第五章 直线与平面、平面与平面的相对关系
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建筑制图
第五章 直线与平面、平面与平面的相对关系
§5.1 直线与平面、平面与平面的平行
§5.2 直线与平面、平面与平面的垂直
§5.3 直线与平面、平面与平面相交
§5.4 点、直线、平面的综合题
§5-5 换面法
建筑制图
§5.1 直线与平面、平面与平面的平行
一、直线与平面相互平行
二、平面与平面相互平行
建筑制图
一、直线与平面相互平行
1.直线与一般面相互平行
2.直线与投影面垂直面相互平行
建筑制图
1. 直线与一般面相互平行
(1) 直线与一般面相互平行
(2) [例题1]
建筑制图
H
G
(1) 直线与一般面相互平行
C
D
AB 平行于平面P
EF 平行于平面P
建筑制图
建筑制图
l
l'
(2) [ 例题 1] 过点 A 作一水平线平行于平面 BCD 。
e
e'
建筑制图
建筑制图
H
V
P
2. 直线与投影面垂直面相互平行
PH
cd
a
b
c'
d'
a'
b'B
AC
D
(a)
PH
c
d
c'
d'
a'
b'
b
a
(b)
a'
b'
b
a
PH
(c)
c'
d'
d
c
(d)
QV
投影面垂直面和直线相互平行,则该投影面垂直面的积聚投影与该直线的同面投影平行。
建筑制图
2. 直线与投影面垂直面相互平行
建筑制图
建筑制图
二、平面与平面相互平行
1. 两投影面垂直面相互平行
2. 两一般位置平面相互平行
3. [例题2] 过点D作一平面与△ABC平行
建筑制图
1. 两投影面垂直面相互平行
PH QH
P Q
建筑制图
建筑制图
2. 两一般位置平面相互平行
hi
h'
i'
g
g'
建筑制图
建筑制图
e f
( 3 ) [ 例题 2] 过点 D作一平面与△ ABC平行
e' f'
建筑制图
建筑制图
§5.2 直线与平面、平面与平面的垂直
一、直线与平面相互垂直
二、平面与平面相互垂直
建筑制图
一、直线与平面相互垂直
1.直线垂直于一般位置平面
2. 直线垂直于投影面垂直面
建筑制图
1. 直线垂直于一般位置平面
f
gf'
g
建筑制图
建筑制图
d
d'
b
b'
2. 直线垂直于投影面垂直面
ab
A
B
建筑制图
建筑制图
二、平面与平面相互垂直
1. 两平面相互垂直
2. [例题3] 试判别△ABC是否垂直于平面EFHG。
建筑制图
1. 两平面相互垂直
建筑制图
建筑制图
2. [ 例题 3] 试判别△ ABC 是否垂直于平面 EFHG 。
i'
j
i
j'
d
d'
建筑制图
建筑制图
§5.3 直线与平面、平面与平面相交
一、直线与投影面垂直面相交
二、一般位置面与投影面垂直面相交
三、两投影面垂直面相交
四、一般位置线与一般位置面相交
五、两一般位置面相交
建筑制图
一、直线与投影面垂直面相交
1. 直线与投影面垂直面相交
2. [例题4] 求四棱锥与正垂面Q的截交线
建筑制图
c'
c
直线与投影面垂直面相交时,该面的积聚投影与直线的同面投影的交点,就是所求交点的同面投影。
1. 直线与投影面垂直面相交
建筑制图
建筑制图
s'
2. [ 例题 4] 求四棱锥与正垂面 Q 的截交线。
Qv
e
f
gh
(h')e'
f'(g')
a
建筑制图
建筑制图
二、一般位置平面与投影面垂直面相交
e
d
e'
d'
建筑制图
建筑制图
三、两投影面垂直面相交
l
l'
QH PH
m
m'PV QV
PWQW
n'
n
n"
建筑制图
建筑制图
四、一般位置直线与一般位置平面相交
1.一般位置直线与一般位置平面相交,求交线
2.一般位置直线与一般位置平面相交,判别其可见性
建筑制图
1. 一般位置直线与一般位置平面相交
g
k
f
f'
k' g'
PH
步骤:1 .过 DE 作铅垂平面 P 。
2 .求 P 平面与 ΔABC 的交线 FG 。
3 .求交线 FG 与 DE 的交点 K 。
建筑制图
建筑制图
4'( 4' )
2'( 2' )
2. 直线 DE 与 ABC 相交,判别其可见性。
e
a
e'
k
k'
1
3'
4'
2
1'
3'
建筑制图
建筑制图
五、两一般位置平面相交
1. 两一般位置平面相交的交线
2 . 两一般位置平面相交(辅助平面法)
3 . 两一般位置平面相交(线面交点法)
4 . 两一般位置平面相交,判别可见性
建筑制图
1. 两一般位置平面相交的交线
( a )交线在两平面图形之外 ( b )交线在一个面的轮廓之内 ( c )交线互相穿插
建筑制图
建筑制图
2. 两一般位置平面相交(辅助平面法)
PH
QH
1'
5'
6'
2'
4'
3'8'
7'
7 865
1 2 3 4
n
m
n'
m'
建筑制图
建筑制图
PV
QV
两一般位置平面相交,求交线步骤:
1 .用求直线与平面交点的方法,作出两平面的两个共有点 K 、 E 。
3 . 两一般位置平面相交(线面交点法)
1'
2'
2
1
k
e'
e2 .连接两个共有点,画出交线 KE 。
k'
建筑制图
建筑制图
(2')
(4)4
2'
4 . 两一般位置平面相交,判别可见性
3'
4'
2
1
3
1'
建筑制图
建筑制图
§5.4 点、直线、平面的综合题
[例题5] 给出一个矩形相邻两边AB、BC的V投影及其中一边AB的H
投影,试完成矩形的投影
建筑制图
