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SEMANA 3

Fundamentos

Numéricos

Lea esto Primero

Lea esto primero. UNIACC, semana 3

1 UNIVERSIDAD DE LAS COMUNICACIONES



LÍMITES

Introducción

El límite de una función en un punto, es el comportamiento que tiene la función en

estudio cuando está cercana a un punto determinado.

Ejemplo:

f(x) =

Esta función está definida para todos los valores IR, tales que la expresión x – 3

no sea cero. (Esto debido a que no existe la división por cero)

x – 3 = 0

x = 3

El dominio de esta función es: IR - 3

La variable independiente x puede tomar cualquier valor real, menos el valor x = 3

Pero qué pasa al acercarse al valor x = 3, por la derecha y por la izquierda. Esto

se puede hacer, pues la variable x solamente está imposibilitada de tomar el valor

3

Esta tabla muestra que pasa al tomar valores cercanos al 3.

x f(x)

5 8

4 7

3,5 6,5

3,3 6,3

3,1 6,1

3 #¡DIV/0!



2,9 5,9

2,8 5,8

2,7 5,7

2,6 5,6

2,5 5,5

2 5

0 3

-1 2

Se puede observar, que cada vez que la variable independiente x se acerca al

valor 3, al parecer la variable independiente y=f(x) se acerca al valor 6.

Al preguntar, si la función y = f(x), ¿estará tan cerca del 6 cuando se quiera,

cuando x esté tan cerca del 3 como se desee?

Para poder responder este tipo de preguntas, es que existe la idea del límite.



I. Límite de una Función Real

Dados f:D IR y x0, L IR se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a x0 es

L, si para todo > 0, existe un > 0 tal que:

La idea de fondo de la definición es que, dada f: D IR, f(x) tiene por límite L

cuando "x se acerca a x0 " si, dada cualquier exigencia del tipo " no debe diferir de

L en más de (épsilon)" puede ser satisfecha haciendo que x no se aparte de x0

en más de una cantidad dada.

El "margen de tolerancia" para la función es llamado , mientras que la cantidad

que permite a x desviarse de x0 es llamado (delta).

Épsilon : es un concepto matemático, que significa lo más pequeño que uno

pueda imaginar, es lo contrario del infinito.



Gráficamente, se tiene que:

Gráfico 1. Límite de una función real.

Fuente: Material creado para la asignatura, basado en figura 1.40 de Cálculo Aplicado (Hoffmannm L) Pág.58

Notación:

Si el límite de f(x) cuando x tiende a x0 es L, se anotará como:



Ejemplo:

Si F(x) = 5x - 4. Demostrar que

Desarrollo:

Sea > 0. Se busca un > 0 tal que:

En otras palabras se busca:

Si

entonces

Así, basta que

para que se satisfaga la definición de límite.

En otras palabras tomando = /5 (o cualquier valor menor) se tendrá que:

Que es lo que se quería demostrar.

II. Cálculo de Límite de Funciones

Existen diferentes métodos para el cálculo de límites de funciones, que dependen

de la estructura de la función a estudiar. En general son bastantes simples, pero

requieren de un buen manejo algebraico.



Tienden a ser métodos que se pueden aplicar en una sola oportunidad dentro de

un ejercicio o de forma simultánea con otros métodos. La clave es realizar un

correcto uso de ellos y no realizar errores algebraicos.

a. Límites Inmediatos

Los límites inmediatos son límites donde, al evaluar el valor al cual tiende x, la

función y=f(x) entrega un valor real inmediato, sin necesidad de desarrollar la

función de manera algebraica.

Si P(x) y Q(x) son polinomios enteros y P(a) ≠ 0 o Q(a) ≠ 0, el límite de la fracción

racional:

)(

)(lim

xQ

xP

ax

Se halla directamente.

Este caso se refiere a que siempre se debe calcular el límite de cualquier fracción

racional, evaluando el valor de x en la expresión. El resultado de esta evaluación

en la expresión, será el valor del límite de la expresión, siempre y cuando el

resultado de la evaluación en el denominador sea distinto de 0.

Ejemplo:

1)

2)

Al evaluar queda:

7

4

14

8

10

82

4lim

x

x

x



Ejemplos: Los siguientes vídeos dan cuenta, paso a paso, del desarrollo de estos

ejemplos

1)

2)

b. Límites Algebraicos

Si P(x) y Q(x) son polinomios enteros y P(a) = Q(a) = 0, se recomienda simplificar

la fracción)(

)(

xQ

xP, por el binomio (x-a), una o varias veces.

