学案学案 3 3 平面的基本性质与推论 平面的基本性质与推论

考点考点 11

考点考点 22

考点考点 33填填知学情填填知学情

课内考点突课内考点突破破

规 律 探 究规 律 探 究

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考点考点 44

考点考点 55

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空间点、直线、平面之间的位置关系

1. 理解空间直线、平面位置关系的定义 . 2. 了解可以作为推理依据的公理和定理 .

3. 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题 .

空间点、线、面的位置关系的判断与证明几乎每年高考都要考查，题型以选择题和解答题为主，验证度不大，同时还要注意异面直线的判定与证明 .

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1. 平面的基本性质与推论

基本性质 1 如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线上的 都在这个平面内 .

基本性质 2 ， 有且只有一个平面，这也可以简单地说成，不共线的三点确定一个平面 .

两点 所有点

经过不在同一条直线上的三点

基本性质 3 如果不重合的两个平面 ，那么它们有且只有 .

推论 1 ， 有且只有一个平面 .

推论 2 ， 有且只有一个平面 .

推论 3 ， 有且只有一个平面 .

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经过两条平行直线

有一个公共点 一条过这个点的公共直线

经过一条直线和直线外的一点

经过两条相交直线

2. 符号语言与数学语言的关系数学符号语言 数学表达语言

点 A在直线 a上点 A在直线 a外点 A在平面α内点 A在平面α外直线 a在平面α内直线 a,b 相交于点 A

平面α,β相交于直线 a

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α∩β=a

A a ∈A a∈

A a ∈A a∈

a α⊆

a∩b=A

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(1) 空间两条直线的位置关系有三种：相交、平行、异面

①相交直线 : ;

②平行直线 : ;

③异面直线 : .

(2) 判定异面直线的方法

①利用定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平

面内不经过该点的直线是异面直线 .

3. 空间两条直线的位置关系

在同一平面内，有且只有一个公共点

在同一平面内，没有公共点

不同在任何一个平面内（或者说，异面直线既 不相交又不平行的两条直线），没有公共点

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②利用反证法：假设两条直线不是异面直线，推导出矛盾 .

(3) 基本性质 4

——空间平行线的传递性 .

(4) 等角定理

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 .

平行于同一条直线的两条直线互相平行

相等或互补

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(5) 异面直线所成的角

设 a,b 是异面直线，经过空间任一点 O ，分别作直线 a′ a,b′ b∥ ∥ ，把直线 a′ 与 b′ 所成的 叫做异面直线 a 与 b 所成的角 ( 或夹角 ).

锐角 ( 或直角 )

在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中 , 对角线 A1C 与平面 BD

C1 交于点 O,AC,BD 交于点 M, 求证 : 点 C1,O,M 共线 .

考点考点 1 1 点共线问题 点共线问题

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【分析】证明三点共线常用方法是取其中两点确定一直线 , 再证明其余点也在该直线上 .

【证明】如图 , A∵ 1A C∥ 1C,

∴A1A,C1C 确定平面 A1C.

∵A1C平面 A1C,O A∈ 1C,

∴O∈平面 A1C, 而 O= 平面 BDC1∩ 线 A1C,

∴O∈平面 BDC1,

∴O 在平面 BDC1 与平面 A1C 的交线上 .

∵AC∩BD=M, M∴ ∈平面 BDC1 且 M∈平面 A1C,∴平面 BDC1∩ 平面 A1C=C1M,

∴O CM,∈ 即 M,O,C1 三点共线 .

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证明若干点共线也可用基本性质 3 为依据 , 找出两个平面的交线 , 然后证明各个点都是这两平面的公共点 .

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如图所示 , 已知△ ABC

在平面 α 外 ,AB,BC,AC

的延长线分别交平面 α

于 P,Q,R 三点 . 求证 :P,

Q,R 三点共线 .

证明证明 : 设△ ABC 所在平面为 β, 因为 AP∩α=P,AP β, 所以 β 与 α 相交于过点 P 的直线 l, 即 P l.∈ 因为 BQ∩α=

Q,BQ β, 所以 Q β,Q α.∈ ∈ 所以 Q l.∈ 同理可证 R l.∈所以 P,Q,R 三点共线 .

⊂

⊂

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【分析】 (1) 只需证 BC GH.

(2) 先证四边形 BEFG 为平行四边形 , 再证明 EF CH∥ 即得 .

考点考点 2 2 共面问题 共面问题

如图，四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯形，∠ BA

D= FAB=90°,BC AD,BE FA,G,H∠ 分别为 FA

， FD 的中点 .

(1) 证明 : 四边形 BCHG 是平行四边形 ;

(2)C,D,F,E 四点是否共面 ? 为什么 ?

2

1

2

1

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【解析】如图， (1) 证明 : 由已知 FG=GA,FH=HD, 可得

GH AD. 又 BC AD, EH BC,∴

∴四边形 BCHG 为平行四边形 .

