2. Analiza Cinematica Mecanisme

CINEMATICA MECANISMELOR 2.1 Notiuni introductive

Analiza cinematica a mecanismelor are ca scop studierea miscarii elementelor cinematice sau a unor puncte de pee le, care pot fi chiar cuplele mecanice,fara a se considera ffortele care provoaaca miscarea.Analiza cinematic se aplica la mecanisme ale caror dimensiuni sunt cunoscute si sunt,de regula,reprzentate la scara in conformitate cu STAS 1543-75.Din analiza cinematic rezulta parametrii cinematic,atat pentru elemente cat si pentru punctele stabilite,in functie de miscarea si pozittia elementului conducator.Acesti parametric cinematic sunt:pozitia elementului sau a punctului considerat;traiectoria descrisa de un anumit punct luat in studio;viteza si acceleratia unghiulara a elementelor;viteza ssi acceleratia absoluta a punctelor considerate.Acesti parametric cinematic se determina pentru un ciclu cinematic.

Analiza cinematic se poate realize prin diverse metode,mai simple cu o precizie scazuta insa suficienta pentru scopul propus sau mai complicate cu o precizie foarte buna ,atunci cand este absolute necesara. De regula,metodele precisa se realizeaza cu success,numai pe calculator.Principalele metode utilizate sunt:grafice;grafo-analitice,dintre care cea mai cunoscuta este metoda poligoanelor de viteze si acceleratii;analitice sau a contururilor vectoriale;speciale,dintre care se mentioneaza metoda functiilor de transfer si metoda matrieala.

2.2 Metode grafice Aceste metode,permit determinarea parametrilor

cinematic,direct,prin constructii graficee fara a se utilize relatii de calcul intre parametrii determinate.

INGINERIE MECANICA - MECANISME 2

Din randul acestor metode,mai interesanta este metoda diagramelor.

Precizia la metodele grafice este mica si eroarea de estimare este de 2% pentru traiectorii; 5% pentru viteze; 10% pentru acceleratii.Totusi,aceste precizii sunt suficiente pentru analize,care pot fi realizate numai peentru puncte cu miscare absoluta de rotatie sau de translatie.

Cu toate aceste dezavantaje,metodele grafice se mai utilizeaza oferind unele avvantaje certe cum ar fi:determinarea vitezelor si acceleratiilor se realizeaza prin procedee asemanatoare,fara dificultati;nu necesita cunostinte deosebite in domeniul mecanismelor si a metodelor complicate de calcul mathematic;dezvolta intuitia,fiind o metoda didacticaa foarte eficienta. 2.2.1 Metoda diagramelor

Aceasta metoda ,cunoscuta sub denumirea de metoda derivarii grafice,se bazeaza pe faptul ca derivate unei functii este egala cu tangent triggonometrica a unghiului format de sensul pozitiv al axei absciselor cu tangent geometrica,dusa la curba functiei respective.In analiza cinematic a unui mechanism se pornesste de la diagram spatiului unui punct de pe elemental de lucru.De regula,se considera derivate in functie de pozitia unghiulara a elementului conducator.In aceste conditii,prin derivarea spatiului rezulta viteza redusa cu dimensiune liniara,respective acceleratia redusa,conform relatiilor urmatoare:

(2.1)

ANALIZA CINEMATICA 3

(2.2) Principiul metodei consta in determinarea,pe cale grafica, aunor

corespondente intre marimile parametrilor cinematic si elementele mecanismului real,exprimate prin marimile representative de pe desen cu ajutorul scarilor:

-scara lungimilor

-scara spatiului unghiular

-scara timpului

-scara vitezelor

-scara acceleratiilor

Din figura 2.1,executata la scara,se deduc relatiile de legatura mentionate mai sus,prin corectia relatiilor (2.1),(2.2) cu scarile respective,dupa cum urmeaza:


Dar,din ADI rezulta ca ,iar din BO

tg

In aceste conditii,relatia (2.3) capata forma:

(2.4) Elemental de legatura,in aceasta situatie,este scara vitezelor ,

exprimata sub forma:

(2.5)

Daca se imparte la relatia (2.5) se obtine scara vitezelor reduse din

expresia (2.1). In mod asemanator se poate deduce scara accceleratiilor daca se

condifera expresia din si din diagram vitezei,rezultand

relatia (2.6)

(2.6) In aceste conditii,acceleratia in punctual I,se determina astfel:

(2.7)


2.2.2 Metoda centrului instantaneu de rotatie (C.I.R)

Central instantaneu de rotatie este un punct din planul miscarii caracterizat de o viteza insttantanee nula.

El se bucura de unele proprietati,cum ar fi: -vitezele tutrror punctelor de pe un element,de exemplu AB din

ffig.2.2,in raport cu C.I.R sunt perpendicular pe razele vectoare ale acestor puncte,iar valorile lor sunt proportionale cu razele respective;

-centrele instantanee de rotatie a trei elemente,aflate in miscare plan-paralela sunt colineare,fig.2.3;


-la un mechanism cu n elemente,exista un numar de C.I.R egal cu numarul combinarilor de n elemente luate cate doua;

-cand elemental sau planul de referinta este fix,C.I.R este absolute;

-locul geometric al C.I.R se numeste curba polara si este considerate baza daca C.I.R este absolute si ruleta cand C.I.R apartine unui plan mobil.

Daca se considera fig.2.2,determinarea vitezei punctului M

presupune cunoscute: -viteza punctului A si directia vitezei punctului B sau viteza

punctului A si marimea vitezei unghiulare a elementului AB. In aceste conditii se procedeaza astfel: -se determina pozitia centrului instantaneu de rotatie a

elementului AB si care este punctual I,obtinut ddin intersctia directiei perpendicularei AI pe directia vitezei punctului A,cu directia perpendicularei IB pe directia vitezei pinctului B. Odata cunoscuta pozitia centrului instantaneu de rotatie se poate determina viteza punctului B sau a oricarui punct de pe elemental AB,spre exemplu punctual M.Pentru punctual B,calculul se rezuma la: (2.8)


(2.9) Respectiv pentru punctual M,

-se determina vitezele care intereseaza direct cu relatiile (2.9),(2.10). In aplicarea mettodei centrului instantaneu de rotatie,C.I.R,apar cateva cazuri particulare: -vitezele celor doua puncte (A si B) sunt paralele,de unde rezulta ca CIR este la infinit si prin urmare elemental are o miscare de translatie permanenta sau insstantanee; -dreapta AB este normal pe directiile celor doua viteze ( , ), situatie in

care pozitia CIR este nedeterminata fig.2.4a daca nu sunt cunoscute marimile vitezelor celor doua puncte,in caz contrar pot sa apara cazurile din fig.2.5b,respective,fig2.4c.

Daca se considera fig.2.3,metoda CIR se aplica astfel:


(2.11) 2.2.3 Metoda rabaterii

Aceasta metoda se bazeaza pe o teorema caree demonstreaza ca: Dreaapta care uneste varfurile vectorilor viteze,a doua puncte

din plan unui element rabatut cu 90 de grade ,este paralela cu dreapta care unesste punctele respective.

