ДЕРЖАВНИЙ ВИЩИЙ НАВЧАЛЬНИЙ ЗАКЛАД...

ДЕРЖАВНИЙ ВИЩИЙ НАВЧАЛЬНИЙ ЗАКЛАД «ЗАПОРІЗЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ»

МІНІСТЕРСТВА ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ Кафедра математичного аналізу

МЕТОДИЧНІ МАТЕРІАЛИ ДЛЯ ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ СЕМІНАРСЬКИХ ЗАНЯТЬ З КУРСУ

ЗАСТОСУВАННЯ КОМП’ЮТЕРНИХ ТЕХНОЛОГІЙ ДО РОЗВ’ЯЗКУ ЗАДАЧ АНАЛІЗУ

Затверджено на засіданні кафедри математичного аналізу Протокол № 1 від 25 серпня 2010 р.

Запоріжжя 2010

Пояснювальна записка

У курсі «Застосування комп’ютерних технологій» навчальними планами передбачено як спільну роботу студента із викладачем (лекційні та практичні заняття), контрольні роботи, так і самостійну роботу студента, яка полягає в опрацюванні тем, відведених для самостійного вивчення; вивченні конспектів лекцій, поглибленому вивченні літератури та пошуку додаткової інформації, підготовці до практичних занять, розв’язуванні типових завдань та в подальшому – написанні контрольної роботи.

Методичні матеріали для забезпечення семінарських, практичних занять містять всю інформацію, необхідну для забезпечення ефективної самостійної роботи студентів, а саме:

• теми для самостійного опрацювання І модуля, а також рекомендовану літературу, необхідну для виконання цього виду самостійної роботи;

• теми для самостійного опрацювання ІІ модуля, а також рекомендовану літературу, необхідну для виконання цього виду самостійної роботи;

• контрольні завдання для самостійного розв’язування. В результаті самостійної підготовки студент повинен вивчити всі теми І, ІІ

модуля та підготувати конспект який здається на перевірку викладачу, розв’язати контрольні завдання, оформити розв’язки в окремих зошитах та вчасно здати на перевірку викладачу.

Рекомендована література

Основна

1. Алексеев Е.Р. Решение задач вычислительной математики в пакетах Mathcad 12, MATLAB 7, Maple 9 / Е.Р. Алексеев, О.В. Чеснокова – М.: НТ Пресс, 2006. – 496 с.

2. Дьяконов В.П. Maple 6: учебный курс / В.П. Дьяконов – СПб.: Питер, 2001. – 543 c.

3. Говорухин В.Н. Введение в Maple V. Математический пакет для всех / В.Н. Говорухин, В.Г. Цибулин – М.: Мир, 1997. – 356 с.

4. Прохоров Г.В. Пакет символьных вычислений Maple V / Г.В. Прохоров, М.А. Леденев, В.В. Колбеев – М.: Петит, 1997. – 765 с.

5. Ильин В.А. Математический анализ / В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов – М.: Наука,1979. –720 с.

6. Ильин В.А. Математический анализ. Продолжение курса / В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов – М.: Изд-во МГУ, 1987. – 358 с.

Додаткова

1. Дубовин Б. А. Современная геометрия: методы и приложения / Б. А. Дубовин, С.

П. Новиков, А. Т. Фоменко – М.: Наука, 1979. – 986 с. 2. Киричевский В. В. Курс высшей математики / В. В. Киричевский, Н. А.

Копылова – К.: Наук. думка, – 1998. – 572 с. 3. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. 2 / В. И. Смирнов – М.: Гостехиздат,

1951. – 628 с. 4. Дьяконов В.П. Математическая система Maple V R3/R4/R5 / В.П. Дьяконов – М.:

Солон, 1998. – 233 с. 5. Манзон Б.М. Maple V Power Edition / Б.М. Манзон – М.: Филинъ, 1998. – 435 с. 6. Бугров Я.С. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции

комплексного переменного / Я.С. Бугров, С.М. Никольский – М.: Наука, 1989. – 789 с.

7. Бугров Я.С. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии / Я.С. Бугров, С.М. Никольский – М.: Наука. 1989. – 672 с.

8. Бугров Я.С. Дифференциальное и интегральное исчисление / Я.С. Бугров, С.М. Никольский – М.: Наука. 1989. – 587 с.

Вычислительные системы: Maple.

1

Требования к выполнению лабораторних работ

При выполнении каждой лабораторной работы необходимо:

1. Ознакомится с общими теоретическими сведения лекции и приведенными

тезисными сведеньями лабораторной работы.

2. Внимательно прочитать задание.

3. В отчете каждой лабораторной работы следует указать:

1) «Лабораторная работа N», N – номер темы,

2) Вариант

3) ФИО выполнившего работу.

4) Каждое отдельное задание оформляется в виде секции с названием «Задание M»,

M – номер задания.

4. Работая с программным комплексом Maple, для правильности вычислений

перед выполнением каждого пункта задания следует выполнять команду restart. Перед

выполнением контрольных заданий следует набирать в текстовом режиме «Контрольные

задания». После окончания выполнения работы необходимо сохранить файл со всеми

выполненными заданиями на диск. Имя вашего файла набирается в виде: Фамилия_N,

где указывается ваша фамилия и N – номер лабораторной работы.

5. Сдать отчет и ответить на дополнительные вопросы (если необходимо).


2

Лабораторная работа №1.

Тема: Вычислительный комплекс Maple: Арифметические операции,

стандартные функции. Преобразование математических выражений.

Цель: Ознакомление с вычислительным комплексом Maple. Правилами

синтаксиса при записи команд и использования стандартных функций.

Теоретические сведения:

Maple это пакет для аналитических вычислений на компьютере, содержащий

более двух тысяч команд, которые позволяют решать задачи алгебры, геометрии,

математического анализа, дифференциальных уравнений, статистики, математической

физики.

Математические константы и арифметические операции.

Основные математические константы:

Pi – число ; I – мнимая единица i; infinity – бесконечность; Gamma – константа

Эйлера; true, false – логические константы, обозначающие истинность и ложность

высказывания.

