黄 发 祥黄 发 祥

问题提出 1 、空间两直线有哪几种位置关系？

相交、平行、异面 2 、空间直线和平面有哪几种位置关系？有哪些相关理论？

问题讨论（一） 1 、从直线和平面的公共点个数来分析，有哪几种可能？ 2 、如果一条直线和一个平面分别有两个公共点，仅有一个公共点，没有公共点，那么这条直线和平面的图形位置关系如何？

3 、怎样定义直线和平面相交、平行？ 一条直线和一个平面有且只有一个公共点，叫做直线与平面相交，这个公共点叫做直线与平面的交点 .

一条直线与一个平面没有公共点，叫做直线与平面平行 .

4 、如何用图形、符号语言表示直线和平面的位置关系？相交

平行 β

l

Pl α

lP

//l

5 、过平面外一点可作多少条直线和这个平面平行？相交？

6 、过直线外一点可作多少个平面和这条直线平行？相交？

7 、若 ，则直线 与平面 α内的直线的位置关系如何？ l//l

l

a

b

8 、若两条平行直线中有一条平行于一个平面，则另一条也平行于这个平面吗？

问题讨论（二） 1 、如图，直线 和平面 α 平行吗？ l

l

2 、有一块木料（如图）， P 为面 BCEF 内一点，要求过 P 点在平面 BCEF 内作一条直线和平面 ABCD平行，问应怎样画线？并说明理由 .PF

E

DC

BA

3 、一般地，设 P 为平面 α外一点，如何过点 P 作直线 ，使 ？并说明理由 . l //l

P

αm

l

4 、设 是不在平面 α 内的一条直线，在什么条件下可确保 ？l//l

m

l

α

5 、由此我们可得到什么命题？

如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 .

直线和平面平行的判定定理

6 、如果直线 和平面 α 内的一条直线平行，则 一定与 α 平行吗？ll

l

α

7 、设 a 、 b 是异面直线，则与 a 、 b 都平行的平面存在吗？a

b

8 、设 a 、 b 是异面直线， P 点不在 a 、 b 上，则过点 P 且与直线a 、 b 都平行的平面有几个？a

b

P

巩固练习 例 1 、如图，在正方体 ABCD － A1B1C1D1 中，下列直线和平面的位置关系如何？

A

DC

B

A1

B1

C1D1

E

（ 1 ）直线 BC1 和平面 ADD1A1 ；（ 2 ）直线 DE 和平面 BCC1B1.

例 2 、在空间四边形 ABCD 中，E 、 F 分别是 AB 、 AD 的中点，求证： EF∥ 平面 BCD.

B D

C

FE

A

例 3 、在长方体 ABCD － A1B1C1D1 中， E 、 F 分别是 A1B 和 B1C 的中点，判断直线 EF 和平面 ABCD 的位置关系，并说明理由 .

A

DC

B

A1

B1

C1D1

E

F

MN

作业： P17 练习 1 ， 2 ， 3 ， 4.

问题提出 1 、直线和平面有哪几种位置关系？平行、相交、在平面内 2 、反映直线和平面三种位置关系的依据是什么？ 公共点的个数

没有公共点： 平行 仅有一个公共点：相交 无数个公共点：在平面内

如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 .

3 、直线和平面平行的判定定理

4 、线面平行的判定定理解决了线面平行的条件；反之，在直线与平面平行的条件下，会得到什么结论？

问题讨论 1 、若直线 ∥平面 α ，则直线 与平面 α 的直线的位置关系有哪几种可能？

l l

l

a

b

2 、若直线 ∥平面 α ，则在平面α 内与 平行的直线有多少条？这些与 平行的直线的位置关系如何？ l

ll

l

α

3 、若直线 ∥平面 α ，过直线 作平面 β 使它与平面 α 相交，设 α∩β=m ，则 与 m 的位置关系如何？为什么？

l

l

l

l

α

β

m

4 、试用文字语言将上述原理表述成一个命题 .

直线与平面平行的性质定理： 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行 .

5 、上述命题反映了直线和平面平行的一个性质，其内容可简述为“线面平行则线线平行” .线∥面 线∥线

6 、若 ∥ α ， P∈α ，过点 P 作直线 ，则 与 的位置关系如何？为什么？ l

αm∥ l m

l

α Pm

巩固练习 例 1 、判断下列命题是否正确？（ 1 ）若直线 平行于平面 α 内的无数条直线，则l //l

lα

（ × ）

（ 2 ）设 a 、 b 为直线， α 为平面，若 a∥b ，且 b 在 α 内，则 a∥ α .

