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Peter K. Kennedy

Rong Zheng

Flow Analysis ofInjection Molds

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Flow Analysis of Injection Molds

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Flow Analysis of

Injection Molds

Peter Kennedy

Rong Zheng

Hanser Publishers, Munich Hanser Publications, Cincinnati

2ndEdition

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Te Authors:

Dr. Peter Kennedy,Helmet Investments, 141/99 Spring St., Melbourne, Victoria 3000, Australia

Dr. Rong Zheng,

School o Aerospace, Mechanical and Mechatronic Engineering, Te University o Sydney, NSW 2006, Australia

Distributed in North and South America by:Hanser Publications6915 Valley Avenue, Cincinnati, Ohio 45244-3029, USAFax: (513) 527-8801Phone: (513) 527-8977www.hanserpublications.com

Distributed in all other countries byCarl Hanser VerlagPostach 86 04 20, 81631 Mnchen, Germany

Fax: +49 (89) 98 48 09www.hanser.de

Te use o general descriptive names, trademarks, etc., in this publication, even i the ormer are not especiallyidentied, is not to be taken as a sign that such names, as understood by the rade Marks and Merchandise MarksAct, may accordingly be used reely by anyone.While the advice and inormation in this book are believed to be true and accurate at the date o going to press,neither the authors nor the editors nor the publisher can accept any legal responsibility or any errors or omissionsthat may be made. Te publisher makes no warranty, express or implied, with respect to the material containedherein.

Library o Congress Cataloging-in-Publication Data

Kennedy, Peter (Peter K.) Flow analysis o injection molds / Peter Kennedy, Rong Zheng. -- 2ndedition. pages cm Includes bibliographical reerences and index. ISBN 978-1-56990-512-8 (hardcover) -- ISBN 978-1-56990-522-7 (e-book)(print) 1. Injection molding o plastics. 2. Mathematical modeling. I. Zheng,Rong, 1947- II. itle.

P1150.K45 2012 668.4120685--dc23 2012025721

Bibliograsche Inormation Der Deutschen Bibliothek

Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliograe;detaillierte bibliograsche Daten sind im Internet ber abrufar.

ISBN 978-1-56990-512-8E-Book-ISBN 978-1-56990-522-7

All rights reserved. No part o this book may be reproduced or transmitted in any orm or by any means, electronicor mechanical, including photocopying or by any inormation storage and retrieval system, without permissionin writing rom the publisher.

Carl Hanser Verlag, Munich 2013Production Management: Steffen JrgCoverconcept: Marc Mller-Bremer, www.rebranding.de, Mnchen

Coverdesign: Stephan RnigkPrinted and bound by CPI buch bcher gmbhPrinted in Germany

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To my Father

Professor Zhi-Zhong Zheng

for his love and professional spirit

that have guided my life.

Rong Zheng

To my Children

William and Anthony

for their support,

understanding and love.

Peter K. Kennedy

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Acknowledgements

We wish to record our sincere thanks to Professors Roger I. Tanner (University of Sydney),

H.E.H. Meijer (Technische Universiteit Eindhoven), Xi-Jun Fan (University of Sydney), and

Nhan Phan-Thien (National University of Singaporeformerly of the University of Sydney).

Many results and ideas presented in this book came from their works and from collaborative

research work with them and their colleagues. From this book one may see their deep in-

fluence on our work. Thanks are also due to Professor Charles Tucker (University of Illinois,

Urbana-Champaign), Professors Gerrit Peters, and Patrick Anderson (both of Technische Uni-

versiteit Eindhoven) for fruitful discussions and advice from which we benefited.

We also want to thank our former Moldflow colleagues in Melbourne, Australia and Ithaca,

USA with whom we both used to work. Our interactions with them broadened our knowledge

in several different aspects and lead to deep friendships. Their work can also be seen in this

book.

Much of our early work was conducted with several consortiums located in France and spon-

sored by Moldflow Corporation and some other industrial partners. In particular, we would

like to thank Professors G. Regnier (formerly ENSAM Paris, now Arts et Mtiers ParisTech), R.

Fulchiron (Universit de Lyon), D. Delaunay (Universit de Nantes), and Dr. V. Leo (Solvay)

for participation in several projects that showed how complex the injection molding process isbut nevertheless produced some results that are of practical use.

We are indebted to the Australian Cooperative Research Center for Polymers for providing an

opportunity of doing collaborative research with research teams from Monash and Sydney

Universities. In particular, we were grateful to obtain access to the Australian Synchrotron.

Special thanks go to the former Moldflow Corporation (now part of Autodesk Inc.) for provid-

ing an excellent working environment and constant support to both of us during the period we

were working there.

