Matemática Livro 3 Serie

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EDUCAÇÃO SEM FRONTEIRAS

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GEOMETRIA PLANA

TRIÂNGULOS

Definição Triângulo é o polígono de três lados.

CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA Dados três números reais, a, b e c, a condição para que exista um triângulo cujos lados medem a, b e c é

que cada um destes números seja menor que a soma dos outros dois.

TEOREMA DE THALES Em qualquer triângulo, a soma dos ângulos internos vale 180°.

CONSEQUÊNCIA Em todo triângulo, cada ângulo externo é igual a soma dos ângulos internos não adjacentes a ele.

CLASSIFICAÇÃO Um triângulo se classifica:

I) Quanto aos lados, em: Equilátero, Isósceles e Escaleno

II) Quanto aos ângulos, em: Acutângulo, Retângulo e Obtusângulo. O maior ângulo desses triângulos é agudo, reto ou obtuso, respectivamente.

Equilátero a = b = c

a

b c

a

c b Isósceles b = c

a

c b Escaleno a ≠ b ≠ c ≠ a

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=α

=++

CB

180ºCBAB

C α

A

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CEVIANAS

Definição Chama-se ceviana a qualquer segmento de reta que parte de um vértice e se apóia no lado oposto ou no

seu prolongamento.

Principais cevianas

I) Altura - é a ceviana que é perpendicular ao lado oposto, ou ao seu prolongamento. As três alturas de um triângulo concorrem em um ponto chamado ortocentro.

II) Bissetriz interna - é a ceviana que divide ao meio um ângulo interno. As três bissetrizes internas de um triângulo concorrem em um ponto chamado incentro, que é o centro do círculo inscrito no triângulo.

III) Bissetriz externa - é a ceviana que divide ao meio um ângulo externo. As bissetrizes externas relativas a dois vértices e a bissetriz interna relativa ao terceiro vértice concorrem em um ponto chamado ex-incentro. Esse ponto é o centro do círculo que tangencia um lado e os prolongamentos dos outros dois. Este círculo chama-se círculo ex-inscrito, e existem três deles para cada triângulo.

IV) Mediana - é a ceviana que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto. Todo triângulo possui três medianas, que concorrem em um ponto chamado baricentro. A distância do baricentro a qualquer vértice é o dobro da distância ao meio do lado oposto.

B

C

A

PG

N

M

b a

c A B

C

hb O

hc

ha

. .

.

C

A B

ab

c

β

I ββ

B C

A

b c

a

E β

βa

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Na figura anterior, por exemplo, CG = 2 ⋅ GM, isto significa que

GM = 31 ⋅ CM e CG =

32 ⋅ CM

Esse ponto é o centro de massa de um “triângulo” feito de um material homogêneo, com espessura constante.

G

B

CA

Rigorosamente falando, a figura acima não é um triângulo pois, uma figura plana não tem espessura. Esta figura é um prisma delgado, quer dizer, muito fino. Importa aqui ressaltar que se o “triângulo” fosse feito de arame, isto é, apenas as linhas que limitam o “triângulo”, seu centro de massa não seria o encontro das medianas (vide capítulo de médias).

Propriedades I. No triângulo isósceles, coincidem a mediana, a bissetriz interna e a altura relativas à base (lado diferente

dos outros). No triângulo equilátero, estas cevianas coincidem para qualquer lado.

Definição: Chama-se mediatriz de um segmento de reta à perpendicular que contém seu ponto médio. II. Todo ponto da mediatriz de um segmento de reta é equidistante dos seus extremos. III. As mediatrizes dos lados de um triângulo concorrem todas no mesmo ponto, chamado circuncentro do

triângulo. O circuncentro é o centro do círculo circunscrito ao triângulo. A B

C

O .

. .

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QUADRILÁTEROS CONVEXOS

Definições e propriedades Quadrilátero é o polígono de quatro lados. Para todo quadrilátero convexo, valem as seguintes propriedades:

I. O número de diagonais é igual a 2. II. A soma dos ângulos internos vale 360°. III. A soma dos ângulos externos vale 360°

Chama-se paralelogramo ao quadrilátero que possui os lados apostos paralelos dois a dois.

Para todo paralelogramo, além das propriedades de I), II) e III), acima, valem ainda: IV. Dois ângulos opostos são iguais. V. Dois ângulos consecutivos são suplementares. VI. Dois lados opostos são iguais. VII. As suas diagonais cortam-se ao meio.

Retângulo é o paralelogramo que possui os quatro ângulos iguais.

VIII. Em todo retângulo, as diagonais são iguais. Retângulo

Paralelogramo A B

C D

BCD

CD

//Α

//ΑΒ

Losango é o paralelogramo que possui quatro lados iguais.

I. Em todo losango as diagonais são perpendiculares e bissetrizes dos ângulos internos.

Quadrado é o paralelogramo que possui os ângulos iguais e os lados iguais.

II. O quadrado é, ao mesmo tempo, retângulo e losango. Assim, valem para o quadrado as propriedades de I) a IX), acima.

Trapézio é o quadrilátero que possui dois lados paralelos, chamados bases.

Losango

Quadrado

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CLASSIFICAÇÃO Um trapézio pode ser:

a) Isósceles, se os lados oblíquos às bases são iguais. b) Retângulo, se um dos lados não paralelos é perpendicular às bases. c) Escaleno, se os lados oblíquos às bases são diferentes.

I. Em todo triângulo retângulo, a mediana relativa à hipotenusa vale a metade da hipotenusa. II. Em todo triângulo retângulo de ângulos agudos iguais a 30° e 60°, o cateto oposto ao ângulo de 30°

vale a metade da hipotenusa. III. Em todo triângulo, o segmento que une os pontos médios de dois lados é paralelo ao terceiro lado, e

vale a metade dele.

Chama-se base média de um trapézio ao segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos.

IV. Em todo trapézio, representando as bases por B e b, a base média vale:

A

M BC

21MN

BCMN

⋅=

//N

B C

Trapézio escaleno B

b

Trapézio isósceles

b

B α α Trapézio retângulo

B

b

Chama-se mediana de Euler de um trapézio ao segmento que une os pontos médios das diagonais.

V. Em todo trapézio, representando as bases por B e b, a mediana de Euler vale:

B

b

N M b m

bm = 2

bB +

N M m e P Q me =

2bB −

b

B

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CÍRCULO

Definições Dado um ponto O do plano e sendo R um número real positivo, chamamos de circunferência de centro O e

raio R ao conjunto dos pontos P do plano tais que ROP = . O conjunto dos pontos P do plano tais que ROP ≤constitui o círculo de centro O e raio R.

A razão entre o comprimento da circunferêcia (C) e o seu diâmetro (2R) é um número irracional, denominado π:

R P

O O

π=2RC

onde π tem valor aproximado igual a 3,141592... ou 7

22 ou 3 + 2

I) A tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência. II) Se, por um ponto exterior a uma circunferência, traçamos duas tangentes, elas são iguais.

TEOREMA (PITOT) Todo quadrilátero circunscrito a uma circunferência possui as somas dos lados opostos iguais. Aplicando a propriedade anterior aos quatro vértices do quadrilátero da figura, obtemos:

Dadas duas circunferências de raios R e r, com r < R, e sendo d a distância entre os seus centros O e O', dizemos que estas duas circunferências são:

I) exteriores, se d > R + r. II) tangentes exteriormente, se d = R + r. III) secantes, se R − r < d < R + r. IV) tangentes interiormente, se d = R − r. V) interiores, se d < R − r.

z)(y w)(x BCAD +++=+

w)(zy)xCDAB +++(=+ Logo

CDABBCAD +=+

D P C

N Q

B

A M

w w

x

z z

y

y x

R

t

O

.

PBPA = O

A

B

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VI) concêntricas, se d = 0.

VII) se duas circunferências são tangentes, então seus centros e o ponto de tangência são colineares.

ÂNGULOS NO CÍRCULO

Definições e Propriedades Chama-se ângulo central o ângulo cujo vértice é o centro de uma circunferência e cujos lados são raios. A

medida do arco interior ao ângulo é, por definição, a mesma medida do ângulo.

Chama-se ângulo inscrito ao ângulo cujo vértice está sobre uma circunferêcia, e cujos lados são cordas.

I. A medida de um ângulo inscrito é a metade da medida do arco compreendido no seu interior.

α = AB

B

O

A

α

α = 2

AMB P α

A

B

M

d

R r O O'

Exteriores Tangentes exteriormente

d

R O

r O'

Secantes

R

O

r

O' d

Tangentes interiormente

R O r O' d

Interiores

R

O r O' d O = O'

Concêntricas

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Educação sem FronteirasChama-se ângulo de segmento ao ângulo cujo vértice está sobre uma circunferência, e cujos lados são uma

corda e uma tangente. I. A medida de um ângulo de segmento é a metade da medida do arco compreendido no seu interior.

Chama-se ângulo de vértice no círculo ao ângulo formado por duas cordas que se encontram no interior do círculo. II. A medida do ângulo de vértice interior ao círculo é a semi-soma dos arcos determinados pelos lados e

pelos seus prolongamentos.

Chama-se ângulo de vértice exterior ao círculo ao ângulo formado por duas secantes, ou uma secante e uma tangente, ou duas tangentes que se encontram no exterior do círculo. III. A medida do ângulo de vértice exterior à circunferência é a semi-diferença dos arcos compreendidos no

interior do ângulo.

α = 2

CNDAMB −

α = 2

BMP M

P

B

α

A

B

N M O

D

C

α

A

N M

O

D

B = C

α

A = D

B = C

M N O

α

α = 2

CNDAMB +

D

N C

M

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Exercícios

1. (FUVEST) Na figura, as retas r e s são paralelas, o ângulo 1 mede 45º e o ângulo 2 mede 55º. A medida, em graus, do ângulo 3 é: (A) 50 (B) 55 (C) 60 (D) 80 (E) 100

2. (UNIRIO) As retas r1 e r2 são paralelas. O valor do ângulo α, apresentado na figura abaixo,

é: (A) 40° (B) 45° (C) 50° (D) 65° (E) 130°

3. Os dois maiores lados de um triângulo medem 8 cm e 12 cm. Calcule o número de valores

inteiros que, em centímetros, pode expressar a medida do terceiro lado. 4. Dentre os triângulos de 12 cm de perímetro, nenhum pode ter qualquer dos lados medindo:

(A) 4 cm (D) 7 cm (B) 1 cm (E) menos de 6 cm (C) 2 cm.

5. (PUC) Os ângulos de um triângulo medidos em graus são:

3 48, 2 10 10x x e x− + − O maior ângulo mede: (A) 86º (B) 45º (C) 75º (D) 90º (E) 40º 6. Na figura, temos:

(A) x = a – b + c (B) x = –a + b + c (C) x = a + b + c (D) x = a + b – c (E) x = a – b – c

r

s

1

2 3

α

130º

r1

r2

a

b cx

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7. Na figura, calcule a soma dos ângulos A, B, C, D, E e F. A B

D

C

E

F

8. No triângulo abaixo, Â = 38º, e BD e CD são bissetrizes internas. Calcule θ. A

B C

D

θ

9. Observe a figura

Nela, a, 2a, b, 2b e x representam as medidas, em graus, dos ângulos assinalados. O valor de x, em graus, é (A) 100 (B) 110 (C) 115 (D) 120

10. Na figura, temos AD = DC = CB , e AB = AC . Calcule o valor de α.

11. Na figura, temos AB = AC , e AE = AD . Calcule o valor de θ.

A

BC

D

α

a x 2a

2b

b

  A

B

D

CE

θ

50º

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12. (UNIFICADO) Na figura abaixo, os pontos A, B e C representam as posições de três casas construídas numa área plana de um condomínio. Um posto policial estará localizado num ponto P situado à mesma distância das três casas. Em Geometria, o ponto P é conhecido com o nome de:

(A) baricentro. (B) ortocentro. (C) circuncentro. (D) incentro. (E) ex-incentro.

13. Em um triângulo ABC, temos  = 70º e B = 60º. Ligando o ortocentro H aos vértices, obtemos três

ângulos de vértice H. Calcule-os. 14. No triângulo ABC, retângulo em A, temos B = 70º. Calcule o ângulo formado pela altura e pela bissetriz

interna relativas ao vértice A.

15. (PUC) As dimensões do triângulo ABC são AB = 11, AC = 18 e BC = 20. Calcule o perímetro do triângulo AMN, sabendo-se que MN é paralelo a BC, que OB é a bissetriz do ângulo ABC e que OC é a bissetriz do ângulo ACB.

A

B C

M N

16. No triângulo ABC, dado abaixo, os lados AB, AC e BC medem respectivamente 5 cm, 7cm e 9 cm. Se P

é o ponto de encontro das bissetrizes dos ângulos ˆB e C e PQ//MB, PR//NC e MN//BC, calcule a razão entre os perímetros dos triângulos AMN e PQR.

A B

C

17. (UFRJ) Na figura a seguir, cada um dos sete quadros contém a medida de um ângulo expressa em graus. Em quaisquer três quadros consecutivos temos os três ângulos internos de um triângulo.

100º

x

65º

Determine o valor do ângulo X.

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Educação sem Fronteiras18. (UFF) O triângulo MNP é tal que M = 80° e P = 60°. A medida do ângulo formado pela bissetriz do

ângulo interno N com a bissetriz do ângulo externo P é: (A) 20° (B) 30º (C) 40° (D) 50° (E) 60° 19. (PUC) No triângulo ABC, o ângulo CAB supera em 30 graus o ângulo ABC; D é um ponto sobre o lado

BC tal que AC = CD. Então a medida (em graus) do ângulo BAD é:

(A) 30 (B) 20 (C) 22 21 (D) 10 (E) 15

20. Na figura, ABCD é um quadrado, e ABE é um triângulo eqüilátero.

O ângulo α mede: A

C B

D

E

α

(A) 10° (B) 15° (C) 20° (D) 25° (E) 30°

21. Na figura, calcule B C+A + + +D +E F

A

B

G

D C

F

E120º

22. (UERJ) Se um polígono tem todos os lados iguais, então todos os seus ângulos internos são iguais: Para mostrar que essa proposição é falsa, pode-se usar como exemplo a figura denominada: (A) Losando (B) Trapézio (C) Retângulo (D) Quadrado

23. Observe o cubo ABCDEFGH desenhado abaixo. Se M e N são os pontos médios das arestas AE e CG,

demonstre que o quadrilátero é um losango.

 

24. Considere a asserção (A) e a razão (R) A : "Todo retângulo é um paralelogramo", porque R : "As diagonais do retângulo são congruentes" pode-se dizer que: A) (A) e (R) são verdadeiras e (R) justifica (A) B) (A) e (R) são verdadeiras e (R) não justifica (A) C) (A) e (R) são falsas D) (A) é verdadeira e (R) falsa E) (A) é falsa e (R) é verdadeira

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25. (FUVEST) No retângulo ao lado, o valor, em graus, de α + β é (A) 50 (B) 90 (C) 120 (D)130 (E) 220

26. (UNIFICADO)

A

D

B

C

A

D

B

C

E B

F

D

AC

fig. 1 fig. 2 fig. 3 Origami é a arte japonesa das dobraduras de papel. Observe as figuras acima, onde estão descritos os passos iniciais para se fazer um passarinho: comece marcando uma das diagonais de uma folha de papel quadrada. Em seguida, faça coincidir os lados AD e CD sobre a diagonal marcada, de modo que os vértices A e C se encontrem. Considerando-se o quadrilátero BEDF da fig. 3, pode-se concluir que o ângulo BED mede: (A) 100º (B) 112º 30’ (C) 115º (D) 125º 30’ (E) 135º

40º

α

β

27. (UNIFICADO)

No quadrilátero ABCD da figura acima, são traçadas as bissetrizes CM e BN, que formam entre si o ângulo α. A soma dos ângulos internos A e D desse quadrilátero corresponde a: (A) 3α (B) 2α (C) α (D)

α2 (E)

α4

28. (UNICAMP) Um trapézio retângulo é um quadrilátero convexo plano que possui dois ângulos retos, um

ângulo agudo α e um ângulo obtuso β. Suponha que, em um tal trapézio, a medida de β seja igual a cinco vezes a medida de α.

A) Calcule a medida de α, em graus. B) Mostre que o ângulo formado pelas bissetrizes de α e β é reto.

29. PUC) Considere o triângulo ABC em que AB = BC = l. Seja D o ponto médio de AC, e E o ponto médio de AB. O comprimento de DE vale:

(A) 31 (B)

42 (C)

22 (D)

21 (E)

41

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15

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Educação sem Fronteiras

30. Cada triângulo da figura é construído unindo-se os pontos médios dos lados do triângulo anterior. Determine x, sabendo que o perímetro do triângulo ABC é 16.

A C

B

0,8 x

1,5

31. ABCD é um quadrilátero cujas diagonais medem 10cm e 14cm. Calcular o perímetro do paralelogramo cujos vértices são os pontos médios dos lados desse quadrilátero.

32. (UNIFICADO) Em relação à figura abaixo, considere: (I) AB é um diâmetro da circunferência de centro O; (II) a reta "t", paralela à corda AR , é tangente à circunferência no ponto T; (III) o ângulo BÂR mede 20°.

Então, a medida do ângulo x formado pela reta t e pela corda AT é: (A) 25° (B) 35° (C) 40° (D) 45° (E) 60°

33. Na figura, Â = 56º, EDC = 107º e BCD = 93º. Então, o arco CMD mede: (A) 37º (B) 14º (C) 100º (D) 56º (E) 44º 34. Na figura dada abaixo, os segmentos de reta AP e DP são tangentes à circunferência, o arco ABC mede

110º e o ângulo ˆCAD mede 45º. Calcule a medida do ângulo ˆAPD .

O B A

R

T t

x

EA B

C

MD

0

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35. Na figura abaixo, x = 42º 22’ e y = 22º 10’. Calcular CD.

AD

C

B

x

Py

36. Na figura, AL é o lado de um quadrado inscrito e BM, o lado do decágono regular inscrito. Calcule a medida do ângulo x.

A B

M

0

L

x

37. A corda BC do círculo maior é tangente ao menor em D e o arco BE = 60º. Calcule a medida do ângulo CÂE.

B A

C

Q

D

Q’

E

38. (UFRJ) Na figura a seguir, A não pertence ao plano determinado pelos pontos B, C e D. Os pontos E, F, G e H são os pontos médios dos segmentos AB, BC, CD e DA, respectivamente.

Prove que EFGH é um paralelogramo.

A

H

D G

C F B

E

1) E 2) A 3) 3 4) D 5) A

6) C 7) 3600 8) 1090 9) D 10) 036

11) 250 12) C 13)

0

0

0

130120

BHC 110

AHBAHC

=

=

=14) 250 15) 29

16)43 17) 150 18) C 19) E 20) E

21) 3000 22) A 23) DEMO 24) B 25) D26) B 27) B 28) A) 300 B) DEMO 29) D 30) 1,7

31) 24 32) B 33) E 34) 20° 35) `12 200

36) 270 37) 300

GABARITO

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Educação sem Fronteiras

LINHAS PROPORCIONAIS

TEOREMA DE THALES Quando duas transversais interceptam um feixe de paralelas, os segmentos determinados nas

transversais são respectivamente proporcionais.

CONSEQUÊNCIA Toda paralela a um lado de um triângulo determina sobre os outros lados (ou seus prolongamentos)

segmentos proporcionais.

TEOREMA DA BISSETRIZ INTERNA (TBI) Em todo triângulo, a bissetriz interna relativa a um dos lados determina sobre ele segmentos

proporcionais aos outros dois.

TEOREMA DA BISSETRIZ EXTERNA (TBE) Em todo triângulo, com a exceção do triângulo isósceles, a bissetriz externa a qualquer ângulo divide o

lado oposto, prolongado, em dois segmentos proporcionais aos outros lados.

D

CDAC

BDAB

=

B

C

D

E

F

G

H

A

EHAD

GHCD

FGBC

EFAB

===

B C

A

α α

A

B C D

α α

CDAC

BDAB

=

S R

B C

S R

B C

ACAB

CSBR

ASAR

==

A

A

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Educação sem Fronteiras

SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS O conceito de semelhança está ligado as formas das figuras; assim, dizemos que dois círculos são figuras

semelhantes, porém, um círculo e um quadrado não são semelhantes pois não têm a mesma forma. Dois triângulos nem sempre são semelhantes, há condições que devem ser atendidas para que o sejam. São os chamados casos de semelhança de triângulos. 1º caso Se dois triângulos possuem dois ângulos correspondentes iguais, então eles são semelhantes.

A

B

C A’

B’

C’

SEMELHANÇA⇒⎭⎬⎫Â’=Â

Â=B B’Â

2º caso Se dois triângulos têm os lados correspondentes proporcionais, então os triângulos são semelhantes.

A

B

C A’

B’

C’

c a

b

c’ a’

b’

a’a =

b’b =

c’c

⇒ SEMELHANÇA

3º caso Se dois lados de um triângulo são proporcionais aos correpondentes de outro triângulo e os ângulos formados por esses lados são iguais, então os triângulos são semelhantes.

A

B

C A’

B’

C’

c a

b

c’ a’

b’

 = ÂC = C’SEMELHANÇA⇒

⎪⎭

⎪⎬

a’a =

b’b

⎪ Os únicos polígonos para os quais semelhança é uma idéia simples são os triângulos pois, neles, ângulos iguais

equivalem a lados proporcionais, isto é, para dois triângulos ABC e A’B’C’, sempre que os ângulos forem respectivamente iguais, os lados serão proporcionais.

⎪⎭

⎪⎬

Â’=Â

Â=B B’Â

Â=C C’Â

⇔ a’a =

b’b =

c’c

= k, k ∈

*R+

Dizemos que o nº positivo k é a razão de semelhança e representamos Δ ABC ~ Δ A’B’C’.

Page 19: Matemática Livro 3 Serie

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Educação sem Fronteiras

POLÍGONOS SEMELHANTES Dois polígonos são semelhantes se os ângulos internos forem congruentes e se os lados que formam os

ângulos congruentes forem, respectivamente, proporcionais.

A’ B’

C’

D’

E’E

D

C

A B

ABCDE ~ A’B’C’D’E’ ⇔

⎪⎩

⎪⎨

⎧ ,= A’ˆA

B’C’BC

A’B’AB = == …

A’E’AE

= B’ˆB = E’ˆE, …, ⎪⎪

⎪⎪

e

PROPRIEDADES • Se dois polígonos são semelhantes não só os seus lados são proporcionais como também quiasquer dois

segmentos correpondentes.. • A razão dos perímetros de dois polígonos semelhantes é igual a razão de semelhança.

TEOREMAS

I. Se duas cordas, AB e CD , se encontram em um ponto P, interior a uma circunferência, então: PDPCPBPA ⋅=⋅

II. Se, por um ponto P, exterior a um círculo, traçamos uma secante e uma tangente, como na figura, então:

2PTPBPA =⋅

C A

D B P

B A

T

P

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III. Se, por um ponto P, exterior a um círculo, traçamos duas secantes conforme a figura anexa, então:

PDPCPBPA ⋅=⋅

B A

C P D

Observação A partir desses teoremas, podemos notar que se, por um ponto P, interior ou exterior a uma círculo,

traçamos uma secante que intercepta a circunferência em A e B, o produto PBPA ⋅ é constante, independente da posição de A e B. Ou seja, este produto depende apenas da posição do ponto P. Vamos caracterizá-lo em função do raio r do círculo e da distância d do ponto P ao centro O do círculo.

Seja AB uma secante arbitrária, contendo P, e seja CD o diâmetro que contém P. Temos os casos seguintes:

I) P interior

II) P exterior

Definição Chama-se potência de um ponto P em relação ao círculo de centro 0 ao número real d2 - r2, onde d é a

distância entre P e 0, e r é o raio do círculo. Representa-se por pot P.

Observação

Se P é interior ao círculo, d < r, logo d2 < r2 e pot P < 0 Se P é exterior ao círculo, d > r, logo d2 > r2 e pot P > 0 Se P está sobre o círculo, d = r, logo d2 = r2 e pot P = 0

PC = r − d PD = r + d

PDPCPBPA ⋅=⋅ = =+− d)(rd)r( 22 dr −

PC= d − r PD = d + r

PDPCPBPA ⋅=⋅ = =+−( r)(dr)d 22 rd −

B A

P r r d − r

C d

D

d r C

B

P

A

D

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Exercícios

1. Na figura abaixo, r//s e t//u//v, considere AB = 3, CD = 12 e EF = 6, assim, calcule FG .

A E

F

GD

CB

t

u

v

r s

2. (UNIFICADO) No desenho abaixo apresentado, as frentes para a rua A dos quarteirões I e II medem,

respectivamente 250m e 200m, e a frente do quarteirão I para a rua B mede 40m a mais do que a frente do quarteirão II para a mesma rua. Sendo assim, pode-se afirmar que a medida, em metros, da frente do menor dos dois quarteirões para a rua B é: (A) 160 (B) 180 (C) 200 (D) 220 (E) 240

3. Os lados de um triângulo são AB = 5 cm, BC = 8 cm e AC = 7 cm. Pelo ponto D do lado BC tal que o

segmento DB mede 2 cm, traçam-se paralelas aos outros dois lados do triângulo, obtendo-se um paralelogramo. Calcule o perímetro desse paralelogramo.

4. (UFRJ) Um automóvel de 4,5m de comprimento é representado, em escala, por um modelo de 3 cm de

comprimento. Determine a altura do modelo que representa, na mesma escala, uma casa de 3,75m de altura.

Rua A

Rua B I II

Page 22: Matemática Livro 3 Serie

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5. Observe as retas paralelas r e s na figura abaixo, onde AB = 12 cm, BP = 15 cm, CD = 8 cm e DP = 6 cm. Calcule as medidas de AP e CP:

A

BC

D

P

r

s 6. Em um triângulo ABC os pontos M e N dos lados AB e AC, respectivamente, determinam segmentos

sobre esses lados de modo que AM = 3 BM e AN = 3 CN. Se BC = 16 cm, calcule MN .

7. Os lados do triângulo ABC medem 25 cm, 20 cm e 15 cm. Calcule o maior lado do triângulo MNP, que é semelhante a ABC, sabendo que o perímetro de MNP é 48 cm. 8. Nas figuras abaixo sobre cada lado dos triângulos ABC e MNP estão indicadas suas medidas, tomadas

na mesma unidade. O ângulo ABC mede 45°. Quanto mede P N?

A

B

C

18

16

1421

N

27

M

24P

Page 23: Matemática Livro 3 Serie

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9. Dado o trapézio ABCD, de bases 20 cm e 8 cm e altura 15 cm, calcular a altura do triângulo limitado pela base menor e o prolongamento dos lados não paralelos.

10. (UFF) O circuito triangular de uma corrida está esquematizado na figura a seguir: Rua PQP Q RAv. QR

Av. SR

Rua TS

T

S

2 km 4 km

3 km

Rua

TP 3 km

Rua

SQ

As ruas TP e SQ são paralelas. Partindo de S, cada corredor deve percorrer o circuito passando, sucessivametne, por R, Q, P, T, retornando, finalmente, a S. Assinale a opção que indica o perímetro do circuito. (A) 4,5 km (C) 20,0 km (E) 24,0 km (B) 19,5 km (D) 22,5 km

11. As bases de um trapézio medem 6 cm e 8 cm, e a altura, 7 cm. Calcule a distância do ponto de interseção das diagonais à base maior.

12. (ENEM) A sombra de uma pessoa que tem 1,80 m de altura mede 60 cm. No mesmo momento, a seu

lado, a sombra projetada de um poste mede 2,00m. Se, mais tarde, a sombra do poste diminuiu 50 cm, a sombra da pessoa passou a medir:

(A) 30 cm (B) 45 cm (C) 50 cm (D) 80 cm (E) 90 cm

13. Observe a sucessão de quadrados do esquema abaixo. O valor de y é: (A) 12 (B) 10 (C) 8 (D) 7 (E) 6

x = 20 z = 5y

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14. (UNESP) Na figura, B é um ponto do segmento de reta AC e os ângulos DAB, DBE e BCE são retos.

Se AD = 6 dm, AC = 11 dm e EC = 3 dm, as medidas possíveis de AB, em dm, são: (A) 4,5 e 6,5. (C) 8 e 3. (E) 9 e 2. (B) 7,5 e 3,5. (D) 7 e 4.

15. Na figura dada, temos AB = 6, BC = 3, AE = 4 e AD igual a: (A) 10,5 (B) 10,0 (C) 11,5 (D) 13,5 (E) 8,0

C3

B

A

6

E Dx4

α

α

16. (UNIRIO)

4

2

4

5

Observe os dois triângulos acima representados, onde os ângulos assinalados são congruentes. O perímetro do menor triângulo é: (A) 3 (B) 15/4 (C) 5 (D) 15/2 (E) 15

Page 26: Matemática Livro 3 Serie

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Educação sem Fronteiras17. Considere os círculos tangentes as semi-retas Ot e Os. Mostre que x, y e z formam uma PG.

O

t

s 18. (PUC) ABCD é um paralelogramo, M é o ponto médio do lado CD, e T é o ponto de intersecção de AM

com BD. O valor da razão BDDT

é:

(A) 1/2 (B) 1/3 (C) 2/5 (D)1/4 (E) 2/7 19. Na figura, ABCD é um paralelogramo; MA = 1cm e AB = 2cm. Logo, AD mede: (A) 2 cm (B) 2 cm (C) 1 cm (D) 0,5 cm (E) 1,5 cm

MA B

CD

α

α

20. Dois círculos, tangente exteriormente, de raios iguais a 2R e R, estão inscritos num triângulo isósceles

ABC, conforme a figura abaixo. Determinar a altura AH .

B CH

A

21. (UFF) Na figura abaixo, M e N são pontos médios dos lados PQ e PR do triângulo PQR.

Sabendo que QR mede 18,0 cm e que a altura relativa a este lado mede 12,0cm, a altura do triângulo MNT, relativa ao lado MN , mede: (A) 4,0 cm (B) 3,5 cm (C) 3,0 cm (D) 2,0 cm (E) 1,5 cm

22. No interior de um triângulo retângulo foram colocados dois retângulos iguais, como mostra a figura

abaixo. Se cada retângulo possui dimensões 6 e 16, calcule x.

16

166

6

x

M

P

T

Q R

N

Page 27: Matemática Livro 3 Serie

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Educação sem Fronteiras

1) 24 2) A 3) 13 cm 4) 2,5 cm 5)cm10CP

cm9AP

=

=6) 12 cm

7) 20 cm 8) 450 9) 10 cm 10) B 11) 4 cm 12) B13) B 14) E 15) D 16) D 17) DEMO 18) B19) A 20) 8R 21) D 22) 9,6

GABARITO

TRIÂNGULO RETÂNGULO

RELAÇÕES MÉTRICAS Dado o triângulo retângulo da figura, onde a altura relativa à hipotenusa é representada por h e as

projeções dos catetos b e c sobre a hipotenusa são representadas por m e n, respectivamente, temos as seguintes relações:

(1) m + n = a (2) b2 = am (3) c2 = an

(4) bc = ah (5) h2 = mn (6) a2 = b2 + c2 (Pitágoras)

I. A altura de um triângulo equilátero de lado l é dada por

23h l

=

Traçando a altura AH , temos que H é o ponto médio de BC. Aplicando Pitágoras ao triângulo AHC, vem:

h2 + 2

2⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ l = 2l ⇒ h2 +

4

2l = 2l ⇒

h2 = 2l − 4

2l ⇒ h2 =4

3 2l ⇒

h = 2

l 3

A

l h

B H

C l/2

A

B C H

c b h

m n

. a

Page 28: Matemática Livro 3 Serie

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Educação sem Fronteiras

II. A diagonal de um quadrado de lado l é dada por

2d l=

Seja a diagonal BD do quadrado ABCD da figura, aplicando Pitágoras ao triângulo ABD, vem:

POLÍGONOS REGULARES

Definições e propriedades

Chama-se polígono regular ao polígono onde os lados são todos iguais e os ângulos são todos iguais. I. Todo polígono regular é inscritível e circunscritível

O raio do círculo inscrito em um polígono regular chama-se apótema do polígono.

II. Os ângulos AOB, BOC, ... são todos iguais. Este ângulo é dito o ângulo central do polígono, e sua

medida é :n

360º .

n180º

n360º2 =α⇒=α

Representaremos o lado do polígono regular de n lados por ln , o seu apótema por an e o raio do círculo a ele circunscrito por R.

1) Considere o triângulo AOB, retirado de um polígono regular de centro O e lado ln = AB . Traçando o apótema OM , obtemos os triângulos retângulos BMO e AMO. Agora, da figura, vem:

d 2 = 2l + 2l ⇒ d 2 = 2 2l ⇒ d = 2l

A B

C D

d

l

l

α α

A B

O

D

M

C

O

R

B

A

R

M a n

ln 2

α α ln

R2sen

nl=α ⇒ ln = 2R sen α

R cos na

=α ⇒ an = R cos α

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Casos Especiais Triângulo equilátero:

Quadrado:

Hexágono regular:

a3

a4

a6

2R

3R

60º3

180ºn

180º

3

3

=

=

===

a

l

α

22R

2R

45º

4

4

=

=

a

l

23R

R

30º

6

6

=

=

a

l l6

l4

l3

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Exercícios

1. A figura abaixo sugere uma nova maneira de demonstrar o teorema de Pitágoras. Para fazer a demonstração expresse a área do quadrado maior de duas maneiras diferentes: como produto dos lados e como a soma da áreas dos 4 triângulos e do quadrado menor

2. (UFF) A figura abaixo representa o quadrado M N P Q de lado l = 4 cm. N

M Q

P

Z

LK

Y

X

J

2 cm1 cm

l = 4 cm

Sabendo que os retângulos N X Y Z e J K L Q são congruentes, o valor da medida do segmento YK é:

(A)

32 cm (B) 2 3 cm (C)

22 cm (D) 2 cm

(E) 2 2 cm

3. (FGV) Um fino pedaço reto de bambu, de comprimento 1 m, foi partido em três pedaços, como mostra

a figura abaixo. As partes AB e BC têm comprimentos iguais e fazem ângulo reto. A parte CD tem sua extremidade D no ponto médio de AB. Assinale, dentre as opções a seguir, a que mais se aproxima do comprimento de CD.

Observação: 5 ≅ 2,24 C

B AD

(A) 33 cm (B) 34,5 cm (C) 36 cm (D) 37,5 cm (E) 39 cm

c b

b b

b c

c

c

a

a

a

a

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4. (RURAL) O raio de um círculo mede 6m. Por um ponto P, distante 10m do centro, traça-se uma

tangente. O comprimento da tangente entre P e o ponto de contato, é (A) 4 m. (B) 6 m. (C) 8 m. (D) 10 m. (E) 12 m.

5. (UNICAMP) Para trocar uma lâmpada, Roberto encostou uma escada na parede de sua casa, de forma que o topo d escada ficou a uma altura de aproximadamente 14 m . Enquanto Roberto subia os degraus, a base da escada escorregou por 1 m, indo tocar o muro paralelo à parede, conforme ilustração a seguir. Refeito do susto, Roberto reparou que, após deslizar, a escada passou a fazer um ângulo de 45º com a horizontal. Pergunta-se:

(A) Qual é a distância entre a parede da casa e o muro? (B) Qual é o comprimento da escada de Roberto?

6. Num triângulo retângulo, o duplo produto dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Calcule os

ângulos agudos desse triângulo.

7. (UNIFICADO) Numa circunferência de l6cm de diâmetro, uma corda AB é projetada ortogonalmente sobre o diâmetro BC . Sabendo-se que a referida projeção mede 4cm, a medida de AB , em cm, é igual a:

(A) 6 (B) 8 (C) 10 (D) 12 (E) 14

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GABARITO1) DEMO 2)D 3)C 4)C 5)A) d = 3m B) 3 2 m6)450 7)B

ANOTAÇÕES

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ÁREAS DE FIGURAS PLANAS Duas figuras planas são equivalentes quado possuem a mesma área. Por exemplo, o quadrado e o

paralelogramo da figura abaixo são equivalentes, pois é possível “cortar” o quadrado segundo a diagonal e rearrumá-lo como o paralelogramo.

Adotaremos como definição o fato de que a área de um retângulo cuja base mede b e cuja altura mede h é dada pelo produto destas medidas, isto é:

PRINCIPAIS ÁREAS I. Quadrado de lado l: o quadrado é um retângulo de base e altura iguais. Logo, II. Paralelogramo de base b e altura h: da igualdade dos triângulos APD e BQC, vem que o paralelogramo

ABCD é equivalente ao retângulo PQCD. Logo, III. Triângulo de base b e altura h: traçando paralelas aos lados do triângulo ABC, obtemos o paralelogramo

ABDC, de mesma altura do triângulo. Como os triângulos ABC e BCD são iguais, vem que a área do triângulo é a metade da área do paralelogramo. Logo,

h

A b B

C D

S = 2hb

h

b

S = bh

l

l

S = l2

h h

b

P

D C

B Q A

S = bh

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IV. Triângulo de lados a e b, que formam um ângulo θ:

V. Triângulo de lados a, b e c, e perímetro a + b + c = 2p:

))(p)(pp(pS cba −−−=

VI. Triângulo equilátero de lado l: sabemos que altura do triângulo equilátero é dada por 23h l

= .

Logo, a sua área é:

VII. Triângulo retângulo de catetos b e c: se utilizarmos o cateto b como base e o cateto c como altura,

teremos:

VIII. Trapézio de bases B e b de altura h: se traçarmos uma das diagonais do trapézio, este ficará

decomposto em dois triângulos, com base B e b, e ambos com altura h. Logo:

S = S1 + S2 = 21

Bh + 21

bh = 21

(B + b)h

h l l

l

a c

b

h

b

B

S1

S2

θ=

⇒⎪⎭

⎪⎬

=

θ=

sen 21S

h21S

sen h

ab

b

a

,23

21h

21S llb ⋅⋅== ou

43S

2l=

. bc 2

S =

S = 21

bh = 21

b ⋅ c

B

C H

A

c h

a

θ b

Como a base média é dada por bm = 2

B b+ temos:

( ) hbhbm2

BS =+

=

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I. Quadrilátero de diagonais perpendiculares D e d: a diagonal d divide o quadrilátero em dois triângulos de áreas S1 e S2, com alturas x e y, tais que x + y = D.

portanto: 2dDS =

Em particular, esta é uma fórmula para calcularmos a área do losango. II. Área do círculo de raio R: considere um polígono regular de n lados inscrito no círculo de raio R. Seja l

e a respectivamente o lado e o apótema deste polígono. A área do polígono é n vezes a área de cada triângulo de base l e altura a.

Mas o produto nl é o perímetro do polígono, representado por 2p.

aa p2

2pS =⋅

= onde p é o semiperímetro e a o apótema.

Aumentando indefinidamente o número de lados, o polígono se torna cada vez mais próximo do círculo.

Dizemos que o polígono “tende” ao círculo assim como o semiperímetro p tende ao semiperímetro do círculo, que é igual a πR, e o apótema tende ao raio do círculo.

⎪⎩

⎪⎨⎧

π→∞→

R

RPn

a

Portanto S = pa → S = πR ⋅ R → S = πR2

III. Coroa circular: Denomina-se coroa circular a porção do plano limitada por duas circunferências concêntricas. A área da coroa circular é igual à diferença entre as áreas dos dois círculos. Portanto:

S = n ⋅ 2

n21 laal =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

a

l

r R

S = πR2 − πr2 S = π(R2 − r2)

S = S1 + S2 = y)x(21y

21x

21

+=+ ddd

S1 x

y D S2

d

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XII. Área do setor circular: chama-se setor circular a porção do plano limitado por dois raios e um arco de uma mesma circunferência.

XIII. Segmento circular: Denomina-se segmento circular a porção do plano limitado por uma corda e o arco correspondente.

A área do segmento circular é obtida subtraindo-se ou somando-se a área do setor com a do triângulo:

ÁREAS DE FIGURAS SEMELHANTES Se duas figuras são semelhantes com razão de semelhança k, então a razão de suas áreas é o quadrado da

razão de semelhança k2.

A

O

B

A(setor) + A(triângulo)

A(setor) − A(triângulo) O

B

O

A

O

R

A

B

AÔB = α (em graus)

a área do setor é 360α da área

do círculo, isto é,

S = 360α

⋅ πR2

α

S ' 2k

'SS=

S

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1. Na figura a seguir, o triângulo ABF é eqüilátero. Sendo dado que BC = CD = DE = EF, escreva a área do quadrilátero CPQE, em função da área S, do triângulo ABF.

2. Quanto aumenta a área de um círculo, se aumentarmos em 100% o valor do raio? 3. Calcule, em cm£, a área hachurada.

4. A diagonal de um quadrado mede 6 cm. Outro quadrado tem área igual ao dobro do primeiro. Calcule a diagonal do segundo quadrado. 5. Um fazendeiro, percorrendo com um carro todo o contorno de sua fazenda, de forma retangular, perfaz exatamente 26 km. A Área ocupada pela fazenda é de 40 km£. Quais são as dimensões da fazenda?

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6. Calcule a área hachurada da figura, sabendo-se que "O" é o centro das circunferências e OA = 4 cm e AB = 5 cm.

7. Na figura a seguir, OA = 10 cm, OB = 8 cm e AOB = 30°.

Calcule, em cm£, a área da superfície hachurada. Considere ™ = 3,14. 8. No interior de um quadrado ABCD de lado 1, toma-se um ponto P e liga-se P aos quatro vértices por meio de segmentos de reta, dividindo o quadrado em quatro triângulos. Escolhem-se dois desses triângulos que não tenham lados em comum a calcula-se a soma S das áreas dos dois triângulos. Determine S. 9. Em um círculo, está inscrito um quadrado de 24 cm de perímetro. Se desejássemos inscrever, nesse mesmo círculo, um hexágono regular, qual seria a área desse polígono em cm£? 10. Um triângulo retângulo tem área 6 cm£ e perímetro 12 cm. Quanto mede a hipotenusa?

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11. Seja ABC um triângulo eqüilátero de área 30 cm£. Seja PQR um triângulo eqüilátero com P no lado BC, Q no lado CA e R no lado AB. Dado que o ângulo CPQ é igual a 90°, determine: a) os ângulos AQR e BRP. b) a área do triângulo PQR. 12. Considere o paralelogramo ABCD, a seguir, de área 24 cm£. Sejam M o ponto médio do segmento CD, E o ponto de interseção entre os segmentos AC e BM e AB = 8 cm.

a) Calcule a altura do paralelogramo com relação à base CD. b) Encontre a área da figura plana hachurada em cinza. 13. Os triângulos ABC e åæè da figura são equiláteros e têm o centro O em comum.

Sendo L o lado do triângulo maior, determine o lado Ø do triângulo menor de forma que a área da figura sombreada seja metade da área do triângulo ABC.

Page 40: Matemática Livro 3 Serie

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14. Tangram é um antigo quebra-cabeça chinês formado por um quadrado decomposto em sete peças: cinco triângulos, um paralelogramo e um quadrado, como mostra a figura A. A figura B é obtida a partir da figura A por meio de translações e rotações de seis dessas peças.

Determine a razão da área da figura A para a área da figura B. 15. A, B e D são pontos sobre a reta r e C� e C‚ são pontos não pertencentes a r tais que C�, C‚ e D são colineares, como indica a figura a seguir.

Se S� indica a área do triângulo ABC� e S‚, a área do triângulo ABC‚, e sabendo que DC� = 7, C�C‚ = 9 e S‚ = 4, determine S�.

Page 41: Matemática Livro 3 Serie

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16. Na figura, os triângulos ABD e BCD são isósceles. O triângulo BCD é retângulo, com o ângulo C reto, e A, B, C estão alinhados.

a) Dê a medida do ângulo BÂD em graus. b) Se BD = x, obtenha a área do triângulo ABD em função de x. 17. No toldo da barraca de seu Antônio, decorado com polígonos coloridos, destaque-se um dodecágono cujos vértices são obtidos a partir de quadrados construídos em torno de um hexágono regular, conforme mostra o desenho a seguir.

a) Demonstre que o dodecágono ABCDEFGHIJKL é um polígono regular. b) Tomando o quadrado de lado åæ como unidade de área, calcule a área desse dodecágono.

Page 42: Matemática Livro 3 Serie

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TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 3 QUESTÕES. A construção da cobertura de um palanque usado na campanha política, para o 1¡. turno das eleições passadas, foi realizada conforme a figura. Para fixação da lona sobre a estrutura de anéis, foram usados rebites assim dispostos: 4 no primeiro anel, 16 no segundo, 64 no terceiro e assim sucessivamente. 18.

Portanto, se a estrutura era composta de 5 anéis, o número mínimo de caixas, com 100 rebites em cada uma, utilizadas na obra foi de a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18 19.

Se, no plano cartesiano, a equação da circunferência externa do anel externo da figura é x£ + y£ - 12x + 8y + 43 = 0, então o centro e o raio dessa circunferência são, respectivamente, a) (6, - 4) e 3 b) (- 6, 4) e 9 c) (6, - 4) e 9 d) (- 6, 4) e 3 e) (6, 4) e 3

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20.

Supondo que todos os anéis da cobertura do palanque num mesmo plano formem um gráfico de oito setores iguais, a razão entre a área da região hachurada e o comprimento da circunferência externa do anel externo é a) o dobro do raio. b) a quarta parte do raio. c) a metade do raio. d) o triplo do raio. e) a terça parte do raio. 21. Na figura abaixo, o triângulo ABC inscrito na circunferência tem AB = AC. O ângulo entre o lado åæ e a altura do triângulo ABC em relação a æè é ‘. Nestas condições, o quociente entre a área do triângulo ABC e a área do círculo da figura é dado, em função de ‘, pela expressão:

a) (2/™) cos£‘ b) (2/™) sen£2‘ c) (2/™) sen£2‘ cos‘ d) (2/™) sen‘ cos2‘ e) (2/™) sen2‘ cos£‘

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22. O triângulo ACD é isósceles de base CD e o segmento OA é perpendicular ao plano que contém o triângulo OCD , conforme a figura:

Sabendo-se que OA = 3, AC = 5 e senOCD = 1/3, então a área do triângulo OCD vale a) 16(Ë2)/9 b) 32(Ë2)/9 c) 48(Ë2)/9 d) 64(Ë2)/9 e) 80(Ë2)/9 23. Aumentando-se os lados a e b de um retângulo, respectivamente, de 15% e 20%, sua área aumentará em: a) 35% b) 36% c) 37% d) 38% e) 39% 24. Na figura, o ponto G é o baricentro do triângulo, e a área de S� é 6 cm£. A Área do triângulo ABC é:

a) 72 cm£ b) 62 cm£ c) 50 cm£ d) 42 cm£ e) 36 cm£

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25. O lado de um quadrado, inscrito em uma circunferência, mede 5Ë6 cm, então a área do hexágono regular, inscrito na mesma circunferência, em centímetros quadrados, é: a) (225Ë3)/2 b) 75Ë3 c) 125Ë2 d) (45Ë2)/2 e) Ë3 26. Na figura a seguir, AB = AC = 12 cm, DE = 5 cm e DF = 3 cm.

A área do triângulo ABC, em cm£, é: a) 24 b) 36 c) 48 d) 54 e) 62 27. Um fazendeiro de um determinado lugar está muito incomodado. Uma rodovia de 4 m de largura foi construída atravessando um dos seus pastos retangulares, dividindo-o em dois. Como resultado, ele perdeu um pouco de suas terras. Se todas as dimensões da figura estão em metros, a área do terreno que ele perdeu, em m£, é

a) 120 b) 150 c) 160 d) 200

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28. Certa cerâmica é vendida em caixas fechadas com 40 unidades cada. As peças são quadrados de 30 cm de lado. Sabendo-se que há uma perda de 10%, devido à quebra no assentamento, e que o preço da caixa é R$ 36,00, o valor gasto somente com esse material para revestir 240 m£ de piso é a) R$ 2 640,00 b) R$ 2 696,00 c) R$ 2 728,00 d) R$ 2 760,00 29. ABCD é um retângulo e M, N, P e Q, pontos médios de seus lados, conforme representado na figura. Se a área sombreada é 1/2, então, a área desse retângulo é igual a

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 30. Um mapa está na escala 1 : 500.000. Se um quadrado deste mapa tem 4 cm£ de área, então a área real deste quadrado em km£ é: a) 10. b) 20. c) 50. d) 100. e) 200.

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Educação sem Fronteiras31. O quadrado ABCD da figura a seguir tem lado igual a 6 cm. Os círculos com centros em A, B, C e D, respectivamente, têm raios iguais a 1/3 do lado do quadrado. Pode-se então afirmar que a área hachurada da figura é, em cm£, igual a:

a) 8 (2™ + 1). b) 4 (3™ + 2). c) 8 (2™ - 1). d) 6 (2™ + 1). e) 16™. 32. Um quadrado circunscrito a um círculo tem 64 m£ de área. A área em m£ do triângulo eqüilátero inscrito no mesmo círculo é: a) 10Ë3 b) 12Ë3 c) 8Ë3 d) 14Ë3 e) 6Ë3 33. A área de uma sala com a forma da figura a seguir é de:

a) 30 m£ b) 26,5 m£ c) 28 m£ d) 24,5 m£ e) 22,5 m£

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34. Um círculo de área C e um quadrado de área Q têm o mesmo perímetro. Logo a razão Q/C vale: a) ™ b) 1/2 c) ™/4 d) 2™ e) 1/4 35. A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 10 cm e o perímetro mede 22 cm. A área do triângulo (em cm£) é: a) 50 b) 4 c) 11 d) 15 e) 7 36. Num retângulo de perímetro 60, a base é duas vezes a altura. Então a área é: a) 200. b) 300. c) 100. d) 50. e) 30. 37. O retângulo LMNP está dividido em três quadrados (q�, q‚ e qƒ) e um retângulo (r).

A razão entre as medidas do lado menor e do lado maior de r é 1/2. A razão entre as áreas de r e de LMNP é a) 1/2 b) 1/16 c) 1/20 d) 1/24

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38. No retângulo XYZW, os lados XY e YZ medem, respectivamente, 8 m e 6 m.

Se M é o ponto médio do lado XY, então a medida, em m£, da área da região sombreada é a) 22 b) 20 c) 18 d) 16 39. A medida, em cm£, da maior área possível de um retângulo inscrito em uma circunferência cuja medida do raio é 1 cm é a) 2 b) 3 c) 2Ë3 d) 3Ë2 40. A corda PQ de uma circunferência S, cuja medida do diâmetro é 10 m, é o diâmetro de uma outra circunferência menor, que passa pelo centro de S. A medida da área da região limitada pela circunferência menor é: a) 25™/2 b) 15™/2 c) 10™/2 d) 20™/2 41.

Na venda de uma chácara com formato e dimensões dados na figura acima, o corretor recebeu uma comissão de cinco por cento sobre o preço de venda. Como o preço de venda do metro quadrado foi de 12 reais, o corretor recebeu de comissão a) R$ 11.040,00. b) R$ 10.205,00. c) R$ 10.095,00. d) R$ 8.785,00.

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Educação sem Fronteiras42. Uma construtora fez um loteamento em um terreno cujo formato está representado na figura a seguir, onde AB//CD//EF.

É correto afirmar que a área total do terreno, em m£, é: a) 525 m£ b) 675 m£ c) 150 (2 + Ë7) m£ d) 300 (1 + Ë7) m£ e) 450Ë7 m£

43. A figura 1 mostra uma pessoa em uma asa-delta .O esquema na figura 2 representa a vela da asa-delta, que consiste em dois triângulos isósceles ABC e ABD congruentes, com AC = AB = AD. A medida de AB corresponde ao comprimento da quilha. Quando esticada em um plano, essa vela forma um ângulo CÂD = 2š.

