Decimal: É comum representarmos uma porcentagem na forma decimal, por exemplo, 35% na forma decimal seria representado por 0,35.

75% = 10075

= 0,75

32



Cálculo de uma Porcentagem: Para calcularmos uma

porcentagem p% de V, basta multiplicarmos a fração 100

p por V.

P% de V = 100

p. V

Exemplo 1: 23% de 240 = 10023

. 240 = 55,2Exemplo 2: Em uma pesquisa de mercado, constatou-se que

67% de uma amostra assistem a um certo programa de TV. Se a população é de 56.000 habitantes, quantas pessoas assistem ao tal programa?

Resolução: 67% de 56 000 = 3752056000.10067

=

Resposta: 37 520 pessoas.

Porcentagem que o lucro representa em relação ao preço de custo e em relação ao preço de venda: Chamamos de lucro em uma transação comercial de compra e venda a diferença entre o preço de venda e o preço de custo.

Lucro = preço de venda – preço de custoCaso essa diferença seja negativa, ela será chamada de

prejuízo.Assim, podemos escrever:

Preço de custo + lucro = preço de vendaPreço de custo – prejuízos = preço de venda

Podemos expressar o lucro na forma de porcentagem de duas formas:

Lucro sobre o custo = lucro/preço de custo . 100%Lucro sobre a venda = lucro/preço de venda . 100%

Observação: A mesma análise pode ser feita para o caso de prejuízo.

Exemplo: Uma mercadoria foi comprada por R$ 500,00 e vendida por R$ 800,00.

Pede-se:* o lucro obtido na transação;* a porcentagem de lucro sobre o preço de custo;* a porcentagem de lucro sobre o preço de venda.Resposta:Lucro = 800 – 500 = R$ 300,00

Lc = 500300

= 0,60 = 60%

Lv = 800300

= 0,375 = 37,5%

Aumento Percentual: Consideremos um valor inicial V que deve sofrer um aumento de p% de seu valor. Chamemos de A o valor do aumento e VA o valor após o aumento. Então,

A = p% de V =100

p. V

VA = V + A = V + 100

p. V

VA = ( 1 + 100

p) . V

Em que (1 + 100

p) é o fator de aumento.

Desconto Percentual: Consideremos um valor inicial V que deve sofrer um desconto de p% de seu valor. Chamemos de D o valor do desconto e VD o valor após o desconto. Então,

D = p% de V = 100

p. V

VD = V – D = V – 100

p. V

VD = (1 – 100

p) . V

Em que (1 – 100

p) é o fator de desconto.

Exemplo: Uma empresa admite um funcionário no mês de janeiro sabendo que, já em março, ele terá 40% de aumento. Se a empresa deseja que o salário desse funcionário, a partir de março, seja R$ 3 500,00, com que salário deve admiti-lo?

Resolução: VA = 1,4 . V 3 500 = 1,4 . V

V = 25004,1

3500=

Resposta: R$ 2 500,00

Aumentos e Descontos Sucessivos: Consideremos um valor inicial V, e vamos considerar que ele irá sofrer dois aumentos sucessivos de p1% e p2%. Sendo V1 o valor após o primeiro aumento, temos:

33



V1 = V . (1 + 100

1p)

Sendo o valor após o segundo aumento, temos:

V2 = V1 . (1 + 100

2p)

V2 = V . (1 + 100

1p) . (1 +

1002p

)

Sendo V um valor inicial, vamos considerar que ele irá sofrer dois descontos sucessivos de p1% e p2%.

Sendo V1 o valor após o primeiro desconto, temos:

V1 = V. (1 – 100

1p)

Sendo V2 o valor após o segundo desconto, temos:

V2 = V1 . (1 – 100

2p)

V2 = V . (1 – 100

1p) . (1 –

1002p

)

Sendo V um valor inicial, vamos considerar que ele irá sofrer um aumento de p1% e, sucessivamente, um desconto de p2%.

Sendo V1 o valor após o aumento, temos:V1 = V . (1+ p1/100)Sendo V2 o valor após o desconto, temos:

V2 = V1 . (1 – 100

2p)

V2 = V . (1 + 100

1p) . (1 –

1002p

)

Exemplo: (Vunesp-SP) Uma instituição bancária oferece um rendimento de 15% ao ano para depósitos feitos numa certa modalidade de aplicação financeira. Um cliente deste banco deposita 1 000 reais nessa aplicação. Ao final de n anos, o capital que esse cliente terá em reais, relativo a esse depósito, é:Resolução:

VA = vp n

.100

1

+

VA = 1000.10015.1

n

VA = 1 000 . (1,15)n VA = 1 000 . 1,15n VA = 1 150,00n

EXERCÍCIOS

1- (Fuvest-SP) (10%)2 =a) 100% b) 20% c) 5% d) 1% e) 0,01%

2- Quatro é quantos por cento de cinco?

3- Um objeto custa R$ 75,00 e é vendido por R$ 100,00. Determinar:

a) a porcentagem de lucro em relação ao preço de custo;b) a porcentagem de lucro em relação ao preço de venda.

4- (PUC-SP) O preço de venda de um bem de consumo é R$ 100,00. O comerciante tem um ganho de 25% sobre o preço de custo deste bem. O valor do preço de custo é:

a) R$ 25,00 b) R$ 70,50 c) R$ 75,00 d) R$ 80,00 e) R$ 125,00

5- (Fuvest-SP) Aumentando-se os lados a e b de um retângulo de 15% e 20%, respectivamente, a área do retângulo é aumentada de:

a) 35% b) 30% c) 3,5% d) 3,8% e) 38%

6- (Vunesp-SP) O dono de um supermercado comprou de seu fornecedor um produto por x reais (preço de custo) e passou a revendê-lo com lucro de 50%. Ao fazer um dia de promoções, ele deu aos clientes do supermercado um desconto de 20% sobre o preço de venda deste produto. Pode-se afirmar que, no dia de promoções, o dono do supermercado teve, sobre o preço de custo:

a) Prejuízo de 10%.b) Prejuízo de 5%.c) Lucro de 20%.d) Lucro de 25%.e) Lucro de 30%.

7- (Mackenzie-SP) Um produto teve um aumento total de preço de 61% através de 2 aumentos sucessivos. Se o primeiro aumento foi de 15%, então o segundo foi de:

a) 38% b) 40% c) 42% d) 44% e) 46%

8- (Fuvest-SP) Barnabé tinha um salário de x reais em janeiro. Recebeu aumento de 80% em maio e 80% em novembro. Seu salário atual é:

a) 2,56 x b) 1,6x c) x + 160 d) 2,6x e)3,24x

34



9) (PUC-SP) Descontos sucessivos de 20% e 30% são equivalentes a um único desconto de:

a) 25% b) 26% c) 44% d) 45% e)50%

10- (Fuvest-SP) A cada ano que passa o valor de um carro diminui em 30% em relação ao seu valor do ano anterior. Se V for o valor do carro no primeiro ano, o seu valor no oitavo ano será:

a) (0,7)7 V b) (0,3)7 V c) (0,7)8 V d) (0,3)8 V e) (0,3)9 V

RESPOSTAS

(1-D) (2)80%) (3a)33,33%) (3b)25%) (4-D)(5-E)(6-C)(7-B) (8-C)(9-C)(10-A)

RESOLUÇÃO:

Exercício 06X reais (preço de custo)

Lucro de 50%: x + 50% = x + = (dividimos por 10 e depois dividimos por 5).

Suponhamos que o preço de custo seja 1, então substituindo o x da equação acima, o preço de venda com 50% de lucro seria 1,50.

Se 1,50 é 100% X 20% fazemos esta regra de três para achar os

20%: 20.1,50 : 100 = 0,30Então no dia de promoção o valor será de 1,20. Isto é, 20% de

lucro em cima do valor de custo. Alternativa C.

Exercício 07Se usarmos a fórmula do aumento sucessivo citada na matéria,

será: V2 = V.(1 + 100

1p).(1 –

1002p

).Substituindo V por um valor: 1, então no final dos dois

aumentos esse valor será de 1,61=V2.

1,61 = 1.(1 + 10015

).(1 – 100

2p)

1,61 = (1 +10015

).(1 – 100

2p) (mmc de 100)

1,61 = (100115

).(1 – 100

2p)

1,61 = - 10000

)2100(115 P-

16100 = -11.500 + 115P2115P2 = -11.500 + 16100P2 = 4600/115P2 = 40% (alternativa B)

Exercício 08X reais (janeiro)

Exercício 09Se usarmos a fórmula do desconto sucessivo citada na matéria,

será: V2 = V.(1 - 100

1p).(1 –

1002p

)

Substituindo V por um valor: 1, ficará:

V2 = 1.(1 -10020

).(1 – 10030

)

V2 = (100

20100 -).(

10030100 -

)

V2 = (10080

).(10070

)

V2 = 100005600

V2 = 10056

que é igual a 56%

100% - 56% = 44%

Exercício 101º ano = 12º ano = 0,70 – 30% (0,21)3º ano = 0,49 – 30% (0,147)4º ano = 0,343 – 30 % (0,1029)5º ano = 0,2401 – 30% (0,07203)6º ano = 0,16807 – 30% (0,050421)7º ano = 0,117649 – 30% (0,0352947)8º ano = 0,0823543

0,0823543 = (0,7)7V (alternativa A)

PROBLEMAS COM SISTEMAS DE MEDIDAS: Medidas de Tempo

NÃO DECIMAIS

Desse grupo, o sistema hora-minuto-segundo, que mede intervalos de tempo, é o mais conhecido.

2h = 2 . 60min = 120 min = 120 . 60s = 7 200s

Para passar de uma unidade para a menor seguinte, multiplica-se por 60.

0,3h não indica 30 minutos nem 3 minutos; como 1 décimo de hora corresponde a 6 minutos, conclui-se que 0,3h = 18min.

Para medir ângulos, também temos um sistema não decimal. Nesse caso, a unidade básica é o grau. Na astronomia, na cartografia e na navegação são necessárias medidas inferiores a 1º. Temos, então:

35



1 grau equivale a 60 minutos (1º = 60’)1 minuto equivale a 60 segundos (1’ = 60”)

Os minutos e os segundos dos ângulos não são, é claro, os mesmos do sistema hora-minuto-segundo. Há uma coincidência de nomes, mas até os símbolos que os indicam são diferentes:

1h32min24s é um intervalo de tempo ou um instante do dia.1º 32’ 24” é a medida de um ângulo.

Por motivos óbvios, cálculos no sistema hora-minuto-segundo são similares a cálculos no sistema grau-minuto-segundo, embora esses sistemas correspondam a grandezas distintas.

Há ainda um sistema não-decimal, criado há algumas décadas, que vem se tornando conhecido. Ele é usado para medir a informação armazenada em memória de computadores, disquetes, discos compactos, etc. As unidades de medida são bytes (b), kilobytes (kb), megabytes (Mb), etc. Apesar de se usarem os prefixos “kilo” e “mega”, essas unidades não formam um sistema decimal.

Um kilobyte equivale a 210 bytes e 1 megabyte equivale a 210 kilobytes.

SISTEMA DECIMAL DE MEDIDAS

DECIMAIS

Um sistema de medidas é um conjunto de unidades de medida que mantém algumas relações entre si. O sistema métrico decimal é hoje o mais conhecido e usado no mundo todo. Na tabela seguinte, listamos as unidades de medida de comprimento do sistema métrico. A unidade fundamental é o metro, porque dele derivam as demais.

Unidades de Comprimentokm hm dam m dm cm mm

quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro

1000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m

Há, de fato, unidades quase sem uso prático, mas elas têm uma função. Servem para que o sistema tenha um padrão: cada unidade vale sempre 10 vezes a unidade menor seguinte. Por isso, o sistema é chamado decimal.

E há mais um detalhe: embora o decímetro não seja útil na prática, o decímetro cúbico é muito usado com o nome popular de litro.

As unidades de área do sistema métrico correspondem às unidades de comprimento da tabela anterior. São elas: quilômetro quadrado (km2), hectômetro quadrado (hm2), etc. As mais usadas, na prática, são o quilômetro quadrado, o metro quadrado e o hectômetro quadrado, este muito importante nas atividades rurais com o nome de hectare (ha): 1 hm2 = 1 ha.

No caso das unidades de área, o padrão muda: uma unidade é 100 vezes a menor seguinte e não 10 vezes, como nos comprimentos. Entretanto, consideramos que o sistema continua decimal, porque 100 = 102.

Unidades de Áreakm’ hm² dam² m² dm² cm² mm²

quilômetroquadrado

hectômetroquadrado

decâmetroquadrado

metroquadrado

decímetroquadrado

centímetroquadrado

milímetroquadrado

10000m 1000m 100m 1m 0,01m 0,001m 0,0001mAgora, vejamos as unidades de volume. De novo, temos a

lista: quilômetro cúbico (km3), hectômetro cúbico (hm3), etc. Na prática, são muitos usados o metro cúbico e o centímetro cúbico.

Nas unidades de volume, há um novo padrão: cada unidade vale 1000 vezes a unidade menor seguinte. Como 1000 = 103, o sistema continua sendo decimal.

Unidades de Volumekm³ hm³ dam³ m³ dm³ cm³ mm³

quilômetrocúbico

hectômetrocúbico

decâmetrocúbico

metrocúbico

decímetrocúbico

centímetrocúbico

milímetrocúbico

100000m 10000m 1000m 1m 0,001m 0,0001m 0,00001m

A noção de capacidade relaciona-se com a de volume. Se o volume da água que enche um tanque é de 7 000 litros, dizemos que essa é a capacidade do tanque. A unidade fundamental para medir capacidade é o litro (l); 1l equivale a 1 dm3.

Cada unidade vale 10 vezes a unidade menor seguinte.

Unidades de Capacidadekl hl dal l dl cl ml

quilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centílitro mililitro1000l 100l 10l 1l 0,1l 0,01l 0,001l

O sistema métrico decimal inclui ainda unidades de medidas de massa. A unidade fundamental é o grama.

Unidades de Massakg hg dag g dg cg mg

quilo-grama

hecto-grama

decagrama grama decigrama centigrama miligrama

1000g 100g 10g 1g 0,1g 0,01g 0,001g

Dessas unidades, só têm uso prático o quilograma, o grama e o miligrama. No dia-a-dia, usa-se ainda a tonelada (t): 1t = 1000 kg.

ÁREAS DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS

Área de um retângulo: medida da base x medida da altura ou A = b.h

Área de um quadrado: medida do lado x medida do lado ou A = l . l

Área de um triângulo: medida da base x medida da

altura, dividido por 2 A = 2.hb

Área de um losango: medida da diagonal maior x a

medida da diagonal menor, dividido por 2 A = 2. mM dd

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Área de um trapézio: medida da base maior + medida da base menor x a medida da altura, dividido por 2. A =

( )2

.hbb mM +

EXERCÍCIOS

1- Tratando-se da medida de uma grandeza, nota-se que poucas unidades de medida “grandes” equivalem a muitas unidades “pequenas”. Por exemplo, poucos litros valem muitos mililitros. Assim, para passar de litros para mililitros, multiplicamos por 1 000 o número que expressa a medida: 2,5 l = 2 500 ml. Substitua o desenho ( ) pela equivalência.

a) 2,7 km = m b) 2 mg = g

c) 72 cm2 = mm

d) 58,5 cm = m

e) 35 kg = tf) 748 ml = l

2- Quando tratamos de velocidade, aparecem juntos o sistema métrico e o sistema hora-minuto-segundo.

a) Um automóvel viaja a uma velocidade de 60 km/h. Quantos metros ele percorre por minuto? E por segundo?

b) Um avião atingiu a velocidade de cruzeiro de 15 km/min. Em quanto tempo ele percorre 400 km?

3- A área do território brasileiro é, aproximadamente, 8 500 000km2.

a) Qual é essa área em metros quadrados? Responda usando notação científica.

b) O Brasil tem, aproximadamente, 1,7 x 108 habitantes. Dividindo a área do país igualmente entre seus habitantes, quantos hectares cabem a cada um?

4- Para medir áreas de sítios e fazendas, usam-se o hectare e o alqueire, que não pertence ao sistema métrico. Há vários tipos de alqueire. O alqueire paulista, por exemplo, tem 24 200 m2.

a) Um alqueire paulista equivale a quantos hectares?b) Quantos alqueires paulistas, aproximadamente, cabem em

1 km2?

5- Imagine um ônibus que viaja com velocidade constante e percorre 400 km em 5 h.

a) Em quantas horas ele percorre 100 km?b) Em quantas horas e minutos ele percorre 100 km?c) Qual é a velocidade do ônibus em quilômetros horários?d) Quantos quilômetros ele percorre por minuto?

6- Lurdes é pianista. Veja seus horários de estudo na última semana:

Dia 2ª f 3ª f 4ª f 5ª f 6ª f sáb. dom.Início 13h 12h45min 13h20min 12h50min 14h10min 11h 15h

Término 18h 18h15min 19h40min 17h15min 20h 16h 18h30min

a) Quantas horas ela estudou durante a semana?b) Quantas horas ela estudou, em média, por dia?

7- Sabendo que x = 23º12” e y = 12. x, calcule y.

8- Que relação existe entre as unidades do sistema métrico decimal e:

a) a polegada?b) o alqueire paulista?c) a arroba?

9- As bases de um trapézio medem 7,3 cm e 12,2 cm. Qual deve ser a medida da altura para que sua área seja 62,4 cm2?

10- O lado de um quadrado é 1km=1.000ma) Qual é a área desse quadrado em quilômetros quadrados?b) Qual é essa área em metros quadrados?c) Complete: 1 km2 = ? m2.

1 km = 1 000m

RESPOSTAS1- a) 2 700 m b) 0,002 g c) 7 200 mm2 d) 0,585 m e) 0,035

t f) 0,748 l2- a) 1 000 m; ≅ 16,6 m b)

3226 min = 26 min 40s

3- a) 8,5. 1012 m2 b) 5 ha4- a) 2,42 há b) 41,35- a) 1,25 h b) 1h15min c) 80 km/h d) ≅ 1,33 km6- a) 35h35min b) 5h5min7- y = 276º2’24”8- a) 2,54 cm b) 24 200 m2 c) 14,688 kg9- 6,4 cm10- a) 1 km2 b) 1000 000 m2 c) 1000 000 m2

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SISTEMA MONETÁRIO BRASILEIRO

O primeiro dinheiro do Brasil foi a moeda-mercadoria. Durante muito tempo, o comércio foi feito por meio da troca de mercadorias, mesmo após a introdução da moeda de metal. As primeiras moedas metálicas (de ouro, prata e cobre) chegaram com o início da colonização portuguesa.

A unidade monetária de Portugal, o REAL, foi usada no Brasil durante todo o período colonial. Assim, tudo se contava em réis (plural popular de real) com moedas fabricadas em Portugal e no Brasil. O REAL (R) vigorou até 07 out. 1833.

De acordo com a Lei nº 59, de 08 out. 1833, entrou em vigor o MIL-RÉIS (Rs), múltiplo do real, como unidade monetária, adotada até 31 out. 1942.

No século XX, o Brasil adotou nove sistemas monetários ou nove moedas diferentes (mil-réis, cruzeiro, cruzeiro novo, cruzeiro, cruzado, cruzado novo, cruzeiro, cruzeiro real, real).

Por meio do Decreto-Lei nº 4.791, de 05 out. 1942, uma nova unidade monetária, o cruzeiro – Cr$, veio substituir o mil-réis, na base de Cr$ 1,00 por mil-réis.

A denominação “cruzeiro” origina-se das moedas de ouro (pesadas em gramas ao título de 900 milésimos de metal e 100 milésimos de liga adequada), emitidas na forma do Decreto nº 5.108, de 18 dez. 1926, no regime do ouro como padrão monetário.

O Decreto-lei nº 1, de 13 nov. 1965, transformou o cruzeiro – Cr$ em cruzeiro novo – NCr$, na base de NCr$ 1,00 por Cr$ 1.000. A partir de 15 maio 1970 e até 27 fev. 1986, a unidade monetária foi novamente o cruzeiro (Cr$).

Em 27 de fevereiro de 1986, Dílson Funaro, ministro da Fazenda, anunciou o Plano Cruzado (Decreto-lei nº 2.283, de 27 fev. 1986): o cruzeiro – Cr$ se transformou em cruzado – Cz$, na base de Cz$ 1,00 por Cr$ 1.000 (vigorou de 28 fev. 1986 a 15 jan. 1989). Em novembro do mesmo ano, o Plano Cruzado II tentou novamente a estabilização da moeda. Em junho de 1987, Luiz Carlos Brésser Pereira, ministro da Fazenda, anunciou o Plano Brésser: um Plano Cruzado “requentado”, avaliou Mário Henrique Simonsen.

Em 15 de janeiro de 1989, Maílson da Nóbrega, ministro da Fazenda, anunciou o Plano Verão (Medida Provisória nº 32, de 15 jan. 1989): o cruzado – Cz$ se transformou em cruzado novo – NCz$, na base de NCz$ 1,00 por Cz$ 1.000,00 (vigorou de 16 jan. 1989 a 15 mar. 1990).

Em 15 de março de 1990, Zélia Cardoso de Mello, ministra da Fazenda, anunciou o Plano Collor (Medida Provisória nº 168, de 15 mar. 1990): o cruzado novo – NCz$ se transformou em cruzeiro – Cr$, na base de Cr$ 1,00 por NCz$ 1,00 (vigorou de 16 mar. 1990 a 28 jul. 1993). Em janeiro de 1991, a inflação já passava de 20% ao mês, e o Plano Collor II tentou novamente a estabilização da moeda.

A Medida Provisória nº 336, de 28 jul.1993, transformou o cruzeiro – Cr$ em cruzeiro real – CR$, na base de CR$ 1,00 por Cr$ 1.000,00 (vigorou de 29 jul. 1993 a 29 jun. 1994).

Em 30 de junho de 1994, Fernando Henrique Cardoso, ministro da Fazenda, anunciou o Plano Real: o cruzeiro real – CR$ se transformou em real – R$, na base de R$ 1,00 por CR$ 2.750,00 (Medida Provisória nº 542, de 30 jun. 1994, convertida na Lei nº 9.069, de 29 jun. 1995).

O artigo 10, I, da Lei nº 4.595, de 31 dez. 1964, delegou ao Banco Central do Brasil competência para emitir papel-moeda e moeda metálica, competência exclusiva consagrada pelo artigo 164 da Constituição Federal de 1988.

Antes da criação do BCB, a Superintendência da Moeda e do Crédito (SUMOC), o Banco do Brasil e o Tesouro Nacional desempenhavam o papel de autoridade monetária.

A SUMOC, criada em 1945 e antecessora do BCB, tinha por finalidade exercer o controle monetário. A SUMOC fixava os percentuais de reservas obrigatórias dos bancos comerciais, as taxas do redesconto e da assistência financeira de liquidez, bem como os juros. Além disso, supervisionava a atuação dos bancos comerciais, orientava a política cambial e representava o País junto a organismos internacionais.

O Banco do Brasil executava as funções de banco do governo, e o Tesouro Nacional era o órgão emissor de papel-moeda.