Знаки арифметических операций: + - сложение; – - вычитание; * - умножение; / -

деление; ^ - возведение в степень; ! – факториал. Знаки сравнения: <, >, >=,<=, <>, =.

Комплексные, целые и рациональные числа.

Числа в Maple бывают действительные (real) и комплексные (compleх).

Комплексное число записывается в алгебраической форме z=x+iy, и в командной строке

такая запись должна выглядеть так:

> z:=x+I*y;


3

Вещественные числа разделяются на целые и рациональные. Целые числа (integer)

выражаются цифрами в десятичной записи. Рациональные числа могут быть

представлены в 3-х видах:

рациональной дроби с использованием оператора деления, например: 28/70;

с плавающей запятой (float), например: 2.3;

в показательной форме, например: 1,602*10^(-19) означает 1,60210-19.

В Maple можно записать буквы греческого алфавита в полиграфическом виде. Для

этого в командной строке набирается название греческой буквы1. Например, буква

получится, если набрать alpha.

Таблица строчных греческих букв и их названий: - alpha ; - beta; - gamma;

- delta; - epsilon; - zeta; - eta; - theta; - ita, - kappa; - lambda; - nu; - mu;

-xi; - pi; - rho; - sigma; - upsilon; - phi; - chi; - psi; -omega

Заглавные греческие буквы можно записать, если набирать название греческой

буквы с заглавной, например, чтобы получить , следует набрать Omega.

Синтаксис команд.

Стандартная команда Maple состоит из имени команды и ее параметров, указанных

в круглых скобках: command(p1, p2, …). В конце каждой команды должен быть знак (;)2

или (:)3. Символ процента (%) служит для вызова предыдущей команды.

Для присвоения переменной заданного значения используется знак присвоить (:=).

Когда программа Maple запускается, она не имеет ни одной команды, полностью

загруженной в память. Большая часть команд имеют указатели их нахождения, и при

вызове они загружаются автоматически. Другие команды находятся в стандартной

библиотеке и перед выполнением обязательно должны быть вызваны командой

readlib(command), где command – имя вызываемой команды. Остальная часть процедур

Maple содержится в специальных библиотеках подпрограмм, называемых пакетами,

1 Греческие буквы также можно набирать с помощью специального меню. 2 Разделитель (;) означает, что в области вывода после выполнения этой команды будет сразу виден результат 3 Разделитель (:) используется для отмены вывода, то есть когда команда выполняется, но ее результат на экран не выводится


4

которые необходимо подгружать при каждом запуске файла с командами из этих

библиотек. Имеется два способа вызова команды из пакета:

загрузить весь пакет командой with(package), где package – имя пакета;

вызов какой-нибудь одной команды command из любого пакета package:

package[command](options), где package –название пакета, из которого надо вызвать

команду, command – имя самой команды, options – параметры данной команды.

К библиотекам подпрограмм Maple относятся, например, следующие пакеты:

linalg4, geometry5, geom3d 6, student7.

Стандартные функции.

Стандартные функции Maple Математическая запись Запись в Maple

xe exp(x)8 xln ln(x) xlg log10(x)

xalog log[a](x) x sqrt(x)

x abs(x) xsin sin(x) xcos cos(x)

xtg tan(x) xctg cot(x) xsec sec(x)

xeccos csc(x) xarcsin arcsin(x) xarccos arccos(x)

xarctg arctan(x) xarcctg arccot(x)

xsh sinh(x) xch cosh(x) xth tanh(x) xcth coth(x) )(x - функция Дирака Dirac(x) )(x - функция Хевиссайда Нeaviside(х)

4 содержит операции линейной алгебры 5 решение задач планиметрии 6 решение задач стереометрии 7 содержит команды, позволяющие провести поэтапное решение задачи в аналитическом виде с промежуточными вычислениями 8 С помощью функции exp(x) определяется число е=2.718281828… посредством записи exp(1)


5

Maple обладает широкими возможностями для проведения аналитических

преобразований математических формул. К ним относятся такие операции, как

приведение подобных, разложение на множители, раскрытие скобок, приведение

рациональной дроби к нормальному виду и многие другие.

Выделение частей выражений.

Математическая формула, над которой будут производиться преобразования,

записывается в следующей форме: eq:=exp1=exp2; где eq – произвольное имя

выражения, exp1 – условное обозначение левой части формулы, exp2 – условное

обозначение правой части формулы.

Выделение правой части выражения осуществляется командой rhs(eq), выделение

левой части выражения – командой lhs(eq). Рассмотрим пример:

Если задана рациональная дробь вида f = a/b, то можно выделить ее числитель и

знаменатель с помощью команд numer(f) и denom(f), соответственно.

Тождественные преобразования выражений.

Раскрытие скобок выражения eq осуществляется командой expand(eq).

Разложение многочлена eq на множители осуществляется командой factor(eq).

Команда expand может иметь дополнительный параметр, позволяющий при

раскрытии скобок оставлять определенное выражение без изменений9.

Команда normal(eq) – позволяет привести к нормальному виду дробь eq.

Упрощение выражения eq осуществляется командой simplify(eq).

Команда collect(exp,var) – позволяет приводить подобные члены, где exp –

выражение, var – имя переменной, относительно которой следует собирать подобные. В

команде simplify в качестве параметров можно указать, какие выражения

преобразовывать. Стандартные параметры имеют названия: trig – для

9 Если требуется каждое слагаемое выражения 2ln yex x умножить на выражение (x+a). Тогда в командной строке следует написать: expand((x+a)*(ln(x)+exp(x)-y^2), (x+a))


6

тригонометрических соотношений10; power – для степенных преобразований; radical или

sqrt – для преобразования корней; exp – преобразование экспонент; ln – преобразование

логарифмов. Использование параметров намного увеличивает эффективность команды

simplify.

Объединить показатели степенных функций или понизить степень

тригонометрических функций можно при помощи команды combine(eq,param), где eq –

выражение, param – параметры, указывающие, какой тип функций преобразовать,

например, trig – для тригонометрических, power – для степенных.

