ARITMETICA 2do

7/21/2019 ARITMETICA 2do

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Cap ít u l o Pág .

I. Operaciones con números enteros ..................................................................................... 03

II. Prioridad de operaciones y signos de colección ................................................................... 13

III. Números fraccionarios ...................................................................................................... 19

IV. Aplicación de los números fraccionarios ............................................................................. 27

V. Complemento de números enteros y fraccionarios .............................................................. 33

VI. Números decimales (operaciones) ..................................................................................... 37

VII. Números decimales (Conversión de decimal a fracción generatriz) ....................................... 45

VIII. Repaso ........................................................................................................................... 51

Aritmética

ÍNDICE

Departamento de Publicaciones

TRILCE

COSI2SLIAR01-04.p65



3Colegio TRILCE

TRILCE

COLEGIOOperaciones con números enteros(adic ión - sust racc ión - mul t ip l icac ión - d iv is ión

- potenc iac ión - radicac ión)

Capít ulo I

Menos por menos es más

Hasta fines del siglo XVIII, los números negativos nofueron aceptados universalmente. Sin embargo losmatemáticos de la India, en el siglo VII, usaban losnúmeros negativos para indicar deudas y los

representaban con un circulito sobre el número; admitíansoluciones negativas en las ecuaciones pero no lastomaban en consideración porque decían que "la genteno aprueba las raíces negativas".

Gerolamo Cardano, en el siglo XVI, llamaba a losnúmeros negativos "falsos", pero en su Ars Magna

(1545) los estudió exhaustivamente.

John Wallis (1616-1703), en su Arithmetica

Infinitorum (1655), "demuestra" la imposibilidad de suexistencia diciendo que "esos entes tendrían que ser a lavez mayores que el infinito y menores que cero".

Leonardo Euler es el primero en darles estatuto legal;en su Anleitung Zur Algebra (1770) trata de"demostrar" que (-1)(-1)=+1; argumenta que el productotiene que ser: +1 ó -1 y que, sabiendo que se cumple1(-1) = -1, tendrá que ser: (-1)(-1) = +1

Hoy, una de las preguntas más repetidas en las clasesde matemáticas es ¿por qué menos por menos es más?

Es difícil encontrar una respuesta sencilla y

convincente, ya que la regla es puramente arbitraria y se

adopta sólo para que no aparezcan contradicciones, peroexisten varias justificaciones claras y aceptables:

Equivalente lingüístico: la doble negativa equivale a

una afirmación:

No es cierto que Pepito no tenga el libro=Pepito tieneel libro.

Un ejemplo fácil de visualizar es el de la isla Barataria,donde hay ciudadanos "buenos" a los que se asignael signo "+", y ciudadanos "malos" a los que se da elsigno "-". También se acuerda que: "salir" de la islaequivale al signo "-", y "entrar" a la isla equivale alsigno "+".

Si un ciudadano bueno (+) entra (+) a Barataria,el resultado para la isla es positivo:

(+)(+) = (+).

Si un ciudadano malo (-) sale (-) de Barataria, elresultado para la isla es positivo: (-)(-) = (+).

Si un ciudadano bueno (+) sale (-) de Barataria, elresultado para la isla es negativo: (+)(-) = (-).

Si un ciudadano malo (-) entra (+) a Barataria, elresultado para la isla es negativo: (-)(+) = (-)



Ope r a c ione s c on núm e r os e n t e r os

4Segundo año de secundaria

T í t u lo de l c a p í t u loOpe r a c ione s c on núm e r os e n t e r os

Adición en números enteros ( )

Interpretación de la adición en números enteros

Como en los negocios se dan situaciones de gananciasy pérdidas; podremos interpretar la adición de númerosenteros; asignando números positivos a las ganancias ynúmeros negativos a las pérdidas.

Veamos:

* En un negocio gano S/. 9 y en otro gano S/. 12, ¿cuántogano en ambos negocios? S/. 21.Entonces: (+9) + (+12) = +21

* En un negocio pierdo S/. 9 y en otro pierdo S/. 12,¿cuándo pierdo en ambos negocios? S/. 21Entonces: (-9) + (-12) = -21

* En un negocio gano S/. 9 y en otro pierdo S/. 12, ¿ganoo pierdo al final?¿Cuánto?Como lo que pierdo es más de lo que gano; salgoperdiendo S/. 3Entonces: (+9) + (-12) = -3

* En un negocio pierdo S/. 9 y en otro gano S/.12, ¿ganoo pierdo al final?¿Cuánto?Como lo que gano es más que lo que pierdo; salgoganando S/. 3

Entonces: (-9) + (+12) = +3Resumiendo estas operaciones:

(+9) + (+12) = +21(-9) + (-12) = -21(+9) + (-12) = -3(-9) + (+12) = +3

Regla de signos de la adición en números enteros

1. Si se trata de números enteros del mismo signo,sumamos los valores absolutos y el signo del resultado

es el mismo.

Ejemplos:

(-12) + (-7) = (-19)(+13) + (+5) = (+18)

2. Si se trata de números enteros de diferente signorestamos los valores absolutos y al resultado lecolocamos el signo del número mayor.

Ejemplos:

(-10) + (+3) = -7(+15) + (-9) = +6

Propiedades de la adición en números enteros

1. Propiedad de clausura"La suma de dos números enteros es otro númeroentero".

Si: a

y b

(a + b)

Ejemplo:

-7

y +9 (-7) + (+9)

2. Propiedad conmutativa"El orden de los sumandos no altera la suma".

a + b = b + a

Ejemplo:

(+4) + (-10) = (-10) + (+4)3. Propiedad asociativa

"La forma como se agrupen los sumandos no altera lasuma".

(a + b) + c = a + (b + c)

Ejemplo:

(- 4) + (+6) + (+7) = (+9)((- 4) + (+6)) + (+7) = (- 4) + ((+6) + (+7))

(+2) + (+7) = (- 4) + (+13)(+9) = (+9)

4. Elemento neutroEs el cero."Si sumamos cualquier número entero "a" con elelemento neutro, el resultado también es "a".

a + 0 = a

Ejemplo:(- 4) + 0 = - 4

5. Elemento opuesto o simétrico"Un número entero es el opuesto de otro si sumadosdan como resultado cero".

a + (-a) = 0Ejemplo:

(+10) y (-10) son números opuestosporque (+10) + (-10) = 0

6. Propiedad de monotonía"Dada una igualdad podemos sumar a ambos miembrosun mismo número entero; resultando entonces otra

igualdad". Si: a = b a + c = b + c






Ejemplo:(+4) + (+6) = (+10)

(+4) + (+6) + (- 4) = (+10) + (- 4) (+6) = (+6)

7. Propiedad cancelativa"Dada una igualdad, si hay un mismo sumando entero

en ambos miembros podemos cancelarlo obteniendoentonces otra igualdad".

Si: a + c = b + ca = b⇒

Ejemplo:

(-3) + (+5) + (+6) = (+6) + (+4) + (-2)(+2) = (+2)

Sustracción en números enteros ( )

Dados dos números enteros hallamos su diferenciatransformando la sustracción en una adición del minuendocon el opuesto del sustraendo.

a - b = a + (-b)

Ejemplo:

Efectuar: (-5) - (-2)

* El opuesto del sustraendo es: +2

* La sustracción convertida en adición:(-5) + (+2) = -3

Problemas resueltos

1. Efectuar:

(+7) + (-2) - (+4) + (+10) - (-3)

(+5) + (-4) + (+10) + (+3)

(+1) (+13)+

(+14)

2. Efectuar:

(-10) + (-1) - (+6) - (-8) + (-5)

(-11) + (-6) + (+8) + (-5)

(-17) (+3)+

(-14)

Multiplicación en números enteros ( )

Por lo estudiado hasta aquí la multiplicación abrevia la suma. Veamos:

)4(5)4()4()4()4()4(

"veces5"

Regla de signos para la multiplicación en númerosenteros

* Si dos números enteros tienen el mismo signo suproducto tendrá signo positivo.

* Si dos números enteros tienen diferente signo suproducto tendrá signo negativo.

( + ) x ( + ) = ( + )( - ) x ( - ) = ( + )

( + ) x ( - ) = ( - )( - ) x ( + ) = ( - )

Ejemplo:(+ 4) x (+6) = + 24(- 6) x (- 9) = + 54(+ 9) x (- 7) = - 63(- 8) x (+9) = - 72

De esta regla de signos para la multiplicación se desprendelo siguiente al multiplicar dos o más factores.

* Si todos los factores tienen signo positivo; el productotambién es positivo.

Ejemplo:

a. (+3) . (+4) . (+5) = +60b. (+4) . (+2) . (+9) = +72

* Si algunos factores son de signo negativo tendremosen cuenta la cantidad de estos factores.

I. Si dicha cantidad de factores es par, el producto total

es de signo positivo.

Ejemplos:

a. (- 4) . (- 2) . (+5) = +40b. (- 5) . (+4) . (- 9) = +180

II. Si dicha cantidad de factores es impar el productototal es de signo negativo.

Ejemplos:

a. (- 3) . (- 2) . (- 4) = -24b. (- 2) . (- 1) . (- 3) . (- 4) . (- 5) = - 120






Propiedades de la multiplicación en números enteros

1. Propiedad de clausura"El resultado de multiplicar dos números enteros es otronúmero entero".

Si: a

y b a . b

Ejemplo:

(- 4)

y (+7)

(- 4) . (+7) = - 28

2. Propiedad conmutativa"El orden de los factores no altera el producto".

a x b = b x a

Ejemplo:

(- 9) x (+12) = (+12) x (- 9)

- 108 = - 108

3. Propiedad asociativa"La forma cómo se agrupen los factores no altera elproducto".

(a x b) x c = a x (b x c)

Ejemplo:(+5) . (+2) . (-3) = -30

[(+5)(+2)] . (-3) = (+5) . [(+2)(-3)](+10) . (-3) = (+5) . (-6)

-30 = -30

4. Elemento neutroEs el "+1""Cualquier número entero multiplicado por el elementoneutro da como producto el mismo número entero".

(+a) . (+1) = +a

Ejemplo:(+5) . (+1) = +5

5. Elemento absorbenteEs el cero (0)."En cualquier multiplicación de dos o más factores, si almenos uno de ellos es cero; entonces el producto escero".

a x 0 = 0

Ejemplo:(-7) (+5) (0) (+4) = 0

6. Propiedad de monotonía"Si multiplicamos ambos miembros de una igualdad por

un mismo número entero; obtenemos otra igualdad".Si: a = b a x c = b x c

Ejemplo:( -2 ) x ( -7 ) = +14

Multiplicamos ambos miembros por (+5)

( -2 ) x ( -7 ) x ( +5 ) = ( +14 ) x ( +5 ) +70 = +70

7. Propiedad cancelativa"Si en ambos miembros de una igualdad aparece unmismo número entero como factor, diferente de ceroeste puede cancelarse o suprimirse".

Si: a b = b cx xa = c⇒

Ejemplo:

(+4) (-3) (+6) = (-3) ( +8) (+3)x x x x

+24 = +24

8. Propiedad distributiva"Si a una adicón se le multiplica por un entero; elresultado es igual a la suma de los productos de dichoentero por cada uno de los sumandos".

a x (b + c) = a x b + a x c

Ejemplo:

(+4) x ((-5) + (+3)) = (+4)(-5) + (+4)(+3)

(+4) x (-2) = (-20) + (+12)(-8) = (-8)

División en números enteros ( )

Clases de división

a. División exactaLa división exacta es una operación en la cual hallamosun factor llamado cociente (q) que nos indica el númerode veces que otro factor no nulo denominado divisor(d)está contenido en otro al que llamamos dividendo (D).

D = d x q

Ejemplo:(-900) = (+2) x (q)(-900) = (+2) x (- 450)

Regla de signos en la división de enteros

( + ) ÷ ( + ) = ( + )

( - ) ÷ ( - ) = ( + ) ( - ) ÷ ( + ) = ( - ) ( + ) ÷ ( - ) = ( - )






b. División inexactaSi "d" no esta contenido un número exacto de veces en"D" la división es inexacta; en tal caso aparece el residuoo resto "R".

DR

dq

D = d q + R x

DR

dq

D = d q - R x

e ee e

qe = q + 1

R + R e = d

Potenciación en números enteros ( )

Es una operación en la que dada una base entera (a) y unexponente natural (n) hallamos la potencia (P).

an = P

El exponente indica las veces que se repite la base.

veces"n"

n aaaaa ...

Signos de potenciación en

(+a)par o impar = +P

(-a)par = +P

(-a)impar = -P

Ejemplos:• (+3)2 = +9• (-2)4 = +16• (-3)5 = -243

Multiplicación de potencias de bases iguales

am x an = am+na ∈m; n ∈ IN

Ejemplo:

Efectuar: (+2)4 . (+2)3

desarrollando

veces7

)2)(2)(2(.)2)(2)(2)(2(

(+2)4 . (+2)3 = (+2)7

Si las bases son iguales se escribe la misma base yse suman los exponentes.

División de potencias de bases enteras iguales

nmn

m

aa

a

a 0 ∈≠m, n ∈ IN

Ejemplo:

Efectuar: 2

4

)2(

)2(

Desarrollando: 4)2()2)(2(

)2)(2)(2)(2( 2 +=−=−−

−−−−

Es decir: 242

4

)2()2(

)2(

Si las bases son iguales se escribe la misma base yse restan los exponentes.

Potencia de una multiplicación indicada en númerosenteros

(a x b)n = an x bna ; b ∈

n ∈ IN

Ejemplo:

Efectuar: ((-2)(+4))2

Desarrollando las potencias: (-2)(-2) . (+4)(+4)

Por exponente natural: (-2)2 . (+4)2

Es decir: [(-2).(+4)]2 = (-2)2 . (+4)2

Potencia de una división indicada en números enteros

(a

b)

n

= a

n

b

n

a; b ∈

n ∈ INb ≠ 0

Ejemplo:

2

22

)3(

)12(

3

12

Potencia de potencia

m.nm

n aa =

Divisióninexacta por

defectoDivisióninexacta porexceso






Restamos 23 - 21 quedando 2, bajando el siguiente grupovolviéndose a repetir el proceso.

1 1 1

1 2 = 2x1 2 3 4 5

2 1 1 = 21x

12 32 1

2 4 52 2 1

2 4

11 2 = 22x

22 1 1 = 221x

La raíz cuadrada de 12345 es 111 sobrando 24.

Nivel I

Adición

Efectuar las siguientes sumas

1. (+6) + (+3) + (+2)

2. (+4) + (+2) + (-2)

3. (+7) + (- 4) + (-6)

4. (+10) + (+12) + (-11)

5. (+5) + (+4) + (-9)

6. (+9) + (- 4) + (-6)

7. (+6) + (+10) + (-1)

8. (+8) + (-20) + (-8)

9. (+12) + (+14) + (- 10)

10. (+24) + (+14) + (-15)

Sustracción

Efectuar:

1. (+8) - (-3)

2. (+14) - (+7)

3. (+12) - (-5)

4. (+15) - (-3)

5. (+21) - (+5)

6. (-18) - (+4)

Problemas para la c lase

7. (-19) - (-1)

8. (- 42) - (+10)

9. (+120) - (-119)

10. (-1000) - (-1001)

Multiplicación y división

Efectuar:

1. (+9) . (-6)

2. (+7) . (+12)

3. (+3) . (-2) . (-1)

4. (+4) . (-5) . (+2)

5. (-3) . (-3) . (-3)

6. (+6) ÷ (+3)

7. (+15) ÷ (-5)

8. (- 45) ÷ (+9)

9. (+250) ÷ (+50)

10. (-125) ÷

(-25)

Potenciación y radicación

Efectuar:

1. (-2)4

2. (-3)4

3. (+7)3

4. (-1)2003

5. (+9)2

6. 64

7. 3 64

8. 4 81

9. 5 32

10. 3 343






Nivel II

Adición

Hallar los enteros a colocar en los casilleros.

1. + (-9) = (+2)

a) +10 b) -10 c) +11d) -11 e) N.A.

2. (+4) + (+5) + = (- 4)

a) -10 b) -9 c) -13d) + 4 e) -16

3. (+5) + + (- 4) = +7

a) +6 b) +7 c) - 6d) - 4 e) +3

4. (+13) + (-8) + (+9) =

a) +10 b) +12 c) +14d) - 6 e) - 9

5. (-9) + (-8) + = +4

a) +20 b) +21 c) -17d) -21 e) -20

Sustracción

Hallar los números enteros a colocar en los casilleros.

1. (+7) - = (- 6)

a) -13 b) +13 c) +10d) -10 e) +6

2. - (+14) = (+7)

a) +21 b) -20 c) +7d) -21 e) N.A.

3. (+20) - = (-10)

a) +30 b) -30 c) +20d) -10 e) +10

4. (+81) - (-27) =

a) +54 b) -54 c) -108d) +108 e) +27

5. (+7) - = (-9)

a) -10 b) -16 c) +16d) +10 e) +15

Multiplicación y división

1. Calcular "a + b + c"

abc)3)...(3).(3).(3(veces6

a) 12 b) 15 c) 18d) 21 e) 24

2. Calcular "a - b + c"

(-1)(-2)(-3) ... (-6) = abc

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

3. Calcular "a - b - c"

(-3) x (+5) x (-7) x (+9) = abc

a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 0

4. Calcular "a + b"

(+1 001) (- 77) ab

a) 8 b) 9 c) 10d) 11 e) 4

5. Calcular "a + b + c + d"

(-153 217)

(-101) abcd

a) 14 b) 13 c) 12d) 11 e) 10

Potenciación y radicación

1. Indicar el resultado de:

[ + 2 4 - 1 8 - 9 + 6 ]

3

a) -9 b) +8 c) -27

d) -8 e) +27

2. Completar el valor que falta en el casil lerocorrespondiente.






(-3)4 =

(-5)3 =

(-2)5 =

Dar como respuesta la suma de los resultados.

a) +76 b) +228 c) -128d) -238 e) -76


4 3 15)3(9275

a) +2 b) +1 c) -1d) -2 e) 0

4. Indicar el valor que debe ir en los recuadros.

8

64

00

1

Dar como respuesta la suma de los valores.

a) +2 b) -2 c) -1d) +1 e) 0

5. Indicar verdadero o falso según corresponda.

(-5)2 = +25 ........................... ( )

(-7)3 = -343 .......................... ( )

620)2( 4

................ ( )

3814

......................... ( )

a) VFFV b) VVVV c) VFFFd) FFFF e) VVFF

NIVEL III

1. Colocar el entero a colocar en el casillero.

(-23) + (-25) + = (- 4) + (+36)

a) 72 b) 74 c) 76d) 78 e) 80

2. Calcular "A + B + C"

A = (-3) . (-5) . (-2)

B = (-7) . (-3 + 3) . (-1 000)

veces6

)2).......(2)(2(C

a) +64 b) - 64 c) -34d) +34 e) 30

3. Calcular "A x B x C"

A = (- 4) + (-3) - (- 4)B = (+8) - (+1) + (+4 - 4)C = (-3) . (-2) . (-1) . (-2) . (-3)

a) +728 b) +736 c) -756d) +756 e) +512

4. Calcular "A x B" A = (-70)

(-5)

B = (-2)(-3)(-4)(-1)

a) 14 b) 24 c) 196

d) 336 e) 306

5. Indicar la suma de los recuadros en:

[(-2)

4

.(-3)

12

.(+15)

3

]

4

= (+2) .(-3) .(+15)

a) 76 b) 81 c) 82

d) 74 e) 77

6. Indicar el resultado de restar A de B , si:

3 6)2(37 A

5 3)7(344B

a) +1 b) +2 c) -26d) -28 e) -2

7. Operar:

023 32 )( )3(35)2()2(

a) + 3 b) + 4 c) + 6d) -7 e) +7

8. Completar los casilleros con números enteros para quela igualdad sea correcta.

596

÷

Dar como respuesta la suma de los valores encontrados.






a) 20 b) 21 c) 18d) 19 e) 22

9. Si: a = -1; b = +2; C = -3

Calcular:

(a)3 . (b)4 . (c)3

a) + 423 b) - 432 c) + 432d) - 422 e) + 422

10.Si: a = -1; b=-8; c = +16

Calcular:

54 23 acaab

a) -2 b) + 3 c) + 4

d) + 5 e) -1

Aut oevaluac ión

1. Calcular "a+b+c"

abc)4).(4).(4).(4(

a) 12 b) 13 c) 14d) 15 e) 16

2. Hallar el resultado de efectuar:

(+5) + (+3) - (+4) - (-6)

a) +14 b) -14 c) -10d) +10 e) +15

3. Completar el valor que falta en el casi llerocorrespondiente.

(- 4)3 =

(-2)4 =

(+7)3 =

Dar como respuesta la suma de los resultados

a) +359 b) -259 c) +295d) -295 e) +195


5 3 753)2(408

a) +3 b) +4 c) +2d) -2 e) -3

5. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda

(-2)2 . (-3)3 = -54 .................... ( )

(- 4)3 . (+5) = 200.................... ( )

6)6(.)3(.)2(3 22

................ ( )

a) VVV b) VFF c) VFVd) FFV e) FFF

Claves1 2 3 4 5b d c c d



13Colegio TRILCE

TRILCE

COLEGIOPrior idad de operac iones y

s ignos de c o lecc ión

Capít ulo I I

Jerarquía de operaciones

• Si tomas tu calculadora y efectúas 3 + 4 x 2 lo que sucede será lo siguiente:

3 3

+ + 3

4 4

x x 7

2 2

= 14

¡Es obvio!

La palabra "obvio" debe ser una de las más temibles de toda la matemática; lo que es "obvio" para unos no es

nada claro para otros, y el uso de dicha palabra puede crear la "angustia matemática" que todo estudioso ha

conocido en algún momento de su aprendizaje.

El astrónomo norteamericano Nathaniel Bowdith (1773-1838) tradujo al inglés la obra de Laplace Mécanique

Celeste e hizo el siguiente comentario: "Siempre que aparecían expresiones como "es evidente", "es obvio", "es

fácil de ver", ... yo sabía que me esperaban horas de arduo trabajo para llenar los vacíos y entender lo que era

obvio".

De G.H. Hardy (1877-1947), uno de los matemáticos ingleses más importantes de principios del siglo XX, se

cuenta que dando una conferencia dijo que cierta relación matemática era trivial; después vaciló un instante ypreguntó: "¿Será trivial?" Pidió disculpas, salió de la sala de conferencias y fue a su oficina. A los 20 minutos volvió

y declaró: "Sí, es trivial".

El matemático norteamericano Ralph P. Boas

cuenta que el profesor Tomkins dijo durante una

conferencia: "esto es obvio". Uno de sus colegas,

Marston Morse, con mucha entereza, lo interrumpió

y preguntó: "¿Nos podría explicar cuáles son las

razones obvias?" La explicación subsiguiente duró

media hora.



Pr ior idad de operaciones y s ignos de colección


T í t u lo de l c a p í t u loPr ior idad de operaciones y s ignos de colección

Sin embargo el mismo ejercicio se lo damos a un profesorde matemáticas, el profesor obtendra como resultado 11.¿Cómo?Una expresión como 3 + 4 x 2 requiere una interpretacióny debemos estar de acuerdo en qué operaciones se debenrealizar primero que otras.

Las matemáticas han llegado a un acuerdo acerca de unaregla para calcular en cadena.

Estas normas nos dan una regla, se denomina jerarquíaoperatoria.

Establecen qué calculo dentro de una cadena debeejecutarse en orden definido y en una forma prescrita elorden se resume como sigue:

1. Signos de colección ( ); [ ]; { }

2. Potencias y radicales

3. Multiplicación y división

4. Adición y sustracción

Operaciones combinadas deadición y sustracción en IN

Si hay operaciones entre paréntesis, operamos primeroestas; para suprimir dicho paréntesis.

Ejemplo:

10 + 3 + (5 - 1)

* Primero el interior del paréntesis:

(5 - 1) = 4

* Luego sumamos los tres números:

10 + 3 + 4 = 17

Si no hay paréntesis procedemos a operar de izquierda

a derecha.

Ejemplos:

a.

15 - 3 + 10 - 7 + 4 - 1 = 18

12

22

15 19

18

b.

19 + 2 - 10 + 15 - 12 + 7 = 21

21

11

26

14

21

Operaciones combinadas demultiplicación,

adición y sustracción en IN

Si hay operaciones entre paréntesis; operamos primero

éstas.

Ejemplo:a.

(5 4) + (3 2) + 10x x

20 + 6 + 10 = 36

b.

(2 5 + 7) - (6 4 - 20)x x

(10 + 7) - (24 - 20)

17 - 4

13

Si no hay paréntesis, se sigue el siguiente orden:

1. Efectuamos las multiplicaciones.

2. Efectuamos las adiciones y sustracciones.

a.

14 - 6 2 + 25 - 10x

14 - 12 + 25 - 10

2 + 25 - 10

27 - 10

17

b.

40 + 5 - (8 - 4 3 + 10) + 6x

40 + 5 - (8 - 12 + 10) + 6

45 - (8 - 2) + 6

45 - 6 + 645 - 0

45






Operaciones combinadas de adición ysustracción en

Ejemplos:

1. Efectuar: E = (+7) + (+5) - (- 4) - (-7) + (+2)

Convertimos la sustracción en adición:

E = (+7) + (+5) + (+4) + (+7) + (+2)E = (+12) + (+4) + (+7) + (+2)E = (+16) + (+7) + (+2)

E = (+23) + (+2)E = (+25)

2. Efectuar:

P = (-10) + (-1) + (+6) - (-8) + (-5)P = (-10) + (-1) + (+6) + (+8) + (-5)

P = (-11) + (+6) + (+8) + (-5)P = (-5) + (+8) + (-5)P = (+3) + (-5)P = (-2)

Operaciones combinadas demultiplicación,

adición y sustracción en

Ejemplo:

1. Efectuar:

E = (+2).(-3) + (+5)(+4) - (+3)(-3)E = (-6) + (+20) - (-9)E = (-6) + (+20) + (+9)E = (+14) + (+9)E = (+23)

2. Efectuar:

E = (+4) . (+5) + (+5).(-3) + (+9)(+7) + (+6)E = (+20) + (-15) + (+63) + (+6)E = (+5) + (+63) + (+6)E = (+68) + (+6)

E = (+74)

Nivel I

Efectuar las siguientes operaciones:

1. (-12) + (24 - 16)

a) +2 b) +4 c) 0d) -4 e) -6

2. +8 - 3 + (17 - 25) + (51 - 25)

a) +13 b) +16 c) +23d) -8 e) +8

3. -4 - {-4 + 4 - 4 - 4 - (4 - 4)}

a) +4 b) -4 b) +8d) -8 e) +12

4. (-5)2 + 3 - 2 + 5 x 4 + 20 2

a) +30 b) +20 c) +26

d) +56 e) +40

5. (-9) (+3) - (-5)(-4) + (-8)( 9 )

a) -3 b) -20 c) -24d) -47 e) -26

6. 122 - 62 + 196 x (3 - 6)

a) +52 b) +18 c) -56d) -52 e) +16

7. {24 + (19 - 4 - 8)} - 3 x 2 + 1

a) +26 b) +25 c) +20d) -1 e) -5

8. 36 9 + 2 x 3 + 2 - 7 x 2

a) -2 b) -1 c) 0

d) +1 e) +2

9. 100 - 49 + 1001

77

a) +100 b) +101 c) -100

d) -99 e) +106

10. 25 - 4 x 5 + 18 x 3 - 20

a) +39 b) +40 c) -40

d) -39 e) +36







7. 2 9 x 3 27 + 2

2

= 6

8. (12

2

6) 3 + 6 x 2 = 20

9. 45 5 x 3 + 3

2

= 12

10. 14214100144

Aut oevaluac ión

1. Efectuar: (-4)2 + 2x2 - (+5)(-3) - 20

a) -15 b) +15 c) +20d) +40 e) -20

2. Efectuar: ((4 x 5)

2 - 4) + (+3)(-5)

a) +9 b) +6 c) -9

d) -6 e) +4

3. Efectuar: 225196643

a) +185 b) +195 c) +3d) -3 e) +15

4. Efectuar: 11-3346)4(3 3)(

a) 12 b) 72 c) 24d) 36 e) 18

5. Efectuar: 106456021032

a) 22 b) 32 c) 40d) 18 e) 20

Claves

1 2 3 4 5

b c c b a



19Colegio TRILCE

TRILCE

COLEGIONúmeros f racc ionar ios

Capít ulo I I I

Pepe el generoso

Pepe sale de casa con un montón de cromos y vuelvea casa sin ninguno. Su madre le pregunta qué ha hechocon los cromos.- A cada amigo con el que me encontré le di la mitad

de los cromos que llevaba más uno.- ¿Con cuántos amigos te encontraste?- Con seis

¿Podrías averiguar cuántos cromos llevaba Pepe?

Adición en números fraccionarios

a. De igual denominador

Al efectuar la SUMA o ADICIÓN de dos o más fraccionesde igual denominador, se suman los numeradores y seescribe el mismo denominador.

Ejemplo:

10

7

10

6

10

1

10

61

10

6

10

1

b. De diferente denominador

Para efectuar la SUMA o ADICIÓN de fracciones dediferente denominador, buscamos transformar lasfracciones a otras equivalentes, de tal forma que todastengan ahora el mismo denominador.

Para esto consideremos los siguientes casos.

b.1 Método del mínimo común múltiplo (m.c.m.)

9

5

6

1

5

2

• Hallamos el m.c.m. de los denominadores y loescribimos como DENOMINADOR del resultado.