(2)C,D,F,E 四点共面 , 证明如下 :

由 BE AF,G 为 FA 中点知 ,

BE FG,∴四边形 BEFG 为平行四边形 ,

∴EF BG.∥

由 (1) 知 BG CH, EF CH, EF∥ ∴ ∥ ∴ 与 CH 共面 .

又 D FH, C,D,F,E∈ ∴ 四点共面 .

2

1

2

1

2

1

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证明点线共面的常用方法：

(1) 纳入平面法 : 先确定一个平面 , 再证明有关点、线在此平面内 .

(2) 辅助平面法 : 先证明有关的点、线确定平面 α ，再证明其余元素确定平面 β ，最后证明平面 α,β 重合 .

如图所示，已知空间四边形 ABCD ， E ， F 分别是 AB

， AD 的中点， G ， H 分别是 BC ， CD 上的点 . 且 C

G= BC ， CH= DC. 求证：

（ 1 ） E ， F ， G ， H

四点共面；

（ 2 ）三直线 FH ， EG ，

AC 共点 .

3

1

3

1

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（ 1 ）连接 EF ， GH.

由 E,F 分别为 AB,AD 中点，

∴EF BD, 由 CG= BC

CH= DC ，

∴HG BD ，

∴EF HG∥ 且 EF≠HG.

∵EF,HG 可确定平面 α,

∴E,F,G,H 四点共面 .

2

1

3

1

3

1

3

1

＝∥

＝∥

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（ 2 ）由（ 1 ）知 ,EFHG 为平面图形，且 EF HG∥ ，EF≠HG.

∴四边形 EFHG 为梯形，设直线 FH∩ 直线 EG=O ，

∵点 O∈直线 FH ，直线 FH 面 ACD ，

∴点 O∈平面 ACD. 同理点 O∈平面 ABC.

又面 ACD∩ 面 ABC=AC ，∴点 O∈直线 AC （公理 2

） .

∴三直线 FH ， EG ， AC 共点 .

⊂

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如图所示，正方体 ABCD

—A1B1C1D1 中， M ， N 分别是 A

1B1 ， B1C1 的中点 . 问：

（ 1 ） AM 和 CN 是否是异面直线？

（ 2 ） D1B 和 CC1 是否是异面直

线？请说明理由 .

考点考点 3 3 异面直线的判定和证明 异面直线的判定和证明

【分析】【分析】（ 1 ）由于 M,N 分别是 A1B1 和 B1C1 的中点，可证明 MN AC∥ ，因此 AM 与 CN 不是异面直线 . （ 2

）由空间图形可感知 D1B 和 CC1 为异面直线的可能性较大，判断的方法可用反证法 . 返回目录

【解析】【解析】（ 1 ）不是异面直线 . 理由如下：

∵M,N 分别是 A1B1,B1C1 的中点 ,

∴MN A∥ 1C1 ，

又∵ A1A D1D, 而 D1D C1C ，

∴A1A C1C ，∴四边形 A1ACC1 为平行四边形 .

∴A1C1 AC∥ ，得到 MN AC∥ ，

∴A,M,N,C 在同一个平面内，故 AM 和 CN 不是异面直线 .

＝∥ ＝∥

＝∥

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（ 2 ）是异面直线，证明如下：

假设 D1B 与 CC1 在同一个平面 D1CC1 内，

则 B∈平面 CC1D1 ， C∈平面 CC1D1.

∴BC平面 CC1D1 ，

这与正方体 ABCD—A1B1C1D1 中 BC⊥面 CC1D1 相矛盾 .

∴假设不成立，故 D1B 与 CC1 是异面直线 .

⊂

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对异面直线的定义的理解

(1)“ 既不相交也不平行”，指这两条直线不能确定任何一个平面，因此，异面直线不同在任何一个平面内 .

(2) 不能把异面直线误解为 : 分别在不同平面内的两条直线为异面直线 .

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如图所示， E,F 在 AD 上， G,H 在 BC 上，图中 8 条线段所在的直线，哪些直线互为异面直线？

【解析】先找规律性较强的直线，如 AB

与 CD ， AC 与 BD ， AD 与 BC 互为异面直线，然后再把 EG添入，那么易得 EG

分别与 AB,AC,BD,DC 成异面直线 . 同理， FH 也与它们分别成异面直线， EG 与 F

H 也互为异面直线 . 每两条异面直线称为“一对”，则共有 12 对异面直线 .

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【分析】 【分析】 先由公理 1 判定 FG平面 ABCD,

再由平行公理证明线线平行 .

考点考点 4 4 空间中两直线位置关系的判定与证明 空间中两直线位置关系的判定与证明

如图所示，在正方体 AC1 中 ,E 是 CD 的中点 , 连结 A

E并延长与 BC 的延长线交于点 F, 连结 BE并延长交AD 的延长线于点 G, 连结 FG.