CRUZEIRO1000 réis = Cr$1(com centavos) 01.11.1942O Decreto-lei nº 4.791, de 05.10.1942 (D.O.U. de 06.10.42),

instituiu o CRUZEIRO como unidade monetária brasileira, com equivalência a um mil réis. Foi criado o centavo, correspondente à centésima parte do cruzeiro. Exemplo: 4:750$400 (quatro contos, setecentos e cinqüenta mil e quatrocentos réis) passou a expressar-se Cr$ 4.750,40 (quatro mil, setecentos e cinqüenta cruzeiros e quarenta centavos)

CRUZEIRO(sem centavos) 02.12.1964A Lei nº 4.511, de 01.12.1964 (D.O.U. de 02.12.64), extinguiu

a fração do cruzeiro denominada centavo. Por esse motivo, o valor utilizado no exemplo acima passou a ser escrito sem centavos: Cr$ 4.750 (quatro mil, setecentos e cinqüenta cruzeiros).

CRUZEIRO NOVOCr$1000 = NCr$1(com centavos) 13.02.1967O Decreto-lei nº 1, de 13.11.1965 (D.O.U. de 17.11.65),

regulamentado pelo Decreto nº 60.190, de 08.02.1967 (D.O.U. de 09.02.67), instituiu o Cruzeiro Novo como unidade monetária transitória, equivalente a um mil cruzeiros antigos, restabelecendo o centavo. O Conselho Monetário Nacional, pela Resolução nº 47, de 08.02.1967, estabeleceu a data de 13.02.67 para início de vigência do novo padrão. Exemplo: Cr$ 4.750 (quatro mil, setecentos e cinqüenta cruzeiros) passou a expressar-se NCr$ 4,75(quatro cruzeiros novos e setenta e cinco centavos).

CRUZEIROde NCr$ para Cr$ (com centavos) 15.05.1970A Resolução nº 144, de 31.03.1970 (D.O.U. de 06.04.70),

do Conselho Monetário Nacional, restabeleceu a denominação CRUZEIRO, a partir de 15.05.1970, mantendo o centavo. Exemplo: NCr$ 4,75 (quatro cruzeiros novos e setenta e cinco centavos) passou a expressar-se Cr$ 4,75(quatro cruzeiros e setenta e cinco centavos).

CRUZEIRO (sem centavos) 16.08.1984A Lei nº 7.214, de 15.08.1984 (D.O.U. de 16.08.84), extinguiu

a fração do Cruzeiro denominada centavo. Assim, a importância do exemplo, Cr$ 4,75 (quatro cruzeiros e setenta e cinco centavos), passou a escrever-se Cr$ 4, eliminando-se a vírgula e os algarismos que a sucediam.

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CRUZADOCr$ 1000 = Cz$1 (com centavos) 28.02.1986O Decreto-lei nº 2.283, de 27.02.1986 (D.O.U. de

28.02.86), posteriormente substituído pelo Decreto-lei nº 2.284, de 10.03.1986 (D.O.U. de 11.03.86), instituiu o CRUZADO como nova unidade monetária, equivalente a um mil cruzeiros, restabelecendo o centavo. A mudança de padrão foi disciplinada pela Resolução nº 1.100, de 28.02.1986, do Conselho Monetário Nacional. Exemplo: Cr$ 1.300.500 (um milhão, trezentos mil e quinhentos cruzeiros) passou a expressar-se Cz$ 1.300,50 (um mil e trezentos cruzados e cinqüenta centavos).

CRUZADO NOVOCz$ 1000 = NCz$1 (com centavos) 16.01.1989A Medida Provisória nº 32, de 15.01.1989 (D.O.U. de

16.01.89), convertida na Lei nº 7.730, de 31.01.1989 (D.O.U. de 01.02.89), instituiu o CRUZADO NOVO como unidade do sistema monetário, correspondente a um mil cruzados, mantendo o centavo. A Resolução nº 1.565, de 16.01.1989, do Conselho Monetário Nacional, disciplinou a implantação do novo padrão. Exemplo: Cz$ 1.300,50 (um mil e trezentos cruzados e cinqüenta centavos) passou a expressar-se NCz$ 1,30 (um cruzado novo e trinta centavos).

CRUZEIROde NCz$ para Cr$ (com centavos) 16.03.1990A Medida Provisória nº 168, de 15.03.1990 (D.O.U. de

16.03.90), convertida na Lei nº 8.024, de 12.04.1990 (D.O.U. de 13.04.90), restabeleceu a denominação CRUZEIRO para a moeda, correspondendo um cruzeiro a um cruzado novo. Ficou mantido o centavo. A mudança de padrão foi regulamentada pela Resolução nº 1.689, de 18.03.1990, do Conselho Monetário Nacional. Exemplo: NCz$ 1.500,00 (um mil e quinhentos cruzados novos) passou a expressar-se Cr$ 1.500,00 (um mil e quinhentos cruzeiros).

CRUZEIRO REAL Cr$ 1000 = CR$ 1 (com centavos) 01.08.1993A Medida Provisória nº 336, de 28.07.1993 (D.O.U. de

29.07.93), convertida na Lei nº 8.697, de 27.08.1993 (D.O.U. de 28.08.93), instituiu o CRUZEIRO REAL, a partir de 01.08.1993, em substituição ao Cruzeiro, equivalendo um cruzeiro real a um mil cruzeiros, com a manutenção do centavo. A Resolução nº 2.010, de 28.07.1993, do Conselho Monetário Nacional, disciplinou a mudança na unidade do sistema monetário. Exemplo: Cr$ 1.700.500,00 (um milhão, setecentos mil e quinhentos cruzeiros) passou a expressar-se CR$ 1.700,50 (um mil e setecentos cruzeiros reais e cinqüenta centavos).

REAL CR$ 2.750 = R$ 1(com centavos) 01.07.1994A Medida Provisória nº 542, de 30.06.1994 (D.O.U. de

30.06.94), instituiu o REAL como unidade do sistema monetário, a partir de 01.07.1994, com a equivalência de CR$ 2.750,00 (dois mil, setecentos e cinqüenta cruzeiros reais), igual à paridade entre a URV e o Cruzeiro Real fixada para o dia 30.06.94. Foi mantido o centavo. Como medida preparatória à implantação do Real, foi criada a URV - Unidade Real de Valor - prevista na Medida Provisória nº 434, publicada no D.O.U. de 28.02.94, reeditada com os números 457 (D.O.U. de 30.03.94) e 482 (D.O.U. de 29.04.94) e convertida na Lei nº 8.880, de 27.05.1994 (D.O.U. de 28.05.94). Exemplo: CR$ 11.000.000,00 (onze milhões de cruzeiros reais) passou a expressar-se R$ 4.000,00 (quatro mil reais).

RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICOESTRUTURA LÓGICA DE RELAÇÕES ARBITRÁRIAS ENTRE PESSOAS,

LUGARES, OBJETOS OU EVENTOS FICTÍCIOS; DEDUZIR NOVAS

INFORMAÇÕES DAS RELAÇÕES FORNECIDAS E AVALIAR AS CONDIÇÕES

USADAS PARA ESTABELECER A ESTRUTURA DAQUELAS RELAÇÕES.

DefiniçõesA Lógica é uma ciência com características matemáticas, mas

está fortemente ligada à Filosofia. Ela cuida das regras do bem pensar, ou do pensar correto, sendo, portanto, um instrumento do pensar humano. Aristóteles, filósofo grego (384?-322a.C) em sua obra “Órganon», distribuída em oito volumes, foi o seu principal organizador. George Boole (1815-1864), em seu livro «A Análise Matemática da Lógica”, estruturou os princípios matemáticos da lógica formal, que, em sua homenagem, foi denominada Álgebra Booleana.

No século XX, Claude Shannon aplicou pela primeira vez a álgebra booleana em interruptores, dando origem aos atuais com-putadores. Desde 1996, nos editais de concursos já inseriam o “Ra-ciocínio Lógico” em suas provas.

Existem muitas definições para a palavra “lógica”, porém no caso do nosso estudo não é relevante um aprofundamento nesse ponto, é suficiente apenas discutir alguns pontos de vista sobre o assunto. Alguns autores definem lógica como sendo a “Ciência das leis do pensamento”, e neste caso existem divergências com essa definição, pois o pensamento é matéria estudada na Psicolo-gia, que é uma ciência distinta da lógica (ciência). Segundo Irving Copi, uma definição mais adequada é: “A lógica é uma ciência do raciocínio”, pois a sua idéia está ligada ao processo de raciocínio correto e incorreto que depende da estrutura dos argumentos en-volvidos nele.

“Lógica: Coerência de raciocínio, de idéias. Modo de raciocinar peculiar a alguém, ou a um grupo. Seqüência coerente, regular e necessária de acontecimentos, de coisas.” (dicionário Aurélio), portanto podemos dizer que a Lógica é a ciência do raciocínio. Assim concluímos que a lógica estuda as formas ou estruturas do pensamento, isto é, seu propósito é estudar e estabelecer propriedades das relações formais entre as proposições.

Veremos nas próximas linhas a definição do que venha a ser uma proposição, bem como o seu cálculo proposicional antes de chegarmos ao nosso objetivo maior que é estudar as estruturas dos argumentos, que serão conjuntos de proposições denominadas pre-missas ou conclusões.

Dica A esmagadora maioria das questões de raciocínio lógico

exigidas em concursos públicos necessita, de uma forma ou de outra, de conhecimentos básicos de matemática.

Este é o motivo para que façam paralelamente à matéria de raciocínio lógico propriamente dito uma revisão dos principais tópicos da matemática de nível secundário.

Concomitantemente com a revisão acima mencionada, devem estudar todas as grandes famílias de problemas consideradas de raciocínio lógico, e a maneira mais rápida de resolvê-los.

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Muitas questões podem ser resolvidas pela simples intuição. Porém, sem o devido treinamento, mesmo os melhores terão dificuldade em resolvê-las no exíguo tempo disponível nos concursos.

Grande parte dos problemas de Raciocínio Lógico, como não poderia deixar de ser, serão do tipo “charada” ou “quebra-cabeças”.

Alguns problemas que caem nos concursos exigem muita criatividade, malícia e sorte, e, a não ser que o candidato já tenha visto coisa similar, não podem ser resolvidos nos três a cinco minutos disponíveis para cada questão.

Muitos candidatos, mesmo devidamente treinados não terão condições de resolvê-los. Nosso conselho é que não devem se preocupar muito. Esses problemas irrespondíveis no tempo hábil não passam de 20% das questões de Raciocínio Lógico exigidas nos concursos públicos.

Uma base sólida de matemática será suficiente para resolver pelo menos 50% dos problemas. Os outros 30% podem ser resolvidos pela aplicação direta dos métodos de raciocínio lógico que estudarão.

Portanto veremos alguns conceitos sobre lógica e, posteriormente, alguns testes para avaliação do aprendizado. No mais, já servindo como dica, raciocínio lógico deve ser estudado, principalmente, através da prática, ou seja, resolução de testes.

Pode, à primeira vista, parecer complexa a disciplina «Raciocínio Lógico». Entretanto, ela está ao alcance de toda pessoa que memorize as regras e exercite bastante. Portanto, mãos à obra.

PROPOSIÇÕES E SEUS VALORES LÓGICOS

Sentenças ou Proposições

Uma proposição é uma afirmação que pode ser verdadeira ou falsa. Ela é o significado da afirmação, não um arranjo preciso das palavras para transmitir esse significado.

Por exemplo, “Existe um número primo par maior que dois” é uma proposição (no caso, falsa). “Um número primo par maior que dois existe” é a mesma proposição, expressa de modo diferente.

É muito fácil mudar acidentalmente o significado das palavras apenas reorganizando-as. A dicção da proposição deve ser considerada algo significante.

É possível utilizar a lingüística formal para analisar e reformular uma afirmação sem alterar o significado.

As sentenças ou proposições são os elementos que, na linguagem escrita ou falada, expressam uma idéia, mesmo que absurda. Considerar-se-ão as que são bem definidas, isto é, aquelas que podem ser classificadas em falsas ou verdadeiras, denominadas declarativas.

As proposições geralmente são designadas por letras latinas minúsculas: p, q, r, s...

Considere os exemplos a seguir:p: Mônica é inteligente.q: Se já nevou na região Sul, então o Brasil é um país europeu.r:7>3.s: 8+2≠10

Tipos de ProposiçõesPodemos classificar as sentenças ou proposições, conforme o

significado de seu texto, em:

1) Declarativas ou afirmativas: são as sentenças em que se afirma algo, que pode ou não ser verdadeiro. Exemplo: Julio César é o melhor goleiro do Brasil.

2) Interrogativas: são aquelas sentenças em que se questiona algo. Esse tipo de sentença não admite valor verdadeiro ou falso. Exemplo: Lula estava certo em demitir a ministra?

3) Imperativas ou ordenativas: são as proposições em que se ordena alguma coisa. Exemplo: Mude a geladeira de lugar.

Proposições Universais e ParticularesAs proposições serão classificadas em:• Universais• Particulares

As proposições universais são aquelas em que o predicado refere-se à totalidade do conjunto. Exemplo:

“Todos os homens são mentirosos” é universal e simbolizamos por “Todo S é P”

Nesta definição incluímos o caso em que o sujeito é unitário.

Exemplo: “O cão é mamífero”.

As proposições particulares são aquelas em que o predicado refere-se apenas a uma parte do conjunto. Exemplo:

“Alguns homens são mentirosos” é particular e simbolizamos por “algum S é P”.

Proposições Afirmativas e NegativasAs proposições também se classificam em:• Afirmativas• Negativas

No caso de negativa podemos ter:“Nenhum homem é mentiroso” é universal negativa e

simbolizamos por “nenhum S é P”.“Alguns homens não são mentirosos” é particular negativa e

simbolizamos por “algum S não é P”.

No caso de afirmativa consideramos o item anterior.Chamaremos as proposições dos tipos: “Todo S é P”, “algum

S é P”, “algum S não é P” e “nenhum S é P”.

Então teremos a tabela:

AFIRMATIVA NEGATIVAUNIVERSAL Todo S é P (A) Nenhum S é P (E)PARTICULAR Algum S é P (I) Algum S não é P (O)

Diagrama de EulerPara analisar, poderemos usar o diagrama de Euler.

1. Todo S é P (universal afirmativa – A)

S ouS ou

P P=S

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2. Nenhum S é P (universal negativa – E)

S P

3. Algum S é P (particular afirmativa – I)

ou ou ouS

P

P=S

S

P

P

S

4. Algum S não é P (particular negativa – O)

S

P

ou

S

Pou

S P

Princípios1 – Princípio da não-contradição: Uma proposição não

pode ser verdadeira e falsa simultaneamente. 2 – Princípio do Terceiro Excluído: Uma proposição só

pode ter dois valores verdades, isto é, é verdadeiro (V) ou falso (F), não podendo ter outro valor.

a) “O Curso Pré-Fiscal fica em São Paulo”é um proposição verdadeira.

b) “O Brasil é um País da América do Sul” é uma proposição verdadeira.

c) “A Receita Federal pertence ao poder judiciário”, é uma proposição falsa.

As proposições simples (átomos) combinam-se com outras, ou são modificadas por alguns operadores (conectivos), gerando novas sentenças chamadas de moléculas. Os conectivos serão re-presentados da seguinte forma:

corresponde a “não”

∧ corresponde a “e” ∨ corresponde a “ou” ⇒ corresponde a “então”

⇔ corresponde a “se somente se” Sendo assim, a partir de uma proposição podemos construir

uma outra correspondente com a sua negação; e com duas ou mais, podemos formar:

• Conjunções: a ∧ b (lê-se: a e b)• Disjunções: a ∨ b (lê-se: a ou b) • Condicionais: a ⇒ b (lê-se: se a então b) • Bicondicionais: a ⇔ b (lê-se: a se somente se b)

Exemplo: “Se Cacilda é estudiosa então ela passará no AFRF”

Sejam as proposições:p = “Cacilda é estudiosa”q = “Ela passará no AFRF”

Daí, poderemos representar a sentença da seguinte forma:Se p então q (ou p ⇒ q)

SENTENÇAS ABERTAS

Existem sentenças que não podem ser classificadas nem como falsas, nem como verdadeiras. São as sentenças chamadas sentenças abertas. Exemplos:

1. 94:)( =+xxpA sentença matemática 94 =+x é aberta, pois existem

infinitos números que satisfazem a equação. Obviamente, apenas um deles, 5=x , tornando a sentença verdadeira. Porém, existem infinitos outros números que podem fazer com que a proposição se torne falsa, como .5-=x

2. 3:)( <xxqDessa maneira, na sentença 3<x , obtemos infinitos valores

que satisfazem à equação. Porém, alguns são verdadeiros, como 2-=x , e outros são falsos, como .7+=x

Atenção: As proposições ou sentenças lógicas são representadas por

letras latinas e podem ser classificadas em abertas ou fechadas.A sentença 522:)( =+xs é uma sentença fechada, pois a

ela se pode atribuir um valor lógico; nesse caso, o valor de )(xs é F, pois a sentença é falsa.

A sentença )(xp “Phil Collins é um grande cantor de música pop internacional” é fechada, dado que possui um valor lógico e esse valor é verdadeiro.

Já a sentença )(xe “O sorteio milionário da Mega-Sena” é uma sentença aberta, pois não se sabe o objetivo de falar do sorteio da Mega-Sena, nem se pode atribuir um valor lógico para que

)(xe seja verdadeiro, ou falso.

ModificadoresA partir de uma proposição, podemos formar outra proposição

usando o modificador “não”(~), que será sua negação, a qual possuirá o valor lógico oposto ao da proposição. Exemplo:

p: Jacira tem 3 irmãos.~p: Jacira não tem 3 irmãos.

É fácil verificar que:1) quando uma proposição é verdadeira, sua negação é falsa.2) quando uma proposição é falsa, sua negação é verdadeira.

V ou F Sentença: p Negação: ~p V ou FV N∈4 N∉4 F

F 12 é divisível por zero

12 não é divisível por zero.

V

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Para classificar mais facilmente as proposições em falsas ou verdadeiras, utilizam-se as chamadas tabelas-verdade.

Para negação, tem-sep ~pV FF V

Atenção:A sentença negativa é representada por “~”.A sentença t: “O time do Paraná resistiu à pressão do São

Paulo” possui como negativa de t, ou seja “~t”, o correspondente a: “O time do Paraná não resistiu à pressão do São Paulo”.

Observação:Alguns matemáticos utilizam o símbolo “Ø O Brasil possui

um grande time de futebol”, que pode ser lida como “O Brasil não possui um grande time de futebol”.

NÚMERO DE LINHAS DA TABELA VERDADE

Tabelas de VerdadeSeja “L” uma linguagem que contenha as proposições P, Q

e R.O que podemos dizer sobre a proposição P? Para começar,

segundo o princípio de bivalência, ela é ou verdadeira ou falsa. Isto representamos assim:

PVF

Agora, o que podemos dizer sobre as proposições P e Q? Oras, ou ambas são verdadeiras, ou a primeira é verdadeira e a segunda é falsa, ou a primeira é falsa e a segunda é verdadeira, ou ambas são falsas. Isto representamos assim:

P QV VV FF VF F

Como você já deve ter reparado, uma tabela para P, Q e R é assim:

P Q RV V VV V FV F VV F FF V VF V FF F VF F F

Cada linha da tabela (fora a primeira que contém as fórmulas) representa uma valoração.

Agora, o que dizer sobre fórmulas moleculares, tais como ⌐P, Q˅R, ou (Q˄R) → (P↔Q)? Para estas, podemos estabelecer os valores que elas recebem em vista do valor de cada fórmula atômica que as compõe. Faremos isto por meio das tabelas de verdade.

Os primeiros passos para construir uma tabela de verdade consistem em:

1º- Uma linha em que estão contidas todas as subfórmulas de uma fórmula e a própria fórmula. Por exemplo, a fórmula ⌐(P˄Q) → R tem o seguinte conjunto de subfórmulas: [(P˄Q) → R, P˄Q, P, Q, R]

2º) “L” linhas em que estão todos os possíveis valores que as proposições atômicas podem receber e os valores recebidos pelas fórmulas moleculares a partir dos valores destes átomos.

O número de linhas é L = nt, sendo n o número de valores que o sistema permite (sempre 2 no caso do CPC) e t o número de átomos que a fórmula contém. Assim, se uma fórmula contém 2 átomos, o número de linhas que expressam a permutações entre estes será 4: um caso de ambos serem verdadeiros (V V), dois casos de apenas um dos átomos ser verdadeiro (V F , F V) e um caso no qual ambos serem falsos (F F). Se a fórmula contiver 3 átomos, o número de linhas que expressam a permutações entre estes será 8: um caso de todos os átomos serem verdadeiros (V V V), três casos de apenas dois átomos serem verdadeiros (V V F , V F V , F V V), três casos de apenas um dos átomos ser verdadeiro (V F F , F V F , F F V) e um caso no qual todos átomos são falsos (F F F).

Então, para a fórmula ⌐(P˄Q) → R, temos:

P Q R P˄Q (P˄Q) → R ⌐(P˄Q) → RV V VV V FV F VV F FF V VF V FF F VF F F

Para completar esta tabela precisamos definir os operadores lógicos. Ao fazê-lo, vamos aproveitar para explicar como interpretá-los.

NegaçãoA negação tem o valor inverso da fórmula negada. A saber:

P ¬PV FF V

Interpretações: “Não P”, “Não é o caso de P”, “A proposição ‘P’ é falsa”.

Assim, em uma linguagem “L” na qual P significa “Sócrates é mortal”, ¬P pode ser interpretada como «Sócrates não é mortal”, e, se o primeiro é verdadeiro, o segundo é falso; e se o primeiro é falso, o segundo é verdadeiro.

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Interpretar a negação por meio de antônimos também é uma alternativa, mas deve-se ter cautela, pois nem sempre é aplicável em todos os casos. No exemplo acima a interpretação por meio de antônimos é perfeitamente aplicável, ou seja, se P significa “Sócrates é mortal”, ¬P pode ser interpretada como «Sócrates é imortal”. Por outro lado, em uma linguagem “L” na qual Q significa “João é bom jogador”, a proposição “João é mau jogador” não é a melhor interpretação para ¬Q (João poderia ser apenas um jogador mediano).

Pode-se adicionar indefinidamente o operador de negação:P ¬P ¬¬P ¬¬¬PV F V FF V F V

“¬¬P” significa “‘¬P’ é falsa”.“¬¬¬P” significa “‘¬¬P’ é falsa”.E assim por diante.Repare que ¬¬P é equivalente a P, assim como ¬¬P é

equivalente a ¬P.A negação múltipla traz alguns problemas de interpretação.

Interpretando mais uma vez P por “Sócrates é mortal”, podemos perfeitamente interpretar ¬¬¬P de diversar formas: «Não é o caso de que Sócrates não é mortal”, “Não é o caso de que Sócrates é imortal”, “É falso que Sócrates não é mortal», «É falso que Sócrates é imortal» etc. Contudo, nem sempre na língua portuguesa a dupla negação de uma proposição equivale à afirmação desta. Muitas vezes a dupla negação é apenas uma ênfase na negação. Exemplos: «Não veio ninguém”, “Não fiz nada hoje” etc.

ConjunçãoA conjunção entre duas fórmulas só é verdadeira quando am-

bas são verdadeiras. A saber:

P Q P˄QV V VV F FF V FF F F

Interpretação: “P˄Q” pode ser interpretada como “ P e Q”, “Tanto P quanto Q”, “Ambas proposições ‘P’ e ‘Q’ são verdadeiras” etc.

Assim, em uma linguagem “L”na qual P significa “Sou cidadão brasileiro” e Q significa “Sou estudante de filosofia”, P˄Q pode ser interpretada como “Sou cidadão brasileiro e estudante de filosofia”; o que só é verdade se P é verdadeira e Q é verdadeira.