Suponha que, para planar, a relação ideal seja de 10 dm£ de vela para cada 0,5 kg de massa total. Considere, agora, uma asa-delta de 15 kg que planará com uma pessoa de 75 kg. De acordo com a relação ideal, o comprimento da quilha, em metros, é igual à raiz quadrada de: a) 9 cos š b) 18 sen š c) 9/cos š d) 18/sen š

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44. Uma folha de cartolina quadrada é colocada sobre uma mesa. A cartolina é branca no seu lado visível e preta no seu verso. Ao dobrarmos a cartolina, sem emborcá-la, ao longo de um segmento que une um vértice ao ponto médio de um lado não incidente sobre esse vértice, resulta num polígono P que tem uma parte branca e uma parte preta visíveis. Assinale a alternativa na qual consta a melhor aproximação da porcentagem da área branca visível do polígono P em relação à área de P. a) 67% b) 65% c) 50% d) 35% e) 33% 45. Um triângulo eqüilátero, um quadrado e um círculo têm o mesmo perímetro. Se At e Aq , Ac denotam respectivamente as áreas do triângulo, do quadrado e do círculo, podemos afirmar que: a) At > Aq > Ac b) Ac > Aq > At c) Aq > At > Ac d) Aq > Ac > At e) Ac > At > Aq 46. Um cão de guarda é amarrado a uma corda de 9 m de comprimento, fixada a uma argola que desliza por uma barra de ferro posicionada ao longo de uma das paredes de um galpão. Assim, o cão pode proteger uma considerável região ao redor do galpão. Qual a área da região na qual o cão pode circular mesmo estando preso por essa corda?

a) [(81™/2) + 180] m£ b) 180 m£ c) 200 m£ d) (81™ + 180) m£

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47. O octógono regular de vértices ABCDEFGH, cujos lados medem 1 dm cada um, está inscrito no quadrado de vértices PQRS, conforme mostrado nesta figura:

Então, é correto afirmar que a área do quadrado PQRS é a) 1 + 2Ë2 dm£ b) 1 + Ë2 dm£ c) 3 + 2Ë2 dm£ d) 3 + Ë2 dm£ 48. Um cavalo está preso por uma corda do lado de fora de um galpão retangular fechado de 6 metros de comprimento por 4 metros de largura. A corda tem 10 metros de comprimento e está fixada num dos vértices do galpão, conforme ilustra a figura a seguir. Determine a área total da região em que o animal pode se deslocar.

a) (75™ + 24) m£ b) 88™ m£ c) 20™ m£ d) (100™ - 24) m£ e) 176™ m£

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49. Na figura abaixo, os círculos menores são tangentes entre si e aos círculos concêntricos de raios r e R.

A área da região sombreada é a) 2™ (r£ - R£+ 3Rr). b) 2™ (-r£ - R£ + 3Rr). c) 2™ (-2r£ - R£ + 3Rr). d) ™ (r£ - R£ + 3Rr). e) ™ (-2r£ - R£ + 3Rr). 50. Numa esquina cujas ruas se cruzam, formando um ângulo de 120°, está situado um terreno triangular com frentes de 20 m e 45 m para essas ruas, conforme representado na figura a seguir.

A área desse terreno, em m£, é a) 225. b) 225Ë2. c) 225Ë3. d) 450Ë2. e) 450Ë3.

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51. Um triângulo equilátero foi inscrito em um hexágono regular, como representado na figura a seguir.

Se a área do triângulo equilátero é 2, então a área do hexágono é a) 2Ë2. b) 3. c) 2Ë3. d) 2 + Ë3. e) 4. 52. Seis octógonos regulares de lado 2 são justapostos em um retângulo, como representado na figura adiante.

A soma das áreas das regiões sombreadas na figura é a) 16. b) 16Ë2. c) 20. d) 20Ë2. e) 24.

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Educação sem Fronteiras53. Na figura a seguir, a área do triângulo ADE corresponde a 20% da área do quadrado ABCD.

Para que a área do triângulo EBC seja igual a 30 cm£, o lado do quadrado ABCD deve ser igual a a) 5 cm. b) 5Ë3 cm. c) 10 cm. d) 10Ë2 cm. 54. Se um arco de 60° num círculo I tem o mesmo comprimento de um arco de 40° num círculo II, então, a razão da área do círculo I pela área do círculo II é a) 2/9. b) 4/9. c) 2/3. d) 3/2. e) 9/4. 55. Você tem dois pedaços de arame de mesmo comprimento e pequena espessura. Um deles você usa para formar o círculo da figura I, e o outro você corta em 3 partes iguais para formar os três círculos da figura II.

Se S é a área do círculo maior e s é a área de um dos círculos menores, a relação entre S e s é dada por a) S = 3s. b) S = 4s. c) S = 6s. d) S = 8s. e) S = 9s.

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GABARITO 1. S/2 2. 300% 3. [(50™ - 75Ë3)/12] cm£ 4. 6Ë2 cm 5. 5 km e 8 km 6. 65™/2 cm£ 7. 9,42 cm£ 8. S = 1/2 u.a. 9. 27Ë3 cm£ 10. 5 11. a) AQR = BRP = 90° b) 10 cm£ 12. a) 3 cm b) 10 cm£ 13. [(2 - Ë2)/2]L. 14. 8/7 15. S� = 14 16. a) 22° 30' b) (x£Ë2)/4 unidades de área. 17. a)

Considere a figura acima. Sendo o ângulo FPG = ‘, temos: ‘ + 90° + 120° + 90° = 360° => ‘ = 60°. Como os lados adjacentes ao ângulo ‘ são os lados de quadrados congruentes, o triângulo FGP é isósceles de base FG. Conseqüentemente, os ângulos GFP e FGP são congruentes. Daí, o triângulo FGP é eqüilátero. Portanto, o dodecágono é eqüilátero. Observando ainda que os ângulos internos do dodecágono são dados por 90°+ 60°=150°, concluímos que o mesmo é eqüiângulo. Por conseguinte, este polígono é regular. b) 6 + 3Ë3 18. [C] 19. [A] 20. [B] 21. [E]

22. [B] 23. [D] 24. [E] 25. [A] 26. [C] 27. [C] 28. [A] 29. [D] 30. [D] 31. [B] 32. [B] 33. [B] 34. [C] 35. [C] 36. [A] 37. [C] 38. [D] 39. [A] 40. [A] 41. [C] 42. [C] 43. [D] 44. [A] 45. [B] 46. [D] 47. [C] 48. [B] 49. [C] 50. [C] 51. [E] 52. [E] 53. [C] 54. [B] 55. [E]

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Educação sem Fronteiras

ELEMENTOS GEOMÉTRICOS PRIMITIVOS

Ponto, reta, plano e espaço Postulados

a) por um ponto passam infinitas retas. b) por uma reta passam infinitos planos. c) um ponto da reta divide-a em duas

semi-retas. d) uma reta do plano divide-o em dois

semi-planos. e) um plano do espaço divide-o em dois

semi-espaços.

Determinações (da reta e do plano) Uma reta é determinada por dois pontos

distintos. Um plano é determinado por: a) três pontos não colineares; b) uma reta e um ponto fora dela; c) duas retas concorrentes; d) duas retas paralelas.

Posições relativas Duas retas podem ser:

Coplanares

Quando é possível admitir um plano contendo as duas retas. Sendo coplanares podem ser:

Paralelas: não têm ponto em comum.

I. Coincidentes: têm, todos os pontos em comum.

II. Concorrentes: quado têm um só ponto em comum. Interceptam-se num ponto.

Observação

Quando, além de concorrentes as retas formam ângulos retos, dizem-se perpendiculares.

Não Coplanares

Quando não existe plano que possa conter duas retas simultaneamente. Neste caso, as retas não têm ponto em comum e são chamadas reversas.

Observação

Quando, além de reversas as retas formam ângulos retos, dizem-se ortogonais.

Portanto, duas retas que formam ângulo reto podem ser:

a) Perpendiculares (normais): quando se cortarem (são concorrentes)

b) Ortogonais: quando não se cortam (são reversas).

Uma reta e um plano podem ser:

Reta contida no plano

Tem todos seus pontos no plano. Não é considerada como paralela ao plano.

Reta paralela ao plano

Quando nunca encontra o plano.

Incidente ou concorrente ao plano

Fura o plano num ponto.

Observação

Quando a projeção de uma reta sobre um plano for um ponto, a reta diz-se perpendicular ao plano.

r

s

r = s

r s

r s

r

s

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s

ortogonaissãoser}{sr

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⎪⎭

⎪⎬

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“Uma condição necessária e suficiente para que uma reta seja paralela a um plano é que ela não esteja contida no plano e seja paralela a uma reta deste.”

Se s ⊂ α, r ⊄ α, r // s ⇒ r // α

“Uma condição necessária e suficiente para que uma reta seja perpendicular a um plano é que forme o ângulo reto com duas retas concorrentes do plano.”

Se uma reta é perpendicular a um plano, então ela é perpendicular a todas as retas do plano que passam no ponto de interseção.

Dois planos podem ser: I) Paralelos: não se cortam, não têm

ponto em comum.

II) Coincidentes: têm todos os pontos em comum.

III) Incidentes ou concorrentes: Interceptam-se segundo uma reta.

Observação Quando a projeção de um plano sobre

o outro for uma reta, diz-se que os planos são perpendiculares.

“Uma condição necessária e suficiente para que dois planos sejam paralelos é que um deles contenha duas retas concorrentes, paralelas ao outro.” Se s ⊂ α, r ⊂ α, r e s são concorrentes, r // β, s // β ⇒ α // β

“Uma condição necessária e suficiente para que dois planos distintos sejam perpendiculares é que um deles contenha uma reta perpendicular ao outro.”

Se r ⊂ α, e r ⊥ β ⇒ α ⊥ β

r

s α

r s

α

t

u

v

u ∠ v, r, s, t formam ângulos de 90º com u e v, então r, s e t são perpendiculares a α

α = β

β α

β

αs r

s

r t u

α

r ⊂ α (contida) s // α (paralela) t ∠ α (concorrente) u ⊥ α (perpendicular)

α

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β

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Poliedros convexos

Um poliedro é caracterizado pela reunião de um número finito de polígonos planos onde:

I) dois polígonos nunca estão num mesmo plano;

II) cada aresta de polígono sempre está em dois e somente dois polígonos.

Quando um poliedro delimita uma região convexa do espaço, ele é denominado poliedro convexo, caso contrário é um poliedro côncavo. Uma região IR é convexa se para todo par de pontos P e Q pertencentes a região, então o segmento PQ está contido nessa região.

IR é convexa ⇔ (∀ P, Q ∈ IR, PQ ⊂ IR)

Relação de Euler Em todo poliedro convexo de V vértices, A

arestas e F faces vale a relação:

V + F = A + 2 Soma dos ângulos das faces

A soma dos ângulos de todas as faces de um poliedro convexo de V vértices é dada por:

Sf = 360° ⋅ (V − 2)

Ainda é válida a relação:

N = 2A onde N é o número total de lados das faces separadas.

Poliedros de Platão e poliedros regulares

Um poliedro é dito de Platão se, e somente se: 1) todas as faces são polígonos com o

mesmo número de lados; 2) todos os vértices são vértices de

ângulos poliédricos com o mesmo número de arestas;

3) satisfaz a relação de Euler. Denominamos poliedros regulares aos

poliedros de Platão cujas faces são polígonos regulares iguais.

Existem cinco, e somente cinco classes de poliedros de Platão; portanto, há apenas cinco poliedros regulares.

Tetraedro

Hexaedro Octaedro Dodecaedro

ICOSAEDRO

face (F)

arestas (A)

V = 4

A = 6

F = 4

V = 8

A = 12

F = 6

V = 6

A = 12

F = 8

V = 12

A = 30

F = 20

V = 20

A = 30

F = 12

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7. Um recipiente cilíndrico cujo raio da base é 6 cm contém água até uma certa altura. Uma esfera de aço é colocada no interior do recipiente ficando totalmente submersa. Se a altura da água subiu 1 cm então o raio da esfera é a) 1 cm b) 2 cm c) 3 cm d) 4 cm e) 5 cm 8. Um poliedro convexo de 16 arestas é formado por faces triangulares e quadrangulares. Seccionando-o por um plano convenientemente escolhido, dele se destaca um novo poliedro convexo, que possui apenas faces quadrangulares. Este novo poliedro possui um vértice a menos que o original e uma face a mais que o número de faces quadrangulares do original. Sendo m e n, respectivamente, o número de faces e o número de vértices do poliedro original, então: a) m = 9, n = 7 b) m = n = 9 c) m = 8, n = 10 d) m = 10, n = 8 e) m = 7, n = 9 9. Num cubo, considere os seguintes pontos: - M, determinado pela intersecção das diagonais åè e æî de uma das faces; - E, F, G e H, vértices consecutivos da face oposta à de M. Sobre o sólido cujas faces são EMF, FMG, GMH, HME e EFGH, é correto afirmar que a) se trata de um poliedro com 12 arestas. b) se trata de um prisma de base triangular. c) seu volume é a terça parte do volume do cubo. d) seu volume é metade do volume do cubo. e) se trata de um tetraedro.

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10. Um icosaedro regular tem 20 faces e 12 vértices, a partir dos quais retiram-se 12 pirâmides congruentes. As medidas das arestas dessas pirâmides são iguais a 1/3 da aresta do icosaedro. O que resta é um tipo de poliedro usado na fabricação de bolas. Observe as figuras.

Para confeccionar uma bola de futebol, um artesão usa esse novo poliedro, no qual cada gomo é uma face. Ao costurar dois gomos para unir duas faces do poliedro, ele gasta 7 cm de linha. Depois de pronta a bola, o artesão gastou, no mínimo, um comprimento de linha igual a: a) 7,0 m b) 6,3 m c) 4,9 m d) 2,1 m 11. Um geólogo encontrou, numa de suas explorações, um cristal de rocha no formato de um poliedro, que satisfaz a relação de Euler, de 60 faces triangulares. O número de vértices deste cristal é igual a: a) 35 b) 34 c) 33 d) 32 e) 31

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12. Se dobrarmos convenientemente as linhas tracejadas das figuras a seguir, obteremos três modelos de figuras espaciais cujos nomes são:

a) tetraedro, octaedro e hexaedro. b) paralelepípedo, tetraedro e octaedro. c) octaedro, prisma e hexaedro. d) pirâmide, tetraedro e hexaedro. e) pirâmide pentagonal, prisma pentagonal e hexaedro. 13. Indique quantas faces possuem, respectivamente, nessa ordem, os sólidos numerados como I, II, III e IV a seguir:

a) 8, 6, 5, 6. b) 8, 6, 6, 5. c) 8, 5, 6, 6. d) 5, 8, 6, 6. e) 6, 18, 6, 5. 14. A soma S das áreas das faces de um tetraedro regular em função de sua aresta é: a) a£. b) Ë3 a£. c) 4 a£. d) Ë5 a£. e) Ë2 a£. 15. A soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo vale 720°. Sabendo-se que o número de faces vale 2/3 do número de arestas, pode-se dizer que o número de faces vale. a) 6. b) 4. c) 5. d) 12. e) 9.

GABARITO 1. 21 2. 8 3. 9 4. [C] 5. [A] 6. [D] 7. [C] 8. [B] 9. [C] 10. [B] 11. [D] 12. [E] 13. [A] 14. [B] 15. [B]

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PRISMA

Definição Chamamos de prisma convexo ao poliedro convexo que possui duas faces poligonais situadas em

planos paralelos, sendo as outras faces paralelogramos.

ELEMENTOS Destacaremos os seguintes elementos no prisma:

CLASSIFICAÇÃO E NOMENCLATURA Um prisma é dito reto quando as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases, e oblíquo

em caso contrário. Um prisma reto é chamado regular quando as bases são polígonos regulares. Um prisma é denominado de acordo com o gênero das bases. Assim, um prisma cujas bases são

triângulos é denominado prisma triangular, um prisma cujas bases são quadriláteros é chamado prismaquadrangular, etc.

DD',CC',BB','ΑΑ → arestas laterais

⎭⎬⎫

ΑΑΒ

A'D',D'C',C'B',B''DA,CD,BC,

→ arestas das bases

⎭⎬⎫

AA'DD'D,D'CC'CC'BB'BA,B'A'

→ faces

ABCD, A'B'C'D' → bases h → altura

C' D'

A' B'

B A

D C

h

SUPERFÍCIE E VOLUME Chamamos de área lateral de um prisma à área da sua superfície, com exceção das bases, e a área total

a toda a área da superfície, bases incluídas. Área lateral: → Sl = 2pb ⋅ h Área total: → St = Sl + 2 ⋅ Sb Volume: → V = Sb ⋅ h, onde Sb é a área da base.

Planificação de um prisma reto

h h

2pb

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PARALELEPÍPEDO É o prisma quadrangular cujas bases são paralelogramos. Se todas as faces são retangulares, então esse

prisma é um paralelepípedo retângulo, também chamado de ortoedro. A diagonal (D) a área total (St) e o volume (V) de um ortoedro podem ser calculados por:

D

a b

c D2 = a2 + b2 + c2 St = 2(ab + ac + bc) V = abc

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac

D2 St

PRISMAS REGULARES PRINCIPAIS:

Quadrangular:

Triangular:

Hexagonal:

l

2pb = 4l Sb = l 2

l

2pb = 3l

Sb = 4

32l l

l

l

l l l

2pb = 6l

Sb = 4

36 2l⋅

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1. (Puc-rio 2005) Calcule a maior distância entre dois pontos de um cubo de aresta Ë3 cm. 2. (Ufpe) Um prisma com 3 m de altura tem seção transversal como se mostra na figura a seguir. Calcule o volume, em m¤, deste prisma.

3. (Ufpe) Um triângulo eqüilátero tem lado 18Ë3 cm e é a base de um prisma reto de altura 48 cm. Calcule o raio da maior esfera contida neste prisma. 4. (Ufrj 2006) A figura abaixo corresponde à planificação de um prisma regular hexagonal de altura 2a e perímetro da base igual a 3a.

Determine a distância entre os pontos P e Q no prisma.

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5. (Unb) Considere um tetraedro regular com vértices A, B, C e D e arestas de comprimento igual a 17 cm, no qual M, N, O e P são pontos médios das arestas AB, BC, CD, e DA, respectivamente. Calcule, em centímetros, o perímetro do quadrilátero com vértices M, N, O e P, desprezando a parte fracionária de seu resultado, caso exista. 6. (Unb) Na figura abaixo, à esquerda, representa-se um reservatório de altura h e base retangular de 2 m de largura e 3 m de comprimento e, à direita, representa-se uma das paredes frontais desse reservatório. As paredes laterais (BDEF e ACGH) são inclinadas em 45° com relação ao plano da base e as paredes frontais são perpendiculares à base do reservatório. Calcule, em decímetros, o valor da altura h necessária para que a capacidade do reservatório seja de 8.000 L. Despreze a parte fracionária de seu resultado, caso exista.

7. (Unesp) Empilham-se cubos A para formar um cubo maior B, parte do qual está representada na figura a seguir. Duas pessoas querem calcular o volume de B tomando o volume de A como unidade. Uma delas procede corretamente. A outra conta com o número maior de quadrados que aparecem em cada uma das faces de B e diz que o volume é a soma dos números que obteve. Sabe-se que ambas acharam o mesmo resultado. Qual é a relação dos volumes dos cubos A e B?

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8. (Unesp) Uma caixa d'água com a forma de um paralelepípedo reto de 1 m x 1 m de base e (Ë3)/2 m de altura, está sobre uma laje horizontal com água até a altura h. Suponhamos que a caixa fosse erguida lateralmente, apoiada sobre uma das arestas da base (que é mantida fixa), sem agitar a água. Assim sendo, a água começaria a transbordar exatamente quando o ângulo da base da caixa com a laje medisse 30°. Calcular a altura h. 9. (Unesp) Uma piscina de forma retangular tem 8 m de largura, 15 m de comprimento, 0,9 m de profundidade num de seus extremos e 2,7 m de profundidade no outro extremo, sendo seu fundo um plano inclinado. Calcule o volume da água da piscina quando a altura do nível da água é de 0,6 m na extremidade mais funda. 10. (Unesp) Um tanque para criação de peixes tem a forma da figura

onde ABCDEFGH representa um paralelepípedo retângulo e EFGHIJ um prisma cuja base EHI é um triângulo retângulo (com ângulo reto no vértice H e ângulo ‘ no vértice I tal que sen‘ = 3/5). A superfície interna do tanque será pintada com um material impermeabilizante líquido. Cada metro quadrado pintado necessita de 2 litros de impermeabilizante, cujo preço é R$ 2,00 o litro. Sabendo-se que AB = 3 m, AE = 6 m e AD = 4 m, determine: a) as medidas de EI e HI; b) a área da superfície a ser pintada e quanto será gasto, em reais.

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11. (Unicamp) Ao serem retirados 128 litros de água de uma caixa d'água de forma cúbica, o nível da água baixa 20 centímetros. a) Calcule o comprimento das arestas da referida caixa. b) Calcule sua capacidade em litros (1 litro equivale a 1 decímetro cúbico). 12. (Unicamp 2005) A figura abaixo apresenta um prisma reto cujas bases são hexágonos regulares. Os lados dos hexágonos medem 5 cm cada um e a altura do prisma mede 10 cm.

a) Calcule o volume do prisma. b) Encontre a área da secção desse prisma pelo plano que passa pelos pontos A, C e A'. 13. (Uerj 2006) Observe as figuras a seguir.

A figura I mostra a forma do toldo de uma barrada, e a figura II, sua respectiva planificação, composta por dois trapézios isósceles congruentes e dois triângulos. Calcule: a) a distância h da aresta åæ ao plano CDEF; b) o volume do sólido de vértices A, B, C, D, E e F, mostrado na figura I, em função de h.

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14. (Ufrrj) Um copo cilíndrico tem 18 cm de altura, raio da base 2 cm e metade de seu volume ocupado por uma bebida. Colocando-se no copo uma pedra de gelo com a forma de um cubo de 2 cm de aresta e ficando o gelo completamente submerso, de quanto subirá o nível da bebida? Considere ™ = 3,14. 15. (Enem 2006) Eclusa é um canal que, construído em águas de um rio com grande desnível, possibilita a navegabilidade, subida ou descida de embarcações. No esquema a seguir, está representada a descida de uma embarcação, pela eclusa do porto Primavera, do nível mais alto do rio Paraná até o nível da jusante.

A câmara dessa eclusa tem comprimento aproximado de 200 m e largura igual a 17 m. A vazão aproximada da água durante o esvaziamento da câmara é de 4.200 m¤ por minuto. Assim, para descer do nível mais alto até o nível da jusante, uma embarcação leva cerca de a) 2 minutos. b) 5 minutos. c) 11 minutos. d) 16 minutos. e) 21 minutos.

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16. (Fatec) A diagonal da base de um paralelepípedo reto retângulo mede 8 cm e forma um ângulo de 60° com o lado menor da base. Se o volume deste paralelepípedo é 144 cm¤, então a sua altura mede, em centímetros:

a) 5Ë3 b) 4Ë3 c) 3Ë3 d) 2Ë3 e) Ë3 17. (Fei) De uma viga de madeira de seção quadrada de lado Ø = 10 cm extrai-se uma cunha de altura h = 15 cm, conforme a figura. O volume da cunha é:

a) 250 cm¤ b) 500 cm¤ c) 750 cm¤ d) 1000 cm¤ e) 1250 cm¤ 18. (Fgv 2006) Antes que fosse reparado, um vazamento em uma piscina retangular, com 20 m de comprimento e 10 m de largura, ocasionou uma perda de 20.000 litros de água, fazendo com que o nível de água baixasse em: a) 1 m b) 0,5 m c) 0,1 m d) 0,2 m e) 0,01 m

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19. (Fgv 2008) A soma das medidas das 12 arestas de um paralelepípedo reto-retângulo é igual a 140 cm. Se a distância máxima entre dois vértices do paralelepípedo é 21 cm, sua área total, em cm£, é a) 776. b) 784. c) 798. d) 800. e) 812. 20. (Fuvest) Dois blocos de alumínio, em forma de cubo, com arestas medindo 10 cm e 6 cm são levados juntos à fusão e em seguida o alumínio líquido é moldado como um paralelepípedo reto de arestas 8 cm, 8 cm e x cm. O valor de x é: a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20 21. (Fuvest 2006) A partir de 64 cubos brancos, todos iguais, forma-se um novo cubo. A seguir, este novo cubo tem cinco de suas seis faces pintadas de vermelho. O número de cubos menores que tiveram pelo menos duas de suas faces pintadas de vermelho é

a) 24 b) 26 c) 28 d) 30 e) 32

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22. (Fuvest-gv) Na figura a seguir I e J são os centros das faces BCGF e EFGH do cubo ABCDEFGH de aresta a. Os comprimentos dos segmentos AI e IJ são respectivamente: a) aË6/2, aË2 b) aË6/2, aË2/2 c) aË6, aË2/2 d) aË6, aË2 e) 2a, a/2

23. (Ita) Dado um prisma hexagonal regular, sabe-se que sua altura mede 3 cm e que sua área lateral é o dobro da área de sua base. O volume deste prisma, em cm¤, é: a) 27Ë3 b) 13Ë2 c) 12 d) 54Ë3 e) 17Ë5 24. (Ita) A aresta de um cubo mede x cm. A razão entre o volume e a área total do poliedro cujos vértices são os centros das faces do cubo será: a) (Ë3/9)x cm b) (Ë3/18)x cm c) (Ë3/6)x cm d) (Ë3/3)x cm e) (Ë3/2)x cm 25. (Ita) As dimensões x, y, z de um paralelepípedo retângulo estão em progressão aritmética. Sabendo que a soma dessas medidas é igual a 33 cm e que a área total do paralelepípedo é igual a 694 cm£, então o volume deste paralelepípedo, em cm¤, é igual: a) 1.200 b) 936 c) 1.155 d) 728 e) 834

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26. (Ita 2005) Considere um prisma regular em que a soma dos ângulos internos de todas as faces é 7200°. O número de vértices deste prisma é igual a a) 11. b) 32. c) 10. d) 20. e) 22. 27. (Mackenzie) O raio de um cilindro circular reto é aumentado de 25%; para que o volume permaneça o mesmo, a altura do cilindro deve ser diminuída de k%. Então k vale: a) 25 b) 28 c) 30 d) 32 e) 36 28. (Pucsp) Um tanque de uso industrial tem a forma de um prisma cuja base é um trapézio isósceles. Na figura a seguir, são dadas as dimensões, em metros, do prisma:

O volume desse tanque, em metros cúbicos, é a) 50 b) 60 c) 80 d) 100 e) 120

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29. (Uerj) Dobrando-se a planificação abaixo, reconstruímos o cubo que a originou.

A letra que fica na face oposta à que tem um X é: a) V b) O c) B d) K 30. (Uff) Uma piscina tem a forma de um prisma reto, cuja base é um retângulo de dimensões 15 m e 10 m. A quantidade necessária de litros de água para que o nível de água da piscina suba 10 cm é: a) 0,15 L b) 1,5 L c) 150 L d) 1.500 L e) 15.000 L 31. (Ufmg) O volume de uma caixa cúbica é 216 litros. A medida de sua diagonal, em centímetros, é a) 0,8Ë3 b) 6 c) 60 d) 60Ë3 e) 900Ë3

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32. (Ufmg) Observe a figura.

Um prisma reto de base pentagonal foi desdobrado obtendo-se essa figura, na qual as linhas pontilhadas indicam as dobras. O volume desse prisma é: a) 6 + (9Ë3)/4 b) (45Ë3)/4 c) 30 + (9Ë3)/4 d) 30 + (45Ë3)/4 33. (Ufmg) Todos os possíveis valores para a distância entre dois vértices quaisquer de um cubo de aresta 1 são a) 1, Ë2 e 3 b) 1, Ë2 e Ë3 c) 1, Ë3 e 2 d) 1 e Ë2 34. (Ufmg) Observe a figura.

Essa figura representa uma piscina retangular com 10 m de comprimento e 7 m de largura. As laterais AEJD e BGHC são retângulos, situados em planos perpendiculares ao plano que contém o retângulo ABCD. O fundo da piscina tem uma área total de 77 m£ e é formado por dois retângulos, FGHI e EFIJ. O primeiro desses retângulos corresponde à parte da piscina onde a profundidade é de 4 m e o segundo, à parte da piscina onde a profundidade varia entre 1 m e 4 m. A piscina, inicialmente vazia, recebe água à taxa de 8.000 litros por hora. Assim sendo, o tempo necessário para encher totalmente a piscina é de a) 29 h e 30 min b) 30 h e 15 min c) 29 h e 45 min d) 30 h e 25 min

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35. (Ufpe) Dois cubos C� e C‚ são tais que a aresta de C� é igual à diagonal de C‚. Se V� e V‚ são, respectivamente, os volumes dos cubos de C� e C‚, então, a razão V�/V‚ é igual a: a) ¤Ë3 b) Ë(27) c) 1/Ë(27) d) 1/ ¤Ë3 e) ¤Ë9 36. (Ufrrj 2006) Observe o bloco retangular da figura 1, de vidro totalmente fechado com água dentro. Virando-o, como mostra a figura 2, podemos afirmar que o valor de x é

a) 12 cm. b) 11 cm. c) 10 cm. d) 5 cm. e) 6 cm. 37. (Ufv) Um recipiente, contendo água, tem a forma de um paralelepípedo retangular, e mede 1,20 m de comprimento, 0,50 m de largura e 2,00 m de altura. Uma pedra de forma irregular é colocada no recipiente, ficando totalmente coberta pela água. Observa-se, então, que o nível da água sobe 1m. Assim é CORRETO concluir que o volume da pedra, em m¤, é: a) 0,06 b) 6 c) 0,6 d) 60 e) 600

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Educação sem Fronteiras38. (FGV) Uma piscina retangular de 10,0 m x 15,0 m e fundo horizontal está com água até a altura de 1,5 m. Um produto químico em pó deve ser misturado à água à razão de um pacote para cada 4500 litros. O número de pacotes a serem usados é: a) 45 b) 50 c) 55 d) 60 e) 75 39. (Unesp) As arestas do cubo ABCDEFGH, representado pela figura, medem 1 cm.

Se M, N, P e Q são os pontos médios das arestas a que pertencem, então o volume do prisma DMNCHPQG é a) 0,625 cm¤. b) 0,725 cm¤. c) 0,745 cm¤. d) 0,825 cm¤. e) 0,845 cm¤. 40. (IBMEC) Um reservatório de água tem capacidade de 2000 litros e a forma de um paralelepípedo retangular cujos lados da base medem 1m e 2m. Seja h a altura do nível da água, medida a partir da base do reservatório. O gráfico abaixo mostra como variou o nível de água durante um intervalo de tempo de 8 horas.

Com base nas informações acima e sabendo, ainda, que não entrou e saiu simultaneamente água do reservatório, é correto afirmar que: 01. O volume V de água no reservatório (em litros) e a altura h do nível (em centímetros) estão relacionados por V=20.h. 02. Em t=0 havia 300 litros de água no reservatório. 04. No período de 4 a 5 horas foram consumidos 600 litros de água. 08. Das 2 às 4 horas o reservatório esteve cheio. 16. O consumo médio de água de 6 a 8 horas foi maior que o consumo médio de água de 4 a 5 horas. 32. O consumo médio de água, no intervalo de tempo de 0 a 8 horas foi igual a 250 L/h. 64. No intervalo de tempo de 0 a 2 horas a altura h, medida em centímetros, pode ser expressa em função do tempo, medido em horas, por h=20+30t.

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GABARITO 1. A maior distância entre dois pontos de um cubo é dada por d = aË3, onde d é a diagonal do cubo e a é a medida da aresta. Logo d = Ë3 . Ë3 = 3 cm. 2. 54 m¤ 3. 9 4. aË2 5. 34 cm 6. 10 dm 7. 1/216 8. h = (Ë3)/3 metros 9. 12 m¤ ou 12000 litros 10. a) EI = 5m e HI = 4m b) 104 m£ e R$416,00 11. a) a = 8 dm b) V = 512 litros. 12. a) 375Ë3 cm¤ b) 50Ë3 cm£ 13. a) h = 0,8 m b) V = 8h 14. 0,63 cm 15. [D] 16. [C] 17. [C] 18. [C] 19. [B] 20. [D] 21. [A] 22. [B]

23. [D] 24. [B] 25. [C] 26. [E] 27. [E] 28. [D] 29. [B] 30. [E] 31. [D] 32. [D] 33. [B] 34. [C] 35. [B] 36. [A] 37. [C] 38. [B] 39. [A] 40. V F V F F F V

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Educação sem Fronteiras

FUNÇÃO Definição

Uma função f de um conjunto A em um conjunto B, f: A B, é uma correspondência que associa a cada

elemento x de A, um único elemento y de B. O elemento y é chamado imagem de x por f, e denota-se y = f(x). Exemplos: (I) f: A→B, representado no diagrama, representa uma função. (II)

f: A→B, representado no diagrama, representa uma função. (III) f: A→B, representado no diagrama, não representa uma função, pois o elemento x possui mais de

uma imagem. (IV)

f: A → B, representado no diagrama, não representa uma função, pois o elemento x não possui imagem.

x

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EducaçãoEducação sem Fronteiras

Domínio De Uma Função Sendo f: A→B uma função, o conjunto A é chamado de conjunto de partida da função, ou

simplesmente domínio de f, que é representado por D(f). Graficamente, o domínio da função é a projeção do gráfico de f, sobre o eixo das abcissas.

Problemas de Domínio

0)x(d)x(d

)x(n)x(f

0)x(r)x(r)x(f

;0)x(d)x(d)x(n)x(f

par

par

>⇒=

≥⇒=

≠⇒=

Imagem e Contradomínio Sendo f:A→B uma função, chama-se imagem de f o conjunto Im(f) dos elementos y →B, para os

quais existem x→A, tal que y = f(x). O conjunto B é o contra domínio de f.

Graficamente o conjunto imagem da função é a projeção do gráfico de f sobre o eixo das ordenadas.

Função Par Uma função é denominada função par se, e somente se, f(−x) = f(x), para todo x pertencente ao

domínio de f. Exemplos:

(I) f(x) = 2x2 + 4 é uma função par, pois: f(−x) = 2 ⋅ (−x)2 + 4 = 2 ⋅ x2 + 4 = f(x) (II) f(x) = cos x é uma função par, pois: f(−x) = cos (−x) = cos x = f(x)

x a

y

b

f

Domínio: [a,b]

x

a

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b f

Im(f) = [a,b]

A B

Im(f)

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Educação sem FronteirasFunção Ímpar

Uma função é denominada função ímpar se, somente se, f(−x) = −f(x), para todo x pertencente ao domínio de f. Exemplos:

(I) f(x) = 2x3 + x é uma função ímpar, pois: f(−x) = 2 ⋅ (−x)3 + (−x) = −(2x3 + x) = −f(x) (II) f(x) = sen x é uma função ímpar, pois:

f(x) = sen (−x) = −sen x = −f(x)

O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem.

Raízes ou Zeros Chama-se raiz ou zero de uma função o número r do seu domínio tal que f(r) = 0.

Taxa de Variação Sejam x1 e x2 dois elementos distintos do domínio de uma função f. Chama-se taxa de variação média

de f entre x1 e x2 a razão:

2121

21 xx,xx

)x(f)x(f≠

−−

FUNÇÃO AFIM

Denomina-se função afim ou função polinomial do 1º grau a função que associa a todo número real x, um outro número real y, tal que

y = f(x) = ax + b

onde a e b?são constantes reais (a≠ 0). O gráfico dessa função é uma reta não paralela aos eixos x e y. Interseção da reta com o eixo 0y: (0,b). Assim, o número b chama-se coeficiente linear. Interseção com o eixo 0x: (−b/a,0). O valor de −b/a é a raiz dessa função. A taxa de variação média de uma função do 1º grau é constante

e igual ao coeficiente a

a

xx)xx(a

xxaxax

xx)bax()bax(

xx)x(f)x(f

21

21

21

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21

21

21

21 =−−

=−−

=−

+−+=

−−

,

∀ x1, x2 ∈ R, x1 ≠ x2. Graficamente

Situações:

Função crescente: (a > 0) Função decrescente: (a < 0)

Sempre que x e y são tomados na mesma escala tem-se

;tgxy

θ=ΔΔ

=a

Por isso o coeficiente a é denominado coeficiente angular da reta.

θ

θ

y

x

Δx

Δy

θ

θ

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xy <

ΔΔ

=a

0xy >

ΔΔ

=a

θ

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EducaçãoEducação sem Fronteiras

Exercícios de Fixação

1. Faça o gráfico de cada função polinomial abaixo, definida em IR.a) f(x) = 2x - 4 c) f(x) = 5 - 2xb) f(x) = - x + 2 d) f(x) = x - 1

2. Represente no mesmo sistema de coordenadas os gráficos de y = x, y = 2x .

3. Represente no mesmo sistema de coordenadas os gráficos de y = x, y = x + 1 e y = x — 1.

4. Represente no mesmo sistema de coordenadas os gráficos de y = 2x, y = 2x + 4 e

y = 2x - 4.

5. Represente no mesmo sistema de coordenadas os gráficos de y = x+l e y = - x - 1.

6. Dada f(x) =x/5 - 1/2, calcule:

a) f(5/2) b) f(2/5)

7. Se f(x)= 2x+1 qual é o valor de f(1) - f(-1) ?

8. Diga se é função crescente ou função decrescente:

a) y = 2x + . 8

b) y = - 2x - 6

c) y = 3x - 9

d) y = - 4x + 6

9. Calcule a raiz e dê os sinais da função y = 4x - 8:

10.Calcule a raiz e dê os sinais da função:

a) y = x/5 b) y = - 3x

11.Estude os sinais de cada função do exercício 8

12.Para que valores de m a função polinomial do 1? grau f(x) = mx + 1 é crescente?

13.Determine m para que f seja crescente nos casos:a) f(x) = (m - l)x - 1 b) f(x) = (2m + l)x + (m - 1)

14. Para que valores de m a função f é decrescente?a) f(x) = (5m - 2)x + 4 b) f(x) = 1 - (3 - m)x

15. O gráfico de y = 2x + b corta o eixo dos x no ponto (3; 0). Qual é o valor de b?

16.Calcule o valor de a sabendo que o gráfico de y = ax + 3 passa no ponto (-1; 1).

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Educação sem Fronteiras17. A re ta r é o gráfico deuma função f. Determ ine o dom ín io e o conjunto im agem de f.

18. A re ta r abaixo é o gráfico de um a função f. Determ ine o dom ínio e o con junto

im agem de f

19. Determ ine o dom ín io e o con junto im agem da função cu jo gráfico é:

20. Determ ine o dom ínio e o con junto im agem da função cujo gráfico é a

sem icircunferência a seguir:

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85

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EducaçãoEducação sem Fronteiras

21. O gráfico de uma função f é:

O domínio e o conjunto imagem de / são respectivamente: a) [-5, 7[ e [-2, 5]. d) [-5, 3[ U [4, 7[ e ]-2, 5] - j 1). b)[-5, 7[ e ]-2,5]. e) IR e IR. c)[-5, -3[U [4, 7[ e ]-2,5].

22. Seja f: IR → IR tal que y = f(x). Analisando o gráfico de f, representado abaixo, assinale a afirmação correta:

23. O consumo de combustível de um automóvel é medido pelo número de quilómetros que percorre, gastando 1 litro de combustível. O consumo depende, entre outros fatores, da velocidade desenvolvida. O gráfico (da revistaQuatro Rodas) a seguir indica o consumo, na dependência da velocidade, de certo automóvel.

A análise do gráfico mostra que: a) o maior consumo se dá aos 60 km/h. b) a partir de 40 km/h, quanto maior a velocidade, maior é o consumo. c) o consumo é diretamente proporcional à velocidade. d) o menor consumo se dá aos 60 km/h. e) o consumo é inversamente proporcional à velocidade.

0)4())6()3())4()1()

0)0()0)2/3()

<=−=−=

>−

feffdffc

fbfa

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91)()

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−=

−=−

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xxfd

xxfc

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3

2

1)()

)()

)()2)()

xxfh

xxfg

xxffxxfe

=

=

=

+=

24. Determine o domínio de cada uma das funções :

1)()

14)()

128)()

2

2

2

+=

+=

+−=

xxfj

xxfj

xxxfi

25. Determine o domínio de cada uma das funções abaixo.

)54)(12)(1(6)()

9103)()

125)()

14)()8

3)()

24

3

−−−=

+−=

−=

−=−

=

xxxxfe

xxxfd

xxfc

xxfbx

xfa

26. Determine o domínio de cada uma das funções, representando-o no eixo real

)8)(45(1)()

11

91

162)()

14

11)()

32

24

2

−+−+

=

+−

−+

−=

−+−

+=

xxxxxfc

xxxxfb

xxx

xfa

27. Sendo 1

2)(−

=x

xf e 3

)(−

=x

xxg , determine o domímio de :

a) f b) g c) f+g d) f.g

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EducaçãoEducação sem Fronteiras

28. Seja a função ℜ→ℜ:f tal que 1

1)( 2 +=

xxf . Se 0≠x , determine uma expressão

para ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

xf 1 .

29. Uma função f satisfaz a seguinte condição f(x+1) = f(x) + f(1) para qualquer valor real da variável x. Sabendo que f(2)=1 , podemos concluir que f(5) é igual a : a) 1/2 b) 1 c) 5/2 d) 5 e) 10

31. Determinar o domímio e o conjunto imagem da função f cujo gráfico é:

30. Determinar o domímio e o conjunto imagem da função f cujo gráfico é:

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Educação sem Fronteiras32. Construa o gráfico de cada uma das funções:

a)f(x) = 5 b)f(x) = -l c) f(x)= 233. Dê o domínio e o conjunto imagem de cada uma das funções:

a) f(x) = 5 b) f(x) = y

34. O gráfico de uma função f é :

Classifique como V ou F cada uma das afirmações: a) O domínio de f é o conjunto IR. b) O conjunto imagem de f é IR. c) f possui uma única raiz. d) f é decrescente em todo seu domínio. e) f' é crescente em todo seu domínio. f) f é constante. g) f(-2) = 0 h) f(0) = 3

35. As raízes da função f(x) = ax2 + bx + 4 são 1 e 2. Determine os valores de a e b.

36. Duas raízes da função f(x) = x3 + bx2 + cx — 6 são 1 e 2. Determine os valores de b e c.

37. Construa o gráfico de f(x) = xx

da função

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38. Construa o gráfico de cada uma das funções abaixo: a) y = 2x - 4 b) y = 5x c) y = 2x - 3 d) y = -5x e) y = x/3 39. Construa o gráfico de cada uma das funções abaixo e determine os pontos de intersecção de cada

gráfico com os eixos coordenados OX e OY. a ) y = 5x - 10 b) y = -x +1 c) y = x/2 + 1/3 d) y = -3x + 2 40. Determine o domínio e o conjunto imagem de cada uma das funções abaixo. a) y = 5x + 3 b) y = 8x c) y = x/2 +1 41. O gráfico da função y = ax + b é :

Calcule os valore de a e b. 42. O gráfico da função y = 3b+ 5ax está representado abaixo, calcule os valore de a e b.

43. O gráfico da função y = ax + b está representado abaixo. Determine os valores de a e b, bem como

os zeros da função.

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Educação sem Fronteiras44. Discuta, através do gráfico, a variação de sinal de cada uma das funções abaixo.

a) f(x) = 5x – 10 b) f(x)= -5x-10 c) f(x) = 3x + 1 d) f(x) = - x +2 e) f(x) = 4x + 1 f) f(x) = -4x + 1 g) f(x) = x/2 + 4 h) f(x) = x

45. Discuta,algebricamente, a variação do sinal de cada uma das funções abaixo

a) f(x) = 2x – 5 b) y = -4x + 2 c) y = - 4x +8 d) y = x /3

e) y = x/2 + 4 f) y = 3x + 8 g) y = 62 −x h) y = 164 −x

46. Discuta a variação do sinal das funções y = ax +b onde os gráficos estão representados abaixo. a)

b)

c)

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Exercícios N1

1. Sabe-se que, nos pulmões, o ar atinge a temperatura do corpo e que, ao ser exalado, tem temperatura inferior à do corpo, já que é resfriado nas paredes do nariz. Através de medições realizadas em um laboratório foi obtida a função TÛ = 8,5 + 0,75 × T½ , 12° ´ T½ ´ 30°,

em que TÛ e T½ representam, respectivamente, a temperatura do ar exalado e a do ambiente.

Calcule: a) a temperatura do ambiente quando TÛ = 25°C;

b) o maior valor que pode ser obtido para TÛ. 2. Sabendo que os pontos (2, -3) e (-1, 6) pertencem ao gráfico da função f: IR ë IR definida por f(x) = ax+b, determine o valor de b-a. 3. Uma pessoa obesa, pesando num certo momento 156kg, recolhe-se a um SPA onde se anunciam perdas de peso de até 2,5kg por semana. Suponhamos que isso realmente ocorra. Nessas condições: a) Encontre uma fórmula que expresse o peso mínimo, P, que essa pessoa poderá atingir após n semanas. b) Calcule o número mínimo de semanas completas que a pessoa deverá permanecer no SPA para sair de lá com menos de 120 kg de peso. 4. Alguns jornais calculam o número de pessoas presentes em atos públicos considerando que cada metro quadrado é ocupado por 4 pessoas. Qual a estimativa do número de pessoas presentes numa praça de 4000m£

que tenha ficado lotada para um comício, segundo essa avaliação? 5. Para transformar graus Fahrenheit em graus centígrados usa-se a fórmula: C=5(F-32)/9 onde F é o número de graus Fahrenheit e C é o número de graus centígrados. a) Transforme 35 graus centígrados em graus Fahrenheit. b) Qual a temperatura(em graus centígrados) em que o número de graus Fahrenheit é o dobro do número de graus centígrados? TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO A variação de temperatura y=f(x) num intervalo de tempo x é dada pela função f(x)=(m£-9)x£+(m+3)x+m-3; calcule "m" de modo que:

6. O gráfico da função seja uma reta e f(x) seja crescente: a) -3 b) 9 c) 3 d) -9 e) 0 7. Uma pessoa, pesando atualmente 70kg, deseja voltar ao peso normal de 56kg. Suponha que uma dieta alimentar resulte em um emagrecimento de exatamente 200g por semana. Fazendo essa dieta, a pessoa alcançará seu objetivo ao fim de a) 67 semanas. b) 68 semanas. c) 69 semanas. d) 70 semanas. e) 71 semanas. 8. Uma função polinomial f do 1° grau é tal que f(3) = 6 e f(4) = 8. Portanto, o valor de f(10) é: a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20

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9. Se uma função f, do primeiro grau, é tal que f(1)=190 e f(50)=2.052, então f(20) é igual a a) 901 b) 909 c) 912 d) 937 e) 981 10. Em relação à função f(x) = 3x + 2, assinale a alternativa INCORRETA: a) f(4) - f(2) = 6 b) O gráfico de f(x) é uma reta. c) O gráfico de f(x) corta o eixo y no ponto (0, 2) d) f(x) é uma função crescente. e) f(f(x)) = x£ + 2x + 1 11. Um provedor de asso à Internet oferece dois planos para seus assinantes:Plano A - Assinatura mensal de R$8,00 mais R$0,03 por cada minuto de conexão durante o mês.Plano B - Assinatura mensal de R$10,00 mais R$0,02 por cada minuto de conexão durante o mês.Acima de quantos minutos de conexão por mês é mais econômico optar pelo plano B? a) 160 b) 180 c) 200 d) 220 e) 240 12. O gráfico da função y = mx+n, onde m e n são constantes, passa pelos pontos A(1,6) e B(3,2). A taxa de variação média da função é: a) -2 b) -1/2 c) 1/2 d) 2 e) 4

GABARITO 1. a) T½ = 22°C

b) TÛ = 31°C 2. 6 3. a) P = 156 - 2,5n

b) O menor número inteiro será 15 semanas. 5. a) F = 95 b) C = 160 6. [C] 7. [D]

8. [E] 9. [C] 10. [C] 11. [E] 12. [A]

Exercícios N2

1. (UERJ) Admita que, a partir dos cinquenta anos, a perda da massa óssea ocorra de forma linear, conforme mostra o gráfico abaixo.

(Adaptado de Galileu, janeiro de 1999)

Aos 60 anos e aos 80 anos, as mulheres têm, respectivamente, 90% e 70% da massa óssea que tinham aos 30 anos.O percentual de massa óssea que as mulheres já perderam aos 76 anos, em relação à massa aos 30 anos, é igual a: (A) 14 (B) 18 (C) 22 (D) 26

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2. (IBMEC) Uma empresa fabrica determinada mercadoria, cujo preço de custo é de R$ 1,35, por

unidade. Na produção dessa mercadoria, há um custo mensal fixo de R$ 22.500,00, referente a despesas com salários, encargos sociais, manutenção das máquinas, etc...

Seja x o número de unidades fabricadas por mês e y o lucro total, devido à venda de toda a produção. Sabendo que cada unidade será vendida por R$ 2,60, determinar: A) uma expressão que forneça o valor de y, em função do valor de x; B) o menor valor de x, para o qual a empresa não terá prejuízo com essa mercadoria.

3. (UNIFICADO) O valor de um carro novo é de R$ 9000,00 e, com 4 anos de uso, é de R$ 4000,00.

Supondo que o preço caia com o tempo, segundo uma linha reta, o valor de um carro com 1 ano de uso é:

(A) R$ 8250,00 (C) R$ 7750,00 (E) R$ 7000,00 (B) R$ 8000,00 (D) R$ 7500,00

4. (UFRJ) O gráfico a seguir descreve o crescimento populacional de certo vilarejo desde 1910 até

1990. No eixo das ordenadas, a população é dada em milhares de habitantes.

A) Determine em que década a população atingiu a marca de 5.000 habitantes. B) Observe que a partir de 1960 o crescimento da população em cada década tem se mantido constante.

Suponha que esta taxa se mantenha inalterada no futuro. Determine em que década o vilarejo terá 20.000 habitantes.

5. (UERJ) A promoção de uma mercadoria em um supermercado está represen-tada no gráfico abaixo,

por 6 pontos de uma mesma reta.

Quem comprar 20 unidades dessa mercadoria, na promoção, pagará por unidade, em reais, o equivalente a: (A) 4,50 (B) 5,00 (C) 5,50 (D) 6,00

6. O preço a ser pago por uma corrida de táxi inclui uma parcela fixa, denominada bandeirada, e uma

parcela que depende da distância percorrida. Se a bandeirada custa R$ 3,44 e cada quilômetro rodado custa R$ 0,86, calcule:

A) o preço de uma corrida de 11 km; B) a distância percorrida por um passageiro que pagou R$ 21,50 pela corrida.

populaçã

ano 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990

2 3 4 5 6 7 8 9

10

150

50

5quantidade de unidades compradas

valor total de compra (R$)

20 30

7. (FUVEST) A moeda de um país é o "liberal", indicado por £. O imposto de renda I é uma função contínua da renda R, calculada da seguinte maneira:

I. Se R ≤ 24 000£, o contribuinte está isento do imposto. II. Se R ≥ 24 000£, calcula-se 15% de R, e do valor obtido subtrai-se um valor fixo P, obtendo-se o

imposto a pagar I. Determine o valor fixo P. (A) 1 200£ (B) 2 400£ (C) 3 600£ (D) 6 000£ (E) 24 000£

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8. (UFF) As empresas ALFA e BETA alugam televisores do mesmo tipo. A empresa ALFA cobra R$ 35,00 fixos pelos primeiros 30 dias de uso e R$ 1,00 por dia extra. A empresa BETA cobra R$ 15,00 pelos primeiros 20 dias de uso e R$ 1,50 por dia extra. Após n dias o valor cobrado pela empresa BETA passa a ser maior do que o cobrado pela empresa ALFA. O valor de n é

(A) 25 (B) 35 (C) 40 (D) 45 (E) 50

9. (UERJ) Uma pessoa deseja fazer uma reforma em seu apartamento. Para isso, verificou os preços em

três firmas especializadas e obteve os seguintes orçamentos: Firma 1: R$ 40.000,00 independente do tempo gasto na obra; Firma 2: R$ 20.000,00 de sinal e mais R$ 1.000,00 por dia gasto na obra; Firma 3: R$ 2.000,00 por dia trabalhado, sem cobrar sinal algum.

A) Caso a obra dure exatamente 14 dias para ser concluída, indique a proposta mais vantajosa financeiramente. Justifique a sua resposta.

B) Determine, caso exista, o número de dias que a obra deve durar para que as três propostas apresentem o mesmo custo.

10. (UFRJ) A cada usuário de energia elétrica é cobrada uma taxa mensal de acordo com o seu consumo

no período, desde que esse consumo ultrapasse um determinado nível. Caso contrário, o consumidor deve pagar uma taxa mínima referente a custos de manutenção. Em certo mês, o gráfico consumo (em kWh) × preço (em R$) foi o apresentado abaixo:

A) Determine entre que valores de consumo em kWh é cobrada a taxa mínima. B) Determine o consumo correspondente à taxa de R$1.950,00.