In fig.2.5a si b se prezinta doua exemple:fig.2.5a,se arata principiul metodei care poate fi considerat ca o varianta a metodei CIR si consta in parcurgerea etapelor:

-se rabate intr-o directive arbitrara viteza cunoscuta a punctului A cu 90 de grade,la o anumita scara a vitezelor ,reprezentata de

segmentul A ,rezultand punctual

-din se duce o paralela la AB care intersecteaza in punctual

perpendiculara ridicata din B pe suportul vitezei acestui punct;


a) b)

Fig. 2.5 Se rabate segmentu 1BB n sens opus obinndu-se punctul b pe suportul vitezei punctului B. Marimea vitezei cutate este:

bBkv vB = (2.12) Construcia grafic se justific prin asemanarea triunghiurilor IAB si IA1B1 in care I este centrul instantaneu de rotaie. Din rapoartele care se pot scrie i din unele proprietei ale proporiilor, rezult:

1

1

1

111 IA

IBIAIAIBIB

IAIBAABB =

==

de unde,

IAIBvv AB = (2.13)

n figura 2.5b, se aplica aceast metod la mecanismul manivel-piston, rezultnd viteza punctului C, utiliznd relaia (2.13) cu notaiile corespunztoare. Not: Pentru un element care conine o cupl de translaie i una de rotaie, CIR se gsete pe perpendiculara la ghidaj i care trece prin cupla de rotatie (vezi Fig.2.5b). 2.3 Metoda grafo-analitic

Mai este cunoscut i ca metoda ecuaiilor vectoriale i const n rezolvarea grafic a ecuaiilor vectoriale, de tip Euller, pentru viteze i acceleraii cu aplicabilitate la elemente legate prin cuple de rotaie, de translaie de clas cinci i prin cuple superioare de clas patru.

Metoda prezint unele avantaje: Precizie suficient de bun; Se poate aplica la toate punctele mobile ale mecanismului plan i la unele

mecanisme spaiale;


Sunt folosite calcule analitice simple. Cu toate aceste avantaje, metoda are o serie de neajunsuri care, in

ultimul timp, au fcut ca ea s fie mai puin utilizat dei din punct de vedere didactic conduce la formarea unei viziuni mai clare asupra mecanismelor. Dintre desavantaje se menioneaz:

Volumul mare de lucru; Nu poate fi utilizat la toate mecanismele.

Pentru rezolvarea parametrilor cinematici, prin aceast metod, se procedeaz astfel: Se stabilesc punctele pentru care se doreete analiza cinematic i poziiile necesare ale elemntului conductor; Se descompune mecanismul n grupe structurae; Se deseneaz mecanismul la scar, in toate poziiile stabilite pentru elementul conductor inndu-se cont de rezultatele unei, eventuale, analize pozitionale; Se scriu ecuaiile de tip Euller i se rezolva grafic la o scar aleas n mod convenabil, care poate fi schimbat de la poziie la poziie i chiar la aceeai poziie la grupe diferite n funcie de mrimea vectorilor care trebuie desenai; Rezolvarea incepe cu elementul conductor i se termin cu ultima grupa introdus la generarea mecanismului. 2.3.1 Ecuaii de tip I

Aceste ecuaii sunt specific elementelor legate prin cupl de rotaie i reprezint ecuaia de micare a unui punct fa de alt punct care aparine aceluiai element, Fig.2.6 i are forma:

Viteze; BAAB vvv += (2.14)


Se cunosc: A,B elementului AB; poziia punctului A B;

Av - ca mrime, directive, sens, punct de aplicaie, AB - necunoscut;

=necunoscutsens

cunoscutaABdirectieanecunoscutlmarime

v

AB

ABAB

AB

Pentru rezolvarea unei ecuaii vectoriale n care un vector are cunoscut numai direcia vitezei, mai trebuie asociat cu o alta ecuaie de tipI,II sau III.

acceleraii; tBA

nBAAB aaaa ++= (2.15)

Pe lng elementele cunoscute prezentate la vitez, se mai cunosc urmatoarele:

=

cunoscutABsenscunoscutaABparaleladirectie

cunoscutalmarimea

ABABnBA

2

=

anecunoscutsenscunoscutABdirectie

anecunoscutmarimea

AB

ABtBA

Avand in vedere c acceleraia unghiular AB - este necunoscut,

pentru rezolvare mai trebuie o ecuaie de tip I, II sau III.


2.3.2 Ecuaii de tipII

Se aplic atunci cnd dou puncte au aceiai poziie dar sunt situate

pe elemente diferite care au o micare de translaie, unul fa de cellalt,

Viteze; 1212 AAAA vvv += (2.16)

Se cunosc urmtoarele: 21 AA ca poziie; 121 ;2;1 AvAA vector cunoscut sau se poate determina prin calcul dac se cunote micarea elementului 1.

Aceast micare este cunoscut dac se cunoate micarea unui punct de pe elementul 1 i viteza unghiular a acestui element, sau se cunoate micarea a dou puncte de pe acest element.

Pentru vectorul cunoscut se poate scrie:

=poligonnecunoscutsenscunoscutghidajuldirectie

poligonanecunoscutmarimev AA ,1//12

Ecuaia (2.16) se poate rezolva prin asociere cu o alt ecuaie de tip I,II sau III.

acceleraii; r

AAc

AAAA aaaa 121212 ++= (2.17)


Acceleraia punctului 1A este cunoscut sau se poate calcula, aa

cum s-a precizat la viteze. Acceleraia corriolis poate fi determinat, dup cum urmeaz:

=

cunoscutduparotitvsenscunoscutaghidajuldirectie

cunoscutavmarimea

AA

AAc

AA

,90,1

,2

112

121

12

o

=poligonnecunoscutsenscunoscutaghidajuldirectie

poligonanecunoscutmarimea

rAA ,1//12

Se observ c accleraia relativ este necunoscut dar cunoaterea direciei sugereaz ideea c ecuaia se poate rezolva grafic prin asocierea ei cu o alta ecuaie de tip I,II sau III. 2.3.3 Ecuaia de tip III

Este specific cuplelor superioare de clas patru, de exemplu la came, ns se poate ntlni i la mecanismele cu bare, motiv care se prezint aici. Punctele de contact se caracterizeaz prin dou micri, o rotaie i o translaie, aceeai poziie dar aparinnd unor elemente diferite, Fig.2.8.

viteze; 1212 AAAA vvv += (2.18)

Pentru rezolvarea ecuaiei (2.18) sunt cunoscute, ca poziie punctele

21 AA i c 12121 ;;2;1 AAA vvvAA - cunoscut sau se poate determina cunoscandu-se micarea elementulzui 1;

=

poligonnecunoscutsenscunoscutattcudirectie

poligonanecunoscutmarimev AA ,//12


Fiind cunoscut numai direcia, ecuaia (2.18) poate fi rezolvat grafic dac se asociaz cu o alt ecuaie de tip I,II sau III.

acceleraii;

tAA

nAA

cAAA

rAA

cAAAA aaaaaaaa 1212121121212 +++=++= (2.19)

n rezolvarea grafic a acestei ecuaii se mai cunosc: 1Aa -cunoscut sau se poate determina cunoscndu-se micarea elementului 1;

=

cunoscutaduparotitvsensulcunoscutattghidajdirectiacunoscutavmarimea

aAA

AAc

AA

,90,,2

112

121

12

o

=

cunoscutAAsensulcunoscutaprofilttghidajdirectia

cunoscutaAAvmarimeaa

AAn

AA

,),(

,/)(

0

02

12

12

=

poligonnecunoscutsensulcunoscutAAdirectia

poligonanecunoscutmarimeaa

tAA

21

0

21

12 ,


Asociind aceast ecuaie cu o alt ecuaie de tip I, II sau III se poate rezolva grafic.