Repare que a conjunção é comutável, ou seja, P˄Q é equivalente a Q˄P, a saber:

P Q P˄Q Q˄PV V V VV F F FF V F FF F F F

A comutatividade da conjunção traz um problema para formalizar proposições da linguagem natural no Cálculo Proposicional Clássico, pois a ordem em que as orações aparecem pode sugerir uma sequência temporal. Por exemplo “Isabela se casou e teve um filho” é bem diferente de “Isabela teve um filho e se casou”. Repare que o mesmo problema não acomete a proposição “Isabela é casada e tem filhos”, que é equivalente a “Isabela tem filhos e é casada”. Esta sentença é, portanto, perfeitamente formalizável no Cálculo Proposicional Clássico por meio de uma conjunção.

Proposições que levam a palavra “mas” também podem ser formalizadas pela conjunção. Por exemplo, em uma linguagem “L” na qual R significa “João foi atropelado” e D significa “João sobreviveu ao atropelamento”, as sentenças “João foi atropelado e sobreviveu” e “João foi atropelado, mas sobreviveu” podem ambas ser formalizadas assim: R˄D

Afinal, ambas as proposições afirmam os mesmos eventos na mesma sequência: o atropelamento e a sobrevivência de João. A única diferença entre ambas é que aquela que leva “mas” expressa que uma expectativa subjetiva não foi satisfeita o que não importa para a lógica clássica.

Disjunção

A disjunção entre duas fórmulas só é verdadeira quando ao menos uma delas é verdadeira. A saber:

P Q P˅QV V VV F VF V VF F F

Repare que a disjunção também é comutativa:

P Q P˅Q Q˅PV V V VV F V VF V V VF F F F

Interpretação: “P˅Q” pode ser interpretada como “P ou Q”, “Entre as proposições P e Q, ao menos uma é verdadeira”.

Assim, se P significa “Fulano estuda filosofia” e Q significa “Fulano estuda matemática”, P˅Q pode ser interpretada como “Fulano estuda filosofia ou matemática”; o que só é falso se nem P nem Q forem verdadeiras.

Com a disjunção é preciso tomar muito cuidado tanto na interpretação de fórmulas quanto na formalização de proposições, pois na linguagem natural muitas vezes os disjuntos são excludentes. Por exemplo: “Uma moeda ao ser lançada resulta em cara ou coroa”, “Nestas férias eu vou viajar ou ficar em casa”.

Para estes casos usamos a disjunção exclusiva ou a bi-implicação combinada com a negação.

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ImplicaçãoA implicação entre duas fórmulas só é falsa se a da esquerda

(antecedente) for verdadeira e da direita (consequente) for falsa. A saber:

P Q P→QV V VV F FF V VF F V

Repare que a implicação não é comutativa:

P Q P→Q Q→PV V V VV F F FF V V VF F V V

Interpretação: “P→Q” pode ser interpretada como “Se P, então Q”, “P implica Q”, “Se a proposição ‘P’ é verdade, então a proposição ‘Q’ também é verdade”, “A partir de ‘P’ inferimos ‘Q’ “, “P satisfaz Q”, “P é condição suficiente de Q”.

Assim, se, em uma linguagem “L”, P significa “O botão vermelho foi apertado” e Q significa “O lugar inteiro explode”, P→Q pode ser interpretada como “Se o botão vermelho foi apertado, o lugar inteiro explode”, o que só é falso se o botão vermelho for apertado (verdade de P) e o lugar inteiro não explodir (falsidade de Q):

A interpretação da implicação é uma das mais complicadas. Talvez você tenha estranhado que a implicação seja verdadeira quando o antecedente é falso. Ou ainda, você poderia objetar “mas e se o botão for apertado, o lugar explodir, mas uma coisa não tiver nada a ver com a outra?”.

Basicamente, o que se deve observar é que “O botão vermelho ser apertado” é condição suficiente para se deduzir que “O lugar inteiro explodiu”, isto é, quando o botão é apertado, o lugar deve explodir. Se o botão for apertado e o lugar não explodir, algo está errado, ou seja, P não implica Q (P→Q é falso).

Quando temos na linguagem natural uma proposição que afirma que, a partir de um evento, outro segue inexoravelmente (por exemplo: “Se você sair na chuva sem guarda-chuva ou capa de chuva, então você vai se molhar”) ou uma proposição que afirma que podemos deduzir um fato de outro (por exemplo: “Se todo número par é divisível por 2, então nenhum número par maior que 2 é primo”), podemos seguramente formalizar estas proposições por meio da implicação.

Mas o contrário, ou seja, interpretar uma implicação na linguagem natural é problemático. Podemos estar lidando com uma implicação cujo antecedente e cujo consequente não têm relação alguma. Basta, contudo que o antecedente seja falso ou o consequente seja verdadeiro para que a implicação seja verdadeira. Nestes casos, é bem difícil dar uma interpretação satisfatória para a implicação.

Bi-implicaçãoA bi-implicação entre duas fórmulas é verdadeira quando

ambas são verdadeiras ou ambas são falsas.

P Q P↔QV V VV F FF V FF F V

Repare que a bi-implicação é comutativa:

P Q P↔Q Q↔PV V V VV F F FF V F FF F V V

Interpretação: “P↔Q” pode ser interpretada como “P se e somente se Q”, “P é equivalente a Q”, “P e Q possuem o mesmo valor de verdade”.

Assim, se P significa “As luzes estão acesas” e Q significa “O interruptor está voltado para cima”, P↔Q pode ser interpretada como “As luzes estão acesas se e somente se o interruptor está voltado para cima”, o que só é falso se as luzes estiverem acesas e o interruptor não estiver voltado para cima (verdade de P falsidade de Q), ou se as luzes não estiverem acesas e o interruptor estiver voltado para cima (falsidade de P e verdade de Q)

Números de Linhas de uma Tabela VerdadeO número de linhas da tabela verdade de uma

proposição composta depende do número de proposições simples que a integram, sendo dado pelo seguinte teorema: A tabela-verdade de uma proposição composta, com n proposições simples componentes, contém 2 elevado a n linhas.

Para se construir a tabela-verdade de uma proposição composta dada, procede-se da seguinte maneira:

a. determina-se o número de linhas da tabela- verdade que se quer construir;

b. observa-se a precedência entre os conectivos, isto é, determina-se a forma das proposições que ocorrem no problema;

c. aplicam-se as definições das operações lógicas que o problema exigir.

Exemplo: Construir a tabela-verdade da proposição: P(p,q) = ~ (p || ~ q)

p q ~ q p || ~ q ~ (p || ~ q)V V F F VV F V V FF V F F VF F V F V

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O uso de parêntesesÉ óbvia a necessidade de usar parêntesis na simbolização das

proposições, que devem ser colocados para evitar qualquer tipo de ambigüidade. Assim, por exemplo, a expressão p || q || r dá lugar, colocando parêntesis, às duas seguintes proposições:

(i) (p || q) || r (ii) p || (q || r) que não têm o mesmo significado lógico, pois

na (i) o conectivo principal é « || «, e na (ii), o conectivo principal é « || «.

Por outro lado, em muitos casos, parêntesis podem ser suprimidos, a fim de simplificar as proposições simbolizadas, desde que, naturalmente, ambigüidade alguma venha a aparecer.

A supressão de parênteses nas proposições simbolizadas se faz mediante algumas convenções, das quais são particularmente importante as duas seguintes:

A «ordem de precedência» para os conectivos é:(1º) ~ ; (2º) || e || ; (3º) || ; (4º) || Portanto o conectivo mais «fraco» é «~» e o conectivo mais

«forte» é « || «.Assim, por exemplo, a proposição:P || q || s || ré uma bicondicional e nunca uma condicional ou uma

conjunção. Para convertê-la numa condicional há que usar parêntesis: p || (q || s || r)

e para convertê-la em uma conjunção: (p || q || s) || rQuando um mesmo conectivo aparece sucessivamente

repetido, suprimem-se os parêntesis, fazendo-se a associação a partir da esquerda.

Exemplo:((~ (~ (p || q))) || (~ p) fica como ~ ~ (p || q ) || ~ p

CONECTIVOS

Para compor novas proposições, definidas como composta, a partir de outras proposições simples, usam-se os conectivos.

Os conectivos mais usados são:

Exemplos:1. Mônica é uma mulher bonita e o Brasil é um grande país.2. Professor Fábio é esperto ou está doente.3. Se eu comprar um carro, então venderei meu carro antigo.4. Um número é primo se e somente se for divisível apenas

por 1 e por si mesmo.

Conectivo “e” ( ∧ )Sejam os argumentos:p: 3- é um número inteiro.q: a cobra é um réptil.Com os argumentos acima, podemos compor uma sentença

fechada, que expressa os dois argumentos:“ 3- é um número inteiro e a cobra é um réptil”.A sentença acima pode ser representada como p^q, podemos

receber um valor lógico, verdadeiro ou falso.

Conceito: Se p e q são duas proposições, a proposição p ∧ q será chamada de conjunção. Observe que uma

conjunção p ∧ q só é verdadeira quando p e q são verdadeiras.Para a conjunção, tem-se a seguinte tabela-verdade:

p qp ∧ q

V V VV F FF V FF F F

Atenção: Os conectivos são usados para interligar duas ou mais sentenças. E toda sentença interligada por conectivos terá um valor lógico, isto é, será verdadeira ou falsa.

Sentenças interligadas pelo conectivo “e” possuirão o valor verdadeiro somente quanto todas as sentenças, ou argumentos lógicos, tiverem valores verdadeiros.

Conectivo “ou” ( ∨ )O conectivo “ou” pode ter dois significados:1) “ou” inclusivo: Elisabete é bonita ou Elisabete é inteligente. (Nada impede que Elisabete seja bonita e inteligente)2) “ou” exclusivo: Elisabete é paulista ou Elisabete é carioca. (Se Elisabete é paulista, não será carioca e vice-versa)Atenção: Estudaremos o “ou” inclusivo, pois o elemento

em questão pode possuir duas ou mais características, como o exemplo do item 1, em que Elisabete poderá possuir duas ou mais qualidades ou características.

Sejam:

p: 3 é um número inteiro.q: o Brasil é pentacampeão mundial de futebol.A partir de p e q, podemos compor:

p ∨ q: 3 é um número inteiro ou o Brasil é pentacampeão mundial de futebol.

Se p e q são duas proposições, a proposição p ∨ q será chamada adjunção ou disjunção.

Observe que uma adjunção p ∨ q é verdadeira quando uma das proposições formadoras, p ou q, é verdadeira.

Para a adjunção, tem-se a seguinte tabela-verdade:

p qp ∨ q

V V VV F VF V VF F F

Atenção: O conectivo ∨ , “ou”, é utilizado para interligar dois ou mais argumentos, resultando na união desses argumentos. O valor resultante da união de dois ou mais argumentos somente será falso quando todos os argumentos ou proposições forem falsos.

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Conectivo “Se... então” ( → )

Sejam as proposições abaixo:p: 204.5 =q: 3 é um número primo.A partir de p e q, podemos compor:p→q: se 204.5 = , então 3 é um número primo.

Conceito: Se p e q são duas proposições, a proposição p→q é chamada subjunção ou condicional. Considere a seguinte subjunção: “Se fizer sol, então irei à praia.”

Podem ocorrer as situações:1) Fez sol e fui à praia. (Eu disse a verdade)2) Fez sol e não fui à praia. (Eu menti)3) Não fez sol e não fui à praia. (Eu disse a verdade)4) Não fez sol e fui à praia. (Eu disse a verdade, pois eu

não disse o que faria se não fizesse sol. Assim, poderia ir ou não ir à praia)

Observe que uma subjunção p→q somente será falsa quando a primeira proposição, p, for verdadeira e a segunda, q, for falsa.

Para a subjunção, tem-se a seguinte tabela-verdade:

p q p→qV V VV F FF F VF V V

Existem outras maneiras de ler: p→q:“p é condição suficiente para q” ou, ainda, “q é condição

necessária pra p”.Sejam:p: 18 é divisível por 6.q: 18 é divisível por 2.Podemos compor:p→q: se 18 é divisível por 6, então 18 é divisível por 2, que

se pode ler:- “18 é divisível por 6” é condição suficiente para “18 é

divisível por 2” ou, ainda,- “18 é divisível por 2” é condição necessária para “18 é

divisível por 6”.

Atenção: Dizemos que “p implica q” (p ⇒ q) quando estamos considerando uma relação entre duas proposições, compostas ou não, diferentemente do símbolo → , que denota uma operação entre duas proposições, resultando numa proposição.

Conectivo “Se e somente se” ( ↔ )

Sejam:p: .8216 =÷q: 2 é um número primo.A partir de p e q, podemos compor:p↔q: .8216 =÷ se e somente se 2 é um número primo.Se p e q são duas proposições, a proposição p↔q1 é chamada

bijunção ou bicondicional, que também pode ser lida como: “p é condição necessária e suficiente para q” ou, ainda, “q é condição necessária e suficiente para p”.

Considere, agora, a seguinte bijunção:

“Irei à praia se e somente se fizer sol.”Podem ocorrer as situações:1) Fez sol e fui à praia. (Eu disse a verdade)2) Fez sol e não fui à praia. (Eu menti)3) Não fez sol e fui à praia. (Eu menti)4) Não fez sol e não fui à praia. (Eu disse a verdade)Observe que uma bijunção só é verdadeira quando as

proposições formadoras são ambas falsas ou ambas verdadeiras.

Para a bijunção, tem-se a seguinte tabela-verdade:

p q p↔qV V VV F FF V FF F V

Devemos lembrar que p↔q é o mesmo que (p→q) ∧ (q→p).Assim, dizer “Hoje é sábado e somente se amanhã é domingo”

é o mesmo que dizer: “Se hoje é sábado, então amanhã é domingo e, se amanhã é domingo, então hoje é sábado”.

Atenção: Dizemos que “p equivale a q” (p ⇒ q) quando estamos considerando uma relação entre duas ou mais proposições, diferentemente do símbolo ↔ , que denota uma operação entre duas proposições, resultando numa nova proposição.

Exemplos:

1. Dar os valores lógicos das seguintes proposições compostas: a) 752:1 =+p ou 652 =+ Temos que p → q, com p(V), q(F); portanto,

).(1 Vp

b) :2p se 842 =+ , então 962 =+ Temos que p→q com p(F), q(F); portanto,

).(2 Vp

2. Estude os valores lógicos das sentenças abertas compostas:“se x²-14x+48=0, então x-2=4”Como x²-14x+48=0 ⇔ x=6 ou x=8 e x-2=4 ⇔ x=6,

tem-se:a) (VV) substituindo x por 6, temos o valor lógico V.b) (VF) substituindo x por 8, temos o valor lógico F.c) (FV) não se verifica.d) (FF) substituindo x por qualquer número real diferente

de 6 e 8, temos o valor lógico V.

3. Sejam as proposições:p: Joana é graciosa.q: Fátima é tímida.

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Dar as sentenças verbais para:a) p→~qSe Joana é graciosa, então Fátima não é tímida.b) ~(~p ∧ q)É falso que Joana não é graciosa ou que Fátima é tímida.

Atenção: O conectivo « é usado quando se quer mostrar que dois argumentos são equivalentes.

Por exemplo, quando dizemos que “todo número par é da forma 2n, n є N”, não é o mesmo que dizer que “os números pares são divisíveis por 2”.

PROPOSIÇÕES SIMPLES E COMPOSTAS

Uma proposição pode ser simples (também denominada atômica) ou composta (também denominada molecular). As proposições simples apresentam apenas uma afirmação. Pode-se considerá-las como frases formadas por apenas uma oração.

As proposições simples são representadas por letras latinas minúsculas.

Exemplos: (1) p: eu sou estudioso; (2) q: Maria é bonita: (3) r: 3 + 4 > 12.

Uma proposição composta é formada pela união de duas ou mais proposições simples.

Indica-se uma proposição composta por letras latinas maiúsculas.

Se P é uma proposição composta das proposições simples p, q, r, ..., escreve-se P (p, q, r,...).

Quando P estiver claramente definida não há necessidade de indicar as proposições simples entre os parênteses, escrevendo simplesmente P.

Exemplos:(4) P: Paulo é estudioso e Maria é bonita. P é composta das

proposições simples p: Paulo é estudioso e q: Maria é bonita.(5) Q: Maria é bonita ou estudiosa. Q é composta das

proposições simples p: Maria é bonita e q: Maria é estudiosa.(6) R: Se x = 2 então x2 + 1 = 5. R é composta das proposições

simples p: x = 2 e q: x2 + 1 = 5.(7) S: a > b se e somente se b < a. S é composta das proposições

simples p: a > b e q: b < a.

As proposições simples são aquelas que expressam “uma única idéia”. Constituem a base da linguagem e são também chamadas de átomos da linguagem. São representadas por letras latinas minúsculas (p, q, r, s, ...).

As proposições composta são aquelas formadas por duas ou mais proposições ligadas pelos conectivos lógicos. São geralmente representadas por letras latinas maiúsculas (P, Q, R, S, ...). O símbolo P (p, q, r), por exemplo, indica que a proposição composta P é formada pelas proposições simples p, q e r.

ExemplosSão proposições simples:p: A lua é um satélite da terra.q: O número 2 é primo.r: O número 2 é par.

s: Roma é a capital da França.t: O Brasil fica na América do Sul.u: 2+5=3.4.

São proposições compostas:P(q, r): O número 2 é primo ou é par.Q(s, t): Roma é a capital da França e o Brasil fica na América

do Sul.R: O número 6 é par e o número 8 é cubo perfeito.

Não são proposições lógicas:a) Romab) O cão do meninoc) 7+1d) As pessoas estudame) Quem é?f) Que pena!

Tabela VerdadeProposição Simples - Segundo o princípio do terceiro

excluído, toda proposição simples p,é verdade ou falsa, isto é, tem o valor lógico verdade (V) ou o valor lógico falso (F).

pVF

Proposição Composta - O valor lógico de qualquer proposição composta depende unicamente dos valores lógicos das proposições simples componentes, ficando por eles univocamente determinados.

É um dispositivo prático muito usado para a determinação do valor lógico de uma proposição composta. Neste dispositivo figuram todos os possíveis valores lógicos da proposição composta, correspondentes a todas as possíveis atribuições de valores lógicos às proposições simples componentes.

Proposição Composta - 02 proposições simplesAssim, por exemplo, no caso de uma proposição composta

cujas proposições simples componentes são p e q, as únicas possíveis atribuições de valores lógicos a p e a q são:

p qV VV FF VF F

Observe-se que os valores lógicos V e F se alternam de dois em dois para a primeira proposição p e de um em um para a segunda proposição q, e que, além disso, VV, VF, FV e FF são os arranjos binários com repetição dos dois elementos V e F.

Proposição Composta - 03 proposições simplesNo caso de uma proposição composta cujas proposições

simples componentes são p, q e r as únicas possíveis atribuições de valores lógicos a p, a q e a r são:

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p q rV V VV V FV F VV F FF V VF V FF F VF F F

Analogamente, observe-se que os valores lógicos V e F se alternam de quatro em quatro para a primeira proposição p, de dois em dois para a segunda proposição q e de um em um para a terceira proposição r, e que, além disso, VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV e FFF sãos os arranjos ternários com repetição dos dois elementos V e F.

Notação: O valor lógico de uma proposição simples p indica-se por V(p). Assim, exprime-se que p é verdadeira (V), escrevendo: V(p) = V.

Analogamente, exprime-se que p é falsa (F), escrevendo: V(p) = F.

Exemplos:p : o sol é verde;q : um hexágono tem nove diagonais;r : 2 é raiz da equação x² + 3x - 4 = 0V(p) = FV(q) = VV(r) = F

TAUTOLOGIA

As proposições que apresentam a tabela-verdade somente com V são chamadas logicamente de verdadeiras ou de tautológicas.

Proposições falsas (contradição): As proposições que apresentam a tabela-verdade somente com F são chamadas logicamente de falsas ou de contradições.

Propriedades de proposiçõesI – Comutativa: p∧q⇔q∧p

p∨q⇔q∨pII – Associativa: p∧(q∧r)⇔(p∧q)∧r

p∨(q∨r)⇔(p∨q)∨rIII – Distributiva: p∧(q∨r)⇔(p∧q)∨(p∧r)

p∨(q∧r)⇔(p∨q)∨(p∨r)IV – Morgan: ~(p∧q)⇔~p∨~q

~(p∨q)⇔~p∧~qV – Dupla negação: ~(~p)⇔p

Teorema contra-recíprocoToda proposição composta pelo conectivo “Se... então” pode

ser reescrita em seu sentido contrário, mas com o uso da negação nas duas proposições menores, que a compõem.

p→q equivale a ~q→p

Exemplos:1. “Se um número inteiro é par, então seu quádruplo é par”,

que equivale a: “Se o quádruplo de um número não é par, então o número inteiro não é par”.

2. Consideremos agora a definição de função injetora: “Uma função f de A em B é injetora se e somente se

Axx ∈∀ 21, , sendo )()( 2121 xfxfxx ≠⇒≠ ”, que equivale a:

“Uma função f de A em B é injetora se e somente se Axx ∈∀ 21, , sendo )()( 2121 xfxfxx =⇒= ”, que

equivale a:

Observação: O símbolo ∀ significa: “para todo” ou “para qualquer que seja”.

Atenção: Não podemos aplicar valores lógicos para sentenças abertas.

Enquanto as sentenças se apresentam a tabela-verdade com todos os valores V são chamadas de tautologia, as contradições apresentam, em sua tabela-verdade, todos os valores com resultados iguais a F.

EXERCÍCIOS

1. A negação da sentença aberta "5" +≥y corresponde a: a) 5-≥y b) 5+≤y c) ≅ d) 5-<y e) 5-≤y

2. A sentença negativa de “Hoje é domingo e amanhã não choverá” é:

a) Hoje é domingo ou amanhã não choverá. b) Hoje não é domingo nem amanhã choverá. c) Hoje não é domingo, então amanhã choverá. d) Hoje não é domingo ou amanhã choverá. e) Hoje não é domingo e amanhã choverá.

3. Em uma pequena comunidade, sabe-se que: “nenhum filósofo é rico” e que “alguns professores são ricos”. Assim, pode-se afirmar, corretamente, que nesta comunidade:

a) Alguns professores não são filósofos. b) Alguns professores são filósofos. c) Nenhum filósofo é professor. d) Alguns filósofos são professores. e) Nenhum professor é filósofo.

4. No final de semana, Chiquita não foi ao parque. Ora, sabe-se que sempre que Didi estuda, Didi é aprovado. Sabe-se, também, que, nos finais de semana, ou Dada vai à missa ou vai visitar tia Célia. Sempre que Dada vai visitar tia Célia, Chiquita vai ao parque e, sempre que Dada vai à missa, Didi estuda. Então, no final de semana,

a) Dada foi à missa e Didi foi aprovado. b) Didi não foi aprovado e Dada não foi visitar tia Célia. c) Didi não estudou e Didi foi aprovado. d) Didi estudou e Chiquita foi ao parque. e) Dada não foi à missa e Didi não foi aprovado.

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5. Considere a proposição “Pedro é estudioso e trabalhador, ou Pedro é bonito”. Como Pedro não é bonito, então:

a) Pedro é estudioso e trabalhador. b) Pedro é estudioso ou trabalhador. c) Pedro não é estudioso ou não é trabalhador. d) Pedro é estudioso e não é trabalhador. e) Pedro não é estudioso e não é trabalhador.