R$

kWh 50 100 150 200

250

750

1250

1750

2250

11. (UERJ) A função que descreve a dependência temporal da posição S de um ponto material é

representada pelo gráfico abaixo.

t(s)

12

8

4

s(m)

1 2 3 4 50-4

b (RAMALHO JÚNIOR, Francisco et alii. Os fundamentos da física. São Paulo: Moderna, 1993.)

Sabendo que a equação geral do movimento é do tipo S = A + Bt + Ct2, os valores numéricos das constantes A, B e C são, respectivamente: (A) 0, 12, 4 (B) 0, 12,–4 (C) 12, 4, 0 (D) 12, –4, 0

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12. (UFRJ) O quarteirão Q de uma cidade é limitado por quatro ruas. O número de veículos que passam

por elas, em média, em certo horário, é indicado no diagrama, no qual as setas mostram o sentido do fluxo:

380

420

x

470

430

540

450

400

Suponha que todo carro que chega no quarteirão sai por uma das vias indicadas, no horário considerado. Determine X. 13. (UNIRIO) O gráfico da função y = mx + n, onde m e n são constantes, passa pelos pontos A(1,6) e

B(3,2). A taxa de variação média da função é: (A) −2 (B) −1/2 (C) 1/2 (D) 2 (E) 4

14. Para efeito do cálculo do imposto de renda, considere a seguinte tabela:

Renda Líquida Imposto até 1.000 reais isento

de 1.000 a 3.000 reais 15% menos 150 reais acima de 3.000 reais 25% menos p reais

Considere, também, a função f, que dá o imposto, a partir da renda líquida e observe o seu gráfico.

A) Calcule o imposto pago por uma pessoa que teve uma renda líquida de R$ 2.400,00. B) calcule o valor de P.

15. (ENEM) Na teoria do Big Bang, o Universo surgiu há cerca de 15 bilhões de anos, a partir da explosão e expansão de uma densíssima gota. De acordo com a escala proposta no texto, essa teoria situaria o início do Universo há cerca de:

(A) 100 anos (C) 1000 anos (E) 2000 anos (B) 150 anos (D) 1500 anos

16. (ENEM) Se compararmos a idade do planeta Terra, avaliada em quatro e meio bilhões de anos (4,5 x

109 anos), com a de uma pessoa de 45 anos, então, quando começaram a florescer os primeiros vegetais, a Terra já teria 42 anos. Ela só conviveu com o homem moderno nas últimas quatro horas e, há cerca de uma hora, viu-o começar a plantar e a colher. Há menos de um minuto percebeu o ruído de máquinas e de indústrias e, como denuncia uma ONG de defesa do meio ambiente, foi nesses últimos sessenta segundos que se produziu todo o lixo do planeta!

o texto permite concluir que a agricultura começou a ser praticada há cerca de: (A) 365 anos (C) 900 anos (E) 460 000 anos (B) 460 anos (D) 10 000 anos

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17. João mora em Bonsucesso e trabalha em Botafogo. Diariamente vai de casa para o trabalho pelo mesmo percurso, com a mesma velocidade média. Num determinado dia, João aumentou em 60% a sua velocidade média. Em quanto tempo reduziu o tempo de percurso neste dia?

18. (UFF) O gráfico da função f está representado na figura:

0 4 6 8 x

4 y

Assinale a única alternativa falsa. (A) f(1) + f(2) = f(3) (D) f(4) – f(3) = f(1) (B) f(2) = f(7) (E) f(2) + f(3) = f(5) (C) f(3) = 3f(1)

19. (FUVEST) O número de pontos de intersecção dos gráficos das funções reais 2x1x)x(f 2

2

++

= e g(x) =

3x4x

2

2

++ é:

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4

20. (UNIRIO) y

(3,0)

(0,1)

0

f

Considere a figura acima, onde um dos lados do trapézio retângulo se encontra apoiado sobre o gráfico de uma função f. Sabendo-se que a área da região sombreada é 9 cm2, a lei que define f é:

(A) y =

76 x – 2 (B) y =

34 x – 1

(C) y =

25 x + 1 (D) y =

52 x – 1 (E) y =

43 x + 1

21. (UNIRIO) Sejam f e g funções tais que f(x) = 5x + 2 e g(x) = –6x + 7. Determine a lei que define a

função afim h, sabendo que h(–5) = 1 e que o gráfico de h passa pelo ponto de interseção dos gráficos de f com g.

22. (UERJ) Analise o gráfico e a tabela:

COMBUSTÍVEL PREÇO POR LITRO (em reais)

Gasolina 1,50 Álcool 0,75

De acordo com esses dados, a razão entre o custo do consumo, por km, dos carros a álcool e a gasolina é igual a: (A) 4/7 (B) 5/7 (C) 7/8 (D) 7/10

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23. (UNIFICADO)

Uma barra de ferro com temperatura inicial de −10°C foi aquecida até 30°C. O gráfico acima representa a variação da temperatura da barra em função do tempo gasto nessa experiência. Calcule em quanto tempo, após o início da experiência, a temperatura da barra atingiu 0°C. (A) 1 min (B) 1min 5seg (C) 1min 10seg (D) 1min 15seg (E) 1min 20seg

24. (UNESP) O gráfico mostra o resultado de uma experiência relativa à absorção de potássio pelo

tecido da folha de um certo vegetal, em função do tempo e em condições diferentes de luminosidade.

Nos dois casos, a função linear y = mx ajustou-se razoavelmente bem aos dados, daí a referência a m como taxa de absorção (geralmente medida em μ moles por unidade de peso por hora). Com base no gráfico, se m1 é a taxa de absorção no claro e m2 a taxa de absorção no escuro, a relação entre essas duas taxas é: (A) m1 = m2 (B) m2 = 2m1 (C) m1 ⋅ m2 = 1 (D) m1 ⋅ m2 = −1 (E) m1 = 2m2

Tempo (minutos)

Temperatura

5

30

−1

no claro

tempo (h) 1 2 3 4

2 4

12

16

no escuro

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EXERCICIOS N3

1. (UFRJ) Uma fábrica produz óleo de soja sob encomenda, de modo que toda produção é comercializada.

O custo de produção é composto de duas parcelas. Uma parcela fixa, independente do volume produzido, corresponde a gastos com aluguel, manutenção de equipamentos, salários, etc; a outra parcela é variável, dependente da quantidade de óleo fabricado. No gráfico abaixo, a reta r1 representa o custo de produção e a reta r2 descreve o faturamento da empresa, ambos em função do número de litros comercializados. A escala é tal que uma unidade representa R$ 1000,00 (mil reais) no eixo das ordenadas e 1000 l (mil litros) no eixo das abcissas.

A) Determine, em reais, o custo correspondente à parcela fixa. B) Determine o volume mínimo de óleo a ser produzido para que a empresa não tenha prejuízo.

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40

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2. (UNIFICADO) Mantendo certa massa de neônio à temperatura constante de 25ºC e comprimindo-a

para reduzir seu volume a 80% do volume inicial, sua pressão aumentará, aproximadamente, de: (A) 36% (B) 33% (C) 30% (D) 25% (E) 20%

3. 8 operários constroem certa casa em 60 dias. Em quantos dias essa casa seria construída por 12

operários? (A) 40 dias (B) 44 dias (C) 52 dias (D) 80 dias (E) 90 dias

4. Uma torneira enche um reservatório em 2 horas, outra em 3 horas e uma terceira em 6 horas. As três

juntas conseguirão encher metade do reservatório em: (A) 30 minutos (B) 45 minutos (C) 1 hora (D) 1 h 12 min (E) 1 h e 30 minutos

5. Um pedreiro assenta 80 tijolos em 5 horas. Se trabalhasse 7 horas assentaria: (A) 90 tijolos (B) 96 tijolos (C) 106 tijolos (D) 112 tijolos (E) 119 tijolos

6. O pedreiro A executa determinada tarefa em 6 horas de trabalho. A mesma tarefa é executada pelo

pedreiro B em 10 horas de trabalho. Se A, após trabalhar 4 horas, deixasse o restante para B concluir, este terminaria a tarefa em:

(A) 3h 20min (B) 3h 30min (C) 3h 40min (D) 2h 40min (E) 3h

7. A grandeza Y é diretamente proporcional a X e inversamente propcrcional a Z. Quando Y = 38 e Z =

59 , sabe-se que X =

58 . Se Y = 48 e Z = 75 , então X é igual a:

(A) 20 (B) 30 (C) 40 (D) 42 (E) 60

8. Uma engrenagem de 36 dentes movimenta uma outra de 48 dentes. Se a primeira engrenagem executa 100 voltas, a segunda executará:

(A) 112 voltas (B) 100 voltas (C) 84 voltas (D) 75 voltas (E) 60 voltas

9. O comprimento de 2 metros e 7 decímetros, marcado em escala 1:25 mede no gráfico: (A) 6,75cm (B) 8,28cm (C) 9,26cm (D) 10,8cm (E) l2cm

10. Um artesão monta 15 pulseiras em 5 horas. Conservadas as condições de trabalho, em três horas,

dois artesãos montarão: (A) 9 pulseiras (B) 10 pulseiras (C) 15 pulseiras (D) 18 pulseiras (E) 20 pulseiras

11. Em uma fábrica, 8 operários trabalham 8 horas por dia durante 8 dias, produzindo 8 automóveis. Se 4

operários,com igual ritmo de produção, trabalharem 4 horas por dia, durante 4 dias, produzirão o seguinte número de automóveis:

(A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2 (E) 1

12. A pintura de um apartamento pode ser feita em 6 dias se 3 pintores trabalharem 8 hora diárias. Quantas horas por dia 4 pintores devem trabalhar para fazer a mesma pintura em 4 dias?

(A) 16 horas (B) 6 horas (C) 10 horas e 36 minutos(D) 9 horas (E) 20 horas e 6 minutos

13. Em uma fábrica, o custo de produção de 500 unidades de camisetas é de R$ 2.700,00, enquanto o custo para produzir 1.000 unidades é de R$ 3.800,00. Sabendo que o custo das camisetas é dado em função do número produzido através da expressão C(x) = q x + b, em que x é a quantidade produzida e b é o custo fixo, determine: a) Os valores de b e de q. b) O custo de produção de 800 camisetas.

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14. Um vídeo-clube propõe a seus clientes três opções de pagamento: Opção I: R$ 40,00 de taxa de adesão anual, mais R$ 1,20 por DVD alugado. Opção II: R$ 20,00 de taxa de adesão anual, mais R$ 2,00 por DVD alugado. Opção III: R$ 3,00 por DVD alugado, sem taxa de adesão. Um cliente escolheu a opção II e gastou R$ 56,00 no ano. Esse cliente escolheu a melhor opção de pagamento para o seu caso? Justifique sua resposta.

EXERCÍCIOS EXTRAS1. Sejam as funções f e g, definidas por f(x) = ax + b e g(x) = mx + n, representadas no gráfico. É correto afirmar que (a - m)/(b + n) é igual a

a) -1/3 b) 0 c) 2/3 d) 1 2. A função f: IRë IR é definida por f(x) = ax - b. Se f(-2) = - 7 e f(1) = 2, então a£ - b£ é igual a a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 3. Marquinhos trabalha em uma loja de informática e o seu salário é composto por uma parte fixa de R$ 400,00, acrescida de 5% sobre as vendas mensais por ele efetuadas. No mês em que o total de vendas de Marquinhos for R$ 40.000,00, seu salário será: a) R$ 2.400,00 b) R$ 2.000,00 c) R$ 1.440,00 d) R$ 600,00 e) R$ 400,00

4. O quadro apresenta a produção de algodão de uma cooperativa de agricultores entre 1995 e 1999. O gráfico que melhor representa a área plantada (AP) no período considerado é:

5. No gráfico a seguir, a imagem do intervalo [-1,2) é a) [1/2, 1) » (-2, 1]. b) (1/2, 1] » [-2, 1). c) [-1/2, 1] » (1, 2). d) [-1, 1/2] » (1, 2). e) [-1, 1/2] » [1, 2].

GABARITO 1. [D] 2. [B] 3. [A] 4. [A] 5. [D]

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FUNÇÃO POLINOM IAL DO 2º GRAU

Uma função f:R → R que associa a cada x ∈?R o número

y = f(x) = ax2 + bx + c

com a, b e c ?Reais e a ≠ ?0 é denominada função polinomial do 2º grau ou função quadrática. O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.

a > 0; concavidade voltada para cima

a < 0; concavidade voltada para baixo

simetria: f(p) = f(q) ⇒ xV = 2

qp +

Elementos de uma Parábola O gráfico da função f(x) = ax2 + bx + c, possui os seguintes elementos:

(0, c): Ponto de interseção com o eixo y. x1 e x2: são zeros da função, ou seja, as raízes da equação ax2 + bx + c = 0.

Pela propriedade de simetria )x(fy e 2

xxx vv

21v =

+= .

Pode-se então concluir que o vértice da parábola v(xv,yv), tem coordenadas:

a4y e

a2bx vv

Δ−=−=

eixo de simetria

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eixo de simetria

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p q xV

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1. Resolva o sistema: ý 2x - y = 1 þ ÿ1/x + 1/y = 2 2. Resolva as equações em U = R.

3. Para que valores de k, a equação 2x£+kx+2=0 possui duas raízes reais e iguais? 4. Para a equação do 2 grau (m-2)x£+(2m-5)x+(1-2m)=0, determine m nos seguintes casos: a) O produto das raízes é -1. b) As raízes são números opostos. c) Uma das raízes é o número zero. 5. Um número real é tal que o seu quadrado é igual ao seu quíntuplo. Qual é o número real? 6. Calcule o valor de k na equação x£ - 6x + k = 0 de modo que: a) as raízes sejam reais e diferentes b) as raízes sejam reais e iguais c) as raízes não sejam reais 7. Calcule o valor de p na equação x£ - 10x + p = 0 de modo que: a) as raízes sejam reais e diferentes b) as raízes sejam reais e iguais c) as raízes não sejam reais 8. Calcule o valor de t, sabendo que a soma das raízes da equação 2x£ + (2t - 2)x + 1 = 0 é - 3. 9. Sabendo que o produto das raízes da equação x£-5x+m-3 = 0 é 5, calcule o valor de m.

10. A maior raiz da equação -2x£+3x+5=0 vale: a) -1 b) 1 c) 2 d) 2,5 e) (3 + Ë19)/4 11. Um reservatório de água está sendo esvaziado para limpeza. A quantidade de água no reservatório, em litros, t horas após o escoamento ter começado é dada por: V = 50 (80 - t)£ A quantidade de água que sai do reservatório nas 5 primeiras horas de escoamento é: a) 281.250 litros b) 32.350 litros c) 42.500 litros d) 38.750 litros e) 320.000 litros 12. Sejam x� e x‚ as raízes da equação 10x£+33x-7=0. O número inteiro mais próximo do número 5x�x‚+2(x�+x‚) é: a) - 33 b) - 10 c) - 7 d) 10 e) 33 13. O valor de x na equação (x£ - 2x) / (3x - 6) = 1 é: a) 3 b) 2 c) 2 e 3 d) 1 e) -3 14. O conjunto verdade da equação 10x£ - 7x + 1 = 0 é: a) V = {1/2, -1/5} b) V = {-1/2, 1/5} c) V = {1/2, 1/5} d) V = {-1/2, -1/5} e) V = ¹

Exercícios de Fixação

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Educação sem Fronteiras15. As raízes da equação 6x£ - 13x + 6 = 0 são: a) - 2/3 e + 2/3 b) - 2/3 e 0 c) - 3/2 e + 3/2 d) 2/3 e 3/2 e) 2/3 e -3/2 16. A equação x£ + 10x + 25 = 0 tem as seguintes soluções no conjunto dos números reais: a) somente 5 b) somente 10 c) - 5 d) - 5 e 10 e) 5 e 10 17. As raízes da equação 2x£ - 10 - 8x = 0 são: a) [1, 5} b) {2, 3} c) {-1, 5} d) {-1, -5} e) ¹ 18. Resolva a equação (x -2)/3x + (2x - 1)/2 = (5x + 2)/6: a) {-1, 3} b) {-1, -4} c) {1, -4} d) {1, 4} e) {-1, 4} 19. A equação 4x£ + x + m = 0 tem uma única raiz. Então, m é igual a: a) 0 b) 1/16 c) 2 d) 1/32 e) -1 20. A equação de 2° grau ax£ - 4x - 16 = 0 tem uma raiz cujo valor é 4. A outra raiz é: a) 1 b) 2 c) -1 d) -2 e) 0

21. A soma das raízes da equação 3x£ + 6x - 9 = 0 é igual a: a) 4 b) 1 c) -2 d) 3 e) -3 22. Os valores de m, para os quais a equação 3x£-mx+4=0 tem duas raízes reais iguais, são a) - Ë5 e 2Ë5 b) - 4Ë3 e 4Ë3 c) 3Ë2 e -3Ë2 d) 2 e 5 e) - 6 e 8 GABARITO 1. se x = 1 então y = 1 se x = 1/4 então y = -1/2 2. a) 34/20 b) � 4 c) 0 ou 5 d) 1/2 e) -2 ou 5 f) 3 g) ¹ h) ¹ 3. K = � 4 4. a) m = -3 5. Estes números poderão ser 0 ou 5. 6. a) k < 9 b) k = 9 c) k >9 7. a) p < 25 b) p = 25 c) p = > 25 8. t = 4 9. m = 8 10. [D] 11. [D] 12. [B] 13. [A] 14. [C] 15 [D] 16. [A] 17. [C] 18. [E] 19. [B] 20. [B] 21. [C] 22. [B]

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Exercícios de Fixação - Parte 2

1. Esboce o gráfico de cada uma das funções, dando seu domínio e conjunto imagem.

a) y = x² - 8x + 12 i) y = x² - 4x -5 h)y = -4x²+3x b) y = -x² + 9 g)y = 4x² + 8x f) y = 2x² - 2x +1 c) y = -5x² e) y = 3x² d) y = 4x² + 2x +1 2. O gráfico da função y = ax² +bx+c está representado abaixo, determine os

valores de a,b e c e a imagem dessa função.

3. O gráfico da função y = ax² + bx + c está representado abaixo, determine os valores de a,b e c.

4. O gráfico da função y = ax² +bx + c é :

a) Determine os valores de a, b e c b) Calcule f(4)

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Educação sem Fronteiras

5. Esboce o gráfico e determine o valor máximo (ou o mínimo) e o ponto de máximo (ou o de mínimo) de cada uma das funções: a) y = x2 - 8x + 7 c) y = -x2 + 2x + 8 b)y = -2x2 + 2x- 3 d)y = 3x2-2x+ 1

6. Determine o valor máximo (mínimo) e o ponto de máximo (mínimo) de cada uma das funções: a) v = 2x2 – 12x + 10 g) y = -x2 + 3x - 5 m) y = -x2 - 4x b) y= -x2 + 4x + 5 h ) y = x 2 - 2 x - 3 n) y = x2- x + 1 c)y = x2-9 i) y= -x2 - 4x + 5 o) y = -2x2 + x - 1 d)y=-x2 + í6 j ) y = 3x2-9 p) y = 2x2 + 6 e) y = 3x2 k) y = x² + 1 f) y = x2 - 2x + 4 l) y = x2 + 9x

7. Determine o valor máximo da função/ cujo gráfico é a seguinte parábola

8. Os valores nos eixos Ox e Oy indicam, respectivamente, as distâncias, em metros, percorridas pela pedra na horizontal e na vertical (altura). Sabendo-se que tal trajetória é parabólica, determine a altura máxima atingida pela pedra.

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Um resumo para as várias situações na variação do sinal da função quadrática pode ser visto abaixo.

9.

10.

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Educação sem FronteirasExercícios N1

1. Dada a função f : IRë IR, definida por f (x) = x£ + 5x + 6 determine o valor de x de modo que: a) f (x) = 0 b) f (x) = 6 2. Considere as funções f: IR ë IR e g: IR ë IR dadas por: f(x)=x£-x+2 e g(x)= -6x+3/5. Calcule f(1/2) + [5g(-1)]/4. 3. Dada a função definida por f (x) = x£ - x, determine: a) f (-2) b) f (0) 4. O gráfico de y = x£ - 8x corta o eixo 0x nos pontos de abscissa: a) -2 e 6. b) -1 e -7 .c) 0 e -8 d) 0 e 8 .e) 1 e 7. 5. O gráfico de f(x)=x£+bx+c, onde b e c são constantes, passa pelos pontos (0,0) e (1,2). Então f(-2/3) vale a) - 2/9 b) 2/9 c) -1/5 d) 1/4 e) 4 6. Na parábola y = 2x£ - (m - 3)x + 5, o vértice tem abscissa 1. A ordenada do vértice é: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 7. A função real f, de variável real, dada por f(x)=-x£+12x+20, tem um valor a) mínimo, igual a -16, para x = 6 b) mínimo, igual a 16, para x = -12 c) máximo, igual a 56, para x = 6 d) máximo, igual a 72, para x = 12 e) máximo, igual a 240, para x = 20

8. A função f(x) do segundo grau tem raízes -3 e 1. A ordenada do vértice da parábola, gráfico de f(x), é igual a 8.A única afirmativa VERDADEIRA sobre f(x) é a) f(x) = -2(x-1)(x+3) b) f(x) = -(x-1)(x+3) c) f(x) = -2(x+1)(x-3) d) f(x) = (x-1)(x+3) e) f(x) = 2(x+1)(x-3)

9. A equação 2mx£ + mx + 1/2 = 0 possui 2 raízes reais distintas. Então

a) m = 0 b) m > 0 c) m < 4 d) m < 0 ou m > 4 e) 0 < m < 4

10. Sobre a equação 1983x2 – 1984x – 1985 = 0 A alternativa correta é: (A) não tem raiz real (B) tem duas raízes simétricas (C) tem duas raízes reais e distintas (D) tem duas raízes positivas (E) tem duas raízes negativas

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EducaçãoEducação sem Fronteiras

EXERCÍCIOS N2 1. (CESGRANRIO) Se M e N são raízes de x2 – 6x + 10 = 0, determine

1M +

1N .

2. (PUC) A diferença entre as raízes da equação x2 + ax + (a – 1) = 0 é 1. Quanto vale a?

3. (PUC) Uma solução da equação ax2 + bx + c = 0 é o dobro da outra. Então: (A) 4b2 = 9c (D) b2 = 8ac (B) 2b2 = 9ac (E) 9b2 = 2ac (C) 2b2 = 9a

4. Dada a equação x2 – x + 2 = 0, determine: I) A soma dos quadrados das raízes. II) A soma dos cubos das raízes.

5. (UFF) Para que a curva representativa da equação y = px2 – 4x + 2 tangencie o eixo dos x, o valor da

constante p deve ser: (A) –6 (B) –2 (C) 0 (D) 2 (E) 6

6. Um trinômio ax2 + bx + c tem coeficientes a, b e c reais não nulos. Se Δ = b

2 − 4ac, a condição para que

esse trinômio seja igual ao quadrado de um binômio do 1° grau é: (A) Δ < 0 (B) Δ = 0 (C) Δ > 0 (D) a ⋅ Δ > 0 (E) a ⋅ Δ < 0

7. Sendo a a hipotenusa e b e c os catetos de um triângulo retângulo, a equação: a2 x2 − b2 x − c2 = 0 (A) possui uma raiz igual a −1 e outra entre 0 e l. (B) não possui raízes reais. (C) não admite raízes racionais. (D) possui uma raiz igual 1 e outra entre 0 e −1. (E) possui apenas uma raiz imaginária. 8. Resolva em R a equação: (x − 1) (1 + x) x = x(x − 1)2

9. (PUC) Quando o polinômio x2 + x – a tem raízes iguais?

10. (PUC) A equação x4 – 2b2 x2 + 1 = 0 (A) não tem soluções reais se –1 < b < 1. (B) sempre tem apenas uma solução real. (C) tem apenas duas soluções reais se b > 1. (D) sempre tem quatro soluções reais. (E) tem quatro solução reais se b = 0

11. (IBMEC) As raízes de uma equação do 2º grau são dois números positivos, cujo produto é igual a p

(p ≠ 0). Se a soma dos quadrados dessas duas raízes é igual a s, podemos afirmar que essa equação pode ser expressa por:

(A) x2 – sx + p = 0 (B) x2 – s 2p− x + s + 2p = 0 (C) x2 + sx + p = 0 (D) x2 – s + 2p x + p = 0 (E) x2 – S ⋅ x + p = 0

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Educação sem Fronteiras 12. (UERJ) Utilize os dados abaixo para responder à questão abaixo. Durante um experimento, um pesquisador anotou as posições de dois móveis A e B, elaborando a tabela abaixo.

A B0 -5 151 0 02 5 -53 10 04 15 15

Posição em metrosTempo (t) em segundos

O movimento de A é uniforme e o de B é uniformemente variado. A aceleração do móvel B é, em m/s², igual a: (A) 2,5 (B) 5,0 (C) 10,0 (D) 12,5

13. (UFRJ) Em uma análise escalar, um corpo em queda livre está sujeito a duas forças: o peso P e a

resistência do ar, que é diretamente proporcional ao quadrado da velocidade V. Assim, a resultante F das forças que atuam sobre esse corpo é: f = P – KV2.

O gráfico a seguir representa F, em newtons, em função de V, em metros por segundo, quando um certo corpo é abandonado em queda livre. Determine:

10

700

x

V (m/s)

F(N)

a) peso desse corpo. b) a maior velocidade por ele atingida. c) o valor numérico da constante k para esse corpo.

14. (UFRJ) A figura abaixo é o gráfico do trinômio do 2º grau. Determine o trinômio.

15. (IBMEC) A função f: [0, 5] → R é definida por f(x) = x2 – 6x + 8. A diferença entre o valor máximo e o valor mínimo desta função é:

(A) 2 (B) 3 (C) 6 (D) 8 (E) 9

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EXERCÍCIOS N3

1. (UNIRIO) Observe a figura abaixo, onde estão representadas uma reta e a parábola y = x2 − 1. Pergunta-se:

A) Quais os pontos de intersecção da reta com a parábola? B) Qual a equação da reta?

2. (UNIFICADO)

Os pontos V e P são comuns às funções f(x) = 2 2 x − 8 e g(x) = ax2 + bx + c, representadas no gráfico acima. Sendo V o vértice da parábola de g(x), o valor de g(−8) é igual a: (A) 0 (B) 8 (C) 16 (D) 32 (E) 56

3. (UFF) O gráfico da função real f definido por f (x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) intercepta o eixo x no

ponto (1, 0) e tem um máximo no ponto (2, 1). Determine os valores de a, b e c.

V

y

x 0 P

f(x)

y

x 2

4. (PUC) O número de pontos de intersecção das duas parábolas y = x2 e y = 2x2 – 1 é:

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4

5. (UFF) A equação da parábola que passa pelo ponto (−2, 0) e cujo vértice situa-se no ponto (1, 3) é

(A) y = − x2 + 2x + 8 (B) y = −3x2 + 6x + 24 (C) y = 38

3x2

3x 2

++− (D) y = 38

3x2

3x 2

−−

(E) y = x2 + 2x + 8

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Educação sem Fronteiras7. Considere o polinômio definido por p(x) = x2 − 746x − 981. Pode-se concluir que: (A) p(1) = p(981) (B) p(749) = p(981) (C) p(740) = p(752) (D) p (100) = p(800) (E) p(370) = p(376) 8. Uma bola é lançada ao ar. Suponha que sua altura h, em metros, t segundos após o lançamento, seja

h = –t2 + 4t + 6. Determine: a) o instante em que a bola atinge a sua altura máxima; b) a altura máxima atingida pela bola; c) quantos segundos depois do lançamento ela toca o solo.

9. Sabe-se que o lucro total de uma empresa é dado pela fórmula L = R – C, em que L é o lucro total, R

é a receita total e C é o custo total da produção. Numa empresa que produziu x unidades, verificou-se que R(x) = 6 000x – x2 e C(x) = x2 – 2 000x. Nessas condições, qual deve ser a produção x para que o lucro da empresa seja máximo?

10. (UFRJ) Oscar arremessa uma bola de basquete cujo centro segue uma trajetória plana vertical de

equação 2x78x

71y 2 ++−= , na qual os valores de x e y são dados em metros.

Oscar acerta o arremesso, e o centro da bola passa pelo centro da cesta, que está a 3m de altura. Determine a distância do centro da cesta ao eixo y.

11. (UFF) O custo, em reais, de fabricação de x peças, em determinada fábrica é C(x) = mx2 + nx + p.

Sabe-se que: I) Se nenhuma peça for produzida, o custo fixo é de 80 reais. II) Se forem produzidas 30 peças, o custo é de 50 reais. III) Se forem produzidas 50 peças, o custo é de 130 reais. Determine: A) o número de peças que se devem produzir para que o custo seja o menor possível; B) o custo mínimo.

12. (UFRJ) Um avião tem combustível para voar durante 4 horas. Na presença de um vento com velocidade v km/h na direção e sentido do movimento, a velocidade do avião é de (300 + v) km/h. Se o avião se desloca em sentido contrário ao do vento, sua velocidade é de (300 − v) km/h.

Suponha que o avião se afaste a uma distância d do aeroporto e retorne ao ponto de partida, consumindo todo o combustível, e que durante todo o trajeto a velocidade do vento é constante e tem a mesma direção que a do movimento do avião. A) Determine d como função de v. B) Determine para que valor de v a distância d é máxima.

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13. Uma excursão promovida por uma escola custará R$ 1500,00 a cada estudante, se viajarem 150 estudantes; contudo o custo por pessoa será reduzido em R$ 5,00 por cada estudante que exceda os 150. Calcule o número de alunos que deve viajar para que a escola receba a maior renda bruta.

14. (UNIRIO) Em uma fábrica, o custo de produção de x produtos é dado por c(x) = –x2 + 22x + 1.

Sabendo-se que cada produto é vendido por R$ 10,00, o número de produtos que devem ser vendidos para se ter um lucro de R$ 44,00 é:

(A) 3 (B) 10 (C) 12 (D) 13 (E) 15

ANOTAÇÕES

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Educação sem Fronteiras

INEQUAÇÃO

Definição Estudar o sinal de função f é determinar para que valores de x, x ∈ Dom(f), as ordenadas

f(x) são nulas, positivas ou negativas. Assim, considerando o gráfico abaixo pode-se dizer que: 1º) f(x) = 0 ⇔ x = a ou x = b ou x = c (a, b, c são raízes ou zeros da função f) 2º) f(x) > 0 ⇔ x < a ou b < x < c 3º) f(x) < 0 ⇔ a < x < b ou x > c As inequações f(x) > 0, f(x) < 0, f(x) ≥ 0 ou f(x) ≤ 0 pode ser resolvidas estudando-se a

variação do sinal da função f. As técnicas algébricas para resolver inequações simples serão apresentadas e discutidas nas resoluções dos exercícios que seguem. Exemplo:

Determine os conjuntos soluções das inequações: (A) 2x2 − 5x + 2 < 0

Solução: Primeiro calculam-se as raízes da função do 2º grau f(x) = 2x2 − 5x + 2. Em seguida

esboça-se o gráfico de f destacando-se o eixo x com as raízes:

f(x) < 0 ⇔ 21 < x < 2

Então S = ]21 ,2[

(B) (x − 1)(x + 2) ≥ (x + 1)(x2 + 4x + 4) Solução: (x −1)(x + 2) − (x + 1)(x + 2)2 ≥ 0 (x + 2)[(x −1) − (x +1)(x + 2)] ≥ 0 (x + 2)[(x −1) − (x2 + 3x + 2)] ≥ 0 (x + 2)( −x2 − 2x − 3) ≥ 0

Agora estuda-se o sinal de cada fator I) y = x + 2 : raiz −2

II) y = −x2 − 2x − 3 : não tem raízes reais

a b c

f

y

x

1/2 2

x

+ x −2

x

− − −

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Estudo da variação do sinal do produto: P

x −2 I − + II − − P + −

Então S = ]−∞,−2] (C) é equivalente a inequação dada Agora estuda-se o sinal de cada termo:

I) y = −x + 5 : raiz 5

II) y = x − 2 : raiz 2

Estudo da variação do sinal do quociente: Q

x 2 5 I + + − II − + + Q − + −

Então S= ]−∞,2[ U [5,+∞[

02x5x

02x

4x21x

022x1x

22x1x

≤−+−

≤−

+−+

≤−−+

≤−+

+ +

+ x 5

+ x

2

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Exercícios N1

1. (PUC) Resolva a inequação 1x3x2

−+ ≥ 1.

2. (PUC) Se | 2x − 3 | ≤ 5 então:

(A) x ≤ −1 (B) x ≤ 4 (C) −1 ≤ x ≤ 4 (D) x ≤ −1 ou x ≥ 4 (E) nenhuma das respostas acima.

3. (UFF) Determine o domínio da função real f de variável real definida por f(x) = x

900x − .

4. (CESGRANRIO) A solução da inequação x > x1 é:

(A) −1 < x < 0 ou x > 1 (B) x < −1 ou x > 1 (C) x > 1 (D) x > 0 (E) x > −1

5. (PUC) A figura abaixo fornece os gráficos de uma função f definida em [a, e] e da função g(x) = 2x

O conjunto de todos os números reais que satisfazem a inequação f(x) ≤ 2x é:

(A) [a, b] ∪ [0, e] (B) [a, c] ∪ [0, d] (C) [a, 0] ∪ [d, e] (D) [c, 0] ∪ [d, e] (E) nenhuma das respostas acima.

6. (PUC) Se a e b são números inteiros, 1 ≤ a < b ≤ 9, o menor valor que ab

ba + pode assumir é:

(A) 1 (B) 5615 (C)

92

(D) 209 (E)

7217

y

x 0

c b a e d

g f

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7. (UNIRIO) Dadas as funções f(x) = x2 − 2x + 1, g(x) = 5 − x e h(x) = x2 − 4x + 3, definimos a função ϕ(x)

= )x(f

)x(h)x(g ⋅ . Analisando os valores de x, para os quais ϕ(x) ≥ 0, temos:

(A) x < 1 ou 3 < x < 5 (B) x < 1 ou 3 ≤ x ≤ 5 (C) x ≤ 1 ou 3 ≤ x ≤ 5 (D) x ≥ 5 ou 1 ≤ x ≤ 3 (E) x > 5 ou 1 < x < 3

8. A solução da inequação (x − 2) (4 − x) > 0 é: (A) x > 2. (B) x < 4. (C) 2 < x < 4. (D) x < 2 ou x > 4. (E) x > 0.

9. A inequação x2 − 2x + 3 ≤ K não tem solução se, e somente se: (A) K > 2 (B) 2 < K < 3 (C) K < 2 (D) K > 4 (E) 3 < K < 4

10. (PUC) Se A = {x ∈ R | | x − 3 | < 2} e B = {x ∈ R | x2 − 8x + 12 < 0}, o conjunto A − B é igual a: (A) (1, 2) (B) (1 ,2] (C) [1, 2) (D) [1, 2] (E) {2}

11. Seja x um número real positivo tal que 2xx > . Então, o conjunto de tais números é um intervalo

aberto cujo ponto médio é:

A) 41 (B)

21 (C) 1 (D) 2 (E) 3

12. (RURAL) A interseção dos seguintes conjuntos a seguir

{ } { } { }2 2 2| 6 5 0 , | 2 3 0 | 8 12 0 .A x R x x B x R x x eC x R x x= ∈ − + < = ∈ − + + > = ∈ − + ≥

é um intervalo. Determine o conjunto solução que representa esse intervalo.

13. A solução da inequação x > 2x1 é:

(A) −1 < x < 0 ou x > 1 (B) x < −1 ou x > 1 (C) x > 1 (D) x > 0 (E) x > −1

14. (FUVEST) O conjunto das soluções, no conjunto R dos números reais, da inequação 1x

x+

> x é

(A) vazio (B) R (C) {x ∈ R: x < 0} (D) {x ∈ R: x > −1} (E) {x ∈ R: x < −1}

15. (UERJ) Numa operação de salvamento marítimo, foi lançado um foguete sinalizador que permaneceu

aceso durante toda sua trajetória. Considere que a altura h, em metros, alcançada por este foguete, em

relação ao nível do mar, é descrita por 2h = 10 + 5t - t , em que t é o tempo, em segundos, após seu lançamento. A luz emitida pelo foguete é útil apenas a partir de 14 m acima do nível do mar. O intervalo de tempo, em segundos, no qual o foguete emite luz útil é igual a

(A)3 (B) 4 (C) 5 (D) 6

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EXERCÍCIOS N2

1. (UFRJ) Seja :p R R→ dada por ( ) ( 1)( 2)( 3)p x x x x= − − − . Para que valores de x se tem ( ) 0p x ≥ ?

2. RURAL) O conjunto solução da inequação 1x

13x

x−

−+

< 1 é

(A) −3 < x < l. (B) −3 < x < 0 ou x > 1. (C) −3 < x < − 3 ou l < x < 3 . (D) − 3 < x < 1 ou x > 3 . (E) − 1 < x < 1 ou x > 3.

3. Dada a função real f (x) = x (| x | − 1), A) esboce o seu gráfico; B) determine todos os números reais x tais que f (x) = x; C) encontre o conjunto solução da inequação x | x | ≥ x.

4. Sendo S o conjunto solução da inequação | x2 − 1 | > 3, pode-se afirmar que: (A) S = {x ∈ R | x < −2 ou x > 2} (B) S = {x ∈ R | x < 1} (C) S = {x ∈ R | −2 < x < 2} (D) S = {x ∈ R | x > −1} (E) S = {x ∈ R | x > 2}

5. (UNIRIO) O conjunto-solução da inequação x23)2x( 2

−− < 0 é:

(A) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ <∈

23x|Rx (B)

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ≤∈

23x|Rx (C)

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ >∈

23x|Rx

(D) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ≠>∈ 2xou

23x|Rx (E)

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ≠>∈ 2xe

23x|Rx

6. (CESGRANRIO)

As figuras acima nos mostram as funções f(x) e g(x) representadas pelos seus gráficos cartesianos. A

solução da inequação )x(g)x(f ≥ 0 é:

(A) x ≤ 1 ou 2 < x ≤ 3 (B) 1 ≤ x < 2 ou x ≥ 3 (C) x < 2 ou x ≥ 3 (D) 1 ≤ x ≤ 3 e x ≠ 2 (E) x ≥ 1 e x ≠ 2

x

y

1 3

f

x

y

2

g

Figura I

função f(x)

Figura II

função g(x)

7. (IBMEC) Seja a inequação:

( )( )

929- x041- x

Então, a soma dos números naturais, que pertencem ao conjunto-solução dessa inequação, é igual a:

A) 10 B) 6 C) 5 D) 3 E) 1

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8. (IBMEC) Seja: 2 2005( -4) 02004( 1)

x

x≤

+

Determine, justificando, o conjunto-solução da inequação dada.

9. (UERJ) Ao resolver a inequação 1x3x2

−+ > 5, um aluno apresentou a seguinte solução:

2x + 3 > 5(x − 1) 2x + 3 > 5x − 5

2x − 5x > − 5 − 3 −3x > −8

3x < 8

x < 38

Conjunto-solução: S = { x ∈ R / x < 38 }

A solução do aluno está ERRADA. A) Explique por que a solução está errada. B) Apresente a solução correta.

10. (PUC) A inequação 1x

8x3x 2

++− < 2 tem como solução o conjunto de números reais:

(A) (−∞, 1) ∪ (2, 3) (B) (2, 3) (C) (−∞, 1] ∪ [2, 3] (D) [ 2 , 3] (E) nenhuma das respostas acima.

EXERCÍCIOS N3

1. (PUC) Seja k um número positivo. Então o conjunto dos números x tais que

kkx − ≥ 1 e

kkx 2+ < k + 2 é:

(A) vazio; (B) formado por um elemento único; (C) [4,+∞); (D) (−∞, 4); (E) [−4, 2).

2. Gerador é um aparelho que transforma qualquer tipo de energia em energia elétrica. Se a potência P, em

watts, que um certo gerador lança em um circuito elétrico é dada por: 2P =20i-5i

onde i é a intensidade da corrente elétrica que atravessa o gerador, em ampéres, pede-se:

A) para que intensidade da corrente este gerador lança no circuito sua potência máxima? B) para que a intensidade da corrente este gerador lança no circuito uma potência maior que 15 watts?

3. (UFF) Considere a inequação n69

2n2

2 −−

< , n ∈ N*.

O conjunto-solução desta inequação é: (A) {n ∈ N* / n > 1 e n ≠ 3} (B) N* (C) ∅ (D) (n ∈ N* / n ≠ 3} (E) {1, 3}

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Revisão

1. (Uerj 2003) O gráfico adiante representa, em bilhões de dólares, a queda das reservas internacionais de um determinado país no período de julho de 2000 a abril de 2002.

Admita que, nos dois intervalos do período considerado, a queda de reservas tenha sido linear. Determine o total de reservas desse país, em bilhões de dólares, em maio de 2001. 2. (Uerj 2005) Sabe-se que, nos pulmões, o ar atinge a temperatura do corpo e que, ao ser exalado, tem temperatura inferior à do corpo, já que é resfriado nas paredes do nariz. Através de medições realizadas em um laboratório foi obtida a função TÛ = 8,5 + 0,75 × T½ , 12° ´ T½ ´ 30°, em que TÛ e T½ representam, respectivamente, a temperatura do ar exalado e a do ambiente. Calcule: a) a temperatura do ambiente quando TÛ = 25°C; b) o maior valor que pode ser obtido para TÛ.

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3. (Uerj 2006) No gráfico a seguir, x representa a quantidade de batatas, em quilogramas, vendidas na barraca de seu Custódio, em um dia de feira, e y representa o valor, em reais, arrecadado com essa venda. A partir das 12 horas, o movimento diminui e o preço do quilograma de batatas também diminui.

a) Calcule a redução percentual do preço do quilograma das batatas a partir das 12 horas. b) Se o preço não diminuísse, teria sido arrecadado um valor V na venda de 80 kg. Determine o percentual de V que corresponde à perda causada pela redução do preço. 4. (Uff) A Cerâmica Marajó concede uma gratificação mensal a seus funcionários em função da produtividade de cada um convertida em pontos; a relação entre a gratificação e o número de pontos está representada no gráfico a seguir.

Observando que, entre 30 e 90 pontos, a variação da gratificação é proporcional à variação do número de pontos, determine a gratificação que um funcionário receberá no mês em que obtiver 100 pontos.

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5. (Uff 2004) Um reservatório, contendo inicialmente 400 litros de água, começa a receber água a uma razão constante de 3 litros por segundo, ao mesmo tempo que uma torneira deixa escoar água desse reservatório a uma razão, também constante, de 1 litro por segundo. Considerando o instante inicial (t = 0) como o instante em que o reservatório começou a receber água, determine: a) o volume de água no reservatório decorridos dez segundos (t = 10) a partir do instante inicial; b) uma expressão para o volume (V), em litro, de água no reservatório em função do tempo decorrido (t), em segundo, a partir do instante inicial. 6. (Ufg 2007) Duas empresas financeiras, E� e E‚, operam emprestando um capital C, a ser pago numa única parcela após um mês. A empresa E� cobra uma taxa fixa de R$ 60,00 mais 4% de juros sobre o capital emprestado, enquanto a empresa E‚ cobra uma taxa fixa de R$ 150,00 mais juros de 3% sobre o capital emprestado. Dessa forma, a) determine as expressões que representam o valor a ser pago em função do capital emprestado, nas duas empresas, e esboce os respectivos gráficos; b) calcule o valor de C, de modo que o valor a ser pago seja o mesmo, nas duas empresas. 7. (Ufrj 2004) Um vídeo-clube propõe a seus clientes três opções de pagamento: Opção I: R$ 40,00 de taxa de adesão anual, mais R$ 1,20 por DVD alugado. Opção II: R$ 20,00 de taxa de adesão anual, mais R$ 2,00 por DVD alugado. Opção III: R$ 3,00 por DVD alugado, sem taxa de adesão. Um cliente escolheu a opção II e gastou R$ 56,00 no ano. Esse cliente escolheu a melhor opção de

pagamento para o seu caso? Justifique sua

resposta

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8. (Unesp) Considere a função f: IR ë IR, definida por f(x) = 2x - 1. Determine todos os valores de m Æ IR para os quais é válida a igualdade: f(m£) - 2f(m) + f(2m) = m/2. 9. (Unesp) Um operário ganha R$3,00 por hora de trabalho de sua jornada semanal regular de trabalho, que é de 40 horas. Eventuais horas extras são pagas com um acréscimo de 50%. Encontre uma fórmula algébrica para expressar seu salário bruto semanal, S, para as semanas em que trabalhar h horas, com hμ40. 10. (Enem 2004) O jornal de uma pequena cidade publicou a seguinte notícia: CORREIO DA CIDADE ABASTECIMENTO COMPROMETIDOO novo pólo agroindustrial em nossa cidade tem atraído um enorme e constante fluxo migratório, resultando em um aumento da população em torno de 2000 habitantes por ano, conforme dados do nosso censo:

Esse crescimento tem ameaçado nosso fornecimento de água, pois os mananciais que abastecem a cidade têm capacidade para fornecer até 6 milhões de litros de água por dia. A prefeitura, preocupada com essa situação, vai iniciar uma campanha visando estabelecer um consumo médio de 150 litros por dia, por habitante. A análise da notícia permite concluir que a medida é oportuna. Mantido esse fluxo migratório e bem sucedida a campanha, os mananciais serão suficientes para abastecer a cidade até o final de a) 2005. b) 2006. c) 2007. d) 2008. e) 2009.

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11. (Enem 2004)

Na seleção para as vagas deste anúncio, feita por telefone ou correio eletrônico, propunha-se aos candidatos uma questão a ser resolvida na hora. Deveriam calcular seu salário no primeiro mês, se vendessem 500 m de tecido com largura de 1,40 m, e no segundo mês, se vendessem o dobro. Foram bem sucedidos os jovens que responderam, respectivamente, a) R$ 300,00 e R$ 500,00. b) R$ 550,00 e R$ 850,00. c) R$ 650,00 e R$ 1000,00. d) R$ 650,00 e R$ 1300,00. e) R$ 950,00 e R$ 1900,00. 12. (Enem 2006) Os gráficos 1 e 2 a seguir mostram, em milhões de reais, o total do valor das vendas que uma empresa realizou em cada mês, nos anos de 2004 e 2005.

Como mostra o gráfico 1, durante o ano de 2004, houve, em cada mês, crescimento das vendas em relação ao mês anterior. A diretoria dessa empresa, porém, considerou muito lento o ritmo de crescimento naquele ano. Por isso, estabeleceu como meta mensal para o ano de 2005 o crescimento das vendas em ritmo mais acelerado que o de 2004. Pela análise do gráfico 2, conclui-se que a meta para 2005 foi atingida em a) janeiro, fevereiro e outubro. b) fevereiro, março e junho. c) março, maio e agosto. d) abril, agosto e novembro. e) julho, setembro e dezembro

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13. (Enem 2006) O carneiro hidráulico ou aríete, dispositivo usado para bombear água, não requer combustível ou energia elétrica para funcionar, visto que usa a energia da vazão de água de uma fonte. A figura a seguir ilustra uma instalação típica de carneiro em um sítio, e a tabela apresenta dados de seu funcionamento.

Se, na situação apresentada, H = 5 × h, então, é mais provável que, após 1 hora de funcionamento ininterrupto, o carneiro hidráulico bombeie para a caixa d'água a) de 70 a 100 litros de água. b) de 75 a 210 litros de água. c) de 80 a 220 litros de água. d) de 100 a 175 litros de água. e) de 110 a 240 litros de água. 14. (Fgv 2003) Uma fábrica de bolsas tem um custo fixo mensal de R$ 5000,00. Cada bolsa fabricada custa R$ 25,00 e é vendida por R$ 45,00. Para que a fábrica tenha um lucro mensal de R$ 4000,00, ela deverá fabricar e vender mensalmente x bolsas. O valor de x é: a) 300 b) 350 c) 400 d) 450 e) 500

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15. (Fgv 2003) Uma função polinomial f do 1¡. grau é tal que f(3) = 6 e f(4) = 8. Portanto, o valor de f(10) é: a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20 16. (Fgv 2005) Para produzir um objeto, uma empresa gasta R$ 12,00 por unidade. Além disso, há uma despesa fixa de R$ 4.000,00, independentemente da quantidade produzida. Vendendo os objetos produzidos a R$ 20,00 a unidade, o lucro atual da empresa é de R$ 16.000,00. Com o intuito de enfrentar a concorrência, a empresa decide reduzir em 15% o preço unitário de venda dos objetos. Para continuar auferindo o mesmo lucro, o aumento percentual na quantidade vendida deverá ser de: a) 100% b) 15% c) 60% d) 40% e) 70% 17. (Fuvest 2003) Seja f a função que associa, a cada número real x, o menor dos números x + 3 e - x + 5. Assim, o valor máximo de f(x) é: a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 7 18. (G1 - cftmg 2005) A função f: IR ë IR é definida por f(x) = ax - b. Se f(-2) = - 7 e f(1) = 2, então a£ - b£ é igual a a) 7 b) 8 c) 9 d) 10

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19. (Pucmg 2007) A receita R, em reais, obtida por uma empresa com a venda de q unidades de certo produto, é dada por R(q) = 115q, e o custo C, em reais, para produzir q dessas unidades, satisfaz a equação C(q) = 90q + 760. Para que haja lucro, é necessário que a receita R seja maior que o custo C. Então, para que essa empresa tenha lucro, o número mínimo de unidades desse produto que deverá vender é igual a: a) 28 b) 29 c) 30 d) 31 20. (Pucmg 2007) Uma pessoa encontra-se no aeroporto (ponto A) e pretende ir para sua casa (ponto C), distante 20 km do aeroporto, utilizando um táxi cujo valor da corrida, em reais, é calculado pela expressão V(x) = 12 + 1,5 x, em que x é o número de quilômetros percorridos.

Se B = 90°, C = 30° e o táxi fizer o percurso AB + BC, conforme indicado na figura, essa pessoa deverá pagar pela corrida: a) R$ 40,50 b) R$ 48,00 c) R$ 52,50 d) R$ 56,00

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21. (Pucmg 2007) Uma operadora de celular oferece dois planos no sistema pós-pago. No plano A, paga-se uma assinatura de R$ 50,00, e cada minuto em ligações locais custa R$ 0,25. No plano B, paga-se um valor fixo de R$ 40,00 para até 50 minutos em ligações locais e, a partir de 50 minutos, o custo de cada minuto em ligações locais é de R$1,50. Nessas condições, o plano B deixa de ser mais vantajoso do que o plano A para alguém que gaste mais que p minutos em ligações locais. Assim sendo, o valor de p, em minutos, é igual a: a) 50 b) 56 c) 62 d) 68 22. (Pucmg 2007) De acordo com certa revista, o peso ideal do corpo adulto em função da altura é dado pela fórmula P = (a - 100) - [(a - 150)/b], em que P é o peso, em quilogramas, a é a altura, em centímetros, b = 4, para homens, e b = 2, para mulheres. Se André e Simone, que têm a mesma altura, estão com seu peso ideal, segundo a informação dessa revista, e André pesa 6 quilos a mais do que Simone, pode-se afirmar que o peso de Simone, em quilogramas, é igual a: a) 54 b) 56 c) 62 d) 68 23. (Uel 2006) Um camponês adquire um moinho ao preço de R$ 860,00. Com o passar do tempo, ocorre uma depreciação linear no preço desse equipamento. Considere que, em 6 anos, o preço do moinho será de R$ 500,00. Com base nessas informações, é correto afirmar: a) Em três anos, o moinho valerá 50% do preço de compra. b) Em nove anos, o preço do moinho será um múltiplo de nove. c) É necessário um investimento maior que R$ 450,00 para comprar esse equipamento após sete anos. d) Serão necessários 10 anos para que o valor desse equipamento seja inferior a R$ 200,00. e) O moinho terá valor de venda ainda que tenha decorrido 13 anos.