55551

-----

63111

-----

99311

2335 m.c.m. = 2 3 3 5 = 90x x x

Entonces:

909

5

6

1

5

2=++

• Dividimos el m.c.m. por cada denominador:

por el respectivo numerador.El resultado lo multiplicamos

505)990(

151)690(362)590(

=x÷

=x÷=x÷

Luego:90101

90501536

95

61

52

b.2 Regla de productos cruzados

bd

bcad

d

c

b

a +=+

x

Ejemplo:

3522

35157

73

51

Sustracción en números fraccionarios

Efectuar la SUSTRACCIÓN de números racionalesequivale a efectuar la ADICIÓN de uno de ellos con elOPUESTO del otro.

Ejemplo: Efectuar:

113

52



N úm e r os f r a c c iona r ios


T í t u lo de l c a p í t u loN úm e r os f r a c c iona r ios

• Esta sustracción también se puede escribir así:11

3

5

2

• Ahora aplicamos la REGLA DE LOS PRODUCTOSCRUZADOS

55)15(22

113

52

551522

113

52

557

113

52

Multiplicación en números

fraccionariosEl numerador final es el resultado de multiplicar los

numeradores, el denominador final es el resultado demultiplicar los denominadores.

Es decir:

d

c

b

a

db

ca

×

×× =

x

x

Ejemplo:

Efectuar:

283

28030

857325

83

52

75

División en númerosfraccionarios

Dividir una fracciónba

por otra NO NULAdc

equivale a

multiplicar la primera fracciónba

por la inversa de la

segundadc

.

Es decir:cb

da

c

d

b

a

d

c

b

a

Ejemplo: 5

32

95

836

9

8

5

36

8

9

5

36

Potenciación en númerosfraccionarios

La potencia de una fracción es el resultado de multiplicar"n" veces una misma fracción.

Así:

Pb

a

ba

ba

ba

ba

n

b

a"n" veces

...

=

=×××

Potencia "n"-ésima×

Donde:

• "n" es exponente natural.

•ba es base racional o fracción.

• "P" es la potencia o resultado de la operaciónPOTENCIACIÓN.

Ejemplo:

3

72

Significa que la base racional72

debe ser

multiplicada por sí misma tres veces.

Es decir:

343

8

7

2

777

222

7

2

7

2

7

2

7

23

33

Luego podemos afirmar de modo general que:

n

nn

b

a

b

a

Signos de una potencia de base racional

254

55)2()2(

52

1258

555)2()2()2(

52

2

3

Una potencia de base POSITIVA yexponente PAR o IMPAR, siemprees positiva.






27

8

333

)2()2()2(

3

2

81

16

3333

)2()2()2()2(

3

2

3

4

Una potencia de base NEGATIVApuede ser:POSITIVA, si el exponente es PAR.NEGATIVA, si el exponente es IMPAR.

Propiedades

nmnm

ba

ba

ba

Ejemplo:

53232

32

32

32

32

nm

ba

nm

ba

Ejemplo:

632

9

5

9

53

2

9

5

nnn

d

c

b

a

d

c

b

a

Ejemplo:

222

6

1

5

2

6

1

5

2

nm

b

an

b

a

m

b

a

Ejemplo

246

11

5

11

54

115

6

115

Radicación en númerosfraccionarios

Hemos estudiado que dada la siguiente expresión:

Pb

an

La operación que permite el cálculo de la base"

b

a " dados

"P" y "n", se llama RADICACIÓN.

Es decir:

Pb

a

b

aP

nn

Donde: P : Radicandon : Índice (n 2)

b

a: Raíz

: Operador radical

Ejemplo:

53

12527

3 porque

12527

53

3

Signos de radicación en Q

d

c

b

aimpar

+=

+Ejemplo: 3

2

27

83 =

+ +

d

c

b

aimpar −=

−Ejemplo:

2

1

32

15 =

− −

d

c

b

apar +=

+Ejemplo:

5

3

25

9=

+ +

b

apar

=

− ∃ en Q






Propiedades

• n

nn

b

a

ba

Ejemplo: 23

8

27

827

3

33

•nm

nm

ba

ba

Ejemplo:22

4

24

52

52

52

• nnndc

ba

dc

ba

Ejemplo: 77753

81

53

81

• mnpm n pb

a

b

a= Ejemplo: 404522 5 4

92

92

92

== ××

Adición

1. Empleando la regla de productos CRUZADOS efectuarlas siguientes adiciones:

34

12

1315

+

Indicar el mayor resultado.

a)1213

b)10

1c)

65

d)2019

e)107

2. Calcular "A+B", si:

51

32

A

31

2B

a)57

b)51

3 c)4

13

d) 1 e)1513

3. Haciendo uso del mínimo común múltiplo (m.c.m.)efectuar y completar:

=+

=++8

3

9

2

12

5 +

Dar como respuesta el resultado.

a)7372

b)711

1 c)7273

d)7269

e) 1

4. Efectuar la siguiente operación:

31

721

3

a)6510 b)

5310 c)

6111

d)52

12 e)6

110

5. Completar los signos ">" o "<" según corresponda:

i.3

2

2

1

65

ii. 4

12 3

132

2







iii.71

81

91

iv.3

1

2

1

4

1

3

1

¿Cuántos signos ">" salen?

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

Sustracción

6. Empleando la regla de productos CRUZADOS efectuarlas siguientes sustracciones.

19

27

25

13

Indicar el menor resultado.

a)4513

b)92

c)2113

d) 91

e) 97

7. Calcular "A - B":

31

2 A

43

1B

a)31

b)125

c)127

d)121

e) 41

8. Indicar cuál es la mayor diferencia.

I.2

1

5

3 II.

4

1

3

1 III.

3

1

2

1

a) Ib) IIc) III

d) I y IIe) son iguales

9. Restar4

31 de

2

12

a)4

17b)

2

1 c)

81

d)21

e)4

17

10.De

3

1

2

1

restar61

a)31

b)52

c)61

d) 8

3

e) 0

Multiplicación

11.Completa el siguiente cuadro simplificando el resultadode la operación indicada.

23

15

53

14

x47

12. Si:

25

53

32

A

518

91

43

B

Calcular "A x B"

a) 10

1

b) 10

3

c) 4

5

d)3

10e) 1

13.Si se sabe que:

54

34

41

153

A

4

3

3

2

2

1B

Calcular "A x B"






a)52

b)51

c) 1

d)2

3e)

4

1

14.Simplificar:

3

1

1

4

1

3

3

1

2

a)97

b)98

11 c)283

1

d)61

e)91

10

15.Simplificar:

12

3

8

12

15

36

90

6

a)50

3b)

509

c)257

d)25

2e)

25

1

División

16.Completa el siguiente cuadro efectuando todas ladivisiones señaladas.

32

12

12

35

÷53

17. Escribir la expresión más simple equivalente a:

18

536

7

a)52

b)201

c)57

d)201

e)107

18.Simplificar:

3

15

1

7

1

a)36

11 b)

35

11 c)

40

11

d)12

11 e)

351

2

19.Simplificar:

31

121

61

51

a)207

1 b)201

2 c)4

13

d)201

5 e)101

1

20.Calcular "A B , si:

9

3

3

2

A 7

3

5

3

B

a)7

32 b)

7

11 c)

51

2

d)141

1 e)7

31

Potenciación

21.Escribe en los casilleros en blanco las potenciasindicadas:

23

12

2

5

−

ab

al cuadrado al cubo a la cuartan






22.Calcular "A + B", si:

3

4

1 A

5

2

1B

a)643 b)

321 c)

324

d)2

1e) 1

23.Calcular "a", si:

a1127

35

35

35

35

a) 20 b) 17 c) 18d) 15 e) 19

24.Calcular el valor del recuadro.

3

2

3

2

3

5

2

a) 20 b) 10 c) 12d) 9 e) 30

25.Calcular el resultado de:

232

3

1

3

2

Dar como respuesta el numerador de la fracciónirreductible.

a) 12 b) 14 c) 16d) 20 e) 22

Radicación

26.Calcular "A + B", si:

38

27 A

38

1B

a) 1 b)2

1c)

4

1

d)4

3e)

8

1

27.Calcular:

3

2

27

0001

a)9

10b)

10

3c)

99

100

d)9

111 e)

9

212

28.Simplificar:

2

1

16

1

9

1

4

1

a)144

1b)

9

1c)

24

1

d)12

1e) 1

29.Simplificar:

4

4

3

1

a) 3

1b)

3

1c) 1

d) 91 e) 3

30.Efectuar:

2

61

41

103

37

61

56

a) 2 b) 3 c) 0

d) -1 e) 1






1. Simplificar e indicar el denominador de la fracciónirreductible:

31

91

52

a) 11 b) 40 c) 45d) 36 e) 24

2. Restar4

1de

3

1

2

1

a) 12

1

b) 4

3

c) 9

6

d)12

5e)

3

1

3. Simplificar:

2

1

3

4

1

1

5

2

a)21 b)

91 c)

27

d)2

3e)

4

7

4. Simplificar:

27

1

3

22

a)3

2b) 10 c) 9

d) 12 e)3

1

5. Calcular "A x B", si:

3278 A

532

1B

a)3

1b)

2

1c)

6

1

d)10

3e) −1

Aut oevaluac ión

Claves

1 2 3 4 5c d e d a



27Colegio TRILCE

TRILCE

COLEGIO Apl ic ac ión de los núm eros

f racc ionar ios

Capítu lo IV

Reparto equitativo

Fiorella, Pedro y José van de excursión. A la hora de comerdeciden juntar los refrescos, que se reparten a partes iguales.Fiorella aporta 4 refrescos y Pedro 3. "Yo no tengo refrescos",

dice José, "así que pondré dinero, tomen 200 soles".

¿Cómo deben repartirse Fiorella y Pedro los 200 soles?

Problemas resueltos

1. Pedro emplea 2/5 del día para trabajar; 1/7 del día encomer y los 3/7 del día los emplea para dormir. ¿Quéfracción del día los dedica a otras cosas?

a)35

3b)

35

1c)

35

7

d)35

2e)

35

31

Resolución:

• Datos: trabaja5

2 del día

come7

1 del día

duerme7

3 del día

• Emplea en total del día:

35

34

35

2014

7

4

5

2

7

3

7

1

5

2

• El resto del día para dedicarlo a otras cosas:

35

1

35

34

35

35

35

341

Emplea35

1 del día en otras cosas.

2. La dirección del colegio "TRILCE" ha efectuado comprasde dos tipos de tizas en iguales cantidades. Losprofesores usan en la clase 5/6 de un tipo y los 3/4 de

otro tipo. ¿Qué fracción de la cantidad total quedó sinusar?

a)24

5b)

5

6c)

12

1

d)24

1e)

24

7

Resolución:

• Los profesores usan

6

5 de un tipo, entonces quedan:

6

1 de

• Los profesores usan4

3 de otro tipo, entonces

quedan:

4

1 de

• Tizas de ambos tipos que quedan sin usar:

4

1

6

1

de

• Operando:

24

10 de

• El total de tizas que se compró es 2 , luego:



Apl icac ión de los números f racc ionar ios


T í t u lo de l c a p í t u loApl icac ión de los números f racc ionar ios

24

10 de =

24

25

= 224

5

2de

24

5

La fracción del total que quedó sin usar es24

5.

3. En un molino se tiene una cierta cantidad de toneladas

de harina de las que se vende4

1. Luego vende

3

1 del

resto quedando por vender 24 toneladas. ¿Cuántas

toneladas de harina había inicialmente?

a) 36 b) 24 c) 48d) 26 e) 34

Resolución:

• Empezamos a razonar a partir del último dato:

"Luego se vende3

1 del resto", entonces quedan

3

2

del resto que equivalen a 24 toneladas:

3

2 del resto → 24

ó 24resto32

toneladas362

324resto

• El resto hallado en el peso anterior es lo que queda

de la primera venta. Si se vendió4

1 de la cantidad

inicial, entonces quedarán4

3 de la cantidad inicial

que equivalen a las 36 toneladas.

4

3 de la cantidad inicial = 36

Cantidad inicial 483

436

Inicialmente había 48 toneladas de harina.

4. Un depósito contiene 36 litros de leche y 18 de agua. Seextrae 15 litros de la mezcla. ¿Cuántos litros de leche

salen?

a) 7 b) 10 c) 6d) 9 e) 8

Resolución:

• Identificamos las partes de la mezcla:

36 L

18 L

leche

agua

• Identificamos el total de la mezcla:

36 + 18 = 54 litros

• Establecemos la fracción de cada parte en la mezcla:

Leche:3

2

54

36

Agua:31

5418

• Si extraemos 15 litros de la mezcla, "la tercera partees agua y las dos terceras partes es leche".

Agua: litros5)15(3

1

Leche: litros10)15(3

2

En 15 litros de mezcla, salen 10 litros de leche.

5. Se tiene 3 costales "A", "B" y "C" de diferente tamañoen los que se depositan 30 kg de harina en cada uno. Sila capacidad de "C" es igual a la suma de los costales"A" y "B", y además, el costal "A" quedó lleno hasta sus4/5 y el costal "B" quedó lleno hasta sus 9/11, ¿quéfracción del costal "C" está lleno con harina?

a) 89

23

b) 89

18

c) 89

36

d)89

1e)

89

3

Resolución:

• 30 kg equivalen a los5

4 de la capacidad total de

"A", entonces:

2

75

4

530 A30" A"de

5

4






• 30 kg equivalen a los11

9 de la capacidad total de

"B", entonces:

3

110

9

1130B30"B"de

11

9

• La capacidad total de "C" es igual a la suma de "A" y"B", luego:

3

110

2

75CB AC

6

445C

• La pregunta será entonces: ¿Qué fracción de6

445

es 30 kg que se depositaron también en "C"?

644530

fraccióntodo

parteFracción

∴89

36fracción

Los 30 kg de harina que se depositaron en "C",

representan los

89

36 del total de kg que allí pueden

depositarse.

1. De una piña, Víctor se come los 5/7. Si el resto se locome Black, ¿qué fracción de piña se come Black?

a)4

3b)

7

1c)

7

2

d)57

e)141

2. Franco dedica 1/8 del día a jugar en la computadora,1/16 del día lo dedica a comer, y 1/4 del día lo dedica adormir. Si el resto del día lo dedica a cumplir con lostrabajos de su colegio "TRILCE", ¿qué fracción del díadedica a esta última labor?

a)16

9b)

16

5c)

16

1

d)41 e)

1611

3. En la biblioteca del colegio "TRILCE", las 2/3 partes delos libros son de MATEMÁTICA, la quinta parte son deLENGUAJE, el resto de libros corresponden a los demáscursos. ¿Qué fracción del total de libros pertenecen alos demás cursos?

a) 5

1b) 3

2c) 15

7

d)15

2e)

15

13

4. Un automovilista demora en ir de Lima a Chimbote 4 1/4de hora, quedándose a descansar 2 1/3 de hora endicha ciudad. Si parte con dirección a Trujillo y se demora3 1/3 de hora en llegar allí, ¿cuántas horas empleó parair de Lima a Trujillo?

a) h1218 b)

12119

c)12

117 d) 9

e) 10

5. En el problema anterior, ¿a qué hora llegaría a Trujilloel automovilista si sale de Lima a las 8 a.m.?

a) 3:45 p.m. b) 5:55c) 5:30 d) 2

e) 5

6. Se tiene un tonel de vino vacío, inme-diatamentevaciamos en él 3/7 litros de agua, luego vaciamos 7 1/2litros más de agua y finalmente 1/6 de litro más deagua.¿Con cuántos litros más llenaríamos el tonel si éstetiene una capacidad total de 18 litros?

a) l 21

118 b) 9 c)

21

199

d) 10 e) N.A.

7. Dos velas del mismo tamaño se encienden y apagan adistinta hora. Si una de ellas se consume en 5/7 y laotra en sus 3/5, ¿qué fracción de una vela inicial quedarápor consumir?

a)35

24b)

35

12c)

35

7

d)35

11e)

7

1

8. Se compran dos latas de leche para el desayuno. Si dela primera se consume la cuarta parte y de la segundase consume la mitad; ¿qué parte del total de la lechecomprada queda sin consumir?







a)4

5b)

3

2c)

8

3

d)8

5e)

16

9

9. De una cierta cantidad de dinero que tenía me robaronla séptima parte. Si de lo que me quedaba presté lamitad, ¿qué parte del dinero que tenía antes del robome quedará?

a)7

6b)

7

1c)

7

2

d)7

3e) nada

10.Se tiene un terreno para sembrío que se recibe enherencia, de los que se regalan 2/5. Si los 2/3 de lo quequeda se siembra de hortalizas y el resto de frutas,¿qué parte de la herencia se sembró de frutas?

a)5

2b)

5

1c)

5

3

d)10

1e)

10

3

11.Un padre de familia gasta 1/3 de su dinero enalimentación; y 1/4, en alquiler. ¿Qué fracción de sudinero queda?

a)12

11b)

12

1c)

12

9

d)12

7e)

12

5

12.De una fuente con cebiche, Luis se comió 1/3; luego,Manuel se comió 1/3 del resto. ¿Qué fracción del total

se comió Manuel?

a)9

5b)

3

1c)

9

2

d)9

7e)

6

1

13.Son las 3 p.m.; ¿qué parte de lo transcurrido del díafalta transcurrir?

a)32 b)

61 c)

83

d)5

3e)

12

7

14.Un jugador en su primer juego pierde la mitad de sudinero; en el segundo juego pierde 1/4 de lo quequedaba; y en el tercer juego pierde 1/7 del nuevo resto.

¿Qué fracción del dinero inicial ha quedado?

a)28

11b)

28

9c)

28

13

d)28

17e)

28

15

15.En nuestro colegio, 4 de cada 7 alumnos postulan a launiversidad, de los cuáles sólo ingresa la cuarta parte.¿Qué fracción de los alumnos del colegio ingresan a launiversidad?

a)4

1b)

5

1c)

6

1

d)7

1e)

8

1

16.En un cierto país hubo elecciones con dos candidatos"A" y "B", donde 3 de cada 5 habitantes prefirieron novotar. Si de las personas que votaron, 5/6 lo hicieronpor el candidato "A", ¿qué fracción del total dehabitantes representa los que votaron por "A"?

a)3

1b)

4

3c)

8

1

d)4

1e)

5

2

17.Supongamos que en el distrito de Jesús María, 4 decada 5 estudiantes de 1er grado de secundaria apruebanel curso de matemática este año. Si de éstos las 2/3partes obtienen de nota 15 ó más, ¿qué fracción del

total representan a estos alumnos?

a)15

7b)

15

8c)

15

11

d)15

1e)

15

13

18.En el problema anterior, ¿qué fracción del totalrepresenta a los alumnos aprobados que obtienenmenos de 15 de nota?

a)151 b)

157 c)

158






1. Un libro de matemática tiene 300 páginas y 7 capítulos,de los cuales 3 de ellas representan la tercera parte dellibro; otras dos representan las 2/5 partes del libro.¿Cuántas páginas conforman los dos capítulos restantes?

a) 80 b) 60 c) 120d) 200 e) 70

2. Un viajero recorre 2/5 del camino total en auto; luegorecorre 1/3 del camino total a caballo. Si el resto lohace a pie, ¿qué fracción del camino lo hizo a pie?

a)15

1b)

7

3c)

9

2

c)15

7e)

15

4

3. En un salón de 1er grado de 30 alumnos, las 2/3 partestienen buzos deportivos. ¿Qué fracción de los que tienenbuzo, no tienen buzos?

a)4

1b)

3

1c)

5

1

d)21

e)81

4. Liliana gasta en alimentos la mitad de lo que gana, y los2/3 de lo que resta lo gasta en otras necesidades. Alcabo de dos años ahorró S/.3000, ¿cuánto gana pormes?

a) S/. 650 b) 720 c) 750d) 850 e) 700

5. Son las 5 p.m. ¿qué parte de lo transcurrido del díafalta transcurrir?

a)15

2b)

17

7c)

24

7

d) 12

1

e) 4

1

Aut oevaluac ión

Claves

1 2 3 4 5a e d c b



33Colegio TRILCE

TRILCE

COLEGIOComplem ento de núm eros

enteros y f racc ionarios

Capít ulo V

Tres números

Alex piensa en tresnúmeros. Si los agrupa de dos en dos y los

suma obtiene 38; 44 y 52.¿Cuáles son esos números?

Nivel I

1. Hallar el resultado de:

a) -4 + (-7) - (-13) + (-9) = .........

b) 36 - (-13) - (-47) + (-12) = .........

c) 51-27312-43 + = .........

d)83

27

34-

532 ++ = .........

2. Hallar el entero a colocar en el casillero:

(+45) - (-25) + (-4) = + (-4)

a) -35 b) 70 c) 35d) 57 e) 71

3. De las siguientes expresiones relativas a númerosenteros:

I. La suma de dos números negativos es un númeronegativo.

II. La diferencia de dos números negativos es un númeronegativo.

III.El producto de tres números negativos es un númeronegativo.

Son verdaderas:

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo IIId) I y III e) II y III

4. Efectuar:

6{4 [2 (3 + 2) - 8] - 8}

a) 0 b) 1 c) 24d) 4 e) 12

5. Resolver:

[-8 + (-7 + 4) . (-2)] ÷ [(-9) ÷ (-3) - 1]

a) +1 b) 0 c) -1d) 5 e) -8

6. Calcular el valor de:

E = 3 -27 . 42 - 144 ÷ 22 + 32

a) 42 b) 31 c) -42d) 21 e) 0

7. Efectuar:

51-

27

312-

43 +

a) 16043 b)

21 c)

31

d) 512017

e) 212043

8. Calcular “A + B”, si:

A =52

64 + B =

621

a)

5

8b) 1 c)

5

1

d) 252

e) 241




Complemento de números ente ros y f racc ionar ios


T í t u lo de l c a p í t u loComplemento de números ente ros y f racc ionar ios

a) 157 m b) 88 c) 146d) 117 e) 106

2. Si:B = (6) + (-3) + (-9)C = (3) - (-7) - (9)

calcular el resultado de restar B de C.

a) 7 b) 6 c) 5d) -7 e) -3

3. Resuelve:

-[-9 + (-8) ÷ 3 64- ] . (-1)6 + (-7 + 4)2 (-2) - 625

a) -29 b) -4 c) -16d) 30 e) 7

4. Dadas las expresiones:

A = 4 - [2 - (3 - (-1 + 4)) - (1 - 5) - 5]B = [2 - (-1)3 + (1 - 32) - (-5)2] ÷ [1 + (-2)2]

hallar el valor de: A2 + B2

a) 40 b) 10 c) 45d) 29 e) 25

5. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

I. (-2)(-1)(-3)3

=+II. 22 + 32 + 42 = 52 + 16

III. (-2)0 > 30

a) FFV b) VFV c) FVFd) FVV e) VVV

6. Simplificar:

24

181

61

43 ++

a) 25 b) 36 c) 12

d)21

e) 10

7. Efectuar:

12136

71-

21

41

32

×+

a)57

b)32

c)21

d)43

e) 257

8. La edad de un hijo es las 3/5 partes de la edad de supadre. Las edades de los dos juntos se diferencian en16 años. ¿Cuál es la edad del padre y cuál la del hijo?

a) 35; 10 b) 52; 34 c) 40; 24d) 60; 32 e) 48; 26

9. Un obrero puede hacer un trabajo en 6 días y otromenos hábil en 8 días. ¿Qué fracción del trabajo hacen

juntos en un día?

a)6

1b)

8

1c)

24

7

d)5616

e)72

10.Un depósito contiene 40 litros de leche y 16 de agua. Seextraen 21 litros de la mezcla. ¿Cuántos litros de lechesalen?

a) 15 litros b) 6 c) 21d) 11 e) 12



Complemento de números ente ros y f racc ionar ios


T í t u lo de l c a p í t u loComplemento de números ente ros y f racc ionar ios

1. Indicar la suma de los recuadros en:

[(-1)3.(-4)11.(7)2]4 = (-1) .(-4) .(7)

a) 23 b) 64 c) 42d) 34 e) 51

2. Si:

K = 3- (-2)-2 - 13-48 ××

L = 22023 )(2-)3(729 +

hallar: L3 + 12K

a) 54 b) -58 c) 60

d) 156 e) -60

3. Efectuar:2{1 + [4(2 + 1)2 + 1]2}

a) 2 160 b) 1 020 c) 2 740d) 2 512 e) 1 286

Aut oevaluac ión

4. Simplificar:

412

106

21 +

a)3511

b)4522

c)4513

d)901

e) 2451

5. Un depósito contiene 96 litros de un líquido P, 36 litrosde un líquido Q y 24 litros de un líquido R. Se extraen 78litros de mezcla. ¿Cuántos litros del líquido “P” salen?

a) 18 litros b) 12 c) 30d) 48 e) 58

Claves

1 2 3 4 5b e c b d



37Colegio TRILCE

TRILCE

COLEGIONúmeros dec im ales

(operac iones)

Capítu lo VI

Mermelada

Compramos 10 kg de melocotones de Periana para hacer mermelada. Al deshuesarlosy pelarlos se pierde 1/5 de su peso. Lo que queda se pone a cocer con una cantidad

igual de azúcar. Durante la cocción la mezcla pierde 1/4 de su peso.

¿Cuántos kg de mermelada se obtienen? Si yo quisiera obtener 3 kg de mermelada,¿cuántos kg de melocotón necesitaría?

Conceptos previos

Número decimal

Es la expresión lineal de una fracción ordinaria o decimalque se obtiene al dividir el numerador por el denominador.

Ejemplos:

2,05

1

que resulta de dividir 15

...666,03

2

que resulta de dividir 2

3

...4666,015

7

que resulta de dividir 7 15

Tabla de los principales valores de posición

parte entera parte decimal

1°2°3°4°5° 1° 2° 3° 4° 5°

3 8 7 2 9 , 4 5 2 7 2

decena de millar

unidad de millar

centenas

decenas

unidades

cien milésimos

diez milésimos

milésimos

centésimos

décimos

coma decimal

Valor de posición de las cifras de un númerodecimal

72 , 291

parte entera

coma decimal

parte decimal



N úm e r os de c im a le s ( ope r a c ione s )


T í t u lo de l c a p í t u loN úm e r os de c im a le s ( ope r a c ione s )

Clasificación de los números decimales

númerodecimal

A. número decimal exacto

B. número decimal inexactoB.1 decimal periódico puro

B.2 decimal periódico mixto

A. Número decimal exacto

Dada la fracción irreductible:

b

af = primos entre sí

La fracción "f" dará origen a un decimal exacto, cuandoel denominador "b" tenga como divisores primos sólo a

2 y/o 5.Ejemplos:

* =41

0,25 porque 1 4 = 0,25÷

2 2 2 cifras decimales exactas

* =257

0,28

5 2 2 cifras decimales exactas

* =409

0,225

2 3 3 cifras decimales exactas. 51

Observación: Bastará cuál es el mayor exponente de 2ó 5 en el denominador de la fracción irreductible parasaber cuántas cifras decimales exactas tendrá el númerodecimal.

B. Número decimal inexacto

Le llamamos así, a aquél que tiene un número ilimitadode cifras decimales. Estos números decimales puedenser, a su vez, de dos tipos:

b.1 Decimal periódico puroDada la fracción irreductible:

b


La fracción "f" dará origen a un decimal periódico

puro cuando el denominador "b", no tenga comodivisores primos a 2 y/o 5.

Ejemplos:

0,6666...3

2=

45,00,454545...11

5==

1,00,1111...91 ==

período: 6;representación: 0,6

Observación: El decimalperiódico puro es aquél encuya parte decimal apareceuna cifra o un grupo de cifrasllamado PERÍODO que serepite indefinidamente a partirde la coma decimal.

b.2 Decimal periódico mixtoDada la fracción irreductible:

b


La fracción "f" dará origen a un decimal periódicomixto cuando el denominador "b", tenga comodivisores primos a 2 y/o 5 y otros.

Ejemplos:

0,83333...6

5=

37,00,37777...45

17==

parte no periódica: 8período: 3representación: 0,83

Observac ión: Dec ima lperiódico mixto es aquél cuyoperíodo empieza luego de una

cifra o grupo de cifras despuésde la coma decimal. A esta cifrao grupo de cifras le llamamosPARTE NO PERIÓDICA.






Efectuar:

9

61

9

52

9

3++++=

0,3 + 2,5 + 1,6

39 653

1

3

9

14 5,4555,4

9

41===

* Operaciones combinadas de adición y sustracción

Efectuar:

7,8 - {6,5 + 3,2 + [5,1 - (7,8 + 2,2 - 1,3)]}

= 7,8 - {6,5 + 3,2 + [5,1 - 7,8 - 2,2 + 1,3)]}

= 7,8 - {6,5 + 3,2 + 5,1 - 7,8 - 2,2 + 1,3}

= 7,8 - 6,5 - 3,2 - 5,1 + 7,8 + 2,2 - 1,3

= (7,8 + 7,8 + 2,2) - (6,5 + 3,2 + 5,1 + 1,3)

17,8 16,1

1,7

-

B. Multiplicación y potenciación de númerosdecimales.

Para multiplicar decimales exactos, operamos como sise tratara de números enteros. La cantidad de cifras enla parte decimal del resultado es la SUMA de la cantidadde cifras decimales de los factores.

Ejemplo:

Efectuar: (-2,53) x (3,4)

Resolución:

Multiplicamos los signos y los números sin las COMASDECIMALES:

(-253)(34) = -8602

En el resultado separamos TRES decimales (2 + 1) apartir de la derecha.