Для упрощения выражений, содержащих не только квадратные корни, но и корни

других степеней, лучше использовать команду radnormal(eq).

С помощью команды convert(exp, param)11, где exp – выражение, которое будет

преобразовано в указанный тип param.

Несколько способов представления функции в Maple.

Способ 1. Определение функции с помощью оператора присваивания (:=): какому-

то выражению присваивается имя

Все вычисления в Maple по умолчанию производятся символьно, то есть результат

будет содержать в явном виде иррациональные константы, такие как, ,e и другие.

Чтобы получить приближенное значение в виде числа с плавающей запятой, следует

использовать команду evalf(expr,t), где expr – выражение, t – точность, выраженная в

числах после запятой.

Способ 2. Определение функции с помощью функционального оператора, который

ставит в соответствие набору переменных (x1,x2,…) одно или несколько выражений

(f1,f2,…).

Пример. Для определения функции двух переменных с помощью

функционального оператора необходимо записать: f:=(x,y)->sin(x+y). В результате

получим: )sin(: yxf .

Способ 3. С помощью команды unapply(expr,x1,x2,…), где expr – выражение,

x1,x2,… – набор переменных, от которых оно зависит, можно преобразовать выражение

expr в функциональный оператор. 10 например: simplify(eq, trig) 11 Можно преобразовать выражение, содержащее sinx и cosx, в выражение, содержащее только tgx, если указать в качестве параметра tan, или, наоборот, tgx, ctgx можно перевести в sinx и сosx, если в параметрах указать sincos.


7

Пример. Для определения функции с помощью данного способа необходимо

ввести: f:=unapply(x^2+y^2,x,y). В итоге: 22),(: yxyxf

Задание

I. Упростить выражение и вычислить его, если даны числовые значения

параметров: a) отделить и упростить числитель; б) отделить и упростить

знаменатель (3 примера)

1) 2

12365

134

223

1 2

222tt

ttttt

tt

2) 332233

233233

2

2

:baabbaba

bababaabbaabba

3) 1

2

23

2

14:11:1

yxxyyx

xyyx

xyx

4) 22

2

4:

521

22

23

yxy

yxyxyx

5)

tt

tt

tt

1211

411

14112

2

2

6) 4

44424

21

tt

ttt

7) 21

41

41

21

41

41

21

21

21

41

41

21

41

21

43

2 yyxx

yx

yx

yxyx

yxx

yx

8)

64 x;3 233 53 223 223 5

3322

yxy

yyxyxx

yxyx

9) 2

ba

baabba

bbaa

10)

54

253

3 223 2 1:

1

111

xx

xxxx

II. Доказать тождества (3 примера)

1) 22)22cos1)(22cos1( 11 tgtgtg


8

2) 1)4

5())22

5(2(cos 1 ctgctg

3) )4

5()

45(sin2

)23cos(2

tg

4)

32

3232

tgtg

tgctgctgtg

5) 4cos)2/5cos()2/cos(47cos6cos2coscos 6) )2/21sin(cos)2/cos(412sin11sin10sin9sin 7) )2/7cos(sin)2/sin(45cos4cos3cos2cos 8) )2/11sin(sin)2/sin(47sin6sin5sin4sin

9) )24

sin(cos223sin3cossincos

10)

6sin

2cos832

tgctgtg

III. Решить уравнения (3 примера):

1) xxxx 3sincos3sin3cos 2) 2/33cos3sin zz 3) zzz 3sin22cos2sin 4) xxxxx 2sin4sin3cossin4cos2 5) xxxxxx 8cos3sin26cos2cos6sin2sin

6) 2

cos2

3sin2sin3

123cos

2sin zzzzz

7) 05sin23sin3cos2 xxxxtg

8) tttttt 4cos6cos6sin2

cos62

sincos

9) 05cos22sin322

sin

xxxctgx

10) 05cos215sin

233sin xxx

IV. Решить уравнения (3 примера):

1) 211

4125,0216

1 xx

.

2) 11 2644 xx .

3) 81

3133

122

1

xxx

xx

.

4) 33 124125,042 xxx .


9

5) 0165,02 )1(21

1045

xx .

6) 125,083 1

13733

xx

xx

.

7) 3133 )10(01,05222 xxx .

8) 312

12527

9256,0

2

xx .

9) 311

252,05 xxx .

10) .45,02 11

11

xxx

xx

Вопросы для самоконтроля.

1. Что такое Maple и для чего он предназначен?

2. Как перевести командную строку в текстовую и наоборот?

3. В каком режиме проходит сеанс работы в Maple?

4. Какое стандартное расширение присваивается файлу рабочего листа Maple?

5. Как представляются в Maple основные математические константы?

6. Опишите виды представления рационального числа в Maple.

7. Как получить приближенное значение рационального числа?

8. Какой командой осуществляется вызов библиотеки подпрограмм?

9. Объясните назначение команд factor, expand, normal, simplify, combine,

convert.

Вычислительные системы: Maple


Тема: Решение уравнений, неравенств и их систем в вычислительном

комплексе Maple.

Цель: Научится использовать команды типа solve для решения уравнений,

неравенств и их систем.


Решение уравнений, неравенств, систем

Для решения уравнений разных видов, систем уравнений, неравенств и систем

неравенств в Maple существует универсальная команда solve:

1. Обыкновенные уравнения: solve (eq,x), где eq – уравнение, x – переменная,

относительно которой уравнение надо разрешить1.

2. Тригонометрического уравнения: Команда solve, для данного типа

уравнений выдает лишь главные решения, то есть решения в интервале [0,2].

3. Трансцендентные уравнения: В случае отсутствия аналитических решений

используется специальная команда fsolve(eq,x).

4. Рекуррентные уравнения: Команда rsolve(eq,f) позволяет решить eq для

целой функции f2.

5. Неравенства: Команда solve применяется также для решения неравенств.

Решение неравенства выдается в виде интервала изменения искомой переменной. В том

случае, если решение неравенства полуось, то в поле вывода появляется конструкция

вида RealRange(–, Open(a)), которая означает, что x(–, a), а – некоторое число. Open

означает, что интервал с открытой границей. Если этого слова нет, то соответствующая

граница интервала включена во множество решений3.