Professors H.E.H. Meijer, Nhan Phan-Thien, and Roger I. Tanner reviewed the draft of the

whole book and made very valuable comments and suggestions for improvement; their helpis gratefully acknowledged.

We also wish to thank the editors of this books publisher for their patience and professional

assistance.

On the personal side, we want to thank our families for the love, understanding, and encour-

agement that sustained us during our confrontation with an important, but difficult, industrial

problem.

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Preface

Injection molding is an ideal process for fabricating large numbers of geometrically com-

plex parts. Many everyday items are injection molded: mobile phone housings, automobile

bumpers, television cabinets, compact discs, and lunch boxes are all examples of injection

molded parts. Parts produced by the process are also becoming commonplace in less obvious

applications. For example, the relatively new area of micro-injection molding is providing new

methods of drug delivery and optical couplers[195].

Variations of injection molding that have been developed over the years include co-injection

or two-component molding, water injection, and gas-assisted injection molding (GAIM). All

these processes provide additional scope for designers of plastic parts. Excellent examples are

provided by Neerincx[267] and Neerincx et al. [268, 269]. Indeed it is possible to combine

these variations with each other or injection molding to achieve other processes. In particular,

Neerincx and Meijer combined GAIM and two-component molding[270] to produce a part

with unique qualities.

An important characteristic of injection molding, including variations, is that it may not be

possible to fix a part defect in production by simply varying process conditions. Frequently

the mold must be modified to overcome a problem. This is expensive and costs valuable time.

It is far better to avoid problems in the design phase than to fix them in production. Conse-quentially, simulation of injection molding is industrially valuable.

Not surprisingly, there are several commercial companies offering software for simulation of

injection molding and its variants. Due to the complexity of the physics of the process, vari-

ous assumptions are made to simplify the mathematical model used for simulation. Over the

years many descriptions of modeling and simulation of injection molding have appeared in

academic journals and books. While readily available to specialist readers, an understanding

of principles used in simulation software is difficult for nonspecialists to obtain. This is due

to the multi-disciplinary nature of simulation software. In particular, aspects of rheology, ma-

terials science, and numerical methods are used. There are some excellent books on polymer

processing that discuss injection molding. One of the original classics was by Tadmor and

Gogos[351]. This was followed by Tuckers book[368] which focused on modeling for com-

puter simulation. More recently, Osswald and Hernndez-Ortiz[279] provided an overview

of modeling and simulation for polymer processing, while Kamal et al. [190] have produced a

book focused on injection molding that discusses variations and other aspects of the injection

molding process.

Given the importance of injection molding as a process, and the simulation industry that has

grown to support it, we believe there is a need for a book that deals solely with modeling and

simulation of injection molding. One of the authors wrote a book in 1995[196]along these

lines. It discussed filling and packing phase simulation, but is no longer in print. Moreover,there have been many developments in modeling and simulation since that time.

The current book is intended to address this need. It provides a comprehensive description of

modeling and simulation of injection molding. While some parts of the book may be relevant

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X Preface

to other polymer forming processes, we assume injection molding is the process under discus-

sion, and so do not deal with variants.

The book is divided into two parts and a considerable number of appendices. Each appendix

is meant to provide detailed information on the topics discussed in the main parts of the book.

Hopefully, moving specialist and routine information into appendices makes the book morereadable.

Part I is written for the user of simulation software who seeks an explanation of the basic mod-

eling and assumptions made. Modeling and simulation details of filling, packing, residual

stress, shrinkage, and warpage of amorphous, semi-crystalline, and fiber filled materials are

described. Additionally, it introduces numerical methods for solving mathematical models of

the process. This part is intended to be self-contained but presumes knowledge of algebra and

calculus at the level of a degree in physical sciences or engineering. Tensor concepts are given

in AppendixB.

Part II deals with improved modeling. This part is aimed at interested users of software, gradu-ate students, and researchers who are interested in enhancing simulation. A knowledge of the

history of simulation is useful for anyone so disposed. AppendixAprovides some background

on both academic and commercial developments in simulation to around 2008. Much of the

material presented in Part II covers developments from 2000 to the present. At the time of

writing, this information is not implemented in commercial simulation software, and is meant

to be a starting point for improvement in modeling and simulation. It presents some models

that incorporate more of the physics of the molding process. Although we present some pos-

sible approaches, we do not cover all areas of improvement. We do, however, try to reference

other approaches to the problems we consider. In particular, we focus on fiber-filled and semi-

crystalline materials, but some ideas may be applied to amorphous materials. Hopefully it willbe a source of ideas that lead to better simulations. Part II uses more advanced ideas of tensor

calculus. Where these are not provided in the text, we prescribe external references.

