ARITMETICA 2do

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  • Captulo Pg.

    I. Operaciones con nmeros enteros ..................................................................................... 03

    II. Prioridad de operaciones y signos de coleccin ................................................................... 13

    III. Nmeros fraccionarios ...................................................................................................... 19

    IV. Aplicacin de los nmeros fraccionarios ............................................................................. 27

    V. Complemento de nmeros enteros y fraccionarios .............................................................. 33

    VI. Nmeros decimales (operaciones) ..................................................................................... 37

    VII. Nmeros decimales (Conversin de decimal a fraccin generatriz) ....................................... 45

    VIII. Repaso ........................................................................................................................... 51

    Aritmtica

    NDICE

    Departamento de PublicacionesTRILCE

    COSI2SLIAR01-04.p65

  • 3 Colegio TRILCE

    TRILCECOLEGIOOperaciones con nmeros enteros

    (adicin - sustraccin - multiplicacin - divisin- potenciacin - radicacin)

    Captulo I

    Menos por menos es ms

    Hasta fines del siglo XVIII, los nmeros negativos nofueron aceptados universalmente. Sin embargo losmatemticos de la India, en el siglo VII, usaban losnmeros negativos para indicar deudas y losrepresentaban con un circulito sobre el nmero; admitansoluciones negativas en las ecuaciones pero no lastomaban en consideracin porque decan que "la genteno aprueba las races negativas".

    Gerolamo Cardano, en el siglo XVI, llamaba a losnmeros negativos "falsos", pero en su Ars Magna(1545) los estudi exhaustivamente.

    John Wallis (1616-1703), en su ArithmeticaInfinitorum (1655), "demuestra" la imposibilidad de suexistencia diciendo que "esos entes tendran que ser a lavez mayores que el infinito y menores que cero".

    Leonardo Euler es el primero en darles estatuto legal;en su Anleitung Zur Algebra (1770) trata de"demostrar" que (-1)(-1)=+1; argumenta que el productotiene que ser: +1 -1 y que, sabiendo que se cumple1(-1) = -1, tendr que ser: (-1)(-1) = +1

    Hoy, una de las preguntas ms repetidas en las clasesde matemticas es por qu menos por menos es ms?

    Es difcil encontrar una respuesta sencilla yconvincente, ya que la regla es puramente arbitraria y se

    adopta slo para que no aparezcan contradicciones, peroexisten varias justificaciones claras y aceptables:

    Equivalente lingstico: la doble negativa equivale auna afirmacin:

    No es cierto que Pepito no tenga el libro=Pepito tieneel libro.

    Un ejemplo fcil de visualizar es el de la isla Barataria,donde hay ciudadanos "buenos" a los que se asignael signo "+", y ciudadanos "malos" a los que se da elsigno "-". Tambin se acuerda que: "salir" de la islaequivale al signo "-", y "entrar" a la isla equivale alsigno "+".

    Si un ciudadano bueno (+) entra (+) a Barataria,el resultado para la isla es positivo:(+)(+) = (+).

    Si un ciudadano malo (-) sale (-) de Barataria, elresultado para la isla es positivo: (-)(-) = (+).

    Si un ciudadano bueno (+) sale (-) de Barataria, elresultado para la isla es negativo: (+)(-) = (-).

    Si un ciudadano malo (-) entra (+) a Barataria, elresultado para la isla es negativo: (-)(+) = (-)

  • Operaciones con nmeros enteros

    4Segundo ao de secundaria

    Ttulo del captuloOperaciones con nmeros enteros

    Adicin en nmeros enteros ( )

    Interpretacin de la adicin en nmeros enteros

    Como en los negocios se dan situaciones de gananciasy prdidas; podremos interpretar la adicin de nmerosenteros; asignando nmeros positivos a las ganancias ynmeros negativos a las prdidas.

    Veamos:

    * En un negocio gano S/. 9 y en otro gano S/. 12, cuntogano en ambos negocios? S/. 21.Entonces: (+9) + (+12) = +21

    * En un negocio pierdo S/. 9 y en otro pierdo S/. 12,cundo pierdo en ambos negocios? S/. 21Entonces: (-9) + (-12) = -21

    * En un negocio gano S/. 9 y en otro pierdo S/. 12, ganoo pierdo al final?Cunto?Como lo que pierdo es ms de lo que gano; salgoperdiendo S/. 3Entonces: (+9) + (-12) = -3

    * En un negocio pierdo S/. 9 y en otro gano S/.12, ganoo pierdo al final?Cunto?Como lo que gano es ms que lo que pierdo; salgoganando S/. 3Entonces: (-9) + (+12) = +3

    Resumiendo estas operaciones:

    (+9) + (+12) = +21(-9) + (-12) = -21(+9) + (-12) = -3(-9) + (+12) = +3

    Regla de signos de la adicin en nmeros enteros

    1. Si se trata de nmeros enteros del mismo signo,sumamos los valores absolutos y el signo del resultadoes el mismo.

    Ejemplos:

    (-12) + (-7) = (-19)(+13) + (+5) = (+18)

    2. Si se trata de nmeros enteros de diferente signorestamos los valores absolutos y al resultado lecolocamos el signo del nmero mayor.