(-2,53)(3,4) = -8,602

* Para multiplicar POTENCIAS DE BASE DECIMAL,operamos como si se tratara de potencias de númerosenteros, considerando que el resultado tiene una

cantidad de cifras de la parte decimal igual al productode multiplicar el exponente por la cantidad de cifrasde la parte decimal de la base.Por ejemplo:

Si efectuamos: (-2,53)3

tenemos: exponente

3

Cantidad de cifras de la parte decimal

2

Entonces: Cantidad de cifras de la parte decimal en

el resultado: 3x2, es decir, 6

Luego operamos sin la coma decimal:

(-253)

3

= (-253) (-253) (-253) = -16194277

A partir de la derecha, separemos 6 cifras que

conformarán la parte decimal.

Finalmente = (-2,53)

3

= -16,194277

C División de números decimales

* Para esto, multiplicamos el DIVIDENDO y DIVISOR

por la unidad seguida de tantos ceros como sea

posible, para transformar los números decimales en

enteros.

Ejemplo:

Efectuar: 13,5 7

Multiplicamos ambos términos por 10

135 70 (división de enteros)

135 701,9270

650630

200140

60

Respuesta

Problemas resueltos

1. Encontrar el resultado de: 7,13 + 3,4 + 3,2

a) 13,8 b) 13,69 c) 13,59

d) 1,78 e) 13,79

Resolución:

7 ,13131313. . .3 ,44444444. . .3 ,22222222. . .

+

1 3 ,7 9 79 7 97 9 .. . = 1 3 ,7 9






2. Calcular el resultado de: 6,13 - (5,08 + 0,12)

Indicar la mayor cifra de la parte decimal del resultado.

a) 3 b) 9 c) 7d) 6 e) 5

Resolución:

6,13 - (5,08 + 0,12)

6,13 - 5,20

6,135,200,93

-

3. Efectuar: (-3,5)(+2,9)a) -10,15 b) -10,21 c) -9,25d) -11,15 e) -10

Resolución:

(-3,5) (2,9) 2 cifras decimales en el resultado⇒

(-35) x (29) = -1015

(-3,5)

x

(2,9) = -10,15

4. Efectuar y calcular A + B si.

A = (6,3)(2,9) B = (3,4)

2

a) 29,86 b) 34,16 c) 19,60

d) 29,83 e) 24,83

Resolución:

A = (6,3)

x

(2,9) B = (3,4)

2

A = 18,27 B = (3,4)(3,4)

B = 11,56

Nos piden A + B :

18,2711,5629,83

+

5. Simplificar: 7,2

2,1 + (2,3)

2

- 6,3 x 5,1

a) -18,49 b) -23,61 c) -23,42

d) -11,2 e) 23,62

Resolución:7,2 2,1 + (2,3) - 6,3 5,1÷ x

2

7,2 2,1

72 2163 3,42

9084604218

2,32,36 9

x

4 6

5 ,29

+

6,35,16 3

x

3 1 5

32 ,13

+

3,42 + 5,29 - 32,13

8,71 - 32,13

-23,42

Nivel I

1. Calcular el resultado de "A + B".

A = 10,4 + 6,1B = 2,4 - 1,9

a) 16 b) 17 c) 18d) 17,5 e) 16,5

2. Simplificar la siguiente operación combinada:

7,8 + {3,4 + (8,1 - 1,9)}2

a) 89,36 b) 94 c) 80,96d) 6,16 e) 99,96

3. Efectuar e indicar la suma de cifras de la parte decimaldel resultado de:

(-3,1)2 x (1,7)2

a) 25 b) 26 c) 24d) 22 e) 27

4. Calcular la suma de la mayor cifra de la parte decimalmás la mayor cifra de la parte entera de:

(-3,8)2 x (2,7)

a) 12 b) 13 c) 16d) 17 e) 19

5. Simplificar:

3,7 - [8,6 + (5,2 - 3,4)] - (2,3)2

a) -11,99 b) -12 c) -11,2d) -10 e) 11,89







6. Efectuar:

5 , 7 ÷ 0,2

a) 12,5 b) 36,5 c) 28,5d) 29,5 e) 27,5

7. Calcular el resultado de "A - B".

A = 8,3 - 5,27B = 17,6 + 0,24

a) 17,84 b) -13,82 c) -14,80d) 14,89 e) -14,81

8. Simplificar:

6,9 + {5,8 - (6,4 - [2,4 - 3,9])}

a) 6,2 b) 4,6 c) 3,8d) 4,8 e) 4,1

9. Efectuar:

3,2 + 5,3 + 1,1 + 2,3

a) 12 b) 11,6 c) 13

d) 10,99 e) 11,9

10.Simplificar:

2][ ...)4444,1(...)44444,2(

a) 1 b) 2 c) 1,4d) 0,1 e) 1,1

Nivel II

1. Un padre de familia compra 5 cuadernos y 5 lapiceros aS/. 1,50 cada lapicero. Si en total gasta S/. 10, ¿cuánto

costó cada cuaderno?a) S/. 0,50 b) 0,30c) 0,80 d) 0,75e) N.A.

2. Una frutera compra 46 manzanas a S/. 1,80 cada una. Sise le malogran 9 manzanas y vende las restantes aS/. 2,50 cada una, ¿cuál será su ganancia?

a) S/. 5,90 b) 8,60c) 9,70 d) 10,00e) 11,20

3. Un carpintero gastó S/. 145,20 en comprar madera. Cons-truyó 3 sillas y 2 mesas. Cada silla la vendió en S/. 32,50 ycada mesa en S/. 55,70, ¿cuál fue su ganancia?

a) S/. 67,70 b) 57,70 c) 57,50d) 57 e) 47,50

4. Carmen tiene S/.4,50 más que Barnie; y Barnie,S/.1,25 menos que César. Si César tiene S/.24,15;¿cuánto tienen entre Carmen y Barnie juntos?

a) S/. 50,30 b) 49,70c) 50,50 d) 48,90e) N.A.

5. Un alambre de 24 m se divide en 5 partes iguales. A las3 primeras partes se les suelda en un extremo un pedazode alambre de 0,75 m y a las otras 2 partes se lessuelda un pedazo de 0,25 m. Si se unen todas las partes,¿cuánto medirá todo?

a) 26,50 m b) 24,50c) 21,25 d) 27,75e) N.A.

6. Un depósito tiene 16,5 l de capacidad; otro depósitotiene 22,7 l de capacidad y otro depósito tiene 10,2 l decapacidad. Un depósito, mayor que los tres, llena losdos primeros y sólo la mitad del tercero. ¿Qué capacidadtiene el depósito mayor?

a) 44 l b) 37,3 c) 37d) 48,3 e) 44,3

7. Un terreno de 650,34 m2 se reparte entre 3 hijos, enpartes iguales. Si cada hijo, a su vez, tiene 2 hijos a los

cuales deja su parte, ¿cuántos m2 le corresponde a cadauna de éstos últimos?

a) 108 m2 b) 108,34 c) 107,30d) 116,8 e) N.A.

8. Cuatro amigos aportan, por igual, para comprar un autode $ 4 630. Si luego lo venden en $ 6 550, ¿cuál fue laganancia de cada uno?

a) $ 440 b) 460 c) 532,5d) 480 e) 520

9. Jorge pesa 73,5 kg y Raquel pesa 52 kg. DiariamenteJorge y Raquel consumen entre ambos 5 kg en alimentos,en partes iguales. Jorge elimina 2,5 kg y Raquel 2 kg.¿Después de cuántos días Raquel igualará el peso deJorge?

a) 40 días b) 41 c) 42d) 43 e) 44

10.El señor Grados debía S/. 63,20; S/. 180,50 y S/. 234,40. Además le debían a él S/. 264,50 y S/. 300,50. ¿Cuál es,entonces, el estado financiero del señor Grados?

a) +86,90 soles b) -37,40c) +88 d) +24e) -78






Nivel III

1. Un corredor de bolsa compra 500 acciones a S/. 2,75cada una. Al día siguiente de la compra, estas accionessubieron S/. 0,75. En los 2 días siguientes bajaron aS/.0,30 por día; el siguiente día subieron hasta S/. 6,25cada una. ¿Cuál fue el cambio neto de estas acciones?

a) S/. 123,5 b) 675,50c) 1 200 d) 1 375e) N.A.

2. Antonio le debe a Marcos S/. 13,80 y diariamente lepaga S/. 2,30. ¿Cuántos días transcurrieron hasta que,sin que se diera cuenta, Marcos le deba ahora a AntonioS/. 6,90?

a) 6 días b) 7 c) 8

d) 9 e) 10

3. En la alcancía de un niño habían 15 monedas de S/. 0,20y algunos de S/.0,50. Si en total, el niño contó S/. 48,¿cuántas monedas eran de 0,50?

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 4

4. Dos amigos juegan a los dados con la condición que elganador de cada juego pagará S/. 4,50 al otro. Si elprimero ganó 6 veces y el segundo ganó 4 veces,¿cuánto más ha ganado el primero que el segundo?

a) S/. 13,5 b) 9 c) 4,5d) 9,5 e) N.A.

5. Un globo aerostático asciende 125,30 m; luegodesciende 2 veces 32,20 m y luego vuelve a ascender52,10 m. ¿A qué altura se encuentra?

a) 111,8 m b) 112,9 c) 115d) 111 e) 113

6. Un niño mide 1,25 m y una niña mide 0,13 m menos.Si cada año ambos crecen 0,02 m, ¿cuánto medirácada uno luego de 3 años?

a) 1,31 m y 1,18 mb) 1,24 y 1,20c) 11 y 1,2d) 1,36 y 1,18e) N.A.

7. Un agricultor cosecha 45,2 kg de tubérculos por cadam2 de su chacra. Si su chacra tiene un área de 165,5 m2,¿cuántos kg de tubérculos cosechará?

a) 7 500 kg b) 7 680c) 9 480,2 d) 7 480,6e) 6 480

8. Un señor pesa 72,5 kg. Él y su esposa pesan juntos124 kg y junto con su hijo los 3 pesan 156,5 kg. ¿Cuántopesan la esposa y el hijo?

a) 84,60 kg b) 83,6 c) 84,10d) 84 e) 85

9. Un librero compró 6 docenas de libros a S/. 3,50 cadauno. Los vende recibiendo S/. 324. ¿Cuánto ganó encada libro?

a) S/. 0,80 b) 1,20c) 1,80 d) 0,90e) 1

10.Un alumno rinde un examen de 20 preguntas. Por cadarespuesta correcta obtiene 1 punto y por cada respuestaequivocada pierde 0,25 puntos. Si contestócorrectamente 12 preguntas y las otras respuestasfueron equivocadas, ¿qué puntaje obtuvo?

a) 10,2 b) 10 c) 8,6d) 6,4 e) 9,8






Aut oevaluac ión

1. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

I.3

2 genera un decimal exacto .........................(W)

II. 0,2444..., es un decimal periódico mixto ..........(W)

III. 3,4444 es un decimal exacto ..........................(W)

IV. 1,222..., es un decimal periódico puro .............(W)

a) FVFF b) FVVV c) FFVVd) VVVV e) VFVF

2. Calcular el resultado de efectuar: (2,43)2 - 1,36

a) 4,5449 b) 4,6876 c) 3d) 4,2791 e) 3,5449

3. Simplificar:

...333,2...666,97

...3555,24...3555,924

a) 6 b) 5 c) 4

d) 10 e) 3

4. En un zoológico corresponde dar a cada león 25,6 kg decarne industrial y a cada cocodrilo, 20,2 kg. Si hay 4leones y 6 cocodrilos, ¿cuántos kg de carne corresponde

a cada uno de los 3 tigres que hay, si la administracióndispone de 280 kg de carne diaria?

a) 17,2 kg b) 18,8 c) 17,9d) 19,2 e) 20,2

5. Entre Julio y César tienen juntos S/. 36,80. Si Julio tieneS/.4,20 más que César, ¿cuánto tiene Julio?

a) S/. 16,30 b) 16,50 c) 20,50d) 20,30 e) N.A.

Claves

1 2 3 4 5

b a e b c



45Colegio TRILCE

TRILCE

COLEGIONúmeros dec im alesConvers ión de dec imal a

f racc ión genera t r i z

Capít ulo VII

La escalera mecánica

Juan y Luis van de compras a El Corte Inglés, tienen un poco de prisa y sesuben en una escalera mecánica. Juan es el triple de rápido que su amigo

subiendo (ambos suben de peldaño en peldaño). Al terminar de subir, Juancontó 75 escalones y Luis 50 escalones.

Con estos datos calcular los peldaños "visibles" de la escalera.

Todo número decimal tiene su equivalente en forma defracción. La fracción que genera un decimal se llama

FRACCIÓN GENERATRIZ.

A.Generatriz de un número dec imalexacto

A.1 Cuando el número decimal tiene la parte entera nula:

Ejm. Hallar la fracción generatriz de 0,24.

Resolución:

• En el numerador escribimos: → 24

• En el denominador escribimos 1 seguido de dos ceros(porque la parte decimal tiene 2 cifras): → 100

• Luego la fracción será:100

24

• Como 24 y 100 no son primos entre sí, podemossimplificar la fracción:

25

6

25

223

100

2422

2

=×

××=

La fracción generatriz de

25

624,0 .

A.2 Cuando el número decimal tiene la parte entera NONULA lo desdoblamos para, luego, efectuar una sumafinal, así:

Ejemplo:

Hallar la fracción generatriz de 4,25.

Resolución:

• Desdoblamos el número así: 4,25 = 4 + 0,25

• Escribimos la fracción generatriz de la parte decimal:

100

25425,4

• Finalmente, volvemos a sumar, pero ahora como unasuma de fracciones:

4

1425,4

4

1725,4

La fracción generatriz de4

1725,4 .

* Observación: Otro método

4

17

54

517

100

42525,4

2

2

===x

x

2 cifras

B.Generatriz de un número decimal

periódico puro

Hallar la fracción generatriz de 0,454545...

Resolución:

• En el numerador de la fracción, escribimos el períodoes decir 45.

• En el denominador de la fracción, escribimos TANTOSNUEVES COMO CIFRAS TENGA EL PERÍODO. En estecaso el período 45 tiene 2 cifras entonces en eldenominador escribimos: 99

• Luego la fracción será:

99

4545,0



Números dec ima les (Convers ión de dec ima l a f racc ión genera t r iz )


T í t u lo de l c a p í t u loNúmeros decimales (conversión de decimal a f racción generatr iz )

• Simplificando:

11

5

911

9545,0 =

×

×=

La fracción generatriz de 0,4545... es11

5

Observación: Si un número decimal periódico puro tieneparte entera distinta de cero (Ejemplo: 2,4545...) sepuede hacer de dos formas:

2,4545 ... = 2,45

2,45 = 2 + 0,45

= 2 + 4599

= 2 + 511

2,45 = 2711

I.

2,4545 ... = 2,45

2,45 245 - 299=

24399=

27 911 9

xx

=

2,45 2711=

II.

C.Generatriz de un número decimalperiódico mixto

Hallar la fracción generatriz de:

0,24808080 ... = 0,2480

Resolución:

• En el denominador de la fracción generatriz,escribimos la PARTE NO PERIÓDICA seguida de laPARTE PERIÓDICA menos la PARTE NO PERIÓDICA:

2480 - 24

• En el denominador, escribimos tantos NUEVES comocifras tenga el PERÍODO seguido de tantos CEROScomo cifras tenga la PARTE NO PERIÓDICA, es decir:

9900

• Entonces la fracción generatriz será:

9900

2456

9900

2424802480,0 =

−=

• Descompiniendo los términos y simplificando:

2475614

45119423072480,0 2 =×××

××=

La fracción generatriz de 2480,0 es2475

614

Problemas resueltos

1. Si:b

a23,0 = ; "a" y "b" son primos entre sí:

Calcular "a+b"

a) 38 b) 37 c) 39d) 41 e) 47

Resolución:

Hallamos la fracción generatriz de 23,0 .

90

23 - 223,0 =

90

2123,0 =

30

723,0 =

Según dato:

b

a a = 7primos entre sí =

30

7b = 30

a + b = 37

2. Indicar cuál de las fracciones generatrices de los

números decimales:

I. 0,24

II. 0,333...

III. 0,25

Tiene mayor denominador, sabiendo que son fraccionesirreductibles.

a) I b) II c) IIId) I y II e) I y III

Resolución:

Hallamos las fracciones generatrices de los númerosdecimales:

I.25

6

100

2424,0 ==






II.3

1

9

33,0...333,0 ===

III.90

23

90

22525,0 =

−=

Las fracciones son:

90

23;

3

1;

25

6

mayordenominador

El mayor denominador es 90

3. Calcular "a"

0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,4 + 0,5 a

3

=

a) 5 b) 6 c) 4d) 3 e) 9

Resolución:

5a3

a

3

5

9

15

3

a

9

5

9

4

9

3

9

2

9

1

5,04,03,02,01,0

=⇒

==

=++++

++++

4. Calcular el valor de "N" si:

1...24999,0...32111,0N

a) 1 b) 17 c)151

d) 15 e) 2

Resolución:

Hallamos la fracción generatriz de los númerosdecimales:

900

289

900

32321321,0...32111,0 =

−==

900

225

900

24249249,0...24999,0 =

−==

Reemplazamos:

1

900

225

900

289N

1

3015

3017N

1

30

2N

1

15

1N

15N

5. Calcular "a+b", si se sabe que:

2512ab,0

a) 10 b) 8 c) 12d) 9 e) 10

Resolución:

100

ab0,ab = =

25

12

4 1

ab = 48a = 4b = 8

a + b = 12

Nivel I

Hallar la fracción generatriz de:

1. 0,6

2. 0,33

3. 0,125

4. 0,13

5. 0,234

6. 0,136

7. 3,4

8. 1,26

9. 2,4510.1,35431







Nivel II

1. Hallar “a” sabiendo que:

a,8a =32-

29

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

2. Calcular el valor de “x” si se cumple que:

0,5n =9x

a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 1

3. Hallar “m” si se sabe que:

0,2n=11m

a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9

4. Hallar la fracción generatriz equivalente a:

0,13 + 2,333...

dar como respuesta el numerador de la fracciónirreductible.

a) 141 b) 143 c) 149d) 111 e) 127

5. Hallar el resultado exacto de la operación siguiente,expresando el resultado en forma de fracción:

0,4242... + 1,4242...

a)3314

b)33313

c)9029

d) 3361 e) N.A.

6. Hallar la fracción generatriz equivalente a restar 0,312

de 1,003. Dar como respuesta el numerador de lafracción irreductible.

a) 10433

b) 13599

c) 334333

d)563999

e)230333

7. Restar: 0,563 de 1,046 ; dar como respuesta elnumerador de la fracción irreductible.

a) 563 b) 136 c) 1045d) 203 E) 482

8. A qué es igual:(6,888...) - (0,888...)

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 6113

9. Efectuar:

(115,15626262...) - (0,15626262...)

a) 115 b) 113 c) 110d) 15 e) 10

10.Calcular la raíz cuadrada de “A”, si:

A = (99,777...) + (0,222...)

a) 6 b) 10 c) 11d) 9 e) 100

Nivel III

1. Halle el resultado exacto de las divisiones siguientes,expresando el resultado en forma de fracción:

a. 1,24 ÷ 1,3 = .........

b. 1,13 ÷ 0,4 = .........

c. 2,6 ÷ 1,8 = .........

d. 3,2 ÷ 0,34 = .........

e. 1,46 ÷ 3,2 = .........

f. 2,06 ÷ 0,123 = .........

2. Calcular:

...28444,0

a) 1,6777... b) 3,3555...c) 2,3555... d) 1,5333...e) 0,5333...

3. Hallar el valor de “B”:

B = 0,72 0,36

2

÷

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 0

4. Efectuar:

(483,12414141...) - (0,12414141...)






a) 483 b) 810 c) 485d) 815 e) 109

5. Calcular la raíz cuadrada de “K” si:

K = (36,444...) + (27,555...)

a) 8 b) 10 c) 11d) 9 e) 64

6. Efectuar:

-1

...777,1...222,98.1,212121..-...212121,5

+

a) 20 b) 25 c) 30

d) 50 e)201

7. Efectuar:

...333,2...97,66624,3555...-...3555,924

+

a) 6 b) 5 c) 4d) 10 e) 3

8. ¿Qué fracción deberíamos aumentar a 0,07333... paraque sea igual a la unidad?

a)71 b) 0,5 c) 0,2

d)32

e)31

9. El resultado de operar:

E =0,01 + 0,02 + 0,03 + ... + 0,29

1,18 - 0,8

a) 11 b) 12 c) 13

d) 14 e) 15

10.Al comprar 33 artículos de S/.0,15 en lugar de comprar36 artículos de S/.0,2 ; ¿cuánto ahorro?

a) S/.1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

Aut oevaluac ión

1. Reducir:)23,0(

)23,0)(23,0( ; e indicar la respuesta como

número decimal.

a) 0,2 b) 0,231 c) 0,321d) 0,13 e) 0,91

2. Si:11

8ab,0 = ; calcular "a+b"

a) 8 b) 7 c) 6d) 9 e) 10

3. Sabiendo que "0,mn" es un número decimal de fracción

generatriz25

4, calcular "m+n"

a) 7 b) 6 c) 5d) 9 e) 11

4. Si: p + q = 8, hallar la fracción generatriz del resultadode sumar los números decimales "0,pq" y "0,qp".

a)25

11b)

25

12c)

25

22

d)25

36e)

5

4

5. Efectuar:0,02 + 0,202

, y dar como respuesta lafracción generatriz de la suma.

a)9

2b)

7

3c)

9

1

d)5

3e)

4

1

Claves

1 2 3 4 5b d a c a






El cero

La innovación más importante de toda la matemática es quizás el cero, con él y losotros nueve dígitos se puede representar cualquier cantidad por muy grande que sea.Dado su valor posicional, permite diferenciar entre, por ejemplo: 702; 72 y 720; graciasal cero todos los métodos de computación se simplificaron de manera extraordinaria. Elcero también preparó la idea generalizada de los números positivos y negativos.

A pesar de su enorme importancia y simplicidad, pasaron siglos antes de que lahumanidad usara ese concepto con facilidad. La primera aparición indiscutible del cero

tal como se usa hoy fue en la India, en una inscripción del año 876 de nuestra era. Losárabes lo llevaron a Europa en el siglo XII, junto con los números llamados indoarábigos.

El valor posicional de los números era ampliamente conocido en la Edad Media, seusaba en las tablas de contar formadas por columnas que representaban las unidades,las decenas, las centenas y los miles.

Karl Menninger, en su clásica obra Number Words and Number Symbols, señala lainscripción I.VC.V en una iglesia medieval, indicando el año 1505, donde se ve unacombinación de cifras romanas con la notación posicional y el cero indicado con una "c"minúscula.

M C D U

Tabla de contar de la Edad Media,indicando el número 3 028.

Durante muchos años coexistieron los dos sistemas de numeración, el de las tablasde contar para hacer las operaciones y el sistema romano para la escritura, diceMenninger. "A nadie se le ocurría unificar los dos sistemas, la gente busca lo utilitario,no la perfección espiritual".

Los mayas de Yucatán también utilizaron el cero desde el principio de la era cristiana,mucho antes de la llegada de los europeos.

La palabra cero deriva probablemente de zephirum, forma latinizada del árabe sifrque es, a su vez, una traducción de la palabra hindú sunya, que significa vacío o nada.



51Colegio TRILCE

TRILCE

COLEGIORepaso

Capít ulo VII I

Los robots

En una casa del año 2085 tienen dos robots, ambos pueden avanzar con pasos de un metro,pero de formas distintas, el primero, desde la posición de "parado" comienza a caminar hacia elnorte, dando tres pasos al norte y dos hacia el oeste, repitiendo la secuencia, mientras que elotro, también desde la posición de parado comienza a caminar hacia el oeste, dando tres pasos

al oeste y dos hacia el norte, repitiéndose la secuencia.

¿A qué distancia se encuentra uno de otro sabiendo que si comenzasen a funcionar al mismotiempo y dieran 13 pasos chocarían?

Nivel I

1. Efectuar:

{22 - 33x3 11 + (2

2

- 1

2

)} - 5

a) -5 b) -7 c) 2

d) 4 e) 7

2. Reducir:

(3

2

x 3

3

x 1 - 5 x 20 + 10 x 2 + 6)

a) 223 b) 228 c) 229

d) 199 e) 219

3. Al dividir cierto número entre 82 se obtiene de cociente

11 y 80 de residuo. Hallar el dividendo.

a) 892 b) 829 c) 928

d) 982 e) 980

4. Hallar la suma del cociente y residuo de dividir 4 000

entre 19.

a) 21 b) 31 c) 210

d) 220 e) 10

5. Uno de los factores del producto 1 001 es 11, ¿cuál es

el otro factor?

a) 7 b) 13 c) 18

d) 23 e) 91

6. En un salón de clases por cada hincha de Alianza hay 3

de Universitario y 2 de Cristal. ¿Cuántos son hinchas de

Universitario, si en el salón hay 60 alumnos?

a) 10 b) 20 c) 30

d) 40 e) 50

7. Un buzo y un par de zapatil las cuesta S/. 90. Si

el par de zapatillas cuesta S/. 10 más que el buzo,¿cuánto cuesta el buzo?

a) S/. 35 b) 28 c) 32d) 42 e) 40

8. Una calculadora cuesta S/. 4 más que un libro. Si Lucíarecibe de propina S/. 36 y decide gastar todo en ambascosas, ¿cuánto cuesta el libro?

a) S/. 14 b) 16 c) 15d) 17 e) 18

9. La suma de los términos de una sustracción es 250.Hallar el minuendo.

a) 120 b) 125 c) 100d) 75 e) 50

10.¿Qué número multiplicado por 10 aumenta en 900?

a) 100 b) 200 c) 300d) 400 e) 500

Nivel II

1. Hallar la suma de las dos últimas cifras de sumar:

44 4

4 44

4 4 4 . . . . 4 4

+

8sumandos

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7



R e p a s o


T í t u lo de l c a p í t u loR e p a s o

2. Calcular:

C.A.(10) + C.A.(20) + ... + C.A.(90)

a) 400 b) 450 c) 300d) 350 e) 500

3. Efectuar:

5,06,0

8,07,0 A

+

+=

a)11

15b)

11

16c)

11

14

d)11

13e)

11

17

4. Efectuar:

212

1

21

4

13

2E

a)45

67b)

67

45c)

47

18

d)

67

18e)

9

5

5. Hallar una fracción que dividida por su inversa da64/81. Dar como respuesta la suma de sus términos.

a) 16 b) 17 c) 18d) 19 e) 20

6. Gasté 5/8 de lo que tenía y 20 soles más y me quedécon la cuarta parte de lo que tenía y 16 soles más.¿Cuánto tenía?

a) 287 soles b) 288 c) 286d) 298 e) 290

7. Restar3

1 de

2

1

4

1 de

3

1;

5

1 de

4

1 y

6

1 de

5

1

Dar como respuesta la suma de las diferencias.

a)3

1b)

10

9c)

3

10

d)30

11e)

7

12

8. Gasté los 3/4 de mi dinero, luego los 5/6 del resto y aúnme quedan 20 soles. ¿Cuántos soles gasté?

a) 440 b) 470 c) 460d) 480 e) 450

9. Determinar el valor de "a + b".

11

ba1,0 =

a) 8 b) 10 c) 2d) 5 e) 11

10.Efectuar:

21

1

11

1E

a)3

5b)

4

1c)

3

2

d)3

7e)

5

3

Nivel III

1. La diferencia de dos números es 158. Si al mayor se ledisminuye 22 unidades y al menor se le aumenta 15,¿cuál será la nueva diferencia?

a) 151 b) 146 c) 136d) 121 e) 110

2. La diferencia de dos números es 42. Si se le aumenta 8

unidades a cada uno entonces el mayor es el cuádrupledel menor, ¿cuál es el número menor?

a) 5 b) 8 c) 6d) 10 e) 14

3. Hallar "a x b x c"

342abc. A.C =

a) 200 b) 240 c) 220d) 360 e) 400



R e p a s o


T í t u lo de l c a p í t u loR e p a s o

4. Uno de los factores de un producto es el doble del otro.Si a cada uno de ellos se le agrega 2 unidades elproducto aumenta en 100. Hallar el factor mayor.

a) 16 b) 32 c) 22d) 34 e) 26

5. En una división el cociente es 174 y el residuo es 32. Sial dividendo le sumamos 977; el cociente aumenta en20 y el resto sería 9. Hallar la suma de las cifras deldividendo.

a) 16 b) 18 c) 20d) 22 e) 24

6. Tenía 1 440 soles; si gasté los 4/5 de lo que no gasté,¿cuánto no gasté?

a) 800 soles b) 600c) 640 d) 840e) 720

7. Los 2/9 de mis lápices son blancos y los 21 restantesson azules, ¿cuántos lápices tengo?

a) 40 b) 38 c) 23d) 27 e) 25

8. Un jugador pierde en su primer juego 1/3 de su dinero;en el segundo 1/4 del resto y en el tercero pierde 1/5del nuevo resto. ¿Qué fracción del dinero que tenía leha quedado?

a)

2

1b)

2

5c)

5

2

d)5

3e)

3

4

9. Un individuo dispuso gastar su dinero en 4 días. El primerdía 1/4; el seguno día 1/4 del resto; el tercer día 1/4del nuevo resto y el último día gastó los S/. 54 que lequedaban, ¿cuál fue la cantidad disponible?

a) S/. 140 b) 130 c) 132d) 142 e) 128

10.Hallar "a +b + c"

16,0c00,0b00,0a00,0 =++

a) 16 b) 25 c) 9d) 36 e) 49

1. Efectuar: [42 - 22 x 2

11 + (5

2

- 3

2

) + 1]

a) 26 b) 27 c) 28

d) 29 e) 30

2. El producto de dos números es 700. Si al multiplicador

se le agrega 5 el producto aumenta en 100. Hallar el

multiplicando.

a) 20 b) 25 c) 30

d) 35 e) 40

3. Después de perder los 3/8 de mi dinero y la novena

parte del resto me quedan 75 soles. ¿Cuánto tenía?

a) 550 soles b) 235 c) 75

d) 100 e) 135

Aut oevaluac ión

4. Efectuar:

6

1

12

1

36

7E

a)3

1b)

8

1c)

2

1

d)4

1e)

4

3

5. Pierdo 2/3 de mi dinero, luego 3/4 del resto y al final 2/5 del nuevo resto. ¿Qué fracción del dinero que teníame queda?

a)20

3b)

20

19c)

5

2

d)15

4e)

20

1

Claves

1 2 3 4 5d a e a e



ÍNDICE

Departamento de Publicaciones

TRILCE

COSI2SLIAR2B-04.p65

Aritmética


I. Razones ............................................................................................................................ 3

II. Proporciones ..................................................................................................................... 7

III. Serie de razones geométricas equivalentes ........................................................................ 11

IV. Promedios ....................................................................................................................... 15

V. Complemento de razones, proporciones y promedios .......................................................... 19

VI. Mezcla ............................................................................................................................ 21

VII. Mezcla alcohólica ............................................................................................................. 25

VIII. Repaso ........................................................................................................................... 29



3Colegio TRILCE

TRILCE

COLEGIORazones

Capítulo I

Se llama razón a la comparación de dos cantidades

homogéneas, esta comparación puede hacerse empleandola sustracción o la división.