We hope our readers enjoy the challenge of modeling and simulating the injection mold-

ing process. Injection molding is a technology that has been around for approximately 140

years [172]. However, it was only in the 1950s, with the development of the reciprocating screw

method, that the process showed its true potential.

Despite the immaturity of computer technology, simulation of injection molding can be

traced to 1960 [367]. Since then it has become a field of both academic and commercial

interest. Moreover, the physics of injection molding are still being researched. It is this latteraspect that provides us with the hope that this book will inspire others to improve simulation

by improved modeling and by taking advantage of the computational power available today

and in the future.

Peter K. Kennedy and Rong Zheng, Melbourne, Australia, 2013

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Contents

Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX

Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XXI

I The Current Status of Simulation 1

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1 The Injection Molding Process. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . 3

1.2 Molding Terminology. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . 4

1.3 What is Simulation?. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . 5

1.4 The Challenges for Simulation. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . 6

1.4.1 Basic Physics of the Process. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. 7

1.5 Why Simulate Injection Molding?. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . 7

1.6 How Good is Simulation? . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . 8

2 Stress and Strain in Fluid Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1 Stress in Fluids. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . 11

2.1.1 The Stress Tensor. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . 11

2.1.2 The Extra Stress Tensor . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . 14

2.1.3 Rate of Strain Tensor. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. 14

2.2 Newtonian and Non-Newtonian Fluids. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . 15

2.3 The Generalized Newtonian Fluid . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . 16

3 Material Properties of Polymers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.1 Types of Polymers. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . 19

3.2 Amorphous Polymers. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . 20

3.3 Semi-Crystalline Polymers. . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . 20

3.4 Overview of Material Properties for Simulation . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . 21

3.5 Viscosity . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . 22

3.6 Modeling Viscosity. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . 23

3.6.1 The Viscosity Function. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . 23

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XII Contents

3.6.2 The Power Law Model. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . 23

3.6.3 The Carreau Model. . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . 23

3.6.4 The Cross Model. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . 24

3.6.5 Incorporation of Temperature Effects . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . 24

3.6.6 The Solidification Problem . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . 25

3.7 Thermal Properties . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . 26

3.7.1 Specific Heat Capacity . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . 26

3.7.2 Thermal Conductivity. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . 27

3.8 Thermodynamic Relationships . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . 29

3.8.1 Expansivity and Compressibility . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . 29

3.9 Pressure-Volume-Temperature (PVT) Data . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . 31

3.10 Fiber Orientation. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . 31

3.11 Shrinkage and Warpage . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . 32

4 Governing Equations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.1 Introduction . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . 35

4.2 Mathematical Preliminaries . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . 35

4.2.1 The Material Derivative . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . 35

4.2.2 The Gauss Divergence Theorem . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . 36

4.2.3 Reynolds Transport Theorem. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . 37

4.2.4 Integration by Parts. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . 37

4.3 Conservation of Mass. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . 38

4.4 Conservation of Momentum . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . 38

4.5 Conservation of Energy. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . 40

4.5.1 Relating Specific Energy to Temperature . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . 43

4.5.2 The Energy Equation in Terms of Temperature . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . 45

4.6 Boundary Conditions. . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . 46

4.6.1 Pressure and Flow Rate Boundary Conditions. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . 47

4.6.2 Temperature Boundary Conditions. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . 48

4.6.3 Mold Deformation Boundary Conditions . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . 48

4.6.3.1 Thin Cavities . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . 48

4.6.3.2 Long Cores and Mold Inserts. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . 49

4.7 Fiber-Filled Materials. . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . 49

4.7.1 Fiber Concentration . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . 50

4.7.2 Jefferys Equation. . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . 50

4.7.3 A Statistical Approach . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . 51

4.7.4 Mechanical Properties. . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . 52

4.8 Shrinkage and Warpage. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . 52

4.9 Runners. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . 53

http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-

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Contents XIII

5 Approximations for Injection Molding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.1 Introduction . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . 55

5.2 Material Property Approximations . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . 56

5.3 Filling, Packing, and Cooling Analysis. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . 565.3.1 The Thermal Source Term in the Energy Equation . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. 57

5.3.2 Viscosity Modeling . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. 57

5.3.3 Specific Heat Capacity . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. 58

5.3.4 Thermal Conductivity. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . 58

5.3.4.1 Unfilled Amorphous. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. 58

5.3.4.2 Unfilled Semi-Crystalline. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . 59

5.3.4.3 Filled Materials. . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . 59

5.3.5 No-Flow or Transition Temperature .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . 595.3.6 Pressure-Volume-Temperature (PVT) Data. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. 61

