презентація інтеграл
Transcript of презентація інтеграл
Математика – наука прикладна.
“Сила математики - в її практичному застосуванні” Ю.Омітропольський
Застосування інтеграла
“Людський розум може знайти в інтегральному численні невичерпне
поле для діяльності” О. Конт
Частина перша
Для чого застосовуємо інтеграл.
Математики об інтегралі Інтегральне числення і саме поняття інтеграла виникли з потреб
обчислення площ плоских фігур і об'ємів довільних тіл, бо у курсі геометрії розглядаються тільки способи обчислення площ фігур певного виду (многокутників, круга та його частин.
Задача: Обчислити площу фігури обмеженої лініями:
6421)( 2
1 xxxf 158)( 22 xxxf
)(433,133,5
)(33,1)158(
)(33,5)6421(
221
25
3
22
6
2
221
мSSS
мdxxxS
мdxxxS
Відповідь: 4
2м
2м
Обчислення об'ємів тіл Обчислення об'ємів тіл за
допомогою інтеграла розв'язуються аналогічно задач про площу криволінійної трапеції.
Об'єм тіла обертання:
dxxfVb
a
)(2
Задача. Обчисліть об'єм тіла, утвореного обертанням
навколо осі абсцис фігури, обмеженої лініями.
… Фізика і математика допомагали одна одній, і розвиток їх часто нероздільний. При цьому іноді фізика випереджала математику, іноді навпаки, в математиці створювалися цілі великі розділи “про запас”. Фізика користувалася ними в деяких випадках набагато пізніше після їх створення.
С.І. Вавилов
Інтеграл у фізиці.
Інтеграл у фізиці. При дослідженні процесів реального світу нас
часто цікавить не зміна якоїсь величини, а її значення.
Інтеграл у фізиці застосовується при розв'язуванні таких задач:
1) Обчислення шляху за відому законом зміни швидкості за умови що функція v=v(t) неперервна.
2) Обчислення роботи змінної сили 3) Обчислення маси неоднорідного стержня 4) Обчислення кількості електрики
Формули, формули, формули!
Величини Обчислення похідної Обчислення інтеграла
S – переміщеняv – швидкість
A – робота F – сила
m – маса - густина
q – електрозаряд I – сила стриму
)(1 tSv 1
2
)(t
t
dttvS
)(1 xAF 1
2
)(A
A
dxxFF
)(1 lm 1
2
)(l
l
dllm
)(1 tqI 1
2
)(t
t
dttIQ
Задача. Тіло рухається прямолінійно зі
швидкістю v(t)=5t-3. Обчисліть шлях, який прийшло тіло за інтервал часу від t1=0 i t2=3.
Розв'язання:v(t)=5t-3; t1=0; t2=3
3
0
30
2
)(5,139245)3
25()35( мttdttS
Відповідь: 13,5м
Задача. Знайти масу неоднорідного стержня
завдовжки 40см, якщо його лінійна густина змінюється за законом:
Розв’язання:)/(12)( 32 мкгtl
)(44,04,03
)4,0(2)3
2()12()(4,0
0
34,0
0
32
1
2
кгttdttdllml
l
Відповідь: 0,44кг
Інтеграл в економіці та техніці.
Інтегральне числення дає багатий математичний апарат для моделювання та дослідження економічних процесів
- обчислення витрати електроенергії споживачами за даний проміжок часу.
- розрахунок залежності вартості перевезення вантажу від пройденої відстані.
- обчислення величини споживчого надлишку за даним попитом.
- обчислення грошових збитків споживача.
Задача.
На нас чекає ЗНО
Що ми повинні знати?- Означення первісної функції, визначеного інтеграла, криволінійної трапеції;- Таблиця первісних елементарних функцій;- Правила знаходження первісних- Формула Ньютона – Лейбніца. Що ми повинні уміти?- Знаходити первісну з використанням таблиці первісних та правил
знаходження первісних;- Застосувати формулу Ньютона-Лейбніца до обчислення визначеного
інтеграла;- Обчислювати площу криволінійної трапеції за допомогою інтеграла;- Розв'язувати прикладні задачі, що зводяться до знаходження інтеграла.
Практична задача з матеріалів ЗНО
Відповідь: 4,5 2км
Висновки:
Поняття інтеграла наряду з похідною є одним із ключових понять
математичного аналізу. В шкільній програмі тема “Інтеграл і його
застосування” являється однією з важливих . Ця тема є необхідним інструментом дослідження багатьох життєвих проблем.
Знання цієї теми дозволяє розв'язувати різні виробничі задачі і задачі з практичним та професійним змістом
Із історії інтегрального числення
Частина друга
Ідеї інтегрального числення беруть свій початок у працях стародавніх
математиків. Про це свідчить “Метод вичеркування” Евдокса IVст. до н.е.
який пізніше використав Архімед у ІІІ ст. до н.е.
За цим методом для обчислення площі плоскої фігури навколо неї описується і в неї вписується ступінчаста фігура.
У XVIII ст. Йоганом Кеплером (1571-1630) було здійснено першу спробу розвинути ідеї Архімеда.
Кеплер відкрив закони руху планет. Він обчислював площі фігур, об'єми тіл спираючись на ідею розкладання фігури і тіла на нескінчену кількість нескінчену малих частин.
Про великого Ньютона! Був цей світ глибокою тьмою оповитий.
Та буде світло! І ось з'явився Ньютон. А.Поуг.
Ісаак Ньютон (1643-1727) – створив диференціальне й інтегральне числення, на ґрунті ідей Кеплера і Кавальєрі.
До історії математики увійшов так званий принцип Кавальєрі (1598-1647), за допомогою якого обчислювали площі й об'єми.
Про Лейбніца. Незалежно від Ньютона
також створив диференціальне та інтегральне числення.
Лейбніц (1645р.) увів символ . Знак нагадує розтягнуту букву S ( з латинської перша буква слова summa “сума”.
Термін “інтеграл” походить від латинського слова integer – “цілий” і був запропонований у 1690р. Й.Бернуллі.
Методи інтегрального числення активно розвивались у наступному столітті П.Л.Чебишов, Л.Ейлером, який завершив систематичне дослідження інтегрування елементарних функцій та інтегрального числення, плідно працював український математик М.В.Остроградський (1801-1886).
Висновки:
Ньютон і Лейбніц, розв'язавши практичні задачі механіки і геометрії, дійшли до одного і того ж висновку,
показали що диференціальне і інтегральне числення це навколишня реальність,
перекладена на математичну мову.