Este caso, plantea que al realizar la evaluación del valor de x = a en la fracción

racional, si el resultado da 0/0, entonces se debe factorizar tanto numerador como

denominador por (x-a), para luego proceder a realizar la simplificación y posterior

cálculo del límite. Si al evaluar el límite, se vuelve a obtener 0/0, se debe proceder

a realizar el mismo procedimiento.

https://youtu.be/u-B3PQ_fNqA



Ejemplos: Los siguientes vídeos dan cuenta, paso a paso, del desarrollo de estos

ejemplos

1)

2)

3)

c. Límites con Raíces

Para el caso de límites de funciones que contienen expresiones irracionales, se

tienen dos métodos que buscan una transformación de la función, de tal forma que

el cálculo sea más simple.

Método 1:

En este caso, las expresiones irracionales se reducen, en muchos casos, a una

forma racional introduciendo una nueva variable.

La elección de esta nueva variable debe ser tal que permita “eliminar” la

irracionalidad de la función, poniendo especial cuidado en el cambio de variable

que se genera y en el valor en el que se debe evaluar el “nuevo” límite.

https://youtu.be/RkRhHm_q25E



Ejemplo:

Encuentre 11

113

0lim

x

x

x

Lo primero que se debe realizar es evaluar x = 0 en la función. Se obtiene 0/0, que

indica que es necesario realizar algún tipo de manejo algebraico de la función para

eliminar esta estructura de 0/0.

Se hará desaparecer las raíces, buscando el mínimo común múltiplo de los índices

de las raíces. En este caso, la nueva variable queda elevada a 6, ya que, 6 es el

m-c-m (mínimo común múltiplo) entre 2 y 3.

Por lo tanto, la nueva variable queda como 1 + x = y6

Hay que tener en cuenta que los argumentos deben ser los mismos, y dado que

se realiza un cambio de variable, se debe cambiar el valor donde se desea

calcular el límite, relacionado con la nueva variable.

En este caso, si x tiende a 0, entonces “y” tenderá a 1.

Luego,

2

3

)1(

)1(

)1)(1(

)1)(1(

1

1

11

11

2

1

2

12

3

13

0

lim

limlimlim

y

yy

yy

yyy

y

y

x

x

y

yyx

Método 2:

Este método consiste en trasladar la parte irracional del numerador al

denominador, o al contrario, del denominador al numerador. Usando técnicas de

racionalización.



Por ejemplo, para calcular

ax

ax

alx

lim

Se hará desaparecer las raíces, buscando el conjugado de - que es

+

Por lo tanto, la expresión se multiplica y se divide por el conjugado.

El concepto a emplear, tiene relación con formar una suma por su diferencia:

22))(( bababa

Que en este caso, corresponde a:

axaxax ))((

Finalmente,

0,2

1

)(

1

)(

1)(

)(

)(

lim

lim

limlim

aa

ax

axax

ax

ax

ax

ax

ax

ax

ax

alx

alx

alxalx



Ejemplo: El siguiente vídeo da cuenta, paso a paso, del desarrollo de este

ejemplo

Ejercicios Resueltos:

1) Hallar el límite de:

Método 1 Método 2

Se reemplaza y2= x Se aplica suma por diferencia

x 1 luego y 1 (a + b)(a - b) = a2 – b2

En este caso:

( – 1)( + 1) = x -1

2) Hallar el límite de:

https://youtu.be/iwZ-XgMoCI0



d. Límites por Ramas

Una función por ramas es de la forma:

Para este tipo de funciones, se definen los límites laterales (límites por la derecha

e izquierda de una función).

Si se quiere analizar qué pasa con una función y= f(x) en el punto x = a, si la

función es por ramas, se deben analizar los dos caminos posibles que tiene la

variable x para acercarse al punto a.

Estos caminos son por la izquierda (que se denota por x→a-) y por la derecha (se

denota por x→a+).

La idea es ver qué pasa con la función de la rama correspondiente al camino

analizado.

Como los límites laterales son iguales, el límite existe. En caso de que los límites

laterales no fuesen iguales, el límite no existe.

Ejemplo: Los siguientes vídeos dan cuenta, paso a paso, del desarrollo de estos

ejemplos

https://youtu.be/cMrWfMYQ9js



e. Límites al Infinito

Se trata de conocer cómo se comporta una función y= f(x) cuando x toma valores

grandes positivos (x →+∞) y/o negativos (x → -∞).