Nota: Pentru rezolvarea grafic trebuie cunoscut desenul la scar, n poziia curent elementului conductor de poziia punctului luat n studiu i stabilirea unei scri adecvate n aa fel nct vectorii din poligon s fie suficient de mari pentru ca precizia de msurare s fie ct mai bun. E bine ca acest obiectiv s nu fie absolutizat ntruct se obin desene exagerat de mari. Scara poate fi schimbat de la o poziie la alta sau chiar de la un punct la altul, pentru aceeai poziie.

2.3.4 Metoda asemanarii

Sunt situaii n care sistemele de dou ecuaii vectoriale conduc la nedeterminri, fcnd imposibil rezolvarea lor. n aceste condiii, se poate aplica cu succes metoda asemnrii, att la viteze ct i la acceleraii. Principiul metodei este urmatorul:

viteze; n Fig.2.9a, pentru determinarea vitezei punctului C sunt date

vitezele punctelorA i B. Aplicnd metoda CIR sau metoda grafo-analitic utiliznd dou ecuaii de tip I, rezult poligonul de viteze din Fig.2.9b.


Din analiza Fig.2.9 se constat c poligonul de viteze formeaz o

figur (abc) asemenea cu figura corpului (ABC), rotit cu o90 n sensul vitezei unghiulare . Datorit asemnrii, rezult o proprietate a planului vitezelor, cunoscut ca o teorem de asemnare, utilizat la determinarea vitezei oricrui punct din planul mobil dac sunt cunoscute vitezele a dou puncte. Ea se aplic astfel:

BCca

ACca

ABba )()()( == (2.20)

de unde,

ABACbaca )()( = (2.21)

Vectorul )( ca astfel obinut se msoar pe o direcie perpendicular

pe AC i care trece prin punctul a din poligonul de viteze rezultnd


poziia punctului c. n aceste condiii viteza punctului C se determin din poligon astfel:

)( cpkv vvC = (2.22) acceleraii;

Pentru punctul C din Fig.2.10a, se determin acceleraia utiliznd dou ecuaii de tip I construind poligonul de acceleraii din Fig.2.10b. Se constat c pentru fiecare punct din figura elementului mobil i corespunde un punct din poligonul acceleraiilor (de exemplu, punctului A i corespunde punctul a). Pentru triunghiul ABC corespunde triunghiul abc rotit cu unghiul n sensul acceleraiei unghiulare .

Vectorii care au originea n polul acceleraiilor ap reprezint

acceleraiile absolute la scara ak , aleas n mod convenabil (de exemplu,

vectorul apa reprezint acceleraia punctului A). Vectorii care nu au

originea in pol sunt acceleraii relative, cu urmatoarele marimi:


431

43 ==== ABAB lkABa 43

143 ==== ACCA lkACa

431

43 ==== BCBC lkBCa (2.23) Aceste acceleraii sunt reprezentate n poligon de vectorii:

aBCaCAaBA kacbkacakaba /'';/'';/'' === (2.24) nlocuind expresiile scalare ale acceleriilor relative i efectund o

serie de calcule se ajunge la rapoartele:

BCcb

ACca

ABba '''''' == (2.25)

Relaiile (2.25) confirm faptul c figura geometric a elementului cinematic este asemenea cu corespondentul ei din poligonul acceleraiilor. Polul acceleraiilor J. Prin urmare i la acceleraii se poate utiliza metoda asemnrii, cu particularitile sale, la determinarea acceleraiilor.

2.3.5 Aplicaii

I. Fie mecanismul patrulater ABCD din Fig.2.11, pentru care se cunosc: desenul la scar pentru o anumit poziie unghiular a elementului conductor .1 cons= . Se cere s se determine vitezele i acceleraiile puncelor situate n centrul cuplelor de rotaie (A,B,C,D), respectivvitezele i acceleraiile unghiulare ale tuturor elementelor. Pentru rezolvare se parcurg urmtoarele etape:

Se face analiza structurala pentru a constata dac schema este corect i const n ; stabilirea corect a numarului de elemente, stabilirea corect a


numarului de cuple cinematice i clasele lor, stabilirea familiei mecanismului, determinarea gradului de mobilitate, descompunerea mecanismului n grupe structurale.

Pentru fiecare element conductor (dac sunt mai multe) i pentru fiecare grup structural (dac sunt mai multe), se scriu ecuaiile vectoriale, de viteze i acceleraii, specifice fiecrui caz.

Se stabilete scara vitezelor vk , respectiv scara acceleraiilor ak i se transform cu aceste scri toate mrimile cinematice cunoscute n vectori reprezentativi cu unitai de lungime.

Se rezolv grafic ecuaiile vectoriale prin construirea poligoanelor pentru toate entitile structurale incepnd cu elementul conductor, respectndu-se modul de formare a mecanismului.

Din poligoane se determin mrimile cinematice necunoscute (vitezele i acceleraiile punctelor stabilite, vitezele i acceleraiile unghiulare ale elementelor, sensurile vitezelor i acceleraiilor unghiulare).


Parcurgnd etapele de mai sus, se constat c mecanismul are un singur element conductor AB i o singur grup structural BCD, de clas 2, ordin 2, aspect 1. n aceste condiii, ecuaiile vectoriale specifice fiecrei entiti sunt:

Element conductor legat prin cupl de rotaie la care se aplic ecuaiile de tip I; viteze acceleraii

BAAB vvv += tBAnBAAB aaaa ++= Pentru rezolvarea acestor ecuaii se cunosc, din datele problemei, urmtoarele: A cupl de rotaie caracterizat de 0=Av i

1;0 =Aa =constant i deci 1 =0; lungimea ABl dat n [ ]m . 1. Se calculeaz mrimile necesare rezolvrii vitezei:

[ ] [ ] [ ]mlradsmvv ABBAB = sec// 1


[ ][ ]mmv

smvk

B

B

v

/=

2. Din polul vitezei vp , stabilit arbitrar Fig.2.11b, se duce o perpendicular pe

direcia elementului conductor AB. Din pol, in sensul dat de viteza

unghiular, se msoar i se deseneaz vectorul reprezentativ [ ]mmvB al vitezei punctului B.

3. Se calculeaz mrimile necesare rezolvrii ecuaiilor:

[ ] [ ] [ ]mlsradsma ABnAB = 2212 // [ ][ ]mma

smak n

BA

nBA

a

2/=

4. Din polul acceleraiilor ap , stabilit arbitrar Fig.2.11c, se duce o paralel la

AB i n sensul de la B la A se msoar si se deseneaz vectorul reprezentativ al acceleraiei normale a punctului B fa de A care este tocmai acceleraia absolut a punctului B.