1 Если уравнение имеет несколько решений, которые необходимо отыскать, то команде solve следует присвоить какое-нибудь имя name. Обращение к какому-либо k–ому решению данного уравнения производится указанием его имени с номером решения k в квадратных скобках: name[k]. 2 Можно задать некоторое начальное условие для функции f(n), тогда получиться частное решение данного рекуррентного уравнения. 3 Для получения решения в виде ограничений для искомой переменной типа a<x, x< b, переменную, относительно которой следует разрешить неравенство, следует указывать в фигурных скобках: solve(eq,{x}).


6. Системы уравнений: решаются с помощью такой же команды

solve({eq1,eq2,…},{x1,x2,…}), только теперь в параметрах команды следует указывать в

первых фигурных скобках через запятую уравнения, а во вторых фигурных скобках

перечисляются через запятую переменные, относительно которых требуется решить

систему.

7. Системы неравенств: используя команду solve можно также решать

системы неравенств.

Оценивание комплексных выражений

Если комплексное выражение очень сложное или содержит параметры, то для

получения вещественной и мнимой части комплексного выражения z нужно

использовать команду преобразования комплексных выражений evalc(z)4.

Задание.

I. Найти решение уравнений:

1) bababxax

bxbxaxax

, , 0

1001

3

lg21

1 2

x

x , 211 tgytgx ;

2) 1653 44 xx , 5log5log xx x , 43sin321coscos 222 zytgxx ;

3) 023 abcxbcacabxcbax , 0loglog2 288 xx , 0sinsin tt ;

4) 012233 xxxxxx , 1623 323 loglog xx x , 1sin

21sin

21

55 xx ;

5) 555 24222 aaxax , 3 24 1 33 xx xx , zztgz 22 sincos

zzzctgz sin2cossin 22 ;

6) 01448

125

1220 2

222

xx

xx

xx

, 13 3103 2

xxx , 07cos8cos 14 xx ;

7) 09155 34 xxx , 22log2log 33 xx , 34cos22cos414

cos 2

xxx

;

4 Для простых комплексных чисел 1) вещественную и мнимую части комплексного выражения z=x+iy можно найти с помощью команд Re(z) и Im(z); 2) комплексно сопряженное можно найти с помощью команды conjugate(z); 3) модуль и аргумент комплексного выражения z можно найти с помощью команды polar(z), которую необходимо предварительно вызвать из стандартной библиотеки командой readlib(readlib(polar): polar(I)).


8) 33

3

xxxx

, 14487487

zz

, tgtctgctgttg ;

9) 0212 222223 abubaauau , 9,24,05,2 33 loglog xx, xx coscos ;

10) 5

)1(62

22

211

m

xmx

xmx

xmx

xmx

, 50085 1 x xx,

128412cos2sin 88 xx ;

11) 012233 xxxxxx , 14487487

zz

, 07cos8cos 14 xx ;

12) 01448

125

1220 2

222

xx

xx

xx

, 22log2log 33 xx , zztgz 22 sincos

zzzctgz sin2cossin 22 ;

13) 33

3

xxxx

, tgtctgctgttg , 9,24,05,2 33 loglog xx;

14) 211 tgytgx , 5log5log xx x , 09155 34 xxx ;

15) 555 24222 aaxax , 13 3103 2

xxx , 0sinsin tt .

II. Решить систему уравнений:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)


8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

III. Найти решение неравенства и системы неравенств:

1) 01856 23 xx ,

92712109

26310

yxyxyx

2) 2424 xx ,

43726

427

yxyxyx

3) 011152 23 xxx ,

5717353

yxyxyx


4) 1086 25 xxx ,

32543

954

baba

ba

5) 018452 23 xxx ,

2947342

bababa

6) 637 2356 xxxx ,

157154933

bababa

7) 5343 257 xxx ,

5101576632

21

21

21

xxxxxx

8) 07232 34 xxx ,

32283

1368

21

21

21

xxxxxx

9) 051123 23 xxx ,

84632

93

21

21

21

xxxx

xx

10) 0154 2356 xxxx ,

64265743

yxyxyx

11) 011152 23 xxx ,

92712109

26310

yxyxyx

12) 2424 xx ,

157154933

bababa

13) 07232 34 xxx ,

64265743

yxyxyx

14) 051123 23 xxx ,

43726

427

yxyxyx


15) 018452 23 xxx ,

84632

93

21

21

21

xxxx

xx

IV. Выделить действительную и мнимую часть

1) 2

23

iz

2) 127

21

23

iz

3) 41

2iiz

4) 261 iz

5) 72

11 i

iiz

6) ii

iiiz 1

2552

429

7) 200

22

22

iz

8) 84

21

iz

9) ii

z 322

10) 22

52)4( 32

i

iiiz

11) ii

iiz

3131

12) 21231 i

iiz

13) 2

841

iz

14) 131

512i

z


15) 127

21

23

iz


1. С помощью каких команд можно найти вещественную и мнимую части

комплексного выражения, а также его модуль и аргумент, и комплексно

сопряженное ему число? Какую роль выполняет команда evalc?

2. Для чего предназначена команда solve?

3. Какие команды используются для численного решения уравнений и для

решения рекуррентных уравнений?

4. В каком виде выдается решение неравенства? Как отличить в строке вывода

закрытый интервал от открытого?

1



Тема: Визуализация двумерной графики

Цель: Научится использовать функцию plot для построения двумерных

графиков в разных системах координат.

Синтаксис команды plot() следующий:

plot(f, h, v,опции); или plot(f, h, v);

f-функция, график которой необходимо отобразить,

h и v представляют, соответственно, диапазон изменения независимой

переменной по горизонтальной оси графика и диапазон изменения значения

функции вдоль вертикальной оси графика.

Некоторые опции для двумерной графики:

1) title=”text”, где text-заголовок рисунка (текст можно оставлять без

кавычек, если он содержит только латинские буквы без пробелов).

