OBJETIVOS

- Ser capaces de determinar el valor máximo absoluto de una

determinada función aplicando derivados parciales y el hessiano.

- Tener la capacidad de determinar que algunas funciones no tienen

máximo ni mínimo relativo, y que presentan a un punto denominado

PUNTO SILLA (ó de monitor)

CONTENIDO

Pregunta 1: Explique tres problemas de máximos y mínimos sobre

superficies cartesianas.

¿En qué consiste la matriz hessiana?

1. ¿Qué dimensiones deberá tener un baño abierto, de volumen v dado,

para que su superficie sea la menor posible?

Solución:

Consideramos las dimensiones del baño x, y, z donde: v=xyz→z=vxy

Además su área es ∆=xy+2 xz+2 yz

A=xy+2x ( vxy )+2 y ( v

xy )A=xy+ 2v

y+ 2v

xderivando setiene :

∂ A= y−2v

x2=0→ y=2 v

x2

∂ A=x−2 v

y2=0→ x=2v

y2

∂2 A2

∂ x2= y−4 v

x3;

∂2 A2

∂ x2=4 v

y3;

∂2 A∂ x∂ y2

=1

Resolviendo el Sistema: entonces:

y x2=2v x3=2v

xy2=2v x=3√2v

x= y=3√2 v

Igualando

yx2=xy2

y

x

z

x= y

Como:

∇H =∂2 A2

∂ x2.∂2 A2

∂ y2−( ∂2 A

dxdy )2

=4 vx3

.4vy3

.−(1 )2

¿ 16v2

x3 y3−1=16 x2 y2 z2

x3 y3−1=16 z2

xy−1

Por lo tanto

∇H =16 z2

xy−1>0

Luego la superficie es mínima para:

x= y=3√2 v ; z=123√2v

2. Hallar las dimensiones de una caja rectangular (cerrada) de máximo

volumen, cuya superficie total es Am2

Solución:

Sean x, y, z las dimensiones de la caja rectangular, por lo tanto el

volumen de la caja es v= xyz.

El área total de la caja rectangular es:

A=2xy+2 yz+2 xz

A=2xy+z (2 y+2x )

A−2 xy2 y+2 y

=Z= A−2 xy2 x+2 y

ComoV =xyz=xy ( A−2xy2 x+2 y ); x>0 ; y>0 ; xy ≤ A ;el cual

Se desea que sea máximo.

V= Axy−2 x2 y2

2 x+2 y

Derivamos:

yz

∂ V∂ x

=( Axy−2 x2 y2 )' (2x+2 y )−( Axy−2 x2 y2 )❑ (2x+2 y )'

(2 x+2 y )2=0

∂ V∂ x

=( Ay−4 x y2 )2 (2x+2 y )−( Axy−2 x2 y2 ) (2 )

(2x+2 y )2=0

∂ V∂ x

=2 Axy−8 x2 y2+2 A y2−8 x y3−2 Axt+4 x2 y2

(2x+2 y )2=0

∂ V∂ x

=y2 (2 A−8 xy−4 x2 )

(2 x+2 y )2=0

Resolviendo el Sistema:

2 A−8xy−4 x2=0

A=4 xy+2 x2… …(1 )

∂ V∂ y

=( Axy−2 x2 y2 )' (2x+2 y )−( Axy−2 x2 y2 )❑ (2x+2 y )'

(2 x+2 y )2=0

∂ V∂ y

=( Ax−4 x2 y ) (2x+2 y )−( Axy−2 x2 y2 ) (2 )

(2x+2 y )2=0

∂ V∂ y

=2 A x2−8 x2 y+2 Axy−8x3 y2−2 Axy+4 x2 y2

(2 x+2 y )2=0

∂ V∂ y

=x2 (2 A−4 y2−8 xy )

(2 x+2 y )2=0

Resolviendo el Sistema:

2 A−4 y2−8 xy=0

A=2 y2+4 xy …. (2 )

Igualando (1) y (2)

A=4 xy+2 x2=2 y2+4 xy

x= y

A=4 x2+2 x2=6 x2

A=6 x2→ x=√ x6

; y=√ A6

Además

Z= A−2 xy2x+2 y

=A−2(√ A

6 )√ A6

2√ A6

+2√ A6

=A−2 A

6

4 √ A6

=A− A

3

4√ A6

Z=

2 A3

4√ A6

=(2 A34√ A√6

)=2 A√612√ A

=√ A6

a “v” le corresponde un máximo relativo cuyo valor máximo es:

V=xyz=(√ A6 )(√ A

6 )(√ A6 )= A

6 √ A6

u3

Luego las dimensiones de la caja son:

x=√ A6

; y=√ A6

; z=√ A6

3. Determinar los extremos relativos de la función:

f ( x , y )=x2+ xy+ y2−6 x+2

Solución:

Hallaremos los puntos críticos de la función F

∂ f∂ x

=2 x+ y−6=0→2 x=6− y

∂ f∂ y

=x+2 y=0→ x=−2 y }2 (−2 y )=6− y

−4 y=6− y

−3 y=6

y=−2

x=4

Entonces p (4,-2) es el punto crítico

∂2f∂ x2

=2 ∂2 f∂ y ∂ x

=1

∂2 f∂ y2

=2

Ahora aplicando el criterio de la segunda derivada

∆=( ∂2 f∂ x2 )( ∂2 f

∂ y2 )−( ∂2 f∂ y∂ x )

2

=(2 ) (2 )− (1 )2=3

Como A=3>0 y∂2 f (4 ,−2 )

∂ x2=2>0 ;entonces enel punto

Hay un mínimo relativo, cuyo valor mínimo es f(4,-2)=

(4 )2+(4 ) (−2 )+ (−2 )2−6 (4 )+2

= 16 -8 + 4 - 24 + 2

10-20

-10

Pregunta 02: Describa sus problemas de max-min aplicadas a casos de

la vida real; al menos uno tiene que versar sobre un problema químico

1. El costo de producción C es una función de las cantidades producidas x

c y de 2 tipos de artículos, está dado por c=x3 + y3 + 9x2 – 3y2 + 15x – 9y

Solución:

Calculando los puntos críticos de C

∂ C∂ x

=3 x2+18x+15=0→3 ( x2+6 x+5 )=3 ( x+5 ) ( x+1 )→ x=−1 ; x=−5

∂ C∂ y

=3 y2+6 y−9=0→3 ( y2−2 y−3 )=3 ( y+3 ) ( y+1 )→ y=3 ; y=−1

Realizando una tabla

PUNTOS

CRÍTICO

S

Fxx Fyy Fxy ∇H Comentario C

-1,-1 12 -12 0 -144 Pto. Silla -2

-1,3 12 12 0 144 Pto. Mínimo -34

-5,3 -12 12 0 -144 Pto. Silla -2

-5,-1 -12 -12 0 144 Pto. Máximo 30

Fxx=6x + 18 * Fyy=6y-6

Para : (−1 ,−1 ) →6 (−1 )+18=−6+18=12Para : (−1 ,−1 )=6 (−1 )−6=−12

Para : (−1,3 ) →6 (−1 )+18=−6+18=12Para : (−1 ,3 )=6 (3 )−6=12

Para : (−5,3 ) →6 (−5 )+18=−30+18=−12Para : (−5,3 )=6 (3 )−6=12

Para : (−5 ,−1 ) →6 (−5 )+18=−30+18=−12 Para: (−5 ,−1 )=6 (−1 )−6=−12

Fxy=0 * Regla

∇H =Fxx . fyy−(fxy )2=H >0=Fxx>0∧ f 22>0→ Mínimo

Si : (−1 ,−1 )→ (12 ) (−12 )−(0 )=−144∇H>0 ; fyy<0∧ fyy<0→ Máximo

Si : (−1,3 )→ (12 ) (12 )− (0 )=144∇H <0 ; pto. silla

Si : (−5,3 )→ (−12 ) (12 )−(0 )=−144

Si : (−5 ,−1 )→ (−12 ) (−12 )−(0 )=+144

2. De la producción Monetaria M=x3+y3-15xy; cuando ser mínima?

Solución:

Calculando los puntos críticos de la función f

∂ M∂ x

=3 x2+15 y=3 ( x2−5 y )=0→ x2=5 y ….. (1 )

∂ M∂ y

=3 y2−15 x=3 ( y2−5x )=0→ y2=5x … .. (2 )

Igualando (1) y (2) Reemplazando

x2−5 y⋀ y2

5=x

y2

5=x=5

2

5=5

( y2

5 )2

=5 y x=5

y4

25=5 y

y3=125

y=5

Ahora derivamos * para punto p (5,5)

Fxx=6 x fxy=−15 fxx=30

Fxx=6 y fyy=30

Ahora el Hessiano * Función:

∇H =Fxx . fyy−( fxy )2=(30 ) (30 ) — 152M =(5 )3+(5 )3−15 (5 ) (5 )

∇H =900−225M=−125

¿675

La producción Monetaria será mínima cuando se tomen los puntos p(5,5), ya

que será un fondo menor

3. El capital de una fábrica está dada por una función

Z=x2+ y2 (12−x− y )=12x3 y2−x4 y2−x3 y3

Solución:

∂ Z∂ x

=36 x2 y2+4 x3 y2−3 x3 y3→ x2 y2 (36−4 x−3 y )=0

36−4 x−3 y=0… (1 )

∂ Z∂ y

=24 x2 y2−2x4 y−3x3 y2=0→ x3 y (24−2x−3 y )=0

24−2 x−3 y=0… (2 )

36−4 x=3 y y 24−2x=3 y

Igualando

36−4 x=24−2x 24−2 (6 )=3 y

12=2 x24−12= y=123

6=x y=4

Punto crítico P(6,4)

Derivando:

fxx=72 xy2−12 x2 y2−6 x y3→72 (6 ) (4 )2−12¿

fyy=243−2 x4−6 x3 y ¿24 (6 )3−2¿

fxy=72 x2 y−8 x3 y−9x2 y2→72 (6 )2(4)−8¿

Hallamos el Hessiano:

∇H =Fxx . fyy−( fxy )2

∇H =(−2304 ) (−2592 ) — (−17282)2

∇H =2985984>0

Entonces en el punto P(6,4) existe un máximo en el capital de una fábrica

4. Determinar el costo mínimo de una caja rectangular con volumen de

48cm3; si el costo del frente y de la parte superior es de S/. 2.00 por cm2.

La tapa y el fondo cuestan S/. 3.00 por cm2, y los 2 extremos cuestan S/.

4.00 por cm2. Determine el costo mínimo.

Solución:

V= xyz A=2xy + 2yz + 2xz

48 = xyz Costo= unidad soles por área

48xy

=z Costo=(3 )2xy+(2 )2 yz+ (4 )2 xz

Costo=6 xy+4 yz+8 xz

Cmín (x , y )=6 xy+4 y ( 48xy )+8 x( 48xy )=6xy+ 192x

+ 384y

xy

z

Derivando

∂ C∂ x

=6 x−192x2

=0→6 y=192x2

→6 x2 y=192… .. (1 )

∂ C∂ y

=6 x−3842y2

=0→6x=384y2

→ x=64y2

… .. (2 )

Igualando (1) y (2)

6 x2 y=192x=64y2

= 64

(8√2 )2= 6464 (2 )

6( 64y2 )2

y=192 x=12

4096

y3=32

128= y3

8√2= y

El punto crítico es P ¿ )