[ 例题 5] 给出一个矩形相邻两边 AB 、 BC 的 V 投影及其中一边 AB 的 H 投影,试完成矩形的投影。
e
fl
c
e'
f'l'
建筑制图
建筑制图
§5-5 换面法
一、问题的提出
二、换面法的基本概念
三、新投影面的选择原则
四、点的投影变换规律
五、六个基本问题
建筑制图
一、问题的提出
1. 定位问题和度量问题
2. 两平行线间距离求解方法的比较
建筑制图
1. 定位问题和度量问题
a'
a b
b'
直线的实长
a'
a b
b'
c'
c
平面的实形
a'
a
b
b'
c'
cd
d'
直线与平面的交点
f'
e'
f
e
a'
b'
c'
d'
a b
cd
两平面夹角
建筑制图
建筑制图
2. 两平行线间距离求解方法的比较
换面法就是保持空间几何元素不动,用新的投影面替换旧的投影面,使新投影面对于空间几何元素处于有利于解题的位置。
建筑制图
建筑制图
二、换面法的基本概念
a1
c1
b1V1
X1X1
换面法—空间几何元素的位置保持不动,用新的投影面来代替旧的投影面,使对新投影面的相对位置变成有利解题的位置,然后找出其在新投影面上的投影。
c1
b1a1
建筑制图
建筑制图
V1
O1
X1
三、新投影面的选择原则
a'1
b'1α α
建筑制图
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四、点的投影变换规律
1 .点在H/V1体系中的投影
2 .点在V/H1体系中的投影
3 .点的两次变换
建筑制图
V 1
a'1
V1
1. 点在 H/V1 体系中的投影z
z
z
z
zX1
O1
aX1
a'1
建筑制图
建筑制图
2. 点在 V/H1 体系中的投影
H1
a1
H 1
aX1 a1
X1
O1
y
y
y
y
建筑制图
建筑制图
a2
a1X 1H
V 1
3 . 点的两次变换
X2 H
2
V1
2
X 2
a2
z
z
l
l建筑制图
建筑制图
五、六个基本问题
(一) 把一般位置直线变为投影面平行线
(二) 把投影面平行线变为投影面垂直线
(三) 把一般位置直线变为投影面垂直线
(四) 把一般位置平面变为投影面垂直面
(五) 把投影面垂直面变为投影面平行面
(六) 把一般位置平面变为投影面平行面
建筑制图
(一) 把一般位置直线变为投影面平行线
[ 例 1] 求一般位置直线的实长及α角
[ 例 2] 求一般位置直线的实长及 角
建筑制图
V1
X1
[ 例 1] 求一般位置直线的实长及 α 角
a1
b1
a1
b1
X 1V 1
H建筑制图
建筑制图
[ 例 2] 求一般位置直线的实长及 角
X 1H
1V
a1
b1
建筑制图
建筑制图
1
X1
a1
b1
X1 H
1V
a1 b1
(二) 把投影面平行线变为投影面垂直线
建筑制图
建筑制图
(三) 把一般位置直线变为投影面垂直线
[ 例题 3] 把一般位置直线变为投影面垂直线
[ 例题 4] 求两平行线的距离
建筑制图
[ 例题 3] 把一般位置直线变为投影面垂直线
V1
X1
a1
b12
a2 b2
建筑制图
建筑制图
[ 例题 3] 把一般位置直线变为投影面垂直线
X2 H
2
V1 a2 b2
X 1H
V 1
a1
b1
建筑制图
建筑制图
[ 例题 4] 求两平行线的距离
H2
V1
X
lb2 (a2)
d2 (c2)
d1
a1
b1
c1V
1H
X1
建筑制图
建筑制图
(四) 把一般位置平面变为投影面垂直面
[ 例题 5] 求平面与H面的夹角β
[ 例题 6] 求平面与V面的夹角α
[ 例题 7] 求点 F 到平面 ABC 的距离
建筑制图
a' c'
XV
H
b'
b
ac
[ 例题 5] 求平面与 H 面的夹角 β
c d
d'
D
X1
H1a1
c1
b1
d1
d'X
1 H1V
d
b1
a1
c1
d1
建筑制图
建筑制图
d
[ 例题 6] 求平面与 H 面的夹角 α
c'1
α
a'1( d'1 )V 1
X 1
H
d'
b'1
作 X1 轴垂直于 ad
建筑制图
建筑制图
[ 例题 7] 求点 F 到平面 ABC 的距离
f'1d
c'1
α
a'1( d'1 )V 1
X 1
H
d'
b'1
g'
g
g'1
作 X1 轴垂直于 ad
作 FG 于 X1
建筑制图
建筑制图
(五)把投影面垂直面变为投影面平行面
H1
y
y
b1
a1
c1
O1
X1
X
H1V
a1b1
c1
( a ) ( b ) ( c )
建筑制图
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(六) 把一般位置平面变为投影面垂直面
[ 例题 8] 把一般位置平面变为投影面平行面
[ 例题 9] 直线AB与平面CDE的夹角θ
建筑制图
建筑制图
d'
d
b1
a1
c1
d1
X1 H
1V
a2
c2
b2
d2
X2
V2H
1
[ 例题 8] 把一般位置平面变为投影面平行面
实形
建筑制图
建筑制图
[ 例题 9] 直线 AB 与平面 CDE 的夹角 θ
θθ
θ
建筑制图
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[ 例题 9] 直线 AB 与平面 CDE 的夹角 θ
H3
V2X3
X 2
V 2H 1
X 1
VH
1
θ
b3
e3
c3
c2
d3
a3
e1
b1
e2 b2
c1
a1
d1
a2
d2
f
f'
建筑制图
建筑制图
本章结束