5. Rezolvarea cinematic a elementului conductor este terminat intruct acceleraia tangenial este nul datorit faptului c 01 =

Grupa BCD n care sunt dou elemente legate prin cupla C de rotaie, situaie n care se vor utiliza dou ecuaii de tip I, cte una pentru fiecare element. ntruct cupla D este de rotaie, fixat la batiu (elementul 4), micarea centrului ei este nul )0;0( == DD av . Singurul punct care intereseaz, cu micare necunoscut este centrul cuplei de rotaie C, pentru care se dau urmtoarele relaii de calcul:

viteze acceleraii

+=+=

3,2,

CvvvCvvv

CDDC

CBBC

++=++=

3,2,

1

1

CaaaaCaaaa

CDnCDDC

CBnCBBC


Avnd n vedere discuiile de la ecuaiile de tip I, se preyint etapele n reyolvarea acestei probleme:

1. Vitezele punctelor B i D sunt cunoscute, aa cum s-a precizat mai sus,

Bv rezolvat la elementul conducttor i reprezint n poligonul

vitezelor prin vectorul reprezentativ [ ] bpmmv vB , iar vD pv = 0 . 2. Vitezele relative, din ambele ecuaii, sunt necunoscute ca mrime i sens

ns au cunoscute direciile perpendiculare pe BC, respectiv, pe CD. n conformitate cu sistemul de ecuaii vectoriale de viteze, se duce o perpendicular la BC prin vrful vectorului Bv i o alt perpendicular

pe DC, prin polul vitezelor, Fig.2.11b. La intersecia acestor

perpendiculare se gsete punctul c. Segmentul cpv este tocmai viteza

reprezentativ a punctului C i se msoar n [ ]mm . 3. Se calculeaz viteza punctului C,

[ ] [ ] vvCDC kmmcpvsmv =/ i viteza relativ punctului C fa de B, dupa ce se msoar segmentul bc,

[ ] [ ] vCB kmmcbsmv =/ . 4. Se calculeaz vitezele unghiulare ale elementelor BC i CD,

,,2 respectivsrad

lkcb

BC

v

=

=

srad

lkcp

CD

vv3

5. Se stabilesc sensurile acestor viteze unghiulare pe baza datelor din poligon, astfel:

se deplaseaz vectorul CBvcb in punctul C, de pe mecanism, i se stabilete sensul lui 2 ca fiind rotaia imaginar produs de acest vector asupra elementului BC(Fig.2.11).


se deplaseaz vectorul CDv vcp n punctul C i se stabilete sensul lui 3 ca fiind o rotaie imaginar a elementului CD n sensul dat de

vectorul respectiv. 6. Cu aceste operaii analiza vitezelor pentru aceast poziie s-a terminat,

rezolvndu-se toate solicitrile. 7. Se continu analiza cu determinarea acceleraiilor, tiind c acceleraia

punctului B s-a determinat la elementul conductor i c acceleraia lui D este nul, din aceleai motive ca n cazul vitezelor.

8. Se calculeaz acceleraiile normale, att pentru elementul CB ct i pentru elementul CD, cu relaiile date la prezentarea ecuaiilor tip:

[ ] [ ]mlsma CBnCB = 222/ CDnCD la = 23 9. Se calculeaz vectorii reprezentativi la scara acceleraiilor ak :

[ ]a

CBCB

nCB

klnmma ==

22

aCD

CDnCD

klna ==

22

10. Se duce o paralel la CB, prin vrful vectorului 'bpa i n sensul de la C

la B se deseneaz vectorul acceleraiei normale CBn , apoi prin pol se

duce o paralel la CD i n sensul de la C la D se deseneaz vectorul reprezentativ al acceleraieinormale a punctului C fa de D, CDn .

11. Pentru componenteletangeniale se cunosc numai direciile perpendiculare pe BC, respectiv, pe CD care se traseaz prin vrful acceleraiilor normale. La intersecia acestor direcii se gsete soluia problemei, adic acceleraia punctului C care este repreyentat in poligon

prin segmentul 'cpa .

12. Se calculeaz mrimile acceleraiilor necunoscute, apoi acceleraiile unghiulare :

[ ] [ ] aaC kmmcpsma == 2/


[ ] [ ] [ ]mlktkmmtsma CBaCBaCBtCB // 22 === [ ] [ ] [ ]mlktkmmtsma CDaCDaCDtcd // 32 ===

13. Se stabilesc sensurile acceleraiilor unghilare, dup procedeul stabilit la vitezele unghiulare, cu precizarea c se transleaz vectorii acceleraiilor tangeniale n punctul C de pe mecanism.

14. Analiza cinematic cerut n enun mod utiliznd ecuaiile de tip sau alte metode, cum ar fi metoda asemanrii care, de regul, se aplic cnd ecuaiile tip conduc la nedeterminri. Nedeterminrile apar cnd direciile vectorilor necunoscui sunt paraleli i deci nu se intersecteaz pentru a rezulta soluia dorit.

II. Fie mecanismul manivel piston ABCD din Fig.2.12. Se cere s se determinevitezele i acceleraiile punctelor A,B,C,D,G i vitezele i acceleraiile unghiulare.


Se cunosc: desenul la scar pentru o anumit poziie unghiular a elementului conductor AB; viteza unghilar a elementului conductor este constant. Din efectuarea analizei structurale reyult c mecanismul are un singur element conductor, cupl de translaie D. Se menioneaz c grupa degenerat, elementul 3 are lungime zero.

Analiza cinematic a elementului conductor: viteze acceleraii

BAAB vvv += tBAnBAAB aaaa ++= Rezolvarea vitezelor i acceleraiilor conduce la obinerea vectorilor

bpv din Fig.2.12b, respectiv, 'bpa din Fig.2.12.c.

Analiza cinematic a grupei BCD: viteze

+=+=

3,2,

4343

2

CvvvvCvvvv

CCCCC

CBCBCC

acceleraii

++=++=

3,2,

434343

2

CaaaaaCaaaaa

rCC

cCCCCC

tCB

nCBBCC

Se poate observa c la ecuaiile de tip II intervin puncte cu aceei poziie situate pe elemente diferite, motiv pentru care apar indici diferii. Indicii arat elementul pe care se gsesc punctele considerate la scrierea ecuaiilor. Din rezolvarea grafic a acestor ecuaii rezult viteza punctului C, Fig.2.12b i acceleraia lui, Fig.2.12c. Problema cere s se determine i parametrii cinematici ai punctului G care reprezint centrul de mas al elementului 2. Acceleraia acestui punct este necesar la analiza cinetostatic. Dac s+ar recurge la metoda ecuaiilor vectoriale ar rezulta o nedeterminare. Rezolvarea se face prin metoda asemnrii, astfel:

viteze BCGBcbgbvGB =


vvG kgpv = acceleraii

BCGBcbgba BG '''' ==

aaG kgpa = De notat c micarea punctului D este identic cu cea a punctului C ntruct ambele puncte aparin unui element care are numai micare de translaie.