Además:

fxx=384x3

= 384

( 12 )3=3072 fxy=6

fyy=768y3

= 768

(8√2 )3=0,53

Hallamos el hessiano

∇H =Fxx . fyy−( fxy )2=(3072 ) (0,53 ) — (6 )2=1593,17>0

Entonces enel punto( 12 ;8√2)existeun puntomí nimo enel costo

5. La canasta familiar en el Perú está dada por la función:

f ( x , y )=4 x+xy−x2− y2

Solución:

Para encontrar los puntos críticos:

∂ F ( x , y )∂ x

=4+ y−2x=0→4+ y=2 x ….. (1 )

∂ F ( x , y )∂ y

=x−2 y=0→ x=2 y ….. (2 )

Igualando (1) y (2)

4+ y=2 (2 y ) x=2 y

4+ y=4 y x=2( 43 )4=3 y x=8

3

43= y

E l punto crítico es P( 83 ;43 )

Además:

fxx=−2 fxy=1

fyy=−2

Hallamos el hessiano

∇H =Fxx . fyy−( fxy )2=(−2 ) (−2 ) — (1 )2=4−1=3

Entonces enel punto P( 83 ;43 );existeun putno máximoen la canasta famliar .

6. La longitud de onda de un átomo está determinada por la siguiente

curva :Z= f ( x , y )=x3+ y3−15 xy calcular los puntos críticos.

Solución:

Calculando los puntos críticos de la función F

∂ f ( x , y )∂ x

=3 x2+15 y=0→ x2−5 y … .. (1 )

∂ f ( x , y )∂ y

=3 y2−15 x=0 y2−5 x

¿ y2

5=x … .. (2 )

Igualando (1) y (2)

x2=5 y x2=5 y

( y2

5 )2

=5 y x2=5 (5 )

y4

5=5 y x=5

y3=125

y=5

El punto crítico P (5,5)

Además

fxx=6 x=30 fxy=−15

fyy=6 y=30

Hallamos el hessiano

∇H =Fxx . fyy−( fxy )2=(30 ) (30 ) — (−15 )2=900−225=675

Entonces enel punto P (5,5 ); existeun putnomáximo en lacanasta famliar .

Preguna 03 Tenemos el operador “noble”

∇= ddx

i+ d jdy

+ d kz

A) Define el concepto de gradiente

F(x,y,z) sea función Rx Rx R

1. Hallar ∇F para F=ex+2 y+3 z enel punto (1 ,1 ,−1 )

dfdx

i=ex +2 y+3 z i

dfdy

j=2ex+2 y+3 z j

dfdz

i=3e x+2 y+3 z k

∇F= dfdx

i+ df jdy

+ df kdz

∇F=(1.ex+2 y+3 z ) i+(2e¿¿ x+2 y+3 z) j+(3 ex+2 y+3 z) k ¿

En el punto P(1,1,-1)

∇F= (P )1 i+2 j+3 k

2. Hallar ∇F para F= xy2z3 en el punto Q(-1,1,-1)

dfdx

i= y3 z3 i

dfdy

j=2xyz3 j

dfdz

k=3 xy2 z2 k

∇F= dfdx

i+ df jdy

+ df kdz

∇F= y3 z3 i+2 xyz3 j+3xy 2 z2 k en el punto Q(-1,1,-1)

∇FQ=−1 i+2 j−3 k

3. ∇F para F=xeng+ y enz+z enx en P (1,1 ,1 )

dfdx

i=(eny+ zx)i

dfdy

j=(enz+ xy ) j

dfdz

k=(enx+ yz) k

∇F= dfdx

i+ dfdy

j+ dfdz

k

∇F=(eny+ zx ) i+(enz+ x

y ) j+(enx+ yz ) k enel punto p (1 ,1 ,1 )