6. As seguintes afirmações, todas elas verdadeiras, foram feitas sobre a ordem de chegada dos participantes de uma prova de ciclismo:

I - Guto chegou antes de Aires e depois de Doda;II - Guto chegou antes de Juba e Juba chegou antes de Aires,

se e somente se Aires chegou depois de Doda;III - Cacau não chegou junto com Juba, se e somente se Aires

chegou junto com Guto. Logo:a) Cacau chegou antes de Aires, depois de Doda e junto

com Juba.b) Guto chegou antes de Cacau, depois de Doda e junto com

Aires.c) Aires chegou antes de Doda, depois de Juba e antes de

Guto.d) Aires chegou depois de Juba, depois de Cacau e junto

com Doda.e) Juba chegou antes de Doda, depois de Guto e junto com

Cacau.

7. Considere a tabela-verdade abaixo, na qual as colunas representam os valores lógicos para as fórmulas A, B e AÚB. sendo que o símbolo Ú denota o conector ou, V denota verdadeira e F denota falsa.

A BA ∨ B

V VV FF VF F

Os valores lógicos que completam a última coluna da tabela, de cima para baixo, são:

a) V – F – V – V b) V – F – F – V c) F – V – F – V d) V – V – V – F e) F – F – V – V

8. A proposição p→~q é equivalente a:

a) p∨q

b) p∧q

c) ~p→p

d) ~q→p

e) ~p∨~q

9. Dizer que”Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista” é o mesmo que dizer que:

a) Se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista. b) Se Paulo é paulista, então Pedro é paulista. c) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista. d) Se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista. e) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista.

10. O rei ir à caça é condição necessária para o duque sair do castelo e é condição suficiente para a duquesa ir ao jardim. Por outro lado, o conde encontrar a princesa é condição necessária e suficiente para o barão sorrir e é condição necessária para a duquesa ir ao jardim. O barão não sorriu. Logo:

a) a duquesa foi ao jardim ou o conde encontrou a princesa.

b) se o duque não saiu do castelo, então o conde encontrou a princesa.

c) o rei não foi à caça e o conde não encontrou a princesa. d) o rei foi à caça e a duquesa não foi ao jardim. e) a duque saiu do castelo e o rei não foi à caça.

11. Se Vera viajou, nem Camile nem Carla foram ao casamento. Se Carla não foi ao casamento, Vanderléia viajou. Se Vanderléia viajou, o navio afundou. Ora, o navio não afundou. Logo:

a) Vera não viajou e Carla não foi ao casamento. b) Camile e Carla não foram ao casamento. c) Carla não foi ao casamento e Vanderléia não viajou. d) Carla não foi ao casamento e Vanderléia viajou. e) Vera e Vanderléia não viajaram.

12. Considere a seguinte tabela-verdade:

p q p∧q p∨qV V V VV F F VF V F VF F F F

Podemos escrever:

13. Duas grandezas x e y são tais que: “se x=3, então y=7”.

Pode-se concluir que: a) se ,3≠x então 7≠y b) se ,7≠y então 3≠x a) se ,7=y então 3=x a) se ,5=x então 5=y a) nenhuma das conclusões acima é válida.

14. Maria é magra ou Bernardo é barrigudo. Se Lúcia é linda, então César não é careca. Se Bernardo é barrigudo, então César é careca. Ora, Lúcia é linda. Logo:

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a) Maria é magra e Bernard não é barrigudo. b) Bernardo é barrigudo ou César é careca. c) César é careca e Maria é magra. d) Maria não é magra e Bernardo é barrigudo. e) Lúcia e linda e César é careca.

15. Se Carlos é mais velho do que Pedro, então Maria e Júlia têm a mesma idade. Se Maria e Júlia têm a mesma idade, então João é mais moço do que Pedro. Se João é mais moço do que Pedro, então Carlos é mais velho do que Maria. Ora, Carlos não é mais velho do que Maria. Então:

a) Carlos não é mais velho do que Júlia e João é mais moço do que Pedro.

b) Carlos é mais velho do que Pedro, e Maria e Júlia têm a mesma idade.

c) Carlos e João são mais moços do que Pedro. d) Carlos é mais velho do que Pedro, e João é mais moço

do que Pedro. e) Carlos não é mais velho do que Pedro, e Maria e Júlia

não têm a mesma idade.

16. Dizer que “André é artista ou Bernardo não é engenheiro” é logicamente equivalente a dizer que:

a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro.

b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro. c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro. d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista. e) André não é artista e Bernardo é engenheiro.

17. Ou Anais será professora, ou Anelise será cantora, ou Anamélia será pianista. Se Ana for atleta, então Anamélia será pianista. Se Anelise for cantora, então Ana será atleta. Ora, Anamélia não será pianista. Então:

a) Anais será professora e Anelise não será cantora. b) Anais não será professora e Ana não será atleta. c) Anelise não será cantora e Ana será atleta. d) Anelise será cantora ou Ana será atleta. e) Anelise será cantora e Anamélia não será pianista.

18. Se Flávia é filha de Fernanda, então Ana não é filha de Alice. Ou Ana é filha de Alice, ou Ênia é filha de Elisa. Se Paula não é filha de Paulete, então Flávia é filha de Fernanda. Mas acontece que nem Ênia é filha de Elisa nem Inês é filha de Elisa. Com isso, podemos afirmar que:

a) Paula é filha de Paulete e Flávia é filha de Fernanda. b) Paula é filha de Paulete e Ana é filha de Alice. c) Paula não é filha de Paulete e Ana é filha de Alice. d) Se Ana é filha de Elisa, Flávia é filha de Fernanda. e) Ênia é filha de Elisa ou Flávia é filha de Fernanda.

19. Se é verdade que “Nenhum artista é atleta”, então também será verdade que:

a) Todos não-artistas são não-atletas. b) Nenhum atleta é não-artista. c) Nenhum artista é não-atleta. d) Pelo menos um não-atleta é artista. e) Nenhum não-atleta é artista.

20. Se os pais dos filhos morenos sempre são morenos, então podemos afirmar que:

a) Os filhos de não-morenos nunca são morenos. b) Os filhos de morenos sempre são loiros. c) Os filhos de morenos nunca são morenos. d) Os filhos de não-morenos sempre são morenos. e) Os pais de filhos morenos nem sempre são morenos.

21. A negação da sentença “Ana não voltou e foi ao cinema” é: a) Ana voltou ou não foi ao cinema. b) Ana voltou e não foi ao cinema. c) Ana não voltou ou não foi ao cinema. d) Ana não voltou e não foi ao cinema. e) Ana não voltou e foi ao cinema.

22. Todos os médicos são magros. Nenhum magro sabe correr. Podemos afirmar que:

a) Algum médico não é magro. b) Alguém médico sabe correr. c) Nenhum médico sabe correr. d) Nenhum médico é magro. e) Algum médico sabe correr.

23. A negação da proposição “Se os preços aumentam, então as vendas diminuem” é:

a) Se os preços diminuem, então as vendas aumentam. b) Os preços diminuem e as vendas aumentam. c) Se os preços aumentam, então as vendas aumentam. d) As vendas aumentam ou os preços diminuem. e) Se as vendas aumentam, então os preços diminuem.

24. Considere as seguintes premissas: “Cláudia é bonita e inteligente, ou Cláudia é simpática.” “Cláudia não é simpática.” A partir dessas premissas, conclui-se que Cláudia: a) É bonita ou inteligente. b) É bonita e inteligente. c) É bonita e não é inteligente. d) Não é bonita e não é inteligente. e) Não é bonita e é inteligente.25. Jair está machucado ou não quer jogar. Mas Jair quer

jogar. Logo: a) Jair não está machucado nem quer jogar. b) Jair não quer jogar nem está machucado. c) Jair não está machucado e quer jogar. d) Jair está machucado e não quer jogar. e) Jair está machucado e quer jogar.

26. Assinale a alternativa que apresenta a negação da seguinte sentença: “Nenhum pescador é mentiroso”.

a) Algum pescador é mentiroso. b) Nenhum mentiroso é pescador. c) Todo pescador não é mentiroso. d) Algum mentiroso não é pescador. e) Algum pescador não é mentiroso.

27. Dizer que a afirmação “todos os economistas são médicos” é falsa, do ponto de vista lógico, equivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira:

a) Pelo menos um economista não é médico. b) Nenhum economista é médico. c) Nenhum médico é economista. d) Pelo menos um médico não é economista. e) Todos os não médicos são não economistas.

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28. Se pba += , então rza += . Se rza += , então rwa -= . Por outro lado, pba += , ou 0=a . Se 0=a ,

então 5=+ ua . Ora, 5≠+ ua . Logo: a) 0=- ra b) pba +≠ c) rwa -= d) rwrz -≠+ e) rqpb -≠+

RESPOSTAS

(01-C) (02-D) (03-A) (04-A) (05-A) (06-A) (07-D) (08-E) (09-A) (10-C) (11-E) (12-D) (13-B) (14-A) (15-E) (16-E) (17-A) (18-B) (19-D) (20-C) (21-A) (22-C) (23-E) (24-B) (25-E) (26-A) (27-D) (28-C)

COMPREENSÃO E ELABORAÇÃO DA LÓGICA DAS SITUAÇÕES POR MEIO DE:

Raciocínio Verbal, Raciocínio Matemático, Raciocínio Sequencial, Orientação Espacial

e temporal, Formação de Conceitos, Discriminação de Elementos.

As funções intelectuais são constituídas por alguns raciocínios como: verbal, numérico, abstrato e espacial. Essas relações contribuem para a compreensão e elaboração do processo lógico de uma situação, através da formação de conceitos e discriminação de elementos.

Raciocínio VerbalDefinição: Trata-se da capacidade que possuímos para

expressar as idéias utilizando símbolos verbais para organizar o pensamento e estabelecer relações abstratas entre conceitos verbais.

As questões relativas ao raciocínio verbal são apresentadas sob a forma de analogias. Após a percepção da relação entre um primeiro par de palavras, deve-se encontrar uma quarta palavra que mantenha relação com uma terceira palavra apresentada.

Exemplos:1- Quarto está para Casa, como Capítulo está para:a) Dicionáriob) Leiturac) Livrod) Jornale) Revista

Resposta é a C: Livro2- Homem está para Menino, como Mulher está para:a) Senhorab) Meninac) Jovem

A resposta é MeninaOs homens na infância são chamados de meninos e as

mulheres de meninas.

3- Presidente está para o país assim como o Papa está para:a) Igrejab) Temploc) Mundod) Missae) Europa

A resposta é IgrejaO presidente é o representante do país assim como o Papa é o

representante da Igreja.

4- Pelé está para o futebol assim como Michael Jordan está para:

a) Handballb) Vôleic) Gold) Basquetee) Automobilismo

A resposta é BasquetePelé foi o maior jogador de futebol de todos os tempos e assim

como Michael Jordan foi o de basquete.

Raciocínio Numérico (Matemático e Sequencial)Definição: É a capacidade de compreender problemas que

utilizam operações que envolvam números, bem como o domínio das operações aritméticas básicas. As questões relativas a raciocínio numérico são apresentadas sob a, forma de sequência de números. Deve-se encontrar a lei de formação da sequência para dar continuidade a mesma.

Exemplos:1- Escreva o próximo termo da sequência: 1 2 3 4 5 6 ?A resposta é 7. Essa é a sequência dos números naturais.2- Escreva o próximo termo da sequência: 2 4 8 10 12 14 ?A resposta é 16. Essa é a sequência dos números pares.

3- Escreva o próximo termo da sequência: 1 2 4 8 16 32 ?A resposta é 64. A lei de formação da sequência é dada pelo

dobro do número anterior, perceba que o segundo número é o dobro do primeiro e o terceiro o dobro do segundo e assim por diante, então o próximo número será o dobro de 32, ou seja, 64.

4- Escreva o próximo termo da sequência: 0 1 4 9 25 36 ?A resposta é 49. A lei de formação dessa sequência é a

multiplicação do número por ele mesmo.Pode-se dizer também que a lei de formação é elevar o número

ao quadrado, aliás elevar o número ao quadrado é o mesmo que multiplicar ele por ele mesmo.

Raciocínio AbstratoDefinição: É a capacidade de compreender e estabelecer

relações entre objetos e similares, comparando símbolos, idéias e conceitos.

As questões relativas a raciocínio abstrato exigem a análise de certa relação de figuras, objetos, etc.

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Exemplos:1- Qual das cinco representa a melhor comparação?Ο está para ϴ assim como está para:

a) ∆ b) Ο c) d)

A resposta é C. Inicialmente temos um círculo em duas partes, então o quadrado também deve ser dividido em duas partes.

2- Qual das cinco se parece menos com as outras quatro?Ο está para ϴ assim como está para:

a) ∆ b) c) d) Ο e)

A resposta é D. Todas as figuras são compostas por segmentos retos, exceto o círculo.

Raciocínio Espacial e Temporal

Definição: É a aptidão para visualizar relações de espaço, de dimensão, de posição e de direção, bem como julgar visualmente formas geométricas.

Formação de Conceitos

O conceito é uma idéia (só existe no plano mental) que identifica uma classe de objetos singulares. Tal identificação se dá através da criação do “objeto generalizado” da respectiva classe, o qual é definido pelo conjunto dos atributos essenciais dessa classe e corresponde a cada um dos objetos singulares nela incluídos, não se identificando, contudo, com qualquer um deles especificamente. O objeto generalizado preserva, apenas, os atributos essenciais para a inclusão os objetos singulares no conceito.

Em muitos casos, os conceitos são associados a palavras ou expressões especiais que os designam.

Exemplo: Palavras e expressões associadas a conceitos: “caderno”; “livro”; “escola”; “céu”; “amor”; “felicidade”...

Notemos que em alguns conceitos são mais evidentes as mediações de fatores alheios aos mesmos que alteram seus significados originais, interferindo mesmo em sua essência. Assim, “amor” e “política”, por exemplo, embora sejam valores sociais de grande relevância adquiriram sentidos bem diferentes dos originais, sofrendo, de certa forma, uma “desvalorização” ao longo de um processo de deterioração marcado pela sua vulgarização ou pela sua prostituição.

Notemos, também, que as expressões que designam os conceitos referem-se ao respectivo objeto generalizado. Quando alguém diz: “vou comprar um caderno”, não está se referindo a um objeto singular, isto é, a um caderno específico, mas ao objeto generalizado. Na verdade, o objeto singular – o caderno que efetivamente será comprado – ainda será escolhido. Da mesma forma, quando alguém diz “vou à praia”, tanto pode ir para a de Copacabana, como à de Ipanema ou da Barra da Tijuca, que são, esses sim, objetos singulares.

Formação de conceitos e discriminação de elementos trata da soluções de questões nas quais ainda não se tem um conceito ou uma forma definida e que exige sua criação para ser resolvida. São tipicamente aquelas questões nas quais aparentemente não tivemos nenhum contato prévio com seu conteúdo, mas que é possível encontrar com base no que já sabemos o conceito ou a forma a ser resolvida.

A formação de conceitos em problemas matemáticos é um conceito bastante amplo e está ligado, em tese, com a capacidade de síntese conceitual, de maneira contextualizada e encadeada. Em outras palavras, está ligada à organização das idéias de cunho matemático de forma articulada com várias áreas do conhecimento ligado ou não à matemática. Nesse sentido, pode envolver proposições sim, assim como qualquer outro assunto. Por meio da formação de conceito é que percebemos relações entre entidades (pessoas, objetos, variáveis,...) e estruturamos nosso pensamento.

COMPREENSÃO DO PROCESSO LÓGICO QUE, A PARTIR DE UM

CONJUNTO DE HIPÓTESES, CONDUZ, DE FORMA VÁLIDA, A CONCLUSÕES

DETERMINADAS.

Argumentos

Um argumento é “uma série concatenada de afirmações com o fim de estabelecer uma proposição definida”. É um conjunto de proposições com uma estrutura lógica de maneira tal que algumas delas acarretam ou tem como conseqüência outra proposição. Isto é, o conjunto de proposições p1,...,pn que tem como conseqüência outra proposição q.

Chamaremos as proposições p1,p2,p3,...,pn de premissas do argumento, e a proposição q de conclusão do argumento.

Podemos representar por:p1p2p3...pn

q

Exemplos:

1) Se eu passar no concurso, então irei trabalhar. Passei no concurso ________________________ Irei trabalhar

2) Se ele me ama então casa comigo. Ele me ama. __________________________ Ele casa comigo.

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3) Todos os brasileiro são humanos. Todos os paulistas são brasileiros. __________________________ Todos os paulistas são humanos.

4) Se o Palmeiras ganhar o jogo, todos os jogadores receberão o bicho.

Se o Palmeiras não ganhar o jogo, todos os jogadores receberão o bicho.

__________________________ Todos os jogadores receberão o bicho.

Observação: No caso geral representamos os argumentos escrevendo as premissas e separando por uma barra horizontal seguida da conclusão com três pontos antes. Veja exemplo extraído do Irving M. Copi.

Premissa: Todos os sais de sódio são substâncias solúveis em água.

Todos os sabões são sais de sódio. ____________________________________Conclusão: Todos os sabões são substâncias solúveis

em água.

Os argumentos, em lógica, possuem dois componentes básicos: suas premissas e sua conclusão.

Por exemplo, em: “Todos os times brasileiros são bons e estão entre os melhores times do mundo. O Brasiliense é um time brasileiro. Logo, o Brasiliense está entre os melhores times do mundo”, temos um argumento com duas premissas e a conclusão.

Evidentemente, pode-se construir um argumento válido a partir de premissas verdadeiras, chegando a uma conclusão também verdadeira. Mas também é possível construir argumentos válidos a partir de premissas falsas, chegando a conclusões falsas.

O detalhe é que podemos partir de premissas falsas, proceder por meio de uma inferência válida e chegar a uma conclusão verdadeira. Por exemplo:

1) Premissa: Todos os peixes vivem no oceano.2) Premissa: Lontras são peixes.3) Conclusão: Logo, focas vivem no oceano.

Há, no entanto, uma coisa que não pode ser feita: a partir de premissas verdadeiras, inferir de modo correto e chegar a uma conclusão falsa.

Podemos resumir esses resultados numa tabela de regras de implicação. O símbolo à denota implicação; A é a premissa, B é a conclusão.

Regras de ImplicaçãoPremissas Conclusão Inferência

A B A à BFalsas Falsa VerdadeiraFalsas Verdadeira Verdadeira

Verdadeiras Falsa FalsaVerdadeiras Verdadeira Verdadeira

1. Se as premissas são falsas e a inferência é válida, a conclusão pode ser verdadeira ou falsa (linhas 1 e 2).

2. Se as premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa, a inferência é inválida (linha 3).

3. Se as premissas e a inferência são válidas, a conclusão é verdadeira (linha 4).

Desse modo, o fato de um argumento ser válido não significa necessariamente que sua conclusão seja verdadeira, pois pode ter partido de premissas falsas.

Um argumento válido que foi derivado de premissas verdadeiras é chamado de argumento consistente. Esses, obrigatoriamente, chegam a conclusões verdadeiras.

Premissas: Argumentos dedutíveis sempre requerem certo número de “assunções-base”. São as chamadas premissas. É a partir delas que os argumentos são construídos ou, dizendo de outro modo, são as razões para se aceitar o argumento. Entretanto, algo que é uma premissa no contexto de um argumento em particular pode ser a conclusão de outro, por exemplo.

As premissas do argumento sempre devem ser explicitadas. A omissão das premissas é comumente encarada como algo suspeito, e provavelmente reduzirá as chances de aceitação do argumento.

A apresentação das premissas de um argumento geralmente é precedida pelas palavras “admitindo que...”, “já que...”, “obviamente se...” e “porque...”. É imprescindível que seu oponente concorde com suas premissas antes de proceder à argumentação.

Usar a palavra “obviamente” pode gerar desconfiança. Ela ocasionalmente faz algumas pessoas aceitarem afirmações falsas em vez de admitir que não entendem por que algo é “óbvio”. Não se deve hesitar em questionar afirmações supostamente “óbvias”.

Inferência: Uma vez que haja concordância sobre as premissas, o argumento procede passo a passo por meio do processo chamado “inferência”.

Na inferência, parte-se de uma ou mais proposições aceitas (premissas) para chegar a outras novas. Se a inferência for válida, a nova proposição também deverá ser aceita. Posteriormente, essa proposição poderá ser empregada em novas inferências.

Assim, inicialmente, apenas se pode inferir algo a partir das premissas do argumento; ao longo da argumentação, entretanto, o número de afirmações que podem ser utilizadas aumenta.

Há vários tipos de inferência válidos, mas também alguns inválidos. O processo de inferência é comumente identificado pelas frases “Conseqüentemente...” ou “isso implica que...”.

Conclusão: Finalmente se chegará a uma proposição que consiste na conclusão, ou seja, no que se está tentando provar. Ela é o resultado final do processo de inferência e só pode ser classificada com conclusão no contexto de um argumento em particular.

A conclusão respalda-se nas premissas e é inferida a partir delas.

Exemplo de argumento: a seguir está exemplificado um argumento válido, mas que pode ou não ser “consistente”.

1. Premissa: Todo evento tem uma causa.2. Premissa: O universo teve um começo.3. Premissa: Começar envolve um evento.4. Inferência: Isso implica que o começo do universo

envolveu um evento.

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5. Inferência: Logo, o começo do universo teve uma causa.6. Conclusão: O universo teve uma causa.A proposição do item 4 foi inferida dos itens 2 e 3. O item

1, então, é usado em conjunto com proposição 4 para inferir uma nova proposição (item 5). O resultado dessa inferência é reafirmado (numa forma levemente simplificada) como sendo a conclusão.

Validade de um ArgumentoConforme citamos anteriormente, uma proposição é

verdadeira ou falsa. No caso de um argumento diremos que ele é válido ou não válido.

A validade de uma propriedade dos argumentos dedutivos que depende da forma (estrutura) lógica das suas proposições (premissas e conclusões) e não do conteúdo delas. Sendo assim podemos ter as seguintes combinações para os argumentos válidos dedutivos:

a) Premissas verdadeiras e conclusão verdadeira. Exemplo: Todos os apartamentos são pequenos. (V) Todos os apartamentos são residências. (V) __________________________________ Algumas residências são pequenas. (V)

b) Algumas ou todas as premissas falsas e uma conclusão verdadeira.

Exemplo: Todos os peixes têm asas. (F) Todos os pássaros são peixes. (F) __________________________________ Todos os pássaros têm asas. (V)

c) Algumas ou todas as premissas falsas e uma conclusão falsa.

Exemplo: Todos os peixes têm asas. (F) Todos os cães são peixes. (F) __________________________________ Todos os cães têm asas. (F)

Todos os argumentos acima são válidos, pois se suas premissas fossem verdadeiras então as conclusões também as seriam.

Podemos dizer que um argumento é válido se quando todas as suas premissas são verdadeiras, acarreta que sua conclusão também é verdadeira. Portanto, um argumento será não válido se existir a possibilidade de suas premissas serem verdadeiras e sua conclusão falsa.

Observe que a validade do argumento depende apenas da estrutura dos enunciados.

Exemplo: Todas as mulheres são bonitas. Todas as princesas são mulheres. __________________________ Todas as princesas são bonitas.

Observe que não precisamos de nenhum conhecimento aprofundado sobre o assunto para concluir que o argumento é válido. Vamos substituir mulheres bonitas e princesas por A, B e C respectivamente e teremos:

Todos os A são B.Todos os C são A.________________

Todos os C são B.