Analicemos el siguiente ejemplo:

"Compara las edades de Lucho y Gina que son 45 y 15años respectivamente".

• Comparando por sustracción:

45 años - 15 años = 30 años ... razón aritmética

"La edad de Lucho excede a la de Gina en 30 años".

• Comparando por división:

3años15

años45 ... razón geométrica

"La edad de Lucho es el triple de la edad de Gina".

En general:

A - B = R A GR B

A

Razón aritmética Razón geométrica

En ambos casos: "A" es antecedente.

"B" es consecuente.

Observación:

• "A es a B como dos es a cinco".

A=2k y B = 5k

• Las edades de A y B están en relación de 3 a 7 .

A = 3k y B = 7k

• A; B y C son entre sí como 4; 5 y 6 .

A = 4k; B = 5k y C = 6k

Bloque I

1. Si "a" es a "b" como 4 es a 5 y además la suma dedichos números es 90. Hallar "2a - b"

a) 10 b) 20 c) 40d) 50 e) 30

2. Si "x" es a "y" como 4 es a 5 y su diferencia es 6. Hallarel mayor.

a) 24 b) 20 c) 30d) 36 e) 54

3. Tres números están en la misma relación que losnúmeros 2; 3 y 7; además la diferencia entre el segundoy primero es 5. Hallar el tercer número.

a) 7 b) 21 c) 28d) 35 e) 42

4. Tres números son entre sí como 2; 8 y 7; además lasuma de los dos primeros es 30. ¿Cuánto vale el tercero?

a) 7 b) 14 c) 21d) 28 e) 35

5. Si:2

5

B

A

y A2 - B2 = 2 100

Hallar "A".

a) 20 b) 30 c) 40d) 50 e) 60

6. Si:4

9

B

A

y 4B A

Hallar "A+B"

a) 64 b) 144 c) 208d) 188 e) 169

7. Dos personas tienen juntas S/.952, la cantidad que tienela primera es a la cantidad que tiene la segunda como2/3 es a 3/4. ¿Cuánto tiene la segunda?




Razones

a) 448 b) 405 c) 450d) 504 e) 540

8. Hallar el mayor de dos números "a" y "b" enterossabiendo que son proporcionales a 4 y 5; ademáscumplen la condición:

a2 - ab + b2 = 84

a) 4 b) 8 c) 10d) 20 e) 25

9. La habilidad de dos obreros es como 7 a 12. Cuando elprimero haya hecho 350 m de una obra, ¿cuánto habráhecho el otro?

a) 600 m b) 700 c) 450d) 800 e) 900

10.Tres números son entre sí como 3; 4 y 7. Hallar el mayorde los números sabiendo que la suma de ellos vale4 200.

a) 2 100 b) 900 c) 1 500d) 2 000 e) 1 200

Bloque II

1. Si "M" y "N" son entre sí como 5 es a 9. Cuál será elvalor de:

MN

M3N5L

a) 15 b) 10 c) 20d) 38 e) 25

2. Si "a"; "b" y "c" son entre sí como 5; 7 y 11 y cumplen lacondición:

a

2

+ b

2

+ c

2

= 780

Hallar "abc"

a) 3 080 b) 2 850 c) 2 950d) 3 850 e) 3 280

3. El complemento y suplemento de un ángulo están enrelación de 4 a 9. Hallar el valor de dicho ángulo.

a) 18° b) 21° c) 20°d) 17° e) 13°

4. Un recipiente tiene tres litros de vino menos que otro.Si la relación de sus contenidos es de cinco a cuatro,¿cuántos litros hay en total entre los dos recipientes?

a) 90 b) 27 c) 63d) 33 e) 39

5. Dos números están en relación de dos a cinco, peroagregando 175 al primero y 115 al segundo, los dosserían iguales. Hallar la suma de los números.

a) 70 b) 140 c) 120d) 80 e) 100

6. ¿Dentro de cuántos años, la relación de las edades dedos personas será 6/5; si sus edades actuales son 30 y20?

a) 20 b) 25 c) 30d) 35 e) 40

7. La edad de un hijo es a la edad de su padre como 3 esa 5; dentro de 20 años la relación de sus edades serácomo 5 es a 7, ¿cuántos años tiene el padre?

a) 30 b) 35 c) 40d) 50 e) 60

8. La suma de las edades de Pepa y Pepe es 40 años; sisus edades están en relación de 1 a 4. ¿Cuántos añoshan de pasar para que la relación de sus edades sea de2 a 5?

a) 40 b) 12 c) 16d) 8 e) 24

9. La riqueza de "A" es a la de "B" como 2 es a 3, la riquezade "B" es a la de "C" como 4 es a 5; sabiendo que "A" y"C" tienen juntos 230 soles. Hallar la riqueza de "B".

a) S/.12 b) 120 c) 13d) 100 e) 10

10.Cuál es la mayor de las tres partes en que se divide a205, de tal manera que la primera sea a la segundacomo 2 es a 5 y la segunda a la tercera como 3 es a 4?

a) 80 b) 90 c) 85d) 100 e) 95




Razones

Aut oev aluac ión

1. Dos números están en relación de 5 a 3. Si el mayor es655, ¿cuál es el menor?

a) 393 b) 389 c) 391

d) 385 e) 375

2. La suma de las edades de Lucy y Carlos es 48. ¿Dentrode cuántos años la edad de Lucy será a la de Carloscomo 3 es a 4, si la relación actual es como 5 es a 7?

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

3. Ana tuvo su hijo a los 18 años; ahora su edad es a la de

su hijo como 8 es a 5. ¿Cuántos años tiene el hijo?

a) 13 b) 15 c) 20d) 28 e) 30

4. Un vendedor "A" vende boletos más rápidamente queotro vendedor "B" en la relación de 7 a 5, Cuando "A"vende "x+6" boletos, "B" vende "x" boletos. Hallar "x".

a) 5 b) 10 c) 15d) 20 e) 25

5. La razón entre la suma de dos números y su diferenciaes 7/3. El cociente del mayor entre el menor es:

a)34

b)35

c)25

d)37

e)57



7Colegio TRILCE

TRILCE

COLEGIOProporc iones

Capítulo I I

Se llama proporción a la reunión de dos razones

aritméticas o dos razones geométricas que tienen el mismovalor, puede ser de dos clases.

Proporción aritméticaCuando se reúnen dos razones aritméticas de igual valor,

es decir:

A - B = C - D

"A" y "D" son términos extremos"B" y "C" son términos medios

La proporción aritmética, puede ser:

P.A. Discreta.- Cuando los términos medios sondiferentes, es decir:

M - N = P - Q ... donde: N P

P.A. Continua. Cuando los términos medios son

iguales.

P - Q = Q - R

Proporción geométrica

Cuando se reúnen dos razones geométricas de igual

valor, es decir:

D

C

B

A

"A" y "D" son términos extremos"B" y "C" son términos medios

La proporción geométrica, puede ser:

P.G. Discreta.- Cuando los términos medios sondiferentes, es decir:

PNdonde.........Q

P

N

M

P.G. Continua.- Cuando los términos medios soniguales.

V

F

F

L

Observación:

* En la proporción aritmética discreta:

A - B = C - D

a "D" se le llama cuarta diferencial de "A", "B" y "C".

* En la proporción aritmética continua:

P - Q = Q - R

a "Q" se le llama media diferencial de "P" y "R".a "R" se le llama tercera diferencial de "P" y "Q".

* En la proporción geométrica discreta:

D

C

B

A

a "D" se le llama cuarta proporcional de "A", "B" y "C".

* En la proporción geométrica continua:

P

N

N

M

a "N" se le llama media proporcional de "M" y "P".a "P" se le llama tercera proporcional de "M" y "N".

Bloque I

1. Hallar la media diferencial de 16 y 12.

a) 14 b) 18 c) 16d) 20 e) 22

2. Hallar la media proporcional de 36 y 4.

a) 12 b) 16 c) 18d) 10 e) 9

3. Hallar la tercera diferencial de 36 y 30.

a) 28 b) 26 c) 24d) 22 e) 20




Proporc iones

4. Hallar la tercera proporcional de 20 y 40.

a) 20 b) 40 c) 60d) 80 e) 100

5. Hallar la cuarta diferencial de 15; 7 y 32.

a) 20 b) 22 c) 24d) 26 e) 28

6. Hallar la cuarta proporcional de 30; 5 y 42.

a) 10 b) 9 c) 8d) 7 e) 6

7. En una proporción geométrica continua, la suma de lostérminos extremos es 25 y su diferencia es 15. ¿Cuál esla media proporcional?

a) 5 b) 10 c) 15d) 20 e) 8

8. En una proporción geométrica continua, la suma de losextremos es 34 y la diferencia de los mismos es 16.Hallar la media proporcional.

a) 42 b) 45 c) 48d) 32 e) 15

9. En una proporción geométrica continua, el producto delos cuatro términos es 1 296. Hallar el término medio.

a) 3 b) 4 c) 8d) 6 e) 12

10.En una proporción geométrica continua cuya razón es2/3; la media proporcional es 24. Hallar la suma de losextremos de la proporción.

a) 50 b) 60 c) 52d) 54 e) 42

Bloque II

1. La suma de los extremos de una proporción geométricacontinua es 104. Hallar la media proporcional si la razónes 2/3.

a) 42 b) 45 c) 48d) 52 e) 56

2. En una proporción aritmética continua los extremos son

entre sí como 7 es a 3. Si el término medio es 45, hallarla diferencia de extremos.

a) 28 b) 32 c) 44d) 36 e) 40

3. La suma, diferencia y producto de dos números estánen la misma relación que los números 15; 7 y 44. Hallarel mayor.

a) 8 b) 9 c) 10d) 11 e) 13

4. La suma, diferencia y producto de dos números estánen la relación de 7; 1 y 48. Uno de ellos es:

a) 21 b) 61 c) 22d) 26 e) 12

5. Dos números son entre sí como 7 es a 9. Si la suma delos cuadrados de estos números es 3 250, hallar ladiferencia de dichos números.

a) 10 b) 12 c) 15d) 8 e) 16

6. Si a los números 4; 9; 32 y 47 se le añade una mismacantidad se forma entre ellos una proporción geométrica.Hallar dicha cantidad.

a) 20 b) 10 c) 25d) 32 e) 45

7. Si a los números 4; 7; 14 y 22; se le añade una mismacantidad se forma entre ellos una proporción geométrica.Hallar dicha cantidad.

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

8. Los ángulos de un triángulo están en la relación de 4; 7y 9. Calcular el mayor de los ángulos.

a) 72° b) 74° c) 80°d) 81° e) 63°

9. En una reunión por cada 5 hombres hay 7 mujeres. Si

la diferencia entre hombres y mujeres es 42. ¿Cuántoshombres asistieron a la reunión?

a) 100 b) 105 c) 140d) 147 e) 110

10.En un instante el número de varones y el número demujeres están en la relación de 7 a 8, cuando se retiran6 varones están en la relación de 25 y 32.¿Cuántas mujeres hay?

a) 40 b) 84 c) 64

d) 48 e) 75




Proporc iones

Aut oev aluac ión

1. En una escuela primaria donde hay 2 600 alumnos, larazón entre niños y niñas es 7/6. ¿Cuál será la diferenciaentre niños y niñas?

a) 100 b) 150 c) 200d) 250 e) 300

2. En una proporción geométrica continua los términosextremos suman 20 y su diferencia es 12. Hallar la mediaproporcional.

a) 4 b) 8 c) 12d) 16 e) 20

3. En una proporción geométrica continua, los términosextremos están en la relación de 4 a 9, siendo su suma65. Hallar la media proporcional.

a) 30 b) 45 c) 50d) 60 e) 90

4. La suma de los antecedentes de una proporcióngeométrica continua es 24. Si el producto de los cuatrotérminos es 50 625, hallar el término mayor.

a) 18 b) 24 c) 25d) 28 e) 32

5. En una proporción geométrica continua, la suma de loscuatro términos es 36 y la suma de los consecuentes esel triple de la diferencia de consecuentes. Hallar eltérmino que se repite.

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8



11Colegio TRILCE

TRILCE

COLEGIO

Llamaremos S.R.G.E. a la reunión de tres o más razones

geométricas de igual valor, por ejemplo:

5,0100

50

8

4

26

13

20

10

24

12

En general:

K J

I

H

G

F

E

D

C

B

A

Donde:

"A", "C", "E", "G" e "I" son los antecedentes.

"B", "D", "F", "H" y "J" son los consecuentes.

"K" es la constante de proporcionalidad o razón.

Propiedades

A. En una S.R.G.E. se cumple:

K FDB

EC AK

F

E

D

C

B

A

Es decir: "La suma de antecedentes entre la suma deconsecuentes es igual a la constante deproporcionalidad".

B. En una S.R.G.E. se cumple que:

3K

F.D.B

E.C. AK

F

E

D

C

B

A

Es decir: "El producto de antecedentes entre el productode consecuentes es igual a la constante deproporcionalidad elevada al número de razones".

Observación:

En una serie de razones geométricas equivalentes como:

7K C y4K B3K; AK 7

C

4

B

3

A

Ser ie de razones geomét r ic as

equ iva len tes

Capí tu lo I I I

Bloque I

1. En la serie:

54

c

3

b

2

a

Hallar "a + b + c"

a) 20 b) 25 c) 30d) 35 e) 45

2. En la serie:

37

c

6

b

5

a

Hallar "a + b - c"

a) 18 b) 15 c) 12d) 10 e) 21

3. Si:

24

c

3

b

2

a

Hallar "a . b . c"

a) 24 b) 48 c) 72d) 96 e) 192

4. Si:

6

d

4

c

7

b

5

a

además: d - c = 26

Calcular "a + b"

a) 156 b) 122 c) 142d) 164 e) 144

5. Si:

6

e

1

d

2

c

9

b

8

a




Ser ie de razones geom ét r ic as equ iva len tes

además: a x b=288

Calcular "a + b + c + d + e"

a) 120 b) 52 c) 144d) 60 e) 82

6. Si:7

c

5

b

3

a

además: a + b = 40

Calcular "c - b"

a) 40 b) 50 c) 20d) 15 e) 25

7. Si:

3

d

9

c

5

b

7

a

; 2a - b + 3c = 180

Calcular "5b + 7d"

a) 230 b) 150 c) 210d) 95 e) 270

8. En una serie de razones geométricas equivalentes losconsecuentes son: 18; 15; 9 y 24. Si la suma de losantecedentes es 110, hallar el mayor de losantecedentes.

a) 32 b) 40 c) 36d) 52 e) 45

9. En una serie de razones geométricas equivalentes losconsecuentes son: 6; 8 y 18. Si el producto de losantecedentes es 2 916, hallar el menor antecedente.

a) 9 b) 12 c) 10d) 18 e) 6

10.Dada la serie:6

d

4

c

8

b

3

a

además: ab + bc + cd = 3 920

Hallar "a + b + c + d"

a) 147 b) 152 c) 154d) 164 e) 208

Bloque II

1. En una serie de tres razones geométricas equivalentes,la suma de las tres razones es 12/5. Si la suma de los

antecedentes es 240, hallar la suma de los consecuentes.

a) 150 b) 300 c) 450d) 420 e) 600

2. En una serie de 4 razones geométricas equivalentes losconsecuentes son: 4; 5; 7 y 10. Si el producto del mayory menor antecedente es 640, hallar la suma de los 4antecedentes.

a) 104 b) 120 c) 110d) 152 e) 144

3. Se tiene una serie de 4 razones geométricas equivalentesy se observa que el producto de los consecuentes es93 555 y el producto de los antecedentes es 1 155.Hallar el valor de la razón.

a)52

b)32

c)21

d)31

e)4

1

4. En una serie de 4 razones geométricas iguales; la sumade las 4 razones es 8/3. Si la suma de los antecedenteses 40, y el producto de consecuentes es 6 400. Hallar laconstante de proporcionalidad.

a)28

b)34

c)31

d)32

e) 2

5. En una serie de razones geométricas iguales, losantecedentes son: 2; 3; 4 y 9. Si el producto de losconsecuentes es 135 000, la razón es:

a)21

b) 2 c) 4

d)53

e)51

6. Dada la siguiente serie:

c

r

b

q

a

p

Donde: q=4p, r=5p

Calcular el valor de:

2

222

)cba(

cbaE

a) 0,24 b) 0,42 c) 0,26d) 0,45 e) 0,35

7. Si se cumple:25

d

4

c

16

b

9

a2222

Además: a x b x c x d = 1 920calcular "a + b + c + d"




Ser ie de razones geom ét r ic as equ iva len tes

a) 20 b) 21 c) 24d) 25 e) 28

8. Si: a - b = c - db < ca + b + c + d = 70b x c = 306

Calcular "c"

a) 50 b) 23 c) 17d) 25 e) 18

9. Si:

e

d

d

20

20

b

b

5

Calcular "e".

a) 1 280 b) 1 080 c) 1 000d) 980 e) N.A.

10.Si:

d

21

c

33

b

15

a

9

Además: c - a + b - d = 6

Hallar "axc".

a) 22 b) 36 c) 47d) 42 e) N.A.

Aut oev aluac ión

1. Si:7

f

e

d

28

b

a

además: e + f = 56 ; f + b + d = 13Hallar "a"

a) 21 b) 42 c) 14d) 7 e) 35

2. En una serie de tres razones geométricas equivalentesel producto de los antecedentes es 4 032 y losconsecuentes son: 44; 24 y 63. Hallar la constante deproporcionalidad.

a)21

b)31

c)4

1

d)51

e)61

3. Dada la serie de razones geométricas equivalentes:

14

d

c

15

70

b

a

27

Además: b - d = 24Hallar "a + b + c + d"

a) 126 b) 134 c) 143d) 162 e) 146

4. En una serie de razones geométricas equivalentes losantecedentes son: 2; 3; 7 y 11. El producto de losconsecuentes es 7 392. Hallar la constante deproporcionalidad.

a) 5

1

b) 4

1

c) 6

1

d)21

e)71

5. Si:

13

d

11

c

9

b

7

a

además: a - b + c = 36

Calcular "d"

a) 20 b) 25 c) 42d) 52 e) 48



15Colegio TRILCE

TRILCE

COLEGIO

Se denomina promedio o cantidad media a una cantidad

representativa de otras varias cantidades. Se cumplirá queeste promedio es mayor o igual que la cantidad menor y esmenor o igual que la cantidad mayor.

Sean las cantidades:

n321 a....aaa ≤≤≤≤

Entonces: n1 aomedioPra ≤≤

Promedio aritmético o media aritmética (P.A.)Si tenemos “n” cantidades o datos cuyos valores son :a1, a2, a3, ...., an entonces el promedio aritmético omedia aritmética de estos será:

CANTIDADESDENÚMERO

CANTIDADESDESUMA. A.P =

Es decir:

n

a...aaa. A.P n321 ++++=

* Ejemplo:1. Un alumno ha rendido cinco prácticas de Aritmética y

obtuvo las siguientes notas : 12; 14; 10; 11 y 13. Calcularel promedio aritmético de sus notas.

125

1311101412. A.P =

++++=

2. El promedio de las notas de Carlos en sus tres primerasprácticas es exactamente 12. Si en la cuarta prácticaobtiene 08, ¿cuál será su nuevo promedio?

Sean las prácticas: a1; a2; a3 y a4 ; a4 = 08 ...... I

Por dato sabemos: 123

aaa 321=

++

despejando se tiene: a1 + a2 + a3 = 36 ..... II

Además:4

aaaa 4321 +++

De I y II : 114444 836 ==+

Rpta: Su nuevo promedio será 11

Promedio ponderado

Es un caso especial del promedio aritmético, en el cualse tienen varios grupos, conociéndose de cada grupo,el número de elementos o datos que lo conforman (ni)y su respectivo promedio aritmético (Pi). Es decir:

Cantidades : n1 n2 n3 ... nK

Promediosaritméticos: P1 P2 P3 ... PK

PromedioPonderado:

k 21

k k 2211

n...nn

Pn...PnPn

+++

+++

* Ejemplo:1. El siguiente cuadro muestra el número de alumnos de

las secciones del tercer año del colegio TRILCE y susrespectivas notas promedio en el curso de Aritmética.Hallar el promedio aritmético de todas las secciones.

SECCIÓN N° ALUMNOS PROMEDIO

B

C

D

35

40

45

30

15

12

13

16

A

Solución:Reconociendo los datos:

n1 = 35 n2 = 40 n3 = 45 n4 = 30P1 = 15 P2 = 12 P3 = 13 P4 = 16

Prom. ponderado4321

44332211

nnnn

PnPnPnPn

+++

+++=

Prom. ponderado30454035

1630134512401535+++

×+×+×+×=

Prom. ponderado1500702

= = 13,8

2. En la libreta de notas de Pedrito se observó lo siguiente:

CURSO NOTA PESO

Lenguaje

Religión

11

16

14

6

3

1

Física

¿Cuál es su promedio ponderado?

Promedios

Capítulo IV

Menorcantidad

Mayorcantidad




Promedios

Promedio ponderado =136

)1(14)3(16)6(11++

++

Promedio ponderado =10128

10144866

=++

Promedio ponderado = 12,8

Bloque I

1. Hallar el promedio aritmético de:

a) 12; 15 y 18

b) 08; 12 y 13

c) 11; 16; 13 y 17

d) 20; 6; 15; 18 y 11

e) 15; 9; 14; 12 y 10

f) 8; 8; 8; 8 y 8

g) 6; 6; 18 y 18

h) 2; 25; 5,5 y 1,25

i)

osmintér1800

...13;13;13;

j) 11; 25; 16; 45; 5,3

2. Hallar el promedio aritmético de 13; 17; 20 y 10. Darcomo respuesta la suma de cifras de dicho promedio.

a) 3 b) 7 c) 9d) 15 e) 6

3. Si el promedio aritmético de 15; 40; N y 16 es 24, hallarel valor de “N”

a) 20 b) 21 c) 25d) 26 e) 28

4. Hallar el valor de “A” si se sabe que el promedio

aritmético de 23; 17; 14 y N es 16.

a) 10 b) 32 c) 13d) 26 e) N.A.

5. Al calcular el P.A. de tres números da como resultado23. Si uno de los números es 34, ¿cuál es la suma delos otros dos?

a) 15 b) 28 c) 35d) 42 e) N.A.

6. El P.A. de seis números es 15. Si dos de ellos son 12 y26, ¿cuál es la suma de los otros números?

a) 32 b) 45 c) 52d) 29 e) N.A.

7. Ricardo ha obtenido en las cuatro primeras prácticasde aritmética: 11; 13; 10 y 12. ¿Cuál debe ser nota enla quinta práctica, para que su promedio sea 13?

a) 16 b) 20 c) 18d) 21 e) 19

8. El promedio aritmético de las edades de 4 hermanos es21 años. Si el mayor tiene 23 años y el menor 14 años,hallar la suma de edades de los otros dos hermanos.

a) 47 b) 42 c) 44d) 46 e) 48

9. Las calificaciones de Mily en cinco exámenes fueron 13;

18; 12; 15 y 02. ¿Cuál deberá ser su nota en la sextapráctica para que su promedio sea 13?

a) 15 b) 20 c) 14d) 18 e) N.A.

10.En la boleta de notas de un alumno se observó:

Curso Nota Peso

MatemáticasLenguajeFísica

121415

541

¿Cuál es su promedio ponderado?

a) 13 b) 13,1 c) 13,2d) 13,3 e) 13,4




Promedios

Aut oev aluac ión

1. La edad promedio de 15 alumnos es 12 años y de otros 10 alumnos es 13. ¿Cuál es la edad promedio de todos losalumnos?

a) 12,8 años b) 12,6 c) 12,4 d) 12,2 e) 12,5

2. El promedio aritmético de 6 números consecutivos es 34,5. Hallar el promedio aritmético de los dos menores.

a) 32,5 b) 31,5 c) 33 d) 33,5 e) 34,5

3. La media aritmética de dos números es 20 y su media geométrica es 18. Hallar su media armónica.

a) 16,2 b) 16,4 c) 17,2 d) 15,4 e) 15,2



19Colegio TRILCE

TRILCE

COLEGIO

Bloque I

1. Las edades de Jorge y Viviana están en relación de 3 a5 y la suma de ellas es 56. ¿Qué edad tiene Viviana?

a) 34 años b) 35 c) 36d) 38 e) 40

2. La razón geométrica de dos números es 7/2 y su razónaritmética es 25. Determinar el menor de los números.

a) 8 b) 10 c) 12d) 14 e) 16

3. Tres números son entre sí como 5; 7 y 10. Si la sumade ellos es 220; hallar el mayor de los números.

a) 85 b) 90 c) 95d) 100 e) 120

4. Tres números "a", "b" y "c" que están en la relación de4; 7 y 9 cumple la condición: 5a + 4b - 3c = 315. Hallar"a + b + c"

a) 200 b) 150 c) 280d) 310 e) 300

5. En una proporción geométrica los extremos suman 75 ysu diferencia es 15. Hallar el producto de los términosmedios.

a) 1 444 b) 1 296 c) 1 250

d) 1 300 e) 1 350

6. En una proporción geométrica continua la suma deextremos es 34 y su diferencia es 16. Determinar lamedia proporcional.

a) 13 b) 15 c) 12d) 17 e) 24

7. En una proporción geométrica continua, el producto desus cuatro términos es 20 736. Calcular su media

proporcional.

a) 10 b) 16 c) 8d) 12 e) 14

Com plem ent o de razones,

proporc iones y promedios

Capítulo V

8. En una proporción aritmética discreta los términos

medios suman 180 y los términos extremos están en larelación de 7 a 5. ¿Cuál es la cuarta diferencial?

a) 65 b) 75 c) 45d) 50 e) N.A.

9. La razón geométrica de las raíces cuadradas de dosnúmeros es como 1 es a 4. Si la suma de dichos númeroses 170, hallar el menor de ellos.

a) 10 b) 20 c) 160d) 150 e) 80

10.La razón geométrica de dos números es 2/3 y el doblede su producto es 1 452. Hallar el mayor de ellos.

a) 55 b) 33 c) 11d) 22 e) 44

11.El promedio de 4 números es 72, si a cada uno se lessuma tres unidades, el nuevo promedio será:

a) 75 b) 73 c) 74d) 70 e) 76

12.El promedio geométrico de tres números paresdiferentes es 18; entonces, el promedio aritmético deellos es:

a) 28 b) 30 c) 26d) 40 e) 75

Bloque II

1. Si:

5

6

B

A

y 805

B

2

A

Hallar "B".

a) 120 b) 100 c) 140d) 200 e) 180

2. Dos números son entre sí como 11 es a 5. Si la diferencia

de sus términos es 42, hallar el consecuente.

a) 30 b) 55 c) 66d) 77 e) 35




Complem ento de razones, p roporc iones y promedios

3. Dos números son entre sí como 5 es a 9. Si la suma desus términos es 28, hallar su antecedente.

a) 10 b) 18 c) 8d) 12 e) 16

4. La suma de dos números es 3 564 y su razón geométricaes 4/7. Hallar el número menor.

a) 324 b) 648 c) 972d) 1 296 e) 1 620

5. Hallar dos números enteros "a" y "b", sabiendo que sonproporcionales a 2 y 3 respectivamente y que cumplenla siguiente condición: a2 + b2 - ab = 2 268.Dar como respuesta el mayor.

a) 36 b) 54 c) 56d) 34 e) 64

6. La suma de tres números es 1 062, la primera es a lasegunda como 4 es a 7 y la segunda es a la terceracomo 5 es a 9. Hallar la segunda cantidad.

a) 315 b) 180 c) 567d) 135 e) 305

7. ¿Cuál es la mayor de tres partes en que se divide 205,

de tal manera que la primera sea a la segunda como 2es a 5, y la segunda a la tercera como 3 a 4?

a) 80 b) 85 c) 90d) 100 e) 1 200

8. La razón de dos números es 3/4 y los 2/3 de su productoes 1 152. Encontrar el mayor de los números.

a) 84 b) 36 c) 49d) 48 e) 45

9. La razón entre la suma y la diferencia de dos númeroses 5/3. ¿Cuál es el número mayor si su producto es 64?

a) 4 b) 64 c) 8d) 32 e) 16

10.En la serie:

5

d

9

c

7

b

4

a

la suma de los dos primeros antecedentes es 77. ¿Cuál

es la suma de los dos últimos antecedentes?

a) 98 b) 96 c) 100d) 120 e) 112

11.En la serie:9

d

8

c

7

b

4

a

. Se cumple:

ab + cd = 3 600. Calcular "a + b + c + d".

a) 164 b) 168 c) 172d) 192 e) 200

12.En la serie: 2e

d

d

c

c

b

b

a

;

además: a + e = 34. Hallar "a+b+c+d+e"

a) 60 b) 64 c) 72d) 62 e) 80



21Colegio TRILCE

TRILCE

COLEGIO

Comercialmente se puede afirmar que mezcla es el

procedimiento que tiene por finalidad reunir artículos osustancias de una misma especie, tratando de obtener devarios precios diferentes, uno en común para ellos.

