1. ABRIL – ARITMETICA - 2DO

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I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario

TEORÍA DE CONJUNTOS

Sub – Área: Aritmética 2º Secundaria

CONJUNTOS CONJUNTOS

Representación Representación

Determinación de Conjunto

Determinación de Conjunto

PertenenciaPertenencia

InclusiónInclusión

ExtensiónExtensión

ComprensiónComprensión

Diagrama de Venn Euler

Diagrama de Venn Euler

Diagrama de E. Carrol

Diagrama de E. Carrol

Conjuntos EspecialesConjuntos Especiales Operaciones con Conjuntos

Operaciones con Conjuntos

VacíoVacío

C. UnitarioC. Unitario

C. UniversalC. Universal

UniónUnión

IntersecciónIntersección

DiferenciaDiferencia

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NOCIÓN DE CONJUNTO

Entenderemos por conjunto a la reunión, agrupación, colección o familia de integrantes homogéneos o heterogéneos que reciben el nombre de elementos del conjunto.

DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS

Un conjunto queda determinado cuando es posible decidir si un objeto dado pertenece o no al conjunto. Para determinar conjuntos se puede proceder:

1. Por extensión: Cuando se menciona todos los elementos del conjunto, por ejemplo: A = {Brasil, Argentina, Uruguay}B = {0; 1; 2; 3}

2. Por comprensión: Cuando se enuncia una propiedad o características común que deben cumplir sus elementos, por ejemplo en los conjuntos anteriores como:

A = {x/x es un país sudamericano que ha ganado un campeonato mundial de fútbol}B = {x/x es un número natural o menor o igual que 3}

RELAC IÓN DE PERTENENCIA

Si un objeto “x” es elemento de un conjunto “A”, escribiremos x A lo que se lee: “x” pertenece al conjunto “A”. En caso contrario, escribiremos x A lo que se lee: “x” no pertenece al conjunto “A”. Ejemplo: Si A = {2; 5; 8; 9}, entonces 2 A y 3 A

El símbolo denota una relación de elemento a conjunto.

RELAC IONES ENTRE CONJUNTOS

1. Inclusión: Dados los conjuntos “A” y “B”, diremos que “A” es subconjunto de “B” o que “A” está incluido en “B”, si cada elemento de “A” es también un elemento de “B”. Se denota: A B. Simbólicamente:

A B x : x A x B

Esto significa: “A” está incluido en “B” si y sólo si para todo “x”, si “x” pertenece a “A”, entonces “x” pertenece a “B”.

El símbolo denota una relación de conjunto a conjunto.

Representación gráfica de A B:

AB B

A

A = B A B

(“A” es subconjunto propio de “B”)

2. Igualdad: Dos conjuntos son iguales, si tienen los mismos elementos. Usando la relación de inclusión se tiene que:

A = B A B B A

Ejemplo: Si. A = {0; 1; 2} y B = {x/x es un número natural menor que 3}, entonces: A = B

CONJUNTOS ESPEC IALES

1. Conjunto vacío (nulo): Es aquel que carece de elementos. Se le representa por “” ó { }

Por ejemplo: A = {x/x N; 4 < x < 5}

Nota:

El conjunto vacío se considera subconjunto de todo conjunto. Simbólicamente A, A.

2. Conjunto unitario: Es aquel conjunto que tiene un solo elemento.

Ejemplo: 1. ¿5; 5; 5; 5; 5; 5}2. {x/x Z - 5 < x z –3}


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3. Conjunto universal: Es un conjunto que contiene todos los elementos de determinado contexto. Se denomina UNIVERSO (U). Existen muchos universos posibles.

4. Conjunto potencia: Se llama así a aquel conjunto que tiene por elementos a todos los subconjuntos dado, por ejemplo: Dado: A = {m, n, p}

Luego su conjunto potencia, que se denota por P(A), será:

P(A) = {{m}, {n}, {p}, {m, n}, {m, p}, {n, p}, {m, n, p}, }

El número de elementos del conjunto potencia se puede determinar en la siguiente relación:

n [P(A)] = 2n(A)

Donde: n(A) es el número de elementos del conjunto “A”.