∇F= (P )1 i+1 j+1 k

B) Define el concepto de divergencia

f ( x , y , z ) esuna función vectorial

1. Hallar ∇ f para f =e i+e2 y j+e3 z k

f 1=ex

f 2=e2 y

f 3=e3 z

¿ ( f )=df 1dx

+ df 2dy

+ df 3dz

…. (1 )

df 1dx

=ex

df 2dy

=e2 y

df 3d

=3e3 z

En 1: div ( f )=ex+2e2 y+3e3 z

2. Hallar ∇ f para f =x i+ y2 j+z3 k

f 1=x

f 2= y2

f 3=z3

¿ ( f )=df 1dx

+ df 2dy

+ df 3dz

…. (1 )

df 1dx

=1

df 2dy

=2 y

df 3dz

=3 y2

En 1: div ( f )=1+2 y+3 z2

3. Hallar v f para f =xLny i+ yLn j+zLnx k

f 1=xLny

f 2= yenz

f 3=zenx

¿ ( f )=df 1dx

+ df 2dy

+ df 3dz

…. (1 )

df 1dx

=Lny

df 2dy

=Lnz

df 3dz

=Lnx

En 1: div ( f )=Lny+Lnz+Lnx

C) Defina el concepto de Rotacional

∇ x F=| i j k∂

∂ x∂

∂ y∂

∂ zf 1 f 2 f 3

|para F1 i+F2 j+F3 k

Aplicarle para las funciones vectoriales el inciso B)

1. F=e X i+e2 y j+e3 z k

∇ x F=| i j k∂

∂ x∂

∂ y∂

∂ zeX e2 y e3 z|=( ∂ e3 z

∂ y−∂ e2 y

∂ z ) i−( ∂ e3 z

∂ x−∂ ek

∂ z ) j+¿

( ∂ e3 z

∂ x−∂ ex

∂ y ) k

∇ x F=(0−0 ) i−(0−0 ) j+(0−0 ) k=0 i−0 j+0 k

2. F=x i+ y2 j+z3 k

∇ x F=| i j k∂

∂ x∂

∂ y∂

∂ zx y2 z3

|=( ∂ e3 z

∂ y−∂ y2

∂ z ) i−( ∂ z3

∂ x−∂ x

∂ z ) j+( ∂ y2

∂ x− ∂ x

∂ y ) k

∇ x F=(0−0 ) i−(0−0 ) j+(0−0 ) k=0 i−0 j+0 k

3. F=xeny i+ yenz j+ zenx k

∇ x F=| i j k∂

∂ x∂

∂ y∂

∂ zxeny ylnz zlnx

|=( ∂∂ y

zen− ∂∂ z

yenz ) i−( ∂∂ x

zenx− ∂∂ z

xlny) j+( ∂∂ x

yenz− ∂∂ y

xlny) k

∇ x F=(0− yz ) i−( z

x−0) j+(0− x

y ) k=− yz

i− zx

j− xy

k

Problema 04: tenemos el operador ∇2= ∂2

∂ x2i+ ∂2

∂ y2j+ ∂2

∂ z2k

Hallar ∇2 xF para el inciso ∆>¿ del problema 3

∇2=e x+2 y+3 z i+4 ex+2 y+3 z j+9ex +2 y+3 z k

∇2 ( p )=∇2 (1,1 ,−1 )=e1+2+3 i+4e1+2−3 j+9e1+2−3 k=¿

∇2 (1 ,1 ,−1 )=1 i+4 j+9 k

∇2=0 i+2x z3 j+6 xy2 z k

∇2 ( p )=∇2 (−1,1 ,−1 )=0 i+2 (−1 ) (−1 )3 j+6 (−1 ) (1 )2 (−1 ) k

∇2 (−1,1 ,−1 )=0 i+2 j+6 k

∇2=−z

x2i+ x

y2j+ y

z2k

∇2 ( p )=∇2 (1,1,1 )= (1 )(1 )2

i+(1 )(1 )2

j+(1 )