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24. (Uel 2006) Os produtos farmacêuticos devem especificar as dosagens recomendadas para uso de adultos e de crianças. As fórmulas a seguir são utilizadas para modificar a dosagem de uso dos adultos para a dosagem de uso por crianças (y). Fórmula A: y = (1/24) (t + 1) . a Fórmula B: y = (1/21) t. a Onde a denota a dosagem de adulto em miligramas e t a idade da criança em anos. Assinale a alternativa que apresenta a idade da criança na qual as duas fórmulas especificam a mesma dosagem. a) 2 anos. b) 6 anos. c) 7 anos. d) 8 anos. e) 10 anos. 25. (Uel 2006) O gerente de uma agência de turismo promove passeios de bote para descer cachoeiras. Ele percebeu que quando o preço pedido para esse passeio era R$ 25,00, o número médio de passageiros por semana era de 500. Quando o preço era reduzido para R$ 20,00, o número médio de fregueses por semana sofria um acréscimo de 100 passageiros. Considerando que essa demanda seja linear, se o preço for reduzido para R$ 18,00, o número médio de passageiros esperado por semana será: a) 360 b) 540 c) 640 d) 700 e) 1360

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26. (Uel 2008) Um consumidor adquiriu um aparelho de telefonia celular que possibilita utilizar os serviços das operadoras de telefonia M e N. A operadora M cobra um valor fixo de R$ 0,06 quando iniciada a ligação e mais R$ 0,115 por minuto da mesma ligação. De modo análogo, a operadora N cobra um valor fixo de R$ 0,08 e mais R$ 0,11 por minuto na ligação. Considere as afirmativas a seguir: I. O custo de uma ligação de exatos 4 minutos é o mesmo, qualquer que seja a operadora. II. O custo da ligação pela operadora M será menor do que o custo da ligação pela operadora N, independentemente do tempo de duração da ligação. III. Uma ligação de 24 minutos efetuada pela operadora M custará R$ 0,10 a mais do que efetuada pela operadora N. IV. O custo da ligação pela operadora N será menor do que o custo da ligação pela operadora M, independentemente do tempo de duração da ligação. Assinale a alternativa que contém todas as afirmativas corretas. a) I e II. b) I e III. c) III e IV. d) I, II e IV. e) II, III e IV. 27. (Uff 2004) Um grande poluente produzido pela queima de combustíveis fósseis é o SO‚ (dióxido de enxofre). Uma pesquisa realizada na Noruega e publicada na revista "Science" em 1972 concluiu que o número (N) de mortes por semana, causadas pela inalação de SO‚, estava relacionado com a concentração média (C), em mg/m¤, do SO‚ conforme o gráfico a seguir: os pontos (C, N) dessa relação estão sobre o segmento de reta da figura.

Com base nos dados apresentados, a relação entre N e C (100 ´ C ´ 700) pode ser dada por: a) N = 100 - 700 C b) N = 94 + 0,03 C c) N = 97 + 0,03 C d) N = 115 - 94 C

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28. (Ufpe 2003) Um provedor de acesso à Internet oferece dois planos para seus assinantes: Plano A - Assinatura mensal de R$ 8,00 mais R$ 0,03 por cada minuto de conexão durante o mês. Plano B - Assinatura mensal de R$ 10,00 mais R$ 0,02 por cada minuto de conexão durante o mês. Acima de quantos minutos de conexão por mês é mais econômico optar pelo plano B? a) 160 b) 180 c) 200 d) 220 e) 240 29. (Ufrs 2007) Considere a função f que a cada número real x positivo faz corresponder a área do triângulo ABP, como representado na figura 1 a seguir. Entre os gráficos das alternativas, o que melhor representa o gráfico da função f é

30. (Ufsc 2006) Dois líquidos diferentes encontram-se em recipientes idênticos e têm taxas de evaporação constantes. O líquido I encontra-se inicialmente em um nível de 100 mm e evapora-se completamente no quadragésimo dia. O líquido II, inicialmente com nível de 80 mm, evapora-se completamente no quadragésimo oitavo dia. Determinar, antes da evaporação completa de ambos, ao final de qual dia os líquidos terão o mesmo nível (em mm) nesses mesmos recipientes.

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GABARITO 1. total de reservas = 24,26 bilhões de dólares 2. a) T½ = 22°C b) TÛ = 31°C 3. a) 25% b) 6,25% 4. R$ 710,00. 5. a) 420 litros b) V(t) = 400 + 2t 6. a) M� = 1,04C + 60 M‚ = 1,03C + 150

b) R$ 9.000,00 7. Não, pois a melhor opção para este cliente seria a opção III. A opção feita corresponde ao aluguel de 18 DVDs mais R$ 20,00 de taxa. Nestas condições, na opção I, o cliente gastaria 40 + 1,2 . 18 = R$ 61,60 e, na opção III, 3 . 18 = R$ 54,00. 8. m = 0 ou m = 1/4 9. S = 4,50 h - 60,00

10. [E] 11. [C] 12. [D] 13. [D] 14. [D] 15. [E] 16. [C] 17. [C] 18. [B] 19. [D] 20. [C] 21. [D] 22. [C] 23. [E] 24. [C] 25. [C] 26. [B] 27. [B] 28. [C] 29. [C] 30. 24¡. dia

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Educação sem FronteirasORIGEM DA VIDA 01 (ENEM) Na solução aquosa das substâncias orgânicas prebióticas (antes da vida), a catálise produziu a síntese de moléculas complexas de toda classe, inclusive proteínas e ácidos nucléicos. A natureza dos catalisadores primitivos que agiam antes não é conhecida. É quase certo que as argilas desempenharam papel importante: cadeias de aminoácidos podem ser produzidas no tubo de ensaio mediante a presença de certos tipos de argila. (...) Mas o avanço verdadeiramente criativo - que pode, na realidade, ter ocorrido apenas uma vez - ocorreu quando uma molécula de ácido nucléico "aprendeu" a orientar a reunião de uma proteína, que, por sua vez, ajudou a copiar o próprio ácido nucléico. Em outros termos, um ácido nucléico serviu como modelo para a reunião de uma enzima que poderia então auxiliar na produção de mais ácido nucléico. Com este desenvolvimento apareceu o primeiro mecanismo potente de realização. A vida tinha começado. Considere o esquema abaixo:

O "avanço verdadeiramente criativo" citado no texto deve ter ocorrido no período (em bilhões de anos) compreendido aproximadamente entre a) 5,0 e 4,5. b) 4,5 e 3,5. c) 3,5 e 2,0. d) 2,0 e 1,5. e) 1,0 e 0,5. 02 (PUC)

O aparelho cuja montagem é representada acima permitiu verificar a possibilidade da origem de aminoácidos a partir a) da atmosfera rica em oxigênio que existiu no início do nosso planeta. b) de descargas elétricas em um meio muito rico em compostos orgânicos. c) da atmosfera atual que envolve o nosso planeta. d) da chamada atmosfera primitiva que envolvia o nosso planeta em seus primórdios. e) de descargas elétricas em um meio rico em gás carbônico e etano.

03 (UERJ) A tabela a seguir resume alguns processos celulares de oxirredução realizados pelos organismos para atender a suas necessidades energéticas.

A evolução desses processos está relacionada à evolução das condições ambientais da terra. Assim, dos processos celulares acima, aquele que surgiu primeiro é o de número: a) I b) II c) III d) IV 04 (ENEM) O gráfico abaixo representa a evolução da quantidade de oxigênio na atmosfera no curso dos tempos geológicos. O número 100 sugere a quantidade atual de oxigênio na atmosfera, e os demais valores indicam diferentes porcentagens dessa quantidade.

LEGENDA: 1 - Pneumatosfera primitiva; 2 - Aparecimento da vida; 3 - Começo da fotossíntese; 4 - Primeira célula eucarionte; 5 - Pré-Cambriano; 6 - Primário; 7 - Secundário; 8 - Terciário e Quaternário; 9 - Primeiros vertebrados; 10 - Conquista da Terra. De acordo com o gráfico é correto afirmar que: a) as primeiras formas de vida surgiram na ausência de O2. b) a atmosfera primitiva apresentava 1% de teor de oxigênio. c) após o início da fotossíntese, o teor de oxigênio na atmosfera mantém-se estável. d) desde o Pré-Cambriano, a atmosfera mantém os mesmos níveis de teor de oxigênio. e) na escala evolutiva da vida, quando surgiram os anfíbios, o teor de oxigênio atmosférico já se havia estabilizado.

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Educação sem Fronteiras05 (CESGRANRIO) Entre as modificações que ocorreram nas condições ambientais de nosso planeta, algumas foram causadas pela própria atividade dos seres. Os organismos iniciais, ao realizarem a fermentação, determinaram uma grande alteração na atmosfera da Terra primitiva, porque nela introduziram o: a) gás oxigênio. b) gás carbônico. c) gás metano. d) gás nitrogênio. e) vapor d'água. 06 (PUC) Responder à questão relacionando as estruturas presentes na coluna I com as informações presentes na coluna II. Coluna I ( ) mitocôndrios ( ) centríolos ( ) DNA ( ) ribossomos ( ) proteínas ( ) peroxissomos ( ) RNA Coluna II 1 - presente apenas nas células eucariotas 2 - presente apenas nas células procariotas 3 - presente tanto em células eucariotas como em procariotas A ordem correta dos parênteses da coluna I, de cima para baixo, é a) 1 - 1 - 3 - 3 - 3 - 1 - 3. b) 1 - 2 - 3 - 1 - 1 - 2 - 1. c) 2 - 1 - 1 - 2 - 3 - 1 - 2. d) 2 - 2 - 3 - 3 - 3 - 2 - 3. e) 3 - 1 - 2 - 3 - 1 - 2 - 1. 07 (UNIRIO) Assinale a opção que contém as estruturas presentes tanto em células vegetais quanto em células animais. a) Membrana plasmática, parede celular e citoplasma. b) Retículo endoplasmático, mitocôndrias e Complexo de Golgi. c) Plastídeos, lisossomos e centríolos. d) Vacúolos, cariomembrana e lisossomos. e) Cromossomos, cariomembrana e plastídeos. 08 (UERJ) "Derrubamos a grande barreira que separava os reinos animal e vegetal: a célula é a unidade da matéria viva." Essa afirmativa foi feita por cientistas ao descobrirem, em 1839, aquilo que lírios, águas-vivas, gafanhotos, minhocas, samambaias e humanos têm em comum. Pode-se dizer que todas as células dos seres acima citados têm as seguintes características: a) centríolo e lisossomo b) parede celular e mesossomo c) núcleo individualizado e mitocôndria d) material nuclear disperso e cloroplasto 09 (UNIRIO) Durante a evolução celular surgiram subdivisões membranosas, originando organelas, tais como lisossomos e peroxissomos, nas quais um conjunto de enzimas opera sem a interferência das demais reações que ocorrem em outros compartimentos internos. A célula assim formada constitui o corpo de: a) arqueobactérias.

b) eubactérias. c) cianobactérias. d) micoplasmas. e) eucariontes. 10 (PUC) A chamada "estrutura procariótica" apresentada pelas bactérias nos indica que estes seres vivos são a) destituídos de membrana plasmática. b) formadores de minúsculos esporos. c) dotados de organelas membranosas. d) constituídos por parasitas obrigatórios. e) desprovidos de membrana nuclear.

CITOLOGIA 11 (UFRJ) A vida surgiu na Terra há mais de três bilhões de anos. Uma das primeiras formas de vida foram os procariotos primitivos, que eram organismos unicelulares, formados por uma membrana e protoplasma. Esses procariotos, através do tempo, foram incorporando DNA, mitocôndrias, alguns incorporaram núcleo e outros incorporaram cloroplastos, como mostra o esquema a seguir: 1 - DNA 2 - Núcleo 3 - Mitocôndria 4 – Cloroplastos

Atualmente os seres vivos são classificados em cinco reinos: 1) Monera (bactérias e cianofíceas). 2) Protistas (algas e protozoários). 3) Fungi (fungos). 4) Animalia (animais). 5) Plantae (plantas). a) As três formas da figura (procarioto, eucarioto A e eucarioto B) deram origem aos cinco reinos anteriores. Identifique os reinos originados por cada uma dessas três formas. Justifique sua resposta. b) Com base nos dados da figura, qual seria a melhor característica para separar procariotos de eucariotos? Justifique sua resposta.

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Educação sem Fronteiras12 (UFRRJ) "Um momento mágico de força e embriaguez foi a mim proporcionado pela natureza brilhante das algas do gênero 'Noctiluca', quando coletava material para elaboração de minha dissertação.(...)" Os organismos, mencionados no texto acima, são muitas vezes considerados por zoólogos como animais e por botânicos como vegetais. Como podemos diferenciar esses dois grupos de organismos, segundo os critérios fisiológico e celular? 13 (PUC) Responder à questão com base na ilustração adiante, que representa esquematicamente a estrutura das membranas celulares.

Das moléculas relacionadas a seguir, a única que NÃO é encontrada na estrutura que compõe a membrana celular é a) proteína. b) fosfolipídio. c) ácido nucléico. d) glicoproteína. e) ácido graxo. 14 (UFF) Considere a experiência relatada a seguir: -Incubaram-se células de camundongo com anticorpos marcados com rodamina (fluorescência vermelha), os quais reagem com proteínas de membrana de células de camundongo. -Incubaram-se células humanas com anticorpos marcados com fluoresceína (fluorescência verde), os quais reagem com proteínas de membrana de células humanas. -Promoveu-se a fusão das células de camundongo com as células humanas, ambas já ligadas aos anticorpos. -Observaram-se, ao microscópio de fluorescência, as células híbridas formadas logo após a fusão e quarenta minutos depois.

Com base nessas informações, conclui-se que a membrana citoplasmática tem características: a) elásticas b) glicolipoproteicas c) fluidas d) rígidas e) semipermeáveis 15 (UNIRIO) As células animais apresentam um revestimento externo específico, que facilita sua aderência, assim como reações a partículas estranhas, como, por exemplo, as células de um órgão transplantado. Esse revestimento é denominado: a) membrana celulósica. b) glicocálix. c) microvilosidades. d) interdigitações. e) desmossomos. 16 (UNIRIO) As células da mucosa intestinal aumentam sua superfície de absorção através de uma especialização de sua membrana denominada a) nexos. b) tonofilamentos. c) desmossomos. d) microvilosidades. e) pseudópodos. 17 (UNIRIO) A membrana plasmática apresenta algumas transformações, que procedem como especializações destinadas a aumentar o poder de absorção da célula ou a permitir o seu deslocamento. São exemplos dessas especializações, respectivamente: a) desmossomas e interdigitações. b) vacúolos e plastos. c) cariomembrana e peroxissoma. d) microvilos e cílios. e) interdigitações e glioxissomas. 18 (UFF) Sabe-se que as membranas celulares podem possuir especializações que conferem propriedades importantes aos tecidos. Dentre essas especializações, algumas são estruturalmente mantidas por componentes do citoesqueleto. Ao se tratar células do epitélio intestinal com substâncias inibidoras da polimerização de actina, verificou-se a redução da taxa de absorção de nutrientes. Explique por que ocorreu a diminuição da absorção intestinal de nutrientes

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Educação sem Fronteiras 19 (UNIRIO) Algumas pessoas, após constatarem que o feijão que prepararam ficou muito salgado, colocam pedaços de batatas para torná-lo menos salgado. Durante este procedimento, ocorre o seguinte processo no caldo do feijão: a) o sal passa para a batata por osmose, diminuindo o gosto salgado. b) o amido da batata, pela fervura, é transformado em glicose, "adoçando" o feijão. c) o sal, passa, por transporte ativo, para a batata, diminuindo o gosto salgado. d) o amido da batata se dissolve, diminuindo o gosto salgado. e) o sal se difunde pela batata, diminuindo sua concentração. 20 (UERJ) Num experimento sobre absorção intestinal foi utilizado o seguinte procedimento: - fechar um pedaço de alça intestinal em uma das extremidades, formando um saco; - virar o saco, expondo a mucosa para o lado externo; - colocar solução salina no interior do saco; - mergulhá-lo, parcialmente, numa solução salina idêntica, porém acrescida de glicose; - medir, em função do tempo, a variação da concentração da glicose na solução externa, mantendo as condições adequadas; - adicionar, em um determinado momento T, à solução externa, cianeto de sódio, um forte inibidor da cadeia respiratória mitocondrial. O resultado deste experimento está representado por uma das curvas do gráfico a seguir.

A curva que representa as variações da concentração de glicose na solução em que o saco foi mergulhado é a de número: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 21 (UFF) Considere, apenas, os seguintes sistemas de transporte iônico através da membrana plasmática de uma célula: I) Sistema ativo de transporte de Na+ e K+ (bomba de Na+ e K+); II) Antiporte de Na+ e Ca2+ (o transporte de um íon é acompanhado pelo do outro, no sentido contrário); III) Canal de K+ (transporte passivo de K+). Caso a bomba de Na+seja paralisada, pode-se afirmar, com respeito às concentrações intracelulares de Na+, K+ e Ca2+ que: a) a de Na+ aumenta e as de Ca2+ e K+ diminuem; b) as de Na+ e Ca2+ aumentam e a de K+ diminui; c) as de Na+ e Ca2+ diminuem e a de K+ aumenta; d) as de Na+ e K+ diminuem e a de Ca2+ aumenta; e) a de Na+ diminui e as de Ca2+ e K+ aumentam.

22 (UFF) A representação a seguir indica as concentrações intra e extracelulares de sódio e potássio relativas a uma célula animal típica.

Observou-se, em uma experiência, que as concentrações de sódio nos dois compartimentos se tornaram aproximadamente iguais, o mesmo acontecendo com as concentrações de potássio. Neste caso poderia ter ocorrido: a) uma inibição do processo de difusão facilitada. b) a utilização de um inibidor específico da bomba de cálcio. c) um estímulo ao processo de osmose. d) a utilização de um ativador específico da bomba de sódio e potássio. e) a utilização de um inibidor da cadeia respiratória. 23 (UERJ) Colocando-se hemácias humanas em diferentes soluções com concentrações iônicas variáveis, pode-se exemplificar a influência que o grau de permeabilidade da membrana plasmática à água exerce sobre a célula. As conseqüências desse experimento estão demonstradas nos esquemas adiante.

O esquema que representa o comportamento da hemácia, ao ser colocada em um meio hipertônico, é o de número: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 24 (UNIRIO) Se colocarmos uma célula animal e outra vegetal em uma solução de NaCl a 1,5%, observaremos que: a) ambas as células permanecem intactas por estarem mergulhadas em uma solução isotônica. b) as duas perdem água por osmose e, enquanto a célula animal arrebenta num fenômeno denominado de plasmoptose, a célula vegetal sofre turgência. c) as duas perdem água por osmose e, enquanto a célula animal murcha, ficando com a superfície enrugada, a célula vegetal sofre plasmólise. d) o volume de ambas as células aumenta devido à entrada de água por osmose e, enquanto a célula animal sofre hemólise, a célula vegetal sofre turgência. e) ao serem colocadas em uma solução hipertônica, a célula animal perde água e murcha, enquanto que a célula vegetal, protegida pela parede celular, permanece intacta.

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Educação sem Fronteiras25 (PUC) Responder à questão a partir da figura que representa um organismo unicelular eucariota durante o processo de alimentação.

O processo acima representado é denominado a) clasmocitose. b) pinocitose. c) fagocitose. d) exocitose. e) citocinese. 26 (PUC) Duas células vegetais, designadas por A e B, foram mergulhadas em meios diferentes. Logo após, notou-se que a célula A apresentou considerável aumento vacuolar, enquanto a célula B apresentou retração de seu vacúolo e de seu citoplasma. A partir desses resultados, pode-se afirmar que as células A e B foram mergulhadas em soluções, respectivamente, a) isotônica e hipertônica. b) isotônica e hipotônica. c) hipotônica e isotônica. d) hipotônica e hipertônica. e) hipertônica e hipotônica. 27 (UFF) Três amostras idênticas de células animais foram colocadas, cada uma, respectivamente, nas soluções X, Y e Z cujas concentrações salinas são distintas. A variação do volume celular, acompanhada ao longo de certo tempo, está representada no gráfico a seguir.

Classifique, quanto à tonicidade, as soluções X, Y e Z. Justifique sua resposta. 28 (UFRJ) Na membrana citoplasmática existe uma proteína que faz o transporte ativo (com gasto de ATP) de Na+ para fora da célula. Outro tipo de proteína da membrana funciona como uma espécie de portão que pode abrir ou fechar, permitindo ou não a passagem do Na+. Com o portão fechado, o Na+ acumula-se do lado de fora da célula, o que aumenta a pressão osmótica externa, compensando a grande concentração de soluto orgânico no citoplasma. Isso evita a entrada excessiva de água por osmose. a) Que estrutura celular torna menos importante essa função de equilíbrio osmótico do Na+ nas células vegetais? Justifique sua resposta.

b) Entre as duas proteínas descritas, qual delas permite o movimento do Na+ a favor do seu gradiente de concentração? Justifique. 29 (UFF) Diversas espécies de peixes modificam a cor da pele quando submetidas a algumas variações do meio ambiente. As células responsáveis por essa alteração contêm grânulos de pigmentos que se espalham por toda a célula ou se agregam numa posição mais central da mesma, em resposta a estímulos hormonais ou nervosos. Assinale a opção que indica, corretamente, as estruturas celulares responsáveis pela movimentação dos grânulos de pigmentos no citoplasma. a) desmossomos b) dictiossomos c) glioxissomos d) microtúbulos e) ribossomos 30 (Puc) A água oxigenada é comumente aplicada em ferimentos para combater microorganismos, como, por exemplo, no caso das bactérias causadoras do tétano. É CORRETO afirmar que: a) as bactérias patogênicas no caso são aeróbias. b) a água oxigenada é decomposta pelas partículas encontradas na sujeira. c) a água oxigenada é decomposta por substâncias liberadas pelas bactérias, d) a decomposição da água oxigenada ocorre pela ação da catalase encontrada nos tecidos lesados. 31 (UNIRIO) Tendo sua origem na fase de maturação do Complexo de Golgi, os lisossomas são corpúsculos citoplasmáticos arredondados, pequenos, e que possuem grande quantidade de proteínas no seu interior. Assim, podemos afirmar que os lisossomas estão ligados à função de: a) digestão intracelular. b) síntese de proteínas. c) complexação de lipídeos. d) coagulação sangüínea. e) reserva de glicogênio. 32 (UFRRJ) Os processos de secreção celular são feitos na seqüência: a) aparelho de Golgi, retículo endoplasmático granular, retículo endoplasmático agranular, vesículas de transferência. b) vesículas de transferências, retículo endoplasmático agranular, aparelho de Golgi, grânulos de secreção. c) retículo endoplasmático granular, vesículas de transferência, aparelho de Golgi, grânulos de secreção. d) aparelho de Golgi, vesículas de transferência, retículo endoplasmático granular, grânulos de secreção. e) retículo endoplasmático agranular, grânulos de secreção, aparelho de Golgi, vesículas de transferência. 33(UFF) Os hormônios esteróides - substâncias de natureza lipídica - são secretados a partir de vesículas provenientes, diretamente, do: a) Retículo endoplasmático liso b) Retículo de transição c) Complexo de Golgi d) Retículo endoplasmático granular e) Peroxissomo

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Educação sem Fronteiras34(UERJ) HUMANO TEM MAIS DE 100 MIL GENES Pesquisadores da Incyte Pharmaceuticals Inc. da Califórnia revelaram que há em torno de 140 mil genes dedicados à elaboração de proteínas que programam as células do corpo humano. A síntese das proteínas, de acordo com a informação contida nos genes, ocorre por intermédio de: a) polirribossomos com moléculas de RNA mensageiro b) enzimas presentes nas membranas do complexo de Golgi c) ribossomos isolados ligados à membrana do envoltório nuclear d) mensagens nas enzimas da membrana do retículo endoplasmático granular 35(UFF) O acrossomo, presente nos espermatozóides maduros, é essencial para a fecundação. A formação do acrossomo ocorre a partir do: a) peroxissomo b) lisossomo c) complexo de Golgi d) centríolo e) retículo endoplasmático liso 36 (UFRJ) Para investigar a dinâmica de biossíntese de uma proteína transportadora de glicose com relação às várias organelas de uma célula, um pesquisador incubou as células com um meio de cultura contendo um aminoácido marcado com carbono-14 (radioativo). Após um período de incubação, o pesquisador tomou amostras das células em cultura, isolou as várias organelas e contou a radioatividade de cada uma. As organelas analisadas foram: núcleo, ribossomas, mitocôndrias e membrana plasmática. a) Identifique a organela que, inicialmente, apresentou radioatividade mais alta. Justifique sua resposta. b) Ao final do período de incubação, qual organela apresentou radioatividade mais alta? Justifique sua resposta. 37 (UFF) O esquema a seguir representa a participação de organelas no transporte de proteínas de uma célula eucariótica.

a) Nomeie as estruturas indicadas, respectivamente, pelos números 1, 2, 3, 4, e 5, identificando as organelas envolvidas na síntese de enzimas lisossomais. b) Cite uma função de cada uma das estruturas 1, 2 e 5.

RESPIRAÇÃO CELULAR, FERMENTAÇÃO E FOTOSSÍNTESE 38 (UERJ) Observe o esquema a seguir, que representa uma mitocôndria de uma célula hepática.

Os números correspondentes à estrutura ou compartimento mitocondrial onde se localizam a enzima ATP sintase, os ribossomas, e as enzimas que geram CO2 são, respectivamente: a) 5, 1, 2 b) 4, 5, 3 c) 3, 2, 2 d) 2, 1, 5 39 (UFF) Mediu-se, em diferentes instantes e na presença de nutrientes adequados, a concentração de oxigênio no citoplasma e no interior da mitocôndria de uma célula estritamente aeróbica. No instante T, adicionou-se uma substância S ao sistema. Os resultados observados na experiência descrita estão representados no gráfico adiante. A variação do nível do ATP intracelular nesta experiência está representada pelo gráfico:

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Educação sem Fronteiras40 (UERJ) O gráfico mostra o resultado de um experimento onde se avaliou o consumo de oxigênio de uma solução, pela mitocôndria, em presença de adenosina difosfato (ADP) e adenosina trifosfato (ATP).

A partir deste resultado, podemos afirmar que, em relação à taxa de consumo de oxigênio, ocorre: a) aumento pela adição de ATP e produção ADP b) aumento pela adição de ADP e produção de ATP c) diminuição pela adição de ATP e produção de ADP d) diminuição pela adição de ADP e produção de ATP 41 (PUC) Considere as seguintes etapas da respiração celular: I. Cadeia respiratória; II. Formação de Acetil-CoA; III. Ciclo de Krebs; IV. Glicólise. Assinale a alternativa que contém a seqüência correta dos eventos da respiração celular: a) I, II, III e IV b) II, IV, III e I c) III, IV, I e II d) IV, II, III e I e) II, III, I e IV 42 (PUC) Responder à questão com base nas afirmativas a seguir, sobre a adenosina trifosfato (ATP). I. O ATP é um composto de armazenamento que opera como fonte de energia. II. Todas as células vivas precisam de ATP para captação, transferência e armazenagem da energia livre utilizada para seu trabalho químico. III. O ATP é gerado pela hidrólise de adenosina monofosfato (AMP + Pi + energia livre). IV. O ATP é sintetizado a partir da molécula de glicose, por meio da glicólise e da respiração celular. Pela análise das afirmativas, conclui-se que a) somente I e II estão corretas. b) somente II e III estão corretas. c) somente III e IV estão corretas. d) somente I, II e IV estão corretas. e) I, II, III e IV estão corretas.

43 (CESGRANRIO) A observação da figura nos permite afirmar que:

a) a molécula de glicose sofrerá um pequeno desdobramento com pouca produção de energia. b) a "desmontagem" da glicose se dá pela remoção gradativa dos seus hidrogênios (desidrogenação). c) NAD, FAD e O2‚ são substâncias fundamentais no processo, já que funcionaram como aceptores intermediários de hidrogênio. d) a dupla membrana da figura constitui um fator importante para a ocorrência do Ciclo de Krebs. e) a formação do ácido pirúvico ocorre principalmente na matriz mitocondrial. 44 (UFV) O processo de respiração celular pode ser dividido em três etapas básicas. O esquema a seguir representa uma mitocôndria inserida no hialoplasma, com as indicações I, II e III.

Observe o esquema e assinale a afirmativa CORRETA: a) A fosforilação oxidativa ocorre no número III. b) A glicólise ocorre no número I. c) O ciclo de Krebs ocorre no número II. d) A etapa fotoquímica ocorre nos números I e II. e) O ciclo das pentoses ocorre nos números I, II e III. 45 (UFRJ) A cachaça é obtida pela fermentação da cana-de-açúcar por uma levedura. O produto final é uma mistura que contém fragmentos do glicídio inicial, como o álcool etílico, o metanol e outras substâncias. Quando essa mistura é mal destilada, a cachaça pode causar intoxicações graves nos consumidores, devido à presença de metanol. Considerando os tipos de degradação de glicídios nos seres vivos, explique por que a degradação de glicose nas nossas células não produz metanol.

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Educação sem Fronteiras46 (UFRJ) Em 1949, enquanto estudavam o metabolismo energético, Eugene Kennedy e Albert Lehninger, realizaram uma experiência na qual separaram, por centrifugação, os diferentes componentes celulares. Em seguida, os pesquisadores colocaram cada uma das frações contendo os diferentes componentes em soluções compostas dos nutrientes adequados e mediram o consumo de oxigênio (O2) em cada uma das frações. Em outro conjunto de frascos, testou-se a produção de trifosfato de adenosina (ATP) pelas diferentes frações. A tabela a seguir mostra alguns dos resultados possíveis em uma experiência deste tipo.

Com base nos resultados da tabela, identifique qual das frações deve corresponder às mitocôndrias. Justifique sua resposta. 47 (UFF) Atletas recordistas em distintas modalidades de corridas desenvolvem, ao longo de seus percursos, velocidades diferenciadas, conforme ilustra o gráfico:

Sabe-se que a atividade muscular depende, diretamente, da energia do ATP. Assim, pode-se assumir que a taxa de produção de ATP no músculo é bem maior em corridas curtas do que em maratonas, mas, não pode ser mantida elevada por longos períodos de tempo, fazendo a velocidade do corredor diminuir à medida que aumenta a distância percorrida. Considerando-se os processos de geração de ATP no músculo, conclui-se que os principais produtos finais do metabolismo energético nesse tecido em corridas curtas e em maratona são, respectivamente: a) lactato; piruvato b) piruvato; lactato c) CO2 e H2O; lactato d) lactato; CO2 e H2O e) CO2 e H2‚O; piruvato 48 (UNIRIO) "Além do ácido lático, as bactérias geram vários produtos importantes através da fermentação. O queijo suíço, por exemplo, é fabricado pela fermentação de uma bactéria que forma ácido propiônico e gás carbônico. Esse gás forma as bolhas que se transformam nos famosos buracos do queijo suíço. Outra bactéria forma ácido acético, fermentando a sidra (vinho da maçã) ou vinho da uva, produzindo vinagre.

O ranço da manteiga se deve ao ácido butírico, que também é produto da fermentação de bactérias. O álcool usado como combustível e como solvente, além de outros solventes como a acetona e o álcool isopropílico, também é produto da fermentação." (Linhares, Sérgio e Gewandsnajder, Fernando. "Biologia Hoje". São Paulo, Editora Ática, 1997. Volume 1 pág. 166). A origem dos diversos resíduos da fermentação, como os citados no texto, depende da: a) variação de temperatura em que ocorrem as reações do processo. b) quantidade de energia produzida na forma de ATP ao longo da reação. c) forma de devolução dos hidrogênios capturados pelo NAD ao ácido pirúvico. d) natureza química da molécula utilizada como matéria-prima na reação. e) disponibilidade de água como aceptor final de hidrogênios. 49 (UERJ) Em uma determinada etapa metabólica importante para geração de ATP no músculo, durante a realização de exercícios físicos, estão envolvidas três substâncias orgânicas - ácido pirúvico, gliceraldeído e glicose - identificáveis nas estruturas X, Y e Z, a seguir.

Na etapa metabólica considerada, tais substâncias se apresentam na seguinte seqüência: a) X - Y - Z b) Z - Y - X c) X - Z - Y d) Z - X - Y 50 (UFF) Dois microorganismos, X e Y, mantidos em meio de cultura sob condições adequadas, receberam a mesma quantidade de glicose como único substrato energético. Após terem consumido toda a glicose recebida, verificou-se que o microorganismo X produziu três vezes mais CO2 do que o Y. Considerando-se estas informações, conclui-se ter ocorrido: a) fermentação alcoólica no microorganismo X b) fermentação lática no microorganismo X c) respiração aeróbica no microorganismo Y d) fermentação alcoólica no microorganismo Y e) fermentação lática no microorganismo Y

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Educação sem Fronteiras51 (UERJ) O esquema a seguir representa as duas principais etapas da fotossíntese em um cloroplasto. O sentido das setas 1 e 4 indica o consumo e o sentido das setas 2 e 3 indica a produção das substâncias envolvidas no processo.

(Adaptado de ALBERTS et alii. "Molecular biology of the cell". New York: Garland Publishing, 1986.) Os números das setas que correspondem, respectivamente, às substâncias CO‚, O‚, açúcares e H‚O são: a) 1, 2, 4, 3 b) 2, 3, 1, 4 c) 3, 1, 2, 4 d) 4, 2, 3, 1 52 (UERJ) FLORESTAS PARA COMBATER POLUIÇÃO DE COMBUSTÍVEIS "A indústria de automóveis Toyota revelou que pretende plantar ao redor de suas fábricas na Grã-Bretanha árvores manipuladas geneticamente para absorver os gases poluentes emitidos pelos motores que queimam combustíveis fósseis." (O GLOBO, 18/08/98) A estratégia antipoluente imaginada por essa empresa se baseia no fato de o dióxido de carbono produzido pelos motores que usam combustível fóssil ser absorvido pelas plantas. O dióxido de carbono participa da elaboração do seguinte produto e respectivo evento metabólico: a) açúcar - fermentação b) carboidrato - fotossíntese c) oxigênio - respiração aeróbica d) proteína - respiração anaeróbica 53 (CESGRANRIO) Observe o esquema anterior e analise as seguintes afirmações:

I - a transferência de elétrons para os aceptores permite a

transformação de energia luminosa em energia química; II - na ausência de aceptores de elétrons, poderia haver a ocorrência do fenômeno conhecido como fluorescência; III - quando excitada pela luz, a clorofila absorve principalmente luz verde A(s) afirmação(ões) correta(s) é(são): a) apenas a I. b) apenas a II. c) apenas a I e a II. d) apenas a I e a III. e) apenas a II e a III. 54 (PUC) O gráfico a seguir mostra o espectro de absorção de luz pelas clorofilas a e b em função dos diferentes comprimentos de onda que compõem a luz branca:

Comprimento de onda (mμ)/luz 390 - 430 ? violeta 430 - 470 ? azul 470 - 540 ? verde 540 - 600 ? amarela 600 - 650 ? laranja 650 - 760 ? vermelha Três plantas da mesma espécie são colocadas em um mesmo ambiente e passam pelo seguinte tratamento luminoso: planta I: recebe exclusivamente luz verde; planta II : recebe exclusivamente luz vermelha; planta III: recebe exclusivamente luz amarela. Com relação a essas plantas, pode-se prever que a) I produzirá mais oxigênio que II e III. b) II produzirá mais oxigênio que I e III. c) III produzirá mais oxigênio que I e II. d) apenas a planta III produzirá oxigênio. e) I, II e III produzirão a mesma quantidade de oxigênio.

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Educação sem Fronteiras54 (PUC) O gráfico a seguir mostra o espectro de absorção de luz pelas clorofilas a e b em função dos diferentes comprimentos de onda que compõem a luz branca:

Comprimento de onda (mμ)/luz 390 - 430 ? violeta 430 - 470 ? azul 470 - 540 ? verde 540 - 600 ? amarela 600 - 650 ? laranja 650 - 760 ? vermelha Três plantas da mesma espécie são colocadas em um mesmo ambiente e passam pelo seguinte tratamento luminoso: planta I: recebe exclusivamente luz verde; planta II : recebe exclusivamente luz vermelha; planta III: recebe exclusivamente luz amarela. Com relação a essas plantas, pode-se prever que a) I produzirá mais oxigênio que II e III. b) II produzirá mais oxigênio que I e III. c) III produzirá mais oxigênio que I e II. d) apenas a planta III produzirá oxigênio. e) I, II e III produzirão a mesma quantidade de oxigênio. 55 (UFF) Um botânico, com o objetivo de pesquisar as trocas gasosas que ocorrem em uma planta, calculou o quociente entre as quantidades de CO2 produzido e consumido por essa planta, durante um mesmo intervalo de tempo e sob diferentes condições de iluminação. O gráfico representa os dados obtidos pelo botânico.

Sabendo que a taxa respiratória manteve-se constante nas diversas condições de iluminação, pode-se dizer que: a) O quociente (O2 produzido) / (CO2 produzido) foi menor em P1; b) O consumo de O2‚ foi maior em P3; c) O peso da planta aumentou em P1 e P2; d) Em P3 o peso da planta diminuiu; e) O quociente (O2 consumido) / (CO2 consumido) foi maior em P2. 56 (UNIRIO) O gráfico seguinte mostra a curva de absorção da luz por uma folha nos diferentes comprimentos de onda que compõem o espectro da luz branca.

As variações representadas no gráfico justificam a) a luz verde ser a ideal para a fotossíntese. b) a cor vermelha de certas plantas. c) a alternância das fases da fotossíntese. d) a cor verde típica das plantas. e) o uso de iluminação contínua em estufas. 57 (UFRJ) Várias atividades biológicas dos seres vivos dependem da luz do Sol. Uma dessas atividades faz com que, a cada momento, metade da atmosfera do planeta tenha maior teor de oxigênio que a outra. a) Que atividade biológica é responsável por esse fato? b) Qual é o motivo dessa diferença no teor de oxigênio? 58 (UFRJ) Moléculas de clorofila isoladas são capazes de absorver luz, resultando na passagem de elétrons para níveis com maior energia potencial (Figura 1). Com o retorno dos elétrons excitados para seus níveis energéticos de origem, a clorofila emite fluorescência vermelha (Figura 2). No entanto, quando a clorofila está em cloroplastos íntegros, ela absorve luz mas praticamente não emite fluorescência.

Explique por que a clorofila em cloroplastos íntegros praticamente não emite fluorescência quando é iluminada.

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59 (CESGRANRIO) O esquema a seguir representa um tipo de processo energético utilizado por alguns seres vivos na natureza. Esse processo é denominado:

a) fotossíntese. b) quimiossíntese. c) fermentação. d) respiração. e) putrefação. 60 (UFRJ) Existem plantas adaptadas às condições do deserto, nas quais a fotossíntese é do tipo CAM. Essa fotossíntese se caracteriza pela absorção do gás carbônico (CO2‚) pelos estômatos, durante a noite. O CO2 se acumula dentro da célula, ligando-se ao ácido málico. Durante o dia os estômatos se fecham, mas a planta pode usar, na fotossíntese, o CO2‚ retido no ácido málico. Explique, do ponto de vista evolutivo, a existência da fotossíntese CAM em muitas plantas que vivem nos desertos.

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Educação sem FronteirasECOLOGIA – CONCEITOS , CADEIAS , TEIAS E PIRAMIDES 01 (UNIRIO) Sabe-se que quase sempre a floresta faz limite com um campo. As plantas da floresta procuram propagar-se em direção ao campo e, ao mesmo tempo, as espécies do campo também procuram alargar seus domínios na direção da floresta. Sendo assim, a linha de tensão entre as comunidades dos dois biótopos é denominada: a) ecésis. b) clímax. c) ecótono. d) sucessão secundária. e) nomadismo. 02 (CESGRANRIO) O ambiente descrito, com inúmeros animais e vegetais, à beira de um charco de água doce que, durante o dia, sofre flutuações de temperatura, luminosidade, maior ou menor pH e até alterações de salinidade, poderá ser classificado como um exemplo de: a) biosfera. b) biótipo. c) biomassa. d) ecótone. e) ecossistema. 03 (UERJ) Na maioria dos casos, a energia de um ecossistema origina-se da energia solar. A figura abaixo mostra alguns seres componentes do ecossistema de um lago.

Considere que, no lago, existam quatro diferentes espécies de peixes. Cada uma dessas espécies se alimenta exclusivamente de um dos quatro componentes indicados. O peixe que teria melhores condições de desenvolvimento, em função da disponibilidade energética, seria o que se alimentasse de: (A) algas (B) insetos (C) copépodes (D) crustáceos 04 (ENEM) GARFIELD

"O Globo", 01/09/2001.

Na charge, a arrogância do gato com relação ao comportamento alimentar da minhoca, do ponto de vista biológico, a) não se justifica, porque ambos, como consumidores, devem "cavar" diariamente o seu próprio alimento. b) é justificável, visto que o felino possui função superior à da minhoca numa teia alimentar. c) não se justifica, porque ambos são consumidores primários em uma teia alimentar. d) é justificável, porque as minhocas, por se alimentarem de detritos, não participam das cadeias alimentares. e) é justificável, porque os vertebrados ocupam o topo das teias alimentares. 05 (UNIRIO) Bactérias e Fungos formam o grupo dos decompositores, responsáveis pela reciclagem dos elementos que formam a matéria orgânica. Eles agem desse modo porque são organismos: a) capazes de oxidar a matéria orgânica b) procariontes de pequeno tamanho c) eucariontes de pequeno tamanho d) especializados no uso de seus alimentos e) com grande número de espécies 06 (PUC-RIO) Quando nos referimos ao ecossistema de um lago, dois conceitos são muito importantes: o ciclo dos nutrientes e o fluxo de energia. A energia necessária aos processos vitais de todos os elementos deste lago é reintroduzida neste ecossistema: a) pela respiração dos produtores. b) pela captura direta por parte dos consumidores. c) pelo processo fotossintético. d) pelo armazenamento da energia nas cadeias tróficas. e) pela predação de níveis tróficos inferiores. 07 (UFF) O tubarão-baleia e o tubarão-martelo são elasmobrânquios marinhos. O primeiro pode atingir grande tamanho, sendo considerado um dos maiores animais existentes, atualmente. Sabe-se que o tubarão-baleia possui maior disponibilidade alimentar energética do que o tubarão-martelo. Isto se deve, entre outras razões, ao fato de o tubarão-baleia situar-se: a) exclusivamente, como um animal carnívoro marinho; b) em um nível trófico superior ao do tubarão-martelo, na cadeia alimentar; c) no topo da cadeia alimentar marinha; d) no nível tráfico de um consumidor quaternário marinho; e) em um nível trófico inferior ao do tubarão-martelo, na cadeia alimentar. 08 (UERJ) IBAMA RECEBE ALERTA SOBRE O RISCO DE UM DESASTRE ECOLÓGICO EM ÁREAS DE QUEIMADA "Empregados da fazenda Felicidade, em Mato Grosso, observam gado morto pelo incêndio que destrói pastagem e matas no estado e não pára de avançar." ("O Globo", 30/08/98) Na descrição anterior, podemos encontrar um consumidor primário da cadeia alimentar de pastagem. Esse consumidor tem como representante: a) o gado b) a mata c) o capim d) o homem

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Educação sem Fronteiras09 (UERJ) Polícia Federal: NARCOTRÁFICO POLUI NASCENTES DE RIOS NA AMAZÔNIA Relatório alerta para risco de desastre ambiental por conta do despejo de produtos químicos usados no refino da cocaína (...). Cerca de 2500 espécies de peixes estão ameaçadas, segundo a Polícia Federal, por este tipo de poluição, além de milhões de variedades de vegetais, insetos e microorganismos. (O GLOBO, 31/08/97) Os diversos organismos citados no texto anterior se distribuem em diferentes níveis tróficos e representam um exemplo de teia alimentar. No exemplo citado, os vegetais ocupam o seguintes nicho ecológico: a) decompositor b) consumidor c) herbívoro d) produtor 10 (UNIRIO) As pirâmides ecológicas podem ser de números, de biomassa ou de energia.

Observando as pirâmides simplificadas representadas acima, podemos concluir que a) as três formas podem representar qualquer tipo de pirâmide, dependendo apenas das populações consideradas. b) somente a pirâmide I pode ser de energia porque levando em conta o tempo, sua forma não pode se apresentar invertida. c) a pirâmide II não pode ser de biomassa porque ocorre grande perda na transferência de um nível trófico para outro. d) a pirâmide III poderia ser uma pirâmide de números cujos níveis tróficos seriam grama / zebras / carrapatos. e) o nível trófico correspondente aos produtores é representado pelo retângulo de maior área, em quaisquer das três pirâmides. 11 (UFRJ) Bactérias e fungos encontrados na natureza são agentes causadores de problemas para a saúde dos seres humanos. Suponha a descoberta de uma droga com uma ação bactericida e fungicida extremamente eficaz e destituída de toxicidade para animais e plantas. Imagine que essa droga fosse espalhada por toda a superfície da Terra, causando assim a completa extinção de fungos e bactérias. O que aconteceria com a produtividade primária (taxa de fotossíntese) dos ecossistemas? Justifique sua resposta. 12 (UFF) Considere a cadeia alimentar constituída às margens de uma lagoa pelos seres representados na figura a seguir.

Referindo-se a cada elemento, quando for o caso, por meio da numeração indicada na figura, identifique: a) o nível trófico de cada elemento; b) os níveis tróficos nos quais se encontram, respectivamente, o maior e o menor grau de energia; c) o nível trófico que não foi representado na figura. CICLOS BIOGEOQUIMICOS 13 (ENEM) A falta de água doce no Planeta será, possivelmente, um dos mais graves problemas deste século. Prevê-se que, nos próximos vinte anos, a quantidade de água doce disponível para cada habitante será drasticamente reduzida. Por meio de seus diferentes usos e consumos, as atividades humanas interferem no ciclo da água, alterando a) a quantidade total, mas não a qualidade da água disponível no Planeta. b) a qualidade da água e sua quantidade disponível para o consumo das populações. c) a qualidade da água disponível, apenas no sub-solo terrestre. d) apenas a disponibilidade de água superficial existente nos rios e lagos. e) o regime de chuvas, mas não a quantidade de água disponível no Planeta. 14(PUC-RIO) Apesar de a atmosfera terrestre ser constituída em sua maior parte por nitrogênio, este não pode ser diretamente absorvido pelas plantas. As plantas podem obter do solo e da água, sob a forma de nitratos, o nitrogênio utilizado pelos organismos. Os nitratos são produzidos por: a) decomposição das rochas por ação das intempéries. b) bactérias fixadoras. c) decompositores em geral. d) plantas em putrefação. e) animais em decomposição. 15 (ENEM) O sol participa do ciclo da água, pois além de aquecer a superfície da Terra dando origem aos ventos, provoca a evaporação da água dos rios, lagos e mares. O vapor da água, ao se resfriar, condensa em minúsculas gotinhas, que se agrupam formando as nuvens, neblinas ou névoas úmidas. As nuvens podem ser levadas pelos ventos de uma região para outra. Com a condensação e, em seguida, a chuva, a água volta à superfície da Terra, caindo sobre o solo, rios, lagos e mares. Parte dessa água evapora retornando à atmosfera, outra parte escoa superficialmente ou infiltra-se no solo, indo alimentar rios e lagos. Esse processo é chamado de ciclo da água. Considere, então, as seguintes afirmativas: I. A evaporação é maior nos continentes, uma vez que o aquecimento ali é maior do que nos oceanos.

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Educação sem FronteirasII. A vegetação participa do ciclo hidrológico por meio da transpiração. III. O ciclo hidrológico condiciona processos que ocorrem na litosfera, na atmosfera e na biosfera. IV. A energia gravitacional movimenta a água dentro do seu ciclo. V. O ciclo hidrológico é passível de sofrer interferência humana, podendo apresentar desequilíbrios. a) Somente a afirmativa III está correta. b) Somente as afirmativas III e IV estão corretas. c) Somente as afirmativas I, II e V estão corretas. d) Somente as afirmativas II, III, IV e V estão corretas. e) Todas as afirmativas estão corretas. 16 (UFF) Certas atividades humanas vêm provocando alteração no nível de nitrogênio do solo. Uma dessas atividades consiste na substituição da vegetação natural por monoculturas de leguminosas como, por exemplo, a soja. As leguminosas alteram o nível de nitrogênio do solo porque possuem, em suas raízes, bactérias com capacidade de: a) sintetizar amônia, utilizando o nitrogênio atmosférico; b) transformar uréia em amônia; c) decompor substâncias nitrogenadas das excretas; d) eliminar nitrito do solo; e) transformar amônia em nitrato. 17 (PUC-RIO) A questão da utilização da soja transgênica no Brasil constitui um debate polêmico. Dentre os argumentos contrários à sua utilização, destaca-se a possibilidade de se utilizar na sua cultura maiores quantidades de herbicidas, o que poderia ser danoso ao meio ambiente e às bactérias que vivem em nódulos de suas raízes. A importância destas bactérias nesta cultura é grande pois elas: a) utilizam o nitrogênio do ar para a síntese de aminoácidos. b) transformam o nitrogênio do ar em nitratos. c) são capazes de converter o nitrogênio do ar em proteínas e amido. d) são importantes na fixação do enxofre. e) assimilam o fósforo do solo tornando-o disponível para a planta. 18 (UERJ) As plantas podem obter do solo e da água, sob a forma de nitratos, o nitrogênio utilizado pelos organismos, para a síntese de aminoácidos e proteínas. Os nitratos são produzidos por intermédio da ação de: a) rochas erodidas b) bactérias nitrificantes c) plantas em putrefação d) animais em decomposição 19 (UERJ) ESTUDO REVELA QUE AMAZÔNIA FERE OZÔNIO Maior floresta equatorial do planeta, com reflexos no meio ambiente mundial, a Amazônia registra grande número de raios, que caem a menos de 15km do solo e têm efeito destrutivo na camada de ozônio. A camada de ozônio da atmosfera é importante para o meio ambiente porque: a) fornece oxigênio, reduzindo a respiração vegetal b) reage com ácido sulfúrico, formando a chuva ácida c) bloqueia a radiação ultravioleta, protegendo os tecidos animais

d) facilita a passagem da radiação infravermelha, diminuindo a ocorrência de mutagênese 20 (UFF) A fotossíntese é o processo biológico predominante para a produção do oxigênio encontrado na atmosfera. Aproximadamente, 30% do nosso planeta é constituído por terra, onde se encontram grandes florestas, e 70% por água, onde vive o fitoplâncton. Considerando-se estas informações e o ciclo biogeoquímico do oxigênio, pode-se afirmar que: a) as florestas temperadas e a Floresta Amazônica produzem a maior parte do oxigênio da Terra; b) a Floresta Amazônica é a principal responsável pelo fornecimento de oxigênio da Terra; c) as algas microscópicas são as principais fornecedoras de oxigênio do planeta; d) a Mata Atlântica é a maior fonte de oxigênio do Brasil; e) os manguezais produzem a maior parte do oxigênio da atmosfera. 21 (UFRJ) Estudos recentes sugerem que o reflorestamentoe o plantio de árvores em áreas sem vegetação podem contribuir para minimizar o aquecimento global. A reduçãodo aquecimento global ocorreria em função da diminuição do efeito estufa. Explique por que o aumento das áreas florestadas pode contribuir para reduzir efetivamente o efeito estufa. 22 (UFRRJ)

O "espírito de união" entre as formigas é identificado como uma relação harmônica denominada a) sociedade. b) mutualismo. c) protocooperação. d) colônia. e) comensalismo. 23 (PUC-RIO) Podemos considerar como um exemplo de epifitismo: a) a erva de passarinho e outras espécies da família 'Loranthaceae' que retiram seiva de seu hospedeiro. b) as orquídeas e bromélias que vivem sobre as árvores de maior porte da Mata Atlântica. c) um jequitibá que abrigue muitas bromélias em sua copa. d) a comunidade de artrópodes que vive no interior das bromélias. e) a associação entre as formigas do gênero Azteca e a embaúba ('Cecropia glaziovii').