Observac ión :

1. Al número de elementos de un conjunto se le llama también cardinal del conjunto.

2. Se llama conjuntos disjuntos, a aquellos que no tienen elementos comunes, por ejemplo:

A = {1; 2; 3; 4}B = {13; 14; 15}

3. Todo conjunto tiene subconjuntos, y la cantidad de estos esta dada por la

siguiente relación:

Número de subconjuntos = 2n(A)

4. Se llama subconjunto propio, a todos los subconjuntos de un conjunto dado; excepto al que es igual al conjunto.

Número de subconjuntos propios = 2n(A) - 1


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1. Determinar por extensión cada uno de los siguientes conjuntos:

A = {x/x Z; -2 < x < 6 }B = {x2 +1/ x N; -3 < x < 4}C = {2x – 1/ x N; 2 < x < 6}

D = { / x N; 1 < x < 5}

2. Determinar por comprensión cada uno de los siguientes conjuntos:

A = {4; 5; 6; 7; 8; 9}B = {1; 4; 9; 16; 25}C = {2; 4; 6; 8; 10; 12; 14}D = {16; 19; 22; 25; ....}

3. Dado el conjunto:

A = {1; 2; {3}; 4; {5}}

Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

1 A ( ) 2 A ( )

{4} A ( ) {3} A ( )

{2; 4] A ( ) {4} A ( )

{5} A ( ) {} A ( )


A = {1; 2; {3; 4; 5}; {6; 7}}

Indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda:

a) 1 A b) {3; 4; 5} Ac) {{3; 4; 5} ; {6; 7}} Ad) {1} A e) {3; 4; 5; 6; 7} A f) {A}

5. Dado el conjunto: A = {x2 + 1 /x Z -3 < x < 4}

Indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda:

I. n (A) = 5II. “A” tiene 16 subconjuntos III. “A” tiene 31 subconjuntos propios.

6. Sean los conjuntos iguales: A = {a2 + 1; 12}B = {a – b; 17}

Hallar todos los posibles valores de “a + b”

7. Si se cumple que “A” y “B” son conjuntos unitarios, hallar “a – b”

A = {2a + b; 13}B = {b + 2; 3ª - b}

8. Si los conjuntos “A” y “B” son iguales:

A = {n2 + 1; - 6}B = {2 – m; 10}

Hallar “m + n”


A C T I V I D A D E S E N A U L A

A C T I V I D A D D O M I C I L I A R I A

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1. Determinar por extensión:

A = {x3 – x /x N x < 4}

Dar como respuesta la suma de sus elementos.


B = {-5; { - 3; 2}; 2; {2}}

Indicar cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas:

I. {2} B II. {2} BIII. B IV. {-3; 2} BV. {5; 2} B

3. Dados los conjuntos iguales:

A = {2x + y; 6}B = {2x – y; 14}

Hallar “x + y“


N = {1; {3}; {5}; 7}

¿Cuántas proposiciones son falsas?

i) {3} N ( )ii) 3 N ( ) iii) {{3}} N ( )iv) {{5}; 7 N} ( )v) 3 N ( )

5. Hallar la suma de los elementos de cada conjunto:

A = {x/x N; 6 < x < 12}B = {x2 + 1/ x Z; 3 < x < 8}


M = {a; {b}; {m}; p}

¿Cuántas proposiciones son falsas?

i) {b} M ( )ii) b M ( )iii) {{m}} M ( )iv) {{b} ; {m}} M ( )

7. Si un conjunto tiene 31 subconjuntos propios, ¿cuántos elementos tiene el conjunto?

8. Calcular “n (A) + n (B)”, si se tiene:

A = {x/x Z; 1 < x < 8}B = {x/x Z; 2 < x < 9}


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COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO

Dado un conjunto “A”, el conjunto complemento de “A” el aquel conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al universo pero no pertenecen al conjunto “A”.