Comúnmente se presentan dos casos conocidos de laregla de mezcla:

Caso I

Consiste en determinar el precio de una mezcla (preciomedio), conociendo los precios unitarios y las cantidadesde cada uno de los ingredientes.

Ejemplo: ¿Cuál es el precio de la mezcla que resulta demezclar 36 kg de té de 15 soles el kilogramo con 24 kgde té de 8 soles el kilogramo?

Resolución:

Cantidad P. Unitario Costo parcial (Kg) (soles) (soles)

36 15 54024 8 192

Observamos que el costo total de los 60 kilogramos es:

540 + 192 = 732

1 kilogramo costará soles2,1260

732

En general

Cantidades: C1, C2 y C3

Precios unitarios: P1, P2 y P3

321

332211mezcla

CCC

P.CP.CP.CP

Caso II

Consiste en hallar las cantidades de cada ingredienteconociendo los precios unitarios, el precio medio y lacantidad total de la mezcla.

Ejemplo: Se mezcla arroz de 43 soles el kilogramo con

otro de 27 soles el kilogramo, resultando en total 128kilogramos de 32 soles el kilogramo. ¿Qué cantidad seuso de cada uno?

Mezcla

Capítulo VI

Resolución:

Precios unitarios Precio medio

43

27

32 - 27 = 5

43 - 32 = 11

32

Se deduce que los ingredientes se mezclaron en relaciónde 5 a 11, entonces:

5k + 11k = 128 k = 8

Finalmente:

Ingrediente 1 = 5(8) = 40 kilogramos

Ingrediente 2 = 11(8) = 88 kilogramos

Bloque I

1. Se mezcla 20 kg de café de 5 soles el kilogramo con 30kilogramos de café de 8 soles el kilogramo. ¿Cuál es elprecio del kilogramo de la mezcla?

a) 6 soles b) 6,5 c) 6,8d) 7 e) 7,2

2. ¿Qué cantidad de café de S/. 50 el kilogramo y S/. 40 elkilogramo, harán falta para formar una mezcla de 30kilogramos de café que se puede vender a 42 soles elkilogramo?

a) 8 y 22 kg b) 6 y 24c) 9 y 21 d) 10 y 20e) 12 y 18

3. Se mezclan 100 litros de vino de 50 soles el litro con 60litros de vino de 80 soles y con 40 litros de agua. ¿Cuántovale el litro de la mezcla?

a) 64 soles b) 61 c) 58d) 47 e) 49

4. Se tienen dos clases de aceite de 25 y 45 soles el litro.¿Cuánto se debe tomar del aceite más barato para haceruna mezcla de 180 litros que cueste 30 soles cada litro?




Mezc la

a) 45 litros b) 94 c) 120d) 135 e) 140

5. Un comerciante tiene 12 litros de vino que cuesta 5dólares el litro, le agrega cierta cantidad de agua yobtuvo un precio medio de 4 dólares el litro.

¿Qué cantidad de agua le agregó?

a) 5 litros b) 4 c) 6d) 3 e) 2

6. Hallar el peso de dos clases de café cuyos precios son18 y 16 soles el kilogramo, sabiendo que al mezclarlosresultan 480 kilogramos a 17,55 soles el kilogramo.

a) 372 y 108 kg b) 380 y 100c) 374 y 106 d) 370 y 110e) 400 y 80

7. ¿Cuántos litros de agua se deben mezclar con 42 litrosde leche de 3,9 soles el litro, para que el litro de mezclacueste 3,5 soles?

a) 4,9 b) 4,5 c) 4,7d) 4,8 e) N.A.

8. Hallar el precio medio:

Cantidad Precio por kilo

7 kg S/. 0,204 kg 0,409 kg 0,16

a) 0,222 b) 0,321 c) 0,31d) 0,412 e) 0,231

9. Se han mezclado 200 litros de vino de precio 5 soles,con 300 litros de vino de 7 soles y 500 litros de vino de9 soles. ¿Cuál es el precio medio de la mezcla?

a) 7,6 soles b) 7,7 c) 7,8d) 7,9 e) 8

10.¿Cuántos litros de alcohol de 80 soles el litro, se debenmezclar con 30 litros de agua, para obtener un alcoholde 50 soles el litro?

a) 20 b) 30 c) 40d) 50 e) 10

Bloque II

1. En un barril se mezclan 40 l de vino de S/. 20 el litro,

30 l de vino de S/.15 el litro y 50 l de vino de S/. 17 ellitro. ¿Cuál es el precio por cada litro de mezcla?

a) S/.17,50 b) 18 c) 16d) 16,50 e) 17,25

2. Se ha mezclado 40 kg de arroz de S/. 1,20 el kg, con60 kg de arroz de S/. 1,40 el kg y 20 kg de arroz deS/. 1,50 el kg. ¿Cuál es el precio de 1 kg de la mezcla?

a) S/. 1,4 b) 1,45 c) 1,35d) 1,25 e) N.A.

3. Se ha mezclado 200 l de aceite de S/. 5 el litro con

30 l de aceite de mayor precio, obteniéndose una mezclacon un precio medio de S/. 6,5 por litro. Hallar el preciodel litro de aceite de mayor precio.

a) S/.16,50 b) 8,50 c) 8,00d) 16,00 e) 14,00

4. Se quiere preparar una mezcla de 40 l con dos vinosde calidades diferentes, cuyos precios por litro sonS/.28 y S/.18. Si el precio por litro de la mezcla es deS/.24 el litro, ¿cuántos litros de cada uno se deben

mezclar?

a) 26 y 14 b) 24 y 16 c) 30 y 10d) 25 y 15 e) N.A.

5. Se quiere obtener 30 kg de café de S/. 75 el kg,mezclando cantidades convenientes de S/. 90 el kg yS/.65 el kg. ¿Qué cantidad se debe usar de cada uno?

a) 10 y 20 b) 14 y 16 c) 12 y 18d) 8 y 22 e) N.A.

6. En una bodega se tienen dos calidades de azúcar unade S/. 9,50 el kg y otra de S/. 9,15 el kg. Si se quiereuna mezcla de 35 kg con un costo promedio de S/.9,25,¿cuántos kilogramos de cada uno se ha de tomar?

a) 18 y 17 b) 20 y 15 c) 12 y 23d) 10 y 25 e) N.A.

7. ¿A cómo debe venderse el litro de vino que resulta de

mezclar 20 l de S/.80 el litro con 50 l y 30 l de S/.32 y

S/.40 el litro respectivamente, si no se debe ganar niperder?




Mezc la

a) S/. 40 b) 42 c) 44d) 45 e) 50

8. En un tonel de 100 l de capacidad, se echan 40 l de

vino de $60, 50 l de $8 y se acaba de llenar con agua.¿A cómo hay que vender el litro de la mezcla?

a) $ 6,4 b) 8 c) 7,2d) 9 e) N.A.

Aut oev aluac ión

1. Hallar el precio medio al mezclar:


10 kg 4 soles20 kg 5 soles

30 kg 6 soles

a) 5 b) 5,1 c) 5,2d) 5,3 e) 5,4

2. Si a la mezcla anterior, se le agregan 40 kilogramos de2 soles. ¿Cuál será el precio medio?

a) 2 soles b) 3 c) 4d) 5 e) 6

3. ¿Cuántos litros de aceite de 5 soles, se tienen quemezclar con 20 litros de aceite de 8 soles para obteneraceite de 7 soles?

a) 5 b) 10 c) 15d) 8 e) 12

4. Lucho mezcla los siguientes ingredientes:


20 kg 4 soles30 kg 2 soles50 kg 5 soles

¿Cuál sería el precio medio?

a) 3,5 soles b) 3,7 c) 3,9d) 4,1 e) 4

5. En el ejercicio anterior, ¿cuál será el precio medio sisólo mezclamos los dos primeros?

a) 2,8 soles b) 3 c) 3,2

d) 3,4 e) 3,6



25Colegio TRILCE

TRILCE

COLEGIO

Llamamos mezcla alcohólica, a aquella mezcla en la

cual uno de sus ingredientes es alcohol; en la mayoría decasos el otro ingrediente es agua.

• Grado de una mezcla alcohólica: Es la relación entreel volumen de alcohol y el volumen total de una mezcla,esto se mide en porcentaje o en grados.

Ejemplo:

Se mezclan 48 litros de alcohol con 12 litros de agua.¿Cuál es el grado del alcohol obtenido?

Resolución:

100totalCantidad

alcoholdeCantidadGrado

Luego, en el ejemplo:

grados80dealcohol1001248

48Grado

• Si mezclamos alcoholes de diferentes grados, el gradode la mezcla se calcula como un promedio ponderado.

Cantidades: C1 , C2 y C3

Grados: G1 , G2 y G3

MEZCLA

C1 G1 + C2 G2 + C3 G3

C1+ C2+ C3

Observaciones:

• El alcohol puro, se considera alcohol de grado cien(100°).

• El agua, se considera alcohol de grado cero (0°).

Mezcla a lcohól ic a

Capítulo VII

Bloque I

1. ¿Cuál será la concentración de una mezcla conformadapor 20 litros de agua y 80 litros de alcohol puro?

a) 70° b) 60° c) 80°d) 50° e) 20°

2. A un recipiente que contiene 13 litros de alcohol y 16litros de agua, se le agrega 18 litros de agua y 3 litrosde alcohol. ¿Cuál es el grado de la nueva mezcla?

a) 26° b) 48° c) 64°d) 16° e) 32°

3. Se tiene 100 l de una solución de agua y alcohol al

30%. Si agregamos 20 l de alcohol y 80 l de agua,¿cuál es la concentración de la mezcla?

a) 25 % b) 20 % c) 10 %d) 60 % e) N.A.

4. Se ha mezclado 16 l de alcohol al 30% con 14 l dealcohol al 60 %. ¿Cuál es la concentración de la mezcla?

a) 40 % b) 35 % c) 44 %d) 58 % e) 55 %

5. Si mezclamos 80 l de alcohol de 80° con 20 l de agua.¿Cuál será la pureza de la mezcla formada?

a) 48° b) 64° c) 54°d) 74° e) 80°

6. Si mezclamos "a" l de alcohol de 30° con "4a" l de

alcohol de 50° y 9 l de agua, se obtiene alcohol de 40°.Hallar el valor de "a".

a) 6 b) 8 c) 10d) 12 e) 14

7. Se mezclan 18 l de alcohol al 60% con 17 l de alcohol

al 40% y 15 l de agua. ¿Cuál es la concentración dela mezcla resultante?




Mezc la a lc ohó l ica

a) 28 % b) 32,6 % c) 34,5 %d) 35,2 % e) N.A.

8. Se mezclan 40 l de alcohol al 50% con 50 l de alcohol

al 20% y 10 l de alcohol puro. ¿Cuál es laconcentración de la mezcla resultante?

a) 40 % b) 35 % c) 30 %d) 46,6 % e) N.A.

9. Karen tiene un recipiente con 60 l de alcohol al 30 %.Si desea obtener una mezcla con una concentraciónmínima de 50 %. ¿Cuántos litros de alcohol puro seránecesario agregarle?

a) 12 b) 18 c) 24d) 30 e) N.A.

10.Toribio mezcla 60 l de alcohol de 40° con 40 l de

alcohol de 60° y 10 l de alcohol de 70°. Hallar el gradode pureza de la mezcla resultante.

a) 65° b) 60° c) 40°d) 50° e) N.A.

Bloque II

1. Se tiene 100 l de agua, se le agrega vino puro y sevierte la mezcla en botellas que tendrán 75° deconcentración. ¿Cuántos litros de vino puro se ha

adicionado a los 100 l de agua?

a) 100 b) 150 c) 200d) 250 e) 300

2. ¿Qué cantidad de agua debe agregarse a 10 l de alcoholde 50° para que la mezcla resulte a 25°?

a) 6 l b) 8 c) 10d) 12 e) 14

3. Una solución contiene 30 l de alcohol con 50% depureza. ¿Cuántos litros de alcohol de 80% de pureza sedebe agregar para que la solución final sea de 60%?

a) 10 l b) 15 c) 10,5d) 20 e) 17

4. Se tiene una mezcla de alcohol y agua al 20%. Si se

agrega 30 l de alcohol puro, la nueva mezcla tendría

100 l al:

a) 56 % b) 44 % c) 30 %d) 14 % e) N.A.

5. En un bidón hay 40 l de alcohol al 90 % de pureza, en

otro hay 60 l de alcohol cuyo grado de pureza de lamezcla, es:

a) 78 % b) 76 % c) 74 %d) 75 % e) 82 %

6. Se desea formar una mezcla alcohólica de 70° con dosalcoholes cuyos grados son de 80° y 55°. ¿Cuántos litros

del segundo deberá añadirse a los 180 l del primero?

a) 120 b) 150 c) 90d) 140 e) 100

7. Si 30 l de una solución contiene 12 l de alcohol, ¿cuántoslitros de agua debemos agregar para obtener unasolución al 25%?

a) 18 b) 16 c) 14d) 12 e) 10

8. Se mezclan 40 l de alcohol de 80° con 20 l de alcoholde 60° y para que la mezcla resulte de 40° se agregacierta cantidad de agua. ¿Qué cantidad de agua se

agregó?

a) 50 l b) 60 c) 70d) 80 e) 90

9. Una mezcla alcohólica de 85° de pureza contiene 420 l

más que un ingrediente que del otro. ¿Qué cantidad dealcohol puro contiene dicha mezcla?

a) 510 l b) 550 c) 560d) 480 e) N.A.

10.Se mezclan alcohol de 40°, 30° y 20°, deseándoseobtener alcohol de 35°. Si se quiere que el alcohol de20° sea la quinta parte que el de 40°. ¿Cuántos litros dealcohol de 30° entrará en la mezcla, si esta tiene un

volumen total de 50 l ?

a) 10 b) 11,5 c) 12,5d) 13 e) N.A.




Mezc la a lc ohó l ica

Aut oev aluac ión

1. Se mezclan 20 l de alcohol puro, con 30 l de alcohol

de 30°. ¿Cuál es el grado de pureza de la mezcla?

a) 55° b) 56° c) 57°d) 58° e) 60°

2. Si 60 l de una solución contiene 36 l de alcohol. ¿Cuán-

tos litros de agua debemos agregar para obtener unasolución de 40° de pureza?

a) 20 b) 30 c) 25d) 35 e) 40

3. Se desea formar una mezcla alcohólica de 45° con dosalcoholes cuyos grados son 60° y 40°. ¿Cuántos litros

del primero deberán agregarse a los 120 l del segundo?

a) 40 b) 60 c) 120d) 80 e) 90

4. Se mezclan 20 litros de alcohol de 60°, con alcohol puroy agua, ¿cuántos litros son de agua para obtener 30litros de alcohol de 50°?

a) 9 b) 8 c) 7d) 6 e) 5

5. En el ejercicio anterior, ¿cuántos litros son de alcoholpuro?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5



29Colegio TRILCE

TRILCE

COLEGIO

1. Si dos números están en la relación de 6 a 5 y sudiferencia es 12. Hallar la suma de dichos números.

a) 100 b) 124 c) 132d) 148 e) 162

2. Sabiendo que:

13

d

11

c

9

b

7

a

Además:a - b + c = 36

Calcular el valor de "d"

a) 20 b) 25 c) 42d) 52 e) 48

3. La razón de dos números es 7/3, ¿cuál será la razón dela suma de los números y la diferencia de los mismos?

a)3

10b)

7

10c)

27

d)25

e)35

4. Si:5

d

4

c

3

b

2

a

Además:

(b + d) - (a + c) = 140

Calcular:

E = a + b + c + d

a) 210 b) 420 c) 350d) 910 e) 980

5. Se tiene 3 cantidades "A"; "B" y "C" donde "A" es a "B"

como 5 es a 3 y "B" es a "C" como 4 es a 7.Sabiendo que:

A + B + C = 3 710

Hallar "A"

a) 1 200 b) 1 250 c) 1 350d) 1 400 e) 1 600

6. Hallar “A - B” en:

A = PA(6; 15; 18)

B = PA )8;...8;8;8;(

osmintér100

a) 5 b) 10 c) 12

d) 8 e) N.A.

7. Hallar la media aritmética de: 0,2 ; 0,03; 0,005 ; 0,01 ;0,1.

a) 0,24 b) 0,69 c) 0,069d) 6,9 e) 0,024

8. Hallar el promedio aritmético de:

7

1

; 8

1

; 36

13

a)3

1b)

3

2 c)8

1

d)6

1 e) N.A.

9. Hallar la media aritmética de:

x

ax y x

ax .

Si: x

0

a) 2; si a 0 b)

x

ac) 1; si x 0

d) 1 e) x

10.Hallar el promedio ponderado de:

Notas Pesos

17 3

12 4

05 2

13 1

Repaso

Capítulo VII I




Repaso

22.Entre Pepe; Gonzalo y Víctor hacen un trabajo ganandoun dinero que se distribuye de modo que Gonzalo tienela mitad de lo que tiene Pepe y este un tercio de lo quetiene Víctor, si entre estos dos últimos tienen S/. 5 000,¿cuánto tiene Gonzalo?

a) 625 b) 6 250 c) 750d) 1 250 e) 2 500

23.Dos números son entre sí como 4 es a 9. Si la suma dela mitad del menor más la tercera parte del mayor es30. Hallar el menor número.

a) 32 b) 28 c) 20d) 24 e) 12

24.Hallar la media aritmética de los "n" primeros númerosnaturales.

a) n(n + 1) b)2

)1n(n

c) n(n+2) d)2

)1n(

e)2

n

25.¿Cuántos litros de aceite de S/. 24 deben mezclarsecon 7 litros de S/. 12, para obtener aceite de S/. 17 ellitro?

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

26.Si el producto de dos números es 16 y su mediaarmónica es 32/17. Hallar la suma de los números.

a) 15 b) 16 c) 17d) 18 e) 19

27.Se mezcla vino de S/. 130 el litro y otro de S/. 20 ellitro. ¿Cuántos litros de vino deben entrar del primervino para obtener 88 litros de S/. 115?

a) 71 b) 73 c) 74

d) 76 e) 78

28.Se mezcla vino de S/. 15 el litro con vino de S/. 8 el litroy el precio del litro de la mezcla resulta a S/. 12. ¿Enqué relación se debe mezclar los vinos.

a) 4:3 b) 1:3 c) 3:1d) 2:3 e) 3:5

29.Si:

4

3

b

a

Lo falso es:

a)4

7

b

ba

b)1

4

ab

b

c)3

11

a

b2a

d)4

3

b

ba

e) N.A.

30.El promedio de 30 números es 60. Si el promedio de 10de ellos es 40, ¿cuál es el promedio de los otros 20números?

a) 50 b) 62 c) 40d) 65 e) 70




I. Magnitudes proporcionales I ............................................................................................. 03

II. Magnitudes proporcionales II ............................................................................................ 07

III. Reparto proporcional simple ............................................................................................. 09

IV. Reparto proporcional compuesto ....................................................................................... 11

V. Regla de tres simple ........................................................................................................ 15

VI. Regla de tres compuesta .................................................................................................. 19

VII. Repaso ........................................................................................................................... 23

ÍNDICE



3Colegio TRILCE

TRILCE

COLEGIO

Magni tudes proporc ionales I

Capít ulo I

Magnitud: Es todo aquello que puede ser medido.

Magnitudes proporcionales: Dos magnitudes sonproporcionales si son dependientes entre sí, es decir, siuna de ellas varía, la otra también varía.

Clases de magnitudes:

1. Magnitudes directamente proporcionales (D.P.)

Dos magnitudes "A" y "B" son directamenteproporcionales (D.P.), cuando el cociente entre susvalores correspondientes es una constante.

Esto significa que cuando una de ellas se duplica, triplica,cuadruplica, etc.; la otra se hace el doble, el triple, elcuádruple, etc., respectivamente.

Es decir:

)(constanteK B

AB.P.D A

B

B

se lee: "A" es directamente proporcional a "B".

Ejemplo: Cantidad de azúcar y el precio que se pagapor ella.

Magnitudes Valores correspondientes

PESO (kg) 1 2 3 4

PRECIO 2 4 6 8

Del cuadro observamos:

2

1K .....

8

4

6

3

4

2

2

1

Luego: PESO D.P. PRECIO

Gráficamente:

PRECIO

2

4

6

8

1 2 3 4 5 6 PESO

PESOPRECIO

= K

En el gráfico podemos observar que a medida que elpeso aumenta, el precio también aumenta.

* Nota: La gráfica de dos magnitudes directamenteproporcionales (D.P.) es siempre una línea recta.

2. Magnitudes inversamente proporcionales (I.P.)

Dos magnitudes "A" y "B" son inversamenteproporcionales si el producto de sus valorescorrespondientes es una constante.Esto significa que cuando una de ellas se duplica, triplica,cuadruplica, etc; la otra se hace la mitad, la terceraparte, la cuarta parte, etc., respectivamente.

Es decir:

)(constanteK B AB A .P.I

BA

B

se lee: "A" es inversamente proporcional a "B".

Ejemplo: Obreros y tiempo que emplean en realizar unaobra.

Magnitudes Valores correspondientes

Obreros 20 40 80 10 5

Tiempo (hs) 8 4 2 16 32





Del cuadro observamos:

20 x 8 = 40 x 4 = 80 x 2 = 10 x 16 = ... = K = 160

Luego: OBREROS I.P. TIEMPO

Gráficamente:

TIEMPOh

5

20

40

80

2 4 6 8 10 12

OBREROS

Obreros tiempox = K

16

10

32

En el gráfico podemos observar que a medida que el númerode obreros aumenta, el tiempo disminuye.

* Nota: La gráfica de dos magnitudes inversamenteproporcionales (I.P.) es siempre una hipérbola

equilátera.


Bloque I

1. Indicar en cada caso si son magnitudes directamenteproporcionales (D.P.) o inversamente proporcionales (I.P.)

a. velocidad ............ tiempo

b. precio ............ peso

c. tiempo ............ obra

d. obreros ............ obra

e. obreros ............ tiempo

f. obreros ............ dificultad

g. eficacia ............ tiempo

h. habilidad ............ obreros

2. Si "A" es directamente proporcional a "B", completa elsiguiente cuadro.

MAGNITUD "A" 16 32 8 20

MAGNITUD "B" 4 12 7

3. Si "P" es inversamente proporcional a "Q", completa elsiguiente cuadro.

MAGNITUD "P" 10 5 20 15

MAGNITUD "Q" 6 30 2

4. Dadas las magnitudes velocidad de un móvil y el tiempoque demora en recorrer un mismo tramo. Completa elcuadro.

VELOCIDAD 20 40 60 10

TIEMPO 12 60 48

5. Dadas las magnitudes "número de sillas" y el tiempo desu fabricación; completa el cuadro.

OBRA 40 80 8

TIEMPO (h) 5 2 3 7

6. S i "A" y "B" son magnitudes proporc iona lesrepresentadas mediante el siguiente gráfico:

A

B

4

6

a

b 3 8

Calcular "a + b"

7. S i "A" y "B" son magnitudes proporc iona lesrepresentadas mediante el siguiente gráfico:

A

B

b

a

36

8 16 24

Calcular "a - b"





8. Si "A" y "B" son magnitudes proporcionalesrepresentadas mediante el siguiente gráfico:

b

a

16

(a-8) 6 8

A

B

Calcular "a + b"

9. S i "A" y "B" son magni tudes proporciona lesrepresentadas mediante el siguiente gráfico:

b

a

16

1 4 16

A

B

Calcular "a + b"

10.Si "P" y "Q" son magnitudes proporcionalesrepresentadas mediante el siguiente gráfico:

26

18

4 x y

P

Q

Hallar "y - x"

Bloque II

1. Si "A" es I.P. a "B2", entonces la relación correcta es:

I.2

B

AK

II. K = A x B

III. K = A x B2

2. Si "A2" es D.P. a "B", entonces la relación correcta es:

I.B

AK

2

II. K = A2 x B

III.B

AK

3. Indicar la expresión correcta para la constante en cadacaso:

a. A es D.P. a B

b. B es I.P. a A2

c. P es I.P. a 3 B

d. A

B

3

e.

23 B1

A

f. C A

4. Indicar la expresión correcta para la constante en cada

caso:

a. A es D.P. a B e I.P. a C

b. A D.P. M y a N

c. M I.P. N

2

y M D.P. R

d. C

2

I.P. A y a B

e.

3

2

C

B

.

.

5. Si "A" es D.P. "B2" y cuando "A" es 16; B = 2; calcular"A", cuando B = 8.

a) 256 b) 64 c) 32d) 8 e) 512

6. Si "A" es I.P. a "B" y cuando A = 24; B = 8; ¿cuántovaldrá "A", cuando B = 16?

a) 14 b) 12 c) 96d) 54 e) 16



7Colegio TRILCE

TRILCE

COLEGIO

Magni t udes proporc ionales I I

Capít ulo I I

1. "x" varía en forma directa a "y" e inversa al cuadradode "z". Cuando x=10, entonces y=4; z=14. Hallar "x",cuando y=16; z=7.

a) 160 b) 180 c) 140d) 150 e) N.A.

2. "A" es directamente proporcional con "B2" e inversamente

proporcional a C , cuando A = 4; B = 8; C = 16. Hallar

"A", cuando B = 12; C = 36.

a) 8 b) 6 c) 10d) 4 e) N.A.

3. "A" es directamente proporcional con "B" e inversamenteproporcional con "C", cuando "C" es igual a 3/2, "A" y"B" son iguales. ¿Cuál es el valor de "B" cuando "A" esigual a 1 y "C" es igual a 12?

a) 6 b) 11 c) 10d) 8 e) N.A.

4. "A" varía proporcionalmente a "B" y al cuadrado de "C"e inversamente proporcional a "D". Si cuando: A = 8;B = 5 y C = 4, entonces D es 2. ¿Cuánto valdrá "B"cuando: A = 2D ; D = 4C?

a) 160 b) 180 c) 100d) 140 e) N.A.

5. Si "A" es directamente proporcional a "B" y "C" einversamente proporcional con "D" y "E". Cuando: A = 2B;D = 4; C = 2, entonces E = 2. Calcular "E" cuando A = 72;D = 6; B = 2 ; C = 3E2.

a) 9 b) 8 c) 7d) 10 e) N.A.

6. "A" varía directamente con la raíz cuadrada de "B" einversamente con el cubo de "C". Si A = 3, cuando B = 256;C = 2, hallar "B", cuando A = 24 ; C = 1/2.

a) 8 b) 4 c) 9d) 16 e) N.A.