III. Fie mecanismul culis oscilant ABCD din Fig.2.13. Se cere analiza cinematic a mecanismului dat, n ipoteza c elementul conductor are viteza unghiular constant. Din analiza structural se constat c mecanismul are un singur element conductor AB, o grup structural BCD, n care cupla intern C este de translaie, motiv pentru care se va utiliza, n rezolvare, o ecuaie de tip I asociat cu una de tip II. Pentru elementul conductor, rezolvarea este identic cu a exemplelor anterioare, motiv pentru care nu se mai insist. i aici, apar notaii cu diveri indicii care atenioneaz, fie fie prezena unei cuple de translaie, fie prieciile unor puncte ajuttoare n rezolvarea problemei. Semnul de identitate se refer numai la faptul c punctele respective au aceeai poziie.


Analiza cinematic a grupei BCD

viteze acceleraii

+=+=

3333

2323

DBDB

BBBB

vvvvvv

++=++=

tBB

nDBDB

rBB

cDBBB

aaaaaaaa

233333

233323

n Fig.2.13b se prezint poligonul de viteze, iar in Fig.2.13c poligonul de acceleraii. n Fig.2.13d se prezint modul de determinare a sensului acceleraiei corriolis n funcie de sensul vitezei relative. Poligoanele sunt utilizate pentru determinarea mrimilor vectorilor necunoscui i pentru stabilirea sensurilor vitezelor si acceleraiilor unghiulare, aa cum s-a procedat la aplicaia I.


IV. Fie mecanismul de tangent din Fig.2.14. Se cere analiza cinematic prin metoda grafo-analitic. Din analiza structural rezult prezena unui element conductor i a unei grupe structurale de clas 2, ordin 2, aspect 4, care conine dou cuple de translaie B, D si o cupl de rotaie situat intre cuplele de translaie. Pentru rezolvare se utilizeaz asocierea a dou ecuaii de tip II. Se prezint numai ecuaiile utilizate la rezolvarea grupei cinematice BCD.

Analiza cinematica grupei BCD

viteze acceleraii

+=+=

3,2,

4343

1212

CvvvvCvvvv

CCCCC

CCCCC

++=++=

3,2,

434343

121212

CaaaaaCaaaaa

rCC

cCCCCC

rCC

cCCCCC

De precizat c prezena elementului de mrime zero face ca in zona celor dou cuple B i C s apar mai multe puncte cu diveri indici. Astfel, cuplei B i asociem punctele: B2 care indica faptul c acest punct aparine elementului 2; B1 care reprezint proiecia punctului B pe elementul 1. Pentru cupla C de rotaie se poate face aceeai discuie: C2


arat ca punctul C aparine elementului 2; C1 reprezint proiecia cuplei pe elementul 1; C3 arat c elementele cuplei de rotaie au aceeai micare, indiferent de poziia lor, aa ca punctul C este identic cu punctul care se afl pe elementul 3; C4 este proiecia cuplei pe planul legat de elementul 4. Trebuie remarcat c, asocierile se fac n aa fel ca punctele atrase in asociere s fie cu micare cunoscut. Astfel, punctul C4 este fix, iar punctul C1 aparine elementului conductor care are miscarea cunoscut.

Dac se analizeaz relaiile scrise pentru cinematica grupei se poate constata: viteza punctului C1 este cunoscut de la analiza elementului conductor, care poate fi realizat pentru orice punct intereseaz; viteza relativ a punctului C2 fa de punctul C1 este necunoscut dar are direcia paralel cu ghidajul, adica elementul AB; viteza punctului C4 este zero, fiind un punct dintr-un plan fix; viteza relativ a punctului C3 fa de C4 este necunoscut dar are direcia paralel cu ghidajul elementului 3, adic cu CD. O discuie asemntoare se poate face i pentru acceleraii, din care s rezulte date care sa ajute la rezolvarea problemei. Asfel: acceleraia punctului C1 se consider cunoscut; acceleria corriolis, a punctului C2 faa de C1 , se poate calcula si se consider cunoscut, iar n Fig.2.14d se arat metoda prin care se determin sensul i direcia ei; acceleraia relativ a punctului C2 fa de C1 este necunoscut dar are direcia paralel cu ghidajul; acceleraoia punctului C4 este nul; acceleraia corriolis C3 fa de C4 este nul pentru c ghidajul (elementul 4) nu se rotete; acceleraia relativ a punctului C3 fa de C4 este necunoscut dar are direcia paralel cu ghidajul (elementul 4 sau tija CD).

Cu aceste explicaii se pot constru poligoanele de viteze i acceleraii din care s se determine mrimile necunoscute.

V. Se d mecanismul de sinus in Fig.2.15a i se prezint, pe scurt, analiza cinematic a mecanismului.


Din analiza structural rezult o grupa cinematic de clas 2, ordin 2, aspect 5 care are dou cuple de translaie, consecutive. Dtorit elementului 2 de mrime zero punctele specifice cuplei B se suprapun cu cele ale cuple C, motiv pentru care s-a pus semnul de identitate numai pentru poziiile lor.

viteze acceleraii

+=+=

3,2,

4343

2323

BvvvvBvvvv

BBBBC

BBBBB

++=++=

3,2,

434343

232323

BaaaaaBaaaaa

rBB

cBBBBB

rBB

cBBBBB

Urmarind explicaiile de la aplicaiile anterioare i cele de la ecuaiile tip, se ajunge la urmtoarele concluzii: viteza punctului B2 este cunoscut din analiza cinematic a elementului conductor i este identic cu viteza punctului B1 ca fiind puncte ale unei cuple de rotaie; viteza relativ a


punctului B3 fa de punctul B2 este necunoscut ns direcia ei este paralel cu ghidajul cuplei de translaie C(segmentul 33); viteza punctului B4 este nul intruct acest punct aparine unui plan fix. Pentru acceleraii se pot face aceleai comentarii inndu-se cont de particularitile acceleraiilor.in Fig.2.15d stabilirea directiei si sensul acceleraiei corriolis a punctului B3 fa de B2. Trebuie s se observe c ecuaile se scriu n aa fel s se poat determina micarea punctelor sau elementelor interioare ale grupei n funcie de micarea punctelor sau elementelor de legtur (exterioare).

VI. Se consider un mecanism de eping care conine o grup de clas 3. La acest exemplu, datorit complexitii poligoanelor, sunt notai numai vectorii importani direct cu notaia complet i nu cu simbolurile convenionale.