5.3.7 Fiber Orientation, Shrinkage, and Warpage. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. 62

5.3.7.1 Fiber Orientation Analysis. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . 62

5.3.7.2 Shrinkage and Warpage Analysis . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . 63

5.4 Summary of Material Assumptions.. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . 63

5.5 Governing Equations. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . 64

5.6 The 2.5D Approximation. . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . 65

5.6.1 Governing Equations in Cartesian Coordinates. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . 66

5.6.1.1 Conservation of Mass. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . 66

5.6.1.2 Conservation of Momentum. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . 68

5.6.1.3 Conservation of Energy . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . 68

5.6.2 Estimation of Relevant Terms . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . 69

5.6.3 Velocity in thezDirection. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . 71

5.6.4 Integration of the Momentum Equations. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . 72

5.6.5 Integration of the Continuity Equation . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . 75

5.6.5.1 Summary of the 2.5D Approximation. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . 77

5.7 Mold Cooling Analysis. . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . 78

5.8 Fiber Orientation. . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . 80

5.8.1 Orientation Tensors. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . 80

5.8.2 Folgar-Tucker Equation . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . 81

5.8.3 Closure Approximations.. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . 81

5.8.3.1 Linear Closure. . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . 82

5.8.3.2 Quadratic Closure . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . 82

5.8.3.3 Hybrid Closure . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . 82

5.8.3.4 Orthotropic Closure . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . 83

5.8.3.5 The Interaction Coefficient. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. 83

http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-

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XIV Contents

5.9 Shrinkage and Warpage. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . 84

5.9.1 Shrinkage Prediction. . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . 85

5.9.1.1 Residual Strain Methods .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . 85

5.9.1.2 Residual Stress Models .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . 875.10 The 2.5D Approximation for Runners . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . 91

5.10.1 Conservation of Mass for Runners. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . 92

5.10.2 Conservation of Momentum for Runners . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . 93

5.10.3 Conservation of Energy for Runners. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . 93

5.10.4 Integration of the Momentum Equation for Runners. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . 94

5.10.5 Integration of the Continuity Equation for Runners . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . 96

6 Numerical Methods for Solution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.1 Midplane Methods. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . 99

6.1.1 Extraction of a Midplane from a 3D Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.1.2 Dual Domain Analysis for Flow. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 1

6.1.3 Dual Domain Structural Analysis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 3

6.1.4 Warpage Analysis Using the Dual Domain FEM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6.2 3D Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 7

6.2.1 Finite Volume Methods. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6.2.2 A Pseudo-3D Approach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6.3 Warpage and Shrinkage Analysis in 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 8

6.4 3D Analysis of Runner Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 9

II Improving Molding Simulation 111

7 Improved Fiber Orientation Modeling. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 3

7.2 ARD Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 4

7.2.1 Evolution Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 4

7.2.2 Direct Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 6

7.2.3 Calculation ofCI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 7

7.3 RSC Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 7

7.4 Suspension Rheology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 8

7.5 Brownian Dynamics Simulation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 0

http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-

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Contents XV

8 Improved Mechanical Property Modeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 3

8.2 Unidirectional Composites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 4

8.2.1 Effective Stiffness. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1248.2.2 Effective Thermal Expansion Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

8.2.3 Effects of Fiber Concentration and Aspect Ratio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

8.2.3.1 Effect of Fiber Concentration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

8.2.3.2 Effect of Fiber Aspect Ratio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

8.3 Fiber Orientation Averaging. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 0

9 Long Fiber-Filled Materials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

9.1 Fiber Orientation Evolution Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1319.2 Flow-Induced Fiber Migration Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

9.3 Fiber Length Attrition Model. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 4

9.4 Uniaxial Tensile Strength Model. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 5

9.5 Flexible Fiber Modeling. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 6

9.5.1 Direct Simulation Methods. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 6

9.5.2 Continuum Modeling. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

10 Crystallization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14110.1 Quiescent Crystallization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 1

10.1.1 The Kolmogoroff-Avrami-Evans Model. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

10.1.2 The Rate Equations of Schneider . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 3

10.1.3 Quiescent Nuclei Number Density. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 4

10.1.4 Growth Rate of Spherulites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

10.1.5 Material Characterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

10.1.5.1Half-Crystallization Time. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

10.1.5.2 Equilibrium Melting Temperature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

10.1.5.3Crystal Growth Rate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 8

10.2 Flow-Induced Crystallization. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

10.2.1 Enhanced Nucleation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

10.2.2 Critical Parameters. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

10.2.3 Shish-Kebab Structure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

10.2.4 Material Characterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

11 Effects of Crystallization on Rheology and Thermal Properties . .155

11.1 Effects of Crystallization on Rheology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

11.1.1 Viscosity-Enhancement-Factor Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-

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XVI Contents

11.1.2 Two-Phase Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 7

11.2 Effect of Crystallization on PVT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 9

11.3 Effect of Crystallization on Specific Heat Capacity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

11.4 Effect of Crystallization on Thermal Conductivity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16111.4.1 Non-Fourier Thermal Conduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