2) coords=polar – установка полярных координат (по умолчанию

установлены декартовы).

3) axes – установка типа координатных осей: axes=NORMAL –

обычные оси; axes=BOXED – график в рамке со шкалой; axes=FRAME – оси

с центром в левом нижнем углу рисунка; axes=NONE – без осей.

4) scaling – установка масштаба рисунка: scaling=CONSTRAINED –

одинаковый масштаб по осям; scaling=UNCONSTRAINED – график

масштабируется по размерам окна.

5) style=LINE(POINT) – вывод линиями (или точками).

6) numpoints=n – число вычисляемых точек графика (по умолчанию

n=49).

7) сolor – установка цвета линии: английское название цвета, например,

yellow – желтый и т.д.

8) xtickmarks=nx и ytickmarks=ny – число меток по оси Оx и оси Оy,

соответственно.

9) thickness=n, где n=1,2,3… – толщина линии (по умолчанию n=1).

10) linestyle=n – тип линии: непрерывная, пунктирная и т.д. (n=1 –

непрерывная, установлено по умолчанию).

11) symbol=s – тип символа, которым помечают точки: BOX, CROSS,

CIRCLE, POINT, DIAMOND.

2

12) font=[f,style,size] – установка типа шрифта для вывода текста: f

задает название шрифтов: TIMES, COURIER, HELVETICA, SYMBOL;

style задает стиль шрифта: BOLD, ITALIC, UNDERLINE; size – размер

шрифта в pt.

13) labels=[tx,ty] – надписи по осям координат: tx – по оси Оx и ty – по

оси Оy.

14) discont=true – указание для построения бесконечных разрывов.

15) legend – задает отображение легенды (обозначение кривых).

Задание.

I. Построить графики следующих функций, используя основные опции

функции plot в декартовой системе координат:

1) a) 22

5

1

x

xy ; b) xxxy 3sin

3

12sin

2

1sin .

2) a) xxxy 3 23 ; b)

4

1

1

x

xy .

3) a) 3

2

1

20

x

xy ; b)

x

xy

2ln .

4) a) 322 18 xxy ; b) 21

2sarcco

2 x

xxy

.

5) a) 4

5 8

x

xy

; b)

2

2

1

1arccos

x

xy

.

6) a)

2

3

7

5

x

xy ; b)

x

xy

ln .

7) a) x

xxxy

22 23 ; b)

12

12

22

x

xxy .

8) a) 12

3

x

xy ; b) xexy 22 2 .

9) a) 2

2

21

1

x

xy ; b)

xx

xy

1

6

1

1ln .

3

10) a) xex

xxy

12 32

; b) x

xy arctg2

2 .

11) a) 2

23

1

2

x

xxy ; b) xxy sinlnsin .

12) a)

2

3

2

1

x

xy ; b)

4 34 4xxy .

13) a) 22 9

x

xy ; b) xxxy 3cos

3

12cos

2

1cos .

14) a) 2

73 2 xxxy ; b)

2

2

2

x

xy .

15) a) 3

2

4

4

x

xy ; b)

x

xy

2ln .

II. Построить график функции, заданной в параметрической системе

координат:

1) 2;0,sin4

9,cos

2

9 33 ttytx .

2) 10;0,2,23 ttytx .

3)

2;0,sin5,

2tglncos5 tty

ttx .

4) 2;0,cos12,sin2 ttyttx .

5) 15;0,ch2,2

2sh tty

ttx .

6) ;0,sin2cos2,cos2sin2 22 tttttyttttx .

7) 21;0,1ch3,sh3 ttyttx .

8)

2;0,sin,cos 33 ttytx .

9) 12;0,7,12 23 ttyttx .

10) 20;0,4

1,2 22

tttytx .

4

11)

2

3;0,sin,cos 44 ttytx .

12) 2;0,cossin2,sincos2 ttttytttx .

13)

2;0,

3

1, 22 tttytx .

14) 2;0,cos1,sin ttyttx .

15)

2;0,cos,sin 24 ttytx .

III. Построить график функции, заданной неявно:

1) 1sin22 xyx .

2) 222 yyx .

3) 8201074 22 yxyx .

4) 2ln 3 yyx .

5) exyxe y 2 .

6) 423 22 yxyx .

7) 5ln yyxy .

8) 03 yx .

9) 1cos22 xyx .

10) eee xy 2 .

11) 121282 22 yxyx .

12) 0 yx .

13) 132 yyx .

14) 1cos xy .

15) 7287 22 yyx .

Вычислительные системы

Лабораторная работа №4

Тема: Вычисление пределов, нахождение производных, интегралов и

исследование рядов вычислительном комплексе Maple.

Цель: Научится вычислять пределы, производные, инетгралы функций одного

и многих пременных и создавать собственные процедуры для вычислений в среде

Maple.


Вычисление пределов

Команда limit(expr,x=a,par)1, где expr – выражение, предел которого следует найти,

a – значение точки, для которой вычисляется предел, par – необязательный параметр.

Команда Limit(expr,x=a,par)2, где параметры команды такие же, как и в

предыдущем случае.

Функции одного переменного

Вычисление производных

Команда diff(f,x)3, где f – функция, которую следует продифференцировать, x – имя

переменной, по которой производится дифференцирование.

Команда Diff(f,x)4, где параметры команды такие же, как и в предыдущей.

Действие этой команды сводится к аналитической записи производной в виде )(xfx 5.

После выполнения дифференцирования, полученное выражение желательно упростить6.

Аналитическое и численное интегрирование.

1 Команда прямого исполнения 2 Команда отложенного исполнения 3Команда прямого исполнения 4 Команда отложенного исполнения 5 Для вычисления производных старших порядков следует указать в параметрах x$n, где n – порядок производной 6 Команды упрощения - simplify factor или expand.


Неопределенный интеграл dxxf )( вычисляется с помощью 2-х команд: int(f,

x)7, где f – подынтегральная функция, x – переменная интегрирования; Int(f, x)8 – где

параметры команды такие же, как и в команде прямого исполнения int. Команда Int

выдает на экран интеграл в аналитическом виде математической формулы.