Logo, o que é importante é a forma do argumento e não o conhecimento de A, B e C, isto é, este argumento é válido para quaisquer A, B e C, portanto, a validade é conseqüência da forma do argumento. O atributo validade aplica-se apenas aos argumentos dedutivos.

Argumentos Dedutivos e IndutivosO argumento será dedutivo quando suas premissas fornecerem

prova conclusiva da veracidade da conclusão, isto é, o argumento é dedutivo quando a conclusão é completamente derivada das premissas.

Exemplo: Todo ser humano tem mãe. Todos os homens são humanos. __________________________ Todos os homens têm mãe.

O argumento será indutivo quando suas premissas não fornecerem o apoio completo para retificar as conclusões.

Exemplo: O Flamengo é um bom time de futebol. O Palmeiras é um bom time de futebol. O Vasco é um bom time de futebol. O Cruzeiro é um bom time de futebol. ______________________________ Todos os times brasileiros de futebol são

bons.

Portanto, nos argumentos indutivos a conclusão possui informações que ultrapassam as fornecidas nas premissas. Sendo assim, não se aplica, então, a definição de argumentos válidos ou não válidos para argumentos indutivos.

Argumentos Dedutivos VálidosVimos então que a noção de argumentos válidos ou não

válidos aplica-se apenas aos argumentos dedutivos, e também que a validade depende apenas da forma do argumento e não dos respectivos valores verdades das premissas. Vimos também que não podemos ter um argumento válido com premissas verdadeiras e conclusão falsa. A seguir exemplificaremos alguns argumentos dedutivos válidos importantes.

Afirmação do Antecedente: O primeiro argumento dedutivo válido que discutiremos chama-se “afirmação do antecedente”, também conhecido como modus ponens.

Exemplo: Se José for reprovado no concurso, então será

demitido do serviço. José foi aprovado no concurso. ___________________________ José será demitido do serviço.

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Este argumento é evidentemente válido e sua forma pode ser escrita da seguinte forma:

Se p, então q,

..q

p∴

ou

p → q

qp

∴

Outro argumento dedutivo válido é a “negação do conseqüente” (também conhecido como modus tollens).

Obs.: ( )qp → é equivalente a ( )pq ¬→¬ . Esta equivalência é chamada de contra positiva. Exemplo:

“Se ele me ama, então casa comigo” é equivalente a “Se ele não casa comigo, então ele não me ama”;

Então vejamos o exemplo do modus tollens.

Exemplo: Se aumentarmos os meios de pagamentos,

então haverá inflação.Não há inflação._________________________________________

Não aumentamos os meios de pagamentos.

Este argumento é evidentemente válido e sua forma pode ser escrita da seguinte maneira:

Se p, então q, p → q

..

pNãoqNão

∴ pq¬∴¬ou

Existe também um tipo de argumento válido conhecido pelo nome de dilena. Geralmente este argumento ocorre quando alguém é forçado a escolher entre duas alternativas indesejáveis. Exemplo:

João se inscreve no concurso de MS, porém não gostaria de sair de São Paulo, e seus colegas de trabalho estão torcendo por ele.

Eis o dilema de João:Ou João passa ou não passa no concurso.Se João passar no concurso vai ter que ir embora de São Paulo.Se João não passar no concurso ficará com vergonha diante

dos colegas de trabalho._________________________

Ou João vai embora de São Paulo ou João ficará com vergonha dos colegas de trabalho.

Este argumento é evidentemente válido e sua forma pode ser escrita da seguinte maneira:

p ou q.

Se p então r

p ∨ q

p→r

soursentãopSe

∴.

srsq

∨∴→

ou

Argumentos Dedutivos Não Válidos Existe certa quantidade de artimanhas que devem ser evitadas

quando se está construindo um argumento dedutivo. Elas são conhecidas como falácias. Na linguagem do dia-a-dia, nós denominamos muitas crenças equivocadas como falácias, mas, na lógica, o termo possui significado mais específico: falácia é uma falha técnica que torna o argumento inconsistente ou inválido (além da consistência do argumento, também se podem criticar as intenções por detrás da argumentação).

Argumentos contentores de falácias são denominados falaciosos. Freqüentemente, parecem válidos e convincentes, às vezes, apenas uma análise pormenorizada é capaz de revelar a falha lógica.

Com as premissas verdadeiras e a conclusão falsa nunca teremos um argumento válido, então este argumento é não-válido, chamaremos os argumentos não-válidos de falácias.

A seguir, examinaremos algumas falácias conhecidas que ocorrem com muita freqüência.

O primeiro caso de argumento dedutivo não-válido que veremos é o que chamamos de “falácia da afirmação do conseqüente”.

Exemplo: Se ele me ama então ele casa comigo. Ele casa comigo. _______________________ Ele me ama.

Podemos escrever esse argumento como:


..p

q∴ p

q∴

Este argumento é uma falácia, podemos ter as premissas

verdadeiras e a conclusão falsa.Outra falácia que corre com freqüência é a conhecida por

“falácia da negação do antecedente”.

Exemplo:

Se João parar de fumar ele engordará. João não parou de fumar. ________________________ João não engordará.

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Observe que temos a forma:


.

.qNãopNão

∴ qp¬∴¬ou

Este argumento é uma falácia, pois podemos ter as premissas

verdadeiras e a conclusão falsa.Os argumentos dedutivos não válidos podem combinar

verdade ou falsidade das premissas de qualquer maneira com a verdade ou falsidade da conclusão.

Assim, podemos ter, por exemplo, argumentos não-válidos com premissas e conclusões verdadeiras, porém, as premissas não sustentam a conclusão.

Exemplo: Todos os mamíferos são mortais. (V) Todos os gatos são mortais. (V) ___________________________ Todos os gatos são mamíferos. (V)

Este argumento tem a forma: Todos os A são B.Todos os C são B._____________________

Todos os C são A.

Podemos facilmente mostrar que esse argumento é não-válido, pois as premissas não sustentam a conclusão, e veremos então que podemos ter as premissas verdadeiras e a conclusão falsa, nesta forma, bastando substituir A por mamífero, B por mortais e C por cobra.

Todos os mamíferos são mortais. (V)Todas as cobras são mortais. (V)__________________________

Todas as cobras são mamíferas. (F)

Podemos usar as tabelas-verdade, definidas nas estruturas lógicas, para demonstrarmos se um argumento é válido ou falso.

Outra maneira de verificar se um dado argumento P1, P2, P3|¾ C é válido ou não, por meio das tabelas-verdade, é construir a condicional associada:

(P1∧P2∧P3 ...Pn)| C e reconhecer se essa condicional é ou não uma tautologia.

Se essa condicional associada é tautologia, o argumento é válido. Não sendo tautologia, o argumento dado é um sofisma (ou uma falácia).

Há argumentos válidos com conclusões falsas, da mesma forma que há argumentos não-válidos com conclusões verdadeiras. Logo, a verdade ou falsidade de sua conclusão não determinam a validade ou não-validade de um argumento.

Exemplos:

1. Testar a validade do argumento P→C, ~P| ~C. Construindo a tabela-verdade, temos:

P C P→C ~P ~CV V V F FV F F F VF V V V FF F V V V

Observe que, nas linhas 3 e 4, as premissas são ambas verdadeiras. Veja que, na linha 4, a conclusão também é verdadeira. Mas, na linha 3, a conclusão é falsa. Portanto, o argumento dado é um sofisma, ou seja, não é válido.

2. Testar a validade do argumento: P∨(C∨R),(C∨R)→ ~P| ~P. Construindo a tabela-

verdade, temos:

P C R C∨R P∨(C∨R) ~P (C∨R)→~PV V V V V F FV V F V V F FV F V V V F FV F F F V F VF V V V V V VF V F V V V VF F V V V V VF F F F F V V

Observando a 5ª linha da tabela, verifica-se que, quando as premissas são verdadeiras, a conclusão é falsa. Portanto, neste caso, o argumento não é válido.

Atenção: Partindo de dois argumentos falsos, pode-se chegar a um argumento com valor lógico verdadeiro.

Por exemplo, temos os seguintes argumentos falsos:I – Focus é um carro da General Mortos.II – Todo carro da General Motors possui motor de 1.600

cilindradas.

Logo, Focus possui 1.600 cilindradas.

O reconhecimento de argumentos é mais difícil que o das premissas ou da conclusão. Muitas pessoas abarrotam textos de asserções sem sequer produzirem algo que possa ser chamado de argumento. Às vezes, os argumentos não seguem os padrões descritos acima. Por exemplo, alguém pode dizer quais são suas conclusões e depois justificá-las. Isso é válido, mas pode ser um pouco confuso.

Para complicar, algumas afirmações parecem argumentos, mas não são. Por exemplo: “Se a Bíblia é verdadeira, Jesus foi ou um louco, ou um mentiroso, ou o Filho de Deus”.

Isso não é um argumento, é uma afirmação condicional. Não explicita as premissas necessárias para embasar as conclusões, sem mencionar que possui outras falhas.

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Um argumento não equivale a uma explicação. Suponha que, tentando provar que Albert Einstein cria em Deus, alguém dissesse: “Einstein afirmou que ‘Deus não joga dados’ porque acreditava em Deus”.

Isso pode parecer um argumento relevante, mas não é. Trata-se de uma explicação da afirmação de Einstein.

Para perceber isso, deve-se lembrar que uma afirmação da forma “X porque Y” pode ser reescrita na forma “Y logo X”. O que resultaria em: “Einstein acreditava em Deus, por isso afirmou que ‘Deus não joga dados’”.

Agora fica claro que a afirmação, que parecia um argumento, está admitindo a conclusão que deveria estar provando.

Ademais, Einstein não cria num Deus pessoal preocupado com assuntos humanos.

Silogismo

O silogismo é a dedução feita a partir de duas proposições denominadas premissas, de modo a originar uma terceira proposição logicamente implicada, denominada conclusão.

Exemplo:Tenho um Escort ou tenho um Focus, não tenho um Escort

|--Tenho um Focus.Observação: o símbolo é chamado de traço de asserção; É

usado entre as premissas e a conclusão. Esse silogismo também pode ser representado como:

Tenho um Escort ou tenho um Focus.Não tenho um Escort.Logo, tenho um Focus.

Chamado de P a proposição: “Tenho um Escort”, escreve-se: P: Tenho um Escort.

Chamado de C a proposição: “Tenho um Focus”, escreve-se: C: Tenho um Focus.

Das proposições P e C resulta a proposição “Tenho um Escort ou tenho um Focus”.

Denotamos: PÚC: Tenho um Escort ou tenho um Focus.Com a negativa da proposição P, tem-se a premissa “Não

tenho um Escort”. Escreve-se: ~P: Não tenho um Escort (é o mesmo que dizer: “não possuo um carro denominado Escort”).

Reescrevendo o argumento, obteremos:P∨C, ~P|COuP∨C~P

Logo, C

Silogismo Categórico de Forma TípicaChamaremos de silogismo categórico de forma típica ao

argumento formado por duas premissas e uma conclusão, de modo que todas as premissas envolvidas são categóricas de forma típica (A, E, I, O).

Teremos também três termos:• Termo menor – sujeito da conclusão.• Termo maior – predicado da conclusão.• Termo médio – é o termo que aparece uma vez em cada

premissa e não aparece na conclusão.

Chamaremos de premissa maior a que contém o termo maior, e premissa menor a que contém o termo menor.

Exemplo: Todas as mulheres são bonitas. Todas as princesas são mulheres. ________________________ Todas as princesas são bonitas.

Termo menor: as princesas.Termo maior: bonitas.Termo médio: mulheres.Premissa menor: todas as princesas são mulheres.Premissa maior: Todas as mulheres são bonitas.

Algumas Regras para a Validade de um Silogismo

1. Todo silogismo deve conter somente três termos;2. O termo médio deve ser universal pelo menos uma vez;3. O termo médio não pode constar na conclusão;4. Nenhum silogismo categórico de forma típica que tenha

duas premissas negativas é valido;5. De duas premissas particulares não poderá haver

conclusão;6. Se há uma premissa particular, a conclusão será

particular;7. Se há uma premissa particular negativa a conclusão será

particular negativa.

Atenção: Para determinar se um argumento é uma falácia ou silogismo, deve-se analisar o resultado, ou argumento final: quando se chega a um argumento falso, tem-se uma falácia; quando se chega a um argumento verdadeiro, tem-se um silogismo.

EXERCÍCIOS

1. Uma escola de arte oferece aulas de canto, dança, teatro, violão e piano. Todos os professores de canto são, também, professores de dança, mas nenhum professor de dança é professor de teatro. Todos os professores de violão são, também, professores de piano e alguns professores de piano são, também, professores de teatro. Sabe-se que nenhum professor de piano é professor de dança, e como as aulas de piano, violão e teatro não têm nenhum professor em comum, então:

a) Nenhum professor de violão é professor de canto. b) Pelo menos um professor de violão é professor de

teatro. c) Pelo menos um professor de canto é professor de

teatro. d) Todos os professores de piano são professores de

canto. e) Todos os professores de piano são professores de

violão.

2. Um rico dono de terras está pensando em distribuir sete lotes de terra (numerados de 1 a 7) entre seus cinco filhos: Pango, Pengo, Pingo, Pongo e Pungo. Todos os sete lotes serão distribuídos, devendo, no entanto, obedecer às seguintes condições:

I - Cada lote será dado a um e somente a um filho.II - Nenhum filho ganhará mais do que três lotes.

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III - Quem ganhar o lote 2 não poderá ganhar nenhum outro lote.

IV - Os lotes 3 e 4 devem ser dados a diferentes filhos.V - Se Pango ganhar o lote 2, então Pengo ganhará o lote 4.VI - Pungo ganhará o lote 6, mas não poderá ganhar o lote 3.

Se Pingo e Pongo não ganharem lote algum, atendidas todas as condições, então necessariamente:

a) Apenas Pango ganhará três lotes.b) Apenas Pengo ganhará três lotes.c) Apenas Pung ganhará três lotes.d) Ambos, Pango e Pengo, ganharão três lotes cada um.e) Ambos, Pango e Pungo, ganharão três lotes cada um.

3. Cinco aldeões foram levados à presença de um velho rei, acusados de haver roubado laranjas do pomar real. Abelim, o primeiro a falar, faltou tão baixo que o rei – que era um pouco surdo – não ouviu o que ele disse. Os outros quatro acusados disseram:

Bebelim: “Cebelim é inocente”.Cebelim: “Debelim é inocente”.Dedelim: “Ebelim é culpado”.Ebelim: “Ebelim é culpado”.O mago Merlim, que vira o roubo das laranjas e ouvira as

declarações dos cinco acusados, disse então ao rei: “Majestade, apenas um dos cinco acusados é culpado e ele disse a verdade; os outros quatro são inocentes e todos os quatro mentiram”. O velho rei, que, embora um pouco surdo, era muito sábio, logo concluiu corretamente que o culpado era:

a) Abelimb) Bebelimc) Cebelimd) Dedelime) Ebelim

4. Numa ilha há apenas dois tipos de pessoas: as que sempre falam a verdade e as que sempre mentem. Um explorador contratou um ilhéu chamado X para servir-lhe de intérprete. Ambos encontram outro ilhéu, chamado Y, e o explorador lhe pergunta se ele fala a verdade. Ele responde na sua língua e o intérprete diz: Ele disse que sim, mas ele pertence ao grupo dos mentirosos. Dessa situação é correto concluir que:

a) Y fala a verdade.b) A resposta de Y foi “não”.c) Ambos falam a verdade.d) Ambos mentem.e) X fala a verdade.

5. Cinco amigas, Ana, Bia, Cati, Dida e Elisa, são tias ou irmãs de Zilda. As tias de Zilda sempre contam a verdade e as irmãs de Zilda sempre mentem. Ana diz que Bia é tia de Zilda. Bia diz que Cati é irmã de Zilda. Cati diz que Dida é irmã de Zilda. Dida diz que Bia e Elisa têm diferentes graus de parentesco com Zilda, isto é: se uma é tia, a outra é irmã. Elisa diz que Ana é tia de Zilda. Assim, o número de irmãs de Zilda nesse conjunto de cinco amigas é dado por:

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

6. Três amigos, Mário, Nilo e Oscar, juntamente com suas esposas, sentaram-se, lado a lado, à beira do caís, para apreciar o pôr-do-sol. Um deles é flamenguista, outro é palmeirense e outro vascaíno. Sabe-se, também, que um é arquiteto, outro é biólogo e outro é cozinheiro. Nenhum deles sentou-se ao lado da esposa, e nenhuma pessoa sentou-se ao lado de outra do mesmo sexo. As esposas chamam-se, não necessariamente nesta ordem, Regina, Sandra e Tânia. O arquiteto sentou-se em um dos dois lugares do meio, ficando mais próximo de Regina do que de Oscar ou do que do flamenguista. O vascaíno está sentado em uma das pontas, e a esposa do cozinheiro está sentada à sua direita. Mário está sentado entre Tânia, que está à sua esquerda, e Sandra. As esposas de Nilo e de Oscar são, respectivamente.

a) Regina e Sandrab) Tânia e Sandrac) Sandra e Tâniad) Regina e Tâniae) Tânia e Regina

7. Quatro amigos, André, Beto, Caio e Denis, obtiveram os quatro primeiros lugares em um concurso de oratória julgado por uma comissão de três juízes. Ao comunicarem a classificação final, cada juiz anunciou duas colocações, sendo uma delas verdadeira e a outra falsa.

Juiz 1: “André foi o primeiro; Beto foi o segundo”.Juiz 2: “André foi o segundo; Denis foi o terceiro”.Juiz 3: “Caio foi o segundo; Denis foi o quarto”.

Sabendo que não houve empates, o primeiro, o segundo, o terceiro e o quarto colocados foram, respectivamente:

a) André, Caio, Beto, Denisb) Beto, André, Dênis, Caioc) André, Caio, Dênis, Betod) Beto, André, Caio, Denise) Caio, Beto, Denis, André

8. Quando uma empresa se fundamenta no respeito pela comunidade, seus projetos sociais conquistam verdadeiro envolvimento, derrubando barreiras de indiferença. Isso significa dizer que a consciência pode vencer a indiferença. Em contrapartida, as empresas que não atentarem para os lucros, dentro de sua visão social, estarão fadadas a perder para seus concorrentes. Qual conclusão está mais bem apoiada pelo enunciado acima?

a) Nenhuma empresa poderá desenvolver qualquer atividade social se não tiver lucro em suas operações.

b) Toda atividade social gera lucro; por isso, as empresas necessitam investir em atividades sociais.

c) Consciência empresarial, no que diz respeito ao aspecto social, pode vitalizar a empresa e incrementar as oportunidades de negócio.

d) Todas as empresas precisam questionar-se sobre a questão social, pois daí pode surgir o “lucro social”, que subsidiará o desenvolvimento da organização.

e) Ocorrendo lucro, possivelmente não haverá perdas para a concorrência, porém, sem consciência social, não há empresa socialmente atuante.

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9. Cerca de 42% dos funcionários das maiores empresas brasileiras conectam-se à internet durante o expediente de trabalho. Os cem principais anunciantes mundiais aumentaram seus orçamentos para propaganda na internet em 30% no último ano. Ainda assim, a internet é um segmento pouco explorado atualmente.

Cada uma das alternativas seguintes pode ser inferida a partir do enunciado acima, exceto:

a) O número de funcionários que usa a internet pode aumentar.

b) A internet tem muito a crescer enquanto meio de divulgação.

c) A internet preocupa os empresários, pois eles não sabem se a conexão de seus funcionários se dá com fins de trabalho.

d) A internet é uma realidade que afeta muitas empresas hoje; ou seja, sua presença é perceptível nas empresas.

e) O aumento no orçamento para propaganda na internet pode ter ocorrido devido ao aumento do número de usuários em grandes empresas.

10. O crime organizado é um aspecto dificultador para os governos no que se refere à questão social. Os recentes conflitos entre a polícia e o crime organizado no Rio de Janeiro denotam a relevância do tema. Contudo, a má distribuição de renda, as desigualdades sociais, a corrupção e o desrespeito ao ser humano, dentre outros aspectos, parecem provocar ou estimular a formação do crime organizado. O que se conclui do enunciado apresentado?

a) Os aspectos econômicos e sociais estão intimamente relacionados com o crime organizado.

b) O crime organizado é resultado das ações políticas.c) O crime organizado deve ser punido com a morte.d) A falta de respeito à vida é que gera o crime organizado.e) A violência gerada dentro de casa leva ao crime

organizado, pois violência gera violência.

11. Em quase todos os países em desenvolvimento, o impulso inicial foi a proteção e o fomento à indústria local, por meio de uma política de substituição de importações. Essa seria uma estratégia natural e lógica, dado que a substituição de importações poderia contar com uma demanda interna conhecida, possibilitaria uma redução da dependência econômica externa e poderia ser facilmente protegida da competição externa por meio de tarifas elevadas, quotas e subsídios de diversos tipos. Qual das alternativas seguintes, se verdadeira, mais enfraqueceria a estratégia descrita acima?

a) A demanda interna pode ter crescimento contínuo.b) Quotas são mais eficientes do que tarifas.c) Subsídios e restrições às importações elevam os preços

domésticos, impondo ônus adicionais aos consumidores.d) Rápido crescimento econômico promove desigualdades

na renda da população.e) Uma política protecionista pode ser benéfica ao

desenvolvimento nacional, mas é encarada com desconfiança por alguns países.

12. Embora os passageiros das poucas empresas aéreas possam ficar mais irritados do que nunca com a má qualidade dos serviços, os seus atos parecem proporcionar pouco incentivo para as empresas aéreas corrigirem os seus defeitos. Ainda assim, os passageiros freqüentemente voltam a viajar pela mesma empresa aérea após experiências desagradáveis. Qual das alternativas

seguintes, se verdadeira, não implica a aparente contradição dos passageiros que se submetem à má qualidade dos serviços?

a) Existem poucas empresas aéreas e, inevitavelmente, os passageiros voltam a viajar com as mesmas empresas.

b) Não há opções de rota em companhias diferentes, assim, não há como utilizar outra empresa.

c) Os consumidores são fiéis às empresas, pois, mesmo com um serviço de baixa qualidade, eles acabam voltando.

d) As diretorias das empresas aéreas não estão cientes dos problemas. Caso estivessem, teriam tomado ações para melhorar a qualidade do serviço prestado.

e) A concorrência atua da mesma forma. Ou seja, independentemente da empresa aérea, o serviço não é de qualidade.

13. Acredita-se hoje que o empreendedor seja o “motor da economia”, um agende de mudanças. Schumpeter (1934) associa o empreendedor ao desenvolvimento econômico, à inovação e ao aproveitamento de oportunidades de negócios. Já para Filion (1991), “um empreendedor é uma pessoa que imagina, desenvolve e realiza visões”. Qual conclusão está mais bem apoiada pelo enunciado acima?

a) O empreendedorismo gera oportunidades e também ameaças.

b) Os riscos são inerentes aos negócios, já que o empreendedor provoca mudanças.

c) A realização de visões está relacionada ao misticismo dos negócios.

d) O empreendedor deve delegar; porém jamais poderá delegar ou estimular a função de empreendedor a seus empregados.

e) Uma visão inovadora e a capacidade de realização são atributos inerentes a quem se propõe a ser um empreendedor.