7. Sabiendo que "A" es I.P. a "B" y "B" es I.P. a "C", hallar

"A", cuando 3C , si 27 A y C=3.

a) 1 b) 4 c) 3

d) 9 e) 3

8. Sabiendo que "A" es I.P. a B4 y "C" es D.P. a "B". Hallar

"A", cuando C=8, si A=96 y C=4.

a) 2 b) 3 c) 4d) 9 e) 6

9. El precio de un pasaje varía inversamente con elnúmero de pasajeros. Si para 14 pasajeros, el pasajees S/.15, ¿cuántos pasajeros serán cuando el pasajecueste S/. 6?

a) 31 b) 33 c) 34d) 36 e) 35

10.¿Cuál es el peso de un diamante que vale S/. 5 500, siuno de 5 quilates cuesta S/. 19 800 y el peso esproporcional al cuadrado de su peso? (quilate = 0,25 g)

a) 2,5 g b) 2,8 c) 3,5d) 4,2 e) 3,9

11.El peso de un elefante es D.P. a sus años, si un elefantetuviera 360 kg tendría 32 años. ¿Cuál es su edad sipesa 324 kg?

a) 28 años y 248 días

b) 28 años y 294 díasc) 27 años y 294 díasd) 28 años y 292 díase) 28 años y 228 días

12.En una empresa el sueldo de un empleado esproporcional al cuadrado del número de años de servicio.Si un empleado tiene actualmente 15 años de servicio,¿dentro de cuántos años cuadruplicará su sueldo?

a) 15 b) 30 c) 8d) 45 e) 60

13.El precio de un diamante es proporcional al cuadradode su peso. Si un diamante de 4 quilates vale S/. 1 280,¿cuál es el peso de un diamante que vale S/. 3 920?

a) 5 quilates b) 14 c) 3d) 7 e) 6

14.El precio de un diamante es directamente proporcionalal cuadrado de su peso. Si un diamante que pesa 20gramos cuesta 4 000 dólares, ¿cuánto costará otrodiamante que pesa 25 gramos?

a) $ 6 000 b) 5 000 c) 7 500d) 4 800 e) 6 250






15.Una rueda "A" de 80 dientes, engrana con otra rueda"B" de 30 dientes. Si la rueda "A" da 12 vueltas porminuto, ¿cuántas vueltas dará la rueda "B" en 5 minutos?

a) 160 b) 120 c) 100d) 40 e) 80

16.El precio de un diamante es directamente proporcionalal cuadrado de su peso. Si un diamante cuesta $ 500,¿cuánto costará otro diamante que pesa el doble delanterior?

a) $ 1 000 b) 1 500 c) 2 000d) 2 500 e) 3 000

17.Si "A" varía directamente proporcional a "B" einversamente proporcional con C2. A su vez "C" varíadirectamente proporcional con "E". Cuando: B=20 ; E=4,entonces A=80. Hallar "A", cuando B=120 ; E=8.

a) 100 b) 120 c) 140d) 150 e) 160

18.El precio de un diamante es D.P. al cuadrado de su peso.¿Cuánto se perdería si un diamante de $ 32 000 serompe en 2 pedazos siendo uno el triple del otro?

a) $ 5 000 b) 10 000 c) 12 000d) 6 000 e) N.A.

19.La corriente de un tubo electrónico es D.P. al cubo de laraíz cuadrada del voltaje. Si el voltaje se hace 3 vecesmayor, ¿cuántas veces mayor se hace la corriente?

a) 3 veces b) 4 c) 5d) 8 e) 7



9Colegio TRILCE

TRILCE

COLEGIORepar t o proporc iona l

s imp le

Capít ulo I I I

Reparto proporcional

El reparto proporcional es una operación que consisteen dividir un número propuesto en partes proporcionales aotros números dados llamados "índices".

Clases de reparto proporcional:

1. Reparto proporcional simple directoConsiste en repartir un número en forma directamenteproporcional (D.P.) a ciertos números.

* Ejemplo ilustrativo:

Repartir 750 en partes que sean D.P. a los números 7; 5 y 3.

Solución:

750

PARTES

A

B

C

D.P

7

5

3

A = 7K

B = 5K

C = 3K

15K = 750

K =75015

K = 50

Luego las partes son:

A = 7(50) = 350B = 5(50) = 250C = 3(50) = 150

2. Reparto proporcional simple inversoConsiste en repartir un número en forma inversamenteproporcional (I.P.) a ciertos números. Este reparto (I.P.)es equivalente a realizarlo en forma D.P. pero a lasinversas de los números dados.

Ejemplo ilustrativo: Repartir 260 en partes que seanI.P. a los números 2; 3 y 4.

Solución:

260

PARTES

A

B

C

P

2

3

4

13K = 260

K =26013

K = 20

I.P.

12

x 12 = 6

13

x 12 = 4

1

4

x 12 = 3

A = 6K

B = 4K

C = 3K

Luego las partes son:

A = 6(20) = 120B = 4(20) = 80C = 3(20) = 60


Bloque I

1. Repartir S/. 640 en forma D.P. a los números 3; 5 y 8.Indicar la parte mayor.

a) S/. 120 b) 200 c) 320

d) 360 e) 480

2. Repartir S/. 1 105 en forma D.P. a los números 7; 4 y 6.Indicar la parte menor.

a) S/. 260 b) 65 c) 455d) 390 e) 130

3. Repartir $ 240 en forma D.P. a los números 11; 3 y 10.Indicar la suma de cifras de la parte menor.

a) 5 b) 7 c) 8d) 3 e) 1

4. Repartir $ 999 en forma D.P. a los números 17; 13 y 7.Indicar la suma de cifras de la parte intermedia.

a) 18 b) 9 c) 12d) 27 e) 21

5. Repartir $ 350 D.P. a los números 1; 3; 4 y 6. Indicar laparte menor.

a) $ 150 b) 100 c) 75d) 25 e) 125

6. Repartir S/. 264 en forma I.P. a los números 2; 3 y 6.Indicar la parte intermedia.

a) S/. 44 b) 88 c) 264d) 132 e) 70

7. Repartir 594 en forma I.P. a los números 2; 3; 6 y 10.Indicar la parte mayor.

a) 270 b) 180 c) 90d) 54 e) 18

8. Dividir 867 en partes I.P. a 3, 4 y 8 e indicar la partemenor.

a) 408 b) 102 c) 153d) 204 e) 255





9. Repartir 962 I.P. a 3; 5 y 12. Indicar la suma de cifrasde la parte menor.

a) 12 b) 9 c) 17d) 13 e) 15

10.Repartir 1 910 en forma I.P. a 7; 8 y 9. Hallar la menor

parte.

a) 180 b) 191 c) 560d) 630 e) 720

Bloque II

1. Un padre y su hijo se reparten un premio de $ 770 enforma D.P. a sus edades que son 60 y 24 años. ¿Cuántole corresponde al padre?

a) $ 220 b) 330 c) 440d) 550 e) 660

2. Repartir $ 2 400 I.P. a los números 1/5; 1/2 y 1. Darcomo respuesta la suma de cifras de la parte menor.

a) 3 b) 6 c) 8d) 9 e) 12

3. Repartir S/. 2 880 en forma I.P. a 2; 6; 12 y 20. Darcomo respuesta la parte mayor.

a) S/. 180 b) 300 c) 600d) 1 200 e) 1 800

4. Repartir S/. 390 en forma I.P. a los números 1/2; 1/4 y2. Indicar la menor parte.

a) S/. 60 b) 15 c) 30d) 240 e) 120

5. Repartir $ 8 200 D.P. a los números 6; 1/2 y 1/3. Indicarla mayor parte repartida.

a) S/. 5 200 b) 400 c) 600d) 6 200 e) 7 200

6. Repartir S/. 630 D.P. a los números 2/3; 3/4 y 2/6 eindicar la parte menor.

a) S/. 120 b) 270 c) 240d) 300 e) 360

7. Repartir S/. 9 000 en forma D.P. a los números 1; 2; 3;4; ...;9. Dar como respuesta la parte mayor.

a) S/. 1 600 b) 800 c) 2 000d) 7 000 e) 1 800

8. Al repartir cierta cantidad de dinero en forma D.P. a losnúmeros 6; 10 y 20, la parte menor resulta ser S/. 270.¿Cuál fue la cantidad repartida?

a) S/. 900 b) 1 800 c) 450d) 1 620 e) 540

9. Al repartir una herencia entre cuatro hermanos se hizoen forma proporcional a la edad que tenían que son 12;14; 18 y 24. Si el mayor recibió S/. 2 484, ¿cuánto recibióel menor?

a) S/. 1 042 b) 1 242 c) 1 222d) 1 484 e) 1 400

10.Al repartir una herencia en forma I.P. a las edades detres hermanos que son 4; 5 y 8 años, se observó que elmayor recibió S/. 725. ¿Cuál fue la herencia repartida?

a) S/. 3 333 b) 3 335 c) 3 355d) 3 300 e) 3 000

1. Al repartir cierta cantidad de dinero en forma D.P. a 24;48 y 36; se observó que la diferencia entre la partemayor y la parte menor fue de S/.240. ¿Cuál fue lacantidad repartida?

a) S/. 2 000 b) 3 240 c) 1 080d) 2 160 e) 2 260

2. Al repartir cierta cantidad de dinero en forma I.P. alos números 3; 1/2 y 2, la mayor cantidad resultó ser

S/.480. ¿Cuál fue la cantidad repartida?

a) S/. 600 b) 680 c) 780d) 640 e) 880

3. Se reparte S/.2 800 en forma D.P. a los números 1; 2 y4. Si el reparto se hace en forma I.P., ¿cuánto más recibeel de la menor cantidad repartida inicialmente?

a) S/. 400 b) 2 800 c) 1 200d) 2 400 e) 1 600

4. Se reparte "N" en forma D.P. a los números 6; 9 y 12.Si la menor parte resulta ser 180, ¿cuánto vale N/3?

a) 810 b) 90 c) 180d) 270 e) 405

5. Se reparte S/.650 en forma D.P. a 8 y 18. Si el repartose hace en forma I.P., ¿cuánto más recibe el de la menorcantidad repartida inicialmente?

a) S/. 200 b) 400 c) 450d) 150 e) 250

Aut oevaluac ión



11Colegio TRILCE

TRILCE

COLEGIO

Reparto proporcional

Un reparto proporcional será compuesto cuando se usen dos o más criterios de repartición que pueden ser D.P. y/o I.P.

Procedimiento

En los problemas de reparto proporcional compuesto debemos proceder de la siguiente manera:

1. Se convierte la relación I.P. a D.P. (invirtiendo los índices).2. Se multiplican los índices de las relaciones D.P.3. Se efectúa un reparto simple directo con los nuevos índices.

Ejemplos:

1. Repartir S/.470 en forma D.P. a 5 y 3; y a la vez I.P. a 4 y 7.Solución:

470

PARTES

A

D.P

5

47K = 470

I.P

4

D.P

14

17

54

37

x 28 = 35K

x 28 = 12K

MCM(4; 7)

K = 10

B 3 7

Las partes son: A = 35(10) = 350B = 12(10) = 120

2. Repartir 1 183 en forma I.P. a 2; 3 y 1 e I.P. a 4;2

1 y3

1 .

Solución:

1 183

PARTES

A

B

C

I.P

91K = 1 183

K =1 183

91

K = 13

D.P

12

13

18

23

x 24 = 3K

x 24 = 16K

2

3

1 1

I.P D.P

14

4

3

12

13

2

3 24 = 72K x

Las partes son: A = 3(13) = 39B = 16(13) = 208C = 72(13) = 936

Repar t o proporc iona l

compues to

Capítu lo IV



Repar to p roporc iona l compuesto


3. Repartir $ 4 545 en forma D.P. a 3; 5 y 7 y a la vez en forma D.P. a 4;2

1 y

3

1.

Solución:

PARTES

A

B

C

101K = 4 545

K =4 545101

K = 45

D.P

52

12 6 = 72K x

x 6 = 15K

3

5

7

4

12

13

D.P

73

x 6 = 14K

4 545

MCM (1; 2; 3)

Las partes son:

A = 72 (45) = $ 3 240B = 15 (45) = $ 675C = 14 (45) = $ 630

Bloque I

1. Repartir S/. 375 en forma D.P. a 1 y 3; y a la vez enforma I.P. a 2 y 4. Dar como respuesta la parte mayor.

a) S/. 75 b) 150 c) 225d) 300 e) 125

2. Repartir S/. 4 340 en forma I.P. a2

1 y

3

1 y a la vez en

forma D.P. a 5 y 7. Indicar la parte menor.

a) S/. 1 400 b) 2 940 c) 2 500d) 1 800 e) 2 000

3. Repartir S/. 4 270 en forma D.P. a 1/5 y 1/3 y a la vezen forma I.P. a 3/5 y 7/3. Indicar la suma de cifras de laparte mayor.

a) 8 b) 9 c) 10d) 11 e) 12

4. Repartir 9 640 en forma D.P. a los números 3; 5 y 8 e

I.P. a 4; 3 y 5. Dar como respuesta la parte menor.

a) 3 200 b) 4 000 c) 1 800d) 2 700 e) 1 500

5. Repartir 4 536 en forma D.P. a 2; 3 y 5 e I.P. a 3; 5 y 6.Hallar la parte mayor.

a) 1 200 b) 1 800 c) 2 200d) 2 006 e) 3 100

6. Repartir 865 en forma D.P. a 3; 5 y 7 e I.P. a 2; 3 y 16.Dar la menor parte.

a) 105 b) 120 c) 240d) 360 e) 400

7. Al repartir S/. 480 en dos partes D.P. a 4 y 6 e I.P. a 2 y3, se obtuvieron las partes:

a) S/. 210; S/. 270 b) 230; 250c) 260; 220 d) 200; 280e) 240; 240

8. Al repartir una cierta suma D.P. a 3; 5/3 y 7 e I.P. a1/2; 4 y 3/2 se observó que la mayor parte excede ala menor en S/. 6 700. Indicar a cuánto asciende lasuma repartida.

a) S/. 14 300 b) 15 500 c) 14 400d) 13 300 e) 12 200




Repar to p roporc iona l compuesto


1. Al repartir un promedio de S/. 3 125 en forma I.P. a laedad de los tres ganadores que son 24; 28 y 32 años ya la vez en forma D.P. a su número de hijos que son 3;1; 2 hijos respectivamente. ¿Cuánto le corresponde al

mayor de los tres?

a) S/. 1 750 b) 500 c) 875d) 785 e) 550

2. Repartir S/. 9 900 en forma I.P. a 1; 2; 3; 4 y a la vezD.P. a 5; 4; 3 y 4. Indicar la diferencia que hay entre lamayor y la menor de las partes.

a) S/. 4 400 b) 2 400 c) 1 200d) 6 300 e) 5 700

3. Repartir S/. 19 280 en forma D.P. a los números 3; 5 y

8 e I.P. a 4; 3 y 5. Dar como respuesta la parte menor.

a) S/. 3 200 b) 4 000 c) 3 600d) 3 800 e) 2 700

4. Repartir S/. 4 500 en forma I.P. a 1; 2; 3 y 4 a la vez

D.P. a 6; 4; 3 y 9. Calcular la suma de las dos mayores

partes.

a) S/. 2 300 b) 3 200 c) 3 220

d) 3 300 e) 4 400

5. Se reparte una cantidad de dinero a 3 hermanos en

forma D.P. a sus edades que son 16; 18 y 28 y a la vez

I.P. a los minutos de tardanza que tiene al fin de cada

mes en la empresa de su papá que fueron 24; 36 y 60

respectivamente. Si el menor recibió S/. 200, ¿cuánto

recibió el mayor de los hermanos?

a) S/. 140 b) 160 c) 200d) 150 e) 120

Aut oevaluac ión



15Colegio TRILCE

TRILCE

COLEGIO

Regla de t res s im ple

Capítu lo V

Regla de tres

Es un método especial de solución para problemas demagnitudes proporcionales donde intervienen dos o másmagnitudes.

Regla de tres simple

En este caso intervienen sólo dos magnitudesproporcionales. Conociéndose tres valores, dospertenecientes a una de las magnitudes y la tercera a laotra magnitud, se debe calcular el cuarto valor.

Dependiendo de las magnitudes que intervienen la regla

de tres simple puede ser:

Directa o inversa

1. Regla de tres simple directa"Cuando las magnitudes que intervienen sondirectamente proporcionales (D.P.)".

Magnitud "A" D.P.

a

c

Magnitud "B"

b

x

Método práctico:a

cbx

Ejemplo:

Si un carpintero hace 35 carpetas en una semana.¿Cuántas carpetas fabricará en 12 días?

Resolución: Las magnitudes que intervienen son: obra ytiempo.

Notamos que a "mayor" tiempo el carpintero podrá fabricar"mayor" número de carpetas.

¡Ah! además los valores de una magnitud deben estar enlas mismas unidades.

Así: 1 semana = 7 días.

Obra D.P.

35

x

Tiempo

7

12

(N° de carpetas) (días)

carpetas607

1235x

2. Regla de tres simple inversa

"Cuando las magnitudes que intervienen soninversamente proporcionales (I.P.)".

Magnitud "A" I.P.

a

c

Magnitud "B"

b

x

Método práctico:c

abx

Ejemplo:

Si una cuadrilla de 10 obreros hacen una obra en 12días. ¿Con cuántos obreros se hará la misma obra en15 días?

Resolución: Las dos magnitudes que intervienen son:obreros y tiempo; pues la obra es la misma.Notamos que a "mayor" número de días se necesitará"menor" número de obreros.

Obreros I.P.

10

x

Tiempo

12

15

días815

1210x

Problemas resueltos

1. Un barco tenía 1 900 kg de alimentos que serviría paraun viaje de 38 días; sin embargo, el viaje sólo duró 30días. Calcule qué cantidad de alimentos sobró.

Resolución:

Si el viaje duró "MENOS" días se habrá utilizado "MENOS"alimento (D.P.)

Kg de alimento D.P.

1 900

x

Tiempo

38

30

kg1500x38

301900x

Se utilizó 1 500 kgentonces sobró: 1900 - 1500 = 400 kg



Regla de t res s imple


2. Un barco tiene víveres para 33 días, pero al inicio de latravesía se suman 4 personas más y por ello los víveressólo alcanzan para 30 días. ¿Cuántas personas habíaninicialmente en el barco?

Resolución:

Las magnitudes que intervienen son "N° de personas" y"N° de días"Sea "x" el N° de personas que había inicialmente:

N° de personas I.P.

x

x + 4

N° de días

33

30

Se debe cumplir:

30

33x4x

10

11x4x

x1140x10

x

40

Rpta. Habían 40 personas inicialmente en el barco.

3. Ocho obreros pueden hacer una obra en 20 días,

después de 5 días de trabajo se retiran tres obreros.

¿Con cuántos días de atraso se terminó la obra?

Resolución:

En este tipo de problemas debemos plantear la regla

de tres en lo que falta por hacer.

FALTA5 días

se hizo

8 obreros en 15 días

5 obreros en "x" días

er

do

Obreros I.P.

8

5

tiempo

15

x

días24x

5

815x

Retraso = 24 - 15 = 9 días

Rpta: La obra se entregó con 9 días de atraso.

4. Un grupo de 24 náufragos llegan a una isla y tienenvíveres para 40 días. Si luego de 13 días seis náufragosfallecen, ¿cuántos días más podrán durar los víverespara los restantes?

Resolución:

FALTA13 días

se comió

24 náufragos en 27 días

18 náufragos en "x" días

Náufragos I.P.

24

18

días

27

x

días36x18

2427x

A los náufragos restantes les durará:

36 - 27 = 9 días más.

Bloque I

1. Doce obreros pueden construir un muro en 20 días.¿Cuántos días emplearán 10 obreros en hacer el mismomuro?

a) 20 b) 24 c) 26d) 30 e) 36

2. Un carpintero tarda 21 días en fabricar 7 mesas.¿Cuántos días necesitará para fabricar 5 mesas?

a) 35 b) 3 c) 105d) 15 e) 147/5

3. Si 32 metros de cable cuestan S/. 16. ¿Cuánto costarán96 metros del mismo cable?

a) 48 b) 38 c) 96d) 192 e) 46

4. Un auto de carrera recorre 570 km en 3 horas, ¿quédistancia recorrerá en 5 horas si viaja a la mismavelocidad?

a) 900 km b) 950 c) 850d) 1050 e) 1150






5. Si 7 cuadernos cuestan S/. 21, ¿cuántos podré comprar

con S/. 51?

a) 10 b) 6 c) 13

d) 15 e) 17

6. Si 21 obreros tardan 10 días en hacer una obra. ¿Cuántos

obreros se necesitarán para hacer la misma obra en 15días?

a) 10 b) 13 c) 15

d) 14 e) 11

7. La habilidad de dos obreros es como 7 es a 12. Cuando

el primero haya hecho 560 m de una obra, ¿cuánto habrá

hecho el otro?

a) 990 m b) 960 c) 1000

d) 480 e) 500

8. La habilidad de dos operarios es como 15 es a 12 cuando

el primero haya hecho 195 metros de obra, ¿cuántos

metros habrá hecho el segundo?

a) 152 b) 156 c) 162

d) 180 e) 200

9. Con 20 litros de leche se fabrican 2 kg de mantequilla;

¿cuántos litros de leche se necesitarán para fabricar

50 kg de mantequilla?

a) 5 b) 50 c) 500

d) 1 000 e) 100

10.Ocho agricultores pueden cosechar un terreno en 6 días.Si fueran doce agricultores, ¿cuántos días antes

terminarían?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

11.Una casa puede ser hecha por 30 obreros en 15 días.¿Cuántos obreros hay que añadir para que la obra se

termine en 10 días?

a) 10 b) 15 c) 20

d) 45 e) 30

12.Para hacer una obra se han empleado 54 hombres

durante 15 días. ¿Cuántos hombres hubieran hecho la

misma obra en 18 días?

a) 15 b) 30 c) 35d) 45 e) 60

Bloque II

1. Hace ocho meses que obtuve mi carné universitario porlo que me he ahorrado S/. 300 en pasajes. ¿Cuánto mehubiese ahorrado si hubiese obtenido este carné haceun año?

a) S/. 400 b) 430 c) 450d) 460 e) 480

2. Si 100 naranjas cuestan S/. 90. ¿Cuánto costarán dosdocenas?

a) S/. 21,6 b) 22,8 c) 23,5d) 5 e) 22

3. Para pintar una pared de 45 m2 se necesitaron seisgalones de pintura. ¿Cuántos galones de pintura seránnecesarios para pintar una pared de 75 m2?

a) 8 b) 9 c) 10d) 11 e) 12

4. La habilidad de dos operarios están en la relación de 5a 12. Cuando el primero haya hecho 180 metros deobra, ¿cuántos metros habrá hecho el otro?

a) 428 b) 432 c) 440d) 532 e) 540

5. Con 16 obreros puede terminarse una obra en 63 días.¿Cuántos obreros más se tendrán que contratar si sequiere terminar la obra en 36 días?

a) 15 b) 35 c) 20d) 25 e) 28

6. Treinta y nueve tripulantes de un barco tienen víverespara 22 días. Si sólo fueran 33 tripulantes, ¿cuántosdías más les duraría los víveres?

a) 18 b) 22 c) 26

d) 28 e) 32

7. Una persona gasta en fumar, en año bisiesto S/. 6 222.¿Cuánto gasta semanalmente en este vicio?

a) S/.17 b) 34 c) 51d) 102 e) 119

8. Una casa podría ser construida por 24 albañiles en 36días. Pero si al empezar la construcción sólo se cuentacon 18 albañiles; ¿cuántos días demorará la construcciónde la casa?

a) 30 b) 38 c) 48d) 45 e) 32





9. Un ejército de 1 200 hombres tiene víveres para 15meses. Si se quiere que los víveres alcancen para 20meses. ¿Cuántos soldados deben ser dados de baja?

a) 100 b) 200 c) 300d) 400 e) 600

10.Un jardinero siembra un terreno cuadrado de 8 m delado en 5 días. ¿Cuántos días más se demorará ensembrar otro terreno cuadrado de 16 m de lado?

a) 10 b) 5 c) 20d) 15 e) 18

11.El cabello humano crece 5 mm cada 20 días, ¿en cuántosdías crecerá 30 cm?

a) 1 500 b) 1 800 c) 1 200d) 1 300 e) 2 100

12.Para cortar un árbol en dos partes me cobran S/.10.¿Cuánto me cobrarán para cortarlo en 5 partes?

a) S/. 25 b) 30 c) 40d) 50 e) 60

1. Un grupo de jardineros emplean 6 días en cultivar 420 m2.¿Cuántos días más emplearían en cultivar 560 m2?

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

2. Treinta obreros construyeron una casa en 28 días,¿cuántos días antes hubieran terminado si hubieran sido5 obreros más?

a) 3 b) 4 c) 6d) 8 e) 5

3. Una fábrica de conservas tiene una producción mensualde 9100 latas y 13 máquinas trabajando. Si tresmáquinas se malogran, ¿en cuánto disminuye laproducción mensual?

a) 6 300 b) 2 800 c) 3 000d) 3 500 e) 2 100

4. Un barco tiene víveres para 13 días y 30 tripulantes. Sicuatro de ellos no pueden viajar, ¿para cuántos díasmás podrán durar los víveres?

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

5. Un caballo atado a una cuerda de 3 m de longitud, puede

comer todo el pasto que está a su alcance en 4 días.¿Cuántos días demorará si la cuerda midiera 6 m?

a) 8 b) 10 c) 12d) 14 e) 16

Aut oevaluac ión



19Colegio TRILCE

TRILCE

COLEGIO

Regla de t res c ompuesta

Capítu lo VI

Es una regla de tres donde intervienen más de dos

magnitudes proporcionales. Este procedimiento de cálculonos permite hallar un valor, cuando se conocen un conjuntode valores correspondientes a varias magnitudes.

Método de solución

Uno de los métodos consiste en lo siguiente:

1. Se reconocen las magnitudes que intervienen en elproblema.

2. Se disponen los datos de manera que los valorespertenecientes a una misma magnitud se ubiquen enuna misma columna, además que deben estarexpresados en las mismas unidades de medida.

3. La magnitud en la cual se ubica la incógnita se comparacon las demás, verificando si son DIRECTAS(D) oINVERSAS(I).

4. Se despeja la incógnita multiplicando la cantidad quese encuentra sobre ella por las diferentes fraccionesque se forman en cada magnitud, si son INVERSAS(I)se copia IGUAL y si son DIRECTAS se copia DIFERENTE.

Ejemplo:

Si 20 operarios pueden producir 120 pares de zapatosen 18 días, trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántos operariospueden producir 160 zapatos en 24 días trabajando 5 horasdiarias?

Resolución:

obreros

D

20

x

días

18

24

obra

120

80

h/d

8

5

I I

5

8

24

18

120

8020x

x = 16 obreros

Observación: Nótese que la obra debe estar en la mismaunidad de medida (pares de zapatos).

Así: 160 zapatos = 80 pares de zapatos.

Problemas resueltos

1. Si doce máquinas pueden producir 35 mil lápiceros en21 horas. ¿Cuántos miles de lapiceros podrán producir24 máquinas en 18 horas?

Resolución:

N° de máquinas

D

12

24

N° horas

21

18

Miles de lapiceros

35

x

D

21

18

12

2435x

x = 60 mil lapiceros.

2. Diez obreros en ocho días han avanzado 2/5 de una

obra; si se retiran dos obreros, los restantes, ¿en quétiempo terminarán lo que falta de la obra?

Resolución: si se avanzó los 2/5, falta por hacer los 3/5.

obreros

I

10

8

obra2/5

3/5

días8

x

D

se hizo falta

2

3

2

3

8

108x

x = 15 días

Rpta. Lo terminarán en 15 días.



Regla de t res compuesta


3. Si 15 obreros trabajando 8 horas diarias durante 15días han hecho 120 metros de una obra. ¿Cuántos díasdemorarán 25 obreros trabajando 10 horas diarias parahacer 100 metros de obra en un terreno de dobledificultad?

Resolución:

obreros

I

15

25

h/d

8

10

I

días

15

x

obra

120

100

dificultad

1

2

D D

1

2

120

100

10

8

25

1515x

x = 12 días

Bloque I

1. Si cinco carpinteros fabrican 40 carpetas en 12 días,¿en cuántos días dos carpinteros fabricarán 60 carpetas?

a) 30 b) 45 c) 60d) 40 e) 35

2. Tres obreros trabajando 8 horas diarias durante 12 díashan hecho 24 m de zanja, ¿cuántos hombres senecesitarán para hacer 32 m de zanja en 4 díastrabajando 6 horas diarias?

a) 16 b) 20 c) 12

d) 32 e) 8

3. Si cuatro máquinas textiles de la misma capacidadfabrican 500 chompas en 10 días, ¿cuántas chompasfabricaron dos de las máquinas durante 6 días?

a) 100 b) 200 c) 300d) 150 e) 250

4. Si 10 obreros pueden hacer una obra en doce días.¿Cuántos obreros podrán hacer el triple de la obra en10 días?

a) 12 b) 24 c) 36d) 48 e) 20

5. En ocho días cuatro costureras pueden confeccionar 240camisas, ¿cuántos obreros se necesitarán paraconfeccionar 360 camisas en 6 días?

a) 8 b) 9 c) 10d) 12 e) 16

6. Si 16 obreros con una habilidad como 4 hacen una obraen 18 días. ¿En cuántos días 12 obreros con una habilidadcomo tres harán la misma obra?

a) 36 b) 32 c) 30d) 28 e) 40

7. Una persona ha caminado 360 km en 16 días a razónde 5 horas diarias. ¿Cuántos días tardará para recorrer693 km caminando 7 horas diarias?

a) 11 b) 15 c) 22d) 27 e) 18

8. Si diez obreros pueden construir cinco casas en 40 días,¿cuántos obreros podrán construir dos casas igualesque las anteriores en 20 días?

a) 12 b) 10 c) 11d) 9 e) 8

9. Si 21 obreros se comprometen en hacer una obra en16 días, pero por una emergencia les anuncian que debeestar lista dos días antes y además deben hacer el doblede la obra.

¿Cuántos obreros adicionales deben contratarse?

a) 48 b) 27 c) 17d) 38 e) 69

10.Una agrupación de 1 600 hombres tienen víveres para10 días a razón de tres raciones diarias cada hombre.¿Cuántos días durarán los víveres si cada hombre tomados raciones diarias?

a) 20 b) 18 c) 15d) 12 e) 25

Bloque II

1. Tres gatos cazan seis ratones en nueve minutos, ¿encuántos minutos cinco gatos cazarán cinco ratones?

Rpta. __________

2. Si doce máquinas pueden producir 35 mil lapiceros en21 horas. ¿Cuántos miles de lapiceros podrán producir24 máquinas en 18 horas?

Rpta. __________






3. En un zoológico se necesitaron 720 kg de carne paraalimentar durante el mes de noviembre a cinco leones.¿Cuántos kilogramos se necesitaron para dar de comera tres leones más durante 25 días?