En este curso, sólo se analizarán límites al infinito sobre división de polinomios,

donde se debe considerar que:

Cada vez que el valor de “x” crece, el denominador de la fracción también lo hace.

Con ello, la división se hace cada vez más pequeña. Por tanto, la división tiende a

cero cuando x tiende a infinito.

A diferencia de los límites estudiados anteriormente (en los cuales x tiende a un

número finito), donde se deben usar factorizaciones notables, lo que se hace en

este caso es dividir, tanto el numerador como el denominador, por x elevado a la

potencia más grande con la que aparece en la expresión algebraica.

Además se deben considerar las operaciones con infinito, teniendo claro que es

sólo un recurso para calcular límites, porque infinito no es un número.

Sumas con infinito:

Infinito más o menos un número

± k =

Infinito más infinito

+ =

Infinito menos infinito



- = indeterminado

Productos con infinito:

Infinito por un número

● ± k si k ≠ 0, cuando es cero se indetermina.

Infinito por infinito

● =

Cocientes con infinito y cero:

Cero dividido en un número

= 0

Un número dividido en cero

=

Un número dividido por infinito

= 0

Infinito dividido por un número

=

Cero dividido por infinito

= 0

Infinito dividido en cero



=

Cero dividido en cero

= indeterminado

Infinito dividido en infinito

= indeterminado

Ejemplo: El siguiente vídeo da cuenta, paso a paso, del desarrollo de este

ejemplo

Ejercicios Resueltos:

1)

Se divide cada término por la potencia más grande, que en este caso es x2

https://youtu.be/73DAAPrQj9E



Por definición se sabe que cuando el límite es al infinito de 1/x elevado a cualquier

potencia, tiende a cero. Por lo tanto, queda:

Esto pasará en todos los límites que el x con mayor potencia esté en el

denominador.

2)

=

= ∞

Cuando la potencia mayor se encuentra en el numerador, se obtiene un número

dividido en cero, donde el resultado es infinito.

f. Límites Infinitos

Teoremas de límites infinitos:

Si n es cualquier número entero positivo, entonces:

1)

2)



3)

Si c es cualquier número real,

4)

5)

6)

7)

Ejemplo:

Límite del numerador cuando x tiende a 2, es igual a 5 ≠ 0

El límite del denominador es cero.

En este caso se tiene un límite infinito

= ∞

Pero falta determinar el signo.



Se tomó un límite lateral de 2 por la derecha:

2 2,01

Se busca un valor de x, que se acerque a 2 por la derecha, por ejemplo 2,01.

Se obtiene: 2 – x = 2 – 2,01 = -0,01, la diferencia da negativa, por lo tanto 2 – x,

tiende a cero con valores negativos

Por lo tanto el resultado del límite = -∞

III. Continuidad de Funciones

La idea de una función continua, tiene relación con poder dibujarla sin levantar el

lápiz de una hoja de papel. Es decir, que el trazo sea continuo, no presentando ni

hoyos ni saltos.

Gráficamente una función continúa, es de la siguiente forma:



Gráfico 2. Función Continua.

Fuente: Rescatado de: https://goo.gl/fuT9d1 el 10 de Octubre del 2015

Si una función presenta discontinuidad, podría ser de las siguientes formas:

Función con un hoyo (agujero).

https://goo.gl/fuT9d1



Gráfico 3. Discontinuidad evitable.

Fuente: Rescatado de: http://goo.gl/NXuurC el 10 de Octubre del 2015

Función con salto.

Gráfico 4. Discontinuidad de salto.

Fuente: Rescatado de: http://goo.gl/Ws1BF7 el 10 de Octubre del 2015



a. Funciones Continuas

Continuidad en un punto.

Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se

cumplen las tres condiciones siguientes:

a) Exista el valor de la función en el punto f(a)

b) Existan los límites laterales

c) La imagen del punto, debe coincidir con el límite de la función en el punto

Ejemplo:

Estudiar la continuidad de

en x = 3

a) La función tiene imagen en x = 3

f(3) = 32 = 9

b) La función tiene límite en x = 3, porque coinciden los limites laterales



c) En x = 3, la imagen coincide con el limite

f(3) =

Gráfico:

Gráfico 5. Función:

en x = 3

Fuente: Material creado para la asignatura en GeoGebra. Caldera M (2015)

Las funciones, de cualquier tipo: polinómicas, racionales, con radicales, etc.,

son continuas en todos los puntos de su dominio.