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Educação sem Fronteiras24 (UFF) Os itens enumerados a seguir são exemplos de diferentes relações entre os seres vivos. I - A caravela vive flutuando nas águas do mar. É formada por um conjunto de indivíduos da mesma espécie que vivem fisicamente juntos, dividindo o trabalho. Uns são responsáveis pela flutuação, outros pela captura de alimentos, outros pela defesa. II - As orquídeas, para conseguirem luz, prendem-se com suas raízes ao tronco e aos ramos altos das árvores. III - O leão mata e devora o gnu rajado, para se alimentar. IV - O fungo fornece água e sais minerais retirados do meio para a alga; esta, por sua vez, fornece ao fungo as substâncias orgânicas que produz. As relações descritas nestes itens são classificadas, respectivamente, como: a) colônia / inquilinismo / predatismo / mutualismo b) comunidade / parasitismo / canibalismo / comensalismo c) mutualismo / parasitismo / predatismo / simbiose d) população / inquilinismo / canibalismo / mutualismo e) comunidade / inquilinismo / canibalismo / simbiose 25 (UNIRIO) A seguir são citados exemplos de interações ecológicas que ocorrem na natureza. Exemplo 1: os gafanhotos e o gado alimentam-se do capim de um mesmo pasto. Exemplo 2: o eucalipto libera, de suas raízes, substâncias que impedem a germinação de sementes de outras espécies ao seu redor. Exemplo 3: as anêmonas-do-mar são beneficiadas por sua associação com o caranguejo PAGURUS que, ao se deslocar, possibilita à anêmona uma melhor exploração do espaço, em busca do alimento; esta última possui células urticantes que afugentam os predadores beneficiando o PAGURUS. Exemplo 4: alguns protozoários que produzem celulase vivem no tubo digestivo de cupins, possibilitando a esses insetos a utilização da madeira que ingerem. Analisados os quatro exemplos, podemos afirmar que dizem respeito, respectivamente, a: a) competição, amensalismo, protocooperação e mutualismo. b) competição, amensalismo, mutualismo e protocooperação. c) competição, comensalismo, protocooperação e mutualismo. d) predatismo, amensalismo, protocooperação e mutualismo. e) amensalismo, protocooperação, competição e mutualismo. 26 (UNIRIO) "A noção de que as plantas têm a capacidade de interferir no desenvolvimento de outras, através de substâncias que liberam na atmosfera ou no solo, monta à antigüidade. Já no século III a.C. o filósofo grego Teofrasto, autor de um tratado sobre botânica, conhecido pela versão latina 'De plantis', recomenda que não se cultive a couve junto da videira, pois os 'odores' da primeira prejudicam o desenvolvimento desta. (...) Um escritor japonês do século XVII, Banza Kumazawa, descreve o efeito pernicioso do pinheiro sobre os cultivos instalados sob a sua copa e o atribui a substâncias químicas que a chuva e o orvalho levariam para o solo ao lavar as folhas." (Fernando Souza de Almeida, "Ciência Hoje", vol.11 / n° 62.1990.)

Essa estratégia desenvolvida por algumas plantas é comum num tipo de relação ecológica denominada: a) mutualismo. b) parasitismo. c) predatismo. d) protocooperação. e) competição. 27(PUC-RIO) Considere as informações a seguir: I - A orquídea 'Laelia lobata' ocorre somente em alguns locais do Rio de Janeiro, como a Pedra da Gávea, Pão de Açúcar e Alto Mourão. II - A introdução nas matas do Rio de Janeiro do mico-estrela ('Callithrix jacchus'), originário do Nordeste, deve ter ocasionado alteração na avifauna, pois o mesmo se alimenta de ovos. III - A maioria das bromélias e orquídeas da mata atlântica vive sobre o tronco das árvores. IV - As formigas do gênero 'Azteca' que vivem no interior da embaúba ('Cecropia glaziovii') fornecem proteção contra predadores da planta em troca do abrigo e alimento que a planta fornece. Quais os conceitos ecológicos que, respectivamente, melhor explicam os fatos anteriores? a) endemismo; predação; epifitismo; mutualismo b) distribuição disjunta; colonização; endemismo; vicariância c) amplitude de nicho; hiperdispersão; simpatria; mutualismo d) endemismo; onivoria; parasitismo; neutralismo e) habitat; predação; sucessão; simbiose 28 (ENEM) O esquema a seguir representa os diversos meios em que se alimentam aves, de diferentes espécies, que fazem ninho na mesma região.

Com base no esquema, uma classe de alunos procurou identificar a possível existência de competição alimentar entre essas aves e concluiu que: a) não há competição entre os quatro tipos de aves porque nem todas elas se alimentam nos mesmos locais. b) não há competição apenas entre as aves dos tipos 1, 2 e 4 porque retiram alimentos de locais exclusivos. c) há competição porque a ave do tipo 3 se alimenta em todos os lugares e, portanto, compete com todas as demais. d) há competição apenas entre as aves 2 e 4 porque retiram grande quantidade de alimentos de um mesmo local. e) não se pode afirmar se há competição entre as aves que se alimentam em uma mesma região sem conhecer os tipos de alimento que consomem.

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Educação sem FronteirasPOPULAÇÕES E SUCESSÃO ECOLÓGICA

29 (ENEM) Ao longo do século XX, a taxa de variação na população do Brasil foi sempre positiva (crescimento). Essa taxa leva em consideração o número de nascimentos (N), o número de mortes (M), o de emigrantes (E) e o de imigrantes (I) por unidade de tempo. É correto afirmar que, no século XX: a) M > I + E + N. b) N + I > M + E. c) N + E > M + I. d) M + N < E + I. e) N < M - I + E. 30 (UNIRIO) Em relação a Potencial Biótico, pode-se afirmar que corresponde ao(à): a) início da colonização de um ambiente por uma população. b) número de indivíduos que entram em uma população. c) número de indivíduos que saem de uma população. d) união anatômica entre indivíduos da mesma espécie. e) capacidade de uma população aumentar o número de indivíduos em condições ideais. 31 (ENEM) No início deste século, com a finalidade de possibilitar o crescimento da população de veados no planalto de Kaibab, no Arizona (EUA), moveu-se uma caçada impiedosa aos seus predadores - pumas, coiotes e lobos. No gráfico a seguir, a linha cheia indica o crescimento real da população de veados, no período de 1905 a 1940; a linha pontilhada indica a expectativa quanto ao crescimento da população de veados, nesse mesmo período, caso o homem não tivesse interferido em Kaibab.

Para explicar o fenômeno que ocorreu com a população de veados após a interferência do homem, um estudante elaborou as seguintes hipóteses e/ou conclusões: I. lobos, pumas e coiotes não eram, certamente, os únicos e mais vorazes predadores dos veados; quando estes predadores, até então despercebidos, foram favorecidos pela eliminação de seus competidores, aumentaram numericamente e quase dizimaram a população de veados. II. a falta de alimentos representou para os veados um mal menor que a predação. III. ainda que a atuação dos predadores pudesse representar a morte para muitos veados, a predação demonstrou-se um fator positivo para o equilíbrio dinâmico e sobrevivência da população como um todo. IV. a morte dos predadores acabou por permitir um crescimento exagerado da população de veados, isto levou à degradação excessiva das pastagens, tanto pelo consumo excessivo como pelo seu pisoteamento.

O estudante, acertou se indicou as alternativas: a) I, II, III e IV. b) I, II e III, apenas. c) I, II e IV, apenas. d) II e III, apenas. e) III e IV, apenas. 32 (PUC) Considere o texto a seguir. "Em experimentos com ratos verificou-se que, quando as gaiolas de criação se tornam superpovoadas, mesmo que haja alimento em abundância, a taxa de natalidade pode cair a zero: os filhotes morrem no interior do corpo da mãe." O fator que limita o crescimento das populações dos ratos em estudo é a) o suprimento alimentar. b) o confinamento. c) a competição interespecífica. d) a densidade populacional. e) a ausência de parasitas e predadores. 33 (ENEM) Um produtor de larvas aquáticas para alimentação de peixes ornamentais usou veneno para combater parasitas, mas suspendeu o uso do produto quando os custos se revelaram antieconômicos. O gráfico registra a evolução das populações de larvas e parasitas.

O aspecto BIOLÓGICO, ressaltado a partir da leitura do gráfico, que pode ser considerado o melhor argumento para que o produtor não retome o uso do veneno é: a) A densidade populacional das larvas e dos parasitas não é afetada pelo uso do veneno. b) A população de larvas não consegue se estabilizar durante o uso do veneno. c) As populações mudam o tipo de interação estabelecida ao longo do tempo. d) As populações associadas mantêm um comportamento estável durante todo o período. e) Os efeitos das interações negativas diminuem ao longo do tempo, estabilizando as populações. 34(UFRJ) Uma área foi ocupada por três espécies A, B, C. Nos gráficos a seguir o eixo horizontal indica o tamanho das sementes utilizadas pelas três espécies como alimento. Cada espécie utiliza uma certa quantidade desses recursos, indicada pelo comprimento do segmento de reta do eixo das abcissas delimitado pela curva de cada espécie. Alguns anos mais tarde as três espécies continuam na mesma área mas existem diferenças em relação à utilização dos recursos.

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a) Pela observação dos gráficos, quais as espécies que inicialmente têm nichos ecológicos mais diferentes? Justifique sua resposta. b) Entre quais espécies deve ter havido mais competição pelos recursos do ambiente? Justifique sua resposta. 35 (UFRJ) Um grupo de pesquisadores estudou uma certa espécie de pássaro e constatou, inicialmente, que as fêmeas botavam entre dois e oito ovos em seus ninhos. Para entender melhor a reprodução da espécie, os pesquisadores verificaram os custos e os benefícios em energia relacionados com o tamanho da ninhada. As duas medidas, transformadas em unidades de valor adaptativo, estão representadas no gráfico a seguir:

Nessas condições, indique o número de ovos que deve ser observado com mais freqüência nos ninhos. Justifique sua resposta. 36 (PUC-RIO) Há alguns anos descobriu-se vida, com presença de seres pluricelulares e uma cadeia alimentar completa com todos os níveis tróficos, em profundezas marinhas, próximas a vulcões submersos, local onde não há penetração de luminosidade. Indique a alternativa que explica a possibilidade da existência de um ecossistema nessas condições. a) A presença de fermentadores. b) A presença de quimiossintéticos. c) A presença de anaeróbios. d) O transporte de nutrientes pelas correntes marinhas. e) A deposição de detritos orgânicos de seres mortos. 37 (UFRRJ) Após o incêndio que destruiu grande área florestal em Roraima, foi publicada a seguinte reportagem: "Devagar e sempre (se ninguém atrapalhar) Veja as fases de reconstrução da floresta queimada"

COMO FICOU (fig. I) O fogo não só queimou as árvores como calcinou todas as sementes do chão. DAQUI A VINTE ANOS (fig. II) Plantas e arbustos cobrem o solo e protegem do impacto do sol as mudas de árvores que mais tarde serão grandes. EM 200 ANOS (fig. III) Se não houver interferência humana, a floresta de Roraima voltará ao estado original.

As etapas descritas na reportagem demonstram a previsão da evolução do ecossistema nos próximos 200 anos. Durante esse processo pode-se prever que a) a composição em espécies muda lentamente no início e mais rapidamente nos estágios intermediários e no clímax. b) a produtividade é pequena inicialmente, mas vai aumentando aos poucos, tornando-se estável no clímax. c) a biomassa é pequena no início, aumentando durante todo o processo até estabilizar no clímax. d) a teia alimentar torna-se menos complexa durante o processo pois surgem novos nichos ecológicos. e) as taxas de respiração e fotossíntese são iguais no início, já no clímax a taxa de fotossíntese é menor que a de respiração. 38 (UNIRIO) Uma região hostil, desabitada, com rochas nuas, que vai passando por mudanças gradativas, dando origem a comunidades mais complexas favorecendo o desenvolvimento de plantas maiores e também o estabelecimento de animais maiores é um exemplo de: a) comunidade clímax. b) ecossistema complexo. c) nicho ecológico. d) competição ecológica. e) sucessão ecológica. 39 (CESGRANRIO) Suponhamos que o charco onde viva a preá e os outros seres vivos da nossa história, com o decorrer dos tempos, vá lentamente se modificando. O espelho d'água diminua, pela progressiva invasão de novas plantas, assoreamento e a instalação de plantas mais duradouras; pelo surgimento de novos animais e desaparecimento de outros. O cenário se modifica. Este fenômeno denomina-se: a) Comunidade clímax. b) Comunidade em equilíbrio dinâmico. c) Comunidade em equilíbrio estático. d) Sucessão ecótona. e) Sucessão ecológica.

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40 (PUC-RIO) Um ecossistema pode ser considerado ecologicamente mais estável em relação a distúrbios quando possui: a) um grande número de espécies endêmicas. b) uma grande extensão territorial e grande variabilidade de climas. c) uma biomassa de consumidores primários equivalente à dos secundários. d) um número elevado de espécies de predadores. e) um grande número de espécies com relativamente poucos indivíduos em cada. 41 (UFRJ) No processo de sucessão ecológica, considerando os vegetais de um dado ecossistema, a relação produtividade primária/biomassa (P/B) se modifica ao longo do tempo. A produtividade primária, que é basicamente a incorporação de carbono orgânico através da fotossíntese, varia pouco durante o processo de sucessão. Comparando um ecossistema em início de sucessão ecológica com um ecossistema em fase avançada de sucessão, qual terá a menor relação P/B? Justifique sua resposta. ? AGRAVOS AMBIENTAIS 42 (UNIRIO) "Somos o maior poluidor do mundo, mas, se for preciso, poluiremos ainda mais, para evitar uma recessão na economia ..." (Terrorista Ambiental. "Jornal do Brasil", Rio de Janeiro, 2002.) Com esta declaração, o autor demonstrou a intenção em não ratificar o protocolo de Kioto, que propõe a redução da emissão dos gases poluentes causadores de mudanças no planeta tais como o aquecimento global, alterações no regime das chuvas e perda de biodiversidade. O principal gás causador dessas alterações ambientais é o: a) clorofluorcarbono. b) metano. c) monóxido de carbono. d) ozônio. e) dióxido de carbono. 43 (ENEM) Uma região industrial lança ao ar gases como o dióxido de enxofre e óxidos de nitrogênio, causadores da chuva ácida. A figura mostra a dispersão desses gases poluentes.

Considerando o ciclo da água e a dispersão dos gases, analise as seguintes possibilidades: I. As águas de escoamento superficial e de precipitação que atingem o manancial poderiam causar aumento de acidez da água do manancial e provocar a morte de peixes.

II. A precipitação na região rural poderia causar aumento de acidez do solo e exigir procedimentos corretivos, como a calagem. III. A precipitação na região rural, embora ácida, não afetaria o ecossistema, pois a transpiração dos vegetais neutralizaria o excesso de ácido. Dessas possibilidades, a) pode ocorrer apenas a I. b) pode ocorrer apenas a II. c) podem ocorrer tanto a I quanto a II. d) podem ocorrer tanto a I quanto a III. e) podem ocorrer tanto a II quanto a III. 44 (PUC-RIO) A maior parte da energia usada hoje no planeta é proveniente da queima de combustíveis fósseis. O protocolo de Kyoto, acordo internacional que inclui a redução da emissão de CO‚ e de outros gases, demonstra a grande preocupação atual com o meio ambiente. O excesso de queima de combustíveis fósseis pode ter como conseqüências: a) maior produção de chuvas ácidas e aumento da camada de ozônio. b) aumento do efeito estufa e dos níveis dos oceanos. c) maior resfriamento global e aumento dos níveis dos oceanos. d) destruição da camada de ozônio e diminuição do efeito estufa. e) maior resfriamento global e aumento da incidência de câncer de pele. 45 (ENEM) No ciclo da água, usado para produzir eletricidade, a água de lagos e oceanos, irradiada pelo Sol, evapora-se dando origem a nuvens e se precipita como chuva. É então represada, corre de alto a baixo e move turbinas de uma usina, acionando geradores. A eletricidade produzida é transmitida através de cabos e fios e é utilizada em motores e outros aparelhos elétricos. Assim, para que o ciclo seja aproveitado na geração de energia elétrica, constrói-se uma barragem para represar a água. Entre os possíveis impactos ambientais causados por essa construção, devem ser destacados: a) aumento do nível dos oceanos e chuva ácida. b) chuva ácida e efeito estufa. c) alagamentos e intensificação do efeito estufa. d) alagamentos e desequilíbrio da fauna e da flora. e) alteração do curso natural dos rios e poluição atmosférica. 46 (UERJ) Em túneis muito extensos, existem placas orientando os motoristas a desligarem seus carros em caso de engarrafamento, pois a combustão incompleta que ocorre nos motores produz um gás extremamente tóxico para o organismo humano. Tal medida visa a evitar, principalmente, o aumento da concentração desse gás. A alternativa que combina corretamente a fórmula do gás e dois dos sistemas vitais atingidos pelo aumento de sua concentração é: a) CO - circulatório e nervoso b) O2 - respiratório e nervoso c) CO2 - circulatório e endócrino d) N2 - respiratório e endócrino

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O esquema anterior representa um problema ambiental provocado pela interferência do homem na biosfera. Como conseqüência direta dessa quebra de sinergia deve-se esperar que ocorra: a) maior incidência de mutações. b) aumento da temperatura global. c) aumento do nível dos oceanos. d) degelo das calotas polares. e) chuva ácida. 48 (ENEM) Com relação aos efeitos sobre o ecossistema, pode-se afirmar que: I. as chuvas ácidas poderiam causar a diminuição do pH da água de um lago, o que acarretaria a morte de algumas espécies, rompendo a cadeia alimentar. II. as chuvas ácidas poderiam provocar acidificação do solo, o que prejudicaria o crescimento de certos vegetais. III. as chuvas ácidas causam danos se apresentarem valor de pH maior que o da água destilada. Dessas afirmativas está(ão) correta(s): a) I, apenas. b) III, apenas. c) I e II, apenas. d) II e III, apenas. e) I e III, apenas. 49 (UERJ) O noticiário da imprensa divulgou, recentemente, que o Brasil é um dos maiores destruidores da camada de ozônio e, para enfrentar este e outros problemas, está sendo criado o Selo Verde - uma marca de qualidade para produtos industrializados. Boicotando a compra de produtos que contêm substâncias que possam destruir a camada de ozônio, a população poderá evitar a incidência crescente do seguinte fenômeno: a) chuva ácida b) efeito estufa c) desertificação d) radiação ultravioleta 50 (UFRJ) O processo da fotossíntese é uma forma de transferência da energia do Sol para os vegetais. Nesse processo, os vegetais captam CO‚ atmosférico e produzem O‚. Uma árvore contém, portanto, uma certa quantidade de energia acumulada do Sol. O carvão mineral (carvão fóssil) é formado essencialmente por árvores mortas e soterradas em eras passadas. Quando são queimados, tanto as árvores quanto o carvão liberam energia sob a forma de calor. Se a destruição das florestas e as taxas de queima de carvão mineral continuarem a aumentar, o que deverá

acontecer com a temperatura da atmosfera terrestre? Justifique sua resposta. 51 (PUC-RIO) Um dos grandes problemas ambientais conhecidos é o excesso de descargas de efluentes ricos em nutrientes, que influenciam o crescimento de algas, aumentando a demanda bioquímica de oxigênio e causando mortandade de peixes e animais bentônicos. Esse fenômeno é chamado de: a) nitrificação. b) eutrofização. c) magnificação trófica. d) carbonificação. e) respiração. 52 (UFF) O trecho de certo rio da Amazônia, próximo a um garimpo de ouro, está contaminado por mercúrio. Nesse local, foram coletadas amostras de água, de peixe carnívoro, de peixe herbívoro e de mamífero aquático que se alimenta exclusivamente de peixes. O resultado da análise da concentração de mercúrio nessas amostras está representado no gráfico a seguir:

Conclui-se que as amostras X, Y, Z e W correspondem, respectivamente, a: a) peixe herbívoro, mamífero aquático, peixe carnívoro e água b) água, peixe carnívoro, mamífero aquático e peixe herbívoro c) mamífero aquático, peixe carnívoro, água e peixe herbívoro d) peixe carnívoro, água, peixe herbívoro e mamífero aquático e) mamífero aquático, peixe herbívoro, água e peixe carnívoro 53 (ENEM) Segundo a legislação brasileira, o limite máximo permitido para as concentrações de mercúrio total é de 500 nanogramas por grama de peso úmido. Ainda levando em conta os dados fornecidos e o tipo de circulação do mercúrio ao longo da cadeia alimentar, pode-se considerar que a ingestão, pelo ser humano, de corvinas capturadas nessas regiões, a) não compromete a sua saúde, uma vez que a concentração de mercúrio é sempre menor que o limite máximo permitido pela legislação brasileira. b) não compromete a sua saúde, uma vez que a concentração de poluentes diminui a cada novo consumidor que se acrescenta à cadeia alimentar. c) não compromete a sua saúde, pois a concentração de poluentes aumenta a cada novo consumidor que se acrescentar à cadeia alimentar.

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Educação sem Fronteirasd) deve ser evitada, apenas quando entre as corvinas e eles se interponham outros consumidores, como, por exemplo, peixes de maior porte. e) deve ser evitada sempre, pois a concentração de mercúrio das corvinas ingeridas se soma à já armazenada no organismo humano. 54 (UERJ) A agricultura orgânica, caracterizada pelo uso intensivo de adubos preparados a partir de dejetos animais, tem sido preconizada como alternativa ao emprego de agrotóxicos. No entanto, quando praticada em larga escala, sem os devidos cuidados, pode causar danos ao meio ambiente, com a ocorrência de: a) contaminação do solo por metais pesados b) desenvolvimento de microorganismos autotróficos c) diminuição de nutrientes de origem inorgânica no solo d) acúmulo de matéria orgânica em cursos d'água próximos 55 (UFF) Uma grande indústria siderúrgica, para evitar o desmatamento indiscriminado, mudou o combustível de seus altos-fornos, substituindo carvão vegetal por carvão mineral. Após algum tempo ocorreram alterações ecológicas graves em um lago próximo, observando-se, até mesmo, a morte de peixes. Tais ocorrências observadas são conseqüência: a) da diminuição de resíduos orgânicos na água do lago, o que acarreta menor demanda bioquímica de oxigênio (DBO); b) do aquecimento de água do lago promovido pela maior formação de dióxido de carbono na combustão (efeito estufa); c) da formação de ácido clorídrico na água do lago a partir de produtos liberados na combustão, levando à diminuição do pH; d) do acúmulo, na água do lago, de elementos minerais derivados do combustível utilizado, tais como, selênio e chumbo; e) da formação de ácido sulfúrico na água do lago a partir de óxidos de enxofre liberados na combustão. 56 (PUC-RIO) A maior parte dos rios que deságuam na Baía de Guanabara apresenta elevada carga de poluição, em função da grande densidade populacional existente na sua bacia contribuinte. No entanto, a carga de poluição pode variar, já que esta depende da proporção existente entre a quantidade de poluentes e a vazão do rio que a recebe. A diferença na qualidade de água do rio São João de Meriti (extremamente poluído) e do rio Guapimirim (pouco poluído) - ambos desaguando na Baía de Guanabara - ilustra esta questão. Neste sentido, considerando-se: I - a vazão do rio, II - a quantidade de poluentes que este recebe, III - a poluição do rio, constata-se que: a) se I aumenta e II é constante, III tende a diminuir. b) se II reduz e I aumenta, III tende a aumentar. c) se I diminui e II é constante, III tende a diminuir. d) se I e II aumentam, III tende a diminuir. e) se I e II diminuem, III tende a aumentar. 57 (UNIRIO) A poluição da hidrosfera traz sérios problemas aos ecossistemas. O lançamento de esgotos e a recepção de adubos fertilizantes provocam o acúmulo de nutrientes minerais na água, desencadeando o fenômeno da

eutrofização. Como conseqüência, ocorre um desequilíbrio ecológico que se processa através dos seguintes acontecimentos: I - aumento da população de decompositores aeróbicos; II - maior demanda bioquímica de oxigênio; III - proliferação e morte de algas; IV - processos fermentativos realizados por decompositores anaeróbicos; V - morte dos aeróbios; VI - produção de gases tóxicos. Qual a seqüência correta desses eventos? a) I, II, IV, III, VI, V. b) II, V, I, III, IV, VI. c) III, I, II, V, IV, VI. d) IV, VI, V, III, I, II. e) V, IV, III, I, VI, II. 58 (ENEM) A energia térmica liberada em processos de fissão nuclear pode ser utilizada na geração de vapor para produzir energia mecânica que, por sua vez, será convertida em energia elétrica. Abaixo está representado um esquema básico de uma usina de energia nuclear.

Com relação ao impacto ambientar causado pela poluição térmica no processo de refrigeração da usina nuclear, são feitas as seguintes afirmações: I. o aumento na temperatura reduz, na água do rio, a quantidade de oxigênio nela dissolvido, que é essencial para a vida aquática e para a decomposição da matéria orgânica. II. o aumento da temperatura da água modifica o metabolismo dos peixes. III. o aumento na temperatura da água diminui o crescimento de bactérias e de algas, favorecendo o desenvolvimento da vegetação. Das afirmativas acima, somente está(ão) correta(s): a) I. b) II. c) III. d) I e II. e) II e III. 59 (UFRJ) Os coliformes fecais são utilizados como indicadores da qualidade da água. Para isso, mede-se o número aproximado de coliformes por unidade de volume. Se o número de coliformes por unidade de volume encontra-se acima de um determinado limite, a água é considerada imprópria para o consumo ou para o banho. Explique por que a quantidade de coliformes pode ser utilizada como indicador da qualidade da água. 60 (UFRJ) O poli-β-hidroxibutirato e o polihidroxivalerato são biopolímeros, isto é, polímeros produzidos por bactérias. Essas macromoléculas possuem muitas das características físicas dos polímeros sintéticos usados atualmente na fabricação de embalagens. Apesar de os polímeros sintéticos serem de fabricação mais barata, há interesse em substituí-los pelos biopolímeros. Explique a razão desse interesse.

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TAXONOMIA E CLASSIFICAÇÃO E VÍRUS

01 (PUC) O lobo guará e a onça são dois exemplares da nossa fauna ameaçados de extinção. O diagrama a seguir mostra as principais categorias taxonômicas a que pertencem estes animais: Lobo guará: Cordado > mamífero > carnívoro > canídeo > 'Chrysocyon' > 'C. brachyurus' Onça parda: Cordado > mamífero > carnívoro > felídeo > 'Felis' > 'F. concolor' A análise do diagrama permite dizer que os dois animais estão próximos na mesma categoria até: a) classe. b) filo. c) família. d) gênero. e) ordem. 02 (UERJ) O diagrama a seguir mostra a classificação dos seres vivos em cinco reinos, considerando a combinação de três critérios: número de células, existência de núcleo individualizado na célula e forma de nutrição.

A proposição que reúne adequadamente dois dos critérios de classificação dos seres vivos utilizados no diagrama é: a) existem eucariontes unicelulares b) existem procariontes pluricelulares c) não existem procariontes unicelulares d) não existem eucariontes pluricelulares 03 (PUC) Um entomólogo estudando a fauna de insetos da mata atlântica encontrou uma espécie cujos caracteres não se encaixavam naqueles característicos dos gêneros de sua família. Isto levará o cientista a criar: a) uma nova família com um novo gênero. b) somente uma nova espécie. c) um novo gênero com uma nova espécie. d) uma sub espécie. e) uma nova ordem com uma nova família. 04 (UERJ) A enorme diversidade das formas de vida sempre encanta aqueles que tentam descrever e classificar espécies. A taxonomia moderna não leva em consideração apenas as características do animal, mas procura correlacioná-las a outros organismos, baseando-se em estruturas hereditárias. Desse modo, à medida que se analisam as variações ocorridas na passagem do nível de ESPÉCIE para o nível do REINO, é possível observar que: a) diminui a diversidade biológica

b) diminui a relação de parentesco c) aumenta a semelhança histofisiológica d) aumenta o número de estruturas comuns 05 (UNIRIO) Considere as características dos seguintes animais: I- gafanhoto: protostômio, celomado, com metameria e simetria bilateral; II- pepino-do-mar: deuterostômio, celomado, sem metameria e simetria radial; III- homem: deuterostômio, celomado, com metameria e simetria bilateral. A árvore filogenética que melhor representa as proximidades evolutivas entre esses animais está caracterizada na opção:

06 (UFF) O princípio básico da evolução de cada espécie é que toda forma de vida descende, com modificações, de ancestrais comuns. Entretanto, a cada descoberta de mais um fóssil, ocorre uma mudança na árvore genealógica da espécie humana e, cada vez mais, aumentam as dúvidas sobre os nossos ancestrais. Atualmente, o achado do crânio, apelidado de Toumai, reforça a teoria de que a árvore genealógica humana é, na verdade, um arbusto com tantos galhos que vai ser difícil traçar um só ramo das raízes até o topo, diz o professor Bernard Wood. A que espécie e família pertencem os seres humanos? 07 (UFRJ) Alguns anfíbios possuem venenos que têm por base compostos químicos alcalóides. Os alcalóides obtidos a partir dessas espécies vêm sendo utilizados em pesquisas biomédicas, por causa de suas propriedades farmacológicas. Os cientistas acreditam que o conhecimento das relações evolutivas (filogenéticas) dos anfíbios pode auxiliar na escolha das espécies a serem estudadas na busca de novos alcalóides. A figura a seguir mostra as relações evolutivas entre cinco espécies de anfíbios. As espécies 'Phyllobates terribilis' e 'Epipedobates tricolor' apresentam alcalóides, enquanto a espécie 'Rana palmipes' não possui este tipo de substância.

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Identifique qual das duas espécies, A ou B, deveria ser estudada primeiro pelos cientistas na busca por alcalóides de interesse farmacológico. Justifique sua resposta. VÍRUS E VIROSES 08(UNIRIO) DOENÇA MISTERIOSA "Suspeito de ter contraído SARS dá entrada em hospital de Toronto, no Canadá : infecção globalizada. A Organização Mundial de Saúde (OMS) registra oficialmente a existência de mais de 6.000 infectados com a síndrome respiratória aguda grave (SARS). A SARS é transmitida de modo semelhante a uma gripe comum. Possui um agente causador com alta capacidade de mutação e adaptabilidade ao meio ambiente, podendo ficar "adormecido" durante os meses de calor e voltar a atacar no inverno, causando novo surto. Seu código genético é baseado no RNA..." (Adaptada Revista Veja -2003) A SARS tem como agente causador: a) uma bactéria b) um prion c) um vírus d) um protozoário e) um fungo 09 (PUC – RIO) Os vírus não se ajustam bem a nenhuma das categorias tradicionais em que os seres vivos se distribuem. Sabe-se que são desprovidos de estrutura celular, constituídos apenas por genes e proteínas. Assinale a opção que apresenta apenas doenças causadas por vírus: a) Gripe, rubéola, tétano e febre amarela. b) Hepatite infecciosa, tuberculose e varicela. c) Sarampo, poliomielite e raiva. d) Dengue, herpes e pneumonia. e) Disenteria infecciosa, cachumba e varíola. 10 (UNIRIO) A representação a seguir sintetiza o chamado dogma central da biologia celular.

Este fluxo unidirecional de informações torna-se exceção nos retrovírus, como o da AIDS, pois esses vírus: a) têm a capacidade de sintetizar um peptídeo diretamente a partir do ADN. b) possuem transcriptase reversa que, a partir do ARN-m, orienta a tradução. c) têm a capacidade de sintetizar ARN-m a partir do ADN viral. d) possuem transcriptase reversa que, a partir do peptídeo, orienta a síntese do ARN-m. e) têm a capacidade de sintetizar ADN a partir de ARN. 11 (UFF) Relativamente aos vírus afirma-se, corretamente, que: a) No caso dos retrovírus, que causam diversos tipos de infecções, a enzima transcriptase reversa catalisará a transformação do DNA viral em RNA mensageiro. b) Em qualquer infecção viral, o ácido nucléico do vírus tem a capacidade de se combinar quimicamente com substâncias presentes na superfície das células, o que permite ao vírus reconhecer e atacar o tipo de célula adequado a hospedá-lo. c) No caso dos vírus que têm como material genético o DNA, este será transcrito em RNA mensageiro, que comandará a síntese de proteínas virais. d) Em qualquer infecção viral, é indispensável que o capsídeo permaneça intacto para que o ácido nucléico do vírus seja transcrito. e) Em todos os vírus que têm como material genético o RNA, este será capaz de se duplicar sem a necessidade de se transformar em DNA, originando várias cópias na célula hospedeira. 12 (UNIRIO) É característica do ciclo reprodutivo de um bacteriófago a: a) penetração por inteiro na célula hospedeira. b) injeção do material genético, RNA, no interior da célula hospedeira. c) injeção do material genético, DNA, no interior da célula hospedeira. d) reprodução sexuada denominada conjugação. e) reprodução assexuada denominada divisão binária. 13 (ENEM) Uma nova preocupação atinge os profissionais que trabalham na prevenção da AIDS no Brasil. Tem-se observado um aumento crescente, principalmente entre os jovens, de novos casos de AIDS, questionando-se, inclusive, se a prevenção vem sendo ou não relaxada. Essa temática vem sendo abordada pela mídia: "Medicamentos já não fazem efeito em 20% dos infectados pelo vírus HIV. Análises revelam que um quinto das pessoas recém-infectadas não haviam sido submetidas a nenhum tratamento e, mesmo assim, não responderam às duas principais drogas anti-AIDS. Dos pacientes estudados, 50% apresentavam o vírus FB, uma combinação dos dois subtipos mais prevalentes no país, F e B". (Adaptado do "Jornal do Brasil", 02/10/2001.)

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Dadas as afirmações acima, considerando o enfoque da prevenção, e devido ao aumento de casos da doença em adolescentes, afirma-se que I - O sucesso inicial dos coquetéis anti-HIV talvez tenha levado a população a se descuidar e não utilizar medidas de proteção, pois se criou a idéia de que estes remédios sempre funcionam. II - Os vários tipos de vírus estão tão resistentes que não há nenhum tipo de tratamento eficaz e nem mesmo qualquer medida de prevenção adequada. III - Os vírus estão cada vez mais resistentes e, para evitar sua disseminação, os infectados também devem usar camisinhas e não apenas administrar coquetéis. Está correto o que se afirma em a) I, apenas. b) II, apenas. c) I e III, apenas. d) II e III, apenas. e) I, II e III. 14 (ENEM) A partir do primeiro semestre de 2000, a ocorrência de casos humanos de febre amarela silvestre extrapolou as áreas endêmicas, com registro de casos em São Paulo e na Bahia, onde os últimos casos tinham ocorrido em 1953 e 1948. Para controlar a febre amarela silvestre e prevenir o risco de uma reurbanização da doença, foram propostas as seguintes ações: I. Exterminar os animais que servem de reservatório do vírus causador da doença. II. Combater a proliferação do mosquito transmissor. III. Intensificar a vacinação nas áreas onde a febre amarela é endêmica e em suas regiões limítrofes. É efetiva e possível de ser implementada uma estratégia envolvendo a) a ação II, apenas. b) as ações I e II, apenas. c) as ações I e III, apenas. d) as ações II e III, apenas. e) as ações I, II e III. 15 (UERJ) A síndrome conhecida como vaca louca é uma doença infecciosa que ataca o sistema nervoso central de animais e até do homem. O agente infeccioso dessa doença é um príon - molécula normal de células nervosas - alterado em sua estrutura tridimensional. Os príons assim alterados têm a propriedade de transformar príons normais em príons infecciosos. Os príons normais são digeridos por enzimas do tipo da tripsina. Curiosamente, os alterados não o são, o que, entre outras razões, permite a transmissão da doença por via digestiva. Tais dados indicam que a molécula do príon é de natureza: (A) glicolipídica (B) polipeptídica (C) polissacarídica (D) oligonucleotídica 16 (UFRJ) Em 1928, Alexander Fleming isolou a penicilina a partir de culturas de fungos do gênero 'Penicilium'. Primeiro antibiótico conhecido, a penicilina foi produzida em larga escala para o combate às infecções bacterianas. Desde então, inúmeros outros antibióticos foram isolados de seres vivos ou sintetizados em laboratório. Cada um destes antibióticos interfere em uma via do metabolismo das bactérias. Os antibióticos, porém, são inúteis no combate às infecções por vírus.

Explique por que os antibióticos não têm efeito contra os vírus. 17 (UFRJ) Apesar dos esforços de numerosas equipes de cientistas em todo o mundo, uma vacina contra a gripe, que imunize as pessoas a longo prazo, ainda não foi conseguida. A explicação para isso é que o vírus da influenza, causador da gripe, sofre constantes mutações. Por que essas mutações diminuem a eficácia das vacinas? REINO MONERA E PROTISTA E FUNGI 18 (UNIRIO) Em muitas bactérias, o genoma consiste de uma molécula de DNA circular; portanto, esse DNA não tem: a) telômeros b) códons da replicação c) promotores d) códons de iniciação e) exons 19 (UNIRIO) Um cientista, ao descobrir um novo ser vivo, teve como incumbência classificá-lo de acordo com o sistema de Lineu. O ser foi então classificado como: MONERA - SCHYZOPHYTA - AUTOTRÓFICO Ele chegou a tal conclusão por se tratar de um organismo: a) procarionte, unicelular, de reprodução predominantemente assexuada e capaz de realizar fotossíntese. b) procarionte, unicelular, de reprodução predominantemente sexuada e que retira a molécula orgânica já digerida do ambiente. c) procarionte, unicelular, sem parede celular, de respiração anaeróbica facultativa. d) eucarionte, unicelular, com parede celular, de respiração anaeróbica e quimiossintetizantes. e) eucarionte, pluricelular, com parede celular, de reprodução predominantemente assexuada e capaz de realizar fotossíntese. 20 (ENEM) CASOS DE LEPTOSPIROSE CRESCEM NA REGIÃO M.P.S. tem 12 anos e está desde janeiro em tratamento de leptospirose. Ela perdeu a tranqüilidade e encontrou nos ratos, (...), os vilões de sua infância. "Se eu não os matar, eles me matam", diz. Seu ,medo reflete um dos maiores problemas do bairro: a falta de saneamento básico e o acúmulo de lixo... (O Estado de S. Paulo, 31/07/1997)

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OITO SUSPEITOS DE LEPTOSPIROSE A cidade ficou sob as águas na madrugada de anteontem e, além de 120 desabrigados, as inundações estão fazendo outro tipo de vítimas: já há oito suspeitas de casos de leptospirose (...) transmitida pela urina de ratos contaminados. (Folha de S. Paulo, 12/02/1999) As notícias dos jornais sobre casos de leptospirose estão associadas aos fatos: I. Quando ocorre uma enchente, as águas espalham, além do lixo acumulado, todos os desejos dos animais que ali vivem. II. O acúmulo de lixo cria ambiente propício para a proliferação dos ratos. III. O lixo acumulado nos terrenos baldios e nas margens de rios entope os bueiros e compromete o escoamento das águas em dias de chuva. IV. As pessoas que vivem na região assolada pela enchente, entrando em contato coma água contaminada, têm grande chance de contrair a leptospirose. A SEQÜÊNCIA de fatos que relaciona corretamente a leptospirose, o lixo, as enchentes e os roedores, é: a) I, II, III e IV. b) I, III, IV e II. c) IV, III, II e I. d) II, IV, I e III. e) II, III, I e IV. 21 (PUC) Sobre a sífilis e a gonorréia fizeram-se as seguintes afirmações: I- são causadas por vírus II- transmitem-se através do contato sexual III- são assintomáticas, desde o início, tanto no homem quanto na mulher IV- gestantes infectadas podem transmiti-las aos filhos V- afetam apenas os órgãos genitais VI- não têm cura São verdadeiras as afirmações a) I e III b) I, II e V c) II e IV d) II, III e V e) III, IV, V e VI 22 (UFRJ) As epidemias possuem características próprias, que dependem de sua origem. O gráfico a seguir representa o número de casos relatados numa determinada região, em função do tempo, de dois tipos de epidemia, A e B.

Uma das curvas corresponde a uma epidemia de cólera, num local em que há uma fonte comum de água contaminada. A outra curva representa a transmissão de gripe, uma doença que é transmitida de um hospedeiro ao outro. O gráfico mostra também que, nos dois casos, as epidemias foram controladas. Indique qual curva corresponde à epidemia de cólera e qual corresponde à da gripe. Justifique sua resposta. 23 (UFRJ) Os gráficos a seguir representam, em termos percentuais, as causas de mortalidade num país desenvolvido (figura A) e num país em desenvolvimento (figura B).

a) Indique três fatores que justifiquem a grande diferença, entre os dois países, nas mortes ocasionadas por doenças infecciosas. b) Justifique a menor porcentagem de casos de morte devido a câncer no país em desenvolvimento. (Não considere a possível influência de poluentes ambientais)

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24 (UFF) A tela Lavadeiras, pintada por Cândido Portinari em 1944, mostra um menino, portador da doença de Chagas, com edema na pálpebra direita devido a essa doença.

No final da década de 70, a incidência da doença de Chagas, no Brasil, era estimada em cerca de 100 mil novos casos por ano. Atualmente, devido a programas de prevenção, está praticamente erradicada em algumas regiões. Assinale a opção que não menciona medida de prevenção da doença de Chagas. a) Eliminar o caramujo, hospedeiro intermediário do Trypanosoma cruzi. b) Construir casas de alvenaria em substituição às de pau-a-pique. c) Monitorar as transfusões de sangue para evitar a transmissão homem a homem. d) Evitar a invasão humana no habitat silvestre ocupado por animais contaminados que servem como reservatórios naturais do Trypanosoma cruzi. e) Sacrificar animais domésticos infectados pelo agente causador da doença. 25 (UERJ) A doença de Chagas foi descrita em 1909 pelo médico brasileiro Carlos Chagas, na região norte de Minas Gerais. Lá verificou a existência de um inseto chamado popularmente de barbeiro, que, à noite, picava os habitantes da região. Quando Chagas examinou o barbeiro viu, em seu intestino, microorganismos que ele batizou de 'Tripanossoma cruzi', em homenagem a Oswaldo Cruz. Chagas pôde concluir que este inseto era o responsável pela doença quando encontrou o tripanossoma em amostras humanas de: a) fezes b) urina c) saliva d) sangue 26 (UNIRIO) "Uma descrição sucinta do 'Triatoma' (vulgarmente conhecido como chupança ou barbeiro) diria que é um inseto com perto de 2 centímetros de comprimento, asas achatadas, largas e listradas nas bordas, não muito diferente de uma barata doméstica comum, mas

com um ferrão comprido. Ao contrário da barata, porém, é hematófago. O pior de tudo é que além de chupar o sangue das pessoas, defeca ao mesmo tempo. E é pelas fezes que transmite a moléstia." (De Cicco) O texto anterior se refere ao hospedeiro intermediário da: a) malária. b) ancilostomose. c) esquistossomose. d) Úlcera de Bauru. e) Doença de Chagas. 27 (UERJ) Por trás de um lindo e peludo gatão pode-se esconder uma doença que gera problemas neurológicos e oculares no bebê se transmitida durante o segundo trimestre da gravidez: a toxoplasmose. ("Jornal do Brasil", 08/09/96.) A transmissão da doença pode ocorrer através da ingestão de carne crua ou mal cozida, principalmente de aves ou de porco, ou pelo contato direto com as fezes do felino contaminadas pelo agente causador da doença. Esse agente causador é classificado como: a) vírus b) bactéria c) helminto d) protozoário 28 (UFF) Considere os seguintes meios de transmissão de doenças: 1 - ingestão de cistos eliminados com as fezes humanas; 2 - contaminação através de fezes de inseto em lesões na pele; 3 - picada de mosquito palha ou Birigui; 4 - relações sexuais. As protozoozes correspondentes aos meios de transmissão indicados por 1, 2, 3 e 4 são, respectivamente: a) amebíase, doença de Chagas, leishmaniose e tricomoniase b) giardíase, malária, leishmaniose e toxoplasmose c) toxoplasmose, doença de Chagas, malária e amebíase d) amebíase, toxoplasmose, leishmaniose e giardíase e) leishmaniose, malária, doença de Chagas e amebíase 29 ( ENEM) Houve uma grande elevação do número de casos de malária na Amazônia que, de 30 mil casos na década de 1970, chegou a cerca de 600 mil na década de 1990. Esse aumento pode ser relacionado a mudanças na região, como a) as transformações no clima da região decorrentes do efeito estufa e da diminuição da camada de ozônio. b) o empobrecimento da classe média e a conseqüente falta de recursos para custear o caro tratamento da doença. c) o aumento na migração humana para fazendas, grandes obras, assentamentos e garimpos, instalados nas áreas de floresta. d) as modificações radicais nos costumes dos povos indígenas, que perderam a imunidade natural ao mosquito transmissor. e) a destruição completa do ambiente natural de reprodução do agente causador, que o levou a migrar para os grandes centros urbanos.

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Educação sem Fronteiras30 (UFF) O pediatra, após observar múltiplos pontos brancos na mucosa de um recém-nascido, diagnosticou a doença como sapinho. À mãe da criança, tranqüilizando-a, corretamente informou tratar-se de uma doença causada por: a) protozoários d) fungos b) bactérias e) algas unicelulares c) vírus 31 (UFRRJ) Fleming, quando estava estudando colônias de bactérias, percebeu em alguns dos meios de cultura o crescimento de um ser vivo (que denominou Penicillium notatum) impedindo o desenvolvimento das bactérias. Isso ocorreu graças a uma substância de função antibiótica conhecida como penicilina. Leia as afirmativas a seguir relacionadas com as informações do texto acima. I. Penicillium notatum retirou a penicilina das bactérias, levando-as à morte. II. Penicillium notatum é um representante do reino Fungi. III. As bactérias são procariontes, por isso são classificadas no reino Monera. Desses itens, admite-se como verdadeira(s) a) apenas a afirmativa I. d) as afirmativas I e II. b) apenas a afirmativa II. e) as afirmativas II e III. c) apenas a afirmativa III. 32 (UFRRJ) No 10 Torneio "Inter-Reinos" de Futebol, organizado pela Federação Taxonômica Internacional, cinco equipes disputaram os jogos entre si. Um "jogador" se destacou como artilheiro, levando seu time a vencer o campeonato. Esse "jogador" pertencia a um time com as seguintes características: eucarioto, heterótrofo, uni ou pluricelular, reprodução assexuada ou sexuada, com capacidade de causar micoses e estabelecer interações mutualísticas. Pela descrição acima, podemos concluir que a equipe campeã e o artilheiro foram, respectivamente, a) MONERA Futebol Clube - João RHIZOBIUM. b) PROTISTA Futebol e Regatas - Mário AMEBA. c) Sport Clube FUNGI - Zé BOLOR. d) Clube Atlético METÁFITA - Leandro GOIABEIRA. e) METAZOA Atlético Clube - Leonardo GAVIÃO. 33 (PUC) Observando um "mofo" que crescia sobre uma infiltração de água no teto da sala, um estudante de biologia fez as seguintes afirmações: I. Trata-se do crescimento de um microorganismo eucarionte. II. O organismo é capaz de realizar respiração aeróbia. III. Ele obtém seu alimento de algum componente orgânico presente no teto. IV. O microorganismo é capaz de realizar fagocitose e digestão intracelular. São afirmações CORRETAS: a) I, II, III apenas b) I, II, IV apenas c) II e III apenas d) I, II, III e IV 34 (UFF) Os organismos, popularmente conhecidos como cogumelos, são eucariontes que, em sua constituição, apresentam parede celular rígida e um polissacarídeo de reserva. Embora possuam algumas características de planta, não pertencem ao Reino Plantae.

a) Especifique a que reino pertencem os cogumelos e

explique por que estes organismos não podem ser classificados como vegetais.

.

b) Informe o modo pelo qual os cogumelos digerem os alimentos necessários à sua sobrevivência.

REINO PLANTAE - GRUPOS 35 (PUC) Assinale o grupo de vegetais que apresenta semente. a) Pinheiros, leguminosas e gramíneas. b) Avencas, bromélias e cítricos. c) Samambaias, pinheiros e orquídeas. d) Leguminosas, algas e gramíneas. e) Cítricos, cactáceas e cogumelos. 36 (FUVEST)

O diagrama representa as relações filogenéticas entre as algas e os principais grupos de plantas atuais. Cada círculo numerado indica uma aquisição evolutiva compartilhada apenas pelos grupos representados nos ramos acima desse círculo. Por exemplo, o círculo 1 representa "embrião dependente do organismo genitor", característica comum a todos os grupos, exceto ao das algas. Os círculos de números 2, 3 e 4 representam, respectivamente, a) alternância de gerações; fruto; semente. b) alternância de gerações; tecidos condutores; fruto. c) tecidos condutores; fruto; flor. d) tecidos condutores; semente; fruto. e) semente; flor; tecidos condutores. 37 (PUC) Relacione a primeira coluna com a segunda: 1. Briófitas 2. Pteridófitas 3. Gimnospermas 4. Angiospermas ( ) Primeiras traqueófitas. ( ) Sem tecidos condutores de pequeno porte vivendo em lugares úmidos. ( ) Apresentam fruto e são independentes da água para reprodução. ( ) São as primeiras a apresentarem semente.

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Educação sem FronteirasA alternativa que contém a relação CORRETA encontrada é: a) 1, 2, 3 e 4. b) 2, 1, 4 e 3. c) 1, 4, 2 e 3. d) 2, 3, 4 e 1. e) 3, 4, 2 e 1. 38 (PUC-RIO) O porte geralmente reduzido das algas e das briófitas pode ser atribuído: a) à falta de um sistema condutor verdadeiro. b) à reprodução sexuada de seus gametas. c) ao fato do esporófito não realizar a respiração. d) à predominância do ambiente aquático onde vivem. e) à presença de estômatos nos talos. 39 (UERJ) Certos vegetais apresentam apenas um único tipo de abastecimento de água. Tal mecanismo é baseado em fenômenos osmóticos, que envolvem uma pressão de sucção no interior da célula (S‹), uma pressão de membrana (M) e uma pressão de difusão (SÝ). O esquema a seguir, que representa uma planta parcialmente mergulhada na água, mostra o fenômeno.

Esses vegetais pertencem ao seguinte grupo: a) briófitas b) pteridófitas c) angiospermas d) gimnospermas 40 (CESGRANRIO) No curso da evolução dos vegetais, a presença de vasos condutores de seiva foi inicialmente observada em: a) coníferas. b) briófitas. c) pteridófitas. d) angiospermas. e) gimnospermas. 41 (UNIRIO) A polinização anemófila é uma característica das: a) monocotiledôneas. b) dicotiledôneas. c) gimnospermas. d) pteridófitas. e) angiospermas. 42 (UFRJ) As flores que se abrem à noite, como por exemplo a dama-da-noite, em geral exalam um perfume acentuado e não são muito coloridas. As flores diurnas, por sua vez, geralmente apresentam cores mais intensas. Relaciona essa adaptação ao processo de reprodução desses vegetais.

43( UFRJ) As células da raiz de um pé de milho possuem 20 cromossomos. Levando em conta o ciclo reprodutivo desse vegetal, quantos cromossomos você espera encontrar nas células do albume (endosperma) e do embrião de um grão de milho? Justifique sua resposta. 44 (UFRJ) Na maioria dos angiospermas - plantas com flores e frutos a reprodução depende da polinização, ou seja, do transporte dos grãos de pólen de um indivíduo para outro. Em alguns casos, o transporte é feito pelo vento e, em outros, por animais polinizadores que visitam sistematicamente as flores. Em qual dos dois casos a produção de pólen deve ser maior? Justifique sua resposta.

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Soluções 1) A ingestão de cloreto de sódio, na alimentação, é essencial. Excessos, porém, causam problemas,principalmente de hipertensão. O consumo aconselhado para um adulto, situa-se na faixa de 1100 a3300mg de sódio por dia. Pode-se preparar uma bela e apetitosa salada misturando-se 100 g de agrião(33 mg de sódio), 100 g de iogurte (50 mg de sódio) e uma xícara de requeijão cremoso (750 mg desódio), consumindo-a acompanhada com uma fatia de pão de trigo integral (157 mg de sódio):

a) Que percentual da necessidade diária mínima de sódio foi ingerido? b) Quantos gramas de cloreto de sódio deveriam ser adicionados à salada, para atingir o consumodiário máximo de sódio aconselhado?

2) Dois frascos idênticos estão esquematizados abaixo: Um deles contém uma certa massa de água (H20) e o outro, a mesma massa de álcool (CH3CH2OH).

a) Qual das substâncias está no frasco A e qual está no frasco B? Justifique. b) Considerando a massa das substâncias contidas nos frascos A e B, qual contém maior quantidadede átomos? Explique.