11.4.2 Van den Brules Law for Amorphous Polymers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

11.4.3 Extending the Van den Brule Approach to Semi-Crystalline Polymers..... 162

11.5 Effect of Crystallization on Heat Transfer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

11.5.1 Stefans Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 4

11.5.2 Numerical Solution with Crystallization Kinetics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

11.6 Modification to the Hele-Shaw Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

12 Colorant Effects. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

12.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 7

12.2 Material Characterization. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

12.2.1 Morphology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 8

12.2.2 Specific Heat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 9

12.2.3 Half-Crystallization Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 9

12.2.3.1Quiescent Crystallization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

12.2.3.2Flow-Induced Crystallization. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

12.3 Effect on Shrinkage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 1

13 Prediction of Post-Molding Shrinkage and Warpage . . . . . . . . . . . . . . . . . . .175

13.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 5

13.2 Governing Equations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 6

13.3 Constitutive Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 7

13.3.1 Viscoelastic Effect. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 7

13.3.2 Thermal Expansion Effect. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

14 Additional Issues of Injection-Molding Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .181

14.1 Weldlines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 1

14.2 Core Shift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 2

14.3 Non-Conventional Injection Molds. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 2

14.3.1 Overmolding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 2

14.3.2 Gas-Assisted Injection Molding. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 3

14.3.3 Microcellular Injection Foaming Molding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

14.3.4 Micro-Injection Molding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 8

14.4 Viscoelastic Effects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 1

http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-

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Contents XVII

14.4.1 Flow-Induced Residual Stress and Birefringence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

14.4.2 Viscoelastic Instability. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

14.4.3 Viscoelastic Suspensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

14.5 Other Numerical Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 614.5.1 Molecular Dynamics Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

14.5.2 Meshless Methods. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

15 Epilogue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .201

Appendices 203

A History of Injection-Molding Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .205A.1 Early Academic Work on Simulation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 5

A.2 Early Commercial Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 6

A.3 Simulation in the Eighties. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

A.3.1 Academic Work in the Eighties. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 9

A.3.1.1 Mold Filling. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

A.3.1.2 Mold Cooling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 1

A.3.1.3 Warpage Analysis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 2

A.3.2 Commercial Simulation in the Eighties. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

A.3.2.1 Codes Developed by Large Industrials and Not for Sale. . . . . . . . . . . . 214

A.3.2.2 Codes Developed by Large Industrials for Sale in the Marketplace214

A.3.2.3 Companies Devoted to Developing and Selling Simulation Codes215

A.4 Simulation in the Nineties. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 6

A.4.1 Academic Work in the Nineties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

A.4.2 Commercial Developments in the Nineties. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

A.4.2.1 SDRC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 8

A.4.2.2 Moldflow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 9

A.4.2.3 AC Technology/C-MOLD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

A.4.2.4 Simcon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 0

A.4.2.5 Sigma Engineering. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 0

A.4.2.6 Timon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 1

A.4.2.7 Transvalor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

A.4.2.8 CoreTech Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 1

A.5 Simulation Science Since 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 1

A.5.1 Commercial Developments Since 2000. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

A.5.1.1 Moldflow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 4

A.5.1.2 Timon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 5

http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-

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XVIII Contents

A.5.1.3 CoreTech Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 5

A.5.1.4 Autodesk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 5

A.5.2 Note for Students. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

B Tensor Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

B.1 Index Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 7

B.2 Einstein Summation Convention . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

B.3 Kronecker Delta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 9

B.4 Alternating Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 9

B.5 Product Operations of Two Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 0

B.6 Transpose Operation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 0

B.7 Transformation of Principal Axes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 1

B.8 Gradient of a Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 3

B.9 Unit Vectorp and Operator /p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 3

B.10 Identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 4

C Derivation of Fiber Evolution Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .235

C.1 The Langevin Equation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

C.2 Probability Density Function and Orientation Tensors. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

C.3 Equations of Change for the Orientation Tensors. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

C.3.1 Isotropic Rotary Diffusion Model (Folgar-Tucker Model) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

C.3.2 Anisotropic Rotary Diffusion Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

D Dimensional Analysis of Governing Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .243

D.1 Conservation of Mass. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

D.2 Conservation of Momentum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 5

D.3 The Energy Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 8

D.4 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 0

D.4.1 Conservation of Mass. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

D.4.2 Conservation of Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 0

D.4.3 Energy Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 1

E The Finite Difference Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .253

E.1 Introduction to the Finite Difference Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