(12 )k

∇2 (1 ,1 ,1 )=−1 i−1 j−1 k

Hallar el ∇2 F para el inciso B) del problema 3

∇2=e X i+4 e2 y j+9e3 z k

∇2=0 i+2 j+6 z k

∇2=0 i+0 j+0 k

Hallar ∇2 F para el inciso B) del problema 3

∇2 x F=0 i+0 j+0 k− yenz i−zenx j−xeny k

∇2 x F=0 i+0 j+0 k

∇2 x F=0 i−0 j−0 k

PROBLEMA 05 En los problemas de max – min se utiliza el concepto de

función objetivo y función restricción.

- Explique tal como sucedió en la práctica calificada segunda

a) Determine valores máximos y mínimos a la superficie

f ( x , y )=2 x2+8 xy+ y 4

a¿ dfdx

=0→4 x+8 y=0b¿ dfdy

=08 x+9 y3=0

4 x+2 yl=0 l−2 yl+4 y3=0

x=2 y−16 y+4 y3=0

4 y3−16 y=0

4 yl y2−4 l=0

y=0

y=2

y=−2

Ptos.

Críticos

Fxx Fyy Fxy ∇H Comentario Z

(0,0) 4 0 8 -64 Punto silla 0

(-4,2) 4 48 8 128 Mínimo -16

(4,-2) 4 48 8 128 Mínimo -16

a¿ fxx=4b¿ fyy=12 y2 c¿ fxy=8

∇H =fxx . fyy−fx y2→ Si∇H<0 ;es punto silla

Si∇H >0 ; fxx>0 ; fyy>0Mínimo

Si∇H >0 ; fxx<0 ; fyy<0Máximo

(0,0 )→∇H=4.0−64=−64

(−4,2 )→∇H=4.48−64=128

(4 ,−2 ) →∇H=4.48−64=128

Hallar z

Para (0,0 ) →2 x2+8xy+ y4=2 (0 )2+8 (0 ) (0 )+ (0 )4=0

Para (−4,2 ) →2 x2+8 xy+ y4=2 (−4 )2+8 (−4 x2 )+24=−16

Para (4 ,−2 ) →2 x2+8xy+ y4=2 (4 )2+8 (4 x−2 )+¿

b) Determinar el volumen máximo de una caja rectangular que puede

enviar SERPOT si la suma de su “longitud” y “cincha” no puede exceder

de 108 cm.

longitud

v=xyz cincha+ longitud=108

v=xy ( 108−x−2 y2 )2 y+2 z+x=108

v=108 xg−x2 y−2 y2

22 z=108−x−2 y

z=108−x−2 y2

Para hallar volumen máximo V:

∂ V∂ x

=54 y− y2−2 xy2

=0→ y (54− y−x )=0→54=x+ y … (1 )

∂ V∂ y

=54 x−2 xy− x2

2=0→ x(54−2 y− x

2 )=0→108=x+4 y … (2 )

Ahora

54− y=x ( x−4 ) a¿−216+4 y=−4 xb¿ 108−364

= y c¿ z108−2 y−k

2

108−4 y=x108−4 y=x−108=−3 x

y=18 z=18

36=x

zx

y

cincha=C

El punto crítico es P (36; 18; 18)

∂2V∂ x2

=− y , parael punto P →∂2V∂ x2

=−18

∂2V∂ y2

=−2x , para el punto P →∂2V∂ y2

=−2 (36 )=−72

fxy=54−2 y−x ; parael punto P→ fxy=54−2 (18 )−36

fxy=54−36−36=−18

Para hallar el Hessiano:

∇H =Fxx . fyy−( fxy )2=(−18 ) (−72 ) — (−18 )2=972>0

Por lo tanto el volumen es el máximo en el punto P(36,18,18)

- Resuelve los ejercicios propuestos por usted en el problema, 2)

aplicando los multiplicadores de Lagrange.