La aceste grupe de clas 3 se utilizeaz proiecia S a unui centru instantaneu de rotaie, pe un plan legat de elementul interior de rang 3. Se poate demonstra c viteza acestui punct este nul i care uureaz rezolvarea problemei. Cu ajutorul acestui punct particular, grupa de clas 3 se descompune in grupe fictive de clas 2 care se rezolv mai uor aa cum s-a prezentat in aplicaiile I-V. Grupele fictive se vor stabili n aa fel nct ele s nu contin elementele care formeaz CIR i elementul fictiv care conine punctul S. n cazul dat, CIR se formeaz la intersecia prelungirii elementului 4 (DE) cu elementul 5(GG). De notat c elementul 5 are o cupl de translaie, motiv pentru care prelungirea se realizeaz cu o perpendicular pe direcia de translare si care trece prin cupla de rotaie F a elementului 5. n aceste condiii, grupele fictive sunt: SB3B2; B3DE; B3FG. Pentru aceste grupe ecuaiile de viteze i acceleraii sunt: viteze acceleraii


grupa fictiv SB3B2

+=+=

SBSB

BBBB

vvvvvv

33

2323

++=++=

tSB

nSBSB

rBB

cBBBB

aaaaaaaa

333

232323

grupa fictiv B3DE

+=+=

DEED

DBBD

vvvvvv 33

++=++=

tDE

nDEED

tDB

nDBBD

aaaaaaaa 333

grupa fictiv B3FG

+=+=

33

33

FFFF

FBBF

vvvvvv

+==+==

tFB

nFBBF

rFF

cFFFF

aaaaaaaa

333

666

Se atrage atenia c pot fi considerate i alte variante precum i alte metode. De axemplu, cunoscndu-se micarea punctelorB3 i D care aparin elementului 3, pentru micarea lui F se poate aplica i metoda


asemnrii, aa cum s-a procedat la poligonul acceleraiilor, unde vrfurile acceleraiilor punctelor F, B3 i D sunt coliniare i determin segmente proporionale cu segmente DB3 , respectiv, B3F.

2.4 Metode analitice Analiza cinematic prin metode analitice ofer o precizie ridicat i

se poate aplica la o diversitate de mecanisme, att plane ct i spaiale. De precizat c pentru scheme cinematice simple metodele se aplic mai uor, n timp ce pentru schemele complicate rezultatele se obin mult mai greu. n unele cazuri, se obin sisteme de ecuaii neliniare cu grade mai mari. Utilizarea calculatorului, cu programe adecvate, este folosit n ultima perioad de timp. De regul, aceste metode se aplic n laboratoarele de cercetare unde tehnica de calcul este performant si unde asemenea analize se fac n mod repetat pe structuri cinematice complicate. 2.4.1 Rezolvarea analitic a ecuaiilor vectoriale Ecuaiile vectoriale, utilizate n analiza cinematic prin metoda grafo-analitic, se proiecteaz pe axele unui sistem fix, fiecare ecuaie vectorial fiind transformat n dou ecuaii scalare. Pentru rezolvarea unei grupe cinematice de clas doi se formeaz sisteme de patru ecuaii cu patru necunoscute specifice tipului de ecuaie. Asemenea abordare se poate aplica i pentru un mecanism ntreg, rezolvarea fiind ceva mai grea dar prin utilizarea calculatorului munca devine mai uoar. De precizat c, volumul datelor de munc este mare si precizia obinut va fi influenat de corectitudinea datelor introduse n programul de calcul. n continuare, se prezint principiul de transformarea ecuaiilor vectoriale de tip I i II n ecuaii scalare.

Ecuaii de tip I Se consider Fig.2.17, n care se prezint elementul AB prevzut

cu doucuple de rotaie . Se cunosc urmatoarele date: viteza i acceleraia cuplei A ca mrime direcie i


sens cu ajutorul crora se calculeaz priecile ectorilor pe cele dou axe

),,,( AzAxAzAx aavv ; coordonatele cuplelor A si B ),,,( BBAA yxyx .

Necunoscutele sunt viteza i acceleraia cuplei B rezultate prin proieciile lor ),,,( ByBxByBx aavv ; viteza i acceleraia unghiular a elementului AB-1

),( 11 . Transformarea se realizeaz astfel:

viteze ABvvvv ABAAB +=+= 1 (2.26)

dar,

xyyx

ABjABiABAB

kjiAB +== 1111

000 (2.27)

de unde rezult;

==

)()(

1

1

abAyBy

abAxBx

xxvvyyvv

(2.28)

Mrimea vitezei punctuluiB este:


2211`

222 )(2 ABABvABvvvvv xAyyAxAByBxB +=+= (2.29) Observaii: Dac viteza punctului A este zero , se obine relaia cunoscut pentru viteza punctului n micarede rotaie ABvB = . Necunoscutele sunt; ,, ByBx vv i 1 .

acceleraii ABvaaaaa BAA

tBA

nBAAB ++=++= 11 (2.30)

dar,

[ ] yxyx

xyBA ABjABiABAB

kjiABjABiv 21

21

11

11111

000

=

=+=

(2.31)

ABjABiABAB

kjiAB y

yx

1111

000 +== (2.32)

de unde rezult;

+=

=)()()()(

121

121

ABABByBy

ABABAxBx

xxxyaayyxxaa

(2.33)

Mrimea acceleraiei punctului B va fi:

22 ByBxB aaa += (2.34) Observaii: Dca se introduc relaiile (2.33) n (2.34) i se particularizeaz pentruacceleraialui A mrimea zero, rezult relaia mrimei acceleraiei unui punct n micarea de rotaie

41

21 += ABaB

Necunoscutele sunt ,, ByBx aa i 1 . Ecuaiile de tip II


n Fig.2.18, se preyint schema dup care se realizeaz transformarea ecuaiilor vectoriale n ecuaii scalare cnd elementul se leag prin cupl de translaie. Se cunoate: micarea cuplei B, prin prieciile vitezei i acceleraiei sale ),,,( 2222 yBxByBxB aavv ; unghiul de

nclinare al ghidajului ( elementul 1); viteza i acceleraia unghiular a ghidajului ),( 11 . Se cere micarea unui punct care aparine ghidajului (B1).

viteze

2121 BBBB vvv += (2.35) relaia de tip II, adaptat situaiei de fa, are forma (2.35) i se transform n ecuaii scalare astfel:

+=+=

sincos

2121

2121

BByByB

BBxBxB

vvvvvv

(2.36)


Observaii: Necunoscutele sunt proieciile vitezei punctului B1 i viteza relativ din cupla de translaie 21BBv . Pentru acceleraii sunt

necesare proieciile vitezei relative pe axele sistemului i au expresiile din relaiile (2.37).

====

yByBBBBB

xBxBBBBB

vvvvvvvv

212121

212121

sincos

(2.37)

Mrimea vitezeipunctului B1 se calculeaz cu relaia: 2

12

11 yBxBB vvv += (2.38) acceleraiile

rBB

cBBBB aaaa 212121 ++= (2.39)

n care,

xBByBB

yBBxBB

BBc

BB vjvivv

kjiva 212212

2121

221221 220

2002 +=== (2.

40) de unde rezult;

+=

+=

sin)(2cos)(2

2121221

2121221r

BBxBxByByB

rBByByBxBxB

avvaaavvaa

(2.41)

Mrimea acceleraiei punctului B1 va fi: 2

12

11 yBxBB aaa += (2.42) Observaie: Necunoscutele sistemului transformat sunt; r BByBxB aaa 2111 ,, .

2.4.2 Metoda contururilor vectoriale Aceast metod permite rezolvarea parametrilor cinematici pe cale analitic i se poate rezolva cu uurin dac n procesul de rezolvare apar numai dou necunoscute. n cazul n care apar mai multe necunoscute, se scriu ecuaiile respective rezultnd sisteme de n ecuaii cu n necunoscute care se rezolv prin metode obinuite. Se menioneaz


c la mecanismele complexe, sistemele sistemele de ecuaii pot avea gradele mai mari i n unele situaii ecuaiile pot fi i neliniare. n aceste situaii rezolvarea se poate face numai prin metode aproximative cu ajutorul calculatorului.