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3) O hidróxido de lítio (LiOH), usado na produção de sabões de lítio para a fabricação de graxaslubrificantes a partir de óleos, é obtido pela reação do carbonato de lítio (Li2CO3) com o hidróxido de cálcio(Ca(OH)2). a) Escreva a equação química que representa a reação balanceada do carbonato de lítio com o hidróxidode cálcio. b) Quantos gramas de hidróxido de lítio são produzidos, quando se reage totalmente 100mL de umasolução de carbonato de lítio a 0,2M com uma solução de hidróxido de cálcio a 0,1M. 4) O composto de fórmula molecular Na2B4O7.10H2O, denominado tetraborato de sódio, é conhecido porbórax. Se uma criança ingerir de 5 a 10 gramas desse composto apresentará vômito, diarréia, poderá entrarem estado de choque e, até, morrer. Tal composto é um sólido cristalino que reage com ácidos fortes de acordo com a equação:

Na2B4O7.10H2O + 2H+ –– 4H3BO3 + 5H2O +2Na+ Uma amostra de tetraborato de sódio, de massa 0,9550 g, reage completamente com uma solução de HCl0,1000 M. Pode-se afirmar que o volume de ácido clorídrico consumido nessa reação é, aproximadamente: 5,00 mL a) 9,50 mL b) 25,00 mL c) 50,00 mL d) 95,00 mL 5) 10 gramas de conchas do mar foram dissolvidas e diluídas a um volume final de 100ml. Foram tomados20ml dessa solução para análise, resultando em 1,8g de carbonato de cálcio. Qual a percentagem decarbonato de cálcio nas conchas analisadas? a) 18 % b) 20 % c) 36 % d) 82 % e) 90 %

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6) No ataque a 1,25g de calcário (CaCO3 impuro), são consumidos 100ml de ácido sulfúrico 0,1mol/L. Onúmero de mols de ácido que reagem, a massa de sal que reage e a pureza do calcário são,respectivamente, iguais a: a) 0,01 mol, 1,125 g e 90% b) 0,1 mol, 0,025 g e 20% c) 0,01 mol, 1,0 g e 80% d) 0,1 mol, 1,25 g e 100 % e) 0,1 mol, 0,125 g e 80% 7) Uma solução saturada de nitrato de potássio (KNO3) constituída, além do sal, por 100g de água, está àtemperatura de 70°C. Essa solução é resfriada a 40°C, ocorrendo precipitação de parte do sal dissolvido.Observe o gráfico:

a) A massa do sal que precipitou. b) A massa do sal que permaneceu em solução.

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8) 60 gramas de uma solução aquosa saturada de sacarose a 30°C são resfriados a 0°C. Quanto do açúcar precipita?

Temperatura °C Solubilidade Xg/100 g de H2O

0 180 30 220

a) 20 g b) 40 g c) 50 g d) 64 g e) 90 g 9) Tem-se 500g de uma solução aquosa de sacarose (C12H22O11), saturada a 50°C. Qual a massa de cristais que se separam da solução, quando ela é resfriada até 30°C?

Dados: Coeficiente de solubilidade (Cs) da sacarose em água: Cs à 30°C=220g/100g de água Cs à 50°C=260g/100g de água

a) 40,0 g b) 28,8 g c) 84,25 g d) 55,5 g e) 62,5 g 10) A partir do diagrama a seguir, que relaciona a solubilidade de dois sais A e B com a temperatura são feitas as afirmações:

I - existe uma única temperatura na qual a solubilidade de A é igual à de B. II - a 20°C, a solubilidade de A é menor que a de B. III - a 100°C, a solubilidade de B é maior que a de A. IV - a solubilidade de B mantém-se constante com o aumento da temperatura. V - a quantidade de B que satura a solução à temperatura de 80°C é igual a 150g. Somente são corretas: a) I, II e III. b) II, III e V. c) I, III e V. d) II, IV e V. e) I, II e IV

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11) A tabela a seguir fornece as solubilidades do KCl e do Li2CO3 a várias temperaturas:

Solubilidade g/100g H2O Temperatura (ºC) KCl Li2CO3

0 27,6 0,154 10 31,0 0,143 20 34,0 0,133 30 37,0 0,125 40 40,0 0,117 50 42,6 0,108

Assinale a alternativa falsa: a) A dissolução do KCl em água é endotérmica b) O aquecimento diminui a solubilidade do Li2CO3 em água c) A massa de KCl capaz de saturar 50g de água, a 40°C, é 20g d) Ao resfriar, de 50°C até 20°C, uma solução que contém inicialmente 108mg de Li2CO3 em 100g de água, haverá precipitação de 25mg de Li2CO3 e) A 10°C, a solubilidade do KCl é maior do que a do Li2CO3 12) Nas salinas, o cloreto de sódio é obtido pela evaporação da água do mar a 30°C, aproximadamente. a) Um volume de água do mar é evaporado até o aparecimento de NaCl sólido. Qual é a concentração de NaCl na solução resultante? Justifique a resposta. b) Qual o volume de água do mar que deve ser evaporado completamente para a produção de 1,00kg de NaCl sólido? c) Atenção: nem todos os dados fornecidos a seguir serão utilizados para resolver os itens anteriores. Dados: Massa molar da água = 18,0g/mol

Massa molar do NaCl = 58,4g/mol Solubilidade do NaCl em água, a 30°C, =6,16mol/L, que corresponde a 360g/L Concentração do NaCl na água do mar =0,43mol/L, que corresponde a 25g/L

Densidade da água do mar a 30°C, = 1,03g/cm3

Densidade da água pura a 30°C = 0,9956g/cm3

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13) Observe o gráfico a seguir e responda às questões que se seguem.

a) Qual a menor quantidade de água necessária para dissolver completamente, a 60°C, 120g de B? b) Qual a massa de A necessária para preparar, a 0°C, com 100g de água, uma solução saturada (I) e outrasolução insaturada (II)? 14) A solubilidade de vários sais em água em função da temperatura é apresentada no diagrama a seguir:

a) Usando o diagrama de solubilidade, determine a quantidade (em mols) de sal que precipita quando sãoadicionados 1,17 kg de NaNO3 em 1 litro de água pura, a 20 °C. b) O gráfico a seguir, que mostra a variação da solubilidade do dicromato de potássio na água em função datemperatura, foi apresentado em uma aula prática sobre misturas e suas classificações. Em seguida, forampreparadas seis misturas sob agitação enérgica, utilizando dicromato de potássio sólido e água pura emdiferentes temperaturas, conforme o esquema:

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15) Deficiência de Zn+2 no organismo causa problemas de crescimento, que podem ser sanados pela ingestãode comprimidos que contém ZnO. a) Dê a reação que ocorre no estômago (meio ácido), a qual origina o íon Zn+2 após a ingestão docomprimido. b) Certos comprimidos contém 1,62 x 10-2g de ZnO. O Zn+2 pode também ser administrado por meio desolução aquosa de ZnSO4. c) Que volume dessa solução, de concentração 0,10 mol/L contém massa de Zn+2 igual àquela contida emum comprimido de ZnO?

16) Sabendo-se que em 100 mililitros (mL) de leite integral há cerca de 120 miligramas (mg) de cálcio. Calculea concentração de cálcio no leite em mol por litro (mol/L) 17) O limite máximo de concentração de íon Hg+2 admitido para seres humanos é de 6 miligramas por litro desangue. Qual é o limite máximo, expresso em mols de Hg+2 por litro de sangue.

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18) A espuma branca das ondas do mar é composta por pequenas bolhas de ar, que se formam devido àelevada concentração de sais - cerca de 0,50 mol × L-1. Considere duas soluções salinas, uma comconcentração igual a 0,20 mol × L-1, outra com concentração igual a 0,60 mol × L-1, que devem sermisturadas para o preparo de 1,0 L de solução que possua concentração igual a 0,50 mol × L-1. Nesta preparação, o volume utilizado da solução mais diluída vale, em mL: a) 200 b) 250 c) 300 d) 350

19) Calcule a massa de sal necessária para produzir 10,0 litros de soro caseiro, sabendo-se que na sua

composição utiliza-se 11,0g/L de sacarose e que a concentração de cloreto de sódio é 0,06M. 20)Um fertilizante de larga utilização é o nitrato de amônio, de fórmula NH4NO3. Para uma determinada

cultura, o fabricante recomenda a aplicação de 1L de solução de nitrato de amônio de concentração 0,5mol.L-1 por m2 de plantação. A figura a seguir indica as dimensões do terreno que o agricultor utilizará parao plantio:

A massa de nitrato de amônio, em quilogramas, que o agricultor deverá empregar para fertilizar sua cultura,de acordo com a recomendação do fabricante, é igual a:

a) 120 b) 150 c) 180 d) 200

21) A amônia vendida nas farmácias é uma solução aquosa de NHƒ, conforme o equilíbrio químico a seguir: NH3 + H2O → NH4

+2 + OH-

A densidade desta solução concentrada, que contém 28% em peso de NH3, é de 0,90g/mL. A concentraçãomolar aproximada da solução é: (Massas atômicas: H = 1u; N = 14u) a) 1482,3 b) 741,2 c) 14,8 d) 7,41 e) 0,0148

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22) Foram misturados 50mL de solução aquosa 0,4 molar de ácido clorídrico, com 50mL de solução dehidróxido de cálcio, de mesma concentração. a) Ao final da reação, o meio ficará ácido ou básico? Justifique sua resposta com cálculos. b)Calcule a concentração molar do reagente remanescente na mistura. 23) 50mL de uma solução “y” mol/L de KOH são preparados a partir de 10mL de uma solução estoque deKOH “x” mol/L. A solução diluída é colocada para reagir com H‚SO4 0,5mol/L, consumindo 40mL do ácido. Osvalores, em mol/L, de x e y são, respectivamente, iguais a:

a) x = 0,8 ; y = 1 b) x = 1 ; y = 8 c) x = 2 ; y = 0,4 d) x = 4 ; y = 0,8 e) x = 8 ; y = 2 24) A solução de um certo sal tem a concentração de 30% em peso. A massa de água necessária para diluí-la a 20% em peso é: a) 25 g b)) 50 g c) 75 g e) 150 g d) 100 g

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Termoquímica 25) Mudanças de estado físico e reações químicas são transformações que produzem variações de energia. As equações termoquímicas a seguir exemplificam algumas dessas transformações e suas correspondentesvariações de energia ocorridas a 25°C e 1 atm.

I) H2O (l) → H2O (v) ΔH = 44,0 kJ . mol–1

II) C2H5OH (l) → C2H5OH (v) ΔH = 42,6 kJ . mol–1 III) C‚H5OH (l) + 3 O2 (g)?→?2 CO2 (g) + 3 H2O (l) ΔH = –x kJ . mol–1

IV) C2H5OH (v) + 3 O2 (g)?→?2 CO2 (g) + 3 H2O (v) ΔH = –y kJ . mol–1 Classifique a equação I quanto ao aspecto termoquímico e identifique o tipo de ligação intermolecularrompida na transformação exemplificada pela equação II. 26) Na série homóloga dos álcoois, os quatros primeiros são: metanol, etanol, propanol e butanol. Dentre aspropriedades apresentadas por esses compostos, destacam-se a combustão e a grande solubilidade na água.Com o objetivo de comprovar a qualidade de um combustível, foi determinado seu teor de etanol em umaamostra. Foram totalmente queimados 287,5 g de álcool hidratado, o que resultou na liberação de 1.632 kcal,a 25 °C e 1 atm. A tabela a seguir fornece os valores das entalpias-padrão de formação nas condições daexperiência.

a) Determine a porcentagem da massa de etanol contida na amostra de álcool hidratado. b) Para comparar as solubilidades do etanol e do butanol puros, foram preparadas duas amostras contendoas mesmas quantidades dessas substâncias, dissolvidas separadamente em 1 L de água pura, àtemperatura ambiente. Aponte em que amostra a fração de álcool solubilizada é maior e justifique sua resposta.

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27) Considere as informações:

I) A + B → C + D ΔHº = –10,0 kcal II) C + D → E ΔHº = +15,0 kcal

Calcule o ΔHº para cada uma das reações a seguir: a) C + D → A + B b) 2C + 2D → 2A + 2B c) A + B → E

28) Considere a reação de fotossíntese (ocorrendo em presença de luz e clorofila) e a reação de combustão

da glicose representadas a seguir:

6CO‚(g) + 6H‚O(Ø) ë C†H�‚O†(s) + 6O‚(g)

C†H�‚O†(s) + 6O‚(g) ë 6CO‚(g) + 6H‚O(Ø)

Sabendo-se que a energia envolvida na combustão de um mol de glicose é de 2,8x10§J, ao sintetizar meio

mol de glicose, a planta:

a) libera 1,4 x 10§ J. b) libera 2,8 x 10§ J. c) absorve 1,4 x 10§ J.

d) absorve 2,8 x 10§ J. e) absorve 5,6 x 10§ J.

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29) A figura a seguir apresenta a variação da entalpia ao longo do caminho de uma reação.

a) Determine o valor da entalpia desta reação, classificando-a como endotérmica ou exotérmica. b) Explique qual o efeito de um catalisador sobre a energia de ativação e sobre a entalpia da reação.

30) Em aluminotermia, o alumínio, além de reduzir o óxido de ferro III a ferro metálico, se oxida a óxido dealumínio. Para esse processo, dados:

ΔHº Fe2O3 = –197,3 kcal/mol ΔHº Al2O3 = –400,5 kcal/mol

a) Dê a reação devidamente balanceada. b) Calcule a quantidade de calor envolvida na reação quando dois mols de óxido de ferro III reagem comalumínio? c) Indique se a reação, em função do tipo de calor envolvido, é endotérmica ou exotérmica e, emseguida, justifique essa resposta.

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31) Nos motores de combustão interna, o sulfeto de hidrogênio, presente em combustíveis, é convertido nopoluente atmosférico óxido de enxofre IV, como mostra sua equação de combustão abaixo.

H2S (g) + 3/2O2 (g) → SO2 (g) + H2O(l)

O sulfeto de hidrogênio é extraído dos combustíveis por um solvente que possui baixa polaridademolecular e natureza ácido-básica oposta à sua.

As entalpias-padrão de formação de substâncias participantes na combustão do sulfeto de hidrogênio

são fornecidas adiante.

O valor da entalpia-padrão de combustão do sulfeto de hidrogênio em kJ . mol–1 é igual a:

a) –562 c) –1124 b) –602 d) –1204

32) Os hidrocarbonetos isômeros antraceno e fenantreno diferem em suas entalpias (energias). Esta diferençade entalpia pode ser calculada, medindo-se o calor de combustão total desses compostos em idênticascondições de pressão e temperatura. Para o antraceno, há liberação de 7060 kJ mol–1 e para o fenantreno, háliberação de 7040 kJ mol–1. Sendo assim, para 10 mols de cada composto, a diferença de entalpia é igual a

a) 20 kJ, sendo o antraceno o mais energético. b) 20 kJ, sendo o fenantreno o mais energético. c) 200 kJ, sendo o antraceno o mais energético. d) 200 kJ, sendo o fenantreno o mais energético. e) 2000 kJ, sendo o antraceno o mais energético.

33) As equações químicas a seguir representam reações de síntese, realizadas em diferentes condições, paraa obtenção de uma substância hipotética XY.

I) X2 (g) + Y2 (g) → 2 XY (l) + Q1 II) X2 (g) + Y2(g) → 2 XY (s) + Q2 III) X2 (g) + Y2(g) → 2 XY (g) + Q3

Considere Q1, Q2 e Q3 as quantidades de calor liberadas, respectivamente, nas reações I, II e III. A relaçãoentre essas quantidades está expressa na seguinte alternativa:

a) Q1 > Q2 > Q3 b) Q2 > Q1 > Q3 c) Q3 > Q1 > Q2 c) Q3 > Q2 > Q1

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34) O índice de nutrição alimentar de um país é medido pela quantidade de proteína (nitrogênio) ingerida porum indivíduo. Entretanto, para a produção de energia diária, os carboidratos são bons alimentos (fonte) e, autilização da glicose pelas células implica sua oxidação por meio de uma série de reações que podem serassim resumidas:

C6H12O6 + 6 O2 → 6 CO2 + 6 H2O + calor

Essa reação pode ser classificada como: a) simples troca b) endotérmica c) adição d) substituição e) exotérmica

35) Percebe-se, aproximadamente no 140 dia do ciclo menstrual, que a temperatura corporal da mulheraumenta ligeiramente, indicando que está ocorrendo a ovulação. É o chamado "período fértil". O aumento datemperatura é atribuído a um aumento da atividade metabólica, produzindo energia, que é liberada sob aforma de calor.Sabendo-se que ΔH = Hp – Hr, as reações metabólicas que ocorrem no período fértil da mulhersão classificadas como:

a) exotérmicas: Hr < Hp b) endotérmicas: Hr = Hp c) endotérmicas: Hr ≥ Hp d) exotérmicas: Hr > Hp e) exotérmicas: Hr ≤ Hp

36) Ao se misturar 20 mL de água com 10 mL de ácido sulfúrico concentrado, a temperatura sobe de 25°Cpara 80°C logo após a adição do ácido.Isso ocorre devido à:

a) dissociação do ácido na água ser endotérmica. b) dissociação do ácido na água ser exotérmica. c) precipitação ser endotérmica. d) precipitação ser exotérmica. e) formação de gases.

37) O H2SO4 é uma substância tão importante, devido ao seu extenso uso em processos industriais, que aquantidade de ácido sulfúrico produzido anualmente por um país é um dos indicadores de seu nível dedesenvolvimento. As reações que descrevem um dos processos de obtenção desse ácido e suas respectivas entalpias a 25°Csão:

S(s) + O2 (g) → SO2(g) ΔH = –297 kJ

SO2 (g) + 1/2 O2 (g) → SO3 (g) ΔH = –99 kJ

SO3 (g) + H2O (l) → H2SO4 (l) ΔH = –x kJ

Sabendo–se também que

H2 (g) + 1/2 O2 (g) → H2O(l) ΔH= –286kJ Sabendo-se que o ΔHf do H2SO4 a 25°C é igual a –814 kJ/mol, calcule o valor de x.

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38) Considere o equilíbrio e os dados adiante:

Calcule, usando as energias de ligação, o valor do ΔH da reação de formação de 1 mol de B, apartir de A.

39) O propeno (ΔH0 = + 5 kcal . mol–1), um composto utilizado largamente em síntese orgânica, produzpropano (ΔH0 = –25 kcal . mol–1), por redução catalítica, de acordo com a reação a seguir. Observe, na tabela, os valores aproximados das energias de ligação nas condições–padrão.

Calcule o valor da energia de dissociação para um mol de ligações H – H, em kcal . mol–1 .

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40) Por “energia de ligação” entende–se a variação de entalpia (? H) necessária para quebrar um mol de umadada ligação. Este processo é sempre endotérmico (? H > 0). Assim, no processo representado pela equação CH4 (g) = C (g) + 4 H (g); ΔH = 1663 kJ/mol, são quebrados 4 mols de ligações C–H, sendo aenergia de ligação, portanto, 416 kJ/mol. Sabendo–se que no processo C2H6 (g) = 2 C (g) + 6 H (g); ΔH = 2826 kJ/mol são quebradas ligações C–C e C–H, qual o valorda energia de ligação C–C? Indique os cálculos com clareza. 41) A hidrazina (H2N–NH2) tem sido utilizada como combustível em alguns motores de foguete. A reação decombustão que ocorre pode ser representada, simplificadamente, pela seguinte equação:

H2N – NH2 (g) + O2 (g) → N2 (g) + 2 H2O (g) A variação de entalpia dessa reação pode ser estimada a partir dos dados de entalpia dasligações químicas envolvidas. Para isso, considera–se uma absorção de energia quando a ligaçãoé rompida, e uma liberação de energia quando a ligação é formada. A tabela abaixo apresentadados de entalpia por mol de ligações rompidas.

a) Calcule a variação de entalpia para a reação de combustão de um mol de hidrazina. b) Calcule a entalpia de formação da hidrazina sabendo–se que a entalpia de formação daágua no estado gasoso é de –242 kJ mol–1.

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42) Dadas as energias de ligação em kcal/mol: C = C – 147; Cl – Cl – 58; C – Cl – 79; C – H – 99; C – C –83. Calcular a energia envolvida na reação: H2C = CH2 (g) + Cl2 (g) → H2CCl – CH2Cl (g) a)–1.238 kcal b)+1.238 kcal c)+36 kcal d)–36 kcal e)+2.380 kcal 43) O gás cloro (Cl2), amarelo–esverdeado, é altamente tóxico. Ao ser inalado, reage com a água existentenos pulmões, formando ácido clorídrico (HCl), um ácido forte capaz de causar graves lesões internas,conforme a seguinte reação:

Utilizando os dados constantes na tabela anterior, marque a opção que contém o valor correto davariação de entalpia verificada, em KJ/mol. a)+104 b)+71 c)+52 d)–71 e)–104

44) Os romanos utilizavam CaO como argamassa nas construções rochosas. O CaO era misturado com água,produzindo Ca(OH)2, que reagia lentamente com o CO2 atmosférico, dando calcário: Ca(OH)2 (s) + CO2 (g) →CaCO3 (s) + H2O (g)

A partir dos dados da tabela anterior, a variação de entalpia da reação, em kJ/mol, será igual a: a)+138,2 c) –69,1 e) –2828,3 b)+69,1 d) –220,8

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Cinética Química 45) Em um recipiente de um litro foi adicionado um mol de uma substância gasosa A, que imediatamentepassou a sofrer uma reação de decomposição. As concentrações molares de A foram medidas em diversosmomentos e verificou-se que, a partir do décimo minuto, a sua concentração se tornava constante,conforme os dados registrados no gráfico a seguir.

A decomposição de A ocorre segundo a equação:

Com base no exposto determine a velocidade média de decomposição de A durante os primeiros quatrominutos. 46) (UNICAMP-99)A figura abaixo representa, sob o ponto de vista cinético, a evolução de uma reaçãoquímica hipotética na qual o reagente A se transforma no produto B. Das curvas I, II, III e IV, duas dizemrespeito à reação catalisada e duas, à reação não catalisada.

0 1 2 3 4 5 6 0 ,0 0

0 ,0 2

0 ,0 4

0 ,0 6

0 ,0 8

0 ,1 0

IV

III

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açã

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tem p o em u n id a d es arb itrá rias

Quais das curvas representam as concentrações de A e de B, em função do tempo, para a reação nãocatalisada? Indique a curva que se refere à concentração de A e a curva que se refere à concentração de B.

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47) Um analista necessita aumentar o máximo possível a velocidade da reação descrita abaixo. Ele dispõede zinco em placas e zinco em pó, bem como ácido clorídrico 0,1 mol/L e 0,5 mol/L. Quais reagentes eledeve utilizar? Justifique a utilização de cada reagente. Reação:

Zn(sólido) + 2HCl(aquoso) →ZnCl2(aquoso) + H2(gasoso)

48) (UFRJ – específica - 2003)A seguinte série de experimentos, representada esquematicamente a seguir,foi realizada colocando-se, em um mesmo instante, uma massa de 10,35 g de chumbo em três recipientesdistintos (A,B e C), cada um contendo 100 mL de uma solução aquosa de ácido clorídrico, a 25oC.Decorrido um certo intervalo de tempo, foram observados os seguintes fenômenos:

O gráfico abaixo mostra a variação do pH com o tempo, para os experimentos A, B e C. Sabe-se que o pH de uma solução ácida 1M é definido como sendo igual a zero.

Com base no exposto Identifique a curva de variação de pH com o tempo correspondente a cada um dos recipientes A, B e C. Justifique a sua resposta baseado nos conceitos de velocidade de reação.

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Educação sem Fronteiras 49) A equação abaixo:

2SO2g) + O2 (g) 2SO3(g)

descreve a formação de anidrido sulfúrico a partir de anidrido sulfuroso. Admitindo-se que a reação siga a lei da ação das massas determine a variação da velocidade desta reação ao dobrarmos a concentração dos reagentes. 50) O quadro abaixo representa a variação da velocidade de uma reação, descrita pela equação:

xA + yB C + D em função das concentraçõess dos reagentes:

V (mol.s-1) [A] (mol.L-1) [B] (mol.L-1) 1 x 10-3 2 x 10-2 1 x 10-2

16 x 10-3 4 x 10-2 2 x 10-2 5 x 10-4 1 x 10-2 4 x 10-2

Com base no exposto determine x e y admitindo que a reação seja elementar.

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51) (UERJ – específica - 1997) A reação expressa pela equação x X + y Y z Z + w W foi realizada emdiversas experiências nas quais se manteve constante a temperatura. As velocidades de reação forammedidas, variando-se a concentração molar de um dos reagentes e mantendo-se a do outro constante. Osresultados obtidos estão representados no gráfico abaixo:

Em função dos dados apresentados:

A)determine a ordem da reação em relação aos reagentes X e Y, respectivamente. B)calcule o número de vezes em que a velocidade da reação aumenta quando se duplica a concentraçãomolar de Y e se triplica a concentração molar de X. 52)

2A(g) B(g)

A equação representada acima é elementar e, consequentemente, de segunda ordem em relação a A.Decorrido um intervalo de tempo igual a duas vezes a meia-vida (T1/2) desta reação, pergunta-se: T1/2 – tempo necessário para que a concentração do(s) reagente(s) seja(m) reduzida(s) a metade a)Qual o rendimento da reação neste intervalo de tempo? b)Qual a fração molar de A no instante de tempo igual a 2 T1/2

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53) Tetróxido de dinitrogênio se decompõe rapidamente em dióxido de nitrogênio, em condições ambientais.

N2O4 (g) 2NO2 (g)

A tabela mostra parte dos dados obtidos no estudo cinético da decomposição do tetróxido de dinitrogênio,em condições ambientais.

Os valores de x e de y na tabela e a velocidade média de consumo de N2O4 nos 20 µs iniciais devem ser,respectivamente: (A) 0,034, 0,025 e 1,7 × 10–3 mol L–1 µs–1. (B) 0,034, 0,025 e 8,5 × 10–4 mol L–1 µs–1. (C) 0,033, 0,012 e 1,7 × 10–3 mol L–1 µs–1. (D) 0,017, 0,033 e 1,7 × 10–3 mol L–1 µs–1. (E) 0,017, 0,025 e 8,5 × 10–4 mol L–1 µs-1.

Anotações

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Propriedades da matéria

1) Uma mistura constituída de ÁGUA, LIMALHA DE FERRO, ÁLCOOL e AREIA foram submetidos a três processos de separação, conforme fluxograma.

IDENTIFIQUE os processos 1, 2 e 3 e COMPLETE as caixas do fluxograma com os resultados destesprocessos.

2) Um sistema heterogêneo, constituído por uma solução colorida e um sólido esbranquiçado, foi submetido ao seguinte processo de separação.

Com relação a esse processo, a afirmativa FALSA é: a) a operação X é uma filtração. b) o líquido B é uma solução. c) o líquido D é o solvente da solução contida no sistema original. d) o sólido A contém grande quantidade de impurezas. e) uma destilação produz o efeito da operação Y.

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3) Comparando as situações INICIAL e FINAL nos sistemas I, II e III, observa–se:

a) a ocorrência de um fenômeno químico no sistema I. b) a formação de uma mistura no sistema II. c) uma mudança de estado no sistema III. d) a formação de uma mistura no sistema I. e) a ocorrência de um fenômeno químico no sistema II. 4) Associar os métodos (indicados na coluna A) que devem ser utilizados para separar as misturas

(indicadas na coluna B):

Coluna A Coluna B

(1) filtração (I) solução aquosa de NaC?

(2) decantação (II) solução aquosa de acetona

(3) separação magnética

(III) água e areia em suspensão

(4) destilação simples (IV) óleo e água

(5) destilação fracionada (V) ferro e enxofre

a. 1 – IV ; 2 – III ; 3 – V ; 4 – II ; 5 – I b. 1 – III ; 2 – IV ; 3 – V ; 4 – I ; 5 – II c. 1 – I ; 2 – V ; 3 – III ; 4 – II ; 5 – IV d. 1 – II ; 2 – IV ; 3 – III ; 4 – V ; 5 – I e. 1 – III ; 2 – IV ; 3 – V ; 4 – II ; 5 – I 5) Um professor realizou várias experiências (a 20°C e 1 atm) e organizou a seguinte tabela:

Substância PF(oC) PE(oC) Densidade (g/cm3)

Solubilidade em água (a 20oC)

A 115 200 2,0 Insolúvel

B –10 15 0,4 Insolúvel

C –30 60 0,8 Solúvel

D –300 –188 0,6 Insolúvel

E 12 95 1,2 Insolúvel De acordo com a tabela, assinale a afirmativa INCORRETA: a) O estado físico da substância D, à temperatura ambiente, é gasoso. b) Se misturarmos a substância B com a substância D, à temperatura ambiente, forma–se uma mistura

homogênea. c) A substância mais volátil, à temperatura ambiente, é a A. d) Se misturarmos as substâncias A, C e água, forma–se um sistema difásico. e) O processo mais adequado para separarmos uma mistura da substância C com a água, à

temperatura ambiente, é destilação simples.

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6) Têm as seguintes misturas: I. areia e água, II. álcool (etanol) e água, III. sal de cozinha (NaCl) e água, neste caso uma mistura homogênea.

Cada uma dessas misturas foi submetida a uma filtração em funil com papel e, em seguida, o líquido resultante (filtrado) foi aquecido até sua total evaporação. Pergunta–se: a) Qual mistura deixou um resíduo sólido no papel após a filtração? O que era esse resíduo? b) Em qual caso apareceu um resíduo sólido após a evaporação do líquido? O que era esse resíduo?

7) Assinale a alternativa correta: a. Todo sistema homogêneo é uma mistura homogênea. b. Todo sistema heterogêneo é uma mistura heterogênea c. Todo sistema heterogêneo é monofásico d. Todo sistema homogêneo é polifásico e. Todo sistema heterogêneo pode ser uma mistura heterogênea ou uma substância pura em

mais de um estado físico 8) Considere as seguintes proposições: I. Não existe sistema polifásico formado somente por vários gases ou vapores. II. A água é uma mistura de hidrogênio e oxigênio. III. Todo sistema homogêneo é uma mistura homogênea. IV. Existe sistema monofásico formado por vários sólidos. V. Todo sistema polifásico é uma mistura heterogênea. São VERDADEIRAS as afirmações: a. I, II e III b. I e II apenas c. I e IV apenas d. III, IV e V

9) As transformações que ocorrem em um sistema podem ou não ocasionar alteração na constituição da matéria envolvida. Observe a seqüência abaixo e classifique cada fenômeno descrito:

a) Digestão de um alimento b) Formação de um iceberg c) Queima de fogos de artifício d) Transformação do gelo em água e) Sublimação do iodo sólido f) Formação da água a partir de hidrogênio e oxigênio. g) Formação da ferrugem.

10) Considere as seguintes propriedades de 3 substâncias:

substância A: quando colocada dentro de um recipiente move–se sempre para o fundo; substância B: quando colocada dentro de um recipiente espalha–se por todo o espaço

disponível; substância C: quando colocada dentro de um recipiente, move–se sempre para o fundo,

espalhando–se e cobrindo–o. Os estados físicos das substâncias A, B e C são, respectivamente: a) líquido, sólido e gasoso. b) gasoso, sólido e líquido. c) sólido, gasoso e líquido. d) sólido, líquido e gasoso. e) gasoso, líquido e sólido.

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11) O processo de recristalização, usado na purificação de sólidos, consiste no seguinte: I. Dissolve–se o sólido em água quente, até a saturação. II. Resfria–se a solução até que o sólido se cristalize.

Os gráficos a seguir mostram a variação, com a temperatura, da solubilidade de alguns compostos em água.

O método de purificação descrito acima é mais eficiente e menos eficiente, respectivamente, para quais substâncias?

12) Para a remoção do óleo derramado na Baía de Guanabara, um dos processos utilizados consistiu na adição de um produto semelhante à serragem que, após a aplicação, é facilmente recolhido, podendo ser despejado em aterros sanitários.

A função desse produto, em relação ao óleo derramado, é de favorecer a: a. solubilização b. evaporação c. dispersão d. absorção

13) A aguardente é uma bebida alcoólica obtida da cana–de–açúcar. A charge abaixo poderia transmitir a idéia de que se trata de uma substância pura.

(HARTWIG, et alli. “Química: química geral e inorgânica”.

São Paulo: Scipione, 1999.)Na realidade, ela não é uma substância pura, mas sim uma mistura homogênea. Isso pode ser comprovado pelo seguinte processo físico de separação: a) filtração b) destilação c) decantação d) centrifugação

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Educação sem Fronteiras14) Um sistema heterogêneo, S, é constituído por uma solução colorida e um sólido branco.

O sistema foi submetido ao seguinte esquema de separação:

Ao se destilar o líquido W, sob pressão constante de 1 atmosfera, verifica-se que sua temperatura de ebulição variou entre 80 e 100°C. Indique qual das seguintes afirmações é correta. a) A operação I é uma destilação simples. b) A operação II é uma decantação. c) O líquido colorido Y é uma substância pura. d) O líquido incolor W é uma substância pura. e) O sistema heterogêneo S tem, no mínimo, 4 componentes

15) Foram acondicionados, acidentalmente, em um único recipiente, areia, sal de cozinha,

água e óleo de soja. Para separar adequadamente cada componente dessa mistura, devem ser feitas as seguintes operações:

a. destilação simples seguida de decantação e centrifugação. b. destilação simples seguida de centrifugação e sifonação. c. filtração seguida de destilação simples e catação. d. filtração seguida de decantação e destilação simples. e. decantação seguida de catação e filtração 16) Uma maneira rápida e correta de separar uma mistura com ferro, sal de cozinha e arroz, é, na

seqüência: a) filtrar, aproximar um imã, adicionar água e destilar. b) adicionar água e destilar. c) aproximar um imã, adicionar água, filtrar e destilar. d) destilar, adicionar água, aproximar um imã. e) impossível de separá–la.

17) O tratamento da água que a CAGECE distribui, consiste basicamente na adição de sulfato de

alumínio, cloro, flúor e outros produtos químicos. A água, após o tratamento, classifica–se como: a. mistura homogênea b. mistura heterogênea c. mistura azeotrópica d. substância simples

Atomística 18) Um átomo A, com número de massa 56, é isótopo dos átomos Y e Z, cujos números atômicos são

respectivamente, 2x + 6 e x + 16. Assim, qual será o número atômico de A?

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19) Os sais de Cr+6 são, em geral, solúveis no pH biológico e, portanto, têm fácil penetração. Daí a sua toxidade para seres humanos. Por outro lado, os compostos de Cr+3 são pouco solúveis nesse pH, o que resulta em dificuldade de passar para o interior das células. Indique a opção que corresponde à configuração eletrônica do íon Cr+3.

Dado: [Ar] Argônio (Z = 18) a) [Ar] 4s2 3d1

b) [Ar] 3d2

c) [Ar] 3d3

d) [Ar] 4s2 3d4

e) [Ar] 4s1 3d5

20) Para as espécies químicas a seguir, determine o seu número de prótons, elétrons, nêutrons e massa.

a. 15P31 b. 23

11Na+ c. 9

19F−

21) Um elemento hipotético X possui 13 cargas positivas em seu núcleo. Sabendo que os íons X+3 e Y-2

são espécies isoeletrônicas, determine o número atômico de Y.

22) Complete as HORIZONTAIS: 1. Partícula fundamental que não apresenta carga.

2. Um íon sempre apresenta _________ .

3. Partícula emitida pelo núcleo radioativo.

4. Partícula de carga positiva existente no núcleo.

5. Apresenta número atômico igual a 11.

6. Átomos que apresentam os mesmos números atômicos e números de massa diferentes.

1. U

2. R

3. Â

4. N

5. I

6. O

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23) O silício, elemento químico mais abundante na natureza depois do oxigênio, tem grande aplicação na indústria eletrônica. Por outro lado, o enxofre é de importância fundamental na obtenção do ácido sulfúrico. Sabendo-se que o átomo 14Si28 é ISÓTONO de uma das variedades isotópicas do enxofre, 16S, pode-se afirmar que este átomo tem número de massa

a) 14 b) 16 c) 30 d) 32 e) 34 24) Observe os esquemas abaixo, que representam experimentos envolvendo raios catódicos.

(Adaptado de HARTWIG, D. R. e outros. "Química geral e inorgânica." São Paulo: Scipione. 1999.)

Desses experimentos resultou a descoberta de uma partícula subatômica. As propriedades massa e carga elétrica dessa partícula apresentam, respectivamente, a seguinte caracterização: a. igual a zero; igual a zero b. igual a zero; maior que zero c. diferente de zero; igual a zero d. diferente de zero; menor que zero

25) Uma manifestação comum nas torcidas de futebol é a queima de fogos de artifício coloridos, de acordo com as cores dos times. Fogos com a cor vermelha, por exemplo, contêm um elemento que possui, como mais energético, um subnível s totalmente preenchido.

Assim, a torcida do América, para saudar o seu time com um vermelho brilhante, deverá usar fogos contendo o elemento cujo símbolo é: a) Cd b) Co c) K d) Sr 26) Em 1911, o cientista Ernest Rutherford realizou um experimento que consistiu em bombardear uma

finíssima lâmina de ouro com partículas, emitidas por um elemento radioativo, e observou que: a. a grande maioria das partículas atravessava a lâmina de ouro

sem sofrer desvios ou sofrendo desvios muito pequeno; b. uma em cada dez mil partículas era desviada para um ângulo

maior do que 90°.

Com base nas observações acima, Rutherford pôde chegar à seguinte conclusão quanto à estrutura do átomo:

a) o átomo é maciço e eletricamente neutro b) a carga elétrica do elétron é negativa e puntiforme c) o ouro é radioativo e um bom condutor de corrente elétrica d) o núcleo do átomo é pequeno e contém a maior parte da massa

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27) A figura a seguir foi proposta por um ilustrador para representar um átomo de lítio (Li) no estado fundamental, segundo o modelo de Rutherford-Bohr.

Constatamos que a figura está incorreta em relação ao número de: a) nêutrons no núcleo b) partículas no núcleo c) elétrons por camada d) partículas na eletrosfera 28) A tabela seguinte fornece o número de prótons e o número de nêutrons existentes no núcleo de

vários átomos.

Átomos Nº de prótons

Nº de nêutrons

a 34 45

b 35 44

c 33 42

d 34 44

Considerando os dados desta tabela, o átomo isótopo de a e o átomo que tem o mesmo número de massa do átomo a são, respectivamente: a. d e b d) b e d b. c e d e) c e b c. d e c

29) Alguns estudantes de Química, avaliando seus conhecimentos relativos a conceitos básicos para o

estudo do átomo, analisam as seguintes afirmativas: I. Átomos isótopos são aqueles que possuem mesmo número atômico e números de massa

diferentes. II. O número atômico de um elemento corresponde à soma do número de prótons com o de nêutrons. III. O número de massa de um átomo, em particular, é a soma do número de prótons com o de

elétrons. IV. Átomos isóbaros são aqueles que possuem números atômicos diferentes e mesmo número de

massa. V. Átomos isótonos são aqueles que apresentam números atômicos diferentes, números de massa

diferentes e mesmo número de nêutrons. Esses estudantes concluem, corretamente, que as afirmativas verdadeiras são as indicadas por: a. I, III e V d) II, III e V b. I, IV e V e) II e V c. II e III

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30) O íon Fe+2, que faz parte da molécula de hemoglobina e integra o sistema de transporte de oxigênio

no interior do corpo, possui 24 elétrons e número de massa igual a 56. Calcule o número atômico e o número de nêutrons desse íon.

31) Considere um átomo cujo número atômico é igual a 19, que forma cátion ao participar de reações químicas, e apresenta 20 nêutrons. Determine os seus números de elétrons, prótons e de massa .

32) "Os implantes dentários estão mais seguros no Brasil e já atendem às normas internacionais de qualidade. O grande salto de qualidade aconteceu no processo de confecção dos parafusos e pinos de titânio, que compõem as próteses. Feitas com ligas de titânio, essas próteses são usadas para fixar coroas dentárias, aparelhos ortodônticos e dentaduras, nos ossos da mandíbula e do maxilar."

("Jornal do Brasil", outubro 1996.) Considerando que o número atômico do titânio é 22, sua configuração eletrônica será: a. 1s2 2s2 2p6 3s2 3p3

b. 1s2 2s2 2p6 3s2 3p5

c. 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2

d. 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d2

e. 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6

33) Anualmente cerca de dez milhões de pilhas, além de 500 mil baterias de telefone celular, são jogadas fora na cidade do Rio de Janeiro. (...) elas têm elementos tóxicos, como o CHUMBO, MERCÚRIO, ZINCO e MANGANÊS, que provocam grandes problemas de saúde."

(O Globo, 05/01/98).

Dos quatro elementos citados, aqueles que possuem, em sua distribuição eletrônica, elétrons desemparelhados são: a. Pb e Zn.

b. Pb e Mn.

c. Hg e Pb.

d. Hg e Zn.

e. Zn e Mn.

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Isótopos

Isótonos

Isóbaros

20 A Z B 21

44 C Y X

34) "O coração artificial colocado em Elói começou a ser desenvolvido há quatro anos nos Estados

Unidos e já é usado por cerca de 500 pessoas. O conjunto, chamado de Heartmate, é formado por três peças principais. A mais importante é uma bolsa redonda com 1,2 quilo, 12 centímetros de diâmetro e 3 centímetros de espessura, feita de titânio - um metal branco-prateado, leve e resistente."

(Revista "Veja", julho de 1999.)

Entre os metais a seguir, aquele que apresenta na última camada, número de elétrons igual ao do titânio é o:

Dados:

Ti(Z = 22); Ga(Z = 31);

C(Z = 6); Mg(Z = 12);

Na(Z = 11); Xe(Z = 54)

a) C c) Mg b) Na d) Xe c) Ga 35) Dentre as alternativas a seguir, indicar a que contém a afirmação correta. a. Dois átomos que possuem o mesmo número de nêutrons pertencem ao mesmo elemento

químico. b. Dois átomos com o mesmo número de elétrons em suas camadas de valência pertencem

ao mesmo elemento químico. c. Dois átomos que possuem o mesmo número de prótons pertencem ao mesmo elemento

químico. d. Dois átomos com iguais números de massa são isótopos. e. Dois átomos com iguais números de massa são alótropos. 36) Os átomos 3x-5Q e R6x são isótopos. O átomo R possui 44 nêutrons. Qual a distribuição eletrônica da

camada de valência de Q. 37) Quais os números quânticos do elétron diferenciador do enxofre? (z = 16)

38) Considere os seguintes dados referentes aos átomos A, B, e C.

Determine os valores de X, Y e Z respectivamente

39) Um átomo apresenta no último nível um (1), elétron desemparelhado com os seguintes números

quânticos: n = 5, l = 0, ml = 0 e ms = –1/2. Qual o seu número atômico?

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40) EUA BUSCAM SAÍDA ECOLÓGICA PARA O LIXO DA INFORMÁTICA. Washington - O Governo americano e a indústria de informática juntaram esforços para projetar um

"computador verde", totalmente reciclável e com baixo consumo de energia. Com esse projeto os EUA vão tentar resolver um dos seus maiores problemas ambientais, que são os dez milhões de computadores que vão anualmente para o lixo. Esses equipamentos, que a evolução tecnológica torna rapidamente obsoletos, têm componentes tóxicos como o chumbo para a proteção eletromagnética, o arsênico dos circuitos integrados, o cádmio, o mercúrio, o fósforo, o boro e plásticos não recicláveis.

("O Globo") - 22/09/94 O texto refere-se ao problema ecológico causado pela presença de alguns elementos químicos nos computadores, tais como o chumbo, o cádmio, o mercúrio, o fósforo e o boro. a) Classifique cada um desses seis elementos como metal, ametal ou semi-metal. b) Dois desses elementos estão localizados no mesmo grupo da Tabela Periódica. Qual entre os dois

apresenta menor eletronegatividade? Justifique sua resposta.

41. Desde o primeiro trabalho de Mendeleyev, publicado em 1869, foram propostas mais de quinhentas formas para apresentar uma classificação periódica dos elementos químicos. A figura a seguir apresenta um trecho de uma destas propostas, na qual a disposição dos elementos é baseada na ordem de preenchimento dos orbitais atômicos. Na figura, alguns elementos foram propositadamente omitidos.

Linhas

1 H He

2 Li Be

3 B C ? ? F ?

4 ? ?

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a) Identifique os elementos químicos da quarta linha da figura apresentada. b) Identifique o elemento químico de maior potencial de ionização dentre todos os da terceira linha da

figura apresentada.

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42. O desenvolvimento da ciência depende tanto da formulação de teorias quanto de experimentos

rigorosamente realizados; por esse motivo, a produção e a interpretação de dados obtidos experimentalmente deve ser o fundamento básico do ensino da Química.

A tabela a seguir fornece valores experimentais das 1ª, 2ª e 3ª energias de ionização dos cinco únicos metais localizados no segundo e no terceiro períodos da classificação periódica, representados pelas letras A, B, C, D e E.

Elementos

(metais) Energias de ionização em

eV

A 1ª 2ª 3ª

B 6,0 18,8 28,4 C 5,4 75,6 122,4 D 7,6 15,0 80,1 E 9,3 18,2 153,9

Identifique o elemento representado pela letra C e apresente a equação da sua reação com o ácido clorídrico. Escreva a fórmula e classifique o óxido do elemento representado pela letra A.

43. EUA BUSCAM SAÍDA ECOLÓGICA PARA O LIXO DA INFORMÁTICA. W ashington - O Governo americano e a indústria de informática juntaram esforços para

projetar um "computador verde", totalmente reciclável e com baixo consumo de energia. Com esse projeto os EUA vão tentar resolver um dos seus maiores problemas ambientais, que são os dez milhões de computadores que vão anualmente para o lixo. Esses equipamentos, que a evolução tecnológica torna rapidamente obsoletos, têm componentes tóxicos como o chumbo para a proteção eletromagnética, o arsênico dos circuitos integrados, o cádmio, o mercúrio, o fósforo, o boro e plásticos não recicláveis.

("O Globo") - 22/09/94 O texto refere-se ao problema ecológico causado pela presença de alguns elementos químicos nos computadores, tais como o chumbo, o cádmio, o mercúrio, o fósforo e o boro. a) Classifique cada um desses seis elementos como metal, ametal ou semi-metal. b) Dois desses elementos estão localizados no mesmo grupo da Tabela Periódica. Qual entre os dois apresenta menor eletronegatividade? Justifique sua resposta

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44.Desde o primeiro trabalho de Mendeleyev, publicado em 1869, foram propostas mais de quinhentas formas para apresentar uma classificação periódica dos elementos químicos. A figura a seguir apresenta um trecho de uma destas propostas, na qual a disposição dos elementos é baseada na ordem de preenchimento dos orbitais atômicos. Na figura, alguns elementos foram propositadamente omitidos.

Linhas

1 H He

2 Li Be

3 B C ? ? F ?

4 ? ?

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Identifique os elementos químicos da quarta linha da figura apresentada. Identifique o elemento químico de maior potencial de ionização dentre todos os da terceira linha da figura apresentada.

45.O desenvolvimento da ciência depende tanto da formulação de teorias quanto de experimentos rigorosamente realizados; por esse motivo, a produção e a interpretação de dados obtidos experimentalmente deve ser o fundamento básico do ensino da Química. A tabela a seguir fornece valores experimentais das 1ª, 2ª e 3ª energias de ionização dos cinco únicos metais localizados no segundo e no terceiro períodos da classificação periódica, representados pelas letras A, B, C, D e E.

Elementos

(metais) Energias de ionização em

eV

A 1ª 2ª 3ª

B 6,0 18,8 28,4 C 5,4 75,6 122,4 D 7,6 15,0 80,1 E 9,3 18,2 153,9

a. Identifique o elemento representado pela letra C e apresente a equação da sua reação com o ácido

clorídrico. b. Escreva a fórmula e classifique o óxido do elemento representado pela letra A.

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46. Considere as seguintes configurações eletrônicas dos átomos dos elementos químicos genéricos (X, Y, Z, T e V), no estado fundamental:

X : 1s2.

Y : 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2.

Z : 1s2 2s2 2p6 3s2

T : 1s2 2s2 2p6

V : 1s2 2s2 2p5

a) Indique o elemento que apresenta a maior energia de ionização e o elemento que apresenta a menor energia de afinidade. Justifique.

b) Estabeleça a ordem crescente de raios das espécies isoeletrônicas: V-1, Z+2 e T. Justifique. c) Qual dentre os elementos (X, Y, Z, T e V) é o mais eletronegativo? Justifique. d) Dentre os elementos (X, Y, Z, T e V), quais apresentam, para o elétron mais energético, o número

quântico secundário igual a 1. Explique.

47. A tabela de Mendeleiev, ao ser apresentada à Sociedade Russa de Química, possuía espaços em branco, reservados para elementos ainda não descobertos.

A tabela foi assim organizada a partir da crença de Mendeleiev na existência de relações periódicas entre as propriedades físico-químicas dos elementos. Dois dos elementos, então representados pelos espaços em branco, hoje são conhecidos como gálio (Ga) e germânio (Ge). Mendeleiev havia previsto, em seu trabalho original, que tais elementos teriam propriedades químicas semelhantes, respectivamente, a: a. estanho (Sn) e índio (In) b. alumínio (Al) e silício (Si) c. cobre (Cu) e selênio (Se) d. zinco (Zn) e arsênio (As)

48. Dois íons monoatômicos hipotéticos, formados por um mesmo elemento químico, são identificados

como A e B. Se o raio do íon A é maior que o raio do íon B, A e B podem ser, respectivamente, classificados como:

a. ânion bivalente e ânion trivalente b. cátion bivalente e ânion bivalente c. ânion trivalente e cátion monovalente d. cátion bivalente e cátion monovalente

49. As configurações eletrônicas no estado fundamental dos átomos dos elementos E1, E2 e E3 são: E1 1s2 2s2 2p6 3s1

E2 1s2 2s2 2p6 3s2 3p5

E3 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s1.

A alternativa correta é: a. o elemento E2 tem maior raio atômico que o elemento E1 b. o elemento E1 tem maior potencial de ionização que o elemento E3 c. o elemento E3 tem maior afinidade eletrônica que o elemento E2 d. os elementos E1 e E2 são metais e o elemento E3 é não metal e. o elemento E3 e os íons 2E− ‚ e 1E+ são isoeletrônicos 50. Relativamente aos elementos A, B, C e D cujos átomos, no estado fundamental, possuem números

atômicos respectivamente 12, 17, 20 e 35, assinale a alternativa falsa: a. D pertence ao 4° período, família 7A b. A e C são metais alcalinos terrosos c. a fórmula do composto resultante da união de A e B é AB‚ d. C possui o maior raio atômico e. B apresenta o menor potencial de ionização

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51. Sejam os seguintes átomos neutros representados pelos símbolos hipotéticos X, Y, Z e T e suas respectivas configurações eletrônicas:

X : 1s2

Y : 1s2 2s2

Z : 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 .

T : 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2.

O que apresenta maior energia de ionização é: a. Y b. Z c. T d. X

Anotações

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Ligações químicas 52. Um professor decidiu decorar seu laboratório com um “relógio de Química” no qual, no lugar das horas,

estivessem alguns elementos, dispostos de acordo com seus respectivos números atômicos, como mostra a figura.

Indique a fórmula mínima e o tipo de ligação do composto eletricamente neutro que é formado quando o relógio do professor marca: a) nove horas; b) sete horas e cinco minutos. 53. As fórmulas dos compostos químicos não são frutos do acaso. A capacidade de um átomo

combinar-se com outro depende da disponibilidade de receber, doar ou compartilhar elétrons. Qual a fórmula química e o tipo de ligação do composto formado entre: a. Cálcio e Nitrogênio? b. Carbono e Oxigênio?

54. A uréia (CH4N2O2) é o produto mais importante de excreção do nitrogênio pelo organismo humano.

Na molécula da uréia, formada por oito átomos, o carbono apresenta duas ligações simples e uma dupla, o oxigênio uma ligação dupla, cada átomo de nitrogênio três ligações simples e cada átomo de hidrogênio uma ligação simples. Átomos iguais não se ligam entre si. Baseando-se nestas informações, escreva a fórmula estrutural da uréia, representando ligações simples por um traço (–) e ligações duplas por dois traços (=).