La función f(x) =

, es continua en todos los IR - 1 En x = 1 no es

continua porque no está definida.



Gráfico 6. Función: f(x) =


Continuidad en un intervalo :

Una función f definida en un intervalo , es continua en el intervalo si:

a) f es continua para todo x, tal que:

x

b) f es continua por la derecha en “a”

c) f es continua por la izquierda en “b”

Es decir, f es continua en , si:

a)



b)

c)

Ejemplo:

Sea la función f(x) =

¿Se puede afirmar que la función es continua en el intervalo cerrado ?

a) xo pertenece a

b)

c)

La representación gráfica de esta función es la siguiente:



Gráfico 7. Función: f(x) =


b. Discontinuidades de Funciones:

Si alguna de las 3 condiciones para que exista continuidad no se cumple, la

función es discontinua en un punto.

Gráficamente se pueden distinguir de la siguiente forma:

en x = 3

La función es discontinua, porque en x = 3, no existe imagen:



En el gráfico se observa que el punto en x= 3 no está marcado (está en blanco),

porque no tiene imagen (no forma parte de la función)


en x = 3


en x = 3

La función es discontinua porque en x = 2 no tiene límite, ya que no coinciden

los límites laterales.



En el gráfico se puede apreciar que hay un salto en el x=3, porque no existe el

límite (límite por la derecha es distinto al límite por la izquierda).

9 ≠ 4


en x = 3


en x = 3



En el gráfico se observa que la función es discontinua, porque en x= 3, no

coincide la imagen con el límite.


en x = 3




Tipos de Discontinuidad:

Discontinuidad evitable o reparable.

Si f es discontinua en a, pero existe, se dice que la discontinuidad es

evitable o reparable. En este caso se puede redefinir f(a) de modo que la nueva

función sea continua.

Existen dos casos:

1) La función no está definida en x = a

en x = 3

f(9)

La función presenta una discontinuidad evitable en x = 3 porque tiene límite,

pero no tiene imagen.

Por lo tanto se puede volver a definir para ser continua en x = 3

2) La imagen no coincide con el límite

en x = 3

f(3) = 4



f(3) ≠

La función presenta una discontinuidad evitable en x = 3, porque la imagen

no coincide con el límite.

Por lo tanto se puede volver a definir para ser continua en x = 3

Discontinuidad inevitable.

Una discontinuidad es inevitable o de primera especie si existen los límites

laterales en x = a, pero son distintos.

Salto: es la diferencia en valor absoluto de los límites laterales

Existen 2 tipos de discontinuidad inevitable:

o Salto finito.



La diferencia entre los límites laterales es un número real.


en x = 3

Fuente: Material creado la asignatura en GeoGebra. Caldera M (2015)



En x = 3, hay una discontinuidad inevitable de salto finito 5.

o Salto infinito.

La diferencia entre los límites laterales es infinito.

En x = 3 hay una discontinuidad inevitable de salto infinito.

Discontinuidad esencial:

Una discontinuidad es esencial o de segunda especie si no existe alguno de los

límites laterales en x = a.

Ejemplo:

La función:

Es discontinua en 0, ya que f(0) no existe.



Como

No es posible definir f(0) de modo que la función pase a ser continua, por lo que la

discontinuidad es esencial.

Gráficamente, se tiene:

Gráfico 12. Función: = 1/x2

Fuente: Material creado para la asignatura en GeoGebra. Caldera, M (2015).



Conclusión

El concepto de límite de una función en un punto, tiene relación con la

aproximación que tiene la función cuando se aproxima a ese valor. Por ejemplo, la

función f(x) = 3x + 2 se aproxima a 8, cuando x es cercano a 2.

A través de los límites de una función, se puede estudiar la continuidad de estas, y

con esto poder determinar a través de gráficos el comportamiento que tiene una

función, en relación a su crecimiento o decrecimiento.



Referencias Bibliográficas

Colegio Nacional de Matemáticas (2010). Cálculo Diferencial. México. Editorial

Pearson Educación

Pérez, F. (2008). Cálculo Diferencial e Integral de Funciones de una Variable.

Universidad de Granada. España.



Si usted desea referenciar este documento, considere:

UNIACC (2015). Límites. Fundamentos Numéricos. Lea esto primero (Semana 3).



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