Metoda contururilor vectoriale se aplica la mecanismele plane i const n:

1. Se ataeaz mecanismului un sistem de axe fix. 2. Se mparte mecanismul n mai multe contururi poligonale nchise, intr-o

anumit ordine. Numarul contururilor se poate stabili cu relaia: '5 nCNc = (2.43) n care; C5-numarul cuplelor de clas 5, iar n- numrul elementelor mobile.

3. Pentru fiecare contur poligonal se ataeaz vectorii care conduc la obinerea uneo ecuaii de inchidere.

4. reyolvnd aceste ecuaiise determin parametrii cinematici ai mecanismului.

5. Sensul de msurare este trigonometric. n Fig.2.19, se prezint un mecanism cu dou contururi poligonale nchise i deformabile care au urmtoareleecuaii de nchidere:

I. 04321 =+++ llll II. 087653 =++++ lllll (2.44)


Aceste contururi vectoriale sunt caracterizate de urmatorii parametri: I-variabila independent 1 ; parametrii constani 44321 ,,,, llll ; parametrii necunoscui 32 , iar pentru II- parametrii constani ;,,,,,, 876538 lllll parametrii variabili necunoscui .,, 765 ntre parametrii celor dou contururi exist anumite legeturi:

3l - comun; =++ 52 . Dac se analizeaz cele doucontururi se constat c n conturul I

sunt dou necunoscute, iar conturul II trei necunoscute ns una dintre aceste necunoscute depinde de una din conturul I. n rezolvare pot fi trei obiuni: elementul conductor putnd fi elementul 1, 3, 7. Primele variante sunt favorabile introducnd n contururi numai cte dou necunoscute, situaie uor de rezolvat. n varianta trei necunoscute n poligonul II de lng elementul conductor i care nu poate fi rezolvat independent. Rezolvarea se poate face numai pentru ambele poligoane simultan. Evident, caz mult mai greu de rezolvat. Din acest motiv s-a apreciat n etapa 2 anumit ordine. Ca aplicaie, se consider un mecanism patrulater figura 2.20, cu urmtori parametri: t11 = - variabil independent care determin, n primul rnd, viteza unghilar i acceleraia unghilar a elementului conductor care, apoi, se transmite la urmtorii parametri variabili;


parametrii constani- 44321 ,,, llll parametrii variabili 21, care derivai conduc la aflarea vitezelor i apoi a acceleraiilor unghiulare ale elementelor respective.

Fig. 2.20

Prin analiza cinematic se pot urmri mai muli parametrii cinematici din care cei mai importani sunt: poziia unghilar a elementelor 2 i 3 fa de elemetul fix 1; vitezele i acceleraiile unghiulare absolute ale elementelor; vitezele i acceleraiile unghiulare absolute ale elementelor; vitezele i acceleraiile unghiulare relative, dintre elemente; vitezele i acceleraiile absolute ale unor puncte de pe mecanism; traiectoriile unor puncte.

Rezolvare poziiilor unghiulare Se scrie ecuaia vectorial a conturului poligonal ABCD, parcurs n

sens orar:

(2.45)

Se proiecteaz ecuaia (2.45) pe axele sistemului fix, rezultnd sistemul de dou ecuaii scalare:

(2.46)


Se fac notaiile:

(2.47)

Se separ variabilele din sistemul (2.46) i se introduc notaiile (2.47) rezultnd sistemul urmtor:

(2.48)

Se ridic la ptrat fiecare ecuaie a sistemului (2.48) i se adun, membru cu membru, rezultnd:

(2.49)

Se mparte relaia (2.49) la 32al ,i se fac notaiile:

n aceste conditii, relaia (2.49) capt forma:

(2.50)

Soluiile ecuaiei (2.50) sunt:

(2.51)

n care; .

Dintre cele dou soluii pentru care are sens funcional cosinus,adic -1X+1.Revenind la vechea variabil, se obine necunoscuta:

Yarccos2 = (2.52)


Dac se noteaz, cos Y=2 , dintr-o ecuaie a sistemului (2.48) rezult 23 /)( lXlaY += , de unde rezult urmtoarea necunoscut:

Yarccos2 = (2.53)

Vitezele unghiulare absolute

Se deriveaz ecuaiile scalare ale sistemului (2.46) i rezult un nou sistem:

=++=

0coscoscos0sinsinsin

333222111

3332211

llllll

(2.54)

unde; .;; 332211 === Pentru rezolvare, se apeleaz la un artificiu simplu de a se roti sistemul de axe fix cu unghiul 2 , apoi cu 3 n sens pozitiv i se transcrie prima ecuaie a sistemului (2.54) n noile sisteme rezultnd relaiile:

0)sin()sin(0)sin()sin(

32223111

23332111

=+=+

llll

Considernd c )sin()sin( 2332 = se obin vitezele unghiulare:

)sin()sin(

322

31112

=

ll

)sin()sin(

323

2113

1

=ll

Acceleraiile unghiulare absolute

Se deriveaz prima ecuaie a sistemului (2.54)rezultnd ecuaia:


0cos

sincossincossin

3233

33322222221

211111

=++++++

llllll

(2.

57)

Considernd = i utiliznd aceleai artificiu de rotire a sistemului fix i de transcriere a ecuaiei (2.57) n noile sisteme, rezult relaiile (2.58) din care se deduc acceleraiile unghiulare absolute.

(2.58)

Viteze i acceleraiile unghiulare relative

Micarea relativ din cuplele de rotaie B i C se determin cu relaiile urmatoare:

Viteze

Acceleraii


Se precizeaz c vitezele i acceleraiile absolute se introduce, n aceste relaii, cu semnele rezultate din calcul.

Vitezele i acceleraiile absolute ale unor puncte

Se folosesc ecuaiile analitice obinute din transformarea ecuaiile vectoriale.

Problema traiectoriilor

Pentru cuplele B i C, ct i pentru alte puncte de pe elementele 1 i 3, traiectoriile sunt cercuri de forma:

(2.60)

Dac punctele aparin bielei BC, ecuaiile parametrice se scriu uor ns ecuaiile de forma f(x,y) = 0 se obin mai greu folosind o metod general utilizat n mecanica teoretic, cunoscute sub denumirea de ecuaiile lui Roberts pentru curbe de biel care sunt ecuaii de gradul 6.

2.5 Metode speciale

Metodele speciale utilizeaz anumite funcii sau matrice care conduc la determinarea vitezelor pe ci mai directe, pe anumite cazuri concrete, cnd metodele clasice sunt mai greu de utilizat. Dei, se cunosc multe metode speciale, metoda funciilor de transfer, n cazul mecanismelor i metoda matriceal, de regul, n cazul roboilor sunt folosite mai mult,


motiv pentru care se vor prezenta, pe scurt, ca metode de analiz cinematic a mecanismelor.

2.5.1 Metoda funciilor de transfer

Se definete ca funcie de transfer de ordinul unu, expresiile: , respectiv,

funciile de ordinul doi:

n care sau

sau sunt mrimi variabile, exprimate vectorial sau analitic, i

poziia unghiular a elementului conductor al unui mecanism.