A’ = {x/x U y z A}

Gráficamente A’ , sería:

En las operaciones unión, intersección y diferencia simétrica, se cumple la propiedad conmutativa, es decir:

En la diferencia no se cumple, es decir:

Gráficamente (A B), sería:

A y B no disjuntos

A y B disjuntos

A B

DIFERENCIA DE CONJUNTOS ( - )Dados dos conjuntos “A” y “B”, se llama conjunto diferencia y se denota por (A – B) a aquel conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a “A” y que no pertenecen a “B”.


A B = B A A B = B A

A B = B A

BA

A - B B - A

OBSERVACIÓN

A U A B

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A – B = {x/x A y x B}

Gráficamente (A – B), sería:

DIFERENCIA SIMÉTRICA DE CONJUNTOS ()

Se denomina así al conjunto que resulta de unir los conjuntos (A – B) y (B – A).

A B = (A – B) ( B - A)

Gráficamente (A B), sería:


A B

BA

A y B no son disjuntos A y B disjuntos

A B

A B

A y B no disjuntos

A B

A y B disjuntos

BA

A B

SIGAMOS ESTUDIANDO


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1. ¿Qué operación representa cada una de las regiones sombreadas?

2. ¿Qué operación representa cada una de las regiones sombreadas?


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3. Si: V = {V N/ v es primo; v < 18} y W = {W N/ W es impar; w < 12}, hallar

por extensión lo siguiente:

a) W b) V Wc) W – V d) V – W e) W -

4. Recuerda que el cardinal de un conjunto “A” está dado por su número de elementos, y se le denota por n(A). Entonces, si:

P = {p N/p es primo; 5 < p < } y Q = {7; 13; 19; 25; 31; 37; 49}, hallar: n (P Q).

5. Designando: A: el conjunto de todos los nacidos en el Perú. B : el conjunto de todos los nacidos en la selva amazónica peruana. C: el conjunto de todos los nacidos en Iquitos.

6. El diagrama de Venn que relaciona correctamente los tres conjuntos es:

a)

b)

c)

d)

7. Si las regiones sombreadas representan a tres conjuntos:

El gráfico que corresponde a la operación: (P – Q) [Q - (R P)], es:

a) b)

c) d)

e)

8. Dado el siguiente diagrama:

Si: A B y B c = . Determinar cuáles de las regiones numeradas son vacías.


UA

C

B

B

UA

C

UA

C

B

UA

C

B

1. Si:

A = {x / “x” tiene más de 6 letras}B = {x/ “x” es un nombre de mujer}C = {x/ “x” es un nombre de flor}¿Cuál de los siguientes elementos no pertenece a (A’ C) B?

a) Margarita b) Rosa c) Eva d) Natalia e) N.A.

2. Dados los conjuntos:

A = {x N/ x + 3 < 8}B = {x N/ x2 – 3x + 2 = 0}C = {x N/x – K – 2; K < 5, k N}

Entonces A – (B C), es:

3. Dados los conjuntos:

A = {a2 + 1; b; a * c}B = {-3; a2; 5}C = {x N/ b – a < x < a + c}

Donde, a N, b N y A = BEntonces afirmamos: I. El número cardinal de “C” es 4.II. A C = {4; 5}III. C – A = {a}

Son ciertas:

4. Simplificar: [(A – B) (C – A)] B

5. ¿Qué representa la región sombreada?

6. Para el diagrama mostrado en la figura, indicar qué operaciones le corresponden:

I. (B – A) – C II. (A C)’ BIII. (A B) – C

7. ¿Cuántas de las siguientes expresiones le corresponde al diagrama?