Для вычисления определенного интеграла b

a

dxxf )( в командах int и Int

добавляются пределы интегрирования

Опция continuous: int(f, x, continuous), позволяет в Maple вычислять

несобственные интегралы от неограниченных функций. Несобственные интегралы с

бесконечными пределами интегрирования вычисляются, если в параметрах команды int

указывать, например, x=0..+infinity.

Численное интегрирование выполняется командой evalf(int(f, x=x1..x2), e),

где e – точность вычислений (число знаков после запятой).

Функции многих переменных

Частные производные

Команда diff в этом случае имеет такой формат: diff(f,x1$n1,x2$n2,…, xm$nm), где

x1,…, xm – переменные, по которым производится дифференцирование, а после знака $

указаны соответствующие порядки дифференцирования9.

Интегральное исчисление

Команда Doubleint(f(x, y), D) библиотеки student используется для вычисления

двойных интегралов D

dxdyyxf ),( , где D – область интегрирования, записываемая в

одном из следующих форматов: 1) прямоугольная область интегрирования – x=х1..х2,

y=y1..y2, где числа х1, х2, y1, y2; 2) x=f1(y)..f2(y), y=y1..y2, где f1(y), f2(y) линии,

ограничивающие область интегрирования слева и справа на интервале от y1 до y2; 3)

7 Команда прямого исполнения 8 Команда отложенного исполнения

9 Например, частная производная yxf

2

записывается в виде: diff(f,x,y).


x=х1..х2, y=g1(x)..g2(x) , где g1(y), g2(y) линии, ограничивающие область

интегрирования снизу и сверху на интервале от х1 до х2.

Команда Tripleint(f(x, y, z),x, y, z, V) используется для вычисления тройных

интегралов V

dxdydzzyxf ),,( , где V – область интегрирования10.

Повторные интегралы можно вычислять с помощью повторения команды int11

Ряды

Команды sum12 и Sum13 позволяют вычислять конечные и бесконечные

суммы

b

annS )( . Аргументы этих команд одинаковые: sum(expr, n=a..b), где expr –

выражение, зависящее от индекса суммирования, a..b – пределы индекса суммирования,

указывающие, что суммировать следует от n=a до n=b14.

Команда series(f(x), x=a, n) осуществляет разложение функции f(x) в

степенной ряд в окрестности точки а, где n – число членов ряда.

Команда taylor(f(x), x=a, n) раскладывает функции f(x) в окрестности точки

x=a до порядка n-1 по формуле Тейлора15.

Задание.

I. Вычислить предел: 1)

2tg)1(lim

1

xxx

,

54312lim 2

nn

nn

;

2) xx 1

1arctglim1

, xxxxx

x

5

4 83 2 195lim ;

3) xx 1

1arctglim1

, x

xx 5sin

3sinlim0

;

4) xe

xxx 4cos26lim 30

, 2

12lim

x

x xx

;

10 Обе эти команды являются командами отложенного действия. Чтобы получить значение интеграла, следует использовать команду value(%)

11 повторный интеграл 2

0

1

0

32 dxyxdy вычисляется командой: int(int(x^2*y^3, x=0..1), y=0..2);

12 Команда прямого исполнения 13 Команда отложенного исполнения 14 Если требуется вычислить сумму бесконечного ряда, то в качестве верхнего предела вводится infinity 15 Команды series и taylor выдают результат, имеющий тип series. Для того, чтобы иметь возможность дальнейшей работы с полученным разложением, его следует преобразовать в полином с помощью команды convert(%,polynom).


5) x

xx 2sin

1lnlim2

0

, nn

nnx 6

135lim 2

2

;

6) x

xe x

x 2sin2coslim

4

0

, 1

52lim4

24 2

xxx

xxx

;

7) 20 3)7sin(lim

xx

x,

1

26lim

x

x xx

;

8) x

xx 2sin

1lnlim2

0

, 14

)36(lim 2

nnn

x;

9) 5

4 8

4

181limxx

xxx

, xxx

x 2sin2sinlim

2

0;

10) x

x xx 4

2321lim

,

xxe x

x 2sin2coslim

4

0

;

11) 14

2lim 2

2

nnnn

n,

2

3515lim

x

x xx

;

12) 3 5

5 10

1132lim

x

xxx

, xxx

x cos2sinlim

0;

13) 20 2sin5sin3limxxxx

x

,

xctgxctg

xctg 373sinlim

03 ;

14) 135

6lim 2

2

nnn

n,

xxx

x 3sin514coslim

0

;

15) xxx

xxx 5127

4lim3 36

4 32

,

x

x xx

2321lim .

II. Вычислить производную. Найти y . Найти все частные производные второго

порядка.

1) x

xy4arctg

3sin , 1ln xy ,

xyu

3

2) 351241 2

xarctgxctgy , xxy 5 , yxz

1

3) 162arccos xexy , xxy 22 , yx

eu 4) 23ln2sin2 xtgxxy , )2sin( xy , 22 yxu

5) xxy 6sin167 4 , x

y 1 ,

yxu

3cos 2

6) xxxy 3sin3ln 32 , )71cos( xy , 33 sinln yxyxz

7) 2

6tg23

xexy , 3 1ln xxarctgxy ,

2ln

xyu

8) 33ln xtgxxy , x

xy2arcsin3

1 3 , 3arccos

yxu


9) x

xy4tg3

12 5 , xctg

xxy 63sin

313sin ,

2xy

eu

10) 23 1arcsin xxxy , xy 41 , xyu

2

11) 3

2

1

5sin2

x

xxy

, 72 2 xy , y

x

eu2

12) 32arcsin3 xtgxxy , xarctgxxy 2cos

4412cos ,

yxu 32sin

13) xxtgy61ln

75

, xxy

31ln25 6

, )2( yx

arctgu

14) 394arcsin2 2 xxexy x , 12cos xy , 2yxu

15) 134cos3 xexy , xexy 21arcsin2ln , x

yy

xu2sinsin

33

III. Найти интеграл (неопределенный, определенный, несобственный):

1) xdxxx 3cos2coscos , dxxx2/

0

cos

,

1 xdx

2) dxxxx

322

4

)1(43 , dx

xx

4/

6/

cos

,

0

)cos()sin(x

dxxx

3) xdxx sin3 ,

2/

2/ cos1

xdx

,

121 x

dx

4)