E.1.1 A Simple Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 5

E.2 Application to Temperature Calculation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

E.2.1 Explicit Methods. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

E.2.1.1 Stability Criteria for Explicit Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

E.2.2 Implicit Methods. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 8

http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-

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20/371

Contents XIX

F The Finite Element Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .261

F.1 Basic Terminology. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 1

F.2 The Finite Element Approach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 2

F.2.1 Geometric Modeling of the Solution Domain. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262F.2.2 Meshing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 3

F.2.3 Derivation of Element Equations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 3

F.2.4 Assembly of Element Equations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

F.2.5 Application of Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

F.2.6 Solution of the System Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

F.2.7 Display of Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 4

F.3 The Nature of a Finite Element Solution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

F.4 Shape Functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 67F.5 Approximating Nodal Values. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 7

F.5.1 Weighted Residual Methods. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 8

F.6 Constraint Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 8

F.6.1 Special Case 1: Two Unknowns Equal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

F.6.2 Special Case 2: One Known Constraint. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

F.7 A One-Dimensional Problem Solved Using the FEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

F.7.1 Meshing. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

F.7.2 Derivation of Element Equations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 4

F.7.3 Assembly. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 8

F.7.4 Application of Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

F.7.5 Solution of System Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 1

G Numerical Methods for the 2.5D Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .283

G.1 Overview of Solution Process. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

G.1.1 Numerical Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

G.2 Finite Element Formulation for the Pressure Field. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

G.2.1 Interpolation Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 5

G.2.2 Area Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 6

G.3 Finite Element Derivation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 7

G.3.1 Assembly of Element Equations and Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

G.4 Solution of the Energy Equation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 6

G.4.1 Finite Difference Discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

G.4.2 Solution of the Conduction Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

G.4.3 Explicit Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 7

G.5 Flow Front Advancement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 8

G.6 Runners . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 8

http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-

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Notation

Symbols which have more than one meaning are listed with a semicolon dividing the mean-

ings. To avoid being too lengthy and jumbled, not all symbols and their definitions used in the

book are included in the notation list, but they are defined throughout the text.

Roman symbols

a thermal diffusivityk/(cp)

ai j second-order fiber orientation tensorai jkl fourth-order fiber orientation tensor

ar fiber aspect ratio

aT time-temperature shift factor

A area

b FENE-P model parameter

A(Ai jkl) strain-concentration tensor

c pseudo-concentration parameter

cp specific heat capacity under constant pressurecv specific heat capacity under constant volume

C heat capacity

Cg1 ,C

g2 WLF universal constants (C

g1 = 17.44, C

g2 = 51.6 K)

C01 ,C02 WLF constants

CB stress-optical coefficient

CI interaction coefficient in Folgar-Tucker model

Ct stress-thermal coefficient

C (Ci j) interaction coefficient tensor in anisotropic rotary diffusion model

C (Ci jkl) stiffness tensor (also called elasticity tensor)

d diameter; distance function

D(r) diffusion coefficient (isotropic)

D (Di j) rate-of-deformation tensor 12

vixj

+vjxi

D(r) (D(r)i j

) diffusion coefficient tensor

Ea activation energy

E (Ei jkl

) Eshelby tensor

f function

Ff flow-induced free energy change

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XXII Notation

Fq difference of free energies between melt and crystalline phases under quies-

cent condition

F (Fi) force vector

g(gi) acceleration vector due to gravity

G radial growth rate of spherulite; shear modulus

GN melt plateau modulus

H cavity half-thickness

H(t) Heaviside unit step function

H specific enthalpy

Hc latent heat of crystallization for perfect crystals

I (i j) unit tensor (also called the Kronecker tensor)

I (Ii jkl) fourth-order unit tensorJ Jocobian of coordinate transformations

k thermal conductivity

kB Boltzmanns constant (1.380658 1023 J/K)

k(ki j) thermal conductivity tensor

l length

L (Li j) velocity gradient tensor vi/xj

Mn number-average molecular weight

Mw weight-average molecular weightn power-law exponent

n0 number of molecules per unit volume

n (ni) outward-pointing unit normal vector

N nuclei number density

Nf flow-induced nuclei number density

Np particle number

Nq quiescent nuclei number density

N0 constant nuclei number density

N (Ni) particle flux

O(A) mathematical symbol reading asthe order of magnitudeofA

p pressure

pt thermodynamic pressure

p (pi) orientation unit vector

q (qi) heat flux vector; orientation vector q= |q|p

Q heat

R radius

Rg gas constant (8.3143 J / molK)