    Ejemplos:

    (-10) + (+3) = -7(+15) + (-9) = +6

    Propiedades de la adicin en nmeros enteros

    1. Propiedad de clausura"La suma de dos nmeros enteros es otro nmeroentero".

    Si: a y b (a + b) Ejemplo:

    -7 y +9 (-7) + (+9)2. Propiedad conmutativa

    "El orden de los sumandos no altera la suma".

    a + b = b + a

    Ejemplo:

    (+4) + (-10) = (-10) + (+4)

    3. Propiedad asociativa"La forma como se agrupen los sumandos no altera lasuma".

    (a + b) + c = a + (b + c)

    Ejemplo:

    (- 4) + (+6) + (+7) = (+9)((- 4) + (+6)) + (+7) = (- 4) + ((+6) + (+7))

    (+2) + (+7) = (- 4) + (+13)(+9) = (+9)

    4. Elemento neutroEs el cero."Si sumamos cualquier nmero entero "a" con elelemento neutro, el resultado tambin es "a".

    a + 0 = a

    Ejemplo:(- 4) + 0 = - 4

    5. Elemento opuesto o simtrico"Un nmero entero es el opuesto de otro si sumadosdan como resultado cero".

    a + (-a) = 0Ejemplo:

    (+10) y (-10) son nmeros opuestosporque (+10) + (-10) = 0

    6. Propiedad de monotona"Dada una igualdad podemos sumar a ambos miembrosun mismo nmero entero; resultando entonces otraigualdad".

    Si: a = b a + c = b + c

  • Operaciones con nmeros enteros

    5Segundo ao de secundaria

    Ttulo del captuloOperaciones con nmeros enteros

    Ejemplo:(+4) + (+6) = (+10)

    (+4) + (+6) + (- 4) = (+10) + (- 4) (+6) = (+6)

    7. Propiedad cancelativa"Dada una igualdad, si hay un mismo sumando enteroen ambos miembros podemos cancelarlo obteniendoentonces otra igualdad".

    Si: a + c = b + ca = b

    Ejemplo:

    (-3) + (+5) + (+6) = (+6) + (+4) + (-2)(+2) = (+2)

    Sustraccin en nmeros enteros ( )

    Dados dos nmeros enteros hallamos su diferenciatransformando la sustraccin en una adicin del minuendocon el opuesto del sustraendo.

    a - b = a + (-b)

    Ejemplo:

    Efectuar: (-5) - (-2)

    * El opuesto del sustraendo es: +2* La sustraccin convertida en adicin:(-5) + (+2) = -3

    Problemas resueltos1. Efectuar:

    (+7) + (-2) - (+4) + (+10) - (-3)

    (+5) + (-4) + (+10) + (+3)

    (+1) (+13)+

    (+14)

    2. Efectuar:

    (-10) + (-1) - (+6) - (-8) + (-5)

    (-11) + (-6) + (+8) + (-5)

    (-17) (+3)+

    (-14)

    Multiplicacin en nmeros enteros ( )

    Por lo estudiado hasta aqu la multiplicacin abrevia la suma.Veamos:

    )4(5)4()4()4()4()4(

    "veces5"

    Regla de signos para la multiplicacin en nmerosenteros

    * Si dos nmeros enteros tienen el mismo signo suproducto tendr signo positivo.

    * Si dos nmeros enteros tienen diferente signo suproducto tendr signo negativo.

    ( + ) x ( + ) = ( + )( - ) x ( - ) = ( + )( + ) x ( - ) = ( - )( - ) x ( + ) = ( - )

    Ejemplo:(+ 4) x (+6) = + 24(- 6) x (- 9) = + 54(+ 9) x (- 7) = - 63(- 8) x (+9) = - 72

    De esta regla de signos para la multiplicacin se desprendelo siguiente al multiplicar dos o ms factores.

    * Si todos los factores tienen signo positivo; el productotambin es positivo.

    Ejemplo:

    a. (+3) . (+4) . (+5) = +60b. (+4) . (+2) . (+9) = +72

    * Si algunos factores son de signo negativo tendremosen cuenta la cantidad de estos factores.

    I. Si dicha cantidad de factores es par, el producto totales de signo positivo.

    Ejemplos:

    a. (- 4) . (- 2) . (+5) = +40b. (- 5) . (+4) . (- 9) = +180

    II. Si dicha cantidad de factores es impar el productototal es de signo negativo.

    Ejemplos:

    a. (- 3) . (- 2) . (- 4) = -24b. (- 2) . (- 1) . (- 3) . (- 4) . (- 5) = - 120

  • Operaciones con nmeros enteros

    6Segundo ao de secundaria

    Ttulo del captuloOperaciones con nmeros enteros

    Propiedades de la multiplicacin en nmeros enteros

    1. Propiedad de clausura"El resultado de multiplicar dos nmeros enteros es otronmero entero".

    Si: a y b a . b Ejemplo:

    (- 4) y (+7) (- 4) . (+7) = - 28 2. Propiedad conmutativa

    "El orden de los factores no altera el producto".

    a x b = b x a

    Ejemplo:

    (- 9) x (+12) = (+12) x (- 9)- 108 = - 108

    3. Propiedad asociativa"La forma cmo se agrupen los factores no altera elproducto".

    (a x b) x c = a x (b x c)

    Ejemplo:(+5) . (+2) . (-3) = -30

    [(+5)(+2)] . (-3) = (+5) . [(+2)(-3)](+10) . (-3) = (+5) . (-6)

    -30 = -30

    4. Elemento neutroEs el "+1""Cualquier nmero entero multiplicado por el elementoneutro da como producto el mismo nmero entero".

    (+a) . (+1) = +a

    Ejemplo:(+5) . (+1) = +5

    5. Elemento absorbenteEs el cero (0)."En cualquier multiplicacin de dos o ms factores, si almenos uno de ellos es cero; entonces el producto escero".

    a x 0 = 0

    Ejemplo:(-7) (+5) (0) (+4) = 0

    6. Propiedad de monotona"Si multiplicamos ambos miembros de una igualdad porun mismo nmero entero; obtenemos otra igualdad".

    Si: a = b a x c = b x c

    Ejemplo:( -2 ) x ( -7 ) =