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55. A partir das configurações eletrônicas dos átomos constituintes e das estruturas de Lewis, a) determine as fórmulas dos compostos mais simples que se formam entre os elementos:

I. hidrogênio e carbono; II. hidrogênio e fósforo.

b) Qual é a geometria de cada uma das moléculas formadas, considerando-se o número de pares de elétrons?

56. Na produção industrial de panetones, junta-se a massa o aditivo químico U.I. Este aditivo é a

glicerina, que age como umectante, ou seja, retém a umidade para que a massa não resseque demais. A fórmula estrutural da glicerina (propanotriol) é:

a. Represente as ligações entre as moléculas de água e a de glicerina. b. Por que, ao se esquentar uma fatia de panetone ressecado, ela amolece, ficando mais macia?

57. Considere três substâncias CH4, NH3 e H2O e três temperaturas de ebulição: 373K, 112K e 240K.

Levando-se em conta a estrutura e a polaridade das moléculas destas substâncias, pede-se: a. Correlacionar as temperaturas de ebulição às substâncias. b. Justificar a correlação que você estabeleceu.

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58. Tem-se dois elementos químicos A e B, com números atômicos iguais a 20 e 35, respectivamente. a) Escrever as configurações eletrônicas dos dois elementos. Com base nas configurações, dizer a

que grupo de tabela periódica pertence cada um dos elementos em questão. b) Qual será a fórmula do composto formado entre os elementos A e B? Que tipo de ligação existirá

entre A e B no composto formado? Justificar.

59. Nos motores de combustão interna, o sulfeto de hidrogênio, presente em combustíveis, é convertido no poluente atmosférico óxido de enxofre IV, como mostra sua equação de combustão abaixo.

H2S (g) + 3/2 O2 (g) → SO2 (g) + H2O(l)

O sulfeto de hidrogênio é extraído dos combustíveis por um solvente que possui baixa polaridade molecular e natureza ácido-básica oposta à sua. As fórmulas eletrônicas do sulfeto de hidrogênio e do óxido de enxofre IV estão, respectivamente, representadas em:

60. O experimento clássico de Rutherford levou à descoberta do núcleo atômico e abriu um novo

capítulo no estudo da Estrutura da Matéria, ao fazer incidir um feixe de partículas sobre um alvo fixo no laboratório. As partículas desviadas eram observadas com detectores de material cintilante. Experimentos desse tipo são ainda realizados hoje em dia.

Nesse experimento, sulfeto de zinco era o material que cintilava quando recebia o choque das partículas alfa. Outra substância que apresenta excelentes características para detecção de tais partículas, utilizando ainda material cintilante, possui ligação interatômica de caráter predominantemente iônico e é formada por um metal representativo e um ametal. A fórmula dessa outra substância é: a. BaF2 c) SiO2 b. Bel2 d) FeCl2

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61. Os átomos: E, G, J e M apresentam seus respectivos subníveis mais energéticos, que são: E - 3d8

G - 3p4

J - 4f 3

M - 4s1

Com relação a estes dados assinale a alternativa correta: a) G e M formam composto iônico, cuja fórmula é G2M b) o íon J+3 possui como subnível mais energético o 6s2 c) E e J formam composto covalente de fórmula química E2J3 d) o elétron do átomo E, com os números quânticos: n = 4; l = 0; ml = 0 e ms = –1/2, pertence ao

subnível 4s 62. A ligação química entre dois átomos genéricos, X e Y será: a. iônica, se, e somente se, X e Y forem não-metais do grupo 7A. b. covalente, se, e somente se, X for metal alcalino e Y, halogênio. c. covalente normal, se X e Y forem átomos do mesmo não-metal. d. covalente dativa, se formada por pares eletrônicos tendo sempre um elétron de X e outro

de Y. e. covalente coordenada, se X e Y se agruparem em forma de reticulados cristalinos.

63. O nitrogênio gasoso, N2, pode ser empregado na obtenção de atmosferas inertes; o nitrogênio

líquido é utilizado em cirurgias a baixas temperaturas. Qual é o tipo de ligação química existente entre átomos na molécula N2, e que forças intermoleculares unem as moléculas no nitrogênio líquido?

64. A tabela abaixo apresenta pares de elementos químicos e a classificação das suas ligações

interatômicas. Todos os elementos são representativos e não pertencem à família do carbono nem ao grupo dos halogênios.

ELEMENTOS QUÍMICOS CARÁTER PREDOMINANTE DA LIGAÇÃO

I e II covalente I e III iônico II e III iônico

Baseando-se nas informações fornecidas, podemos classificar o elemento químico de número III como: a. metal c) gás nobre b. ametal d) semimetal

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65. A figura abaixo representa o átomo de um elemento químico, de acordo com o modelo de Bohr.

(HARTWIG, D. R. e outros. “Química geral e inorgânica.” São Paulo. Scipione, 1999.)

Para adquirir estabilidade, um átomo do elemento representado pela figura deverá efetuar ligação química com um único átomo de outro elemento, cujo símbolo é: a) C b) F c) P d) S

66. A capacidade que um átomo tem de atrair elétrons de outro átomo, quando os dois formam uma

ligação química, é denominada eletronegatividade. Esta é uma das propriedades químicas consideradas no estudo da polaridade das ligações.

Assinale a opção que apresenta, corretamente, os compostos H‚O, H‚S e H‚Se em ordem crescente de polaridade.

a. H2Se < H2O < H2S d) H2O < H2Se < H2S b. H2S < H2Se < H2O e) H2Se < H2S < H2O c. H2S < H2O < H2Se

67. Para o estudo das relações entre o tipo de ligação química e as propriedades físicas das substâncias

X e Y, sólidas à temperatura ambiente, foi realizado um experimento que permitiu as seguintes constatações:

I. A substância X, no estado sólido, não conduz a corrente elétrica, porém, no estado líquido, a conduz.

II. A substância Y não conduz a corrente elétrica no estado sólido nem no estado líquido. Pode-se, então, concluir que: a. As substâncias X e Y são covalentes. b. As substâncias X e Y são iônicas. c. A substância X é iônica e a substância Y é covalente. d. A substância X é um metal. e. A substância Y é um metal.

68. O leite materno é um alimento rico em substâncias orgânicas, tais como proteínas, gorduras e açúcares, e substâncias minerais como, por exemplo, o fosfato de cálcio. Esses compostos orgânicos têm como característica principal as ligações covalentes na formação de suas moléculas, enquanto o mineral apresenta também ligação iônica.

Assinale a alternativa que apresenta corretamente os conceitos de ligações covalente e iônica, respectivamente. a) A ligação covalente só ocorre nos compostos orgânicos. b) A ligação covalente se faz por transferência de elétrons e a ligação iônica pelo compartilhamento

de elétrons com spins opostos. c) A ligação covalente se faz por atração de cargas entre átomos e a ligação iônica por separação de

cargas. d) A ligação covalente se faz por união de átomos em moléculas e a ligação iônica por união de

átomos em complexos químicos. e) A ligação covalente se faz pelo compartilhamento de elétrons e a ligação iônica por transferência

de elétrons.

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69) Os elementos X e Y têm, respectivamente, 2 e 6 elétrons na camada de valência. Quando X e Y reagem,

forma-se um composto a) covalente, de fórmula XY. b) covalente, de fórmula XY2. c) covalente, de fórmula X2Y3. d) iônico, de fórmula X+2

Y-2. e) iônico, de fórmula X2

+‚Y-2. 70. Analise a posição de alguns elementos na Classificação Periódica (Tabela A) e as suas tendências em formarem ligações químicas (Tabela B), como especificado adiante:

A única opção que relaciona corretamente o elemento químico e sua característica, quando ocorre a possível ligação, é: a) 1D; 2A; 3C; 4F b) 1D; 2B; 3A; 4F c) 1D; 2F; 3E; 4C d) 1D; 2B; 3A; 4E e) 1D; 2F; 3A; 4C

71) O dióxido de carbono (CO2) é um gás essencial no globo terrestre. Sem a presença deste gás, o globo seria gelado e vazio. Porém, quando este é inalado em concentração superior a 10 %, pode levar o indivíduo à morte por asfixia. Este gás apresenta em sua molécula um número de ligações covalentes igual a: a. 4 b) 1 c) 2 d) 3 e) 0 72. Analise o tipo de ligação química existentes nas diferentes substâncias: Cl2, HI, H2O e NaCl, e assinale a alternativa que as relaciona em ordem crescente de seu respectivo ponto de fusão:

a) Cl2 < HI < H2O < NaCl b) Cl2 < NaCl < HI < H2O c) NaCl < Cl2 < H2O < HI d) NaCl < H2O < HI < Cl2 e) HI < H2O < NaCl < Cl2

73. Água e etanol são dois líquidos miscíveis em quaisquer proporções devido a ligações intermoleculares, denominadas:

a) iônicas b) pontes de hidrogênio c) covalentes coordenadas d) dipolo induzido - dipolo induzido

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Educação sem Fronteiras 74. A vitamina C, cuja estrutura é mostrada a seguir, apresenta vários grupos hidrófilos, o que facilita sua dissolução na água. Por esta razão, ao ser ingerida em excesso, é eliminada pelos rins.

Considerando suas atrações interatômicas e intermoleculares, esse caráter hidrossolúvel é justificado pelo fato de a vitamina C apresentar uma estrutura composta de: a. heteroátomos b. íons aglomerados c. dipolos permanentes d. carbonos assimétricos

75. Considere as seguintes interações:

I. CH4 .... CH4 II. HBr ...... HBr III. CH3OH .... H2O As forças intermoleculares predominantes que atuam nas interações I, II e III são, respectivamente:

a. ligação de hidrogênio, dipolo temporário, dipolo permanente b. ligação de hidrogênio, ligação de hidrogênio, dipolo temporário c. dipolo temporário, dipolo permanente, ligação de hidrogênio d. dipolo temporário, ligação de hidrogênio, dipolo permanente e. dipolo permanente, ligação de hidrogênio, dipolo temporário 76.Uma substância polar tende a se dissolver em outra substância polar. Com base nesta regra, indique como será a mistura resultante após a adição de bromo (Br2) à mistura inicial de tetracloreto de carbono (CCl4) e água (H2O). a)Homogênea, com o bromo se dissolvendo completamente na mistura. b)Homogênea, com o bromo se dissolvendo apenas no CCl4. c)Homogênea, com o bromo se dissolvendo apenas na H2O. d)Heterogênea, com o bromo se dissolvendo principalmente no CCl4. e)Heterogênea, com o bromo se dissolvendo principalmente na H2O.

77.A mãe de Joãozinho, ao lavar a roupa do filho após uma festa, encontrou duas manchas na camisa: uma de gordura e outra de açúcar. Ao lavar apenas com água, ela verificou que somente a mancha de açúcar desaparecera completamente. De acordo com a regra segundo a qual “semelhante dissolve semelhante”, assinale a opção que contém a força intermolecular responsável pela remoção do açúcar na camisa de Joãozinho.

a) Ligação iônica. d) Forças de London. b) Ligação metálica. e) Ponte de hidrogênio. c) Ligação covalente polar.

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“(...) o Corpo de Bombeiros de José Bonifácio, a 40km de São José do Rio Preto, interior de São Paulo, foi acionado por funcionários do frigorífico Minerva. O motivo foi um vazamento de amônia.”

(www.globonews.globo.com)78. A amônia (NH3) é um gás à temperatura ambiente. Nesta temperatura suas moléculas

estão pouco agregadas e, no estado líquido, elas estão mais próximas umas das outras. Assinale a opção que indica a interação existente entre suas moléculas no estado líquido.

a) ligação de hidrogênio b) dipolo – dipolo c) dipolo - dipolo induzido d) dipolo induzido - dipolo induzido e) íon - dipolo 79. Considere 4 elementos químicos representados por: X, A, B e C. Sabe-se que:

a. os elementos A e X pertencem ao mesmo grupo da tabela periódica; A, B e C apresentam números atômicos consecutivos, sendo o elemento B um gás nobre

É correto afirmar que: a. o composto formado por A e C é molecular e sua fórmula é AC. b. o composto formado por A e C é iônico e sua fórmula é CA. c. o composto AX apresenta ligação coordenada, sendo sólido a 20°C e 1 atm.

d. os elementos A e X apresentam eletronegatividades idênticas, por possuírem o mesmo número de elétrons na última camada.

e. C é um metal alcalino-terroso e forma um composto molecular de fórmula CX2.

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ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS E  ORDEM DE GRANDEZA 

ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS “Tenho afirmado, muitas vezes, que, quando podemos medir aquilo do qual falamos e exprimi-lo em números, ficamos conhecendo algo referente ao assunto; porém, quando não podemos exprimi-lo em números, nosso conhecimento não é satisfatório nem frutífero; ele pode ser apenas um início de conhecimento, mas nosso pensamento dificilmente terá atingio o estágio científico, qualquer que seja o assunto em questão.”

(William Thompson, Lord Kelvin) Medir uma grandeza física* significa compará-la a um padrão pré-estabelecido. No entanto, a precisão de uma medida depende do tipo de instrumento utilizado. Para qualquer instrumento, sempre existe um erro relativo a cada medida efetuada. Uma medida física, para ser corretamente expressa , deve ser conter os algarismos que formam lidos no instrumento, chamados algarismos significativos exatos, e um único algarismo estimado, chamado de algarismo significativo duvidoso. * Grandeza física é tudo aquilo que pode ser comparado ou medido. Veja o exemplo.

Suponha que um estudante tenha medido o comprimento da barra e anotou o valor L=4,7568cm. É fácil perceber que a indicação é incorreta. Observe, que são lidos na régua, apenas os algarismos 4 e 7 (significativos exatos). A partir daí, todos os outros foram estimados. Como uma medida física não pode conter mais de um algarismo estimado (duvidoso) a indicação correta seria L=4,75cm.

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Nesse caso utiliza-se o processo de arredondamento. Para tal, deve-se igualar o número de casas decimais de todas as parcelas, desprezando os algarismos subseqüentes da seguinte maneira: se o primeiro algarismo a ser descartado for menor ou igual a quatro, simplesmente abandone-o junto aos que o seguem; caso seja maior ou igual a cinco, antes de descartá-lo, deve-se somar uma unidade ao número anterior.

Exemplo 

Suponha que todos os números abaixo, representem medidas de comprimento em metros. As parcelas estão dispostas abaixo, sem se tenha feito o processo de arredondamento. 1674,5 0,0648 98,627 + 645,92 Elas passariam a ser escritas assim

1674,5 0,1 98,6 + 645,9

2419,1

MULTIPLICAÇÃO  E  DIVISÃO  COM  ALGARISMOS 

SIGNIFICATIVOS Procede-se a operação normalmente observando apenas o resultado final. Neste caso, a resposta deve conter o mesmo número de algarismos que medida mais pobre (com o menor número de significativos). Para isso, utiliza-se o processo de arredondamento, descrito anteriormente. Exemplo 

Considere que se queira saber a área de um cômodo de uma casa. Foram obtidas as seguintes medidas: 4,58m e 3,2m. Para tanto, basta que se multiplique os valores das medidas:

3,52 x 2,6 = 9,152 m2

Como o resultado deve conter o mesmo número de significativos da medida mais pobre, deve-se escrevê-lo da seguinte forma

3,52 x 2,6 = 9,2 m2 (com apenas dois algarismos significativos)

NOTAÇÃO CIENTÍFICA Expressar uma medida física em notação científica é escrevê-la da seguinte maneira:

n ⋅ 10x, em que x é um expoente inteiro n é tal que 1 ≤ n < 10.

Observe que o valor de n deve conter o número de algarismos significativos correspondente à medida. A notação científica é necessária pois algumas medidas são muito grandes, ou muito pequenas, em relação às unidades. Veja algumas constantes fundamentais da Física:

Grandeza  Valor 

Velocidade da luz do vácuo 3,00 x 108 m/s

Carga do elétron 1,60 x 10-19C

Número de Avogadro 6,02 x 1023 mol-1

OBSERVAÇÃO É útil expressar o número em notação científica quando se faz a conversão entre unidades de medidas. A rigor, não se deve alterar o número de algarismos significativos ao converter a unidade de uma grandeza.

2,4 km = 2.400m (errado!)

2,4 km = 2,4 x 103m (correto)

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Educação sem FronteirasEmbora, a primeira conversão esteja matematicamente correta, o número de algarismos significativos, que era igual a dois, no início, aumentou para quatro, no final. No segundo caso, os algarismos da potência de dez não são contados como significativos logo, o número de algarismos significativos manteve-se inalterados. Na prática, deve-se ter esse tipo de cuidado apenas quando o problema deixar claro que há a necessidade desse procedimento.

ORDEM DE GRANDEZA Em algumas situações não é possível, ou não é interessante, exprimir uma medida física com seu valor exato. Expressar a duração da vida de uma pessoa, que ainda não morreu, é uma tarefa impossível. No entanto, é possível, analisando alguns fatores biológicos, sociais e econômicos, estimar o tempo de vida dessa pessoa. Da mesma forma, estima-se que a idade do universo esteja entre 10 bilhões e 20 bilhões de anos. Algo em torno de 1010

anos. Nesse caso, a potência de dez fornece uma idéia mais clara de quão antigo é o universo no qual vivemos. A maneira prática para determinar a ordem de grandeza de um número é descrita abaixo. Escreve-se a medida em notação científica, na forma n ⋅ 10x. O raio da terra, por exemplo, é aproximadamente 6.400.000m. Em notação científica, ficaria 6,4 x 106m. Em seguida compara-se o valor de n com 10 ( 3,16≅ ). Se n for maior ou igual, adiciona-se uma unidade na potência de 10; se for menor, a resposta é a própria potência de dez. No caso do raio da Terra, 6,4 > 3,16 , logo a ordem de grandeza seria 107m (106+1). Em resumo,

n ≥ 10 ⇒ ordem de grandeza 10x

n < 10 ⇒ ordem de grandeza 10x+1

OBSERVAÇÃO A escolha do número 10 não é arbitrária. A potência de 10 que se encontra, exatamente entre 100 e 101, é 101/2

( )1210 10 3,16= ≅ .

Anotações

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EXERCÍCIOS DE AULA 1. Um estudante que sabe dar o resultado correto de uma medida leu a temperatura de um paciente como sendo 38,4°C. a) Qual é a menor divisão da escala do termômetro utilizado? b) Quais algarismos dessa medida são significativos? c) Quais algarismos são perfeitamente corretos e qual foi

estimado? 2. Medindo um mesmo comprimento com uma mesma escala, graduada em milímetros, três pessoas deram as seguintes leituras:

A 25 mm B 25,3 mm C 25,38 mm

Quais dessas leituras estão expressas de maneira correta? Por quê? 3. Supondo que as medidas citadas a seguir são resultados de medidas efetuadas corretamente, escreva qual é o número de algarismos significativos de cada uma. a) 28,34 cm - b) 5,008 mm - c) 0,00405 . 10-3 segundos - d) 0,000340 kg - e) 87,000 m - f) 20,57 . 106 horas - 4. Um estudante quer obter o produto entre 253,75 m e 1,2 m. a) Qual é o número de algarismos significativos de cada

medida? b) Qual é o número de algarismos significativos que pode

existir no produto? c) Qual é o resultado correto do produto? 5. Considere os três comprimentos seguintes: dl = 0,521 km; d2 = 5,21 . 10-2 m e d3 = 5,21 . 106 mm. a) Escreva esses comprimentos em ordem crescente. b) Determine a razão d3/d1. 6. Escreva em notação cientítica as medidas a seguir: a) 620 m - b) 0,0750 cm - c) 920 000 005 km - d) 1 991 anos - e) 0,00000502 mm - 7. (Unicamp) O mundo tem, atualmente, 6 bilhões de habitantes e uma disponibilidade máxima de água para consumo em todo o planeta de 9000km3/ano. Sabendo-se que o consumo anual per capita é de 800m3 , calcule: a) o consumo mundial anual de água, em km3; b) a população mundial máxima, considerando-se apenas a disponibilidade mundial máxima de água para consumo. 8. (UFF) O rio Amazonas injeta, a cada hora, 680 bilhões de litros de água no Oceano Atlântico. Esse volume corresponde a cerca de 17% de toda a água doce que chega aos oceanos do planeta, no mesmo intervalo de tempo. Qual a ordem de grandeza do volume total da água doce, em litros, que chega aos oceanos.

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EXERCÍCIOS TAREFA  1. Se um amigo lhe disser que determinada cidade está a três horas do Rio de Janeiro, você concluirá que a ordem de grandeza desta distância em metros deve ser: a) 105 b) 107 c) 109

d) 1011 e) 1013 2. (UERJ)

O acelerador de íons pesados relativísticos de Brookhaven (Estados Unidos) foi inaugurado com a colisão entre dois núcleos de ouro, liberando uma energia de 10 trilhões de elétrons-volt. Os cientistas esperam, em breve, elevar a energia a 40 trilhões de elétrons-volt, para simular as condições do Universo durante os primeiros microssegundos após o Big Bang.

(Ciência Hoje, setembro de 2000)

Sabendo que 1 elétron-volt é igual a 1,6 x 10-19 joules, a ordem de grandeza da energia, em joules, que se espera atingir em breve, com o acelerador de Brookhaven, é: a) 10-8 b) 10-7 c) 10-6 d) 10-5 3. (UERJ) Os 4,5 bilhões de anos de existência da Terra podem ser reduzidos a apenas 1 ano, adotando-se a seguinte escala:

1 minuto = 9 . 103 anos Desse modo, se o aparecimento dos primeiros mamíferos se deu em 16 de dezembro, os primeiros primatas surgem em 25 de dezembro. Utilizando-se a escala, a ordem de grandeza, em séculos, entre estas duas datas é igual a: a) 108 b) 106 c) 104 d) 102 4. (UERJ) Divulgou-se, recentemente, que cientistas brasileiros extraíram átomos de carbono a partir de álcool etílico obtido da cana-de-açúcar. Esses átomos foram agrupados de modo a formar um cristal de diamante. Em sua fabricação são despendidas 24 horas para que se obtenha uma placa de 1 cm2. Suponha que esses cientistas, nas mesmas condições e mantendo o ritmo de produção constante, quisessem produzir uma placa quadrada, com 1 m de lado e mesma espessura da anterior. A ordem de grandeza do tempo necessário, em horas, para que o trabalho seja concluído é: a) 105 b) 104 c) 103 d) 102 5. Alguns experimentos realizados por virologistas demonstram que um bacteriófago (vírus que parasita e se multiplica no interior de uma bactéria) é capaz de formar 100 novos vírus em apenas 30 minutos. Se introduzirmos 1000 bacteriófagos em uma colônia suficientemente grande de bactérias, qual a ordem de grandeza do número de vírus existentes após 2 horas? a) 107 b) 108 c) 109 d) 1010 e) 1011

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6. (UFU-MG) Estudantes efetuaram medidas do comprimento de uma folha de caderno utilizando uma régua milimetrada (a menor divisão é 1 mm). Qual das alternativas abaixo representa a melhor medida possível (mais precisa), obtida com esse tipo de régua? a) 28,4100 cm. b) 2,8410 × 10-2 m. c) 28,4100 mm. d) 0,2841 m. e) 28,410 mm. 7. No decorrer de uma experiência, você precisa calcular a soma e a diferença dos comprimentos de dois pedaços de fio de cobre. Os valores desses comprimentos são respectivamente 12,50 cm e 12,3 cm, medidos com instrumentos de diferentes precisões. Qual das opções oferecidas abaixo expressa a soma e a diferença calculadas, com o número correto de algarismos significativos ?

SOMA (cm) DIFERENÇA (cm) a) 24,80 0,20 b) 24,8 0,2 c) 24,8 0,200 d) 25 0,2 e) 24,8 0,20 8. Deseja-se calcular a área de um terreno retangular que mede 36,5m por 8,0m. A maneira correta de exprimir o valor da área desse terreno é: a) 292,0m2 b) 292m2 c) 2,92 × 102m2 d) 2,9 × 102m2 e) 3 × 102 9. Estudantes de Geografia mediram a área de um terreno encontrando 40.385 m2. Querendo exprimir essa medida com dois algarismos significativos, eles devem escrever: a) 4,0 × 104 m2 b) 40 m2 c) 4,0385 × 104 m2 d) 4,01 × 104 m2 e) 4,0 × 103 m2 10. (UERJ) Considere a informação abaixo:

Se o papel de escritório consumido a cada ano no mundo fosse empilhado, corresponderia a cinco vezes a distância da Terra à Lua.

(Adaptado de Veja, 15/12/99)

Admitindo-se que a distância da Terra à Lua é de 3,8 x 105 Km e que a espessura média de uma folha de papel é de 1,3 x 10-1mm, a ordem de grandeza do número de folhas de papel de escritório consumido a cada ano é: a) 109 b) 1011 c) 1013 d) 1015

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NOÇÕES BÁSICAS DE CINEMÁTICA  A Cinemática estuda os movimentos dos corpos sem se preocupar com que os causou. Antes que se saiba a correta definição de movimento é necessário conhecer alguns termos que serão utilizadas durante o estudo de cinemática.

PONTO MATERIAL E CORPO EXTENSO Quando as dimensões (o tamanho) de um corpo puderem ser desprezadas em relação ao trajeto por ele percorrido, ele será chamado de ponto material ou, simplesmente, partícula. Quando seu tamanho for relevante será denominado corpo extenso.

Neste caso, o trem é considerado corpo extenso porque possui comprimento praticamente igual ao do túnel.

REFERENCIAL, MOVIMENTO  E REPOUSO Referencial é um sistema rígido de coordenadas em relação ao qual é possível determinar as coordenadas (posição) de uma partícula. Na maioria dos exercícios, utiliza-se um corpo de referência e não um referencial propriamente dito. Embora, à primeira vista, a definição seja um pouco confusa, a definição passa a fazer sentido quando se fala, simultaneamente, em movimento, repouso e referencial. Ex.: Suponha que um motorista de táxi se encontre na Avenida Brasil e esteja levando um passageiro ao centro da cidade do Rio de Janeiro. O velocímetro marca, neste instante, 80km/h. Em relação a um poste (corpo de referência), o motorista está em movimento pois sua posição sofre alteração, em relação ao poste, à medida que o tempo passa. Em relação ao passageiro, o mesmo não ocorre. A distância entre o corpo do passageiro e o do motorista não sofre alteração. Diz-se que, em relação ao poste, o motorista está em movimento e, em relação ao passageiro, está em repouso. Um certo ponto material encontra-se em movimento em relação a um certo referencial, quando sua posição variar com o tempo.

IMPORTANTE! O senso comum diz que algo está em movimento quando está “se mexendo”! O conceito físico correto não é esse: você pode estar andando na praia e, mesmo assim, estar em repouso em relação aos seus óculos de sol, se estiverem junto ao seu corpo. Obs.: Quando o referencial não for mencionado subentende-se que seja a Terra.

TRAJETÓRIA É a linha determinada pelas diversas posições que um corpo ocupa no decorrer do tempo. A trajetória depende do referencial adotado.

Um observador parado, no solo, observará a bomba cair segundo uma trajetória parabólica. Para o piloto do avião esta trajetória é retilínea.

HUMOR 

RAMALHO, NICOLAU E TOLEDO. Os fundamentos da física. 8a ed. São Paulo:

Moderna, 2003. TRAJETÓRIA ORIENTADA Para localizar um móvel numa determinada trajetória énecessário que a mesma esteja orientada. Para istobasta escolher uma orientação positiva e, em seguida,definir uma origem (ponto zero da trajetória).

É comum observa-ser os marcos, nas auto-estradas,são colocados de quilômetro em quilômetro. Eles seprestam à localização dos automóveis.

ESPAÇO (S) E VARIAÇÃO DO ESPAÇO (ΔS) A posição que o móvel ocupa na trajetória, em relação a origem, será associada a um número chamado de espaço (s). Esse número não indica se o móvel está em movimento nem quanto percorreu.

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Às 10h45min pode-se afirmar que o valor do

espaço do carro é igual a 270 quilômetros (s=270km.) Define-se variação do espaço (ou deslocamento escalar) a diferença entre o espaço aonde se chega (s) e o espaço de onde se sai (s0).

Δs = s – s0

De acordo com a figura acima o deslocamento escalar entre os instantes 8h e 9h (Δs1) e os instantes entre 9h e 10h (Δs2) são: Δs1 = 170 – 80 = 90km Δs2 = 100 – 170 = -70km Importante! A variação do espaço pode não representar a distância efetivamente percorrida (d), que indica tudo o que o móvel caminhou. Esta é calculada a partir da soma dos módulos de cada deslocamento. Observe:

d = |Δs1| + |Δs2| = 90 + 70 = 160km Velocidade Escalar Média Suponha que um motorista tenha percorrido uma distância de 140km em duas horas, isso equivale a percorrer 70km em uma hora. Nesse caso, diz-se que sua velocidade escalar média foi de 70km/h. Define-se velocidade escalar média com o quociente entre o deslocamento escalar o intervalo de tempo.

0

0

s ssv

t t t−Δ

= =Δ −

Unidades

S.I. m/s

C.G.S. cm/s Outras km/h, m/min, etc.

Dica!

÷3,6

x3,6

m kms h

Ex.: Observe a figura abaixo:

A velocidade escalar média pode ser calculada utilizando a definição:

0

0

s s 2600 2000 600 mv 60 st t 15 5 10− −

= = = =− −

Considerações sobre o sinal da velocidade O sinal da velocidade média depende, exclusivamente, do sinal de Δs, visto que o intervalo de tempo é uma grandeza sempre positiva, daí: Δs > 0 ⇒ vm > 0. O móvel se desloca a favor da orientação da trajetória. Nesse caso, o movimento é chamado progressivo.

Δs < 0 ⇒ vm < 0. O móvel se desloca contrário a orientação da trajetória. Nesse caso, o movimento é chamado retrógrado.

Δs = 0 ⇒ vm = 0. O móvel permanece em repouso ou a sua posição final coincide com a posição inicial.

Velocidade escalar instantânea É a velocidade que o móvel possui em um determinado instante. Ela pode ser obtida fazendo a leitura diretamente no velocímetro de um carro, por exemplo. Matematicamente, define-se a velocidade instantânea como o limite do quociente Δs/Δt quando Δt tende a zero.

t 0

sv lim

tΔ →

Δ=

Δ

Observação A ferramenta matemática limite será estuda no terceiro grau logo, você não precisa se preocupar em aplicar a equação acima. Em física, ela é necessária apenas para definir grandezas instantâneas. Aceleração escalar média Observe a tabela:

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Educação sem FronteirasO instante t= 0 corresponde ao momento em que o cronômetro foi ligado. A partir daí, percebe-se que o valor da velocidade sofre um acréscimo de 4m/s a cada segundo. Esse acréscimo é definido como a aceleração do movimento. A aceleração de um móvel mede a taxa de variação da velocidade em um determinado intervalo de tempo.

0

0

v vva

t t t−Δ

= =Δ −

Utilizando-se os instantes 1s e 4s da tabela apresentada é possível calcular a aceleração desse móvel, que neste caso é constante:

20

0

v v 26 14 12a 4m / s

t t 4 1 3− −

= = = =− −

A aceleração escalar instantânea é definida de modo análogo ao da velocidade escalar instantânea: ela é o limite do quociente Δv/Δt quando Δt tende a zero.

t 0

va lim

tΔ →

Δ=

Δ

Movimento Acelerado e Retardado Quando um móvel desloca-se cada vez mais rápido, dizemos que o movimento é acelerado. Isto equivale, matematicamente a um aumento do módulo do valor da velocidade. Neste caso, aceleração e velocidade possuem o mesmo sinal.

v > 0 e a > 0 ou v < 0 e a < 0 Quando a rapidez de um corpo diminui, dizemos que o movimento é retardado. O que equivale a uma diminuição do módulo da velocidade escalar. Neste caso, aceleração e velocidade possuem sinais contrários.

v > 0 e a < 0 ou v < 0 e a > 0 Observe o esquema abaixo. O sinal da velocidade é sempre positivo pois indica que o móvel está se deslocando sempre a favor da orientação positiva da trajetória. No declive, a aceleração é positiva porque o módulo da velocidade aumenta, o movimento é acelerado. No aclive, o módulo da velocidade diminui, logo o movimento é retardado, portanto, a aceleração deve possuir sinal contrário ao da velocidade.

acelerado retardado v > 0 a >0

v > 0 a < 0

Sentido positivo

Anotações

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EXERCÍCIOS DE AULA  1. Um automóvel passou pelo marco 48km de uma estrada às 13 horas e 12 minutos. A seguir, passou pelo marco 52km da mesma estrada às 13 horas e 16 minutos. Qual a velocidade escalar média do automóvel, entre as passagens pelos dois marcos? 2. (UFRJ) Um maratonista percorre a distância de 42 km em duas horas e quinze minutos. Determine a velocidade escalar média, em km/h, do atleta ao longo do percurso. 3. (CESGRANRIO) Uma pessoa, andando normalmente, tem uma velocidade da ordem de 1m/s. Que distância, aproximadamente, esta pessoa percorrerá, andando durante 15 minutos? 4. Uma composição ferroviária (19 vagões e uma locomotiva) desloca-se a 20m/s. Sendo o comprimento de cada elemento da composição 10m, qual é o tempo que o trem gasta para ultrapassar: a) um sinal? b) uma ponte de 100m de comprimento? 5. Uma cena filmada originalmente a uma velocidade de 40 quadros por segundo, é projetada em “câmera lente” a uma velocidade reduzida de 24 quadros por segundo. A projeção dura 1,0 minuto. Qual a duração real da cena filmada? 6. Durante o teste de desempenho de um novo modelo de automóvel, o piloto de um novo modelo de automóvel, o piloto percorreu a primeira metade da pista na velocidade média de 60km/h e a segunda metade de 90km/h. Qual a velocidade média desenvolvida durante o teste completo, em km/h? 7. Calcule a aceleração escalar média de um automóvel que aumenta sua velocidade de 36km/h para 54km/h, em 2s ? 8. Se a aceleração escalar média de um ponto material é 4m/s2 durante 9s, qual é a variação de velocidade nesse intervalo de tempo? 9. Um móvel se movimenta sobre uma trajetória retilínea e tem velocidade, em função do tempo, indicada pela tabela.

t(s) 0 1 2 3 4

v(m/s) -2 -6 -10 -14 -18

Pedem-se: a) a aceleração média do móvel no intervalo de 0 a 4s. b) classificar o movimento em acelerado ou retardado. 10. Um atleta desloca-se com movimento uniformemente varia. Às 2h 29min 55s a sua velocidade escalar é de 1m/s e, logo a seguir, às 2h 30min 25s, está com 10m/s. Qual a aceleração escalar média, em m/s2?

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EXERCÍCIOS TAREFA  1. (UERJ) Na figura a seguir, o retângulo representa a janela de um trem que se move com velocidade constante e não nula, enquanto a seta indica o sentido de movimento do trem em relação ao solo. Dentro do trem, um passageiro sentado nota que começa a chover. Vistas por um observador em repouso em relação ao solo terrestre, as gotas da chuva caem verticalmente. Na visão do passageiro que está no trem, a alternativa que melhor descreve a trajetória das gotas através da janela é:

2. (PUC-RJ) Você está viajando a uma velocidade de 1km/min. Sua velocidade em km/h é: a) 3600. b) 1/60. c) 3,6. d) 60. e) 1/3600. 3. Dois barcos partem simultaneamente de um mesmo ponto, seguindo rumos perpendiculares entre si. Sendo de 30km/h e 40km/h suas velocidades, sua distância após 6min vale: a) 7km b) 1 km c) 300km d) 5km e) 420km 4. (UERJ) Uma estrada recém-asfaltada entre duas cidades é percorrida de carro, durante uma hora e meia, sem parada. A extensão do percurso entre as cidades é de, aproximadamente: a) 103 m b) 104 m c) 105 m d) 106 m 5. (CESGRANRIO) Um fabricante de automóveis anuncia que determinado modelo atinge 80km/h em 8 segundos (a partir do repouso). Isso supõe uma aceleração escalar média próxima de: a) 0,1m/s2 b) 3m/s2 c) 10m/s2 d) 23m/s2 e) 64m/s2

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6. Partindo do repouso, um avião percorre a pista com aceleração constante e atinge a velocidade de 360km/h em 25s. Qual é o valor da aceleração, em m/s2? a) 9,8 b) 7,2 c) 6,0 d) 4,0 e) 2,0 7. (PUC-RJ) Dois corredores, João e José, aproximam-se da linha de chegada de uma maratona, João tem velocidade 3m/s e está a 30 metros da linha e José tem velocidade 5m/s e está a 40 metros da linha. Indique a resposta correta. a) João vence a corrida e chega 5s à frente de José. b) João vence a corrida e chega 10s à frente de José. c) José vence a corrida e chega a 8s à frente de João. d) José vence a corrida e chega a 2s à frente de João. e) José e João chegam juntos. 8. (UNIRIO) Caçador nato, o guepardo é uma espécie de mamífero que reforça a tese de que os animais predadores estão entre os bichos mais velozes da natureza. Afinal, a velocidade é essencial para os que caçam outras espécies em busca de alimentação. O guepardo é capaz de, saindo do repouso e correndo em linha reta, chegar à velocidade de 72km/h em apenas 2,0 segundos, o que nos permite concluir, em tal situação, ser o módulo de sua aceleração média, em m/s2, igual a: a) 10 b) 15 c) 18 d) 36 e) 50 9. (PUC-RJ) Um túnel tem 1800 metros. Normalmente, os veículos atravessam este túnel com velocidade de 80 km/h. No entanto, quando há obras, a velocidade média dos carros dentro do túnel passa a ser de 20km/h. Qual é o atraso no tempo de viagem dentro do túnel devido a estas obras? a) 9 minutos b) 2 minutos e meio c) 4 minutos e meio d) 5 minutos e 24 segundos e) 1 minuto e 48 segundos 10. Num acelerador de partículas, uma partícula α é lançada com velocidade de 104m/s em trajetória retilínea no interior de um tubo. A partícula saiu do tubo com velocidade de 9 × 104m/s. Sendo a aceleração constante e igual a 109m/s2, o intervalo de tempo em que a partícula permaneceu dentro do tubo foi: a) 0,003s. b) 0,00001s. c) 9 × 10-3s. d) 8 × 10-5s. e) 4 × 10-5s.

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12. Um percurso de 310m deve ser feito por um ônibus em 5h. O primeiro trecho de 100km é percorrido com velocidade média de 50km/h e o segundo trecho de 90km, com velocidade média de 60km/h. Que velocidade média deve ter o ônibus no trecho restante para que a viagem se efetue no tempo previsto?

PARA VOCÊ PENSAR UM POUCO MAIS  1. Dois motoristas partem ao mesmo tempo de uma cidade para outra, pela mesma estrada. Um deles faz a viagem com uma velocidade média de 54km/h e o outro com uma velocidade média de 72km/h. Se um deles chega 0,5 hora antes do outro, qual a distância entre as duas cidades? 2. Partindo do repouso, um móvel atinge a velocidade escalar ×. A metade dessa variação de velocidade é conseguida com a aceleração escalar média de 12m/s2 e a outra metade, com a de 18m/s2. Com que aceleração escalar média é conseguida a variação x da velocidade escalar? 3. (UFRJ) Um senhor estava esperando o trem sentado num banco da estação. Distraidamente, olhou para o chão e viu uma lagartinha que começava a cruzar a lajota retangular do piso de dimensões 40cm x 30cm. O senhor, como não dispunha de relógio, começou a contar suas pulsações enquanto a lagartinha fazia seu trajeto. Ela cruzou a primeira lajota diagonalmente e depois prosseguiu pela junta das lajotas, como indica a figura. O senhor contou ao todo 300 pulsações no trecho entre A e B. Sabendo que seu batimento cardíaco costuma ser, em média, 75 pulsações por minuto, responda:

a) Qual a distância total percorrida pela lagartinha? b) Qual é a velocidade escalar média da lagartinha em cm/s?

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Movimento Retilíneo e Uniforme O movimento de um automóvel cuja indicação do velocímetro é constante e diferente de zero, o de uma pessoa que dá passadas iguais sempre no mesmo ritmo, o de um pára-quedista que desce verticalmente com o pára-quedas já aberto a algum tempo, podem ser classificados como uniformes. Nesses movimentos a velocidade escalar instantânea é constante, o que caracteriza um movimento uniforme.

Fotografia estroboscópica destacando a vista superior de um movimento uniforme. É fácil

observar que o móvel efetua deslocamentos iguais em intervalos de tempos iguais.

As conseqüências imediatas da definição do movimento uniforme são as seguintes:

A aceleração escalar é igual a zero. Observe que a aceleração é a grandeza física que mede faz a velocidade variar. Com não há variação, o valor da aceleração é nulo. O móvel percorre espaços iguais em tempos iguais. Por exemplo, um corpo que se desloca com velocidade igual a 20m/s, mantendo-se essas condições, sempre percorrerá 20m a cada um segundo.

Observação! Neste tipo de movimento a velocidade escalar instantânea é equivalente a velocidade escalar média.

vm = v = constante Função Horária dos Espaços Quatro perguntas são fundamentais no estudo da cinemática:

ONDE ESTÁ O MÓVEL?

QUAL A VELOCIDADE DESTE MÓVEL?

QUAL A ACELERAÇÃO DESTE MÓVEL?

QUANTO TEMPO GASTA PARA ... ? Descrever matematicamente um movimento, ou seja, através de equações, é a forma mais precisa e perfeita para conseguir essas respostas. Ao longo de um deslocamento, é possível associar, a cada instante, uma posição ocupada por um móvel em uma trajetória orientada.

Como a velocidade escalar média coincide com a velocidade escalar instantânea, é possível escrever

( )0m 0 0 0

0

s ssv v s s v t t considerando t 0,vem

t t t−Δ

= = = ∴ − = − =Δ −

:

0s s v t= + ⋅

Essa equação é denominada horária porque relaciona a posição com o tempo. Observe os exemplos abaixo:

Exemplo 1 s(km) t(h)

20 0 40 1 60 2 80 3 100 4

De acordo com a tabela acima, o móvel partiu da posição 20km e, a cada hora, percorre 20km de acordo com a orientação positiva da trajetória. Esta situação pode ser ilustrada pela figura abaixo.

Logo, a equação desse movimento pode ser escrita da seguinte forma:

s = 20 + 20 ⋅ t

Exemplo 2 s(km) t(h)

100 0

80 1

60 2

40 3

20 4 Lembre-se de que nesse caso o móvel se desloca contrário a orientação positiva da trajetória, logo sua velocidade será negativa. Ele sai da posição 100km e percorre 20km a cada hora, como ilustrado na figura.

A equação desse movimento é a seguinte:

s = 100 – 20 ⋅ t

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EXERCÍCIOS DE AULA  1. É dada a função horária do movimento de um móvel s = 60 – 12t, onde s é medido em quilômetros e t em horas. Determine: a) o espaço inicial e a velocidade escalar; b) o espaço quando t = 3h; c) o instante em, que o móvel passa pela origem espaços; d) se o movimento é progressivo ou retrógrado 2. A equação horária S = 3 + 4 ⋅ t, em unidades do sistema internacional, traduz, em um dado referencial, o movimento de uma partícula. No instante t = 3s, qual a posição da partícula? 3. Um corpo obedece a equação S = 20 - 5 . t, em unidades do sistema internacional. Este movimento é progressivo ou retrógrado? 4. Escreva as equações do espaço em função do tempo para os movimentos uniformes referentes às tabelas a seguir:

s(m) 10 15 20 25 a)

t(s) 0 1 2 3

s(m) 50 40 30 20 b)

t(s) 0 1 2 3 5. Dois móveis A e B percorrem a mesma trajetória e seus espaços são medidos de uma origem comum. Suas funções horárias, para s em metros e t em segundos, são:

sA = 10 + 2t sB = 40 – 4t

Determine: a) o instante do encontro; b) a posição de encontro. 6. Dois carros A e B realizam movimentos retilíneos uniformes. A velocidade escalar de A é de 15m/s. Determine a velocidade escalar de B, sabendo que eles colidem no cruzamento C. 7. Dois carros partem de um mesmo lugar e viajam numa mesma direção e no mesmo sentido. Um deles faz o percurso com uma velocidade média de 70 km/h e o outro, com 80 km/h. No fim de 2,5h, qual a distância entre eles? 8. Num caminhão-tanque em movimento, uma torneira mal fechada goteja à razão de 2 gotas por segundo. Determine a velocidade do caminhão, sabendo que a distância entre marcas sucessivas deixadas pelas gotas no asfalto é de 2,5 metros.

60m 

80m

B C 

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EXERCÍCIOS TAREFA  1. (Mackenzie) Um dos movimentos mais estudados no curso de Física do ensino médio é o M.R.U. (movimento retilíneo uniforme). No nosso dia-a-dia não é tão comum nos depararmos com movimentos deste tipo, porém não é de todo impossível. Nesse movimento a partícula descreve uma trajetória retilínea e: a) sua velocidade aumenta uniformemente durante o tempo. b) sua velocidade diminui uniformemente durante o tempo. c) sua velocidade aumenta ou diminui uniformemente durante o tempo. d) sua aceleração é constante, mas não nula. e) sua aceleração é nula. 2. Num movimento retrógrado: a) os espaços crescem algebricamente com o tempo b) os espaços decrescem algebricamente com o tempo c) a velocidade escalar média é nula d) a velocidade escalar é positiva e) nenhuma das afirmações anteriores é correta 3. (MACKENZIE) Uma partícula descreve um movimento retilíneo uniforme, segundo um referencial inercial. A equação horária da posição, com dados no S.I., é x = - 2 + 5t. Neste caso podemos afirmar que a velocidade escalar da partícula é: a) - 2m/s e o movimento é retrógrado. b) - 2m/s e o movimento é progressivo. c) 5m/s e o movimento é progressivo d) 5m/s e o movimento é retrógrado. e) - 2,5m/s e o movimento é retrógrado. 4. A tabela registra dados do deslocamento x em função do tempo t, referentes ao movimento retilíneo uniforme de um móvel. Qual é a velocidade desse móvel?

t(s) s(m)

0 0 2 6 5 15 9 27

a) 1/9 m/s b) 1/3 m/s c) 3 m/s d) 9 m/s e) 27 m/s 5. Dois móveis A e B, ambos com movimento uniforme percorrem uma trajetória retilínea conforme mostra a figura. Em t=0, estes se encontram, respectivamente, nos pontos A e B na trajetória. As velocidades dos móveis são vA=50m/s e vB=30m/s no mesmo sentido.

Em que instante a distância entre os dois móveis será 50m? a) 2,0 s b) 2,5 s c) 3,0 s d) 3,5 s e) 4,0 s

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6. Duas bolas de dimensões desprezíveis se aproximam uma da outra, executando movimentos retilíneos e uniformes (veja a figura). Sabendo-se que as bolas possuem velocidades de 2m/s e 3m/s e que, no instante t=0, a distância entre elas é de 15m, podemos afirmar que o instante da colisão é:

a) 1 s b) 2 s c) 3 s d) 4 s e) 5 s 7. A tabela fornece, em vários instantes, a posição s de um automóvel em relação ao km zero da estrada em que se movimenta. A função horária que nos fornece a posição do automóvel, com as unidades fornecidas, é:

t(h) 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0

s(km) 200 170 140 110 80 50

a) s = 200 + 30t b) s = 200 - 30t c) s = 200 + 15t d) s = 200 - 15t e) s = 200 - 15t2 8. Um automóvel percorre uma estrada com função horária s = -40 + 80t, onde s é dado em km e t em horas. O automóvel passa pelo km zero após: a) 1,0h. b) 1,5h. c) 0,5h. d) 2,0h. e) 2,5h.

PARA VOCÊ PENSAR UM POUCO MAIS  1. Em um trecho em declive, de 20 km de extensão, de uma estrada federal, a velocidade máxima permitida para veículos pesados é de 70 km/h e para veículos leves é de 80 km/h. Suponha que um caminhão pesado e um automóvel iniciem o trecho em declive simultaneamente e que mantenham velocidades iguais às máximas estabelecidas. Calcule a distância entre os dois veículos no instante em que o automóvel completa o trecho em declive. 2. (UFRJ) Duas pessoas partem simultaneamente de um dos extremos de uma pisa retilínea, com o objetivo de irem ao outro estremo e retornar ao ponto de partida. Uma se desloca correndo e outro andando, ambas com movimentos uniformes. Transcorridos 30 minutos, a distância entre elas é de 5,0km. Decorridos mais 30 minutos, elas se cruzam no meio da pista. Desprezando o tempo de virada no extremo oposto ao da partida, calcule a extensão da pista.

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MOVIMENTO  RETILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO  Para que um movimento seja classificado como uniformemente variado é necessário que a aceleração escalar instantânea seja constante e não nula. EQUAÇÃO HORÁRIA DA VELOCIDADE Considere um móvel que inicia seu movimento com velocidade igual a 10m/s. A aceleração deste móvel é constante e igual a 2m/s2. É possível montar uma tabela que representa como a velocidade desse móvel varia com o passar do tempo. Lembre-se de que uma aceleração de 2m/s2 significa que, a cada segundo, o valor da velocidade varia 2m/s. Veja a tabela:

aceleração (m/s2)

tempo (s)

velocidade (m/s)

2 0 10 2 1 12 2 2 14 2 3 16 2 4 18 2 5 20

A tabela acima é repetida desta vez destacando o processo usado para se calcular o valor da velocidade do móvel.

aceleração (m/s2)

tempo (s)

velocidade (m/s)

2 0 10 = 10 + 2⋅0 2 1 12 = 10 + 2⋅1 2 2 14 =10 + 2⋅2 2 3 16 = 10 + 2⋅3 ... ... ... a t v = v0 + a⋅t

Na última linha chegou-se, através de um raciocínio indutivo, à expressão que fornece o valor da velocidade do móvel em um instante qualquer, também chamada de equação horária da velocidade, como se mostra abaixo.

v = v0 + a⋅t EQUAÇÃO HORÁRIO DOS ESPAÇOS A demonstração da equação horária dos espaços será feita, em um momento posterior, através do gráfico da velocidade em função do tempo deste tipo de movimento. Por hora, será apenas necessário identificar as constantes e variáveis dessa equação e utilizá-la corretamente na solução de exercícios. Essa equação é do segundo grau e tem a seguinte forma:

⋅= + ⋅ +

2

0 0a t

s s v t2

Graficamente, ela pode ser ilustrada da seguinte maneira

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Educação sem FronteirasEm que: s → posição do móvel em um instante t. s0 → posição inicial do móvel v0 → velocidade inicial do móvel a → aceleração do móvel t → instante de tempo Exemplo De acordo com a figura abaixo obtenha as equações horárias para este caso.

Nesse movimento: s0 = 20m; v0=10m/s e a=2m/s2. Então:

s = s0 + v0 ⋅ t + 12

⋅ a ⋅ t2

s = 20 + 10⋅t + 12

⋅ 2 ⋅ t2

E a função horária da velocidade é:

v = v0 + a ⋅ t

v = 10 + 2 ⋅ t EQUAÇÃO DE TORRICELLI Evangelista Torricelli foi um físico italiano que se tornou aluno e amigo de Galilei Galileu, que estava no final da vida, e aproveitou para rever algumas teorias de seu mestre. Galileu havia chegado à expressão matemática das funções horárias do espaço e da velocidade. Torricelli unificou-as numa equação na qual eliminou a variável tempo da seguinte forma: Isolando a variável tempo na equação horária da velocidade, tem-se

0v vt

a−

=

Substituindo na equação horária dos espaços resulta

⇒ s = 20 + 10⋅t + t2

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VELOCIDADE MÉDIA NO MRUV  É possível demonstrar que a velocidade escalar média (vm), para um dado intervalo de tempo (t1;t2), é igual a média aritmética entre as velocidades escalares v1 e v2, correspondentes aos intervalos de tempo t1 e t2, respectivamente.

t1 → v1 t2 → v2

1 2m

v vv

2+

=

DIAGRAMAS HORÁRIOS  DIAGRAMAS  HORÁRIOS  DO  MOVIMENTO  RETILÍNEO  E 

UNIFORME  Considere um móvel cuja equação horária seja a seguinte:

s = 10 + 5⋅t (no SI)

Neste caso, sabe-se que a posição inicial desse móvel é igual a 10m e, sua velocidade, igual a 5m/s. A partir desses valores é possível construir a tabela abaixo:

t (s) 0 1 2 3 4 5 s (m) 10 15 20 25 30 35

Freqüentemente, são utilizados diagramas na descrição do movimento de um corpo, por possuírem uma série de vantagens. Dispondo os dados da tabela acima em um eixo cartesiano, tem-se:

O formato do gráfico acima já era esperado, por ser a função horária dos espaços uma função do 10 grau, . O gráfico dessa função é sempre uma reta. Para se obter o valor da velocidade do movimento basta, a partir desse diagrama, determinar a tangente do ângulo que o gráfico faz com o eixo x (declividade da reta).