求证 : 直线 FG平面 ABCD 且直线 FG∥直线 A1B1.

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【证明】由已知得 E 是 CD 的中点 , 在正方体中 , 有 A

∈面 ABCD,E∈面 ABCD,

所以 AE面 ABCD. 又 AE∩BC=F,

所以 F AE,∈ 从而 F∈面 ABCD.

同理 ,G∈面 ABCD, 所以 FG面 ABCD.

因为 EC AB, 故在 Rt FBA△ 中 ,CF=BC,

同理 ,DG=AD. 又在正方形 ABCD 中 ,BC AD, 所以 CF DG.

所以四边形 CFGD 是平行四边形 .

所以 FG CD.∥ 又 CD AB,AB A∥ ∥ 1B1,

所以直线 FG∥直线 A1B1.

2

1

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判断空间中直线的位置关系主要依据平面的基本性质及几何体内线面之间的位置关系 .将公理 1,2,3 与平面几何知识相结合 , 解答一些常规题目 .

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已知 E 和 F 分别是正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱 AA1

和棱 CC1 上的点 , 且 AE=C1F, 求证 : 四边形 EBFD1 是平行四边形 . 【证明】如图所示 , 在 DD

1 上取一点 G,使 D1G=A1E, 则易知

A1E D1G,

∴四边形 A1EGD1 为平行四边形 ,

∴EG A1D1,

∴四边形 A1EGD1 为平行四边形，

∴EG A1D1. 返回目录

又∵ A1D1 B1C1,B1C1 BC,

∴EG BC( 公理 4 ），

∴四边形 GEBC 是平行四边形，

∴EB GC. 又∵ D1G FC,

∴四边形 D1GCF 是平行四边形，

∴GC D1F, EB D∴ 1F( 公理 4 ），

∴四边形 EBFD1 是平行四边形 .

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［ 2010 年高考大纲全国卷Ⅰ］正三棱柱 ABC—A1B1C1 中，若∠ BAC=90°,AB=AC=AA1, 则异面直线 BA1 与 AC1 所成的角等于 ( )

A.30° B.45° C.60° D.90°

【分析】根据异面直线所成角的定义，需通过平移，将异面直线 BA1 与 AC1变成相交直线 . 由几何体的特点用补形法较恰当 .

考点考点 5 5 异面直线所成角异面直线所成角

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【解析】如图，可补成一个正方体，∴ AC1 BD∥ 1.

∴BA1 与 AC1 所成角的大小为

∠A1BD1.

又易知△ A1BD1 为正三角形，

∴∠A1BD1=60°.

∴BA1 与 AC1 成 60° 的角 .

故应选 C.

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利用定义法 ( 平移法 ) 求异面直线所成角的一般步骤为 :

(1) 平移 : 选择适当的点 , 平移异面直线中的一条或两条成为相交直线 , 这里的点通常选择特殊位置的点 , 如线段的中点或端点 , 也可以是异面直线中某一条直线上的特殊点 .

(2) 证明 : 证明所作的角是异面直线所成的角 .

(3)寻找 : 在立体图形中 ,寻找或作出含有此角的三角形,并解之 .

(4) 取舍 : 因为异面直线所成角 θ 的取值范围是 0°<θ≤90°, 所以所作的角为钝角时 , 应取它的补角作为异面直线所成的角 .

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如图所示，三棱锥 P—ABC 中， PA⊥平面 ABC, BA∠C=60°,PA=AB=AC=2,E 是 PC 的中点 .

（ 1 ）求异面直线 AE 和 PB 所成角的余弦值；

（ 2 ）求三棱锥 A—EBC 的体积 .

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【解析】（ 1 ）取 BC 的中点 F ，连接 EF,AF ，则 EF

PB,∥ 所以∠ AEF 或其补角就是异面直线 AE 和 PB 所成角 .

∵∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,PA⊥平面 ABC,

∴AF= ,AE= ,EF= ;

cos AEF= = ,∠

∴异面直线 AE 和 PB 所成角

的余弦值为 .

3 2 2

222

3-22

4

1

4

1

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(2) E∵ 是 PC 中点，

∴E 到平面 ABC 的距离为 PA=1,

∴VA—EBC=VE—ABC= ×( ×2×2× )×1= .

2

1

3

1

2

12

3

3

3

（（ 11 ）点共线问题）点共线问题

证明空间点共线问题，一般转化为证明这些点是证明空间点共线问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理某两个平面的公共点，再根据公理 22 证明这些点都在这证明这些点都在这两个平面的交线上两个平面的交线上 ..

（（ 22 ）线共点问题）线共点问题

证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上直线上 ..

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（（ 33 ）证明点线共面的常用方法）证明点线共面的常用方法

① ① 纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内、线在此平面内 ..

② ② 辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面 αα

，再证明其余元素确定平面，再证明其余元素确定平面 ββ ，最后确定证明平面，最后确定证明平面 α,βα,β 重重合合 ..

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