14. A oferta quantitativa de mão-de-obra e a sua composição qualitativa dependem das seguintes variáveis: tamanho da população, sua composição em termos de sexo e idade, estrutura matrimonial e taxas de participação na força de trabalho de acordo com esses fatores. Cada um dos fatores a seguir, se verdadeiro, pode afetar a oferta de mão-de-obra, exceto:

a) Taxas de nascimento e mortalidade.b) Imigração e emigração.c) Nível educacional da população.d) Número de agências de emprego.e) Condição matrimonial das mulheres.

15. As pessoas devem ser responsabilizadas por seu próprio comportamento. Se, em função dessa responsabilidade, a uma pessoa for atribuída a pena máxima por seu comportamento, então assim seja. Entretanto, ninguém deve ser responsabilizado pelo comportamento sobre o qual não tem controle. Qual conclusão está mais bem apoiada pelo enunciado acima?

a) As pessoas não devem ser responsabilizadas pelo comportamento de outras pessoas.

b) As pessoas têm controle sobre seu próprio comportamento.

c) As pessoas não podem controlar o comportamento de outras pessoas.

d) Comportamento que não pode ser controlado não deve ser punido.

e) As pessoas têm controle sobre o comportamento sujeito à pena máxima.

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16. Considere os seguintes argumentos:I - Se 11 é menor que 6, então 11 não é primo.Mas 11 não é menor que 6; logo, 11 é primo.II - Se Paris está na Suécia, então Londres está na Suécia.Mas Londres está na Inglaterra; portanto, Paris está na Suécia.III - Se 7 é um número primo, então 7 não divide 21.Mas 7 divide 21; logo, 7 não é um número primo.

A validade dos argumentos I, II e III forma, respectivamente, a seguinte sequência:

a) V – V – V b) F – F – V c) V – F – V d) V – V – F e) F – F – F 17. Três amigas, Rita, Marta e Sandra, receberam flores de

seus namorados. Luiz enviou cravos para a mais nova das três. Sandra, que é estudante, recebeu orquídeas. Rita, que não é a mais velha, não recebeu cravos. Então, podemos afirmar que:

a) Luiz pode ser o namorado de Rita.b) Sandra não é a mais velha.c) Rita é a mais nova.d) Marta é a namorada de Luiz.e) Marta pode ser a mais velha.

18. Considere as afirmações:I – Se Patrícia e uma boa amiga, Vitor diz a verdade.II – Se Vitor diz a verdade, Helena não é uma boa amiga.III – Se Helena não é uma boa amiga, Patrícia é uma boa

amiga.A análise do encadeamento lógico dessas três afirmações

permite concluir que:a) São equivalentes a dizer que Patrícia é uma boa amiga.b) Implicam necessariamente que Patrícia é uma boa amiga.c) Implicam necessariamente que Vitor diz a verdade e que

Helena não é uma boa amiga.d) São consistentes entre si, quer Patrícia seja uma boa

amiga, quer Patrícia seja uma boa amiga.e) São inconsistentes entre si.

19. Assinale a alternativa em que se chega a uma conclusão por um processo de dedução lógica a partir de argumentos válidos.

a) Vejo um cisne branco, outro cisne branco, outro cisne branco... então todos os cisnes são brancos.

b) Vi um cisne, então ele é branco.c) Vi dois cisnes brancos, então outros cisnes devem ser

brancos.d) Todos os cisnes são brancos, então este cisne é branco.e) Todos os cisnes são brancos, então este cisne pode ser

branco.

20. Luiz, Mário e Heitor são amigos e dois fatos são conhecidos a respeito deles.

I – ou Luiz ou Mário é o mais velho dos três.II – ou Heitor é o mais velho ou Luiz é o mais jovem.Com isso, podemos concluir que:a) Heitor é o mais velho e Mário é o mais jovem.b) Luiz é o mais velho e Mário é o mais jovem.c) Mário é o mais velho e Heitor o mais jovem.d) Heitor é o mais velho e Luiz o mais jovem.e) Mário é o mais velho e Luiz o mais jovem.

21. Existem muitas razões para as pessoas desejarem começar o próprio negócio. Algumas esperam maior satisfação pessoal com o sucesso do negócio; outras estão interessadas principalmente na perspectiva de retorno financeiro elevado. Desde o final dos anos 1980 e o início dos anos 1990, alterações na legislação sobre impostos e tributos e outras mudanças têm encorajado o aumento do número de investidores e empreendedores dispostos a iniciar novas empresas. Desde 1990, cerca de cinco milhões de novos negócios foram registrados, mas, obviamente, nem todos foram bem-sucedidos.

Qual das alternativas seguintes pode ser mais bem inferida a partir do enunciado acima?

a) O sucesso em iniciar um novo negócio depende de um sólido planejamento financeiro.

b) Incentivos pessoais motivam investidores tanto quanto retorno financeiro.

c) Investidores são motivados por retornos não-financeiros.d) A maior parte dos novos negócios é bem sucedida no

início, mas muitos fracassam depois.e) Incentivos financeiros estão associados com o surgimento

de novos negócios.

22. Ana, Beatriz, Carlos, Deoclides, Ernani, Flávio e Germano fazem parte de uma equipe de vendas. O gerente-geral acredita que, se esses vendedores forem distribuídos em duas diferentes equipes, haverá um aumento substancial nas vendas. Serão então formadas duas equipes: equipe A com 4 vendedores e equipe B com 3 vendedores. Dadas as características dos vendedores, na divisão, deverão ser obedecidas as seguintes restrições:

I – Beatriz e Deoclides devem estar no mesmo grupo.II – Ana não pode estar no mesmo grupo nem com Beatriz,

nem com Carlos. Sabe-se que, na divisão final, Ana e Flávio foram colocados na equipe ª Então, necessariamente, a equipe B tem os seguintes vendedores:

a) Beatriz, Carlos e Germano.b) Carlos, Deoclides e Ernani.c) Carlos, Deoclides e Germano.d) Beatriz, Carlos e Eernani.e) Beatriz, Carlos e Deoclides.

23. Um julgamento envolveu três réus. Cada um dos três acusou um dos outros dois. Apenas um deles é culpado. O primeiro réu foi o único que disse a verdade. Se cada um deles (modificando sua acusação) tivesse acusado alguém diferente, mas não a si mesmo, o segundo réu teria sido o único a dizer a verdade. Com base nos fatos acima, podemos afirmar que:

a) O primeiro réu é inocente e o terceiro réu é culpado.b) O primeiro réu é inocente e o segundo réu é culpado.c) O segundo réu é inocente e o primeiro réu é culpado.d) O terceiro réu é inocente e o primeiro réu é culpado.e) O terceiro réu é inocente e o segundo réu é culpado.

24. Empresas jornalísticas obtêm seus lucros principalmente da renda dos anúncios, e anunciantes potenciais são mais propensos a anunciar em jornais de grande circulação – um grande número de assinantes e outros leitores – do que em outros jornais. Mas a circulação do jornal que é atualmente o mais lucrativo da cidade tem declinado durante os últimos dois anos, enquanto a circulação de um de seus concorrentes tem aumentado. As alternativas seguintes, se verdadeiras, ajudam a explicar a aparente contradição no enunciado acima, exceto:

a) Anunciantes geralmente trocam um jornal de grande circulação por outro somente quando o outro passa a ter uma circulação maior do que o primeiro.

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b) Os preços de anúncios cobrados pelo jornal mais lucrativo da cidade são significativamente maiores do que os preços cobrados por seus concorrentes.

c) O jornal mais lucrativo da cidade recebe de seus anunciantes e também de seus assinantes.

d) A circulação do jornal mais lucrativo da cidade ainda é maior do que a de qualquer um de seus concorrentes.

e) O número de jornais competindo de maneira viável com o jornal mais lucrativo da cidade tem crescido nos últimos dois anos.

RESPOSTAS

(01-A) (02-E) (03-C) (04-E) (05-D) (06-C) (07-C) (08-E) (09-C) (10-A) (11-C) (12-D) (13-E) (14-D) (15-B) (16-B) (17-D) (18-D) (19-D) (20-E) (21-E) (22-E) (23-A) (24-E)

PROBABILIDADE

Probabilidade I

INTRODUÇÃOOs cálculos hebreus sobre a posição dos astros, realizados

Ben Ezra no século XII com a finalidade de fazer previsões astrológicas podem ser considerados como os primeiros passos rumo à teoria das probabilidades.

O Livros dos jogos de azar, de Girolamo Cardano (1501-1576) publicado em torno de 1550 é o primeiro manual organizado que traz algumas noções de probabilidade. Nesse livro, Cardano, que era um jogador, além de matemático, astrólogo e médico desenvolve cálculos de expectativas acerca de jogos dados e também dá conselhos sobre como trapacear no jogo.

No entanto o estudo sistemático das probabilidades, começou realmente em 1654 quando um jogador francês, o Chevalier de Méré escreveu a Blaise Pascal (1623-1662) fa-zendo várias perguntas sobre o jogo de dados ou de azar. Uma das perguntas eram: Dois joga-dores igualmente hábeis querem interromper sua partida. Sabendo-se que o montante das a-postas e situação do jogo (quantas partidas cada um ganhou), como deverá ser repartido o dinheiro?

Pascal extremamente religioso não era jogador escreveu a outro matemático francês Pierre Fermat (1601-1665) sobre as perguntas feitas por Chevalier de Méré. A partir dessa correspondência, Pascal e Fermat aprofundaram estudos conjuntos sobre probabilidade e ape-sar de não terem publicado seus estudos chegaram a definir conceitos como expectativa, chance e média, além de estabelecer técnicas de contagem e estatísticas de incidência de ca-sos num dado fenômeno.

Também no século XVII, mas precisamente em 1657, o holandês Christian Hiygens (1629 – 1695) publicou seu livro O raciocínio nos jogos de dados, onde apresentou importan-tes contribuições ao estudo das probabilidades.

O suíço Jacques Bernouilli (1654 – 1705) na mesma época deu uma grande contribui-ção ao estudos das probabilidades ao propor um teorema onde afirmava que a probabilidade de um evento ocorrer tente a um valor constante quando o número de ensaios desse evento tende ao infinito.

Depois de Bernouilli, Abraham De Moivre (1667 – 1751) publicou o livro A doutrina do azar onde também faz análise dos jogos que contribuíram para o estudo das probabilidades.

Foi em 1812 que Pierre Laplace (1749 – 1827) deu forma a uma estrutura de raciocínio e a um conjunto de definições no seu livro Teoria analítica da probabilidade.

A teoria moderna das probabilidades hoje constitui a base de um dos ramos de maior aplica-ção nas ciências, a Estatística.

1.EXPERIMENTOS ALEATÓRIOSOs experimentos cujos resultados podem ser previsto, isto

é, podem ser determinados antes mesmo de sua realização, são chamados experimentos determinísticos. Por exemplo, é pos-sível prever a temperatura em que a água entrará em ebulição desde que conhecidas as condi-ções em que o experimento se realiza.

Alguns experimentos, contudo, não são assim previsíveis. Por mais que sejam manti-das as mesmas condições, não podemos prever qual será o resultado ao lançarmos uma moe-da. Esses são chamados experimentos aleatórios (em latim alea = sorte).

Experimentos aleatórios são aqueles, que repetidos em condições idênticas, não produ-zem sem o mesmo resultado.

A teoria das probabilidades estuda a forma de estabelecermos as possibilidades de ocorrência num experimento aleatório.

2.ESPAÇO AMOSTRAL E EVENTOVamos estudar experimentos aleatórios com resultados

equiprováveis (mesma chance de o-corrência) e em número determinado, isto é, finito. Desta forma definimos:

Espaço amostral: é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Indicaremos o espaço amostral por U.

Evento: é qualquer subconjunto do espaço amostral.

ExemploLançaremos três moedas e observamos as faces que ficaram

voltadas para cima.

Representar:a) O espaço amostral do experimento;b) O evento A: chances de sair faces iguais;c) O evento B: sair exatamente uma face “cara”;d) O evento C: chances de sair, pelo menos, uma face

“cara”.

Resoluçãoa) U = {(Ca, Ca, Ca), (Ca, Ca, Co), (Ca, Co, Ca), (Ca, Co,

Co), (Co, Ca, Ca), (Co, Ca, Co), (Co, Co, Ca), (Co, Co, Co)}

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b) A = {(Ca, Ca, Ca), (Co, Co, Co)}c) B = {(Ca, Co, Co), (Co, Ca, Co), (Co, Co, Ca)}d) C = {(Ca, Ca, Ca), (Ca, Ca, Co), (Ca, Co, Ca), (Co, Ca,

Ca), (Ca, Co, Co), (Co, Ca, Co), (Co, Co, Ca)}

ObservaçãoOs números de elementos do espaço amostral e dos eventos

de um experimento aleató-rio são calculados com a análise combinatória.

3. TIPOS DE EVENTOSConsideremos o experimento aleatório: lançamento de um

dado comum e observação do nú-mero representado na face voltada para cima.

O espaço amostral será:U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}Analisemos os diversos tipos de eventos que podemos

definir neste experimento.

A. Evento ElementarQualquer subconjunto unitário de U.ExemploOcorrência de um número múltiplo de 5.A = {5}

B. Evento CertoÉ o próprio espaço amostral U.ExemploOcorrência de um divisor de 60.B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

C. Evento ImpossívelÉ o conjunto vazio (Ø).ExemploOcorrência de múltiplo de 8.C = { } = Ø

D. Evento UniãoÉ a reunião de dois eventos.ExemploEvento A: ocorrência de um número primoA = {2, 3, 5}Evento B: ocorrência de um número ímparB = {1, 3, 5}Evento A È B: ocorrência de um número primo ou ímparA È B = {1, 2, 3, 5}

E. Evento IntersecçãoÉ a intersecção de dois eventos.ExemploEvento A: ocorrência de um número primoA = {2, 3, 5}Evento B: ocorrência de um número ímparB = {1, 3, 5}

Evento A Ç B: ocorrência de um número primo ou ímparA Ç B = {3, 5}

F. Evento Mutuamente ExclusivosDois eventos E1 e E2 de um espaço amostral U são

chamados mutuamente exclusivos quando E1 Ç E2 = ØExemploEvento A: ocorrência de um número parA = {2, 4, 6}Evento B: ocorrência de um número ímparB = {1, 3, 5}A e B são eventos mutuamente exclusivos, pois AÇB = Ø

G. Evento ComplementarÉ o evento Ē = U – E.ExemploEvento A: ocorrência de um número primoA = {2, 3, 5}Evento Ā: ocorrência de um numero não primoĀ = U – A = {1, 4,6}ObservaçãoNo caso do exemplo, podemos dizer que o evento Ā é a

não-ocorrência de um número pri-mo.

4. PROBABILIDADE ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE TEÓRICA

Imaginamos a seguinte situação: em uma turma do segundo colegial,existem 25 garotas e 10 garotos e um brinde foi sorteado para um dos membros da turma. Temos que adivinhar o sexo do contemplado.

Intuitivamente, “sabemos” que é “mais fácil” ter sido sorteada uma garota que um garoto, no entanto não podemos afirmar com certeza o sexo do contemplado. A “chance” de uma garota ter sido sorteada pode ser traduzida por um numero que chamamos probabilidade.

Uma observação que pode ser feita é que a teoria das probabilidades é uma maneira matemá-tica de lidar com a incerteza.

O cálculo da probabilidade de um evento acontecer, muitas vezes, é feito experimentalmente, e essa probabilidade é chamada de experimental ou estatística.

ExemploA probabilidade de uma pessoa morrer aos 25 anos é obtida

através do levantamento e do tratamento adequado de um grande número de casos.

No entanto, para calcularmos a probabilidade de ao jogarmos dois dados obtermos, nas faces voltadas para cima, dois números iguais, não precisamos realizar o experimento, ela pode ser conseguida a partir de uma analise teórica do espaço amostral e do evento, e neste caso cha-mamos de probabilidade teórica.

No 2º grau, não desenvolvemos estudos da probabilidade estatística, que será estudada na maioria dos cursos de 3º grau.

62



5. PROBABILIDADE TEÓRICA DE UM EVENTO Se num fenômeno aleatório, o número de elementos do

espaço amostral é n(U) e o número de elementos do evento A é n(A), então a probabilidade de ocorrer o evento A é o número P(A) tal que:

P(A)=n(A)n(U)

Uma outra forma de definir a probabilidade de ocorrer o evento A é:

P(A)= Número de casos favoráveis a ANúmero de casos possíveis

Exemplos1 – Retirando-se uma carta de um baralho normal de 52

cartas, qual é a probabilidade de que a carta retirada seja um rei?

Resolução

P(E)= Número de casos favoráveisNúmero de casos possíveis

P(E)= 552

=

113

2 – Em um lançamento de dois dados, um preto e outro branco, qual é a probabilidade de que os dois números obtidos sejam iguais?

ResoluçãoU = {(1,1), (1,2), (1,3), ..., (6,4), (6,5), (6,6)}n(U) = 6 . 6 = 36

U = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}n(E) = 6

Assim, P(E)=n(E)n(U)

=

636

=

16

3 – Dentre as seis permutações dos números 1, 2, e 3, uma é escolhida ao acaso. Considerando o número de três algarismos assim escolhido, determine a probabilidade de ele:

a) Ser par;

b) Ser múltiplo de três;c) Ser múltiplo de cinco.ResoluçãoO espaço amostral é:U = {123, 132, 213, 231, 312, 321}

a) Evento A: ocorrer número par.A = {132, 312}

P(A)=n(A)n(U)

=

26

=

136

b) Evento B: ocorrer número múltiplo de três.B = {123, 132, 213, 231, 312, 321}

P(E)=n(B)n(U)

=

66

= 1

(evento certo)

c) Evento C: ocorrer número múltiplo de cinco.C = { }P(C)=n(C)

n(U) =

06

= 0 (evento impossível)

ObservaçãoAtravés da teoria determinamos que, em um lançamento

de um dado “não viciado”, a proba-bilidade de que se obtenha o número 3 é 1/6, isto não significa que, sempre que forem feitos seis lançamentos de um dado, certamente ocorrerá em um deles, e apenas um, resultado 2. Na prática, o que se verifica é que, considerado um grande número de lançamentos, a razão entre o número de vezes que ocorre o resultado 2 e o número de lançamentos efetuados se aproxima de 1/6.

6.PROPRIEDADES DAS PROBABILIDADES

P1) A probabilidade do evento impossível é 0. (P(Ø)= 0)

P(Ø)=n(Ø)n(U)

=

0n(U)

= 0

P2) A probabilidade do evento certo é 1. (P(UØ)=1)

P(U)=n(U)n(U)

= 1

P3) Sendo A um evento de um espaço amostral U, a probabilidade de A é um número racional entre 0 e 1, inclusive. (0≤ P(A) ≤ 1).

0≤ n(A) 0≤ n(U)

0n(U)

≤

n(A)n(U)

≤ n(U)n(U)

Como P(A)=n(A)n(U)

temos:

0 ≤ P(A) ≤ 1

63



P4) Sendo A um evento e Ā seu complementar, então P(A) + P(Ā) = 1.

A Ā

U

n(U) = n(A) + n(Ā)

n(U)n(U)

= n(A)n(U)

+ n(Ā)n(U)

Assim, P(A) + P(Ā) = 1

ObservaçãoÉ comum expressarmos a probabilidade de um evento na

forma de porcentagem. Assim, se P(A) = 0,82, por exemplo, podemos dizer que P(A) = 82%.

Exemplo1º) Os 900 números de três algarismos estão colocados em

900 envelopes iguais. Um dos en-velopes é sorteado. Qual a probabilidade de ele conter um número que tenha, pelo menos, dois algarismos iguais?

ResoluçãoSendo A o evento: ocorrer um número com pelo menos dois

algarismos iguais. É mais fácil calcular P(Ā), a probabilidade do evento complementar de A. Assim,

A Ā

U

Números compelo menos doisalgarismos repetidos

Números comalgarismos distintos

7.PROPRIEDADE DO EVENTO UNIÃODados dois eventos A e B de um espaço amostral U,

dizemos que ocorrer o evento A È (e-vento união) é ocorrer pelo menos um dos eventos A ou B.

n(AÈB) = n(A) + n(B) – n(AÈB)

Assim:n(AÈB)

n(U) =

n(A)n(U)

+ n(U)n(U)

- n(AÇB)n(U)

Ou seja:P (AÈB) = P(A) + P(B) – P (AÇB)

Podemos enunciar essa conclusão assim:

A probabilidade de ocorrer o evento A ou o evento B é dada pela soma da probabilidade de ocorrer A com a probabilidade de ocorrer B, menos a probabilidade de ocorrer os dois eventos (A e B).

Caso particular: se os eventos A e B são mutuamente exclusivos, isto é, A Ç B = Ø, P(AÈB) = 0 a formula acima se reduz a:

P(AÈB) = PA + PB

ExemploDe um baralho comum de 52 cartas, uma carta é retirada

aleatoriamente. Qual a probabilidade de sair um valete ou uma carta de paus.

ResoluçãoSendo:

Evento A: “a carta e um valete”

P(A)= 452

Evento B: “a carta de paus”

P(A)= 1352

Evento A Ç B: “a carta é um valete de paus”

P(AÇB)= 152

64



Evento A È B: “a carta é um valete ou é de paus”P(AÈB) = P(A) +P(B) – P(AÇB)

P(AÈB)= 452

+ 1352

- 152

= 1652

= 413

8.PROBABILIDADES NUM ESPAÇO AMOSTRAL NÃO EQUIPROVÁVEL

No espaço amostral equiprovável todos os resultados possíveis têm a mesma chance de ocor-rência e por isso que nos problemas com dados e moedas estudados anteriormente sempre tomamos o cuidado de especificar que os dados e moedas eram “honestos” ou “não viciados”.

Como estudar as probabilidades com dados ou moedas “viciados”?

A fórmula que usamos até agora ...

P(E)=Número de casos favoráveis a E

Número de casos possíveis

... não é válida, pois não importa apenas a quantidade de resultados favoráveis já que esses resul-tados não têm necessariamente a mesma “chance” de ocorrência.

Consideramos um experimento, com espaço amostral U = {a1 , a2 ..., a n}. Chamando de p(a1), p(a2), ..., p(an) as probabilidades de ocorrência dos resultados a1, a2, ..., an, respectivamente temos que:

1º) p(a1) + p(a2) +...+ p (an) =1 2º) 0 ≤ p(a1) ≤ 1, para i = 1, 2, ..., n

Desta forma para calcularmos a probabilidade do evento A = {a1, a2, ...,am}(m≤n), fazemos:

P(A) = p(a1) + p(a2) +...+ p(am)

Exemplo Consideramos um experimento com espaço amostral U =

{a, b, c} sendo p(a), p(b), p(c) as possibilidades dos resultados a, b e c de modo que

p(a)= 13 e

p(b)= 12 calcule:

a) p(c) b) a probabilidade do evento A ={a,c}

Resoluçãoa) p(a) + p(b) + p(c) = 1

13

+ 12

+ p(c) = 1

p(c) = 1 - 13

- 12

= 6 - 2 - 3

= 16

b)P(A) = p(a) + p(c)

P(A) = 13

- 16

= 2 - 16

= 36

Assim, P(A) = 12

Probabilidade II

1.PROBABILIDADE CONDICIONALConsideremos num experimento aleatório de espaço

amostral U os eventos A e B, com A Ç B ≠ Ø, conforme o diagrama abaixo:

Na medida em que conhecemos a informação de que ocorreu o evento B, este passa a ser o espaço amostral do experimento, pois todos os resultados agora possíveis pertencem a A. assim, a probabilidade de ocorrer o evento A, dado que o evento B já ocorreu, será:

P(A/B) = n(AÇB)

n(B)

ExemploNuma turma de 50 alunos do colégio, 15 são homens e 35

são mulheres.Sabe-se que 10 homens e 15 mulheres foram aprovados

num exame de seleção. Uma pessoa é sorteada ao acaso.Qual a probabilidade de:a) Ela ser do sexo feminino se foi aprovada no exame?b) Ela ter sido aprovada no exame se é do sexo masculino?