S1 one-dimensional fluidity for 2.5D runner approximation

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Notation XXIII

S2 two-dimensional fluidity for 2.5D cavity approximation

S3 three-dimensional fluidity for pseudo 3D approximation

S shrinkage parallel to flow direction

S

shrinkage perpendicular to flow directionS specific entropy

S (Si jkl) elastic compliance tensor

t, t time

t1/2 half-crystallization time

t (ti) traction vector (also called stress vector)

T temperature; as superscript denotes transpose of a tensor

Tg glass transition temperature

Tom equilibrium melting temperature

u (ui) velocity vector; unit orientation vector; displacement vector

U internal specific energy

U activation energy

v(vi) velocity vector

V volume

V specific volume

W i Weissenberg number

W(Wi j) vorticity tensor 12vixj

vjxi

Greek symbols

relative crystallinity

(i j) linear thermal expansion coefficient tensor

coefficient of volume expansion; empirical parameter of some equations

shear strain

generalized strain rate

(i j) shear strain rate tensor

(t) Dirac delta function (also called impulse function)

i j Kronecker tensor (also called unit tensor)

(i j) strain tensor

dimensionless drag coefficient

shear viscosity

0 zero shear rate viscosity

time constant

viscosity

d dilatational viscosity

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XXIV Notation

slip parameter 2/(a2r+1)

(t) pseudo time

mass density

surface tension coefficient, tensile strengthb tensile strength at perfectly bounded interface

w tensile strength at weldline interface

(i j) stress tensor

(i j) extra stress tensor

volume fraction

absolute crystallinity

ultimate absolute crystallinity

probability density angular velocity; frequency

L (Li j) effective velocity gradientLi jDi j

Operator symbols

D/D t material derivative /t+ vkxk

/t upper upper convected derivative defined as

( )i j

t=( )i j

t+ v

k

( )i j

xkL

i k( )

k j L

j k( )

ki

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List of Figures

1.1 A simple two-cavity mold . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . 5

1.2 A simple two-cavity mold showing runners and gates. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . 6

2.1 Definition of the stress vector. . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . 12

2.2 Resolution of stress vector. . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . 13

2.3 Stress components . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . 13

3.1 Steady simple shear flow. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . 22

3.2 In unbalanced flow, some regions of the molding may be in the packing phase

with very low shear rates and high pressures, while material near the flow front is

at low pressure but high shear rate. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. 24

3.3 Definition of thermal conductivity . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. 28

3.4 PVT surface. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . 30

4.1 Boundary conditions for simulation of filling, packing, and cooling. . . . . . . . .. . . . . . . . 47

5.1 Need for a transition or no-flow temperature. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. 60

5.2 Mold for which material is in packing and filling phases. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . 61

5.3 Thin-walled cavity with coordinates systems defined at two points. . . . . . . . .. . . . . . . .. 66

5.4 Definition of frozen layer thickness . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . 72

5.5 Schematic representations of fiber orientation distributions (a) fully aligned in

the 1-direction; (b) random in the 1-2 plane; (c) random in 3D space . . . . . . . . .. . . . . . 81

5.6 A comparison of the simulatedCI for ar = 10,16.9,20,30, and 31.9 [289] withexperimental data of Folgar and Tucker [122] (reproduced from Phan-Thien et

al. [289] with permission from Elsevier) .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . 84

5.7 Actual sample for shrinkage measurement .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. 86

5.8 Simulated and measured packing pressure versus time results for different tran-

sition temperatures . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . 90

5.9 Calculated shrinkage in the parallel direction for different no-flow or transition

temperatures. The measured value from Luye [233] is 0.8% . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. 90

5.10 Geometry and coordinate system for runners. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . 91

6.1 Generation of a midplane mesh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.2 3D representation of a complex injection molding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-

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27/371

XXVI List of Figures

6.3 Dual Domain flow analysis; (a) depicts injection into the center of a rectangular

plate; (b) shows the flow in the cross-section of the plate; (c) shows the flow front

advancement on the surface mesh, and (d) shows the use of a connector element

to ensure physical agreement with the true flow shown in (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.4 Dual Domain flow analysis for a part with two ribs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6.5 A simple plate may be decomposed into two parts, each of half the original thick-

ness, and perfectly bonded together . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

6.6 Eccentric shell element for structural analysis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

6.7 Structural elements matched for Dual Domain analysis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

6.8 Elements on top and bottom surfaces are generally not coincident; that is, the

normal from nodenof the bottom element, intersects the top element at some

pointpwithin the element. In this case, interpolation is required. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

6.9 In 3D analysis, temperature is correctly convected around changes in directionin runners. In these cases, the temperature differences due to shear heating may

result in an imbalanced filling of cavities despite the naturally balanced feed sys-

tem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 0

7.1 Direct simulation results of the fiber configuration at different strains (repro-

duced from Fan et al. [103] with permission of Elsevier). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