a

α b

（ × ）

(3) 若直线 ∥平面 α ，则 与平面α内的任意直线都不相交 .l l

（ 4 ）设 a 、 b 为异面直线，过直线 a 且与直线 b 平行的平面有且只有一个 .a

b

（√）

（√）

例 2 、在四面体 ABCD 中， E 、F 分别是 AB 、 AC 的中点，过直线EF 作平面 α ，分别交 BD 、 CD 于M 、 N ，求证： EF∥MN.F

E

D

C

B

A

N

M

例 3 、如图，已知 AB∥ 平面 α ，AC∥BD ，且 AC 、 BD 与平面 α 相交于 C 、 D ，求证： AC=BD.A

DC

B

α

例 4 、设平面 α 、 β、 γ 两两相交，且 ，若 a∥b ，求证：b∥c . cba ,，

bα β

γ

ac

作业： P19-20 习题 1 ， 2 ， 3 ， 4.

问题提出 1 、空间两直线的位置关系有哪几种？ 平行、相交、异面 2 、空间直线和平面的位置关系有哪几种？

平行、相交、在平面内

二层楼房示意图

复习提问 :1 、两直线的位置关系2 、直线和平面的位置关系

空间中

3 、平面间的位置关系

平行、相交、异面平行、相交、在平面内

3 、空间两平面的位置关系有哪些？有何相关理论？

问题讨论（一） 1 、从两平面的公共点个数来分类，有哪几种情形？

没有公共点；无数个共线的公共点

2 、上述两种情形对应的位置关系分别叫做两平面平行、相交，那么怎样定义两平面平行？ 如果两个平面没有公共点，则称这两个平面互相平行，也叫做平行平面 .

3 、怎样用图形和符号表示两平面平行？β

α

α∥β

4 、若 则直线 a 、 b 的位置关系如何？ ,,,// ba

β

α a

b

5 、若 则直线 a 与平面 β的位置关系如何？ ,,// a

β

α a

6 、若 则直线 a 与平面 β的位置关系如何？ ,//,// a

β

α

a

7 、若 α∥β，且 α与 γ相交，则 β与 γ的位置关系如何？

β

α

γ

8 、若 ，则 α与 β一定平行吗？ //, aa 且

βα

a

问题讨论（二） 1 、建筑师如何检验屋顶平面是否与水平面平行？

2 、如果平面 α内的任意直线都平行于平面 β，则 α∥ β吗？

β

α

3 、若平面 α内有一条直线 a平行于平面 β，则能保证 α∥ β吗？

βα

a

4 、若平面 α内有两条直线 a 、b 都平行于平面 β，能保证 α∥ β 吗？

βα

ab

β

α ab

5 、如何证明你的结论？

6 、上述结论是判定两平面平行的依据，称之为两平面平行的判定定理，试用文字语言表述这个定理 . 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行 .

线不在多，重在相交简述为：线面平行面面平行

7 、若一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行吗？

β

α

8 、过平面外一点，可作多少个平面与已知平行？

巩固练习 例 1 、判断下列命题是否正确？ （ 1 ）平行于同一条直线的两平面平行 .

β

αa

（ × ）

（ 2 ）若平面 α内有两条直线都平行于平面 β，则 α∥ β. （ × ）

βα

ab

（ 3 ）若平面 α内有无数条直线都平行于平面 β，则 α∥ β.

βα

（ × ）

（ 4 ）设 a 、 b 为异面直线，则存在平面 α、 β，使 .//, 且 ba

β

α a

b

（√）

例 2 、已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 ，求证：平面 AB1D1∥ 平面 C1BD.

分析：在四边形 ABC1D1 中，AB C∥ 1D1 且 AB ＝ C1D1

故四边形 ABC1D1 为平行四边形 .

即 AD1 BC∥ 1

证明：证明：∵∵ABCD-AABCD-A11BB11CC11DD11 是正方体是正方体 ,,∴∴DD11CC11//A//A11BB11 ，， DD11CC11=A=A11BB11, , AB//AAB//A11BB11 ，， AB=AAB=A11BB11,,∴∴DD11CC11//AB//AB ，， DD11CC11=AB,=AB,∴∴ 四边形四边形 DD11CC11BABA 为平行四边形为平行四边形 ,,

∴ ∴ DD11A//CA//C11B,B, 又又 DD11A A 平面平面 CC11BDBD ，， CC11B B 平面平面 CC11BDBD ，，∴∴DD11A//A// 平面平面 CC11BD,BD,

D1

B1A1

C1

CD

A B

同理同理 DD11BB11//// 平面平面 CC11BD,BD,又又 DD11A DA D11BB11=D=D11,, DD11A A 平面平面 ABAB11DD11 , , DD11BB11 平面平面 ABAB11DD11,,∴∴ 平面平面 ABAB11DD11//// 平面平面 CC11BD.BD.