ResoluçãoO quando abaixo resume os dados do problema:

Foi Aprovado

Não foi Aprovado

Total

Homem 10 5 15Mulher 15 20 35Total 25 25 50

65



a) Sendo:Evento A: “a pessoa sorteada foi aprovada”.Evento B: “a pessoa sorteada é mulher”.

P(B/A) = n(AÇB)

n(A) =

1525

=

35

b) Sendo:Evento A: “a pessoa sorteada foi aprovada”.Evento B: “a pessoa sorteada é homem”.

P(A/C) = n(AÇC)

n(C) =

1015

=

23

2.PROBABILIDADE DO EVENTO INTERSECÇÃODados dois eventos A e B de um espaço amostral U,

dizemos que ocorrer o evento A Ç B (evento intersecção) é ocorrer simultaneamente os eventos A e B.

Para calcular a probabilidade de ocorrer AÇB, vamos utilizar a fórmula da probabilidade condicional.

P(A/B) = n(AÇB)

n(B), dividido por n(U), temos:

P(A/B) =

n(AÇB)n(A) P(AÇB)

P(B)n(B)n(U)

=

Assim: P(AÇB) = P (B) . P (A/B) (I)

Podemos também usar a fórmula de P(B/A), assim:

P(B/A) =

n(AÇB)n(U)n(AÇB)

n(A)P(AÇB)

P(A)n(A)n(U)

= =

Então: P(AÇB) = P(A) . P(B/A) (II)

A partir das fórmulas (I) e (II), citadas anteriormente, concluímos:

Dados dois eventos A e B de um espaço amostral U, a probabilidade de eles ocorrerem simul-taneamente é dada pelo produto da probabilidade de um deles pela probabilidade do outro, dado que ocorreu o primeiro.

ExemploConsideremos uma urna contendo 5 bolas numeradas de

1 a 5. qual a probabilidade de reti-rarmos a bola 1 e, sem sua reposição, a bola 2?

ResoluçãoA probabilidade de sair a bola 1 na primeira retirada é P

(A) = 1/5

Restando 4 bolas na urna, a probabilidade de ocorrer a bola na segunda, tendo ocorrido a bola 1 na primeira é: P (A/B) = ¼

Como devem ocorrer os dois eventos, temos:P(AÇB) = P(A) . P(B/A) = 1

5 . 1

4 = 1

20

3.EVENTOS INDEPENDENTESDados dois eventos A e B de um espaço amostral U,

dizemos que eles são independentes se a ocorrência de um deles não modificar a probabilidade de ocorrência do outro.

A e B independentes↔P(B/A)=P(B) e P(A/B)=PA

Quando A e B são eventos independentes.

P(AÇB) = P(A) . P(B)

Então se P (AÇB) ≠ P(A) . P(B), dizemos que os eventos são dependentes.

Exemplos de Eventos Independentes1º) No lançamento simultâneo de dois dados, o resultado

de um deles não influi no resultado do outro.2º) No lançamento sucessivo de dois dados, o resultado de

um deles não influi no resultado do outro.3º) Na extração de duas cartas de um baralho se antes

de extrair a segunda carta for feita a reposição da primeira, o resultado da primeira não influi no resultado da segunda.

Exemplo de Eventos DependentesNa extração de duas cartas de um baralho se antes de

extrair a segunda carta não for feita a reposição da segunda, o resultado da primeira influencia o resultado da segundo, pois o espaço amostral passa a ter 51 elementos.

ExemploSejam A e B dois eventos independentes tais que:P(A) = 1

4 e P(AÈB) = 1

3Calcule P(B).

ResoluçãoP(AÈB) = P(A) + P(B) – P(AÇB)

Como A e B são independentesP(AÇB)= P(A) . P(B)

\ P(AÈB) = P(A) + P(B) - P(A) . P(B)

ou seja:

13

= 14

+P (B) -

14

P(B)

4 = 3 + 12 P (B) – 3 P (B)9 P (B) = 1 → P (B) =

19

66



GEOMETRIA E MEDIDAS: GEOMETRIA PLANA: FIGURAS GEOMÉTRICAS, CONGRUÊNCIA, SEMELHANÇA,

PERÍMETRO E ÁREA.

A Geometria é a parte da matemática que estuda as figuras e suas propriedades. A geometria estuda figuras abstratas, de uma perfeição não existente na realidade. Apesar disso, podemos ter uma boa idéia das figuras geométricas, observando objetos reais, como o aro da cesta de basquete que sugere uma circunferência, as portas e janelas que sugerem retângulos e o dado que sugere um cubo.

As Figuras BásicasAproveitaremos o cubo, figura bastante conhecida de

todos, para mencionar três figuras básicas da geometria: o ponto, a reta e o plano.

No cubo seguinte, três faces são visíveis, e três não. As três faces visíveis têm em comum apenas o ponto A.

Os matemáticos consideram que os pontos são tão pequenos que não chegam a ter tamanho algum. Para representar um ponto fazemos uma marca bem pequena no papel e para nomeá-lo usamos uma letra maiúscula: A, B, C, etc.

Considere agora a face superior do cubo e a face que vemos à direita. Estas faces têm em comum o segmento de reta AB, com extremidades nos pontos A e B.

O segmento AB (“tem começo e fim”)

Nas próximas figuras, indicamos a semi-reta AB, de origem A, e a semi-reta BA, de origem B.

A semi-reta AB A semi-reta BA

(sua origem é A e “ela não tem fim”) (sua origem é B e “ela não tem fim”)

A seguir, indicamos a reta AB.

A reta AB (“não tem começo nem fim”)

Os matemáticos consideram que as retas não têm largura. Para nomeá-las, além de notações como AB, é muito comum o uso de letras minúsculas: r, s, t, etc.

Prolongando indefinidamente uma face de um cubo em todas as direções, como indica a próxima figura, temos um plano.

O plano α

Os planos não têm espessura. Para nomeá-los, usamos letras gregas, principalmente as três primeiras α (alfa), β (beta) e γ (gama).

PerímetroEntendendo o que é perímetro.Imagine uma sala de aula de 5m de largura por 8m de

comprimento.Quantos metros lineares serão necessários para colocar

rodapé nesta sala, sabendo que a porta mede 1m de largura e que nela não se coloca rodapé?

A conta que faríamos seria somar todos os lados da sala, menos 1m da largura da porta, ou seja:

P = (5 + 5 + 8 + 8) – 1P = 26 – 1P = 25

Colocaríamos 25m de rodapé.

67



A soma de todos os lados da planta baixa se chama Perímetro.

Portanto, Perímetro é a soma dos lados de uma figura plana.

Área Área é a medida de uma superfície. A área do campo de futebol é a medida de sua superfície

(gramado). Se pegarmos outro campo de futebol e colocarmos em uma

malha quadriculada, a sua área será equivalente à quantidade de quadradinho. Se cada quadrado for uma unidade de área:

Veremos que a área do campo de futebol é 70 unidades de área.

A unidade de medida da área é: m2 (metros quadrados), cm2 (centímetros quadrados), e outros.

Se tivermos uma figura do tipo:

Sua área será um valor aproximado. Cada é uma unidade, então a área aproximada dessa figura será de 4 unidades.

No estudo da matemática calculamos áreas de figuras planas e para cada figura há uma fórmula pra calcular a sua área.

Área do Retângulo Existe dois tipos de retângulos: com lados todos iguais

(quadrado) e com os lados diferentes.

No cálculo de qualquer retângulo podemos seguir o raciocínio abaixo:

Pegamos um retângulo e colocamos em uma malha quadriculada onde cada quadrado tem dimensões de 1 cm. Se contarmos, veremos que há 24 quadrados de 1 cm de dimensões no retângulo. Como sabemos que a área é a medida da superfície de uma figuras podemos dizer que 24 quadrados de 1 cm de dimensões é a área do retângulo.

O retângulo acima tem as mesmas dimensões que o outro, só que representado de forma diferente. O cálculo da área do retângulo pode ficar também da seguinte forma:

A = 6 . 4 A = 24 cm2

Podemos concluir que a área de qualquer retângulo é:

A = b . h

Quadrado É um tipo de retângulo específico, pois tem todos os lados

iguais. Sua área também é calculada com o produto da base pela altura. Mas podemos resumir essa fórmula:

Como todos os lados são iguais, podemos dizer que base é igual a e a altura igual a , então, substituindo na fórmula A = b . h, temos:

A = .

Área do Trapézio A área do trapézio está relacionada com a área do triângulo

que é calculada utilizando a seguinte fórmula: A = b . h (b = base e h = altura). 2

Observe o desenho de um trapézio e os seus elementos mais importantes (elementos utilizados no cálculo da sua área):

Um trapézio é formado por uma base maior (B), por uma base menor (b) e por uma altura (h).

68



Para fazermos o cálculo da área do trapézio é preciso dividi-lo em dois triângulos, veja como: Primeiro: completamos as alturas no trapézio:

Segundo: o dividimos em dois triângulos:

A área desse trapézio pode ser calculada somando as áreas dos dois triângulos (∆CFD e ∆CEF).

Antes de fazer o cálculo da área de cada triângulo separadamente observamos que eles possuem bases diferentes e alturas iguais.

Cálculo da área do ∆CEF: A∆1 = B . h 2 Cálculo da área do ∆CFD: A∆2 = b . h 2 Somando as duas áreas encontradas,teremos o cálculo da

área de um trapézio qualquer: AT = A∆1 + A∆2 AT = B . h + b . h 2 2 AT = B . h + b . h → colocar a altura (h) em evidência, pois é

2 um termo comum aos dois fatores.

AT = h (B + b) 2 Portanto, no cálculo da área de um trapézio qualquer

utilizamos a seguinte fórmula: A = h (B + b) 2 h = altura B = base maior do trapézio b = base menor do trapézio

Área do TriânguloObserve o retângulo abaixo, ele está dividido ao meio pela

diagonal:

A área do retângulo é A = b. h, a medida da área de cada metade será a área do retângulo dividida por dois. Cada parte dividida do retângulo é um triângulo, assim podemos concluir que a área do triangulo será:

A = b . h 2

Mas como veremos a altura no triângulo? A altura deve ser sempre perpendicular à base do triângulo.

No triângulo retângulo é fácil ver a altura, pois é o próprio lado do triângulo, e forma com a base um ângulo de 90° (ângulo reto).

Quando a altura não coincide com o lado do triângulo, devemos traçar uma reta perpendicular à base (formando um ângulo de 90º com a base) que será a altura do triângulo.

Observe o exemplo: Observe o triângulo eqüilátero (todos os lados iguais).

Calcule a sua área.

Como o valor da altura não está indicado, devemos calcular o seu valor, para isso utilizaremos o teorema de Pitágoras no triângulo:

42 = h2 + 22 16 = h2 + 4 16 – 4 = h2 12 = h2 h = √12 h = 2√3 cm

Com o valor da altura, basta substituir na fórmula A = h (B + b) o valor da base e da altura.

2

69



A = 4 . 2√3 2 A = 2 . 2√3 A = 4 √3 cm2

GEOMETRIA ESPACIAL: PARALELISMO, PERPENDICULARISMO ENTRE RETAS

E PLANOS, ÁREAS E VOLUMES DOS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS: PRISMA,

PIRÂMIDE, CILINDRO, CONE E ESFERA. GEOMETRIA ANALÍTICA NO PLANO:

RETAS, CIRCUNFERÊNCIA E DISTÂNCIAS

A definição dos entes primitivos ponto, reta e plano é quase impossível, o que sabe-se muito bem e aqui será o mais importante é sua representação geométrica e espacial.

Representação, (notação)Representação, (notação)→ Pontos serão representados por letras latinas maiúsculas;

ex: A, B, C,…→ Retas serão representados por letras latinas minúsculas;

ex: a, b, c,…→ Planos serão representados por letras gregas minúsculas;

ex: β,∞,α,...Representação gráfica

Postulados primitivos da geometria, qualquer postulado ou

axioma é aceito sem que seja necessária a prova, contanto que não exista a contraprova.

1º Numa reta bem como fora dela há infinitos pontos distintos.

2º Dois pontos determinam uma única reta (uma e somente uma reta).

3º Pontos colineares pertencem à mesma reta.

4º Três pontos determinam um único plano.

5º Se uma reta contém dois pontos de um plano, esta reta está contida neste plano.

6º Duas retas são concorrentes se tiverem apenas um ponto em comum.

Observe que . Sendo que H está contido na reta r e na reta s.

Um plano é um subconjunto do espaço R3 de tal modo que quaisquer dois pontos desse conjunto pode ser ligado por um segmento de reta inteiramente contido no conjunto.

Um plano no espaço R3 pode ser determinado por qualquer uma das situações:

• Três pontos não colineares (não pertencentes à mesma reta);

• Um ponto e uma reta que não contem o ponto; • Um ponto e um segmento de reta que não contem o

ponto; • Duas retas paralelas que não se sobrepõe; • Dois segmentos de reta paralelos que não se sobrepõe; • Duas retas concorrentes; • Dois segmentos de reta concorrentes.

Duas retas (segmentos de reta) no espaço R3 podem ser: paralelas, concorrentes ou reversas.

Duas retas são ditas reversas quando uma não tem interseção com a outra e elas não são paralelas. Pode-se pensar de uma rera r desenhada no chão de uma casa e uma reta s desenhada no teto dessa mesma casa.

Uma reta é perpendicular a um plano no espaço R3, se ela intersecta o plano em um ponto P e todo segmento de reta contido no plano que tem P como uma de suas extremidades é perpendicular à reta.

70



Uma reta r é paralela a um plano no espaço R3, se existe uma reta s inteiramente contida no plano que é paralela à reta dada.

Seja P um ponto localizado fora de um plano. A distância do ponto ao plano é a medida do segmento de reta perpendicular ao plano em que uma extremidade é o ponto P e a outra extremidade é o ponto que é a interseção entre o plano e o segmento. Se o ponto P estiver no plano, a distância é nula.

Planos concorrentes no espaço R3 são planos cuja interseção é uma reta. Planos paralelos no espaço R3 são planos que não tem interseção.

Quando dois planos são concorrentes, dizemos que tais planos formam um diedro e o ângulo formado entre estes dois planos é denominado ângulo diedral. Para obter este ângulo diedral, basta tomar o ângulo formado por quaisquer duas retas perpendiculares aos planos concorrentes.

Planos normais são aqueles cujo ângulo diedral é um ângulo reto (90 graus).

Razão entre Segmentos de RetaSegmento de reta é o conjunto de todos os pontos de uma

reta que estão limitados por dois pontos que são as extremidades do segmento, sendo um deles o ponto inicial e o outro o ponto final. Denotamos um segmento por duas letras como por exemplo, AB, sendo A o início e B o final do segmento.

Exemplo: AB é um segmento de reta que denotamos por AB.

A _____________ B

Não é possível dividir um segmento de reta por outro, mas é possível realizar a divisão entre as medidas dos dois segmentos.

Consideremos os segmentos AB e CD, indicados:

A ________ B m(AB) =2cmC ______________ D m(CD)=5 cm

A razão entre os segmentos AB e CD, denotado aqui por, AB/CD, é definida como a razão entre as medidas desse segmentos , isto é: AB/CD=2/5

Segmentos ProporcionaisProporção é a igualdade entre duas razões equivalentes. De

forma semelhante aos que já estudamos com números racionais, é possível eatabelecer a proporcionalidade entre segmentos de reta, através das medidas desse segmentos.

Vamos considerar primeiramente um caso particular com quatro segmentos de reta:

m(AB) =2cm A______B P__________Q m(PQ) =4cmm(CD) =3cm C__________D R___________________S m(RS) =6cm

A razão entre os segmentos AB e CD e a razão entre os segmentos PQ e RS, são dadas por frações equivalentes, isto é: AB/CD = 2/3; PQ/RS = 4/6 e como 2/3 = 4/6, segue a existência de uma proporção entre esses quatro segmentos de reta. Isto nos conduz à definição de segmentos proporcionais.

Diremos que quatro segmentos de reta, AB, BC, CD e DE, nesta ordem, são proporcionais se: AB/BC = CD/DE

Os segmentos AB e DE são os segmentos extremos e os segmentos BC e CD são os segmentos meios.

A proporcionalidade acima é garantida pelo fato que existe uma proporção entre os números reais que representam as medidas dos segmentos:

m(AB)

m(BC)=

m(CD)

m(DE)

Propriedade Fundamental das proporções: Numa proporção de segmentos, o produto das medidas dos segmentos meios é igual ao produto das medidas dos segmentos extremos. m(AB) · m(DE) = m(BC) · m(CD)

Feixe de Retas ParalelasUm conjunto de três ou mais retas paralelas num plano é

chamado feixe de retas paralelas. A reta que intercepta as retas do feixe é chamada de reta transversal. As retas A, B, C e D que aparecem no desenho anexado, formam um feixe de retas paralelas enquanto que as retas S e T são retas transversais.

Teorema de Tales: Um feixe de retas paralelas determina sobre duas transversais quaisquer, segmentos proporcionais. A figura ao lado representa uma situação onde aparece um feixe de três retas paralelas cortado por duas retas transversais.

Identificamos na sequência algumas proporções:AB/BC = DE/EFBC/AB = EF/DEAB/DE = BC/EFDE/AB = EF/BC

71



Exemplo: Consideremos a figura ao lado com um feixe de retas paralelas, sendo as medidas dos segmentos indicadas em centímetros.

Assim:BC/AB = EF/DEAB/DE = BC/EFDE/AB = EF/BC

Observamos que uma proporção pode ser formulada de várias maneiras. Se um dos segmentos do feixe de paralelas for desconhecido, a sua dimensão pode ser determinada com o uso de razões proporcionais.

EXERCÍCIO

1- Três terrenos têm frente para a rua “A” e para a rua “B”, como na figura. As divisas laterais são perpendiculares à rua “A”. Qual a medida de frente para a rua “B” de cada lote, sabendo que a frente total para essa rua é 180 m?

Resposta: 80 m, 60 m, 40 m

VOLUMES DE SÓLIDOS GEOMÉTRICOSPara explicar o cálculo do volume de figuras geométricas,

podemos pedir que visualizem a seguinte figura:

a) A figura representa a planificação de um prisma reto;b) O volume de um prisma reto é igual ao produto da área

da base pela altura do sólido, isto é

c) O cubo e o paralelepípedo retângulo são prismas;d) O volume do cilindro também se pode calcular da

mesma forma que o volume de um prisma reto.O formulário seguinte, das figuras geométricas são para

calcular da mesma forma que as acima apresentadas:

Figuras Geométricas:

EXERCÍCIOS

1- Quantos cm3 contém um litro (l)? 2- Quantos cm3 contém um mililitro (ml)? 3- Quantos litros contém um m3? 4- Uma caixa de água mede 50 cm x 50 cm de lados e tem

50 cm de altura.Qual o seu volume? Quantas garrafas de guaraná, de 333 ml cada uma podem

ser cheias com a água desta caixa? 5- Uma piscina tem 50 m de comprimento, 25 m de largura,

2 m de profundidade. Qual a área de sua superfície? Qual o volume de água que ela contém, quanto totalmente

cheia? Quantas mamadeiras, de 250 ml, você poderia encher com

toda a água desta piscina? 6- Quantos metros quadrados contém um quilômetro

quadrado? 7- Quantos metros quadrados contém uma quadra de

esportes com 100 m de lado?

72



8- Um terreno mede 10 m de frente por 30 m de fundo. Qual sua área?

9- Um alqueire paulista são 24.200 m2. Uma chácara retangular tem um alqueire e mede 100 m de frente. Quanto ela mede de fundo?

10- Quantos litros de água cabem em um tanque cúbico de 2 m de lado?

RESPOSTAS

01 02 03 04 05

1000 cm31 mm 1000

litros

O volume é de 125.000 cm3 e é possível encher 375 garrafas de 333 ml

A área é de 1250 m2. O volume é de 2500 m3. Podem ser cheias 10

milhões de mamadeiras.

06 07 08 09 10

1.000.000 m2 10.000 m2 300 m2 242 metros

8 m3 = 8.000 dm3

= 8.000 litros

TRIGONOMETRIA: RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS, FUNÇÕES,

FÓRMULAS DE TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS, EQUAÇÕES E

TRIÂNGULOS

Definiremos algumas relações e números obtidos a partir dos lados de triângulos retângulos. Antes, porém, precisamos rever algumas de suas propriedades.

A fig. 1 apresenta um triângulo onde um de seus ângulos internos é reto (de medida 90º ou

2π rad), o que nos permite

classificá-lo como um triângulo retângulo.

Lembremo-nos de que, qualquer que seja o triângulo, a soma dos seus três ângulos internos vale 180º. Logo, a respeito do triângulo ABC apresentado, dizemos que:

000 9018090 =+⇒=++ babaCom isso, podemos concluir:1) que os ângulos α e β são complementares, isto é, são

ângulos cujas medidas somam 90º;2) uma vez que são complementares, ambos terão

medida inferior a 90ºPortanto, dizemos que todo triângulo retângulo tem um

ângulo interno reto e dois agudos, complementares entre si.

De acordo com a figura, reconhecemos nos lados b e c os catetos do triângulo retângulo e em a sua hipotenusa.

Lembremo-nos de que a hipotenusa será sempre o lado oposto ao ângulo reto em, ainda, o lado maior do triângulo. Podemos relacioná-los através do Teorema de Pitágoras, o qual enuncia que o quadrado sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma dos quadrados sobre os catetos (sic) ou, em linguajar moderno, “a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa de um triângulo retângulo”.

Aplicado ao nosso triângulo, e escrito em linguagem matemática, o teorema seria expresso como segue:

a2=b2+c2

1 – Seno, Co-seno e Tangente de um Ângulo AgudoA fig. 2 ilustra um triângulo retângulo conhecido como

triângulo pitagórico, classificação devida ao fato de que, segundo a tradição grega, através dele Pitágoras enunciou seu Teorema.

De fato, as medidas de seus lados (3,4 e 5 unidades de comprimento) satisfazem a sentença 52=32+42.

Apesar de nos apoiarmos particularmente no triângulo pitagórico, as relações que iremos definir são válidas para todo e qualquer triângulo retângulo. Apenas queremos, dessa forma, obter alguns resultados que serão comparados adiante.

Definimos seno, co-seno e tangente de um ângulo agudo de um triângulo retângulo pelas relações apresentadas no quadro a seguir:

Seno do ângulo = hipotenusa

ânguloaoopostocateto

Co-seno do ângulo = hipotenusa

ânguloaoadjacentecateto

Tangente do ângulo = ânguloaoadjacentecatetoânguloaoopostocateto

A partir dessas definições, o cálculo de seno, co-seno e tangente do ângulo α, por exemplo, nos fornecerão os seguintes valores:

sen α = 53

= 0,6

cos α = 54 = 0,8

tg α = 43 = 0,75

Ao que acabamos de ver, aliemos um conhecimento adquirido da Geometria. Ela nos ensina que dois triângulos de lados proporcionais são semelhantes.