Rpta. __________

4. En 24 horas 15 obreros han hecho 1/4 de una obra;¿cuántas horas empleará otra cuadrilla de 30 hombresdoblemente hábiles para terminar la obra?

Rpta. __________

5. En 16 días, 9 obreros han hecho los 2/5 de una obra.Si se retiran 3 obreros, ¿cuántos días demorarán losobreros restantes para terminar la obra?

Rpta. __________

6. Veinte obreros hicieron los 3/5 de una obra en 18 días.¿Cuántos obreros se deben de contratar para terminarlo que falta de la obra en seis días?

Rpta. __________

7. Veinte obreros trabajando nueve días pueden fabricar40 mesas. ¿Cuántos días emplearán 15 obreros con lamisma eficiencia para fabricar 50 mesas?

Rpta. __________

8. Seis obreros trabajando 16 días de 10 horas diarias

pueden asfaltar 1 200 m de una autopista. ¿Cuántos díasemplearán ocho obreros trabajando ocho horas diariaspara asfaltar 1 600 m de la misma autopista?

Rpta. __________

9. Quince albañiles, en 42 días hicieron3/4 de un puente, después de esto se retiraron siete,¿en cuánto tiempo lo concluyeron los restantes?

Rpta. __________

10.Una guarnición de 500 hombres, tienen víveres para 20días a razón de tres raciones diarias. ¿Cuántas racionesdiarias tomará cada hombre si se quiere que los víveresduren cinco días más?

Rpta. __________

1. Un grupo de 8 trabajadores iban a realizar una obra en9 días, pero se retiran dos antes de empezar la obra.¿Cuántos días emplearán los trabajadores que quedanen hacer la obra?

a) 18 b) 14 c) 12d) 15 e) 10

2. Se contrató 15 peones para que hagan una zanja en 8días. Luego de tres días se incorporan 10 peones. ¿Encuántos días terminarán la obra todos los peones?

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

3. Si seis leñadores pueden talar 8 árboles en 8 días, ¿encuántos días talarán 16 leñadores 16 árboles, si estosúltimos son 1/4 menos rendidores que los anteriores?

a) 8 b) 9 c) 10d) 12 e) 16

4. Si cuatro gallinas ponen 8 huevos en 8 horas, entoncesseis gallinas, ¿cuántos huevos pondrán en 12 horas?

a) 18 b) 24 c) 12d) 9 e) 15

5. Si tres conejos comen tres zanahorias en tres minutos,

entonces un conejo comerá dos zanahorias, ¿en cuántosminutos?

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

Aut oevaluac ión



23Colegio TRILCE

TRILCE

COLEGIO

Repaso

Capít ulo VII

1. Si "A" y "B" son magnitudes proporcionalesrepresentadas en el siguiente gráfico.Hallar "2a + b"

a

4

7

B

Ab9 12

a) 24 b) 27 c) 45d) 21 e) 3

2. Si "A" y "B" son magnitudes proporcionalesrepresentadas en el siguiente gráfico.Calcular "3b

a

8

12

b

A

Ba2 6

a) 4 b) 8 c) 12

d) 9 e)

4

3

3. Si "A" es D.P. a B2 y además cuando A=8, B=2. Hallar elvalor de "A", cuando B=3.

a) 18 b) 6 c) 9d) 12 e) 15

4. Si "A" es I.P. a B y además cuando A = 5; B = 36.

Hallar el valor de "B" cuando A = 10.

a) 10 b) 10 c) 100d) 3 e) 9

Problemas para la c lase5. Si "M" es D.P. a "P" e I.P. a 3 Q .

Calcular el valor de "M", cuando P = 2 y Q = 64 si sesabe que cuando M = 16; Q = 216 y P = 6

a) 4 b) 8 c) 16d) 2 e) 64

6. En una empresa se observa que el sueldo de unempleado es D.P. al cuadrado de su edad. Si Anastaciotiene 30 años y su sueldo es S/. 1 200, ¿cuál será elsueldo de Filomeno si tiene 24 años de edad?

a) S/. 750 b) 768 c) 800

d) 900 e) 951

7. El precio de un diamante es D.P. al cuadrado de su peso.Si un diamante de 10 g cuesta $ 1 500, ¿cuánto costaráun diamante de 5 g de peso?

a) $ 750 b) 500 c) 375d) 250 e) 100

8. Al repartir $ 1 560 en forma D.P. a los números 7; 3 y 2la menor parte fue:

a) S/. 130 b) 260 c) 390

d) 520 e) 910

9. Repartir S/. 2 740 en forma I.P. a los números 1; 2; 3;4 y 5 e indicar la mayor parte:

a) S/. 120 b) 150 c) 900d) 450 e) 1 200

10.Un señor decide gastar toda su gratificación de medioaño en sus cuatro hijos de manera proporcional a susedades que son: 6; 7; 9 y 11 años. Si en el menor gastóS/. 240, ¿cuánto gastó en el segundo de los hermanos?

a) S/. 280 b) 320 c) 400d) 360 e) 450

11.Un abogado repartió una herencia de S/. 24 000directamente proporcional a las edades de 3 hermanosque son: 64; 52 y 44 años. ¿Cuánto recibió el hermanomenor?

a) S/. 3 300 b) 2 400 c) 6 600d) 4 800 e) 5 400

12.Al repartir "N" en forma inversamente proporcional alos números 15; 30 y 45 se obtuvo que la suma de la

parte mayor y menor fue 456. Hallar "N"

a) 627 b) 684 c) 527d) 762 e) 672





• Enunciado (13 al 16)Se desea repartir las ganancias en forma proporcionalal capital y al tiempo que permanecieron en el negocio.

Socio Capital Tiempo$ (meses)

Paul Granthon 3 000 12Giancarlos 5 000 12Bryan Puch 2 000 8

Víctor Toledo 4 000 8 Víctor Torres 7 000 1

13.Si las ganancias fueron de $ 16 761, ¿cuánto lecorresponde a Víctor Torres?

a) $ 1 440 b) 1 554 c) 777d) 2 331 e) 3 108

14.¿Cuánto de esa ganancia, le correspondería a Paul

Granthon?

a) $ 3 999 b) 3 996 c) 3 494d) 3 969 e) 3 096

15.Si todos hubieran permanecido el mismo tiempo en elnegocio. ¿Cuánto le correspondería a Giancarlos

Villalobos de una ganancia de $ 11 550?

a) $ 1 650 b) 3 850 c) 1 100d) 2 200 e) 2 750

16.En el mismo caso anterior (sin considerar el tiempo),¿cuál es la diferencia entre las ganancias de Bryan Puchy Víctor Toledo?

a) $ 1 650 b) 3 850 c) 1 100d) 2 200 e) 2 750

17.Se necesitaron 5 obreros para hacer una obra en 8días, ¿cuánto hubieran demorado 4 obreros?

a) 6 días b) 10 c) 12d) 11 e) 9

18.Tres caños demoraron 12 min para llenar un depósito,¿cuánto hubieran demorado 4 caños?

a) 15 min b) 8 c) 10d) 12 e) 9

19.Tres caños demoraron 12 min para llenar un depósito.¿Cuántos caños llenarían el depósito en 4 minutos?

a) 9 b) 8 c) 6d) 10 e) 12

20.Con 40 kg de cemento se puede hacer 8 m2 de pared,

¿cuántos m2 de pared se podrían hacer con 60 kg decemento?

a) 13 b) 10 c) 11d) 12 e) 15

21.Un grupo de 10 cocineros iban a demorar 8 horas enpreparar la comida de un banquete. Luego de 2 horasse retiran 4 cocineros; ¿en qué tiempo terminarán lacomida los cocineros que quedan (en horas)?

a) 12 h b) 10 c) 8d) 9 e) 15

22.Un grupo de nueve obreros se comprometieron enrealizar una obra en 12 días. Luego de 4 días de trabajose retiran 3 obreros, ¿en qué tiempo terminarán la obralos obreros que quedan?

a) 12 b) 14 c) 10d) 13 e) 11

23.Si 16 obreros se comprometen en hacer una obra en18 días trabajando 10 h/d. ¿Cuántos días demoran siantes de empezar la obra renuncian 4 obreros y los

restantes deciden trabajar 12 h/d?

a) 8 b) 10 c) 15d) 16 e) 20

24.Cuatro máquinas textiles de la misma capacidad puedenfabricar 600 chompas en 12 días trabajando 8 hrs diarias.¿Cuántas chompas podrán fabricar 3 de las máquinasen 16 días trabajando sólo 6 horas diarias?

a) 350 b) 800 c) 600d) 650 e) 400

Departamento de PublicacionesTRILCE

COSI2SLIAR3B-04.p65-JY




I. Estadística II (Gráficos) ..................................................................................................... 33

II. Porcentaje I .................................................................................................................... 39

III. Porcentaje II ................................................................................................................... 43

IV. Complemento de Estadística y Porcentaje ........................................................................... 45

V. Porcentaje III (Aplicaciones comerciales) ........................................................................... 49

VI. Interés simple ................................................................................................................. 53

VII. Repaso ........................................................................................................................... 57

Aritmética

ÍNDICE

Departamento de PublicacionesTRILCE

COSI2SLIAR4B-05.p65



33Colegio TRILCE

TRILCE

COLEGIOEst adíst ic a II

(Gráf icos)

Capít ulo I

I. Gráfico de barras

Ejemplo

A continuación se muestra el sueldo proyectado de unapersona durante el año 2005.

Sueldo(cientos de soles)

8

1011

1315

16

20

Mes

E F M A M J J A S O N D

1. ¿En qué mes ganó menos?

___________________________________________

2. ¿En qué mes ganó más?

___________________________________________

3. ¿Cuál fue su sueldo promedio durante el año 2005?

___________________________________________

4. ¿En cuántos meses ganó más del sueldo promedio?

___________________________________________

II.Gráfico de barras adecuadas

Ejemplo:

A continuación se muestran la población de hombresy mujeres de cierta localidad, durante el período 2002-2005.

# población(miles)

2002 2003 2004 2005

10

5

15

8

20

10

15

25

hombres

mujeres

1. ¿Cuál fue la población en 2002?

___________________________________________

2. ¿Cuál era la población en 2004?

___________________________________________

3. ¿En cuánto aumenta la población de hombres del año2003 al año 2005?

___________________________________________

4. Del año 2002 al año 2005 la población de mujeres¿aumentó o disminuyó? ¿en cuánto?

___________________________________________

III. Gráfico lineal

Ejemplo:

Rendimiento de la cosecha "x", a diferentestemperaturas e intensidades luminosas.

10

20

30

40

50

60

10 20 30 40 50

Rendimiento (%)

Temperatura (°C)

A

BC

I. Intensidad luminosa AII. Intensidad luminosa BIII. Intensidad luminosa C

1. El máximo rendimiento, con intensidad luminosa A,se alcanza aproximadamente con una temperaturade:

___________________________________________

2. ¿Qué rendimiento se alcanza, aproximadamente conuna temperatura de 30 °C e intensidad luminosa C?

___________________________________________



34Segundo Año de Secundaria

Estadíst ic a I I (Gráf icos)

3. Para una mejor cosecha, ¿qué intensidad luminosaconviene y a qué temperatura?

___________________________________________

IV. Sector circular

Ejemplo:

En una encuesta se obtuvo la siguiente información,acerca del consumo de los productos "A", "B", "C","D" y "E"; de un total de 200 personas encuestadas.

30 % 10 %5 %

15 %

40 %

B

C

D

E

A

1. ¿Qué porcentaje de los consumidores prefiere más elproducto "A" que el producto "C"?

___________________________________________

2. ¿Cuántos de los encuestados prefieren el producto"B"?

___________________________________________

3. ¿Qué porcentaje de los consumidores prefieren másel producto "C" que el producto "E"?

___________________________________________

4. ¿Cuántos de los encuestados prefieren los productos"D" y "E"?

___________________________________________

Problema s para la c lase

Enunciado 1

• La siguiente gráfica muestra el volumen de ventaobtenido durante los seis primeros meses del año, deun equipo de vendedores.

Cantidadde artículos

e n e r o

f e b r e r o

15 000

20 000

25 000

30 000

35 000

40 000

m a r z o

a b r i l

m a y o

j u n

i o Mes

45 000

1. ¿Cuál es el volumen total de venta, durante esta"Campaña de Medio Año"?

a) 160 000 b) 220 000c) 200 000 d) 190 000e) 242 000

2. Indicar el promedio (aprox.) de venta mensual duranteesta campaña.

a) 28 828 b) 33 300

c) 33 333 d) 30 300e) 30 000

3. ¿Durante cuántos meses el volumen de venta estuvosobre el promedio mensual?

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 1

4. ¿Cuál es el máximo volumen de venta logrado a lolargo de toda la campaña, durante un mes?

a) 35 000 b) 40 000 c) 45 000d) 50 000 e) 60 000





5. ¿Entre qué meses el volumen de venta tuvo la caídamás apreciable?

a) mayo y junio b) enero y febreroc) marzo y abril d) abril y mayoe) mayo y enero

Enunciado 2

• La inflación en un país mostró la siguiente evoluciónentre febrero y junio:

Tasa deinflación (%)

F A M JM

10

3050

70

90

Mes6. Halla la inflación promedio durante el periodo febrero-

junio. (aprox.)

a) 30 % b) 40 % c) 45,5 %

d) 66,5 % e) 36 %7. ¿Cuál será la inflación de julio según la tendencia

mostrada?

a) 100 % b) 120 % c) 130 %d) 150 % e) 180 %

Enunciado 3

• El gráfico muestra la producción (en toneladas) de dostubérculos, en tres meses del año.

Producción (toneladas)

5

10

15

20

25

Mes

30

35

papa

camote

E n e r o

F e b r e r o

M a r z o

8. ¿En qué porcentaje desciende la producción de camoteentre febrero y marzo?

a) 40 % b) 25 % c) 33 %d) 45 % e) 20 %

9. ¿Cuál fue la producción total de papa (en toneladas)

en los tres meses?

a) 60 b) 50 c) 80d) 70 e) 45

10.¿Qué porcentaje más de camote, con respecto a lapapa, se produce en enero?

a) 40 % b) 50 % c) 45 %d) 30 % e) 10 %

Enunciado 4

• El gráfico muestra la producción (en toneladas) dearroz y cebada, en tres meses del año:

Producción (toneladas)

510

15

20

25

Mes

30

cebada

arroz

E n e r o

F e b r e r o

M a r z o

11.¿En qué porcentaje desciende la producción de arrozentre febrero y marzo?

a) 40 % b) 25 % c) 33,3 %d) 45 % e) 20 %

12.¿Cuál fue la producción total de cebada (en toneladas)en los tres meses?

a) 60 b) 50 c) 80d) 70 e) 45

Enunciado 5

• Sony analiza las ventas de TV de 43" en LimaMetropolitana, en las últimas ocho semanas. Lainformación se muestra a continuación:





5

10

15

20

25

30

1 2 3 4 5

# de TVvendidos

Semana

35

6 7 8

13.¿Cuántos TV se vendieron en las tres primeras semanas?

a) 55 b) 60 c) 65d) 70 e) 75

14.¿En qué semana se vendió un mayor número detelevisores?

a) segunda b) tercera c) cuartad) quinta e) sexta

15.¿En qué semana hubo una mayor variación en lasventas?

a) 3ra y 4ta b) 5ta y 6ta c) 1ra y 2dad) 6ta y 7ma e) 2da y 3ra

16.¿Cuál es el promedio de TV que se vende por semana?

a) 19,75 b) 19,25 c) 18,25d) 18,75 e) 19,5

Enunciado 6

• La siguiente gráfica muestra la temperatura de unpaciente en el Hospital del Niño, durante el transcursode 12 horas:

34°

35°

36°

37°

38°

39°

8 10 2 46 a.m. 6 p.m.

40°

12:00 m.

17. ¿A qué hora alcanzó el paciente la temperatura máximaobservada?

a) 1 p.m. b) 2 c) 3d) 4 e) 5

18.¿Durante qué período tuvo el paciente más de 37° detemperatura?

a) De 10 a.m. a 6 p.m. b) De 8 a.m. a 6 p.m.

c) De 2 p.m. a 6 p.m. d) De 11 a.m. a 5 p.m.e) De 8 a.m. a 4 p.m.

19.¿Cuál fue aproximadamente la temperatura delpaciente a las 11 a.m.?

a) 37° b) 38,5° c) 37,5°d) 36° e) 38°

20.¿Cuál fue la temperatura que más veces se presentóen el paciente?

a) 36° b) 37° c) 38°d) 39° e) 40°

21.¿A qué hora alcanzó el paciente la temperatura mínimaobservada?

a) 6 a.m. b) 8 a.m. c) 12m.d) 2 p.m. e) 10 a.m.

Enunciado 7

• En el siguiente gráfico circular se muestra losresultados de una encuesta acerca de las preferencias

de ciertos géneros musicales, sobre un total de 800encuestados.

Rock 30 %

Criollo10 %

o t r o s 5 %

Balada20 %

Salsa35 %

22.¿Cuántos más prefieren salsa que rock?

a) 280 b) 240 c) 256d) 80 e) 40

23.¿Cuántos de los encuestados prefieren más salsa yrock, que los demás géneros musicales?

a) 280 b) 520 c) 480

d) 360 e) 24024.¿Qué parte de los que no prefieren balada, representan

los que sí la prefieren?





a)51

b)4

1c)

31

d) 21

e)81

25.¿Cuál es el ángulo central que tiene la porción debaladas?

a) 36° b) 72° c) 49°d) 20° e) 40°

Enunciado 8

• El siguiente gráfico nos muestra la distribución decomponentes en el cuerpo humano.

15 %Proteínas

15 %Otros

materialessecos

70 %Agua

26.¿Qué fracción representan las proteínas y el agua?

a)51

b)2017

c)201

d)203

e)21

27.De acuerdo a este gráfico, una persona de 80 kg depeso, ¿de qué peso de agua estaría compuesta?

a) 48 kg b) 40 c) 24d) 56 e) 68

Enunciado 9

• La empresa "Super Cable" realiza un estudio paraconocer cuántos de los televisores de una casa utilizansu servicio, para ello visita a 100 clientes y obtuvo lossiguientes resultados:

Número de CantidadTV conectados de hogares

1 30

2 353 20

4 15

28.¿Qué porcentaje de los hogares tienen más de un TVconectado al servicio?

a) 70 % b) 60 % c) 65 %d) 75 % e) 80 %

29.¿Cuál es el número promedio de TV conectados?

a) 2,1 b) 2,2 c) 2,3d) 2,35 e) 2,4

30.Si la instalación del primer TV es gratis y por cada TVadicional se cobra $ 10, ¿cuál ha sido el ingreso porinstalación en los 100 hogares analizados?

a) $ 1 100 b) 1 000c) 1 150 d) 1 200e) 1 250

Enunciado 10

• La tab la muestra las temperaturas máximasregistradas durante una semana del mes de abril.

Día Temperatura (°C)

Lunes 25°

Martes 28°

Miércoles 30°

Jueves 26°

Viernes 24°

Sábado 15°

Domingo 20°

31.El mayor y menor dato registrado corresponden a losdías:

a) lunes y miércoles b) jueves y sábadoc) martes y sábado d) martes y domingoe) miércoles y sábado

32.La temperatura promedio (media aritmética) en dicha

semana fue:a) 25° b) 24° c) 22,5°d) 23,2° e) 25,6°

33.Si un día se considera frío cuando la temperaturamáxima registrada es menor que el valor promedio,¿cuántos de estos días fueron fríos?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

34.La temperatura máxima observada diariamente fue

decreciente:

a) a partir del miércolesb) de martes a jueves





c) de viernes a domingod) de miércoles a sábadoe) de jueves a viernes

35.La temperatura "mediana", es decir la que ocupa elcentro cuando todas se ordenan de menor a mayor,corresponde al:

a) lunes b) martes c) miércolesd) jueves e) viernes

Enunciado 11

10

15

20

25

30

35

B C D E F A

• El diagrama anterior muestra la superficie de algunaszonas geográficas en millones de km2.Donde:

A = África B = AsiaC = Europa D = EE.UU.E = Oceanía F = Sudamérica

36.Entre Europa y Estados Unidos tienen aproxima-damente (en millones de km2):

a) 35 b) 25 c) 20d) 32 e) 40

37.¿Por cuántos millones de km2 excede la superficie de Asia a Oceanía?

a) 10 b) 18 c) 15d) 8 e) 12

38.África contiene, en proporción, a la superficie deOceanía:

a) igual b) el doble

c) el triple d)2

11 veces

e)2

12 veces

39. ¿ C u á n t o s m i l l o n e s d e k m

2 le falta a la superficie deOceanía, para igualar a la superficie de Sudamérica?

a) 8 b) 10 c) 6d) 12 e) 5

Enunciado 12

• En el país se ha extraído, durante ocho años, lassiguientes cantidades anuales de cobre:

Año toneladas

1998 40

1999 70

2000 100

2001 130

2002 1602003 190

2004 220

2005 250

50

100

150

200250

300

99 00 01 02 0398

350

04 05 06

Cobre (toneladas)

Año

40.Se puede asegurar que la producción en el año 2006:

a) Disminuirá.

b) Será igual que el año anterior.c) Será de 280 toneladas.d) No se puede asegurar cuál será la producción.e) Ninguna de las anteriores.



39Colegio TRILCE

TRILCE

COLEGIOPorc enta je I

Capít ulo I I

Tanto por Ciento

Si una cantidad se divide en 100 partes iguales, cada

parte representa1001 del total, que se puede representar

por 1 %, al que denominaremos "uno por ciento".

Así por ejemplo: El cuadrado grande ha sido dividido en100 partes iguales, donde la parte sombreada es:

%25100

1.25

100

25

Y la parte no sombreada es:

%75100

1.75

100

75

* Porcentajes notables

• 1100

100%100

(Es igual al total)

•2

1

100

50%50

(Es igual a la mitad del total)

•4

1

100

25%25

(Es igual a la cuarta parte del total)

•4

3

100

75%75

(Es igual a los43 del total)

•51

10020%20

(Es igual a la quinta parte del total)

* Cálculo de porcentajes

1. Porcentaje de una cantidad

N.100

aNde%aEl

Ejemplos:

a. El 30 % de 1550.1003050

b. El 13 % de 100 =

c. El 40 % de 75 =

d. El 115 % de 48 =

2. Cuando se tenga porcentaje de porcentaje; unaforma práctica es convertir cada uno a fracción yluego se efectúa la multiplicación.

Ejemplos:

a. Calcular el 15 % del 20 % de 1 200.

36200110020

10015

b. Calcular el 20 % del 30 % del 10 % de 10 000.

c. Calcular el 50 % del 20 % de 90.

d. Calcular el 40 % del 25 % del 9 % de 130.

e. Calcular el 125 % del 40 % de 7 000.

3. Los porcentajes se pueden sumar o restar si sonreferidos a una misma cantidad.

Ejemplos:

a. 10 % A + 20 % A = 30 % A

b. 23 % N + 46 % N =

c. B + 13 % B =

d. N - 13 % N =e. Cuánto obtenemos si:

* 20 aumenta en 10 % =

* 30 aumenta en 80 % =




Porc enta je I

* 75 disminuye en 20 % =

* 60 disminuye en 5 % =

4. En algunos casos para el cálculo de porcentajes

es conveniente emplear una Regla de Tres simpledirecta. Toda cantidad referencial, respecto a lacual se va calcular un porcentaje, se consideracomo el cien por ciento (100 %).

Ejemplos:

a. ¿Qué porcentaje es 133 de 380?

cantidad porcentaje

380 100 %

133 x

%35380

%100133x

b. ¿De qué cantidad es 520 su 65 %?

cantidad porcentaje

520 65 %

x 100 %

%65

%100520x

c. En un aula de 50 estudiantes 30 son mujeres, ¿quéporcentaje representan?

cantidad porcentaje

50 100 %

30 x

x =

Nivel I

1. Representa los siguientes "Tanto por Ciento" comofracción:

a. 20 % =

b. 55 % =

c. 80 % =

d. 120 % =

e. 5 % =

2. Representa como "Tanto por Ciento" las siguientesfracciones:

a.54

b.43

c. 20

3

d.25

17

e.10

7

3. Calcular los siguientes porcentajes:

a. El 15 % de 100 =

b. El 8 % de 10 =

c. El 17 % de 400 =

d. El 23 % de 4 500 =

e. El 45 % de 900 =

4. Cuánto obtenemos si:

a. 800 aumenta en un 20 %.

b. 700 aumenta en 30 %.

c. 150 disminuye en 40 %.

d. 1 100 disminuye en 10 %.





Porc enta je I

e. 240 disminuye en 90 %.


a. El 20 % del 50 % de 100.

b. El 15 % del 60 % de 4 800.

c. El 30 % del 10 % del 13 % de 10 000.

d. El 80 % del 60 % del 50 % de 25.

6. ¿Qué porcentaje de 40 es el doble de 4?

Rpta.: ________

7. ¿Qué porcentaje de 440 es 1 100?

Rpta.: ________

8. ¿Qué porcentaje es 330 de 1 100?

Rpta.: ________

9. ¿De qué cantidad es 819 su 18 %?

Rpta.: ________

10.¿Qué porcentaje del 4 % de 50 es el 8 % de 200?

Rpta.: ________

Nivel II

1. En el almacén de una escuela se malograron ochobolsas de leche de las 25 que había, ¿qué porcentajede bolsas de leche se malogró?

a) 30 % b) 32 % c) 70 %d) 68 % e) 20 %

2. De las 10 flores que Paúl le regaló a Carla tres eranrosas, ¿qué porcentaje representan las rosas?

a) 20 % b) 25 % c) 30 %d) 35 % e) 70 %

3. El 55 % de estudiantes del colegio TRILCE son mujeres.Si el colegio tiene una población total de 1 200 alumnos,¿cuántos de ellos son hombres?

a) 550 b) 650 c) 700d) 540 e) 640

4. En una granja hay 80 000 aves. Se sabe que el 50 %son gallinas; el 35 % patos y el resto pavos. Debido a

una rara enfermedad se van a sacrificar al 10 % de lasgallinas, al 35 % de los patos y al 50 % de los pavos.¿Cuántas aves quedarán en la granja?

a) 60 000 b) 62 000 c) 60 020d) 26 000 e) 60 200

5. En una reunión el 42 % de los asistentes son mujeres.Si el número de hombres es 87, ¿cuántas personasen total asistieron a la reunión?

a) 130 b) 120 c) 160d) 150 e) 200

6. El 20 % del 30 % de 500 es igual al número ab .Hallar "a × b".

a) 6 b) 12 c) 18d) 0 e) 15

7. Rubí por el día de su cumpleaños recibe S/. 200 depropina, gasta el 30 % en un polo y luego gasta el50 % de lo que le queda en un pantalón, ¿cuántodinero aún le queda?

a) S/. 70 b) 60 c) 40d) 20 e) 120

8. La edad de Gabriela es el 90 % de la edad de Andrea.Si la edad de Andrea es el 80 % de la edad de Carlos,

¿qué edad tiene Gabriela, si Carlos tiene 25 años?

a) 12 años b) 18 c) 16d) 24 e) 20

9. De una granja se obtienen los siguientes datos:

N° de gallinas: 900N° de pollos: 1 500N° de gallos: 9N° de pavos: 1 191

¿Qué porcentaje del total son las gallinas?

a) 20 % b) 25 % c) 30 %d) 40 % e) 18 %

10. ¿Qué porcentaje aproximadamente del totalrepresentan los pavos?

a) 25 % b) 2,5 % c) 0,25 %d) 0,025 % e) 33,3 %

11. Una familia tiene ingresos mensuales de S/. 3 200 yla distribución de sus gastos se muestra en el siguientegráfico:




Porc enta je I

20 %educación

45 %alimentos

10 %salud

10 %vivienda

1 0 %

v e s t i d o

5 % a h

o r r o

a. ¿Cuánto gastan en alimentos?

b. Luego de un año, ¿cuánto podrán ahorrar?

c. ¿Cuánto gastan mensualmente en educación?

1. Calcular el 20 % del 30 % de 2 400

a) 288 b) 168 c) 72d) 96 e) 144

2. ¿Qué porcentaje de 60 es el doble de 3?

a) 10 % b) 20 % c) 30 %d) 14 % e) 15 %

3. ¿De qué número es 126 su 30 %?

a) 420 b) 520 c) 240d) 478 e) 378

4. Calcular el 30 % del 4 por 8 de 1 000.

a) 240 b) 200 c) 150d) 180 e) 300

5. De las 12 flores que Joel le regaló a Lucía, tres eranrosas. ¿Qué porcentaje representan las rosas?

a) 30 % b) 25 % c) 60 %d) 55 % e) 75 %



43Colegio TRILCE

TRILCE

COLEGIOPorc ent a je I I

Capít ulo I I I

Aumentos sucesivos

Ejemplos:

1. ¿A qué aumento único equivale los descuentos sucesivosdel 5 %; 20 % y 40 % de una misma cantidad?

Solución:

Inicial: 100 %

1er. aumento 5 % : 105 % (Nuevo total)2do. aumento 20 % de lo anterior:

[120 % (105 %)] → Nuevo total3er. aumento 40 % de lo anterior:

140 % [120 % (105%)] → Total

Luego de los aumentos sucesivos se tiene:

%4,176100

4,176

100

105

100

120

100

140==××

Aumento único: 176,4 % - 100 % Aumento único: 76,4 %

2. Yuli en el mes de enero gana S/. 800. Si en febrero leaumentan un 20 % y en julio, recibe un nuevo aumentodel 20 %, ¿cuánto ganará luego del segundo aumento?