86)6(24

3

xxdxx

, xdxx cos2/

0

3

, dxxe

ex

x

0

2

2

2

1

5) xdxtg 2 ,

2/

0cos3sin45 xx

dx ,

12x

arctgxdx

6) xxdx

22 sincos,

2/

0222 )sin3(cos

cossin

xxxdxx

,

1

2 )1ln(x

dxx

7) xxdx

2sin2cos, dxxx

0

3 sin ,

0

2 dxe x

8) xxxdx

22 sincos2cos

, dxxe

1

3ln ,

02 4xdx

9)

9)13(

2xdxx

, 9

4 1)1(

ydyy

,

0

dxxe x

10) 11 xxdx

, 3/

4/2sin

xxdx

,

14

3 1dxx

x


11)

21

arcsin2

xdxxx

, 2/

0

2 cos

xdxe x,

e

dxxx 2

3)(ln

1

12)

2

2

91)3(arccos

xdxxx

,

2/

2/

3coscos

dxxx ,

22 1x

dx

13) xdxlncos ,

e

xxdx

1 1ln,

03

1 dxx

14)

xdxx

2cos1)cos1( 2

,

4 2

0 528

15

)1( x

dxx,

031x

xdx

15) xdx3cos , dxxe

1

0

)1ln( ,

0

3 2cos xdxe x


1. С помощью какой команды вычисляются пределы? Какие у нее параметры?

2. Какие команды позволяют найти производную функции?

3. Какие команды производят аналитическое и численное интегрирование?

Опишите их параметры.

4. С помощью каких команд вводятся ограничения на параметры для

вычисления интегралов, зависящих от параметров?

5. Опишите, как в Maple вычисляются частные производные.

6. Какие команды используются для вычисления двойных и тройных

интегралов? Опишите их параметры

7. Как вычислить сумму в Maple?

8. Какие команды осуществляют разложение функции в степенные ряды?



Тема: Исследование функции при помощи вычислительного комплекса

Maple.

Цель: Научится проводить полное исследование функций в среде Maple.


План исследование функции по общей схеме.

1. Область определения функции. Область определения функции f(x) – полностью может быть указана после исследования функции на непрерывность.

2. Непрерывность и точки разрыва функции. >readlib(iscont): readlib(discont): >readlib(singular): > iscont(f, x=-infinity..infinity)1; > d1:=discont(f,x); > d2:=singular(f,x)2; В результате наборам переменным d1и d2 будут присвоены значения x-координат в

точках разрыва 1 и 2-го рода (если они существуют). 3. Асимптоты. Точки бесконечных разрывов определяют вертикальные асимптоты

графика f(x). Уравнение вертикальной асимптоты имеет вид: > yr:=d2; Поведение функции f(x) на бесконечности характеризуется наклонными

асимптотами (если они есть). Уравнение наклонной асимптоты y=kx+b, где коэффициенты вычисляются по формулам:

Нахождение наклонных асимптот проводим по следующей схеме: > k1:=limit(f(x)/x, x=+infinity); > b1:=limit(f(x)-k1*x, x=+infinity); > k2:=limit(f(x)/x, x=-infinity); > b2:=limit(f(x)-k2*x, x=-infinity); Часто оказывается, что k1=k2 и b1=b2, в этом случае будет одна асимптота при

x и при x . С учетом этого составляется уравнение асимптоты: > yn:=k1*x+b1; 4. Экстремумы. Исследование функции f(x) на экстремумы можно проводить по

схеме:

1 false – означает, что функция не является непрерывной; true - функция непрерывна. 2 Конвертировать полученное значение точки разрыва типа set в число можно командой convert: > xr:=convert(%,`+`);


> readlib(extrema): readlib(maximize): readlib(minimize): > extrema(f(x), {}, x, ’s’); > s; Если функция имеет разрыв, то при поиске максимума и минимума следует указать

интервал, в который не должна входить точка разрыва. > fmax:=maximize(f(x), x); > fmin:=minimize(f(x), x); После выполнения этих команд будут найдены координаты (x, y) всех максимумов

и минимумов функции f(x). Построение графика. Построение графика функции f(x) – это окончательный этап исследования

функции. На рисунке помимо графика исследуемой функции f(x) должны быть нанесены все ее асимптоты пунктирными линиями, подписаны координаты точек max и min.

Задание.

I. Провести полное исследование функции и построить ее график3: 1)

nhxxxy

2

1;

2) 2

3

)1( xhxnxy

;

3) )(

2

hnxhxxy

;

4) nxhnx

hnxxy

)(2

2

;

5) 32 5

nxhnxxy

;

6) hxhnx

hxxy

)(1

3

2

;

7) )3(2

hhx

nxxy ;

8) 3

2

)3()(

x

hnxxy ;

9) nxxhxy

;

10) 2)(2)1(

nxxhxy

;

11) nxxhxy

3 ;

3h – номер подгруппы, n – номер варианта


12) 25)5(

1)2(

xhnxhxy

;

13) xhnxxy )1(3 2 ;

14) 32 5

nxhxxy ;

15) 2)(3

xnhxhxxy .


1. С помощью какой команды вычисляются пределы? Какие у нее параметры? 2. Какие команды позволяют найти производную функции? 3. Опишите команды, позволяющие исследовать функцию на непрерывность. 4. Какая последовательность команд необходима для нахождения max и min функции с

указанием их координат (x, y)? 5. Какие недостатки имеют команды maximize, minimize и extrema? 6. Опишите общую схему исследования функции и построение ее графика в Maple.



Тема: Элементы линейной алгебры в вычислительном комплексе Maple.

Цель: научится определять векторы и матрицы, получать сумму и

произведение данных объектов и находить их характеристик, используя

вычислительный аппарат Maple.

Теоретические сведения1:

Векторы.

Способы задания векторов.