73



Se multiplicarmos, então, os comprimentos dos lados de nosso triângulo pitagórico semelhante, com os novos lados (6, ,8 e 10) igualmente satisfazendo o Teorema de Pitágoras.

Na fig. 3, apresentamos o resultado dessa operação, em que mostramos o triângulo ABC, já conhecido na fig. 1 e A1BC1.

Observemos que os ângulos α e β permanecem sendo os ângulos agudos internos do triângulo recém-construído.

Lançando Mao das medidas dos novos lados 1111 , CAeBCBA (respectivamente 8, 10 e 6 unidades de

comprimento), calculemos, para o ângulo α, os valores de seno, co-seno e tangente:

sen α = 108

= 0,6

cos α = 108 = 0,8

tg α = 86 = 0,75

Nosso intuito, na repetição dessas operações, é mostrar que, não importando se o triângulo PE maior ou menor, as relações definidas como seno, co-seno e tangente têm, individualmente, valores constantes, desde que calculados para os mesmo ângulos.

Em outras palavras, seno, co-seno e tangente são funções apenas dos ângulos internos do triângulo, e não de seus lados.

2 – Outras Razões Trigonométricas – Co-tangente, Secante e Co-secante

Além das razões com que trabalhamos até aqui, são definidas a co-tangente, secante e co-secante de um ângulo agudo de triângulo retângulo através de relações entre seus lados, como definimos no quadro a seguir:

cot do ângulo = ânguloaoopostocateto

ânguloaoadjacentecateto

sec do ângulo = ânguloaoadjacentecatetohipotenusa

cosec do ângulo = ânguloaoopostocateto

hipotenusa

Por exemplo, para um triângulo retângulo de lados 3, 4 e 5 unidades de comprimento, como exibido na fig. 6, teríamos, para o ângulo α,

cotg α = 34

sec α = 45

cosec α = 35

3 – Seno, Co-seno, Tangente e Co-tangente de Ângulos Complementares

Já foi visto que em todo triângulo retângulo os ângulos agudos são complementares.

o90=+ baSabemos ainda que:

sen α = ab

sen β =

ac

cos α = ac

cos β =

ab

tg α = cb

tg β =

bc

cotg α = bc

cotg β =

cb

Verifica-se facilmente que:sen α = cos β; cos α = sen β;tg α = cotg β; cotg α = tg β.

Exemplo:01 – Um triângulo retângulo tem catetos cujas medidas são

5 cm e 12 cm. Determine o valor de seno, co-seno e tangente dos seus ângulos agudos.

74



ResoluçãoPara respondermos ao que se pede, necessitaremos do

comprimento da hipotenusa do triângulo. Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos que

a2 = b2+c2 a2=52+122=169

Logo, a = 13 cm. Assim, obtemos para seno, co-seno e tangente dos ângulos da Figura, os seguintes valores:

135

=asen 1312cos =a

125

=atg

1312

=bsen 135cos =b

512

=btg

4 – Ângulos NotáveisA – Seno, Co-seno e Tangente dos Ângulos NotáveisUma vez definidos os conceitos de seno, co-seno e

tangente de ângulos agudos internos a um triângulo retângulo, passaremos a determinar seus valores para ângulos de grande utilização em diversas atividades profissionais e encontrados facilmente em situações cotidianas.

Por exemplo, na Mecânica, demonstra-se que o ângulo de lançamento, tomado com relação à horizontal, para o qual se obtém o máximo alcance com uma mesma velocidade de tiro, é de 45o-; uma colméia é constituída, interiormente, de hexágonos regulares, que por sua vez, são divisíveis, cada um, em seis triângulos eqüiláteros, cujos ângulos internos medem 60o; facilmente encontram-se coberturas de casas, de regiões tropicais, onde não há neve, com ângulo de inclinação definido nos 30o, etc.

Vamos selecionar, portanto, figuras planas em que possamos delimitar ângulo com as medidas citadas (30o, 45o e 60o). Para isso, passaremos a trabalhar com o quadrado e o triângulo eqüilátero.

Observemos, na figura 4 e na figura 5, que a diagonal de um quadrado divide ângulos internos opostos, que são retos, em duas parte de 45+o+, e que o segmento que define a bissetriz (e altura) de um ângulo interno do triângulo eqüilátero permite-nos reconhecer, em qualquer das metades em que este é dividido, ângulos de medidas 30o e 60o.

Primeiramente, vamos calcular os comprimentos da diagonal do quadrado (identificado na figura 4 por d) e a altura h, do triângulo eqüilátero (figura 5).

Uma vez que as regiões sombreadas nas figuras são triângulos retângulos, podemos aplicar o teorema de Pitágoras para cada um deles.

Para o meio-quadrado, temos que:D2=a2+a2 d2=2.a2

2ad =∴Quanto ao triângulo eqüilátero, podemos escrever o

seguinte:

l2=

23

43

421 2

22

2222 lhlhllhh =⇒∴=⇒-=⇒+

Sabemos, agora, que o triângulo hachurado no interior do quadrado tem catetos de medida a e hipotenusa a 2 . Para o outro triângulo sombreado, teremos catetos e medidas

23

21 le

, enquanto sua hipotenusa tem comprimento l.Passemos, agora, ao cálculo de seno, co-seno e tangente

dos ângulos de 30om 45o e 60o.A – Seno, Co-seno e Tangente de 30o e 60o.Tomando por base o triângulo eqüilátero da figura 5, e

conhecendo as medidas de seus lados, temos:

sen 30o= 211.

212 ==

ll

l

cos 30o=232

3

==l

l

lh

tg 30o=33

33.

31

32.

223

22 ==

==l

ll

l

h

l

sen 60o=23

123

==

l

lh

cos 60o=211.

22 ==

ll

l

l

tg 60o= 312.

23

2

23

2

=== l

l

lh

B – Seno, Co-seno e Tangente de 45o

A partir do quadrado representado na figura 4, de lado a e diagonal a 2 , podemos calcular:

sen 45o=22

22.

21

2===

aa

da

cos 45o= 22

22.

21

2===

aa

da

145 ==aatg o

Os resultados que obtivemos nos permitem definir, a seguir, uma tabela de valores de seno, co-seno e tangente dos ângulos notáveis, que nos será extremamente útil.

75



30o 45o 60o

sen

21

22

23

cos

23

22

21

tg

33 1 3

Identidades TrigonométricasÉ comum a necessidade de obtermos uma razão

trigonométrica, para um ângulo, a partir de outra razão cujo valor seja conhecido, ou mesmo simplificar expressões extensas envolvendo várias relações trigonométricas para um mesmo ângulo.

Nesses casos, as identidades trigonométricas que iremos deduzir neste tópico são ferramentas de grande aplicabilidade.

Antes de demonstrá-las, é necessário que definamos o que vem a ser uma identidade.

Identidade em uma ou mais variáveis é toda igualdade verdadeira para quaisquer valores a elas atribuídos, desde que verifiquem as condições de existência de expressão.

Por exemplo, a igualdade x

xx

x2

422 2 +=+ é uma identidade

em x, pois é verdadeira para todo x real, desde q x≠0 (divisão por zero é indeterminado ou inexistente).

Vamos verificar agora como se relacionam as razões trigonométricas que já estudamos. Para isso, faremos uso do triângulo ABC apresentado na figura A, retângulo em A.

Aplicando as medidas de seus lados no teorema de Pitágoras, obtemos a seguinte igualdade:

b2+c2=a2

Dividindo os seus membros por a2, não alteraremos a igualdade. Assim, teremos:

122

2

2

2

2

2

2

=

+

⇒=+

ac

ab

aa

ac

ab

Observemos que as frações entre parênteses podem definir, com relação ao nosso triângulo, que

sen2α+cos2α=1 e cos2β+sen2 β =1Podemos afirma, portanto, que a soma dos quadrados de

seno e co-seno de um ângulo x é igual à unidade, ou seja:

Sen2x+cos2x=1Expliquemos o significado da partícula co, que inicia o

nome das relações co-seno, cotangente e co-secante. Ela foi introduzida por Edmund Gunter, em 1620, querendo indicar a razão trigonométrica do complemento. Por exemplo, co-seno de 22o tem valor idêntico ao seno de 68o (complementar de 22o)

Assim, as relações co-seno, co-tangente e co-secante de um ângulo indicam, respectivamente, seno, tangente e secante do complemento desse ângulo.

Assim, indicando seno, tangente e secante simplesmente pelo nome de razão, podemos dizer que

co-razão x=razão (90o –x)Facilmente podemos concluir, com base no triângulo

apresentado na figura A, que:sen α=cos β sen β=cos αtg α=cotg β tg β=cotg αsec α=cossec β sec β=cossec α

Façamos um outro desenvolvimento. Tomemos um dos ângulos agudos do triângulo ABC, da figura A. Por exemplo, α. Dividindo-se sen α por cos α, obtemos:

aba tg

cb

ca

ab

acab

sen==== .

cos

De forma análoga, o leitor obterá o mesmo resultado se tomar o ângulo β. Dizemos, portanto, que, para um ângulo x, tal que cós x≠0,

xxsenxtg

cos=

Podemos observar, também, que a razão cb

, que representa tg α, se invertida (passando a b

c), vem a constituir cotg α.

Em virtude disso, e aproveitando a identidade enunciada anteriormente, podemos dizer que, para todo ângulo x de seno não-nulo:

cotg x = xsenx

xtgcos1

=

Tais inversões ocorrem também e se tratando das relações seno, co-seno, secante e co-secante. Vejamos que:

=

=

baec

basen

a

a

cos e

=

=

caac

a

a

sec

cos

Teríamos encontrado inversões semelhantes se utilizássemos o ângulo β.

76



Dizemos, assim, que, para um dado ângulo x,

sec x = xcox

1

cosec x = xsen

1

desde que seja respeitada a condição de os denominadores dos segundos membros dessas identidades não serem nulos.

Passaremos à exemplificação de situações em que poderão ser empregadas as identidades aqui demonstradas. Não sem antes apresentar, de forma resumida, o resultado das demonstrações com que nos detivemos aqui, o que faremos no quadro exibido a seguir.

1) sen2x+cos2x=1

2) co-razão (x) = razão (900-x)

3) tg x = xxsen

cos ( c o s

x≠0)

4) cots x = =xtg

1xsenxcos

( s e n x≠0)

5) sec x=xcos

1 ( c o s

x≠0)

6) cosec x=xsen

1 ( s e n

x≠0)

Outras Identidades Trigonométricasa) Demonstre que sec2 x=tg2x+1

ResoluçãoDesenvolveremos a demonstração a partir do primeiro

membro da identidade apresentada, procurando chegar à expressão dada no segundo membro.

1 – tg x =xxsen

cos

2 – sen2x+cos2x=1

3 – sec x= xcox

1, respeitando-se, para 1 e 3, a condição

de que cos x ≠ 0. Portanto:

sec2 x= ⇒+

=x

xx2

22

2 coscoscos

cos1

sec2 x ⇒xxsen

2

2

cos

sec2 x=tg2x+1 (cqd)

b)

c) Mostre que cossec2x=cotg2x+1.ResoluçãoUsando o mesmo mecanismo desenvolvido no exemplo

anterior e com o apoio das identidades trigonométricas deduzidas nessa seção, podemos dizer que, para sen x≠0,

cossec2x= ⇒+

=xsen

xxsenxsen 2

22

2

cos1

cossec2x= ⇒=xsenx

xsenxsen

2

2

2

2 cos

cossec2x=cotg2x (cqd)

Observação – As identidades demonstradas nos exemplos 1º e 2º são denominadas identidades trigonométricas auxiliares. Ao quadro-resumo anterior, podemos anexar, então, as identidades.

7) sec2x=tg2x+1 (cos x≠0)8)9) cossec2x=cotg2x+1 (sen x≠0)

Exemplo

A função trigonométrica equivalente a xxec

xsenxcoscos

sec+

+é:

a) sen xb) cotg xc) sec xd) cosec xe) tg x

xtgxxsen

xxsenxsen

xxxsen

xsenxxsen

xxxsen

xxsen

xsenx

xxxsenx

==+

+=

+

+

=+

+=

++

coscos.1.

coscos.1

cos.1cos

cos.1

cos1cos

1

cosseccossec

xtgxxsen

xxsenxsen

xxxsen

xsenxxsen

xxxsen

xxsen

xsenx

xxxsenx

==+

+=

+

+

=+

+=

++

coscos.1.

coscos.1

cos.1cos

cos.1

cos1cos

1

cosseccossec

Resposta: E

77



JUROS

Toda vez que falamos em juros estamos nos referindo a uma quantia em dinheiro que deve ser paga por um devedor, pela utilização de dinheiro de um credor (aquele que empresta). Os juros são representados pela letra j. O dinheiro que se deposita ou se empresta chamamos de

capital e é representado pela letra C. O tempo de depósito ou de empréstimo é representado

pela letra t. A taxa de juros é a razão centesimal que incide sobre

um capital durante certo tempo. É representado pela letra i e utilizada para calcular juros.

Chamamos de simples os juros que são somados ao capital inicial no final da aplicação.

Devemos sempre relacionar taxa e tempo numa mesma unidade:Taxa anual --------------------- tempo em anosTaxa mensal-------------------- tempo em mesesTaxa diária---------------------- tempo em dias

Consideremos, como exemplo, o seguinte problema:Uma pessoa empresta a outra, a juros simples, a quantia

de R$ 3. 000,00, pelo prazo de 4 meses,à taxa de 2% ao mês. Quanto deverá ser pago de juros?

Resolução:- Capital aplicado (C): R$ 3.000,00- Tempo de aplicação (t): 4 meses- Taxa (i): 2% ou 0,02 a.m. (= ao mês)

Fazendo o cálculo, mês a mês: no final do 1º período (1 mês), os juros serão: 0,02 x R$

3.000,00 = R$ 60,00 no final do 2º período (2 meses), os juros serão: R$

60,00 + R$ 60,00 = R$ 120,00 no final do 3º período (3 meses), os juros serão: R$

120,00 + R$ 60,00 = R$ 180,00 no final do 4º período (4 meses), os juros serão: R$

180,00 + R$ 60,00 = R$ 240,00

Desse modo, no final da aplicação, deverão ser pagos R$ 240,00 de juros.

Fazendo o cálculo, período a período: no final do 1º período, os juros serão: i.C no final do 2º período, os juros serão: i.C + i.Cno final do 3º período, os juros serão: i.C + i.C + i.C---------------------------------------------------------------------

---- no final do período t, os juros serão: i.C + i.C + i.C +

... + i.C

Portanto, temos: J = C . i . t

Observações:1) A taxa i e o tempo t devem ser expressos na mesma

unidade. 2) Nessa fórmula, a taxa i deve ser expressa na forma

decimal.3) Chamamos de montante (M) a soma do capital com os

juros, ou seja: Na fórmula J= C . i . t, temos quatro variáveis. Se três delas forem valores conhecidos, podemos calcular o 4º valor.

M = C + j

Exemplo: A que taxa esteve empregado o capital de R$ 20.000,00 para render, em 3 anos, R$ 28.800,00 de juros? (Observação: Como o tempo está em anos devemos ter uma taxa anual.)

C = R$ 20.000,00 t = 3 anosj = R$ 28.800,00i = ? (ao ano)

j = 100.. tiC

28 800 = 100

3...20000 i

28 800 = 600 . i

i = 600

800.28

i = 48Resposta: 48% ao ano.

EXERCÍCIOS1-Um agricultor fez um empréstimo de R$ 5 200,00 e vai

pagá-lo em 5 meses, a uma taxa de 1,5% ao mês.a) Qual a quantia de juros que o agricultor vai pagar por

mês?b) Após os 5 meses, qual o total (empréstimo + juros)

pago pelo agricultor?

2- Quanto renderá de juros:a) A quantia de R$ 1.800,00, aplicada durante 5 meses a

uma taxa de 2,3% ao mês?b) A quantia de R$ 2.450,00, aplicada durante 2 meses a

uma taxa de 1,96% ao mês?

3- Uma loja colocou o anúncio de um liquidificador em um jornal. O anúncio indicava o pagamento à vista de R$ 60,00 ou, após um prazo de 30 dias, de R$ 69,00. Qual a taxa mensal de juros que essa loja está cobrando para pagamento a prazo?

4- Uma aplicação de R$ 40.000,00 rendeu, em 3 meses, R$ 3.000,00 de juros. Qual a taxa mensal de juros?

5- Três quintos de uma herança recebida por Gabriel foram usados na compra de um carro. O restante é emprestado a um colega, a juros simples e à taxa de 6% a.m. Se, após três anos, seu colega devolve a quantia de R$ 25280,00, qual o valor da herança recebida por Gabriel na ocasião?

78



6- (FGV-SP) Um investidor norte-americano traz para o Brasil 500.000 dólares, faz a conversão dos dólares para reais, aplica os reais por um ano à taxa de 18% ao ano e no resgate converte os reais recebidos para dólares e os envia para os Estados Unidos. No dia da aplicação um dólar valia R$1,10 e, um ano depois, na data do resgate um dólar valia R$ 1,20.

a) Qual a taxa de rendimento dessa aplicação, considerando os valores expressos em dólares?

b) Quanto deveria valer um dólar na data de resgate (um ano após a aplicação) para que a taxa de rendimento em dólares tivesse sido de 12% ao ano?

7- César comprou uma geladeira de R$ 1.400,00 e pagou R$ 1.505,00 por tê-la financiado em 3 meses. Qual foi a taxa de juros simples anual fixada pela financeira?

8- Marco quer aplicar uma certa quantia durante um semestre a uma taxa de juros simples anual de 62% e receber R$ 248,00 de juros. Calcule a quantia que ele deverá aplicar.

9- Laís aplicou R$ 720,00 durante um bimestre, no final

do qual recebeu R$ 765,00, ao todo. Determine a taxa de juros simples anual da aplicação feita por Laís.

10- Um capital de R$ 210,00, aplicado em regime de juros simples durante 4 meses, gerou um montante de R$ 260,40. Qual a taxa mensal de juros ao mês?

RESPOSTAS

1- a) R$ 78,00 e b) R$ 5.590,002- a) R$ 207,00 e b) R$ 96,043- (15% a.m.) 4- (2,5%) 5- (R$ 20.000,00)6- a) 8,17% a.a. e b) ≅ R$ 1,167- (30%) 8- (R$ 800,00) 9- (37,5%) 10- (6% a.m.)Resolução 06:a) 500.000 x 1,1 = R$550.000,00 550.000 x 1,18 = R$649.000,00 (valor em reais no final

do ano) 649.000 / 1,20 = US$540.833,33 (valor em dólares

convertidos à R$1,20) rendimento = 540.833,33 / 500.000 = 1,081666: o

rendimento seria de 8,17%

JUROS COMPOSTOS

O capital inicial (principal) pode crescer, como já sabemos, devido aos juros, segundo duas modalidades a saber: Juros simples - ao longo do tempo, somente o principal rende juros. Juros compostos - após cada período, os juros são incorporados ao principal e passam, por sua vez, a render juros. Também conhecido como “juros sobre juros”.

Vamos ilustrar a diferença entre os crescimentos de um capital através juros simples e juros compostos, com um exemplo: Suponha que $100,00 são empregados a uma taxa de 10% a.a. Teremos:

Observe que o crescimento do principal segundo juros simples é LINEAR enquanto que o crescimento segundo juros compostos é EXPONENCIAL, e portanto tem um crescimento muito mais “rápido”. Isto poderia ser ilustrado graficamente da seguinte forma:

Na prática, as empresas, órgãos governamentais e investidores particulares costumam reinvestir as quantias geradas pelas aplicações financeiras, o que justifica o emprego mais comum de juros compostos na Economia. Na verdade, o uso de juros simples não se justifica em estudos econômicos.

Fórmula para o cálculo de Juros compostosConsidere o capital inicial (principal P) $1000,00 aplicado

a uma taxa mensal de juros compostos ( i ) de 10% (i = 10% a.m.). Vamos calcular os montantes (principal + juros), mês a mês:

Após o 1º mês, teremos: M1 = 1000 x 1,1 = 1100 = 1000(1 + 0,1)

Após o 2º mês, teremos: M2 = 1100 x 1,1 = 1210 = 1000(1 + 0,1)2

Após o 3º mês, teremos: M3 = 1210 x 1,1 = 1331 = 1000(1 + 0,1)3

..................................................................................................

Após o nº (enésimo) mês, sendo S o montante, teremos evidentemente: S = 1000(1 + 0,1)n

De uma forma genérica, teremos para um principal P, aplicado a uma taxa de juros compostos i durante o período n : S = P (1 + i)n

onde S = montante, P = principal, i = taxa de juros e n = número de períodos que o principal P (capital inicial) foi aplicado.

Nota: Na fórmula acima, as unidades de tempo referentes à taxa de juros (i) e do período (n), tem de ser necessariamente iguais. Este é um detalhe importantíssimo, que não pode ser esquecido! Assim, por exemplo, se a taxa for 2% ao mês e o período 3 anos, deveremos considerar 2% ao mês durante 3x12=36 meses.

Exercícios Resolvidos: 1 – Expresse o número de períodos n de uma aplicação,

em função do montante S e da taxa de aplicação i por período.

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Solução: Temos S = P(1+i)n

Logo, S/P = (1+i)n

Pelo que já conhecemos de logaritmos, poderemos escrever:

n = log (1+ i ) (S/P) . Portanto, usando logaritmo decimal (base 10), vem:

Temos também da expressão acima que: n.log(1 + i) = logS – logP

Deste exemplo, dá para perceber que o estudo dos juros compostos é uma aplicação prática do estudo dos logaritmos.

2 – Um capital é aplicado em regime de juros compostos a uma taxa mensal de 2% (2% a.m.). Depois de quanto tempo este capital estará duplicado?

Solução: Sabemos que S = P (1 + i)n. Quando o capital inicial estiver duplicado, teremos S = 2P.

Substituindo, vem: 2P = P(1+0,02)n [Obs: 0,02 = 2/100 = 2%]

Simplificando, fica: 2 = 1,02n , que é uma equação exponencial simples.Teremos então: n = log1,022 = log2 /log1,02 = 0,30103 /

0,00860 = 35

Nota: log2 = 0,30103 e log1,02 = 0,00860; estes valores podem ser obtidos rapidamente em máquinas calculadoras científicas. Caso uma questão assim caia no vestibular, o examinador teria de informar os valores dos logaritmos necessários, ou então permitir o uso de calculadora na prova, o que não é comum no Brasil.

Portanto, o capital estaria duplicado após 35 meses (observe que a taxa de juros do problema é mensal), o que equivale a 2 anos e 11 meses. Resposta: 2 anos e 11 meses.

Exercícios propostos: 1 – Um capital de $200000,00 é aplicado a juros compostos

de 10% ao ano. Calcule o montante após 4 anos. Resposta: $292820,00

2 – Um certo capital é aplicado em regime de juros compostos à uma taxa anual de 12%. Depois de quanto tempo este capital estará triplicado?

Resposta: aproximadamente 9,7 anos ou aproximadamente 9 anos e 9 meses.

Observe que 9,7a = 9 + 0,7a = 9a + 0,7x12m = 9a + 8,4m = 9a + 8m + 0,4m = 9a + 8m + 0,4x30d = 9a + 8m + 12d. Arredondamos o resultado para maior (9 anos e 9 meses).

Nota: log3 = 0,47712 e log1,12 = 0,04922.

ANOTAÇÕES

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ANOTAÇÕES

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