8.1 Reduced effective moduli scaled byEm vs. fiber volume fraction foraR =20.

Predicted using the Mori-Tanaka model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 7

8.2 Effective Poissons ratios vs. fiber volume fraction foraR= 20. Predicted using

the Mori-Tanaka model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 7

8.3 Effective coefficients of thermal expansion vs. fiber volume fraction foraR= 20.

Predicted using the Rosen-Hanshin model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

8.4 Reduced effective moduli scaled byEm vs. fiber aspect ratio for = 0.20. Pre-

dicted using the Mori-Tanaka model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 8

8.5 Effective Poissons ratios vs. fiber aspect ratio for = 0.20. Predicted using the

Mori-Tanaka model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 9

8.6 Effective coefficients of thermal expansion vs. fiber aspect ratio for = 0.20. Pre-

dicted using the Rosen-Hanshin model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

9.1 Schematic representations of (a) short-fiber pellet and (b) long-fiber pellet used

for injection molding. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

9.2 Schematic representations of flexible fiber models. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

9.3 Bead-rod model of Strautins and Latz [346]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 9

10.1 Schematic representations of (a) spherulite structure, and (b) shish-kebab struc-

ture (from Zhao et al. [417] with permission from Cambridge University Press) ... 142

10.2 Nuclei number density as a function of supercooling temperature for a sample

of industrial iPP (reproduced from Koscher and Fulchiron [211] with permission

from Elsevier) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 4

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8/11/2019 1569905126

28/371

List of Figures XXVII

10.3 Isothermal crystallization curve of the Borealis iPP sample at 132C. Inset: Varia-

tion of half-crystallization time with crystallization temperature. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

10.4 Heat flow curves for Borealis iPP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 7

10.5 Determination of equilibrium melting temperature using Hoffman-Weeks

method, for Borealis iPP. Melting point data measured on samples isothermally

crystallized at different Tcs were used to determine the equilibrium melting tem-

perature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 8

10.6 Isothermal crystal growth for Borealis iPP sample at 132C under quiescent con-

dition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 9

10.7 Two-dimensional SAXS image patterns at different distances from the skin sur-

face to the mid-surface for an iPP (from Zhu and Edward [428], with permission

from American Chemical Society) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 3

11.1 PVT diagram for different cooling rates (from Luy et al. [234], with permission

from John Wiley and Sons) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 0

11.2 Undisturbed equilibrium thermal conductivity against temperature for

polypropylene (from Speight et al. [339]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 3

11.3 Temperature evolution at the core region of an injection molded part . . . . . . . . . . . . . . 165

12.1 The molecular structures of two types of blue pigments: (a) the UB-colorant; (b)

the CuPc-colorant (reproduced from Lee Wo and Tanner [404], with permission

from Springer) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 8

12.2 Morphologies of (a) virgin iPP at T =132C, t=180 s; (b) iPP mixed with UB

colorant atT = 132C, t= 180 s, and (c) iPP mixed with CuPc colorant at T =

140C,t= 150 s, during quiescent crystallization. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

12.3 Specific heat capacities of three samples: virgin iPP, UB-colored iPP (0.8% col-

orant by weight), and CuPc-colored iPP (0.8% colorant by weight), denoted by

PP, PP+08U, and PP+08P, respectively (Zheng et al. [425]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

12.4 Half-crystallization time vs. crystallization temperature of three samples: vir-

gin iPP, UB-colored iPP (0.8% colorant by weight), and CuPc-colored iPP (0.8%

colorant by weight), denoted by PP, PP+08U and PP+08P, respectively (Zheng et

al. [425]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 0

12.5 Half-crystallization time vs. short-term shear rate for virgin iPP. Shearing time 1

sec; temperatures: 132C and 136C. Symbols are experimental data, and solid

and dotted lines are from modeled results (Zheng et al. [425]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

12.6 Half-crystallization time vs. short-term shear rate for 0.8% UB-colored iPP.

Shearing time 1 sec; temperatures: 132C and 136C. Symbols are experimental

data, and the solid and dotted lines are modeled results (Zheng et al. [425]) ....... 172

12.7 Half-crystallization time vs. short-term shear rate for 0.8% CuPc-colored iPP.

Shearing time 1 sec; temperatures: 144C and 148C. Symbols are experimental

data, and solid and dotted lines are modeled results (Zheng et al. [425]). . . . . . . . . . . . 172

12.8 Experimental and predicted parallel and perpendicular shrinkage for the virgin

iPP (Zheng et al. [425]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 3

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