Команда vector([x1,x2,…,xn]), где в квадратных скобках через запятую

указываются координаты вектора.

Команда x[i]2 позволяет получить координату уже определенного вектора x.

Команды convert(vector, list) или convert(list, vector) преобразовывают вектор в

список и, наоборот.

Сложение векторов.

Сложить два вектора a и b можно с помощью команд: evalm(a+b) или matadd(a,b).

Команда add позволяет вычислять линейную комбинацию векторов a и b: ba

,

где , скалярные величины, если использовать формат: matadd(a,b,alpha,beta).

Скалярное, векторное произведение векторов и угол между векторами.

Команда dotprod(a,b) вычисляет скалярное произведение двух векторов

i

n

iiba

1

),( ba .

Команда crossprod(a,b) используется для нахождения векторного произведени двух

векторов ],[ ba .

Команда angle(a,b) позволяет вычислять угол между двумя векторами a и b.

Длина вектора.

Команда norm(а,2) вычисляет норму (длину) вектора3.

1 Перед решением задач с матрицами и векторами следует загрузить эту библиотеку командой with(linalg). 2 i номер координаты.


Матрицы.

Определение матрицы.

Команда matrix(n, m, [[a11,a12,…,a1n], [a21,a22,…,a2m],…, [an1,an2,…,anm]])

определяет матрицу4 в Maple.

Матрицы специального вида:

команда diag – генерирует диагональную матрицу.

Генерировать матрицу можно с помощью функции f(i, j) от переменных i, j –

индексов матрицы: matrix(n, m, f)5.

Команда rowdim(A) – определяет число строк, команда coldim(A) – число столбцов.

Арифметические операции с матрицами.

Сложение двух матриц одинаковой размерности – команды evalm(A+B) или

matadd(A,B).

Произведение двух матриц – команды6 evalm7(A&*B) или multiply(A,B).

Определители, миноры и алгебраические дополнения. Ранг и след матрицы.

Команда det(A) вычисляет определитель матрицы А.

Команда minor(A,i,j) возвращает матрицу, полученную из исходной матрицы А

вычеркиванием i-ой строки и j-ого столбца. Команда det(minor(A,i,j)) вычисляет минор

Mij элемента aij матрицы А.

Команда rank(A) вычисляет ранг матрицы А. След8 матрицы А вычисляется

командой trace(A).

Обратная и транспонированная матрицы.

Команды evalm(1/A) и inverse(A) вычисляют обратную матрицу А1.

Командой transpose(A) можно вычислить транспонированную матрицу А'.

Выяснение типа матрицы.

3 команда normalize(a) нормирует вектор a , в результате выполнения которой будет получен вектор единичной длины

aa

.

4 n число строк, m – число столбцов в матрице. Эти числа задавать необязательно, а достаточно перечислить элементы матрицы построчно в квадратных скобках через запятую. 5 n - число строк, m – число столбцов. 6 В качестве второго аргумента в командах можно указывать вектор. 7 Команда evalm позволяет также прибавлять к матрице число и умножать матрицу на число. 8 Равен сумме ее диагональных элементов.


Команда definite(A,param) позволяет выяснить положительную или отрицательную

определенность матрицы, где param принимает значения: 'positive_def' – положительно

определена (A>0), 'positive_semidef' – неотрицательно определенная )0( A , 'negative_def'

– отрицательно определенная (A<0), 'negative_semidef' неположительно определенная

)0( A . Результатом действия будет константа true – подтверждение, false – отрицание

сделанного предположения.

Командой orthog(A) можно проверить ортогональность матрицы А.

Функции от матриц.

Командой evalm(A^n) производится возведение матрицы А в степень n.

Вычисление матричной экспоненты Ae возможно с помощью команды exponential(A).

Системы линейных уравнений и матричные уравнения.

Система линейных уравнений bx A может быть решена двумя способами:

команда solve находит решение системы линейных уравнений, записанных в

развернутом виде.

команда linsolve(A,b)9 из пакета linalg находит решение уравнения bx A .

Аргументы этой команды: А – матрица, b – вектор.

Ядро10 матрицы.

Найти ядро матрицы А можно командой kernel(A).

Задание.

I. Для векторов );;3( nhna

и );5;2( hnhb

вычислить 1) bhan

, 2) ))1(,( bhan

и угол между этими векторами, 3) ]],[,[ bhaba

:

II. По заданным матрицам

012822

101

nnhnh

nhhA и

hhnnnB

20765111

найти: 1)

АВ и BA, 2) detA и detB, 3) А-1, M32, A' 4) ранг матрицы В, след матрицы А, привести матрицу В к треугольному виду.

9 Можно найти решение матричного уравнения АХ=В, если в качестве аргументов этой команды указать, соответственно, матрицы А и В. 10 Ядро - это множество векторов х таких, произведение матрицы А на которые равно нулевому вектору: 0xA


III. Решить матричное уравнение: АХ=В, где

18022

31

hnn

hhA ,

8913

152

hhn

nnB .

Найти ядра заданным матриц.


1. Какой пакет следует загрузить перед решением задач линейной алгебры в Maple? 2. С помощью каких команд можно ввести вектор, матрицу? 3. Какими двумя командами можно сложить два вектора одинаковой размерности (2 матрицы)? 4. Какие виды произведений векторов вычисляются Maple и какие команды для этого используются? 5. Как вычислить норму вектора? 6. Как вычислить угол между двумя векторами? 7. Какими двумя командами можно вычислить произведение двух матриц (или матрицы на вектор)? 8. Какие команды используются для нахождения определителя, минора, алгебраического дополнения, следа матрицы? 9. Какая матрица называется обратной и какими способами она вычисляется в Maple? 10. Перечислите специальные виды матриц и команды, приводящие матрицы к этим формам. 11. Какая команда позволяет решать матричные уравнения?

ДЕРЖАВНИЙ ВИЩИЙ НАВЧАЛЬНИЙ ЗАКЛАД...

Documents

Transcript of ДЕРЖАВНИЙ ВИЩИЙ НАВЧАЛЬНИЙ ЗАКЛАД...