Cu aceste funcii se obin rapid vitezele necunoscute, cu urmtoarele relaii:

(2.61)

respectiv, acceleraiile:

(2.62)


Se poate constata imediat c, utiliznd metoda funciilor de transfer se poate ajunge mult mai usor la viteze i acceleraiile elementelor necunoscute.

Alpicaie

Fie mecanismul culis oscilant, ABCD, din Fig.2.21 pentru care se realizeaz, partial, analiza cinematic prin metoda analitic a contururilor vectoriale i prin metoda funciilor de transfer pentru a sesiza mai bine diferenele metodelor. Din analiza mecanismului se constat ca n conturul vectorial ataat sunt dou necunoscute:

Ecuaia vectorial a conturului i proieciile ei pe axele sistemului sunt :

,04321 =+++ llll unde 02 = l


=+=

0sinsin0coscos

43311

3311

lllll

de unde;

3

113 cos

cosll = dup derivare n raport cu timpul => 23v

Separnd variabilele sistemului (2.63) i mprind ecuaia 2 la 1, rezulta

3 sub forma :

11

1143 cos

sin

llltg += prin derivare => 3

Pentru obinerea funciilor de transfer se deriveaz, fie ecuaia vectorial (2.63) fie proieciile sale pe axele sistemului, rezultnd:

=

=+

0cossincos

0sincossin

31

333

1

311

31

333

1

311

ddl

ddll

ddl

ddll

(2.64)

Rotind sistemul cu unghiul 3 i rescriind relaiile n noul sistem, rezult:

=

=

0)cos(

0)sin(

1

33311

1

3311

ddll

ddll

(2.65)

de unde se deduc funciile de transfer de ordinul unu;

)cos()sin( 313

1

1

3311

1

3 == l

ldd

ilddl (2.66)


Considernd expresia analitic pentru 3l i determinarea vitezei cu ajutorul funciei de transfer, rezult:

)sin(

coscos)cos()cos(

31111

3123

1

331131

3

11

1

313

==

===

lddlv

ll

dd

(2.67)

Dac se face notaia 41 / ll= i se continu calculele, rezult acceleraiile sub forma:

2/31

12

112

21123

21

21

2213

)sin21(cossin)sin21(

)sin21(cos)1(

+++++=

++=

la r (2.68)

2.5.2 Metoda Matriceal

n calculul matricial se opereaz cu o serie de operatori care vor fi definii, pe scurt, pe baza Fig.2.22.


Poziia unui punct P ntr-un sistem mobil exprimat sub forma unei matrice coloan, notat cu (r) :

Poziia originii sistemului mobil ntr-un sistem fix, notata cu )( 10 . Unghiurile lui Euller care sunt formate de axele sistemului mobil (Ox; Oy; Oz) cu axele sistemului fix );;( 000 OzOyOx , exprimate ca o matrice coloan () de trecere.

=

=

=

)(;)(;)(0

0

0

10

zyx

zyx

r

n aceste condiii, un vector 1r poate fi exprimat astfel:

[ ] [ ]

===

1

1

1

332313

322212

312111

11

11 )()()(zyx

aaaaaaaaa

rarar T (2.69)

Matricea de trecere [ ]a dintr-un sistem n altul se poate defini ca un produs al matricelor de precesie, nutaie, rotaie proprie,astfel:

[ ] [ ] [ ] [ ] aaaa =


unde,

[ ] [ ]

[ ]

=

=

=

1000cossin0sincos

cossin0sincos0

001;

1000cossin0sincos

a

aa

Acum, se poate defini vectorul principal de poziie al unui punct P (Fig.2.22a) cu relatia:

[ ] )()()( 11010 ra T+= (2.71) i pentru punctul P din Fig.2.22b;

[ ] [ ] [ ] )()()()( 212110211010 raara TTT ++= (2.72)

Viteza absolut a punctului P

se deriveaz relaia (2.71) n condiiile n care sunt cunoscute micarea relativ din sistemul mobil prin vectorul ( )1r i micarea relativa a sistemului mobil n sistemul fix prin vectorul )( 10 i matricea de trecere [ ]10a .

[ ] [ ] )()()()( 11011010 rara TT ++= (2.73) Componentele vitezei, pe axele sistemului mobil, se obin prin mulirea la stnga, a relaiei (2.73), cu matricea de trecere rezultnd expresia:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ][ ] )()()()( 1101011010101010 raaraaaa TT ++= (2.74)


avnd n vedere c;

[ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] va

aaaa

Eaaaaaa

xy

xz

yzTTT

T

=

===

====

)(

00

0

111

relaia (2.74)capt forma cunoscut din mecanica clasic:

[ ] )()()()()()( 110 rtp vvrrvv +=++= (2.75) unde; )()( rvr = - viteza relativ a unui punct n sistemul mobil, [ ] )()( 0 rv + - viteza de transport. Acceleraia absolut a punctului P

Se deriveaz relaia (2.73) i rezult:

[ ]

+

+

+

+= 10..1.10..1.

110

....

10

..)()()()()( rararara T

TTT

(2.76)

Dac se nmulete la stnga cu [ ]10a relaia (2.76) i se ine cont de faptul c [ ] [ ]

+

=

.... T

TT

aaa , rezult acceleraia absolut proiectat pe

axele sistemului sub forma:

[ ]{ } [ ] )()()()()(2)()()( ..11.1.210 rct aaarrraa ++=++

++= (2.78)

n care;

[ ]{ )()()( 1.210 raat

++= - acceleraia de transport,


[ ] )(2)( 1.rac = - acceleraia corriolis, )()( 1

..rar = - acceleraia relativ.

Aplicaie

Se d mecanismul culis oscilant din Fig.2.23 i se cere analiza cinematic prin metoda matricial.

Datorit condiiilor de legtur,n cazul acestuia mecanismul particular, se poate preciza c:

0)(;0)(;)()(;0;0)(;0)( 333

333221

.

10 ==

==== OOO

OO avy

xrrr

Aplicndu-se elementele teoretice, la acest mecanism, se obin relaiile:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ]{ } [ ]

[ ] [ ] }{ [ ][ ] 0)(2)(2

)()()()(

0)()()()(

)()()(

3221

.

10

.32

.

21

.

10

.

3221

..2

21

.

32212110

..2

10

.32

..

3221

.

32212110

..33221102110

=

+

++

++

=++=+

rur

rurraur

rurraur

rraara OTTT

(2.79)


Din ecuaiile (2.79),se determin parametrii 33221 )(, lr i derivatele lor n funcie de 10

..

10

.

10 , i dup care se definitiveaz parametrii micrii:

[ ][ ] [ ] [ ]0)(0)(

)()()()(

0)(0)(

11

212110

..

10

.

2212110

.

2

33

==

+==

==

OO

OO

OO

av

rauarauv

av

iacceleracviteze

(2.80)

Matricele antisimetrice ale rotaiilor absolute, ale mecanismului plan, capt formele:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 10.1021.10.2021.10.30 ;; uuu =

=

= (2.81)

2. Analiza Cinematica Mecanisme

Documents

Transcript of 2. Analiza Cinematica Mecanisme