Solución:

Inicial 100 %

1er. aumento 20 % : 120 % (Nuevo total)2do. aumento 20 % de lo anterior:

[120 % (120 %)] → Nuevo total3er. del total: 800

[120 % (120 %)] × 800

8144800100

120

100

120×=××

= S/. 1 152

Respuesta: Ganará S/. 1 152

Descuentos sucesivos

Ejemplos:

1. ¿A qué descuento único equivale los descuentos

sucesivos de 5 %; 10 % y 20 %?

Solución:

Inicial 100 %

1er. descuento 5 % queda: 95 %

2do. descuento 10 % entonces queda ahora:

90 %(95 %)

3er. descuento: 20 % de

Queda: 80 % [90 % (95 %)]

Luego del tercer segundo, sólo resta:

%4,68100

4,68

100

95

100

90

100

80==××

Por lo que el descuento único sería:100 % - 68,4 % = 31,6 %

2. Pilar vende su casa en 100 000 soles gasta el 20 %de lo que tiene, luego el 30 % de lo que le queda ypor último gasta el 40 % del nuevo resto. ¿Cuántodinero le queda?

Solución:

Inicial es 100 %

1er. descuento: 20 % queda: 80 %2do. descuento: 30 % entonces ahora le queda

70 % (80 %)3er. descuento: 40 % de lo que tiene: queda:

60 % [70 % (80 %)]4to. del total: 100 000

{60 % [70 % (80 %)]} × 100 000

000100100

80

100

70

100

60×××

S/. 33 600

Respuesta: Aún le queda S/. 33 600

Nivel I

I Determinar en cada caso el aumento único

equivalente a los aumentos sucesivos de:

1. Del 8 % más el 50 %

a) 26 % b) 34 % c) 62 %

d) 75 % e) 82 %

2. Del 5 % y el 80 %

a) 49 % b) 98 % c) 56 %

d) 89 % e) 37 %

3. Del 20 % más el 60 %

a) 29 % b) 52 % c) 43 %

d) 78 % e) 92 %

4. Del 5 %; 25 % y 28 %

a) 34 % b) 68 % c) 57,1 %

d) 86 % e) 58 %



45Colegio TRILCE

TRILCE

COLEGIOComplem ent o de Est adís t ic a y

Porcenta je

Capítu lo IV

Enunciado 1

La tabla muestra la distribución de 100 empleados deacuerdo a su salario semanal. Completa la tabla yresponde a las siguientes preguntas:

SalarioSoles

f i Fi hi Hi

[100; 120>

[120; 140>

[140; 160>

[160; 180>

[180; 200]

8

20

36

20

64

n =

h %i

1. Calcular: f 3 + F4

a) 20 b) 64 c) 84d) 72 e) 96

2. ¿Qué porcentaje de los empleados gana menos deS/. 160 semanales?

a) 8 % b) 20 % c) 40 %d) 64 % e) 75 %

3. ¿Cuántos trabajadores ganan S/. 160 a más?

a) 12 b) 18 c) 60d) 24 e) 36

4. ¿Quié porcentaje gana menos de S/. 120?

a) 8 % b) 12 % c) 20 %d) 16 % e) 24 %

5. ¿Cuáles son los límites del intervalo de mayorfrencuencia?

a) [100; 120> b) [120; 140>c) [140;160> d) [100; 180>e) [180; 200]

Enunciado 2

De un grupo de "n" personas se obtuvo la siguienteinformación, respecto a su preferencia de cierta bebidagaseosa.

Edades f i Fi hi Hi

[10; 20>

[20; 30>

[30; 40>

[40; 50>

[50; 60>

10

12

5

n =

0,2

0,16

6. Hallar "F3"

a) 10 b) 33 c) 25d) 40 e) 45

7. ¿Cuál es la frencuencia relativa del intervalo de mayorfrencuencia?

a) 0,1 b) 0,24 c) 0,16d) 0,3 e) 0,4

8. ¿Cuántas personas menores que 50 años prefierendicha bebida gaseosa?

a) 45 b) 24 c) 40d) 30 e) 20

9. ¿Qué porcentaje de las personas menores de 30 añosprefieren dicha bebida gaseosa?

a) 10 % b) 14 % c) 24 %d) 30 % e) 50 %

10.¿Qué porcentaje de las personas que tienen 40 ó másprefieren la bebida gaseosa?

a) 20 % b) 40 % c) 34 %d) 10 % e) 24 %




Complement o de Estadís t i c a y Porcenta je

Enunciado 3

La gráfica señala la cantidad de pacientes atendidosdurante el primer semestre del año:

# de pacientes

4 000

3 000

2 000

1 000

Ene Feb Mar Abr May Jun

Mes

11.¿En qué mes se atendieron más pacientes?

a) Enero b) Febrero c) Marzo

d) Junio e) Julio

12.¿Cuántos pacientes se atendieron entre los meses deenero y marzo inclusive?

a) 6 500 b) 5 000 c) 5 500d) 7 000 e) 4 500

13.La menor cantidad de pacientes atendidos se produjodurante el mes de:

a) Abril b) Mayo b) Marzo

d) Junio e) EneroEnunciado 4

El siguiente gráfico nos muestra la producción de papadel departamento de Huancayo, en los últimos cuatro años.

Toneladasde papa

2002 2003 2004 2005

años

50

80

40

90

14.¿Cuántas toneladas de papa se produjo en dichodepartamento en el periodo 2002 - 2005?

a) 148 b) 250 c) 238d) 170 e) 260

15.¿En qué porcentaje disminuyó la producción del año 2003al 2004?

a) 20 % b) 30 % c) 40 %d) 50 % e) 60 %

16.En el 2004, el 30 % de la producción se utilizó en laelaboración de "bocaditos". ¿Cuántas toneladas sedestinó a otros usos?

a) 28 b) 42 c) 56d) 63 e) 72

17.¿Cuántas toneladas más se produjo en el periodo2002 - 2003, respecto al periodo 2004 - 2005?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 0

18.Si el 20 % de la producción del año 2002 se exportó,¿cuántas toneladas quedaron?

a) 30 b) 40 c) 55d) 50 e) 70

19.Hallar el 20 % del 30 % del 50 % de 12 000.

a) 140 b) 260 c) 360d) 480 e) 3 600

20.¿Cuánto se obtiene si 870 disminuye en su 90 %?

a) 17 b) 24 c) 48d) 87 e) 218

21.Hallar "A - B", si: A = 30 % de 600B = 20 % de 800

a) 100 b) 140 c) 80d) 40 e) 20

22.Calcular el 20 % del 30 % del 40 por 20 de S/. 2 400.

a) S/. 176 b) 288 c) 576d) 1 152 e) 1 440

23.Al aumentar 5 800 en su 13 %, obtenemos:

a) 6 554 b) 6 645 c) 6 545

d) 5 654 e) 6 50024.¿Cuánto se obtiene si 240 disminuye en 90 %?

a) 48 b) 24 c) 216d) 256 e) 12

25.¿Qué porcentaje de 1 200 es el 2 % de 200?

a) 2 % b) 1 % c) 0,3 %d) 0,6 % e) 3 %

26.A una reunión asistieron 18 caballeros, los cualesrepresentan al 9 % del total de asistentes, ¿cuántaspersonas asistieron a dicha reunión?




Complement o de Estadís t i c a y Porcenta je

a) 100 b) 150 c) 200d) 250 e) 300

27.Si tuviera 25 % más de la edad que tengo tendría 30años, ¿qué edad tenía hace cinco años?

a) 12 años b) 19 c) 24

d) 28 e) 17

28.En una granja el 30 % de los animales son pollos, el40 % del resto son pavos y los 210 animales restantesson patos. ¿Cuántos animales hay en total?

a) 420 b) 500 c) 630d) 1 000 e) 1 200

29.Al aumentar el precio de la localidad de un espectáculoen el 20 % la asistencia bajó en el 10 % entonces larecaudación.

a) No variób) Aumentó en el 10 %c) Aumentó en el 20 %d) Bajo en el 10 %e) Aumento en el 8 %

30.Un novato comerciante quiere vender un objeto

aumentándolo en un 20 %, pero luego de unos díasrebajo este precio en un 10 % y a la semananuevamente aumenta el precio recién fijado en un40 %, decidiendo al día siguiente rebajar un 20 % deeste último precio. ¿Podría usted determinar si estecomerciante está ganando, perdiendo y en quéporcentaje?

a) Gana 10,6 % b) Pierde 6,8 %c) Gana 20,96 % d) Pierde 12,45 %e) No gana ni pierde



49Colegio TRILCE

TRILCE

COLEGIOPorc ent a je I I I

(Ap l icac iones c omerc ia les)

Capít ulo V

Para las transacciones comerciales los términos que

se utilizan son los siguientes:

Pv Precio de venta

Pc Precio de costo

G Ganancia

P Pérdida

Pf Precio fijado. Precio de lista (PL)

D Descuento

Casos

1. Si en la transacción comercial hay ganancia:

Pv = Pc + G Pv > Pc

2. Si en la transacción comercial se origina pérdida:

Pv = Pc - P Pv < Pc

3. Si en la transacción comercial se hace un descuento:

Pv = Pf - D

Observaciones

1. Todo porcentaje de ganancia o pérdida que no refiera

unidad se sobreentiende que es referida al precio de

costo.

jemplo

Se vende un artefacto en $ 600 ganando el 20 %.

¿Cuál era el precio de costo?

Solución:

Sabemos que cuando hay ganancia la venta se

compone de:

Pv = Pc + G

La ganancia es el 20 % ¿de qué?, como no nos dicen

se supone que es del costo.

Reemplazando los datos tenemos:

600 = Pc + 20 % Pc

600 = 120 % Pc

Pc100

120600

Pc = $ 500

2. Todo descuento, mientras no se diga nada será

referida al precio de lista.

jemplo

El precio de un pantalón se ha fijado en $ 50 pero

esta semana está con el 30 % de descuento. ¿Cuál

será el precio de venta?

Solución:

Si hay descuento, sabemos que:

Pv = Pf - D

Pv = Pf - 30 % Pf

Pv = 70100

x 50 Pv = $ 35

3. Al fijar el precio de un artículo se está incluyendo enél, el costo, la ganancia y el descuento que se piensehacer. Así:

Pf = Pc + G + D

Ejemplo:

¿Qué precio se debe fijar a una computadora que costó$ 460, de tal manera que al venderlo se haga undescuento de $ 120 y aún así se esté ganando $ 180?

Solución:

Tenemos los siguientes datos:

Pc = $ 460 G = $ 180D = $ 120 Pf = ?

Sabemos que:

Pf = Pc + G + D

Pf = 460 + 180 + 120

Pf = $ 760




Porcenta je I I I (Ap l i cac iones com erc ia les)

Problema s para la c lase

Nivel I

1. ¿Cuánto costó un televisor que al venderlo en $ 390deja una pérdida de $ 72?

a) $ 318 b) 462 c) 534d) 300 e) 372

2. Se compra un artículo y luego se vende ganandoS/. 237, ¿cuál es el precio de costo del artículo, si sevendió en S/. 1 015?

a) S/. 778 b) 1 252 c) 780d) 890 e) 1 200

3. Se compra una motocicleta en $ 500. Si se quiereganar la mitad del costo, ¿a cómo debemos venderla?

a) $ 250 b) 500 c) 750d) 1 000 e) 800

4. Al vender una refrigeradora en $ 600 se está ganandola mitad del precio de costo. ¿Cuánto costó larefrigeradora?

a) $ 300 b) 400 c) 450d) 500 e) 200

5. Se fija el precio de una casa en $ 24 000 de tal manera

que al venderlo se hará un descuento de $ 2 100 yaún así se estará ganando $ 4 300. ¿Cuál es el preciode costo de la casa?

a) $ 17 600 b) 26 200c) 21 900 d) 19 700e) 18 600

6. Indicar el precio de costo en cada caso.

I. Pv = S/. 7 800G = S/. 1 500

II. Pv = S/. 4 500P = S/. 1 500

III.G = S/. 800D = S/. 200Pf = S/. 8 000

¿Cuál es el mayor?

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo IIId) I y III e) Son iguales

7. Indicar en qué caso el precio de venta es mayor.

I. Pc = S/. 7 528G = S/. 672

II. Pc = S/. 8 950P = S/. 2 000

III.Pf = S/. 7 290D = S/. 380

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo IIId) II y III e) Son iguales

8. Una computadora cuesta $ 300 más 1/4 de su valor.¿Cuánto cuestan dos computadoras?

a) $ 600 b) 400 c) 2 400d) 800 e) 1 200

9. Se vende un objeto en S/. 2 400 ganando 2/3 de loque costó. ¿Cuánto fue ese precio de costo?

a) S/. 1 200 b) 600 c) 1 440d) 900 e) 1 600

10.¿Qué precio se debe fijar a un artefacto que costóS/. 360 de tal manera que al venderlo se haga undescuento de S/. 80 y aún así se esté ganando la

mitad de lo que costó?

a) S/. 380 b) 600 c) 560d) 480 e) 620

Nivel II

1. ¿A cómo se debe vender un artículo que costó $ 200para ganar el 30 %?

a) $ 230 b) 260 c) 170d) 250 e) 300

2. ¿Cuánto costó un televisor, si al venderlo en $ 480deja una ganancia del 20 %?

a) $ 400 b) 450 c) 440d) 460 e) 500

3. ¿Cuánto costó un DVD si al venderlo en $ 130 seestá perdiendo el 35 % del precio de costo?

a) $ 100 b) 200 c) 180d) 165 e) 185

4. Si Sandra María compra un pantalón en S/. 80 y lovende a S/. 92; ¿qué porcentaje del costo es laganancia?




Porcenta je I I I (Ap l i cac iones com erc ia les)

a) 15 % b) 12 % c) 30 %d) 5 % e) 16 %

5. ¿Qué precio se fijó a un televisor, si al venderlo conun descuento del 30 % se paga por él $ 490?

a) $ 500 b) 600 c) 650

d) 680 e) 700

6. Marina del Carmen vende un florero a S/. 100 conuna pérdida del 27 % de su precio de venta. ¿Cuántole costó a Marina del Carmen el florero?

a) S/. 127 b) 73 c) 115d) 120 e) 83

7. Si al vender una refrigeradora en $ 600 estoy perdiendoel 20 %, ¿a cuánto debo venderla para ganar el 20 %?

a) $ 800 b) 900 c) 1 000d) 1 200 e) 1 050

8. Si Carol Sofía vendiera su computadora en $ 1 950ganaría el 30 % del costo. ¿A cómo debe venderlapara ganar el 40 % del costo?

a) $ 2 100 b) 2 300 c) 2 500d) 1 200 e) 1 050

9. Al vender un objeto en S/. 1 800, se gana el 20 %.¿Cuánto es esa ganancia?

a) S/. 360 b) 180 c) 540d) 1 500 e) 300

10.¿Qué precio se debe fijar a un artículo que costó$ 220 de tal manera que al venderlo, se haga undescuento del 20 % y aún así se esté ganando el20 % del precio de costo?

a) $ 300 b) 330 c) 360d) 390 e) 400

Aut oev aluac ión

1. Ruby Karol vendió dos bicicletas a $ 240 cada una. Sien una de ellas ganó el 20 % y en la otra perdió el20 % de su precio de costo, ¿cuánto ganó o perdió eneste negocio?

a) no ganó ni perdió

b) ganó $ 20c) perdió $ 20d) ganó $ 100e) perdió $ 100

2. ¿Cuál fue el costo de un artefacto, al cual se le fijó unprecio de $ 300 y cuando se comercializó se hizo undescuento del 40 %, pero aún así se ganó el doble dela inversión?

a) $ 120 b) 180 c) 240d) 60 e) 100

3. Katherine va a comprar cierto número de metros detela a S/. 15 el metro. Pero como le hacen undescuento del 20 % en el precio por metro, pudocomprar tres metros más. ¿Cuántos metros compró ycuánto pagó?

a) 15 m y S/. 120 b) 15 m y S/. 180c) 12 m y S/. 180 d) 12 m y S/. 160e) 12 m y S/. 150

4. Si al precio de un objeto se le recarga el 20 % resultaigual al precio de otro descontado en un 30 %. Si el

primero cuesta S/. 17 500, ¿cuál es el precio delsegundo?

a) S/. 20 000 b) 24 000 c) 25 000d) 28 000 e) 30 000

5. Un televisor se vendió en $ 414 ganándose el 15 %del precio de costo. Si se quisiera ganar el 10 % delprecio de venta, ¿a cómo se debe vender?

a) $ 400 b) 390 c) 420d) 450 e) 396



53Colegio TRILCE

TRILCE

COLEGIOIn te rés s imp le

Capítu lo VI

Interés o renta (I): Es la ganancia que produce unCAPITAL al ser prestado durante cierto TIEMPO y bajoun porcentaje previamente acordado (TASA DEINTERÉS).

* CAPITAL(C): Es la cantidad de dinero que una personao entidad financiera va a ceder en forma de préstamopara obtener ganancias.

* TIEMPO (t): Es el período durante el cual se va a cedero depositar un determinado capital. Para calcular elinterés, se considera generalmente el mes comercial(30 días) y el año comercial (360 días).

* TASA DE INTERÉS (r %): Nos indica qué tanto porciento del capital se obtiene como ganancia en unaunidad de tiempo.

Ejemplos:

i. Una tasa de interés del 15 % anual, significa que porcada año se gana el 15 % del capital prestado odepositado.

ii. Una tasa de interés del 2 % mensual, significa quecada mes se gana el 2 % del capital.

iii. Una tasa de interés del 12 % trimestral, significa quepor cada tres meses se gana el 12 % del capital.

• INTERÉS SIMPLE: Es cuando el interés o gananciaque produce el capital, en cada unidad de tiempo, nose acumula al capital.

Ejemplo:

Se presta un capital de S/. 10 000 durante tres añosa una tasa de interés del 20 % anual.

Tenemos:

C = S/. 10 000t = 3 añosr % = 20 % anual

Cada año se gana 20 % de:

0002S/.00010100

2000010S/.

2 000

2 000

2 000

1 año 1 año 1 año

C = 10 000 C = 10 000 C = 10 000

Luego el interés total al finalizar los tres años es:

I = 3 x S/. 2 000 = S/. 6 000

• MONTO (M): Es la suma recibida al final del periodoy es igual al capital más los intereses que generó.

M = C + I

En nuestro ejemplo; al finalizar el tercer año elprestamista recibió:

M = 10 000 + 6 000

M = S/. 16 000

Fórmula para calcular el Interés Simple:

100

t.r.cI

"Esta fórmula se utiliza cuando la tasa de interés (r)y el tiempo (t) están en LAS MISMAS UNIDADES".

Es decir:

r t

anual años

mensual meses

diario días

bimestral bimestres

trimestral trimestres etc.

Observaciones:

1. Cuando no se indique la unidad de tiempo de la tasade interés, se asumirá una tasa anual.

2. Si "r" y "t" no están en las MISMAS UNIDADES pode-mos reemplazarlas por su equivalencia.

Ejemplo:

diario%308

quincenal%4

anual%96semestral%48trimestral%24bimestral%16

mensual%8




In te rés s imple

3. En los casos que sean difíciles encontrar su equivalenciapodemos usar las siguientes fórmulas:

(meses)t""(anual)r""

:cuando2001

trcI

(días)t""(anual)r"":cuando

00036trcI

Ejemplos:

1. Kevin depositó S/. 4 800 en el Banco Wiese a unatasa del 11 % anual. ¿Cuánto habrá ganado en cincomeses?

Solución:

De los datos tenemos:

C = S/. 4 800t = 5 mesesr = 11 % anualI = ??

Como "r" está en años y el tiempo en meses, usamos:

2001

trcI

2001

5118004I

I = S/. 220

2. Calcular el monto que genera un capital de S/. 10 000en 27 días al 12 % anual.

Solución:

C = 10 000r = 12 % anualt = 27 díasM = ??

Para calcular el monto debemos hallar primero elinterés. Como el tiempo está en días y la tasa anual;usaremos:

00036

trcI

00036

271200010I

I = S/. 90

finalmente: M = 10 000 + 90

∴ M = S/. 10 090

3. Calcular el monto que genera un capital de S/. 400,durante 10 meses al 2 % bimestral.

Solución:

podemos hallar su equivalencia (de "r" y "t")

Veamos:

C = 400

t = 10 mesesr % = 2 % bimestral = 1 % mensualM = ??

100

110400I

I = S/. 40

finalmente: M = 400 + 40∴ M = S/. 440

Nivel I

1. Calcular el interés en cada caso:

a. C = S/. 2 000r % = 2 % anualt = 3 años

b. C = S/. 300

r % = 20 % anualt = 2 años

c. C = S/. 1 000r % = 35 % mensualt = 8 meses

d. C = S/. 500r % = 2 % anualt = 10 años

e. C = S/. 280r % = 10 % trimestralt = 6 trimestres

2. Calcular el interés en cada caso:

a. C = S/. 2 000r % = 48 % bimestralt = 8 meses

b. C = S/. 340r % = 10 % mensualt = 6 bimestres

c. C = S/. 2 400r % = 12 % trimestralt = 8 meses




In te rés s imple

d. C = S/. 5 000t = 12 díasr % = 30 % mensual

e. C = S/. 2 000t = 3 añosr % = 6 % mensual

3. En cada caso, calcular el monto que se genera:

a. C = S/. 400t = 6 añosr % = 2 % bimestral

b. C = S/. 3 000t = 6 mesesr % = 4 % cuatrimestral

c. C = S/. 2 400t = 3 añosr % = 5 % mensual

d. C = S/. 1 500t = 2 añosr % = 8 % bimestral

e. C = S/. 2 800t = 2 añosr % = 5 % anual

Nivel II

1. Calcular el interés que produce un capital de S/. 300en 18 meses al 4 % mensual.

a) S/. 272 b) 216 c) 200d) 140 e) 148

2. Calcular el interés que produce un capital deS/. 2 000 en dos años al 2 % trimestral.

a) S/. 320 b) 3 200c) 1 600 d) 800

e) 1 4003. El interés que produjo un capital durante ocho meses

y al 12 % anual fue de S/. 48. Calcular el capital.

a) S/. 1 200 b) 800c) 600 d) 900e) 720

4. El interés que produjo un capital durante tres años yal 2 % mensual fue de S/. 1 800. Calcular el capital.

a) S/. 2 500 b) 3 000

c) 2 400 d) 1 800e) 1 750

5. El interés que produjo un capital durante ocho meses yal 5 % bimestral fue de S/. 240.

a) S/. 840 b) 1 000c) 2 400 d) 1 200e) 670

6. Un capital del 30 % de S/. 8 000 se impone duranteun tiempo de cuatro meses a una tasa anual del "r" %,¿cuál es la tasa anual, si el interés producido fue deS/. 80?

a) 10 % b) 20 % c) 15 %d) 12 % e) 5 %

7. Un capital de S/. 440 se impone durante cinco años auna tasa anual del "r" %, ¿cuál es la tasa anual, si elinterés producido fue de S/. 352?

a) 32 % b) 12 % c) 16 %d) 8 % e) 64 %

8. Un capital de S/. 960 se impone durante 320 días auna tasa del r % mensual, ¿cuál es la tasa mensual,si el monto generado fue de S/. 1 472?

a) 20 % b) 5 % c) 32 %d) 10 % e) 2 %

9. Un capital de S/. 2 000 se impone durante ciertotiempo a una tasa del 10 % anual, ¿cuál es es eltiempo de imposición, si el interés generado fue de

S/. 400?

a) 20 años b) 5 c) 2d) 4 e) 10

10.El monto que genera un capital de S/. 2 000 al 10 %mensual durante "t" años fue de S/. 6 800. Calcular eltiempo "t".

a) 6 años b) 2 c) 20d) 4 e) 12

11.El monto que genera un capital de S/. 4 800 al 30 %trimestral durante "t" meses fue de S/. 9 600. Calcularel el tiempo "t".

a) 12 meses b) 10 c) 16d) 14 e) 8

12.Calcular el monto que genera un capital de S/. 3 680al 24 % cuatrimestral durante cinco años.

a) 15 724 b) 18 720 c) 16 928d) 18 336 e) 15 428



57Colegio TRILCE

TRILCE

COLEGIORepaso

Capít ulo VII

Nivel I

1. ¿Qué porcentaje es 0,8 de 32?

a) 16 % b) 36 % c) 0,8 %d) 2,5 % e) 5 %

2. ¿De qué número es 570 el 14 % más?

a) 400 b) 40 c) 500d) 450 e) 50

3. Hallar el 15 % del 25 % del 10 % de 60 000.

a) 200 b) 225 c) 180d) 160 e) 120

4. ¿Qué porcentaje del 15 % del 8 % de 600 es el 20 %del 0,5 % de 1 440?

a) 8 % b) 10 c) 20d) 7 e) 5

5. Un carpintero siempre ahorra el 80 % de su sueldomensual. Si recibiera un aumento del 15 % de susueldo ahorraría S/. 920, ¿cuál es su sueldo actual?

a) S/. 1 000 b) 1 200c) 1 400 d) 900e) 1 100

6. Una persona compró un objeto a $ 1 800. Si quiereganar el 45 %, ¿a cuánto debe venderlo?

a) $ 2 420 b) 2 480c) 2 500 d) 2 520e) 2 610

7. Al vender un televisor en $ 295 se está ganando el18 % del precio de su costo, ¿cuánto costó el televisor?

a) $ 250 b) 280 c) 520d) 240 e) 300

8. Al vender un ventilador en S/. 138 se está ganando el15 %. ¿A cuánto se debe vender para ganar el 30 %?

a) S/. 120 b) 140 c) 156d) 160 e) 172

9. ¿Qué precio se debe fijar a un refrigerador que costó$ 800, de tal manera que al venderlo se haga undescuento del 10 % y aún así se esté ganando

$ 100?

a) $ 900 b) 1 000 c) 1 200d) 1 100 e) 980

10.¿Cuánto me costó lo que al venderlo en S/. 124,50

me deja una pérdida del 17 %?

a) S/. 140 b) 180 c) 150d) 190 e) 170

Nivel II

• Hallar el interés producido en cada caso

1. C = S/. 1 500r = 12 % anualt = 8 meses

a) 120 b) 180 c) 1 440d) 200 e) 160

2. C = S/. 3 500r = 15 % semestralt = 2 años

a) 1 050 b) 2 100 c) 3 000d) 2 700 e) 2 500

3. C = S/. 4 550r = 5 % trimestral

t = 1 año

a) S/. 1 000 b) 950c) 940 d) 920e) 910

4. C = $ 350r = 1 % bimestralt = 10 meses

a) $ 175 b) 17,5 c) 1 750d) 1,75 e) 1,57

5. Hallar el monto, si:

C = 4 800r = 8 % anualt = 11 meses

a) 352 b) 5 052 c) 5 252d) 5 152 e) 5 200

6. ¿Durante cuánto tiempo habrá que colocar a un capitalal 30 % anual para que el interés sea igual al tripledel capital?

a) 1 año b) 2 c) 5d) 10 e) 15




Repaso

7. ¿Durante cuánto tiempo habrá que colocar a un capitalal 5 % trimestral para que el monto sea cuatro vecesel capital?

a) 5 años b) 15 añosc) 10 años d) 4 añose) 12 años

Enunciado

• De un grupo de "n" alumnos se obtuvo la siguienteinformación, respecto a sus notas.

Intervalos f i F i hi HiNotas

[0; 418

[4; 8 12

[8; 12 20

[12; 16 40

[16; 20] 10

Completa el cuadro y responde:

8. Hallar n

a) 10 b) 20 c) 50

d) 100 e) 200

9. Hallar f

1

+ F

4

a) 98 b) 108 c) 88

d) 118 e) 58

10.¿Cuántos alumnos obtuvieron menos de 12 de nota?

a) 18 b) 12 c) 20

d) 30 e) 50

11.¿Cuántos alumnos tienen por lo menos 15 de nota?

a) 20 b) 60 c) 70

d) 30 e) 90

12.¿Qué porcentaje de alumnos obtuvo menos de 08?

a) 15 % b) 18 % c) 12 %

d) 30 % e) 40 %

Nivel III

Enunciado 1

* Manuel hizo una encuesta entre 100 alumnos de su

academia para averiguar cuáles eran sus deportes

favoritos. El gráfico circular muestra el número de

alumnos que escogieron un deporte determinado

como favorito:

10Carrera 25

Fútbol

30Básquetbol

15Béisbol

5

5

O t r o s

Golf

Tenis

1. ¿Qué fracción de la sección circular está representadapor los alumnos que escogieron fútbol?

a)31 b)

4

1 c)51

d) 81 e) 3

2

2. ¿Cuántos alumnos escogieron un deporte diferentede los mencionados?

a) 20 b) 15 c) 10d) 30 e) 5

3. ¿Qué ángulo tiene el sector circular correspondientea Béisbol?

a) 18° b) 36° c) 54°d) 60° e) 72°

4. ¿Qué ángulo tiene el sector circular correspondientea Básquetbol?

a) 100° b) 108° c) 120°d) 150° e) 90°

Enunciado 2

• El siguiente gráfico muestra la cantidad de alumnosde 5° año aprobados y desaprobados anualmente en

el curso de Matemática en un determinado colegio:

Según el gráfico:

Cantidad dealumnos

Año

150180

200250

150

300250 250

2002 2003 2004 2005

Desaprobados

Aprobados

ARITMETICA 2do

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