变式 1 、已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 ，P,Q, R, 分别为 A1A,AB,AD 的中点 求证：平面 PQR∥ 平面 CB1D1.

P

QR

分析：连结 A1B ，PQ A∥ 1B

A1B CD∥ 1

故 PQ CD∥ 1

同理可得，……

例例 3 3 在三棱锥在三棱锥 B-ACDB-ACD 中中 ,, 点点MM 、、 NN 、、 GG 分别△分别△ ABCABC 、 、 △△ ABDABD 、 △、 △ BCDBCD 的重心的重心 ,,求证求证 :: 平面平面 MNG//MNG// 平面平面 ACDACD

GN

MA

C

D

B

E

证明证明 :: 连接连接 AN,AN, 交交 BDBD 于点于点 EE由已知得点由已知得点 EE 是边是边 BDBD 的中点的中点连接连接 CE,CE, 则则 CECE 必经过点必经过点 GG∵∵ 点点 NN 、、 GG 分别是△分别是△ ABDABD 和和△△ BCDBCD 的重心，的重心，∴∴NENE ：： NA=1NA=1 ：： 22 GEGE ：： GC=1GC=1 ：： 22∴∴NG//ACNG//AC

又又 NG NG 平面平面 ACDACD AC AC 平面平面 ACDACD∴∴NG//NG// 平面平面 ACDACD同理同理 MG//MG// 平面平面 ACDACD又又 NG MG=G,NG MG=G, NG NG 平面平面 MNG,MNG, MG MG 平面平面 MNG,MNG,∴∴ 平面平面 MNG//MNG// 平面平面 ACD.ACD.

作业： P19 练习 1 、2 P20 习题 8

问题提出 1 、什么叫两平面平行？

如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行 .

2 、两平面平行的判定定理是什么？

3 、两平面平行的判定定理解决了两平面平行的条件；反之，在两平面平行的条件下，会得到什么结论？

问题讨论,// l， 与l 1 、若 则 的位置关系如何？该结论有何功能作用？

β

α l 判定线面平行的依据

2 、若 的位置关系如何？ 与则，且 ,// a

，设 b 则直线 a 、 b 的位置关系如何？为什么？

β

α

γ

ab

3 、上述结论是两平行平面的一个性质，称之为两平面平行的性质定理，试用文字语言表述这个定理 .如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行 .

4 、上述定理有何功能作用？判定线线平行的依据

，、，、，、若 DCBA//5且 AC BD∥ ，则 AC 与 BD 的长度关系如何？

β

αA

DC

B

，，、设 A//6 过点 A 作直线 么？的位置关系如何？为什与则 ll ,//

l

β

α A

7 、如果平面 α、 β都与平面 γ相交，且交线平行，则 α∥ β吗？

bα β

γ

a

例 2 、如图，已知 α∥β， A 、C∈α， B 、 D∈β， E 、 F 分别为 AB 、 CD 的中点，求证：EF∥β

β

α

FE

D

C

B

A

M

作业： P19 练习 3 、4.

知识回顾1 、直线和平面平行

性质定理判定定理定义

2 、平面和平面平行

性质定理判定定理定义

例 1 、设 a 、 b 是异面直线， A∈a, B∈b, 过 AB 的中点 O 作平面 α ，使 a∥ α,b∥ α ， M 、 N 分别是 a 、 b 上的点， MN 与 α 相交于 P 点，求证： P 是MN 的中点 .

O

N

M

B

A

Pα E

例 2 、设正方体 ABCD － A1B1C1D1 的棱长为 a ， M 、 N 分别是 A1B 和 AC上的点，且 A1M=AN=

（ 1 ）求证： MN∥ 平面 BB1C1C ；（ 2 ）求 MN 的长 .

a32

N

M

D1

A

DC

B

A1B1

C1

E

F

例 3 、在正方体 ABCD － A1B1C1

D1 中， M 为 CD1 上一点，求证： B

1M∥ 平面 A1BD.

AD

C B

A1

B1C1

D1

M

例 4 、在正方体 ABCD － A1B1C1D1中， M 、 N 、 E 、 F 分别是棱 A1B1 ，A1D1 ， C1D1 ， B1C1 的中点，求证：（ 1 ） E 、 F 、 B 、 D 四点共面； （ 2 ）平面 AMN∥ 平面 BDEF.

A

DC

B

A1

B1

C1D1

NM F

E

O

PQ

《名师》 P33 考点１

作业： P20 习 题 5 、 6 、 7.

例 5 、如图，已知α∥β， A 、 C∈α， B 、 D∈β，直线 AB 与 CD 相交于点 M ，且点 M不在 α、 β之间，若 AM=8 ， BM=14 ， CD=12 ，求 CM 的长 .

β

α

M

D

C

B

A