I. [(C B) – A] [(A B) – C]II. [C’ B) [(A – B) C]III. (C B)’ [(A B) – C]

8. Si: A B = {2; 3; 4} y A B, ¿Cuántos elementos tiene “A”?


1. Dado los conjuntos “A” y “B”, se sabe: n (A ) = 30n (B) = 18n (A B) = 40

Hallar: n (A B)

a) 7 b) 8 c) 10d) 12 e) 15

2. Si se sabe:

n (A B) = 70n (A – B) = 18n (A) = 41

Hallar: n (A B)

a) 42 b) 45 c) 46d) 47 e) 48

3. De un total de 60 deportistas que practican fútbol o natación se sabe que 38 practican fútbol, 32 practican natación, ¿cuántos practicas ambos deportes?

a) 8 b) 10 c) 12d) 14 e) 16

4. De los 400 alumnos del colegio Leonardo de Vinci se sabe que 140 practican full contac, 160 practican karate y 120 no practican ninguno de estos deportes. ¿Cuántos practican ambos deportes?.

a) 10 b) 15 c) 20d) 25 e) 30

5. Durante el mes de agosto, Enrique salió a pasear con Angélica o Beatriz. Si 17 días paseó con Angélica y 23 días con Beatriz, ¿cuántos días paseó sólo con una de ellas?

a) 22 b) 21 c) 20d) 18 e) 16

6. Un alumno del 4to B comió queso o jamón en el desayuno, cada mañana durante el mes de Junio. Comió 24 mañanas jamón y 17 mañana queso, ¿cuántas mañanas comió queso y jamón?

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

7. De los 140 alumnos de un centro de idiomas se sabe que : - 62 estudian inglés - 52 estudian francés - 54 estudian alemán- 18 estudian inglés y francés- 20 estudian francés y alemán - 17 estudian sólo alemán - 8 estudian los tres idiomas

a. ¿Cuántos alumnos estudian exactamente dos idiomas de los mencionados?

b. ¿Cuántos alumnos estudian otros idiomas?

a) 36 y 22 b) 39 y 27 c) 39 y 22d) 36 y 27 e) 35 y 25

8. De un grupo de 95 deportistas se observó que: 15 son atletas que practican el fútbol y la

natación. 52 son atletas. 55 son nadadores. Todos los futbolistas son atletas y 12 son

deportistas que sólo practican el atletismo.

15 deportistas no practican ninguno de los deportes mencionados.

¿Cuántos deportistas son atletas y nadadores, pero no futbolistas?

a) 8 b) 10 c) 12d) 14 e) 16


1. Siendo: A = {a, b, c, d, e} B = {a, b, d}C = {c, e, b}

Hallar el cardinal del conjunto: [(A B) – C] (A B)

2. Sea:

A = {x/x N 5 < x < 15}B = {y + 8/ y N (2 + 1) A}

¿Cuál es la suma de los elementos de “B”?

3. En una academia de idiomas, de 600 alumnos, se sabe que 100 no estudian inglés, ni francés y 50 estudian francés e inglés. Si 450 estudian francés. ¿cuántos estudian inglés?

4. Janeth contaba que durante el mes de febrero del 2000 salía a pasear con José o Juan o con ambos, 16 días salió con José y 20 días con Juan. ¿Cuántos días paseó con ambos, si el día de los enamorados salió con otra persona?

5. En una academia de computación se observa que todos los que estudian Pascal, estudian Cobol; 15 estudian Pascal, Cobol y Basic; 60 estudian Basic; 80 estudian Cobol. La cantidad de los que estudian Cobol y Basic pero no Pascal es el doble de los que estudian sólo Basic y a su vez es el triple de los que estudian sólo Cobol. ¿Cuántos estudian Pascal pero no Basic?

6. De 500 encuestados, se encontró que 124 postulan a Católica, 187 a la universidad del Pacífico y 200 a ninguna de las 2 universidades. ¿Cuántos postulan a ambas universidades?

7. De 80 integrantes de un club deportivo, se sabe que: 34 practican fútbol, 29 básket, 25 voley, 12 fútbol y basket, 12 básket y voley, 11 fútbol y voley, 7 practican 3 deportes. ¿Cuántos no practican ninguno de los deportes mencionados?

8. De 120 alumnos del centro de idiomas de la Universidad San Martín se sabe que 74 estudian inglés, 45 estudian francés y 21 estudian otros idiomas. ¿Cuántos alumnos estudian ingles y francés?


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