O diagrama horária da velocidade é o de uma reta paralela ao eixo dos tempos, visto que a velocidade, para este tipo de movimento, é constante. Este gráfico possui uma propriedade muito útil: é possível calcular o deslocamento escalar através do cálculo da área sob a curva.

sv s v tt

Δ= ⇒Δ = ⋅ΔΔ

Como o valor numérico da aceleração é sempre nula, o diagrama horário da aceleração é uma reta que coincide com o eixo x.

Resumo dos Gráficos do MRU

 

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EXERCÍCIOS DE AULA 

1. Em certo instante um corpo possui velocidade v0=20m/s e durante 5s aumenta a velocidade, acelerando uniformemente, com aceleração escalar a=3m/s2. a) Determine a função da velocidade do móvel. b) Utilizando os dados fornecidos, preencha a tabela a seguir.

v(m/s)

t(t) 1 2 3 4

2. Uma partícula tem movimento que obedece à seguinte equação horária de velocidade v = 6 – 3t (em unidades do SI). Determine: a) a velocidade escalar inicial e a aceleração escalar; b) o valor da velocidade escalar média entre os instantes t1=1s e t2=3s; c) o instante de inversão de sentido do movimento. 3. É dado o movimento cujo espaço s, medido na trajetória (em metros) a partir de uma origem, varia em função de tempo conforme:

= − +2t

s 10 2t2

onde os instantes t estão medidos em segundos. a) Determine o espaço e a velocidade inicial, e a aceleração escalar; b) Determine a função da velocidade escalar em relação ao tempo; c) Verifique se o móvel muda de sentido; se mudar, determine o espaço nesse instante. 4. Um ponto material movimenta-se sobre uma trajetória retilínea segundo a função horária s = 20 + 15t – 2t2 (no SI). Classifique o movimento em acelerado ou retardado, nos instantes: a) 3s b) 8s 5. Um móvel descreve um MUV numa trajetória retilínea e os seus espaços variam no tempo de acordo com a função horária:

s = 9 + 3t – 2t2 (t em segundos e s em metros) Determine o instante em que o móvel passa pela origem dos espaços. 6. Sobre uma mesma trajetória, dois móveis A e B se movimentam obedecendo às funções horárias sA = -10 + 20t e sB = 15 + 5t + 2t2 (s em metros e t em segundos). Determine: a) em que instantes os móveis A e B se cruzam; b) onde, na trajetória, ocorrem os cruzamentos dos móveis. 7. Um caminhão, com velocidade escalar 72km/h, é freado uniformemente até parar. Sabe-se que o caminhão desloca-se 100m durante a frenagem. Determine: a) a aceleração escalar; b) o tempo de frenagem.

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Educação sem Fronteiras8. (UFRuralRJ) Uma espaçonave desloca-se com velocidade constante de 103m/s. Acionando-se seu sistema de aceleração durante 10s, sua velocidade aumenta uniformemente para 104m/s. Calcule o espaço percorrido pela espaçonave nesse intervalo de tempo.

EXERCÍCIOS TAREFA 

1. (PUC) A função horária da posição s de um móvel é dada por s=20+4t-3t2, com unidades do Sistema Internacional. Nesse mesmo sistema, a função horária da velocidade do móvel é: a) -16 - 3t d) 4 - 3t b) -6t e) 4 - 1,5t c) 4 - 6t 2. Um caminhão com velocidade de 36km/h é freado e pára em 10s. Qual o módulo da aceleração média do caminhão durante a freada? a) 0,5 m/s2 d) 3,6 m/s2 b) 1,0 m/s2 e) 7,2 m/s2 c) 1,5 m/s2 3. Consideremos um móvel, em movimento uniformemente variado, cuja velocidade varia com o tempo, conforme a tabela a seguir.

v(m/s) t(s)

4 0 7 1

10 2 13 3

A aceleração do móvel, em m/s2, é: a) 23 d) 4 b) 17 e) 11. c) 3 4. (UERJ) Suponha constante a desaceleração de um dos carros no trecho retilíneo entre as curvas Laranja e Laranjinha, nas quais ele atinge, respectivamente, as velocidades de 180 km/h e 150 km/h. O tempo decorrido entre as duas medidas de velocidade foi de 3 segundos.

O módulo da desaceleração, em m/s2, equivale, aproximadamente, a: a) 0 b) 1,4 c) 2,8 d) 10,0 5. (UFRuralRJ) Dois móveis A e B tem equações horárias, respectivamente iguais a: SA= 80 - 5t e SB =10 + 2t2, onde SA e SB estão em metros e t em segundos. Pode-se afirmar que a) os móveis A e B têm posições iniciais, respectivamente iguais a 10m e 80m. b) o movimento de A é progressivo e de B retrógrado. c) os movimentos de A e B têm velocidades constantes. d) ambos têm movimentos progressivos. e) o móvel A tem velocidade constante e B aceleração constante.

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6. (UFF) A tabela abaixo registra as posições X, em diferentes instantes de tempo t, de uma partícula que descreve um movimento retilíneo uniformemente acelerado.

t(s) 0,0 3,0 6,0 9,0

x(m) 10,0 -11,0 -14,0 1,0

Calcule a aceleração da partícula, em m/s2. 7. (UFF) Enquanto percorre uma distância de 75m, um motorista aumenta uniformemente a velocidade de seu carro de 10m/s para 20m/s. Suponha que o motorista continue acelerando nesta mesma proporção, depois de percorridos os 75m iniciais. O tempo necessário para que a velocidade do veículo aumente de 20m/s para 40m/s será de: a) 2,5s b) 5,0s c) 7,5s d) 10s e) 15s Utilize o texto abaixo para responder as questões 8 e 9 Durante um experimento, um pesquisador anotou as posições de dois móveis A e B, elaborando a tabela a seguir.

Posição em metros Tempo (t) em segundos

A B

0 -5 15 1 0 0 2 5 -5 3 10 0 4 15 15

O movimento de A é uniforme e o de B é uniformemente variado. 8. (UERJ) A distância, em metros, entre os móveis A e B, no instante t=6 segundos, corresponde a: a) 45 b) 50 c) 55 d) 60 9. (UERJ) A aceleração do móvel B é, em m/s2, igual a: a) 2,5 b) 5,0 c) 10,0 d) 12,5

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PARA VOCÊ PENSAR UM POUCO MAIS  1. (UERJ) O movimento uniformemente acelerado de um objeto pode ser representado pela seguinte progressão aritmética:

7 11 15 19 23 27 Esses números representam os deslocamentos, em metros, realizados pelo objeto, a cada segundo. Portanto, a função horária que descreve a posição desse objeto é: a) 3t + 4t2 b) 5t + 2t2 c) 1 + 2t + 4t2 d) 2 + 3t + 2t2 2. (UFRJ) Numa competição automobilística, um carro se aproxima de uma curva em grande velocidade. O piloto, então, pisa o freio durante 4s e consegue reduzir a velocidade do carro para 30m/s. Durante a freada o carro percorre 160m. Supondo que os freios imprimam ao carro uma aceleração retardadora constante, calcule a velocidade do carro no instante em que o piloto pisou o freio.

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Educação sem FronteirasDIAGRAMAS  HORÁRIOS  DO  MOVIMENTO 

RETILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO  DIAGRAMA a x t A velocidade é constante e diferente de zero, logo o gráfico a x t é uma reta paralela ao eixo dos tempos.

Além disso, calculando-se a área desse gráfico obtém-se o valor numérico da variação da velocidade.

DIAGRAMA v x t Considere a equação da velocidade em função do tempo para o MRUV: v = v0 + a ⋅ t. Essa equação é uma função do primeiro grau e seu gráfico pode ser construído de maneira análoga ao que foi feito com o gráfico s x t do MRU.

Propriedades 1) A aceleração pode ser obtida numericamente pela inclinação da reta, ou seja, pela tangente do ângulo que a reta do gráfico forma com o eixo do tempo.

2) A área sob a curva é numericamente igual ao espaço percorrido pelo móvel.

Nesse caso é possível chegar a duas conclusões interessantes. A primeira é a demonstração da equação horária dos espaços. Observe:

N

0

0

0 0

20

2

0 0

2

0 0

s Área do Trápéziov vs t

2Como v v a t, temos:

v at vs t2

2v t ats2

ats s v t2

ats s v t2

Δ =+

Δ = ⋅

= + ⋅+ +

Δ = ⋅

+Δ =

− = +

= + +

Para a segunda conclusão, será utilizado o gráfico abaixo:

Calculando-se a área ,vem

( ) ( )

( ) ( )( )

2

2

:,

2

21

12

1212

1212

vvv

tt

ttvv

v

temostsvComo

ttvvAs

m

m

m

N

+=

−⋅+

=

ΔΔ

=

−⋅+

==Δ

No MRUV, a velocidade escalar média é a média aritmética entre as velocidades v1 e v2 entre esses instantes.

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DIAGRAMA s x t Este gráfico é uma parábola, ou um ramo de parábola, pois sua função horária é uma função do segundo grau. A concavidade dessa parábola é dada pelo sinal da aceleração.

É necessário fazer uma observação quanto ao vértice da parábola, quando houver. Nesse e gráfico, o vértice representa o ponto no qual a partícula muda o sentido do movimento; o eixo x indica o instante em que ocorreu esse evento e o eixo y, a posição. Lembre-se de que, nesse momento, a velocidade do móvel é nula. A seguir, vê-se a análise de alguns gráficos.

RESUMOS DOS GRÁFICOS DO MRUV 

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EXERCÍCIOS DE AULA  1. Consideremos os gráficos do espaço (e) em função do tempo (t) para dois corpos A e B que se movem na mesma trajetória orientada:

a) Em que sentido se movem A e B, em relação a trajetória? b) O que acontece no instante t1? c) O que acontece no instante t2? 2. Dado o gráfico abaixo:

a) Determine a função horária do móvel; b) classifique o movimento em progressivo ou retrógrado; c) construa o gráfico v x t. 3. Um automóvel faz uma viajem e 6h, sendo que sua velocidade varia em função do tempo aproximadamente como mostra o gráfico a seguir:

Qual a velocidade média desse automóvel nessa viagem 4. A velocidade escalar de um corpo varia com o tempo, conforme o gráfico seguinte:

No intervalor de tempo de 0 a 5s, determine: a) a aceleração escalar da partícula; b) a distância percorrida por ela; c) a velocidade escalar média.

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5. O gráfico abaixo representa o movimento de dois móveis, A e B, que se deslocam numa mesma trajetória retilínea:

a) Quais as equações das velocidades desses móveis? b) Qual o deslocamento escalar dos móveis de t0=0s a t=10s? c) Supondo que os móveis estivessem no mesmo espaço quando t0=0s, qual a distância entre eles no instante t=10s? d) O fato de, em t=10s, os móveis possuírem a mesma velocidade significa que eles se encontraram? Justifique 6. Os valores da aceleração escalar em função do tempo são mostrados no diagrama a x t. Calcule:

a) a aceleração escalar média no intervalo 0 ≤ t ≤ 6s; b) a velocidade escalar no instante t=2s, sabendo-se que o móvel parte do repouso. 7. Uma partícula descreve um movimento segundo o gráfico abaixo: a) Qual o sinal da aceleração do movimento? b) Qual a posição inicial da partícula? c) Em que instante ela passa pela origem? d) Em que instante ela inverte o sentido do movimento? Qual a sua posição nesse instante? e) Em que intervalo de tempo o movimento é retardado? 8. Uma partícula descreve o movimento cujo gráfico horário, parabólico e dado a seguir mostra que, para t = 1 s, x e máximo. Os valores da abscissa x são medidos a partir de um ponto O, origem da reta orientada sobre a qual a partícula movimenta-se.

Determine para esse movimento: a) a função horária do espaço; b) a função horária da velocidade escalar; c) a acelerarão escalar.

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Educação sem FronteirasEXERCÍCIOS TAREFA 

1. (UERJ) A função que descreve a dependência temporal da posição S de um ponto material é representada pelo gráfico a seguir.

(RAMALHO JÚNIOR, Francisco et alii. "Os fundamentos da física. São Paulo: Moderna, 1993.)

Sabendo que a equação geral do movimento é do tipo S = A + B.t + C.t2, os valores numéricos das constantes A, B e C são, respectivamente: a) 0, 12, 4 c) 12, 4, 0 b) 0, 12, -4 d) 12, -4, 0 2. (UNIRIO) A velocidade de uma partícula varia com o passar do tempo conforme o gráfico a seguir.

O seu deslocamento do instante 0s até o instante 1s foi de 1,5 m. Através da observação do gráfico podemos concluir que seu deslocamento entre os instantes 2s e 3s, em m, foi de: a) 2,0 d) 3,5 b) 2,5 e) 4,0 c) 3,0 Utilize o texto e o gráfico abaixo para responder às questões 3 e 4

Em uma prova de 100m rasos, o desempenho típico de um corredor padrão é representado pelo gráfico a seguir:

3. (ENEM) Em que intervalo de tempo o corredor apresenta ACELERAÇÃO máxima? a) Entre 0 e 1 segundo. d) Entre 8 e 11 segundos. b) Entre 1 e 5 segundos. e) Entre 9 e 15 segundos. c) Entre 5 e 8 segundos. 4. (ENEM) Baseado no gráfico, em que intervalo de tempo a VELOCIDADE do corredor é aproximadamente constante? a) Entre 0 e 1 segundo. d) Entre 8 e 11 segundos. b) Entre 1 e 5 segundos. e) Entre 12 e 15 segundos. c) Entre 5 e 8 segundos.

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5. (UNIRIO) O gráfico a seguir mostra a velocidade de um automóvel em função do tempo.

O deslocamento sofrido pelo automóvel de 0 a 8s foi de (em m): a) 2. d) 16. b) 4. e) 24. c) 8. 6. (UFF) As ciclistas Paula e Sandra treinavam para uma competição, em uma pista plana e retilínea. No instante em que Paula começou a se mover, Sandra passou por ela. O gráfico descreve o movimento das ciclistas.

Considerando as informações fornecidas, assinale a opção que indica a distância percorrida por Paula até alcançar Sandra e em quanto tempo isso ocorreu. a) 25 m ; 10 s b) 50 m ; 10 s c) 50 m ; 20 s d) 1,0 × 102 m ; 10 s e) 1,0 × 102 m; 20 s 7. (UFRuralRJ) O gráfico a seguir representa os movimentos de dois móveis A e B.

Observando o gráfico, pode-se afirmar que a) em t = 2s e t = 9s a velocidade do móvel A é igual a velocidade do móvel B. b) a aceleração do móvel A é sempre maior que a do móvel B. c) a velocidade do móvel B em t = 2s é nula. d) a velocidade do móvel A em t = 9s é 7 m/s. e) em t = 0s a aceleração do móvel A é 16 m/s2.

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8. (PUC-RJ) O gráfico abaixo mostra a posição, em função do tempo, de dois trens que viajam no mesmo sentido em trilhos paralelos. Marque a afirmativa correta.

a) Na origem do gráfico, ambos os trens estavam parados. b) Os trens aceleraram o tempo todo. c) No instante tB, ambos os trens têm a mesma velocidade. d) Ambos os trens têm a mesma aceleração em algum instante anterior a tB. e) Ambos os trens têm a mesma velocidade em algum instante anterior a tB. 9. (UFRJ) Um fabricante de carros esportivos construiu um carro que, na arrancada, é capaz de passar de 0 a 108km/h (30m/s) em 10s, percorrendo uma distância d. A figura a seguir representa o gráfico velocidade-tempo do carro durante a arrancada. a) Calcule a aceleração escalar média do carro durante a arrancada, em m/s2. b) Para percorrer a primeira metade da distância d, nessa arrancada, o carro gastou 5s, mais de 5s ou menos de 5s? Justifique sua resposta. 10. (UERJ) O gráfico a seguir representa a variação da velocidade v em relação ao tempo t de dois móveis A e B, que partem da mesma origem.

A distância, em metros, entre os móveis, no instante em que eles alcançam a mesma velocidade, é igual a: a) 5 c) 15 b) 10 d) 20 Utilize o texto e o gráfico abaixo para responder às questões de número 11 e 12

O gráfico a seguir representa a indicação da velocidade de um carro em movimento, em função do tempo.

11. (UERJ) O deslocamento do carro entre os instantes 4s e 10s, em metros, é igual a: a) 50 c) 110 b) 72 d) 150 12. (UERJ) Sabendo-se que, em t=2 s, a velocidade é de 6m/s, a ordenada do ponto A é: a) 3,5 c) 2,5 b) 3,0 d) 2,0

 

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PARA VOCÊ PENSAR UM POUCO MAIS  1. (UFRJ) Dois móveis, (1) e (2), partem do repouso de um mesmo ponto e passam a se mover na mesma estrada. O móvel (2), no entanto, parte 3, 0s depois do móvel (1). A figura abaixo representa, em gráfico cartesiano, como suas velocidades escalares variam em função do tempo durante 18s a contar da partida do móvel (1).

a) Calcule as acelerações escalares dos móveis (1) e (2) depois de iniciados os seus movimentos. b) Verifique se, até o instante t=18s, o móvel (2) conseguiu alcançar o móvel (1). Justifique sua resposta. 2. (UFRJ) Duas partículas se deslocam ao longo de uma mesma trajetória. A figura a seguir representa, em gráfico cartesiano, como suas velocidades variam em função do tempo.

Suponha que no instante em que se iniciaram as observações (t=0) elas se encontravam na mesma posição. a) Determine o instante em que elas voltam a se encontrar. b) Calcule a maior distância entre elas, desde o instante em que se iniciaram as observações até o instante em que voltam a se encontrar. 3. (UFRJ) Nas provas de atletismo de curta distância (até 200m) observa-se um aumento muito rápido da velocidade nos primeiros segundos da prova e depois um intervalo de tempo relativamente longo em que a velocidade do atleta permanece praticamente constante para em seguida diminuir lentamente. Para simplificar a discussão suponha que a velocidade do velocista em função do tempo seja dada pelo gráfico abaixo.

Calcule: a) as acelerações, nos dois primeiros segundos da prova e no movimento subseqüente. b) a velocidade média nos primeiros 10s de prova.

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Educação sem FronteirasVETORES 

GRANDEZAS ESCALARES E VETORIAIS Para algumas grandezas físicas ficarem bem definidas basta fornecer um número seguido de uma unidade. Por exemplo, a temperatura de um líquido e a massa de um corpo. Essas grandezas são chamadas escalares. Contudo, para que para que algumas grandezas fiquem bem definidas, precisam de uma informação geométrica para sabermos sua direção e sentido. São as chamadas grandezas vetoriais. Neste módulo será feito um estudo dessa entidade matemática chamada vetor.

DEFINIÇÃO E CARACTERÍSTICAS Vetor é um segmento de reta orientado, que caracteriza direção, sentido e módulo (tamanho). É representado graficamente por uma seta acompanhada de uma letra sobre a qual é colocada uma pequena seta. Exemplo Suponha que um vetor

rapossua módulo igual a 30u (no

lugar de u pode-se colocar qualquer unidade) e seja representado como na figura abaixo.

OBSERVAÇÃO Dois vetores são iguais quando apresentam o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido. Dois vetores são opostos quando apresentam o mesmo módulo, a mesma direção e sentidos contrários.

ADIÇÃO VETORIAL Para se obter graficamente o vetor que representa a soma

entre dois vetores não nulos a e brr

prossegue-se da seguinte forma:

Redesenhe os vetores originais, sem alterar qualquer uma das características originais de algum deles, de forma que a extremidade de um deles coincida com a origem do outro.

O vetor pontilhado indica a posição inicial de b

r

Obtém-se o vetor soma ligando a origem livre com a extremidade livre.

Esse método é conhecido como método do polígono e pode ser aplicado se houver mais de dois vetores.

Para o caso de dois vetores, em particular, é possível utilizar outra regra chamada de regra do paralelogramo. Neste caso, faz-se coincidir as origens dos dois vetores. O vetor soma será representado pela diagonal que parte das origens.

DETERMINAÇÃO DO MÓDULO DO VETOR SOMA Observe os casos particulares abaixo: • VETORES COM MESMA DIREÇÃO E MESMO SENTIDO

O módulo da soma, neste caso, será S = a + b • VETORES COM MESMA DIREÇÃO E SENTIDOS CONTRÁRIOS

O módulo da soma, neste caso, será S = a -

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• VETORES COM DIREÇÕES PERPENDICULARES ENTRE SI

O módulo da soma, neste caso, será 2 2S a b= + O caso geral para determinação do vetor soma será utilizado quando os dois vetores formarem um ângulo qualquer entre si.

O módulo da soma, neste caso, será

= + + ⋅ ⋅ ⋅ θ2 2S a b 2 a b cos

DIFERENÇA ENTRE DOIS VETORES Subtrair dois vetores nada mais é que adicionar um deles com o oposto do outro. É possível, converter uma subtração numa adição utilizando-se uma propriedade matemática elementar,

( )= − ⇒ = + −r rr rr r

D a b D a b

Para se obter o vetor −rb basta inverter o sentido do vetor

rb e

aplicar as regras já estudas na soma vetorial.

DECOMPOSIÇÃO CARTESIANA 

Em determinadas situações, como no caso do movimento de projéteis, é útil saber como se decompõe um vetor. Decompor é projetar um vetor “inclinado” em relação a um eixo. Esse vetor dará origem a dois outros vetores, perpendiculares entre si, que somados resultam o vetor inicial. O procedimento é o seguinte: desenha-se o vetor que se quer projetar sobre um eixo cartesiano.

A partir da extremidade desse vetor, traça-se duas retas pontilhadas, paralelas ao eixo x e ao eixo y, até os alcançarem. Os vetores resultantes são chamados de projeções ou componentes ortogonais. Eles possuem as seguintes relações matemáticas entre si e entre o vetor resultante.

Vetorialmente, tem-se: 1 2a a a= +

r r r

Algebricamente, tem-se: 2 2 2

1 2a a a= +r r r

e, ainda

2 1a a sen e a a cos= ⋅ θ = ⋅ θ

EXERCÍCIOS DE AULA  1. Observe a figura a seguir e determine quais as flechas que: a) tem a mesma direção. b) tem o mesmo sentido. c) tem o mesmo comprimento. d) são iguais. 2. Copie e represente graficamente o vetor soma

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3. Dois vetores de módulos iguais possuem direções que fazem entre si um ângulo de 120º. Qual o módulo d vetor soma se um deles tem módulo igual a 10m? 4. Calcule o ângulo formado por dois vetores de módulos 5 e 6 unidades e cujo vetor soma tem módulo 61 unidades. 5. O vetor representativo de uma certa grandeza física possui a intensidade 2. As componentes ortogonais desse vetor medem 3 e 1. Qual o ângulo que o vetor forma com a sua componente de maior intensidade? 6. Dois vetores perpendiculares entre si têm soma de módulo igual a 20 ; o módulo de um deles é o dobro do módulo do outro. Qual o módulo do maior?

EXERCÍCIOS TAREFA  1. Os indivíduos da figura, que caminham na mesma calçada retilínea, estão:

a) na mesma direção e no mesmo sentido. b) na mesma direção e em sentidos opostos. c) em direções opostas e no mesmo sentido. d) em direções opostas e em sentidos opostos. e) em direções e sentidos indefinidos. 2. Qual é a relação entre os vetores

ur ur r urM,N,P e R

representados?

a) + + + =ur ur r ur urM N P R 0

b) + = +r ur ur urP M R N

c) + = +r ur ur urP R M N

d) − = −r ur ur urP R M N

e) + + =r ur ur urP R N M

3. A figura mostra três vetores A

r, Br

e Cr

. De acordo com a figura podemos afirmar que:

a) Ar

+ Br

+ Cr

= 0r

d) Ar

+ Br

= Cr

b) Ar

= Br

- Cr

e) Ar

= Br

+ Cr

c) Br

- Ar

= Cr

4. Duas forças, uma de módulo 30N e outra de módulo 50N, são aplicadas simultaneamente num corpo. A força resultante R vetorial certamente tem módulo R tal que: a) R > 30N d) 20N ≤ R ≤ 80N b) R > 50N e) 30N ≤ R ≤ 50N c) R = 80N

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5. Na figura ao lado estão desenhados dois vetores (

ur urx e y ).

Estes vetores representam deslocamentos sucessivos de um corpo. Qual e o módulo do vetor igual a +

ur urx y ? (A escala da figura

é 1:1) a) 4 cm b) 5 cm c) 8 cm d) 13 cm e) 25 cm 6. A soma de dois vetores ortogonais, isto é, perpendiculares entre si, no plano, um de módulo 12m e outro de módulo 16m, terá módulo igual a: a) 4m d) 16m b) 12m e) 28m c) 20m 7. Com seis vetores de módulo iguais a 8u, construiu-se o hexágono regular a seguir. O módulo do vetor resultante desses 6 vetores é: a) 40 u b) 32 u c) 24 u d) 16 u e) zero 8. Considere um relógio com mostrador circular de 10cm de raio e cujo ponteiro dos minutos tem comprimento igual ao raio do mostrador. Considere esse ponteiro como um vetor de origem no centro do relógio e direção variável. O módulo da soma dos três vetores determinados pela posição desse ponteiro quando o relógio marca exatamente 12 horas, 12 horas 20 minutos e, por fim, 12 horas e 40 minutos, é em cm, igual a: a) 30 d) zero b) 12 (10 + 3 ) e) 60

c) 20

PARA VOCÊ PENSAR UM POUCO MAIS 

1. Dois vetores ar e rb são tais que o vetor soma ( ar + b

r)

tem módulo 70 quando ar

e br

têm a mesma direção e

mesmo sentido e ( ar

+ br

) tem módulo 50 quando ar

é

perpendicular a rb . Quais os módulos de ar e b

r?

2. (Mackenzie) A figura mostra cinco vetores de mesmo ponto de aplicação dirigindo-se aos vértices de um hexágono regular de lado 5 cm. A escala 1 cm equivale a 1 unidade da grandeza que os vetores representam. Qual a intensidade da resultante?

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CINEMÁTICA ANGULAR 

DESLOCAMENTO ANGULAR (Δϕ) O deslocamento angular corresponde ao ângulo central percorrido por um móvel sobre uma trajetória circular. Ele pode ser calculado através da variação da posição angular (ϕ).

Δϕ = ϕ - ϕ0

De acordo com a geometria plana, é possível relacionar o

deslocamento angular e o linear, que corresponde ao arco AB .

OBSERVAÇÃO Embora a unidade usual para ângulos seja o grau, no estudo da cinemática angular, será adotado o radiano. Um radiano é a medida do ângulo que subentende um arco de comprimento igual ao do raio.

Então é possível relacionar o deslocamento angular e o linear

através da relação

s = ϕ ⋅ R (linear = angular x raio)

Utiliza-se uma regra de três simples para converter um ângulo de graus para radianos. O exemplo abaixo ilustra o procedimento para se converter um ângulo de 60º em radianos.

180º ⎯⎯⎯⎯⎯ π rad 60º ⎯⎯⎯⎯⎯ x

60

x rad180 3

π π= =

VELOCIDADE ANGULAR (ω) É a medida da rapidez com que um móvel “varre” um determinado ângulo. No exemplo abaixo, o móvel sofre um deslocamento angular num determinado intervalo de tempo. O quociente entre essas duas grandezas é chamado de velocidade angular média (ωm).

0

m0t t t

ϕ − ϕ Δϕω = =

− Δ

A unidade para a velocidade angular, no SI, é o rad/s. Convém destacar a relação entre a velocidade angular e a velocidade linear. Dividindo-se a equação que expressa a relação entre a posição linear e a angular pelo intervalo de tempo, vem:

m ms

s R R v Rt t

Δ ΔϕΔ = Δϕ ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ω ⋅

Δ Δ,

a mesma relação pode ser obtida para as velocidades instantâneas: v R= ω⋅ .

ACELERAÇÃO ANGULAR (α) É definida pelo quociente entre a variação da velocidade angular e o correspondente intervalo de tempo. Na prática, se a aceleração angular de um móvel for diferente de zero, ele poderá girar cada vez mais rápido (movimento circular acelerado) ou cada vez mais lento (movimento circular retardado). No SI, a unidade da aceleração angular é rad/s2. De maneira análoga a velocidade angular, é possível relacionar a aceleração linear e angular do seguinte modo

a R= α ⋅ .

PERÍODO E FREQÜÊNCIA Movimentos periódicos são comuns em nosso cotidiano. Sua principal característica é que se repetem em intervalos regulares de tempo. São exemplos desse tipo de movimento, o movimento de translação da terra (com boa aproximação!) e o movimento dos ponteiros de um relógio. O menor intervalo de tempo necessário para que um movimento periódico se repita é chamado período (T). Define-se freqüência ( f ) de um movimento, o número de vezes que este se repete na unidade de tempo. Pode-se obter a freqüência através de uma regra de três ou usando a relação abaixo:

nf

, em que Δn é o número de repetições.

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A freqüência e o período se relacionam da seguinte

forma:1 1

T ou ff T

= = .

No SI, a unidade para o período é o segundo, no entanto, costuma-se usar uma unidade de tempo adequada a cada tipo de movimento. Por exemplo, o período de translação da terra é igual a 1 ano (≈ π ⋅ 107s). A freqüência, por sua vez, é medida em Hz (1hertz = 1 ciclo por segundo), sendo também comum, a unidade rotações por minuto (rpm).

OBSERVAÇÃO 1 Hz = 60 rpm

RELAÇÃO ENTRE GRANDEZAS PERIÓDICAS E ANGULARES Considere que o ponto P da figura dê uma volta completa. Para se calcular a velocidade escalar média faz-se o quociente entre Δs e Δt. Nesse caso, ao percorrer uma volta completa, o deslocamento linear corresponde ao comprimento da circunferência (Δs = 2πR) e o intervalo de tempo ao período do movimento (T), logo

Δ π= = = ω⋅Δ

π πω⋅ = ∴ω = ω = π

s 2 Rv , como v R, vem

t T

2 R 2R ou 2 f

T T

MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU) No MCU, a velocidade escalar angular média e a instantânea possuem o mesmo valor, logo, fazendo-se t0 assumir valor nulo, a equação horária desse movimento, fica da seguinte forma:

0 tϕ = ϕ + ω ⋅

OBSERVAÇÃO Lembre-se de que, embora o movimento seja uniforme, ele

possui aceleração centrípeta (2

cv

aR

= )

TRANSMISSÃO DE MOVIMENTO CIRCULAR  

Há duas maneiras básicas de se transmitir movimento circular entre duas rodas: por correia e por contato. Em ambos os casos não pode haver deslizamento entre os corpos por isso, a velocidade linear em qualquer ponto periférico à roda é a mesma.

vA = vB

ωA ⋅ RA = ωB ⋅ RB

2π ⋅ fA ⋅ RA = 2π ⋅ fB ⋅ RB

fA ⋅ RA = fB ⋅ RB  MOVIMENTO  CIRCULAR  UNIFORMEMENTE  VARIADO (MCUV) As equações horárias do MCUV são análogas as do MRUV. É possível, a partir das equações do MRUV, obter as do MCUV, apenas dividindo as primeiras pelo raio da trajetória.

ϕ = ϕ + ω ⋅ + ⋅ ω ⋅

ω = ω + α ⋅

ω = ω + ⋅ α ⋅ Δϕ

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0

2 20

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t

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EXERCÍCIOS DE AULA  1. Uma roda efetua 120rpm. Calcule: a) seu período em segundos; b) sua freqüência em Hz; 2. Em 72s um móvel cuja velocidade escalar é 20km/h descreve uma trajetória circular de raio 010km. Determine o ângulo descrito pelo móvel nesse intervalo. 3. Certo percurso circular de raio 40m é descrito com velocidade escalar média de 60m/s. Determine: a) a velocidade angular média do móvel nesse percurso; b) o ângulo que o móvel descreve, se o percurso foi feito em 2,0s. 4. Um ventilador gira com velocidade angular de 5,0 rad/s, quando é desligado, parando ao fim de 10s. Determine: a) a aceleração angular média do ventilador desde o instante e que foi desligado até parar; b) a aceleração linear média dos pontos que distam 0,10m do eixo de rotação. 5. Um móvel executa um movimento circular uniforme de raio de 40cm, com freqüência 15rpm. Determine: a) o período em segundos; b) a velocidade angular em radianos por segundo; c) a velocidade linear em metros por segundo; d) o módulo da aceleração centrípeta. 6. Duas engrenagens de uma máquina estão ligadas or uma corrente, de modo que o movimento de uma acarreta o movimento da outra. A maior tem freqüência de 60 rotações por minuto e raio 10cm. Para a engrenagem menor, cujo raio é 4,0cm, determine: a) a freqüência, expressa em Hz; b) o período, expresso em segundos; c) a velocidade angular, expressa em radianos por segundo; d) a velocidade linear, expressa em metros por segundo, de um ponto da periferia. 7. Em um relógio convencional, como mostrado na figura, o ponteiro das horas gira com movimento uniforme de freqüência f. A Terra também gira, em torno de seu eixo, com

movimento uniforme de freqüência f’. Calcule a razão 'f

f.

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8. (UFRJ) Um foguete foi lançado da Terra com destino a Marte. Na figura estão indicadas as posições da Terra e de Marte, tanto no instante do lançamento do foguete da Terra, quando no instante de sua chegada a Marte. Observe que, a contar do lançamento, o foguete chega a Marte no instante em que a Terra completa 3/4 de uma volta em torno do Sol.

Calcule quantos meses durou a viagem deste foguete da Terra até Marte. 9. (UFRJ) O olho humano retém durante 1/24 de segundo as imagens que se formam na retina. Essa memória visual permitiu a invenção do cinema. A filmadora bate 24 fotografias (fotogramas) por segundo. Uma vez revelado, o filme é projetado à razão de 24 fotogramas por segundo. Assim, o fotograma seguinte é projetado no exato instante em que o fotograma anterior está desaparecendo de nossa memória visual, o que nos dá a sensação de continuidade. Filma-se um ventilador cujas pás estão girando no sentido horário. O ventilador possui quatro pás simetricamente dispostas, uma das quais pintadas de cor diferente, como ilustra a figura. Ao projetarmos o filme, os fotogramas aparecem na tela na seguinte seqüência

o que nos dá a sensação de que as pás estão girando no sentido anti-horário. Calcule quantas rotações por segundo, no mínimo, as pás devem estar efetuando para que isto ocorra.

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Educação sem Fronteiras10. Considere as três engrenagens acopladas simbolizadas na figura a seguir. A engrenagem A tem 50 dentes e gira no sentido horário, indicado na figura, com velocidade angular de 100rpm(rotação por minuto). A engrenagem B tem 100 dentes e a C tem 20 dentes.

a) Qual é o sentido de rotação da engrenagem C? b) Quanto vale a velocidade tangencial da engrenagem A em dentes/min? c) Qual é a velocidade angular de rotação (em rpm) da engrenagem B?

 

EXERCÍCIOS TAREFA  1. (CESGRANRIO) O período, em segundos, de um motor que executa 3000 rotações por minuto é de: a) 0,02 b) 0,18 c) 0,2 c) 0,3 d) 0,5 2. Considerar um ventilador com hélice girando. Em relação aos pontos da hélice, é correto afirmar que a) todos têm a mesma velocidade linear. b) todos têm a mesma aceleração centrípeta. c) os pontos mais afastados do eixo de rotação têm maior velocidade angular. d) os pontos mais afastados do eixo de rotação têm menor aceleração centrípeta. e) os pontos mais afastados do eixo de rotação têm maior velocidade linear. 3. (PUC-RJ) Um disco está girando com uma rotação constante em torno de um eixo vertical que passa pelo seu centro. Um certo ponto Q está duas vezes mais afastado deste centro do que um outro ponto P. A velocidade angular de Q, num certo instante, é: a) a mesma que a de P. b) duas vezes maior que a de P. c) metade da de P. d) quatro vezes maior que a de P. e) um quarto da de P. 4. Dois atletas estão correndo numa pista de atletismo com velocidades constantes, mas diferentes. O primeiro atleta locomove-se com velocidade v e percorre a faixa mais interna da pista, que na parte circular tem raio R. O segundo atleta percorre a faixa mais externa, que tem raio 3R/2. Num mesmo instante, os dois atletas entram no trecho circular da pista, completando-o depois de algum tempo. Se ambos deixam este trecho simultaneamente, podemos afirmar que a velocidade do segundo atleta é: a) 3v. b) 3v/2. c) v. d) 2v/3. e) v/3.

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5. (Cesgranrio) O deslocamento angular de um ponto do equador terrestre em 1 dia é, para uma circunferência de raio R, de: a) 2πR b) 180° c) 3π/2 rad d) 2π rad e) 24 h 6. (UFF) Uma partícula descreve um movimento circular, percorrendo três voltas a cada dois minutos. Sua velocidade angular, em rad/s, é: a) 2π b) 3π c) π/20 d) π/10 e) π/15 7. (PUC-RJ) A velocidade angular do ponteiro das horas de um relógio, vale, em rad/h: a) π/24 b) π/12 c) π/6 d) π/4 e) π/3 8. Um corpo de massa M descreve um movimento circular uniforme com velocidade angular de 10rad/s. Sendo o módulo da aceleração normal igual a 40m/s2, o raio da trajetória, em metros, será: a) 0,40 b) 0,80 c) 4,0 d) 16 e) 4,0 × 102 9. Em uma estrada, dois carros, A e B, entram simultaneamente em curvas paralelas, com raios RA e RB. Os velocímetros de ambos os carros indicam, ao longo de todo o trecho curvo, valores constantes VA e VB.

Se os carros saem das curvas ao mesmo tempo, a relação entre VA e VB é a) VA = VB b) VA/VB = RA/RB c) VA/VB = (RA/RB)

2 d) VA/VB = RB/RA e) VA/VB =(RB/RA)

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10. (UERJ) A velocidade angular ω de um móvel é inversamente proporcional ao tempo T e pode ser representada pelo gráfico a seguir.

Quando ω é igual a 0,8πrad/s, T, em segundos, corresponde a: a) 2,1 b) 2,3 c) 2,5 d) 2,7 11. (UNIRIO)

O mecanismo apresentado na figura anterior é utilizado para enrolar mangueiras após terem sido usadas no combate a incêndios. A mangueira é enrolada sobre si mesma, camada sobre camada, formando um carretel cada vez mais espesso. Considerando ser o diâmetro da polia A maior que o diâmetro da polia B, quando giramos a manivela M com velocidade constante, verificamos que a polia B gira_______ que a polia A, enquanto a extremidade P da mangueira sobe com o movimento___________. Preenche corretamente as lacunas anteriores a opção: a) mais rapidamente - acelerado. b) mais rapidamente - uniforme. c) com a mesma velocidade - uniforme. d) mais lentamente - uniforme. e) mais lentamente - acelerado. 12. Uma correia passa sobre uma roda de 25cm de raio, como mostra a figura. Se um ponto da correia tem velocidade 5,0m/s, a freqüência de rotação da roda é aproximadamente:

a) 32Hz d) 0,2Hz b) 2Hz e) 3,2Hz c) 0,8Hz

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13. A velocidade de um automóvel pode ser medida facilmente através de um dispositivo que registra o número de rotações efetuadas por uma de suas rodas, desde que se conheça seu diâmetro. Considere, por exemplo, um pneu cujo diâmetro é de 0,5m. Se o pneu executa 480 rotações em cada minuto, pode-se afirmar que a velocidade do automóvel, em m/s, é: a) 4π d) 16π b) 8π e) 18π c) 12π 14. Duas polias, A e B, rigidamente unidas por um eixo giram com freqüência f constante, como mostra a figura. Sendo RA = 2RB, a razão aA/aB entre as acelerações dos pontos das periferias das respectivas polias é:

a) 4 d) 0,5 b) 0,25 e) 2. c) 1 15. As rodas A, B e C giram, sem deslizamento, com velocidades angulares ωA , ωB e ωC, tais que: a) ωA > ωB > ωC b) ωA > ωC > ωB c) ωA < ωB < ωC d) ωA < ωC < ωB

PARA VOCÊ PENSAR UM POUCO MAIS  1. (UERJ) A cidade de São Paulo tem cerca de 23km de raio. Numa certa madrugada, parte-se de carro, inicialmente em repouso, de um ponto qualquer de uma das avenidas marginais que circundam a cidade. Durante os primeiros 20 segundos, o movimento ocorre com aceleração constante de 1,0m/s2. Ao final desse período, a aceleração torna-se nula e o movimento prossegue mantendo-se a velocidade adquirida. Considerando que o movimento foi circular, determine: a) a distância percorrida pelo carro durante os primeiros 20 segundos; b) o tempo gasto para alcançar-se o ponto diametralmente oposto à posição inicial, ou seja, o extremo oposto da cidade. 2. (UFRJ) Em sua sátira História dos Estados Lunares e Impérios, o escritor francês do século XVII Cyrano de Bergerac afirma ter sido, um dia, elevado por um sopro de ar que o manteve pairando acima da superfície da Terra durante várias horas. Ao por os pés o chão, Cyrano, para o seu espanto, não estava mais na França, mas sim mo Canadá. Evidentemente, isso é fruto da imaginação do autor, pois sabemos que a atmosfera gira junto com a Terra. Caso a atmosfera ficasse parada enquanto a Terra gira, todos nós, que giramos com ela, sentiríamos um "vento" que, dependendo da latitude, poderia ser absurdamente forte. Supondo que o raio da Terra seja 6400km, calcule em km/h, a velocidade desse "vento" em relação a um ponto fixo no Equador terrestre.

• •

RA > RC > RB 

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CINEMÁTICA VETORIAL 

DESLOCAMENTO VETORIAL O vetor descolamento (d

r ou rΔ

r) mostra a mudança de

posição de um corpo. Ele tem origem na posição inicial e extremidade na posição final, independente da forma da trajetória entre essas posições. Suponha que um automóvel percorra o seguinte trajeto de uma estrada

A linha pontilhada representa o deslocamento linear desse

móvel enquanto o vetor rd representa o deslocamento

vetorial. Numa trajetória retilínea o deslocamento vetorial coincide

com o deslocamento escalar ( = Δrd s ) no entanto, nas

trajetórias curvilíneas seu módulo é menor que o do deslocamento linear. Em regra geral, .

VELOCIDADE VETORIAL MÉDIA É a razão entre o módulo do deslocamento escalar e o respectivo intervalo de tempo.

mr

vt

Δ=Δ

rr

Como o intervalo de tempo é uma grandeza sempre positiva, o vetor velocidade média possuirá a mesma direção e sentido do vetor deslocamento.

VELOCIDADE VETORIAL INSTANTÂNEA A velocidade vetorial instantânea indica a tendência de movimento de um móvel num determinado instante. Seu módulo é igual ao da velocidade vetorial média quando o intervalo de tempo for tão pequeno quanto se queira. O cálculo do módulo dessa grandeza é feito através da ferramenta matemática chamada limite, mencionada anteriormente, que está fora do escopo de seus estudos.

Contudo, é possível descrever as características dessa grandeza através de um exemplo.

Direção → a da reta tangente à trajetória; Sentido → o mesmo do movimento; Módulo → igual ao da velocidade escalar instantânea. Veja outros exemplos.

ACELERAÇÃO VETORIAL MÉDIA Por analogia, define-se o vetor aceleração vetorial como a razão entre a variação da velocidade vetorial instantânea e o intervalo de tempo.

mv

at

Δ=Δ

rr

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ACELERAÇÃO VETORIAL INSTANTÂNEA (ra ) 

A aceleração vetorial instantânea, ou simplesmente vetor aceleração, indicará uma variação da velocidade instantânea. Ele representará a aceleração vetorial de móvel em cada ponto da trajetória e poderá ser estudada através de suas componentes perpendiculares: a aceleração tangencial ( ta

r) e a aceleração centrípeta ( ca

r).

t ca a a= +r r r

OBSERVAÇÃO O módulo da aceleração vetorial pode ser calculado através da seguinte relação:

2 2 2t ca a a= +

r r r

ACELERAÇÃO TANGENCIAL (rta ) 

É a componente da aceleração que a indica a variação do módulo do vetor velocidade. Ela possui as seguintes características:

• Direção → a da reta tangente à trajetória;

• Sentido → o mesmo de vr

, se o movimento for acelerado; contrário ao de vr

, se o movimento for retardado; • Módulo → igual ao da aceleração escalar.

ACELERAÇÃO CENTRÍPETA ( rca ) É a componente da aceleração que a indica a variação da direção o vetor velocidade. Ela possui as seguintes características:

• Direção → radial (sobre o raio da curva); • Sentido → para o centro da curva;

• Módulo → 2

cv

aR

=r

, em que, v é o módulo da velocidade instantânea e R é o tamanho do raio da trajetória.

QUADRO COMPARATIVO DOS MOVIMENTOS 

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EXERCÍCIOS DE AULA  1. Uma partícula move-se com velocidade escalar constante sobre uma circunferência de raio R = 20m, gastando 12 segundos para completar uma volta. Para um intervalo de tempo Δt=2,0s, calcule os módulos: a) da variação do espaço; b) do vetor deslocamento; c) da velocidade escalar média; d) da velocidade vetorial média 2. Uma partícula tem movimento circular uniforme de velocidade escalar 10m/s, dando uma volta a cada 8 segundos. a) Qual o valor da aceleração escalar do movimento? b) Calcule o módulo da aceleração vetorial média para um intervalor 3. Um MRUV é descrito por uma partícula que parte do repouso, com aceleração escalar de 2,0m/s2. Determine, no instante t=3,0s, os valores absolutos da a) aceleração tangencial; b) aceleração centrípeta; c) aceleração vetorial; d) velocidade vetorial 4. Um móvel descreve um MCUV de 10m de raio, a partir do repouso, no sentido horário. A aceleração escalar é igual a 1,0m/s2. Então, no instante t = 5,0s, determine: a) a intensidade da velocidade vetorial; b) a intensidade da aceleração centrípeta; c) o esquema vetorial, mostrando

ur r r rt cp rv,a ,a e a .

5. Uma partícula P move-se em trajetória circula de centro O, tendo velocidade escalar v0=8,0m/s no instante t=0.

6. No instante t=1,0s a aceleração vetorial instantânea ra

tem módulo 20m/s2 e está representada no desenho ao lado. Sabendo que senθ=0,60 e cosθ=0,80, calcule: a) o módulo da aceleração escalar; b) o módulo da aceleração centrípeta no instante t=1,0s; c) o módulo da velocidade no instante t=1,0s; d) o raio da trajetória.

urvr

ta

rcpa

rra

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EXERCÍCIOS TAREFA  1. Num bairro, onde todos os quarteirões são quadrados e as ruas paralelas distam 100m uma da outra, um transeunte faz o percurso de P a Q pela trajetória representada no esquema a seguir.

O deslocamento vetorial desse transeunte tem módulo, em metros, igual a a) 300 d) 500 b) 350 e) 700 c) 400 2. A figura adiante mostra o mapa de uma cidade em que as ruas retilíneas se cruzam perpendicularmente e cada quarteirão mede 100 m. Você caminha pelas ruas a partir de sua casa, na esquina A, até a casa de sua avó, na esquina B. Dali segue até sua escola, situada na esquina C. A menor distância que você caminha e a distância em linha reta entre sua casa e a escola são, respectivamente:

a) 1800 m e 1400 m. b) 1600 m e 1200 m. c) 1400 m e 1000 m. d) 1200 m e 800 m. e) 1000 m e 600 m. 3. (UERJ) A velocidade vetorial média de um carro de Fórmula 1, em uma volta completa do circuito, corresponde a: a) 0 c) 191 b) 24 d) 240

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Educação sem Fronteiras4. Nas provas dos 200 m rasos, no atletismo, os atletas partem de marcas localizadas em posições diferentes na parte curva da pista e não podem sair de suas raias até a linha de chegada. Dessa forma, podemos afirmar que, durante a prova, para todos os atletas, o: a) espaço percorrido é o mesmo, mas o deslocamento e a velocidade vetorial média são diferentes. b) espaço percorrido e o deslocamento são os mesmos, mas a velocidade vetorial média é diferente. c) deslocamento é o mesmo, mas o espaço percorrido e a velocidade vetorial média são diferentes. d) deslocamento e a velocidade vetorial média são iguais, mas o espaço percorrido é diferente. e) espaço percorrido, o deslocamento e a velocidade vetorial média são iguais. 5. Diz-se que o movimento de um ponto material é uniforme quando e somente quando: a) a velocidade vetorial for constante. b) a aceleração escalar for nula e a velocidade escalar não o for. c) a trajetória for retilínea. d) a aceleração vetorial for tangente à trajetória. e) a aceleração vetorial for nula. 6. Nos esquemas estão representadas a velocidade

urv e a

aceleração ra do ponto material P. Assinale a alternativa em

que o módulo da velocidade desse ponto material permanece constante.

7. Uma automóvel realiza uma curva de raio 20m com velocidade constante de 72km/h. Qual é a sua aceleração durante a curva? a) 0 m/s2 d) 20 m/s2 b) 5 m/s2 e) 3,6 m/s2 c) 10 m/s2 8. (PUC-RJ) Lançam-se simultaneamente duas bolinhas de chumbo, a partir da mesma altura, uma para cima e outra para baixo, com velocidades de mesmo módulo. Sabendo-se que a resistência do ar pode ser desprezada, qual das afirmações abaixo é correta? A) Os vetores aceleração de cada bolinha são diferentes, e ambas chegam ao solo com velocidades iguais. B) Os vetores aceleração das duas bolinhas são iguais, e ambas chegam ao solo com velocidades iguais. C) Os vetores aceleração das duas bolinhas são iguais, mas a bolinha lançada para cima chega ao solo com velocidade menor do que a da bolinha lançada para baixo. D) Os vetores aceleração das duas bolinhas são iguais, mas a bolinha lançada para cima chega ao solo com velocidade maior do que a da bolinha lançada para baixo. E) Os vetores aceleração de cada bolinha são diferentes, e a bolinha lançada para cima chega ao solo com velocidade maior do que a da bolinha lançada para baixo.

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9. Um ventilador (veja figura) acaba de ser desligado e está parando vagarosamente, girando no sentido horário. A direção e o sentido da aceleração da pá do ventiladr no ponto P é:

10. Um ponto material descreve um arco de circunferência. Sua velocidade vetorial varia conforme mostrado na figura.

Qual das alternativas pode representar a aceleração vetorial nos pontos A, B e C?

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11. Durante o seu estudo de mecânica, um aluno realizou diversos experimentos sobre o movimento de um móvel. Revisando-as, reuniu as figuras 1, 2, 3 e 4, obtidas em experimentos diferentes. Os pontos indicam as posições do móvel, obtidas em intervalos de tempo sucessivos e iguais.

Analisando as figuras, ocorreu ao aluno a seguinte pergunta: Em quais dos experimentos o móvel foi acelerado? A resposta correta a essa questão: a) apenas em 1 e 3 d) apenas em 2, 3 e 4 b) apenas em 1, 3 e 4 e) nos quatro. c) apenas em 2 e 4 12. A figura mostra a fotografia estroboscópica do movimento de uma partícula:

A aceleração da mesma no ponto P da trajetória, é melhor representada pelo vetor: a) I d) IV b) II e) V c) III 13. Pardal é a denominação popular do dispositivo óptico-eletrônico utilizado para fotografar veículos que superam um determinado limite estabelecido de velocidade V. Em um trecho retilíneo de uma estrada, um pardal é colocado formando um ângulo θ com a direção da velocidade do carro, como indica a figura a seguir.

Suponha que o pardal tenha sido calibrado para registrar velocidades superiores a V, quando o ângulo θ = 0°. A velocidade v do veículo, que acarretará o registro da infração pelo pardal, com relação à velocidade padrão V, será de: a) V sen θ. c) V/ sen θ. b) V cos θ. d) V/ cos θ.